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極限 / みや
どもです。

a,b>0の時,
lim_{x→+∞}(a^x+b^x)^{1/x}とlim_{x→0}(a^x+b^x)^{1/x}を調べてます。

(a^x+b^x)^{1/x}=a(1+(b/a)^x)^{1/x}となりますよね。
ここからどう処理すればいいのでしょうか?

No.27834 - 2014/07/25(Fri) 10:09:48

Re: 極限 / らすかる
a>b>0ならば
a(1+(b/a)^x)^(1/x) で
b/a<1なのでx→∞のとき1+(b/a)^x→1
そして1/x→0であり1^0=1なので
x→∞のときa(1+(b/a)^x)^(1/x)→a
同様にb>a>0のときは
x→∞のときb((a/b)^x+1)^(1/x)→b
a=b>0のときはa・2^(1/x)となるのでa=bに収束
つまりx→+∞のときはa,bの小さくない方に収束します。

x→0の場合は
x→+0ならば
a,bの大きくない方をcとすると
(a^x+b^x)^(1/x)≧(2c^x)^(1/x)=2^(1/x)・c→∞
x→-0ならば
a,bの小さくない方をcとすると
(a^x+b^x)^(1/x)≦(2c^x)^(1/x)=2^(1/x)・c→0
となり、x→0のときは極限を持ちません。

No.27836 - 2014/07/25(Fri) 11:45:28

Re: 極限 / みや
どうも有難うございます。大変助かりました。
No.27933 - 2014/07/30(Wed) 09:24:36
代表値 / ぽん
これのxyの求め方の解説お願いします。。
No.27832 - 2014/07/25(Fri) 01:00:30

Re: 代表値 / IT
人数 x+y+16=30…(1)
平均値(5x+15×7+25×6+35y+45×1+55×2)/30=22…(2)
あるいは、(5-22)x+(15-22)×7+(25-22)×6+(35-22)y+(45-22)×1+(55-22)×2=0…(2)'

連立方程式(1)(2) (あるいは(2)')を解きます。

No.27833 - 2014/07/25(Fri) 03:53:22

Re: 代表値 / ぽん
あ、やはり中間の値を用いて計算するんですね!
ありがとうございます。

No.27835 - 2014/07/25(Fri) 10:21:07
(No Subject) / けんた
0<a<2とする。曲線C:y=x^3(x≧0)上に点P(a,a^3)をとる。 問1))点Pにおける曲線Cの接線lの方程式は?
問2))直線lとx軸との交点のx座標は?
問3))曲線Cとx軸および直線x=2で囲まれた部分の面積は?
問4))曲線Cとx軸および接線lで囲まれた部分と、曲線Cと接線lおよび直線x=2で囲まれた部分の面積の和をSとすると、S=??
問5))またaが0<a<2の範囲で変化するとき、Sはa=?のとき最小値は?


おねがいします。。

No.27828 - 2014/07/24(Thu) 21:01:34
代数学 / つばさ
集合R ≧0をR ≧0{x∈ R|x≧0}で定める。
(1)g:R≧0→R≧0をg(x)=x^2で定めると、gは全単射になることを示せ。
(2)h:N→Nをh(n)=n^2で定めるとき、hが単射になるか、全射になるかをそれぞれ調べよ。
f:Z→Zをf(n)=2nで与える。
(1)fが全射にならないことを示せ。
(2)f(f^-1(B))=Bが成り立たないような、Zの部分集合Bの例を与え、説明せよ。お願いします!

No.27826 - 2014/07/24(Thu) 17:00:36
空間ベクトルの問題です / アカシロトモ
2直線lとmがねじれの位置にあるとき、
l上の2点A,Bとm上の2点C,Dに対して、
四面体ABCDが正四面体であるための必要十分条件は、
l⊥mであることを証明せよ。

どうかよろしくお願いいたします。

No.27824 - 2014/07/24(Thu) 14:46:28

Re: 空間ベクトルの問題です / らすかる
「l⊥m ⇒ 四面体ABCDは正四面体」は成り立ちませんので、
問題がおかしいと思います。

No.27825 - 2014/07/24(Thu) 15:47:47

Re: 空間ベクトルの問題です / アカシロトモ
らすかる さん

投稿ありがとうございました。
再度、問題文を確認しましたが、
誤植ではないようです。
学校の先生にも確認してみます。
また、私も、もう一度考えてみます。

No.27827 - 2014/07/24(Thu) 19:38:48

Re: 空間ベクトルの問題です / ast
らすかるさんのご指摘は誤植があるという程度の意味ではないように思います.

仮に AB≠CD (例えば AB=2CD) のように点 A,B,C,D を取ったなら (あるいはより一般に A,B,C,D のうちの任意の二点間の距離がすべて一致しないなら), 二直線 m,l の関係がどうであろうと, 作った四面体 ABCD が正四面体になるはずがないので, 点が直線上で任意に取れるのでは問題として成立していません (書かれている内容だと何の指定もないので任意に取れるとしか思えない).

もっと具体的に (おそらくは引用されている問題文の該当箇所よりも前の文章で) 直線 m,l や点 A,B,C,D の取り方が指定されているか, 別に図が添付されているか, 方法までは確定的に言えませんが, 何らかの方法で問題の成立に必要な内容が書かれてあって、にも拘らずそれを見落としているのではないかと考えるのが妥当だと思います.

No.27830 - 2014/07/24(Thu) 21:49:56

Re: 空間ベクトルの問題です / アカシロトモ
ast さん ご指摘ありがとうございます。
もう一度、出題した先生や友人に確認してみます。
ご迷惑おかけして申し訳ありません。

No.27831 - 2014/07/24(Thu) 23:21:47
(No Subject) / ヒキニート
こちらもできればお願いします。
No.27821 - 2014/07/24(Thu) 00:47:23

Re: / X
問題の立体の平面y=tによる断面は
底辺の長さ2
高さが1+√(1-t^2)
の二等辺三角形の周及び内部
になります。
よって求める体積をVとすると
V=∫[-1→1]{1+√(1-t^2)}dt
=2+(半径1の半円の面積)
=2+π/2

No.27823 - 2014/07/24(Thu) 10:18:01
(No Subject) / ヒキニート
この問題お願いします。
No.27820 - 2014/07/24(Thu) 00:46:30

Re: / Halt0
(Tの体積) = 1/3 ✕ (△DBCの面積) × (△DBCを底面と見たときの三角すいA-BCDの高さ)

ここで
(△DBCの面積) = 1/2 × BC × (BCを底辺と見たときの△DBCの高さ)
(△DBCを底面と見たときの三角すいA-BCDの高さ) ≦ (BCを底辺と見た時の△ABCの高さ)
であることに注意すると、
(Tの体積) ≦ 1/6 × BC × (BCを底辺と見たときの△DBCの高さ) × (BCを底辺と見た時の△ABCの高さ)

今、BCの長さを固定したとし、その値を BC=2t (0<t≦1/2) とおく。
DBやDCの長さを(1以下で)動かすと、BCを底辺と見たときの△DBCの高さが最大になるのは DB=DC=1 のとき。
(これは例えば、BおよびDを中心に半径1の円を描いてみればわかる)
で、その高さは√(1-t^2)
同様に、ABやACの長さを(1以下で)動かすと、BCを底辺と見たときの△ABCの高さが最大になるのは AB=AC=1 のときであって、その高さは√(1-t^2)

以上より (Tの体積) ≦ 1/3t(1-t^2)
1/3t(1-t^2) は 0<t≦1/2 のとき単調増加であるから(微分すればわかる)、 t=1/2 で最大値1/8をとる。よって (Tの体積) ≦ 1/8

No.27822 - 2014/07/24(Thu) 04:00:02
循環小数 / ぷん
分数を循環小数で表せという問いでは筆算はどこまでやればよいのかについて

例えば筆算をして0.1212となったからと言って
答え)0.12(1と2の上に点)としてよいのでしょうか?
もしかしたら0.1212131312121313・・・(12121313が循環節)だとか0.1212312123・・・(12123が循環節)
の可能性はないのでしょうか?

No.27818 - 2014/07/23(Wed) 23:31:32

Re: 循環小数 / ヨッシー
ある桁と、別の桁とで余りが同じになれば、それより後の商の出方が
同じになるので、そこが循環節になります。


図では、5桁目で、余りが最初と同じ1347になるので、
それ以降、12123の繰り返しになります。

No.27819 - 2014/07/23(Wed) 23:48:32

Re: 循環小数 / ぷん
よくわかりました!ありがとうございます
No.27829 - 2014/07/24(Thu) 21:26:47
平方根の整数部分と小数部分 / 数学者
6−2√3の整数部分をa小数部分をbとするときaとbの値は。
No.27815 - 2014/07/22(Tue) 22:20:54

Re: 平方根の整数部分と小数部分 / ヨッシー
6−2√3がだいたいどのくらいの大きさなのかを求めます。
その整数部分がa,6−2√3からaを引いたものがbです。

例えば、
√2+√3+√5 の整数部分aは
√2+√3+√5≒1.4+1.7+2.2=5.3 なので、a=5
b=√2+√3+√5−5 です。

No.27816 - 2014/07/22(Tue) 22:31:24
(No Subject) / ドミノ
今度は別の問題を投稿させていただきます。
この問題の場合の計算方法をが分かりません。
2の計算方法はだいたいは分かりましたが解答が導けなく、特に1がどうしても解けなくて2問に悩まされている状態です。
解説が分かる方が居ましたら教えてください。

No.27811 - 2014/07/22(Tue) 18:04:26

Re: / yuhka
(1)は積の係数を足します。
(左の括弧の項,右の括弧の項)です↓
積にx^5が付くのは(x^5,-6)(-3x^4,7x)(4x^3,2x^2)
それぞれの係数は(-6)(-21)(8)で、この和がx^5の係数になります。
積にx^3が付くのは(4x^3,-6)(-2x^2,2x)(5,x^3)、
係数は(-24)(-4)(5)となります。

(2)も組み合わせを探し、積の係数を一つ一つ足します。
y^2z^2→(y,-y,z,-z)(y,z,-y,-z)(y,z,z,y)(z,y,-y,-z)(z,y,z,y)(z,z,-y,y)
x^2yz→(x,-x,-y,-z)(x,-x,z,y)(x,y,x,-z)(x,z,x,y)
(x,y,z,x)(x,z,-y,x)(y,-x,x,-z)(y,-x,z,x)(y,z,x,x)
(z,-x,x,y)(z,-x,-y,x)(z,y,x,x)
計算ミスや抜けているものがあるかもしれませんが・・・
項が多く+-が混ざっているので気をつけてください☆ミ

No.27812 - 2014/07/22(Tue) 19:02:48

Re: / IT
(2)の別解
(y^2)(z^2) → (y+z)(y+z)(-y+z)(y-z) を調べれば良い
=-(y^2-z^2)(y^2-z^2) → 2(y^2)(z^2)

(x^2)yz→ 与式=-{x^2-(y+z)^2}{x^2-(y-z)^2}
=-{x^2-y^2-2yz-z^2}{x^2-y^2+2yz-z^2} ※y^2、z^2は省略可
→0(x^2)yz

No.27813 - 2014/07/22(Tue) 19:37:53
高3です。 / まる
立体形ABCD-EFGHがあり、↑AC=a、↑AF=↑b、↑AH=↑cとする。このとき、↑BE,↑DFを↑a,↑b,↑cで表すと、↑BE=ア□、↑DF=イ□である。

まったくわかりません、教えてください

No.27808 - 2014/07/22(Tue) 14:30:08

Re: 高3です。 / ヨッシー
まず、最も簡単な ABADAE で表すことを考えます。
 BEAEAB
 DFAFAD
※第2式では、AFが見えていますので、これはそのままにしておきます。
一方、
 ABAD
 ABAE
 ADAE
であるので、
 =2(ABADAE)
 ABADAE=(1/2)()
より、
 AB=(1/2)()−
 =(1/2)()
同様に
 AD=(1/2)()
 AE=(1/2)(−)
これらより、
 BE
 DF=(1/2)(−+3)
となります。

No.27809 - 2014/07/22(Tue) 17:18:04

Re: 高3です。 / まる
そうやるんですね!ありがとうございます(^^)/
No.27817 - 2014/07/22(Tue) 22:57:47
(No Subject) / ドミノ
初歩的な質問と思いますが、下の問題で(a+b+c)^2や(x+y+2z)^3と言うように展開したのですがどうしても解けなくて解答が出てこないままです。
解説が書いてなかったので計算方法が分かる方が居ましたら教えていただければ幸いです。

No.27806 - 2014/07/22(Tue) 12:13:08

Re: / ヨッシー
展開して整理する問題でしょうか?

(8) は A^2−B^2=(A+B)(A-B) を使えば、簡単になります。

(9) は、
 (x+y+2z)^3=x^3+y^3+8z^3+3x^2y+3xy^2+6y^2z+12yz^2+12z^2x+6zx^2+12xyz
のように展開していって、足していけば出来るでしょう。

もちろん、(8) も、(9) のように、展開していっても出来ます。

No.27810 - 2014/07/22(Tue) 17:33:42
(No Subject) / ヒキニート
複素数平面です。
No.27801 - 2014/07/22(Tue) 01:40:14

Re: / IT
(1)の略解だけ もっといい方法があるかも(図を描いて考えるとαとβのなす角が分かると思います)

|α+β|^2=1よりαβ~+α~β=-1
よって αβ~=ω(ωは1以外の1の3乗根)
これとα+β=-αβからβが求まります。

※α~はαの共役複素数です。
行間は自力で考えてください。

No.27803 - 2014/07/22(Tue) 03:47:05

Re: / IT
(2)は解なしのような気がしますが、(見間違えかも)
No.27804 - 2014/07/22(Tue) 04:02:11

Re: / らすかる
(2)は私も解なしに思えます。
αβ=-αβの両辺にαβを足して2αβ=0なので
α=0またはβ=0となり、|α|=0または|β|=0なので
|α|=|β|=1になることはない。

No.27805 - 2014/07/22(Tue) 11:58:32

Re: / ヒキニート
これは先生のミスだそうで、解なしです。
No.27814 - 2014/07/22(Tue) 20:21:50
(No Subject) / ヒキニート
至急お願いします。図形問題です。
No.27800 - 2014/07/22(Tue) 01:39:51
(No Subject) / ヒキニート
至急お願いします。
No.27799 - 2014/07/22(Tue) 01:39:15

Re: / みずき
連続する6つの自然数に7の倍数が含まれる場合は、
条件を満たさないので、7の倍数は含まれてはいけません。

よって、mod 7で見て、n≡1 でなくてはいけないので、
(6つの連続する自然数の積)≡1*2*3*4*5*6≡1*2*3*(-3)*(-2)*(-1)≡6

ところが、
1^2≡1, 2^2≡4, 3^2≡2,
4^2≡2, 5^2≡4, 6^2≡1 なので、
条件を満たすような6つの連続する自然数は存在しません。

No.27802 - 2014/07/22(Tue) 02:17:54
(No Subject) / あ
あ、い

を証明できますか?

No.27796 - 2014/07/21(Mon) 21:45:53

Re: / IT
(ア)

Aとして各成分a,b,c,dのうち1つだけ1で他は0である行列をとればいいと思います。 4つありますので計算してみてください。

No.27798 - 2014/07/21(Mon) 23:09:12
(No Subject) / あ
逆関数ってなぜxyをいれかえないといけないの?
x=g(y)にした時点でgが逆関数のことでしょ?

No.27795 - 2014/07/21(Mon) 21:12:27

Re: / らすかる
独立変数をx、従属変数をyと書くのが一般的ですから
y=g(x) と書いてあれば特に何も断ることなく
「xが独立変数、yが従属変数でgがx→yの関数」という意味になりますが、
x=g(y) とだけ書いてあると、
「xが独立変数、yが従属変数で陰関数の形」と解釈されると思います。
従って、x=g(y)を答えにしたいのであれば
「yが独立変数、xが従属変数で、gはy=f(x)の逆関数を示す」
などと断り書きを入れておけば論理的には正解のはずですが、
一般的な書き方でないと正解でも×にされてしまうおそれがありますので
やめた方が良いと思います。

No.27807 - 2014/07/22(Tue) 13:47:56
(No Subject) / kizumi
124 x^2+156 x y+100 x+41 y^2+50 y+25=0

の 整数解を 求めて下さい。

No.27793 - 2014/07/21(Mon) 20:44:57
ベクトル / うぃーあー
平面上に一辺の長さが4の正三角形ABCがある。s≧0,t≧0,s+t≦1を満たす実数s,tに対し、次の(1)(2)を満たす点Pの存在する領域をそれぞれ図示せよ。
(1)↑AP=s↑AB+2t↑AC
(2) |↑AP-s↑AB-2t↑AC |≦1



これってどうやって進めていけば解けるんですか??

No.27791 - 2014/07/21(Mon) 17:55:19

Re: ベクトル / X
(1)
↑AP=s↑AB+t(2↑AC)
と変形できるので求める領域は
辺ACを2:1に外分する点をDとしたときの
△ABDの周及び内部
となります。

(2)
これは(1)の結果の領域を中心に持つ半径1の円の
周及び内部の集合となります。
従って、半径1の円を(1)の△ABD上に中心を持つように
移動させてできる外周の線を境界とする図形の周及び
内部が求める領域となります。

No.27797 - 2014/07/21(Mon) 22:14:54
(No Subject) / ヒキニート
Oを中心とする半径1の円周上に3点A、B、Cがあり、↑OA=α↑OB+β↑OC(α、βは実数)が成り立っている。

(1)Aを通り直線BCに垂直な直線とBCの交点をDとする。ベクトル↑ODをα、β、↑OB、↑OCを用いて表せ。

(2)線分AB、BC、CAの中点をL、M、Nとする。(1)の点Dと、L、M、Nの4点はある点Kを中心とする一つの円周上にあることを示し、↑OKをα、β、↑OB、↑OCを用いて表せ。また、その円の半径を求めよ。

No.27788 - 2014/07/21(Mon) 15:25:31

Re: / X
(1)
条件から点Dは直線BC上にあるので
↑OD=t↑OB+(1-t)↑OC (A)
(tは実数)
と置く事ができます。
一方、↑AD⊥↑BCですので
↑AD・↑BC=0
これより
(↑OD-↑OA)・(↑OC-↑OB)=0 (B)
(B)に(A)などを代入すると
{(t-α)↑OB+(1-t-β)↑OC}・(↑OC-↑OB)=0 (B)'
ここで点B,Cは点Oを中心とする半径1の円の上の点ですので
|↑OB|=|↑OC|=1 (C)
(B)'(C)により
(t-α)+(α-β-2t+1)↑OB・↑OC-(1-t-β)=0
(1-↑OB・↑OC){2t+(β-α-1)}=0
ここでB,Cは異なる点ですので
↑OB・↑OC≠1
∴t=(α-β+1)/2
よって(A)により
↑OD={(α-β+1)/2}↑OB+{(β-α+1)/2}↑OC

(2)
D,L,M,Nが同一円周上に存在
⇔△LMNの外接円の上にDが存在
そこでまず△LMNの外接円のベクトル方程式を
求め、得られた結果に(1)の結果を使います。

条件から
↑OB//↑OCでなく、かつ↑OB≠↑Oかつ↑OC≠↑O
ですので△LMNの外接円の中心のOを基準とした
位置ベクトルは
x↑OB+y↑OC
(x,yは実数)
と置く事ができます。よって△LMNの外接円上の点を
Q、半径をrとすると
|↑OQ-(x↑OB+y↑OC)|=r (D)
ここで
↑OL=(↑OA+↑OB)/2={(1+α)↑OB+β↑OC}/2 (E)
↑OM=(↑OB+↑OC)/2 (F)
↑ON=(↑OC+↑OA)/2={α↑OB+(1+β)↑OC}/2 (G)
(D)(E)(F)(G)により
|{(1+α)↑OB+β↑OC}/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (E)'
|(↑OB+↑OC)/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (F)'
|{α↑OB+(1+β)↑OC}/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (G)'
(E)'(F)'(G)'をx,y,zについての連立方程式と見て
解きます。
(両辺を二乗して左辺を展開し(C)を代入しましょう。)
得られた結果を(D)に代入し、更に↑OQに
(1)の結果を代入しても(D)が成立する
ことを示します。

(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

No.27789 - 2014/07/21(Mon) 17:21:31
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