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★ 極限について / あゆみ
lim (x→0) a-1/xのような式が極限値を持つ場合
分母が0ならば分子も0でなくてはならないとありますが
逆に分子が0の場合、分母も0でなくてはならないというのも言えるのでしょうか？

例えばlim(x→0) x/a-1のような式のとき
No.81909 - 2022/04/26(Tue) 22:40:24
☆ Re: 極限について / らすかる
言えません。
「極限値が0でないある値」ならば分母も0でなければ
なりませんが、分母が0でなければ極限値が0になるだけで
必ず極限値は持ちます。
No.81919 - 2022/04/27(Wed) 12:31:41
☆ Re: 極限について / あゆみ
すみません。説明不足でした。

例えば
lim(x→0) x/(a-1)=2となるようaを定めよという問題があった場合
分子のxがlim(x→0)で0となるのでこの極限が有限確定値をとるには
2a-2=0でなければならないとして
a=1とする展開は成り立つのでしょうか？

つまり分母が0だから分子も0でなくてはならないとは逆で
この例のように分子が0なので分母も0ではならないとも言えるのでしょうか？

変な質問ですみません。
何かアドバイスを頂けましたら幸いです。
No.81923 - 2022/04/27(Wed) 21:25:38
☆ Re: 極限について / らすかる
その例に関していえば、分母が定数なので0にするわけにはいきません。
分母がf(x)であればlim[x→0]f(x)=0でなければならない、とは言えます。
No.81936 - 2022/04/27(Wed) 23:39:25
★ 数I です / KK
(3)と(4)がわかりません。答はありません。どうぞよろしくお願いいたします。
No.81908 - 2022/04/26(Tue) 21:56:53
☆ Re: 数I です / ヨッシー
(3)
y＝g(x) のグラフは下に凸で、頂点のｘ座標はａ。
(i)
0≦x≦2 の範囲での最大値の現れ方は以下の２通りに場合分けできます。

a＜1 のとき（図の赤）
　Ｍ＝g(2)＝2a^2−11a＋12　　・・・(I)
a≧1 のとき（図の青）
　Ｍ＝g(0)＝2a^2−9a＋10　　　・・・(II)
(ii)
(I) のとき
　2a^2−11a＋12＜3
　2a^2−11a＋9＜0
これを解いて
　(a−1)(2a−9)＜0
　1＜a＜9/2
前提条件の a＜1 と合わせて、適当な a の範囲はなし。
(II) のとき
　2a^2−9a＋10＜3
　2a^2−9a＋7＜0
これを解いて
　(x−1)(2a−7)＜0
　1＜a＜7/2　・・・答え
(4)
Ａの座標は(1, 3),
Ｂの座標は(0, 2a^2−9a＋10)
Ｃの座標は
　1＜a＜2 のとき
　(a, (3/2)a^2−9a＋10)
　2≦a＜7/2 のとき
　(2, 2a^2−11a＋12)
条件を満たすには、ｙ座標において、ＢがＡＣの中央に来ればいいので、
1＜a＜2 のとき
　3＋(3/2)a^2−9a＋10＝2(2a^2−9a＋10)
2≦a＜7/2 のとき
　3＋2a^2−11a＋12＝2(2a^2−9a＋10)
これらを解くと、
　a＝(9−√11)/5
　a＝5/2
No.81926 - 2022/04/27(Wed) 21:50:08
★ (No Subject) / あゆみ
すみません。教えて下さい。
lim(x→π/2)sin2xは
lim(x→π/2)sin2x=2×1=2ですか？
それともlim(x→π/2)sin2×π/2=sinπ=0ですか？
No.81904 - 2022/04/26(Tue) 12:48:50
☆ Re: / ヨッシー
もちろん後者ですが、
前者のアイデアは
　sin2x＝2sinx
と解釈したということでしょうか？
No.81905 - 2022/04/26(Tue) 13:48:50
☆ Re: / あゆみ
ありがとうございます。
2sinx=sin2xと勘違いしてました、、、
No.81907 - 2022/04/26(Tue) 20:48:04
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題の考え方、解き方が分かりません。どのように考えて解くべきですか？
No.81897 - 2022/04/25(Mon) 23:12:23
☆ Re: / ＿
論理的に考えて解きましょう（身も蓋もない）

反例を満たす場合があるか考えてみるとよさそうです。

1.2カ国語以上履修している生徒がいないとするとこういうアンケート結果になるためには41人以上にアンケート取ってないとおかしい。ゆえに妥当。
（そもそも、英語とフランス語だけで31人になる）

正解の選択肢が1個しかないと決まっているのならさっさと次の問題に進めばいいんですが、そうじゃないなら一応他のも検討してみます。

2.反例:英語のみ3人、英語とフランス語14人、ドイツ語のみ10人、どれも履修していない3人
3.反例:英語のみ6人、英語とフランス語11人、フランス語のみ3人、ドイツ語のみ10人
4.反例:上記2に挙げたもの
5.反例:英語のみ16人、英語とフランス語1人、フランス語のみ13人（ドイツ語についてはどうでもいい）
No.81899 - 2022/04/26(Tue) 00:45:39
☆ Re: / 数学苦手
遅くなりすみません。ポイント集を見て、見よう見まねで考えて解いてみました…
どうでしょうか…
No.81900 - 2022/04/26(Tue) 00:47:16
☆ Re: / 数学苦手
解説ありがとうございます。ちょっと寝る必要もあるので、明日しっかり読みたいと思います。
No.81901 - 2022/04/26(Tue) 00:49:25
★ 無限等比級数 / ????
a1が12/5になる理由を教えてください
No.81896 - 2022/04/25(Mon) 22:45:57
☆ Re: 無限等比級数 / m
図の斜線の三角形と △PQR が相似だから
a1 : (4-a1) = 6 : 4
これを解けば
a1 = 12/5
No.81898 - 2022/04/26(Tue) 00:03:08
☆ Re: 無限等比級数 / ?????
なるほど助かりました
No.81911 - 2022/04/26(Tue) 23:58:52
★ 中学幾何 / ホントモ
直角から伸びる辺の二等分線と半分の線分が一致する理由が分かりません。わかる方回答よろしくお願いします。
No.81894 - 2022/04/25(Mon) 22:06:30
☆ Re: 中学幾何 / ホントモ
問題は33です
No.81895 - 2022/04/25(Mon) 22:07:16
☆ Re: 中学幾何 / ＿
∠CEB=90°なのでEはBCを直径としDを中心とする円上の点です。
よってBD=DE(=円の半径)
No.81902 - 2022/04/26(Tue) 06:31:22
★ 質問 / ヒデ
n≧2kのとき、nCk＞nCk-1を証明せよ、と言う二項係数に関する問題なのですが、
普通に左辺−右辺を分数形で表わして正になることを示すのは思いつくのですが、
他に何か美しい証明法ってありますか？
No.81893 - 2022/04/25(Mon) 21:44:24
☆ Re: 質問 / IT
同じことですが、左-右＞0を示すより
左/右＞1を示した方が早いですね。
No.81906 - 2022/04/26(Tue) 19:03:59
★ 数学文章問題 / 幕の内弁当
ある中学校の生徒が郊外学習で博物館と美術館に分かれて
見学に行った。この校外学習の費用を次の?@〜?Cにまとめた。博物館に行った生徒の人数の人数a人、美術館に行った生徒の
人数をb人とする

博物館について
?@入場料は1人500円であった
?A移動のため、貸し切りバスを10000円で借りた

美術館について
?B入場料は1人目〜２０人目までは1人800円で、２１人目から
は400円であった
?C徒歩で移動したので、交通費はかからなかった

次の問い答えなさい
(１)博物館に行った生徒全員分の入館料と貸し切りバスの
合計金額をaで使った式で表せ

(２)美術館に行った生徒の人数は２１人以上であった。また
博物館に行った生徒全員分の入館料と貸切りバスの合計金額
は美術館に行った生徒全員分の入館料の合計金額と等しくなった。

?@ｂをaの式で表せ
?A博物館に行った生徒の人数は１８人以下であった。
博物管に行った生徒の数と美術館に行った生徒の人数をそれぞれ求めよ。

このそれぞれ解答は
(１)(500a＋10000)
(２)?@b＝5/4a＋5
?A博物館16人、美術館25人
になっており、どのような式をたててこのような
解答になるのか教えて下さい

自分は中学やら高校を卒業して20数年経過しており
一般人です。これに似たぶん連立方程式の文昔が好きでしたが今は、はっきり言って数学が嫌いな科目になりそうです。
少しでも克服を打開するために教えてください。
No.81889 - 2022/04/25(Mon) 12:10:42
☆ Re: 数学文章問題 / ヨッシー
(1) 博物館について
１人500円の入場料がａ人分で、500a
これにバス代を加えて、　500a＋10000

(2) 美術館について
21人以上で行ったので、入場料は
最初の20人が 800円、20人を超えた分の b−20人が 400円なので、
入場料の合計は　20×800＋(b−20)×400＝400b＋8000

これら費用が等しいので、
　500a＋10000＝400b＋8000
移項して
　400b＝500a＋2000
両辺400で割って、
　b＝(5/4)a＋5

となります。
No.81891 - 2022/04/25(Mon) 12:30:19
☆ Re: 数学文章問題 / ヨッシー
人数を求める方法ですが、
　b＝(5/4)a＋5
において、a も b も自然数なので、a は４の倍数です。
a は18以下なので、4, 8, 12, 16 のいずれかです。
それぞれ、b＝(5/4)a＋5 に代入すると、b は順に
　10, 15, 20, 25
となり、21人以上となるのは　a＝16, b＝25 のときです。
No.81892 - 2022/04/25(Mon) 16:36:08
★ (No Subject) / 高一
与えられたひとつの自然数nに対して、y^2<x<n^2を満たす整数の組（x,y）は何組あるか
という問題が分かりません。答えがないので教えてください。
ちなみに私は次のように考えましたが行き詰まってしまいました。

xはy^2+1、y^2+2 .........n^2-1
またyは1、2、.........（n-1）^2

??(y=1、n-1）(n^2-y^2-1）

このように考えたのですが、多分間違っているので教えていただきたいです。
No.81884 - 2022/04/24(Sun) 21:36:42
☆ Re: / ast
数え方はそれ (y の値を一つ止めるごとに x の値の取りうる数を調べる) でよいのではないでしょうか.
ただし, y は整数だから 0 も負の値も取れるので, y の動く範囲は -(n-1) から n-1 までですね.
No.81885 - 2022/04/24(Sun) 22:03:21
☆ Re: / 高1
yの条件を忘れてました…！ありがとうございます。シグマの計算はn^2-+1を定数とみなして計算すればいいのですかね？
No.81887 - 2022/04/25(Mon) 07:22:24
☆ Re: / ast
> n^2-+1を定数とみなして計算すればいい
そうです.

あとは Σ_[k=1,…,m] 1 = m や Σ_[k=1,…,m] k^2 = m(m+1)(2m+1)/6 の形の和の公式はたぶん既知と思いますので, それらにうまく帰着させてください.
# 公式は和をとる変数 (今書いたのだと k) が 1 からなので, その分の辻褄をあわせるということです.
# こういう感じ.
## あるいはこうできることがわかるなら計算的にはその方がいいかな.
## (もし積分が既習であるなら, これを偶函数の積分の類似と思えるとなおよい.)

計算結果があっているかどうかは, n=1,2,3 くらいで実際に y^2<x<n^2を満たす (x,y) をすべて書き出して, 数が一致しているか確認してみるのがよいと思います.
No.81888 - 2022/04/25(Mon) 11:54:42
☆ Re: / 高一
わざわざ詳しい計算結果を示したリンクまで…… ほんとうにありがとうございます。
お陰様で理解することが出来ました。
No.81903 - 2022/04/26(Tue) 11:26:12
★ 証明問題です / yy
この証明問題でつまずいてます。長くなってしまうかもしれませんが解ける方、よろしくお願い致します。
No.81880 - 2022/04/24(Sun) 03:23:15
☆ Re: 証明問題です / らすかる
よくわからないんですが、例えばf(0)はいくつですか？
No.81882 - 2022/04/24(Sun) 18:16:11
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題の条件オの対偶は矢印がないですが、数学好き否定(上線)かつ英語好き否定(上線)でよろしいでしょうか？
No.81879 - 2022/04/23(Sat) 23:02:04
☆ Re: / 数学苦手
→がないので、「または」を矢印と同じように考えて、そのままにして、数学好き否定または英語好き否定もいるということでしょうか？
No.81881 - 2022/04/24(Sun) 10:45:40
★ 組合せについて / あゆみ
添付問題の解答で2つの組に区別がないので2!で割るとありますがどういう意味なのでしょうか？

これは2人の組と2人の組が２つあるから2!で割っているのですか？
例えば与題が4人と3人と1人ならば割る必要性がないという事ですか？
No.81876 - 2022/04/23(Sat) 16:44:28
☆ Re: 組合せについて / あゆみ
すみません。添付されてませんでした、、、
No.81877 - 2022/04/23(Sat) 16:46:18
☆ Re: 組合せについて / IT
> 例えば与題が4人と3人と1人ならば割る必要性がないという事ですか？
そうですね。

分からないときは、具体的に考えてみるのも有効だと思います。

８人をABCDEFGHとすると　２人の２つの組には区別がないので
例えば{ABCD}{EF}{GH} と　{ABCD}{GH}{EF} は、同じ分け方です。

4人と3人と1人なら　そのような心配は要りません。
{ABCD}{EFG}{H}

なお、クラスに名前があって１組４人、２組２人、３組２人に分ける。ということなら
1組{ABCD}、２組{EF}、３組{GH} と　1組{ABCD}、２組{GH}、３組{EF}　とは別の分け方になります。
No.81878 - 2022/04/23(Sat) 17:30:24
☆ Re: 組合せについて / あゆみ
なお、クラスに名前があって１組４人、２組２人、３組２人に分ける。ということなら
1組{ABCD}、２組{EF}、３組{GH} と　1組{ABCD}、２組{GH}、３組{EF}　とは別の分け方になります。


この場合だと2!で割らないで
420個となるんですか？
No.81883 - 2022/04/24(Sun) 21:28:51
☆ Re: 組合せについて / IT
> この場合だと2!で割らないで
> 420個となるんですか？

そうですね。
No.81886 - 2022/04/24(Sun) 22:42:38
★ (No Subject) / マルモ
らすかるさん、ITさんありがとうございます。
子供が納得していました。
子供からの質問なんですが、間の整数の個数をきかれた時は１引くと覚えておけばいいか聞いてほしいと言われました。

ITさんがかいてくれていた問題がちょうど宿題にありました。この問題もイマイチみたいで…

５０以上100以下の整数の個数

５０以上なのになぜ100から４９を引くのかわからないそうです。四年生にわかるように教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします
No.81870 - 2022/04/22(Fri) 22:33:59
☆ Re: / IT
納得されたとのことですが、50以上100以下の整数の個数がわからないということは、十分理解されてないのかなと思います。

理由を理解せずに、計算方法を覚えておく方式は、お勧めしません。そのうち記憶がパンクします。（なんとなく覚えておいて、その場で確認するなら、まだましですが）

前にも書きましたが、数字をいくつか並べて書いて確認しましたか？計算式だけで理解・記憶しようとしない方が良いと思います。

「1以上100以下の整数の個数は、100個である。」は、大丈夫ですか？
100　-　１＝99個ではありませんよ。

50以上100以下の整数の個数は、"50"は入りますから
1,2,...49、| 50、51、．．．．99,100 |
100-49＝51個です。

1,2,...49、 50、|51、．．．．99,100 |　と見比べてください。

（算数のこういったことだけ勉強するわけではないので、どこまでやるかも、ありますし、しばらく後で考えると　すんなり分かることもありますので、・・・・）
No.81875 - 2022/04/23(Sat) 02:45:41
★ (No Subject) / もじさて
次の因数分解のやり方を教えてください。
中二です。
(ac+bd)^2-(ad+bc)^2

答え：（a+b）（c+d）（a-b）（c-d）

途中しきの解説お願いします。
No.81869 - 2022/04/22(Fri) 22:24:48
☆ Re: / X
以下の通りです。

(与式)={(ac+bd)+(ad+bc)}{(ac+bd)-(ad+bc)}
={a(c+d)+b(c+d)}{a(c-d)-b(c-d)}
=(a+b)(c+d)(a-b)(c-d)
No.81871 - 2022/04/22(Fri) 22:53:32
☆ Re: / もじさて
丁寧にありがとうございました！
No.81874 - 2022/04/23(Sat) 00:09:47
★ 曲線と関数に関する証明 / ここ
問題1の（2）のabcを教えてください。全くわからないため、詳しく教えてもらえると助かります。よろしくお願いします。
No.81868 - 2022/04/22(Fri) 20:08:06
☆ Re: 曲線と関数に関する証明 / X
(a)
↑x(t)の第k成分(k=1,…,n)をx[k](t)とすると
積の微分により
(d/dt){F(t)x[k](t)}=F'(t)x[k](t)+F(t)x[k]'(t)
∴(d/dt){F(t)↑x(t)}=F'(t)↑x(t)+F(t)↑x'(t)

(b)
ノルムの定義により
(d/dt)||↑x(t)||=(d/dt)√<↑x(t),↑x(t)>
={<↑x'(t),↑x(t)>+<↑x(t),↑x'(t)>}/2√<↑x(t),↑x(t)>
=<↑x(t),↑x'(t)>/√<↑x(t),↑x(t)>
=<↑x(t),↑x'(t)>/||↑x(t)||

(c)
(b)の結果と合成関数の微分を使います。
(これはご自分でどうぞ。)
No.81872 - 2022/04/22(Fri) 23:03:40
★ (No Subject) / ゆうき
この計算方法を教えてください。
No.81866 - 2022/04/22(Fri) 10:39:14
☆ Re: / ヨッシー
例えば、第１項の分子（第２項の分母も同じ）は
　１＋ｉ１０5×１０−6×１０＝１＋ｉ
ということですか？
No.81867 - 2022/04/22(Fri) 11:43:44
★ 中学受験四年生 / マルモ
整数が何個並んでいますか。

50と100の間の整数

答えは49になります。

答えが５０になるならわかるのですがなぜ49になるのか分からず子供が困っています。
わかりやすく教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。
No.81863 - 2022/04/21(Thu) 22:20:31
☆ Re: 中学受験四年生 / らすかる
例えば5と10の間は6,7,8,9の4個、
10と20の間は11,12,13,14,15,16,17,18,19の9個
10-5=5
20-10=10
なので、間の個数は引いた値より1少ない値になっていますね。
よって50と100の間は100-50-1=49個です。

少し違う考え方
50と60の間は51,52,53,54,55,56,57,58,59の9個ですね。
60を70に変えれば60,61,62,63,64,65,66,67,68,69の10個増えますから19個になります。
同様に80に変えれば10個増えて29個、90に変えれば10個増えて39個、
100に変えれば10個増えて49個です。

# 私の説明で理解してもらえるかどうかわかりませんが、
# もしわかりにくい（わからない）場合はその旨書いて頂ければ
# 他の方が回答して下さると思います。
No.81864 - 2022/04/22(Fri) 00:29:39
☆ Re: 中学受験四年生 / IT
たしかに、計算だけで答えを出そうとすると間違える子供も多いでしょうね。

私は、自信がないときは、ごく少ない個数の場合で図示して確認しています。　
らすかるさんの説明と同じですが、もっと少ない個数の場合で考えるとどうでしょう。
１と１、１と２、１と３
１
１＿２
１＿２＿３

あるいは、類題として、
1以上100以下の整数の個数は、100個
50以上100以下の整数の個数は
1,2,...49、| 50、51、．．．．99,100 |
100-49＝51

50と100の間の整数の個数は、50と100を除くので　
| 50|、51、．．．．99,|100 |
　51-２＝49
No.81865 - 2022/04/22(Fri) 02:54:41
★ 微積分（大学） / 真斗
2変数関数f(x,y)=x+2y^2、g(x,y)=ycos(xy)について、f(x,y),g(x,y)が連続関数であることを証明してください。できれば丁寧に式を書いていただけると有り難いです。
No.81862 - 2022/04/20(Wed) 23:59:05
★ 4つ折りの長方形からひし形 / ふぶ
小学5年です。
長方形を4つ折りにして、できるだけ大きなひし形を1回で切る方法が分かりません。
写真は問題です。
実際にその長さの長方形を用意しましたが、小さなひし形など希望通りのひし形になりませんでした。
No.81859 - 2022/04/20(Wed) 19:21:40
☆ Re: 4つ折りの長方形からひし形 / IT
その長方形から　できるだけ大きなひし形を切り取るのではなくて

縦・横の中央線で４つ折りにしたあと、４分の１の面積になった長方形の対角線（元の長方形の中心を通らない方）で切り取る。

ということでは？

小さなとは、どんなひし形になったのですか？
No.81860 - 2022/04/20(Wed) 19:54:56
☆ Re: 4つ折りの長方形からひし形 / らすかる
長方形ABCDにおいて
(1)対角線ACで半分に折る
(2)AとCが重なるように半分に折る
(3)紙が4枚重なっている部分と2枚重なっている部分があるので、
その境目を切る。
これで、できるだけ大きなひし形が1回切っただけで作れます。
面積は125cm^2です。

# でもこれは普通「四つ折り」とはいいませんので、
# ITさんの説明の方が正しいかも知れません。
## 「切りやすさ」という面では私の書いた方法の方が切りやすいですが。
No.81861 - 2022/04/20(Wed) 21:42:50
★ (No Subject) / ぺんぺん
この問題のtが具体的に何を示しているのか分かりません。ご教授願います。
No.81849 - 2022/04/19(Tue) 15:57:47
☆ Re: / ヨッシー
点［　ａ　］を原点にとり・・・
以降の部分には、解答群はないのですか？
No.81850 - 2022/04/19(Tue) 17:50:21
☆ Re: / ぺんぺん
お願いします。
No.81852 - 2022/04/19(Tue) 20:53:24
☆ Re: / ヨッシー
まず、f(t)＞0 ということは、正方形とＫが少しでも重なっている状態です。
それ以外の場合はf(t)＝0 となります。

f(t)＞0 となるのは、Ｇが図の位置の範囲にあるときです。
Ｇのｘ座標をｔ−１ としてｔを　-5＜ｔ＜5 の範囲で動かすと
Ｇのｘ座標は　-6 と 4 の間を動きます。
同様に、Ｇのｘ座標をｔ＋１ とすると、-4 と 6 の間を動きます。
それぞれの場合に、原点はどこかを調べると、ちょうどＡ，Ｃ，Ｅ
の位置に来るのは、Ｇのｘ座標がｔ−１のときで、原点はＣとなります。

ｔはこの場合−５＜ｔ＜５の範囲を動き、これを使って
Ｇのｘ座標を表すための、ただの変数に過ぎません。
No.81855 - 2022/04/19(Tue) 22:55:02
☆ Re: / ぺんぺん
ありがとうございます♪
No.81858 - 2022/04/20(Wed) 12:12:46
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