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★ 整数 / ９ｊ
「分数が有限小数になるのは分母＝ｋ＊2^x5^yのとき（ｋは０でない整数、ｘ、ｙは非負整数」これが感覚的にも分かる証明や説明とかってありますでしょうか？
No.27784 - 2014/07/21(Mon) 11:13:00
☆ Re: 整数 / らすかる
k=3,x=0,y=0のとき有限小数になりませんね。

# そもそも、「k*2^x5^y(kは0でない整数、x,yは非負整数)」というのは
# 「0以外の任意の整数」と同じですから、
# 「分母＝k*2^x5^y(kは0でない整数、x,yは非負整数)のとき有限小数」
# というのは「任意の有理数は有限小数」と言っているのと同じです。
No.27785 - 2014/07/21(Mon) 11:27:44
☆ Re: 整数 / ９ｊ
そのとおりでした。

「分数の分母が2^x*5^yの時、その分数は有限小数になる。ただしx,yは非負整数かつ(x,y)≠(0,0)」の説明または感覚的に分かる証明はありますでしょうか？
No.27792 - 2014/07/21(Mon) 20:01:03
☆ Re: 整数 / らすかる
分母が2^x*5^yならば
x≧yの場合 1/(2^x*5^y)=5^(x-y)/10^x
x＜yの場合 1/(2^x*5^y)=2^(y-x)/10^y
なので1/(2^x*5^y)は有限小数で、
分子が1以外の整数の場合はこれの整数倍なので有限小数になります。
No.27794 - 2014/07/21(Mon) 21:09:48
★ 高3です / さき
5^2+6^2+7^2+・・・+20^2
の和を求めよ。

おしえてください(/_;)
No.27779 - 2014/07/20(Sun) 22:24:06
☆ Re: 高3です / らすかる
2乗数の和の公式
Σ[k=1〜n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6
を使って
{Σ[k=1〜20]k^2}-{Σ[k=1〜4]k^2}
を求めましょう。
No.27781 - 2014/07/20(Sun) 22:25:55
★ (No Subject) / tt
積分の結果です。漸化式も立ちそうにないし詰んでます。
ご教授願います。
No.27777 - 2014/07/20(Sun) 21:51:29
☆ Re: / angel
多分、真面目に計算して漸化式なりを出そうとしてもできないと思います。少なくとも私には無理です。

ただ、問題を解く分にはそんなことをする必要はなくて。なんのために(1)があるかというと、それをヒントにせよということなので。大体は。

とは言っても、(1)自体は非常に感覚的な表現になっているので、それを以下に計算に活かせる形にするか、そこが考えどころです。
まあ、一番分かり易いのは、このグラフは直線y=xに対称な形なので、対称軸上にある点 ( 1/[n]√2, 1/[n]√2 ) に着目することですね。
※[n]√ は n乗根を表すものと考えてください

問題の面積をはっきりとした式や漸化式で表すことを考えるのではなく、如何に大きさを見積もるか ( どんなに大きくても/小さくても○○という上界/下界を探す ) という方向で考えるのが上手くいくコツです。
※要はハサミウチ

形が ( 感覚的には ) 正方形に近づくことは分かっているのだから、それを活かすように見積もるとすると…?
No.27787 - 2014/07/21(Mon) 12:56:56
☆ Re: / tt
丁寧な解説ありがとうございます。
挟み撃ちやってみました。どうでしょうか。
No.27790 - 2014/07/21(Mon) 17:36:38
★ (No Subject) / tt
(1)なのですが、イメージでかくと図のようになりますが、不連続ってありえないですよね？まちがっているのでしょうか。
また(2)はsincosの媒介変数を使った積分に帰着させたのですが詰まってしまいました。後ほどの写真に載せるので、よろしくお願いします。
No.27776 - 2014/07/20(Sun) 21:49:26
☆ Re: / angel
> まちがっているのでしょうか。
はい。
恐らく、ttさんは∞を1個の数のように ( 例えば 0＜x＜1 において x^∞=0 などと ) とらえているのではないかと感じます。が、そうだとすると誤りです。

あくまで∞とは、何か ( この場合はn ) を限りなく大きくしていって、その結果どうなるかを見ることを表しますので、∞という数がある訳ではありません。
※結果的に∞を数として扱ったような結果が得られることがあるにしても

今回は、x^n+y^n=1 という、n が大きくなるごとにどんどん膨らみが大きくなる図形 ( n=2 の時が円 ) に関して、「ではどこまで膨らむか」を考えるのが「n→∞」を扱うことになります。
答えはもちろん図にある正方形 ( ただし白丸は不要 ) で良いのですが、そもそも「グラフが○○に近づく」なんて感覚的な話でしかないので、まあ、問題がちょっと悪い気はします。( ヒントとしては良いけれど )
No.27786 - 2014/07/21(Mon) 12:44:23
★ 高校3年です / りん
第2項が12、第5項が768である等比数列anの一般項を求めよ。
No.27773 - 2014/07/20(Sun) 21:26:12
☆ Re: 高校3年です / らすかる
a[n]=ar^(n-1)とすると
ar=12
ar^4=768
(第2式)÷(第1式)からr^3=64なのでr=4
第1式に代入して a=3
∴a[n]=3・4^(n-1)
No.27774 - 2014/07/20(Sun) 21:32:22
☆ Re: 高校3年です / IT
初項をa,公比をrとおく

ar=12,ar^4=768
r^3=64
r=4,4ω,4ω^2、ωは１の３乗根でω≠１
a=12/r=3,3ω^2,3ω
an=4×3^(n-1),4ω(3ω^2)^(n-1),4(ω^2)(3ω)^(n-1)
anが実数の場合は最初のだけ。
No.27775 - 2014/07/20(Sun) 21:38:49
☆ Re: 高校3年です / りん
ありがとうございます!!
No.27778 - 2014/07/20(Sun) 21:54:44
★ (No Subject) / ヒキニート
これもどなたかお願いします。
No.27772 - 2014/07/20(Sun) 21:26:10
☆ Re: / らすかる
右端は1かnのどちらか
その左は、右端の数を除いた最小数か最大数のどちらか
その左は、右の2数を除いた最小数か最大数のどちらか
その左は、右の3数を除いた最小数か最大数のどちらか
・・・
となるので、2^(n-1)通り
No.27780 - 2014/07/20(Sun) 22:24:16
★ (No Subject) / ヒキニート
確率です。
No.27771 - 2014/07/20(Sun) 21:25:29
☆ Re: / らすかる
2n秒後に初めて頂点Aに戻ってくる確率は
1・(2/3)・{(2/3)・(2/3)+(1/3)・1}^(n-2)・(2/3)・(1/3)=(4/27)(7/9)^(n-2)
頂点Gを一度も訪れずに2n秒後に初めて頂点Aに戻ってくる確率は
1・{(2/3)・(2/3)}^(n-1)・(1/3)=(1/3)(4/9)^(n-1)
なので
p[n]=(4/27)(7/9)^(n-2)-(1/3)(4/9)^(n-1)
No.27782 - 2014/07/20(Sun) 23:13:22
★ (No Subject) / tt
場合わけが多いのですが、、
No.27768 - 2014/07/20(Sun) 17:06:30
☆ Re: / IT
とりあえず地道にやられるのが早いかと。
No.27770 - 2014/07/20(Sun) 20:25:46
★ 「数学の問題」について」 / ｊｔ７７８７７
改めて再質問という形で書き込みします。
以前私は問題で「問題X^３+YX+Z＝０が
「X^4＝（X^２+AX+B）^２」の形に
変形されるための必要十分条件を求めよ。
次にこれを用いて「８X^３−３６X＋２７＝０」
を解きなさい。」を出しました。

そして「X^３+YX+Z＝0」について

「A^2+2B＝0」、、、、、、?@
「Y＝B」、、、、、、、、、?A
「Z＝B^2／２A」、、、、、?B
まではわかりました。
しかしどうしてもわからないのはこっからです。

「上の3式から（Y^3＋8Z^2＝0）を得る。」とあるのですが
どうしても上の3式からY^3＋8Z^2＝0にたどり着きません。

答えのところにはこう書いています。全文載せます。
「?@?A?Bの3式からこれらより（Y^3＋8Z^2＝0）を得られる。
逆にこの関係があれば、?@?A?Bの3つの等式をなりたたせる
AとBは存在するから変形は可能である」です。
仮に?AをBに代入してもどうしてもわかりませんでした。
自分の計算の勘違いなのかどうかはわかりませんが
どうしてもわあｋりません。教えてください。
よろしくお願いします。
No.27763 - 2014/07/20(Sun) 15:20:59
☆ Re: 「数学の問題」について」 / らすかる
Z=B^2/(2A) から A=B^2/(2Z)
これを A^2+2B=0 に代入して B^4/(4Z^2)+2B=0
両辺に4Z^2/Bを掛けて B^3+8Z^2=0
B=Yを代入して Y^3+8Z^2=0 となりますね。
No.27764 - 2014/07/20(Sun) 15:36:23
☆ Re: 「数学の問題」について」 / ｊｔ７７８７７
らすかる様へ

どうもお忙しいところありがとうございました。
本当に助かりました。
No.27767 - 2014/07/20(Sun) 15:56:15
★ (No Subject) / a
sinxのp乗 0<p<1ってあるのですか？検索しても出てこないのですが。
No.27762 - 2014/07/20(Sun) 15:02:46
☆ Re: / らすかる
(sinx)^p があるか、という質問ですか？
単に sinx と x^p を合成したものですから普通に考えられますが、
「どこかで実際にその式が使われているか」という意味ならばわかりません。
No.27765 - 2014/07/20(Sun) 15:38:47
★ (No Subject) / なは
下から4行目の角度αが0＜α<π/4になるか教えてください。おねがいします！
No.27759 - 2014/07/20(Sun) 13:05:27
☆ Re: / なは
すいません
学年いうの忘れてました。
大学受験生 です。
No.27760 - 2014/07/20(Sun) 13:16:06
☆ Re: / IT
0＜２＜４/√3ですから。
0＜tanα＝２/(４/√3)＝(√3)/2＜１
No.27761 - 2014/07/20(Sun) 14:05:39
☆ Re: / なは
すぐ答えてくださり感謝です！
ありがとうございました。
またよろしくお願いします。
No.27766 - 2014/07/20(Sun) 15:52:58
★ 進数 / ふぇるまー
?@　10進数0.864を5進法で表すと?
?A　3n/168が有限小数となる様な最小の自然数nは?
?B　120を7進法で表したときの各桁の数の並びを逆にした7進数をn進法で表すと242（n）となった。自然数n＝?

教えて下さい。
No.27757 - 2014/07/19(Sat) 22:51:43
☆ Re: 進数 / X
(1)
0.864・5=4.32 (A)
0.32・5=1.6 (B)
0.6・5=3 (C)
(A)(B)(C)の整数部の値を順に並べて
0.413|(5)

(2)
3n/168=n/56
で
56=7・2^3
∴有限小数となるためにはnによって少なくとも
7で約分できなくてはならないので、
求める最小の自然数は7

(3)
120÷7=17余り1
17÷7=2余り3
2÷7=0余り2
以上から
120≡231|(7)
よって各桁の並びを逆にした値は
132|(7)≡7^2+3・7+2=72
これが242|(n)と等しくなるので
2n^2+4n+2=72 (A)
これより
n^2+2n-35=0
(n+7)(n-5)=0
条件からnは5以上の自然数ですので
n=5
No.27758 - 2014/07/20(Sun) 01:03:09
☆ Re: 進数 / ふぇるまー
分かりました。ありがとうごさいます。
No.27769 - 2014/07/20(Sun) 17:19:04
★ (No Subject) / ｊｔ７７８７７
答えのところには「X^３+YX+Z＝０」
のYのところとZのところがどうしても一致しないので
投稿させていただきました。

答には「Y＝B」「Z＝2A／B＾2（Z＝２A分のBの2乗）」

で実際に展開すると「Y＝2AB」で「Z＝B^2」なので
どうしても一致しません。わかりません＞＜

No.27749 - 2014/07/19(Sat) 19:46:52
☆ Re: / IT
元のスレに返信で投稿してください。

それと、パスワードを設定すると、修正や削除ができますよ。
No.27751 - 2014/07/19(Sat) 19:50:23
☆ Re: / ｊｔ７７８７７
わざわざありがとうございます。
まだこの掲示板に全然慣れていないもので
失礼しました、、、、。
また何かあったら質問させてください。
本日はどうもありがとうございました。
No.27753 - 2014/07/19(Sat) 19:58:59
☆ Re: / IT
>答には「Y＝B」「Z＝2A／B＾2（Z＝２A分のBの2乗）」
分数は、(分子)／(分母)　と表します。
Z＝(B＾2)／(2A) です。
No.27755 - 2014/07/19(Sat) 20:22:57
★ (No Subject) / ｊｔ７７８７７
X^４＝X^４+2AX^3+(A^+2B)X^2+2ABX+B^2

2AX^3+(A^+2B)X^2+2ABX+B^2＝0
ここまでが限界でこっからがどうしてもわかりません。
おしえてください。よろしくお願いします。
No.27748 - 2014/07/19(Sat) 19:39:22
★ 「数学の問題」について / ｊｔ７７８７７
実はある数学の問題なのですが昨日一晩中考えたのですが
どうしてもわからなかったので誠に申し訳ありませんが
教えてもらえませんでしょうか？よろしくお願いします。

問題

X^３+YX+Z＝０が「X^4＝（X^２+AX+B）^２」の形に
変形されるための必要十分条件を求めよ。
次にこれを用いて「８X^３−３６X＋２７＝０」
を解きなさい。

※かなり難しい問題かもしれませんがどうか
どうかどうか教えてください。
よろしくお願い申し上げます。
No.27745 - 2014/07/19(Sat) 18:59:26
☆ Re: 「数学の問題」について / IT
やって見られたところまで書き込んでください。

(1) X^4＝（X^２+AX+B）^２の右辺を展開して整理するとどうなりますか？

(2) (1)の結果と、X^３+YX+Z＝０を見比べます。
No.27746 - 2014/07/19(Sat) 19:27:05
☆ Re: 「数学の問題」について / IT
>2AX^3+(A^+2B)X^2+2ABX+B^2＝0　…(1)
ここまでが限界でこっからがどうしてもわかりません
合ってますね。
(1)を2Aで割って、X^３+YX+Z＝０と係数比較します。
各項の係数について、成り立つ式を書き込んでください。
No.27750 - 2014/07/19(Sat) 19:48:51
☆ Re: 「数学の問題」について / ｊｔ７７８７７
X^３+YX+Z＝0について

「Y＝B」で「Z＝２A／B^２」ですね？
わかりました。やっと問題が解けました。助かりました。
どうもありがとうございました。
No.27752 - 2014/07/19(Sat) 19:56:53
☆ Re: 「数学の問題」について / IT
Z＝(B^２)／(２A) だと思います。（分子と分母が逆）
分子／分母　です。

それと、答案ではA≠0など明示する必要がありますね。
No.27754 - 2014/07/19(Sat) 20:02:09
★ (No Subject) / kizumi
10 x^3+9 x^2 y-61 x^2-19 x y^2-62 x y+107 x+6 y^3+55 y^2+83 y-350

の　整数解の　色々な　導出過程を　教えてください。
No.27744 - 2014/07/19(Sat) 15:48:13
★ 無限級数 / 青
高3です。初めての投稿です。
Σ 1/(2^n)・sin2nπ/3 (Σはn=1から無限)の収束発散を調べ、収束するものはその和を求めよ。という問題なのですが、

方針としてまずAn=1/(2^n)・sin2nπ/3として
sinの部分が√3/2、-√3/2、0を繰り返すので、
An+3=1/(2^3)・Anとなることより
S3m=(A1+A4+…+A3m-2)+(A2+A5+…+A3m-1)+(A3+A6+…+A3m)として
S3m=(A1+A2+A3){1+1/(2^3)+(1/(2^3))^2+…+(1/(2^3))^n}

となっているのですが最後の式のn乗の意味がわからなくて困っています。
もしかしたら解答が間違っている可能性もあるのでそこも指摘してくださるとありがたいです。
最終的な答えは
収束し、その和は√3/7 です。
No.27742 - 2014/07/17(Thu) 20:40:27
☆ Re: 無限級数 / 青
解決しました！
No.27743 - 2014/07/17(Thu) 21:28:54
★ ハノイの塔 / ハノイ



ハノイの塔の円盤を小さいものから交互に黒と白で色分けしたとします。
最少手順の移動を行っている途中では、同じ色の円盤が連続して重ねられることはないことを、数学的帰納法で証明してください。
No.27741 - 2014/07/17(Thu) 20:28:01
★ (No Subject) / yuhka
もう1題お願いします。
四角形ABCDは円に内接しておりAB=BC=3、CD=5、∠BCD=120°
△ABCの面積をS1、△CDAの面積をS2、四角形ABCDの面積をTとすると、
BD=(ア)、AD=(イ)、T=(ウエ)√(オ)/(カ)、S1/S2=(キ)/(クケ)
ACとBDの交点をEとするとAE:EC=(コ):(サ)BE:ED=(シ):(スセ)
であるから△CDEの面積は(ソタチ)√(ツ)/(テト)
アとイは余弦定理で7と8、Tは△ABD+△BCD=39√3/4、
T=△ABC+△CDA=1/2{sin∠ABC(9+40)}からキとクケは9と40と出しましたが、いかがでしょうか？
コ以降の求め方も教えてください。
No.27733 - 2014/07/16(Wed) 15:38:01
☆ Re: / ヨッシー
カまでは良いですね。
キクケも、答えは合っていますし、言わんとすることは分かりますが、
∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝π　より、sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ
よって、
　S1/S2＝(中略)＝(AB・BC)/(AD・DC)＝9/40
の方が（比を求めようという）筋道がはっきりして良いでしょう。

続きは、
AE:EC＝△ABD：△CBD＝(AB・AD)：(BC・CD)＝8：5
BE：ED＝△ABC：△CDA＝9：40
　△ＣＤＥ＝(5/13)△ＣＤＡ
　△ＣＤＡ＝(40/49)四角形ＡＢＣＤ
より、
　△ＣＤＥ＝(200/637)(39√3/4)＝150√3/49
となります。
No.27734 - 2014/07/16(Wed) 16:28:19
☆ Re: / yuhka
ありがとうございました！
No.27738 - 2014/07/16(Wed) 20:58:00
★ (No Subject) / yuhka
初めまして。高3です。
△ABCでAB=2√3、AC=1であり、辺BCを2:1に内分する点をDとすると、∠CAD=60°になる。
△ABDの面積をS1、△ADCの面積をS2、∠DAB=αとすると、
S1=√(ア)ADsinα、S2={√(イ)/(ウ)}ADであり、
この面積比からα=(エオ)°
△ABC=√(カ)からAD=(キ)/(ク)、sin∠ADB=(ケ)√(コサ)/(シス)
アイウは3、3、4となりましたが、この先がわかりません。
解法を教えてください。
No.27732 - 2014/07/16(Wed) 15:18:16
☆ Re: / X
AD,DCを△ABD,△ADCの底辺と見ることにより
S[1]:S[2]=AD:DC=2:1
これからαについての方程式を導きます。
(ADは計算過程で消えます)
後は
∠A=∠BAD+∠CAD=α+60°
であることからαの値の範囲に制限があることに注意して
その方程式を解きます。

αの値を求められれば∠Aの値も求められますので
△ABCの面積、BCの長さも計算できます。
よって△ABCとの面積比からS[1],S[2]の値も
計算できますので、ADの長さを求められます。
その後で△ABDにおいて正弦定理を適用しましょう。
No.27735 - 2014/07/16(Wed) 16:52:26
☆ Re: / yuhka
ありがとうございました(*^_^*)
α=30°、△ABC=√3、AD=8/3、sin∠ADB=3√39/52
となりましたが、いかがでしょうか？
No.27737 - 2014/07/16(Wed) 20:56:48
☆ Re: / X
計算を間違えています。こちらの計算では
α=30°
AD=4/3
sin∠ADB=(3/26)√39
となりました。
No.27739 - 2014/07/16(Wed) 21:12:46
☆ Re: / yuhka
すみません(>_<)
ADとBDの長さを間違えてました・・・
ありがとうございます！
No.27740 - 2014/07/17(Thu) 06:19:26
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