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★ (No Subject) / ヒキニート
lim[x→0](ae^x + bcosx +ae^-x)/xsinx =1

が成り立つ時a、bの値を求めよ。
No.28168 - 2014/08/11(Mon) 15:08:26
☆ Re: / X
条件から
lim[x→0](ae^x + bcosx +ae^(-x))=0
∴2a+b=0 (A)
これより
b=-2a
となるので
lim[x→0](ae^x + bcosx +ae^(-x))/(xsinx)
=lim[x→0]a(e^x -2cosx +e^(-x))/(xsinx)
=lim[x→0]a{(e^(x/2)-e^(-x/2))^2+2-2cosx}/(xsinx)
=lim[x→0]a{(e^(x/2)-e^(-x/2))^2+{2sin(x/2)}^2}/(xsinx)
=lim[x→0]a{({e^(x/2)-e^(-x/2)}/(x/2))^2+{{2sin(x/2)}/(x/2)}^2}{(x/2)^2}/(xsinx)
=lim[x→0](a/4){({e^(x/2)-e^(-x/2)}/(x/2))^2+{{2sin(x/2)}/(x/2)}^2}(x/sinx) (B)
∴f(x)=e^x-e^(-x),g(x)=2sinx
と置くと
(B)=(a/4){{f'(0)}^2+{g'(0)}^2}=2a
(B)が1に等しいので
a=1/2
これを(A)に代入して
b=-1
No.28170 - 2014/08/11(Mon) 15:53:30
★ 中３です。 / レム
この問題の解き方を教えてください。
No.28165 - 2014/08/11(Mon) 14:42:35
☆ Re: 中３です。 / らすかる
∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°から
∠BAD=∠CAE=25°ですから
∠AEC=∠ACB-∠CAE=35°です。
No.28166 - 2014/08/11(Mon) 14:58:23
☆ Re: 中３です。 / レム
ありがとうございました。
No.28167 - 2014/08/11(Mon) 15:08:25
★ (No Subject) / 森
この問題を教えてください
No.28164 - 2014/08/11(Mon) 12:46:26
☆ Re: / IT
方針だけ
(1)xcosθ+ysinθはベクトル(x,y)と(cosθ,sinθ)の内積とみて図を描いて考える

(2)αとβは独立なのでcosα=a,sinβ=bとおくと、-1≦a≦1
,-1≦b≦1 もとの不等式は　-1≦a(x^2)+by≦1
y≧0のとき　-1≦-x^2-y かつ　x^2+y≦1
y＜0のとき　-1≦-x^2+y かつ　x^2-y≦1
No.28183 - 2014/08/11(Mon) 22:26:20
☆ Re: / IT
(2)はcosα,sinβを持ち出す必要（意味）がないような気がするのですが私のカン違いでしょうか？　出典が分かれば教えて下さい。
No.28184 - 2014/08/11(Mon) 22:35:55
☆ Re: / ☆ミ
横からごめんなさい

(1)は、加法定理で合成してはダメでしょうか？
No.28185 - 2014/08/11(Mon) 23:30:32
☆ Re: / IT
>(1)は、加法定理で合成してはダメでしょうか？
その方が説明が少なくて済んで良いかも知れないですね。
No.28186 - 2014/08/11(Mon) 23:46:57
★ (No Subject) / 森
この問題を教えてください。
No.28163 - 2014/08/11(Mon) 12:42:43
☆ Re: / X
↑OA+↑OC=↑OB+↑OD (A)
↑OP=p↑OA (B)
↑OQ=q↑OB (C)
↑OR=r↑OC (D)
↑OS=s↑OD (E)
とします。
条件からpqrs≠0ですので
(B)(C)(D)(E)を用いて(A)から↑OA,↑OB,↑OC,↑OD
を消去することができ
(1/p)↑OP+(1/r)↑OR=(1/q)↑OQ+(1/s)↑OS
∴↑OS=(s/p)↑OP-(s/q)↑OQ+(s/r)↑OR (A)'
ここで点P,Q,R,Sは同一平面上にあるので
(A)'の右辺の係数について
s/p-s/q+s/r=1
これより
s/p+s/r=s/q+1
よってs≠0により
1/p+1/r=1/q+1/s
No.28172 - 2014/08/11(Mon) 16:02:59
★ (No Subject) / さや
画像の問題の解答を途中式を含めて教えてください。
よろしくお願いします。
No.28161 - 2014/08/11(Mon) 11:18:57
☆ Re: / ヨッシー
(1)
kＣr＝k!/{r!(k-r)!} を利用して、
　(k+1)Ｃr＝(k+1)!/{r!(k+1-r)!}
　kＣ(r-1)＝k!/{(r-1)!(k+1-r)!}
　(k-1)Ｃ(r-1)＝(k-1)!/{(r-1)!(k-r)!}
として、計算します。その際に
　ｋ×(k-1)!＝ｋ！
などの基本的な性質も随時使用します。

(2)
(1)(イ) の ｒにｒ＋１を代入すると
　ｋ＞ｒ のとき (k+1)Ｃ(r+1)＝kＣ(r+1)＋kＣr
より　kＣr＝(k+1)Ｃ(r+1)−kＣ(r+1)
また　ｋ＝ｒ のとき kＣr＝１
よって、
　(与式)＝rＣr＋Σ[k=r+1〜n]kＣr
　　＝１＋Σ[k=r+1〜n]{(k+1)Ｃ(r+1)−kＣ(r+1)}
　　＝１＋{(r+2)Ｃ(r+1)−(r+1)Ｃ(r+1)}＋{(r+3)Ｃ(r+1)−(r+2)Ｃ(r+1)}＋・・・＋{(n+1)Ｃ(r+1)−nＣ(r+1)}
　　＝１＋(n+1)Ｃ(r+1)−(r+1)Ｃ(r+1)
　　＝(n+1)Ｃ(r+1)
No.28162 - 2014/08/11(Mon) 11:45:51
★ (No Subject) / さや
画像の問題の解答を途中式を含めて教えてください。
No.28160 - 2014/08/11(Mon) 11:18:02
☆ Re: / X
(1)
数学的帰納法を使います。但し使い方は少し変則的で
以下の二つを証明します。
(i)n=1,2のときに命題が成立。
(ii)n=k,k+1のときに命題の成立を仮定したときに
n=k+2のときも命題が成立。
(ii)については漸化式を使います。

(2)
これも(1)の(i)(ii)と同様の命題の立て方で
証明します。

(3)
(2)の結果を使うと問題の命題は
0＜θ＜π (A)においてθの方程式
(sinnθ)/sinθ=0 (B)
がn-1個の異なる解を持つ
という命題と同値になります。
ここで
(B)より
sinnθ=0
又（A)より
0＜nθ＜nπ
∴nθ=kπ(k=1,2,…,n-1)
つまり
θ=kπ/n(k=1,2,…,n-1)
よって問題の命題は成立します。
No.28175 - 2014/08/11(Mon) 16:37:11
★ (No Subject) / さや
画像の問題の解答を途中式を含めて教えてください。
よろしくお願いします。
No.28159 - 2014/08/11(Mon) 11:17:31
☆ Re: / X
条件から
f(x)=px^2+qx
と置くことができるので
x≦0のとき
{f'(x)-g'(x)}^2=(2px+q)^2-2a(2px+q)+a^2
=(2px+q)^2-4apx-2aq+a^2
0＜xのとき
{f'(x)-g'(x)}^2=(2px+q)^2-2b(2px+q)+b^2
=(2px+q)^2-4bpx-2bq+b^2
∴問題の積分の和をFとすると
F=∫[-1→1]{(2px+q)^2}dx+2ap-2aq+a^2-2bp-2bq+b^2
=∫[-1→1]{(2px+q)^2}dx+a^2+2(p-q)a-2b(p+q)+b^2
=∫[-1→1]{(2px+q)^2}dx+{a+(p-q)}^2+{b-(p+q)}^2-2(p+q)^2
∴Fは
(a.b)=(-(p-q),p+q)
のときに最小になります。
よって
x≦0のときg(x)=-(p-q)x
0＜xのときg(x)=(p+q)x
となるので
g(-1)=p-q=f(-1)
g(1)=p+q=f(1)
No.28174 - 2014/08/11(Mon) 16:28:02
★ 確率の求め方 / レム
中学3年生です。
この問題がわかりません。
2つのサイコロを同時に投げ、出る目の数の和をaとするとき、aと２５の最小公倍数が２ケタの自然数である確率を求めなさい。
それで、解答には表がのっているのですが、この表のaが10のときになぜ50になっているのかわかりません。教えてください。
No.28155 - 2014/08/11(Mon) 10:30:33
☆ Re: 確率の求め方 / ☆ミ
10と25の最小公倍数は…？

50ですよね？
No.28156 - 2014/08/11(Mon) 10:33:52
☆ Re: 確率の求め方 / レム
はい。勘違いしてました。
ありがとうございます。
No.28157 - 2014/08/11(Mon) 10:40:49
★ わかりません。数学2Bの問題です / ヌッ!
放物線y＝x^・・・?@とA(1.2)がある。点Pが放物線?@上を動くとき、
線分A.Pを2:1に内分する点Qを求めよ、という問題で、

まずPを仮に(s.t)としてt＝s^2とし、Qを(x.y)とするまでは解ります。
ここで解答ではxとyの座標を出す計算をするのですが、ここでのsとtの
座標の数値が何故こうなるかわかりません。
解答をそのまま書くと
x＝(1＋2s)/3　y＝(2＋2t)/3
となっています。ここで何故、sとtの値が2s、2tなのかが解りません。
私はs.tの座標は確定してないのでそのままx＝(1＋s)/3とy＝(2＋t)/3
と思っていました。解説でもここが2sと2tになる根拠は全く記されていません。
わかる方、教えて下さい。
ちなみに以降の計算は全てわかります
No.28153 - 2014/08/11(Mon) 09:28:03
☆ Re: わかりません。数学2Bの問題です / ☆ミ
ベクトルの内分公式は覚えてますか？

PがABをm:nに内分　→　↑OP=(n↑OA＋m↑OB)/(m＋n)
No.28154 - 2014/08/11(Mon) 09:59:01
☆ Re: わかりません。数学2Bの問題です / ヌッ!
わかりました!ありがとうございます!
No.28158 - 2014/08/11(Mon) 11:12:35
★ 少し訂正です / 匿名
(3)の問題でt＞1/2のときxの解が2つあるのにt＝1(a＝1)のところでなぜxの解が一つとaの解が一つの合計2つになるんでしょう？
Xの解が2つで合計３つではないのでしょうか？
グラフから読み取れば解説が納得いくんですが。
No.28145 - 2014/08/10(Sun) 17:48:22
☆ Re: 少し訂正です / ☆ミ
y=aとy=-t^2＋2tとの共有点がa=1のとき1個、
このときt=1で、これに対するxの値が2つあるので
答えは2個です。

y=log[2](x^2＋√2)のグラフを描いてみるとわかりやすいです
y=1になるxは2つあります
No.28152 - 2014/08/10(Sun) 22:31:23
★ (No Subject) / 匿名
(3)の問題でt＞1/2のときxの解が2つあるのにt＝1(a＝1)のところでxの解が一つとaの解が一つの合計2つになるんでしょう？
Xの解が2つで合計３つではないのでしょうか？
グラフから読み取れば解説が納得いくんですが。
No.28144 - 2014/08/10(Sun) 17:35:14
☆ Re: / angel
> xの解が一つとaの解が一つの合計2つになるんでしょう？
ごめんなさい。これ、意味が分かりません。
ただ、この解説を読む上で注意すべきは、
　・aの値に応じたtの値を考える
　・そのtの値に対応するxの値を考える
という2段階になっているということです。
※と言うか、そう考えるように小問が構成されていますから…

ただし、tの個数が分かれば即xの個数が分かるかというとそうではありません。なぜなら、t=1/2が例外になっているからです。それが(3)の冒頭に書いてあること。
なので、

　1. tの値:2個、いずれも1/2でない
　2. tの値:2個、一方が1/2
　3. tの値:1個、1/2でない
　4. tの値:1個、1/2に等しい
　5. tの値:0個

のバリエーションが考えられます。
が、(3)の問題の条件から 5. は除外。また、(2)に描いてあるグラフから、4. もありえないことが分かります。

これと解説とを照らし合わせて考えてみてください。
No.28146 - 2014/08/10(Sun) 17:49:08
☆ Re: / 匿名
こんな感じでしょうか？
No.28148 - 2014/08/10(Sun) 18:50:13
☆ Re: / angel
> こんな感じでしょうか？
ごめんなさい。意図が良くわかりません。
xyのグラフになっていますが、tyのグラフでしょうか。
t=1/2の所だけxの解が1つで、それ以外のt＞1/2の所は全てxの解が2個ずつという意図であれば、その通りです。

ただそれよりも、
・a=1,a＜3/4の場合 → 私の挙げたケース3に該当
・a=3/4の場合 → 私の挙げたケース2に該当
・3/4＜a＜1の場合 → 私の挙げたケース1に該当
という対応を見て頂きたい所なのですが、どうでしょうか。
No.28149 - 2014/08/10(Sun) 19:02:44
☆ Re: / 匿名
ありがとうございましたm(_ _)m
No.28150 - 2014/08/10(Sun) 19:20:42
★ (No Subject) / 匿名
青線で囲んだところでなぜこのような場合わけになるのか
それと下のところでαβ＝−1になるのかがわかりません。
解説お願いします。
No.28138 - 2014/08/09(Sat) 22:36:08
☆ Re: / angel
αβ=-1となるのは、2直線が垂直だからですね。
傾きα,βの2直線が垂直なので、その積αβが-1に等しい、と。
No.28139 - 2014/08/09(Sat) 23:36:02
☆ Re: / angel
場合分けについては、1パターンだけ、「垂直な2直線の傾きの積が-1」が使えないからです。
それは、x軸,y軸に平行な2直線の場合。
このケースは計算も単純なので、先にやっつけてしまっているのです。
No.28140 - 2014/08/09(Sat) 23:38:38
☆ Re: / 匿名
なぜ二次方程式の二つの解のα、βが傾きになるんですか？
No.28141 - 2014/08/10(Sun) 11:50:42
☆ Re: / ヨッシー
傾きｍに関する方程式の解がα、βだからです。
No.28142 - 2014/08/10(Sun) 12:48:59
☆ Re: / 匿名
ありがとうございました！
No.28143 - 2014/08/10(Sun) 13:15:11
★ (No Subject) / 匿名
青線のところなんですが、別解はこれで正しいでしょうか？
お願いします。
No.28133 - 2014/08/09(Sat) 21:06:37
☆ Re: / 匿名
こんな感じです。
No.28134 - 2014/08/09(Sat) 21:07:23
☆ Re: / ハウス
θが０≦θ＜２πというのを添えないと減点くらうとは思います。

θの範囲が分からないとsin(θ+(5/6)π)のとりうる値が分かりませんから、当然-1という値をとるのかも全然分かりません。
No.28135 - 2014/08/09(Sat) 21:38:58
☆ Re: / 匿名
ありがとうございました！
No.28136 - 2014/08/09(Sat) 22:24:22
☆ Re: / 匿名
これをつけておけば大丈夫でしょうか？
No.28137 - 2014/08/09(Sat) 22:25:54
☆ Re: / angel
問題ないと思います。
※念の為ですが、テスト等で解答書く時は、ちゃんと数式と数式の間に文章で内容を補う…のですよね?
※その数式から想定できる ( ちゃんと文章を補った ) 解答なら問題ない、ということです。
No.28147 - 2014/08/10(Sun) 18:17:17
☆ Re: / 匿名
ありがとうございました！
No.28151 - 2014/08/10(Sun) 19:22:58
★ (No Subject) / 匿名
144の別解のところでどうして(α-1)(β-1)なのかがわかりません。
解説お願いします。
No.28129 - 2014/08/09(Sat) 15:48:32
☆ Re: / ヨッシー
この別解の部分は、?Bの式を導くためのもので、?Aの結果と合わせて、
　-5/2＜ａ＜-2
となります。
f(1)＜０ を吟味する代わりに、
　(α−1)(β−1)＜０
を調べています。左辺が負になるということは
　α、βの一方が、１より大きく、他方が１より小さいことを意味します。
No.28131 - 2014/08/09(Sat) 16:13:28
☆ Re: / 匿名
ありがとうございました！
No.28132 - 2014/08/09(Sat) 19:31:36
★ 条件 / りん
高１の数Aです。
ABCDが正方形であることは、ABCDが長方形であるための（　　）。
?@必要条件であるが十分条件ではない。
?A十分条件であるが必要条件ではない。
?B必要十分条件である。
（　）に、適する番号を入れよ。
正方形と長方形って形が違いますよね？この中のどれにも当てはまらないと思うのですが…教えてください。
No.28128 - 2014/08/09(Sat) 15:45:40
☆ Re: 条件 / IT
まず「正方形」と「長方形」の定義を確認されることをお勧めします。
ついでに「台形」「平行四辺形」「ひし形」も
No.28130 - 2014/08/09(Sat) 15:52:17
★ 関数 / /。
yはxの2乗に比例し、x=1/2のとき、y=-2である。比例定数を求めよ。
わかりません。教えてください。
No.28122 - 2014/08/09(Sat) 09:30:19
☆ Re: 関数 / ヨッシー
ｙがｘに比例する式はどんな形で表されますか？
または、
ｙがｘに比例している式を２つばかり書いてみてください。
No.28123 - 2014/08/09(Sat) 09:35:57
☆ Re: 関数 / 。
-2=a×1/2
→1/4=-2
→a=-8　　　y=-8x^2

比例定数 -8
こんな感じですか？
No.28124 - 2014/08/09(Sat) 10:58:45
☆ Re: 関数 / ヨッシー
そんな感じではありません。

>yはxの2乗に比例し
が、表現されていませんし、式変形もデタラメです。
そのくせ、なぜ y=-8x^2 に行き着いているのか不明です。
No.28125 - 2014/08/09(Sat) 12:07:28
☆ 色々まちがってました。 / 。　
求める式をy=ax^2として
-2=a×1/2^2
1/4=-2
a=-8 y=-8x^2
No.28126 - 2014/08/09(Sat) 12:45:30
☆ Re: 関数 / ヨッシー
下から２行目で、ａが消えていますが、流れは良いでしょう。

振り返ると、ｙがｘの２乗に比例するとは
　ｙ＝ａｘ^2
の形に書け、ａを比例定数という。
x=1/2 を代入して y=-2 になることより
　-2＝a(1/2)^2＝a/4
これより　ａ＝−８
これだけのことを、順序よく記述していきます。
No.28127 - 2014/08/09(Sat) 15:32:14
★ 文章題 / 早乙女
よく「全校生徒の人数を200人とする。男子は女子よりも○人多く〜(略)〜男子と女子の人数を求めよ。」のような方程式の文章題がありますよね。
男子の人数をx人とすると女子の人数は200-x人とおいて解くのは解いていく流れとしては常識だと思ってたのですが、
「どうして男子の人数＋女子の人数＝全校生徒の人数なんですか？」と聞かれて「男子生徒と女子生徒で構成されているから」以外どう答えればいいかわかりませんでした。
また私自身もなぜか混乱しています。
だれかおしえてください。おねがいします。
No.28117 - 2014/08/08(Fri) 17:44:11
☆ Re: 文章題 / らすかる
人の性別は男か女のどちらかと決められており、
全校生徒のうち性別が男である人は「男子」、
性別が女である人は「女子」ですから
「全校生徒のうちで男子でも女子でもない人」や
「全校生徒のうちで男子でも女子でもある人」はいません。
従って「全校生徒」は「男子」と「女子」の和集合ですから、
男子の人数と女子の人数を足したものが全校生徒の人数となります。

# 論理的に丁寧に答えると上のようになりますが、
# こういう質問はどういう答えを期待しているのかさっぱりわかりませんね。
No.28119 - 2014/08/08(Fri) 18:00:07
☆ Re: 文章題 / ヨッシー
>常識だと思ってた
今でも常識です。

説明は「男子生徒と女子生徒で構成されているから」
で十分だと思いますが。
集合などの言い回しを使って書くことも出来ますが、
結局は同じことですし、上記のような問題では、無用の長物です。
No.28120 - 2014/08/08(Fri) 18:02:14
★ (No Subject) / 匿名
もう一つ
青線のところで2直線が直行するとなぜ青線部が導かれるのかがあまり理解できません。
解説お願いします。
No.28116 - 2014/08/08(Fri) 17:23:22
☆ Re: / ヨッシー
円周角の知識を利用します。
No.28118 - 2014/08/08(Fri) 17:58:18
☆ Re: / 匿名
ありがとうございました！
No.28121 - 2014/08/08(Fri) 18:06:20
★ (No Subject) / 匿名
青線のところがよくわかりません。解説お願いします。
No.28113 - 2014/08/08(Fri) 16:37:04
☆ Re: / X
x=1のとき
(3)よりy=0かつtは任意の実数。
更に(4)に(x,y)=(1,0)を代入するとt=0
よって
(x,y,t)=(1,0,0)は(3)(4)をx,y,tの連立方程式
と見たときの解ですので、点(1,0)は(3)(4)の
交点となります。
No.28114 - 2014/08/08(Fri) 17:14:21
☆ Re: / 匿名
ありがとうございました！
No.28115 - 2014/08/08(Fri) 17:18:54
★ 中二の連立方程式の質問です。 / ノア
初めまして。早速質問させていただきます。

『最小公倍数が210であるような3つの自然数a.b.cが、連立方程式｛a-3b+c=0、2a+b-c=0を満たすとき、a.b.cの値を求めなさい。』

答えはa=10、b=15、c=35なのですが、それしか書いてありません。

解説、よろしくお願いします。
No.28105 - 2014/08/07(Thu) 23:26:32
☆ Re: 中二の連立方程式の質問です。 / IT
（略解）
a-3b+c=0、2a+b-c=0 より
3a=2b よってa,bの最小公倍数は3a
7a=2c よってa,cの最小公倍数は7a

よってa,b,cの最小公倍数は21a=210

※もう少し行間を埋める（説明する）必要があると思います。
No.28106 - 2014/08/07(Thu) 23:56:37
☆ Re: 中二の連立方程式の質問です。 / ヨッシー
IT さんの結果を拝借して、
　3a=2b, 7a=2c
より、 a:b:c＝２：３：７
つまり、(a,b,c) は、(2,3,7) を何倍かした自然数となります。
　(a,b,c)＝(2,3,7) の最小公倍数は 42
２倍した
　(a,b,c)＝(4,6,14) の最小公倍数は 42×2＝84
最小公倍数を210にするには、(2,3,7) を５倍すればいいことになります。
No.28108 - 2014/08/08(Fri) 08:53:07
☆ Re: 中二の連立方程式の質問です。 / ノア
どうしてa:b:c=2:3:7になるのですか？
No.28110 - 2014/08/08(Fri) 14:22:53
☆ Re: 中二の連立方程式の質問です。 / らすかる
3a=2bから a：b=2：3
7a=2cから a：c=2：7
よってa：b：c=2：3：7
No.28111 - 2014/08/08(Fri) 14:59:14
☆ Re: 中二の連立方程式の質問です。 / ノア
皆さんのおかげで解けました。ありがとうございました！
No.28112 - 2014/08/08(Fri) 15:28:40
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