No.27557 - 2014/07/01(Tue) 13:17:16
| ☆ Re: / ヒキニート | | | No.27559 - 2014/07/01(Tue) 13:40:49 |
| ☆ Re: / みずき | | | まずは、x≧yのもとで解きます。
x=yのとき、2x^5+15x^2=1は整数解を持たないので、x＞yとします。
以下では、3つの場合に分けて考えます。
(?T)xy=0のとき。
(x,y)=(1,0)を得ます。
(?U)xy＜0のとき。
x＞yにより、x＞0,y＜0
yを-yに置き換えることで、次を得ます。
x^5-15xy-y^5=1 (ただし、x,y≧1)
すると
15xy+1
=x^5-y^5
=(x-y){x^4+y^4+xy(x^2+y^2)+x^2y^2}
≧5(x-y)x^2y^2
∴15xy+1≧5(x-y)x^2y^2
⇒3+1/(5xy)≧(x-y)xy
⇒3≧(x-y)xy
⇒3/(xy)≧x-y
⇒x-y=1 かつ 2≦xy≦3 （∵xy≧2,1≦x-y）
x-y=1かつxy=3は整数解を持ちません。
x-y=1かつxy=2⇒(x,y)=(2,1),(-1,-2)
これらはともにx^5-15xy-y^5=1を満たすので、
x＞yに注意して、この場合の解は(x,y)=(2,-1)のみ。
(?V)xy＞0のとき。
x,y＜0であることが必要。
(x,y)を(-x,-y)に置き換えることで、次を得ます。
x^5+y^5=15xy-1 (ただし、1≦x＜y)
ところが、xy≧2かつx+y≧2x+1≧3 に注意すると、
15xy-1
=x^5+y^5
=(x+y){x^4+y^4-xy(x^2+y^2)+x^2y^2}
=(x+y){(xy+x^2+y^2)(x-y)^2+x^2y^2}
≧(x+y){(xy+x^2+y^2)+x^2y^2}
≧(x+y)(3xy+x^2y^2)
=(x+y)(3+xy)xy
≧3*(3+2)xy
=15xy
により、15xy-1≧15xyを得ますが、これは矛盾。
よって、この場合、解はありません。
以上により、求める整数解は、x＜yの場合も考慮して、
(x,y)=(1,0),(0,1),(2,-1),(-1,2)
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No.27566 - 2014/07/01(Tue) 16:59:30 |
| ☆ Re: / kizumi | | | No.27598 - 2014/07/03(Thu) 18:39:30 |
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