Oを中心とする半径1の円周上に3点A、B、Cがあり、↑OA=α↑OB+β↑OC(α、βは実数)が成り立っている。
(1)Aを通り直線BCに垂直な直線とBCの交点をDとする。ベクトル↑ODをα、β、↑OB、↑OCを用いて表せ。
(2)線分AB、BC、CAの中点をL、M、Nとする。(1)の点Dと、L、M、Nの4点はある点Kを中心とする一つの円周上にあることを示し、↑OKをα、β、↑OB、↑OCを用いて表せ。また、その円の半径を求めよ。
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No.27788 - 2014/07/21(Mon) 15:25:31
| ☆ Re: / X | | | (1)
条件から点Dは直線BC上にあるので
↑OD=t↑OB+(1-t)↑OC (A)
(tは実数)
と置く事ができます。
一方、↑AD⊥↑BCですので
↑AD・↑BC=0
これより
(↑OD-↑OA)・(↑OC-↑OB)=0 (B)
(B)に(A)などを代入すると
{(t-α)↑OB+(1-t-β)↑OC}・(↑OC-↑OB)=0 (B)'
ここで点B,Cは点Oを中心とする半径1の円の上の点ですので
|↑OB|=|↑OC|=1 (C)
(B)'(C)により
(t-α)+(α-β-2t+1)↑OB・↑OC-(1-t-β)=0
(1-↑OB・↑OC){2t+(β-α-1)}=0
ここでB,Cは異なる点ですので
↑OB・↑OC≠1
∴t=(α-β+1)/2
よって(A)により
↑OD={(α-β+1)/2}↑OB+{(β-α+1)/2}↑OC
(2)
D,L,M,Nが同一円周上に存在
⇔△LMNの外接円の上にDが存在
そこでまず△LMNの外接円のベクトル方程式を
求め、得られた結果に(1)の結果を使います。
条件から
↑OB//↑OCでなく、かつ↑OB≠↑Oかつ↑OC≠↑O
ですので△LMNの外接円の中心のOを基準とした
位置ベクトルは
x↑OB+y↑OC
(x,yは実数)
と置く事ができます。よって△LMNの外接円上の点を
Q、半径をrとすると
|↑OQ-(x↑OB+y↑OC)|=r (D)
ここで
↑OL=(↑OA+↑OB)/2={(1+α)↑OB+β↑OC}/2 (E)
↑OM=(↑OB+↑OC)/2 (F)
↑ON=(↑OC+↑OA)/2={α↑OB+(1+β)↑OC}/2 (G)
(D)(E)(F)(G)により
|{(1+α)↑OB+β↑OC}/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (E)'
|(↑OB+↑OC)/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (F)'
|{α↑OB+(1+β)↑OC}/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (G)'
(E)'(F)'(G)'をx,y,zについての連立方程式と見て
解きます。
(両辺を二乗して左辺を展開し(C)を代入しましょう。)
得られた結果を(D)に代入し、更に↑OQに
(1)の結果を代入しても(D)が成立する
ことを示します。
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
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No.27789 - 2014/07/21(Mon) 17:21:31 |
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