ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / アカシロトモ

３変数、２次関数の問題です、よろしくお願いします

実数x,y,zが　x+y+z=1、x^2+y^2+z^2=1
の２式を満たしているとき、
(1) xの最小値を求めなさい
(2) x≧y,x≧z のとき、xの最小値を求めなさい

No.28238 - 2014/08/13(Wed) 15:19:21

☆ Re: / X

x+y+z=1 (A)
x^2+y^2+z^2=1 (B)
とします。
(1)
(A)より
y+z=1-x (A)'
これと(B)により
(1-x)^2-2yz+x^2=1
∴yz=x^2-x (B)'
(A)'(B)'により、解と係数の関係から
y,zはtの二次方程式
t^2-(1-x)t+x^2-x=0 (C)
の解。
よってy,zが実数であることから
(C)の解の判別式をDとすると
D=(1-x)^2-4(x^2-x)≧0 (D)
これより
(x-1)(3x+1)≦0
∴-1/3≦x≦1
となるのでxの最小値は-1/3

(2)
条件を満たすためには(C)が
x≧y,x≧z
なる解y,zを持たなければなりません。
そこで
f(t)=t^2-(1-x)t+x^2-x (E)
とおいて横軸にt、縦軸にf(t)を取った
(E)のグラフとt軸との交点の位置関係を
考えます。
ここでまず(E)のグラフの軸について
(1-x)/2-x=(1-3x)/2≦0 (F)
次に
f(x)=x^2-(1-x)x+x^2-x≧0 (G)
(D)(F)(G)を連立して解いて
2/3≦x≦1
∴xの最小値は2/3

No.28241 - 2014/08/13(Wed) 19:01:21

☆ Re: / アカシロトモ

X さん　ご回答ありがとうございました。
じっくりと、読ませていただきます。
とても助かりました。

No.28243 - 2014/08/13(Wed) 21:45:22

☆ Re: / X

＞＞アカシロトモさんへ
ごめんなさい。誤記がありましたので
No.28241を修正しました。
再度ご覧ください。

No.28249 - 2014/08/14(Thu) 11:05:09

☆ Re: / アカシロトモ

Ｘ　さん
訂正ありがとうございます。
気付くのが遅くなり、申し訳ありませんでした。
再度、熟読させていただきます。

No.28258 - 2014/08/14(Thu) 22:59:08

★ (No Subject) / かねき

画像の問題がわかりません。
解答を教えてください。どうぞよろしくお願いします。

No.28235 - 2014/08/13(Wed) 14:04:49

☆ Re: / X

(1)
条件から点Pを通り↑OPに垂直な平面の方程式は
l(x-l)+m(y-m)+n(z-n)=0 (A)
(A)が点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)を通るので
l(a-l)-m^2-n^2=0 (B)
m(b-m)-l^2-n^2=0 (C)
n(c-n)-l^2-m^2=0 (D)
更に点Pは円
x^2+y^2+z^2=1
上の点ゆえ
l^2+m^2+n^2=1 (E)
(B)(C)(D)(E)より
(a,b,c)=(1/l,1/m,1/n) (F)
一方、△ABCを底面と見たときの四面体OABCの高さを
hとすると点と平面との間の距離の公式により
h=|l^2+m^2+n^2|/√(l^2+m^2+n^2)=1 (G)
更に四面体OABCの体積について
(1/3)(1/2)abc=(1/3)Sh (H)
(F)(G)(H)により
S=1/(2lmn) (I)

(2)
n=1/2を(E)(I)に代入すると
l^2+m^2=3/4 (E)'
S=1/lm (I)'
(E)'とl＞0,m＞0により
l={(√3)/2}cosθ
m={(√3)/2}sinθ
(0＜θ＜π/2 (J))
と置くことができるので(I)'は
S=8/(3sin2θ)
(J)より
0＜2θ＜π
∴Sの最小値は8/3
(このときl=m=(1/4)√6)

No.28242 - 2014/08/13(Wed) 19:23:29

★ 中３です。 / ラフメイカー

（√3+1）＾2-2√3＝3+1-2√3
　　　　　　　　＝4-2√3
　　　　　　　　＝2√3
と計算したのですが、答えが4となるのでちがってしまいます。途中計算でまちがっているところを直していただけませんか。お願いします。
　　　　　　　　　

No.28225 - 2014/08/13(Wed) 10:41:11

☆ Re: 中３です。 / 素人

（√3+1）＾2＝3＋2√3＋1　です。

No.28227 - 2014/08/13(Wed) 10:46:10

☆ Re: 中３です。 / ラフメイカー

ありがとうございます(^^)

No.28228 - 2014/08/13(Wed) 10:59:31

★ 答えは解りますが、式の必要性がわかりません / ヌッ!

いくつも問題はありますがその内の一つから。

ある会社が2種A、Bの製品を1単位作るのに必要な電力、ガスそれぞれが2kWh,2m^3:Bが3kwh,1m^3である。
また電力は19kwh,ガスは13m^3までしか使えないとする。
1単位当たりの利益をAが7万、Bが５万とするとき、A.Bをそれぞれ何単位作ると利益は最大になるか

という問題なのですが、これはAとBで一次関数の式を作って、そこから出る直線の交点がそのまま回答となります。他の問題でもそれによって回答が導き出せますが、何故この問題においてわざわざ利益である7x＋5yの式を導入する必要があるのか解りません。
ちなみにこの問題集の解説で、この類の問題は条件をx,yの連立不等式で表し、領域を図示、と書いてあります。
そういった複雑な工程がこの問題には本当に必要なのでしょうか?解る方、教えて下さい。

No.28224 - 2014/08/13(Wed) 10:28:40

☆ Re: 答えは解りますが、式の必要性がわかりません / 黄桃

何を疑問に思っているのかよくわかりませんが、この問題で、
1単位当たりの利益をAが7万、Bが５万
の部分を
1単位当たりの利益をAが15万、Bが５万
あるいは、
1単位当たりの利益をAが2万、Bが５万
に変えても同じことが言えますか？

一体、Aの利益がいくら、Bの利益がいくら、なら「そこから出る直線の交点がそのまま回答」となるか、理由を説明できますか？

これに加えて、例えば、ガス代と電気代の合計額に制限があったとすると、
もう１つ不等式が増えて、(x,y)が動きうる領域がもっと複雑になりますが、
その場合は、どの交点が答になるかわかりますか？

No.28252 - 2014/08/14(Thu) 14:09:14

☆ Re: 答えは解りますが、式の必要性がわかりません / angel

この問題は、一般に「線形計画法」と呼ばれる中で、最小規模のものですね。
あくまで問題は、「利益が最大になるにはどうするか」を求めることであって、直線の交点を求めるのが目的ではないのです。

ただ、この手の問題は、領域をグラフで図示した際にできる多角形の頂点の所が丁度答えになるため、「求めた直線の交点」がそのまま答えになることが多いのは確かです。
※ただし、条件が増えると ( 電力やガス以外に水道使用量とかが増えたと想像してみてください ) 「交点」の個数もどんどん増えていくので、どこが答えかは比較して調べなくてはいけません…どこまでいっても大事なのは、この問題では「利益」なのです。

No.28299 - 2014/08/16(Sat) 21:52:06

★ (No Subject) / じゃい

この問題を教えてください。
よろしくお願いします。

No.28220 - 2014/08/13(Wed) 09:41:23

☆ Re: / X

(i)
x^2-y^2=p
より
(x+y)(x-y)=p
ここでx,yは自然数ゆえ
x+y>0
x+y＞x-y
∴ｐが素数であることから
x+y=p (A)
x-y=1 (B)
(A)(B)を連立して解き
(x,y)=((p+1)/2,(p-1)/2)

(ii)
x^3-y^3=p
より
(x-y)(x^2+xy+y^2)=p (C)
ここでx,yは自然数ゆえ
x^2+xy+y^2＞0 (D)
∴(C)より
x-y＞0 (E)
また
x^2+xy+y^2-(x-y)=(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(xy-1/2)＞0
により
x^2+xy+y^2＞x-y (F)
(C)(D)(E)(F)より
x-y=1 (G)
x^2+xy+y^2=p (H)
(G)より
y=x-1 (G)'
これを(H)に代入して
x^2+x(x-1)+(x-1)^2=p
∴p=3x^2-3x+1=3x(x-1)+1 (I)
ここでx,yが自然数であることと(G)'により
x(x-1)は偶数
よって命題は成立します。

(iii)
(G)'よりxは2以上の自然数であることに注意して
(I)にx=2,3,…を代入してpが素数となるものを
小さい順に実際に並べていきます。
f(x)=3x(x-1)+1
と置くと
f(2)=7
f(3)=19
f(4)=37
f(5)=61
f(6)=91(=13×7ゆえ素数ではありません)
f(7)=127
ということで
p[5]=127

No.28229 - 2014/08/13(Wed) 11:05:01

☆ Re: / ☆ミ

(1)
(x＋y)(x-y)＝P
Pは1と自分自身しか約数をもたないので
x-y＝1
x＋y＝P
よってx＝(P＋1)/2, y＝(P-1)/2

(2)
(x-y)(x^2＋xy＋y^2)＝P
同様にx-y＝1
x^2＋xy＋y^2＝P
代入すると
3y^2＋3y＋1＝P
3y^2＋3y＝P-1は偶数なので6の倍数である
よってPを6で割った余りは1である

(3)
P＝3y^2＋3y＋1, x＝y＋1なので
y＝1, 2, 3, …で
x＝2, 3, 4, …となる
Pはyが小さいほど小さいが
y＝5のときでP＝91＝13×7で素数ではないので
P_5はy＝6のときでP＝127

一部訂正しましたm(__)m

No.28230 - 2014/08/13(Wed) 11:08:37

★ (No Subject) / じゃい

この問題を教えてください。

No.28219 - 2014/08/13(Wed) 09:40:48

☆ Re: / X

(i)
条件からC[1],C[2]の交点のx座標について
a[1]x^2+b[1]x=a[2]x^2+b[2]x
これより
{(a[1]-a[2])x+(b[1]-b[2])}x=0
∴x=0,(b[2]-b[1])/(a[1]-a[2])
よってC[1],C[2]の交点の一つが点(0,0)
であることに注意すると
p=(b[2]-b[1])/(a[1]-a[2])
と置くとき
m={a[1]p^2+b[1]p}/p=a[1]p+b[1]
=a[1](b[2]-b[1])/(a[1]-a[2])+b[1]
=(a[1]b[2]-a[2]b[1])/(a[1]-a[2])

(ii)
a[1]a[2]＜0
により
(i)a[1]＞0のとき
S[1]=∫[0→p]{mx-a[1]x^2-b[1]x}dx (A)
S[2]=∫[0→p]{a[2]x^2+b[2]x-mx}dx (B)
これより
S[1]=-(1/3)a[1]p^3+(1/2)(m-b[1])p^2 (A)'
ここでpはC[1]とlとの交点のx座標ゆえ
a[1]p^2+b[1]p=mp
p≠0に注意すると
m=a[1]p+b[1]
これを(A)'に代入して
S[1]=(1/6)a[1]p^3 (A)"
同様に(B)から
S[2]=-(1/6)a[2]p^3 (B)'
∴S[2]/S[1]=-a[2]/a[1]
(ii)a[1]＜0のとき
S[1]=∫[0→p]{a[1]x^2+b[1]x-mx}dx
S[2]=∫[0→p]{mx-a[2]x^2-b[2]x}dx
となるが(i)の場合と同様な計算により
S[2]/S[1]=-a[2]/a[1]

以上から
S[2]/S[1]=-a[2]/a[1]

(iii)
(i)(ii)の結果から
(a[1]b[2]-a[2]b[1])/(a[1]-a[2])=1 (C)
-a[2]/a[1]=1 (D)
(D)より
a[2]=-a[1] (D)'
これを(C)に代入して整理すると
b[1]+b[2]=2 (E)
∴求める条件は(D)'かつ(E)となります。

No.28222 - 2014/08/13(Wed) 10:17:46

★ (No Subject) / 困ってます

太郎君と花子さんは上流のA地点から下流のB地点までボートで川下りをします。二人はA地点をでてから2分間ボートをこいで1分間休みました。その後、太郎君は2分間こいで1分間休むことを繰り返し、花子さんは休むことなくこぎ続けてB地点に到着しました。A地点からB地点まで太郎君は15分45秒、花子さんは12分45秒でした。川の流れは一定で、どちらがボートをこいでも進む速さは同じです。
(1)静水時のボートをこいで進む速さと川の流れの速さの比を求めなさい。
(2)A地点からB地点までの距離が2400mのとき、太郎君がボートをこいだ距離は何mですか。

答えは
(1)が3:1
(2)が2150m
なのですが、なぜなのか分かりません。
解説していただけると嬉しいです。

No.28218 - 2014/08/13(Wed) 08:54:07

☆ Re: / ☆ミ

(1)
太郎くんは10分45秒こいで5分休み
花子さんは11分45秒こいで1分休んだことがわかるので
ボートの速さ分速x, 流れの速さ分速yとすると
43/4×(x＋y)＋5y＝47/4×(x＋y)＋y
整理すると
x＝3y
x:y=3:1

(2)
43/4×(3y＋y)＋5y＝2400
y＝50
太郎が休んだ5分以外で進んだ距離は
2400-50×5＝2150m

No.28223 - 2014/08/13(Wed) 10:18:07

☆ Re: / 困ってます

ありがとうございます。助かりました。

No.28226 - 2014/08/13(Wed) 10:44:58

★ 中３です。 / ラフメイカー

この問題の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。
答えは45π㎠でした。

No.28213 - 2014/08/13(Wed) 06:03:58

☆ Re: 中３です。 / 素人

5回転したということは底面の円周である6πの5つ分が大きな円の円周、すなわち、大きな円の円周は。
6π×5＝30π
従って直径は30、半径は15(円錐の母線)

ここで、側面積は母線×底面の円の半径×πで求まるので
15×3×π＝45π・・・答え
じゃないかな

No.28215 - 2014/08/13(Wed) 08:33:45

☆ Re: 中３です。 / ラフメイカー

ありがとうございます！

No.28221 - 2014/08/13(Wed) 10:11:36

★ (No Subject) / リーコ

おしえてください。
よろしくお願いします。

No.28211 - 2014/08/13(Wed) 00:09:34

☆ Re: / X

(1)
条件から直線ABの傾きは
(1/b-1/a)/(b-a)=-1/(ab)
∴直線ABに垂直な直線の傾きは
-1/(-1/(ab))=ab
よって直線CHの方程式は
y=ab(x-c)+1/c (A)
同様に直線BCに垂直な直線の傾きを
求めることにより、直線AHの方程式は
y=bc(x-a)+1/a (B)
(A)(B)を連立して解くことにより
(x,y)=(-1/(abc),-abc) (C)
(C)よりa,b,cを消去して、点Hの軌跡の方程式は
y=1/x

(2)
(i)
点Pが
辺AB,BCの垂直二等分線の交点
であることから
(1)のときと同様な考え方でまず
辺AB,BCの垂直二等分線の方程式
を求め、それをx,yについての
連立方程式と見て解きます。

(ii)
(i)の結果に
a+b=0,c=1
を使いa,b,cを消去します。

No.28231 - 2014/08/13(Wed) 11:44:18

★ (No Subject) / リーコ

おしえてください。よろしくお願いします。

No.28210 - 2014/08/13(Wed) 00:08:23

☆ Re: / ☆ミ

方針

(1)
f(x)＝ax^2＋bx＋c →平方完成すると
　　＝a(x＋b/2a)^2-b/4a＋c
x=-b/2aで、a＞0のとき最小値、a＜0のとき最大値をとり、
その値は( )^2が0なので、-b/4a＋cとなります。

この方法で、最大値がtの式で表されます。

(2)
この場合g(t)はtの3次関数なのですが、
極値を求めるにはg(t)の増減を調べます。
増減表の作り方はわかりますか？
あとはtの範囲に気をつけてください

わからなければまた訊いてください
フォロー感謝しますm(__)m

No.28217 - 2014/08/13(Wed) 08:52:01

★ (No Subject) / リーコ

おしえてください。

No.28209 - 2014/08/13(Wed) 00:07:21

☆ Re: / ☆ミ

a_n＝1＋(n-1)d＝nd＋1-d
P_n＝r^(a_1＋a_2＋…＋a_n)
＝r^{Σ{k=1ton}(nd＋1-d)}
＝r^{n(n＋1)d/2＋(1-d)n}
＝r^{n(n-1)d/2＋n}

P_3＝P_9ということは
3d＋3＝36d＋9
33d＝-6
d＝-2/11……(答)
このとき
P_n＝r^{-n(n-1)/11＋n}
＝r^{(-n^2＋12n)/11}
r＞1なので指数が最大のときにP_nが最大になる
P_n＝r^{-(n-6)^2/11＋36/11}より
n＝6のときP_6=r^(36/11)……(答)

P_n＜1となるのは、指数が負の値になるときなので
-n^2＋12n＜0
-n(n-12)＜0
n＜0, n＞12
n＞0なので求める最小のn＝13……(答)

No.28216 - 2014/08/13(Wed) 08:36:09

★ (No Subject) / ブラザー

三乗根(-125)=三乗根{(-5)^3}で、三乗根＝1/3乗のことだから｛(-5)^3}^(1/3)＝-5は納得できるのですが

６乗根６４は６乗根(-2)^6でもあり６乗根2＾6でもあるので
こたえはー２と２になるのが筋だと思うのですが、答えは２となっています。よくわかりません

No.28202 - 2014/08/12(Tue) 21:44:28

☆ Re: / らすかる

√を平方根のうち負でない方とするのと同様に、
偶数乗根も負でない方を採用します。

No.28203 - 2014/08/12(Tue) 22:11:40

☆ Re: / ブラザー

回答ありがとうございます
やっかいですね。つまり指数の底は正にしてから約分しなければいけないということですよね？例えば
(a^6)^(1/6)はaが正の時a,
負の時は[{-(-a)｝＾６]^(1/6)＝[(-a)＾６]^(1/6)＝-a

ちなみにbが負の時(b^m)^nのときm,nは交換できますか？正のときは出来ると書いてあるのですが。

よろしくおねがいします

No.28204 - 2014/08/12(Tue) 23:33:50

☆ Re: / 名無し

できますよ。

No.28208 - 2014/08/12(Tue) 23:59:16

☆ Re: / らすかる

> bが負の時(b^m)^nのときm,nは交換できますか？

m,nが整数であれば交換できます。
整数でない場合は、例えば
((-4)^2)^(1/2)=(16)^(1/2)=4
((-4)^(1/2))^2=(±2i)^2=-4
のように一致しないことがありますので、
一般には交換できません。

No.28212 - 2014/08/13(Wed) 01:27:49

☆ Re: / ブラザー

回答ありがとうございます

負の数の指数乗は性質が複雑なようですね
ありがとうございました！

No.28248 - 2014/08/14(Thu) 09:30:54

★ (No Subject) / FG

この問題を教えてください。

No.28201 - 2014/08/12(Tue) 20:59:32

☆ Re: / ☆ミ

(1)与式を変形すると
54x^2＋(x＋y)^2＝2007
54x^2≦2007なので
-6≦x≦6 となる
x＝0,±1～6の場合を調べると
x＝±3のときのみ、x＋y＝±39
となる
したがって(x, y)＝(3, 36),(3, -42),(-3,42),(-3,-36)

(2)
7y＝18x-9
7y＝9(2x-1)
yが9の倍数で、2x-1が7の倍数となればよい
(x,y)＝(4,9),(11,27),(18,45),…となり
x＋yが最小となるときのx＝4, y＝9
2番目に小さいときのx＋yの値は11＋27＝38

誤りがあったらごめんなさい…

No.28207 - 2014/08/12(Tue) 23:54:53

★ (No Subject) / パスカル

?僊BCと線分AB,CA上にそれぞれP.Qがあり、
線分PQはBCと平行であり、線分BC上にある点RとAを結んだ線分ARとPQの交点をSとしたときPS:SQ＝BR:RCになるのはなぜですか？

よろしくお願いします

No.28194 - 2014/08/12(Tue) 13:33:54

☆ Re: / ☆ミ

△APS∽△ABRで、この相似比をm:nとすると
AS:AR＝m:n
また△AQS∽△ACRであるが、この相似比はAS:AR＝m:nである
したがって、
PS:SQ＝x:yとすると
BR:RC＝(n/m)x:(n/m)y＝x:y
よってPS:SQ＝BR:RCである

みたいな感じです

No.28196 - 2014/08/12(Tue) 15:29:01

☆ Re: / パスカル

ありがとうございます
BR:RC＝(（ｍ＋n）/m)x:(（ｍ＋n）/m)y＝x:y
ですね？

文字をおかずにやることはできませんでしょうか？

No.28256 - 2014/08/14(Thu) 18:27:08

☆ Re: / X

別解)
PQ//BCですので
PS:BR=SQ:RC
これより
BR・SQ=PS・RC
変形して
BR/RC=PS/SQ
よって
BR:RC=PS:SQ
つまり
PS:SQ=BR:RC

No.28276 - 2014/08/15(Fri) 19:47:23

★ 教えてください / 鎖那

(1) 一の位が0でない2けたの自然数をA, この自然数Aの十の位の数と一の位の数とを入れかえてできる自然数をBとするとき、A+Bが11の倍数になることを説明しなさい。

(2) 2けたの正の整数がある。この整数の十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数を8倍した数と、もとの数との和をNとする。このとき、整数Nは9の倍数であることを、文字式を使って説明しなさい。

No.28193 - 2014/08/12(Tue) 09:33:32

☆ Re: 教えてください / ☆ミ

(1)(2)とも元の整数の10の位をa, 1の位をbとすると

(1)
A＝10a＋b
B＝10b＋a
A＋B＝11(a＋b)

(2)
N
＝(10b＋a)×8＋(10a＋b)
＝18a＋81b
＝9(2a＋9b)

No.28195 - 2014/08/12(Tue) 15:19:00

☆ Re: 教えてください / 鎖那

ありがとうございます^^

No.28205 - 2014/08/12(Tue) 23:49:57