関数 fn(x) (n=1,2,･･･) を
f(x)=x^3-3x√(3)/2 f1(x)=f(x)
fn(x)=f(fn-1(x)) (n=2,3,･･･)
と帰納的に定義する｡このとき､ fn(x)=0 を満たす実数xの個数を求めよ｡
xの個数について漸化式を作ろうと試みたのですが､うまくいきません｡
ちなみにxの個数は n=1のとき3 n=2のとき7 n=3のとき13 となっています｡
ご教授お願いします｡
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No.27361 - 2014/06/24(Tue) 21:28:22
| ☆ Re: 方程式の解の個数 / 名前 | | | 訂正です｡xの個数は n=3のとき15 となります｡
おそらく nのとき 3^n-1+2^n となるのではと推測しているのですが･･･
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No.27370 - 2014/06/25(Wed) 01:01:30 |
| ☆ Re: 方程式の解の個数 / 黄桃 | | | 記述が面倒なので、p=√(√3/2)=3^(1/4)/2^(1/2) と書くことにします。
(以下√3pとあるのは(√3)pのことです。念のため）
f_(n+1)(x)=f(f_n(x))=f(f(...(f(x))...)=f_n(f(x)) であることに注意します。
最初に、kを実数とする時、方程式f(x)=k の解xのとりうる値について整理しておきます。
(a)k<-√3 p の時 x<-2p なる解が１つ
(b)k=-√3 p の時 x=-2p,p なる２つの解
(c)-√3 p < k<0 の時 -2p<x<-√3p, 0<x<p, p<x<√3 p なる３つの解
(d)k=0 の時 ±√3 p, 0 の３つの解
(e)0<k<√3p の時 -√3p<x<-p, -p<x<0, √3p<x<2p なる３つの解
(f)k=√3 p の時 x=-p,2p なる２つの解
(g)k>√3p の時 x>2pなる１つの解
これを踏まえて、f_n(x)=0 の解について、上の分類に応じて
-√3pより小さいものを(a)型とよび、そのような解の総数を a[n]、
-√3p と等しいものを(b)型とよび、そのような解の総数を b[n] (i.e. -√3p が解である時1, そうでない時0)
-√3p より大きい負のものを(c)型とよび、そのような解の総数を c[n]、
以下同様に、(d),(e),(f),(g)型、およびd[n],e[n],f[n],g[n]を定めます。
T[n]={t|f_n(t)=0} とすると,最初に述べた注意から、f_(n+1)(x)=0 の解は ∪[t∈T[n]] {x|f(x)=t}です。
tが異なれば対応する解xも異なるので、f_(n+1)(x)=0 の解の数はΣ_[t∈T] (f(x)=tを満たすxの数)となります。
あとは、tの型に応じて、f(x)=tの解がどのような型になるか調べ、
a[n+1]=a[n]+b[n]+c[n]
b[n+1]=d[n]
c[n+1]=2e[n]+f[n]
d[n+1]=d[n]
e[n+1]=b[n]+2c[n]
f[n+1]=d[n]
g[n+1]=e[n]+f[n]+g[n]
という漸化式を得ます。
これをa[1]=0,b[1]=1,c[1]=0,d[1]=1,e[1]=0,f[1]=1,g[1]=0のもとで解いて、a[n]+...+g[n] を求めればＯＫです。
こちらの計算では、2^(n+1)-1 となり、たしかにn=3 までは合っています。
＃向こうの掲示板の注意事項にマルチポストに関するルールがあり、それに抵触してますね。
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No.27403 - 2014/06/26(Thu) 05:43:38 |
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