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★ 青で囲んだ部分の公式がわかりません / 悩める人
なぜ三角形の辺をそれぞれ足し合わせたLとRをかけたらSになるんでしょう？
No.27278 - 2014/06/21(Sat) 15:10:41
☆ Re: 青で囲んだ部分の公式がわかりません / IT
Rが内接円の半径だからです。
図を描いて確認してください。

内接円の中心から各頂点へ線分を引き
内接円の中心から各辺へ垂線を下ろします。
No.27279 - 2014/06/21(Sat) 15:15:07
☆ Re: 青で囲んだ部分の公式がわかりません / 悩める人
ありがとうございました！
No.27283 - 2014/06/21(Sat) 16:11:18
★ 整数の問題 / わん
すべての係数が整数である三次の整式g(x)が次の二つの条件
(A)x^3の係数は1である
(B)すべての整数nに対してg(n)は3の倍数である
を満たすならば、g(x)は、ある整数a,b,cを用いてg(x)=x^3 -x+3(ax^2+bx+c)と表されることを示せ

という問題が全く分かりません！誰か教えて下さい！
No.27229 - 2014/06/20(Fri) 22:15:01
☆ Re: 整数の問題 / IT
g(x)=x^3-x+sx^2+tx+u (s,t,uは整数）とおける
g(0),g(1),g(-1)を調べるとs,t,uが３の倍数であることが分かると思います。


なお、x^3-x=(x-1)x(x+1) なので任意の整数nに対してn^3-nは３の倍数
No.27231 - 2014/06/20(Fri) 22:34:20
★ (No Subject) / k
タテ9cm.よこ12cmの長方形の紙がある。このかみに1回はさみをいれて、紙全部を使って正方形をつくれ
はさみはどういれますか？
No.27220 - 2014/06/20(Fri) 19:00:19
☆ Re: / k
すいません横は16センチです
No.27223 - 2014/06/20(Fri) 19:14:56
☆ Re: / X
問題の紙の面積は
9[cm]×16[cm]=144[cm^2]
ですのでできる正方形の辺の長さは
12[cm]
従って
タテ9cm.よこ12cmの長方形
ができるようにはさみを入れます。
No.27228 - 2014/06/20(Fri) 21:17:02
☆ Re: / らすかる
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(1マス1cm×1cm)
こういうふうに切って組み合わせれば
正方形になりますね。

> Xさん
タテ9cm.よこ12cmの長方形を作ってもどうにもならないのでは？
No.27232 - 2014/06/20(Fri) 22:38:03
☆ Re: / ヨッシー

ちょっと試しに。
No.27243 - 2014/06/21(Sat) 01:26:55
★ (No Subject) / HT
(1)s≦tを満たす任意の正の整数s、tに対して
｜a_s + a_t ー a_s+t ｜< t/sが成り立つとき、任意の正の整数nに対して(a_n/a_1)＝nが成り立つといえるか。
(2)s≦tを満たす任意の正の整数s、tに対して
｜a_s + a_t ー a_s+t ｜≦ t/s が成り立つとき、任意の正の整数nに対して(a_n/a_1)＝nが成り立つといえるか。
No.27218 - 2014/06/20(Fri) 18:26:03
☆ Re: / IT
条件不足では？
任意の正の整数nについてa_n=0　のとき
s≦tを満たす任意の正の整数s、tに対して
｜a_s + a_t ー a_s+t ｜< t/sが成り立ちますが
(a_n/a_1)＝nは成り立ちません。
No.27221 - 2014/06/20(Fri) 19:03:08
☆ Re: / HT
a_1、a_2、・・・、a_nを正の整数とするというのが抜けてました。
No.27222 - 2014/06/20(Fri) 19:12:43
☆ Re: / みずき
この問題は、今日発売の大学への数学の宿題(締め切り前)だと思います。
No.27225 - 2014/06/20(Fri) 19:21:08
★ 知識的な質問です。 / 悩める人
青線のところなんですがなんで連続である必要があるんでしょうか？
No.27209 - 2014/06/20(Fri) 15:52:44
☆ Re: 知識的な質問です。 / らすかる
連続でないと積分できない可能性があるからだと思います。
No.27215 - 2014/06/20(Fri) 17:11:16
★ (No Subject) / 悩める人
(2)がよくわかりません
なぜrを任意のtで表してそれを(1)の通過領域の面積に代入したら体積が出るのか？
普通に立体の体積の公式に代入するだけだではいけないんですか？
No.27208 - 2014/06/20(Fri) 15:34:43
☆ Re: / ＿
私はこのような特殊な図形の体積を求められる公式は知らないのですが、それを使って同じ値が出るのであればひとまず正しい可能性はあります。実際にやって比較してみましたか？
No.27210 - 2014/06/20(Fri) 16:23:20
☆ Re: / ヨッシー
＿さんの繰り返しになりますが、テキストの方法が正攻法だと思います。
逆に、体積の公式は知りません。

また、「面積に代入したら体積が出る」のではなく、
ｚ座標ｔの位置で切った断面の面積を(1) の式から求め、
これを、ｚ方向に積分すると体積が出るのです。
No.27211 - 2014/06/20(Fri) 16:50:23
☆ Re: / 悩める人
理解できるまで考えてみます(ｰ ｰ;)
ありがとうございました！
No.27216 - 2014/06/20(Fri) 17:24:32
★ 方程式 / tomtomsk
次の方程式の解き方を教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

√(2x-5)-√(x-2)=2
No.27201 - 2014/06/20(Fri) 11:22:43
☆ Re: 方程式 / ヨッシー
両辺２乗して
　(2x-5)+(x-2)−2√(2x-5)(x-2)＝4
展開して移項して
　3x-11＝2√(2x^2-9x+10)
両辺２乗して
　9x^2−66x＋121＝4(2x^2-9x+10)
整理して
　x^2−30ｘ＋81＝0
これを解いて
　ｘ＝3,27
このうち、√(2x-5)-√(x-2)=2 を満たすのは、
　ｘ＝２７
No.27202 - 2014/06/20(Fri) 11:34:11
★ パズル / シャルル
ある国のサッカー・リーグにおいて、上位５チームＡ〜Ｅについて次のア〜オのことが分かっているとき、首位のチームと４位のチームの勝ち点差が最も大きい場合はどれか。複数のチームの勝率が同率となった場合は同順位とする。


（条件）
・ＡとＢの勝ち点差は３である。
・ＢとＣの勝ち点差は４である。
・ＣとＤの勝ち点差は２である。
・ＤとＥの勝ち点差は６である。
・ＥとＡの勝ち点差は３である。


（答）

１　Ａが首位の場合。（他と同率首位でも良い）
２　Ｂが首位の場合。（他と同率首位でも良い）
３　Ｃが首位の場合。（他と同率首位でも良い）
４　Ｄが首位の場合。（他と同率首位でも良い）
５　Ｅが首位の場合。（他と同率首位でも良い）


よろしくお願いします。
No.27198 - 2014/06/20(Fri) 10:41:03
☆ Re: パズル / ヨッシー
Ａ〜Ｅの勝ち点をａ〜ｅとすると、
　ａ−ｂ＝３　または　−３　（以下±３と書く）
　ｂ−ｃ＝±４
　ｃ−ｄ＝±２
　ｄ−ｅ＝±６
　ｅ−ａ＝±３
全部の式を足すと、左辺は０になります。
そこで、右辺も０になるように符号を決めると、
＋９点と−９点に分ければ良いので、
　ａ−ｂ＝３
　ｂ−ｃ＝４
　ｃ−ｄ＝２
　ｄ−ｅ＝−６
　ｅ−ａ＝−３　およびその異符号

　ａ−ｂ＝−３
　ｂ−ｃ＝４
　ｃ−ｄ＝２
　ｄ−ｅ＝−６
　ｅ−ａ＝３　およびその異符号

前者からは
　ａ<-3->ｂ＝ｅ<-4->ｃ<-2->ｄ　およびその逆
後者からは
　ｂ＝ｅ<-3->ａ<-1->ｃ<-2->ｄ　およびその逆

前者から得られる情報は
　Ａが首位でＣが４位　勝ち点差７
　Ｄが首位でＢまたはＥが４位（３位）　勝ち点差６
後者から得られる情報は
　ＢまたはＥが首位でＣが４位　勝ち点差４
　Ｄが首位でＢまたはＥが４位　勝ち点差６
となります。
No.27203 - 2014/06/20(Fri) 11:51:16
☆ Re: パズル / シャルル
ありがとうございました。
No.27219 - 2014/06/20(Fri) 18:27:30
★ ！！ / あいぽん
お願いします😭
No.27186 - 2014/06/19(Thu) 22:39:56
☆ Re: ！！ / X
丸に数字は文字化けしますので改めて
abc=1 (A)
(a+1)(b+1)(c+1)=1 (B)
と置きます。
(1)
(B)より
abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1=1
これに(A)と
a+b+c=t (C)
を代入して
ab+bc+ca=-t-1 (D)
(A)(C)(D)から三次方程式の解と係数の関係により
求めるxの三次方程式は
x^3-tx^2-(t+1)x-1=0

(2)
(a-1)(b-1)(c-1)=-1 (P)
と改めて置きます。

(1)の結果から
x^3-tx^2-(t+1)x-1=(x-a)(x-b)(x-c) (E)
と因数分解できます。
(E)にx=1を代入すると
(1-a)(1-b)(1-c)=-2t-1
∴(a-1)(b-1)(c-1)=2t+1
これと(P)より
2t+1=-1
∴t=-1
よって(1)の結果からa,b,cはxの三次方程式
x^3+x^2-1=0 (Q)
の解となります。
ここで
f(x)=x^3+x^2-1
と置くと
f'(x)=3x^2+2x=x(3x+2)
∴f(x)は
極大値f(-2/3)=-8/27+4/9-1=-23/27
極小値f(0)=-1
を取りますのでy=f(x)のグラフはx軸と交点を
１箇所のみ持ち、しかもその交点で
y=f(x)のグラフはx軸を接線として持ちません。
よって(Q)は重解でない実数解を一つしか持たないので
命題は成立します。
No.27188 - 2014/06/19(Thu) 23:54:03
☆ Re: ！！ / あいぽん
ありがとうございます😭
No.27191 - 2014/06/20(Fri) 00:46:24
★ 群数列2 / あいぽん
お願いします😭
No.27185 - 2014/06/19(Thu) 22:39:05
☆ Re: 群数列2 / X
(1)
条件により求める自然数の値は
Σ[k=1〜n-1]3k+1=(3/2)n(n-1)+1
(2)
(1)の結果により第n組の末項の値が
(3/2)n(n+1)+1-1=(3/2)n(n+1) (A)
であることに注意すると求める値は
Σ[k=(3/2)n(n-1)+1〜(3/2)n(n+1)]k
=Σ[k=1〜(3/2)n(n+1)]k-Σ[k=1〜(3/2)n(n-1)]k
=…
(3)
(A)を使うと求める値は
Σ[k=1〜(3/2)n(n+1)]k=…
(4)
1000が第k組のl番目に現れるとすると(1)の結果により
(3/2)k(k-1)+1≦1000≦(3/2)k(k+1) (B)
l=1000-(3/2)k(k-1) (C)
(B)をNo.27188の(3)と同様な計算で解いて
自然数kの値を求め、得られた結果を
(C)へ代入します。
No.27190 - 2014/06/20(Fri) 00:40:56
★ 群数列 / あいぽん
お願いします😭
No.27184 - 2014/06/19(Thu) 22:38:21
☆ Re: 群数列 / X
(1)
問題の群数列の第k群の末項の値は
k+(k-1)=2k-1
よって99が第k群の末項だとすると
2k-1=99
∴k=50
よって
Σ[k=1〜50]k=1275
により99がはじめて現れるのは1275項となります。
(2)
数列の第1999項が第l群であるとすると
Σ[k=1〜l-1]k+1≦1999≦Σ[k=1〜l]k
これより
(1/2)l(l-1)+1≦1999 (A)
1999≦(1/2)l(l+1) (B)
(A)より
l^2-l-3996≦0
(1-√15985)/2≦l≦(1+√15985)/2 (A)'
(B)より
l^2+l-3998≧0
l≦(-1-√15993)/2,(-1+√15993)/2≦l (B)'
(A)'(B)'により
(-1+√15993)/2≦l≦(1+√15985)/2
ここで
126＜√15993＜127,126＜√15985＜127
により
62+1/2＜(-1+√15993)/2＜63 (C)
63+1/2＜(1+√15985)/2＜64 (D)
(B)'(C)(D)により
l=63
よって第1999項は第63群に存在し、その群の中で
1999-Σ[k=1〜62]k=47
により47番目となりますので、その値は
63+47-1=109
となります。
No.27189 - 2014/06/20(Fri) 00:29:49
★ 正誤判定 / シャルル
ｍ、ｎは１以上の整数とする。次のＡ〜Ｃの記述の正誤を判定してください。

Ａ　４^m６^nの一の位は４又は６である。

Ｂ　３^m７^nの一の位が３ならば、３^n７^mの１の位は７　　　である。

Ｃ　ｍ＋ｎ＝３３ならば、３^m８^nの１の位は８である。


よろしくお願いします。
No.27183 - 2014/06/19(Thu) 22:05:19
☆ Re: 正誤判定 / ヨッシー
いずれも正です。
No.27194 - 2014/06/20(Fri) 09:09:18
★ 確率 / シャルル
普通のサイコロと違う正四面体のサイコロが２個ある。一方のサイコロには１から４までの異なる数がそれぞれの面に１つ書かれている。もう一方のサイコロには＋、−、×、÷の異なる４つの演算記号が書かれている。

サイコロを振ったときに底面に書かれているものを出目とする。いずれの面も出る確率は等しい。

初めに数が書かれているサイコロを振り、数を決める。
次に、記号が書かれているサイコロを振って演算を決める。さらに、もう一度数が書かれているサイコロを振って、計算を決める。（例：２×４など）

この計算結果が、整数にならない、または負となる確率はいくらか。


よろしくお願いします。
No.27178 - 2014/06/19(Thu) 20:33:20
☆ Re: 確率 / ヨッシー
演算が＋と×の場合は必ず整数になるので、−と÷について考えます。
−の場合（前後の数の出方は１６通り）
(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4) の６通りが負となります。
÷の場合（同じく１６通り）
(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,2)(3,4)(4,3) の８通りが整数になりません。
目の出方は全部で４×４×４＝６４（通り）なので、
求める確率は、１４／６４＝７／３２
No.27179 - 2014/06/19(Thu) 20:41:41
☆ Re: 確率 / シャルル
ありがとうございます。
No.27182 - 2014/06/19(Thu) 21:28:23
★ 不等式 / リックマン
?@a,b,x,yが実数のとき、不等式(a^2−b^2)(x^2−y^2)≦(ax−by)^2
を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
?Ax^2−y^2＝1のとき、3x−yのとりうる値の範囲を求めよ。2問同時で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
No.27164 - 2014/06/19(Thu) 17:12:59
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
(1)
(右辺)−(左辺) を計算して (右辺)−(左辺)≧０ を示します。
その際、(右辺)−(左辺)＝０ となるのが、等号が成り立つ条件です。

(2)
３ｘ−ｙ＝ｋ と置いて、ｙ＝３ｘ−ｋ を x^2−y^2＝１ に代入します。
　x^2−(3x-k)^2＝１
　-8x^2＋6kx−k^2＝１
　8x^2−6kx＋k^2＋1＝０
これが、実数解を持つときのｋの範囲を求めます。
No.27167 - 2014/06/19(Thu) 17:44:56
☆ 注意 / angel
前の小問の結果をヒントとして利用する、というのは良くある話ですが、今回は上手く行かないので、ご注意を。
つまり、(1)の不等式に、a=3, b=1, x^2-y^2=1 を代入することで、
8≦(3x-y)^2 という不等式が得られ、正答と同じ結果にはなるのですが…
そう解答を書くと、漏れなく×か大減点が貰えると思います。
No.27187 - 2014/06/19(Thu) 23:28:13
★ 数3の回転体の体積の質問 / 悩める人
なんでしたの方のグラフを折り返すかわからないので教えください
あと青線のところはどの様に出したんですか？
No.27162 - 2014/06/19(Thu) 16:45:03
☆ Re: 数3の回転体の体積の質問 / ヨッシー
まずは、下の図の図形を、赤い線を中心に回転させたとき、
両方同じ立体になるのはわかりますか？

No.27168 - 2014/06/19(Thu) 17:52:20
☆ Re: 数3の回転体の体積の質問 / ヨッシー

青線の部分は、３つの積分がありますが、左から順に、
?@赤い部分を回転させた立体の体積
?A青と黄色の部分を回転させた立体の体積
?B黄色の部分を回転させた体積
で、?@＋?A−?B で、赤と青の部分を回転させた体積となります。
No.27169 - 2014/06/19(Thu) 17:59:33
☆ Re: 数3の回転体の体積の質問 / 悩める人
わかります
ということはしたのグラフと重なるのをふせぐ？みたいなことですか？
No.27170 - 2014/06/19(Thu) 18:01:01
☆ Re: 数3の回転体の体積の質問 / 悩める人
理解できました！
また質問があったらお願いに来ます！
No.27171 - 2014/06/19(Thu) 18:03:33
☆ Re: 数3の回転体の体積の質問 / ヨッシー
理解できてよかったです。

折り返すのは、「重なるのを防ぐ」というより、
「元の図のままでは、どこが重なっているかわからないため」
です。
No.27172 - 2014/06/19(Thu) 18:12:52
★ 定積分 / nadenade
赤ペンのようになるのはどうしてですか？
よろしくお願い致します。
No.27138 - 2014/06/19(Thu) 08:52:06
☆ Re: 定積分 / らすかる
F(x)=∫[0〜x]-(t^2-4t+3)dt+∫[0〜1]x^2-4x+3dx
という式が正しくありません。正しくは
F(x)=∫[1〜x]-(t^2-4t+3)dt+∫[0〜1]x^2-4x+3dx
です。2個目も同様。
No.27140 - 2014/06/19(Thu) 09:36:54
★ 軌跡 / シャルル
すみません、先日の奇跡の問題なのですが、Ｐの軌跡の「長さ」の値はどうなるのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.27135 - 2014/06/19(Thu) 08:47:08
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
四分の一円が３個（半径はそれぞれ10,10√2,10）なので．．．
No.27137 - 2014/06/19(Thu) 08:50:55
☆ Re: 軌跡 / シャルル
分かりました。ありがとうございました。
No.27149 - 2014/06/19(Thu) 12:45:16
★ (No Subject) / さら
4^x+4^-x+a(2^x+2^-x)-1=0の実数解の個数を求めよ。
No.27133 - 2014/06/19(Thu) 08:33:47
☆ Re: / ヨッシー
Ｘ＝2^x とおくと、
2^x＋2^(-x)＝m は、Ｘ＋１／Ｘ＝ｍ と書け、
両辺Ｘを掛けると
　Ｘ^2−ｍＸ＋１＝０
判別式　ｍ^2−４＞０　かつ　軸：ｘ＝ｍ/２＞０ のとき
つまり ｍ＞２ のとき、Ｘは異なる２つの正の解をもち、
ｍ＝２のときＸは重解Ｘ＝１を持ちます。

ｍ^2＝4^x＋4^(-1)＋2 であるので、
4^x+4^-x+a(2^x+2^-x)-1=0 は、
　ｍ^2＋ａｍ−3＝０　・・・(i)
と書けます。f(m)＝ｍ^2＋ａｍ−3 とおくと、
f(0)＝−３＜０　より(i) の解は、異符号の実数解です。
f(2)＝２ａ＋１ が、
　正のとき：ｍの正の解は２未満なので、ｘの実数解は０個
　０のとき：ｍ＝２ より、ｘの実数解はｘ＝０　の１個
　負のとき：ｍの正の解は２より大きく、ｘの実数解は２個
No.27136 - 2014/06/19(Thu) 08:49:35
★ 軌跡 / シャルル
縦20ｃｍ、横30cmの長方形の中に、下図のように、１辺の長さが10ｃｍの正方形とその頂点Ｐがある。（最も左下の領域です。その正方形の右上の頂点がＰ）

この正方形が全体の図形の周に沿って滑ることなく右方向に回転するとき、Ｐが初めて元のの位置に戻るまでに描く軌跡の長さはいくらか。

よろしくお願いします。

　 10cm　　　10cm 10cm
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
10 |　　　　　|　　　　　|　　　　 |
cm | | | |
| | | |
|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿ |
10 |　　　　Ｐ| | |
cm | | | |
| | | |
|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿ |

No.27118 - 2014/06/18(Wed) 20:44:51
☆ Re: 軌跡 / シャルル
すみません、投稿したら図が変になってしまいました。↑

縦20ｃｍ、横30cmの長方形の中に、１辺の長さが10ｃｍの正方形とその頂点Ｐがあるという状況です。（最も左下の領域にあります。その正方形の右上の頂点がＰ）
No.27119 - 2014/06/18(Wed) 20:47:00
☆ Re: 軌跡 / シャルル
これです。
No.27122 - 2014/06/18(Wed) 20:52:07
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー

正方形は元に戻っていませんが、「Ｐが」ということなので、
これで良いと思います。
No.27126 - 2014/06/18(Wed) 23:01:09
★ (No Subject) / tt
今更って感じがするのですが、数学ってセンス云々よりいかに正確に与えられた条件を同値変形できるかじゃないですか？
No.27114 - 2014/06/18(Wed) 20:13:16
☆ Re: / らすかる
x,y,zは自然数、nは3以上の自然数のとき
x^n+y^n=z^n を満たすx,y,z,nが存在しないことを証明せよ。
という問題が「同値変形」で解けるとは思えません。
No.27123 - 2014/06/18(Wed) 21:23:52
☆ Re: / IT
>数学ってセンス云々よりいかに正確に与えられた条件を同値変形できるかじゃないですか？

間違いだと思います。どういう方向にどう変形するのかが大きな問題です。

それと、前の同値関係の質問は理解されたのでしょうか？
No.27124 - 2014/06/18(Wed) 21:25:54
☆ Re: / カミｭ
数学は量でしょ、どれだけ多くのパターンが頭に入ってるか、 これで決まる そっから先はやっぱ才能じゃないの
No.27125 - 2014/06/18(Wed) 22:04:03
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