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★ 証明の写真です。 / ふぇるまー
↓の2問目です。
No.27063 - 2014/06/17(Tue) 23:59:29
☆ Re: 証明の写真です。 / X
問題の不等式を(A)とします。
(i)n=1のとき
成立は明らか
(ii)n=kのとき、(A)の成立を仮定します。
つまり
(1+a)^k≧1+ka (A)'
n=k+1のとき
((A)の左辺)=(1+a)(1+a)^k
≧(1+a)(1+ka) (∵)(A)'より
=1+(k+1)a+ka^2
＞((A)の右辺)
∴このときも(A)は成立。

以上から(A)は成立します。
No.27064 - 2014/06/18(Wed) 00:23:01
☆ Re: 証明の写真です。 / ふぇるまー
ありがとうございます。今後共よろしくおねがいします。
No.27129 - 2014/06/18(Wed) 23:28:46
★ 3次関数、数列 / ふぇるまー
貼付写真:3次関数のｸﾞﾗﾌの問題。
なんとなくしか書き方がわかりません、それとy´=0として
解く際に因数分解した方がよいですよね？

貼付写真:数列　数学的帰納法の証明です。
以上2問解説願います。
ご教授の際できればこちらでｸﾞﾗﾌを書いてくださるとなおありがたいです。
No.27062 - 2014/06/17(Tue) 23:58:33
☆ Re: 3次関数、数列 / X
>>なんとなくしか書き方がわかりません
三次関数のグラフを描く場合は以下のことを
押さえておきましょう。
1)まず形状が問題ないか。
極大点、極小点がある場合
x^3の係数が正ならばグラフの形状はNの形
x^3の係数が負ならばグラフの形状は逆Nの形
になります。
2)必要な点の座標が書き入れられているか。
極大点、極小点がある場合はx座標、y座標を
点線でx軸、y軸への垂線を描くことで分かるように
します。
後はy切片を書き入れておくと尚よいでしょう。

>>それとy´=0として解く際に因数分解した方がよいですよね？
その通りです。
No.27068 - 2014/06/18(Wed) 10:13:21
☆ Re: 3次関数、数列 / ふぇるまー
解りました。グラフ何度も書いてがんばります。
No.27128 - 2014/06/18(Wed) 23:27:53
★ (No Subject) / tt
これって何故同値ではないのですか？
?@?Aはxの条件です。
No.27059 - 2014/06/17(Tue) 22:33:10
☆ Re: / らすかる
?@が「偶数」
?Aが「奇数」
xが{1,2,3}の中の要素だとすると
「すべてのxについて偶数または奇数」は正しいですね。
しかし
「すべてのxについて偶数」と
「すべてのxについて奇数」は
どちらも成り立ちませんので
「すべてのxについて偶数」または「すべてのxについて奇数」
は正しくありません。

上が正しくて、下が正しくないということは同値でないということです。
No.27060 - 2014/06/17(Tue) 22:38:10
☆ Re: / angel
字面だけ見ていてもどうしようもないので、必ず具体例を
自分で作ることです。
例えば、xを「学校Sの生徒」、?@を「男である」、?Aを「女である」としてみましょうか。
そうすると、前者の命題は、
　学校Sの生徒は全て、男または女(有り得ないけど、男女でもよい)である。
　…この場合は常に真ですね。
後者は、
　学校Sの生徒は全て男、または全て女である。
　…まあ、男子校か女子校ってところですか。
ということで、一致しない例ができます。
　
No.27061 - 2014/06/17(Tue) 22:55:26
☆ Re: / IT
今年の京大入試理系４番にそのことがポイントのひとつになった問題が出題されていましたね。

さて、
「すべての実数ｘについて、x＜0またはx≧0」は真ですが。
「「すべての実数ｘについてx＜0」または「すべての実数ｘについてx≧0」」は偽です。
No.27065 - 2014/06/18(Wed) 00:44:30
★ 連続 / Catalina
行列式について教えてください。

行列式って展開すると多項式の形になるのですよね。
f(A):=Σsgn(σ)a_{1σ(1)}a_{2σ(2)}…a_{nσ(n)}
なのでn次多項式になっているので,
fは連続な関数といえますよね?
No.27053 - 2014/06/17(Tue) 19:33:30
☆ Re: 連続 / ペンギン
行列の各要素に関して連続、ということでしょうか？

もし、そういう意味でしたら、合っています。
No.27054 - 2014/06/17(Tue) 19:49:03
☆ Re: 連続 / Catalina
そうです。

もっと言えば,至る所で微分可能ですよね?
No.27056 - 2014/06/17(Tue) 20:19:36
★ 三角関数 / みみ
y=2sin(6x-2π)＋1(0≦x<2π)とx軸との共有点の個数を求めよ。

グラフがよく分かりません。
No.27031 - 2014/06/17(Tue) 15:44:56
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
ｙ＝sinｘ
ｙ＝sin(6x)
ｙ＝{6(ｘ−π/3)}
ｙ＝２{6(ｘ−π/3)}
ｙ＝２{6(ｘ−π/3)}＋１
の順にグラフを描いてみましょう。

図は、ｙ＝sin(6x) 以降のグラフです。

No.27037 - 2014/06/17(Tue) 16:25:14
★ パズル / シャルル
Ａ〜Ｃの３クラスがあり、それぞれの生徒数は異なる。この３クラスにおいて、問１、問２の２問からなる試験を行い、以下のことが分かっている。このとき、生徒数が多い順番にクラスを並べるとどうなるか。

条件
・２題合わせた正答率は、どのクラスも同じである。
・Ａでは、問１と問２の正解者数は同じである。
・ＡとＢの問２の正解者数は同じである。
・Ａの問１の正答率は他の２クラスより高い。
・問１の正解者数は、１つのクラスはＡより多く、もう１つのクラスはＡより少ない。

正解は…？

１　Ａ→Ｂ→Ｃ
２　Ａ→Ｃ→Ｂ
３　Ｂ→Ｃ→Ａ
４　Ｃ→Ａ→Ｂ
５　Ｃ→Ｂ→Ａ

よろしくお願いします。
No.27008 - 2014/06/17(Tue) 12:47:21
☆ Re: パズル / ヨッシー
条件を上から順に、１，２，３，４，５ とします。
分かることを順に書いていくと、

条件２より　Ａの問１の正答率＝Ａの問２の正答率
これと条件１，４より、Ａの問２の正答率は他の２クラスより低い
これと条件３より「ＢはＡより人数が少ない」
さらに、条件５より「Ａより人数の多いクラスがある」
以上より、答えは４です。
No.27017 - 2014/06/17(Tue) 14:56:08
★ (No Subject) / tt
この漸化式はとけますか。
No.26974 - 2014/06/16(Mon) 22:18:07
☆ Re: / ast
本質的にはチェビシェフの多項式というやつですね (そのものではない).「解ける」というのが, (いくつかの小さい具体的な n に対してという意味ではなく) 一般の n に対して f_n(x) を多項式として具体的に書くという意味なら難しいのでは.

三角函数などを使った閉じた形に書くことや母函数の計算くらいはできそうですが (と言っても私がやる/やれるという意味ではありません).
No.26975 - 2014/06/16(Mon) 22:28:49
★ ミクロ経済学のゲーム理論 / まさ
混合戦略均衡の求め方について
(2)の問題で、混合戦略均衡の求め方がわかりません
よろしくお願いします。
答えは、二人とも確率0.01でA、確率0.99でC
となります
No.26970 - 2014/06/16(Mon) 21:07:41
★ 解説おねがいします！ / きの
aは正の定数とする。曲線x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ)(0<θ<2π)上の点Pにおける法線が直線x=πaと交わる点をQとする。ただしPは点(πa,2a)とは異なる点である。
(1)Qのy座標をθで表せ
(2)θをπに近づけるときQはどのうような点に近づくか
No.26935 - 2014/06/15(Sun) 20:37:34
☆ Re: 解説おねがいします！ / みずき
(1)
点Pにおける法線の方程式は、
y-a(1-cosθ)=-(1-cosθ){x-a(θ-sinθ)}/sinθ
x=πaを代入して、yについて整理すると、
y=a(1-cosθ)(θ-π)/sinθ
これがQのy座標です。

(2)
θ-π=t⇔θ=t+πとすると
Qのy座標=a{1-cos(t+π)}t/sin(t+π)
=a(1+cost)t/(-sint)
=(t/sint)*{-a(1+cost)}
→1*{-a*(1+1)} (θ→π⇔t→0のとき)
=-2a
∴Qは(πa,-2a)に近づきます。
No.26936 - 2014/06/15(Sun) 21:18:24
★ (No Subject) / tt
この問題で、6回目をn回目に一般化したときってできますか？
No.26914 - 2014/06/15(Sun) 15:02:51
☆ Re: / ヨッシー
３円になるのは偶数回のときなので、2n 回として考えます。
2n回目に太郎君が
　１円の確率をＡn、３円の確率をＢn
とします。ただし、Ａ0＝０，Ｂ0＝１。
１円の状態から、太郎君が
　負け→勝ち　確率1/4 終了
　負け→負け　確率1/4 終了
　勝ち→負け　確率1/4 １点
　勝ち→勝ち　確率1/4 ３点
３円の状態から、太郎君が
　負け→勝ち　確率1/4 ３点
　負け→負け　確率1/4 １点
　勝ち→負け　確率1/4 ３点
　勝ち→勝ち　確率1/4 終了
以上より、
　Ａ(n+1)＝(1/4)Ａn＋(1/4)Ｂn
　Ｂ(n+1)＝(1/4)Ａn＋(1/2)Ｂn
この先はこちらを見ていただくとして
結果は以下の通りです。

No.26920 - 2014/06/15(Sun) 15:57:05
☆ 余談 / angel
細かい所ですが、ちょっと曖昧でよろしくない問題文のように見えます。
「6回目のじゃんけんで太郎君の所持金が3円になる確率」の所ですが。
「で」を前提の意味で捉えるか ( つまり「じゃんけんが6回目まで続いた」という前提での「条件付き確率」として考えるか ) どうかで答えが変わってしまいますから。

…おそらく、問題の意図としては条件付き確率ではないのでしょうが。( ヨッシーさんの解説もそうですね )
No.26922 - 2014/06/15(Sun) 16:52:13
★ 速さ / シャルル
Ａ〜Ｃの三人が、２地点Ｘ、Ｙを結ぶ直線の道をそれぞれ一定の速度で走る。左側がＸ、右側Ｙとする。

Ａは、Ｘ地点から出発してＹへ向かって進み、Ｂは、Ｘより８Km離れたＹ方向へ進んだ地点から出発してＹ方向へ進む。Ｃは、Ｙから出発してＸに向かって進む。Ａ〜Ｃの３人が同時に出発し、以下の条件を満たすとき、Ａの速度はいくらか。

・Ａは３０分後にＢに追いつく。
・ＡとＣは４５分後に出会う。
・ＢとＣは１時間後に出会う。
・ＣがＸに到着後の１６分後に、ＢはＹに到着する。


よろしくお願いします。
No.26903 - 2014/06/15(Sun) 10:34:54
☆ Re: 速さ / ヨッシー

図のにおいて
ＯＡＥＦ を通る直線がＡの動きのグラフ
ＣＡＢＨ を通る直線がＢの動きのグラフ
ＤＥＢＪ を通る直線がＣの動きのグラフ　です。
点Ａは、ＡがＢに追いつく点
点Ｅは、ＡとＣが出会う点
点Ｂは、ＢとＣが出会う点　です。

△ＣＡＯ≡△ＢＡＦ　より　ＢＦ＝８
△ＯＤＥ∝△ＦＢＥ（相似比3:1）　より　ＯＤ＝２４
これより、ＸＹ間が24km とわかります。

ＯＫ＝ａ とおくと、△ＯＫＣ∝△ＤＨＣ（相似比１：２） より　ＤＨ＝２ａ
　ＤＨ：ＫＪ＝ＤＧ：ＬＪ
より
　２ａ：(3a-16)＝60：(2a-76)
これより
　60(3a-16)＝2a(2a-76)
これを解いて、
　a=3, 80
a＞16 より　ａ＝８０(分)
よって、
Ｂの速さは　８÷８０×６０＝６(km/時)
ＡとＢの速さの差は　８÷(30/60)＝16(km/時)
なので、Ａの速さは　6＋16＝22(km/時)
となります。
No.26913 - 2014/06/15(Sun) 12:55:48
★ (No Subject) / 夏海
確率の問題ですが、よろしくお願いします。
No.26884 - 2014/06/14(Sat) 19:50:37
☆ Re: / 夏海
ごめんなさい、写真を逆にしてしまいました。
No.26885 - 2014/06/14(Sat) 19:53:30
☆ Re: / らすかる
最初の写真は逆さまですが、2番目の写真は横向き（ページの上が左側にある）に
見えます。スマホとかでは正しく見えるのかも知れませんが。
No.26886 - 2014/06/14(Sat) 20:49:19
★ (No Subject) / 加月
問題5、確率の問題です。よろしくお願いします。
No.26879 - 2014/06/14(Sat) 17:16:01
☆ Re: / X
(1)
二つのさいころの出る目が同じである確率に等しく
6/36=1/6

(2)
得点が1になる場合のさいころの目の組み合わせは
{1,2},{2,3}{3,4}{4,5}{5,6}{2,1}{3,2}{4,3}{5,4}{6,5}
の10[通り]
∴確率は
10/36=5/18

(3)
得点の最大値が
6-1=5
であることに注意して得点がk(k=0,1,2,3,4,5)のときの
確率(P[k]とします)をまず求めます。
得点がkのときのさいころの目の小さい方をlとすると
大きい方の目について
k+l≦6
∴l≦6-k
従って得点がkのときのさいころの目の出方は
k≠0のときはさいころの目の入れ替わりも
考慮に入れて
2(6-k)[通り]
となりますので
P[k]=2(6-k)/36=(6-k)/18
一方(1)の結果より
P[0]=1/6
よって求める期待値は
Σ[k=0〜6]kP[k]=Σ[k=1〜6]k(6-k)/18=…
No.26881 - 2014/06/14(Sat) 17:49:44
★ (No Subject) / tt
これでP(Sk=r)を直接求めるのは無理でしょうか。
No.26877 - 2014/06/14(Sat) 16:11:44
☆ Re: / angel
いや、多分できます。

おそらく
　P(Sk=r)
　= nCr/n^k・( r^k - rC1・(r-1)^k + rC2・(r-2)^k - … + (-1)^(r-1)・rC(r-1)・1^k )
　= nCr/n^k・Σ[i=0,r-1] (-1)^i・rCi・(r-i)^k
になると思います。
※いくつかのケースを計算すると、この式で丁度あっているので「思います」としています。
　少なくとも、これより込み入った形ですが、Σを繰り返す形で表すことはできます。

もちろん、この形で表せたとして、今回の問題へのアプローチとしてどうかという話は置いとくものとします。
No.26890 - 2014/06/15(Sun) 00:05:18
☆ Re: / tt
このΣってどう計算するのでしょう。
いま悪戦苦闘してますが、、、
とけますかね？
No.26911 - 2014/06/15(Sun) 12:46:44
☆ Re: / angel
> このΣってどう計算するのでしょう。
Σには「複数の項を足し合わせる ( 総和 )」以上の意味はありません。なので、素直に足してください。

確かに高校で出てくるΣには、より単純な形に整理できるもの ( 例えば Σ[k=1,n] r^(k-1) = (r^n-1)/(r-1) とか Σ[k=1,n] k=1/2・n(n+1) とか ) が多いです。
なので、もしかしたら「Σは必ずΣを含まない形に整理すべきもの」と思ってしまうかも知れませんが…
※「とけますかね？」という言葉にそういう含みを感じます

それ以上簡単にできない例も実際にはたくさんありますし、今回の例もそうです。
※簡単な形に整理しようとする心意気は良いです
No.26916 - 2014/06/15(Sun) 15:35:11
☆ 一例 / angel
例を挙げます。
n=5, k=4, r=3 の場合を考えてみましょう。
つまり、5枚のカードを4回引いたら3種類のカードが出る、という場合の確率ですね。

・手で数えて答えを出す場合
　1種類目のカードをa、2種類目をb、3種類目をcとした場合、
　カードの出方は、
　　aabc, abac, abbc, abca, abcb,abcc
　の6パターンです。
　ここで、a,b,cの組み合わせは 5P3=5×4×3=60通りあるため、カードの出方は60×6=360通り
　結局確率は、360÷5^4 で計算できます。

・私の挙げた式から計算する場合
　5C3 / 5^4 ・Σ[i=0,3-1] (-1)^i・3Ci・(3-i)^4
　= 10/5^4・( 3C0・3^4 - 3C1・2^4 + 3C1・1^4 )
　= 10/5^4・( 81 - 48 + 3 )
　= 360/5^4

ということで両者はちゃんと一致しています。

結局のところ、この計算の一番の肝は 1^k,2^k,…,r^k に係数をかけて足し引きするところなので、一般の式としてはΣを使った形以上に簡単にはならないのです。
No.26918 - 2014/06/15(Sun) 15:48:30
★ (No Subject) / tt
これってとけますか
No.26873 - 2014/06/14(Sat) 15:18:19
☆ Re: / angel
「解ける」かどうかではなく、「より簡単な式に整理(変形)できるか」という質問で良いでしょうか。

で、画像の通り Σ[m=1,n] mCk であれば trivialに「できます」が、本当にこれで良いのですか?
No.26876 - 2014/06/14(Sat) 16:08:13
☆ Re: / tt
すいません、自己解決しました。ありがとうございました！
No.26878 - 2014/06/14(Sat) 16:12:26
★ (No Subject) / tt
これってできますか。
No.26848 - 2014/06/13(Fri) 19:08:57
☆ Re: / みずき
a=0のとき、f(x)は直線を表すので、
|f(0)|≦1かつ|f(1)|≦1(・・・A)が必要十分です。

a≠0のとき、f(x)は放物線（頂点のx座標=-b/(2a)）を表すので、
頂点が区間内にあるときは、|f(-b/(2a))|≦1かつAが必要十分。
頂点が区間内にないときは、Aが必要十分です。

従って、
『a=0かつ|c|≦1かつ|a+b+c|≦1』
または
『a≠0かつ0≦-b/(2a)≦1かつ|c-b^2/(4a)|≦1かつ|c|≦1かつ|a+b+c|≦1』
または
『a≠0かつ「-b/(2a)＜0または1＜-b/(2a)」かつ|c|≦1かつ|a+b+c|≦1』

まとめると、
『a=0または「-b/(2a)＜0または1＜-b/(2a)」または|c-b^2/(4a)|≦1』
かつ|c|≦1かつ|a+b+c|≦1
No.26851 - 2014/06/13(Fri) 21:26:41
★ 高校一年 図形と式 円の方程式 / みどり
こんにちは。
かなり昔に同じような問題の質問をした記憶があるのですが、解答が得られなかったので
申し訳ありませんが再度質問させていただきます。

問題1
放物線C：y=x^2と円Dが4点P、Q、R、Sで交わっているとする。P、Q、Rが格子点であればSも格子点であることを示せ。

問題2
(1)xy平面上の円で、円周上にちょうど5個の格子点を持つものの一例を挙げよ。
(2)xy平面上の円で、円周上にちょうどn個の格子点を持つものが存在するような自然数nをすべて挙げよ。


問題1については、以下のように示しました。

円Dの式をx^2+y^2+ax+by+c=0 ･･･?@ 、放物線C：y=x^2 ･･･?A とおきます。
?Aを?@に代入し、x^2+x^4+ax+bx^2+c=0 整理して、x^4+(1+b)x^2+ax+c=0 ･･･?B
4点P、Q、R、Sのx座標をp、q、r、sとおくと、この4数は四次方程式?Bの解になっているので、
解と係数の関係よりp+q+r+s＝0である。すなわちs=-(p+q+r)である。
題意よりp、q、rは整数なのでsも整数。S(s,s^2)なのでSのy座標も整数であり、Sは格子点である。

問題2についてを教えてください。
問題1のように、円との交点が5つになるような5次方程式を用意しようと思いましたが、
それで円上に5つの格子点が用意できたとしても、円上にそれ以外の格子点が無いことが示せず難儀しています。
なにとぞよろしくお願いいたします。
問題1が問題2のヒントになっているかどうかも分かりませんので、問題1を利用しない解答でも大歓迎です。

ちなみに、以前質問した折には、この問題の解答は得られませんでしたが、「シンツェルの定理」というものを
教えていただきました。これで円上に任意の個数の格子点を設置できることは分かりましたが、当然この問題を解く上では
無関係のことと思います。
No.26812 - 2014/06/12(Thu) 15:32:38
☆ Re: 高校一年 図形と式 円の方程式 / みずき
こちら(↓)によれば、
http://mathworld.wolfram.com/SchinzelsTheorem.html
問題2の答えは次になるようです。

(1)(x-1/3)^2+y^2=(25/3)^2
(格子点は、(x,y)=(-2,±8),(7,±5),(-8,0)の5点)

(2)すべての自然数
No.26820 - 2014/06/12(Thu) 18:46:54
☆ Re: 高校一年 図形と式 円の方程式 / みどり
諸事情により返信が遅れまして申し訳ありません。
>>みずき様
お答えありがとうございます。
問題2(1)の答えは納得いたしました。
(2)については、シンツェルの定理により任意の自然数について存在するのは知っております。高校1年の図形と式の演習問題として、解答の導き方を教えていただきたいです。
たいへん申し訳ありませんが、引き続きよろしくお願いいたします。
No.26945 - 2014/06/16(Mon) 14:54:09
★ (No Subject) / 加月
確率の問題、問題２、よろしくお願いします。
No.26796 - 2014/06/12(Thu) 09:12:36
☆ Re: / ヨッシー
球の取り出し方は全部で、
　7Ｃ3＝35（通り）
(1)
白３個を取る取り出し方は
　4Ｃ3＝4（通り）
求める確率は　4/35
(2)
赤２個を取り出す取り出し方は　3Ｃ2＝3（通り）
白１個を取り出す取り出し方は　4Ｃ1＝4（通り）
よって、全部の場合の数は　3×4＝12(通り)
求める確率は　12/35
(3)
赤１個、白２個を取り出す場合の数は、
　3Ｃ1×4Ｃ2＝18(通り)
よって、求める期待値は
　1×12/35＋2×18/35＋3×4/35＝60/35＝12/7

正確には、赤３個白０個の確率も出すのですが、点数０で、
期待値に影響しないので省略しました。
No.26803 - 2014/06/12(Thu) 13:23:20
★ 余弦定理 / さかなくん
（2）の赤いラインから、下部がわかりません。
判別式/4が完全に使いこなせるわけでないので
判別式/4って使なくとも解けますか？
判別式/4って、覚えないくても、地道に解けば
大丈夫ですかね？
No.26787 - 2014/06/12(Thu) 01:38:38
☆ Re: 余弦定理 / さかなくん
回答、こちらの赤いライン以下部分です。
No.26788 - 2014/06/12(Thu) 01:40:15
☆ Re: 余弦定理 / ヨッシー
最初の「なぜ？」
625−16x^2 は、x の絶対値が大きいほど小さくなるわけですが、
5＜ｘ≦25/4 のとき、ｘ＝25/4 において、625−16x^2 は最小で、
その値は、625−16(25/4)^2＝0 であるので、
5＜ｘ≦25/4 においては、625−16x^2 は、０以上の値を取ります。

その下の長い「？」
?Cの式の下からは、?Cで得られたｙがちゃんと正の値を取るかどうかの
チェックです。
√の中身が０以上で、ｘが正だと、３ｘ＋√(625−16x^2) は当然正なので、
３ｘ−√(625−16x^2) が正になるかどうかがチェックのポイントになります。

結果、３ｘ＋√(625−16x^2) も ３ｘ−√(625−16x^2) も正となり、
１つのｘにつき２つのｙがあります。


図のＢＡとＢＡ’は同じ長さですが、位置によって、ｙの値は
ＣＡ、ＣＡ’と２通り存在します。
No.26789 - 2014/06/12(Thu) 02:04:50
★ リンクかなあ？すみません。 / 潤一郎
こんばんは。

いつも勉強させてもらっています。
最近知ったのですが「数学の部屋ＢＢＳ」は
ヨッシー先生が作られたものですか？

それともリンク先でしょうか？

同じ回答者の先生方がおられるので
何か関係あるのかなと思っています。
教えて下さい。
No.26781 - 2014/06/11(Wed) 23:30:43
☆ Re: リンクかなあ？すみません。 / ヨッシー
あちらは、青木さんという方が作られた、数学の部屋に
付属している掲示板です。

これらの掲示板に限らず、数学の掲示板は共通の回答者が
多くおられます。
No.26785 - 2014/06/12(Thu) 01:11:56
☆ Re: リンクかなあ？すみません。 / 潤一郎
ヨッシー先生へ

夜遅くありがとうございました。

良くわかりました。

今のところ頑張っています。又お世話になります。
No.26786 - 2014/06/12(Thu) 01:20:06
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