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★ (No Subject) / 幸彦
s、tを実数とする。
⑴x=s+t+1、y=s-t-1とおく。s、tがs≧0、t≧0の範囲を動くとき、点(x、y)の動く範囲を座標平面内に図示せよ。
⑵x=st+s-t+1、y=s+t-1とおく。s、tが実数全体を動くとき、点(x、y)の動く範囲を座標平面内に図示せよ。

こちらの問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.27944 - 2014/07/30(Wed) 11:26:45
☆ Re: / ヨッシー
(1)
　X＝x-1＝s+t, Y＝y+1＝s-t と置きます。

より、(X,Y) は、第１象限の点（およびそれに接する軸および原点）を、
-45°回転してｘ軸に関して対称移動して、√2 倍に拡大した点となります。
さらに、ｘ軸方向に１，ｙ軸方向に−１移動すると(x, y) の領域となります。

(2)
ｘ＝(s-1)(t+1)+2, ｙ＝(s-1)+(t+1)-1
ここで、k についての２次方程式
　k^2−(y+1)k＋(x-2)＝0
が、-1≦k に１つ、1≦k に１つ実数解を持つ(x,y) の条件が、(x,y) の存在範囲となります。
　f(k)＝k^2−(y+1)k＋(x-2)
とおきます。
i) １つの解が -1≦x＜1、１つの解が 1≦x の場合
　f(-1)＝1+y+1+x-2＝x+y≧0
　f(1)＝1-y-1+x-2＝x-y-2≦0
ii) 両方の解が 1≦k の場合
　f(1)＝x-y-2≧0
　軸：(y+1)/2≧1
　判別式：(y+1)^2−4(x-2)≧0
以上を図示すると、以下のようになります。

No.27961 - 2014/07/30(Wed) 18:04:48
★ (No Subject) / スライム
教えてください。よろしくお願いします。
No.27936 - 2014/07/30(Wed) 10:05:44
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＡＤ＝ａ, ＡＥ＝ｂ とおきます。
このとき、
　ＡＢ＝２ａ, ＡＣ＝２ｂ
ｘＰＡ＋ｙＰＢ＋ｚＰＣ＝０　を、Ａを始点とするベクトルに書き換えると
　−ｘＡＰ＋ｙ(ＡＢ−ＡＰ)＋ｚ(ＡＣ−ＡＰ)＝０
　２ｙａ＋２ｚｂ＝(x+y+z)ＡＰ
ＡＰ≠０ かつ (左辺)≠０ なので、x+y+z≠０ より、両辺 x+y+z で割って、
　ＡＰ＝{2y/(x+y+z)}ａ＋{2z/(x+y+z)}ｂ
点ＰはＤＥ上にあるので、
　2y/(x+y+z)＋2z/(x+y+z)＝1
整理して、
　2y+2z＝x+y+z
(2)
△ＡＢＣと△ＡＤＥは相似であるので、ＤＰ：ＥＰ＝ＢＦ：ＣＦ＝２：１
よって、
　ＡＰ＝{2y/(x+y+z)}ａ＋{2z/(x+y+z)}ｂ
において、
　2y/(x+y+z)＝1/3, 2z/(x+y+z)＝2/3
これより、ｙ：ｚ＝１：２ はすぐわかるので、ｚ＝２ｙ とおくと、
　2y/(x+y+2y)＝1/3
　x+3y＝6y
　ｘ＝３ｙ
以上より
　ｘ：ｙ：ｚ＝３：１：２
No.27938 - 2014/07/30(Wed) 10:34:22
★ (No Subject) / あや
画像の問題を教えてください。
No.27935 - 2014/07/30(Wed) 09:40:34
☆ Re: / ヨッシー
(1)
αの式は
　2x＋3y−z＝11
Ｐを通り、αに垂直（ｎに平行）な直線の式は、ｔを実数として、
　x＝2t＋1, y＝3t＋1, z＝−t＋1
と書け、これとαとの交点は
　2(2t+1)＋3(3t+1)−(-t+1)＝11
tについて解いて、t＝1/2
よって、求める交点は (2, 5/2, 1/2) であり、Ｐ’は、この点に関して
Ｐと対象な点となります。Ｐ’の座標は
　Ｐ’：(3, 4, 0)

(2)
Ｘはα上の点なので、ＰＸ＝Ｐ’Ｘ
よって、ＰＸ＋ＱＸを考える代わりに、Ｐ’Ｘ＋ＱＸを考えます。
Ｐ’とＱは、αを挟んで別の側にあるので、Ｐ’Ｑが一直線になった時がＰ’Ｘ＋ＱＸ は最小になります。
直線Ｐ’Ｑ の方向ベクトルは (4, 4, 6)→(2, 2, 3) であるので、
直線Ｐ’Ｑ の式は、ｔを実数として
　x＝2t＋3, y＝2t＋4, z＝3t
これと、αの交点が求める点Ｘとなります。αの式に代入して
　2(2t+3)＋3(2t+4)−3t＝11
ｔについて解いて、t＝-1
よって、求める点Ｘの座標は
　Ｘ：(1, 2, -3)
No.27937 - 2014/07/30(Wed) 10:18:57
★ (No Subject) / Haruka
jの筆記体で点を取り除いたような記号です。
No.27932 - 2014/07/30(Wed) 05:26:14
☆ Re: / Haruka
\jmathでした。お騒がせしました。
No.27946 - 2014/07/30(Wed) 13:21:22
★ この特殊な数学(物理?)の記号は? / Haruka
以前,何かの書物で,アルファベットのジェイの小文字jの点の部分を取り除いた記号を見かけたのですが,それはなんと言う記号なのでしょうか?
(因みにiの点を取り除いたものはιですよね)
No.27931 - 2014/07/30(Wed) 05:17:21
★ (No Subject) / 放浪者

ｎを自然数とする。n^2+5とn+3の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ。

解答を作ってみたのであっているか見てもらえないでしょうか？

(n^2+5,n+3)=(n+3,14)
よって最大公約数Gの候補としては
１４，７，２，１が考えられる。
G＝１４はn+3=14,28,・・・のとき実現可能
G=7はｎ＋３＝７⇔ｎ＝４で実現可能
G=2はｎ＋３＝４，６，８，１０、・・・で実現可能
G=1はｎ＋３＝５，９，１１，１３，１５、・・で実現可能

よって１，２，７，１４が考えられる
No.27929 - 2014/07/30(Wed) 01:49:33
☆ Re: / らすかる
(n^2+5,n+3) や (n+3,14) が何を意味するか書かれていませんので減点されると思います。
また (n^2+5,n+3) から (n+3,14) に行くまでの過程は
この問題の重要なポイントですから、過程を書かずにいきなり
(n^2+5,n+3)=(n+3,14) と書いても減点されると思います。
あと、後半は複数個の例を挙げる必要はないと思います。例は一つで十分です。
n=11のとき(n+3,14)=14
n=4のとき(n+3,14)=7
n=1のとき(n+3,14)=2
n=2のとき(n+3,14)=1
なので、14,7,2,1はすべてあり得る。
で十分ですね。
No.27930 - 2014/07/30(Wed) 04:09:00
★ (No Subject) / あや
教えてください。
No.27927 - 2014/07/30(Wed) 01:26:51
☆ Re: / ヨッシー
(1)
9[x] に x-1＜[x]≦x を適用すると
　9(x-1)＜9[x]≦9x
つまり、
　9(x-1)＜x^2＋18≦9x
9(x-1)＜x^2＋18 より x^2−9x＋27＞0
　x^2−9x＋27＝(x−9/2)^2＋27/4
より、この不等式は常に成り立つ。
x^2＋18≦9x より x^2−9x＋18≦0
(x-3)(x-6)≦０　より　3≦x≦6

(2)
3≦x＜4 のとき、[x]＝3
　x^2＋18＝27 より x＝±3。ｘ＝３が該当。
4≦x＜5 のとき [x]＝4
　x^2＋18＝36 より x＝±3√2。ｘ＝3√2が該当。
5≦x＜6 のとき [x]＝5
　x^2＋18＝45 より x＝±3√3。ｘ＝3√3が該当。
x＝6 のとき
　x^2＋18＝54 より x＝6
以上より　x＝3, 3√2, 3√3, 6
No.27928 - 2014/07/30(Wed) 01:40:51
★ (No Subject) / とら（大学受験生）
ベクトルの以下の問題について分からないことがありまして、よろしければ教えて下さい。

「平面状に原点Ｏから出る、相異なる２本の半直線ＯＸ，ＯＹ（∠ＸＯＹ＜１８０度）上にそれぞれＯと異なる２点Ａ，Ｂをとる。∠ＸＯＹの二等分線と、∠ＸＡＢの二等分線の交点をＰとする。ＯＡ＝２、ＯＢ＝３，ＡＢ＝４のとき、ベクトルＯＰをベクトルＯＡとベクトルＯＢで表せ。」と言う問題です。（以下では、ベクトルＯＰ，ベクトルＯＡ、ベクトルＯＢを、単にＯＰ，ＯＡ，ＯＢと書きますね）

私は、半直線ＯＸ上にとる点Ａの位置によって、答えが異なると思い、「点Ａが線分ＯＸ上にある時はＯＰ＝３ＯＡ+２ＯＢ、点Ａが線分ＯＸ以外の半直線ＯＸ上にある時はＯＰ＝(３ＯＰ+２ＯＢ）/９」と答えを出しましたが、問題集の解答には、ＯＰ＝３ＯＡ+２ＯＢとだけ答えが書かれていました。

この答えだけしか解答がない理由が理解できませんので、もしよろしければ解説いただけませんでしょうか？
よろしくお願いいたします。
No.27907 - 2014/07/29(Tue) 21:55:09
☆ Re: / IT
「点Ａが線分ＯＸ以外の半直線ＯＸ上にある時」
とは、どういう場合ですか？
No.27908 - 2014/07/29(Tue) 22:46:23
☆ Re: / とら（大学受験生）
半直線ＯＸ上というのは、線分ＯＸ上の部分と、線分ＯＸ以外の部分とあると思いますが、その後者のことです。
No.27909 - 2014/07/29(Tue) 22:50:41
☆ Re: / ヨッシー
点Ｏは定点ですが、点Ｘというのははるか遠方に仮想的に取った点ですので、
線分ＯＸというのはありませんし、点Ａが点Ｘよりも遠くに
行くこともありません。
No.27910 - 2014/07/29(Tue) 23:01:41
☆ Re: / とら（大学受験生）
いつも「半直線ＡＢ上の点」という時は、いつも点Ｂは仮想的に取った点になるのでしょうか？
No.27911 - 2014/07/29(Tue) 23:12:23
☆ Re: / ヨッシー
この問題の場合は、「原点Ｏから出る」と書かれているので、
点Ｏが定点で、Ｘ、Ｙが遠方点です。
No.27912 - 2014/07/29(Tue) 23:21:14
☆ Re: / とら（大学受験生）
ということは、「原点Ｏから出ている半直線ＯＡ」とか「原点Ｏから出ている半直線ＯＢ」というときは、いつも点Ａや点Ｂは仮想的に取った点ということでしょうか？
No.27913 - 2014/07/29(Tue) 23:23:24
☆ Re: / ヨッシー
普通はそうです。

点Ｏから出て、点Ｏ以外の点Ｘを通る半直線を考える。
と言った場合は、点Ｘより遠い点を考える必要があります。
No.27914 - 2014/07/29(Tue) 23:33:35
☆ Re: / とら（大学受験生）
ということは、「原点Ｏから出る半直線ＯＡ」と書いてあったら、それは点Ａを仮想的な点と考える時で、「点Ｏから出る半直線ＯＡ」と書いてあったら、それは点Ａを仮想的な点と考えない時である、という明確な区別がある、ということでしょうか。
No.27915 - 2014/07/29(Tue) 23:38:46
☆ Re: / ヨッシー
Ｏを原点と呼ぶかどうかは関係ありません。

点Ｘが、最初から与えられた点か、半直線の方向を
示すために、遠方のあるところに仮想的に置いた点かの違いです。
No.27916 - 2014/07/29(Tue) 23:42:09
☆ Re: / とら（大学受験生）
はい、私もその趣旨は分かります。
伝えたかったことは、数学の問題文では、たとえば今回の問題文にも、「点Ｘが最初から与えられた点である」とか「点Ｘ遠方のあるところに仮想的に置かれた点である」などと書いてはなく、「原点から出る半直線ＯＸ」などとしか書かれていませんので、つまりそういった書き方の時にはどう判断するか、を知りたいと思ったのでした。
したがって、原点がＯでもＳでも関係ないと私も思います。
ただ、「原点Ｓから出る半直線ＳＡ」とかかれていたら、それは点Ａを仮想的な点と考える時で、「点Ｓから出る半直線ＳＡ」と書かれていたら、それは点Ａを仮想的な点とは考えない時である、という明確な問題文章のルールがあるのか、ということを知りたいのですが、どうなのでしょうか？
No.27918 - 2014/07/29(Tue) 23:51:10
☆ Re: / とら（大学受験生）
↑
すみません、一部、助詞の使い方がオカシイですので、修正投稿させていただきます。


ヨッシーさんが、最後におっしゃったこと、私もその趣旨は分かります。
伝えたかったことは、数学の問題文では、たとえば今回の問題文にも、「点Ｘが最初から与えられた点である」とか「点Ｘは遠方のあるところに仮想的に置かれた点である」などと書いてはなく、「原点から出る半直線ＯＸ」などとしか書かれていませんので、つまりそういった書き方の時にはどう判断するか、を知りたいと思ったのでした。
したがって、原点がＯでもＳでも関係ないと私も思います。
ただ、「原点Ｓから出る半直線ＳＡ」とかかれていたら、それは点Ａを仮想的な点と考える時で、「点Ｓから出る半直線ＳＡ」と書かれていたら、それは点Ａを仮想的な点とは考えない時である、という明確な問題文章のルールがあるのか、ということを知りたいのですが、どうなのでしょうか？
No.27920 - 2014/07/29(Tue) 23:54:19
☆ Re: / ヨッシー
そうではありません。

原点Ｏから出る半直線ＯＸ
点Ｏから出る半直線ＯＸ
原点Ｓから出る半直線ＳＸ
点Ｓから出る半直線ＳＸ
いずれの場合も、点Ｘは遠方の仮想点です。

問題は点Ｘの与え方の方です。
上のように、ただ半直線ＯＸと書かれたら、点Ｘは遠方の仮想点です。
No.27914 の記事を見てください。
「点Ｘを通る」この表現で、点Ｘはある決まった位置に置かれた
点であると読めます。
点Ｏ(0, 0)を出て、点Ｘ(1, 2) を通る半直線を考える、と言うような場合です。
この場合は、点Ｘより遠い点Ａ(3, 6) などを考えることが出来ます。
No.27922 - 2014/07/30(Wed) 00:14:50
☆ Re: / とら（大学受験生）
なるほど、No.27914の主眼は「点を通る」という表現の方だったのですね。
ということは、
「原点Ｓから出て点Ａを通る半直線ＳＡ」と書かれている時は点Ａは仮想的ではないから、その半直線ＳＡ上の点を考える時は線分ＳＡのＡ側への延長線上も考慮すべきで、
「原点Ｓから出る半直線ＳＡ」と書かれている時は点Ｓは仮想的なのだから、線分ＳＡのＡ側への延長線上といったものは考えない、
ということでしょうか？
No.27923 - 2014/07/30(Wed) 00:41:41
☆ Re: / ヨッシー
>点Ｓは仮想的なのだから
を「点Ａは仮想的なのだから」に直せば、上記の通りの理解で
よろしいかと思います。
No.27925 - 2014/07/30(Wed) 00:51:34
☆ Re: / とら（大学受験生）
失礼しました、書き間違えでした。

なるほどです。よく分かりました。

長い間、根気よく教えていただき、大変ありがとうございました。
No.27926 - 2014/07/30(Wed) 00:57:13
★ (No Subject) / かねき
関数f(x)をf(x)=|2cos^2x-2(√3)sinxcosx-sinx+(√3)cosx-5/4|と定める。
⑴t=-sinx+(√3)cosxとおく。f(x)をtの関数として表せ。
⑵xが0≦x≦90°の範囲を動くとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。
⑶ xが0≦x≦90°の範囲を動くとき、f(x)のとりうる値の範囲を求めよ。また、f(x)が最大値をとるxは、60°<x<75°を満たすことを示せ。

わかりません。教えてください。よろしくお願いします。
No.27903 - 2014/07/29(Tue) 19:45:16
☆ Re: / X
(1)
t=-sinx+(√3)cosx (A)
より
t^2={-sinx+(√3)cosx}^2
右辺を展開して整理すると
t^2=1-(2√3)sinxcosx+2(cosx)^2
∴2(cosx)^2-(2√3)sinxcosx=t^2-1 (A)'
(A)(A)'をf(x)に使います。

(2)
三角関数の合成により
t=2cos(x-30°) (B)
ここで
0°≦x≦90°(C)
により
-30°≦x-30°≦60°
となることに注意してtの値の範囲を求めます。

(3)
前半)
f(x)を(1)の結果得られるtの関数と考え
横軸にt、縦軸にf(x)を取った(1)の結果の
グラフを(2)の結果のtの値の範囲で
描いてみましょう。

後半)
f(x)が最大値を取るtの値をT(具体的な値は
前半の結果得られます)とすると(B)により
cos(x-30°)=T/2 (B)'
(B)'の左辺が(C)におけるxに関して
単調減少であることに注意すると
cos(75°-30°)＜T/2＜cos(60°-30°)
であることを示せばよいことが分かります。
No.27906 - 2014/07/29(Tue) 20:17:19
★ (No Subject) / チヤ
2x+y=1、x≧0、y≧0を満たすx、yについて
⑴xyの最大値と最小値を求めよ。
⑵(x^2)(y^2)+(4x^2)+(y^2)＋3xyの最大値と最小値を求めよ。

この問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.27901 - 2014/07/29(Tue) 19:08:11
☆ Re: / X
2x*y=1 (A)
x≧0,y≧0 (B)
とします。
(1)
(A)より
y=1-2x (A)'
∴xy=zと置くと
z=x(1-2x)=-2(x-1/4)^2+1/8 (C)
一方(A)'(B)により
0≦x≦1/2 (B)'
横軸にx、縦軸にzを取った(C)のグラフを
(B)'の範囲で考えることにより
xyの最大値は1/8(このとき(x,y)=(1/4,1/2))
xyの最小値は0(このとき(x,y)=(0,1),(1/2,0))

(2)
(A)と(1)のzを使うと
(x^2)(y^2)+(4x^2)+(y^2)＋3xy=(xy)^2+(2x+y)^2-xy
=z^2-z+1
ということで
f(z)=z^2-z+1 (D)
と置き,(1)から
0≦z≦1/8 (E)
であることに注意して
横軸にz、縦軸にf(z)を取った(D)のグラフを
(E)の範囲で描いてみましょう。
No.27905 - 2014/07/29(Tue) 20:03:35
★ (No Subject) / チヤ
M={m^2+mn+n^2|m、nは負でない整数}とする。
⑴負でない整数a、b、x、yについて、次の等式が成り立つことを示せ。
(a^2＋ab+b^2)(x^2＋xy+y^2)
=(ax+ay+by)^2+(ax+ay+by)(bx-ay)+(bx-ay)^2
⑵7,31,217が集合Mの要素であること示せ。
⑶集合Mの各要素α、βについて、積αβの値はMの要素であることを示せ。

分からないです。教えてください。
No.27900 - 2014/07/29(Tue) 19:03:12
☆ Re: / ヨッシー
(1)
(右辺)＝(ax+ay+by)(ax+ay+by+bx-ay)+(bx-ay)^2
　　　＝(ax+ay+by)(ax+bx+by)+(bx-ay)^2
　　　＝(ax+by)^2+(ay+bx)(ax+by)+abxy + a^2y^2+b^2x^2-2abxy
　　　＝a^2x^2+b^2y^2+2abxy+a^2xy+aby^2+abx^2+b^2xy+a^2y^2+b^2x^2-abxy
　　　＝a^2(x^2+xy+y^2)+b^2(y^2+xy+x^2)+ab(xy+y^2+x^2)
　　　＝(a^2+ab+b^2)(x^2+xy+y^2)
　　　＝(左辺)
(2)
7＝2^2＋2・1＋1^2
31＝5^2＋5・1＋1^2
217＝8^2＋8・9＋9^2
より、いずれも集合Ｍの要素となります。

(3)
α、β は集合Ｍの要素であるので
　α＝a^2+ab+b^2　(0≦a≦b)
　β＝x^2+xy+y^2　(0≦y≦x)
とおけます。このとき bx−ay≧0 であるので、
(1) の結果より、積αβも集合Ｍの要素であると言えます。
No.27917 - 2014/07/29(Tue) 23:43:41
★ (No Subject) / ヒキニート
f^(-1)(f(x))=xはどうして成り立つのですか？

f^(-1)(x)はf(x)の逆関数です。念のため。
No.27898 - 2014/07/29(Tue) 16:53:31
☆ Re: / X
y=f(x) (A)
とすると
fによってxはyに移ります。
このとき
f^(-1)によってyはxに移る
ので
x=f^(-1)(y) (B)
(A)(B)より
f^(-1)(f(x))=x
となります。
No.27899 - 2014/07/29(Tue) 18:47:00
☆ Re: / らすかる
任意のxに対して g(f(x))=x が成り立つような関数g(x)のことをf(x)の逆関数と言い、
f^(-1)(x) と書く、と定義されているからだと思います。
No.27902 - 2014/07/29(Tue) 19:31:27
☆ Re: / ヒキニート
お二方ともありがとうございます。
No.27904 - 2014/07/29(Tue) 19:56:10
★ (No Subject) / ダイス
画像の問題がわかりません。教えてください、よろしくお願いします。
No.27895 - 2014/07/29(Tue) 13:00:48
☆ Re: / ヨッシー
(1)
s+2t≦2 より s/2＋t≦1 と書け、u＝s/2 とおくと、
　ＯＰ＝u(２ＯＡ)＋ｔＯＢ (u＋t≦1, u≧0, t≧0)
と書けるので、Ｐの存在範囲は、図のようになります。

よって、面積は２

(2)
(1) の結果より、Ｐの存在範囲は図のようになります。

（ハッチングの濃い部分）
よって、面積は１＋1/3 ＝4/3
No.27896 - 2014/07/29(Tue) 14:57:58
★ (No Subject) / ダイス
画像の問題がわかりません。教えてください。
No.27894 - 2014/07/29(Tue) 12:55:57
☆ Re: / ヨッシー
(1)
f(x) を x で微分して
　f'(x)＝x^2−2(2^t)ｘ＋4^t−4^(-t)
f'(x)＝０ の解がα、β (α＜β)であるので、
x^2−2(2^t)ｘ＋4^t−4^(-t)＝０ を解いて、
　ｘ＝2^t±√{4^t−4^t＋4^(-t)}
　　＝2^t±2^(-t)
よって、α＝2^t−2^(-t), β＝2^t＋2^(-t)

(2)
αβ＝4^t−4^(-t)＝1　より　ｘ＝4^t とおくと
　ｘ−1/x＝１
　ｘ^2−ｘ−１＝０
　ｘ＝(1±√5)/2
ｘ＞０ より ｘ＝4^t＝(1＋√5)/2
これを ｔ について解いて、
　ｔ＝log[4]{(1＋√5)/2}＝log[4](1＋√5)−1/2
　　＝(1/2){log[2](1＋√5)−1}

(3)
　β−α＝2・2^(-t)≧12
より、
　2^(-t)≧6
　-t≧log[2]6＝log[2](2×3)＝1＋log[2]3
　t≦-log[2]3−1
No.27897 - 2014/07/29(Tue) 15:28:16
★ (No Subject) / わかな
こちらの問題を教えてください。
No.27882 - 2014/07/29(Tue) 08:56:10
☆ Re: / X
|↑a|=|↑b|=1 (A)
↑a・↑b=-1/2 (B)
とします。
(1)
↑c=p↑a+q↑b
を
|↑c|=1 (C)
↑a・↑c=0 (D)
に代入するとそれぞれ
|p↑a+q↑b|=1 (E)
↑a・(p↑a+q↑b)=0 (F)
(E)より
|p↑a+q↑b|^2=1
左辺を展開して(A)(B)を代入すると
p^2-pq+q^2=1 (E)'
一方(F)の左辺を展開し(A)(B)を代入すると
p-(1/2)q=0 (F)'
p＞0に注意して(E)'(F)'をp,qの連立方程式と見て解き
(p,q)=(1/√3,2/√3)

(2)
(1)の結果により
↑b・↑c=(1/2)√3 (G)
に注意します。
さて、(1)の↑cについて
↑a//↑cでなくかつ↑a≠↑Oかつ↑c≠↑O
∴↑x=x↑a+y↑c (H)
と置く事ができます。
(H)より
|↑x|^2=|x↑a+y↑c|^2
右辺を展開して整理することにより
x^2+y^2=|↑x|^2 (H)'
一方(H)を
-1≦↑a・↑x≦1
1≦↑b・↑x≦2
に代入して中辺を展開し、(A)(B)(D)(G)を代入すると
-1≦x≦1 (I)
1≦-x/2+(1/2)y√3≦2 (J)
(J)を更に整理して
x/√3+2/√3≦y≦x/√3+4/√3 (J)'
座標平面上で(I)(J)'が示す領域を図示し、その領域内を
円(H)'が通る条件を求めます。
No.27886 - 2014/07/29(Tue) 10:20:44
☆ Re: / ヨッシー
ａに対して、ａ・ｘ＝１ になるような
ベクトルｘの終点は、図のような直線上にあります。


これを踏まえて、ａ・ｘ が−１〜１となるｘの範囲と、
ｂ・ｘ が １〜２ となる範囲を図示すると下のようになります。

動いている円の半径が｜ｘ｜の取りうる範囲となります。
No.27890 - 2014/07/29(Tue) 11:47:33
★ (No Subject) / わかな
こちらの問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.27881 - 2014/07/29(Tue) 08:54:16
☆ Re: / X
証明すべき不等式を(A)とすると
(A)⇔(1/3+(1/2)(a+b)+ab)^2≦(1/9)(3a^2+3a+1)(3b^2+3b+1)
⇔{2+3(a+b)+6ab}^2≦4(3a^2+3a+1)(3b^2+3b+1) (B)
よって(B)を証明します。
((B)の右辺)-((B)の左辺)=…
No.27884 - 2014/07/29(Tue) 09:47:30
★ (No Subject) / わかな
こちらの問題を教えてください。
No.27880 - 2014/07/29(Tue) 08:51:32
☆ Re: / X
問題の等式を(A)とします。
(A)より
∫[0→x]f(t)dt+(x^2)∫[0→1]f'(t)dt+2x∫[0→1]tf'(t)dt+∫[0→1](t^2)f'(t)dt
=x^2+C
両辺をxで微分すると
f(x)+2x∫[0→1]f'(t)dt+2∫[0→1]tf'(t)dt=2x
∴f(x)=2x{1-∫[0→1]f'(t)dt}-2∫[0→1]tf'(t)dt (B)
よって
f(x)=ax+b (C)
と置く事ができます。
(C)を(B)に代入し整理すると
ax+b=2(1-a)x-a
これはxの恒等式ですので両辺の係数を比較して
a=2(1-a) (D)
b=-a (E)
(D)(E)をa,bについての連立方程式と見て解き
(a,b)=(2/3,-2/3)
よって
f(x)=(2/3)x-2/3 (F)
更に(A)においてx=0のとき
∫[0→1](t^2)f(t)dt=C
これに(F)を代入して
C=(2/3)∫[0→1](t^3-t)dt=-1/6
No.27883 - 2014/07/29(Tue) 09:38:25
★ (No Subject) / なは
よろしくお願いします。
No.27878 - 2014/07/29(Tue) 00:59:00
☆ Re: / X
Σ[i=1〜n]a[i]=S[n]
Σ[i=1〜n]b[i]=T[n]
Σ[i=1〜n]a[i]b[i]=U[n]
と置くと証明すべき不等式は
S[n]T[n]≦nU[n] (A)
(A)が
a[1]≧a[2]≧…≧a[n],b[1]≧b[2]≧…≧b[n]
の元で成立するという命題((P)とします。)
を数学的帰納法で証明します。
(i)n=1のとき
(P)の成立は明らか。
(ii)n=kのとき、(P)の成立を仮定します。つまり
a[1]≧a[2]≧…≧a[k],b[1]≧b[2]≧…≧b[k]
のとき
S[k]T[k]≦kU[k] (A)'
さて
a[1]≧a[2]≧…≧a[k]≧a[k+1],b[1]≧b[2]≧…≧b[k]≧b[k+1] (B)
なるa[k+1],b[k+1]を考えるとき
(k+1)U[k]+(k+1)a[k+1]b[k+1]-(S[k]+a[k+1])(T[k]+b[k+1])
=kU[k]-S[k]T[k]+{U[k]-a[k+1]T[k]-b[k+1]S[k]+ka[k+1]b[k+1]} (C)
ここで{}内のS[k],T[k],U[k]を元に戻すと
U[k]-a[k+1]T[k]-b[k+1]S[k]+ka[k+1]b[k+1]
=Σ[i=1〜k]{a[i]b[i]-a[k+1]b[i]-b[k+1]a[i]+a[k+1]b[k+1]}
=Σ[i=1〜k](a[i]-a[k+1])(b[i]-b[k+1]) (D)
(A)'(B)(C)(D)により
(k+1)U[k]+(k+1)a[k+1]b[k+1]-(S[k]+a[k+1])(T[k]+b[k+1])≧0
ですのでn=k+1のときも(P)は成立。

よって命題(P)は成立します。
No.27888 - 2014/07/29(Tue) 10:49:55
☆ Re: / なは
ありがとうございました
No.27924 - 2014/07/30(Wed) 00:48:39
★ 数列 / うぃーあー
数列{an}の初項a1から第ｎ項までの和SnがS1=0,Sn+1-3Sn=n^2 (n=1,2,3,...)

このとき数列{an}が満たす漸化式をanとan+1の関係式で表せ。

※Sn+1はn+1項目　、an+1もn+1項目です。
わかりにくくてすみません
No.27874 - 2014/07/28(Mon) 21:16:48
☆ Re: 数列 / ヨッシー
a1＝S1＝0 はすぐに分かります。

S[n+1]-3S[n]=n^2 および S[n+2]-3S[n+1]=(n+1)^2 より
S[n+2]-S[n+1]-3(S[n+1]-S[n])=(n+1)^2-n^2
a[n+2]-3a[n+1]=2n+1 (n=1,2,3,...)

Sn+1-3Sn=n^2 にn=1 を代入すると
S2-3S1=1 より S2＝1
よって、a[n+2]-3a[n+1]=2n+1 は、n=0 の場合も成り立つ
よって n を n-1 に置き換えて
　a[n+1]-3[n]=2n-1 ・・・答え
No.27875 - 2014/07/28(Mon) 21:34:13
★ 判断推理っぽい問題です / ぽんぽこ
縦3×横3の合計9個からなる区画があり真ん中を除いた8個の区画に花を植える。
[縦・横の花の合計がどちらも15本になるように植えるとするとき]〜(略)を求めよ。という問題があります。
この問
題文の[ ]について
縦の花の合計、横の花の合計がどちらも15本という意味なのだとは思いますが、三方陣には3つの縦と3つの横があります。
縦の花の合計が15とだけあれば、正面からみた縦(3つ)の内に入る区画の合計が15のように解釈してしまいます。
回答では、一つの縦の合計が15というふうに解釈して解いています。
問題文が「縦の花の合計、横の花の合計いずれもが、それぞれの列において15本になる」ならまだ分かるのですが、、、
どうすれば元の問題文からすんなり解釈できるのか教えてください。お願いいたします。
No.27865 - 2014/07/28(Mon) 07:06:56
☆ Re: 判断推理っぽい問題です / ヨッシー
ぽんぽこさんがどのように解釈されたかが今ひとつよく分かりません。
(略)の部分の問題全文と、ぽんぽこさんの解釈による解答、
問題集(？)の解答を載せてもらえば、よく分かると思います。

私がこの問題を読んだときは、すぐに魔方陣のようなものを
思い浮かべました。疑問はむしろ、真ん中の区画を挟んで(含んで)
同じ縦列、同じ横列にある、実質２個の区画の合計も１５に
するのかどうかと言うことで、これは解いているうちに
明らかになるだろうと考えました。

では、問題と解答の掲載をお待ちします。
No.27867 - 2014/07/28(Mon) 08:08:20
☆ Re: 判断推理っぽい問題です / ぽんぽこ
回答ありがとうございます。
略の部分は「８個の区画に植えた花の数の最大値を求めよ」です。また忘れていたのが問題文には「少なくともどの区画にも１本以上植えるとあります」
私の解釈というのは、
例えば区画を
a b c
d ×e
f g h　

とします。
「縦・横の花の数の合計がどちらも15本になるように植える」
とは、縦の花の数の合計、横の花の数の合計ともに１５本ということはまずあっているでしょうか？
この前提で私の解釈の１つ目には、区画において縦というと、
adf、b(×)g、ceh　
横というとabc、d(×)e、fghがあります。
つまり、縦の花の数の合計とは、縦adf,bg、cehの花の数の合計とし、(a+d+f)+(b+g)+(c+e+h)=15
横も同様としてしまいました。
ですが、これでは最大値といえないと思うのでまずありえないんじゃないかと思いました。
次に、bg、deをそれぞれ縦、横とみなさないと考えるのであれば、縦の花の数の合計とは(a+d+f)+(c+e+h)=15・・・?@
横の花の数の合計とは(a+b+c)+(f+g+h)=15・・・?A
?@-?Aより、
d-b-g＝0
整数問題として値を絞り込むこともできなさそうです。
次に、縦の花の数の合計をそれぞれa+d+f=15 b+g=15　c+e+h=15とすると、(横に関しては省略)
a+b+c+d+e+f+g+h=45となり、最大値を求めるに至らないのでだめ。
では最後に縦の花の数の合計をそれぞれa+d+f=15　c+e+h=15とすると、これなら最大値を求めれそうだな。と思い、ここにきてやっとヨッシーさんが最初に思い浮かべた疑問に到達できたといったかんじです。
どうすればすぱっとはじめからこのように解釈できるのでしょうか？
教えてください。お願いします。
No.27868 - 2014/07/28(Mon) 11:26:41
☆ Re: 判断推理っぽい問題です / ぽんぽこ
つまり私は問題文の「縦」と「横」を
縦の合計が3つの縦の合計とするとき⇒2つとするとき⇒1つとするとき
横の合計が3つの横の合計とするとき⇒2つとするとき⇒1つとするとき　
というふうに考えたということです。
No.27870 - 2014/07/28(Mon) 11:52:23
☆ Re: 判断推理っぽい問題です / ヨッシー
問題文を正確に書くならば、
「縦または横に連続して並んだ３つの区画の花の合計がいずれも１５になる」
のような言い回しになるでしょう。
上の例の ｂ＋ｇ や ｄ＋ｅ も縦、あるいは横に含まれるかどうかという
曖昧さも除くことが出来ます。

一方で、こういう曖昧さの残る表現である場合も、
「問題として成り立つように読む」
というルールではありませんが、習慣があります。
（明文化されていませんし、それに甘んじて問題文をいいかげんに
作るというのは言語道断です）

>(a+d+f)+(b+g)+(c+e+h)=15
これは極端ですが、これにせよ
>a+d+f=15　b+g=15　c+e+h=15
これにせよ、いずれも花の総数が一定になるようなものは
この問題の場合ふさわしくない解釈のしかたであり、
　ａｂｃ，ｆｇｈ　のみが横
　ａｄｆ，ｃｅｈ　のみが縦
と解釈するのが適当ということになります。

>どうすればすぱっとはじめから
はなかなか難しいですが、普通の魔方陣は、和が一定であるところから
始めることが多いのですが、「最大値」のように変化する要素が
あるということは、和が１５ではない部分が含まれるという
発想から、空白を挟む列は１５ではないという考えに至ります。
No.27871 - 2014/07/28(Mon) 13:36:58
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