ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整数 / クルトガ

3^x-2^(2x-1)=1をみたすxの出し方教えてください。その解のみになる証明も教えてください

No.28001 - 2014/08/01(Fri) 18:53:35

☆ Re: 整数 / クルトガ

3ⁿ-2ⁿ⁺¹＝m²(mは整数)となる整数n(n≧2)を求めよでした

No.28002 - 2014/08/01(Fri) 19:24:53

☆ Re: 整数 / らすかる

最初の問題の解答
両辺を2倍すると 2*3^x-4^x=2
x＜0のとき、左辺が整数にならないので不適。
x=0のとき、2*3^x-4^x=1なので不適。
x=1のとき、2*3^x-4^x=2なので適。
x=2のとき、2*3^x-4^x=2なので適。
x≧3のとき
2*3^x-4^x=2*3^3*3^(x-3)-4^3*4^(x-3)
=54*3^(x-3)-64*4^(x-3)＜0なので不適。
よって解はx=1,2のみ。

次の問題の解答
左辺は奇数なのでmは奇数。
よって右辺は4で割って1余る数なので、
3^nが4で割って1余る数になる必要があるため、nは偶数。
n=2kとおくと
3^(2k)-2^(2k+1)=m^2
3^(2k)-m^2=2^(2k+1)
(3^k)^2-m^2=2^(2k+1)
(3^k+m)(3^k-m)=2^(2k+1)
3^kもmも奇数なので、3^k+mと3^k-mはともに偶数。
3^k+mと3^k-mの最大公約数は2mの約数なので、
3^k+mと3^k-mのうち少なくとも一つ4で割り切れない数だが、
2以外の素因数を持たず、2の倍数なので少なくとも一方は2。
ここでm＞0とすると3^k+m＞2なので、3^k-m=2すなわちm=3^k-2。
よって(3^k+m)(3^k-m)=2(3^k+3^k-2)=4(3^k-1)=2^(2k+1)
3^k-1=2^(2k-1)
3^k-2^(2k-1)=1
この式の解は、最初の問題からk=1,2、よってn=2,4
n=2のとき3^n-2^(n+1)=1、n=4のとき3^n-2^(n+1)=49となり
確かに成り立つので、答えはn=2,4。

No.28005 - 2014/08/01(Fri) 19:59:54

☆ Re: 整数 / クルトガ

mからきめていくんですね

ありがとうございました

No.28006 - 2014/08/01(Fri) 21:52:49

★ 集合 / ぽんぽこ

「x∊Aならばx∊Bのとき、A⊂Bが成り立つ」というのがありますが、集合Aに属する要素xが集合Bに属するためにはB⊂AよりもしA⊂Bの方が確実だというのは感覚的に分かるのですが、どうしてなのかよくわかりません。
分かる方おしえてください。よろしくおねがいします。

No.27990 - 2014/07/31(Thu) 22:04:10

☆ Re: 集合 / ヨッシー

「・・・・」は、
Ａの要素である(すべての)ｘが、Ｂの要素であるならば、
ＡはＢの部分集合である。
という意味です。

No.27991 - 2014/07/31(Thu) 22:24:09

☆ Re: 集合 / angel

「x∊Aならばx∊Bのとき、A⊂Bが成り立つ」
これは、⊂の「定義」です。つまり、⊂というのはこういう性質 ( 今回なら x∈A⇒x∈B ) に名前をつけたようなもの。
※高校範囲だと、単にそういう条件が成立しているのか、それとも定義なのかはあまりはっきりさせませんが…

単に言葉で「集合が集合に含まれる」と言っただけでは曖昧なので、数学の言葉 ( 数式も含む ) で明示的に表現しているわけで、その意味はヨッシーさんの回答にある通り「Aの要素は全てBの要素である」ことを以て「AがBの部分集合である ( AがBに含まれる )」と定義しているのです。

No.28007 - 2014/08/02(Sat) 07:45:42

★ (No Subject) / ぽんぽこ

三角関数の周期関数のところで、
『関数f(x)があり、すべてのxに対して
f(x)=f(x＋k)(k>0)が成り立つとき、kは周期』ですよね？
では、
f(mx)=f(mx＋k)=f(m{x＋(k/m)})より
こんどはk/|m|が周期になりますよね？
前者でみたkが周期の場合は、これのm=1の場合ですよね。
具体的に、たとえばf(x)=2x、k=3のとき
すべてのxに対してf(x)=f(x＋3)が成り立ち、
これはf(x)=2x　f(x＋3)=2(x＋3)=2x＋6のグラフを書いてるとたしかにそうなってますよね。
ここで質問なんですけど、
f(x＋3)=2x＋6というのは、xy平面上に図示するとき、
どう書けばいいんでしょうか？
y=f(x)なら、xをインプットすることでyが求まりますよね。
y=f(x＋3)=2x＋6の場合はどうすればいいんでしょうか？
教えてください。お願いします。

No.27977 - 2014/07/31(Thu) 14:34:44

☆ Re: / らすかる

> たとえばf(x)=2x、k=3のとき
> すべてのxに対してf(x)=f(x＋3)が成り立ち、
f(x)=2xは原点を通る直線ですから
f(x)=f(x+3)は成り立ちません。

> f(x＋3)=2x＋6というのは、xy平面上に図示するとき、
> どう書けばいいんでしょうか？
f(x+3)=2x+6 → f(x)=2x ですから、原点を通る傾き2の直線です。

No.27978 - 2014/07/31(Thu) 14:43:59

☆ Re: / ぽんぽこ

ありがとうございます。
f(x)=2xのxにx=x＋3を代入すると
f(x＋3)=2(x＋3)=2x＋6ですが、
そもそもx=x＋3を代入⇔0=3を代入ってことですよね？
よく意味がわからないんですがどういうことなんでしょうか？
グラフのイメージ的には
関数f(x)(=2x)にたとえばx=1やx=2などを代入していく感覚で
x=x＋3を代入したときのそれに対応する値がf(x＋3)ということですよね？
x=x＋3を代入の意味がよくわからないです。
このあたりについてもよかったら教えてください。お願いします。

No.27979 - 2014/07/31(Thu) 15:17:40

☆ Re: / らすかる

> そもそもx=x＋3を代入⇔0=3を代入ってことですよね？
違います。
同じ文字だから混乱するのだと思いますが、
f(x)=2x で x=y+3 とおけば f(y+3)=2y+6 であって
これは文字を置き換えただけで何も変わっていません。
f(y+3)=2y+6 の文字は何でもよいので
f(x+3)=2x+6 とも書けます。
これは結果的に「xにx+3を代入」したことになりますが、
「x=x+3」ではなく、文字を置き換えただけですのでお間違いなく。
（つまりf(x)のxとf(x+3)のxは異なる意味の変数に同じ文字を使っているだけで、同じxではありません。）
f(x+3)=2x+6 の意味は
f(x+3)=f(x)+6 と考えれば
「f(x)のxに3大きい値を代入すれば、結果は6大きい値になる」
ということになります。
わかりにくければ、最初の式をf(x)=2xと考えず代入する変数を変えて
f(t)=2tとでもして、
f(t)=2t でt=xとすれば f(x)=2x
f(t)=2t でt=x+3とすれば f(x+3)=2x+6
と考えれば良いと思います。
また、「f(x+3)=2x+6」は「f(x)=2x」の文字を置き換えただけのものですから、
「f(x+3)=2x+6のグラフ」は「f(x)=2xのグラフ」と同じです。

No.27980 - 2014/07/31(Thu) 15:41:40

☆ Re: / ぽんぽこ

関数f(x)があり、すべてのxに対して
f(x)=f(x＋k)(k>0)が成り立つ
というのはたとえばx=tのとき、
f(t)=f(t＋k)が成り立つし
x=t＋3のとき、
f(t＋3)=f((t＋3)＋k)ということですよね？
たとえばこれはy=sinθのようなグラフで見られると思うのですがどうなんでしょうか？
何度も質問してしまいすみません！
お願いします。

No.27981 - 2014/07/31(Thu) 17:06:49

☆ Re: / らすかる

> 関数f(x)があり、すべてのxに対して
> f(x)=f(x＋k)(k>0)が成り立つ
> というのはたとえばx=tのとき、
> f(t)=f(t＋k)が成り立つし
> x=t＋3のとき、
> f(t＋3)=f((t＋3)＋k)ということですよね？
その通りです。

> たとえばこれはy=sinθのようなグラフで見られると思うのですがどうなんでしょうか？
これは意味がよくわかりませんが、
sinθは周期2nπを持ちますので
sinθ=sin(θ+2nπ)です。

No.27982 - 2014/07/31(Thu) 18:01:30

★ 三角形の角の二等分線と比の問題について / アクオス

別のサイトでも質問させてもらったのですが
理解できなかったのでよろしくお願いします。

AB=3,BC=4,CA=6である△ABCにおいて∠Aの外角の二等分が直線BCと交わる点をDとする。
線分BDの長さを求めよ。

という問題で
∠Aの外角というのは図のように二つ出来ると思うのですが
この問題の場合は左側の外角の二等分線を使って解を求めています。
試しに右側の外角を使って解を求めたところ解が間違ってしまうのですが、左側の外角で求める理由がわかりません。
初歩的な質問かもしれませんがよろしくお願いします。

No.27973 - 2014/07/31(Thu) 07:42:08

☆ Re: 三角形の角の二等分線と比の問題について / ヨッシー

Ａの外角は２つですが、対頂角の位置にあるので、二等分線は１本(共通)です。
（上の図は、正確ではありません）
従って、ＢＣとの交点も１つしかありません。
この問題の場合は、Ｂ側で交わります。

No.27974 - 2014/07/31(Thu) 09:01:18

☆ Re: 三角形の角の二等分線と比の問題について / アクオス

ヨッシーさん回答ありがとうございます。
2等分線が1本になってBCとの交点は1つしかないという所は理解できたのですが
直線BCとの交点がB側につく理由がなぜそうなるのかまだ理解できません。

よろしくお願いします。

No.27975 - 2014/07/31(Thu) 14:02:47

☆ Re: 三角形の角の二等分線と比の問題について / らすかる

横から失礼します。

AD=ABとなる点Dを辺AC上にとると、△ABDは二等辺三角形で
BD//(外角の二等分線)となります。
従ってB側で交わることは図からわかると思います。

上記でわからなければ、
AからBCに垂線AHを引くと
∠BAH+∠ABH=90°、∠CAH+∠ACH=90°
ですが、AB＜CAから∠ABC＞∠ACBなので
∠BAH＜∠CAHです。
よって
∠BAH+(外角の半分)＜∠CAH+(外角の半分)
ですから、
∠BAH+(外角の半分)＜90°＜∠CAH+(外角の半分)
となります。

ただし、計算で理解するよりは、定規とコンパスで正確な図を描いて
実感した方が良いと思います。
実感がないと証明も理解しにくいですし。

No.27976 - 2014/07/31(Thu) 14:14:57

☆ Re: 三角形の角の二等分線と比の問題について / アクオス

らすかるさん回答ありがとうございます。
計算のほうは今の自分では理解が難しかったのですが
実際に図を書いてみると、はっきりとわかりました。
最初から正確に図を書いて考えるべきでした。
ありがとうございました。
またよろしくお願いします。

No.27989 - 2014/07/31(Thu) 20:54:01

★ 三角関数について / ぽんぽこ

うろ覚えなのですが一般角をΘとするとΘは0°≦Θ<360°・・・?@、-180°≦Θ<180°・・・?Aで表すことができ、このとき、Θ＋360°×k(kは整数)が成り立つのでしたよね？
?@、?Aはどちらも同じ角度を表すことができると思いますが、どうしてこの２つの範囲なのでしょうか？
-360°≦Θ<180°ではいけないのでしょうか？
分かる方教えてください。お願いします。

No.27968 - 2014/07/30(Wed) 23:46:28

☆ Re: 三角関数について / らすかる

> このとき、Θ＋360°×k(kは整数)が成り立つ
意味不明です。ただの式に成り立つも成り立たないもありません。

> ?@、?Aはどちらも同じ角度を表すことができると思いますが、
> どうしてこの２つの範囲なのでしょうか？
その二つとどこかに書いてあったのですか？
?Aよりは「-180°＜θ≦180°」の方が使われていそうな気がしますが。

> -360°≦Θ<180°ではいけないのでしょうか？
いけません。この範囲に90°と-270°が含まれていますが、
この二つは同じ角度です。
ちょうど一周分で二つの不等号が＜と≦でないと、
一つの角度が一意的に表せませんので不都合です。

No.27969 - 2014/07/31(Thu) 00:41:15

☆ Re: 三角関数について / ぽんぽこ

回答ありがとうございます。
正の角が90°のとき負の角は-270°になるので
Θのとりうる値の範囲が-360°≦Θ<180°においてだと
90°、-270°の片方のみで角度を表せてしまうのに、この両方が範囲に含まれてしまっているため不都合ということですか？「二つの不等号が＜と≦でないと」とは-180°<Θ≦180°のように
正の角が180°であれば負の角は-180°なののでΘの取りうる値に-180°は含まれないということでしょうか？
お願いします。

No.27970 - 2014/07/31(Thu) 01:33:48

☆ Re: 三角関数について / らすかる

> 正の角が90°のとき負の角は-270°になるので
> Θのとりうる値の範囲が-360°≦Θ<180°においてだと
> 90°、-270°の片方のみで角度を表せてしまうのに、
> この両方が範囲に含まれてしまっているため不都合ということですか？
その通りです。

> 「二つの不等号が＜と≦でないと」とは-180°<Θ≦180°のように
> 正の角が180°であれば負の角は-180°なののでΘの取りうる値に
> -180°は含まれないということでしょうか？
その通りです。
「二つの不等号が＜と≦」という点においては、?@?Aとも問題ありません。
「ちょうど一周分」とだけ書くと「-180°≦θ≦180°」も含んでしまいそうなので
「二つの不等号が＜と≦」は念のために書いた注釈です。

それから、θは通常小文字の「θ」を使います。
「Θ」は大文字で、少なくとも角度には一般に使われません。

No.27971 - 2014/07/31(Thu) 02:47:33

★ 中2 連立方程式何度もすみません / ポッキー

よろしくお願いします

No.27949 - 2014/07/30(Wed) 13:41:22

☆ Re: 中2 連立方程式何度もすみません / X

A地からP地までx[km]
P地からB地までy[km]
とすると条件から
x/4+y/3=4+30/60 (A)
x/5+y/6=3 (B)
(A)(B)を連立して解きます。

No.27953 - 2014/07/30(Wed) 14:15:58

☆ Re: 中2 連立方程式何度もすみません / ポッキー

4時間30分は、4+30/60というのはなぜですか？

No.27954 - 2014/07/30(Wed) 14:21:32

☆ Re: 中2 連立方程式何度もすみません / ポッキー

4時間30分は、4.5ではだめでしょうか？

No.27955 - 2014/07/30(Wed) 14:22:48

☆ Re: 中2 連立方程式何度もすみません / X

30分は30/60時間(=1/2時間)だからです。
無論4時間30分を4.5時間としても正しいです。

No.27957 - 2014/07/30(Wed) 15:04:59

☆ Re: 中2 連立方程式何度もすみません / ポッキー

ありがとうございます。
答えが、y=6になったのですが、
xが出ませんでした…

何か間違ってるんですかね？

No.27958 - 2014/07/30(Wed) 15:27:57

☆ Re: 中2 連立方程式何度もすみません / X

こちらの計算でもy=6となりました。
>>xが出ませんでした…
(A)(B)いずれかにy=6を代入してみましょう。

No.27960 - 2014/07/30(Wed) 16:46:21

★ 中2 連立方程式の利用問題です / ポッキー

列車が350mの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに20秒かかった。また、この列車が、600mのトンネルに入り始めてから出るまでに30秒かかった。列車の長さは何mで、速さは秒速何秒ですか。

という問題です。
連立方程式で解くのですが、何をx、yとするのかすら分かりません。よろしくお願いします。

No.27945 - 2014/07/30(Wed) 12:19:05

☆ Re: 中2 連立方程式の利用問題です / X

＞＞何をx、yとするのかすら分かりません。
求めたい未知の値をx,yと置きます。
この場合は
列車の長さをx[m]
列車の速さをy[m/s]
と置いてみます。
このとき、条件から
20x=350+y (A)
30x=300+y (B)
(A)(B)を連立して解きます。

注)
x,yの置き方は自由です。例えば
列車の長さをy[m]
列車の速さをx[m/s]
と置いても問題ありません。
問題が簡単に解けるように(=方程式を立てやすくする、など)
x,yを置くことを心がけましょう。

No.27951 - 2014/07/30(Wed) 14:11:09

★ (No Subject) / 幸彦

s、tを実数とする。
⑴x=s+t+1、y=s-t-1とおく。s、tがs≧0、t≧0の範囲を動くとき、点(x、y)の動く範囲を座標平面内に図示せよ。
⑵x=st+s-t+1、y=s+t-1とおく。s、tが実数全体を動くとき、点(x、y)の動く範囲を座標平面内に図示せよ。

こちらの問題を教えてください。よろしくお願いします。

No.27944 - 2014/07/30(Wed) 11:26:45

☆ Re: / ヨッシー

(1)
　X＝x-1＝s+t, Y＝y+1＝s-t と置きます。

より、(X,Y) は、第１象限の点（およびそれに接する軸および原点）を、
-45°回転してｘ軸に関して対称移動して、√2 倍に拡大した点となります。
さらに、ｘ軸方向に１，ｙ軸方向に－１移動すると(x, y) の領域となります。

(2)
ｘ＝(s-1)(t+1)+2, ｙ＝(s-1)+(t+1)-1
ここで、k についての２次方程式
　k^2－(y+1)k＋(x-2)＝0
が、-1≦k に１つ、1≦k に１つ実数解を持つ(x,y) の条件が、(x,y) の存在範囲となります。
　f(k)＝k^2－(y+1)k＋(x-2)
とおきます。
i) １つの解が -1≦x＜1、１つの解が 1≦x の場合
　f(-1)＝1+y+1+x-2＝x+y≧0
　f(1)＝1-y-1+x-2＝x-y-2≦0
ii) 両方の解が 1≦k の場合
　f(1)＝x-y-2≧0
　軸：(y+1)/2≧1
　判別式：(y+1)^2－4(x-2)≧0
以上を図示すると、以下のようになります。

No.27961 - 2014/07/30(Wed) 18:04:48

★ (No Subject) / スライム

教えてください。よろしくお願いします。

No.27936 - 2014/07/30(Wed) 10:05:44

☆ Re: / ヨッシー

(1)
ＡＤ＝ａ, ＡＥ＝ｂとおきます。
このとき、
　ＡＢ＝２ａ, ＡＣ＝２ｂ
ｘＰＡ＋ｙＰＢ＋ｚＰＣ＝０　を、Ａを始点とするベクトルに書き換えると
　－ｘＡＰ＋ｙ(ＡＢ－ＡＰ)＋ｚ(ＡＣ－ＡＰ)＝０
　２ｙａ＋２ｚｂ＝(x+y+z)ＡＰ
ＡＰ≠０かつ (左辺)≠０なので、x+y+z≠０より、両辺 x+y+z で割って、
　ＡＰ＝{2y/(x+y+z)}ａ＋{2z/(x+y+z)}ｂ
点ＰはＤＥ上にあるので、
　2y/(x+y+z)＋2z/(x+y+z)＝1
整理して、
　2y+2z＝x+y+z
(2)
△ＡＢＣと△ＡＤＥは相似であるので、ＤＰ：ＥＰ＝ＢＦ：ＣＦ＝２：１
よって、
　ＡＰ＝{2y/(x+y+z)}ａ＋{2z/(x+y+z)}ｂ
において、
　2y/(x+y+z)＝1/3, 2z/(x+y+z)＝2/3
これより、ｙ：ｚ＝１：２はすぐわかるので、ｚ＝２ｙとおくと、
　2y/(x+y+2y)＝1/3
　x+3y＝6y
　ｘ＝３ｙ
以上より
　ｘ：ｙ：ｚ＝３：１：２

No.27938 - 2014/07/30(Wed) 10:34:22

★ (No Subject) / あや

画像の問題を教えてください。

No.27935 - 2014/07/30(Wed) 09:40:34

☆ Re: / ヨッシー

(1)
αの式は
　2x＋3y－z＝11
Ｐを通り、αに垂直（ｎに平行）な直線の式は、ｔを実数として、
　x＝2t＋1, y＝3t＋1, z＝－t＋1
と書け、これとαとの交点は
　2(2t+1)＋3(3t+1)－(-t+1)＝11
tについて解いて、t＝1/2
よって、求める交点は (2, 5/2, 1/2) であり、Ｐ’は、この点に関して
Ｐと対象な点となります。Ｐ’の座標は
　Ｐ’：(3, 4, 0)

(2)
Ｘはα上の点なので、ＰＸ＝Ｐ’Ｘ
よって、ＰＸ＋ＱＸを考える代わりに、Ｐ’Ｘ＋ＱＸを考えます。
Ｐ’とＱは、αを挟んで別の側にあるので、Ｐ’Ｑが一直線になった時がＰ’Ｘ＋ＱＸは最小になります。
直線Ｐ’Ｑの方向ベクトルは (4, 4, 6)→(2, 2, 3) であるので、
直線Ｐ’Ｑの式は、ｔを実数として
　x＝2t＋3, y＝2t＋4, z＝3t
これと、αの交点が求める点Ｘとなります。αの式に代入して
　2(2t+3)＋3(2t+4)－3t＝11
ｔについて解いて、t＝-1
よって、求める点Ｘの座標は
　Ｘ：(1, 2, -3)

No.27937 - 2014/07/30(Wed) 10:18:57