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★ 式の利用 / 名前はまだない
(1)　奇数と奇数の和は偶数である。このわけを説明せよ。

→連続する2つの奇数を整数nとすると、2n+1, 2n+3と表せれる。
までは分かったんですけど(この時点で間違ってるかもw;)この後が全然分かりません。

(2)6の倍数と3の倍数の積は9の倍数になる。このわけを説明せよ。
これは全然わかりません

教えください
No.28056 - 2014/08/05(Tue) 01:19:45
☆ Re: 式の利用 / ヨッシー
(1)
連続するとは書かれていませんので、２つの奇数を
　2m+1, 2n+1 (m, n は整数）
と置いてみましょう。
足した結果が、2×(整数) の形になれば、偶数です。

(2)
６の倍数を 6m, ３の倍数を 3n (m, n は整数）とおいて、
掛けてみて、9×(整数) の形になることを示します。
No.28057 - 2014/08/05(Tue) 01:20:41
☆ Re: 式の利用 / 名前はまだない
ありがとうございます。一度解いてみます。
No.28058 - 2014/08/05(Tue) 01:21:14
☆ Re: 式の利用 / 名前はまだない
(1)です！
m, nを整数とすると
2つの奇数は2m+1, 2n+1と表される。
これより、2つの奇数の和は
(2m+1)+(2n+1)=2m+1+2n+1=2(m+n+1)
ここで、m+n+1は整数だから、2(m+n+1)は偶数である。
したがって、奇数と奇数の和は偶数である。

これで合ってますか…？
No.28059 - 2014/08/05(Tue) 01:21:49
☆ Re: 式の利用 / ヨッシー
合っています。
No.28060 - 2014/08/05(Tue) 01:22:28
☆ Re: 式の利用 / 名前はまだない
お、良かったです^^

(2)はこれで合ってますかね。
mとnを整数とすると
6の倍数を6m, 3の倍数を3nと表される。
6m × 3n =18mn
m,nは整数だから、18mnは9の倍数である。
したがって、6の倍数と3の倍数の積は9の倍数である。
No.28061 - 2014/08/05(Tue) 01:23:00
☆ Re: 式の利用 / ヨッシー
うーん、99点。

分かる人には分かるのですが、「９の倍数」と聞いているので、
　18mn＝9(2mn)
と、９が見える形に表した方がいいでしょう。
No.28062 - 2014/08/05(Tue) 01:23:51
☆ Re: 式の利用 / 名前はまだない
99点…笑
なるほど！本当にありがとうございました！
No.28063 - 2014/08/05(Tue) 01:24:35
★ 新課程大学入試センター試験試行問題 / ｔｈ
答え）サシス＝６、７、４ですが
解説をどなたかよろしくお願いします
No.28054 - 2014/08/04(Mon) 21:34:01
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ヨッシー
どちらのサシスですか？
No.28055 - 2014/08/05(Tue) 01:15:23
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ｔｈ
家のマークを押すとURLのページに飛んでくれるはずなのですが・・
No.28075 - 2014/08/05(Tue) 11:31:41
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ヨッシー
その中に、サシス を訊いている問題が２つあるのです。
しかも、どちらも試行問題ではなさそうなので。
No.28076 - 2014/08/05(Tue) 13:20:35
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ｔｈ
これは失礼しました。前者（データと相関係数）の方です。整数問題の方ではありません。
No.28077 - 2014/08/05(Tue) 14:48:11
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ヨッシー
相関係数＝共分散／(国語の標準偏差×英語の標準偏差) であるので、
　205／(18.0×17.0)＝0.6699…
より、0.67 ・・・サシ

[A] いずれか、または両方の標準偏差が０の場合、相関係数は計算出来ない
[B] いずれも変わらない
[C] 相関係数の絶対値の値が高い場合は・・・
よって、４・・・ス
No.28081 - 2014/08/06(Wed) 09:46:39
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ｔｈ
回答ありがとうございます。

まず、サシ、ですが、
疑問１）小数第2位を四捨五入した値なので実際は18.0は17.5〜18.4999・・の値のどれか、17.0も実際は16.5〜17.4999・・のどれかの値（不確定な値、よく定まってない値）なのになぜ問題文に与えられた数値をそのまま公式に代入できるのか。
疑問２）
疑問１が解決したとしても、共分散にいたっては1の位まで求めた値、という風にどこまで求めたかの基準も求め方も違う（17.0などは四捨五入した値なのに、205の値は切り捨てという風に）のにそのまま代入できるのはなぜですか？

[A]について
確認）相関係数の分母が０になってしまうから計算できないということですね？

[B]について
なぜ変わらないのでしょうか？
また、問題文を正しく直すと「元のデータを定数倍（０倍は除く）しても、定数を加えても相関係数は変わらない」であっていますか？（0倍だと全てのデータが同じになり相関係数の分母の値が０×０で０になってしまうので計算できない。）

よろしくおねがいします
No.28085 - 2014/08/06(Wed) 15:08:02
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / Halt0
ヨッシーさんの
> [A] いずれか、または両方の標準偏差が０の場合、相関係数は計算出来ない
ですが、私の感覚だと、[A]のような「相関関数rは〜」という文章には「相関関数rが定義可能な場合」という前提が隠れているように思うので、このことからは[A]が正しいとも誤りとも言えないような気がします。
(いずれにせよ「すべてのデータが1つの曲線上に存在するときには」という点が明らかにおかしいので[A]の文章は誤りだと思いますが、「1つの直線上に」と修正すれば正しい文章と言えるような気がします)
ついでに、[C]は「因果関係」となっている点もおかしいですね。「2つの変量間の相関係数の値の絶対値が高い場合には、これら2つの変量には相関関係があるといえる。」なら正しいです。
(ちなみに、もし「の絶対値」が無くて、「2つの変量間の相関係数の値が高い場合には、これら2つの変量には相関関係があるといえる。」という文章だと、正しいかどうか微妙なところ…屁理屈みたいですが、「相関係数の値が高い」場合は「相関係数の値の絶対値が高い」場合の一部だというふうに解釈すれば、正しいといえなくもないかも。でもまあ常識的に考えれば誤りなのかな…(自信がない))
No.28086 - 2014/08/06(Wed) 15:44:52
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ヨッシー
あ、曲線ですね。
こちらの方が[A]がダメな理由ですね。

疑問１）
いずれも、有効数字３桁までは保証されているので、そのまま代入して、
答えを有効数字２桁で出すことは、問題ありません。
足し算だと、どの位で四捨五入するかは重要ですが、
掛け算割り算では、有効数字の桁数だけが効いてきます。
ちなみに、18.0 は、17.95〜18.0499･･･ です。

疑問２）
疑問１の方にこちらの理由も書いてしまいました。
ちなみに、切り捨てとは書いていないと思います。

[A]について
上に書いたとおり「曲線」の部分がんＧです。
標準偏差が０の場合は、あまり関係ないです。

[B]について
ｘ，ｙ　２つの変数があったとして、
ｘをｍ倍すると、各ｘの値と平均がｍ倍になります。
相関関係の公式の
分子にある（ｘi−ｘmean）はｍ倍になり、
分母にある（ｘi−ｘmean）もｍ倍になり、２乗して√が付いているので、
結果として分母もｍ倍になります。
よって、相関係数は変わりません。

ｘにａを足したとき、各ｘの値と平均が ＋ａ されるので、
相関係数の公式の（ｘi−ｘmean）の部分は変わりません。
よって、相関係数は変わりません。
No.28089 - 2014/08/06(Wed) 22:42:47
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ｔｈ
かいとうありがとうございます。

ということは1の位まで求めるというのは小数第一位を四捨五入したという意味なのですか？
No.28102 - 2014/08/07(Thu) 22:01:26
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ヨッシー
特に何も書いていなければ、四捨五入です。
ましてや、それまでずっと四捨五入で来たのに、そこだけ
（ことわりもなしに）切り捨てになることは不自然です。
No.28104 - 2014/08/07(Thu) 22:08:47
☆ Re: 新課程大学入試センター試験試行問題 / ｔｈ
よくわかりました、ありがとうございます
No.28200 - 2014/08/12(Tue) 20:52:50
★ (No Subject) / もち
２ｘ＋a/4≦（?I−２）/３を満たす自然数ｘの個数が３個となるように、定数aの値の範囲を求めよ。という問題で答えが不等式の両辺に１２をかけて、整理しｘ≦−３a−８/２（ここまでは分かります)不等式を満たす自然数が３個である条件は３≦−３a−８/２<４となるとされているのですが、なぜこの範囲になったかわかりません。一応答えはこれで計算すると−１６/３＜a≦−１４/３となります。
No.28046 - 2014/08/04(Mon) 14:28:19
☆ Re: / ヨッシー
(２ｘ＋a)/4≦（ｘ−２）/３ ですね。

問題を単純化して、
　ｘ≦ｂ
を満たす自然数ｘの個数が３個となるように、定数ｂの範囲を求めよ。
というのならどうでしょう？

ｘ≦２ を満たす自然数は　ｘ＝１ と ｘ＝２ です。
ｘ≦３ を満たす自然数は　ｘ＝１ と ｘ＝２ と ｘ＝３ です。
ｘ≦３．５ を満たす自然数は　ｘ＝１ と ｘ＝２ と ｘ＝３ です。
などと考えて、ｂの取りうる範囲を求めてみましょう。
No.28048 - 2014/08/04(Mon) 16:37:27
★ (No Subject) / 整数
nを自然数とするとき、n²＋1と(n＋1)²＋1の最大公約数を求めよ。

どなたか私に解答、解説を教えてください。よろしくお願いします。
No.28044 - 2014/08/04(Mon) 13:33:00
☆ Re: / らすかる
ユークリッドの互除法を使います。
n^2+1と(n+1)^2+1=n^2+2n+2の最大公約数は
n^2+1と(n^2+2n+2)-(n^2+1)=2n+1の最大公約数と同じ
2n+1は奇数なので
n^2+1と2n+1の最大公約数は
2n^2+2と2n+1の最大公約数と同じ
2n^2+2=n(2n+1)-n+2なので
2n^2+2と2n+1の最大公約数は
-n+2と2n+1の最大公約数と同じ
-n+2と2n+1の最大公約数は
-n+2と(2n+1)+2(-n+2)=5の最大公約数と同じ
よって
n^2+1と(n+1)^2+1の最大公約数は
-n+2と5の最大公約数と同じなので、
n≡2(mod 5)のときn^2+1と(n+1)^2+1の最大公約数は5
それ以外のときn^2+1と(n+1)^2+1の最大公約数は1
No.28047 - 2014/08/04(Mon) 16:17:31
★ (No Subject) / あつ
a を 2100 とする。
2a （つまり2の2の100乗）を17で割った余りを次から選択せよ。
（１）.1　　　（２）. 2 （３）.3 （４）.4
No.28032 - 2014/08/03(Sun) 09:06:27
☆ Re: / ヨッシー
a を 2^100 とする。
2^a （つまり2の2の100乗乗）を17で割った余りを次から選択せよ。
ですね。

2^4=16=17-1より
2^8=(17-1)(17-1)=17(17-2)+1
より、2^(8n) (n は自然数) を 17 で割った余りは１です。

2^100＝2^3・2^33×2
であるので、2^a を17で割った余りは 2 。
No.28045 - 2014/08/04(Mon) 14:08:41
★ 重複組み合わせ / ぽんぽこ
A,B,C,D,Eから重複を許して3個選ぶ方法は
公式をつかえばすぐに5H3=7C2=21通りと求まりますが、
仕切りをつかった考え方でこの場合の数を求めるにはどうすればよいでしょうか？
たとえば、りんご５個を３個に分ける方法は、
りんごを○とすると
○○○○○と二本の仕切り｜｜を並べる方法より、
7C2通りですよね。
しかし、問題文が
「A,B,C,D,Eから重複を許して3個選ぶ方法」とあるとこのように考えることはできるのでしょうか？教えてください！お願いします。
No.28027 - 2014/08/03(Sun) 01:10:49
☆ Re: 重複組み合わせ / angel
こんな感じで問題を「同等な内容」のものに置き換えてみると良いです。

　A〜Eから重複を許して3個選ぶ ( 選ばれないものがあっても良い )
　⇔ A〜Eから重複を許して8個選ぶ ( 必ずどれも1個以上選ぶ )
　　※8個選んだ後、全種類1個ずつ捨てれば、1つ上と同じこと
　⇔ 8個の○をA〜Eの5か所に分ける ( どこも1個以上入れる )
　⇔ 8個の○を4本の仕切り | で区切り、端から順にA〜Eとする
　　※仕切りを入れられる場所は7か所、同じ場所に複数の仕切りは入れられない

なので、5H3 = (3+5-1)C(5-1) = (3+5-1)C3 と計算できるわけです。
…あれ? だから21通りではなくて35通りですよ。
No.28029 - 2014/08/03(Sun) 01:28:09
☆ Re: 重複組み合わせ / らすかる
3個の○と4本の仕切りを並べれば
○||○|○| → A,C,Dが1個ずつ
|○○|||○ → B2個とE1個
のように対応させられますので
(3+5-1)C3=7C3=35ということで良いと思います。
No.28030 - 2014/08/03(Sun) 01:50:55
☆ Re: 重複組み合わせ / angel
> 3個の○と4本の仕切りを並べれば
……あっ!!
そっちの方がシンプルで良いですね。
No.28031 - 2014/08/03(Sun) 01:57:19
☆ Re: 重複組み合わせ / ぽんぽこ
angelさん、らすかるさん回答ありがとうございます！
angelさんのほうで仕 切りを入れられる場所は7か所、同じ場所に複数の仕切りは入れられ場所は7カ所とあるのはなぜなんでしょうか？
また、A,B,C,D,Eから重複を許して2個選ぶ方法だと仕切りを用いて考えることは可能でしょうか？
いろいろ考えてもうまくいきません。
教えてください。お願いします。
No.28033 - 2014/08/03(Sun) 09:59:49
☆ Re: 重複組み合わせ / ぽんぽこ
また、○と仕切りは区別をつける必要はないですよね？
この理由は結果が同じものが複数含まれてしまうのでおかしいからだと思うのですがどうなのでしょうか？
場合の数の問題は確率を求めるときと違って区別はしないと習いましたがそれと関係ありますか？
お願いします。
No.28034 - 2014/08/03(Sun) 10:36:40
☆ Re: 重複組み合わせ / angel
> angelさんのほうで…なぜなんでしょうか？
うーん…。言うのは簡単なのですが、そこは自分で○を書いて区切って試して貰う所ですね。
※話を聞いて分かったようになっても、自分で手を動かして実感しないと身にはつかないので

○に仕切りを入れる ( もしくは○と仕切りを並べる )と、重複を許して選ぶ、とが同じモノと感じられるか? そこに尽きます。
※実際そうでないと、例えば「x+y+z=8 の自然数解の個数を求めよ」とか、手も足も出なくなりますし
No.28035 - 2014/08/03(Sun) 10:40:42
☆ Re: 重複組み合わせ / angel
> また、○と仕切りは区別をつける必要はないですよね？
ないですね。
私もらすかるさんもそういう前提で説明しています。

> この理由は…
それは、「同じモノと感じられるか」それができれば自ずと分かると思います。
※逆に言うと、それができないと、区別をする/しない理由だけを説明してもしようがない所

> 場合の数の問題は確率を求めるときと違って区別はしないと習いましたが
そんな知識はゴミ箱に捨てると良いです。害でしかありません。
そういったセオリーじみたものは、あると安心できるのかもしれませんが、物事を色眼鏡で見て自ら歪めてしまうモトなので、ない方が良いのです。
何を区別して、何を区別しないのか。それこそが場合の数の本質であって、そこで自分の頭を使って考えないと理解は深まらないと思います。
No.28036 - 2014/08/03(Sun) 11:12:45
☆ Re: 重複組み合わせ / らすかる
> A,B,C,D,Eから重複を許して2個選ぶ方法だと仕切りを用いて考えることは可能でしょうか？
○2個と仕切り4個を並べれば
||○|○| →C,D1個ずつ
|○○||| →B2個
のように対応付けられますので
(2+5-1)C2=6C2=15通りとなります。
つまり「A,B,C,D,E」の5種類なので仕切りを1少ない4個にして
「2個選ぶ」ので○を2個とすれば、あとは個数が変わっても

○と仕切りの個数を変えるだけでうまくいきます。
No.28037 - 2014/08/03(Sun) 12:05:43
★ 三角関数 / 桔梗
添付している画像の波線のところのようになる意味がわかりません
どうか、説明お願いします
No.28023 - 2014/08/02(Sat) 21:23:09
☆ Re: 三角関数 / IT
0≦x≦2πのとき　　cosx≦-1/2 をみたすxの値の範囲
-2π≦x≦0のとき　cosx≦-1/2　をみたすxの値の範囲
はそれぞれ分かりますか？

-(5/4)π≦x≦(7/4)π が単位円でどんな範囲になるか分かりますか？
No.28024 - 2014/08/02(Sat) 22:25:08
☆ Re: 三角関数 / 匿名
ありがとうございました！
No.28038 - 2014/08/03(Sun) 15:35:22
☆ Re: 三角関数 / 桔梗
0≦x≦2πのとき　　cosx≦-1/2 をみたすxの値の範囲は、0≦x≦2/3π、4/3π≦x≦2πだと思うんですけど‥‥
-2π≦x≦0のとき　cosx≦-1/2　をみたすxの値の範囲と
-(5/4)π≦x≦(7/4)π が単位円でみたす範囲がわかりません
No.28039 - 2014/08/03(Sun) 16:05:25
☆ Re: 三角関数 / IT
> 0≦x≦2πのとき　　cosx≦-1/2 をみたすxの値の範囲は、0≦x≦2/3π、4/3π≦x≦2πだと思うんですけど‥‥

違います。（たとえばcos0=cos2π=1 ですから）
No.28040 - 2014/08/03(Sun) 17:50:57
☆ Re: 三角関数 / 桔梗
あ、勘違いしてました
2/3π≦x≦4/3πですか？
No.28041 - 2014/08/03(Sun) 22:18:28
☆ Re: 三角関数 / IT
ですね。

-2π≦x≦0のとき　は、
y=cosxのグラフか単位円で考えるか
2/3π≦x≦4/3π　の2/3πと4/3πに-2πを加えるかするといいと思います。

求める範囲の全体は、
-2π≦ -(5/4)π≦x≦(7/4)π ≦2π であることを使えばよいと思います。
No.28042 - 2014/08/03(Sun) 23:06:29
☆ Re: 三角関数 / 桔梗
-2π≦x≦0のとき　cosx≦-1/2　をみたすxの値の範囲は-3/4π≦x≦-1/4πですか？
そういう解き方を初めて知ったので目から鱗です……！
ですが、 -(5/4)π≦x≦(7/4)π の範囲がわかりません……
もう少し詳しい説明をお願いします
No.28043 - 2014/08/04(Mon) 07:51:02
☆ Re: 三角関数 / IT
> -2π≦x≦0のとき　cosx≦-1/2　をみたすxの値の範囲は-(-3/4)π≦x≦(-1/4)πですか？
ちがいます。
再掲(2/3)π≦x≦(4/3)π　の(2/3)πと(4/3)πに-2πを加えるかするといいと思います。（2π/3≦x≦4π/3　と表記してもいいです）

※それと私も漏らしていましたが適切に()で括りましょう。
No.28049 - 2014/08/04(Mon) 19:13:13
☆ Re: 三角関数 / IT
0≦x≦2πのとき,cosx≦-1/2 をみたすxの値の範囲は,2π/3≦x≦4π/3…(1)
-2π≦x≦0のとき,cosx≦-1/2をみたすxの値の範囲は,(2π/3)-2π≦x≦(4π/3)-2π…(2)

-2π≦x≦2πのとき,cosx≦-1/2　をみたすxの値の範囲は,
(1)(2)を併せて
　　-4π/3≦x≦-2π/3と2π/3≦x≦4π/3…(3)
よって
-5π/4≦x≦7π/4…(4)のとき,cosx≦-1/2　をみたすxの値の範囲は
(3)と(4)の共通部分　　-5π/4≦x≦-2π/3と2π/3≦x≦4π/3
※数直線で範囲を表示して確認してください。
No.28050 - 2014/08/04(Mon) 19:45:16
☆ Re: 三角関数 / 桔梗
今やっと仰っていた意味がわかりました！
ものわかりが悪くてすみません……！
No.28051 - 2014/08/04(Mon) 20:05:23
☆ Re: 三角関数 / IT
グラフで考えるのが分かりやすいかも。
No.28052 - 2014/08/04(Mon) 21:00:56
☆ Re: 三角関数 / 桔梗
あ、なんかわかりやすいです！
わざわざありがとうございます
No.28078 - 2014/08/05(Tue) 18:36:17
★ 数３の質問 / 匿名
問題を解く時部分積分をつかうか、置換積分を使うか迷ってしまいます。使い分け方はないのでしょうか？
No.28022 - 2014/08/02(Sat) 19:58:16
☆ Re: 数３の質問 / angel
部分積分は使える状況が結構限られていると思うので、少なくとも高校範囲では、ある程度使用例を見ておけば良いと思います。
逆に置換積分は非常に自由度が高いです。( 使える場面で必ず使わなければいけないということもないけど )

さて、部分積分ですが、一般には
　∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫F(x)g'(x)dx
　※F'(x)=f(x)
です。これを使うと何が嬉しいかと言うと、一番は∫の中にあるg(x)がg'(x)に化けること。g(x)が多項式であれば次数が減ることになりますから、これを繰り返すことで元のg(x)の部分を消す ( 定数項までもっていく ) ことができる、という所です。
例えば、直線と放物線で囲まれる面積の公式
　∫[α,β] (x-α)(x-β)dx = -1/6・(β-α)^3
の場合、f(x)=x-α, g(x)=x-β と見て部分積分を適用すれば、
　∫(x-α)(x-β)dx
　= 1/2・(x-α)^2・(x-β) - ∫( 1/2・(x-α)^2・1 )dx
　= 1/2・(x-α)^2・(x-β) - 1/6・(x-α)^3 + C
となる訳で。x-β が 1 に化けてくれるので、(x-α)^n の形の積分だけを考えるだけで良くて計算し易い、ということです。
※なお、まとめないでこのままにしておいた方が、定積分の計算は楽

上の例は別に部分積分でなくても素直に計算してもできますが、指数関数 e^x が絡む形だと、どうしても部分積分を考えざるを得ないですね。
例えば、
　∫e^x・x^2 dx
　= e^x・x^2 - ∫e^x・2x dx
　= e^x・x^2 - e^x・2x + ∫e^x・2 dx
　= e^x・x^2 - e^x・2x + 2e^x + C
　= (x^2-2x+2)e^x + C
1行目→2行目の変形では x^2 を、2行目→3行目の変形では 2x をそれぞれ g(x) とみなして部分積分を適用しています。f(x) に対応するのは常に e^x で、これは積分しても形が変わらないので分かり易いですね。
※まあ実を言うと、答えが (x^2+ax+b)e^x+C の形になると決め打って計算した方が早かったりするのですが
No.28025 - 2014/08/02(Sat) 23:25:23
☆ Re: 数３の質問 / angel
後は三角関数絡みで使う場面もあります。
必ずと言って良いほど小問なりで誘導があると思いますが、例えば ∫[0,π/2] (sinx)^n・dx とか。
これは f(x)=sinx, g(x)=(sinx)^(n-1) と見て部分積分を行うものです。
g(x)がg'(x)になった所で、指数 ^(n-1) が減る訳ではないのですが、漸化式 ( ∫[0,π/2](sinx)^n・dx を数列とみなした場合 ) を作り出すのに役立つのです。

詳細については、探してみたら以下のページに載っていたのでご参考まで。
http://mathtrain.jp/int_sinnx
No.28028 - 2014/08/03(Sun) 01:15:40
★ (No Subject) / l
p を任意の素数とする。以下の記述のうち正しいものを１つ選択せよ。
（１）．集合 S を p を法とする完全剰余系とするとき、集合 { a2 | a ∈ S} も p を法とする完全剰余系である。
（２）. 集合 S を p を法とする完全剰余系とするとき、集合 { 3a | a ∈ S }も p を法とする完全剰余系である。
（３）. a, bを整数とするとき、 ab ≡ 0 mod p ならば a ≡ 0 mod p または b ≡ 0 mod pが成立する。
（４）. 一次合同式 2 x ≡ 1 mod p は解をもつ。
No.28020 - 2014/08/02(Sat) 17:31:20
★ (No Subject) / b
一次合同式 741 x ≡ 6 mod 1023 の解の個数を以下から選択せよ。
ただし、ここでの解の個数とは解の 1023 を法とする剰余類の個数のことである。

（１）．０　　　（２）.１ （３）.２ （４）.３
No.28019 - 2014/08/02(Sat) 17:30:45
★ (No Subject) / b
整数aを 13 a ≡ 1 mod 28 を満たす0以上28未満の整数とする。
aの1の位（つまり a を10で割った余り）を以下から選択せよ。
（１）．０　　　（２）.１ （３）.２ （４）.３
No.28018 - 2014/08/02(Sat) 17:09:26
☆ Re: / IT
前の問題の続きで（４）.３
No.28021 - 2014/08/02(Sat) 17:32:16
★ (No Subject) / c
一次合同式 13 x ≡ 1 mod 28 の解の個数を以下から選択せよ。
ただし、ここでの解の個数とは解の28を法とする剰余類の個数のことである。
（１）．０　　　（２）.１ （３）.２ （４）.３
No.28016 - 2014/08/02(Sat) 16:55:46
☆ Re: / IT
正解は　(2).1
x≡ 13 mod 28
いろいろな解き方がありますが、28個の剰余類について解かどうかを調べればよい。
No.28017 - 2014/08/02(Sat) 17:07:11
★ 整数 / クルトガ
3^x-2^(2x-1)=1をみたすxの出し方教えてください。その解のみになる証明も教えてください
No.28001 - 2014/08/01(Fri) 18:53:35
☆ Re: 整数 / クルトガ
3ⁿ-2ⁿ⁺¹＝m²(mは整数)となる整数n(n≧2)を求めよでした
No.28002 - 2014/08/01(Fri) 19:24:53
☆ Re: 整数 / らすかる
最初の問題の解答
両辺を2倍すると 2*3^x-4^x=2
x＜0のとき、左辺が整数にならないので不適。
x=0のとき、2*3^x-4^x=1なので不適。
x=1のとき、2*3^x-4^x=2なので適。
x=2のとき、2*3^x-4^x=2なので適。
x≧3のとき
2*3^x-4^x=2*3^3*3^(x-3)-4^3*4^(x-3)
=54*3^(x-3)-64*4^(x-3)＜0なので不適。
よって解はx=1,2のみ。

次の問題の解答
左辺は奇数なのでmは奇数。
よって右辺は4で割って1余る数なので、
3^nが4で割って1余る数になる必要があるため、nは偶数。
n=2kとおくと
3^(2k)-2^(2k+1)=m^2
3^(2k)-m^2=2^(2k+1)
(3^k)^2-m^2=2^(2k+1)
(3^k+m)(3^k-m)=2^(2k+1)
3^kもmも奇数なので、3^k+mと3^k-mはともに偶数。
3^k+mと3^k-mの最大公約数は2mの約数なので、
3^k+mと3^k-mのうち少なくとも一つ4で割り切れない数だが、
2以外の素因数を持たず、2の倍数なので少なくとも一方は2。
ここでm＞0とすると3^k+m＞2なので、3^k-m=2すなわちm=3^k-2。
よって(3^k+m)(3^k-m)=2(3^k+3^k-2)=4(3^k-1)=2^(2k+1)
3^k-1=2^(2k-1)
3^k-2^(2k-1)=1
この式の解は、最初の問題からk=1,2、よってn=2,4
n=2のとき3^n-2^(n+1)=1、n=4のとき3^n-2^(n+1)=49となり
確かに成り立つので、答えはn=2,4。
No.28005 - 2014/08/01(Fri) 19:59:54
☆ Re: 整数 / クルトガ
mからきめていくんですね

ありがとうございました
No.28006 - 2014/08/01(Fri) 21:52:49
★ 集合 / ぽんぽこ
「x∊Aならばx∊Bのとき、A⊂Bが成り立つ」というのがありますが、集合Aに属する要素xが集合Bに属するためにはB⊂AよりもしA⊂Bの方が確実だというのは感覚的に分かるのですが、どうしてなのかよくわかりません。
分かる方おしえてください。よろしくおねがいします。
No.27990 - 2014/07/31(Thu) 22:04:10
☆ Re: 集合 / ヨッシー
「・・・・」は、
Ａの要素である(すべての)ｘが、Ｂの要素であるならば、
ＡはＢの部分集合である。
という意味です。
No.27991 - 2014/07/31(Thu) 22:24:09
☆ Re: 集合 / angel
「x∊Aならばx∊Bのとき、A⊂Bが成り立つ」
これは、⊂の「定義」です。つまり、⊂というのはこういう性質 ( 今回なら x∈A⇒x∈B ) に名前をつけたようなもの。
※高校範囲だと、単にそういう条件が成立しているのか、それとも定義なのかはあまりはっきりさせませんが…

単に言葉で「集合が集合に含まれる」と言っただけでは曖昧なので、数学の言葉 ( 数式も含む ) で明示的に表現しているわけで、その意味はヨッシーさんの回答にある通り「Aの要素は全てBの要素である」ことを以て「AがBの部分集合である ( AがBに含まれる )」と定義しているのです。
No.28007 - 2014/08/02(Sat) 07:45:42
★ 教えてください。 / 鎖那
2直線y=1/3x+5…(1), y=-1/2x+5/2…(2) がある。これについて、次の問いに答えなさい。
1.　(1)と(2)の交点の座標を求めよ。
2.　(1)と(2)それぞれの直線とx軸との交点の座標を求めよ。

1. は解けました！
2. が分かりません…
No.27987 - 2014/07/31(Thu) 19:24:02
☆ Re: 教えてください。 / ヨッシー
ｘ軸との交点は、それぞれの直線において、ｙ座標が０の点ですから、
ｙ＝０ を代入した時のｘの値を求めます。
例えば、ｘ＝２ と出たら、座標は (2, 0)、
ｘ＝−３ と出たら、座標は (-3, 0) です。
No.27988 - 2014/07/31(Thu) 19:24:38
☆ Re: 教えてください。 / 鎖那
解けました！ありがとうございます！
No.27994 - 2014/08/01(Fri) 15:52:34
★ (No Subject) / 愛梨
(1) (2)は分かりました。
(3) (4)を教えてください。
No.27985 - 2014/07/31(Thu) 19:22:12
☆ Re: / X
(3)
4≦x≦7
より
16≦x^2≦49
16/3≦(1/3)x^2≦49/3
よって(1)の結果から
16/3≦y≦49/3

(4)
0≦x≦BC
つまり
0≦x≦10
の範囲で(1)の結果のグラフを描きます。
No.27986 - 2014/07/31(Thu) 19:22:39
★ No.27962 の再現です。 / (｡・・｡)
お願いします
No.27983 - 2014/07/31(Thu) 19:19:22
☆ Re: No.27962 の再現です。 / X
類題2の展開図を見てもらえれば、
辺AB,DE
で切り離した場合は条件を満たしている
ことが分かります。
さて、残りの3つの辺についてですが
まず辺AEについては△ACEを底面と考えて
組み立てれば、条件を満たしていることが
分かります。
しかし、辺BC,CDについては組み立てると
底面のない正四角錐になり、条件を
満たしません。

ということで答えは
ア,エ,オ
となります。
No.27984 - 2014/07/31(Thu) 19:20:27
★ (No Subject) / ぽんぽこ
三角関数の周期関数のところで、
『関数f(x)があり、すべてのxに対して
f(x)=f(x＋k)(k>0)が成り立つとき、kは周期』ですよね？
では、
f(mx)=f(mx＋k)=f(m{x＋(k/m)})より
こんどはk/|m|が周期になりますよね？
前者でみたkが周期の場合は、これのm=1の場合ですよね。
具体的に、たとえばf(x)=2x、k=3のとき
すべてのxに対してf(x)=f(x＋3)が成り立ち、
これはf(x)=2x　f(x＋3)=2(x＋3)=2x＋6のグラフを書いてるとたしかにそうなってますよね。
ここで質問なんですけど、
f(x＋3)=2x＋6というのは、xy平面上に図示するとき、
どう書けばいいんでしょうか？
y=f(x)なら、xをインプットすることでyが求まりますよね。
y=f(x＋3)=2x＋6の場合はどうすればいいんでしょうか？
教えてください。お願いします。
No.27977 - 2014/07/31(Thu) 14:34:44
☆ Re: / らすかる
> たとえばf(x)=2x、k=3のとき
> すべてのxに対してf(x)=f(x＋3)が成り立ち、
f(x)=2xは原点を通る直線ですから
f(x)=f(x+3)は成り立ちません。

> f(x＋3)=2x＋6というのは、xy平面上に図示するとき、
> どう書けばいいんでしょうか？
f(x+3)=2x+6 → f(x)=2x ですから、原点を通る傾き2の直線です。
No.27978 - 2014/07/31(Thu) 14:43:59
☆ Re: / ぽんぽこ
ありがとうございます。
f(x)=2xのxにx=x＋3を代入すると
f(x＋3)=2(x＋3)=2x＋6ですが、
そもそもx=x＋3を代入⇔0=3を代入ってことですよね？
よく意味がわからないんですがどういうことなんでしょうか？
グラフのイメージ的には
関数f(x)(=2x)にたとえばx=1やx=2などを代入していく感覚で
x=x＋3を代入したときのそれに対応する値がf(x＋3)ということですよね？
x=x＋3を代入の意味がよくわからないです。
このあたりについてもよかったら教えてください。お願いします。
No.27979 - 2014/07/31(Thu) 15:17:40
☆ Re: / らすかる
> そもそもx=x＋3を代入⇔0=3を代入ってことですよね？
違います。
同じ文字だから混乱するのだと思いますが、
f(x)=2x で x=y+3 とおけば f(y+3)=2y+6 であって
これは文字を置き換えただけで何も変わっていません。
f(y+3)=2y+6 の文字は何でもよいので
f(x+3)=2x+6 とも書けます。
これは結果的に「xにx+3を代入」したことになりますが、
「x=x+3」ではなく、文字を置き換えただけですのでお間違いなく。
（つまりf(x)のxとf(x+3)のxは異なる意味の変数に同じ文字を使っているだけで、同じxではありません。）
f(x+3)=2x+6 の意味は
f(x+3)=f(x)+6 と考えれば
「f(x)のxに3大きい値を代入すれば、結果は6大きい値になる」
ということになります。
わかりにくければ、最初の式をf(x)=2xと考えず代入する変数を変えて
f(t)=2tとでもして、
f(t)=2t でt=xとすれば f(x)=2x
f(t)=2t でt=x+3とすれば f(x+3)=2x+6
と考えれば良いと思います。
また、「f(x+3)=2x+6」は「f(x)=2x」の文字を置き換えただけのものですから、
「f(x+3)=2x+6のグラフ」は「f(x)=2xのグラフ」と同じです。
No.27980 - 2014/07/31(Thu) 15:41:40
☆ Re: / ぽんぽこ
関数f(x)があり、すべてのxに対して
f(x)=f(x＋k)(k>0)が成り立つ
というのはたとえばx=tのとき、
f(t)=f(t＋k)が成り立つし
x=t＋3のとき、
f(t＋3)=f((t＋3)＋k)ということですよね？
たとえばこれはy=sinθのようなグラフで見られると思うのですがどうなんでしょうか？
何度も質問してしまいすみません！
お願いします。
No.27981 - 2014/07/31(Thu) 17:06:49
☆ Re: / らすかる
> 関数f(x)があり、すべてのxに対して
> f(x)=f(x＋k)(k>0)が成り立つ
> というのはたとえばx=tのとき、
> f(t)=f(t＋k)が成り立つし
> x=t＋3のとき、
> f(t＋3)=f((t＋3)＋k)ということですよね？
その通りです。

> たとえばこれはy=sinθのようなグラフで見られると思うのですがどうなんでしょうか？
これは意味がよくわかりませんが、
sinθは周期2nπを持ちますので
sinθ=sin(θ+2nπ)です。
No.27982 - 2014/07/31(Thu) 18:01:30
★ 三角形の角の二等分線と比の問題について / アクオス
別のサイトでも質問させてもらったのですが
理解できなかったのでよろしくお願いします。

AB=3,BC=4,CA=6である△ABCにおいて∠Aの外角の二等分が直線BCと交わる点をDとする。
線分BDの長さを求めよ。

という問題で
∠Aの外角というのは図のように二つ出来ると思うのですが
この問題の場合は左側の外角の二等分線を使って解を求めています。
試しに右側の外角を使って解を求めたところ解が間違ってしまうのですが、左側の外角で求める理由がわかりません。
初歩的な質問かもしれませんがよろしくお願いします。
No.27973 - 2014/07/31(Thu) 07:42:08
☆ Re: 三角形の角の二等分線と比の問題について / ヨッシー
Ａの外角は２つですが、対頂角の位置にあるので、二等分線は１本(共通)です。
（上の図は、正確ではありません）
従って、ＢＣとの交点も１つしかありません。
この問題の場合は、Ｂ側で交わります。

No.27974 - 2014/07/31(Thu) 09:01:18
☆ Re: 三角形の角の二等分線と比の問題について / アクオス
ヨッシーさん回答ありがとうございます。
2等分線が1本になってBCとの交点は1つしかないという所は理解できたのですが
直線BCとの交点がB側につく理由がなぜそうなるのかまだ理解できません。

よろしくお願いします。
No.27975 - 2014/07/31(Thu) 14:02:47
☆ Re: 三角形の角の二等分線と比の問題について / らすかる
横から失礼します。

AD=ABとなる点Dを辺AC上にとると、△ABDは二等辺三角形で
BD//(外角の二等分線)となります。
従ってB側で交わることは図からわかると思います。

上記でわからなければ、
AからBCに垂線AHを引くと
∠BAH+∠ABH=90°、∠CAH+∠ACH=90°
ですが、AB＜CAから∠ABC＞∠ACBなので
∠BAH＜∠CAHです。
よって
∠BAH+(外角の半分)＜∠CAH+(外角の半分)
ですから、
∠BAH+(外角の半分)＜90°＜∠CAH+(外角の半分)
となります。

ただし、計算で理解するよりは、定規とコンパスで正確な図を描いて
実感した方が良いと思います。
実感がないと証明も理解しにくいですし。
No.27976 - 2014/07/31(Thu) 14:14:57
☆ Re: 三角形の角の二等分線と比の問題について / アクオス
らすかるさん回答ありがとうございます。
計算のほうは今の自分では理解が難しかったのですが
実際に図を書いてみると、はっきりとわかりました。
最初から正確に図を書いて考えるべきでした。
ありがとうございました。
またよろしくお願いします。
No.27989 - 2014/07/31(Thu) 20:54:01
★ 三角関数について / ぽんぽこ
うろ覚えなのですが一般角をΘとするとΘは0°≦Θ<360°・・・?@、-180°≦Θ<180°・・・?Aで表すことができ、このとき、Θ＋360°×k(kは整数)が成り立つのでしたよね？
?@、?Aはどちらも同じ角度を表すことができると思いますが、どうしてこの２つの範囲なのでしょうか？
-360°≦Θ<180°ではいけないのでしょうか？
分かる方教えてください。お願いします。
No.27968 - 2014/07/30(Wed) 23:46:28
☆ Re: 三角関数について / らすかる
> このとき、Θ＋360°×k(kは整数)が成り立つ
意味不明です。ただの式に成り立つも成り立たないもありません。

> ?@、?Aはどちらも同じ角度を表すことができると思いますが、
> どうしてこの２つの範囲なのでしょうか？
その二つとどこかに書いてあったのですか？
?Aよりは「-180°＜θ≦180°」の方が使われていそうな気がしますが。

> -360°≦Θ<180°ではいけないのでしょうか？
いけません。この範囲に90°と-270°が含まれていますが、
この二つは同じ角度です。
ちょうど一周分で二つの不等号が＜と≦でないと、
一つの角度が一意的に表せませんので不都合です。
No.27969 - 2014/07/31(Thu) 00:41:15
☆ Re: 三角関数について / ぽんぽこ
回答ありがとうございます。
正の角が90°のとき負の角は-270°になるので
Θのとりうる値の範囲が-360°≦Θ<180°においてだと
90°、-270°の片方のみで角度を表せてしまうのに、この両方が範囲に含まれてしまっているため不都合ということですか？「二つの不等号が＜と≦でないと」とは-180°<Θ≦180°のように
正の角が180°であれば負の角は-180°なののでΘの取りうる値に-180°は含まれないということでしょうか？
お願いします。
No.27970 - 2014/07/31(Thu) 01:33:48
☆ Re: 三角関数について / らすかる
> 正の角が90°のとき負の角は-270°になるので
> Θのとりうる値の範囲が-360°≦Θ<180°においてだと
> 90°、-270°の片方のみで角度を表せてしまうのに、
> この両方が範囲に含まれてしまっているため不都合ということですか？
その通りです。

> 「二つの不等号が＜と≦でないと」とは-180°<Θ≦180°のように
> 正の角が180°であれば負の角は-180°なののでΘの取りうる値に
> -180°は含まれないということでしょうか？
その通りです。
「二つの不等号が＜と≦」という点においては、?@?Aとも問題ありません。
「ちょうど一周分」とだけ書くと「-180°≦θ≦180°」も含んでしまいそうなので
「二つの不等号が＜と≦」は念のために書いた注釈です。

それから、θは通常小文字の「θ」を使います。
「Θ」は大文字で、少なくとも角度には一般に使われません。
No.27971 - 2014/07/31(Thu) 02:47:33
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