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★ (No Subject) / ドミノ
初歩的な質問と思いますが、下の問題で(a+b+c)^2や(x+y+2z)^3と言うように展開したのですがどうしても解けなくて解答が出てこないままです。
解説が書いてなかったので計算方法が分かる方が居ましたら教えていただければ幸いです。
No.27806 - 2014/07/22(Tue) 12:13:08
☆ Re: / ヨッシー
展開して整理する問題でしょうか？

(8) は A^2−B^2＝(A+B)(A-B) を使えば、簡単になります。

(9) は、
　(x+y+2z)^3＝x^3＋y^3＋8z^3＋3x^2y＋3xy^2＋6y^2z＋12yz^2＋12z^2x＋6zx^2＋12xyz
のように展開していって、足していけば出来るでしょう。

もちろん、(8) も、(9) のように、展開していっても出来ます。
No.27810 - 2014/07/22(Tue) 17:33:42
★ (No Subject) / ヒキニート
複素数平面です。
No.27801 - 2014/07/22(Tue) 01:40:14
☆ Re: / IT
(1)の略解だけ　もっといい方法があるかも（図を描いて考えるとαとβのなす角が分かると思います）

|α+β|^2=1よりαβ~+α~β=-1
よって　αβ~=ω(ωは1以外の1の３乗根）
これとα+β＝-αβからβが求まります。

※α~はαの共役複素数です。
行間は自力で考えてください。
No.27803 - 2014/07/22(Tue) 03:47:05
☆ Re: / IT
(2)は解なしのような気がしますが、（見間違えかも）
No.27804 - 2014/07/22(Tue) 04:02:11
☆ Re: / らすかる
(2)は私も解なしに思えます。
αβ=-αβの両辺にαβを足して2αβ=0なので
α=0またはβ=0となり、|α|=0または|β|=0なので
|α|=|β|=1になることはない。
No.27805 - 2014/07/22(Tue) 11:58:32
☆ Re: / ヒキニート
これは先生のミスだそうで、解なしです。
No.27814 - 2014/07/22(Tue) 20:21:50
★ (No Subject) / ヒキニート
至急お願いします。図形問題です。
No.27800 - 2014/07/22(Tue) 01:39:51
★ (No Subject) / ヒキニート
至急お願いします。
No.27799 - 2014/07/22(Tue) 01:39:15
☆ Re: / みずき
連続する6つの自然数に7の倍数が含まれる場合は、
条件を満たさないので、7の倍数は含まれてはいけません。

よって、mod 7で見て、n≡1 でなくてはいけないので、
(6つの連続する自然数の積)≡1*2*3*4*5*6≡1*2*3*(-3)*(-2)*(-1)≡6

ところが、
1^2≡1, 2^2≡4, 3^2≡2,
4^2≡2, 5^2≡4, 6^2≡1 なので、
条件を満たすような6つの連続する自然数は存在しません。
No.27802 - 2014/07/22(Tue) 02:17:54
★ (No Subject) / あ
あ、い

を証明できますか？
No.27796 - 2014/07/21(Mon) 21:45:53
☆ Re: / IT
(ア)
→
Aとして各成分a,b,c,dのうち１つだけ1で他は0である行列をとればいいと思います。　４つありますので計算してみてください。
No.27798 - 2014/07/21(Mon) 23:09:12
★ (No Subject) / あ
逆関数ってなぜxyをいれかえないといけないの？
x=g(y)にした時点でgが逆関数のことでしょ？
No.27795 - 2014/07/21(Mon) 21:12:27
☆ Re: / らすかる
独立変数をx、従属変数をyと書くのが一般的ですから
y=g(x) と書いてあれば特に何も断ることなく
「xが独立変数、yが従属変数でgがx→yの関数」という意味になりますが、
x=g(y) とだけ書いてあると、
「xが独立変数、yが従属変数で陰関数の形」と解釈されると思います。
従って、x=g(y)を答えにしたいのであれば
「yが独立変数、xが従属変数で、gはy=f(x)の逆関数を示す」
などと断り書きを入れておけば論理的には正解のはずですが、
一般的な書き方でないと正解でも×にされてしまうおそれがありますので
やめた方が良いと思います。
No.27807 - 2014/07/22(Tue) 13:47:56
★ (No Subject) / kizumi
124 x^2+156 x y+100 x+41 y^2+50 y+25=0

の　整数解を　求めて下さい。
No.27793 - 2014/07/21(Mon) 20:44:57
★ ベクトル / うぃーあー
平面上に一辺の長さが４の正三角形ABCがある。s≧0,t≧0,s+t≦1を満たす実数s,tに対し、次の(1)(2)を満たす点Ｐの存在する領域をそれぞれ図示せよ。
(1)↑AP=s↑AB+2t↑AC
(2) |↑AP-s↑AB-2t↑AC |≦1



これってどうやって進めていけば解けるんですか??
No.27791 - 2014/07/21(Mon) 17:55:19
☆ Re: ベクトル / X
(1)
↑AP=s↑AB+t(2↑AC)
と変形できるので求める領域は
辺ACを2:1に外分する点をDとしたときの
△ABDの周及び内部
となります。

(2)
これは(1)の結果の領域を中心に持つ半径1の円の
周及び内部の集合となります。
従って、半径1の円を(1)の△ABD上に中心を持つように
移動させてできる外周の線を境界とする図形の周及び
内部が求める領域となります。
No.27797 - 2014/07/21(Mon) 22:14:54
★ (No Subject) / ヒキニート
Oを中心とする半径1の円周上に3点A、B、Cがあり、↑OA=α↑OB+β↑OC(α、βは実数)が成り立っている。

(1)Aを通り直線BCに垂直な直線とBCの交点をDとする。ベクトル↑ODをα、β、↑OB、↑OCを用いて表せ。

(2)線分AB、BC、CAの中点をL、M、Nとする。(1)の点Dと、L、M、Nの4点はある点Kを中心とする一つの円周上にあることを示し、↑OKをα、β、↑OB、↑OCを用いて表せ。また、その円の半径を求めよ。
No.27788 - 2014/07/21(Mon) 15:25:31
☆ Re: / X
(1)
条件から点Dは直線BC上にあるので
↑OD=t↑OB+(1-t)↑OC (A)
(tは実数)
と置く事ができます。
一方、↑AD⊥↑BCですので
↑AD・↑BC=0
これより
(↑OD-↑OA)・(↑OC-↑OB)=0 (B)
(B)に(A)などを代入すると
{(t-α)↑OB+(1-t-β)↑OC}・(↑OC-↑OB)=0 (B)'
ここで点B,Cは点Oを中心とする半径1の円の上の点ですので
|↑OB|=|↑OC|=1 (C)
(B)'(C)により
(t-α)+(α-β-2t+1)↑OB・↑OC-(1-t-β)=0
(1-↑OB・↑OC){2t+(β-α-1)}=0
ここでB,Cは異なる点ですので
↑OB・↑OC≠1
∴t=(α-β+1)/2
よって(A)により
↑OD={(α-β+1)/2}↑OB+{(β-α+1)/2}↑OC

(2)
D,L,M,Nが同一円周上に存在
⇔△LMNの外接円の上にDが存在
そこでまず△LMNの外接円のベクトル方程式を
求め、得られた結果に(1)の結果を使います。

条件から
↑OB//↑OCでなく、かつ↑OB≠↑Oかつ↑OC≠↑O
ですので△LMNの外接円の中心のOを基準とした
位置ベクトルは
x↑OB+y↑OC
(x,yは実数)
と置く事ができます。よって△LMNの外接円上の点を
Q、半径をrとすると
|↑OQ-(x↑OB+y↑OC)|=r (D)
ここで
↑OL=(↑OA+↑OB)/2={(1+α)↑OB+β↑OC}/2 (E)
↑OM=(↑OB+↑OC)/2 (F)
↑ON=(↑OC+↑OA)/2={α↑OB+(1+β)↑OC}/2 (G)
(D)(E)(F)(G)により
|{(1+α)↑OB+β↑OC}/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (E)'
|(↑OB+↑OC)/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (F)'
|{α↑OB+(1+β)↑OC}/2-(x↑OB+y↑OC)|=r (G)'
(E)'(F)'(G)'をx,y,zについての連立方程式と見て
解きます。
(両辺を二乗して左辺を展開し(C)を代入しましょう。)
得られた結果を(D)に代入し、更に↑OQに
(1)の結果を代入しても(D)が成立する
ことを示します。

(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.27789 - 2014/07/21(Mon) 17:21:31
★ 整数 / ９ｊ
「分数が有限小数になるのは分母＝ｋ＊2^x5^yのとき（ｋは０でない整数、ｘ、ｙは非負整数」これが感覚的にも分かる証明や説明とかってありますでしょうか？
No.27784 - 2014/07/21(Mon) 11:13:00
☆ Re: 整数 / らすかる
k=3,x=0,y=0のとき有限小数になりませんね。

# そもそも、「k*2^x5^y(kは0でない整数、x,yは非負整数)」というのは
# 「0以外の任意の整数」と同じですから、
# 「分母＝k*2^x5^y(kは0でない整数、x,yは非負整数)のとき有限小数」
# というのは「任意の有理数は有限小数」と言っているのと同じです。
No.27785 - 2014/07/21(Mon) 11:27:44
☆ Re: 整数 / ９ｊ
そのとおりでした。

「分数の分母が2^x*5^yの時、その分数は有限小数になる。ただしx,yは非負整数かつ(x,y)≠(0,0)」の説明または感覚的に分かる証明はありますでしょうか？
No.27792 - 2014/07/21(Mon) 20:01:03
☆ Re: 整数 / らすかる
分母が2^x*5^yならば
x≧yの場合 1/(2^x*5^y)=5^(x-y)/10^x
x＜yの場合 1/(2^x*5^y)=2^(y-x)/10^y
なので1/(2^x*5^y)は有限小数で、
分子が1以外の整数の場合はこれの整数倍なので有限小数になります。
No.27794 - 2014/07/21(Mon) 21:09:48
★ 高3です / さき
5^2+6^2+7^2+・・・+20^2
の和を求めよ。

おしえてください(/_;)
No.27779 - 2014/07/20(Sun) 22:24:06
☆ Re: 高3です / らすかる
2乗数の和の公式
Σ[k=1〜n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6
を使って
{Σ[k=1〜20]k^2}-{Σ[k=1〜4]k^2}
を求めましょう。
No.27781 - 2014/07/20(Sun) 22:25:55
★ (No Subject) / tt
積分の結果です。漸化式も立ちそうにないし詰んでます。
ご教授願います。
No.27777 - 2014/07/20(Sun) 21:51:29
☆ Re: / angel
多分、真面目に計算して漸化式なりを出そうとしてもできないと思います。少なくとも私には無理です。

ただ、問題を解く分にはそんなことをする必要はなくて。なんのために(1)があるかというと、それをヒントにせよということなので。大体は。

とは言っても、(1)自体は非常に感覚的な表現になっているので、それを以下に計算に活かせる形にするか、そこが考えどころです。
まあ、一番分かり易いのは、このグラフは直線y=xに対称な形なので、対称軸上にある点 ( 1/[n]√2, 1/[n]√2 ) に着目することですね。
※[n]√ は n乗根を表すものと考えてください

問題の面積をはっきりとした式や漸化式で表すことを考えるのではなく、如何に大きさを見積もるか ( どんなに大きくても/小さくても○○という上界/下界を探す ) という方向で考えるのが上手くいくコツです。
※要はハサミウチ

形が ( 感覚的には ) 正方形に近づくことは分かっているのだから、それを活かすように見積もるとすると…?
No.27787 - 2014/07/21(Mon) 12:56:56
☆ Re: / tt
丁寧な解説ありがとうございます。
挟み撃ちやってみました。どうでしょうか。
No.27790 - 2014/07/21(Mon) 17:36:38
★ (No Subject) / tt
(1)なのですが、イメージでかくと図のようになりますが、不連続ってありえないですよね？まちがっているのでしょうか。
また(2)はsincosの媒介変数を使った積分に帰着させたのですが詰まってしまいました。後ほどの写真に載せるので、よろしくお願いします。
No.27776 - 2014/07/20(Sun) 21:49:26
☆ Re: / angel
> まちがっているのでしょうか。
はい。
恐らく、ttさんは∞を1個の数のように ( 例えば 0＜x＜1 において x^∞=0 などと ) とらえているのではないかと感じます。が、そうだとすると誤りです。

あくまで∞とは、何か ( この場合はn ) を限りなく大きくしていって、その結果どうなるかを見ることを表しますので、∞という数がある訳ではありません。
※結果的に∞を数として扱ったような結果が得られることがあるにしても

今回は、x^n+y^n=1 という、n が大きくなるごとにどんどん膨らみが大きくなる図形 ( n=2 の時が円 ) に関して、「ではどこまで膨らむか」を考えるのが「n→∞」を扱うことになります。
答えはもちろん図にある正方形 ( ただし白丸は不要 ) で良いのですが、そもそも「グラフが○○に近づく」なんて感覚的な話でしかないので、まあ、問題がちょっと悪い気はします。( ヒントとしては良いけれど )
No.27786 - 2014/07/21(Mon) 12:44:23
★ 高校3年です / りん
第2項が12、第5項が768である等比数列anの一般項を求めよ。
No.27773 - 2014/07/20(Sun) 21:26:12
☆ Re: 高校3年です / らすかる
a[n]=ar^(n-1)とすると
ar=12
ar^4=768
(第2式)÷(第1式)からr^3=64なのでr=4
第1式に代入して a=3
∴a[n]=3・4^(n-1)
No.27774 - 2014/07/20(Sun) 21:32:22
☆ Re: 高校3年です / IT
初項をa,公比をrとおく

ar=12,ar^4=768
r^3=64
r=4,4ω,4ω^2、ωは１の３乗根でω≠１
a=12/r=3,3ω^2,3ω
an=4×3^(n-1),4ω(3ω^2)^(n-1),4(ω^2)(3ω)^(n-1)
anが実数の場合は最初のだけ。
No.27775 - 2014/07/20(Sun) 21:38:49
☆ Re: 高校3年です / りん
ありがとうございます!!
No.27778 - 2014/07/20(Sun) 21:54:44
★ (No Subject) / ヒキニート
これもどなたかお願いします。
No.27772 - 2014/07/20(Sun) 21:26:10
☆ Re: / らすかる
右端は1かnのどちらか
その左は、右端の数を除いた最小数か最大数のどちらか
その左は、右の2数を除いた最小数か最大数のどちらか
その左は、右の3数を除いた最小数か最大数のどちらか
・・・
となるので、2^(n-1)通り
No.27780 - 2014/07/20(Sun) 22:24:16
★ (No Subject) / ヒキニート
確率です。
No.27771 - 2014/07/20(Sun) 21:25:29
☆ Re: / らすかる
2n秒後に初めて頂点Aに戻ってくる確率は
1・(2/3)・{(2/3)・(2/3)+(1/3)・1}^(n-2)・(2/3)・(1/3)=(4/27)(7/9)^(n-2)
頂点Gを一度も訪れずに2n秒後に初めて頂点Aに戻ってくる確率は
1・{(2/3)・(2/3)}^(n-1)・(1/3)=(1/3)(4/9)^(n-1)
なので
p[n]=(4/27)(7/9)^(n-2)-(1/3)(4/9)^(n-1)
No.27782 - 2014/07/20(Sun) 23:13:22
★ (No Subject) / tt
場合わけが多いのですが、、
No.27768 - 2014/07/20(Sun) 17:06:30
☆ Re: / IT
とりあえず地道にやられるのが早いかと。
No.27770 - 2014/07/20(Sun) 20:25:46
★ 「数学の問題」について」 / ｊｔ７７８７７
改めて再質問という形で書き込みします。
以前私は問題で「問題X^３+YX+Z＝０が
「X^4＝（X^２+AX+B）^２」の形に
変形されるための必要十分条件を求めよ。
次にこれを用いて「８X^３−３６X＋２７＝０」
を解きなさい。」を出しました。

そして「X^３+YX+Z＝0」について

「A^2+2B＝0」、、、、、、?@
「Y＝B」、、、、、、、、、?A
「Z＝B^2／２A」、、、、、?B
まではわかりました。
しかしどうしてもわからないのはこっからです。

「上の3式から（Y^3＋8Z^2＝0）を得る。」とあるのですが
どうしても上の3式からY^3＋8Z^2＝0にたどり着きません。

答えのところにはこう書いています。全文載せます。
「?@?A?Bの3式からこれらより（Y^3＋8Z^2＝0）を得られる。
逆にこの関係があれば、?@?A?Bの3つの等式をなりたたせる
AとBは存在するから変形は可能である」です。
仮に?AをBに代入してもどうしてもわかりませんでした。
自分の計算の勘違いなのかどうかはわかりませんが
どうしてもわあｋりません。教えてください。
よろしくお願いします。
No.27763 - 2014/07/20(Sun) 15:20:59
☆ Re: 「数学の問題」について」 / らすかる
Z=B^2/(2A) から A=B^2/(2Z)
これを A^2+2B=0 に代入して B^4/(4Z^2)+2B=0
両辺に4Z^2/Bを掛けて B^3+8Z^2=0
B=Yを代入して Y^3+8Z^2=0 となりますね。
No.27764 - 2014/07/20(Sun) 15:36:23
☆ Re: 「数学の問題」について」 / ｊｔ７７８７７
らすかる様へ

どうもお忙しいところありがとうございました。
本当に助かりました。
No.27767 - 2014/07/20(Sun) 15:56:15
★ (No Subject) / a
sinxのp乗 0<p<1ってあるのですか？検索しても出てこないのですが。
No.27762 - 2014/07/20(Sun) 15:02:46
☆ Re: / らすかる
(sinx)^p があるか、という質問ですか？
単に sinx と x^p を合成したものですから普通に考えられますが、
「どこかで実際にその式が使われているか」という意味ならばわかりません。
No.27765 - 2014/07/20(Sun) 15:38:47
★ (No Subject) / なは
下から4行目の角度αが0＜α<π/4になるか教えてください。おねがいします！
No.27759 - 2014/07/20(Sun) 13:05:27
☆ Re: / なは
すいません
学年いうの忘れてました。
大学受験生 です。
No.27760 - 2014/07/20(Sun) 13:16:06
☆ Re: / IT
0＜２＜４/√3ですから。
0＜tanα＝２/(４/√3)＝(√3)/2＜１
No.27761 - 2014/07/20(Sun) 14:05:39
☆ Re: / なは
すぐ答えてくださり感謝です！
ありがとうございました。
またよろしくお願いします。
No.27766 - 2014/07/20(Sun) 15:52:58
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