f(x,y)=x^2+axy-2y^2-5x+by+4とする。f(x,y)=0が点(2,1)を通る二直線を現すとき、
定数a,bの値、および二直線の方程式を求めよ。
条件からb=-2a+4がでました。ここからどうすればよいのでしょうか??
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No.27653 - 2014/07/09(Wed) 00:26:23
| ☆ Re: お願いします / X | | | 条件を満たすためにはf(x,y)=0が
(x,yの二つの一次式の積)=0
つまり
(x+py+q)(x+ry+s)=0
(p,q,r,sは実数の定数)
の形に変形できなければなりません。
よって
f(x,y)=0 (A)
をxの二次方程式と見たときの判別式を
D[1]とすると、解の公式によりD[1]は
平方式にならなければなりません。
ここで(A)より
x^2+(ay-5)x-2y^2+by+4=0
∴D[1]=(ay-5)^2-4(-2y^2+by+4)
=(a^2+8)x^2-2(5a+2b)y+9
よってD{1]=0をyの二次方程式
と見たときの解の判別式を
D[2]とすると
D[2]/4=(5a+2b)^2-9(a^2+8)=0 (B)
(B)と
b=-2a+4
とを連立して解きます。
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No.27654 - 2014/07/09(Wed) 11:29:47 |
| ☆ Re: お願いします / X | | | ごめんなさい。No.27654において うぃーあーさんが
仰るような間違いがありましたので修正しました。
再度ご覧下さい。
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No.27667 - 2014/07/10(Thu) 20:17:12 |
| ☆ 別解 / angel | | | Xさんとは別のアプローチで行ってみます。
ここでは先に「2直線を表す」を先に分かり易く整理しておいて、元の問題をその整理した形に誘導することを考えます。
と言うことで。まずは分かり易い例として「原点を通る2直線」で行きましょう。
y=mx, y=nx という形でも良いのですが、y軸の事も考えて
px+qy=0, rx+sy=0 という一般形でいきましょう。
では「2直線を表す」方程式とは?
px+qy=0, rx+sy=0 のいずれかを満たすことが、この2直線のどちらかに属することに他なりませんから、方程式としては
(px+qy)(rx+sy)=0
ですね。
展開して係数をテキトーに置くと
αx^2+βxy+γy^2=0
です。
このα,β,γは割とどうでもよくて、重要なのは1次の項や定数項がないこと。つまり、
原点を通る2直線を表す⇒1次の項・定数項がない(係数が0)
という必要条件が分かります。
※必要十分でないことに注意。少し考えると、β^2-4αγ＞0 を付け加えれば必要十分になると分かるのですが、今回そこまでする必要はありません。
で、元の問題に戻ります。こっちは「原点」ではなく「(2,1)を通る2直線」ですね。と言うことは、そのグラフをx軸方向に-2、y軸方向に-1ずらせば、さっき考えた「原点を通る2直線」になるということです。
で、f(x,y)=0 を x軸方向に-2、y軸方向に-1ずらしたグラフはと言うと、f(x+2,y+1)=0
これを計算してみると
f(x+2,y+1)
= (x+2)^2+a(x+2)(y+1)-2(y+1)^2-5(x+2)+b(y+1)+4
= x^2+axy-2y^2+(a+1)x+(2a+b-4)y+(2a+b-4)
結局、1次の項・定数項が消える条件 a+1=2a+b-4=2a+b-4=0 を解いてa,bを出せば答えになるということです。
一応、出てきたa,bを使って f(x+2,y+1)=0 が2直線を表す形になることは確かめましょう。( 因数分解して )
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No.27674 - 2014/07/11(Fri) 00:56:36 |
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