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(No Subject) / kkk
自然数nについて、y≧nxおよびy≦2n^(2)-x^(2)を満たす格子点の総数をnで表せ。という問題において、求める格子点の個数が写真の先で求められる理由がわかりません。
詳しく教えてほしいです。お願いします。

No.77027 - 2021/07/28(Wed) 12:17:43

Re: / X
まず
問題の領域である
y≧nx,y≦2n^2-x^2
の境界線である
直線
y=nx

放物線
y=2n^2-x^2
の上の点で、x座標が整数であるものは
全て格子点であることに注意すると
問題の領域内の
直線
x=k (kは整数) (A)
上の格子点は
点(k,nk),(k,2n^2-k^2)
を端点としていますので、
点(k,nk)

点(k,2n^2-k^2)
の下側にあることに注意すると
(A)の上の格子点の数は
(2n^2-k^2)-nk+1

ここで
nx=2n^2-x^2
をxの方程式として解くと
x=-2n,n
となることから
格子点のx座標の範囲は
-2n≦x≦n
以上からご質問の式を得ます。

No.77028 - 2021/07/28(Wed) 19:09:43

Re: / 関数電卓
ご参考まで
No.77029 - 2021/07/28(Wed) 20:45:30

Re: / kkk
納得しました。ありがとうございます。
因みに上記のΣ計算はどのようにしたら
良いでしょうか。具体的にお願いします。

No.77035 - 2021/07/29(Thu) 12:04:26

Re: / 関数電卓
 Σ[k=−2n〜n](2n^2−k^2−nk+1) …(1)
j=k+2n と置くと k=j−2n
(1)=Σ[j=0〜3n](2n^2−(j−2n)^2−n(j−2n)+1)
  =Σ[j=0〜3n](−j^2+3nj+1) …(2)
(2)の第1項の和=−(1/6)3n(3n+1)(6n+1) …(3)
(2)の第2項の和=3n・(1/2)3n(3n+1) …(4)
(2)の第3項の和=3n+1 …(5) ← 3n ではないので注意 j=0 があるから
(3)+(4)+(5)=(1/2)(3n+1)(3n^2−n+2)

No.77036 - 2021/07/29(Thu) 14:28:33

Re: / kkk
j=k+2n と置くところは何故、このように置くのでしょうか?
No.77037 - 2021/07/29(Thu) 16:25:26

Re: / 関数電卓
> j=k+2n と置くところは何故
Σ[k=−2n〜n] のままでは,教科書にある
 Σ[k=1〜n]k=(1/2)n(n+1),Σ[k=1〜n]k^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
等の公式がパッと使えませんよね。これらを使えるようにするための変換です。
さらに,
 Σ[j=0〜n]j=Σ[j=1〜n]j,Σ[j=0〜n]j^2=Σ[j=1〜n]j^2
で便利なので,j=k+2n としました。
上記したように
 Σ[j=0〜n]1=n+1 ← 1 を n+1 回加える
だけ注意が必要です。

No.77038 - 2021/07/29(Thu) 16:43:57

Re: / kkk
ありがとうございます。理解できました。
No.77044 - 2021/07/29(Thu) 21:51:25
大学数学 フーリエ / チャン
(1) y(t)= δ(t + d) - δ(t)の概略図を描きなさい。
(2) y(t)のフーリエ変換Y1(ω)を求めなさい。
(3) x2(t)とy(t)のたたみ込みで与えられる信号z1(t)(=x2(t)*y(t))の概略図を描きなさい。x2(t)= { 1 , (0 < t < d) ,, 0 (t < 0, t > d)}です。
(4) z1(t)のフーリエ変換Z1(ω)を求めよ。
(5) z1(t)を積分して得られる信号z2(t)(積分範囲は-∞からt)の概略図を描きなさい。
(6) z2(t)のフーリエ変換Z2(ω)を求めなさい。

(1),(2),(3),(4)は解いたのですが正解なのかがわかりません。(5),(6)はわからないので教えていただきたいです。

No.77026 - 2021/07/28(Wed) 00:05:38

Re: 大学数学 フーリエ / X
(1)(2)(3)
問題ないと思います。
(4)
計算過程に問題はありませんが、もう少し簡単な式
にできます。
オイラーの公式を適用すると
Z[1](ω)=(2j/ω){1-cos(ωd)}

No.77031 - 2021/07/29(Thu) 05:58:39

Re: 大学数学 フーリエ / X
(5)
(3)の結果を積分して
z[2](t)=0(t<-d,d<t)
z[2](t)=t+d(-d≦t<0)
z[2](t)=-t+d(0<t≦d)

(6)
(4)の結果を使うと
Z[2](ω)={1/(jω)}Z[1](ω)=(2/ω^2){1-cos(ωd)}
注)
半角の公式を使えば、上記から更に
sinc関数
を使った形に変形してできますが
ここでは上記までの変形に
留めておきました。

No.77034 - 2021/07/29(Thu) 06:29:23

Re: 大学数学 フーリエ / チャン
ありがとうございます。
(4)についてオイラーの公式を適用した際に(2j/ω)になるのがわかりません。計算過程を教えて頂きたいです。
(5)に概略図については(3)の図と形は変わりませんが合っていますか?

No.77048 - 2021/07/29(Thu) 22:38:36

Re: 大学数学 フーリエ / X
>>(4)について〜
オイラーの公式により
cosωd={e^(jωd)+e^(-jωd)}/2
∴e^(jωd)+e^(-jωd)=2cosωd
これを問題の整理する前の式に代入して-2を括り出し
分母分子にjをかけます。

>>(5)に概略図について〜
間違っています。
座標平面上で
z[2](t)=t+dは傾き1、切片dの直線
z[2](t)=-t+dは傾き-1、切片dの直線
です。

No.77104 - 2021/07/31(Sat) 05:59:39
(No Subject) / ut
ありがとうございます!
No.77025 - 2021/07/27(Tue) 21:19:46
行列 / キリンさん
4が分かりませんお教え頂きたいです
No.77019 - 2021/07/27(Tue) 16:20:43

Re: 行列 / 関数電卓
例えば こちら にあるように
連立方程式がただ1つの解をもつのは,係数行列 A の行列式 |A| が ≠0 のとき です。

No.77022 - 2021/07/27(Tue) 19:16:20

Re: 行列 / キリンさん
ありがとうございます。
No.77023 - 2021/07/27(Tue) 20:54:07
連立方程式 / ut
座標の計算をしていて,連立方程式が出てきたのですが解けません。よろしければ解き方を教えてください。解答は数値しか載っていなかったのですが複号同順で b1=-1/2, b2=+-(sqrt(3)/2), c1=-1/2, c2=-+(sqrt(3)2) でした。以下式です
b1^2+b2^2=1
c1^2+c2^2=1
-2-2b1-2c1=0
-2b2-2c2=0
4+b1^2+b2+c1^2+c2-k=0

No.77018 - 2021/07/27(Tue) 16:03:16

Re: 連立方程式 / ヨッシー
b1^2+b2^2=1 ・・・(1)
c1^2+c2^2=1 ・・・(2)
-2-2b1-2c1=0 ・・・(3)
-2b2-2c2=0 ・・・(4)
4+b1^2+b2+c1^2+c2-k=0 ・・・(5)
とおきます。

(1) より
 b1=cosθ, b2=sinθ
とおけます。(4) より
 c2=−b2=−sinθ
(2) より
 c1=±cosθ
(3) より
 b1+c1=−1
より、b1=c1=cosθ であり、
 b1=c1=−1/2
すると、再び(4)より
 b2=√3/2,c2=−√3/2 または
 b2=−√3/2,c2=√3/2
(5) より
 k=4+b1^2+b2+c1^2+c2=4+b1^2+c1^2=4+1/4+1/4=9/2
となります。

No.77020 - 2021/07/27(Tue) 17:45:51
行列の積 / 大学一年
写真の問題について、左辺の計算を行う問題です。
写真は私が解いたものなのですが、答えが間違っています。
略解しか持っておらず、どこで間違っているのか分からないので教えていただきたいです。
正しい答えは
-12 -12 17
13 -14 22
-16 -13 -13
です。

No.77013 - 2021/07/27(Tue) 15:20:02

Re: 行列の積 / ヨッシー
左辺の大きなカッコは、ただの足し算(引き算)ですよね。
No.77015 - 2021/07/27(Tue) 15:42:31

Re: 行列の積 / 関数電卓
ケアレスミスがもう1つ!
No.77016 - 2021/07/27(Tue) 15:45:24

Re: 行列の積 / 大学一年
お二人ともありがとうございます。
すごくバカなミスで恥ずかしいです...... 。

No.77017 - 2021/07/27(Tue) 15:47:53
連投すいません / ぴーたろー
儖ABにおいて(→OA)=(→a),(→OB)=(→b)とし、|→a|=6,|→b|=3,|(→a)-(→b)|=7とする。また、∠AOBの二等分線と辺ABの交点をCとする。
(1)(→a)・(→b)を求めよ。 →-2
(2)(→OC)=m(→a)+n(→b)とするとき、m,nを求めよ。→m=1/3,n=2/3
(3)CからOAに引いた垂線をCHとする。
(i)(→OH)=k(→a)と表すときkを求めよ。
(ii)儖CHの面積は儖ABの面積の何倍となるか

(2)までは→の答えを出せましたが(3)が謎です。よろしくお願いいたします。

No.77007 - 2021/07/27(Tue) 10:05:26

Re: 連投すいません / ヨッシー
(i)
△OABにおける余弦定理より
 cosA=(36+49−9)/2・6・7=19/21
よって、
 AH=AC・cosA=(14/3)(19/21)=38/9
 OH=6−38/9=16/9=k・OA
よって
 k=8/27

(ii)
 2/3×8/27=16/81 (倍)

No.77009 - 2021/07/27(Tue) 10:26:14
高3です / ぴーたろー
aを定数とし、関数f(x)について次の条件を考える
f(x)=x∫(0→1){f(t)-a}^2dt
(1)a=4/3のとき、条件を満たす関数f(x)を全て求めよ。
(2)条件を満たす関数f(x)が存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
(3)条件を満たす関数f(x)がただ1つ存在するような定数aの値と関数f(x)を求めよ。

(1)はf(x)=x+5/3と出ました
(2)以降お願いします。

No.77006 - 2021/07/27(Tue) 09:58:54

Re: 高3です / ast
# 方針: (1) が解けるなら a を未知定数のまま残しても (1) と同じ論法で f(x) は求まるはず.

条件式中の積分は x に関係しない定数 (ただし a には依存する) になるので, 定石どおりに m(a):=∫[0,1] (f(t)-a)^2 dt と置くと f(x)=m(a)x と書けるから m(a) が決まれば f(x) も決まり逆もまた然り.
またこのとき, もとの条件式は f(x) = x ∫[0,1] (m(a)t-a)^2 dt = x(a^2-a*m(a)+m(a)^2/3), したがって m(a)=a^2-a*m(a)+m(a)^2/3 だから m(a)= ((3a+3)±√(-3a^2+18a+9))/2.
 (1) a=4/3 のとき m(4/3)= (7±√(83/3))/2.
 (2) √(-3a^2+18a+9) が実数であるような a の範囲 3-2√3 < a < 3+2√3 で f(x)= (((3a+3)±√(-3a^2+18a+9))/2)x は存在する.
 (3) 同様に √(-3a^2+18a+9) が 0 となる a=3±2√3 で m(a) は一意, したがって f(x) も一意.

# あ, 質問者さんのコメントの「(1)はf(x)=x+5/3と出ました」と一致しなかったので
# 何か思い違いしたかもしれないけど, チェックするの面倒なのでそのまま投稿しますね……

No.77010 - 2021/07/27(Tue) 12:51:26

Re: 高3です / IT
astさんの 
 >(1) a=4/3 のとき m(4/3)= (7±√(83/3))/2 
は、合っているようです。
>質問者さんのコメントの「(1)はf(x)=x+5/3と出ました」
は、あり得ないですね。
f(x)=x×定数 でないとおかしいですね。

No.77024 - 2021/07/27(Tue) 21:09:53
(No Subject) / 大学2年生
こちらの問題なのですが、最後、任意定数はC>0の制限がつくべきではないですか?
No.77005 - 2021/07/27(Tue) 09:47:24

Re: / 大学2年生
C≧0でした。つまりC<0は不適ではないか?という疑問です。
No.77008 - 2021/07/27(Tue) 10:06:45

Re: / 関数電卓
古い本で恐縮ですが,私の手許にある『微分方程式入門』(古屋茂,サイエンス社;1970)には
「任意定数と言っても全く任意でないこともある。ある区間の任意の値をとりうるような場合にも任意定数と言うことにする。」
とあります。
あまり些末なことに気を煩わせなくて良いですよ,と言うことだと思います。

No.77014 - 2021/07/27(Tue) 15:29:19

Re: / 大学2年生
なるほど。ほとんどの教材で任意定数の扱いが雑でモヤモヤしていたのですが、スッキリしました。ありがとうございます。
No.77021 - 2021/07/27(Tue) 18:08:18
相似な三角形について / 中3数学
解説に記載されているこの2つの三角形がなぜ相似になるのか証明ができません。

分かる方解説お願いいたします。

No.77002 - 2021/07/26(Mon) 21:10:31

Re: 相似な三角形について / ヨッシー
●=△ だからですね。
No.77003 - 2021/07/26(Mon) 21:14:41

Re: 相似な三角形について / IT
中3数学さん ∠ACE=∠ABC は、それまでに云えているのですか?
No.77004 - 2021/07/26(Mon) 21:16:47
計算について/社会人 / 高橋
下記の計算式をどう出せば良いのかわからないのでご教授いただきたいです。
問題集などの計算ではないので少し分かりにくいかもしれません。。

前提:
トラック1台の積み込みにかかる時間:12分
トラック1台の積み下ろしにかかる時間:15分
トラックの輸送時間:1:30(固定)
着車バース:トラックから積み下ろし、積み込みができる箇所
積み下ろしの終了時間:9:30(固定)

9時30分までにトラックからの積み下ろしを完了させる必要があるのですが、トラックの台数、着車バース(積み込み時と積み下ろし時に使用する場所それぞれ)の数は変動します。

その場合に何時にトラックの積み込みを開始、何時までに終わらせる必要があるのかを出したいのですが、着車バースの数によってトラックの待機時間も考慮して算出したいのですが可能でしょうか。添付の緑の数値は変動、黄色い部分に数式を入れたいと考えています。

ご教授のほどよろしくお願いいたします。

No.76994 - 2021/07/26(Mon) 15:07:54

Re: 計算について/社会人 / 高橋
着車バースが説明不足だったので補足させていただきます。

着車バースの数=一回で積み下ろし/積み込みができるトラックの台数となります。
着車バースが1箇所のみの場合は、積み込みの場合は1台目が12分かけて積み込みを終わったのちに、2台目が積み込みを開始できます。2箇所の場合は2台同時に積み込みができるとなります。

No.76995 - 2021/07/26(Mon) 15:11:14

Re: 計算について/社会人 / ヨッシー
ピッタリ計算通りに行くかはわかりませんが、
積み込み側の着車バース÷12 と 積み下ろし側の着車バース数÷15
を比べて、小さい方が能力がないことになります。

積み込み側に能力がない場合、積み込み側は
 9:30−0:15−1:30=7:45 ・・・ 積み込み終了時間
に、最終便が出るようにしないといけなく、それより前は、フル稼働にしないといけません。
 roundup(ドラック台数÷着車バース数) × 12 を積み込み最終時間から引いたものが
積み込み開始時間となります。
一方、積み下ろし側は、
 roundup(トラック台数÷着車バース数) × 15 を 9:30 から引いたもの
または、
 積み込み開始時間+0:12+1:30
が、積み下ろし開始時間となります。
前者は、トラックが来ても、待たせておける場合、後者は、トラックが来たら、すぐに下ろして
帰す場合です。前者のほうが開始時間は遅いです。

一方、積み下ろし側に能力がない場合、
 roundup(トラック台数÷着車バース数) × 15 を 9:30 から引いたもの
が、積み下ろし開始時間となります。
 積み下ろし開始時間−1:30−0:12 ・・・積み込み開始時間
に着手する必要があり、
 積み込み開始時間+roundup(ドラック台数÷着車バース数) × 12
または
 9:30−0:15−1:30=7:45
が積み込み終了時間となります。
前者は、トラックが来ても、待たせておける場合、後者は、トラックが来たら、すぐに下ろして
帰す場合です。前者のほうが終了時間は早いです。

No.76996 - 2021/07/26(Mon) 17:05:12

Re: 計算について/社会人 / ヨッシー
roundup は整数位への切り上げを表します。
No.76997 - 2021/07/26(Mon) 17:05:55

Re: 計算について/社会人 / 高橋
ヨッシー様

ありがとうございます!すごく綺麗に計算できました!!

ずっと計算が合わず悩んでいたので、本当に助かります。

ありがとうございました!

No.76998 - 2021/07/26(Mon) 18:05:46
割合 / 一般中学生
この問題がよく分かりません。
No.76988 - 2021/07/26(Mon) 12:34:09

Re: 割合 / ヨッシー
中学生なので、方程式でいいのかな?

原価をx円とすると、
定価はx+100円
売値は 0.9(x+100)=0.9x+90
利益は 0.9x+90−x=90−0.1x
これが原価の5分に当たるので、
 90−0.1x=0.05x
 0.15x=90
これを解きます。

No.76989 - 2021/07/26(Mon) 12:49:57
積分 / 積分
力学授業の中で出てきたものなのですが、3行目から5行目の式変換がわかりません。
∫(1/v)dv が log(v(t)/v(t-t0)) に対応しているように見えるのですが、
∫(1/v)dv=logvだと思うので辻褄があわず何が何だかよく分かりません。
どなたか解決していただけないでしょうか。

No.76981 - 2021/07/26(Mon) 03:12:27

Re: 積分 / ヨッシー
一言で言うと、時刻t0 から t までの定積分を意味していると思われます。

−∫dt(b/m)=∫(1/v)dv
を積分して、
 −(b/m)t=log(v)+C (Cは積分定数)
ですが、
 C=−log(v0)−(b/m)t0 (v0 はt=t0のときのv(t)の値)
として、時刻t0 のときに0になるようにして、そこからの
距離だか速度だか何かわかりませんが、ある物理量をtで
表しているものと思われます。

No.76984 - 2021/07/26(Mon) 05:57:12

Re: 積分 / 大学一年
気づきませんでした......。
ありがとうございます。

No.77012 - 2021/07/27(Tue) 15:11:25
テイラー展開 / 大学一年
写真はf(t0)のテイラー展開の公式に、一行目を代入した場合を説明したものなのですが、右辺(Right)がなぜ写真にかいてあるようになるのか分かりません。
f(t0)はcos(t0)=1なのでRight=1+...の形になるのではないかと思ったのですが、なぜシグマ記号の部分しか残っていないのでしょうか。
また、シグマ記号の部分についても、なぜ写真の形になるのか分かりませんでした。
全く理解できていない状態で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。

No.76980 - 2021/07/26(Mon) 01:08:35

Re: テイラー展開 / 高校三年生
x^0 = 1

これは、x=0でも成り立つのかな?

No.76983 - 2021/07/26(Mon) 05:12:01
テイラー展開 / 大学一年
R(t)ベクトルのテイラー展開にx(t)ベクトルをかけるとx成分のテイラー展開になるというのがどうしてか分かりません。
R(t)ベクトルにx(t)ベクトルをかけるとx成分になるということですか?
どうしてそうなるのかわからないので教えてください。よろしくお願いします。

No.76979 - 2021/07/26(Mon) 00:57:48

Re: テイラー展開 / 編入受験生
ベクトルのテイラー展開っていうのはようは、
各成分についてのテイラー展開をまとめて表記してるというだけのはなし。
だから、e_x = (1,0,0)との内積を取れば,yとz成分が消えて,
x成分だけ残るというだけのことです。

No.76982 - 2021/07/26(Mon) 03:46:12

Re: テイラー展開 / 大学一年
ありがとうございます!
No.77011 - 2021/07/27(Tue) 15:09:09
解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中
問題
放物線Y^2=4Xと焦点を共有して、頂点がこの曲線の上にあり、軸がY軸に平行な放物線の方程式を求めよ。

解答
放物線Y^2=4Xと焦点は 点(1,0)です。
また放物線の軸がY軸に平行ですので、この軸は直線 X=1 です。

この文の放物線の軸がY軸と平行だから軸はX=1というところが理解できておりません。お手数ですが教えていただけますでしょうか。
宜しくお願い致します。

No.76977 - 2021/07/25(Sun) 23:32:28

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / ヨッシー

青が求める放物線(の1つ)です。
軸はy軸に平行であり、点(1,0)を通るので、
その式は x=1 です。

No.76978 - 2021/07/25(Sun) 23:48:52

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中
ヨッシーさん、返答ありがとうございます。
2行目に書かれている「点(1,0)を通る」というのが、
なぜ決まるのかが分からないのですが、
教えていただけますでしょうか。
宜しくお願い致します。

No.76985 - 2021/07/26(Mon) 07:09:54

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / らすかる
焦点は軸上にあるからです。
No.76987 - 2021/07/26(Mon) 08:26:48

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中
らすかるさん、返答ありがとうございます。
焦点について理解がまだ不十分でした。
放物線では、焦点が必ず軸上にあると認識して大丈夫でしょうか。

No.76990 - 2021/07/26(Mon) 12:51:29

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / らすかる
大丈夫です。
焦点がどういう点であるか調べると、軸上以外はあり得ないことがわかると思います。

No.76991 - 2021/07/26(Mon) 12:56:15

Re: 解説を見て、わからないところがあります。 / 独学で数学III勉強中
ありがとうございます。
早速調べてみます。

No.76993 - 2021/07/26(Mon) 13:23:33
(No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について質問です。
No.76972 - 2021/07/25(Sun) 22:00:39

Re: / 数学苦手
接している面が4cm2あるのは
裏表も入れているからですか?

No.76973 - 2021/07/25(Sun) 22:02:04

Re: / ヨッシー
接している面の面積が 4cm2 である理由は?
というご質問であれば、
 1辺が2cm の正方形だから
です。

No.76975 - 2021/07/25(Sun) 22:31:15

Re: / 数学苦手
切り口の中に含まれている面で、接している面ですよね
No.76992 - 2021/07/26(Mon) 13:08:00

Re: / 数学苦手
4cm平方で、6面あるという部分が分からないです。
No.76999 - 2021/07/26(Mon) 18:11:22

Re: / 数学苦手
この色の部分ですよね?ここの裏表のぶんで6面ですね!
No.77000 - 2021/07/26(Mon) 19:08:30
線形代数学 / デンキ
定理の証明を教えてください。
Aをn次正方行列とする。
このとき、Aが正則⇔rank(A)=n
この定理の証明を教えてください。

No.76971 - 2021/07/25(Sun) 21:58:44

Re: 線形代数学 / デンキ
解決しました!
No.77001 - 2021/07/26(Mon) 19:23:27
全微分可能 / あい
f(x,y),g(x,y)が全微分可能ならば、f(x,y)・g(x,y)も全微分可能であることを示せ。
という問題がわかりません。教えてほしいです!

No.76969 - 2021/07/25(Sun) 21:22:27
中学数学の問題について教えてください / みしぇる
初めて質問させて頂きます。宜しくお願い致します。
高校入試問題に取り組んでいますが(現在中3)、以下の問題の(2)がわかりません。
答えは17/5センチです。解説をお願いてきますか。

No.76968 - 2021/07/25(Sun) 21:09:07

Re: 中学数学の問題について教えてください / ヨッシー
(1)

△ABGと△ACDにおいて、
 AB=AC ・・・(i)
ADに立つ円周角より
 ∠ABG=∠ACD ・・・(ii)
BD//CF における錯角より
 ∠BGF=∠CFG
四角形AFCDは円に内接するので、
 ∠ADC=180°−∠CFG
また
 ∠AGB=180°−∠BGF
よって、
 ∠ADC=∠AGB
必然的に
 ∠BAG=∠CAD ・・・(iii)
(i)(ii)(iii)より一辺両端角相等より
 △ABG≡△ACD (証明終わり)


(2)
∠ABH=∠ACB=∠AFBより
 △ABH∽△AFB
AG=AD=3 より AF=10 であるので
相似比は AB:AF=4:5
よって、
 AH=AB×4/5=32/5
 GH=AH−AG=32/5−3=17/5

No.76974 - 2021/07/25(Sun) 22:22:13

Re: 中学数学の問題について教えてください / みしぇる
ヨッシー様、
お忙しいところ、ご丁寧な解説をありがとうございました!よくわかりました!!

No.76986 - 2021/07/26(Mon) 07:57:40
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