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★ (No Subject) / ネコ丸
中２です。
一次関数の問題がわかりません。
お願いします
No.88891 - 2024/09/20(Fri) 12:39:03
☆ Re: / ヨッシー
直線　ｙ＝−２ｘ＋３　がｘ軸と交わるところの座標はわかりますか？
No.88892 - 2024/09/20(Fri) 13:02:09
☆ Re: / ネコ丸
(x,y)=(三分の二,0)ですか？
No.88893 - 2024/09/20(Fri) 13:30:22
☆ Re: / ヨッシー
違いますけど、(xx, 0) という座標になることは確かです。

で、その(xx, 0) と (-1, 2) とを結ぶ直線が、求める直線です。
No.88894 - 2024/09/20(Fri) 13:51:57
☆ Re: / ネコ丸
X=1.5　でした！
ありがとうございます！
No.88896 - 2024/09/20(Fri) 18:06:03
★ 平方根 / みはる
中学3年です。
109の問題についてなのですが、解説を見てもあまり理解ができません。特に赤の下線部分がなぜこうなるのかよくわかりません。
教えていただけるとありがたいです。
No.88888 - 2024/09/20(Fri) 06:16:18
☆ Re: 平方根 / ヨッシー
例題を少しやってみましょう。
小学校の余りのある割り算をイメージして見てください。

1) a=13, b=3 のとき、a=bn+r となる n,r を求める。(0≦r＜b)
この場合、13÷3＝4 あまり 1 を考えると、
　13＝3×4＋1
で、n=4, r=1

2) a=−13, b=3 のとき、a=bn+r となる n,r を求める。(0≦r＜b)
この場合、小学校の割り算とは少し感覚が違いますが、
　−13＝3×(−5)＋2
より、n=−5、, ｒ＝2
ポイントは、r が 0≦r＜b の範囲に収まるように、ｎを調整することです。
　−13＝3×(−4)−1
ではダメです。

あとは、 a, b が小数でも負の数でも無理数でも関係なく
　a＝bn＋r
を作れば良いのです。

　−√70＝√2×n＋r　(0≦r＜√2)
において、
　n＝−√35−r/√2
√35＝5.…、r/√2 は0以上1未満なので、
ｎは−5 か −6です。

ｎ＝−５ のとき
　ｒ＝−√70＋5√2＝√2(5−√35)＜0
ｎ＝−６ のとき
　ｒ＝−√70＋6√2＝√2(6−√35)＞0
より、ｎ＝−６が適するとわかります。

解説の式は、
　0≦r＜√2
に、ｒ＝−√2(ｎ＋√35) を代入して、
　0≦−√2(ｎ＋√35)＜√2
√2で割って、
　0≦−(ｎ＋√35)＜1
としたものです。
No.88889 - 2024/09/20(Fri) 09:23:37
☆ Re: 平方根 / みはる
なるほど！！そういうことだったんですね。
教えていただきありがとうございました。
No.88895 - 2024/09/20(Fri) 17:16:20
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です

4番の(３)です

教えてください
No.88885 - 2024/09/19(Thu) 23:22:14
☆ Re: / やり直しメン
解説書では初めに既約分数なのでBは2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でもないと書いてありました。

なぜ倍数という単語が出てくるのでしょうかこれについても合わせて教えてください
No.88886 - 2024/09/20(Fri) 00:12:51
☆ Re: / ヨッシー
1/360 はこれ以上約分できないので、1 は 整数Ｂの１つです。
2/360 は分子分母２で割れるので、2 は 整数Ｂではありません。
3/360 は分子分母３で割れるので、3 は 整数Ｂではありません。
4/360 は分子分母２で割れるので、4 は 整数Ｂではありません。
5/360 は分子分母５で割れるので、5 は 整数Ｂではありません。
6/360 は分子分母２で割れるので、6 は 整数Ｂではありません。
7/360 はこれ以上約分できないので、7 は 整数Ｂの１つです。
　・・・
11/360 はこれ以上約分できないので、11 は 整数Ｂの１つです。
　・・・
13/360 はこれ以上約分できないので、13 は 整数Ｂの１つです。
　・・・
17/360 はこれ以上約分できないので、17 は 整数Ｂの１つです。
　・・・

　360＝2×2×2×3×3×5
なので、B/360 が約分されるとすれば、B は 2, 3, 5 の少なくとも１つを
約数に持っていなければいけません。

B/360 が約分されない数を見つけるので、この問題は、1〜359 の中で、
2, 3, 5 のいずれも約数に持たない B を見つける問題といえます。
逆に言うと、B が、2, 3, 5 いずれかの倍数であるとダメだということです。

公式を知っていれば
　360×1/2×2/3×4/5＝96 (個)
で一発なのですが、そうでないなら、
　1, 3, 5・・・359
の180個の奇数の中で、3の倍数は
　3, 9, 15・・・357
の60個。5の倍数は
　5, 15, 25・・・355
の36個。15の倍数は
　15, 45, 75・・・345
の12個。よって、3または5の倍数は
　60＋36−12＝84(個)
よって、2, 3, 5 いずれの倍数でもない数は
　180−84＝96(個)
となります。
No.88890 - 2024/09/20(Fri) 09:56:05
★ 複素数平面 / Higashino
第9日目

名古屋市立大過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88876 - 2024/09/19(Thu) 05:13:15
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
(1)
　(与式)＝cos(π−α)＋ｉsin(π−α)　・・・答え
(2)
　(与式)＝cos(π/2−α)＋ｉsin(π/2−α)　　・・・答え
(3)
図を書けば明らかですが、絶対値は、2|cos(α/2)|、偏角は α/2 です。
よって
　(与式)＝2|cos(α/2)|{cos(α/2)＋ｉsin(α/2)}　・・・答え
No.88880 - 2024/09/19(Thu) 09:48:45
☆ Re: 複素数平面 / Higashino
先生、ご回答ありがとうございます

1番の途中過程を教えてください

私は複素数平面に書き込んで答えを出したのですが　すぐさま出るような解き方があるのでしょうか

ぜひ教えてください。何卒よろしくお願いいたします。
No.88883 - 2024/09/19(Thu) 11:11:29
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
公式
　cos(θ±π)＝−cosθ、sin(θ±π)＝−sinθ
　cos(π−θ)＝−cosθ、sin(π−θ)＝sinθ
などから、cos は符号が逆転して、sin はそのまま
というものを選びました。
No.88884 - 2024/09/19(Thu) 13:54:12
☆ Re: 複素数平面 / Higashino
こんばんは

ご回答ありがとうございます

先生とは異なる考え方ではありますが
ご指導　ご指摘　アドバイス等いただければ幸いです

以下答案
No.88887 - 2024/09/20(Fri) 02:50:09
★ 法政大学　過去問 / Higashino
複素数平面　法政大学過去問

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88872 - 2024/09/18(Wed) 15:16:42
☆ Re: 法政大学　過去問 / Higashino
こんにちは

私の党案ができましたので、投稿させていただきます

ご指摘　アドバイス　ご指導いただければ幸いです

以下答案
No.88882 - 2024/09/19(Thu) 11:08:55
☆ Re: 法政大学　過去問 / X
arg(z)が
0≦arg(z)＜2π
で定義されていることを前提で回答します。


|z|の計算は問題ないですが、偏角の計算を間違えています。
〇Dのとき
＞＞arg(z)=θ/2 ((A)とします)
としていますが、これだと例えばθ=πのとき
(A)は
arg(z)=π/4
しかし、このとき、問題でのzの定義により
z=1-i
∴arg(z)=2π-π/4=7π/4≠π/4
です。
No.88897 - 2024/09/21(Sat) 09:18:53
☆ Re: 法政大学　過去問 / Higashino
エックス先生、おはようございます

最終答案です

ご指導　ご指摘　アドバイス等いただけると幸いです

以下答案
No.88904 - 2024/09/22(Sun) 03:50:14
★ 極形式　の勉強を始めました / Higashino
複素数平名、第7日目

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88869 - 2024/09/18(Wed) 08:03:38
☆ Re: 極形式　の勉強を始めました / ヨッシー
オイラーの公式
　ｅ^(iθ)＝cosθ＋ｉsinθ
より、
　(与式)＝ｅ^(θｉ)×ｅ^(７θi)÷ｅ^(５θｉ)＝ｅ^(３θｉ)
　　＝cos３θ＋ｉsin３θ＝√3/2＋i/2
No.88870 - 2024/09/18(Wed) 10:32:34
☆ Re: 極形式　の勉強を始めました / Higashino
先生ありがとうございました

これからもよろしくお願いします
No.88871 - 2024/09/18(Wed) 15:15:38
☆ Re: 極形式　の勉強を始めました / X
横から失礼します。

＞＞ヨッシーさんへ
大学入試の範囲ですので、オイラーの公式ではなくて
ド＝モアブルの定理を使うべきでは？
(計算はどちらも同じようなものですが)

ということで、ド＝モアブルの定理を使った別解
をアップしておきます。

別解)
ド＝モアブルの定理により
(与式)=(cosθ+isinθ){(cosθ+isinθ)^7}/(cosθ+isinθ)^5
=(cosθ+isinθ)^3
=cos3θ+isin3θ
=cos30°+isin30°
=(√3)/2+i/2
No.88874 - 2024/09/18(Wed) 17:42:34
☆ Re: 極形式　の勉強を始めました / Higashino
私の答案です

何卒よろしくお願いいたします

以下答案
No.88875 - 2024/09/19(Thu) 03:12:38
☆ Re: 極形式　の勉強を始めました / らすかる
前半の最終行（故に、…）と後半の最終行（補1…）は正しくないと思います。
No.88877 - 2024/09/19(Thu) 05:30:07
☆ Re: 極形式　の勉強を始めました / Higashino
先生、おはようございます

ご指摘本当にありがとうございます

改める部分は改めて見ました

これで正しいでしょうか？

なにとぞよろしくお願いいたします

以下、答案書き直し
No.88878 - 2024/09/19(Thu) 06:24:52
☆ Re: 極形式　の勉強を始めました / らすかる
問題ないと思います。
No.88879 - 2024/09/19(Thu) 06:59:19
☆ Re: 極形式　の勉強を始めました / Higashino
ラスカル先生、ありがとうございました
またよろしくお願いいたします
No.88881 - 2024/09/19(Thu) 11:07:07
★ ログ / アルファ
数2のlogの漸化式です。1番の式変形からさっぱりわからないです。2番の一般項までどうやって解いていくのか教えてください。
No.88863 - 2024/09/17(Tue) 20:54:04
☆ Re: ログ / IT
A、B＞0,自然数mについて,下記を計算（変形）できますか？
Log[2](A×B)
Log[2](2^m)
No.88864 - 2024/09/17(Tue) 22:23:30
☆ Re: ログ / アルファ
> A、B＞0,自然数nについて,下記を計算（変形）できますか？
> Log[2](A×B)
> Log[2](A^n)

Log[2](AxB)=Log[2]A+Log[2]B
Log[2](A^n)=nLog[2]A
であってますか？
No.88865 - 2024/09/17(Tue) 22:40:48
☆ Re: ログ / IT
あってます。
それらを

Log[2][a[n]×{2^(6n^2)}]に適用するとどうなりますか？
No.88866 - 2024/09/17(Tue) 22:58:14
☆ Re: ログ / アルファ
36n^2Log[2]a[n]ですか？
No.88867 - 2024/09/17(Tue) 23:18:54
☆ Re: ログ / IT
間違っていると思います
No.88868 - 2024/09/18(Wed) 07:11:10
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です。

問3についてです。

解けませんでした。どのように解けばいいですか？
No.88858 - 2024/09/17(Tue) 15:52:57
☆ Re: / IT
算数では、素因数分解は使えるんでしたっけ？
No.88859 - 2024/09/17(Tue) 19:17:28
☆ Re: / IT
素因数分解は使えないようですね。
まず630の２以上の約数を順に求めていく。のでしょうか？
630の２以上の約数:2,3,5,6,....

630=B×A　　（BとAの最大公約数）
=2×315　(1)
=3×210　(3)
=5×126　(1)
=6×105　(3)
=7×90　(1)
・・・

注）A,Bが負のときは算数では考えないんですよね？
No.88860 - 2024/09/17(Tue) 19:36:22
☆ Re: / やり直しメン
> 算数では、素因数分解は使えるんでしたっけ？

解説書では素数を使っていました。

素数を使わない解き方も教えてください
No.88861 - 2024/09/17(Tue) 20:27:58
☆ Re: / IT
> 解説書では素数を使っていました。

解説があるのなら、先にその概要を示されたうえで何が分からないかを質問された方が、お互い無駄がないですよ。

> 素数を使わない解き方も教えてください

素因数分解を使わないと少し手間かも。
No.88860をごらんください。
No.88862 - 2024/09/17(Tue) 20:37:53
★ 三重大学　複素数平面 / Higashino
複素数平面第6日目

アポロニウスの円

なにとぞよろしくお願いします

以下問題
No.88856 - 2024/09/17(Tue) 08:25:07
★ 因数分解 / 大西
整数係数の範囲で
x^10+x^8+x^6+x^5+x^4+x^2+1
を因数分解したいのですが、
対称性がありそうなのでx^5で割ってみたけど
うまく行きません。
x^10+x^8+x^6+x^5+x^4+x^2+1=0が
1の7乗根を解に持つので、(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)を因数に持つので割り算をして因数分解をしたのですが、
それ以外に解き方があれば教えてください。
No.88845 - 2024/09/15(Sun) 01:37:30
☆ Re: 因数分解 / らすかる
x^10+x^8+x^6+x^5+x^4+x^2+1
=(x^5)(x^5+x^3+x+1+1/x+1/x^3+1/x^5)
t=x+1/xとおくとx^5+x^3+x+1+1/x+1/x^3+1/x^5=t^5-4t^3+3t+1
t^5-4t^3+3t+1=(t^2+at+1)(t^3+bt^2+ct+1)
と分解できたとして右辺を展開すると
t^5-4t^3+3t+1=t^5+(a+b)t^4+(ab+c+1)t^3+(ac+b+1)t^2+(a+c)t+1
a+b=0, ab+c+1=-4, ac+b+1=0, a+c=3 を解くと整数にならない。
t^5-4t^3+3t+1=(t^2+at-1)(t^3+bt^2+ct-1)
と分解できたとして右辺を展開すると
t^5-4t^3+3t+1=t^5+(a+b)t^4+(ab+c-1)t^3+(ac-b-1)t^2-(a+c)t+1
a+b=0, ab+c-1=-4, ac-b-1=0, a+c=-3 を解いて(a,b,c)=(-1,1,-2)なので
t^5-4t^3+3t+1=(t^2-t-1)(t^3+t^2-2t-1)
よって
x^10+x^8+x^6+x^5+x^4+x^2+1
=(x^5)(t^5-4t^3+3t+1)
=(x^5)(t^2-t-1)(t^3+t^2-2t-1)
=(x^5)(x^2-x+1-1/x+1/x^2)(x^3+x^2+x+1+1/x+1/x^2+1/x^3)
=(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
（これ以上分解できないことの証明は省略）
No.88847 - 2024/09/15(Sun) 06:25:26
☆ Re: 因数分解 / 大西
らすかるさんご返信ありがとうございます。

t^5-4t^3+3t+1=(t^2+at+1)(t^3+bt^2+ct+1)までは
考えていたのですが、解が見付からなくて先に進めない状態でした。
ありがとうございます。
No.88848 - 2024/09/15(Sun) 08:31:57
★ (No Subject) / 有栖川
lim[n->∞] sin((√2+1)^n*π)の値はいくつになりますか？
No.88844 - 2024/09/14(Sat) 23:34:09
☆ Re: / _
a=1+√2, b=1-√2 とおく。
自然数nに対し a^n + b^n = 偶数 がいえる(帰納法で容易)。
よって
　sin(pi*a^n)=sin(pi*偶数 - pi*b^n)=sin(-pi*b^n) 。
|b|<1よりb^n→0だから, これはsin(0)=0に収束。
No.88851 - 2024/09/16(Mon) 10:33:58
★ 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
複素数平名、第5日目

なにとぞよろしくお願いいたします

以下問題
No.88843 - 2024/09/14(Sat) 03:05:20
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
先生方おはようございます

この問題で先に進めず、大変悩んでいます

少しでもアドバイスいただけると幸いです

以下　質問と途中までの答案です

何卒よろしくお願いいたします
No.88849 - 2024/09/16(Mon) 08:00:34
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
追伸

以下、問題集の解説

何卒よろしくお願いします
No.88850 - 2024/09/16(Mon) 08:20:05
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
追伸

点と直線の距離の公式で解決しました

一体何を悩んでいたのかって感じです

答案ができましたら、またアップさせていただきます

その際はよろしくお願いいたします
No.88852 - 2024/09/16(Mon) 12:27:53
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
追伸

接線を求めるところまではできたのですが
最後の領域を求めるところまでで悩んでいます

アドバイスいただけると幸いです


以下、途中に答案
No.88853 - 2024/09/16(Mon) 15:54:43
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
　こんばんは
答案がやっとできましたので、投稿させていただきます
なにぶん自信がない答案でご指摘があると思います
どうかご指摘ください

以下答案
No.88854 - 2024/09/16(Mon) 22:46:33
☆ Re: 岡山大学過去問　複素数平面 / Higashino
　追伸
度々すいません

再度答案書き直しです

なにとぞよろしくお願いいたします
No.88855 - 2024/09/17(Tue) 00:20:58
★ ベクトルについて / 数弱
この問題はどのようにして解けばよいのでしょうか？
No.88842 - 2024/09/14(Sat) 01:09:12
☆ Re: ベクトルについて / _
大文字が2つ並んでいるのはベクトルと思って。

前半。まずOG=(1/4)OA+(1/4)OB+(1/4)OC。またOP=pOAとおける。
一般に「点Xが平面PBC上にあるとき,　OX=aOP+bOB+cOC (a+b+c=1) と書ける」。
仮定よりGは平面PBC上にある。ここから pを定めればよい。

後半。まず内積 OA・OB, OB・OC, OC・OA を求めておく。
Hは面OAB上にあるので, OH=sOA+tOB と書ける。
GH⊥面OABより, GH・OA=0 かつ GH・OB=0 。ここからs,tが満たす方程式を得て解けばよい。
No.88857 - 2024/09/17(Tue) 11:21:05
★ 中学校の入試問題 / こうたぱぱ
ア：イの比を求めなさいというものですが
どうやって求めるのでしょうか？
No.88836 - 2024/09/13(Fri) 00:29:03
☆ Re: 中学校の入試問題 / こうたぱぱ
あ、いわずもがなですが正方形と四分円と対角線です
No.88837 - 2024/09/13(Fri) 00:31:51
☆ Re: 中学校の入試問題 / ヨッシー
図で、△ＡＢＣと△ＡＤＥは合同な直角二等辺三角形で、
対称性から、弧で示した部分の長さはすべて等しく、
　ア：イ＝１：２
となります。
No.88839 - 2024/09/13(Fri) 10:40:58
★ 和文差分を利用した数列について / 数弱
上の式変形のどこが間違っているのかわかりません。下の式変形は特殊解を利用したもので正答が出ています。
どうかよろしくお願いします。
No.88835 - 2024/09/12(Thu) 23:36:24
☆ Re: 和文差分を利用した数列について / ヨッシー
ここまでは正しいと　の行のすぐ下の式で、ｎ＝２とすると、
　a[2]/(3/2)^2＝a[1]/(3/2)^1＋(4/9)(4/3)^0(2+1)＝a[1]/(3/2)＋4/3
になりますが、さらにその下の行で、ｎ＝２とすると、
　a[2]/(3/2)^2＝a[1]/(3/2)^1＋(1/4)(4/3)^1(1+1)＝a[1]/(3/2)＋2/3
になります。
階差を一般化するところでミスっていると思われます。
No.88840 - 2024/09/13(Fri) 11:09:15
☆ Re: 和文差分を利用した数列について / 数弱
[n-1]→→+階差n-1→→[n]を一般化するとき
[n]→→+階差n-1→→[n+1]というように
なっているため、直すには
ここまでは正しいとわかっているのすぐ下の式に
n=n+1を代入してnの範囲を変え、
[n]→→+階差n→→[n+1]
の形に変形すれば良いということでしょうか？
No.88841 - 2024/09/13(Fri) 17:11:50
★ 学習院大学　過去問　複素数 / Higashino
学習院大学　過去問　複素数平面
難あり
何卒よろしくお願いします
以下問題
No.88832 - 2024/09/12(Thu) 10:19:37
☆ Re: 学習院大学　過去問　複素数 / Higashino
おはようございます
答案が出来上がりましたので、投稿させていただきます
どなたか　アドバイス　ご指摘　ご指導のほどよろしくお願いいたします

以下答案
No.88838 - 2024/09/13(Fri) 09:09:37
★ 一橋大学の過去問 / 数弱
硬貨が2枚ある.最初は2枚とも表の状態で置かれている.次の操作をn回行っ
たあと，硬貨が 2 枚とも裏になっている確率を求めよ.
[操作]2 枚とも表，または 2 枚とも裏のときには，2 枚の硬貨両方を投げる.
表と裏が 1 枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる.

自分の解法
2枚とも裏である確率をa［n］としたとき、コインの裏表の対称性より2枚とも表である確率もa［n］このことから表と裏が1枚ずつである確率は1-2a［n］。
n回目の操作で2枚とも表、または2枚とも裏であった時、n+1回目で2枚とも裏になる確率は1/4。n回目の操作で表と裏が1枚ずつであった時、n+1回目で2枚とも裏になる確率は1/2。よって以下の漸化式が得られる。
a［n+1］=（1/4）×（2a［n］）+（1/2）×（1-2a［n］）　（n >=2）
これをa［1］=1/4として解くとa［n］=1/3+（1/6）×（-1/2）^n （n>=1）

解答
n=1の時1/4 n>=2の時3/8

どうして回答が違うのかわからないです。どうかよろしくお願いします。
No.88829 - 2024/09/12(Thu) 01:41:27
☆ Re: 一橋大学の過去問 / らすかる
「表と裏が 1 枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる.」
という操作がありますので
「2枚とも裏である確率をa［n］としたとき、コインの裏表の対称性より2枚とも表である確率もa［n］」
は正しくないと思います。
No.88830 - 2024/09/12(Thu) 03:35:25
☆ Re: 一橋大学の過去問 / 数弱
コインの裏表には対称性があると思い込んでいました、、
ご指摘ありがとうございます。
No.88831 - 2024/09/12(Thu) 09:02:16
★ 古田水平面第4日目 / Higashino
東京教育大学過去問　複写数
なぞなぞよろしくお願いいたします
以下問題
No.88828 - 2024/09/11(Wed) 19:22:59
☆ Re: 古田水平面第4日目 / ヨッシー
Ａ(0,0)、Ｂ(1,0)、Ｃ(1,1) とします。
1)
ＡＢ上の点は (t,0) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝ｔ
とおくと、
　ｗ＝ｔ^2＋ｔ＋１
ｗの座標は (ｔ^2＋ｔ＋１, 0) であり、(1,0) から (3,0) までの線分上を動きます。

2)
ＢＣ上の点は (1, t) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝１＋ti
とおくと、
　ｗ＝(１＋ti)^2＋(１＋ti)＋１
　　＝３−ｔ^2＋３ｔｉ
ｗの座標は　(3−ｔ^2, 3t) であり、
　ｘ＝3−(y/3)^2
この放物線上を (3, 0) から (2, 3) まで動きます。

3)
ＣＡ上の点は (t, t) (0≦t≦1) と書けるので、
　ｚ＝ｔ＋ｔｉ
とおくと、
　ｗ＝(ｔ＋ti)^2＋(ｔ＋ti)＋１
　　＝ｔ＋１＋(２ｔ^2＋ｔ)ｉ
ｗの座標は　(ｔ＋１, ２ｔ^2＋ｔ) であり、
　ｙ＝２(ｘ−１)^2＋ｘ−１
　　＝２ｘ^2−３ｘ＋１
この放物線上を　(1,0) から (2,3) まで動きます。
No.88833 - 2024/09/12(Thu) 11:48:40
☆ Re: 古田水平面第4日目 / Higashino
ご回答ありがとうございます

先生とほぼ同じ考え方となりました

何かご指摘　アドバイス　ご指導等ありましたら　何卒よろしくお願いいたします

以下答案
No.88834 - 2024/09/12(Thu) 18:37:03
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です。

赤い文字は解説書を見て書き加えました。

なぜイ+ウ＝12になるのですか？

8点になるのは一問と3問を正解した人か2問と3問を正解した人に分かれると思うのですが
No.88817 - 2024/09/10(Tue) 22:35:57
☆ Re: / やり直しメン
ですのでイ＝12かウ＝12になるのだと思ってしまいます。
No.88818 - 2024/09/10(Tue) 22:39:30
☆ Re: / らすかる
・テストの点数が8点だった人は表から12人
・8点になるためには2点+6点しかあり得ないから、
　8点の人は第1問と第3問の二つを正解したか、または第2問と第3問の二つを正解したはず
・よって「第1問と第3問を正解した人数」と「第2問と第3問を正解した人数」を合わせて12人とわかる
・「第1問と第3問を正解した人数」＝イ、「第2問と第3問を正解した人数」＝ウだから、イ＋ウ＝12。
のようになりますが、この中でわからない（納得のいかない）点はどこですか？
No.88822 - 2024/09/11(Wed) 02:23:08
★ 複素数平面　類題 / Higashino
前回の質問の類題です
何卒よろしくお願いいたします

以下問題
No.88814 - 2024/09/10(Tue) 03:02:18
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
α,β,γに対応する点をA,B,Cとすると
|α|=|β|=|γ|
より、△ABCの外心は原点 (A)
一方
α+β+γ=0
より
(α+β+γ)/3=0
∴△ABCの重心も原点 (B)
(A)(B)より、問題の命題は成立します。
No.88815 - 2024/09/10(Tue) 19:05:15
☆ Re: 複素数平面　類題 / IT
「外心と重心が一致する三角形は、正三角形である。」は正しいですが、証明が必要だと思います。
No.88816 - 2024/09/10(Tue) 20:26:17
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
先生方、ご回答ありがとうございます

x先生のご回答ですが
>『三角形において、重心、外心、内心、垂心のうち、

少なくとも2つが一致していれば、正三角形である、』

の証明が必要になりますが、私には煩雑すぎて諦めました

ベクトルを使い証明しました

以下答案です　

ご指導　アドバイス　ご指摘のほど何卒よろしくお願いいたします
No.88819 - 2024/09/10(Tue) 22:58:13
☆ Re: 複素数平面　類題 / IT
Higashinoさんの A,B,C はどんな点ですか？
なぜα＝AB→、β＝BC→、γ＝CA→と置けるのですか？
No.88820 - 2024/09/10(Tue) 23:34:08
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
IT先生へ

ご指摘ありがとうございます

再度私なりの説明をいたします
No.88821 - 2024/09/11(Wed) 00:44:42
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
＞＞ITさんへ
やはり、その証明が必要になりますね。
証明なしで使える前提にしたかったのですが。

＞＞Higashinoさんへ
以下の補題を証明します。
但し、証明なしで中線定理を使うことを
前提にします。

補題)
△ABCの重心と外心が一致するとき、
△ABCは正三角形である。

証明)
△ABCの重心をG、外接円の半径をRとすると、
条件から
AG=BG=CG=R
∴辺BCの中点をMとすると
AM=(3/2)AG=(3/2)R (A)
となるので、中線定理により
AB^2+CA^2=2{{(3/2)R}^2+(BC/2)^2}
これより
∴AB^2+CA^2-(1/2)BC^2=(9/2)R^2 (B)
同様に辺CA,ABの中点に注目した中線定理により
BC^2+AB^2-(1/2)CA^2=(9/2)R^2 (C)
BC^2+CA^2-(1/2)AB^2=(9/2)R^2 (D)
(B)-(C)より
(3/2)CA^2-(3/2)BC^2=0
(CA-BC)(BC+CA)=0
∴BC＞0,CA＞0から
BC=CA (E)
同様に(C)-(D)から
CA=AB (F)
(E)(F)より、△ABCは正三角形。
No.88824 - 2024/09/11(Wed) 17:40:40
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
只、これでは確かに練習問題の解答としては煩雑ですので
別解をアップしておきます。

別解)
|α|=|β|=|γ| (A)
α+β+γ=0 (B)
とします
(B)より
γ=-(α+β)
これを(A)に代入して
|α|=|β|=|α+β|^2
各辺2乗して右辺を展開すると
|α|^2=|β|^2=|α|^2+|β|^2+(α\β+\αβ)
∴|α|^2=2|α|^2+(α\β+\αβ)
α\β+\αβ=-|α|^2 (C)
同様に(B)を用いて、β、γを消去することにより
β\γ+\βγ=-|β|^2 (D)
γ\α+\γα=-|γ|^2 (E)

(A)(C)より
|α-β|^2=|α|^2+|β|^2-(α\β+\αβ)
=3|α|^2 (C)'
同様に(A)(D)により
|β-γ|^2=3β^2 (D)'
(A)(E)により
|γ-α|^2=3γ^2 (E)'

(A)(C)'(D)'(E)'から
|α-β|^2=|β-γ|^2=|γ-α|^2
∴|α-β|=|β-γ|=|γ-α|
となるので、問題の命題は成立します。
No.88825 - 2024/09/11(Wed) 17:50:01
☆ Re: 複素数平面　類題 / X
No.88825について、少し解説を。

問題の点α,β,γでできる三角形が正三角形だとして
複素平面上に図を描いてみると
|α-β|=(√3)|α| (P)
となっていることが分かります。
(正三角形の頂点と原点とを結んだ線分を考えましょう)

(P)⇔|α-β|^2=3|α|^2 (Q)
となることから、(Q)を証明する方針で
解くことになりますが、

問題となるのが、(Q)の左辺を展開した
ときに出てくる
α\β+\αβ
をどのようにαの式で表すか、です。
その処理がNo.88825の(C)までの過程
になっています。

(A)(B)はα、β、γに関する対称式に
なっていますので、(C)(C)'が求められれば
残りのβ、γについての式はα、β、γを
サイクリックに回していけば容易に求められます。
No.88826 - 2024/09/11(Wed) 18:06:13
☆ Re: 複素数平面　類題 / Higashino
x先生IT 先生

今回もありがとうございました

またよろしくお願いいたします
No.88827 - 2024/09/11(Wed) 19:21:26
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