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★ 線形代数 / 線形代数
問題 . x, y は整数を表し, x2 + y2 ≤ 25 を満たしていると仮定する. 3 つの 3 項数ベクトル (x,y,y-4)(y,x-3,-4)(x+1,y,y-5)
が一次独立になる様な x, y のペア (x, y) の個数を求めよ.*1 必要なら図を描いても構わない.

この問題の回答を教えていただきたいです。
No.83052 - 2022/08/06(Sat) 14:52:49
☆ Re: 線形代数 / X
方針を。

A=M{(x,y,y-4),(y,x-3,-4),(x+1,y,y-5)}
なる行列Aに対し
det[A]≠0
であれば、問題の３つのベクトルは一次独立です。
そこで
x^2+y^2≦25
を満たす整数の組(x,y)をまず求め、その内
det[A]=0
となるような組を除きます。
No.83053 - 2022/08/06(Sat) 18:11:23
☆ Re: 線形代数 / IT
追加ヒントを
　Xさんの行列Aを基本変形して０の要素を作ると計算が楽になります。
No.83054 - 2022/08/06(Sat) 18:47:15
★ 極限 / 高校三年生
「lim(n→∞）(n×Pn)が有限の値に収束するにはlim(n→∞)Pn=0が必要」とはどういうことか教えてください。
No.83046 - 2022/08/05(Fri) 21:32:51
☆ Re: 極限 / IT
「どういうことか」とは,証明してほしいということでしょうか？

Q[n]＝n×P[n]とおくと P[n]=Q[n]/n ですから
lim(n→∞）(n×Pn)=lim(n→∞）Q[n]=a (有限な値）のとき
　lim(n→∞）P[n]＝lim(n→∞）(Q[n]/n)=0です。
No.83049 - 2022/08/05(Fri) 22:29:40
★ 数学Aの順列の質問です / リンレイ
高１の内容です。

internetの8個の文字を使ってできる順列について、どのtもどのeより左側にあるものの総数を求めよ。

という問題で、ttee〇〇〇〇（〇にはn,i,rのいずれかが入る）の〇の部分の総数だけを考えて4！/2！=12通りと考えたのですが、どうしてこの解き方だといけないのか教えてください。
初歩的な質問ですみません。
ちなみに答えは840通りです。
No.83045 - 2022/08/05(Fri) 21:31:44
☆ Re: 数学Aの順列の質問です / IT
t○t○○e○e
などが抜けてます。
No.83047 - 2022/08/05(Fri) 21:34:02
☆ Re: 数学Aの順列の質問です / リンレイ
> t○t○○e○e
> などが抜けてます。

ありがとうございます！
理解出来ました！
No.83048 - 2022/08/05(Fri) 21:36:01
★ 心の闇 / squall
今回は数学の質問ではないのですが、僕が今気になっていることがあります。
それは今の子供は自分の言いたいことが言えない世の中になっているのではないかと思うのです。
なので今の子供の心に闇をかかえるようになるのではないかと思うようになって。
そういう自分も子供のころは自分の言いたいことが言えてなかったかなと思います。
自分の場合は人に言う勇気がなかったというのもありますが。
ヨッシー先生は教育者でもあると思うから、このことについてヨッシー先生の意見が聞きたいと思って質問しました。
回答よろしくおねがいします。
ちなみに、僕は大人になって会話することの大事さに気づきました。
No.83041 - 2022/08/05(Fri) 11:17:30
☆ Re: 心の闇 / squall
ヨッシー先生、数学以外の質問をしてすいません。
これからは、数学に関することについて質問するようにします。
No.83043 - 2022/08/05(Fri) 15:29:06
☆ Re: 心の闇 / ヨッシー
いえ、別にいいんですけど、私は教育者ではないので、
また、教育者であっても、こういう主観による見解は
回答しにくいですね。
本当に言いたいことが言えない世の中なのかも分かりませんし。
No.83074 - 2022/08/07(Sun) 16:26:13
★ 二次関数の決定 / クロ
高1です。
2点(-3，5)，(1，-11)を通り､かつ､頂点が直線y＝-2x +3上にある二次関数を求めよ。という問題の解き方が分かりません。答えは-2x²-8x -1です。
No.83040 - 2022/08/05(Fri) 10:25:46
☆ Re: 二次関数の決定 / ヨッシー
求める二次方程式の式を
　ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ　（ａ≠０）
と置きます。２点(-3, 5), (1, -11) を通ることから
　９ａ−３ｂ＋ｃ＝５
　ａ＋ｂ＋ｃ＝−１１
これより
　８ａ−４ｂ＝１６
　ｂ＝２ａ−４
　ｃ＝−１１−ａ−ｂ＝−３ａ−７
よって、求める二次方程式の式は
　ｙ＝ａｘ^2＋２(ａ−２)ｘ−３ａ−７
　　＝ａ{ｘ＋(ａ−２)/ａ}^2−３ａ−７−(ａ−２)^2/ａ
　　＝ａ{ｘ＋(ａ−２)/ａ}^2−４ａ−３−4/a
と書け、その頂点は
　(−(a-2)/a, −４ａ−３−4/a)
これが　ｙ＝−２ｘ＋３　上にあるので
　−４ａ−３−4/a＝2(a-2)/a＋3
ａを掛けて
　−４ａ^2−３ａ−4＝2(a-2)＋3a
　−４ａ^2−８ａ＝０
ａ≠０ より
　ａ＝−２
このとき、ｂ＝−８，ｃ＝−１
よって求める式は
　ｙ＝−２ｘ^2−８ｘ−１
No.83042 - 2022/08/05(Fri) 14:17:26
★ 数列 / Nao
添付の問題が解けません。
途中式と正答を含め、解説をお願いします！
※三角関数も解けない問題があり、別途投稿しましたので、合わせて解いていただけると助かります。
No.83037 - 2022/08/05(Fri) 00:28:10
☆ Re: 数列 / X
(1)
1/a[n]=b[n]
と置くと、問題の{a[n]}の漸化式は
1/b[n+1]=1/(3+b[n])
∴b[n+1]=b[n]+3 (A)
又
b[1]=2 (B)
(A)(B)より
1/a[n]=b[n]=2+3(n-1)=3n-1


(2)
(1)の結果より
1/(a[n]a[n+1])=(3n-1)(3n+2)
=9n^2-3n-2
∴(与式)=…

(3)
(1)の結果より
a[n][n+1]=1/{(3n-1)(3n+2)}
=(1/3){1/(3n-1)-1/(3n+2)}
∴
a[1][2]=(1/3)(1/2-1/5)
a[2][3]=(1/3)(1/5-1/8)
a[3][4]=(1/3)(1/8-1/11)
…
となるので
(与式)=…
No.83039 - 2022/08/05(Fri) 06:43:55
☆ Re: 数列 / Nao
ご丁寧にありがとうございます！
よくわかりました。
ありがとうございました。
No.83050 - 2022/08/06(Sat) 00:27:37
★ 三角関数 / Nao
添付の問題が解けません。
途中式や正答などを含めて解説をお願いします！
※数列も解けない問題があり、別途投稿します。
No.83036 - 2022/08/05(Fri) 00:25:54
☆ Re: 三角関数 / X
2倍角の公式、半角の公式により
y=(1+cos2x)-(√3)sin2x-3
=cos2x-(√3)sin2x-2
更に三角関数の合成をすると
y=2cos(2x+π/3)-2
ここで
0≦x＜2π
より
π/3≦2x+π/3＜4π+π/3
∴
M=2-2=0(このとき2x+π/3=2π,4π)
m=-2-2=-4(このとき2x+π/3=π,3π)
つまり
M=0(このときx=5π/6,11π/6)
m=-4(このときx=π/3,4π/3)
No.83038 - 2022/08/05(Fri) 06:34:49
☆ Re: 三角関数 / X
補足を。

y=cos2x-(√3)sin2x-2
から
y=-{(√3)sin2x-cos2x}-2
=-2sin(2x-π/6)-2
と変形しても解けます。

このときは
0≦x＜2π
から
-π/6≦2x-π/6＜4π-π/6
∴
M=2-2=0(このとき2x-π/6=3π/2,7π/2)
m=-2-2=-4(このとき2x-π/6=π/2,5π/2)
つまり
M=0(このときx=5π/6,11π/6)
m=-4(このときx=π/3,4π/3)
となります。
No.83044 - 2022/08/05(Fri) 17:37:20
☆ Re: 三角関数 / Nao
Xさま
こちらもありがとうございます！
お陰様で理解できました。
No.83051 - 2022/08/06(Sat) 00:28:29
★ logの計算 / とうふ
「log6(24)をlog6(2),log6(5)のみを用いて表せ」という問題の解法を教えてほしいです。よろしくおねがいします。
No.83034 - 2022/08/04(Thu) 20:57:26
☆ Re: logの計算 / らすかる
log[6](24)=log[6](6×2×2)=1+log[6](2)+log[6](2)
1=log[6](2)/log[6](2) なので
log[6](24)=log[6](2)/log[6](2)+log[6](2)+log[6](2)
No.83035 - 2022/08/04(Thu) 21:08:26
★ 食塩水の問題 / しょう
15%の食塩水と20%の食塩水をまぜて16%の食塩水1000gを作る時15%の食塩水は何グラム必要かという問題を教えてほしいです。よろしくお願いします。
No.83031 - 2022/08/04(Thu) 18:41:36
☆ Re: 食塩水の問題 / ヨッシー
16% から 15% までの差は 1%
16% から 20% までの差は 4%
1000g を １：４ に分けて 200g と 800g
16% に近い方の 15% を 800g
16% から遠い方の 20% を 200g
答え　800g

こういう飛び道具はたぶん望んでいなくて、方程式で
解きたいと推測します。
ｘ、ｙを使って連立一次方程式にしても良いですが、
ここではｘだけ使う方法でやります。
15%の食塩水をｘｇとすると、20%の食塩水は 1000−ｘｇ
15%の食塩水ｘｇに含まれる食塩は　0.15xｇ
20%の食塩水 1000−ｘｇに含まれる食塩は 0.2(1000−x)ｇ
これを混ぜて、16%の食塩水1000gが出来るので、混ぜたあとの食塩の量は
　0.16×1000＝160(g)
よって、
　0.15x＋0.2(1000−x)＝160
　0.05ｘ＝40
　ｘ＝800(g)　・・・答え
No.83033 - 2022/08/04(Thu) 19:58:33
★ 一般項 を求めよ。 / れおな
[問] 次の数列の一般項 を求めよ。
4,4,6,6,8,8,10,10,…

はどうなりますか?
No.83028 - 2022/08/03(Wed) 19:43:36
☆ Re: 一般項 を求めよ。 / らすかる
4,4,6,6,8,8,10,10,…に近い
4,5,6,7,8,9,10,11,…（=n+3）を引くと
0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,…
2倍すると
0,-2,0,-2,0,-2,0,-2,…
1足すと
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
これは
-(-1)^n
と表せますので、
-(-1)^nから1を引いて2で割りn+3を足せば、一般項が
{-(-1)^n-1}/2+(n+3)
={2n+5-(-1)^n}/2
のように書けることがわかります。
No.83029 - 2022/08/04(Thu) 05:08:33
☆ Re: 一般項 を求めよ。 / れおな
どうも有難うございます。
とても参考になりました。
No.83032 - 2022/08/04(Thu) 19:34:28
★ 複素数 / ドーナツ
赤チャート数学?Vの５８ページの問題でジューコフスキー変換という名前のついた問題です。よろしくお願いします。
点zが原点を中心とする半径rの円上を動くとき、w=z+(a^2)/z(a>0)を満たす。
(1)a=rのとき、点wはどのような図形を描くか。
解答は、２点-2a,2aを結ぶ線分、です。

私は２点-2r,2rを結ぶ線分と答えました。どちらでも正解でしょうか?
aの方が定数っぽいからaで答えるべきですか?問題文はa=rと書かれているので、aをrにするべきかなと私は思ったのですが。
No.83025 - 2022/08/03(Wed) 14:05:55
☆ Re: 複素数 / ヨッシー
ａもｒもどちらも正解と思います。
No.83026 - 2022/08/03(Wed) 15:54:00
☆ Re: 複素数 / ドーナツ
ヨッシーさん、ありがとうございます。
No.83030 - 2022/08/04(Thu) 13:29:06
★ 大学数学 / あ
解き方を教えていただきたいです。
No.83024 - 2022/08/03(Wed) 11:50:00
★ (No Subject) / な
大学の課題なのですが、考えても全く分かりませんでした。解き方を教えてほしいです。
No.83023 - 2022/08/03(Wed) 10:35:23
☆ Re: / GandB
　質問に対する回答ではなく、ちょっと興味が湧いて計算してみた。
　マチンの公式は素晴らしい！
No.83027 - 2022/08/03(Wed) 17:38:42
★ 数学のジャンル / squall
インターネットで高校数学のジャンルについて調べてみましたが、代数、幾何、解析、確率、統計というジャンルに分けれるみたいですね。
そのほかにも数学のジャンルはあるかもしれませんが。
そして自分では代数に興味があるのかなと思うようになりました。
ヨッシー先生は先生だから数学のジャンルは問わないとは思うのですが、ヨッシー先生が特に気に入っている数学のジャンルはあったりするんですか？
No.83020 - 2022/08/03(Wed) 07:54:26
☆ Re: 数学のジャンル / ヨッシー
今は高校数学からなくなったようですが、行列が好きでしたね。
あとは、数列ですかね。
それぞれ、代数、解析に含まれると思います。
No.83021 - 2022/08/03(Wed) 08:03:11
☆ Re: 数学のジャンル / squall
わかりました。
回答ありがとうございます。
No.83022 - 2022/08/03(Wed) 08:13:00
★ (No Subject) / matsu
数強の皆様ご協力お願いします。
No.83017 - 2022/08/03(Wed) 00:01:43
★ (No Subject) / sa-ya
大学数学の問題です。ご教授ください！
No.83015 - 2022/08/02(Tue) 23:03:19
★ 無限級数 / yuka
大学の数学の課題です。
考えても分からなかったため、どなたか教えて下さると嬉しいです😭
よろしくお願いします🙇‍♂️
No.83014 - 2022/08/02(Tue) 23:02:20
☆ Re: 無限級数 / X
まず
S[n]=Σ[k=0〜n]kx^k
を求めましょう。
方針は等比数列の和の公式の導出過程と同じです。
(高校数学の等比数列の項目を復習しましょう)
No.83018 - 2022/08/03(Wed) 00:50:03
★ (No Subject) / sh
純粋に疑問に思ったので質問させてください。
x=9/x こんな式があったとして、x=±3　になりますよね。
ここで、最初のx=9/xに注目して、右辺のxに9/xを代入すると
x=9/(9/x)
x=x となってしまいます
もちろん最初の解は失われていませんが、代入しただけなのに同値が崩れてしまうのはなぜですか？
No.83013 - 2022/08/02(Tue) 20:35:07
☆ Re: / 黄桃
>代入しただけなのに同値が崩れてしまう
一般に、x=f(x) より x=f(f(x)) は言えますが、x=f(f(x)) から x=f(x)は言えませんので、同値ではありません。
No.83019 - 2022/08/03(Wed) 06:53:26
★ (No Subject) / a
不等式の証明(数学的帰納法)

2^n>n

中略

2*2^k>2k = k+k≧k+1

k+kは2kのことでしょうか。そうでしたら何故符号が逆になるのでしょうか。教えて頂けると幸いです。宜しくお願いします。
No.83005 - 2022/08/02(Tue) 14:39:42
☆ Re: / ヨッシー
2k ＝ k+k これは文句ないですね？
k + k≧k + 1 これは、k は自然数（1以上）なので、
k + k は k + 1 と等しいか大きい　と言っているだけです。
No.83006 - 2022/08/02(Tue) 14:52:18
☆ Re: / a
理解できました。ありがとうございます。

立て続けで申し訳ないのですが、

2*2^k>2k = k+k≧k+1

の後に、

ゆえに2^k+1>k+1

とあるのですが、どうしてこうなるのでしょうか。

2^k+1もk+1も2*2^kのことではないのでしょうか。
No.83009 - 2022/08/02(Tue) 16:37:48
☆ Re: / ヨッシー
まず確認ですが、2^n＞n がすべての自然数に付いて成り立つことを証明する問題ということでいいですか？
ｎ＝１　のとき　２^1＞1 は明らか
ｎ＝ｋ　のとき　つまり　２^k＞k のときに
ｎ＝ｋ＋１ を考えて、２^(k+1)＞k＋1 を示すのが目的と思います。

2*2^k＞2k = k+k≧k+1
において、
　2*2^k＝2^(k+1)
なので、
　2^(k+1)＞2k≧k+1
から
　2^(k+1)＞k+1
です。

k+1 と 2*2^k は違います。
No.83010 - 2022/08/02(Tue) 16:43:51
☆ Re: / a
理解出来ました。本当にありがとうございました。
No.83011 - 2022/08/02(Tue) 16:54:36
★ 面積の最大値 / 名無し
問
Oは原点。円x^2+y^2=2と直線y＝2x＋kは相異なる2点AとBで交わる。△OABの面積の最大値とその時のkの値を求めよ。

以下のように解いたのですが、答えに辿り着けませんでした。答案の中で何か間違っているところはあるでしょうか？
ご指摘よろしくお願いします。
No.83004 - 2022/08/02(Tue) 14:36:59
☆ Re: 面積の最大値 / ヨッシー
とりあえず、
△ｘ＝・・・の次の行の
　√Ｄ／５
が違いますね。
No.83007 - 2022/08/02(Tue) 14:56:53
☆ Re: 面積の最大値 / 名無し
解答ありがとうございます。
そうですね。
そこを直したとしても根号内の関数の最大値をとるkが±√5にならないのはどうしてでしょうか？
No.83008 - 2022/08/02(Tue) 15:01:12
☆ Re: 面積の最大値 / ヨッシー
根号の中は　10k^2−k^4　ですね？
　Ｋ＝k^2
とおくと、
　10k^2−k^4＝10Ｋ−Ｋ^2＝−(Ｋ−５)^2＋25
なので、最大を得るｋは、Ｋ＝５　より　ｋ＝±√5　です。
No.83012 - 2022/08/02(Tue) 19:40:18
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