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★ (No Subject) / 名無し
問　
連続する4つの整数の積は24の倍数であることを示せ。

連続する3整数は6の倍数なのでn(n+1)(n+2)(n+3)が4の倍数であることを示したのですが、この流れに間違いはないでしょうか？
No.82495 - 2022/06/23(Thu) 11:58:23
☆ Re: / ast
それだと12の倍数としか示せてないと思いますが.
No.82496 - 2022/06/23(Thu) 12:04:36
☆ Re: / 名無し
これではダメでしょうか？
No.82498 - 2022/06/23(Thu) 12:35:11
☆ Re: / X
それだと
4と6の最小公倍数である12の倍数
であることは示せていますが
24の倍数であることは示せていません。
(反例：
36は4,6の公倍数ですが
24の倍数ではありません。)


同じ方針で解くのであれば
4,6の公倍数ではなくて8,3の公倍数
であることを示す必要があります。
No.82500 - 2022/06/23(Thu) 17:56:37
☆ Re: / IT
「連続する3整数は6の倍数 」も使うなら、証明する必要があると思います。直前の問で証明しているなら省略しても良いかも知れませんが。
No.82501 - 2022/06/23(Thu) 18:14:31
☆ Re: / 名無し
理解しました、皆さんありがとうございます！
No.82504 - 2022/06/24(Fri) 10:55:38
★ (No Subject) / ねこ
2022年度日本医科大学の大門2で、ここが分かりません。お願いします。
No.82494 - 2022/06/23(Thu) 07:47:15
☆ Re: / ヨッシー

図は、ｘ＝１２までの格子点を記した図です。
n=12 のとき
　黒丸：１＋２＋３＋・・・・・＋６
　白丸：２＋３＋４＋・・・・・＋７
なので、m=6 とおくと、
　Σ[k=1〜m]ｋ＋Σ[k=1〜m](k+1)
と書けます。

n=11 のとき
　黒丸：１＋２＋３＋・・・・・＋６
　白丸：２＋３＋４＋・・・＋６
なので、m=6 とおくと、
　Σ[k=1〜m]ｋ＋Σ[k=1〜m-1](k+1)
と書けます。
No.82497 - 2022/06/23(Thu) 12:29:15
★ lim[ω→∞]2^ω*sin(π/2^ω)=? / anti terror
?がいくつか
解答求む
No.82490 - 2022/06/22(Wed) 13:46:46
☆ Re: lim[ω→∞]2^ω*sin(π/2^ω)=? / らすかる
lim[ω→∞]2^ω*sin(π/2^ω)
=lim[ω→∞]2^ω*(π/2^ω)*sin(π/2^ω)/(π/2^ω)
=lim[ω→∞]π*sin(π/2^ω)/(π/2^ω)
=π
となります。
No.82491 - 2022/06/22(Wed) 14:10:21
★ yuma izumida / yuma izumida
オイラーマスケローニです
No.82489 - 2022/06/21(Tue) 20:52:59
☆ Re: yuma izumida / らすかる
これはただのメモ書きですか？
No.82492 - 2022/06/22(Wed) 14:10:57
★ 論理について / しょう
このような問題はどのようにして考えていけばいいんでしょうか？
No.82486 - 2022/06/21(Tue) 15:06:33
☆ Re: 論理について / ヨッシー
Ａ＝{1, 2, 4, 5, 10, 20}
Ｂ＝{3, 6, 9, 12, 15, 18}
Ｃ＝{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
であるので、
(0) 20はＡに入っているので正しい。
(1) ＡとＢの共通項はないので正しい。
(2) Ａ∪Ｃ＝{1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
　であり、
　(Ａ∪Ｃ)∩Ｂ＝{6, 12, 18} なので正しい。
(3) Ａ∩Ｃ＝{2, 4, 10, 20}　であり、8 は含まれないので誤り。
(4) Ａ~∩Ｃ＝{6, 8, 12, 14, 16, 18} なので
　(左辺)＝{3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18}
　Ｂ∪Ｃ＝{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20} なので、
　(右辺)＝{3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18}
よって、正しい。
(5) Ａ∪Ｂ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20}
　であり、Ｃの要素である 8, 14, 16 が含まれないので、誤り。

(4) は、ベン図を書いて論理的に示したうえで、(1) の結果から、正しいことを言ってもいいです。
No.82487 - 2022/06/21(Tue) 15:41:00
★ 論理について / しょう
アの所でq→pが真になる説明が分かりません、教えてほしいです。
No.82482 - 2022/06/21(Tue) 09:49:48
☆ Re: 論理について / しょう
アの所でq→pが真になる説明が分かりません、教えてほしいです。
No.82483 - 2022/06/21(Tue) 09:50:32
☆ Re: 論理について / らすかる
x+√28=t（tは有理数）とおくと
x=t-√28となり
(有理数)-(無理数)は無理数なので
xは無理数となります。

別の説明
x+√28=t（tは有理数）として
もしxも有理数だとすると
√28=t-xの右辺も有理数となって矛盾しますので
xは無理数です。
No.82484 - 2022/06/21(Tue) 10:51:26
☆ Re: 論理について / しょう
なるほど！分かりました！ありがとうございます！
No.82485 - 2022/06/21(Tue) 14:51:56
★ 公式がわからない / ひろあき
この問題を解いてください
No.82481 - 2022/06/21(Tue) 05:26:50
☆ Re: 公式がわからない / IT
簡単な式には、ならないと思いますが、問題にはどのように書いてあるのですか？問題文を書いてみてください。
No.82488 - 2022/06/21(Tue) 19:05:51
★ 高1　数1 / なっちゃん
この問題の解き方を教えてください。
No.82476 - 2022/06/19(Sun) 23:42:12
☆ Re: 高1　数1 / X
例えばAの補集合を\Aと書くことにします。

条件から
A⊃A∩\B={2,5} (A)
なので
a^2+1=5
これより
a=2,-2
(i)a=2のとき
条件から
B={4,9,1}
∴(A)を満たします。
(ii)a=-2のとき
条件から
B={4,5,17}
∴(A)を満たさないので不適。

(i)(ii)から
a=2
このとき
A={2,4,5}
∴(i)から
A∪B={1,2,4,5,9}
No.82477 - 2022/06/20(Mon) 17:43:28
☆ Re: 高1　数1 / なっちゃん
ありがとうございます！
No.82479 - 2022/06/20(Mon) 21:01:16
★ 教えてください！ / T山
直径400mm、長さ55mの滑らかな管内を常温（25℃）の水が流れている。損失ヘッドが2.0mであるとき、管内の断面平均流速を求めよ。ただし損失係数として、ブラジウスの式を用いよ。水の動粘度を0.89×10^-6 m^2/sとする。
解き方を教えてください
No.82469 - 2022/06/19(Sun) 16:55:01
★ 正負の数　至急！ / いちご
和が-1で、積が-12である2つの整数を求めなさい。
この問題の意味がわかりません
No.82467 - 2022/06/19(Sun) 15:50:50
☆ Re: 正負の数　至急！ / IT
求める２つの整数を○、□とすると
○＋□＝-１
○×□＝-12　を満たす。
このような整数○と整数□を求めよ。という意味です。
No.82468 - 2022/06/19(Sun) 15:54:11
★ 正負の数　至急！ / いちご
(+4/3)+(-5/8)-□=-1/2この四角の求め方を教えて下さい。
No.82466 - 2022/06/19(Sun) 15:49:44
☆ Re: 正負の数　至急！ / いちご
お願いします！
No.82478 - 2022/06/20(Mon) 19:59:13
☆ Re: 正負の数　至急！ / IT
-□を右辺に移項、-1/2を左辺に移項し、
左辺を計算（通分などする）すればよいと思います。
No.82480 - 2022/06/20(Mon) 21:23:58
★ 単調減少 / 微分しても分からなかった人
π/6<x<π/2で
tanx-(1+x/tanx)/(π/2-x)
が単調減少であることの証明を教えて下さい。
No.82465 - 2022/06/19(Sun) 14:28:24
★ 確率 / uni
この問題の(2)を条件付き確率で解いたのですが、答えが合いません。解答に書いてあることは理解したのですが、解き方の不備が見つかりません。どなたか教えてください。
No.82463 - 2022/06/19(Sun) 14:13:54
☆ Re: 確率 / uni
> この問題の(2)を条件付き確率で解いたのですが、答えが合いません。解答に書いてあることは理解したのですが、解き方の不備が見つかりません。どなたか教えてください。
No.82464 - 2022/06/19(Sun) 14:14:40
☆ Re: 確率 / IT
説明が難しいですね、
例えば、
{3,4,5}は、2×2×2 ＝8通り
{3,5,5}は、2通り　なのですが、うまく数えられてないと思います。

X＝５の場合に
２つの５のうち一方の決まった５（「固定」としてある）が取り出されているとしているのが間違いの元だと思います。
No.82470 - 2022/06/19(Sun) 19:31:39
☆ Re: 確率 / IT
X＝5になるのを列挙してみると
{554}2通り
{553}2通り
{552}2通り
{551}2通り○
{544}2通り
{543}8通り
{542}8通り
{541}8通り○
{533}2通り
{532}8通り
{531}8通り○
{522}2通り
{521}8通り○
{511}2通り○
No.82471 - 2022/06/19(Sun) 19:40:21
☆ Re: 確率 / uni
ありがとうございました。
No.82474 - 2022/06/19(Sun) 21:08:05
★ 式と証明 / Nao
この2問、解答がなく、正答がわかりません。
どなたか解いていただけないでしょうか。
No.82457 - 2022/06/19(Sun) 09:36:40
☆ Re: 式と証明 / らすかる
(4)
2x+2y+z=2からz=2-2x-2y
x^2+2y^2+z^2に代入して整理すると
x^2+2y^2+z^2=x^2+2y^2+(2-2x-2y)^2
=5x^2+8xy+6y^2-8x-8y+4
=(1/5)(25x^2+40xy)+6y^2-8x-8y+4
=(1/5)(25x^2+40xy+16y^2)+6y^2-(16/5)y^2-8x-8y+4
=(1/5)(5x+4y)^2+(14/5)y^2-8x-8y+4
=(1/5)(5x+4y)^2+(14/5)y^2-(8/5)(5x+4y)-(8/5)y+4
=(1/5)(5x+4y)^2-(8/5)(5x+4y)+(14/5)y^2-(8/5)y+4
=(1/5){(5x+4y)^2-8(5x+4y)}+(2/35)(49y^2-28y)+4
=(1/5){(5x+4y)^2-8(5x+4y)+16}+(2/35)(49y^2-28y+4)+4-16/5-8/35
=(1/5)(5x+4y-4)^2+(2/35)(7y-2)^2+4/7
となるので5x+4y-4=0かつ7y-2かつ2x+2y+z=2すなわち
(x,y,z)=(4/7,2/7,2/7)のときに最小値4/7をとる。

(5)
3変数の相加相乗平均により
1/x+1/y+1/z=2から
2=1/x+1/y+1/z≧3/[3]√(xyz)
∴[3]√(xyz)≧3/2（等号は1/x=1/y=1/zのとき）
再び3変数の相加相乗平均により
x+y+z≧3[3]√(xyz)≧9/2（等号はx=y=zかつ1/x=1/y=1/zのとき）
となるので、x+y+zの最小値はx=y=z=3/2のときで9/2

ちなみに答え合わせは↓こちらのサイトでできます。
(4)
(5)
No.82458 - 2022/06/19(Sun) 10:51:37
☆ Re: 式と証明 / X
別解)
以下はベクトルを学習済みであることが前提になります。

(4)
2x+2y+z=2 (A)
f=x^2+2y^2+z^2 (B)
とします。
↑b=(x,y√2,z)
↑a=(2,√2,1)
と置くと(A)(B)は
↑a・↑b=2 (A)'
f=|↑b|^2 (B)'
又
|↑a|^2=7 (C)
ここで
|↑a||↑b|≧↑a・↑b
∴(|↑a|^2)|↑b|^2≧(↑a・↑b)^2
これに(A)'(B)'(C)を代入すると
7f≧4
∴f≧4/7
となるので、fの最小値は4/7

(5)
↑a=(1/√x,1/√y,1/√z)
↑b=(√x,√y,√z)
f=x+y+z
と置くと、
|↑a|^2=2 (A)
又
↑a・↑b=(1/√x)√x+(1/√y)√y+(1/√z)√z
∴↑a・↑b=3 (B)
更に
f=|↑b|^2 (C)
ここで
|↑a||↑b|≧↑a・↑b
∴(|↑a|^2)|↑b|^2≧(↑a・↑b)^2
これに(A)(B)(C)を代入すると
2f≧9
∴f≧9/2
となるのでfの最小値は9/2です。
No.82461 - 2022/06/19(Sun) 11:05:55
☆ Re: 式と証明 / Nao
らすかるさま、Xさま

ご丁寧な解説ありがとうございます！
お陰様で理解できました。
No.82475 - 2022/06/19(Sun) 21:16:28
★ 三角方程式 / だい
三角関数についての質問です。
π/2≦α≦π、0≦β≦πのとき、sinα＝cos2βを満たす角βをαを用いて表せ。
cosに統一して角度を比較する解き方と、和積から求めた方程式では答えが変わってしまうのですが計算ミスでしょうか。具体的に言えば、和積の公式を用いてsin×sin＝0にしてそれぞれについて0になる時を求めたのですが、角度を比較する解き方では出てこなかったものまで出てきてしまいます。(α/2+3π/4など)
No.82454 - 2022/06/19(Sun) 00:24:50
☆ Re: 三角方程式 / IT
求め方の途中が分からないので、なぜ除外されなかったかは分かりませんが
0≦β≦πを満たさないものを含んでいますね
α＝π/2 のときは　α/2+3π/4＝πでOKですが
α＞π/2のとき　α/2+3π/4　＞　πです。
No.82455 - 2022/06/19(Sun) 07:14:37
☆ Re: 三角方程式 / だい
角度を比較する方法であれば、
cos(π/2-α)=cos2βより
2β＝±(π/2-α)+2nπ (n:整数)
β＝π/4-α/2+nπのとき、-π/4≦-α/2+π/4≦0より、
-π/4+nπ≦β≦nπより、n=1のみ適する。この時β＝5π/4-α/2

β＝-π/4+α/2+nπのとき0≦-π/4+α/2≦π/4より、nπ≦β≦nπ+π/4 n=0のみ適する。
よってβ=α/2-π/4
模範解答は以上の二つでした。和積の公式で整理した後は
sin(β-α/2+π/4)×sin(β+α/2-π/4)=0となり、sinが0になるのをそれぞれ求めました。
β-α/2+π/4=nπ、このとき
-π/4≦nπ≦πとなるので、n=0,1であり、β＝α/2-π/4と、β＝α/2+3π/4と二つ出てきてしまいます。β＝α/2+3π/4はαの値によって範囲から外れてしまうので不適ということなのでしょうか。
もう一方のsinについても同様です。
No.82460 - 2022/06/19(Sun) 11:04:33
☆ Re: 三角方程式 / IT
＞β＝α/2+3π/4はαの値によって範囲から外れてしまうので不適ということなのでしょうか。

β＝α/2+3π/4は　
　α＞π/2のときは、βが範囲から外れてしまうので不適
　α＝π/2のときは、OK（もう一方と同じ値になり吸収されると思います）

模範解答と同じ方法で、範囲条件を調べればどうですか？
No.82462 - 2022/06/19(Sun) 11:30:04
★ 正負の数 / いちご
中1の問題です。(-7/3)-(-0.2)なんですが　=(-7/3)+(+2/10)=(-70/30)+(+6/30)になると思うのですが違うそうです。ちなみに答えは=(-7/3)+(+7/5)=-32/15だそうです。お願いします
No.82449 - 2022/06/18(Sat) 15:24:32
☆ Re: 正負の数 / X
＞＞〜違うそうです。
違っていません。単に計算が足りないだけです。
(-7/3)-(-0.2)=(-7/3)+(+2/10)=(-70/30)+(+6/30)
=-64/30
=-32/15
No.82450 - 2022/06/18(Sat) 15:37:07
☆ Re: 正負の数 / けんけんぱ
>ちなみに答えは=(-7/3)+(+7/5)=-32/15だそうです。

これでは、
-(-0.2)=+7/5となってしまうので、これは間違いです。
No.82451 - 2022/06/18(Sat) 17:51:23
☆ Re: 正負の数 / いちご
> これでは、
> -(-0.2)=+7/5となってしまうので、これは間違いです。
ということはどちらの答え方があっているのですか？
No.82452 - 2022/06/18(Sat) 22:00:37
☆ Re: 正負の数 / けんけんぱ
(-70/30)+(+6/30)=-64/30=-32/15
でも
=(-7/3)+(+1/5)=-32/15
でも
どちらでもいいです。
No.82453 - 2022/06/18(Sat) 22:15:43
☆ Re: 正負の数 / いちご
> (-70/30)+(+6/30)=-64/30=-32/15
> でも
> =(-7/3)+(+1/5)=-32/15
> でも
> どちらでもいいです。
すみませんそしたらやりやすい方を最初から式でお願いします
No.82456 - 2022/06/19(Sun) 08:53:40
★ 三角比の不等式 / ここがさりな
この問題を教えて下さい
いくら考えても解決に繋がりそうなことを一切思い付けなくて、歯痒いです

よろしくお願いします
No.82448 - 2022/06/17(Fri) 20:53:51
★ よろしくお願いします / cavy
角度を求める問題です。よろしくお願いします。
No.82445 - 2022/06/17(Fri) 20:32:47
☆ Re: よろしくお願いします / けんけんぱ
Eを通るAD,BCに平行な直線を引きます。
角DEFは10°+60°とわかります。
△DEFは二等辺三角形なので角xが求められます。
No.82446 - 2022/06/17(Fri) 20:39:03
☆ Re: よろしくお願いします / cavy
ありがとうございます。
その補助線がすぐに思いつきませんでした(^^;;
No.82447 - 2022/06/17(Fri) 20:47:29
★ 球の体積 / John Titor
みのうえしんぱいあるさんじょう
No.82444 - 2022/06/17(Fri) 16:28:51
★ ３次元空間のベクトル / Asada
下の問題について教えてほしいです。

直線ℓ1：（2 0 -1）+t(2 3 -1) 直線ℓ2：{2x-y+z+15=0 2y-z-3=0 とする
（1）直線ℓ3と原点の距離が√6、ℓ2とℓ3の距離が2√6でℓ1、ℓ2、ℓ3は共通の垂線を持つとき直線ℓ3のパラメータ表示を求めよ。該当する直線が複数ある場合はすべて求めること。
(2) ℓ1とℓ3の距離を求めよ。ℓ3に該当する直線が複数ある場合は各々について求めること。
No.82441 - 2022/06/16(Thu) 22:53:54
☆ Re: ３次元空間のベクトル / GM
直線ℓ2は(-6 0 -3)+s(1 -2 -4)と表すことができる（sは実数）
ℓ1とℓ2に垂直な方向ベクトルのひとつを求めると(2 -1 1)
ℓ1と垂線との交点の座標を(2t+2,3t,-t-1)
ℓ2と垂線との交点の座標を(s-6,-2s,-4s-3)とすると
ベクトル(s-2t-8 -2s-3t -4s+t-2)とベクトル(2 -1 1)が並行で
これを解いてs=0,t=-1
よってℓ2上の交点の座標は(-6,0,-3)
この点から垂線方向に2√6離れた点の座標は垂線の方向ベクトルより
(-6,0,-3)+(4,-2,2)=(-2,-2,-1)
または
(-6,0,-3)-(4,-2,2)=(-10,2,-5)

(-2,-2,-1)を通りベクトル(2 -1 1)に垂直な直線はa,bを実数として
(-2 -2 -1)+s(a b b-2a)と表すことができ原点との距離が√6であることより
(sa-2)^2+(sb-2)^2+(sb-2sa-1)^2の最小値が6となるようなa,bの関係を求めればよい

もうひとつの(-10,2,-5)の方はこの点を通りベクトル(2 -1 1)を法線とする
平面の方程式を求めると原点との距離が√6より大きいので不適
No.82493 - 2022/06/22(Wed) 17:40:29
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