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不等式 / ろぐ
t,Xは自然数。
t-1≦log[10]X<t・・・?@
(t+1)/2≦log[10]X<(t+2)/2・・・?A

?@?AをともにますたXの条件は
(a)>(b) かつ (c)>(d)
(a)=t
(b)=(t+1)/2
(c)=(t+2)/2
(d)=t-1
となるのですがどうしてなのかわかりません。わかるかたおしえてください。おねがいします。

No.27621 - 2014/07/05(Sat) 14:43:42

Re: 不等式 / ろぐ
ますた→満たす
失礼しました。

No.27622 - 2014/07/05(Sat) 14:44:17
公倍数 / 小学4年
9で割ると4余り、11で割ると5余り、13で割ると6余る整数の出し方がわかりません。
教えてください。

No.27618 - 2014/07/05(Sat) 09:47:41

Re: 公倍数 / らすかる
「9で割ると4余り、11で割ると5余り、13で割ると6余る整数」を2倍すると
「9で割ると8余り、11で割ると10余り、13で割ると12余る整数」になりますね。
そしてこの整数に1を足すと
「9で割り切れ、11で割り切れ、13で割り切れる整数」になります。
9と11と13の最小公倍数は1287なので
1を足す前は1286
2倍する前は643なので
643が「9で割ると4余り、11で割ると5余り、13で割ると6余る整数」です。
(643+1287、643+1287+1287、・・・も
 「9で割ると4余り、11で割ると5余り、13で割ると6余る整数」です。)

No.27619 - 2014/07/05(Sat) 10:03:40

Re: 公倍数 / ヨッシー
別の方法です。
13で割って6余る整数の1つは6です。
これは11で割ると6余る数です。
これに13=11+2を加えると、13で割った余りは6のままですが、
11で割った余りは2増えて8になります。
さらに13を加えていくと、11で割った余りは2ずつ増えて
3回足すと11で割った余りは1となり、さらに2回足すと余りは5になります。
つまり、6に13を5回足した71は、11で割ると5余り、13で割ると6余る数となります。

71に11×13=143=9×16−1 を足すと、
11,13で割った余りはそれぞれ5,6のままで、9で割った
余りは1減ります。
71を9で割った余りは8なので、71に143を4回足すと
9で割った余りが4になります。
つまり、 71+143×4=643 と、条件に合う整数の1つが見つかります。

No.27620 - 2014/07/05(Sat) 10:37:28
(No Subject) / ヒキニート
nを自然数とする。1、2、-nのいずれかの値をとる100個の実数a_k (
k=1、2、・・・、100)がΣ[k=1→100]a_k=100を満たしている。このとき、S=Σ[k=1→100](a_k)^3の最大値を求めよ。

No.27612 - 2014/07/04(Fri) 20:07:55

Re: / みずき
a_1,a_2,・・・,a_100のうちにある
1の個数、2の個数、-nの個数をそれぞれp,q,rとすると、
p+q+r=100 および 1*p+2*q+(-n)*r=100
から、p=100-2r-nr,q=(n+1)r

よって、
S=p*1^3+q*2^3+r*(-n)^3
=p+8q-rn^3
=(100-2r-nr)+8(n+1)r-rn^3
=(-n^3+7n+6)r+100
=-(n+1)(n+2)(n-3)r+100

ところで、
0≦p,q,r≦100により、0≦r≦100/(n+2)

以上により、答えは次のようになります。
n=1のとき、Sの最大値は、-2*3*(-2)*[100/(1+2)]+100=496 (p=1,q=66,r=33)
n=2のとき、Sの最大値は、-3*4*(-1)*[100/(2+2)]+100=400 (p=0,q=75,r=25)
n≧3のとき、Sの最大値は、-(n+1)(n+2)(n-3)*0+100=100 (p=100,q=r=0)

No.27613 - 2014/07/04(Fri) 20:41:41

Re: / ヒキニート
なぜ、0≦r≦(100)/(n+2)なんですか?
No.27614 - 2014/07/04(Fri) 21:36:39

Re: / みずき
> なぜ、0≦r≦(100)/(n+2)なんですか?

0≦p≦100 かつ 0≦q≦100 かつ 0≦r≦100
から導けます。

No.27615 - 2014/07/04(Fri) 21:40:33
可分なHilbert空間 / ハオ
無限次元Hilbert空間Hにおいて、Hの可算個の要素φ_1,φ_2,...が存在して、すべてのu∈Hが
u=Σ_(k=1〜∞) c_kφ_k , c_k∈C(複素数全体の集合)
のように表されるとしてみよう。
すると{φ_k}の線形結合Σ_(k=1〜r) α_kφ_k ,α_k∈Cの全体(= L({φ_k})はHで稠密である。
と書いてあり、このことの確認をしてみようと思ったのですがうまくいきません。

位相空間の稠密の定義に従って、各元u∈Hに対してその任意の近傍が少なくとも一つのv∈L({φ_k})が含むことを示そうとしました。
そこで、uのε近傍はN_ε(u):={x∈H | d(u,x)<ε}だから まずd(u,v) (v∈L({φ_k})を計算しました。
d(u,v) := || u - v || =(<u-v,u-v>)^(1/2)
=<Σ_(j=1〜∞) c_jφ_j - Σ_(j=1〜r) α_jφ_j , Σ_(k=1〜∞) c_kφ_k - Σ_(k=1〜r) α_kφ_k>^1/2
=(Σ_(j=1〜r) |c_j-α_j|^2 + Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2)^1/2
となると思います。
そこで、任意のu∈Hに対して c_j=α_j(j=1,...,r)となるα_jをとれば
d(u,v)=(Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2)^1/2 となります。
しかしこれでは、任意のε>0に対して、∃v∈L({φ_k}) s.t. v∈N_ε(u)となることは言えないです。
実際u∈Hは任意だからc_jも任意でありどんなε>0に対しても
(Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2)^1/2 < ε となるとは限らない。
アドバイスお願いします。

No.27609 - 2014/07/04(Fri) 19:36:40

Re: 可分なHilbert空間 / ハオ
書き忘れましたが、φ_1,φ_2,...は正規直交性をもっているものとします。
No.27611 - 2014/07/04(Fri) 19:56:20

Re: 可分なHilbert空間 / ast
話が迷走していますね. ハオさんのやり方だと, v をとって d(u,v) の計算をしてみてから, 計算しやすいように v を u の部分和にしているため, 最初に v を取った時点での r を最後まで固定したまま話をしてしまっていませんか.

各 u にうまく v を決めて, という話なのでもちろん r の値をどうするのかということもうまくとることの中に含まれます.

任意の u ∈ H を u = Σ_[j=1,...] c_j*φ_j と書けば, その部分和 u_r = Σ_[j=1,...,r] c_j*φ_j の列によっていくらでも近似できるというのがここでの稠密性の議論です. r はちゃんと動かして, ε に対して残りの部分 (Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2)^1/2 が小さくなるように r は十分大きくとるという議論の運びをしなければいけません.

No.27616 - 2014/07/05(Sat) 00:04:06

Re: 可分なHilbert空間 / ハオ
astさんありがとうございます。
確かに僕が書いたことは天下り的な内容で証明の体をなしていないと気づきました。
そして、rの値を固定してしまっているのも問題だとわかりました。
ですから、astさんの議論の運びを参考にして

任意のu(=Σ_[j=1,...] c_j*φ_j) ∈H と任意のε>0に対して、
(Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2)^1/2 <ε を満たすように初めにrを決めて、
v=Σ_(j=1〜r) α_j*φ_j (ただし、 α_j=c_j(j=1,...,r)とする)と取れば
d(u,v) := || u - v || =(<u-v,u-v>)^(1/2)
    =(Σ_(j=1〜r) |c_j-α_j|^2 + Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2)^1/2
    =(Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2)^1/2
<ε
となる。
従ってu∈Hの任意の近傍はv∈L({φ_k})を含む。
というような証明の流れを考えました。

しかし、ここで疑問なのは上のような有限の値rが存在する保証があるのかということです。
有限の値rが存在するためには、
Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2 が収束する必要があると思うのですが任意のu∈Hに対して、Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2が収束するとは限りませんよね?
その場合、有限の値rは取れない気がします。
(例えば、|c_j|=10(j=r+1,r+2,...)の場合を考えると、どんなrを取ったとしても
(Σ_(j=r+1〜∞) |c_j|^2)^1/2 > 10 となってしまいますよね?)

何か勘違いしてる気がするのですが、どこをどう勘違いしているのか中々気付けません。数学の本を読んでいても結構な頻度で勘違いをしてしまいます。
アドバイスお願いします。

No.27617 - 2014/07/05(Sat) 02:31:07

Re: 可分なHilbert空間 / ast
> というような証明の流れを考えました。
悪い議論運びが全く直っていないと思います. そもそも「初めに v や r をとる」という発想はやめたほうがいいです. 既に述べているように, 部分和は u 自身に収束するので十分大きな r まで展開したものを v とすればよい, つまり「こういうふうにやれば < ε となるように r が取れる」という趣旨の文が結びに来なければいけません.

> 従ってu∈Hの任意の近傍はv∈L({φ_k})を含む。
もちろん, これで任意の近傍に入ると結論できるのは, ε-近傍が基本近傍系を成すからなので, 一言くらい断るべきだと思います.

> 疑問なのは上のような有限の値rが存在する保証があるのかということ
H において任意の u が可算線型結合に書けるという主張には, もちろん, 部分和の列の (その内積の導く距離空間の位相に関する) 収束性の議論も含まれます (つまり, 形式的無限級数の空間を考えているのでは全くない). すなわち, u に対して上でわたしが取った部分和の列 {u_r} は必ずコーシー列になります. それが保証です.

# 解析学は苦手なので, これ以上分かり易く説明するのは私にはたぶん無理です.
# 分かりにくい場合は, 解析学の初歩を扱ったテキストを参照してください.

No.27626 - 2014/07/05(Sat) 20:14:23

Re: 可分なHilbert空間 / ハオ
ありがとうございます。
>つまり, 形式的無限級数の空間を考えているのでは全くない
この一文ですべて納得できました。

No.27634 - 2014/07/06(Sun) 19:56:19
「リーマン予想」について / jt77877
リーマン予想をウィキペディアで見ましたが全然理解に
苦しみますしわかりません。
ただ??わかっているのはアマゾンで因数分解の本を
探していたら本のタイトルの一部に「 リーマン予想を解こう~新ゼータと因数分解からのアプローチ」とありましたので
「 リーマン予想と因数分解」になにか?因果関係があると
思い質問しました。
では数学に詳しい方々よろしくお願いします。

No.27608 - 2014/07/04(Fri) 18:10:03

Re: 「リーマン予想」について / jt77877
あのおおリーマン予想をウィキペディアで調べてみたの
ですが正直難しいです。
誠に申し訳ないのですが簡単にわかりやすく
教えてくださる方いませんでしょうか?
よろしくお願いしいます。

No.27649 - 2014/07/08(Tue) 15:29:11
例題をつくれ / 酒井
平面上に3本の半直線L1、L2、L3が与えられ、どの2本も互いに交わらないとする。このとき、ある1本の半直線と他の2本以上の半直線を分離する直線が存在しない例をつくれ。

全くわからないのでどなたか教えてください。

No.27605 - 2014/07/04(Fri) 13:44:14

Re: 例題をつくれ / らすかる
問題は正しいですか?
全部で3本しかないのですから、
「ある1本の半直線と他の2本以上の半直線を分離する」というのは
「ある1本の半直線と他の2本の半直線を分離する」と同じなので
不自然だと思います。

No.27606 - 2014/07/04(Fri) 15:29:03

Re: 例をつくれ / ヨッシー

とりあえず、「2本の」ということで。

No.27607 - 2014/07/04(Fri) 15:41:49
(No Subject) / すずね

すごくシンプルな問題なのですが、


2y^2−3y=0

このyの値を求めることはできますか?
ぜんぜんできなくて・・・汗
なにをいれても0にならないです・・・

No.27601 - 2014/07/03(Thu) 21:48:55

Re: / IT
因数分解は分かりますか?
2y^2−3y=y(2y-3)=0
よってy=0、3/2

No.27602 - 2014/07/03(Thu) 21:53:48

Re: / すずね

わぁ1.5ですかっ(^u^)♪
めっちゃすっきりしましたぁありがとうございます♪

No.27604 - 2014/07/03(Thu) 22:17:44
長期費用曲線について / りん
できれば至急教えていただきたいです(>_<)


ある産業内の全部の企業がプライステイカーで、
おなじ長期費用関数

𝐶 = 𝑦^3 −3𝑦^2 + 6𝑦 (𝐶:総費用、𝑦:生産量)

であるとき、この産業の
長期均衡価格と長期均衡における生産量を求めてみよう


という問題です。
なかなか解けなくて困っています(泣)

長期均衡においては
市場価格=長期限界費用=長期平均費用となるので
長期限界費用と長期平均費用を求めて
両方が等しくなる生産量を求めればいいと思うのですが…

長期平均費用は
長期費用関数を生産量で割ったものだから、
𝐶 = 𝑦^2 −3𝑦 + 6
になる思います。

そして次に
長期限界費用を求めようと思って、
長期費用関数を生産量で微分したいのですが
どうしてもできなくて困っています(泣)
ネットで散々、微分の仕方を検索して解こうとやっているのですができません(泣)

𝐶 = 𝑦^3 −3𝑦^2 + 6𝑦 (𝐶:総費用、𝑦:生産量

↑↑長期費用関数を生産量で微分したらどうなるか教えてください!あと私の解き方が果たしてあっているのか、説き方も教えていただけないでしょうか?よろしくお願いいたします!!!

No.27600 - 2014/07/03(Thu) 21:01:43

Re: 長期費用曲線について / りん

いま自分で微分して解けました(苦笑)
ありがとうございました、失礼いたします!

No.27603 - 2014/07/03(Thu) 22:14:32
(No Subject) / たぬき
nの正の正数とし、n個のボールを3つの箱に分けていれる問題を考える。ただし、1個のぼーるも入らない箱があってもよいとする。次に述べる4つの場合についてそれぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい。?@1からnまで異なる番号のついたn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱にいれる場合その入れかたは全部でいくつか?A互いに区別のつかないn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱にいれる場合、その入れかたは全部で何通りか?B1からnまで異なる番号のついたn個のボールを区別のつかない3つの箱にいれる場合、その入れかたは全部で何通りか?Cnが6の倍数6mであるとき、n個の互いに区別のつかないボールを区別のつかない3つの箱にいれる場合その入れかたは全部で何通りかよろしくお願いいたします。
No.27599 - 2014/07/03(Thu) 19:43:56
(No Subject) / 山田うどん
aは定数とする。xについての方程式(cos^2)x+2asinx-a-1=0の0≦x<2πにおける異なる実数解の個数を求めよ。 こちらの問題の途中式と解答を教えてください。
No.27596 - 2014/07/03(Thu) 14:13:22

Re: / みずき
「(cos^2)x」というのが「(cosx)^2」のことだとして回答します。

(cosx)^2=1-(sinx)^2なので、与方程式は次と同値です。
a(2sinx-1)=(sinx)^2
sinx=1/2はこの方程式の解ではないので、
a=(sinx)^2/(2sinx-1)=t^2/(2t-1)=f(t) ・・・A
(sinx=tとおいた。ただし、-1≦t≦1かつt≠1/2)

f'(t)=2t(t-1)/(2t-1)^2
により、増減を調べてグラフを描いて、
Aの解tを考えると、答えは以下のようになります。

a<-1/3のとき、2個
a=-1/3のとき、3個
-1/3<a<0のとき、4個
a=0のとき、2個
0<a<1のとき、0個
a=1のとき、1個
a>1のとき、2個

No.27610 - 2014/07/04(Fri) 19:52:44
(No Subject) / べーす
こちらの問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.27594 - 2014/07/03(Thu) 10:34:27

Re: / X
(1)
まず積分範囲について場合分けをして
絶対値を外すことにより
f(x)を具体的に計算します。

(i)x<0のとき
f(x)=3∫[x-1→x](t-t)(t-t-1)dt
=0
(ii)0≦x<1のとき
f(x)=3∫[x-1→0](t-t)(t-t-1)dt+3∫[0→x](t+t)(t+t-1)dt
=3∫[0→x]2t(2t-1)dt
=4x^3-3x^2
(iii)1≦xのとき
f(x)=3∫[x-1→x](t+t)(t+t-1)dt
=3∫[x-1→x]2t(2t-1)dt
=4x^3-3x^2-4(x-1)^3+3(x-1)^2
=-4(-3x^2+3x-1)+3(-2x+1)
=12x^2-18x+7
これに従ってグラフを描きます。
但し(ii)については微分をして
増減表を書く必要があります。

(2)
求める面積をSとすると(1)の結果により
S=-∫[0→3/4](4x^3-3x^2)dx=…

No.27597 - 2014/07/03(Thu) 14:34:40
(No Subject) / べーす
こちらの問題を教えてください。
No.27593 - 2014/07/03(Thu) 10:32:13

Re: / ヨッシー
(1)
α−β=2θ, α+β=3θ をα、βについて解いて、α=5θ/2, β=θ/2
(2)
cos(α−β)=cos(α+β) ということですから、加法定理より
 cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ−sinαsinβ
これより
 sinαsinβ=0
sinα=0 のとき 0≦α=5θ/2≦5π/2 より
 α=0,π,2π よって、θ=2α/5 より、θ=0,2π/5, 4π/5
sinβ=0 のとき 0≦β=θ/2≦π/2 より
 β=0 よって θ=0
以上より、θ=0,2π/5, 4π/5
(3)
cos(2θ)=2cos^2θ−1, cos(3θ)=4cos^3θ−3cosθ より
 2cos^2θ−1=4cos^3θ−3cosθ
x=cosθ と置いて整理すると
 4x^3−2x^2−3x+1=0
 (x-1)(4x^2+2x-1)=0
これを解いて、
 x=1, (-1±√5)/4
cosθ=1 が、θ=0 の時の値、
cosθ=(-1+√5)/4 が、θ=2π/5 の時の値
cosθ=(-1−√5)/4 が、θ=4π/5 の時の値
となります。
(4)

図の●の角度は π/5 ですので、
 R=1/{2sin(π/5)}
 R^2=1/{4sin^2(π/5)}
です。
 cos(π/5)=cos(π−4π/5)=−cos(4π/5)=(1+√5)/4
より、
 sin^2(π/5)=1−cos^2(π/5)=1−(3+√5)/8=(5−√5)/8
よって、
 R^2=2/(5−√5)=(5+√5)/10

No.27595 - 2014/07/03(Thu) 13:34:13
(No Subject) / tt
この問題の1で、x,yが存在する必要十分条件ってできますか?
No.27591 - 2014/07/02(Wed) 20:09:43

Re: / IT
基本的には(a^x)+(a^(2y))の最小値、最大値を求めればいいと思います.

なお、私も「ある質問が完結してから次の質問を挙げる」ようにされた方が良いと思います。

No.27592 - 2014/07/02(Wed) 20:18:11
(No Subject) / ピョコタ
この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.27586 - 2014/07/02(Wed) 13:06:38

Re: / X
(1/2)(log[a]x+log[a]y)=log[a]{√(xy)} (A)
一方、相加平均と相乗平均の関係から
(x+y)/2≧√(xy) (B)
(A)(B)から
0<a<1のとき
log[a]{(x+y)/2}≦(1/2)(log[a]x+log[a]y)
1<aのとき
log[a]{(x+y)/2}≧(1/2)(log[a]x+log[a]y)
(対数の底と不等号の向きとの対応に注意しましょう)

(2)
log[a](x+y)=log[a]x+log[a]y (A)
から真数条件により
x>0,y>0 (B)
一方(A)より
x+y=xy (C)
∴1/x+1/y=1 (C)'
(A)(C)'より
1/y=1-1/x>0
∴0<1/x<1
同様に
0<1/y<1

(3)
k=2x+yより
y=-2x+k (D)
一方(C)より
y=1+1/(x-1) (1<x) (E)
よって求めるkの値の範囲は(D)(E)が交点を持つような
kの値の範囲となります。
そこで(D)(E)のグラフを描いてみると、
(D)(E)が接するときのkの値をKとしたとき、
求めるKの値の範囲は
k≧K
となることが分かります。
ということで(D)(E)のグラフが接するときのkの値を
求めましょう。
((D)(E)からyを消去してできるxの二次方程式において
解の判別式に対する条件を使います。)

(4)
(C)より
(x-1)(y-1)=1
(2)の結果より
x>1,y>1
に注意すると
(x-1,y-1)=(1,1)
∴(x,y)=(2,2)

No.27588 - 2014/07/02(Wed) 14:11:45
(No Subject) / かねき
sinθ+cosθ=(√2)/2のとき、[5(sin^5θ+cos^5θ)]/(sin^3θ+cos^3θ)-2(sin^4θ+cos^4θ)の値を求めたいのですが、途中式を含め教えてください。
No.27585 - 2014/07/02(Wed) 12:08:15

Re: / X
sinθ+cosθ=(√2)/2
の両辺を二乗して左辺を展開することにより
sinθcosθ=-1/4
よって
x=sinθ,y=cosθ
と置くと問題は
x+y=1/√2
xy=-1/4
のときに
5(x^5+y^5)/(x^3+y^3)-2(x^4+y^4)
の値を求める、という対称式の計算問題になります。
ということで、教科書か問題集の対称式の項目を
調べてみて下さい。

No.27587 - 2014/07/02(Wed) 13:58:19
(No Subject) / tt
[(1+√5)/2]^100の小数第100位をもとめよ。
No.27567 - 2014/07/01(Tue) 17:46:08

Re: / らすかる
問題は正しいですか?
No.27575 - 2014/07/01(Tue) 23:18:31

Re: / 黄桃
計算機に[(1+√5)/2]^100を計算してもらったら、

792070839848372253126.
99999999999999999999873748666193615705781097729396
03928514896159604024526148753409109374696321707159...

となったので、9です。

#普通は小数第10位くらいで、9となるのが相場ですが(らすかるさんも同様にお考えのようです)
#出典はなんですか?

No.27577 - 2014/07/01(Tue) 23:50:24
複素数平面 / nadenade
3点A(α),B(β),C(γ)を頂点とするΔABCは
iα+(1-i)β-γ=0
を満たしている。

ΔABCが正三角形、かつ、ΔABCとΔABDが重ならないように
点D(δ)をとる。α=-2+i, γ=5のとき、β、γ、BCとBDのなす角θを求めよ。

よろしくお願い致します。

No.27564 - 2014/07/01(Tue) 16:26:30

Re: 複素数平面 / X
問題文にタイプミスはありませんか?
この問題文通りならDは直線ABに関してCと反対側にあれば
任意の点に取れてしまいます。

No.27565 - 2014/07/01(Tue) 16:38:10

Re: 複素数平面 / nadenade
すみません。タイプミスです。

3点A(α),B(β),C(γ)を頂点とするΔABCは
iα+(1-i)β-γ=0
を満たしている。

ΔABDが正三角形、かつ、ΔABCとΔABDが重ならないように
点D(δ)をとる。α=-2+i, γ=5のとき、β、γ、BCとBDのなす角θを求めよ。

よろしくお願い致します。

No.27627 - 2014/07/05(Sat) 22:21:22

Re: 複素数平面 / X
どこも訂正されていませんが
どこがタイプミスだったのですか?。

No.27645 - 2014/07/07(Mon) 15:16:36
(No Subject) / ヒキニート
x^5+15xy+y^5=1の整数解を求めよ。
No.27557 - 2014/07/01(Tue) 13:17:16

Re: / ヒキニート
全て求めよ。です
No.27559 - 2014/07/01(Tue) 13:40:49

Re: / みずき
まずは、x≧yのもとで解きます。
x=yのとき、2x^5+15x^2=1は整数解を持たないので、x>yとします。
以下では、3つの場合に分けて考えます。

(?T)xy=0のとき。
(x,y)=(1,0)を得ます。

(?U)xy<0のとき。
x>yにより、x>0,y<0
yを-yに置き換えることで、次を得ます。
x^5-15xy-y^5=1 (ただし、x,y≧1)
すると
15xy+1
=x^5-y^5
=(x-y){x^4+y^4+xy(x^2+y^2)+x^2y^2}
≧5(x-y)x^2y^2
∴15xy+1≧5(x-y)x^2y^2
⇒3+1/(5xy)≧(x-y)xy
⇒3≧(x-y)xy
⇒3/(xy)≧x-y
⇒x-y=1 かつ 2≦xy≦3 (∵xy≧2,1≦x-y)

x-y=1かつxy=3は整数解を持ちません。
x-y=1かつxy=2⇒(x,y)=(2,1),(-1,-2)
これらはともにx^5-15xy-y^5=1を満たすので、
x>yに注意して、この場合の解は(x,y)=(2,-1)のみ。

(?V)xy>0のとき。
x,y<0であることが必要。
(x,y)を(-x,-y)に置き換えることで、次を得ます。
x^5+y^5=15xy-1 (ただし、1≦x<y)
ところが、xy≧2かつx+y≧2x+1≧3 に注意すると、
15xy-1
=x^5+y^5
=(x+y){x^4+y^4-xy(x^2+y^2)+x^2y^2}
=(x+y){(xy+x^2+y^2)(x-y)^2+x^2y^2}
≧(x+y){(xy+x^2+y^2)+x^2y^2}
≧(x+y)(3xy+x^2y^2)
=(x+y)(3+xy)xy
≧3*(3+2)xy
=15xy
により、15xy-1≧15xyを得ますが、これは矛盾。
よって、この場合、解はありません。

以上により、求める整数解は、x<yの場合も考慮して、
(x,y)=(1,0),(0,1),(2,-1),(-1,2)

No.27566 - 2014/07/01(Tue) 16:59:30

Re: / kizumi
みずき 様 

凄いですね!

No.27598 - 2014/07/03(Thu) 18:39:30
(No Subject) / おい

xyz空間に原点oを中心とする半径1の球体G がある。またy=1-x^2 z=0をz軸方向に平行移動して 得られる曲面によりxyz空間を二つに分けた時 oを含まない方をTとする。GとTの共通部分の体積





V=4∫[0,1]dx∫[1-x²,√(1-x²)]√{(1-x²)-y²}dy
=4∫[0,1]dx[(1/2){y√((1-x²)-y²)+(1-x²)sinˉ¹(u/√(1-x²)}][1-x²,√(1-x²)]
=2∫[0,1]{(π/2)(1-x²)-(1-x²)x√(1-x²)-(1-x²)sinˉ¹(√(1-x²))dx
=2∫[0,1](1-x²){(π/2)-x√(1-x²)-sinˉ¹√(1-x²)}dx
=2{A-B-C}

A=π/3
B=1/5
C=-3/4-1/36

V=2(A-B-C)=2π/3+52/45

体積の問題です。一行目の途中にあるdxは何を言ってるんでしょう?
一行目がわかれば計算していくだけだと思うのでわかります
お願いします!

No.27548 - 2014/06/30(Mon) 23:31:37

Re: / ast
一部の分野では, ∫∫f(x,y)dxdy を ∫[∫f(x,y)dy]dx と (累次積分として) 計算する際に, 積分変数に誤解のないように ∫dx∫f(x,y)dy と書くという慣習があります. 2行目から3行目に移ったときにどうなっているかよく確認してください.
No.27549 - 2014/06/30(Mon) 23:58:51

Re: / おい
ありがとうございます。
No.27550 - 2014/07/01(Tue) 00:15:31
三角関数(^ω^) / ころ

直角三角形で、底辺or高さが分かってるとき、斜辺の求め方を教えて下さい。
三角関数でお願いします。
勉強したてなので、解説も頂けると嬉しいです(^ω^)

No.27544 - 2014/06/30(Mon) 23:10:44

Re: 三角関数(^ω^) / ヨッシー
直角三角形がどんなふうに置かれているか、大体見当は付きますが、念のために
ある角をθと置いて、sinθ、cosθ を、底辺、高さ、斜辺で表してみてもらえますか?

No.27545 - 2014/06/30(Mon) 23:21:56
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