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★ (No Subject) / みっちー

半径2の円Cがあり、その中心をO。点Oから4だけ離れた点Pから、円Cに2本の接線を引く。2つの接点をA、A'とするとき、線分AP=2√3である。
また、円C上に角POB=90°となる点Bをとり、直線BPと円Cとの交点のうちBと異なる点から線分OPに垂線を下ろす。この垂線と線分OPとの交点をHとするときのPHの長さを求めよ。

教えてくださいm(_ _)m
No.27717 - 2014/07/15(Tue) 21:03:15
☆ Re: / X
条件から
cos∠OBP=1/√5
ここで線分BPと円CとのB以外の交点をD
OからBPに下ろした垂線の足をEとすると
△OBE≡△ODE
∴BD=2BE=OBcos∠OBP=1/√5
となるので
PD=BP-BD=(4/5)√5
後は
△OBP∽△PDH
であることから相似比を使います。
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.27718 - 2014/07/15(Tue) 21:31:16
★ (No Subject) / かねき
こちらの問題を教えてください。
よろしくお願いします。
No.27713 - 2014/07/15(Tue) 14:06:45
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ｎ＝１ とすると
　ａ1^2＝ａ1^3
より、ａ1＝１
ｎ＝２ とすると、
　(ａ1＋ａ2)^2＝ａ1^3＋ａ2^3
　(１＋ａ2)^2＝１^3＋ａ2^3
　ａ2^2＋２ａ2＋１＝１＋ａ2^3
　ａ2^3−ａ2^2−２ａ2＝０
　ａ2(ａ2^2−a2−２)＝０
より、ａ2＝２
ｎ＝３ とすると
　(ａ1＋ａ2＋ａ3)^2＝ａ1^3＋ａ2^3＋ａ3^3
　(３＋ａ3)^2＝９＋ａ3^3
　ａ3^2＋６ａ3＋９＝９＋ａ3^3
　ａ3^3−ａ3^2−６ａ3＝０
より
　ａ3＝３
これらより、ａn＝ｎ と推定できる。

(2)
ａ1＝１　より、ｎ＝１ のとき ａn＝ｎ を満たす。
ｎ＝ｔ（ｔは自然数) のとき、ａt＝ｔ とすると、ｎ＝ｔ＋１ のとき
　(ａ1＋ａ2＋・・・＋ａt＋ａ[t+1])^2＝ａ1^3＋ａ2^3＋・・・＋ａt^3＋ａ[t+1]^3
　{t(t+1)/2＋ａ[t+1]}^2＝t^2(t+1)^2/4＋ａ[t+1]^3
　ａ[t+1]^2＋t(t+1)ａ[t+1]＋t^2(t+1)^2/4＝t^2(t+1)^2/4＋ａ[t+1]^3
　ａ[t+1]^3−ａ[t+1]^2−t(t+1)ａ[t+1]＝０
　ａ[t+1](ａ[t+1]＋ｔ)(ａ[t+1]−ｔ−１)＝０
よって、
　ａ[t+1]＝ｔ＋１
・・・・・・
No.27715 - 2014/07/15(Tue) 15:25:10
★ (No Subject) / かねき
画像の問題を教えてください。
No.27712 - 2014/07/15(Tue) 14:05:37
☆ Re: / みずき
(1)
f(x)=x+1/x^2とおくと、f'(x)=1-2/x^3=(x^3-2)/x^3なので、
x＞0において増減表を描くと、f(x)≧f(2^(1/3))=(3/2)*2^(1/3)
よって、示されました。等号成立は、x=2^(1/3)のときのみ。

(2)(?@)
漸化式により、任意のnに対して、a[n]＞0
よって、(1)より、a[n+1]≧2^(1/3)
任意のnに対して、a[n]は有理数なので、
a[n+1]=2^(1/3)となるようなnは存在しません。
よって、n≧1で、a[n+1]＞2^(1/3)

一方、
a[n]-a[n+1]
=a[n]-(2/3)(a[n]+1/(a[n])^2)
={(a[n])^3-2}/{3(a[n])^2}
＞{(2^(1/3))^3-2}/{3(a[n])^2} （∵ a[1]=2＞2^(1/3)とより、n≧1でa[n]＞2^(1/3)）
=0
∴ a[n]＞a[n+1]

(?A)
a[n+1]-2/(a[n])^2
=(2/3)(a[n]+1/(a[n])^2)-2/(a[n])^2
=(2/3)(a[n]-2/(a[n])^2)
＜(2/3)(a[n]-2/(a[n-1])^2) （∵ a[n-1]＞a[n]）
∴ a[n+1]-2/(a[n])^2＜(2/3)(a[n]-2/(a[n-1])^2)


(?B)
a[n+1]-2/(a[n])^2
=(2/3)*{((a[n])^3-2)/(a[n])^2}
＞0　（∵ a[n]＞2^(1/3)）
∴ a[n+1]-2/(a[n])^2＞0

一方、(?A)により、
a[n+1]-2/(a[n])^2
≦(2/3)(a[n]-2/(a[n-1])^2)
≦(2/3)^2(a[n-1]-2/(a[n-2])^2)
・・・
≦(2/3)^(n-1)(a[2]-2/(a[1])^2)
=(2/3)^(n-1)(3/2-2/(2)^2)
=(2/3)^(n-1)
∴ a[n+1]-2/(a[n])^2≦(2/3)^(n-1)
No.27716 - 2014/07/15(Tue) 19:40:28
★ (No Subject) / tt
y=tx-t^2(t≦x≦√3/2)
を0≦t≦1/2までうごかすとき.xy平面に通る領域を図示せよ。
No.27708 - 2014/07/15(Tue) 11:43:51
☆ Re: / ヨッシー
y=tx-t^2(t≦x≦√3/2)
は、２点(t, 0), (√3/2, (√3/2)t-t^2) を結ぶ線分を表し、
tの値によって、無数に存在します。

ｙ軸に平行な直線ｘ＝ｋ で、この領域を切ったとき、直線 ｘ＝ｋ と
交わる線分は、
　０≦ｋ≦1/2　のとき
　　０≦ｔ≦ｋ　に該当する線分群
　1/2＜ｋ≦√3/2 のとき
　　0≦t≦1/2　に該当する線分群
となります。
直線ｘ＝ｋと各線分との交点のｙ座標は
　ｙ＝ｋｔ−ｔ^2＝−(ｔ−k/2)^2＋k^2/4
となりますが、この最小値、最大値を求めます。
０≦ｋ≦1/2　のとき
　０≦ｔ≦ｋ におけるｙの最大値は
　ｔ＝k/2 のとき、k^2/4
　最小値はｔ＝０，ｋ のとき ０
1/2＜ｋ≦√3/2 のとき
　０≦t≦1/2　におけるｙの最大値は
　ｔ＝k/2 のとき、k^2/4
　最小値は　ｔ＝０ のとき ０
以上より、求める領域は、
(0,0) と (√3/2, 0) を結ぶ線分
(√3/2, 0) と (√3/2, 3/16) を結ぶ線分
(0,0) と (√3/2, 3/16) を結ぶ y=x^2/4 で表される曲線
で囲まれた部分となります。
No.27727 - 2014/07/16(Wed) 10:04:48
★ (No Subject) / はまもと

nを正の整数とする。1から2nまでの整数がそれぞれ1つずつ書かれた2n枚のカードがある。この2n枚のカードから1枚を抜き出し、抜き出したカードに書かれた数をaとする。次に、残りの2n-1枚のカードからもう1枚を抜き出し、抜き出したカードに書かれた数をbとする。直線(√2)ax+by=√(3ab)をlとし、原点を中心とする半径1の円をCとする。
(1)直線lと円Cが1点のみを共有する確率をnの式で表せ。
(2)直線lと円Cが共有点をもたない確率をnの式で表せ。
解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.27706 - 2014/07/15(Tue) 00:26:17
☆ Re: / ヨッシー
原点とｌまでの距離ｄは、
　ｄ＝√(3ab)/√(2a^2＋b^2)
と書けます。
(1)
ｄ＝１ となる確率なので、
　2a^2＋b^2＝3ab
　2a^2−3ab＋b^2＝0
　(2a-b)(a-b)＝0
より、a=b または b=2a
a=b となることはないので、b=2a となるのは、a=1からa=n の
ｎ通り。
カードの引き方は 2n(2n-1) 通りなので、求める確率は
　ｎ/2n(2n-1)＝1/2(2n-1)
(2)
ｄ＞１ となる確率なので・・・(以下略)
　
　
　
No.27707 - 2014/07/15(Tue) 01:31:03
★ (No Subject) / はまもと
不等式-x*2+(a+2)x+a-3<y<x*2-(a-1)x-2…(＊)を考える。ただし、x、y、aは実数とする。このとき、
「どんなxに対しても、それぞれ適当なyをとれば不等式(＊)が存在する」
ためのaの値の範囲を求めよ。また、
「適当なyをとれば、どんなxに対しても不等式(＊)が成立する」
ためのaの値の範囲を求めよ。

解き方がわからないので教えていただけますか？
No.27705 - 2014/07/15(Tue) 00:24:32
☆ Re: / X
回答の前に掲示板での数式の書き方について。
例えば「xの二乗」は
x^2
と書きます。
x*2
は「x×2」と同じ意味になります。
(^はキーボード上にありますので探してみて下さい)

で回答ですが、方針だけ。
前半)
これは任意の実数xに対し
-x^2+(a+2)x+a-3＜x^2-(a-1)x-2
が成立すればよいですので整理して
2x^2-(2a+1)x-a+1＞0
なるxの二次不等式の解が任意の実数になる
条件を求めればよいことになります。

後半)
前半とよく似ている文章ですが、この場合は
任意の実数xに対してyの値は一つに固定されている
ところが異なります。
で、方針ですが
y=-x^2+(a+2)x+a-3 (A)
のグラフが上に凸の放物線
y=x^2-(a-1)x-2 (B)
のグラフが下に凸の放物線
であることから求める条件は
(A)(B)のグラフと交点を持たないような
x軸平行の直線
y=b(bは定数)
が少なくとも一本引けるための条件
ですので
((A)の頂点のy座標)＜((B)の頂点のy座標)
となります。

前半、後半いずれについても(A)(B)のグラフを描いて
考えましょう。
No.27709 - 2014/07/15(Tue) 12:27:22
★ 余弦定理 / さかなくん
答えがなく、分かりません。
合っていますでしょうか？
No.27699 - 2014/07/14(Mon) 03:00:29
☆ Re: 余弦定理 / らすかる
もっと簡単にできます。
カッコ内を一つの分数にして
分子を因数分解しましょう。
No.27701 - 2014/07/14(Mon) 03:25:44
☆ Re: 余弦定理 / さかなくん
出来ました。
これで合ってますかね？
ありがとうございました。
No.27702 - 2014/07/14(Mon) 13:36:25
☆ Re: 余弦定理 / らすかる
はい、正解です。
No.27703 - 2014/07/14(Mon) 16:02:35
☆ Re: 余弦定理 / さかなくん
因みにテストで写真１のような回答を書いて提出した場合。
×ですか？
また、部分点などもらえる可能性はあるのでしょうか？
No.27710 - 2014/07/15(Tue) 13:26:01
☆ Re: 余弦定理 / らすかる
「なるべく簡単な式で表しなさい」という問題ですから、
×となり、部分点ももらえないと思います。

# 代入しただけでまったく簡略化されておらず、
# 元の式の方が「簡単」ですから、「簡単な式」という
# 目的が全く達成されていませんね。
No.27714 - 2014/07/15(Tue) 14:48:06
★ (No Subject) / tt
余弦定理と正弦定理ってでてくる条件は同じなのでしょうか。
No.27696 - 2014/07/13(Sun) 22:01:48
☆ Re: / angel
同じですね。(sinθ)^2+(cosθ)^2=1 の関係を使うことで、余弦定理⇒正弦定理も示すことができます。
※つまり、余弦定理を平方した形から(sinθ)^2を作り出す、と。

s=(a+b+c)/2, S=√( s(s-a)(s-b)(s-c) ) と置き、余弦定理を整理することで、sinA=2S/(bc), sinB=2S/(ca), sinC=2S/(ab) を導くことができます。
そのため、a/sinA=b/sinB=c/sinC=abc/(2S) と正弦定理になります。
※なお、外接円の半径 R=abc/(4S) です。
No.27697 - 2014/07/14(Mon) 00:43:02
★ 数検二級問題 / さかなくん
どの様に解くのか、方針がたちません。
No.27691 - 2014/07/13(Sun) 14:23:26
☆ Re: 数検二級問題 / らすかる
逆さまなのでちゃんとした方向にして欲しいです。
No.27692 - 2014/07/13(Sun) 15:12:31
☆ Re: 数検二級問題 / IT
p^s≧2^2=4 より q^t≦100、q^2≦100、q≦10なので
q=3,5,7について　調べれば良いと思います。
No.27695 - 2014/07/13(Sun) 17:41:37
☆ Re: 数検二級問題 / さかなくん
写真の方は失礼しました。

すいません、まだ分かりません。
No.27698 - 2014/07/14(Mon) 02:55:15
☆ Re: 数検二級問題 / らすかる
以下の説明はITさんが書かれていることと全く同じです。
pは素数なので2以上、sは条件から2以上なのでp^sは4以上
p^s・q^tが100以上400以下でp^sが4以上なのでq^tは100以下
q^2が100より大きいとq^tも100より大きいので
少なくともq^2が100以下でなければならない。
ということはqは10以下でなければならないので、
2より大きく10以下の素数すなわち3,5,7のどれか。

(以下追加)
p＜qなので、あり得るp,qの組合せは
(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)
しかしpq＞20だと(pq)^2＞400だからp^s・q^t＞400となって不適。
よって(3,7)と(5,7)は除外される。
sとtは2以上で互いに素だから、最小で2と3。
よって(3,5)だと3^2×5^3＞3^3×5^2＞20×20=400となり不適。
残りは(2,3),(2,5),(2,7)の3つなので
s,tに小さい数から順に当てはめて計算しましょう。
No.27700 - 2014/07/14(Mon) 03:20:47
☆ Re: 数検二級問題 / さかなくん
このような問題は初めてやりましたので、細かく解説がないとわかりませんでした。

すべての場合で考えてみるんですね。
sとtは2以上で互いに素だから、最小で2と3なのでそれを
使い３つは解けました。

もう一つが少し悩みましたが、sとtを５と３にして、２＾５×３＾２＝２８８としてみました。

このようなやり方で大丈夫ですよね？

噛み砕いたご解説ありがとうございましたm(_ _)m
No.27711 - 2014/07/15(Tue) 13:57:33
★ 数IA / ふぇるまー
?@　次の条件満たす自然数は?
3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると5余る3桁の最小の数

?A2次関数 y=2x^2-4ax+3の0≦x≦1における最小値と最大値=?

?B三角形ABCにおいて、BC=√7,AC=3,AB=2のときAの値は?

よろしくお願いします。
No.27686 - 2014/07/13(Sun) 10:14:33
☆ Re: 数IA / X
(2)
問題の二次関数のグラフの軸である
x=a
と定義域である
0≦x≦1
との位置関係で次の場合分けをします。
(i)a＜0のとき
(ii)0≦a＜1/2のとき
(iii)1/2≦a≦1のとき
(iv)1＜aのとき

(3)
∠Aに注目した余弦定理を使います。
No.27687 - 2014/07/13(Sun) 11:12:42
☆ Re: 数IA / らすかる
(1)
3×5=15は7で割ると1余りますので、3×5×5=75は7で割ると5余ります。
5×7=35は3で割ると2余ります。
7×3=21は5で割ると1余ります。
従って75+35+21=131は条件を満たします。
No.27688 - 2014/07/13(Sun) 11:48:27
☆ Re: 数IA / ふぇるまー
Xさま、ラスカルさまありがとうごさいます!
No.27693 - 2014/07/13(Sun) 16:43:02
★ (No Subject) / ヒキニート
数?TAの教科書にありましたねww

ちなみに、x、yの3次式のところをy=xのときも成り立つからy=xを代入してxの3次式としてもいいのですか？
No.27685 - 2014/07/12(Sat) 21:17:12
★ (No Subject) / ヒキニート
x^n + y^n + z^n - nxyzがx+y+zで割り切れるような正の整数nを求めよ。
No.27679 - 2014/07/12(Sat) 19:54:31
☆ Re: / ヒキニート
右辺は3次式ではなく、2次式ではないでしょうか？
No.27680 - 2014/07/12(Sat) 19:55:20
☆ Re: / らすかる
xy^2はxについて1次式、yについて2次式ですが、全体としては3次式です。
No.27681 - 2014/07/12(Sat) 20:02:58
☆ Re: / ヒキニート
全体として3次式とはどういう意味でしょうか？中学校で習わなかった気がします。
No.27682 - 2014/07/12(Sat) 20:13:06
☆ Re: / らすかる
「全体として3次式」というのは
「最大で3個（一つの変数のn乗はn個と数える）の変数を掛けた項がある多項式」という意味です。
xy^2はx×y×yで3個掛けていますので3次です。
中学校で3次式を習うかどうかはわかりません。
No.27683 - 2014/07/12(Sat) 20:29:38
☆ Re: / IT
> 中学校で習わなかった気がします。
高校の数１の一番最初に出てくると思います。
No.27684 - 2014/07/12(Sat) 20:55:19
☆ Re: / ヒキニート

数?TAの教科書にありましたねww

ちなみに、x、yの3次式のところをy=xのときも成り立つからy=xを代入してxの3次式としてもいいのですか？
No.27689 - 2014/07/13(Sun) 13:37:34
☆ Re: / らすかる
質問の意図がよくわからないのですが、
この式はyにxを代入しても3次式のまま変わりませんが、
一般には次数が変わらない保証はありません。
No.27690 - 2014/07/13(Sun) 13:48:00
★ (No Subject) / あ
これって、ジグザグをめちゃくちゃ小さくして二点を直線で結んだようにみえるときが最小なのではないのですか？

解答は一回しか折り曲がってないのですが、そうしろとはどこにも書いてない気がします。
No.27677 - 2014/07/11(Fri) 19:59:53
☆ Re: / らすかる
ジグザグをいくら小さくして長さは変わりません。
No.27678 - 2014/07/11(Fri) 20:41:32
★ 可視性問題 / 酒井
監視カメラをいくつ使ったら部屋のすべてを監視できるかという問題で写真の問題では2個使えば監視できます。

もし五角形の各辺に三角形をはりつけた十角形で監視カメラが3台必要な例をつくれ。

写真のは理解できたのですが、五角形の問題ではうまくできません。どなたか教えてください。
No.27675 - 2014/07/11(Fri) 01:24:15
☆ Re: 可視性問題 / angel
写真の例の延長でいけるような。
写真では、四角形に三角形×4を貼り付けてカメラ2台が必要な形を作っています。
同じようにすれば、五角形に三角形×5を貼り付けてカメラ3台が必要な形にできるかと。
なぜならば、1台のカメラでは細い三角形部分を高々同時に2個分しか監視できないからです。
No.27676 - 2014/07/11(Fri) 01:55:58
★ (No Subject) / 鈴奈

あと
(P^2 / w^2) /2
ってできますか？？？・
No.27670 - 2014/07/10(Thu) 21:13:30
☆ Re: / らすかる
(P/w)^2/2を(P^2/w^2)/2にできるか、という意味なら、
通常の変数ならばできます。
No.27672 - 2014/07/10(Thu) 21:33:12
★ (No Subject) / 鈴奈


　　(P/w)^2 / 2

↑これってどうなりますか？？？
No.27668 - 2014/07/10(Thu) 20:54:57
☆ Re: / らすかる
何をしたいかによります。
No.27671 - 2014/07/10(Thu) 21:32:37
★ 高1A数学 円順列、組合せがわかりません / あおい
これの、答えは
(1)が45コ
(2)が30コ です！
あともう一つわからない問題があります↓
問 男子3人、女子3人が手をつないで輪を作るときを考える。
(1)男子が交互に並ぶ方法は何通りか？ という問題です！

どちらも、解法がわかりません！
丁寧に教えてもらえると嬉しいです。
よろしくお願いします！
No.27663 - 2014/07/10(Thu) 10:56:30
☆ Re: 高1A数学 円順列、組合せがわかりません / ヨッシー
(1)
ある１辺を１つ選べば、残り１点は辺の両端と、両隣を除いた
５点のうちの１つなので、
　９×５＝４５　（９は辺の選び方です）
(2)
２辺を共有する三角形は、頂点を１つ選べば、２辺は自動的に決まるので、９通り（９個）。
三角形の作り方は、９点から３点を選べば良いので、
　9Ｃ3＝８４
よって、辺を共有しないものは、
　８４−４５−９＝３０（個）

「男女が交互に」ですね。
男子をＡＢＣとすると、Ａから見て、Ｂが左側にいるか右側にいるかの２通り（男子の並び方）。
それに対して、それぞれの隙間に女子が入る入り方は
　３！＝６（通り）
よって、
　２×６＝１２（通り）
No.27664 - 2014/07/10(Thu) 14:53:37
☆ Re: 高1A数学 円順列、組合せがわかりません / あおい

回答解説ありがとうございます！
とてもわかりやすかったです！
ほんとうに、ありがとうございました
No.27669 - 2014/07/10(Thu) 21:08:24
★ 高校一年不等式です。 / 潤一郎
こんばんは。

基礎の基礎だと思うんですけどよろしくお願いします。

何気に先生に貰ったプリントをみていたのですが
添付の問題の答えに＝がなくなったのは
どうしてですか？

教えて下さい。
No.27660 - 2014/07/09(Wed) 21:43:40
☆ Re: 高校一年不等式です。 / らすかる
間違えただけだと思います。
No.27661 - 2014/07/09(Wed) 22:46:06
☆ Re: 高校一年不等式です。 / 潤一郎
らすかる先生へ

すぐに教えて頂いてありがとうございました。
そうですよね。

すっきりしました。又よろしくお願いします。
No.27662 - 2014/07/09(Wed) 22:58:18
★ (No Subject) / tt
これで、αとβは独立でしょうか？
従属な気がするのですが、それなら問い3の意味がよくわからなくなります。
No.27659 - 2014/07/09(Wed) 20:34:38
☆ Re: / angel
独立ですね。勿論、α・βの一方の値によって、もう一方の取り得る値の範囲はかわります。
でもあくまで範囲が変わるだけで、その中では自由な値をとることができるので、従属ではなく独立です。

…それよりも。なぜ従属だと？
問題なのは従属だと「間違えた」ことではなく、そう考えた「根拠を整理できなかった」ことですよ。
※あるいは「従属」という言葉の持つ意味を曖昧にしていたか…

根拠を形にしていれば、それを検証することで白黒つけることができます。間違いがあっても、そこを直すことでより深い理解につなげることも可能です。
でも、今の状態は、何となくで間違った考えにとらわれ、根拠もはっきりしないから自力ではどうすることもできず、いつまで経っても先に進めない…
質問で解決すべきポイントが少し違うように感じます。
No.27673 - 2014/07/10(Thu) 22:34:21
★ (No Subject) / うぃーあー
D[1]=(ay-5)^2-4(-2y^2+by+4)
　　=(a^2+8)y^2-(10a+4b)y+31
じゃないんですか？
No.27657 - 2014/07/09(Wed) 18:01:19
☆ Re: / ヨッシー
確かにそうですね。

続きは、元の記事の「返信」でどうぞ。
No.27665 - 2014/07/10(Thu) 15:00:59
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