x^6+y^6+z^6+3xyzを満たす整数x,y,zを求めよ。
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No.26670 - 2014/06/07(Sat) 12:09:32
| ☆ Re: / X | | | No.26671 - 2014/06/07(Sat) 13:09:33 |
| ☆ Re: / ヒキニート  | | | No.26672 - 2014/06/07(Sat) 15:03:46 |
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | たとえば、
ｘ＋ｙ を満たす整数ｘ、ｙ を求めよ、
と言われたら、答えられますか？
さらに言うなら、
ｘ を満たす整数ｘを求めよ、
はどうですか？
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No.26674 - 2014/06/07(Sat) 15:14:00 |
| ☆ Re: / ヒキニート | | | すいません。ミスに気づきませんでした。
x^6+y^6+z^6=3xyzでした。
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No.26675 - 2014/06/07(Sat) 15:42:23 |
| ☆ Re: / みずき | | | ちょっと天下り的ですが、
x^6+y^6+z^6-3*x^2*y^2*z^2
=(x^2+y^2+z^2)*(1/2)*{(x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2}≧0
により、
x^6+y^6+z^6≧3*x^2*y^2*z^2
⇒3xyz≧3*x^2*y^2*z^2
⇒xyz(xyz-1)≦0
⇒0≦xyz≦1
⇒xyz=0,1
xyz=0のときは、x,y,zのうち少なくとも1つ0だが、
たとえばz=0として、x^6+y^6=0より、x=y=0
他の場合も同様だから、このとき、x=y=z=0のみ。
xyz=1のときは、|x|=|y|=|z|=1で、
「すべて正」または「正1つ、負2つ」
よって、(x,y,z)=(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)
まとめると、答えは以下ですべて
(x,y,z)=(0,0,0),(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)
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No.26678 - 2014/06/07(Sat) 17:35:50 |
| ☆ Re: / IT | | | （別解）
max(|x|,|y|,|z|)=m≧2のとき |左辺|≧m^6=(2^3)(m^3),|右辺|≦3(m^3) よって|左辺|＞|右辺|となり不適。
したがってmax(|x|,|y|,|z|)≦1
後は同様です。
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No.26680 - 2014/06/07(Sat) 18:23:18 |
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