整数Nに対して、《N》はNの約数のうち最大の奇数を表すことにします。例えば、《4》=1、《6》=3、《15》=15となります。このとき、《1》+《2》+・・・・+《100》を求めなさい。
どなたかご教授ください。
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No.25855 - 2014/05/10(Sat) 15:35:57
| ☆ Re: お願いします。 / みずき | | | 記号を表示させるのがちょっと面倒なので、
<N>でNの約数のうち最大の奇数を表すことにします。
自然数mに対して、<2m>=<m>,<2m-1>=2m-1が成立することに着目します。
Σ[k=1,100]<k>
=Σ[k=1,50]<2k-1>+Σ[k=1,50]<2k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,50]<k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25]<2k-1>+Σ[k=1,25]<2k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25](2k-1)+Σ[k=1,25]<k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25](2k-1)+Σ[k=1,13]<2k-1>+Σ[k=1,12]<2k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25](2k-1)+Σ[k=1,13](2k-1)+Σ[k=1,12]<k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25](2k-1)+Σ[k=1,13](2k-1)+Σ[k=1,6]<2k-1>+Σ[k=1,6]<2k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25](2k-1)+Σ[k=1,13](2k-1)+Σ[k=1,6](2k-1)+Σ[k=1,6]<k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25](2k-1)+Σ[k=1,13](2k-1)+Σ[k=1,6](2k-1)+Σ[k=1,3]<2k-1>+Σ[k=1,3]<2k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25](2k-1)+Σ[k=1,13](2k-1)+Σ[k=1,6](2k-1)+Σ[k=1,3](2k-1)+Σ[k=1,3]<k>
=Σ[k=1,50](2k-1)+Σ[k=1,25](2k-1)+Σ[k=1,13](2k-1)+Σ[k=1,6](2k-1)+Σ[k=1,3](2k-1)+(1+1+3)
=50^2+25^2+13^2+6^2+3^2+(1+1+3)
=2500+625+169+36+9+5
=3344
# なお、Σ[k=1,p](2k-1)=2p(p+1)/2-p=p^2を用いました。
# 2以上の自然数mに対して、Σ[k=1,m]<k>=(〔(m+1)/2〕)^2+Σ[k=1,【(m-1)/2】]<k>
# ただし、〔x〕は床関数、【x】は天井関数とします。
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No.25856 - 2014/05/10(Sat) 16:06:36 |
| ☆ Re: お願いします。 / いやんバンカー | | | ありがとうございます！
これを中学受験を志望する生徒に説明するとどんな解説になりますか？
こちらもどなたかご教授ください。
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No.25859 - 2014/05/10(Sat) 19:17:36 |
| ☆ Re: お願いします。 / みずき | | | > これを中学受験を志望する生徒に説明するとどんな解説になりますか？
次のようなことを説明してみてはいかがでしょう。
<奇数（2で割り切れない数）>は、<>をはずせます。
<1>=1,<3>=3,<5>=5・・・
（なぜなら、その数自身も約数だから）
だから、<偶数（2で割り切れる数）>の場合が知りたいわけです。
そのとき、<ある偶数>=<その偶数を2で割った数>が成り立ちます。
なぜなら、ある偶数を2で割った数にも、
（2で割っただけですから）もとの偶数の最大の
奇数の約数がまだ残っています。
だから、偶数が出てきたら2で割れます。
ということは、2で割り切れなくなるまで小さくできるということなので、
たとえば<96>=<48>=<24>=<12>=<6>=<3>=3です。
100までくらいなら、このようにしてもいいのでは？
あるいは、Σ[k=1,p](2k-1)=p^2を小学生向けにするなら、
ガウス少年がやったように、次のようにできますね。
pが偶数なら、
1+3+5+・・・+(2p-3)+(2p-1)
={1+(2p-1)}+{3+(2p-3)}+・・・+{(p-1)+(p+1)}
=2p*(p/2)=p^2
pが奇数なら、
1+3+5+・・・+(2p-3)+(2p-1)
={1+(2p-1)}+{3+(2p-3)}+・・・+{(p-2)+(p+2)}+p
=2p*{(p-1)/2}+p=p^2
（もちろん、文字pを使うと分かりづらいので、
1+3+・・・+11や1+3+・・・+13のように具体例を挙げて説明してください）
これが納得できる子供なら、Σを使えるのと同じですから、
最初の解答を噛み砕いて説明すれば納得してくれると思います。
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No.25860 - 2014/05/10(Sat) 19:37:33 |
| ☆ Re: お願いします。 / halt0 | | | 中学受験生なら、等差数列の和の公式として(初項+末項)×項数÷2を習うはずなので、 No.25860を踏まえてNo.25856を説明すれば大丈夫だと思います。
少し（見かけ上）違う方法としては（No.25860前半部の内容を前提として）
<N>=1 になるような N: 1,2,4,8,16,32,64 の7個
<N>=3 になるような N: 3,6,12,24,48,96 の6個
<N>=5 になるような N: 5,10,20,40,80 の5個
<N>=7 になるような N: 7,14,28,56 の4個
<N>=9 になるような N: 9,18,36,72 の4個
<N>=11 になるような N: 11,22,44,88 の4個
<N>=13 になるような N: 13,26,52 の3個
<N>=15 になるような N: 15,30,60 の3個
…
<N>=25 になるような N: 25,50,100 の3個 (「3個」がここまで続くことは 100÷4=25 から求められます)
<N>=27 になるような N: 27,54 の2個
…
<N>=49 になるような N: 49,98 の2個
<N>=51 になるような N: 51 の1個
…
<N>=99 になるような N: 99 の1個
1×7+3×6+5×5+(7+9+11)×4+(13+15+…+25)×3+(27+29+…+49)×2+(51+…+99)×1
=7+18+25+108+399+912+1875=3344
といった具合にすることもできます。ふつうにNo.25856の方法のほうがわかりやすいかもしれませんが。（計算はあちらの方が楽ですし）
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No.25867 - 2014/05/11(Sun) 03:38:21 |
| ☆ Re: お願いします。 / angel | | | > これを中学受験を志望する生徒に説明するとどんな解説になりますか？
みずきさんと計算する内容は同じなのですが、まず 1〜100 を次のように分類してしまう、という所から行くのが良いと思います。
グループ0: 1,3,5,7,9,…,97,99 ← 奇数( 1〜99 )
グループ1: 2,6,10,…,94,98 ← 2×奇数( 1〜49 )
グループ2: 4,12,20,…,92,100 ← 4×奇数( 1〜25 )
グループ3: 8,24,40,…,72,88 ← 8×奇数( 1〜11 )
グループ4: 16,48,80 ← 16×奇数( 1〜5 )
グループ5: 32,96 ← 32×奇数( 1〜3 )
グループ6: 64 ← 64×奇数( 1〜1 )
そうすると、各グループにおいて《N》の合計というのは、1から連続する奇数の和、なので、個別に計算できる、ということになります。
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No.25868 - 2014/05/11(Sun) 06:22:30 |
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