凸不等式の証明問題です。
問題
f(x)はx>0で定義された関数で、f"(x)<0を満たすものとする。
x[1]>0,x[2]>0,p>0,q>0,p+q=1のとき,不等式
f(px[1]+qx[2])≧pf(x[1])+qf(x[2])
が成り立つことを示せ。
という凸不等式の証明問題なんですが、模範解答やいろいろ証明を探した時も、x[1]とx[2]の２変数関数として不等式証明しているのですが、pの関数として証明することはできないのでしょうか？
以下簡略のためx[1]=a,x[2]=bとします
私は途中までですが、
f(pa+qb)-pf(a)+qf(b)にq=1-pを代入した式を
F(p)=f{(a-b)p+b}-{f(a)-f(b)}p-f(b)とおいてa,bを固定し
両辺をpで微分して
F'(p)=f'{(a-b)p+b}(a-b)-{f(a)-f(b)}
もう一度pで微分して
F"(p)=f"{(a-b)p+b}(a-b)^2<0
(∵f"(x)<0かつ(a-b)^2≧0)
したがってf'(p)は単調に減少し、0<p<1より
F'(p)>F'(1)=f'(a)(a-b)-{f(a)-f(b)}
ここまでしてどのようにf'(a)(a-b)-{f(a)-f(b)}を変形すればうまくいくかわかりませんでした。
もし可能であれば自分の方針で解き方を教えてください。
また不可能であれば理由も教えてください。
よろしくお願いします。
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No.26120 - 2014/05/23(Fri) 00:30:20
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき | | | > f(pa+qb)-pf(a)+qf(b)にq=1-pを代入した式を
これはf(pa+qb)-pf(a)-qf(b)の書き間違いですね。
> F(p)=f{(a-b)p+b}-{f(a)-f(b)}p-f(b)とおいてa,bを固定し
> 両辺をpで微分して
> F'(p)=f'{(a-b)p+b}(a-b)-{f(a)-f(b)}
> もう一度pで微分して
> F"(p)=f"{(a-b)p+b}(a-b)^2<0
a=bの場合もあるので、
F"(p)=f"{(a-b)p+b}(a-b)^2≦0
ですね。
> (∵f"(x)<0かつ(a-b)^2≧0)
> したがってf'(p)は単調に減少し
ここまでは良いと思います。
a=bのときは、
F'(p)＞F'(1)=0とF(0)=0とより、F(p)＞0が言えます。
以下では、a≠bとします。
F'(1)=f'(a)(a-b)-{f(a)-f(b)}=M
⇔f'(a)=M/(a-b)+{f(a)-f(b)}/(a-b)
とおいて、M＜0を示します。
まず、平均値の定理により、
{f(a)-f(b)}/(a-b)=f'(c)
を満たすc（aとbの間にある）が存在するから、
f'(a)=M/(a-b)+f'(c)
⇔f'(a)-f'(c)=M/(a-b)・・・Ａ
ここで、a＞bのときは、b＜c＜aで、
f(x)が上に凸だから、f'(c)＞f'(a)
よって、Ａにより、M＜0
a＜bのときは、a＜c＜bで、
f(x)が上に凸だから、f'(a)＞f'(c)
よって、Ａにより、M＜0
従って、いずれにしても、M=F'(1)＜0が示されました。
F'(p)は単調減少で、F'(1)＜0なので、
F'(α)=0かつ0＜α＜1
を満たすp=αがただ一つ存在します。
ゆえに、F(p)の増減を調べると、
0＜p＜αにおいて、F'(p)＞0で、F(p)は単調増加、
α＜p＜1において、F'(p)＜0で、F(p)は単調減少。
これとF(0)=F(1)=0とより、任意のa,b＞0に対して、
0＜p＜1において、F(p)＞0が言えます。
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No.26131 - 2014/05/23(Fri) 03:15:01 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき | | | 今気づきました。細かいことですが、ハレゾラさんが書かれた
> したがってf'(p)は単調に減少し
は、F'(p)の書き間違いですね。
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No.26132 - 2014/05/23(Fri) 03:36:31 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ | | | 間違いのご指摘ありがとうございます。
f(x)とf'(x)をどうつなげるか考えてはいたのですが平均値の定理があったのですね。
> a=bのときは、
> F'(p)＞F'(1)=0とF(0)=0とより、F(p)＞0が言えます。
a=bのときは任意のpに対してF(p)=0が成り立つのではないでしょうか？
> 以下では、a≠bとします。
> F'(1)=f'(a)(a-b)-{f(a)-f(b)}=M
> ⇔f'(a)=M/(a-b)+{f(a)-f(b)}/(a-b)
> とおいて、M＜0を示します。
ここで、F'(1)＜0を示したとして、F'(0)＞0を示さなくても
F'(α)=0かつ0＜α＜1を満たすp=αがただ一つ存在するといえますか？
また、F'(1)＞0としてF'(x)＞0からF(x)が単調増加する。という方針ではなく、F'(1)＜0を示そうとしたのはなぜですか？
F(0)=F(1)=0であるからF(x)は単調増加あるいは減少しないのでは？と考えられたからでしょうか？
> ゆえに、F(p)の増減を調べると、
> 0＜p＜αにおいて、F'(p)＞0で、F(p)は単調増加、
> α＜p＜1において、F'(p)＜0で、F(p)は単調減少。
>
> これとF(0)=F(1)=0とより、任意のa,b＞0に対して、
> 0＜p＜1において、F(p)＞0が言えます。
示すべき不等式に等号が入ってますがF(P)=0となることは言えなくてもいいのですか？
最後に
解答途中でf"(x)＜0の時,f(x)は上に凸であるということを利用されてますが、いいのですか？
わたしが最初にこの問題を解いたとき
上に凸のグラフを書いて、A(a,f(a)),B(b,f(b))として線分ABをq：pに内分する点Xのy座標が,f(x)に点Xのx座標を代入した値より小さい
として証明したのですが、私が教わった先生は「この問題は"f(x)＜0ならばf(x)は凸関数である"ことを示す問題だからその解答はダメだ」とおっしゃっていたのですが・・・
たくさん質問してしまってすいません。よろしくお願いします。
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No.26159 - 2014/05/23(Fri) 22:58:18 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき | | | > a=bのときは任意のpに対してF(p)=0が成り立つのではないでしょうか？
あ、そうですね。間違えました。
> ここで、F'(1)＜0を示したとして、F'(0)＞0を示さなくても
> F'(α)=0かつ0＜α＜1を満たすp=αがただ一つ存在するといえますか？
あ、そうですね。忘れてました。
F'(0)＞0が必要でしたね。
F'(1)＜0と同様に示せると思います。
> また、F'(1)＞0としてF'(x)＞0からF(x)が単調増加する。という方針ではなく、F'(1)＜0を示そうとしたのはなぜですか？
> F(0)=F(1)=0であるからF(x)は単調増加あるいは減少しないのでは？と考えられたからでしょうか？
もちろんF(0)=F(1)=0を考えてのことです。
> 示すべき不等式に等号が入ってますがF(P)=0となることは言えなくてもいいのですか？
F(p)＞0⇒F(p)≧0は、真ですね。だから、問題ありません。
> 解答途中でf"(x)＜0の時,f(x)は上に凸であるということを利用されてますが、いいのですか？
> わたしが最初にこの問題を解いたとき
> 上に凸のグラフを書いて、A(a,f(a)),B(b,f(b))として線分ABをq：pに内分する点Xのy座標が,f(x)に点Xのx座標を代入した値より小さい
> として証明したのですが、私が教わった先生は「この問題は"f(x)＜0ならばf(x)は凸関数である"ことを示す問題だからその解答はダメだ」とおっしゃっていたのですが・・・
確かに本問の不等式を示す場合は、私の解法は不自然
というのが正直なところですね。
ただ、私の解答を正当化することはできます。
まず、
｢ある区間で定義された連続関数f(x)が。その区間内でx1＜x2＜x3
を満たす任意のx1,x2,x3に対して
{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)＞{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)
を満たすとき、f(x)は上に凸である｣
と言うとき、
｢開区間(a,b)において2回微分可能な関数f(x)が、この区間において、
f''(x)＜0ならば、f(x)は上に凸｣
というのは、次のように示せます。
（証明）
f(x)は、閉区間[x1,x2]において連続、開区間(x1,x2)において
微分可能なので平均値の定理の要件を満たす。
平均値の定理により、
{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)=f'(c1),x1＜c1＜x2を満たすc1が存在する。
一方、f(x)は、閉区間[x2,x3]において連続、開区間(x2,x3)において
微分可能なので平均値の定理の要件を満たす。
平均値の定理により、
{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)=f'(c1),x2＜c1＜x3を満たすc1が存在する。
f''(x)＜0ならば、f'(x)は減少関数なので、c1＜c2より、
f'(c1)＞f'(c2)です。
∴{f(x2)-f(x1)}/(x2-x1)＞{f(x3)-f(x2)}/(x3-x2)
よって、f(x)は上に凸です。
（証明修了）
私自身は、これを前提として解きました。
これを私の解答の冒頭に添えれば、一応問題はないです。
さて、本問の不等式を示すのには、
普通、ハレゾラさんがすでに述べたように、x1（x2）を
変数としてとらえるのが自然ですから、
pを変数として見る、というのは難しいな、と思っていました。
そこで、（あえて前面に出しませんでしたが）
f(x)が上に凸であることは、別経由で正当化できるから、
利用してしまおう、と思ったわけです。
（ハレゾラさんの質問の意図が別証明を求めている、
ということらしく、
可能か否かということに質問の重点がおかれていると思われたので）
ですから、ハレゾラさんの先生がおっしゃることは
至極当然で、私の解答は、正当化できるとしても、
不自然なものだ、とは思います。
（証明が正当化できるなら、何をしても良い、という
立場なら、私の証明は、立派な証明ですけどね。
そういう意味で、pを変数としてみる証明は、
私にはf(x)が上に凸、という事実を使わないといけないように思われ、
可能とはいえ、不自然にならざるを得ません。
もちろん、私には思いつかなかった、ということです。）
（できるの？できないの？どっちなの？と言われれば、
苦肉の策であれ可能なら（裏事情うんぬんは脇において）
可能と答えますよね？そういうことです。）
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No.26162 - 2014/05/24(Sat) 01:04:44 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ | | | 回答ありがとうございます。
> F'(0)＞0が必要でしたね。
> F'(1)＜0と同様に示せると思います。
実際に示そうとすると
F'(0)=f'(b)(a-b)-{f'(a)-f'(b)}となり、F'(1)=M＜0を示した時のF'(1)の式のf'(a)をf'(b)に入れ替えるだけなので同じようにF'(0)＜0になりそうなのですが、どうでしょうか？
また、考えてみたのですが、Ｍ＜0を示すのに上に凸だからとせずに、f"(x)＜0だからf'(x)は単調に減少すると変えたら議論がうまくいくのではないでしょうか？
前提にされた証明は、f"(x)＜0のとき、曲線の弦の傾きが常にｘ座標が小さいものの方が大きく、曲線は上に凸だ、と証明しているのですね。
すいません、わざわざ考えていただいて。はじめは可能かどうか教えていただいてから細かく聞くつもりでした。
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No.26227 - 2014/05/25(Sun) 00:58:17 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき | | | > > F'(0)＞0が必要でしたね。
> > F'(1)＜0と同様に示せると思います。
>
> 実際に示そうとすると
> F'(0)=f'(b)(a-b)-{f'(a)-f'(b)}となり、F'(1)=M＜0を示した時のF'(1)の式のf'(a)をf'(b)に入れ替えるだけなので同じようにF'(0)＜0になりそうなのですが、どうでしょうか？
F'(0)=f'(b)(a-b)-f(a)+f(b)の間違いですよね。
それに、入れ替えただけではありません。
F'(0)=Nとおくと
a≠bのとき、f'(b)={f(a)-f(b)}/(a-b)+N/(a-b)
平均値の定理により、
{f(a)-f(b)}/(a-b)=f'(c)なるcがaとbの間に存在する。
a＜c＜bのときは、f'(b)-f'(c)=N/(a-b)＜0だからN＞0
b＜c＜aのときは、f'(b)-f'(c)=N/(a-b)＞0だからN＞0
なので、aとbの大小に関わらずN=F'(0)＞0が言えますね。
> また、考えてみたのですが、Ｍ＜0を示すのに上に凸だからとせずに、f"(x)＜0だからf'(x)は単調に減少すると変えたら議論がうまくいくのではないでしょうか？
あ、おっしゃる通りですね！
そうなると上に凸、ということを使わずに示せますね。
お見事でした。これで別証明が得られましたね。
（f'(x)の狭義単調減少性と平均値の定理の利用ということですね）
共同作業でしたね^^私は変に思い込んでいました。
> 前提にされた証明は、f"(x)＜0のとき、曲線の弦の傾きが常にｘ座標が小さいものの方が大きく、曲線は上に凸だ、と証明しているのですね。
そうですね。
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No.26229 - 2014/05/25(Sun) 01:39:15 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ | | | > F'(0)=f'(b)(a-b)-f(a)+f(b)の間違いですよね。
すいません、書き間違い多いですね。
> a＜c＜bのときは、f'(b)-f'(c)=N/(a-b)＜0だからN＞0
> b＜c＜aのときは、f'(b)-f'(c)=N/(a-b)＞0だからN＞0
> なので、aとbの大小に関わらずN=F'(0)＞0が言えますね。
計算し直してみたらおっしゃるとおりでした。式としては、f'(a)-f'(c)=M/(a-b)のf'(a)→f'(b)、M=F'(1)→N=F'(0)に置き換えただけですが、そのあとの不等式のa＜c＜bのときf'(c)＜f'(a)をf'(a)→f'(b)としたらまずかったですね。
> （f'(x)の狭義単調減少性と平均値の定理の利用ということですね）
とてもスッキリしました。あまり確かに作業量は多いですが自分の別解を証明することができてうれしいです。ご協力ありがとうございました。
あと付け足しなのですが、ひとつ前の質問にある
私が質問した"示すべき不等式に等号が入ってますがF(P)=0となることは言えなくてもいいのですか？"について、F(p)＞0⇒F(p)≧0が真なので問題ないというのは理解しましたが、実際のところ
a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0…?@
を示しているので
a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0…?A
とにより
a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
?@または?A⇔F(p)≧0…?B
となりませんか？
本問とは直接関係なくなってしまうのですが
?Bについて本当に同値なのかなと思って集合を使って示せないか試してみました。
a,b＞0かつa=bをみたす集合をA
0＜p＜1の任意のpでF(p)=0をみたす集合をB
a,b＞0かつa≠bをみたす集合をC
0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0をみたす集合をD
a,b＞0をみたす集合をE
0＜p＜1の任意のpでF(p)≧0をみたす集合をF
とするとして
(A∧B)∨(C∧D)⇔X∧Y
を示そうとしたのですが、うまくいきませんでした。根本的に間違っているようなきがするのですが…特に何の集合かわかっていないので…実数a,b,pの集合なのかな？
何度もすいません、変な質問かもしれませんがよろしくお願いします。
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No.26248 - 2014/05/25(Sun) 16:11:15 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ | | | すいません書き間違えました。
(A∧B)∨(C∧D)⇔E∧F
を示そうとした
です。
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No.26249 - 2014/05/25(Sun) 16:37:57 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき | | | > a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0…?@
> a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0…?A
に基づけば、結論として、
『a,b＞0と0＜p＜1を満たす任意のpに対してF(p)≧0』
が言えます。
以上がまず一点。
で、
> a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
> ?@または?A⇔F(p)≧0…?B
> となりませんか？
というのは、ちょっと意味がつかめません。
「a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0」が?@で、
「a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0」が?Aなんですよね。
分かりやすく書けば、
0＜p＜1を満たす任意のpに対して、
a=b＞0のとき、F(p)=0
a≠bかつa＞0かつb＞0のとき、F(p)＞0
ということです。
(たとえば、a=b＞0とF(p)=0は分離できませんよ)
私には、
> a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
> ?@または?A⇔F(p)≧0…?B
> となりませんか？
をどのように解釈しても、←が示せるとは思いませんが。
（余談かもしれませんが、そもそも、もともとのF(p)はF(a,b,p)と表されるべきものです。
つまり、本来3変数なのですが、我々の方法では、
a,bを固定して、pだけを変数としてとらえているわけです。
ただし、結論を見ると、F(a,b,p)が0か正であるかは、
pに依存せず、a,bに依存していますから、
Fをpに関する1変数関数とみてしまうと意味が不明になると思います。
F(p)と書くと、あたかもF(p)がpの1変数関数のようですね。）
# ご質問がやや不明瞭なのは、以上の点がしっかり
つかめていないから、だと思うので。
以上のことを読んで、質問があればまたしてください。
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No.26254 - 2014/05/25(Sun) 18:06:58 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ | | | 回答ありがとうございます
> 分かりやすく書けば、
>
> 0＜p＜1を満たす任意のpに対して、
> a=b＞0のとき、F(p)=0
> a≠bかつa＞0かつb＞0のとき、F(p)＞0
>
> ということです。
> (たとえば、a=b＞0とF(p)=0は分離できませんよ)
a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
「a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0…?@
または
a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0…?A」
⇔F(p)≧0
というのは、a.b＞0と0＜p＜1を大前提として考えました。この場合もまずいでしょうか？
> 私には、
> > a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
> > ?@または?A⇔F(p)≧0…?B
> > となりませんか？
> をどのように解釈しても、←が示せるとは思いませんが。
よく考えると、この問題自体必要条件を求めればよかったですね。つまり⇔記号を⇒記号にすれば問題ないということでしょうか？
> （余談かもしれませんが、そもそも、もともとのF(p)はF(a,b,p)と表されるべきものです。
> つまり、本来3変数なのですが、我々の方法では、
> a,bを固定して、pだけを変数としてとらえているわけです。
> ただし、結論を見ると、F(a,b,p)が0か正であるかは、
> pに依存せず、a,bに依存していますから、
> Fをpに関する1変数関数とみてしまうと意味が不明になると思います。
> F(p)と書くと、あたかもF(p)がpの1変数関数のようですね。）
a,bを固定していることは意識していました。また、平均値の定理を用いているときもa,bは定数とみてf'(x)のy座標の大小をみてF'(0)やF'(1)の大小を調べ、結果的にa,bを変数とみる必要なくF(p)＞0を示せている。
というように考えていました。この思考で大丈夫でしょうか？
よろしくお願いします。
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No.26257 - 2014/05/25(Sun) 19:18:51 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき | | | > a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて
> 「a=bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)=0…?@
> または
> a≠bのとき0＜p＜1の任意のpでF(p)＞0…?A」
> ⇔F(p)≧0
> というのは、a.b＞0と0＜p＜1を大前提として考えました。この場合もまずいでしょうか？
まずいですね。←は一般に偽です。
一応補足しておくと、a.b＞0と0＜p＜1を大前提としている、
ということは、
（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
「a=bかつF(p)=0」または「a≠bかつF(p)＞0」⇔F(p)≧0
の方がより事態が見えやすいですね。
> よく考えると、この問題自体必要条件を求めればよかったですね。つまり⇔記号を⇒記号にすれば問題ないということでしょうか？
はい、その通りです。
> a,bを固定していることは意識していました。また、平均値の定理を用いているときもa,bは定数とみてf'(x)のy座標の大小をみてF'(0)やF'(1)の大小を調べ、結果的にa,bを変数とみる必要なくF(p)＞0を示せている。
> というように考えていました。この思考で大丈夫でしょうか？
大丈夫だと思います。
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No.26258 - 2014/05/25(Sun) 19:31:42 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ | | | 回答ありがとうございます。
> （a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
> 「a=bかつF(p)=0」または「a≠bかつF(p)＞0」⇔F(p)≧0
> の方がより事態が見えやすいですね。
ということは"〜のとき"というのと"〜かつ"というのを同一視してよいのですね。このこともはっきりとは理解できていなかったようです。
あと最後に、
（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
「a=bかつF(p)=0」または「a≠bかつF(p)＞0」⇒F(p)≧0…(＊)
というような操作はいつも場合分けのとき何気なく行っていたのですが、今考えてみるとなぜ(＊)となるかわかっていません。(証明できません)
今までだと
（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
a=bまたはa≠b⇔a,b＞0
かつ
F(p)=0またはF(p)＞0⇔F(p)≧0
よって（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）F(p)≧0
のように勝手に解釈していました。
前に質問したような集合記号を用いて(＊)を証明していただけないでしょうか？
つまり
（a,b＞0、0＜p＜1の任意のpにおいて）
「a=bを集合A,F(p)=0を集合B,a≠bを集合C,F(p)＞0を集合D,F(p)≧0を集合Eとして
(A∧B)∨(C∧D)⊂E
を示したいです。
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No.26265 - 2014/05/25(Sun) 21:36:00 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / みずき | | | > ということは"〜のとき"というのと"〜かつ"というのを同一視してよいのですね。
それは文脈によると思うので思い込まない方が良いです。
たとえば、｢AのときBを示せ｣という問題は、｢A⇒Bを示せ｣
という意味ですよね（つまり｢ならば｣の意味）。
一方、ある問題で場合分けが発生して（本問も同じ）
｢CのときD｣または｢EのときF｣ というのは、
｢CかつD｣または｢EかつF｣と同値です。
（たとえば、条件を満たす点を図示する問題の場合などは
こうして考えていますよね？）
上の2つは文脈によって容易に見分けがつくと思います。
> 前に質問したような集合記号を用いて(＊)を証明していただけないでしょうか？
今、C=A(バー),E=B∪Dですね。
A,B,Dのベン図（3つの輪が重なるように描く）で一目瞭然ですよ。
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No.26266 - 2014/05/25(Sun) 23:48:10 |
| ☆ Re: 凸不等式の証明 / ハレゾラ | | | > それは文脈によると思うので思い込まない方が良いです。
> たとえば、｢AのときBを示せ｣という問題は、｢A⇒Bを示せ｣
> という意味ですよね（つまり｢ならば｣の意味）。
>
> 一方、ある問題で場合分けが発生して（本問も同じ）
> ｢CのときD｣または｢EのときF｣ というのは、
> ｢CかつD｣または｢EかつF｣と同値です。
> （たとえば、条件を満たす点を図示する問題の場合などは
> こうして考えていますよね？）
>
> 上の2つは文脈によって容易に見分けがつくと思います。
確かに、文脈によって違いますね。今まではなんとなく慣れで判断していたためこれからは意識するように気を付けます。
> > 前に質問したような集合記号を用いて(＊)を証明していただけないでしょうか？
>
> 今、,E=B∪Dですね。
> A,B,Dのベン図（3つの輪が重なるように描く）で一目瞭然ですよ。
確かめてみたところ確かにそうでした。C=A(バー)を忘れていたようです。
長い間質問に対応してくださり本当にありがとうございました。
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No.26298 - 2014/05/26(Mon) 22:22:13 |
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