ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校一年生です。集合と論証が、わかりません。 / あかり

2には、有理数
3には、無理数という言葉が入るのですが、
それ以外の1.4.5に、当てはまる式がわかりません。
なぜそうなるのから詳しく書いて頂けると嬉しいです。

よろしくお願いします。

No.25612 - 2014/04/21(Mon) 21:49:01

☆ Re: 高校一年生です。集合と論証が、わかりません。 / angel

2,3の答えは納得できてますか…? 答えだけ覚えても役には立たないのですが。

それはそれとして、
1.
　?@の等式をaに関する一次方程式と考えれば…
　a同士を左辺にまとめて、それ以外を右辺にまとめて…
4.
　この証明自体が「背理法」の形式を採っていることに注意。
　「○○であると仮定すると～より××に反する ( もしくは『矛盾する』とか )」ですね。
　こうくると、「よって○○ではない」となるわけで、ここには仮定した条件の否定形が来るのです。
5.
　4ができれば、問題文の通り?@に代入すれば…
　※最終的に示すのが「x=x'かつy=y'」なのだから、それに近い形になるはずですね。
　※もっと言うと、4,5を併せると「x=x'かつy=y'」になります。

No.25616 - 2014/04/21(Mon) 22:25:57

★ 面積比 / ヨウ

∠BCA=∠ABC , ∠BAD=∠ACE , ∠DBA=∠EACなので
△CBAと△ABD,△CAEが互いに相似関係となる
CB=6,AB=4,CA=5より相似比は6:4:5なので
ここまではわかりますが、
第二問の面積比は6^2:4^2:5^2=36:16:25でありことは理解できません。

No.25609 - 2014/04/21(Mon) 20:58:31

☆ Re: 面積比 / angel

相似比が a:b:c とあれば、面積比は a^2:b^2:c^2 なのです。
それが相似形の性質。
※もし立体なら、体積比 a^3:b^3:c^3 というのもあります

最も分かり易い例としては、大きさの違う正方形 ( 全て相似形 ) とか。
一辺 a[cm], b[cm], c[cm] の正方形の面積はそれぞれ a^2[cm^2], b^2[cm^2], c^2[cm^2] で、面積比 a^2:b^2:c^2 になりますよね。
形は違っても、この「比」というのは同じように考えられるのです。

No.25617 - 2014/04/21(Mon) 22:29:46

☆ Re: 面積比 / ヨウ

教えてくれてありがとうございました

No.25623 - 2014/04/22(Tue) 13:46:43

★ (No Subject) / ヨウ

|x-1|≦3でありことは、x＾2-2X-8≦0 であるための必要十分条件である。

どうしてですか　教えて下さい

|x-1|≦3は
X≦2またはX≧-2
x＾2-2X-8≦0 は
-2≦X≦4

No.25603 - 2014/04/21(Mon) 00:12:54

☆ Re: / らすかる

> |x-1|≦3は
> X≦2またはX≧-2

これは正しくありません。
「X≦2またはX≧-2」というのは「Xは任意の実数」と同じことです。
任意の実数xに対して|x-1|≦3が成り立つわけはないですね。
|x-1|≦3は
x-1≧0すなわちx≧1のとき
x-1≦3からx≦4
∴1≦x≦4 … (1)
x-1＜0すなわちx＜1のとき
-(x-1)≦3からx≧-2
∴-2≦x＜1 … (2)
(1)(2)を合わせて -2≦x≦4
よってx^2-2x-8≦0の解と同一になります。

No.25605 - 2014/04/21(Mon) 00:19:27

☆ Re: / ヨウ

教えてくれてありがとうございました

No.25610 - 2014/04/21(Mon) 21:06:03

★ 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ(浪人)

問題
　次のx,yの連立方程式
　　cosx+2cosy=a
　　sinx+2siny=b
が実数解をもつための条件をa,bを用いて表せ。

この問題の解答途中で
　　cosy=1/2(a-cosx)…?@
　　siny=1/2(b-sinx)…?A
と変形したあと、実数yが存在するための必要十分条件がcos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式になるのはなぜですか？

自分は弧度法から、yは半径1の円の弧の長さだからこれが実数で存在？？などと考えてみたのですが…いまいちイメージがわきません。
どの定義まで考えればいいですか？？
お願いします。

No.25602 - 2014/04/20(Sun) 23:51:37

☆ Re: 三角関数の実数解条件 / らすかる

> 実数yが存在するための必要十分条件がcos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式になるのはなぜですか？

yが存在すれば(cosy)^2+(siny)^2=1は成り立ちます。
(cosy)^2+(siny)^2=1を満たすcosy,sinyが存在すればyが存在します。
よって「cos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式」は「実数yが存在するための必要十分条件」となります。

No.25604 - 2014/04/21(Mon) 00:15:08

☆ 別解(図形/ベクトル) / angel

別解です。参考まで。

(cosx,siny)という長さ1のベクトルと(2cosy,2siny)という長さ2のベクトルの和と考えれば、三角不等式が活用できます。

添付の図において、OP=1, PQ=2 で、Qはまた(a,b)にも一致します。
で、O,P,Qが一直線上に来る場合も含め、三角不等式は
　|OP-PQ|≦OQ≦OP+PQ
つまり、1≦OQ=√(a^2+b^2)≦3

これは必要条件です。なので、十分条件を吟味する必要があります。
が、1≦OQ≦3であれば、Qはどこにあっても構いません。
※「構いません」というのは、適切なx,yによってOP=1,PQ=2とできるということ
これは、一例作ってみて、Qの場所に応じて原点周りに回転してみればわかります。

ということで、結局必要十分条件は 1≦√(a^2+b^2)≦3、ルートを外して 1≦a^2+b^2≦9 です。

No.25614 - 2014/04/21(Mon) 22:11:58

☆ Re: 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ(浪人)

回答ありがとうございます。

らすかるさんへ
ですが、まだいまいちつかめていないです。
そもそも
　　　?T実数yが存在するならば(cosy)^2+(siny)^2=1
　　　?U(cosy)^2+(siny)^2=1ならば実数xが存在する
を証明するにはどうしたらいいんですか？？
※質問におけるyをxに変えました。

angelさんへ
cosx+2cosy=2,siny+cosy=2を満たす実数xyが存在する
⇒△OPQが存在する(O,P,Qが一直線上である場合も含む)

△OPQが存在する(O,P,Qが一直線上である場合も含む)
⇔三角不等式1≦OQ≦3が成り立つ

　
一方
三角不等式1≦OQ≦3が成り立つ
⇒
cosx+2cosy=2,siny+siny=2を満たす実数xyはOP=1,PQ=2となるようにPをとれば必ず存在する

というような感じでしょうか？

No.25619 - 2014/04/21(Mon) 23:23:06

☆ Re: 三角関数の実数解条件 / らすかる

> ?T実数yが存在するならば(cosy)^2+(siny)^2=1

(cosy,siny)は単位円上の点ですから(cosy)^2+(siny)^2=1です。

> ?U(cosy)^2+(siny)^2=1ならば実数xが存在する

(cosy,siny)は単位円上の点ですからyが存在します。

No.25657 - 2014/04/23(Wed) 05:13:32

☆ Re: 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ

らすかるさんへ

三角関数の定義で(cosy,siny)が単位円上の点であることを考えればよかったのですね。

何度もありがとうございました。

No.25659 - 2014/04/23(Wed) 21:10:52

★ (No Subject) / ヨウ

http://i.imgur.com/UYsVL9u.jpg

中心角=360°（半径１の円周/半径３の円周）＝(2π*1/2π*3)=120°
面積=π*3^2/3=3π
ここまではわかります。
第二問からは解き方ができませんでした。
詳しく教えていただけますか
以下は答案です。
l/2=√(OA^2+OP^2-2OA*OPcos(120°/2))= √(3^2+2^2-6)
= √7
l=2√7
OP=3/2
l=2*( 3/2)*√3=3√3

No.25599 - 2014/04/20(Sun) 20:18:34

☆ Re: / みずき

> 第二問からは解き方ができませんでした。
> 詳しく教えていただけますか

(?@)
直円錐の展開図で考えます。
展開図の扇形の弧の両端がAで、弧の中央にBがあります。
点Pは線分OB上の点ですね。
今、l(エル)は、
一方のAからPまでの距離+もう一方のAからPまでの距離です。
この2つは等しいので、三角形OAPに余弦定理を適用して(∠AOP=60°に注意して)、
l=2AP=2√(2^2+3^2-2*2*3*cos60°)=2√7

(?A)
OP=xとおくと、(?@)と同様に考えて、
l=2AP=2√(x^2+3^2-2*x*3*cos60°)
=2√{(x-3/2)^2+27/4}
（√内を平方完成しました）
√内は下に凸の放物線なので、x=3/2のとき、lは最小になります。
また、このとき、l=2√27/4=3√3

No.25607 - 2014/04/21(Mon) 13:14:43

☆ Re: / ヨウ

わかりました。どうもありがとうございました。
いつもお世話になっております。

No.25608 - 2014/04/21(Mon) 19:55:35

★ 数列 / ふぇるまー

実はわたくしｲﾝﾌﾙｴﾝｻﾞにかかりまして、数列が結構卯分からなくなってしまったのです。独学で現在追いついているのですが、ﾖｯｼｰ掲示板の皆さんで貼付写真の256、258、259の開設をして戴けないでしょうか。よろしくお願い致します。

No.25594 - 2014/04/20(Sun) 14:21:03

☆ Re: 数列 / X

256)
初項をa、公差をdとすると条件から
a+4d=20 (A)
Σ[k=1～5]{a+(k-1)d}=50 (B)
(A)(B)をa,bについての連立方程式と見て解きます。
(まずは(B)の左辺を簡単にしましょう)

No.25595 - 2014/04/20(Sun) 16:25:53

☆ Re: 数列 / X

258)
(1)
初項から第n項までの和が負であるとすると
Σ[k=1～n]{70-4(k-1)}＜0
これをnについての不等式と見て解き、
解を満たす自然数nの最小値を求めます。

(2)
初項から第n項までの和をS[n]とすると
a[n]≧0のときS[n]は単調に増加し
a[n]＜0のときS[n]は減少に転じます。
従って問題は
a[n]≧0を満たす最大の自然数nを求める
ことに帰着します。
後の考え方は(1)の場合と同じです。

No.25596 - 2014/04/20(Sun) 16:31:12

☆ Re: 数列 / ふぇるまー

Σの記号をまだ習ってないので出来れば、これを使わないやり方を教えてもらえるとありがたいです、すいません。

No.25597 - 2014/04/20(Sun) 18:25:59

☆ Re: 数列 / X

256)の場合は和を取る項数が5個と少ないので力押しで
(B)の代わりに
a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)=50
としても計算できます。

しかし、258)に関しては明らかに初項から第n項までの
和をnの式で表す必要があり、Σの公式を使うのが
一般的だと思います。
等比数列の和とは異なり、等差数列の和は
Σの公式で容易に置き換えることができますので
公式があっても記憶して使うことはほぼありません。
その意味で258)についてはΣの使い方を理解してから
再度解くことをお勧めします。

No.25606 - 2014/04/21(Mon) 02:18:40

☆ Re: 数列 / ふぇるまー

わざわざありがとうございます！

No.25611 - 2014/04/21(Mon) 21:27:27

★ 因数分解 / さかなくん

解答の写真なんですが、
解答の答えを、赤字の様に因数分解しなくてよいのですか？
赤字の様にしたらバツ（減点）ですか？、バツにはならないですか？
この様なまだ因数分解の途中か悩む時、どこまですればよいか
判断するためのよい方法はありますか？

No.25583 - 2014/04/19(Sat) 15:30:06

☆ Re: 因数分解 / X

赤字の２行目は因数分解以前に計算を間違えています。

赤字の１行目は変形自体は間違っていないのですが、
{}内は因数分解したとはいいません。
問われている解答としては無駄な変形をしている
ということになります。

＞＞この様なまだ～
いずれか一つの文字に注目して因数分解できるかどうか
考えます。
この問題の場合、
9x^2+6xy+4y^2
はxの二次式と見たときにたすきがけができません。
(注)
解の判別式を学習済みであれば、この場合は
9x^2+6xy+4y^2=0
をxの二次方程式と見たときの解の判別式である
yの二次式が平方式に因数分解できない
ことから確認できます。

No.25584 - 2014/04/19(Sat) 16:45:18

☆ Re: 因数分解 / さかなくん

そうなんですね。
ありがとうございました。

No.25655 - 2014/04/23(Wed) 01:13:33

★ (No Subject) / ヒキニート

微分問題です。できれば増減表も書いて欲しいです。

No.25582 - 2014/04/19(Sat) 15:00:22

☆ Re: / みずき

まずは、微分すれば良いことは分かりますね。

f(x)=x^2
g(x)=x^2+x-2
として
{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2
を計算してみましょう。

No.25589 - 2014/04/19(Sat) 21:30:55

☆ Re: / ヒキニート

漸近線を求めたら、その一つにy=1というのが出たのですが、極小値が8/9と出て矛盾が生じました。
どこが間違っているのでしょうか？極地の値と漸近線をどう求めたかが知りたいです。

No.25590 - 2014/04/19(Sat) 23:44:24

☆ Re: / みずき

> 漸近線を求めたら、その一つにy=1というのが出たのですが、極小値が8/9と出て矛盾が生じました。
> どこが間違っているのでしょうか？極地の値と漸近線をどう求めたかが知りたいです。

『極地』は『極値』だとして・・・
間違っていませんし、矛盾もしていません。
y'=x(x-4)/{(x+2)^2(x-1)^2}
なので、極大値は0(x=0のとき),極小値は8/9(x=4のとき)
まではいいですね。

ここで、x≠-2,1に注意して、
lim_(x→-2+0)y=-∞
lim_(x→-2-0)y=∞
lim_(x→1+0)y=∞
lim_(x→1-0)y=-∞
lim_(x→∞)y=1
lim_(x→-∞)y=1
x<-2, -2<x<0,x>4のとき、f'(x)>0
0<x<1,1<x<4のとき、f'(x)<0

これらから、グラフを描いてみてください。
おそらく、混乱されているのは、x>1の部分かと思われます。
x→∞で、y→1ですが、x≧4ではy<1を保っていることに注意しましょう。
また、この関数は、1<x<4でy=1と交点を1つ持っていることも
見落とされていると思います。具体的には、x=2のときy=1です。

グラフを描ければ、(3)は解けますね。

No.25593 - 2014/04/20(Sun) 00:34:53

★ (No Subject) / ヒキニート

微分の問題です。難易度はそんなに高くないハズなのにできません。

No.25581 - 2014/04/19(Sat) 14:59:06

☆ Re: / X

0＜x＜1 (A)
とします。
(1)
f'(x)=a/x-(1-a)/(1-x)={a(1-x)-(1-a)x}/{x(1-x)}
=(a-x)/{x(1-x)}
∴aの値についての場合分けが必要です。
(i)a≦0のとき
(A)の範囲で
f'(x)＜0
となりますのでf(x)の最大値は存在しません。
(ii)1≦aのとき
(A)の範囲で
f'(x)＞0
となりますのでf(x)の最大値は存在しません。
(iii)0＜a＜1のとき
f(x)はx=aのときに極大となりますので
増減表を描くことにより求める最大値は
f(a)=aloga+(1-a)log(1-a)

以上から求める最大値は
0＜a＜1のときaloga+(1-a)log(1-a)
a≦0,1≦aのとき存在せず

(2)
(1)の結果により
g(a)=aloga+(1-a)log(1-a)
と置いて
0＜a＜1
の範囲で増減表を描くことを考えます。
g'(a)=loga+1-log(1-a)-1=log{a/(1-a)}
∴g(a)はa=1/2で極小となりますので
増減表により求めるaの値は
a=1/2
となります。

No.25588 - 2014/04/19(Sat) 20:27:06

★ 固有値 / まさ

次の固有値を求める問題で、最後に奇数と偶数と1の場合にわけて固有値を求めるのですが、奇数と偶数の固有値の式の導出の仕方がわかりません
よろしくお願いします。

No.25576 - 2014/04/18(Fri) 21:26:59

☆ Re: 固有値 / まさ

なお、答えはこのようになります
これは漸化式を使った考えですか？

No.25577 - 2014/04/18(Fri) 21:28:26

☆ Re: 固有値 / みずき

> これは漸化式を使った考えですか？

はい、そうです。ご質問から推測するに、
D[n}=t(t-2)D[n-2]
は既知として良いのでしょう。

（nが奇数のとき）
n=2m-1とおけて
D[2m-1]=t(t-2)D[2(m-1)-1]
={t(t-2)}^2D[2(m-2)-1]
={t(t-2)}^3D[2(m-3)-1]
=・・・
={t(t-2)}^(m-1)D[2{m-(m-1)}-1]
={t(t-2)}^(m-1)D[1]

（nが偶数のとき）
n=2mとおけて
D[2m]=t(t-2)D[2(m-1)]
={t(t-2)}^2D[2(m-2)]
={t(t-2)}^3D[2(m-3)]
=・・・
={t(t-2)}^(m-1)D[2{m-(m-1)}]
={t(t-2)}^(m-1)D[2]

No.25586 - 2014/04/19(Sat) 20:03:34

☆ Re: 固有値 / まさ

ありがとうございます

No.25587 - 2014/04/19(Sat) 20:20:18

★ (No Subject) / ヨウ

変形まではできましたが、すべての実数xに対して成り立つの条件とはなんですか？?@とX軸は無交點なんですか？

No.25573 - 2014/04/18(Fri) 20:26:25

☆ Re: / みずき

> 変形まではできましたが、すべての実数xに対して成り立つの条件とはなんですか？

(x-a-2)^2-a^2-4a+21＞0
まで変形できている、とします。
2乗の部分に着目すると、すべての実数xに対して
(x-a-2)^2≧0
が成り立ちますよね。

ですから、不等式○1がすべての実数xに対して成り立つためには、
-a^2-4a+21＞0
であれば良いことになります。

○1の左辺をxに関する2次関数（下に凸）とみて
頂点(a+2,-a^2-4a+21)
がx軸より上側(y＞0)にある条件と考えると
分かりやすいと思います。

> ?@とX軸は無交點なんですか？

「無交點」の意味が分かりません。

No.25574 - 2014/04/18(Fri) 20:38:50

☆ Re: / ヨウ

すいません。無交點　とは　○1はx軸との交点はないということです。
でも、間違いました。
先生。すみません。
第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。

No.25591 - 2014/04/19(Sat) 23:47:35

☆ Re: / みずき

> 第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。

頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
場合分けが必要です。

a+2<-1のときは、
放物線のx=-1のときのy座標が正であること
(-1)^2-2(a+2)*(-1)+25>0
すなわち、
-15<aが必要です。
まとめると、-15<a<-3

a+2=-1のときは、
放物線のx=-1のときのy座標が24>0
となって十分。

a+2>-1のときは、
放物線の頂点のy座標が正であることから
-a^2-4a+21>0
すなわち、
-7<a<3
まとめると、-3<a<3

以上により、
-15<a<-3 または a=-3 または -3<a<3
すなわち、
-15<a<3が答えです。

No.25592 - 2014/04/20(Sun) 00:09:07

☆ Re: / ヨウ

> > 第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。
>
> 頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
> 場合分けが必要です。
>
> a+2<-1のときは、
> 放物線のx=-1のときのy座標が正であること
> (-1)^2-2(a+2)*(-1)+25>0
> すなわち、
> -15<aが必要です。
> まとめると、-15<a<-3
>
> a+2=-1のときは、
> 放物線のx=-1のときのy座標が24>0
> となって十分。
>
> a+2>-1のときは、
> 放物線の頂点のy座標が正であることから
> -a^2-4a+21>0
> すなわち、
> -7<a<3
> まとめると、-3<a<3
>

> 以上により、
> -15<a<-3 または a=-3 または -3<a<3
> すなわち、
> -15<a<3が答えです。

理解できないのはなぜ頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
場合分けが必要であることです。

No.25598 - 2014/04/20(Sun) 19:29:27

☆ Re: / みずき

> 理解できないのはなぜ頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
> 場合分けが必要であることです。

本問の場合、場合分けは避けられないと思います。
理由を述べます。

説明を簡単にするために、○1の左辺をf(x)とおきます。
y=f(x)はxに関する2次関数で、頂点は(a+2,-a^2-4a+21)
であることに注意してください。

ひとつ前の私のコメント(No.25592)を簡潔に書くとすると、
a+2<-1のとき、f(-1)>0が必要で十分
a+2=-1のとき、十分。
a+2>-1のとき、f(a+2)>0が必要で十分
となりますね。

本問で場合分けが避けられない（と少なくとも私が思う）
理由は、見てお分かりいただけるとおり、
a+2<-1のときとa+2>-1のときとで
必要十分となる条件が異なるから、です。
（グラフを考えると分かりやすいと思います。
a+2<-1のときは、頂点に関する条件は関係なくなり、
一方、a+2>-1のときは、頂点に関する条件のみが必要）

条件が異なってしまう以上、場合分けを
せざるを得ないと思います。
以上が、本問で場合分けが必要である（と私が思う）理由です。

No.25600 - 2014/04/20(Sun) 21:02:03

☆ Re: / ヨウ

ありがとうございます。わかりました。

No.25601 - 2014/04/20(Sun) 22:45:50

★ サッカーボール / √

「球面上の角度」について教えてください。

サッカーボールは、
黒の「正五角形」の周りに、
白の「正六角形」が五つ、あります。

平面状で、
「正五角形」の周りに「正六角形」を
五つ並べると

「正六角形」の一つの角度は１２０度
「正五角形」の一つの角度は１０８度

なので、
三つの正多角形の交点の角度の総和が３６０度に
ならず、隙間が開いてしまいます。
（１２度の隙間ができます）

でも、
球面上では、隙間はできないことから、
【球面上では、角度が大きくなる】
言い換えると、
球面上では、三角形の内角の和は１８０度より大きくなる
と考えれば良いですか？

逆に、
サッカーボールから、
黒の部分を切り抜いても、
きちんとした「正五角形」にならず、
白の部分を切り抜いても、
きちんとした「正六角形」にならないと
考えて良いですか？

よろしくお願い致します。

No.25567 - 2014/04/18(Fri) 13:51:41

☆ Re: サッカーボール / ヨッシー

球面幾何学などと言われる、別の体系があります。

>【球面上では、角度が大きくなる】
は概ね正しく、
>きちんとした「正五角形」にならず、
>きちんとした「正六角形」にならない
の部分も平面で考えるそれらの図形とは違うという
解釈で良いと思います。

No.25568 - 2014/04/18(Fri) 14:10:56

☆ Re: サッカーボール / √

ヨッシーさん
有り難うございました。

（パッチワークで、黒と白の布を使ってサッカーボールを作るのは至難の業ということですね（＾＾＊））

No.25569 - 2014/04/18(Fri) 14:36:42

☆ Re: サッカーボール / ヨッシー

球は大変ですが、多面体で妥協するなら、平面の正五角形、正六角形を
つなぐだけでも十分でしょう。

No.25570 - 2014/04/18(Fri) 15:02:59

☆ Re: サッカーボール / √

ヨッシーさん　有り難うございます。

そうですね、布は、少し位は伸びてくれるし、
それぞれのパーツを毛糸で編んで繋げれば
限りなく球に近づきますね。。。

No.25571 - 2014/04/18(Fri) 15:54:18

★ 二変数関数の極限 / ktdg

二変数関数の極限をもとめるとき、
y=(xの式) (またはx=(yの式))とおいてみて、近づき方によって極限値が異なるならば極限値が存在しないといえる
ということを以前教えていただきました。
しかしこのやり方では、近づけ方(直線上を近づけるなど)を色々と試してみなければならないし、近づけ方は無数にあって、色々と試してみた結果、極限値が存在するかしないかわからないということもありえると思います。
極限値が存在するかどうかを調べる決定的な方法はないのでしょうか？

No.25561 - 2014/04/17(Thu) 21:02:42

☆ Re: 二変数関数の極限 / angel

それは、「距離が0に近づく」と考えれば良いです。
なので、計算上は、目的の点を基準にした極座標として考えるのがやり易いでしょう。
勿論、「どんな近づき方でも」という縛りはありますが、それは極座標で表した時に「θの値に関わらずr→0で同じ値に近づく」とすれば良いので。

No.25566 - 2014/04/18(Fri) 09:08:59

☆ Re: 二変数関数の極限 / ktdg

「どんな近づき方でも」と「r→0のとき、θの値に関わらず」が対応しているのですね。
ありがとうございます。

No.25572 - 2014/04/18(Fri) 17:29:04

★ (No Subject) / 錦織

円の接線が円の中心と直角になることを証明せよ。

No.25551 - 2014/04/17(Thu) 17:00:20

☆ Re: / らすかる

問題がおかしいです。「円の中心と直角」は意味が通じません。

No.25555 - 2014/04/17(Thu) 17:37:22

☆ Re: / みずき

らすかるさんのおっしゃる通りです。
以下では、
「円の接線と、その接点と円の中心とを結ぶ直線が直交する」
ことを示します。

円Oの円周上の点Pを接点とする接線をLとし、
直線OPが直線Lと直交しないと仮定します。

円の中心Oから直線Lに垂線を引いて、
その垂線と直線Lとの交点をHとすると、
直線OPが直線Lと直交しないことから、P≠Hです。

ここで、△OHPは∠OHP＝90°の直角三角形なので、OH＜OPです。
OPは円Oの半径だから、点Hは円Oの内部にあります。
よって、点Hを通る直線Lは、円Oと共有点を2つ持つことになり、
接線であるということに矛盾します。

従って、直線OPは直線Lと直交します。
すなわち、円の接線と、その接点と円の中心とを結ぶ直線は直交します。

No.25556 - 2014/04/17(Thu) 17:38:57

★ 合同の証明 / たかし

問題：写真にある図形において、AB=ACとなる二等辺三角形ABCと、頂点Aを中心とする円がある。AB、ACと円との交点をD、Eとし、BEとCDとの交点をFとする。このとき、△DBF≡△ECFを証明しなさい。

以上の証明問題で、わかる範囲で途中まで解答しました。

AB=AC（仮定）…?@
AD=AE（円の半径）…?A
DB=AB-AD、EC=AC-AE…?B
?@～?Bより、DB=EC…?C

∠DFB=∠EFC（対頂角）…?D

しかし、合同条件がまだ確定できず、どこに目をつければいいのかわかりません。教えてください。

No.25546 - 2014/04/17(Thu) 01:49:13

☆ Re: 合同の証明 / らすかる

DB=EC、∠DBC=∠ECB、BC共通から△DBC≡△ECB
よって∠BDC=∠CEBなので証明する二つの三角形の
対応する角は等しく、一辺が等しいので合同。

No.25547 - 2014/04/17(Thu) 01:58:11

☆ Re: 合同の証明 / たかし

もう１組の三角形の合同を証明して利用するとは盲点でした。証明の段取りは理解できました。

しかし、合同条件は、

?@「３辺がそれぞれ等しい」
?A「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」
?B「１辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
?C「直角三角形の斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい」

の４パターンのどれかに該当する問題ばかりでしたので、「対応する角は等しく、一辺が等しい」という条件は知りませんでした。?@～?Cに該当しなくても合同条件として成立するものはあるのですか。

No.25548 - 2014/04/17(Thu) 12:57:34

☆ Re: 合同の証明 / ヨッシー

それは言い方が違うだけで、
?B「１辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
と同じことです。

No.25549 - 2014/04/17(Thu) 14:38:18

☆ Re: 合同の証明 / たかし

なるほど。そうなんですね。

つまり、どうしても?Bにしたければ、

∠ＤＦＢ＝∠ＥＦＣ、∠ＢＤＦ∠ＣＥＦより、
∠ＤＢＦ＝∠ＥＣＦ

と書けばいいだけのことなんですね。

No.25560 - 2014/04/17(Thu) 20:01:55

☆ Re: 合同の証明 / らすかる

そういうことです。

No.25562 - 2014/04/17(Thu) 22:17:00

★ 整数問題 / 恵

中３です。

ｎ=１×２×３×…×９９×１００とするとき、ｎの末尾から０がいくつ続くか求めよ。

この問題の解き方を教えてください。

（０が続くとなれば「×１０」が関係しそうですが、何から手をつければいいのかわかりません。）

No.25538 - 2014/04/16(Wed) 19:59:12

☆ Re: 整数問題 / らすかる

×10で0が1個増えますから、1×2×3×…×100に
「2×5」がいくつ含まれているかという問題になります。
5の方が少ないので5の方を数えると
5,10,15,…,100に5が含まれ、その中の25,50,75,100に5が二つ含まれますので
5は全部で24個含まれていますね。
2の方は2,4,6,8,…,100に少なくとも1個ずつ含まれますので、
24個よりははるかに多いです。
従って末尾の0は24個になります。

No.25539 - 2014/04/16(Wed) 20:50:01

☆ Re: 整数問題 / 恵

らすかるさん、わかりました。

確認のために、らすかるさんの説明を段階を踏んで整理すると、

?@「×１０」で０が１つ増えるので、１０を素因数分解した「２×５」のペアの個数を調べると答えが出る。

?Aｎをもっと細かく素因数分解した際、２の個数と５の個数のどちらが多いかを調べるために、２の倍数と５の倍数の個数を調べると、５の倍数の個数のほうが少ないため、５の個数を調べる。

?B５の倍数は２０個あり、そのうち、５×○の○にもう１つ５を持つ数字がある。それが、５×５×○という数字、つまり２５の倍数である。２５の倍数は１から１００のうち、２５（５×５×１）、５０（５×５×２）、７５（５×５×３）、１００（５×５×４）の４つである。よって、２０＋４＝２４個である。

?C少ない方の５の個数が決まれば自動的に２×５の組の数が特定されるので、２４個が正解。

という流れで解けるんですね。

No.25542 - 2014/04/16(Wed) 23:44:53

☆ Re: 整数問題 / らすかる

はい、その通りです。

No.25543 - 2014/04/17(Thu) 00:35:17

☆ Re: 整数問題 / 恵

ありがとうございます。助かりました！

No.25559 - 2014/04/17(Thu) 19:56:30

★ (No Subject) / ヨウ

毎回、すいません。
問題の2と4と5はまちがえていました。
教えていただけますか。

No.25535 - 2014/04/16(Wed) 19:37:00

☆ Re: / ヨウ

こちらです。

No.25536 - 2014/04/16(Wed) 19:37:32

☆ Re: / みずき

> こちらです。

y=ax^2-2bx+c
の軸の方程式は何ですか？書いてみてください。
おそらくここを間違えたために、
b＜0という誤った条件を導いてしまったと思われます。

それと(4)は
f(0)＞0
f(1)＞0
軸が0より大きく1より小さい
という3つの条件だけでは解けません。

『グラフはx軸と共有点を持ち』とあるので、
判別式に関する条件が得られますね。

No.25540 - 2014/04/16(Wed) 21:13:27

☆ Re: / ヨウ

2はできました。

4はグラフはx軸と共有点を持ちことから、D》0と計算しましたけど、結果えられませんでした。よかったら、教えていただけますか・
また、（5）もわかりません。
お願い致します。

No.25552 - 2014/04/17(Thu) 17:24:43

☆ Re: / みずき

> 4はグラフはx軸と共有点を持ちことから、D》0と計算しましたけど、結果えられませんでした。よかったら、教えていただけますか・
> また、（5）もわかりません。

（4について）
D≧0⇔ac≦b^2⇔c≦b^2/a （∵a＞0）
また、b＜a⇔b^2＜ab⇔b^2/a＜bなので、
c≦b^2/a＜b
よって、b＞c

（5について）
これまでで分かったことから、
0＜c＜b＜a

よって、aとして考えられる最小の整数は
(a,b,c)=(3,2,1)
のときの3ですね。
しかし、このとき、2b＜a+cを満たさないので不適です。

よって、次にaとして考えられるのは、
(a,b,c)=(4,3,2),(4,3,1),(4,2,1)
のa=4の場合ですね。

(a,b,c)=(4,3,2)の場合、2b＜a+cを満たさないので不適。
(a,b,c)=(4,3,1)の場合、2b＜a+cを満たさないので不適。
(a,b,c)=(4,2,1)の場合、すべての条件を満たすので十分です。（確認してみましょう。）

よって、答えは(a,b,c)=(4,2,1)のとき、です。

No.25558 - 2014/04/17(Thu) 18:02:55

☆ Re: / ヨウ

毎回、大変、ありがとうございました。
親切に教えて頂いて、ありがとうございます。

No.25564 - 2014/04/18(Fri) 00:21:16

★ 補集合 / ヨウ

第一問題はできましたが、第二問題はできませんでした。
詳しく教えていただけますか。

No.25527 - 2014/04/16(Wed) 16:39:24

☆ Re: 補集合 / ヨウ

こちらは私の解き方です。

No.25528 - 2014/04/16(Wed) 16:41:11

☆ Re: 補集合 / みずき

A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}
(Aバー)∩B={x|3＜x≦6}
Aバー={x|x＜a または x＞c}
Bバー={x|x＜b または x＞d}
であることは、よろしいでしょうか。

必要条件（少なくともこれだけは言えるという条件）
で絞っていくのが良いと思います。

A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}なので、
a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」

(Aバー)∩B={x|3＜x≦6}なので、
b≦3かつd≧6かつ「a≧6またはc≦3」

よって、
a≦-6かつ1≦b≦3かつ1≦c≦3かつd≧6

再びA∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}を考えると、
b=1かつa=-6
でなくてはいけません。
（数直線で考えてみましょう。）

また、再び(Aバー)∩B={x|3＜x≦6}により、
c=3かつd=6
でなくてはいけません。

一方、a=-6,b=1,c=3,d=6のとき、十分なので、
これが求める答えです。

No.25530 - 2014/04/16(Wed) 17:46:25

☆ Re: 補集合 / ヨウ

せんせい、ごめんなさい。
A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}なので、
a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
これはなぜかわかりません。

No.25532 - 2014/04/16(Wed) 19:25:38

☆ Re: 補集合 / みずき

> A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}なので、
> a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
> これはなぜかわかりません。

A∩(Bバー)は
A={x|a≦x≦c}とBバー={x|x＜b または x＞d}
の共通部分なので、
少なくとも
「xがA∩(Bバー)に含まれるならば、xはAに含まれる」
「xがA∩(Bバー)に含まれるならば、xはBバーに含まれる」
が言えます。
これから、
a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
が導けます。

No.25537 - 2014/04/16(Wed) 19:46:46

☆ Re: 補集合 / ヨウ

> > A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}なので、
> > a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
> > これはなぜかわかりません。
>
> A∩(Bバー)は
> A={x|a≦x≦c}とBバー={x|x＜b または x＞d}
> の共通部分なので、
> 少なくとも
> 「xがA∩(Bバー)に含まれるならば、xはAに含まれる」
> 「xがA∩(Bバー)に含まれるならば、xはBバーに含まれる」
> が言えます。
> これから、
> a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
> が導けます。

> a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」.
どうしてa≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦-6」ではないですか？

No.25553 - 2014/04/17(Thu) 17:32:41

☆ Re: 補集合 / みずき

> どうしてa≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦-6」ではないですか？

あ、すみません。間違えました。
おっしゃるように、
a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦-6」
が正しいです。
混乱させてしまってごめんなさい。

No.25557 - 2014/04/17(Thu) 17:48:26

☆ Re: 補集合 / ヨウ

いいえ。大丈夫です。ありがとうございました。

No.25563 - 2014/04/18(Fri) 00:06:09