ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / tt

この問題で、6回目をn回目に一般化したときってできますか？

No.26914 - 2014/06/15(Sun) 15:02:51

☆ Re: / ヨッシー

３円になるのは偶数回のときなので、2n 回として考えます。
2n回目に太郎君が
　１円の確率をＡn、３円の確率をＢn
とします。ただし、Ａ0＝０，Ｂ0＝１。
１円の状態から、太郎君が
　負け→勝ち　確率1/4 終了
　負け→負け　確率1/4 終了
　勝ち→負け　確率1/4 １点
　勝ち→勝ち　確率1/4 ３点
３円の状態から、太郎君が
　負け→勝ち　確率1/4 ３点
　負け→負け　確率1/4 １点
　勝ち→負け　確率1/4 ３点
　勝ち→勝ち　確率1/4 終了
以上より、
　Ａ(n+1)＝(1/4)Ａn＋(1/4)Ｂn
　Ｂ(n+1)＝(1/4)Ａn＋(1/2)Ｂn
この先はこちらを見ていただくとして
結果は以下の通りです。

No.26920 - 2014/06/15(Sun) 15:57:05

☆ 余談 / angel

細かい所ですが、ちょっと曖昧でよろしくない問題文のように見えます。
「6回目のじゃんけんで太郎君の所持金が3円になる確率」の所ですが。
「で」を前提の意味で捉えるか ( つまり「じゃんけんが6回目まで続いた」という前提での「条件付き確率」として考えるか ) どうかで答えが変わってしまいますから。

…おそらく、問題の意図としては条件付き確率ではないのでしょうが。( ヨッシーさんの解説もそうですね )

No.26922 - 2014/06/15(Sun) 16:52:13

★ 速さ / シャルル

Ａ～Ｃの三人が、２地点Ｘ、Ｙを結ぶ直線の道をそれぞれ一定の速度で走る。左側がＸ、右側Ｙとする。

Ａは、Ｘ地点から出発してＹへ向かって進み、Ｂは、Ｘより８Km離れたＹ方向へ進んだ地点から出発してＹ方向へ進む。Ｃは、Ｙから出発してＸに向かって進む。Ａ～Ｃの３人が同時に出発し、以下の条件を満たすとき、Ａの速度はいくらか。

・Ａは３０分後にＢに追いつく。
・ＡとＣは４５分後に出会う。
・ＢとＣは１時間後に出会う。
・ＣがＸに到着後の１６分後に、ＢはＹに到着する。

よろしくお願いします。

No.26903 - 2014/06/15(Sun) 10:34:54

☆ Re: 速さ / ヨッシー

図のにおいて
ＯＡＥＦを通る直線がＡの動きのグラフ
ＣＡＢＨを通る直線がＢの動きのグラフ
ＤＥＢＪを通る直線がＣの動きのグラフ　です。
点Ａは、ＡがＢに追いつく点
点Ｅは、ＡとＣが出会う点
点Ｂは、ＢとＣが出会う点　です。

△ＣＡＯ≡△ＢＡＦ　より　ＢＦ＝８
△ＯＤＥ∝△ＦＢＥ（相似比3:1）　より　ＯＤ＝２４
これより、ＸＹ間が24km とわかります。

ＯＫ＝ａとおくと、△ＯＫＣ∝△ＤＨＣ（相似比１：２）より　ＤＨ＝２ａ
　ＤＨ：ＫＪ＝ＤＧ：ＬＪ
より
　２ａ：(3a-16)＝60：(2a-76)
これより
　60(3a-16)＝2a(2a-76)
これを解いて、
　a=3, 80
a＞16 より　ａ＝８０(分)
よって、
Ｂの速さは　８÷８０×６０＝６(km/時)
ＡとＢの速さの差は　８÷(30/60)＝16(km/時)
なので、Ａの速さは　6＋16＝22(km/時)
となります。

No.26913 - 2014/06/15(Sun) 12:55:48

★ (No Subject) / 加月

問題5、確率の問題です。よろしくお願いします。

No.26879 - 2014/06/14(Sat) 17:16:01

☆ Re: / X

(1)
二つのさいころの出る目が同じである確率に等しく
6/36=1/6

(2)
得点が1になる場合のさいころの目の組み合わせは
{1,2},{2,3}{3,4}{4,5}{5,6}{2,1}{3,2}{4,3}{5,4}{6,5}
の10[通り]
∴確率は
10/36=5/18

(3)
得点の最大値が
6-1=5
であることに注意して得点がk(k=0,1,2,3,4,5)のときの
確率(P[k]とします)をまず求めます。
得点がkのときのさいころの目の小さい方をlとすると
大きい方の目について
k+l≦6
∴l≦6-k
従って得点がkのときのさいころの目の出方は
k≠0のときはさいころの目の入れ替わりも
考慮に入れて
2(6-k)[通り]
となりますので
P[k]=2(6-k)/36=(6-k)/18
一方(1)の結果より
P[0]=1/6
よって求める期待値は
Σ[k=0～6]kP[k]=Σ[k=1～6]k(6-k)/18=…

No.26881 - 2014/06/14(Sat) 17:49:44

★ (No Subject) / tt

これでP(Sk=r)を直接求めるのは無理でしょうか。

No.26877 - 2014/06/14(Sat) 16:11:44

☆ Re: / angel

いや、多分できます。

おそらく
　P(Sk=r)
　= nCr/n^k・( r^k - rC1・(r-1)^k + rC2・(r-2)^k - … + (-1)^(r-1)・rC(r-1)・1^k )
　= nCr/n^k・Σ[i=0,r-1] (-1)^i・rCi・(r-i)^k
になると思います。
※いくつかのケースを計算すると、この式で丁度あっているので「思います」としています。
　少なくとも、これより込み入った形ですが、Σを繰り返す形で表すことはできます。

もちろん、この形で表せたとして、今回の問題へのアプローチとしてどうかという話は置いとくものとします。

No.26890 - 2014/06/15(Sun) 00:05:18

☆ Re: / tt

このΣってどう計算するのでしょう。
いま悪戦苦闘してますが、、、
とけますかね？

No.26911 - 2014/06/15(Sun) 12:46:44

☆ Re: / angel

> このΣってどう計算するのでしょう。
Σには「複数の項を足し合わせる ( 総和 )」以上の意味はありません。なので、素直に足してください。

確かに高校で出てくるΣには、より単純な形に整理できるもの ( 例えば Σ[k=1,n] r^(k-1) = (r^n-1)/(r-1) とか Σ[k=1,n] k=1/2・n(n+1) とか ) が多いです。
なので、もしかしたら「Σは必ずΣを含まない形に整理すべきもの」と思ってしまうかも知れませんが…
※「とけますかね？」という言葉にそういう含みを感じます

それ以上簡単にできない例も実際にはたくさんありますし、今回の例もそうです。
※簡単な形に整理しようとする心意気は良いです

No.26916 - 2014/06/15(Sun) 15:35:11

☆ 一例 / angel

例を挙げます。
n=5, k=4, r=3 の場合を考えてみましょう。
つまり、5枚のカードを4回引いたら3種類のカードが出る、という場合の確率ですね。

・手で数えて答えを出す場合
　1種類目のカードをa、2種類目をb、3種類目をcとした場合、
　カードの出方は、
　　aabc, abac, abbc, abca, abcb,abcc
　の6パターンです。
　ここで、a,b,cの組み合わせは 5P3=5×4×3=60通りあるため、カードの出方は60×6=360通り
　結局確率は、360÷5^4 で計算できます。

・私の挙げた式から計算する場合
　5C3 / 5^4 ・Σ[i=0,3-1] (-1)^i・3Ci・(3-i)^4
　= 10/5^4・( 3C0・3^4 - 3C1・2^4 + 3C1・1^4 )
　= 10/5^4・( 81 - 48 + 3 )
　= 360/5^4

ということで両者はちゃんと一致しています。

結局のところ、この計算の一番の肝は 1^k,2^k,…,r^k に係数をかけて足し引きするところなので、一般の式としてはΣを使った形以上に簡単にはならないのです。

No.26918 - 2014/06/15(Sun) 15:48:30

★ (No Subject) / tt

これってできますか。

No.26848 - 2014/06/13(Fri) 19:08:57

☆ Re: / みずき

a=0のとき、f(x)は直線を表すので、
|f(0)|≦1かつ|f(1)|≦1(・・・A)が必要十分です。

a≠0のとき、f(x)は放物線（頂点のx座標=-b/(2a)）を表すので、
頂点が区間内にあるときは、|f(-b/(2a))|≦1かつAが必要十分。
頂点が区間内にないときは、Aが必要十分です。

従って、
『a=0かつ|c|≦1かつ|a+b+c|≦1』
または
『a≠0かつ0≦-b/(2a)≦1かつ|c-b^2/(4a)|≦1かつ|c|≦1かつ|a+b+c|≦1』
または
『a≠0かつ「-b/(2a)＜0または1＜-b/(2a)」かつ|c|≦1かつ|a+b+c|≦1』

まとめると、
『a=0または「-b/(2a)＜0または1＜-b/(2a)」または|c-b^2/(4a)|≦1』
かつ|c|≦1かつ|a+b+c|≦1

No.26851 - 2014/06/13(Fri) 21:26:41

★ 高校一年図形と式円の方程式 / みどり

こんにちは。
かなり昔に同じような問題の質問をした記憶があるのですが、解答が得られなかったので
申し訳ありませんが再度質問させていただきます。

問題1
放物線C：y=x^2と円Dが4点P、Q、R、Sで交わっているとする。P、Q、Rが格子点であればSも格子点であることを示せ。

問題2
(1)xy平面上の円で、円周上にちょうど5個の格子点を持つものの一例を挙げよ。
(2)xy平面上の円で、円周上にちょうどn個の格子点を持つものが存在するような自然数nをすべて挙げよ。

問題1については、以下のように示しました。

円Dの式をx^2+y^2+ax+by+c=0 ･･･?@ 、放物線C：y=x^2 ･･･?A とおきます。
?Aを?@に代入し、x^2+x^4+ax+bx^2+c=0 整理して、x^4+(1+b)x^2+ax+c=0 ･･･?B
4点P、Q、R、Sのx座標をp、q、r、sとおくと、この4数は四次方程式?Bの解になっているので、
解と係数の関係よりp+q+r+s＝0である。すなわちs=-(p+q+r)である。
題意よりp、q、rは整数なのでsも整数。S(s,s^2)なのでSのy座標も整数であり、Sは格子点である。

問題2についてを教えてください。
問題1のように、円との交点が5つになるような5次方程式を用意しようと思いましたが、
それで円上に5つの格子点が用意できたとしても、円上にそれ以外の格子点が無いことが示せず難儀しています。
なにとぞよろしくお願いいたします。
問題1が問題2のヒントになっているかどうかも分かりませんので、問題1を利用しない解答でも大歓迎です。

ちなみに、以前質問した折には、この問題の解答は得られませんでしたが、「シンツェルの定理」というものを
教えていただきました。これで円上に任意の個数の格子点を設置できることは分かりましたが、当然この問題を解く上では
無関係のことと思います。

No.26812 - 2014/06/12(Thu) 15:32:38

☆ Re: 高校一年図形と式円の方程式 / みずき

こちら(↓)によれば、
http://mathworld.wolfram.com/SchinzelsTheorem.html
問題2の答えは次になるようです。

(1)(x-1/3)^2+y^2=(25/3)^2
(格子点は、(x,y)=(-2,±8),(7,±5),(-8,0)の5点)

(2)すべての自然数

No.26820 - 2014/06/12(Thu) 18:46:54

☆ Re: 高校一年図形と式円の方程式 / みどり

諸事情により返信が遅れまして申し訳ありません。
>>みずき様
お答えありがとうございます。
問題2(1)の答えは納得いたしました。
(2)については、シンツェルの定理により任意の自然数について存在するのは知っております。高校1年の図形と式の演習問題として、解答の導き方を教えていただきたいです。
たいへん申し訳ありませんが、引き続きよろしくお願いいたします。

No.26945 - 2014/06/16(Mon) 14:54:09

★ (No Subject) / 加月

確率の問題、問題２、よろしくお願いします。

No.26796 - 2014/06/12(Thu) 09:12:36

☆ Re: / ヨッシー

球の取り出し方は全部で、
　7Ｃ3＝35（通り）
(1)
白３個を取る取り出し方は
　4Ｃ3＝4（通り）
求める確率は　4/35
(2)
赤２個を取り出す取り出し方は　3Ｃ2＝3（通り）
白１個を取り出す取り出し方は　4Ｃ1＝4（通り）
よって、全部の場合の数は　3×4＝12(通り)
求める確率は　12/35
(3)
赤１個、白２個を取り出す場合の数は、
　3Ｃ1×4Ｃ2＝18(通り)
よって、求める期待値は
　1×12/35＋2×18/35＋3×4/35＝60/35＝12/7

正確には、赤３個白０個の確率も出すのですが、点数０で、
期待値に影響しないので省略しました。

No.26803 - 2014/06/12(Thu) 13:23:20

★ 余弦定理 / さかなくん

（2）の赤いラインから、下部がわかりません。
判別式/4が完全に使いこなせるわけでないので
判別式/4って使なくとも解けますか？
判別式/4って、覚えないくても、地道に解けば
大丈夫ですかね？

No.26787 - 2014/06/12(Thu) 01:38:38

☆ Re: 余弦定理 / さかなくん

回答、こちらの赤いライン以下部分です。

No.26788 - 2014/06/12(Thu) 01:40:15

☆ Re: 余弦定理 / ヨッシー

最初の「なぜ？」
625－16x^2 は、x の絶対値が大きいほど小さくなるわけですが、
5＜ｘ≦25/4 のとき、ｘ＝25/4 において、625－16x^2 は最小で、
その値は、625－16(25/4)^2＝0 であるので、
5＜ｘ≦25/4 においては、625－16x^2 は、０以上の値を取ります。

その下の長い「？」
?Cの式の下からは、?Cで得られたｙがちゃんと正の値を取るかどうかの
チェックです。
√の中身が０以上で、ｘが正だと、３ｘ＋√(625－16x^2) は当然正なので、
３ｘ－√(625－16x^2) が正になるかどうかがチェックのポイントになります。

結果、３ｘ＋√(625－16x^2) も３ｘ－√(625－16x^2) も正となり、
１つのｘにつき２つのｙがあります。

図のＢＡとＢＡ’は同じ長さですが、位置によって、ｙの値は
ＣＡ、ＣＡ’と２通り存在します。

No.26789 - 2014/06/12(Thu) 02:04:50

★ リンクかなあ？すみません。 / 潤一郎

こんばんは。

いつも勉強させてもらっています。
最近知ったのですが「数学の部屋ＢＢＳ」は
ヨッシー先生が作られたものですか？

それともリンク先でしょうか？

同じ回答者の先生方がおられるので
何か関係あるのかなと思っています。
教えて下さい。

No.26781 - 2014/06/11(Wed) 23:30:43

☆ Re: リンクかなあ？すみません。 / ヨッシー

あちらは、青木さんという方が作られた、数学の部屋に
付属している掲示板です。

これらの掲示板に限らず、数学の掲示板は共通の回答者が
多くおられます。

No.26785 - 2014/06/12(Thu) 01:11:56

☆ Re: リンクかなあ？すみません。 / 潤一郎

ヨッシー先生へ

夜遅くありがとうございました。

良くわかりました。

今のところ頑張っています。又お世話になります。

No.26786 - 2014/06/12(Thu) 01:20:06

★ 定数の範囲 / みみ

2点A（0．1）B （2．5）がある。放物線y=x^2ｰx+aが線分ABと
共有点をもつとき、定数aのとりうる値の範囲を求めよ。

No.26780 - 2014/06/11(Wed) 23:23:08

☆ Re: 定数の範囲 / みずき

直線ABはy=2x+1なので、求める条件は、
x^2-x+a=2x+1⇔x^2-3x+a-1=0
が0≦x≦2に少なくとも1つ解を持つ条件です。
判別式が0以上であることから、
(-3)^2-4(a-1)≧0・・・A
解が0≦x≦2の間にある条件として
0≦(3+√(-4a+13))/2≦2・・・B
0≦(3-√(-4a+13))/2≦2・・・C

Aかつ(BまたはC)を満たすaの範囲は、1≦a≦13/4

No.26783 - 2014/06/12(Thu) 00:39:06

★ 「ときわ台学/代数入門/方程式：X^17＝1の”代数的な”解法」について / ｊｔ７７８７７

このタイトルにあるネットを見てみると「ガウスは19歳の時にこれを解き，正17角形が定規とコンパスで作図可能なことを示しました。」と書いています。これは数学ファンの
皆様もよくご存じのエピソードだと思います。

が、しかしこのサイトに書かれている「方程式：X17＝1の”代数的な”解法」をよくよく見てみると数学の本にほとんど
のっていない解き方でガウスは「X^１７－１＝０」を
見事解いていますよねえ。（代数的に）

ここで皆さんにお聞きしたいのですがこのガウスの解き方は
なんという解き方なのでしょうか？それとも
「ガウス流解法」という名前の解き方があるのでしょうか？
教えてもらえたら嬉しいです。よろしくお願いします。

※もしかしたら「X^１７－１＝０」の17は「２の４乗＋１」
だからガウスは代数的に解けたかも知れませんよねえ。
（あくまでも私の個人的推測ですが、、、。）

たしか「X＾６５５３７－１＝０」もガウスが代数的に
解いたのではないでしょうか？（もし？自分の記憶違いで
あればごめんなさい><)
「６５５３７は2の16乗＋１ですからねえ」

No.26777 - 2014/06/11(Wed) 20:17:02

★ 小学性 / iinuma

頂角が30度、底辺が1cmの二等辺三角形の面積は。

No.26771 - 2014/06/11(Wed) 11:08:29

☆ Re: 小学性 / ヨッシー

等辺ではなくて底辺（一番短い辺）で間違いないですか？

No.26772 - 2014/06/11(Wed) 12:44:03

☆ Re: 小学性 / ヨッシー

では、小学性から連想される小学生という単語は無視して、
手っ取り早いやり方から、書いていきます。
等辺をｘとすると、求める三角形の面積は
　(1/2)x^2sin30°＝x^2/4
で表されます。
余弦定理より
　1^2＝x^2＋x^2－2x^2cos30°
　　1＝(2－√3)x^2
　x^2＝1/(2－√3)＝2＋√3
よって、求める面積は
　(2＋√3)/4 (cm^2)

No.26774 - 2014/06/11(Wed) 13:30:48

☆ Re: 小学性 / ヨッシー

別解
図のように、Ａ，Ｂ，Ｃ　を取り、ＢからＡＣに下ろした
垂線の足をＤ，ＢＣの中点をＭとします。

ＡＢ＝ＡＣ＝2x とおくと、
ＡＤ＝√3ｘ, ＤＣ＝(2－√3)ｘ，ＢＤ＝ｘ
よって、
　ＢＭ：ＡＭ＝ＣＤ：ＢＤ＝(2－√3)：１
ＢＭ＝1/2 であるので、
　ＡＭ＝(1/2)/(2－√3)＝(2＋√3)/2
よって、求める面積は、
　(2＋√3)/2×1÷2＝(2＋√3)/4

No.26775 - 2014/06/11(Wed) 14:39:13

☆ Re: 小学性 / ヨッシー

別解
図において、ＡＢ＝ｘとすると、求める面積は、x^2/4　（前出の通り）
　cos15°＝ＢＭ／ＡＢ　より
　ｘ＝(1/2)／cos15°
cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°
　　＝(√6－√2)／４
よって、
　ｘ＝2/(√6－√2)＝(√6＋√2)／2＝(√3＋1)/√2
　x^2＝(√3＋1)^2／2＝(2＋√3)
よって、求める面積は、(2＋√3)/4

No.26776 - 2014/06/11(Wed) 14:50:30

★ (No Subject) / 加月

この問題はどうやってできますか？教えてください。どうぞよろしくお願いいたします。

No.26764 - 2014/06/10(Tue) 22:27:56

☆ Re: / ヨッシー

もう (1) は無いものとして、?@を解きにかかりましょう。
?@は、
x≧5/3 のとき　(x-1)^2＝3x-5　・・・(i)
x＜5/3 のとき　(x-1)^2＝5-3x　・・・(ii)
と書けます。
(i) より、
　(x-1)^2－3(x-1)＋2＝0
　(x-1-1)(x-1-2)＝0
よって、
　ｘ＝2, 3
これらはともに、x≧5/3 を満たす。・・・答１

(ii) より
　(x-1)^2＋3(x-1)－2＝0
　x-1＝(-3±√17)/2
よって、
　x＝(-1±√17)/2
これらは、ともに x＜5/3 を満たす。・・・答２
以上より
(1)
　ｘ＝２，３
(2)
解は４個。
最小の解は　ａ＝（－１－√１７）／２≒(-1－4.･･･)／２
　＝-2.･･･
よって、－３＜ａ≦－２　より　ｍ＝－２

No.26765 - 2014/06/10(Tue) 22:50:16

☆ Re: / 加月

すみません、ａ＝（－１－√１７）／２≒(-1－4.･･･)／２＝-2.･･･があまりわかりませんが、もちょっと詳しく説明のお願いができますか？

No.26769 - 2014/06/11(Wed) 09:06:59

☆ Re: / ヨッシー

答１と答２のうちで、最小のものは
　ｘ＝(-1－√17)/2
であることは良いですね？では、それが、小数でいうと
いくつぐらいかを求めれば、ｍが分かりますので、
√17＝4.…　　もう少し書くと　√17＝4.1231…
これを使って、(-1－√17)/2 の近似値を求めると、
　(-1－√17)/2＝-2.…　(もう少し書くと -2.561…)
となるということです。

No.26770 - 2014/06/11(Wed) 09:58:25

☆ Re: / 加月

はい！よく分かりました。どうもありがとうございます。

No.26778 - 2014/06/11(Wed) 21:50:13

★ 【効用関数】 / しばゆー

連続投稿ごめんなさい
もう一問解けない問題があって・・・（泣）

収入のすべてを財𝑋の購入に充てる労働者がいる。
財𝑋の価格は５で一定である。
この労働者の時給が10から15に上昇した時、
彼の効用を最大にする労働時間𝐿∗はどう変化するかな？
ただし、彼の効用関数は、 𝑈=𝑥0.212−𝐿0.2 であるとする
（𝑈：効用、𝑥：財𝑋の消費量、𝐿：労働時間）

時給を𝑤とすると 𝑥=𝑤𝐿5 になって
𝑌=12−𝐿 とおいて効用関数に代入したら
𝑈=(𝑤/5)^0.2 * 𝐿^0.2 * 𝑌^0.2

↑ここでとまっています・・・。
こちらの問題もぜひ教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

No.26752 - 2014/06/09(Mon) 18:56:29