ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / さら

4^x+4^-x+a(2^x+2^-x)-1=0の実数解の個数を求めよ。

No.27133 - 2014/06/19(Thu) 08:33:47

☆ Re: / ヨッシー

Ｘ＝2^x とおくと、
2^x＋2^(-x)＝m は、Ｘ＋１／Ｘ＝ｍと書け、
両辺Ｘを掛けると
　Ｘ^2－ｍＸ＋１＝０
判別式　ｍ^2－４＞０　かつ　軸：ｘ＝ｍ/２＞０のとき
つまりｍ＞２のとき、Ｘは異なる２つの正の解をもち、
ｍ＝２のときＸは重解Ｘ＝１を持ちます。

ｍ^2＝4^x＋4^(-1)＋2 であるので、
4^x+4^-x+a(2^x+2^-x)-1=0 は、
　ｍ^2＋ａｍ－3＝０　・・・(i)
と書けます。f(m)＝ｍ^2＋ａｍ－3 とおくと、
f(0)＝－３＜０　より(i) の解は、異符号の実数解です。
f(2)＝２ａ＋１が、
　正のとき：ｍの正の解は２未満なので、ｘの実数解は０個
　０のとき：ｍ＝２より、ｘの実数解はｘ＝０　の１個
　負のとき：ｍの正の解は２より大きく、ｘの実数解は２個

No.27136 - 2014/06/19(Thu) 08:49:35

★ 軌跡 / シャルル

縦20ｃｍ、横30cmの長方形の中に、下図のように、１辺の長さが10ｃｍの正方形とその頂点Ｐがある。（最も左下の領域です。その正方形の右上の頂点がＰ）

この正方形が全体の図形の周に沿って滑ることなく右方向に回転するとき、Ｐが初めて元のの位置に戻るまでに描く軌跡の長さはいくらか。

よろしくお願いします。

　 10cm　　　10cm 10cm
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
10 |　　　　　|　　　　　|　　　　 |
cm | | | |
| | | |
|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿ |
10 |　　　　Ｐ| | |
cm | | | |
| | | |
|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿＿|＿＿＿＿ |

No.27118 - 2014/06/18(Wed) 20:44:51

☆ Re: 軌跡 / シャルル

すみません、投稿したら図が変になってしまいました。↑

縦20ｃｍ、横30cmの長方形の中に、１辺の長さが10ｃｍの正方形とその頂点Ｐがあるという状況です。（最も左下の領域にあります。その正方形の右上の頂点がＰ）

No.27119 - 2014/06/18(Wed) 20:47:00

☆ Re: 軌跡 / シャルル

これです。

No.27122 - 2014/06/18(Wed) 20:52:07

☆ Re: 軌跡 / ヨッシー

正方形は元に戻っていませんが、「Ｐが」ということなので、
これで良いと思います。

No.27126 - 2014/06/18(Wed) 23:01:09

★ (No Subject) / tt

今更って感じがするのですが、数学ってセンス云々よりいかに正確に与えられた条件を同値変形できるかじゃないですか？

No.27114 - 2014/06/18(Wed) 20:13:16

☆ Re: / らすかる

x,y,zは自然数、nは3以上の自然数のとき
x^n+y^n=z^n を満たすx,y,z,nが存在しないことを証明せよ。
という問題が「同値変形」で解けるとは思えません。

No.27123 - 2014/06/18(Wed) 21:23:52

☆ Re: / IT

>数学ってセンス云々よりいかに正確に与えられた条件を同値変形できるかじゃないですか？

間違いだと思います。どういう方向にどう変形するのかが大きな問題です。

それと、前の同値関係の質問は理解されたのでしょうか？

No.27124 - 2014/06/18(Wed) 21:25:54

☆ Re: / カミｭ

数学は量でしょ、どれだけ多くのパターンが頭に入ってるか、これで決まるそっから先はやっぱ才能じゃないの

No.27125 - 2014/06/18(Wed) 22:04:03

★ 証明の写真です。 / ふぇるまー

↓の2問目です。

No.27063 - 2014/06/17(Tue) 23:59:29

☆ Re: 証明の写真です。 / X

問題の不等式を(A)とします。
(i)n=1のとき
成立は明らか
(ii)n=kのとき、(A)の成立を仮定します。
つまり
(1+a)^k≧1+ka (A)'
n=k+1のとき
((A)の左辺)=(1+a)(1+a)^k
≧(1+a)(1+ka) (∵)(A)'より
=1+(k+1)a+ka^2
＞((A)の右辺)
∴このときも(A)は成立。

以上から(A)は成立します。

No.27064 - 2014/06/18(Wed) 00:23:01

☆ Re: 証明の写真です。 / ふぇるまー

ありがとうございます。今後共よろしくおねがいします。

No.27129 - 2014/06/18(Wed) 23:28:46

★ 3次関数、数列 / ふぇるまー

貼付写真:3次関数のｸﾞﾗﾌの問題。
なんとなくしか書き方がわかりません、それとy´=0として
解く際に因数分解した方がよいですよね？

貼付写真:数列　数学的帰納法の証明です。
以上2問解説願います。
ご教授の際できればこちらでｸﾞﾗﾌを書いてくださるとなおありがたいです。

No.27062 - 2014/06/17(Tue) 23:58:33

☆ Re: 3次関数、数列 / X

>>なんとなくしか書き方がわかりません
三次関数のグラフを描く場合は以下のことを
押さえておきましょう。
1)まず形状が問題ないか。
極大点、極小点がある場合
x^3の係数が正ならばグラフの形状はNの形
x^3の係数が負ならばグラフの形状は逆Nの形
になります。
2)必要な点の座標が書き入れられているか。
極大点、極小点がある場合はx座標、y座標を
点線でx軸、y軸への垂線を描くことで分かるように
します。
後はy切片を書き入れておくと尚よいでしょう。

>>それとy´=0として解く際に因数分解した方がよいですよね？
その通りです。

No.27068 - 2014/06/18(Wed) 10:13:21

☆ Re: 3次関数、数列 / ふぇるまー

解りました。グラフ何度も書いてがんばります。

No.27128 - 2014/06/18(Wed) 23:27:53

★ (No Subject) / tt

これって何故同値ではないのですか？
?@?Aはxの条件です。

No.27059 - 2014/06/17(Tue) 22:33:10

☆ Re: / らすかる

?@が「偶数」
?Aが「奇数」
xが{1,2,3}の中の要素だとすると
「すべてのxについて偶数または奇数」は正しいですね。
しかし
「すべてのxについて偶数」と
「すべてのxについて奇数」は
どちらも成り立ちませんので
「すべてのxについて偶数」または「すべてのxについて奇数」
は正しくありません。

上が正しくて、下が正しくないということは同値でないということです。

No.27060 - 2014/06/17(Tue) 22:38:10

☆ Re: / angel

字面だけ見ていてもどうしようもないので、必ず具体例を
自分で作ることです。
例えば、xを「学校Sの生徒」、?@を「男である」、?Aを「女である」としてみましょうか。
そうすると、前者の命題は、
　学校Sの生徒は全て、男または女(有り得ないけど、男女でもよい)である。
　…この場合は常に真ですね。
後者は、
　学校Sの生徒は全て男、または全て女である。
　…まあ、男子校か女子校ってところですか。
ということで、一致しない例ができます。
　

No.27061 - 2014/06/17(Tue) 22:55:26

☆ Re: / IT

今年の京大入試理系４番にそのことがポイントのひとつになった問題が出題されていましたね。

さて、
「すべての実数ｘについて、x＜0またはx≧0」は真ですが。
「「すべての実数ｘについてx＜0」または「すべての実数ｘについてx≧0」」は偽です。

No.27065 - 2014/06/18(Wed) 00:44:30

★ 連続 / Catalina

行列式について教えてください。

行列式って展開すると多項式の形になるのですよね。
f(A):=Σsgn(σ)a_{1σ(1)}a_{2σ(2)}…a_{nσ(n)}
なのでn次多項式になっているので,
fは連続な関数といえますよね?

No.27053 - 2014/06/17(Tue) 19:33:30

☆ Re: 連続 / ペンギン

行列の各要素に関して連続、ということでしょうか？

もし、そういう意味でしたら、合っています。

No.27054 - 2014/06/17(Tue) 19:49:03

☆ Re: 連続 / Catalina

そうです。

もっと言えば,至る所で微分可能ですよね?

No.27056 - 2014/06/17(Tue) 20:19:36

★ パズル / シャルル

Ａ～Ｃの３クラスがあり、それぞれの生徒数は異なる。この３クラスにおいて、問１、問２の２問からなる試験を行い、以下のことが分かっている。このとき、生徒数が多い順番にクラスを並べるとどうなるか。

条件
・２題合わせた正答率は、どのクラスも同じである。
・Ａでは、問１と問２の正解者数は同じである。
・ＡとＢの問２の正解者数は同じである。
・Ａの問１の正答率は他の２クラスより高い。
・問１の正解者数は、１つのクラスはＡより多く、もう１つのクラスはＡより少ない。

正解は…？

１　Ａ→Ｂ→Ｃ
２　Ａ→Ｃ→Ｂ
３　Ｂ→Ｃ→Ａ
４　Ｃ→Ａ→Ｂ
５　Ｃ→Ｂ→Ａ

よろしくお願いします。

No.27008 - 2014/06/17(Tue) 12:47:21

☆ Re: パズル / ヨッシー

条件を上から順に、１，２，３，４，５とします。
分かることを順に書いていくと、

条件２より　Ａの問１の正答率＝Ａの問２の正答率
これと条件１，４より、Ａの問２の正答率は他の２クラスより低い
これと条件３より「ＢはＡより人数が少ない」
さらに、条件５より「Ａより人数の多いクラスがある」
以上より、答えは４です。

No.27017 - 2014/06/17(Tue) 14:56:08

★ (No Subject) / tt

この漸化式はとけますか。

No.26974 - 2014/06/16(Mon) 22:18:07

☆ Re: / ast

本質的にはチェビシェフの多項式というやつですね (そのものではない).「解ける」というのが, (いくつかの小さい具体的な n に対してという意味ではなく) 一般の n に対して f_n(x) を多項式として具体的に書くという意味なら難しいのでは.

三角函数などを使った閉じた形に書くことや母函数の計算くらいはできそうですが (と言っても私がやる/やれるという意味ではありません).

No.26975 - 2014/06/16(Mon) 22:28:49

★ 解説おねがいします！ / きの

aは正の定数とする。曲線x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ)(0<θ<2π)上の点Pにおける法線が直線x=πaと交わる点をQとする。ただしPは点(πa,2a)とは異なる点である。
(1)Qのy座標をθで表せ
(2)θをπに近づけるときQはどのうような点に近づくか

No.26935 - 2014/06/15(Sun) 20:37:34

☆ Re: 解説おねがいします！ / みずき

(1)
点Pにおける法線の方程式は、
y-a(1-cosθ)=-(1-cosθ){x-a(θ-sinθ)}/sinθ
x=πaを代入して、yについて整理すると、
y=a(1-cosθ)(θ-π)/sinθ
これがQのy座標です。

(2)
θ-π=t⇔θ=t+πとすると
Qのy座標=a{1-cos(t+π)}t/sin(t+π)
=a(1+cost)t/(-sint)
=(t/sint)*{-a(1+cost)}
→1*{-a*(1+1)} (θ→π⇔t→0のとき)
=-2a
∴Qは(πa,-2a)に近づきます。

No.26936 - 2014/06/15(Sun) 21:18:24

★ (No Subject) / tt

この問題で、6回目をn回目に一般化したときってできますか？

No.26914 - 2014/06/15(Sun) 15:02:51

☆ Re: / ヨッシー

３円になるのは偶数回のときなので、2n 回として考えます。
2n回目に太郎君が
　１円の確率をＡn、３円の確率をＢn
とします。ただし、Ａ0＝０，Ｂ0＝１。
１円の状態から、太郎君が
　負け→勝ち　確率1/4 終了
　負け→負け　確率1/4 終了
　勝ち→負け　確率1/4 １点
　勝ち→勝ち　確率1/4 ３点
３円の状態から、太郎君が
　負け→勝ち　確率1/4 ３点
　負け→負け　確率1/4 １点
　勝ち→負け　確率1/4 ３点
　勝ち→勝ち　確率1/4 終了
以上より、
　Ａ(n+1)＝(1/4)Ａn＋(1/4)Ｂn
　Ｂ(n+1)＝(1/4)Ａn＋(1/2)Ｂn
この先はこちらを見ていただくとして
結果は以下の通りです。

No.26920 - 2014/06/15(Sun) 15:57:05

☆ 余談 / angel

細かい所ですが、ちょっと曖昧でよろしくない問題文のように見えます。
「6回目のじゃんけんで太郎君の所持金が3円になる確率」の所ですが。
「で」を前提の意味で捉えるか ( つまり「じゃんけんが6回目まで続いた」という前提での「条件付き確率」として考えるか ) どうかで答えが変わってしまいますから。

…おそらく、問題の意図としては条件付き確率ではないのでしょうが。( ヨッシーさんの解説もそうですね )

No.26922 - 2014/06/15(Sun) 16:52:13

★ 速さ / シャルル

Ａ～Ｃの三人が、２地点Ｘ、Ｙを結ぶ直線の道をそれぞれ一定の速度で走る。左側がＸ、右側Ｙとする。

Ａは、Ｘ地点から出発してＹへ向かって進み、Ｂは、Ｘより８Km離れたＹ方向へ進んだ地点から出発してＹ方向へ進む。Ｃは、Ｙから出発してＸに向かって進む。Ａ～Ｃの３人が同時に出発し、以下の条件を満たすとき、Ａの速度はいくらか。

・Ａは３０分後にＢに追いつく。
・ＡとＣは４５分後に出会う。
・ＢとＣは１時間後に出会う。
・ＣがＸに到着後の１６分後に、ＢはＹに到着する。

よろしくお願いします。

No.26903 - 2014/06/15(Sun) 10:34:54

☆ Re: 速さ / ヨッシー

図のにおいて
ＯＡＥＦを通る直線がＡの動きのグラフ
ＣＡＢＨを通る直線がＢの動きのグラフ
ＤＥＢＪを通る直線がＣの動きのグラフ　です。
点Ａは、ＡがＢに追いつく点
点Ｅは、ＡとＣが出会う点
点Ｂは、ＢとＣが出会う点　です。

△ＣＡＯ≡△ＢＡＦ　より　ＢＦ＝８
△ＯＤＥ∝△ＦＢＥ（相似比3:1）　より　ＯＤ＝２４
これより、ＸＹ間が24km とわかります。

ＯＫ＝ａとおくと、△ＯＫＣ∝△ＤＨＣ（相似比１：２）より　ＤＨ＝２ａ
　ＤＨ：ＫＪ＝ＤＧ：ＬＪ
より
　２ａ：(3a-16)＝60：(2a-76)
これより
　60(3a-16)＝2a(2a-76)
これを解いて、
　a=3, 80
a＞16 より　ａ＝８０(分)
よって、
Ｂの速さは　８÷８０×６０＝６(km/時)
ＡとＢの速さの差は　８÷(30/60)＝16(km/時)
なので、Ａの速さは　6＋16＝22(km/時)
となります。

No.26913 - 2014/06/15(Sun) 12:55:48

★ (No Subject) / 加月

問題5、確率の問題です。よろしくお願いします。

No.26879 - 2014/06/14(Sat) 17:16:01

☆ Re: / X

(1)
二つのさいころの出る目が同じである確率に等しく
6/36=1/6

(2)
得点が1になる場合のさいころの目の組み合わせは
{1,2},{2,3}{3,4}{4,5}{5,6}{2,1}{3,2}{4,3}{5,4}{6,5}
の10[通り]
∴確率は
10/36=5/18

(3)
得点の最大値が
6-1=5
であることに注意して得点がk(k=0,1,2,3,4,5)のときの
確率(P[k]とします)をまず求めます。
得点がkのときのさいころの目の小さい方をlとすると
大きい方の目について
k+l≦6
∴l≦6-k
従って得点がkのときのさいころの目の出方は
k≠0のときはさいころの目の入れ替わりも
考慮に入れて
2(6-k)[通り]
となりますので
P[k]=2(6-k)/36=(6-k)/18
一方(1)の結果より
P[0]=1/6
よって求める期待値は
Σ[k=0～6]kP[k]=Σ[k=1～6]k(6-k)/18=…

No.26881 - 2014/06/14(Sat) 17:49:44

★ (No Subject) / tt

これでP(Sk=r)を直接求めるのは無理でしょうか。

No.26877 - 2014/06/14(Sat) 16:11:44

☆ Re: / angel

いや、多分できます。

おそらく
　P(Sk=r)
　= nCr/n^k・( r^k - rC1・(r-1)^k + rC2・(r-2)^k - … + (-1)^(r-1)・rC(r-1)・1^k )
　= nCr/n^k・Σ[i=0,r-1] (-1)^i・rCi・(r-i)^k
になると思います。
※いくつかのケースを計算すると、この式で丁度あっているので「思います」としています。
　少なくとも、これより込み入った形ですが、Σを繰り返す形で表すことはできます。

もちろん、この形で表せたとして、今回の問題へのアプローチとしてどうかという話は置いとくものとします。

No.26890 - 2014/06/15(Sun) 00:05:18

☆ Re: / tt

このΣってどう計算するのでしょう。
いま悪戦苦闘してますが、、、
とけますかね？

No.26911 - 2014/06/15(Sun) 12:46:44

☆ Re: / angel

> このΣってどう計算するのでしょう。
Σには「複数の項を足し合わせる ( 総和 )」以上の意味はありません。なので、素直に足してください。

確かに高校で出てくるΣには、より単純な形に整理できるもの ( 例えば Σ[k=1,n] r^(k-1) = (r^n-1)/(r-1) とか Σ[k=1,n] k=1/2・n(n+1) とか ) が多いです。
なので、もしかしたら「Σは必ずΣを含まない形に整理すべきもの」と思ってしまうかも知れませんが…
※「とけますかね？」という言葉にそういう含みを感じます

それ以上簡単にできない例も実際にはたくさんありますし、今回の例もそうです。
※簡単な形に整理しようとする心意気は良いです

No.26916 - 2014/06/15(Sun) 15:35:11

☆ 一例 / angel

例を挙げます。
n=5, k=4, r=3 の場合を考えてみましょう。
つまり、5枚のカードを4回引いたら3種類のカードが出る、という場合の確率ですね。

・手で数えて答えを出す場合
　1種類目のカードをa、2種類目をb、3種類目をcとした場合、
　カードの出方は、
　　aabc, abac, abbc, abca, abcb,abcc
　の6パターンです。
　ここで、a,b,cの組み合わせは 5P3=5×4×3=60通りあるため、カードの出方は60×6=360通り
　結局確率は、360÷5^4 で計算できます。

・私の挙げた式から計算する場合
　5C3 / 5^4 ・Σ[i=0,3-1] (-1)^i・3Ci・(3-i)^4
　= 10/5^4・( 3C0・3^4 - 3C1・2^4 + 3C1・1^4 )
　= 10/5^4・( 81 - 48 + 3 )
　= 360/5^4

ということで両者はちゃんと一致しています。

結局のところ、この計算の一番の肝は 1^k,2^k,…,r^k に係数をかけて足し引きするところなので、一般の式としてはΣを使った形以上に簡単にはならないのです。

No.26918 - 2014/06/15(Sun) 15:48:30