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★ 数列　　問題??1 / ふぇるまー
250、251の解説願います。数列です。何か計算するうえで工夫などもあったらお願いします。
No.25428 - 2014/04/13(Sun) 18:51:11
☆ Re: 数列　　問題??1 / みずき
a,b,cが等差数列の連続する3項のとき、
b-a=c-b
ですから、
b=(a+c)/2
が成り立ちます。

250も251もこの考えを使って考えてみられてはいかがでしょう。
No.25431 - 2014/04/13(Sun) 19:00:26
☆ Re: 数列　　問題??1 / ふぇるまー
解りました！御丁寧な解説していただき有難うございます！
No.25438 - 2014/04/13(Sun) 22:45:36
★ 固有値を求める時の式変形 / まさ
赤い部分で囲った所の式変形がよくわかりません
よろしくお願いします。
No.25426 - 2014/04/13(Sun) 17:25:38
☆ Re: 固有値を求める時の式変形 / みずき
aを数字とみなしてλに関する3次多項式を
因数分解した、ということです。
ご質問に対する回答になっているでしょうか？
No.25434 - 2014/04/13(Sun) 19:51:34
☆ Re: 固有値を求める時の式変形 / まさ
ありがとうございます
No.25484 - 2014/04/15(Tue) 12:07:40
★ (No Subject) / ijyu
lexp(iθ）l=1ですか？

exp(iθ）＝cosθ+isinθなので複素数平面を考えてlexp(iθ）l=1のはず（偏角θの直角三角形に三平方の定理を用いた）

しかしそうするとiθ＝０になっちゃうんですよね。
No.25425 - 2014/04/13(Sun) 15:59:03
☆ Re: / らすかる
|exp(iθ)|=1 は正しいです。

でも
> しかしそうするとiθ＝０になっちゃうんですよね。
これは正しくありません。
「|e^x|=1 ならば x=0」というのはxが実数の場合の話であって、
xが複素数の場合はx=0とは限りません。
No.25430 - 2014/04/13(Sun) 18:58:14
★ 行列 / まさ
なぜ画像の式がなりたつのか教えてください
よろしくお願いします。
No.25422 - 2014/04/13(Sun) 15:05:17
☆ Re: 行列 / ヨッシー
Ｐは正方行列、ＥはＰと同じサイズの単位行列、λはスカラーとします。
　Ｐ^(-1)λＥＰ＝λＰ^(-1)ＥＰ　・・・　スカラーは前に出せる
　　＝λＰ^(-1)Ｐ　　　・・・　ＥＰ＝Ｐ　を計算
　　＝λＥ　　　　・・・　Ｐ^(-1)Ｐ＝Ｅ　を計算
No.25432 - 2014/04/13(Sun) 19:05:51
☆ Re: 行列 / まさ
ありがとうございます
No.25433 - 2014/04/13(Sun) 19:19:09
★ (No Subject) / ijyu
複素数平面で
r(cosθ+isinθ)=r'(cosθ’+isinθ’）
⇔r=r'かつθ＝θ’＋２ｎπ（ｎは整数）
とあったのですが
なぜ一瞬でこのように分かるのですか？
複素数の相等によればrcosθとr'cosθ’が等しく
risinθとr'isinθ’が等しいとなるはずなのですが・・
No.25421 - 2014/04/13(Sun) 15:01:17
☆ Re: / らすかる
r,r'＞0という条件が付いているものとして回答します。

r,r'は原点からの距離、θ,θ'は偏角であることから
一瞬でそのようになることがわかります。
複素数平面上の点r(cosθ+isinθ)があったとき、
原点からの距離はr、偏角はθ+2mπと決まるからです。

また、rcosθ=r'cosθ', rsinθ=r'sinθ' からも導出できます。
rcosθ=r'cosθ' から r^2(cosθ)^2=r'^2(cosθ')^2
rsinθ=r'sinθ' から r^2(sinθ)^2=r'^2(cosθ')^2
2式を足して r^2=r'^2
r,r'＞0なので r=r'
よってcosθ=cosθ', sinθ=sinθ'なので
θ=θ+2nπ
No.25423 - 2014/04/13(Sun) 15:12:58
☆ Re: / ijyu
よくわかりました、ありがとうございます
No.25424 - 2014/04/13(Sun) 15:54:27
★ (No Subject) / tt
不等式の同値変形について

連立不等式について、同値変形をするとき、疑問に思うことがあります。

写真のように、連立不等式の同値変形で、条件を簡単にしようとしても、単に元の条件に新たな条件が付加されるだけで、条件を単純化することはできないように思うのですが、どうなのでしょうか？
No.25419 - 2014/04/13(Sun) 11:11:23
☆ Re: / らすかる
どういう「同値変形」を想定されているかわかりませんが、
例えば
a+b＞0 …?@
a-b＞0 …?A
だったら
?@から a＞-b …?B
?Aから a＞b …?C
?Bと?Cから
a＞|b| …?D
でありこれは逆も成り立つ。
よって
「?@かつ?A」⇔「?D」
で少し単純化されていると思います。

他には
a^2+b+1＞0 …?@
a^2-b+1＞0 …?A
だとすると
x＞0かつy＞0⇔x+y＞0かつxy＞0
という同値変形を使って
?@かつ?A⇔2(a^2+1)＞0かつ(a^2+b+1)(a^2-b+1)＞0⇔(a^2+1)^2-b^2＞0
となりますので
「?@かつ?A」⇔「(a^2+1)^2-b^2＞0」
と単純化されます。
No.25420 - 2014/04/13(Sun) 13:42:11
☆ これで答になっていますか？ / 黄桃
実数 a,b に関して、
f(a,b)=0
g(a,b)=0
という連立方程式を解け、
という場合、確かに、普通は
a=なんとか、b=なんとか
という形にすることを意味します。

実数aについて
h(a)>0
という不等式を解け、という場合も確かに
aの範囲　(1<a<2 など）
を求めることになります。

しかし、
f(a,b)>0
g(a,b)>0
という連立不等式がある場合、これは必ずしも
a の範囲、bの範囲
と同値にはなりません。つまり、
{(a,b)|f(a,b)>0 かつ g(a,b)>0}...(*)
がいつも必ず
{(a,b)| aだけの不等式による範囲、かつ bだけの不等式による範囲}...(**)
のようになるとは限りません。

なぜかといえば、(**)は図示すればわかるように
長方形の集まり
にしかすぎませんが、(*)は円の一部の場合も放物線と直線で囲まれている場合ももっと複雑な場合もあり、「簡単」にはならないからです。
(*)を囲むような長方形もどき（どっかが無限にいってもいい）ならあるかもしれませんが、それでは必要条件にしかなりません。

＃もちろん、a,b実数の時 「a+b>0 かつ ab>0」 ⇔「a>0 かつ b>0」 のように「簡単に」なる例もあります。

＃＃こうした連立不等式を「解く」場合、一般には答を図示するしかありません。
＃＃多分問題にも(a,b)のとりうる範囲を（ab平面に）図示せよ、というような指示があると思います。
No.25427 - 2014/04/13(Sun) 18:50:43
★ (No Subject) / tt
立て続けにすいません、もう一問質問させて下さい。

ある問題を一般化したのですが、示ません。帰納法かなとは思うのですが、、
No.25413 - 2014/04/13(Sun) 00:20:31
☆ Re: / みずき
有名問題ですので、参考ページをご紹介します。
http://sshmathgeom.private.coocan.jp/inequality.html
の｢4. 順序の原理｣に証明が載っています。
帰納法によらない証明方法もあるようです。
なお、｢4. 順序の原理｣をクリックするとPDFが開くことに
注意してください。
No.25416 - 2014/04/13(Sun) 01:06:35
☆ Re: / tt
何から何までありがとうございます。
No.25417 - 2014/04/13(Sun) 01:09:09
☆ Re: / IT
i1＝１のとき、帰納法の仮定より・・・

i1≠１のとき
　is＝１なるsをとると
　a1bis+a2bi2+..+asbi1+..+anbin≧a1bi1+a2bi2+..+asbis+..+anbin …(1)
　∵左辺-右辺＝a1(bis-bi1)+as(bi1-bis)＝(a1-as)(bis-bi1)＝(a1-as)(b1-bi1)≧0

　a2≧a3≧..≧anかつb2≧b3..≧bn なので
　帰納法の仮定より
　a2b2+..+asbs+..+anbn≧a2bi2+..+asbi1+..+anbin …(2)

　(1),(2)より
　a1b1+a2b2+..+asbs+..+anbn≧a1bi1+a2bi2+..+asbis+..+anbin
No.25418 - 2014/04/13(Sun) 01:09:15
★ (No Subject) / tt
すいません、ミスしました、これが解答です。
No.25410 - 2014/04/12(Sat) 23:45:50
★ (No Subject) / tt
この問いの(2)の解説がわかりません
No.25408 - 2014/04/12(Sat) 23:42:58
☆ Re: / みずき
n=k(n≧2)のとき真であると仮定しているので、
「a_1*a_2*・・・*a_k=1かつ
a_1>0,a_2>0,・・・,a_k>0のとき、
a_1+a_2+・・・+a_k≧k」
が成立していますね。

そこで、
a_1*a_2*・・・*a_k*a_(k+1)=1
(a_1>0,a_2>0,・・・,a_(k+1)>0)
を満たすk個(注意！k+1個ではありません)の正の数
a_1,a_2,・・・,a_(k-1),a_k*a_(k+1)
を考え、それに仮定を適用した式が
a_1+a_2+・・・+a_(k-1)+a_k*a_(k+1)≧k
です。
No.25411 - 2014/04/13(Sun) 00:00:42
☆ Re: / tt
初めこのように考えたのですが、これって間違いですよね？
n=kで仮定したa1〜anの組とn=k+1で仮定したa1〜anの組は違うので示せないですよね？
No.25412 - 2014/04/13(Sun) 00:15:27
☆ Re: / みずき
＞初めこのように考えたのですが、これって間違いですよね？

残念ながら、間違いですね。
a_(k+1)=1の場合しか考えていないことになります。

＞n=kで仮定したa1〜anの組とn=k+1で仮定したa1〜anの組は違うので示せないですよね？

そういうことですね。
No.25414 - 2014/04/13(Sun) 00:37:14
☆ Re: / みずき
私が書いた
｢a_(k+1)=1の場合しか考えていないことになります。｣
というのは、無視してください。
そういうことではありませんでした。
No.25415 - 2014/04/13(Sun) 00:42:54
★ 大変ですがおねがいします / kaka
一つ前の問題が切れていたのでもう一回のせました

ある点oを中心とする円がある。半径はrである。oからみて真北方向の円周上に点A,真東の円周上に点B、南に点C、西に点Dがある。点Qが点Aから出発して時計回りに一定の速度で動くとする。点Qからみて、線分OAとの交点をPトし、線分OBとの交点をR、とすると、OPQRは長方形になる。

問１　線分PRの長さを求めよ
問２　QがA点から出発してＢ点、C点、D点を通過し、再びA点に１分間かかって戻るときのPRの長さを図に表せ
問３同様にしてQがA→B→C→D→Aと１分間かかって移動する時の、長方形OPQRの面積を図にあらわせ
No.25405 - 2014/04/12(Sat) 16:31:00
☆ Re: 大変ですがおねがいします / ヨッシー
問1　ＰＲは常にＯＱと等しいです。
問2　よって、こういう図になります。

問3
Ａ→Ｂ の範囲で考えると、その先はそのくり返しとなります。

図のように∠ＡＯＱ＝θ（０≦θ≦π/2）とすると
長方形ＯＰＱＲ＝△ＯＱＳ＝(1/2)ｒ^2sin(2θ)
となるので、このような図になります。

No.25406 - 2014/04/12(Sat) 17:41:07
☆ Re: 大変ですがおねがいします / kk
ありがとうございます
No.25407 - 2014/04/12(Sat) 23:22:02
★ 不等式 / さかなくん
青いまるの変形はどう考えれば分かりやすく理解できるでしょうか？
赤丸2〜赤丸3の変形の考え方を教えて下さい。
No.25399 - 2014/04/11(Fri) 01:18:45
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
２＜1/a＜３ から 1/a＞0 とわかります。
　y=1/x
のグラフがｘ＞０ の範囲では単調減少であることから、
「元の数が大きいほど、逆数を取ると小さくなる」
と言えます。
よって、
　２＜1/a＜３　←→　1/2＞ａ＞1/3
です。
No.25400 - 2014/04/11(Fri) 01:26:59
☆ Re: 不等式 / さかなくん
分数の不等号はそのように考えるのでしたか。
今まで知りませんでした。ありがとうございます。

因みにこちら
-3<1/a<-2の時は　-1/3>a>-1/2で合ってますでしょうか？
No.25401 - 2014/04/11(Fri) 02:35:53
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
それで合っています。
No.25402 - 2014/04/11(Fri) 06:45:34
☆ Re: 不等式 / さかなくん
ありがとうございました。
No.25403 - 2014/04/11(Fri) 15:35:50
★ 数I / ちよ
またお世話になりますm(__)m

(3)の問題のアプローチ方法が、イマイチ理解できません。
特に解答の最後(赤で囲ってある部分)が…

どなたか教えてください
No.25395 - 2014/04/10(Thu) 20:44:51
☆ Re: 数I / ちよ
解答です

問題共に見にくくてすみません
No.25396 - 2014/04/10(Thu) 20:45:42
☆ Re: 数I / みずき
(2)から方程式○1の解が
x=(a+3)/2,a+1
と求まっていますね。

(3)(?@)では、上の2解の大小関係のうち、
(a+3)/2<a+1
の場合を考えています。

一方、(?A)では、
(a+3)/2≧a+1
の場合を考えています。

(?@)と(?A)は、同時には起こりませんね。
つまり、「または」の関係でつながっています。

ですから、答えは、
「(?@)の不等式1<a<4」または「(?A)の不等式-1<a≦1」
なので、-1<a<4となります。
（数直線に2つの不等式の範囲を描いてみましょう。
-1<a<4を満たすどんな実数aも、どちらかの不等式の
範囲におさまっていることが分かると思います。）
No.25397 - 2014/04/10(Thu) 21:19:09
☆ Re: 数I / ちよ
なるほど!!
確かに数直線を書いたらなりました

共通範囲が答えになる問題ばかりではないんですね
問題文の意味をしっかり考えて、見極められるように頑張ります!!

ありがとうございましたm(__)m
No.25398 - 2014/04/10(Thu) 21:31:24
★ (No Subject) / あ
同値の条件って次のようでいいですか？
No.25391 - 2014/04/09(Wed) 12:37:20
☆ Re: / ヨッシー
(1) かつ (2) →(3) かつ ((1) または (2)) は良いですが、
ｅ＝０、ｆ＝−１、λ＝１ のとき、
(3) かつ ((1) または (2)) ですが、(1) かつ (2) ではないので、
同値ではないです。
No.25392 - 2014/04/09(Wed) 15:40:52
☆ Re: / ぬう
質問したものではないですが、
それだと連立方程式とは違って連立不等式は同値変形でこたえを出せないということなんですかね

たとえばｆ＞０でλの範囲を求めよという問題だとしたら
?@かつ?A⇒?Bで答えが出ますが必要条件にすぎないですよね

よろしくおねがいします
No.25393 - 2014/04/10(Thu) 10:29:37
☆ Re: / らすかる
問題によると思います。
あまり良い例ではないですが、例えば
(x-2)(x-3)＞0
-(x-1)(x-4)＞0
という連立不等式に
a＞0かつb＞0⇔a+b＞0かつab＞0
という同値変形を適用すれば
(x-2)(x-3)＞0 かつ -(x-1)(x-4)＞0
⇔
-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)＞0 かつ 2＞0
なので答えは 1＜x＜2, 3＜x＜4
No.25394 - 2014/04/10(Thu) 14:50:26
★ (No Subject) / tt
連続ですいません。
2-5の問題です。
この問いで、pqの存在を仮定する⇒pqはただ一つに定まる

という答案はありでしょうか？なんか気持ち悪いのですが、、
No.25385 - 2014/04/08(Tue) 16:08:48
☆ Re: / みずき
「なし」だと思いますね。

『〜を満たす有理数p,qの組がただ1組存在する』ことを
証明するには、

（?@）『〜を満たす有理数p,qの組が存在する』
（?A）『1組しか存在しない』

の2点を示す必要があります。

ttさんが書かれた
「pqの存在を仮定する⇒pqはただ一つに定まる」
というのは、（?@）を仮定して（?A）を示すものです。
証明を完了させるには、（?@）そのもの
（ttさんの「仮定」そのもの）
を示す必要があると思います。

今のままでは、
「存在するなら、一つしか存在しない」
ということしか示せておらず、
「本当に存在するの？」という問いに答えられていないと
思います。
No.25386 - 2014/04/08(Tue) 16:26:21
☆ Re: / tt
回答ありがとうございます。
pqが存在することを示せないので教えてください。
No.25387 - 2014/04/08(Tue) 16:37:29
☆ Re: / みずき
p=-1/(c^2-ac+b)
q=(c-a)/(c^2-ac+b)
とすると、題意を満たすので（確認は省略します）
p,qは存在します。

ちなみに、c^2-ac+b≠0であることは、次のように分かります。

c^2-ac+b=0が成り立つとすると、
x^2+ax+b=0は2解α,-cを持つことになりますが、
解と係数の関係により、
-a=α-c⇔α=c-a
を導くので、矛盾です（左辺無理数、右辺有理数）。

どのように冒頭のp,qを見つけたかについて書きます。
p,qをa,b,cで表せないかな、というのが一つの目標でしょう。

αはx^2+ax+b=0の解なので、
α^2+aα+b=0⇔α^2=-aα-b　・・・(?@)
を満たします。

さて、
1/(α+c)=pα+q
⇔1=(pα+q)(α+c)
⇔1=pα^2+pcα+qα+qc
⇔1=p(-aα-b)+pcα+qα+qc （∵(?@)）
⇔α(-ap+pc+q)=1+pb-qc　・・・(?A)

ここで、-ap+pc+q≠0とすると、
(?A)の両辺を(-ap+pc+q)で割ることで、
α=(1+pb-qc)/(-ap+pc+q)
を得ますが、左辺が無理数で、右辺が有理数
となるので、不合理です。

よって、
-ap+pc+q=0
かつ
1+pb-qc=0
を得ます。

これから、冒頭のp,qを得ることができます。
No.25390 - 2014/04/08(Tue) 17:35:28
★ (No Subject) / tt
次の問題が示せません、、
互いに素ということをうまく使うのだろうとはおもうのですが、、
No.25367 - 2014/04/07(Mon) 20:34:17
☆ Re: / みずき
『aとbは互いに素』とあるのと、a,b≧2とより、
a,bは自然数であると解釈します。

a=2,b=3,n=5,m=1,l(エル)=3/2の場合に
本問の主張と矛盾する結果が生まれるので、
m,nは自然数であると解釈します。

命題Aを「aとbは互いに素である」
命題Bを
「a+b=nかつ1≦m≦a-1かつ1≦l≦b-1かつ
[nm/a]=[nl/b]を満たすm,nは存在しない」
とするとき、本問の主張は、
『AならばB』です。

直接的な証明は思いつきませんでしたが、
対偶『BでないならばAでない』
を示すことなら、それほど難しくないと思います。
No.25368 - 2014/04/07(Mon) 21:15:10
☆ Re: / みずき
細かいことですが、私の文章の中に
誤りがありましたので、訂正します。

誤

a=2,b=3,n=5,m=1,l(エル)=3/2の場合に
本問の主張と矛盾する結果が生まれるので、
m,nは自然数であると解釈します。

命題Aを「aとbは互いに素である」
命題Bを
「a+b=nかつ1≦m≦a-1かつ1≦l≦b-1かつ
[nm/a]=[nl/b]を満たすm,nは存在しない」
とするとき

正

a=2,b=3,n=5,m=1,l(エル)=3/2の場合に
本問の主張と矛盾する結果が生まれるので、
m,lは自然数であると解釈します。

命題Aを「aとbは互いに素である」
命題Bを
「a+b=nかつ1≦m≦a-1かつ1≦l≦b-1かつ
[nm/a]=[nl/b]を満たすm,lは存在しない」
とするとき
No.25371 - 2014/04/07(Mon) 23:31:44
☆ Re: / angel
解答としてどう書くか…は悩ましい所ですが、
実は図示すると明らかな問題ではあります。

a≧2, b≧2 でないと意味がないので、それを前提とすると、a,bが互いに素なので、少なくともa≠bです。
なのでa＞bとして一般性を失わないとして…、添付の図をご覧ください。

青の点は(m,[bm/a])を、赤の点は([al/b],l)を示します。これらの点の、原点Oからの道なり距離 ( 例えば点(2,3)なら距離5 ) は、丁度 1〜a+b-2 までばらばらなのですが、この「道なり距離」っていうのは [nm/a] なり [nl/b] に他ならないのですね。
※ m+[bm/a]=[m+bm/a]=[nm/a], [al/b]+l=[al/b+l]=[nl/b]

まあ、なので [nm/a]=[nl/b] になることはない、と。
ミソは、a,bが互いに素なので、Oと(a,b)を結ぶ線分が、途中、格子点を一切通らないことです。
No.25373 - 2014/04/08(Tue) 00:39:09
☆ Re: / tt
angelさん、確かにそう考えれば自明ではありますね笑
angelさんの回答のイメージを一般化して証明出来そうでできないです。もう少し頑張ってみます。
No.25380 - 2014/04/08(Tue) 15:15:59
☆ Re: / tt
みずきさん
mとlの存在を仮定して矛盾を示そうと試みていますがなかなか難しいです。多分aとbが互いに素でなくなる矛盾が生じるとはおもうのですが
No.25381 - 2014/04/08(Tue) 15:18:03
☆ Re: / みずき
初見で思いついた方法を書きますね。
もっと簡潔に書けるかもしれません。

a+b=nかつ1≦m≦a-1かつ1≦l≦b-1かつ
[nm/a]=[nl/b]を満たす自然数m,nが存在する、と仮定します。

すると、
[nm/a]=[nl/b]=t
なる整数tが存在し、ガウス記号の定義により、
0≦nm/a-t＜1⇔0≦nm-at＜a
0≦nl/b-t＜1⇔0≦nl-bt＜b

ここで、
0＜nm-at＜a
0＜nl-bt＜b
の場合を考えます。
各辺を足し合わせると、a+b=nにより、
0＜n(m+l)-tn＜n⇔0＜m+l-t＜1
今、m,l,tは整数なので、m+l-tは整数。
よって、この場合はあり得ません。

よって、
nm-at=0
nl-bt=0
でなくてはいけないことが分かりました。

各辺を足し合わせると、
n(m+l)-tn=0⇔m+l=t

よって、
nm-at=0⇔nm-a(m+l)=0⇔al=m(n-a)⇔al=mb⇔a=mb/l
0≦l≦b-1
ですから、aとbは互いに素ではありません。
No.25382 - 2014/04/08(Tue) 15:51:17
☆ Re: / みずき
最後のところ、
『1≦l≦b-1ですから』
とすべきでした。
No.25383 - 2014/04/08(Tue) 15:55:58
☆ Re: / tt
> 最後のところ、
> 『1≦l≦b-1ですから』
> とすべきでした。

なるほど、足し合わせるのですね！
その発想がありませんでした。足し合わせも有効な場合があるということも頭に入れておきます。ありがとうございました。
No.25384 - 2014/04/08(Tue) 16:05:48
★ 高1です。この因数分解がわかりません。 / あかり
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc
この式の因数分解の仕方がわかりません。
途中式も含めて教えていただけると嬉しいです！
No.25364 - 2014/04/07(Mon) 17:17:47
☆ Re: 高1です。この因数分解がわかりません。 / みずき
3文字とも次数が同じですね。
こういうときは、どの文字でも良いので、
1つの文字について、降べきの順に整理してみると
うまくいくことがあります。
（残り2つの文字は数字とみなします。）
No.25365 - 2014/04/07(Mon) 17:28:33
☆ Re: 高1です。この因数分解がわかりません。 / あかり
返答ありがとうございました！
無事、解くことができました！
No.25366 - 2014/04/07(Mon) 17:59:07
★ (No Subject) / さかなくん
やってみたのですが、何か間違ってますかね？
ちょっとまだわかりませんm(._.)m
No.25360 - 2014/04/07(Mon) 12:13:02
☆ No.25361の続きです。 / さかなくん
No.25361の続きです。
失礼しました。
No.25362 - 2014/04/07(Mon) 13:16:13
☆ Re: / みずき
写真では、
(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)=3(a[n]+2)/(a[n]-2)
と書かれていると理解しますが、
そもそもこの段階で正しくありません。
（「3」が正しくありません。）

おそらく、この「3」はr=3から来ていると思われます。

No.25331の

『一般に、
a[n+1]=(ra[n]+s)/(pa[n]+q)
は、
x=(rx+s)/(px+q)
の2解α、βを使って、

?@)α≠βのとき
(a[n+1]-α)/(a[n+1]-β)=γ(a[n]-α)/(a[n]-β)
(γは定数)

?A)α=βのとき（つまり重解のとき）
1/(a[n+1]-α)=γ+(1/(a[n]-α))

とそれぞれ表せます。』

におけるγは「ガンマ」と読み、r(アール)ではありません。

答えは、No.25357で書いたように
(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)
=5(a[n]+2)/(a[n]-2)
となります。

問題は、どうして「5」になるのか、ですね。
順を追って説明します。

まず、No.25331で書いた「公式」を知っているものとします。（なお、これを公式と呼ぶかについては疑問が
ありますが、ここでは便宜上そう呼ぶことにします。）

この公式を知っているとすれば、まず
x=(3x+4)/(x+3)
を解いてみよう、ということで、x=±2を得ます。
重解ではないので、

(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)=γ(a[n]+2)/(a[n]-2)
(γは定数)

という形に変形できるな、と分かるわけです。
『変形できること』が分かるだけで、
γ（ガンマ）の値がすぐにわかるわけではありません。

そこで、γ（ガンマ）の値を知るために、
与えられている漸化式：
a[n+1]=(3a[n]+4)/(a[n]+3)
を利用します。

a[n+1]+2
=(3a[n]+4)/(a[n]+3)+2
=(5a[n]+10)/(a[n]+3)
および
a[n+1]-2
=(3a[n]+4)/(a[n]+3)-2
=(a[n]-2)/(a[n]+3)
により、結局

(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)
=5(a[n]+2)/(a[n]-2)

と表せることが分かります。
つまり、γ（ガンマ）は5であると分かりました。
No.25363 - 2014/04/07(Mon) 16:59:52
☆ Re: / さかなくん
『一般に、
a[n+1]=(ra[n]+s)/(pa[n]+q)
は、
x=(rx+s)/(px+q)
の2解α、βを使って、

?@)α≠βのとき
(a[n+1]-α)/(a[n+1]-β)=γ(a[n]-α)/(a[n]-β)
(γは定数)

?A)α=βのとき（つまり重解のとき）
1/(a[n+1]-α)=γ+(1/(a[n]-α))

とそれぞれ表せます。』

上記は暗記しているもの（公式みたいなもの）なんですか？
なぜこちらが導き出せるか、考え方をしりたいのですが。
ありましたら教えてください。

それかNo25356みたいに、覚えるパターンの１つみたいなもんなんですか？

因みにNo25356もなぜこれがいえるのか？考え方があれば教えてください。

両方展開すれば最初の式になるのはわかるのですが、、、


両パターン意外にもこの公式みたいなのがありましたら
教えて頂ければ助かります。
No.25372 - 2014/04/08(Tue) 00:04:32
☆ Re: / みずき
まず、こちらが回答した分について、
理解したのか否かについて
書いてもらいたいものです。

＞上記は暗記しているもの（公式みたいなもの）なんですか？

個人的には、一つのテクニックのようなものだと
とらえています。

＞なぜこちらが導き出せるか、考え方をしりたいのですが。
ありましたら教えてください。

やってみてはいませんが、
たとえば、α≠βの場合は、
解と係数の関係によって、
α＋βとαβをp,q,r,sで表して、漸化式を利用して、
(a[n+1]-α)(a[n]-β)/{(a[n+1]-β)(a[n]-α)}
を計算すれば、うまいこと相殺されて定数が
得られるはずです。重解の場合も同様です。

＞No25356みたいに、覚えるパターンの１つみたいなもんなんですか？
はい、そう思います。
個人的には、頭の片隅におぼろげに入っている
程度のテクニックですが。

＞因みにNo25356もなぜこれがいえるのか？考え方があれば教えてください。

a[n+1]=pa[n]+q
α=pα+q
を左辺同士、右辺同士引くと
a[n+1]-α=p(a[n]-α)
が得られます。

＞両パターン意外にもこの公式みたいなのがありましたら
教えて頂ければ助かります。

（「意外」は「以外」であると解釈して・・・）
あります。しかし、それこそお手元のテキストの
数列の漸化式の欄に載っているはずです。
ここで、考えられるものをすべて書き込むのは
量が膨大になる上、一般的なテキストに載っているであろう
内容を写すようなことになるので、気が乗りません。
もし、適当なテキストがないという場合は、
1冊手元に置いておくべきだと思います。
No.25375 - 2014/04/08(Tue) 00:45:51
☆ Re: / さかなくん
失礼しました。
上記は理解しました。

みずきさんの公式と、私の公式と三項間漸化式の３タイプ
しか知りません。

膨大な量も？膨大な個数もあるんですか。。。
書籍は何冊もあるので探してみます。

一般的な所でいうと、上記３タイプで大まか事足りるんですかね？

調べてみます。
大変、ありがとうございました。
No.25378 - 2014/04/08(Tue) 01:32:40
★ (No Subject) / くるくる
再度申し訳ありません。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=25152
の者です。

ご提示いただいた例については納得です。

「Aの各点z0に対して、そのA内の近傍U(z0)で、z∈U(z0)ならば f(z)=f(z0)+f'(z0)(z-z0)+R(z)(z-z0), R(z)→0 (z→z0) となるものが存在する ... (*)」

が分かりません。
今,fはAでC^1級なのでAでC^∞級ですよね。

R(z)=(f"(c))(z-z0)^2/2! (c∈(z0,z))
となると思いますが
lim_{z→z0}R(z)=lim_{z→z0}(f"(c))(z-z0)^2/2!=0
は直ちに言えますよね。

でもAは内点を持たないのでU(z0)は存在しませんよね?

それでもしかして,"fはAでC^1級"という仮定は間違いなのでしょうか?
定義域を内点を持つ集合(開領域)にしなければならない?
No.25358 - 2014/04/07(Mon) 10:48:48
☆ Re: / 黄桃
>今,fはAでC^1級なのでAでC^∞級ですよね。
違います。前うかがった定義では、fは複素正則関数ではありません。
実質的に fは区間[0,|b-a|]からR^2へのC^1級写像です。
像のR^2 を複素数平面C と同一視しているだけです。

fがC^1級ということから、x∈(0,|b-a|)に対してはh∈Rが十分小さければ、
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h) (oはランダウの記号）
となります(f(x+h),f(x),f'(x)および誤差項は複素数=R上2次元ベクトル空間の点です）。
これは(*)と同じこと(x=z0,h=z-z0)です。
No.25379 - 2014/04/08(Tue) 07:07:39
☆ Re: / くるくる
遅くなりまして大変申し訳ありません。

f(x-a_n)=f(x)+f'(x)/|x-a_n|+o_a(n)
f(x-b_n)=f(x)+f'(x)/|x-b_n|+o_b(n)
と一次近似を取るとo_a(n)とo_b(n)は誤差,
o_a(n)/|x-a_n|→0
o_b(n)/|x-b_n|→0
だから
0≦(f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)-f'(x)|≦|o_a(n)/(x-a_n)|+|o_b(n)/(x-b_n)|→0
as n→∞
だからあとは挟み撃ちの定理でいけました。

どうも有難うございました。
No.25622 - 2014/04/22(Tue) 09:52:55
★ (No Subject) / ちよ
またお世話になりますm(__)m

n、kは自然数で、k≪100であり、nに関する条件p、qをつぎのように定める。
条件p:nはkの倍数である
条件q:nは18の倍数である
命題「p⇒q」が真であるようなkは全部で□個ある。

解説にはkが18の倍数になればいいと書いてあったのですが、なぜそうなるかがわかりません
画像のようなベン図を書いて考えたのですが…

どなたか解説お願いします
No.25345 - 2014/04/06(Sun) 20:53:11
☆ Re: / みずき
命題「p⇒q」が真ということは、
「nはkの倍数である」ならば「nは18の倍数である」
が真ということですが、より噛み砕いて言えば、

nがk,2k,3k,4k,・・・と表せるとき、
その『すべて』が18の倍数である

ということです。
（よろしいでしょうか。nはkの倍数なのですから、
kも2kも3kも・・・ぜんぶnですね。）

おそらく、この「すべて」というところがつかめていないのが
納得できないポイントかと思われます。

具体例で見てみましょう。
もし、kが18の倍数なら、命題は真となりますね。

一方、kが18の倍数ではないときにどうなるか見てみましょう。
たとえば、18=2×3^2ですから、k=9の場合を見ましょうか。

このとき、nはk=9の倍数たちですから、
n=9,18,27,36,45,54,63,・・・ですね。
で、問題は、この「すべて」が18の倍数になるか、です。
なりませんね。18の倍数は含まれていますが、すべてでは
ありません。

これでは、
『nがk=9の倍数ならば、nは18の倍数』
とは言えない、ということです。

よって、命題が真となるには、
すなわち、kの倍数が『すべて』18の倍数となるには、
k自身が18の倍数でなくてはいけないことが分かります。

したがって、kは18の倍数であるとき真となる（十分性）ことと、
kは18の倍数でなくてはいけないこと（必要性）から、
結局、18の倍数となるようなkを考えればよいことになります。
No.25348 - 2014/04/06(Sun) 21:21:21
☆ Re: / IT
kが18の倍数のとき
　k=18m (mは整数)とおけます。※以下文字はすべて整数を表します
　nがkの倍数ならば,n=ak=a18m=18amなので、nは18の倍数となります。

kが18の倍数でないとき
　n=kとすると、nはkの倍数ですがnは18の倍数ではありません。

ベン図で考えるなら
k=18,36,3,5などのとき18の倍数の集合とkの倍数の集合が
どのような包含関係になるか図を描いて考えて見てください。
No.25349 - 2014/04/06(Sun) 21:23:59
☆ Re: / ちよ
みずきさん、ITさんありがとうございます!!
お二人の説明を読んでスッキリしました

もし機会があればまたよろしくお願いします

本当にありがとうございましたm(__)m
No.25353 - 2014/04/06(Sun) 23:09:25
★ cosとtanについて / アクオス
長くなるのですがよろしくお願いします。

円に内接する四角形ABCDがあり
BC=5
CD=5
DA=8
∠ABC=120°である

という条件で
ここから問題が続いていき

AB=3
AC=7
BD=55/7

cos∠BAD=23/98
までを求めているのですが
ここからtan∠BADを求める問題になるのですが
問題集の解答の解説では

△BADを直角三角形と考えて
三平方の定理を使ってtanの値を求めているのですが
初め自分は
△BADが直角三角形になる理由がわからなかったのですが
別の質問サイトで聞いてみたところ

これは
tan∠BADを考えるためだけの直角三角形を別につくってある

という回答を頂いたのですが、
なぜそのように考えていいのかがよく理解できません。

実際数字を入れれば、値は合っているというのはわかるのですが・・・

三平方の定理を使っていいのは、直角三角形のときだけだと思うのですが
なぜ三平方の定理を使って求めた数を
直角三角形と関係のない三角形の角の値として考えていいのでしょうか?

返信がおそくなるかもしれませんがよろしくお願いします。
No.25340 - 2014/04/06(Sun) 19:44:42
☆ Re: cosとtanについて / IT
>問題集の解答の解説では
>△BADを直角三角形と考えて
>三平方の定理を使ってtanの値を求めているのですが

具体的にどう書いてあるでしょうか？
No.25341 - 2014/04/06(Sun) 20:07:24
☆ Re: cosとtanについて / ヨッシー


図のように、ＤからＡＢに垂線を下ろして
　ＤＡ：ＡＥ＝９８：２３
から、ＤＥ＝55√3 を出して
　tan∠ＢＡＤ＝55√3/23
とするのかと思いましたが、違うのでしょうか？
No.25342 - 2014/04/06(Sun) 20:16:10
☆ Re: cosとtanについて / アクオス
ITさん、ヨッシーさん、返信ありがとうございます。

参考書に書かれているのは

cos∠BAD=23/98より
斜辺が98、底辺が23の直角三角形として
w^2=98^2-23^2 というように三平方の定理を使って高さを求めて
高さ55√3よりtan=(55√3)/23 と求めています。

よろしくお願いします。
No.25350 - 2014/04/06(Sun) 22:05:05
☆ Re: cosとtanについて / IT
その問題集でも「△BADを直角三角形と考えて」　はいませんね。
直角三角形は△EADですね。（ヨッシーさんの図のとおり）
No.25352 - 2014/04/06(Sun) 23:00:04
☆ Re: cosとtanについて / アクオス
ITさんありがとうございます。
ヨッシーさんの図のようなことは参考書に書かれていないのでヨッシーさんの考え方とは違うように思います。
出版社に問い合わせてみたいと思います。
何かわかればまたこの事について投稿させてもらいたいと思います。
ありがどうございました。
No.25369 - 2014/04/07(Mon) 22:33:22
☆ Re: cosとtanについて / ヨッシー
私には、参考書に書かれている方法と、私の示した方法は
全く同じに見えます。

出版社に問い合わせるのは自由ですが、上の図を少し書きかえたので、
それを見てからでも遅くはないのでは？
No.25370 - 2014/04/07(Mon) 23:11:56
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