p・{(a+b)/2} + (1-p)・2/{(1/a)+(1/b)} ≧√(ab)
が成り立つような実数pの値の範囲を求めよ。
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No.24974 - 2014/03/22(Sat) 12:50:27
| ☆ Re: / angel | | | a,bは共に正、でしょうか?
共に負も場合分けして考えればすみますけど、面倒なので「共に正」という前提でいきます。
それぞれ Ma=(a+b)/2, Mh=2/(1/a+1/b), Mg=√(ab) とすると、問題の不等式は
pMa + (1-p)Mh ≧ Mg
であり、
・a=b の時
Ma=Mh=Mg のため、任意のpで不等式が成立
・a≠b の時
Mh＜Mg＜Ma であることから、不等式を解いて p≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)
…あ、Mgの大小関係は別になくて良かった。
なお、なぜMh＜Mg＜Maかというと、調和平均・相乗平均・相加平均の大小関係がそうなるからですね
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No.24976 - 2014/03/22(Sat) 17:12:11 |
| ☆ Re: / ヒキニート  | | | a、bは任意の正の値でした。すいません。
ちなみに、けっきょくpの値の範囲はp≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)を計算したもので良いのですか？
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No.24978 - 2014/03/22(Sat) 22:12:06 |
| ☆ Re: / angel | | | > ちなみに、けっきょくpの値の範囲はp≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)を計算したもので良いのですか？
a≠bの時はそうです。
a=b の時は、pの範囲としては、「全ての実数」となります。
→「a,bが任意の実数」だと答えが違うため、訂正版を下に載せました。
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No.24984 - 2014/03/22(Sat) 23:04:54 |
| ☆ Re: / ヒキニート | | | それと、もう一ついいですか？
調和平均とは何ですか？
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No.24986 - 2014/03/22(Sat) 23:53:20 |
| ☆ Re: / angel | | | > 調和平均とは何ですか？
…あれ、これって学校では習わないのでしたか。
調和平均も平均の一種で、a,bの調和平均は 2/(1/a+1/b) で計算します。
例としては、
・ある場所への往復で、行きは徒歩4km/hで、帰りは自転車12km/hで移動した。行き・帰り通じての平均速度は?
→答え 6km/h
というところで、この 6 が、4,12の調和平均です。
3つの数a,b,cの調和平均なら 3/(1/a+1/b+1/c)
4つの数a,b,c,dの調和平均なら 4/(1/a+1/b+1/c+1/d)
…
となります。
学校で習ってないとすると、相加平均 (a+b)/2 との大小も示す必要がありますね。
(a+b)/2 - 2/(1/a+1/b)
= (a+b)/2 - 2ab/(a+b)
= ( (a+b)^2 - 4ab )/( 2(a+b) )
= (a-b)^2/( 2(a+b) )
なので、a=b の場合を除いて、常に相加平均の方が大きくなります。
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No.24987 - 2014/03/23(Sun) 00:13:14 |
| ☆ 訂正 / angel | | | > a、bは任意の正の値でした。すいません。
あれ、良く見ると「任意の」ですか。
そうすると、a,bがどんな値であっても不等式が成り立つようなpを調べる問題ということになりますね。
なので、答えがa,bに依存した形では間違いになりますので訂正します。
※「a,bを正の定数とする」や「ある正数a,bに対して」であれば、p≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)を計算した、a,bに依存した形で良いのですが。
今回、(Mg-Mh)/(Ma-Mh)≦1/2 ( a=bの時等号成立 ) であることがわかりますから、答えとしては p≧1/2 が正しいです。
この1/2の求め方としては、
(Mg-Mh)/(Ma-Mh)=m, √(b/a)=r
とでも置くと
m=2r/(r+1)^2
となりますから、二次方程式 m(r+1)^2-2r=0 の判別式を考えることで m≦1/2 と分かります。
等号成立は r=1 であり、これはすなわち a=b に対応します 。
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No.24989 - 2014/03/23(Sun) 00:55:57 |
| ☆ Re: / ヒキニート | | | 1番最初に書いていただいたように、答案を書くとどんな感じになりますか？
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No.24990 - 2014/03/23(Sun) 01:08:19 |
| ☆ Re: / angel | | | > 答案を書くとどんな感じになりますか？
今まで書いたことの寄せ集めのような感じですね。
ちょっとa=bの所をどう書くかは悩ましい所ですが。
では、Ma,Mg,Mhは上と同じように定義するとして、
・a=bの時、Ma=Mg=Mhのため、任意のpで不等式が成立する。
・a≠bの時、
まず Ma-Mh＞0 である。なぜならば…( No.24987の通り )
そのため、不等式を解いて p≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)
ここで、m=(Mg-Mh)/(Ma-Mh), r=√(b/a) と置くと、
m = … = 2r/(r+1)^2 である。
なお、a≠b であるため r＞0, r≠1
続いて、mの取りうる値の範囲を考える。
m=2r/(r+1)^2 より m＞0, mr^2+2(m-1)r+m=0
この r の二次方程式が実数解をもつため、
判別式 D/4=(m-1)^2-m^2=1-2m≧0 これより m≦1/2
しかしながら、m=1/2 の時、1/2・r^2-r+1/2=0 となりこの解は r=1 (重解) であることから、r≠1 に反し、不適
逆に r=1 を解に持つ ( 重解に限らず ) のは、m=1/2 の時だけであるから、これより 0＜m＜1/2 が m の取りうる範囲である。
結局、p≧m で m の取りうる範囲が 0＜m＜1/2 であることから、任意のa,bで不等式が成り立つためには p≧1/2 が必要十分
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No.25026 - 2014/03/24(Mon) 23:15:13 |
| ☆ Re: / ヒキニート | | | No.25045 - 2014/03/26(Wed) 05:59:54 |
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