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★ (No Subject) / ヒキニート
代入法の原理ってどうやって証明するんですか？
No.25631 - 2014/04/22(Tue) 19:46:17
★ 軌跡 / 名前
平面上の正方形ABCDに対し､∠APB=∠CPDを満たす点Pの軌跡を求めよ｡

結果は以下の通りです｡

･正方形ABCDの外接円の劣弧AD,BC
･線分AD,BCの垂直二等分線
･直線AC,BDのうち､正方形ABCDの外部

このうち

･線分AD,BCの垂直二等分線
･直線AC,BDのうち､正方形ABCDの外部

の部分については解決済みなのですが､

･正方形ABCDの外接円の劣弧AD,BC

の部分についての論証が分かりません｡

△APBと△CPDの外接円が重なった部分であることまでは理解できますが､角度を分析することで導き出すことを考えています｡

よろしくお願いします｡
No.25630 - 2014/04/22(Tue) 19:42:39
☆ Re: 軌跡 / みずき
ご質問が
「点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BC
にあるとき、∠APB=∠CPDが成立することを示す（確認する）
にはどうしたらよいか」
ということならば、
正方形ABCDの外接円における円周角の定理を考えれば
明らかと言えるのではないでしょうか。
No.25632 - 2014/04/22(Tue) 20:10:15
☆ Re: 軌跡 / 名前
みずきさんへ
おっしゃるとおり

『点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BCにある』
⇒『∠APB=∠CPD』

については円周角の定理から成立しますが､質問では

『∠APB=∠CPD』
⇒『点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BCにある』

についての論証を考えています｡

よろしくお願いします｡
No.25633 - 2014/04/22(Tue) 20:40:19
☆ Re: 軌跡 / みずき
> 質問では
>
> 『∠APB=∠CPD』
> ⇒『点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BCにある』
>
> についての論証を考えています｡

たぶん誤解されていると思います。

『∠APB=∠CPD』
⇒『点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BCにある』

は正しくないですよね。名前さんご自身が書かれた答え
によれば、以下が正しいわけですよね。

『∠APB=∠CPD』
⇒「点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BCにある」
または「点Pが線分ADの垂直二等分線上にある」
または「点Pが直線ACのうち、正方形ABCDの外の部分にある」
または「点Pが直線BDのうち､正方形ABCDの外の部分にある」

したがって、正しくない命題
『∠APB=∠CPD』
⇒『点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BCにある』
を論証することはできません。

なお、名前さんは以下のように書かれていますね。
「このうち
･線分AD,BCの垂直二等分線
･直線AC,BDのうち､正方形ABCDの外部
の部分については解決済みなのですが､
･正方形ABCDの外接円の劣弧AD,BC
の部分についての論証が分かりません｡」

これを読む限りでは、十分性を考えていると
読む以外にありません。
これを「必要性について書いているんだな」
と解釈することはできません。
No.25634 - 2014/04/22(Tue) 20:56:35
☆ Re: 軌跡 / 名前
みずきさんへ

質問の
“･線分AD,BCの垂直二等分線
･直線AC,BDのうち､正方形ABCDの外部

の部分については解決済みなのですが､

･正方形ABCDの外接円の劣弧AD,BC

の部分についての論証が分かりません｡”

の部分について

『∠APB=∠CPD』
⇒『正方形ABCDの外接円の劣弧AD,BC』
または
『線分AD,BCの垂直二等分線』
または
『直線AC,BDのうち､正方形ABCDの外部』

のうち、

『∠APB=∠CPD』
⇒『線分AD,BCの垂直二等分線』
と、
『∠APB=∠CPD』
⇒『直線AC,BDのうち､正方形ABCDの外部』

については解決済みで､

『∠APB=∠CPD』
⇒『点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BCにある』

についての論証がわからないという意図で書きました｡

伝わりづらくてすいません。
No.25641 - 2014/04/22(Tue) 21:22:42
☆ Re: 軌跡 / みずき
泥臭くやろうとするなら、P(x,y)とおいて
△ABPと△CDPに余弦定理を適用して・・・
とやるのでしょうが、腕力がいるでしょう。

幾何的に考察する方法もありますね。
A(-1,1),B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1)とおいて
対称性から、x≧0かつy≧0の場合を調べる。
点Pが、
y軸上にある場合
x軸上にある場合
直線BD上にある場合
正方形ABCDの外接円周上にある場合
正方形ABCDの外接円の内部にある場合
正方形ABCDの外接円の外部にある場合
という具合に調べていけば良いと思います。
（上記の場合分けには重複部分があることに注意してください）

それにしても2008年の東大の問題に似ていますね。
（可能なら）参照してみられると得るものがあると思いますよ。
No.25643 - 2014/04/22(Tue) 21:40:43
☆ Re: 軌跡 / 名前
2008年 東大 文系問３ の類題として出された問題で､
cos や tan の計算を進める解法
や
△APBと△CPDの外接円の共有点を追跡する解法
を思いつきましたが､
ここでは適当な補助点を設定することで P,A,B,C,D が共円であることを示すことを考えています｡

よりしくお願いします｡
No.25646 - 2014/04/22(Tue) 22:11:13
☆ Re: 軌跡 / みずき
> 2008年 東大 文系問３ の類題として出された問題で､

そうでしたか。

> cos や tan の計算を進める解法
> や
> △APBと△CPDの外接円の共有点を追跡する解法
> を思いつきましたが､
> ここでは適当な補助点を設定することで P,A,B,C,D が共円であることを示すことを考えています｡

ようやく名前さんの質問の意図・意味がつかめました。
このような関連事項は、質問とともに書かれた方が
良かったと思いますね。

さて、P,A,B,C,Dが共円であることを示したい、とのことですが、答えは、
『∠APB=∠CPD』
⇒「点Pが正方形ABCDの外接円の劣弧ADまたは劣弧BCにある」
または「点Pが線分ADの垂直二等分線上にある」
または「点Pが直線ACのうち、正方形ABCDの外の部分にある」
または「点Pが直線BDのうち､正方形ABCDの外の部分にある」
なのですから、A,B,C,Dとは共円にならないPも
存在しますよね。ですから、一般には言えないことになります。

線分ABの垂直二等分線と直線ACと直線BDを除いた場合
を考えている、ということですか？

（それとマルチポストはできる限り控えられることを
お勧めします。もう今更、という感じですが。）
No.25647 - 2014/04/22(Tue) 23:35:05
☆ Re: 軌跡 / 名前
失礼しました｡

Pが直線AB 直線CDの間で正方形の外部､かつ線分AD,BCの垂直二等分線にない場合のみ考えていただければ結構です｡
(線分ADの垂直二等分線と直線ACと直線BDを除く)
No.25648 - 2014/04/22(Tue) 23:40:16
☆ Re: 軌跡 / みずき
> Pが直線AB 直線CDの間で正方形の外部､かつ線分AD,BCの垂直二等分線にない場合のみ考えていただければ結構です｡
> (線分ADの垂直二等分線と直線ACと直線BDを除く)

まず第一に、上記の3直線を除いて考える、というのが不自然に思われ、うまい方法がすぐには見つかりません。

第二に、本問を解くには、他に自然に思いつく解法があるために、どうしても共円を考えたい、というところに
やや疑問を覚えます。
（たとえば、共円で解くように（宿題として？）言われている、などの背景でもあるのでしょうか？）

第三に、私も人間ですから、興味を覚えない問題には、
あまり手を出そうと思いません。あしからず。

とはいえ、思いつきましたら、書くようにしますね。
No.25649 - 2014/04/22(Tue) 23:55:12
☆ Re: 軌跡 / 名前
平面全体は4直線AB,BC,CD,DAによって9個の領域に分割され､Pがどの領域にあるかで場合分けが必要になりますが

Pが直線AB,CDの外側にある場合は直線ACと直線BD

Pが正方形の内部にある場合は線分ADの垂直二等分線

となり､これらについては自分で解決できたので考察対象からは除きました｡

また､対象性を考慮して線分ADの垂直二等分線を除いた円弧部分のみを考えていただく形としました。

解法を共円で考えようとするのは､軌跡が円弧なら円周角の定理から導けるのではと考えたからです｡
No.25650 - 2014/04/23(Wed) 00:26:52
☆ Re: 軌跡 / みずき
理解しました。
もう、別掲示板にて回答が得られたようなので
これ以上は回答しませんが、
回答者が回答しやすいように
関連情報（問題の出典、すでに考えたこと、分からないポイント等）
はなるべく最初に出すようにすることをお勧めします。
No.25651 - 2014/04/23(Wed) 00:37:23
☆ Re: 軌跡 / 名前
ご回答いただき､ありがとうございました｡
No.25654 - 2014/04/23(Wed) 00:56:38
★ 方程式の解 / ヨウ
皆さん、
第二問題、第3問題がわからないです。どうか教えてください。
No.25624 - 2014/04/22(Tue) 16:44:11
☆ Re: 方程式の解 / ヨウ
私の解き方です。
No.25625 - 2014/04/22(Tue) 16:44:51
☆ Re: 方程式の解 / みずき
> 私の解き方です。

(2)
√7x-11≧0⇔x≧11/√7において、x=1/(√7-4)
が出てきたわけですね。
出てきただけでは答えにならないことに注意しましょう。
このxがちゃんと不等式を満たすか確認しなくてはいけません。
今の場合、
x=1/(√7-4)
はそもそも負なので、これはx≧11/√7を満たしません。
よって、これは答えになりません。

(3)
今、a＞0ですから、次のようになります。
ax-11≧0⇔x≧11/aのとき、x=1/(a-4)
（aが4でないことに注意しましょう。）
ax-11＜0⇔x＜11/aのとき、x=21/(a+4)

（?T）
前者の場合、
1/(a-4)≧11/a
を考える必要があります。

(?@)a-4＞0⇔a＞4のとき、両辺にa(a-4)＞0をかけて
a≧11(a-4)⇔10a≦44⇔a≦4.4
つまり、4＜a≦4.4
しかし、これを満たす整数aは存在しません。

(?A)a-4＜0⇔a＜4のとき、両辺にa(a-4)＜0をかけて
a≦11(a-4)⇔10a≧44⇔a≧4.4
つまり、a＜4かつa≧4.4
しかし、これを満たす数は存在しません。

（?U）
後者の場合、
21/(a+4)＜11/a
を考える必要があります。
両辺にa(a+4)＞0をかけて
21a＜11(a+4)⇔10a＜44⇔a＜4.4
今、a＞0なので、0＜a＜4.4
よって、a=1,2,3,4

この各々のときに、21/(a+4)が整数になるかどうかを
調べます。

a=1のとき、21/5は整数ではありません。
a=2のとき、21/6は整数ではありません。
a=3のとき、21/7=3となり十分。
a=4のとき、21/8は整数ではありません。

以上により、a=3で、そのときの正の整数解はx=3
No.25626 - 2014/04/22(Tue) 17:09:03
☆ Re: 方程式の解 / ヨウ
詳しく教えてくださり、ありがとうございました。
ホントに助かりました！
No.25639 - 2014/04/22(Tue) 21:14:29
★ P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori
確率の授業です(初学者です)。外人の先生なので英語が聞き取れずよくわかりませんでした。

σ^2が分散, w_1,w_2,…,w_{n-1}がN(0,σ^2)の確率変数の時,
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)=1
となるそうなのですが(cは定数)これは大数の法則と呼ばれるものなのでしょうか?

ここでw_1,w_2,…,w_{n-1}は
w_1=1/(σ√(2π))exp(-x_1^2/(2σ^2)),
w_2=1/(σ√(2π))exp(-x_2^2/(2σ^2)),
:
w_{n-1}=1/(σ√(2π))exp(-x_{n-1}^2/(2σ^2)),
というx_1,x_2,…,x_{n-1}を独立変数とする関数という解釈で大丈夫でしょうか?
この時,w_1,w_2,…,w_{n-1}は正値ですよね?

そして, x=0の時が最大値(最頻値)を取るので
0<w_1≦1/(σ√(2π))
0<w_2≦1/(σ√(2π))
:
0<w_{n-1}≦1/(σ√(2π))
となり,
0<Σ_[k=1..n-1]w_k≦(n-1)/(σ√(2π))
よって
max|Σ_[k=1..n-1]w_k|=(n-1)/(σ√(2π)),
従って,
P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)は確率密度関数(釣鐘型曲線)の-∞からcσ√nまでの積分だから
n→∞の時,上端cσ√n→+∞なので
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)=1
と解釈しました。

それでもって

[問] P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で表せ。
という問題なのですが,どのように解けばいいのでしょうか?
No.25621 - 2014/04/22(Tue) 09:18:24
☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / ペンギン
誤解されているようです。
w_1=1/(σ√(2π))exp(-x_1^2/(2σ^2))

ではなく、
値w_1のときの確率密度p(w_1)が
p(w_1)=1/(σ√(2π))exp(-w_1^2/(2σ^2))

となります。

w_1は-∞から∞まで任意の値をとることができます。

問題文に関しては、"max"がどこにかかっているのかが分からなかったので、お答えできませんが・・・。
No.25629 - 2014/04/22(Tue) 18:52:28
☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori
有難うございます。とても参考になります。

> 問題文に関しては、"max"がどこにかかっているのか
> が分からなかったので、お答えできませんが・・・。

失礼いたしました。
max|Σ_[k=1..n-1]w_k|
は
max{|w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+w_2+…+w_{n-1}|
の意味でした。
No.25652 - 2014/04/23(Wed) 00:45:31
☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori
> ではなく、
> 値w_1のときの確率密度p(w_1)が
> p(w_1)=1/(σ√(2π))exp(-w_1^2/(2σ^2))

えっ!?
p(w_1)は累積分布関数(つまり,積分式)ではないのでしょうか?
http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/term/cdfpdf/node1.html
No.25665 - 2014/04/24(Thu) 00:39:02
☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori
失礼致しました。

k=1,2,…,n-1に関して
f(w_k)=1/(σ√(2π))exp(-w_k^2/(2σ^2))
で
P(f(w_k))=∫[-∞..+∞]f(w_k)dw_k
でした　(^_^;)

そして,新たな情報です。
w_k∈[-3σ,3σ]でP(w_k<3σ)≒0.997だそうです。

また,
w_k〜N(0,σ^2)の時,
w_1+…+w_{n-1}〜N(0,(n-1)σ^2)
です(これは中心極限定理ですね)。

さらに
lim_{n→∞}(1/√n)Σ[k=1..n]w_k
からBrownian motion, Weiner mortionを使って証明.
これは
Donskier's Invariance Principleと言って中心極限定理を一般化した定理だそうです。

部分部分の情報で誠に申し訳ありません。
No.25667 - 2014/04/24(Thu) 01:37:17
☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori
Weiner mortion
↓
Weiner distribution

でした。

追加情報です。

N(0,σ^2)〜x_1,x_2,…がi.i.d(独立同時分布)の時,
lim_{n→∞}P(max{|x_i|}≦σ√(2nlog(n)))=1
は既知だそうです。
No.25668 - 2014/04/24(Thu) 05:48:50
★ 固有値を求める問題 / まさ
5番の問題がわかりません。よろしくお願いします。
No.25620 - 2014/04/22(Tue) 01:18:24
☆ Re: 固有値を求める問題 / ペンギン
Aの固有ベクトルをv=(x_1,x_2,・・・x_n)、固有値をλとします。
このとき、Av=λvが成り立ちます。

vの要素の中で最大値をx_mとすると、
(Av)_m=Σ_{j=0〜n}a_{mj}x_j = λv_m=λx_m・・・?@

x_m=max(x_j)なので、x_j≦x_mと、仮定より、
Σ_{j=0〜n}a_{mj}x_j≦Σ_{j=0〜n}a_{mj}x_m
=x_mΣ_{j=0〜n}a_{mj}=x_m

なので、?@より、λ≦1
No.25627 - 2014/04/22(Tue) 18:46:06
☆ Re: 固有値を求める問題 / ペンギン
補足です。

vの要素が全て負の時は、-vを考えると、
常にx_m≧0が成り立つようにすることができます。

x_m=0のときは、v=0となるので除外すると、
x_m>0とすることができます。
No.25628 - 2014/04/22(Tue) 18:49:10
★ 積分の式変形 / まさ
鉛筆で囲ってある、矢印で示した式変形がなぜそうなるかよくわかりません。よろしくお願いします。
No.25613 - 2014/04/21(Mon) 22:10:22
☆ Re: 積分の式変形 / angel
∫[a,b]f(x)dx - ∫[a,c]f(x)dx = ∫[c,b]f(x)dx だからですね。積分範囲に-∞があるので極限の話なのですが、成立するのは同じ。

それとも和の形の方が分かり易い…?
∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx
No.25615 - 2014/04/21(Mon) 22:17:41
☆ Re: 積分の式変形 / まさ
ありがとうございます
No.25618 - 2014/04/21(Mon) 23:10:56
★ 高校一年生です。集合と論証が、わかりません。 / あかり
2には、有理数
3には、無理数という言葉が入るのですが、
それ以外の1.4.5に、当てはまる式がわかりません。
なぜそうなるのから詳しく書いて頂けると嬉しいです。

よろしくお願いします。
No.25612 - 2014/04/21(Mon) 21:49:01
☆ Re: 高校一年生です。集合と論証が、わかりません。 / angel
2,3の答えは納得できてますか…? 答えだけ覚えても役には立たないのですが。

それはそれとして、
1.
　?@の等式をaに関する一次方程式と考えれば…
　a同士を左辺にまとめて、それ以外を右辺にまとめて…
4.
　この証明自体が「背理法」の形式を採っていることに注意。
　「○○であると仮定すると〜より××に反する ( もしくは『矛盾する』とか )」ですね。
　こうくると、「よって○○ではない」となるわけで、ここには仮定した条件の否定形が来るのです。
5.
　4ができれば、問題文の通り?@に代入すれば…
　※最終的に示すのが「x=x'かつy=y'」なのだから、それに近い形になるはずですね。
　※もっと言うと、4,5を併せると「x=x'かつy=y'」になります。
No.25616 - 2014/04/21(Mon) 22:25:57
★ 面積比 / ヨウ

∠BCA=∠ABC , ∠BAD=∠ACE , ∠DBA=∠EACなので
△CBAと△ABD,△CAEが互いに相似関係となる
CB=6,AB=4,CA=5より相似比は6:4:5なので
ここまではわかりますが、
第二問の面積比は6^2:4^2:5^2=36:16:25でありことは理解できません。
No.25609 - 2014/04/21(Mon) 20:58:31
☆ Re: 面積比 / angel
相似比が a:b:c とあれば、面積比は a^2:b^2:c^2 なのです。
それが相似形の性質。
※もし立体なら、体積比 a^3:b^3:c^3 というのもあります

最も分かり易い例としては、大きさの違う正方形 ( 全て相似形 ) とか。
一辺 a[cm], b[cm], c[cm] の正方形の面積はそれぞれ a^2[cm^2], b^2[cm^2], c^2[cm^2] で、面積比 a^2:b^2:c^2 になりますよね。
形は違っても、この「比」というのは同じように考えられるのです。
No.25617 - 2014/04/21(Mon) 22:29:46
☆ Re: 面積比 / ヨウ

教えてくれてありがとうございました
No.25623 - 2014/04/22(Tue) 13:46:43
★ (No Subject) / ヨウ
|x-1|≦3でありことは、x＾2-2X-8≦0 であるための必要十分条件である。

どうしてですか　教えて下さい

|x-1|≦3は
X≦2またはX≧-2
x＾2-2X-8≦0 は
-2≦X≦4
No.25603 - 2014/04/21(Mon) 00:12:54
☆ Re: / らすかる
> |x-1|≦3は
> X≦2またはX≧-2

これは正しくありません。
「X≦2またはX≧-2」というのは「Xは任意の実数」と同じことです。
任意の実数xに対して|x-1|≦3が成り立つわけはないですね。
|x-1|≦3は
x-1≧0すなわちx≧1のとき
x-1≦3からx≦4
∴1≦x≦4 … (1)
x-1＜0すなわちx＜1のとき
-(x-1)≦3からx≧-2
∴-2≦x＜1 … (2)
(1)(2)を合わせて -2≦x≦4
よってx^2-2x-8≦0の解と同一になります。
No.25605 - 2014/04/21(Mon) 00:19:27
☆ Re: / ヨウ
教えてくれてありがとうございました
No.25610 - 2014/04/21(Mon) 21:06:03
★ 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ(浪人)
問題
　次のx,yの連立方程式
　　cosx+2cosy=a
　　sinx+2siny=b
が実数解をもつための条件をa,bを用いて表せ。

この問題の解答途中で
　　cosy=1/2(a-cosx)…?@
　　siny=1/2(b-sinx)…?A
と変形したあと、実数yが存在するための必要十分条件がcos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式になるのはなぜですか？

自分は弧度法から、yは半径1の円の弧の長さだからこれが実数で存在？？などと考えてみたのですが…いまいちイメージがわきません。
どの定義まで考えればいいですか？？
お願いします。
No.25602 - 2014/04/20(Sun) 23:51:37
☆ Re: 三角関数の実数解条件 / らすかる
> 実数yが存在するための必要十分条件がcos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式になるのはなぜですか？

yが存在すれば(cosy)^2+(siny)^2=1は成り立ちます。
(cosy)^2+(siny)^2=1を満たすcosy,sinyが存在すればyが存在します。
よって「cos^2y+sin^2y=1に?@?Aを代入した式」は「実数yが存在するための必要十分条件」となります。
No.25604 - 2014/04/21(Mon) 00:15:08
☆ 別解(図形/ベクトル) / angel
別解です。参考まで。

(cosx,siny)という長さ1のベクトルと(2cosy,2siny)という長さ2のベクトルの和と考えれば、三角不等式が活用できます。

添付の図において、OP=1, PQ=2 で、Qはまた(a,b)にも一致します。
で、O,P,Qが一直線上に来る場合も含め、三角不等式は
　|OP-PQ|≦OQ≦OP+PQ
つまり、1≦OQ=√(a^2+b^2)≦3

これは必要条件です。なので、十分条件を吟味する必要があります。
が、1≦OQ≦3であれば、Qはどこにあっても構いません。
※「構いません」というのは、適切なx,yによってOP=1,PQ=2とできるということ
これは、一例作ってみて、Qの場所に応じて原点周りに回転してみればわかります。

ということで、結局必要十分条件は 1≦√(a^2+b^2)≦3、ルートを外して 1≦a^2+b^2≦9 です。
No.25614 - 2014/04/21(Mon) 22:11:58
☆ Re: 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ(浪人)
回答ありがとうございます。

らすかるさんへ
ですが、まだいまいちつかめていないです。
そもそも
　　　?T実数yが存在するならば(cosy)^2+(siny)^2=1
　　　?U(cosy)^2+(siny)^2=1ならば実数xが存在する
を証明するにはどうしたらいいんですか？？
※質問におけるyをxに変えました。


angelさんへ
cosx+2cosy=2,siny+cosy=2を満たす実数xyが存在する
⇒△OPQが存在する(O,P,Qが一直線上である場合も含む)

△OPQが存在する(O,P,Qが一直線上である場合も含む)
⇔三角不等式1≦OQ≦3が成り立つ

　
一方
三角不等式1≦OQ≦3が成り立つ
⇒
cosx+2cosy=2,siny+siny=2を満たす実数xyはOP=1,PQ=2となるようにPをとれば必ず存在する

というような感じでしょうか？
No.25619 - 2014/04/21(Mon) 23:23:06
☆ Re: 三角関数の実数解条件 / らすかる
> ?T実数yが存在するならば(cosy)^2+(siny)^2=1

(cosy,siny)は単位円上の点ですから(cosy)^2+(siny)^2=1です。

> ?U(cosy)^2+(siny)^2=1ならば実数xが存在する

(cosy,siny)は単位円上の点ですからyが存在します。
No.25657 - 2014/04/23(Wed) 05:13:32
☆ Re: 三角関数の実数解条件 / ハレゾラ
らすかるさんへ

三角関数の定義で(cosy,siny)が単位円上の点であることを考えればよかったのですね。

何度もありがとうございました。
No.25659 - 2014/04/23(Wed) 21:10:52
★ (No Subject) / ヨウ
http://i.imgur.com/UYsVL9u.jpg

中心角=360°（半径１の円周/半径３の円周）＝(2π*1/2π*3)=120°
面積=π*3^2/3=3π
ここまではわかります。
第二問からは解き方ができませんでした。
詳しく教えていただけますか
以下は答案です。
l/2=√(OA^2+OP^2-2OA*OPcos(120°/2))= √(3^2+2^2-6)
= √7
l=2√7
OP=3/2
l=2*( 3/2)*√3=3√3
No.25599 - 2014/04/20(Sun) 20:18:34
☆ Re: / みずき
> 第二問からは解き方ができませんでした。
> 詳しく教えていただけますか

(?@)
直円錐の展開図で考えます。
展開図の扇形の弧の両端がAで、弧の中央にBがあります。
点Pは線分OB上の点ですね。
今、l(エル)は、
一方のAからPまでの距離+もう一方のAからPまでの距離です。
この2つは等しいので、三角形OAPに余弦定理を適用して(∠AOP=60°に注意して)、
l=2AP=2√(2^2+3^2-2*2*3*cos60°)=2√7

(?A)
OP=xとおくと、(?@)と同様に考えて、
l=2AP=2√(x^2+3^2-2*x*3*cos60°)
=2√{(x-3/2)^2+27/4}
（√内を平方完成しました）
√内は下に凸の放物線なので、x=3/2のとき、lは最小になります。
また、このとき、l=2√27/4=3√3
No.25607 - 2014/04/21(Mon) 13:14:43
☆ Re: / ヨウ
わかりました。どうもありがとうございました。
いつもお世話になっております。
No.25608 - 2014/04/21(Mon) 19:55:35
★ 数列 / ふぇるまー
実はわたくしｲﾝﾌﾙｴﾝｻﾞにかかりまして、数列が結構卯分からなくなってしまったのです。独学で現在追いついているのですが、ﾖｯｼｰ掲示板の皆さんで貼付写真の256、258、259の開設をして戴けないでしょうか。よろしくお願い致します。
No.25594 - 2014/04/20(Sun) 14:21:03
☆ Re: 数列 / X
256)
初項をa、公差をdとすると条件から
a+4d=20 (A)
Σ[k=1〜5]{a+(k-1)d}=50 (B)
(A)(B)をa,bについての連立方程式と見て解きます。
(まずは(B)の左辺を簡単にしましょう)
No.25595 - 2014/04/20(Sun) 16:25:53
☆ Re: 数列 / X
258)
(1)
初項から第n項までの和が負であるとすると
Σ[k=1〜n]{70-4(k-1)}＜0
これをnについての不等式と見て解き、
解を満たす自然数nの最小値を求めます。

(2)
初項から第n項までの和をS[n]とすると
a[n]≧0のときS[n]は単調に増加し
a[n]＜0のときS[n]は減少に転じます。
従って問題は
a[n]≧0を満たす最大の自然数nを求める
ことに帰着します。
後の考え方は(1)の場合と同じです。
No.25596 - 2014/04/20(Sun) 16:31:12
☆ Re: 数列 / ふぇるまー
Σの記号をまだ習ってないので出来れば、これを使わないやり方を教えてもらえるとありがたいです、すいません。
No.25597 - 2014/04/20(Sun) 18:25:59
☆ Re: 数列 / X
256)の場合は和を取る項数が5個と少ないので力押しで
(B)の代わりに
a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)=50
としても計算できます。

しかし、258)に関しては明らかに初項から第n項までの
和をnの式で表す必要があり、Σの公式を使うのが
一般的だと思います。
等比数列の和とは異なり、等差数列の和は
Σの公式で容易に置き換えることができますので
公式があっても記憶して使うことはほぼありません。
その意味で258)についてはΣの使い方を理解してから
再度解くことをお勧めします。
No.25606 - 2014/04/21(Mon) 02:18:40
☆ Re: 数列 / ふぇるまー
わざわざありがとうございます！
No.25611 - 2014/04/21(Mon) 21:27:27
★ 因数分解 / さかなくん
解答の写真なんですが、
解答の答えを、赤字の様に因数分解しなくてよいのですか？
赤字の様にしたらバツ（減点）ですか？、バツにはならないですか？
この様なまだ因数分解の途中か悩む時、どこまですればよいか
判断するためのよい方法はありますか？
No.25583 - 2014/04/19(Sat) 15:30:06
☆ Re: 因数分解 / X
赤字の２行目は因数分解以前に計算を間違えています。

赤字の１行目は変形自体は間違っていないのですが、
{}内は因数分解したとはいいません。
問われている解答としては無駄な変形をしている
ということになります。

＞＞この様なまだ〜
いずれか一つの文字に注目して因数分解できるかどうか
考えます。
この問題の場合、
9x^2+6xy+4y^2
はxの二次式と見たときにたすきがけができません。
(注)
解の判別式を学習済みであれば、この場合は
9x^2+6xy+4y^2=0
をxの二次方程式と見たときの解の判別式である
yの二次式が平方式に因数分解できない
ことから確認できます。
No.25584 - 2014/04/19(Sat) 16:45:18
☆ Re: 因数分解 / さかなくん
そうなんですね。
ありがとうございました。
No.25655 - 2014/04/23(Wed) 01:13:33
★ (No Subject) / ヒキニート
微分問題です。できれば増減表も書いて欲しいです。
No.25582 - 2014/04/19(Sat) 15:00:22
☆ Re: / みずき
まずは、微分すれば良いことは分かりますね。

f(x)=x^2
g(x)=x^2+x-2
として
{f(x)/g(x)}'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2
を計算してみましょう。
No.25589 - 2014/04/19(Sat) 21:30:55
☆ Re: / ヒキニート
漸近線を求めたら、その一つにy=1というのが出たのですが、極小値が8/9と出て矛盾が生じました。
どこが間違っているのでしょうか？極地の値と漸近線をどう求めたかが知りたいです。
No.25590 - 2014/04/19(Sat) 23:44:24
☆ Re: / みずき
> 漸近線を求めたら、その一つにy=1というのが出たのですが、極小値が8/9と出て矛盾が生じました。
> どこが間違っているのでしょうか？極地の値と漸近線をどう求めたかが知りたいです。

『極地』は『極値』だとして・・・
間違っていませんし、矛盾もしていません。
y'=x(x-4)/{(x+2)^2(x-1)^2}
なので、極大値は0(x=0のとき),極小値は8/9(x=4のとき)
まではいいですね。

ここで、x≠-2,1に注意して、
lim_(x→-2+0)y=-∞
lim_(x→-2-0)y=∞
lim_(x→1+0)y=∞
lim_(x→1-0)y=-∞
lim_(x→∞)y=1
lim_(x→-∞)y=1
x<-2, -2<x<0,x>4のとき、f'(x)>0
0<x<1,1<x<4のとき、f'(x)<0

これらから、グラフを描いてみてください。
おそらく、混乱されているのは、x>1の部分かと思われます。
x→∞で、y→1ですが、x≧4ではy<1を保っていることに注意しましょう。
また、この関数は、1<x<4でy=1と交点を1つ持っていることも
見落とされていると思います。具体的には、x=2のときy=1です。

グラフを描ければ、(3)は解けますね。
No.25593 - 2014/04/20(Sun) 00:34:53
★ (No Subject) / ヒキニート
微分の問題です。難易度はそんなに高くないハズなのにできません。
No.25581 - 2014/04/19(Sat) 14:59:06
☆ Re: / X
0＜x＜1 (A)
とします。
(1)
f'(x)=a/x-(1-a)/(1-x)={a(1-x)-(1-a)x}/{x(1-x)}
=(a-x)/{x(1-x)}
∴aの値についての場合分けが必要です。
(i)a≦0のとき
(A)の範囲で
f'(x)＜0
となりますのでf(x)の最大値は存在しません。
(ii)1≦aのとき
(A)の範囲で
f'(x)＞0
となりますのでf(x)の最大値は存在しません。
(iii)0＜a＜1のとき
f(x)はx=aのときに極大となりますので
増減表を描くことにより求める最大値は
f(a)=aloga+(1-a)log(1-a)

以上から求める最大値は
0＜a＜1のときaloga+(1-a)log(1-a)
a≦0,1≦aのとき存在せず

(2)
(1)の結果により
g(a)=aloga+(1-a)log(1-a)
と置いて
0＜a＜1
の範囲で増減表を描くことを考えます。
g'(a)=loga+1-log(1-a)-1=log{a/(1-a)}
∴g(a)はa=1/2で極小となりますので
増減表により求めるaの値は
a=1/2
となります。
No.25588 - 2014/04/19(Sat) 20:27:06
★ (No Subject) / ktdg
全ての実数xで、f(x)=f(x/2)をみたし、かつ lim[x→0]f(x)=f(0) を満たす関数は定数関数であることを示せ。

条件から、f(x)=f(x/2)=f(x/4)=…=f(x/2^n) (n:自然数)
lim[n→∞]f(x/2^n)=lim[x→0]f(x)=f(0) より、全ての実数xで f(x)=f(0)であるから、f(x)は定数関数である。

教科書に解答が載っていなかったので、添削お願いします。
No.25578 - 2014/04/18(Fri) 22:22:42
☆ Re: / X
大筋では問題ないですが
>>条件から、f(x)=f(x/2)=f(x/4)=…=f(x/2^n) (n:自然数)
と
>>lim[n→∞]f(x/2^n)=〜
の間に

∴lim[n→∞]f(x/2^n)=lim[n→∞]f(x)
なので
f(x)=lim[n→∞]f(x/2^n)
ここで

と入れたほうがいいでしょう。
No.25579 - 2014/04/19(Sat) 00:47:57
☆ Re: / ktdg
ありがとうございます。
No.25580 - 2014/04/19(Sat) 12:01:26
★ 固有値 / まさ
次の固有値を求める問題で、最後に奇数と偶数と1の場合にわけて固有値を求めるのですが、奇数と偶数の固有値の式の導出の仕方がわかりません
よろしくお願いします。
No.25576 - 2014/04/18(Fri) 21:26:59
☆ Re: 固有値 / まさ
なお、答えはこのようになります
これは漸化式を使った考えですか？
No.25577 - 2014/04/18(Fri) 21:28:26
☆ Re: 固有値 / みずき
> これは漸化式を使った考えですか？

はい、そうです。ご質問から推測するに、
D[n}=t(t-2)D[n-2]
は既知として良いのでしょう。

（nが奇数のとき）
n=2m-1とおけて
D[2m-1]=t(t-2)D[2(m-1)-1]
={t(t-2)}^2D[2(m-2)-1]
={t(t-2)}^3D[2(m-3)-1]
=・・・
={t(t-2)}^(m-1)D[2{m-(m-1)}-1]
={t(t-2)}^(m-1)D[1]

（nが偶数のとき）
n=2mとおけて
D[2m]=t(t-2)D[2(m-1)]
={t(t-2)}^2D[2(m-2)]
={t(t-2)}^3D[2(m-3)]
=・・・
={t(t-2)}^(m-1)D[2{m-(m-1)}]
={t(t-2)}^(m-1)D[2]
No.25586 - 2014/04/19(Sat) 20:03:34
☆ Re: 固有値 / まさ
ありがとうございます
No.25587 - 2014/04/19(Sat) 20:20:18
★ (No Subject) / ヨウ
変形まではできましたが、すべての実数xに対して成り立つの条件とはなんですか？?@とX軸は無交點なんですか？
No.25573 - 2014/04/18(Fri) 20:26:25
☆ Re: / みずき
> 変形まではできましたが、すべての実数xに対して成り立つの条件とはなんですか？

(x-a-2)^2-a^2-4a+21＞0
まで変形できている、とします。
2乗の部分に着目すると、すべての実数xに対して
(x-a-2)^2≧0
が成り立ちますよね。

ですから、不等式○1がすべての実数xに対して成り立つためには、
-a^2-4a+21＞0
であれば良いことになります。

○1の左辺をxに関する2次関数（下に凸）とみて
頂点(a+2,-a^2-4a+21)
がx軸より上側(y＞0)にある条件と考えると
分かりやすいと思います。

> ?@とX軸は無交點なんですか？

「無交點」の意味が分かりません。
No.25574 - 2014/04/18(Fri) 20:38:50
☆ Re: / ヨウ
すいません。無交點　とは　○1はx軸との交点はないということです。
でも、間違いました。
先生。すみません。
第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。
No.25591 - 2014/04/19(Sat) 23:47:35
☆ Re: / みずき
> 第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。

頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
場合分けが必要です。

a+2<-1のときは、
放物線のx=-1のときのy座標が正であること
(-1)^2-2(a+2)*(-1)+25>0
すなわち、
-15<aが必要です。
まとめると、-15<a<-3

a+2=-1のときは、
放物線のx=-1のときのy座標が24>0
となって十分。

a+2>-1のときは、
放物線の頂点のy座標が正であることから
-a^2-4a+21>0
すなわち、
-7<a<3
まとめると、-3<a<3

以上により、
-15<a<-3 または a=-3 または -3<a<3
すなわち、
-15<a<3が答えです。
No.25592 - 2014/04/20(Sun) 00:09:07
☆ Re: / ヨウ
> > 第二問の答案は-15＜a<3です。解き方を教えていただけますか？-15の答案はできませんでした。
>
> 頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
> 場合分けが必要です。
>
> a+2<-1のときは、
> 放物線のx=-1のときのy座標が正であること
> (-1)^2-2(a+2)*(-1)+25>0
> すなわち、
> -15<aが必要です。
> まとめると、-15<a<-3
>
> a+2=-1のときは、
> 放物線のx=-1のときのy座標が24>0
> となって十分。
>
> a+2>-1のときは、
> 放物線の頂点のy座標が正であることから
> -a^2-4a+21>0
> すなわち、
> -7<a<3
> まとめると、-3<a<3
>

> 以上により、
> -15<a<-3 または a=-3 または -3<a<3
> すなわち、
> -15<a<3が答えです。


理解できないのはなぜ頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
場合分けが必要であることです。
No.25598 - 2014/04/20(Sun) 19:29:27
☆ Re: / みずき
> 理解できないのはなぜ頂点のx座標a+2とx=-1との大小によって
> 場合分けが必要であることです。

本問の場合、場合分けは避けられないと思います。
理由を述べます。

説明を簡単にするために、○1の左辺をf(x)とおきます。
y=f(x)はxに関する2次関数で、頂点は(a+2,-a^2-4a+21)
であることに注意してください。

ひとつ前の私のコメント(No.25592)を簡潔に書くとすると、
a+2<-1のとき、f(-1)>0が必要で十分
a+2=-1のとき、十分。
a+2>-1のとき、f(a+2)>0が必要で十分
となりますね。

本問で場合分けが避けられない（と少なくとも私が思う）
理由は、見てお分かりいただけるとおり、
a+2<-1のときとa+2>-1のときとで
必要十分となる条件が異なるから、です。
（グラフを考えると分かりやすいと思います。
a+2<-1のときは、頂点に関する条件は関係なくなり、
一方、a+2>-1のときは、頂点に関する条件のみが必要）

条件が異なってしまう以上、場合分けを
せざるを得ないと思います。
以上が、本問で場合分けが必要である（と私が思う）理由です。
No.25600 - 2014/04/20(Sun) 21:02:03
☆ Re: / ヨウ
ありがとうございます。わかりました。
No.25601 - 2014/04/20(Sun) 22:45:50
★ サッカーボール / √
「球面上の角度」について教えてください。

サッカーボールは、
黒の「正五角形」の周りに、
白の「正六角形」が五つ、あります。


平面状で、
「正五角形」の周りに「正六角形」を
五つ並べると


「正六角形」の一つの角度は１２０度
「正五角形」の一つの角度は１０８度

なので、
三つの正多角形の交点の角度の総和が３６０度に
ならず、隙間が開いてしまいます。
（１２度の隙間ができます）

でも、
球面上では、隙間はできないことから、
【球面上では、角度が大きくなる】
言い換えると、
球面上では、三角形の内角の和は１８０度より大きくなる
と考えれば良いですか？

逆に、
サッカーボールから、
黒の部分を切り抜いても、
きちんとした「正五角形」にならず、
白の部分を切り抜いても、
きちんとした「正六角形」にならないと
考えて良いですか？

よろしくお願い致します。
No.25567 - 2014/04/18(Fri) 13:51:41
☆ Re: サッカーボール / ヨッシー
球面幾何学などと言われる、別の体系があります。

>【球面上では、角度が大きくなる】
は概ね正しく、
>きちんとした「正五角形」にならず、
>きちんとした「正六角形」にならない
の部分も平面で考えるそれらの図形とは違うという
解釈で良いと思います。
No.25568 - 2014/04/18(Fri) 14:10:56
☆ Re: サッカーボール / √
ヨッシーさん
有り難うございました。

（パッチワークで、黒と白の布を使ってサッカーボールを作るのは至難の業ということですね（＾＾＊））
No.25569 - 2014/04/18(Fri) 14:36:42
☆ Re: サッカーボール / ヨッシー
球は大変ですが、多面体で妥協するなら、平面の正五角形、正六角形を
つなぐだけでも十分でしょう。
No.25570 - 2014/04/18(Fri) 15:02:59
☆ Re: サッカーボール / √
ヨッシーさん　有り難うございます。

そうですね、布は、少し位は伸びてくれるし、
それぞれのパーツを毛糸で編んで繋げれば
限りなく球に近づきますね。。。
No.25571 - 2014/04/18(Fri) 15:54:18
★ 二変数関数の極限 / ktdg
二変数関数の極限をもとめるとき、
y=(xの式) (またはx=(yの式))とおいてみて、近づき方によって極限値が異なるならば極限値が存在しないといえる
ということを以前教えていただきました。
しかしこのやり方では、近づけ方(直線上を近づけるなど)を色々と試してみなければならないし、近づけ方は無数にあって、色々と試してみた結果、極限値が存在するかしないかわからないということもありえると思います。
極限値が存在するかどうかを調べる決定的な方法はないのでしょうか？
No.25561 - 2014/04/17(Thu) 21:02:42
☆ Re: 二変数関数の極限 / angel
それは、「距離が0に近づく」と考えれば良いです。
なので、計算上は、目的の点を基準にした極座標として考えるのがやり易いでしょう。
勿論、「どんな近づき方でも」という縛りはありますが、それは極座標で表した時に「θの値に関わらずr→0で同じ値に近づく」とすれば良いので。
No.25566 - 2014/04/18(Fri) 09:08:59
☆ Re: 二変数関数の極限 / ktdg
「どんな近づき方でも」と「r→0のとき、θの値に関わらず」が対応しているのですね。
ありがとうございます。
No.25572 - 2014/04/18(Fri) 17:29:04
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