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★ (No Subject) / 錦織
円の接線が円の中心と直角になることを証明せよ。
No.25551 - 2014/04/17(Thu) 17:00:20
☆ Re: / らすかる
問題がおかしいです。「円の中心と直角」は意味が通じません。
No.25555 - 2014/04/17(Thu) 17:37:22
☆ Re: / みずき
らすかるさんのおっしゃる通りです。
以下では、
「円の接線と、その接点と円の中心とを結ぶ直線が直交する」
ことを示します。

円Oの円周上の点Pを接点とする接線をLとし、
直線OPが直線Lと直交しないと仮定します。

円の中心Oから直線Lに垂線を引いて、
その垂線と直線Lとの交点をHとすると、
直線OPが直線Lと直交しないことから、P≠Hです。

ここで、△OHPは∠OHP＝90°の直角三角形なので、OH＜OPです。
OPは円Oの半径だから、点Hは円Oの内部にあります。
よって、点Hを通る直線Lは、円Oと共有点を2つ持つことになり、
接線であるということに矛盾します。

従って、直線OPは直線Lと直交します。
すなわち、円の接線と、その接点と円の中心とを結ぶ直線は直交します。
No.25556 - 2014/04/17(Thu) 17:38:57
★ 合同の証明 / たかし
問題：写真にある図形において、AB=ACとなる二等辺三角形ABCと、頂点Aを中心とする円がある。AB、ACと円との交点をD、Eとし、BEとCDとの交点をFとする。このとき、△DBF≡△ECFを証明しなさい。

以上の証明問題で、わかる範囲で途中まで解答しました。


AB=AC（仮定）…?@
AD=AE（円の半径）…?A
DB=AB-AD、EC=AC-AE…?B
?@〜?Bより、DB=EC…?C

∠DFB=∠EFC（対頂角）…?D



しかし、合同条件がまだ確定できず、どこに目をつければいいのかわかりません。教えてください。
No.25546 - 2014/04/17(Thu) 01:49:13
☆ Re: 合同の証明 / らすかる
DB=EC、∠DBC=∠ECB、BC共通から△DBC≡△ECB
よって∠BDC=∠CEBなので証明する二つの三角形の
対応する角は等しく、一辺が等しいので合同。
No.25547 - 2014/04/17(Thu) 01:58:11
☆ Re: 合同の証明 / たかし
もう１組の三角形の合同を証明して利用するとは盲点でした。証明の段取りは理解できました。


しかし、合同条件は、

?@「３辺がそれぞれ等しい」
?A「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」
?B「１辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
?C「直角三角形の斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい」

の４パターンのどれかに該当する問題ばかりでしたので、「対応する角は等しく、一辺が等しい」という条件は知りませんでした。?@〜?Cに該当しなくても合同条件として成立するものはあるのですか。
No.25548 - 2014/04/17(Thu) 12:57:34
☆ Re: 合同の証明 / ヨッシー
それは言い方が違うだけで、
?B「１辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
と同じことです。
No.25549 - 2014/04/17(Thu) 14:38:18
☆ Re: 合同の証明 / たかし
なるほど。そうなんですね。

つまり、どうしても?Bにしたければ、

∠ＤＦＢ＝∠ＥＦＣ、∠ＢＤＦ∠ＣＥＦより、
∠ＤＢＦ＝∠ＥＣＦ

と書けばいいだけのことなんですね。
No.25560 - 2014/04/17(Thu) 20:01:55
☆ Re: 合同の証明 / らすかる
そういうことです。
No.25562 - 2014/04/17(Thu) 22:17:00
★ 整数問題 / 恵
中３です。

ｎ=１×２×３×…×９９×１００ とするとき、ｎの末尾から０がいくつ続くか求めよ。

この問題の解き方を教えてください。

（０が続くとなれば「×１０」が関係しそうですが、何から手をつければいいのかわかりません。）
No.25538 - 2014/04/16(Wed) 19:59:12
☆ Re: 整数問題 / らすかる
×10で0が1個増えますから、1×2×3×…×100に
「2×5」がいくつ含まれているかという問題になります。
5の方が少ないので5の方を数えると
5,10,15,…,100に5が含まれ、その中の25,50,75,100に5が二つ含まれますので
5は全部で24個含まれていますね。
2の方は2,4,6,8,…,100に少なくとも1個ずつ含まれますので、
24個よりははるかに多いです。
従って末尾の0は24個になります。
No.25539 - 2014/04/16(Wed) 20:50:01
☆ Re: 整数問題 / 恵
らすかるさん、わかりました。

確認のために、らすかるさんの説明を段階を踏んで整理すると、

?@「×１０」で０が１つ増えるので、１０を素因数分解した「２×５」のペアの個数を調べると答えが出る。

?Aｎをもっと細かく素因数分解した際、２の個数と５の個数のどちらが多いかを調べるために、２の倍数と５の倍数の個数を調べると、５の倍数の個数のほうが少ないため、５の個数を調べる。

?B５の倍数は２０個あり、そのうち、５×○の○にもう１つ５を持つ数字がある。それが、５×５×○という数字、つまり２５の倍数である。２５の倍数は１から１００のうち、２５（５×５×１）、５０（５×５×２）、７５（５×５×３）、１００（５×５×４）の４つである。よって、２０＋４＝２４個である。

?C少ない方の５の個数が決まれば自動的に２×５の組の数が特定されるので、２４個が正解。


という流れで解けるんですね。
No.25542 - 2014/04/16(Wed) 23:44:53
☆ Re: 整数問題 / らすかる
はい、その通りです。
No.25543 - 2014/04/17(Thu) 00:35:17
☆ Re: 整数問題 / 恵
ありがとうございます。助かりました！
No.25559 - 2014/04/17(Thu) 19:56:30
★ (No Subject) / ヨウ
毎回、すいません。
問題の2と4と5はまちがえていました。
教えていただけますか。
No.25535 - 2014/04/16(Wed) 19:37:00
☆ Re: / ヨウ
こちらです。
No.25536 - 2014/04/16(Wed) 19:37:32
☆ Re: / みずき
> こちらです。

y=ax^2-2bx+c
の軸の方程式は何ですか？書いてみてください。
おそらくここを間違えたために、
b＜0という誤った条件を導いてしまったと思われます。

それと(4)は
f(0)＞0
f(1)＞0
軸が0より大きく1より小さい
という3つの条件だけでは解けません。

『グラフはx軸と共有点を持ち』とあるので、
判別式に関する条件が得られますね。
No.25540 - 2014/04/16(Wed) 21:13:27
☆ Re: / ヨウ
2はできました。

4はグラフはx軸と共有点を持ちことから、D》0と計算しましたけど、結果えられませんでした。よかったら、教えていただけますか・
また、（5）もわかりません。
お願い致します。
No.25552 - 2014/04/17(Thu) 17:24:43
☆ Re: / みずき
> 4はグラフはx軸と共有点を持ちことから、D》0と計算しましたけど、結果えられませんでした。よかったら、教えていただけますか・
> また、（5）もわかりません。

（4について）
D≧0⇔ac≦b^2⇔c≦b^2/a （∵a＞0）
また、b＜a⇔b^2＜ab⇔b^2/a＜bなので、
c≦b^2/a＜b
よって、b＞c

（5について）
これまでで分かったことから、
0＜c＜b＜a

よって、aとして考えられる最小の整数は
(a,b,c)=(3,2,1)
のときの3ですね。
しかし、このとき、2b＜a+cを満たさないので不適です。

よって、次にaとして考えられるのは、
(a,b,c)=(4,3,2),(4,3,1),(4,2,1)
のa=4の場合ですね。

(a,b,c)=(4,3,2)の場合、2b＜a+cを満たさないので不適。
(a,b,c)=(4,3,1)の場合、2b＜a+cを満たさないので不適。
(a,b,c)=(4,2,1)の場合、すべての条件を満たすので十分です。（確認してみましょう。）

よって、答えは(a,b,c)=(4,2,1)のとき、です。
No.25558 - 2014/04/17(Thu) 18:02:55
☆ Re: / ヨウ
毎回、大変、ありがとうございました。
親切に教えて頂いて、ありがとうございます。
No.25564 - 2014/04/18(Fri) 00:21:16
★ 補集合 / ヨウ
第一問題はできましたが、第二問題はできませんでした。
詳しく教えていただけますか。
No.25527 - 2014/04/16(Wed) 16:39:24
☆ Re: 補集合 / ヨウ
こちらは私の解き方です。
No.25528 - 2014/04/16(Wed) 16:41:11
☆ Re: 補集合 / みずき
A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}
(Aバー)∩B={x|3＜x≦6}
Aバー={x|x＜a または x＞c}
Bバー={x|x＜b または x＞d}
であることは、よろしいでしょうか。

必要条件（少なくともこれだけは言えるという条件）
で絞っていくのが良いと思います。

A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}なので、
a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」

(Aバー)∩B={x|3＜x≦6}なので、
b≦3かつd≧6かつ「a≧6またはc≦3」

よって、
a≦-6かつ1≦b≦3かつ1≦c≦3かつd≧6

再びA∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}を考えると、
b=1かつa=-6
でなくてはいけません。
（数直線で考えてみましょう。）

また、再び(Aバー)∩B={x|3＜x≦6}により、
c=3かつd=6
でなくてはいけません。

一方、a=-6,b=1,c=3,d=6のとき、十分なので、
これが求める答えです。
No.25530 - 2014/04/16(Wed) 17:46:25
☆ Re: 補集合 / ヨウ


せんせい、ごめんなさい。
A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}なので、
a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
これはなぜかわかりません。
No.25532 - 2014/04/16(Wed) 19:25:38
☆ Re: 補集合 / みずき
> A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}なので、
> a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
> これはなぜかわかりません。

A∩(Bバー)は
A={x|a≦x≦c}とBバー={x|x＜b または x＞d}
の共通部分なので、
少なくとも
「xがA∩(Bバー)に含まれるならば、xはAに含まれる」
「xがA∩(Bバー)に含まれるならば、xはBバーに含まれる」
が言えます。
これから、
a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
が導けます。
No.25537 - 2014/04/16(Wed) 19:46:46
☆ Re: 補集合 / ヨウ
> > A∩(Bバー)={x|-6≦x＜1}なので、
> > a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
> > これはなぜかわかりません。
>
> A∩(Bバー)は
> A={x|a≦x≦c}とBバー={x|x＜b または x＞d}
> の共通部分なので、
> 少なくとも
> 「xがA∩(Bバー)に含まれるならば、xはAに含まれる」
> 「xがA∩(Bバー)に含まれるならば、xはBバーに含まれる」
> が言えます。
> これから、
> a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」
> が導けます。

> a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦6」.
どうしてa≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦-6」ではないですか？
No.25553 - 2014/04/17(Thu) 17:32:41
☆ Re: 補集合 / みずき
> どうしてa≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦-6」ではないですか？

あ、すみません。間違えました。
おっしゃるように、
a≦-6かつc≧1かつ「b≧1またはd≦-6」
が正しいです。
混乱させてしまってごめんなさい。
No.25557 - 2014/04/17(Thu) 17:48:26
☆ Re: 補集合 / ヨウ
いいえ。大丈夫です。ありがとうございました。
No.25563 - 2014/04/18(Fri) 00:06:09
★ (No Subject) / ヨウ
問題です。
区間において、xの値が増加すると共にyの値が増加するっていう条件は、わかしますが、どういう風になるかわかりません。ごめんなさい。変な日本語です。
No.25524 - 2014/04/16(Wed) 16:08:49
☆ Re: / ヨウ
やってみましたが、できませんでした。
No.25525 - 2014/04/16(Wed) 16:10:17
☆ Re: / みずき
ヨウさんが書かれた
-8=a-b+c
16=9a+3b+c
から、
b=-2a+6,c=-3a-2
と表せますね。

これにより、aが0でないことに注意して、
y=ax^2+bx+c
=ax^2+(-2a+6)x+(-3a-2)
=a{x^2+(-2a+6)x/a}+(-3a-2)
=a{(x+(-2a+6)/(2a))^2-((-2a+6)/a)^2}-3a-2
=a(x+(-2a+6)/(2a))^2-(-2a+6)^2/a-3a-2
なので、軸の方程式は、
x=-(-2a+6)/(2a)=1-3/a

「xの値が増加すると共にyの値も増加する」というのは、
『右に行けば行くほど、上に行く』ということです。
2次関数のグラフで言えば、
下に凸の場合、頂点から右側の部分
上に凸の場合、頂点から左側の部分
に相当します。

ですから、
a>0とa<0で場合分けをする必要があります。

a>0（下に凸）のときは、軸が-1以下
a<0（上に凸）のときは、軸が3以上
である条件を考えると・・・
No.25529 - 2014/04/16(Wed) 17:12:33
☆ Re: / ヨウ
やってみます。どうもありがとうございます。
No.25531 - 2014/04/16(Wed) 18:02:25
☆ Re: / ヨウ
やってみます。どうもありがとうございます。
No.25533 - 2014/04/16(Wed) 19:26:18
☆ Re: / ヨウ
できました。大変、ありがとうございました！
No.25534 - 2014/04/16(Wed) 19:35:15
★ 整数問題 / さかなくん
n=200のとき、この操作が終わった後、スイッチがonになっている電球の個数を答えなさい。

法則を見つけたのですが、約数の数が奇数の時はonなので
200までの素数の番号の電球ははoffだとわかりました、
4,9,16はonとわかりました。
そこで行きずまりました。
200まで数えなくて良い考え方を教えて下さい。
No.25503 - 2014/04/16(Wed) 00:37:40
☆ Re: 整数問題 / to
＞法則を見つけたのですが、約数の数が奇数の時はonなので
　(200までの素数の番号の電球ははoffだとわかりました、)
　4,9,16はonとわかりました。

●約数が奇数である数は、どんな数でしょうか？

　{1，4，9，16，25，36，･･･，121，169，196}
No.25505 - 2014/04/16(Wed) 01:01:29
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
なるほど、
自然数の^2が約数の中心にくる数が奇数個になると考えれば良いんですね？
7^2,8^2,9^2,10^2・・・14^2なので１４個って考えれば
よいんですね？
No.25506 - 2014/04/16(Wed) 01:23:14
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
この解説だとわかりません。
考え的には同じなんですかね？
互いに素が見かけるんですが、わかりません。
No.25507 - 2014/04/16(Wed) 01:26:32
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
解説の続き写真
No.25508 - 2014/04/16(Wed) 01:27:37
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
でも、今回答えが合っていたから良しでなくて、
もしかすると、約数が奇数の場合はこちらの場合だけ以外にある可能性があるので、それを確認する方法を考えなくては
いけないんですか？
No.25509 - 2014/04/16(Wed) 01:32:10
☆ Re: 整数問題 / みずき
> この解説だとわかりません。
> 考え的には同じなんですかね？

一般に
n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)
（ただし、p_1<・・・<p_kはすべて素数）
と素因数分解できるとき、
nの正の約数の個数は
(a_1+1)*(a_2+1)*・・・*(a_k+1)
で与えられます。

今、
これが奇数なので
a_1,a_2,・・・,a_kはすべて偶数ですね。
a_iがすべて偶数なので、
n=N^2なる自然数Nが存在します。

ここから、nは平方数であることが導かれます。
No.25510 - 2014/04/16(Wed) 01:33:34
☆ Re: 整数問題 / みずき
> でも、今回答えが合っていたから良しでなくて、
> もしかすると、約数が奇数の場合はこちらの場合だけ以外にある可能性があるので、それを確認する方法を考えなくては
> いけないんですか？

このコメントを読む前にNo.25509を投稿してしまいました。
ところで、おっしゃっている意味がつかめません。
No.25511 - 2014/04/16(Wed) 01:35:27
☆ Re: 整数問題 / みずき
No.25511のコメント内の
｢No.25509を投稿してしまいました｣
は
｢No.25510を投稿してしまいました｣
の間違いでした。

なお、もし平方数以外にあるのか、という問いならば
ありません。

nの正の約数の個数が奇数であることと
nが平方数であることは同値です。
No.25512 - 2014/04/16(Wed) 01:42:04
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)の所で、
アンダーバーの記号（_）はどう解釈する記号ですか？
勉強不足ですいません。
No.25513 - 2014/04/16(Wed) 01:57:36
☆ Re: 整数問題 / みずき
> n=(p_1^a_1)(p_2^a_2)・・・(p_k^a_k)の所で、
> アンダーバーの記号（_）はどう解釈する記号ですか？

添え字です。
p_1は紙に書く場合、pの右下に小さく1と書きます。

たとえば、数列の一般項をa_nと書くようなものです。
No.25514 - 2014/04/16(Wed) 02:06:38
☆ Re: 整数問題 / みずき
補足します。

p_1,p_2,・・・,p_k
(p_1<・・・<p_k)
というのは、素数がk個あるとき
小さい方から順に
p_1,p_2,・・・
としている、ということです。

p_iに対応する指数を、添え字を合わせて
a_iと書いています。
No.25516 - 2014/04/16(Wed) 02:23:28
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
ありがとうございまさいた。
＞たとえば、数列の一般項をa_nと書くようなものです。
こちらでわかりました。

でわ、これからは、nの正の約数が奇数個ある場合は
約数にn=x^2が必ず含まれるという事で考えて問題ない
としまってよいんですね？

＞nの正の約数の個数は
＞(a_1+1)*(a_2+1)*・・・*(a_k+1)
こちらは初めて知りました。ありがとうございました。

互いに素とは、自分で調べてみます。
ありがとうございました。
No.25517 - 2014/04/16(Wed) 02:43:22
☆ Re: 整数問題 / みずき
> これからは、nの正の約数が奇数個ある場合は
> 約数にn=x^2が必ず含まれるという事で考えて問題ない
> としまってよいんですね？

x^2のxが何なのか、が分かりませんが
もし、xがnの素因数を表すのなら、そうとも言い切れません。
指数は2とは限らないからです。
たとえば、n=2^4×3^4=(2^2×3^2)^2=36^2も平方数です。
まとめると、n(≧2)が平方数であることと
nの任意の素因数が偶数個あることは同値である
ということです。
No.25518 - 2014/04/16(Wed) 02:56:35
☆ Re: 整数問題 / らすかる
どうも解説が難しく書かれているように思いますので
少し違う考え方を書いてみます。

p≦√nがnの約数である場合、n/pもnの約数ですから
基本的に(p,n/p)の組が作れます。
例えばn=12ならば
(1,12)(2,6)(3,4)の3組です。
そしてこの組が作れないのは
p=n/pの場合だけですから、
√nが約数である場合だけ、約数が奇数個になります。
No.25519 - 2014/04/16(Wed) 04:51:14
☆ Re: 整数問題 / さかなくん
ありがとうございました。
No.25550 - 2014/04/17(Thu) 14:53:45
★ (No Subject) / ヨウ
教えてください〜お願いします。
No.25500 - 2014/04/15(Tue) 21:40:29
☆ Re: / ヨッシー
(x+y)^5 を展開したとき、y が１つだけ掛けられている項は
何ですか？
例えば、10x^3y^2 は、ｙが２回掛けられているので違います。

これが出来ないと、上の問題を解くのは無理です。
No.25501 - 2014/04/15(Tue) 23:53:57
☆ Re: / みずき
> 教えてください〜お願いします。

｢（私はここをこう考えたが）『ここ』が分からない｣
という質問をしましょう。
漠然と教えてくださいと言われても、回答しづらいです。
No.25502 - 2014/04/15(Tue) 23:58:06
☆ Re: / ヨウ
ヨッシー先生：
(x+y)^5 = x^5 + 5 x^4 y + 10 x^3 y^2 + 10 x^2 y^3 + 5 x y^4 + y^5
です。
みずき先生：
はい。
すみません。そうします。
No.25522 - 2014/04/16(Wed) 11:39:38
☆ Re: / ヨッシー
それは、 (x+y)^5 を展開したものですね。
そのうち、y が１つだけ掛けられている項はどれですか？

そして、ｘ→3x+1、ｙ→4y に置き換えると、その項は
どうなりますか？

問題を見ると、(3x+1) が何乗かされていますね？
次は、それを展開するとどうなるか？という問題に移っていきます。
No.25523 - 2014/04/16(Wed) 13:51:32
☆ Re: / ヨウ
先生の言う通りに、やってました。教えてくださり、ありがとうございます。
No.25526 - 2014/04/16(Wed) 16:24:34
★ 行列 / まさ
17.32の(3)がわかりません
よろしくお願いします。
No.25498 - 2014/04/15(Tue) 21:20:53
☆ Re: 行列 / まさ
なお、答えはhttp://www.geocities.jp/arrogant_give_and_take/mathematics/the_second_grade/17/17_32.pdf
です
よろしくお願いします。
No.25499 - 2014/04/15(Tue) 21:22:07
☆ Re: 行列 / ヨッシー
行列式を取れば、Ａが正則であることから
　|Ａ＋Ｂ|・|Ａ^(-1)|・|Ａ−Ｂ|＝|Ａ|≠０
より、|Ａ＋Ｂ|,|Ａ^(-1)|,|Ａ−Ｂ| のいずれも０でないことが言えます。
No.25521 - 2014/04/16(Wed) 07:11:58
☆ Re: 行列 / まさ
ありがとうございます
No.25575 - 2014/04/18(Fri) 21:18:14
★ 行列 / まさ
17.32の(1)と(3)の問題がわかりません
(1)では、答えに書かれてる第3固有ベクトルの導出の仕方がなぜそうなるのかわかりせん。
(3)では問題文の[単位ベクトルvが存在して……]の意味がよくわかりません。
なお、こたえはhttp://www.geocities.jp/arrogant_give_and_take/mathematics/the_second_grade/17/17_37.pdfです
よろしくお願いします。
No.25495 - 2014/04/15(Tue) 21:08:15
☆ Re: 行列 / まさ
また、解説のこの部分が理解できないです
よろしくお願いします。
No.25497 - 2014/04/15(Tue) 21:17:58
☆ Re: 行列 / ヨッシー
Ｐを求めるだけなら、p2 に属するベクトルで(1,1,1)/√3, (0,1,-1)/√2 と
独立なベクトルであれば良いのですが、(3) のことを考えて
直交なベクトルにしていると思われます。

この解のように、互いに(どの２組も)直交な３つの単位ベクトルで
出来た行列による変換は空間上の回転を表し、図形を歪ませないので、
(3) で、(x'y'z')系の座標で円であるものは、(x,y,z)系の
座標でも円である(単位ベクトルは単位ベクトル)ので、
(3) 以下の理論が成り立ちます。
No.25520 - 2014/04/16(Wed) 06:02:43
★ ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん
ベクトルの絶対値の2乗の外し方はどのように考えれば、理解しやすいでしょうか？
また、3乗の場合の外し方は合ってますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.25490 - 2014/04/15(Tue) 19:26:35
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / みずき
> ベクトルの絶対値の2乗の外し方はどのように考えれば、理解しやすいでしょうか？

内積の定義にしたがって外すだけです。

|↑a+↑b|^2
=(↑a+↑b)・(↑a+↑b)
=↑a・↑a+↑a・↑b+↑a・↑b+↑b・↑b
=|↑a|^2+2↑a・↑b+|↑b|^2
No.25493 - 2014/04/15(Tue) 20:41:42
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel
ベクトルに関する || は、「絶対値」ではなく「ノルム」です。つまり、別物。
※このノルムのことを ||ｖ|| と表現したりもしますし…

あくまで、
　|ｖ| = √(ｖ・ｖ)　( ルートの中は内積 )
という関係 ( というか定義 ) に沿って粛々と計算するまでです。

|ａ+ｂ|^2 = |ａ|^2 + 2ａ・ｂ + |ｂ|^2
というのは、あくまで内積の性質からくる
(ａ+ｂ)・(ａ+ｂ) = ａ・ａ + 2ａ・ｂ + ｂ・ｂ
を書き換えたものに過ぎません。
No.25494 - 2014/04/15(Tue) 20:47:13
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん
皆様ありがとうございます。

絶対値=ノルムと言う物なんですね。
a↑+b↑ノルムとは長さの事で考えて良いのですよね？
この写真の図の様に考えて大丈夫なのでしょうか？
No.25504 - 2014/04/16(Wed) 01:00:04
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel
> 絶対値=ノルムと言う物なんですね。
ええと「絶対値」という言葉から離れましょう。記号が絶対値と同じものを使うだけで、別物なのです。
※というか、「ベクトルの絶対値」というものは無いはず

高校範囲だと「ノルム」という言葉ではなく「(ベクトルの)大きさ」と表現するところでしょうが、さかなくんさんは高校生ではないですよね。( 勉強しているところが高校範囲だとしても )
用語の使い方は些細なことだと思われるかもしれませんが、少なくとも「○○と××は別物だ」という意識をはっきりさせる上では重要です。
ノルムのことを「絶対値」と言ってしまうと意識する/しないにかかわらず、絶対値の持つイメージと混同を起こし、さかなくんさんが3乗の計算として考えたような勘違いが生まれる余地を残します。
最初から、ノルム |ｖ|=√(ｖ・ｖ) と意識していれば、|ａ+ｂ|^3=( √((ａ+ｂ)・(ａ+ｂ)) )^3 以外にはならないはずだと思います。
No.25544 - 2014/04/17(Thu) 01:15:05
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / angel
> ノルムとは長さの事で考えて良いのですよね？
> この写真の図の様に考えて大丈夫なのでしょうか？
それは問題ないです。
※長さの単位cmをつけるか、という問題はともかく

以降は余談です。
実を言うと、高校範囲では「|ｖ|=√(ｖ・ｖ) がノルム(大きさ)の定義」とは習わないだろうと思います。
どちらかと言えば、図形的な観点からベクトルの大きさが決まって、ベクトル同士の角度もあわせて内積を定義すると、|ｖ|=√(ｖ・ｖ) という性質があることも分かる…、こういう話の流れになっているのではないでしょうか。

それはそれで、高校生用のストーリーではあるのですが、それに縛られる理由はないと思います。
先にベクトルがあって、内積が定義されていて、そこからノルムも定義されて、それをユークリッド平面/空間に当てはめたら、点同士の相対位置や、距離、直線同士の角度に丁度対応している…そう捉えられると、高校範囲を超えた話も受け入れやすくなると思います。
※高校でやるベクトルは、ベクトルを図形的な問題に活用するという、応用例の一つにすぎないのです
No.25545 - 2014/04/17(Thu) 01:36:50
☆ Re: ベクトルの2乗、3乗の計算 / さかなくん
ノルム |ｖ|=√(ｖ・ｖ)
数学は高校までしか学習がないもので。
覚えます。絶対値とは別な物なのですね。
ありがとうございました。
No.25554 - 2014/04/17(Thu) 17:36:41
★ (No Subject) / さかなくん
そうゆう、ルールがあったんですね。
4以上の偶数乗根の中に−が入る事は
ない、考えなくて良いのですね。
ありがとうございました。
No.25489 - 2014/04/15(Tue) 19:15:39
★ 指数の計算 / さかなくん
√の中にマイナスの符号が入っている場合iとして
外に出すのは2乗根の時だけなんですか？
4乗根などの場合、
4乗根-625などは
どう考えればよいのですか？
No.25486 - 2014/04/15(Tue) 16:53:29
☆ Re: 指数の計算 / ヨッシー
√(-2)　のような書き方は、計算の途中で、一瞬現れるだけで、
即座に √2ｉ と書き換えないといけません。

以下、ａは正の数とします

ｎが３以上の奇数の場合、n√(-a)＝−{a^(1/n)} の意味で、
使用します。

ｎが４以上の偶数では、n√(−ａ) のような書き方は
しません。
No.25487 - 2014/04/15(Tue) 17:43:37
★ 根号が整数となるようなaの値 / たかひと
Ｑ「√（２０−a）が整数となるような、整数aの値をすべて求めよ。」

この問題がよくわかりません。
√が整数となるには、中のものが何かの２乗になっていなければならないので、今回は（２０−a）が何かの２乗の値になるように考えればよいのはわかります。
「整数a」ということは、aは正の数でも負の数でもＯＫということになりますよね。

０、１、４、９、１６、２５、３６…と考えると、

ａ＝２０，１９，１６，１１，４，−５，−１６，・・

となりきりがないように感じます。

どのようにして解けばよいのか教えてください。
No.25481 - 2014/04/15(Tue) 00:53:58
☆ Re: 根号が整数となるようなaの値 / みずき
＞どのようにして解けばよいのか教えてください。

問題文が間違っていないのであれば、きりがないので、
｢a=20-t^2(tは整数)｣
とか
｢a=20-(t-1)^2(tは自然数)｣
とか
｢整数tを用いて20-t^2と表せる数｣
とか
｢自然数tを用いて20-(t-1)^2と表せる数｣
などと書くしかありません。
No.25482 - 2014/04/15(Tue) 01:17:10
★ 二変数関数の極限 / ktdg
f(x,y)=xy/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))について、(x,y)→(0,0)のときの極限を考えるとき、教科書では、「y=mxとおくと…」と始まっているのですが、なぜy=mxとおけるのですか？

xとyの0に近づく速さが等しいので、x→0のときはy=mxと近似できるということですか？
そもそも、(x,y)→(a,b)のとき、xのaへの近づきかたと、yのbへの近づき方は同じなのですか？
教科書には、「lim[(x,y)→(a,b)]f(x,y)は点(x,y)が点(a,b)に近づく近づき方に関係しない極限を求めている。」と書いてあるのですが、この書き方からだと、y=msinxとか、y=mx^2+nxとかでも良いような気がするのですが…
No.25474 - 2014/04/14(Mon) 22:56:45
☆ Re: 二変数関数の極限 / IT
教科書で、その問題の結論は、どうなっていますか？
No.25476 - 2014/04/14(Mon) 23:23:53
☆ Re: 二変数関数の極限 / ktdg
y=mxとおくと、f(x,mx)=m/(1+m^2) (x≠0). ゆえに、lim[x→0]f(x,mx)=m/(1+m^2)となり、(x,y)が直線y=mx上を原点に近づくとき、直線の傾きmによって極限値が異なる。つまり、原点への近づき方によって極限値がことなる。ゆえに、(x,y)→(0,0)のとき、f(x,y)は極限値をもたない。

となっています。
No.25478 - 2014/04/14(Mon) 23:40:15
☆ Re: 二変数関数の極限 / IT
> つまり、原点への近づき方によって極限値がことなる。ゆえに、(x,y)→(0,0)のとき、f(x,y)は極限値をもたない。

・極限値をもたないことを示すには、異なる２つの原点への近づき方によって値が異なることを示せばよいので
y=mxとおいてもいいですね。（y=x,y=2xとおいてもいいです。）
No.25479 - 2014/04/14(Mon) 23:56:17
☆ Re: 二変数関数の極限 / angel
> 教科書では、「y=mxとおくと…」と始まっているのですが、なぜy=mxとおけるのですか？
その疑問からすると、教科書の文脈を読み違えているように思います。
y=mxというのはあくまで例に過ぎず、これが出てきたのには ( 恐らく分かり易さ以上の ) 理由や必然性はないでしょう。

教科書にある通り、極限は「近づき方に依らない」ものです。逆に言えば、近づき方によって値が変わるようでは、極限は求められません。すなわち、収束しないということ。
この教科書では、収束しない例を挙げて、実際に近づき方を変えてどうなるかを説明しています。なので、近づき方としては、収束しないことがちゃんと見てとれるモノであれば、何でも良いのです。
No.25488 - 2014/04/15(Tue) 18:52:57
☆ Re: 二変数関数の極限 / ktdg
よくわかりました。
ありがとうございます。
No.25492 - 2014/04/15(Tue) 20:23:03
★ (No Subject) / ヨウ
失礼しました。

こちらです
No.25472 - 2014/04/14(Mon) 22:20:05
☆ Re: / みずき
＞三角の比例の仕方を教えていただけますか

｢三角形の面積比｣のことをお聞きになりたいと解釈して
回答します。

（△AEF：△ABCについて）
EFとBCが平行なので、△AEFと△ABCは相似です。
相似比は、5:5+4=5:9なので、面積比は5^2:9^2=25:81です。

（△AEF：△DEFについて）
底辺EFを共有しているので、直線EFと直線ADの交点をGとして
△AEF:△DEF=AG:GD=AE:EB=5:4=25:20です。
No.25480 - 2014/04/15(Tue) 00:13:18
☆ Re: / ヨウ
大変、ありがとうございました。
No.25485 - 2014/04/15(Tue) 15:36:32
★ (No Subject) / ヨウ
三角の比例の仕方を教えていただけますか
No.25471 - 2014/04/14(Mon) 22:17:10
★ 有効数字 / 吉岡

こんばんは。中学２年です。

中学１年で「有効数字」というのをやりましたが、いまひとつわからないまま進級してしまいました。


「家から学校までの距離をはかり、１０ｍ未満を四捨五入したら３８００ｍとなったとき、その測定値の有効数字は上から何ケタですか」という問題の答えはどうなるのでしょうか？

１０ｍ未満、つまり、一の位（０〜９ｍ）を四捨五入するということですよね。

３８０４ｍの場合は、４を四捨五入して３８００ｍとなり、変化していないのは３，８，０の３つの数字なので、有効数字は３ケタと考えられますが、３７９８ｍなどの場合、一の位を四捨五入すると十の位、百の位へと繰り上がり、３８００ｍとなります。この場合、変化していない数字は千の位の３だけですので、有効数字といえるのは千の位の１ケタではないでしょうか？

長くなり、質問が破綻してしまったかもしれませんが、宜しくお願いします。
No.25456 - 2014/04/14(Mon) 13:02:39
☆ Re: 有効数字 / らすかる
有効数字は「変化していない数字」ではなく
「四捨五入などをしていない上位桁」です。
（ただし絶対値が1未満の場合に上位に続く0は除く）
一の位を四捨五入すれば十の位から上が有効数字、
十の位を四捨五入すれば百の位から上が有効数字です。
No.25459 - 2014/04/14(Mon) 13:16:19
☆ Re: 有効数字 / 吉岡
らすかるさん、回答ありがとうございます。

「ものさしは1mm単位まではかれるけれども、0.1 mm単位以下はわからない。だから、83mmを少し超える長さの線は、83.3mmかもしれないし、83.5mmかもしれない。しかし、確実に83mmは超えていることは目盛りから読み取れる。このように、確実にいえる部分の数字１つ１つ（今回は8と3）を有効数字という」

というように説明されたので、変化しないものだと誤解していたようです。上記のような解釈は正しいのでしょうか。

また、「有効数字＝信用できる数」とはいえないということでしょうか？
No.25464 - 2014/04/14(Mon) 18:39:28
☆ Re: 有効数字 / angel
> 「有効数字＝信用できる数」とはいえないということでしょうか？

例えば「有効数字2桁」であれば、上位2桁がどうかというよりも、3桁目からは誤差の範囲と考えた方が良いと思います。
その逆の意味で「上位2桁が有効」なのですが、( ポピュラーな四捨五入での端数処理の場合 ) 誤差がプラスなのかマイナスなのかが分からないため、より高精度の値が分かった場合、その上位2桁も変わってくる可能性があります。
※例えば、四捨五入した有効数字2桁の20は、19.5から20.4999…の範囲の数なので
なので、「上位の桁は固定」としてしまうと、それは誤解になります。
No.25465 - 2014/04/14(Mon) 19:28:47
★ お願いします！ / パブリック
この問題がわかりません。お願いします！
No.25454 - 2014/04/14(Mon) 07:46:00
☆ Re: お願いします！ / X
y=2x^2-4mx+m+3 (A)
のグラフがx軸とx＜1の部分で二箇所交点を持つ条件を
求めます。
まずx=1のときにy＞0であることから
2-4m+m+3＞0 (B)
次に(A)は
y=2(x-m)^2-2m^2+m+3
と変形できることから軸と頂点のy座標について
m＜1 (C)
-2m^2+m+3＜0 (D)
(B)(C)(D)をmの連立不等式と見て解きます。
No.25455 - 2014/04/14(Mon) 10:11:16
☆ Re: お願いします！ / パブリック
> y=2x^2-4mx+m+3 (A)
> のグラフがx軸とx＜1の部分で二箇所交点を持つ条件を
> 求めます。
> まずx=1のときにy＞0であることから
> 2-4m+m+3＞0 (B)
> 次に(A)は
> y=2(x-m)^2-2m^2+m+3
> と変形できることから軸と頂点のy座標について
> m＜1 (C)
> -2m^2+m+3＜0 (D)
> (B)(C)(D)をmの連立不等式と見て解きます。
No.25457 - 2014/04/14(Mon) 13:05:44
☆ Re: お願いします！ / パブリック
ありがとうございます！
No.25458 - 2014/04/14(Mon) 13:06:16
★ Σの計算〜等比数列の和 / さかなくん
Σk=0~9ってΣk1~10と同じで考えて良いのですか？
どう考えればよいか、教えて下さい。
だから等比数列の和の所の公式の分子が2^40になってるんですか？
No.25448 - 2014/04/14(Mon) 00:58:17
☆ Re: Σの計算〜等比数列の和 / らすかる
Σ[k=0〜9]とΣ[k=1〜10]は当然異なります。
Σ[k=0〜9]だから2^40になっているのです。
等比数列の和の公式を再度確認しましょう。
No.25450 - 2014/04/14(Mon) 01:08:46
☆ Re: Σの計算〜等比数列の和 / さかなくん
0を1つとカウントすると、9までだと
10こあることになるから、初項1公比2^4の項数10までの等比数列
の和を考えるという事で良いのですか？
No.25451 - 2014/04/14(Mon) 01:24:12
☆ Re: Σの計算〜等比数列の和 / らすかる
はい、そうなります。
No.25453 - 2014/04/14(Mon) 03:27:35
☆ Re: Σの計算〜等比数列の和 / さかなくん
ありがとうございました。
No.25475 - 2014/04/14(Mon) 23:07:14
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