ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ Σの計算 / さかなくん

Σn=2～12まで（8n➕1）の計算をしようとしましたが、
Σk=1～nまでの公式って使ってよいのでしょうか？

私はこの公式にnに12を代入し、1を代入したものを引いたら
答えはあってましたが、なにかふに落ちません。

一発で出来る方法はあるんですか？

No.24904 - 2014/03/18(Tue) 15:20:12

☆ Re: Σの計算 / ヨッシー

（8n➕1）が、何を表すのか？
「・」は掛けるなのか？文字化けなのか？わかりませんが、
一般項をa(n)　とすると、
a(1)＋a(2)＋a(3)＋・・・＋a(11)＋a(12)　から
a(1)　を引いたら、
a(2)＋a(3)＋・・・＋a(11)＋a(12) と、2～12の和が計算できます。

一発で出来るのものとしては、
　和＝{(初項)＋(末項)}×(項数)÷２
という公式があります。

No.24907 - 2014/03/18(Tue) 16:02:00

☆ Re: Σの計算 / さかなくん

ふむ、そうしたら。（8n+1）なので
Σk=1～nまでの公式、8Σk+Σ1で
ΣK=n/2(n+1)というやつを今回は使ってはいけないんですね？

答えをよく見ますと一発の公式になってました。

No.24910 - 2014/03/18(Tue) 16:35:06

☆ Re: Σの計算 / ヨッシー

8n＋1 なのですね。

別に使ってもいいですよ。
Σ[k=1～12](8n+1)＝8Σ[k=1～12]k＋Σ[k=1～12]1
　＝8・12・13/2＋12＝636
Σ[k=1～1](8n+1)＝8Σ[k=1～1]k＋Σ[k=1～1]1
　＝8・1・2/2＋1＝9
636－9＝627 です。

No.24911 - 2014/03/18(Tue) 17:16:26

☆ Re: Σの計算 / さかなくん

一発で出来る公式（和の公式）か
k=1からnまでの公式かどちらでも使えるんですね。

やっとモヤモヤがとけました。
いつも、ありがとうございますm(_ _)m

数検2級は4月20日に受検決まりました。
まだまだこれからもよろしくおねがいします。

No.24914 - 2014/03/18(Tue) 17:45:15

★ 判定問題 / ハルカ

Σ_{k=1..∞}(-1)^{k+1}/(k!2^k)が√2-1に等しいか等しくないかを判定するのですがどなたか教えてくださいませ。

No.24898 - 2014/03/18(Tue) 06:41:17

☆ Re: 判定問題 / らすかる

e^x=Σ[k=0～∞]x^k/k! なので
Σ[k=1～∞](-1)^(k+1)/(k!2^k)
=-Σ[k=1～∞](-1)^k/(k!2^k)
=-Σ[k=1～∞](-1/2)^k/k!
=1-Σ[k=0～∞](-1/2)^k/k!
=1-e^(-1/2)
=1-1/√e
≠√2-1
です。

もし e^x=Σ[k=0～∞]x^k/k! を使えない場合は
f(k)=(-1)^(k+1)/(k!・2^k) とすると
f(1)+f(2)+f(3)=19/48＜√2-1
f(2k)+f(2k+1)=-1/((2k)!2^(2k))+1/((2k+1)!2^(2k+1))
=-(4k+1)/{(2k+1)!2^(2k+1)}＜0 なので
Σ[k=1～∞](-1)^(k+1)/(k!・2^k)
=Σ[k=1～3](-1)^(k+1)/(k!・2^k)+Σ[k=2～∞]{{(-1)^(2k+1)/{(2k)!・2^(2k)}+{(-1)^(2k+2)/{(2k+1)!・2^(2k+1)}}
＜19/48＜√2-1 により等しくない。

No.24899 - 2014/03/18(Tue) 07:02:16

☆ Re: 判定問題 / ハルカ

なっなるほどです。
どうも有難うございました!!!

No.24901 - 2014/03/18(Tue) 07:58:21

★ ?狽ﾌ公式　 / さかなくん

?狽ﾌ公式って暗記しないといけませんか？
また、どのように考えれば暗記し易くなるか
いいアドバイスあればよろしくお願いしますm(__)m

No.24890 - 2014/03/17(Mon) 22:17:41

☆ Re: ?狽ﾌ公式　 / ＿

わざわざ覚えようとしなくても、ある程度の問題が解けるレベルまで練習を積んだら覚えたくなくても頭に入ると思います。逆に、入試を受けるつもりであればその程度はできるようになるべきです。

＃しかし、覚えたいのであれば、わざわざこういった質問をして答えを待たなくても、それまでの間に覚えてしまったほうが早いのではないですか？　なに、単に数百回紙に書くだけの簡単な作業ですよ。

No.24893 - 2014/03/17(Mon) 23:10:07

☆ Re: ?狽ﾌ公式　 / スカイウォーク

??(k:1～ｎ）ｋ＾m＝{1/(m+1)}n^(m＋1)+・・・となります

画像の公式の一つ目はｍ＝１の場合で(1/2)n^2+・・となっていますし

二つ目はｍ＝２の場合で(1/3)n^3＋・・・
三つ目はｍ＝３の場合で(1/4)n^4＋・・・

となっています。あくまで確かめ程度にしかなりませんが

No.24894 - 2014/03/17(Mon) 23:26:02

☆ Re: ?狽ﾌ公式　 / ＩＴ

基本的には、最初の方の意見に同じです。
n=0,1,2,3　などで確認すると良いと思います。

No.24895 - 2014/03/17(Mon) 23:31:57

☆ Re: ?狽ﾌ公式　 / angel

私は記憶力が悪いので、完璧に覚えるなんてことは端から捨てて、そうはいっても何度も使っていればある程度は、おぼろげながらも浮かんでは来るので

・思い出した式が正しいかどうかをどうチェックするか

を専ら重要視していました。
で、もし間違えて覚えていても、近い所に正解はあるはずなのでちょっと直してまたチェックすれば良いわけです。

そうは言っても、ややこしい公式が覚えきれなくて、思い出せもしない時。そんな時のために、どうすれば正しい式が計算できるか、それを身につけていました。
※知識の記憶はできなくても、知恵として体に馴染ませれば、それを忘れることはない。

たとえば、Σk^2 の計算なら、
　k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)=3k(k+1)=3k^2+3k
を利用して、
　Σ[k=1,n] ( k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1) ) = 3Σ[k=1,n] k^2 + 3Σ[k=1,n] k
　n(n+1)(n+2)-(1-1)・1・(1+1) = 3Σ[k=1,n] k^2 + 3・1/2・n(n+1)
ここから
　Σ[k=1,n] k^2 = 1/3・( n(n+1)(n+2) - 3/2・n(n+1) )
とか。
特に三角関数絡みの公式なんか、テストで使う時は、テストが始まると同時に公式を全部メモ用紙上に組み立ててましたね。
※積和・和積、半角・倍角・三倍角…、とても覚えきれませんでしたから

No.24896 - 2014/03/18(Tue) 00:46:52

☆ Re: ?狽ﾌ公式　 / さかなくん

みなさんありがとうございました(_ _)
僕も基本的には暗記はにがてで、忘れる場合もあるので、考え方や公式の意味を理解して、忘れた場合に導けるように学生の時にはしていまして。
良いアドバイスがあればご教授頂ければとおもいました。
色々な意見ありがとうございました。

No.24897 - 2014/03/18(Tue) 00:59:41

☆ Re: ?狽ﾌ公式　 / ＩＴ

（追伸）?狽ﾌ公式　ではないですが
三角関数の公式は、複素平面のド・モアブルの定理から出せるのも多いです。
(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cos(α+β)+isin(α+β)
cos(nα)+isin(nα)=(cosα+isinα)^n

それと検算するときは45°(π/4）以外でやりましょう。
グラフや単位円、三角形を描いて確認することも有効です。

No.24900 - 2014/03/18(Tue) 07:40:42

★ (No Subject) / よう

よろしくお願いします

No.24887 - 2014/03/17(Mon) 21:40:12

☆ Re: / ヨッシー

(1)
展開して
　ｙ＝ａｘ^2＋(1-2a)ｘ－8a
　　＝ａ{ｘ＋(1-2a)/2a}^2－8a－(1-2a)^2/4a
より、軸の式は　ｘ＝(2a-1)/2a
これが、ｘ＝3/4 になる時、
　(2a-1)/2a＝3/4
両辺 8a を掛けて
　4(2a-1)＝6a
これを解いて、ａ＝２
このとき、?@は
　ｙ＝２ｘ^2－３ｘ－16　・・・?@’
となります。
７ｘ＋ｙ＝ｋとおくと、ｙ＝－７ｘ＋ｋ
これを、?@’と連立させて、
　２ｘ^2－３ｘ－16＝－７ｘ＋ｋ
　２ｘ^2＋４ｘ－16＝ｋ
　２(ｘ＋１)^2－18＝ｋ
よって、ｋはｘ＝－１のとき最小値－１８を取ります。

(2)
ｙ＝ａ(ｘ^2－２ｘ－８)＋ｘ
に、ｘ＝２を代入して、ｙ＝－８ａ＋２　・・・ＥＦの答え

ところが、ｘ^2－２ｘ－８＝０となる　ｘ＝－２，４については、
ａの係数が０のため、ａの影響は受けず、
（４，４）（－２，－２）は、常に?@のグラフ上にあります。

No.24903 - 2014/03/18(Tue) 11:48:08

★ ３項間漸化式 / さかなくん

赤線と青囲みの部分がわかりません。
よろしくお願いします。

No.24884 - 2014/03/17(Mon) 14:04:23

☆ Re: ３項間漸化式 / さかなくん

こちらが問題です。

No.24885 - 2014/03/17(Mon) 14:05:04

☆ Re: ３項間漸化式 / ヨッシー

ａ(n+2)＋ａ(n+1)＝３(ａ(n+1)＋ａ(n))
までは、ＯＫですか？ここで、
　ｂ(n)＝ａ(n+1)＋ａ(n)
とおくと、ｂ(1)＝ａ(2)＋ａ(1)＝２＋１＝３　であり、
　ｂ(n+1)＝３ｂ(n)
より、ｂ(n) は初項３、公比３の等比数列であることがわかるので、
　ｂ(n)＝３^n
つまり
　ａ(n+1)＋ａ(n)＝３^n　・・・・?B
です。

?Cの方も、ｂ(n)＝ａ(n+1)－３ａ(n) とおくと、ｂ(n) は、
初項２－３＝－１、公比－１の等比数列であることがわかるので、
　ｂ(n)＝ａ(n+1)－３ａ(n)＝(-1)^n　・・・?C
となります。

No.24886 - 2014/03/17(Mon) 14:37:04

☆ Re: ３項間漸化式 / さかなくん

完全に分かりました。
いつもありがとうございます(__)

No.24891 - 2014/03/17(Mon) 22:18:54

★ "省く"って何? / ムーミン

識者の皆様宜しくお願い致します。
Picardの定理についてです。

http://www.proofwiki.org/wiki/Picard's_Theorem
の小定理と大定理で"omits(省く)"とあるのですが,
"fがa∈Cを省く"とは一体どういう意味なのでしょうか?

No.24883 - 2014/03/17(Mon) 09:24:40

☆ Re: "省く"って何? / angel

日本語版のWikipediaの同じ項目を見るのが早い気もしますが…

まあ、英語と日本語の表現の違いですね。
英語ではあたかも関数fが能動的に何かしているように見えますが、日本語では全く逆になります。
fに関する何かからaが省かれている、つまり「aが含まれない」と読むのが、日本語として自然でしょう。

で、何と比較して「含まれない」かというと、複素数全体Cと、です。となると、「fに関する何か」とは「値域」ですね。
で、説明文にあった at most one も合わせると、

　高々1つの値を除き、全複素数がfの値域に含まれる
　複素数全体の中で、fの値域に含まれない値は、高々1つ

ということになります。

No.24892 - 2014/03/17(Mon) 22:24:04

★ ３項間漸化式　数A / さかなくん

問題でわないのですが、なぜこの公式が成り立つかが理解できれば暗記しやすくなるので教えていただけますか？
どう考えればよいのか？

No.24879 - 2014/03/17(Mon) 01:32:15

☆ Re: ３項間漸化式　数A / らすかる

暗記しやすいかどうかわかりませんが
a[n+2]+pa[n+1]+qa[n]=0 を
a[n+2]-ua[n+1]=v(a[n+1]-ua[n])
と変形するとして、この式を整理すると
a[n+2]-(u+v)a[n+1]+uva[n]=0
ですから、p=-(u+v), q=uv となる2数u,vを求めれば良いことになり、
u,vはx^2+px+q=0の解とわかります。

No.24880 - 2014/03/17(Mon) 01:48:20

☆ Re: ３項間漸化式　数A / さかなくん

そう考えれば暗記しやすくなりました。問題をいくつか解いてあとは身に付けてつかいこなしていきますね。
いつもありがとうございますp(^-^)q

No.24881 - 2014/03/17(Mon) 02:31:31

★ (No Subject) / ロロノア

?僊BCについてA、B,Cの対辺の長さをa,b,c、内心I、外心O'、垂心H、傍心IA（Aの二等分線上にある）、重心Gとすると

ベクトルOI,OO',OH,OIA,OGはどうなりますか？（Oは任意の点）
以下、大文字のアルファベットの前にはベクトルという言葉が省略されているとすると

OI=aOA+bOB+cOC/(a+b+c)
OG=(OA+OB+OC)/3
OH=(tanAOA+tanBOB+tancOC)/(tanA+tanB+tanC)
OIA=-aOA+bOB+cOC)/(-a+b+c)までは知っています

よろしくおねがいします

No.24875 - 2014/03/16(Sun) 20:53:35

☆ Re: / angel

えーと。残りは外心OO'だけかな。

検索かけたらこのページにまとまっていたので、そちらを参考にしては。

http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Suugaku/IchiVector5shin.pdf

OO'=(sin2A・OA+sin2B・OB+sin2C・OC)/(sin2A+sin2B+sin2C)
とか。

No.24876 - 2014/03/16(Sun) 22:07:22

☆ Re: / ロロノア

ありがとうございます。わかりやすいです

α:β :γ
= △OBC : △OCA : △OAB
がどこから来たのかが分かりません

よろしくおねがいします

No.24877 - 2014/03/16(Sun) 22:51:23

☆ α,β,γの意味 / angel

えーと、そのPDFにはα,β,γの意味は書いていないですが、重心なり内心なりをXと置いた時、
　AXとBCの交点 … BCをγ:βに内分する点
　BXとCAの交点 … CAをα:γに内分する点
　CXとABの交点 … ABをβ:αに内分する点
　※α,β,γのいずれかをマイナスにすることで外分にも対応可
となるのはよろしいでしょうか。

逆に言えば、AXとBCなりの交点の位置を調べることで、比α:β:γを決定することができ、Xの位置ベクトルが分かるようになっています。

で、
> α:β:γ
> = △OBC : △OCA : △OAB
は外心の所の話になりますが、
例えば OCとAB の交点をRとすると、BR:AR=△OBC:△OCAとなるところから来ています。
※△OBC,△OCAにおいて、底辺を共にOCとした時の高さの比がどうなるかを考えてください。

No.24878 - 2014/03/17(Mon) 00:11:03

★ 数列の総乗について / 積善錬錬

ヨッシーさん、初めまして、私は高校一年生、16歳です。
昨年、高校で数式の総和、つまりシグマの演算(有限和のみ。級数は未修です)を学習しました。そして、そのΣの説明の際、先生が「(数列の)総和を表す記号はもとより総乗を表すことが出来る記号もある」という要旨のことをおっしゃっていました。早速調べてみると、Πという記号が数列の総乗(ちなみに、私は「数列の総乗」とは、数列の「積」ではなく「冪乗」のことだと思っていました)を表わすという事が分かりました。が、その先に行けませんでした。というのは、私が知りたかったのは記号の意味ではなく総乗の公式だったからです。しかしどのWebサイトを見てもそういった記述に行き当たりませんでした。
私自身、Πの公式を導き出そうと努力しました。数列の一般項が定数、もしくは等比数列であれば公式は簡単に導出されましたが、そんな私の前に等差数列の壁が立ちはだかりました。そう、総乗において厄介なものは「公比」よりも「公差」だったのです。例えば、一般項が
a+(n-1)d
である様な等差数列の総乗を求めようとすると、計算途中に下記の数列が出現します(よね？)。
Π[k=1,n]a+(k-1)d=a^n+...+a^i*d^(n-i)*[{1*2*3*...*(n-i+2)*(n-i+1)}+{1*2*3*...*(n-i+2)*(n-i)}+...+{2*3*4*...*(n-i+1)*(n-i)}]+a*b^(n-1)*{1*2*3*...*(n-2)*(n-1)}
この式の、
{1*2*3*...*(n-i+2)*(n-i+1)}+{1*2*3*...*(n-i+2)*(n-i)}+...+{2*3*4*...*(n-i+1)*(n-i)}
この部分が計算できません。つまり具体的な数値で表現すれば、
(1*2*3)+(1*2*4)+(1*3*4)+(2*3*4)
の公式的演算方法(愚直に一項一項計算するのでなく、数式が一般に拡張されたとしても簡単にその解が求められるような方法)が解らないのです。以上の経緯を踏まえ、この部分の計算方法を教えて頂けないか、という質問をさせて頂く次第です。
長文失礼しました。ご返答何卒宜しくお願いします。
最後になりますが、いつも貴殿のサイトに大変助けられております。これからも是非続けて下さい。

No.24873 - 2014/03/16(Sun) 19:54:11

☆ Re: 数列の総乗について / らすかる

「数式が一般に拡張されたとしても簡単にその解が求められるような方法」はないと思います。

Π[k=1～n]k は n! ですよね。でもこれは「1からnまでの積」が他の方法で書けないから
「階乗」というものを導入して「n!」と表すことにしただけであって、何の解決にもなっていません。
同様に、階乗を一般化した「Γ関数」を使えば、一般の等差数列の総乗を書き表すことはできます。
また、Γ関数は計算ソフトや高級電卓などで具体値を計算できますから、
Π[k=1～1000](3k+1) のような式の具体的な（概算）値を知るのには使えます。
しかしnの一般式となると、Γ関数を使った式になり、これは階乗と同様に
「そういう目的のために作られた関数」ですから、「簡単に表した」ことにはなっていませんね。

No.24874 - 2014/03/16(Sun) 20:25:27

☆ Re: 数列の総乗について / 積善錬錬

らすかるさんありがとうございます。
つまり、私の解する所が誤っていなければ、Πという記号は数列の相乗を最も簡単に表記したもので、それ以上簡単にし様が無い、いわば「簡易化の下限」という事ですか？

No.24889 - 2014/03/17(Mon) 22:11:50

☆ Re: 数列の総乗について / らすかる

Π[k=1～n]{a+(n-1)d}　（a≠0、d≠0）のことについて言っているのであれば、その通りです。

No.24929 - 2014/03/19(Wed) 18:19:35

☆ Re: 数列の総乗について / 積善錬錬

ありがとうございました。
またこの掲示板を利用させて頂くかも知れませんがその際はよろしくお願いします。

No.24939 - 2014/03/20(Thu) 12:09:53

★ mortgage / トンデモ

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=21088
について再度質問です。

答えの$123120は$513000を借りるにしてはかなり大損な気がしてこの答えに懐疑的です。
$513000の20年ローンですから一ヶ月当り513000÷(12・20)=$2137.5の返済になります。
この時,
8%+20ローン計画だと一月あたり8.37:1000=x:2137.5より$17.891が毎月の利息,
9%+20ローン計画だと一月あたり9:1000=x:2137.5より$19.24が毎月の利息,
従って,毎月の差額は$19.34-$17.891=$1.347.

これが(20・12=)240ヶ月続くのだから,$1.347・240=$323.16
となったのですがこれは間違いなのでしょうか?

No.24868 - 2014/03/16(Sun) 12:25:23

☆ Re: mortgage / angel

> かなり大損な気がしてこの答えに懐疑的です。
ローンの返済金額というのは、合計金額だけ見ればかなり膨大になります。そのことはまず知っておくべきだと思います。
※だからといって「大損」とは限らないことに注意

そうすると、金利の僅か(に見える)違いも、合計金額にかなり大きく響いてくるということ。
この問題の例でいうと、年利が8%,9%とその差1%は小さく見えますが、合計金額としては15%程度にもなります。つまり、$1,000借りたなら、合計$150位の差が出るということ
※( ($9.00/mon - $8.37/mon)×240mon )÷$1000 ≒ 0.15

さて、トンデモさんの挙げた式ですが、
> 8%+20ローン計画だと一月あたり8.37:1000=x:2137.5より$17.891が毎月の利息
これで求まる x は「利息」ではありません。
　(月の返済額):(借りた金額) = x:(借りた金額÷月数)
という形の式なので、x は (月の返済額)÷(月数) という数値であり、計算には役立たないでしょう。

No.24870 - 2014/03/16(Sun) 13:57:10

☆ Re: mortgage / angel

ところで、ローンの合計金額を実際に計算すると、ちょっとビックリするかも知れません。
8%,20年,$1000 の場合、$8.37/mon×240mon ≒ $2000 と計算できますから、借りた金額の約2倍を返すことになります。

これを大雑把に見積もる場合、
　(返済額合計)=(借りた金額)×(1+年利×年数÷2)
位と計算できます。
つまり、年利×年数÷2 というのが合計に対する利率と考えることができるのです。
…もっとも、年利8%ともなると、大分誤差が大きくなるのですが。

そうすると、年利1%の差も、20年という返済期間で約10倍に増幅される、ということになります。

なぜ「年利×年数÷2」なのかは、おおまかに次のように説明できます。
借りた金額を分割で返済する以上、一部のお金はすぐに返してほとんど利息がかからない一方で、一部のお金はずっと借りて年数分の大きな利息がかかる、そのように借りたお金の部分々々で利息が異なってきます。
すぐに返したお金は年利0年分、最後に返したお金は年利20年分で単純にならすと、年利の10年分程度が全返済期間を通じての平均の利率、となるのです。

No.24871 - 2014/03/16(Sun) 14:14:07

☆ 補足 / angel

補足です。
もう少し近似の精度を上げた場合、
　(返済額合計)≒(借りた金額)×( 1+yr/2+(yr)^2/12 )
　※y:年数, r:年利
になると思います。( 計算が面倒なので合ってる保証はないのですが… )
年利8%ともなると、(yr)^2/12 の部分がそれなりに大きな値になるので、No.24871の近似式では誤差がひどくなるわけです。

No.24872 - 2014/03/16(Sun) 17:52:47

☆ Re: mortgage / トンデモ

ご回答誠に有難うございます。

$1000あたりの8%20年ローンの利息額は夫々
8.37・(20・12)=$2008.8
と
9・(20・12)=$2160
だから,
借用額$513000に対しては
8.37・(20・12)・513000/1000=$1030514.4
と
9・(20・12)・513000/1000=$1108080
だから,
差額は1108080-1030514.4=$77565.6
で
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=21088
でOKをいただいた計算法と同じになります。
過去記事では
「(240・513=)123120 dollars」
としてましたが,
「((2160-2008.8)・513=)77565.6 dollars」
でした。とんだ計算ミスです。

No.24882 - 2014/03/17(Mon) 04:16:46

★ 等比数列・等差数列 / ＩＴ

p,qを実数とし,p<qとする.さらに,3つの数4,p,qをある順に並べると等比数列となり,ある順に並べると等差数列になるとする.
このときp,qの組(p,q)を全て求めよ.

解答の前のコメントに
「等比数列の公比が正の場合は等差数列のグラフと等比数列のグラフは多くとも2点でしか交わらない.よって公比が正である場合は有り得ず,公比は負である.」
とあり、前文の事実は分かります。３つの数の順番を変えられるので、後文で言っていることは直接使えないような気がするのですがどうでしょうか？

これは、他の掲示板にあった質問で議論は終わってしまったのですが、コメントが正しいかどうか、はっきり判断できないので教えていただけると喜びます。
http://kohada.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1388763096/652

No.24864 - 2014/03/15(Sat) 22:47:26

☆ Re: 等比数列・等差数列 / ＩＴ

（追伸）
なお、この問題は、このコメントのような議論を使わずに、等差中項で場合分けすれば、そんなに難しくなく解けると思います。
{p,q,4}＝{a,ar,ar^2}(r≠1,0)とおけてa,ar,ar^2を並べ替えると等差数列になるので
・等差中項がaのとき,ar+ar^2=2a よって r^2+r-2=0
・等差中項がarのとき,a+ar^2=2ar よって r^2-2r+1=0
・等差中項がar^2のとき,a+ar=2ar^2 よって 2r^2-r-1=0
以上からr=-2,-1/2であることが分かります。

No.24865 - 2014/03/15(Sat) 22:58:51

☆ Re: 等比数列・等差数列 / らすかる

その文章が言葉足らずの感はありますが、内容的には正しいと思います。
公比が正(1を除く)である等比数列の3数は増加または減少ですから、
等差数列の3数を並べ替えて等比数列と一致するとしても逆順しかあり得ません。
しかし正順、逆順のどちらでも直線上の3点であり、
等比数列の3数は指数関数上の3点ですから、3点が一致することはないですね。

No.24866 - 2014/03/16(Sun) 00:19:17

☆ Re: 等比数列・等差数列 / ＩＴ

ありがとうございました。
なるほど、確かにそうですね。コメントは説明不足ですね。

No.24867 - 2014/03/16(Sun) 00:32:46

★ (No Subject) / ｖ８

全ての実数ｘ、ｙに対して不等式
1/(1+x^2+(y-x)^2)≦a/(1+x^2+y^2)
が成り立つときaの値の範囲を求めよ。

任意のｘ、ｙで成り立つなら特定のｘ、ｙでも成り立つ
ｘ＝ｙ＝０でもなりたつ、よって１≦aが必要　などと考えましたが結局わかりませんでした

解答をお願いします

No.24855 - 2014/03/14(Fri) 11:41:19

☆ Re: / ＩＴ

まずxに関する２次不等式にして、判別式などを使うとできると思います。

No.24859 - 2014/03/14(Fri) 18:31:58

☆ Re: / ＩＴ

（略解）
1/(1+x^2+(y-x)^2)≦a/(1+x^2+y^2)
⇔(1+x^2+y^2)/(1+x^2+(y-x)^2)≦a
⇔1+x^2+y^2≦a(1+x^2+(y-x)^2)
xについて整理　(2a-1)x^2-(2ay)x+(a-1)(y^2+1)≧0…(1)
2a-1≠0のときの、２次方程式（左辺=0）の判別式をDとおく。

(1)がすべての実数xについて成立つためには
2a-1＞0かつD≦0　…(A)
または
2a-1＝0かつ2ay＝0 かつ(a-1)(y^2+1)≧0　…(B)
が必要十分、しかし(B)をみたすa,yは存在しない。

よって(1)が全ての実数x,yについて成立つためには
　全ての実数yについて(A)が成り立つこと…(C)が必要十分

D/4＝(ay)^2-(2a-1)(a-1)(y^2+1)＝-(a^2-3a+1)y^2-(2a-1)(a-1)なので
(C)のためには　 2a-1＞0かつ-(a^2-3a+1)≦0かつ-(2a-1)(a-1)≦0　が必要十分条件

これを解き、求める条件は a≧(3+√5)/2 となる。

No.24860 - 2014/03/14(Fri) 20:51:27

☆ Re: / ｖ８

ありがとうございます。ちなみに-(a^2-3a+1)y^2-(2a-1)(a-1)はなぜ下に凸の場合は考えなくて良いのでしょうか

No.24861 - 2014/03/15(Sat) 20:49:04

☆ Re: / ＩＴ

下に凸な場合、|y|を十分大きくすると
　-(a^2-3a+1)y^2-(2a-1)(a-1)＞0となります。

No.24862 - 2014/03/15(Sat) 21:08:21

☆ 別解 / angel

既にITさんから解答が出ていますが、平方完成していく別解もありますので参考まで。
ただし、ちゃんと必要条件・十分条件を説明する必要がありますので、解答の書き方にはご注意を。

まず類題として、
　任意のx,yで ax^2+by^2+c≧0 となる a,b,c の条件を求めよ
　答：a≧0かつb≧0かつc≧0
は良いでしょうか。

この問題でも
　(2a-1)x^2-2axy+(a-1)y^2+a-1≧0
と整理した後
　(2a-1)(x-ay/(2a-1))^2 + (a^2-3a+1)/(2a-1)・y^2 + (a-1)≧0
と平方完成することで、同じような形になります。
そのため、2a-1≧0 かつ (a^2-3a+1)/(2a-1)≧0 かつ a-1≧0 を解いて答えです。
※2a-1が分母にくる形をつくっているので、2a-1=0の時は別に説明するか、もしくはx=y=0の時の条件からa≧1(なので2a-1＞0)を先に出しておきます。

さて、必要条件・十分条件がどのように示せるかは、最初に例示した ax^2+by^2+c≧0 の例でいきます。

まず、a≧0,b≧0,c≧0なら明らかに不等式が成立します。
なので十分条件です。

逆にそうでない場合、つまり a＜0またはb＜0またはc＜0の場合。反例 ( 不等式の成立しないx,yの組 ) が存在します。
c＜0 ならば x=y=0 が反例ですし、
c≧0,b＜0 なら x=0,|y|＞√(-c/b) なるx,yの組が反例です。
c≧0,a＜0 の時もc≧0,b＜0の時と同じように反例があります。
ということで、a≧0,b≧0,c≧0でなければ不成立なので、これは必要条件です。
必要条件と十分条件が両方示せたので、a≧0,b≧0,c≧0が必要十分条件ということです。
この問題をこの解法でいくなら、上記の話をアレンジしてください。

No.24863 - 2014/03/15(Sat) 22:34:05

★ (No Subject) / ｖ８

～のとき、・・・を示せ。
～ならば、・・・を示せ。は違いますよね？

前者は～⇔・・・を、
後者は～⇒・・・を示せという意味で、

背理法はｐならばｑが偽であること（ｐを満たすがｑを満たさないとすると矛盾すること）を用いてｐならばｑは真であるという流れですから、～⇔・・・の証明には使えないという解釈であっていますか？よろしくお願いします

No.24850 - 2014/03/13(Thu) 21:09:50

☆ Re: / らすかる

> ～のとき、・・・を示せ。
> ～ならば、・・・を示せ。は違いますよね？

いいえ、同じです。どちらも「～⇒・・・」です。

No.24851 - 2014/03/13(Thu) 21:18:43

☆ Re: / ｖ８

そうなんですね、わかりました。ありがとうございます

No.24854 - 2014/03/14(Fri) 11:37:41