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★ 和 / ふぇるまー
次の数列の初項から第n項までの和=?
(1)　　1・2・3,2・3・5,3・4・7……(数字の間の中点・は×の意味です。)
(2)　　1^2+1・2+2^2,2^2+2・3+3^2,3^2+3・4+4^2……

連休後半で申し訳ないのですが、こちら2問を教えて頂けるとありがたいです。
No.25763 - 2014/05/02(Fri) 23:39:52
☆ Re: 和 / ヨッシー
(1)
一般項は
　n×(n+1)×(2n+1)＝2n^3＋3n^2＋n
であるので、第ｎ項までの和は（以下、Σはk=1〜n の和)
　Σ(2k^3+3k^2+k)＝2Σk^3＋3Σk^2＋Σk

(2)
一般項は
　n^2＋n(n+1)＋(n+1)^2＝3n^2＋3n＋1
であるので、第ｎ項までの和は
　Σ(3k^2＋3k＋1)＝3Σk^2＋3Σk＋ｎ

あとは、Σk^3, Σk^2, Σk の公式を使えば求められます。
No.25764 - 2014/05/02(Fri) 23:50:05
☆ Re: 和 / みずき
(1)の別解です。

2n+1=(1/4)*{(n+2)(n+3)-(n-2)(n-1)}
なので、
n(n+1)(2n+1)
=(1/4)*{n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-2)(n-1)n(n+1)}
が成立します。

よって、
Σ_k^n{k(k+1)(2k+1)}
=(1/4)*[(1*2*3*4-(-1)*0*1*2)
+(2*3*4*5-0*1*2*3)
+(3*4*5*6-1*2*3*4)
+・・・
+{(n-2)(n-1)n(n+1)-(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)}
+{(n-1)n(n+1)(n+2)-(n-3)(n-2)(n-1)n}
+{n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-2)(n-1)n(n+1)}]
=(1/4)*{(n-1)n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n+2)(n+3)}
=(1/4)*n(n+1)(n+2)(n-1+n+3)
=n(n+1)^2(n+2)/2
No.25766 - 2014/05/03(Sat) 04:15:01
☆ Re: 和 / みずき
Σのところを次のように訂正します。

Σ_[k=1,n]{k(k+1)(2k+1)}
No.25767 - 2014/05/03(Sat) 04:34:39
☆ Re: 和 / ふぇるまー
先生方、GWにも関わらず解説していただき有難うございます！
No.25768 - 2014/05/03(Sat) 08:03:33
★ 数?TAの論理について / アクオス
2003年のセンター試験の問題についてお願いします。
http://kakuritsu.com/center/2003/1a.htmlの第二問の(ケ)の部分です。
別の質問サイトでも質問させてもらったのですが理解することができなかったのでよろしくお願いします。

自分の使っている参考書のこの問題について説明で
これが成り立つための条件は
a^2≦b^2　かつ　b≧0　ということになる。
これをまとめると
まずb≧0といっているのでa^2≦b^2をaを未知数、bを定数と考えて変形すると
a^2-b^2≦0
-b≦a≦b
|a|≦b
となる。


というように書かれているのですが、理解が出来ません。
二つ疑問があり

まず1つ目はb≧0といっているのでa^2≦b^2をaを未知数、bを定数と考えて変形する
と書かれていますが

b≦0とであったとしても
a^2-b^2≦0という形にすることが出来るのではないでしょうか

例えば
a^2≦　(-b)^2
a^2-(-b)^2≦0
-b≦a≦b
|a|≦b
となると思うのですが・・・


もう一つはなぜb≧0ならbを未知数、aを定数として考えてはいけないのかということです。

よろしくお願いします。
No.25754 - 2014/05/01(Thu) 18:32:06
☆ Re: 数?TAの論理について / アクオス
少し訂正します。
1つ目の疑問で

例えば
b≦0なので
b=-2として

a^2≦　(-2)^2
a^2-4≦0
(a-2)(a+2)≦0
-2≦a≦2
-b≦a≦b
|a|≦b

というふうになると思います。
No.25755 - 2014/05/01(Thu) 18:36:10
☆ Re: 数?TAの論理について / ヨッシー
ｂ≦０ の時も、
　ａ^2−ｂ^2≦０
より、(a-b)(a+b)≦0 となるまでは同じです。
このあと、(a-b)(a+b)＝0 の２解ａ＝±ｂで、ａを挟むわけですが、
ｂ≦０ なので、ｂと−ｂで、小さい方はｂです。
よって、答えは　ｂ≦ａ≦−ｂ であり、絶対値を使うと
　|ａ|≦−ｂ
となります。

>>bを未知数、aを定数として考えてはいけないのか
試しにそうすると、
　b^2−a^2≧０
より、(b-a)(b+a)≧０
ａ≧０ のとき
　ｂ≦−ａ　または　ｂ≧ａ
ｂ≧０　より　ｂ≧ａ≧０
ａ≦０ のとき
　ｂ≦ａ　または　ｂ≧−ａ
ｂ≧０　より　ｂ≧−ａ≧０　変形して　−ｂ≦ａ≦０
両方まとめると、
　−ｂ≦ａ≦０≦ａ≦ｂ
となり、
　−ｂ≦ａ≦ｂ
のように、同じ答えになります。
ただし、途中で場合分けが必要になるなど、面倒になるので、
自由度の大きい（ｂ≧０のような制限のない）ａを未知数にしたほうが、
やりやすいのです。
No.25757 - 2014/05/01(Thu) 18:56:39
☆ Re: 数?TAの論理について / アクオス
ヨッシーさんありがとうございます。
理解することが出来ました。
またよろしくお願いします。
No.25758 - 2014/05/01(Thu) 19:49:13
★ ベクトル 平面図形 / マルコメX
証明方法が思い付きません。解説お願いします。
No.25749 - 2014/05/01(Thu) 08:39:59
☆ Re: ベクトル 平面図形 / ヨッシー
天秤法を使えば、すぐ出ますが、ここでは面積比のみで示してみます。
　ＢＥ：ＥＡ＝１：ａ
　ＣＤ：ＤＡ＝１：ｂ
とおきます。
　△ＢＣＧ：△ＡＣＧ＝１：ａ　・・・(i)
　△ＢＣＧ：△ＡＢＧ＝１：ｂ　・・・(ii)
より
　△ＡＢＧ：△ＡＣＧ＝ｂ：ａ　→　ＢＨ：ＨＣ＝ｂ：ａ
（※ここまではチェバの定理を使っても出せます）

ここで、
　△ＡＢＧ：△ＡＣＧ：△ＢＣＧ＝ｂ：ａ：１
であるので、
　△ＡＢＧ＝＜ｂ＞、△ＡＣＧ＝＜ａ＞、△ＢＣＧ＝＜１＞
とおきます。
　△ＡＥＧ＝{a/(a+1)}△ＡＢＧ＝＜ab/(a+1)＞
　△ＡＤＧ＝{b/(b+1)}△ＡＣＧ＝＜ab/(b+1)＞
よって、
　四角形ＡＥＧＤ＝△ＡＥＧ＋△ＡＤＧ＝＜ab(a+b+2)/(a+1)(b+1)＞　・・・(iii)
一方、△ＡＢＣ＝＜ａ＋ｂ＋１＞ に対し、
　△ＡＥＤ＝{a/(a+1)}{b/(b+1)}△ＡＢＣ＝＜ab(a+b+1)/(a+1)(b+1)＞　・・・(iv)
(iii)(iv) より、
　ＡＧ：ＡＦ＝(a+b+2)：(a+b+1)　・・・(v)

また、
　△ＢＨＧ＝{b/(a+b)}△ＢＣＧ＝＜b/(a+b)＞
より、
　△ＡＢＧ：△ＢＨＧ＝(ａ＋ｂ)：１　→　ＡＧ：ＡＨ＝(ａ＋ｂ)：(ａ＋ｂ＋１)　・・・(vi)
（※これは、メネラウスの定理を使っても出せます）
(v)(vi) より、
　1/AG：1/AF：1/AH＝(a+b+1)：(a+b+2)：(a+b)
　1/AG：(1/AF＋1/AH)＝(a+b+1)：(2a+2b+2)＝１：２
となり、
　1/AF＋1/AH＝2/AG
が成り立ちます。
No.25750 - 2014/05/01(Thu) 10:14:28
☆ Re: ベクトル 平面図形 / マルコメX
あ！なるほど！面積比でこんな鮮やかに解けるとは。。。！
ありがとうございます。
この問題は私の通ってる医系予備校のテキストのベクトルの項目にあった問題でしたが、全然分かりませんでした。。。。
ちなみに「天秤法」とは何でしょうか？？
初めて聞きました！
No.25751 - 2014/05/01(Thu) 16:32:11
☆ Re: ベクトル 平面図形 / ヨッシー
天秤法については、こちらの記事で触れています。

この問題の場合、先程と同様に、ａ，ｂ を置きます。

図において、線分ＡＢを竿に見立てて、Ｅで吊るすとします。
この天秤の両端Ａ，Ｂに、どれだけのおもりを吊るせば釣り合うかを
考えると、支点からの距離の逆比で、Ａに１、Ｂにａを吊るせば、
釣合います。これを、各点に（１）（ａ）と書き込みます。
同様に、ＡＣにおいて、Ａ（１）、Ｃ（ｂ）です。
ここで、Ａの数字がともに同じ（違ったら何倍かして揃える）とき、
線分ＢＣについても、天秤が成り立っており
　ＢＨ：ＣＨ＝ｂ：ａ
となります。


さらに、Ｄ，Ｅ，Ｈ には、両端のおもりと釣り合うだけの
逆の力が働きます（要するに両端の和です）。
これを書き込むと、図より、
　ＢＧ：ＧＤ＝（ｂ＋１）：ａ
　ＣＧ：ＧＥ＝（ａ＋１）：ｂ
　ＡＧ：ＧＨ＝（ａ＋ｂ）：１
が得られます。


さらに、ＤＥを結んだ図を考えると、
　ＥＦ：ＦＤ＝（ｂ＋１）：（ａ＋１）
　ＡＦ：ＦＧ＝（ａ＋ｂ＋１）：１
までも得られます。
No.25752 - 2014/05/01(Thu) 17:45:48
☆ Re: ベクトル 平面図形 / ヨッシー
ベクトルというタイトルを見逃していました。
一応、ベクトルで解くと以下のとおりです。
　ＡＥ＝ａＡＢ、ＡＤ＝ｂＡＣ
とおきます。（上の場合と、置き方が異なります）
このとき、実数ｓ，ｔに対して、
　ＡＧ＝ｓＡＢ＋(１−ｓ)ＡＤ＝ｓＡＢ＋(１−ｓ)ｂＡＣ
　ＡＧ＝ｔＡＥ＋(１−ｔ)ＡＣ＝ｔａＡＢ＋(１−ｔ)ＡＣ
ＡＢとＡＣは一次独立なので、
　ｓ＝ｔａ
　（１−ｓ）ｂ＝１−ｔ
これを解いて、
　ｓ＝(a-ab)/(1-ab)、ｔ＝(1-b)/(1-ab)
よって、
　ＢＧ：ＧＤ＝(１−ｓ)：ｓ＝(1-a)：a(1-b)
　ＣＧ：ＧＥ＝ｔ：(１−ｔ)＝(1-b)：b(1-a)
より、
　ＡＧ＝{(a-ab)/(1-ab)}ＡＢ＋{(b-ab)/(1-ab)}ＡＣ

ＨはＡＧ上の点であるので、
　ＡＨ＝ｕＡＧ＝ｕ{(a-ab)/(1-ab)}ＡＢ＋ｕ{(b-ab)/(1-ab)}ＡＣ
また、ＨはＢＣ上の点であるので、係数の和が１となり
　ｕ{(a-ab)/(1-ab)}＋ｕ{(b-ab)/(1-ab)}＝１
　ｕ(a+b-2ab)/(1-ab)＝１
よって、　
　ｕ＝(1-ab)/(a+b-2ab)

ＦはＡＧ上の点であるので、
　ＡＦ＝ｖＡＧ＝ｖ{(a-ab)/(1-ab)}ＡＢ＋ｖ{(b-ab)/(1-ab)}ＡＣ
　　　　＝ｖ{(1-b)/(1-ab)}ＡＥ＋ｖ{(1-a)/(1-ab)}ＡＤ
また、ＦはＤＥ上の点であるので、係数の和が1となり
　ｖ{(1-b)/(1-ab)}＋ｖ{(1-a)/(1-ab)}＝１
　ｖ(2-a-b)/(1-ab)＝１
よって、
　ｖ＝(1-ab)/(2-a-b)
以上より、ＡＧ＝ｋ　とおくと、ＡＨ＝(1-ab)ｋ/(a+b-2ab)、ＡＦ＝(1-ab)ｋ/(2-a-b)
１／ＡＧ＝１／ｋ、１／ＡＨ＝(a+b-2ab)/(1-ab)k、１／ＡＦ＝(2-a-b)/(1-ab)k
となり、
　1/AH＋1/AF＝(1/k){(a+b-2ab)＋(2-a-b)}/(1-ab)
　　＝(1/k)(2-2ab)/(1-ab)＝2/k＝2/AG
となります。
No.25753 - 2014/05/01(Thu) 18:10:13
☆ Re: ベクトル 平面図形 / マルコメX
天秤法の解説、御丁寧にありがとうございました！
まさに天秤のように釣り合いをとると、さらに辺の比が芋づる式に出てくるので、目からウロコでした。
ベクトルでの別解もありがとうございました！
No.25756 - 2014/05/01(Thu) 18:44:07
★ (No Subject) / (^ー゜)
(?@) x≦1のとき y=x+1
(?A) 1<x≦3のとき y=x^2-2x+3
(?B) 3<x≦5のとき y=3x-3
(?C) 5<xのとき y=-x+15

この条件で一つのグラフを書け、という課題が出ました。
さっぱり意味がわかりません。よろしくお願いします。
No.25745 - 2014/04/30(Wed) 21:49:27
☆ Re: / みずき
一次関数と２次関数のグラフを描くことはできますか？
No.25747 - 2014/04/30(Wed) 23:29:01
☆ Re: / みずき
1次関数と2次関数のグラフを描くことはできるものとして
回答します。

(?@)の「x≦1のとき y=x+1」
というのは、x≦1の範囲で、y=x+1のグラフを描きましょう、
という意味です。

x=1のとき、y=1+1=2ですね。つまり、点(1,2)を通るわけです。
x≦1の範囲で、というのは、この点(1,2)より『左下の部分』
だけを描きましょう、ということです。
点(1,2)より『右上の部分』は描きません。

同様に(?A)の「1<x≦3のとき y=x^2-2x+3」というのは、
x=1のときの点(1,2)とx=3のときの点(3,6)を結んだ部分だけを
描きましょう、という意味です。
（1＜xなので本来はx≠1なのですが、(?@)で点(1,2)を
含むのでこのように書きました。）

このようにして、各範囲において
『直線』または『放物線』を描いてつなげてみましょう、
というのが問題の意味です。
No.25759 - 2014/05/01(Thu) 20:54:46
★ (No Subject) / ktdg
自然数nについて、nを大きくすれば1/nをいくらでも小さくできることを証明するとき、教科書では、
任意の正数ε>0に対して、ある自然数n0が存在して、
n∈N かつ n≧n0のとき、1/n<ε が成り立つ。
を証明しています。
僕は、アルキメデスの原理(a>0, b>0を任意の2つの正数とするとき、na>bとなるような自然数nが存在する)で、a=ε, b=1として、どんな小さな正数εに対してもε>1/nを満たすnが存在することを示せばよいのではないかと思うのですが、なぜわざわざn0を登場させるのですか？
No.25741 - 2014/04/30(Wed) 12:55:57
☆ Re: / らすかる
基礎的なことを証明する場合（に限りませんが、そういう場合が多いです）、
他の定理などを使って良いかどうかは微妙です。
なぜならば、この問題で言うと
「アルキメデスの原理」を証明するのに
「nを大きくすれば1/nをいくらでも小さくできる」という定理を
使っているかも知れないからです。
実際に使っているかどうかは知りませんが、
もし使っていたら循環論法になってしまいますよね。
No.25743 - 2014/04/30(Wed) 16:06:28
☆ Re: / ast
> どんな小さな正数εに対してもε>1/nを満たすnが存在することを示

しただけでは, 各 ε に対してそのような n = n(ε) が突然変異的に一つだけ現れるというような場合でも主張が正しいことになり, 例えば "自然数 n_0 が存在して任意の ε に対応する n = n(ε) は (ε に依らず) 必ず n ≤ n_0 となる" というような状況が成り立つと仮定すれば, "n_0 を超えて n を大きく" してしまえばいくらでも 0 に近づくことは無いことになります.

そのような状況では無いことを言うのに, "ある番号 n_0 以降常に" という主張をするわけですから, 収束の定義からきちんと復習された方がよいと思います.
No.25744 - 2014/04/30(Wed) 18:12:52
☆ Re: / ktdg
つまり、数列の収束の定義のように、
任意のε>0に対して自然数Nが存在して、
n>N のときつねに |a(n)-α|<ε がなりたつ
というような形にするためにn0を登場させたということですか？
No.25762 - 2014/05/02(Fri) 22:13:55
☆ Re: / ast
「のように」ではなく, そのものです.
No.25848 - 2014/05/10(Sat) 00:43:47
★ 線形代数 / まさ
問題1の(2)、問題2の(2)を教えてください
よろしくお願いします。
No.25738 - 2014/04/29(Tue) 15:43:39
☆ Re: 線形代数 / X
問題1
(2)
これは問題文での部分空間の定義を満たす行列の集合で
あれば何でも構いません。
ですので例えば
M'={k∈R|M{(k,k),(k,k)}}
というようなM'が定義できます。
後は定義を満たしているかどうか確かめる形で
M'がMの部分空間であることを証明します。
No.25742 - 2014/04/30(Wed) 14:21:28
★ 線形代数 / まさ
問題4の(2)を教えてください
よろしくお願いします。
No.25737 - 2014/04/29(Tue) 15:29:59
★ (No Subject) / tt
えーっと、ある問題で同値変形したらこんな感じになりました。多分詰んでる気がするのですが、どなたかここから打開できる救世主はいますか？？
No.25723 - 2014/04/28(Mon) 21:47:31
☆ Re: / IT
(58/121)n＜(1/2)n＜(62/119)nなので
nが偶数のとき　与不等式をみたす自然数kが１個の場合は,n=2kとなり不適

(62/119) - (58/121)=600/(14400-1)＞6/144=1/24
1/24＜(62/119) - (58/121)＜1/23
よって　n≦23のとき与不等式をみたす自然数kは１個以下
　　　　n≧24のとき与不等式をみたす自然数kは１個以上存在する
また、　n≧48のとき与不等式をみたす自然数kは２個以上存在する。

したがって、n=1,3,5,.,24,25,..47,48と順に条件をみたすnを探し、最初に見つかったnに対するkが解です。(48までで必ず見つかります(n=25かな））

もっといい方法があるかも知れません。　
No.25725 - 2014/04/28(Mon) 22:33:48
☆ Re: / angel
ITさんが示された通り、nの偶奇で場合分けするのが良さそうです。
※で、nが偶数だとkが大きくなりすぎるので、nが奇数の所からkの最小値を見つけ出したものが答えです。

・nが偶数の場合
　n=2m と置くと、
　　58/121・2m≦k≦62/119・2m, k≠m
　　⇔ -5m/121≦k-m≦5m/119, k-m≠0
　と、こういう形なのでmが小さい間は -0.…≦k-m≦0.…, k-m≠0 で解なしとなります。
　初めて解になるのは、右側5m/119が1を超えるm=24 (n=48) の時。
　この時、-120/121≦k-m≦1+1/119, k-m≠0 ですから、k-m=1

・nが奇数の時
　n=2m-1 と置くと、
　　58/121・(2m-1)≦k≦62/119・(2m-1)
　　⇔ (63-5m)/121≦k-m+1≦1-(62-5m)/119
　で、k=n/2 とはなりえませんから、kとして取ってはいけない値は考える必要がありません。
　こちらも、mの値が小さいときは 0.…≦k-m+1≦0.… で解がありませんが、m=13 ( n=25 ) の時
　-2/121≦k-m+1≦1+3/119
　となって、初めて k-m+1=0,1 という解ができます。

あ、それで。
nの値が小さい方が、明らかにkの値も小さくなるので、結局最小のn=25の時にkが最小値を取ることになります。
No.25727 - 2014/04/29(Tue) 00:47:23
☆ Re: / IT
angel さんのように (63-5m)/121≦k-m+1≦1-(62-5m)/119　とすると見通しがいいですね。

tt さんへ＞ 元の問題を教えてもらえませんか？
No.25731 - 2014/04/29(Tue) 07:30:54
☆ Re: / tt
お二人ともすごいですね、、
問題は(2)です。
少し質問なのですが、この解答は不等式の両辺に300をかけて、0<60|5nー2m|≦mからm≫60を示し、小さい順に代入しm=62を見つけるものですが、
この方法はm=80とかだったらできませんよね？
試験でこの方法を使う勇気がないのですが、一方でお二人のような解答も試験中に思いつくのはなかなか至難の技だと思います。
こういう問題はどう解くべきですかね？曖昧な質問ですいません。
No.25733 - 2014/04/29(Tue) 11:00:14
☆ Re: / IT
> 少し質問なのですが、この解答は不等式の両辺に300をかけて、0<60|5nー2m|≦mからm≫60を示し、小さい順に代入しm=62を見つけるものですが、
> この方法はm=80とかだったらできませんよね？
模範解答の方法で良いと思います。

0＜60|5n−2m|≦mからm≧60より、5n−2m=±1,m≧60をみたす最小のmを探す。
(n,mは互いに素、nは奇数などの性質があります)

2m＝5n±1,2m≧120 なので2m=125-1=124,m=62が最小

仮にm=80が最小値でも60から80まですべてを調べる必要はないです。　

この問題は、ある有限個の自然数の中に答えがあると分かったところで、数学的には解決したようなものだと思います。
No.25735 - 2014/04/29(Tue) 13:55:09
☆ Re: / tt
確かにそうですね！
参考になりました！！
No.25736 - 2014/04/29(Tue) 15:09:37
★ (No Subject) / ヒキニート
どんな整数x、yにたいしても不等式(x+y)^4≦c^3(x^4+y^4)が成り立つcの範囲を求めよ。
No.25710 - 2014/04/28(Mon) 05:30:34
☆ Re: / みずき
この問題はどこから来たものですか？

それと、問題文のみを書く、というのは
個人的には、好ましく思えません。
「こう考えたが、ここが分からない」という書き方を
するのがベターだと思います。
No.25712 - 2014/04/28(Mon) 14:37:02
☆ Re: / ヒキニート
x、yのどちらかを消去しようとしましたがうまくいきません。
No.25713 - 2014/04/28(Mon) 15:31:45
☆ Re: / みずき
> x、yのどちらかを消去しようとしましたがうまくいきません。

そうですか。分かりました。

ところで、私が書いた最初の質問
「この問題はどこから来たものですか？」
にはお答えいただけないですか？

以前に別掲示板にて、応募問題を質問されていましたね。
（「ヒキニート」さんが同一人物であると仮定しています）
そのときも、質問のみを書いておられたと記憶しています。
さらに、応募問題（と一語一句同じ問題）を質問していることを
指摘されても何の反応もされませんでしたね。
そういうことがありましたから、
「この問題はどこから来たものですか？」
と質問したまでです。
もちろん、ヒキニートさんに答える「義務」など
ありませんが、応募問題でないなら、答えていただけませんか？
No.25715 - 2014/04/28(Mon) 15:56:26
☆ Re: / ヒキニート
すいません、塾名をあまり出したくなかったので答えるのを渋ってしまいました。
一応鉄緑会という塾の予習問題です。
No.25717 - 2014/04/28(Mon) 16:26:19
☆ Re: / みずき
> すいません、塾名をあまり出したくなかったので答えるのを渋ってしまいました。
> 一応鉄緑会という塾の予習問題です。

そうですか。分かりました。
No.25718 - 2014/04/28(Mon) 16:29:03
☆ Re: / みずき
分離してグラフを考えてみます。

(x,y)=(0,0)の場合、cは任意の実数。
x=0かつy≠0の場合、c≧1

以下、x≠0とします。
(x+y)^4≦c^3(x^4+y^4)
⇔c^3≧(x+y)^4/(x^4+y^4)=(1+y/x)^4/(1+(y/x)^4)
ここで、y/x=Xとおいて、
すべての「実数X」に対して
c^3≧(1+X)^4/(1+X^4)
が成立するようなcの範囲を求めます。

そのために、f(X)=(1+X)^4/(1+X^4)
のグラフを考えると（詳細は省略します）
すべての実数Xに対して、
f(X)≦8（等号成立はX=1のとき）
が成立することが分かります。

したがって、
すべての実数Xに対して
c^3≧(1+X)^4/(1+X^4)
が成立するようなcの範囲は、c^3≧8⇔c≧2です。

ところで、x=y(≠0)のとき、X=y/x=1ですから、
x≠0の条件下におけるすべての整数x,yに対して
c^3≧(1+y/x)^4/(1+(y/x)^4)
⇔(x+y)^4≦c^3(x^4+y^4)
が成立するようなcの範囲もc≧2と分かります。

以上により、答えは
「cは任意の実数」かつ「c≧1」かつ「c≧2」
すなわち、c≧2
No.25719 - 2014/04/28(Mon) 17:13:10
☆ Re: / らすかる
私も同様の解き方で考えたのですが、
このような解き方だとc^3になっている必然性がありませんよね。
c^3になっているということは、
何か「3乗」がうまく使える解き方があるような気がします。
No.25721 - 2014/04/28(Mon) 18:29:55
☆ Re: / IT
実数cが条件をみたすとすると
　x=y=1のとき(1+1)^4≦(c^3)(1^4+1^4)、よって2^4≦(c^3)*2⇒2^3≦c^3⇒c≧2…必要条件

逆にc≧2 のとき、任意の実数x,yについて (x+y)^4≦c^3(x^4+y^4)…(1)が成り立つことを示す
　x+y＝0 のとき　(1)は左辺＝0 、右辺≧0なので成立
　x+y≠0のとき　f(x,y)=(x^4+y^4)/(x+y)^4 とおき　f(x,y)の最小値を調べる。
　　f(x,y)は４次斉次式なのでx+y=1のときの最小値を調べればよい。
　　x+y=1のときf(x,y)=x^4+(1-x)^4　微分して増減を調べると、
　　f(x,y)の最小値はf(1/2,1/2)=(1/2)^4+(1/2)^4=(1/2)^3
　　よって、(x^4+y^4)/(x+y)^4 ≧(1/2)^3,ここで(x+y)^4＞0なので(2^3)(x^4+y^4)≧(x+y)^4
　　c≧2なら(c^3)(x^4+y^4)≧(x+y)^4 …(1)が成り立つ
　
No.25722 - 2014/04/28(Mon) 21:25:36
★ (No Subject) / ヒキニート
ax+by=1をみたす(x,y)が存在することを示せという問題について。

一般的な証明法として、1≦k≦a-1を満たす自然数についてbkをaで割った余りが1となるkが存在することをしめして、bk=a+1となるから
bk+a(-1)=1より題意は示された。という方法がありますがこれが無限降下法ですか？違ったらどういうのが無限降下法か教えて下さい。問題の質問とかじゃなくてすいません。
No.25709 - 2014/04/28(Mon) 05:27:48
☆ Re: / らすかる
それは無限降下法ではありません。
無限降下法というのは、例えば√2が無理数であることの証明で
　√2=p/q（p,qは整数）と表せたとする。
　qを移項して両辺を2乗すると 2q^2=p^2
　pは偶数だからp=2aとおいて整理すると q^2=2a^2
　qは偶数だからq=2bとおいて整理すると 2b^2=a^2
　これは2q^2=p^2と同じ形なので、pは無限に2で割れることになり、矛盾。
　よって√2は無理数。
のように「無限に降下する」ように見える証明です。
No.25711 - 2014/04/28(Mon) 06:02:16
☆ Re: / ヒキニート
ありがとうございます。他に無限降下法の例はありますか？
No.25714 - 2014/04/28(Mon) 15:41:12
☆ Re: / みずき
有名なところでは、
フェルマーが
「不定方程式 x^4 - y^4 = z^2 が非自明な整数解を持たない」
ことを、無限降下法によって示しています。
これよりフェルマーの最終定理（ワイルズの定理？）の n = 4 の場合が導かれました。
No.25716 - 2014/04/28(Mon) 16:22:30
☆ Re: / らすかる
無名なところでは
「平面上で格子点を頂点とする正多角形は正方形のみである」
も無限降下法を使って証明できます。
正三角形と正六角形が作れない証明は無限降下法と関係ありませんので割愛します。
正五角形と正七角形以上では、
・格子点を結んで正n角形ABC…が作れたとする。
・AD,BE,CF,…を順に結ぶと内部に小さい正n角形が出来るが
　この正n角形の頂点は格子点上にある。
・従っていくらでも小さい正n角形が作れるので矛盾。
No.25720 - 2014/04/28(Mon) 18:26:14
☆ Re: / ヒキニート
今まで無限降下法の例は3つほど出していただけましたが、無限降下法というのはどういった証明法なんですか？
帰納法ではn=kでの成立を仮定してn=k+1での成立を導く、や背理法では与えられた命題の否定を仮定して仮定に対する矛盾を導くような決まった処理はどういったことをすれば良いのですか？
No.25728 - 2014/04/29(Tue) 01:07:25
☆ Re: / らすかる
例えば自然数の場合は、
「自然数nのとき成り立つとする」
→「ある自然数nで成り立つとき、mでも成り立つようなnより小さい自然数mが必ず存在する」
→「無限に小さい自然数は存在しないので矛盾」
のような証明方法です。
No.25729 - 2014/04/29(Tue) 02:26:18
☆ Re: / ヒキニート
有限に対する無限の矛盾を導くということですか？
No.25730 - 2014/04/29(Tue) 05:30:00
☆ Re: / らすかる
そういうことです。
No.25734 - 2014/04/29(Tue) 11:21:52
★ 二次不等式 / イチロー
この問題がまったくわかりません。教えていただけませんか？
No.25702 - 2014/04/28(Mon) 00:02:44
☆ Re: 二次不等式 / イチロー
すみません写真逆でした。
No.25704 - 2014/04/28(Mon) 00:05:05
☆ Re: 二次不等式 / みずき
f(x)=x^2-2ax+a+6=(x-a)^2-a^2+a+6
とおきます。

軸(x=a)の位置で場合分けをすると良いでしょう。
2次関数のグラフを考えて、
?@) a＜4のとき、f(4)＞0が必要で、十分。
?A) 4≦a≦6のとき、f(a)＞0が必要で、十分。
?B) a＞6のとき、f(6)＞0が必要で、十分。

答えは、?@または?Aまたは?Bを満たすaの範囲です。
No.25705 - 2014/04/28(Mon) 00:16:32
☆ Re: 二次不等式 / イチロー
> f(x)=x^2-2ax+a+6=(x-a)^2-a^2+a+6
> とおきます。
>
> 軸(x=a)の位置で場合分けをすると良いでしょう。
> 2次関数のグラフを考えて、
> ?@) a＜4のとき、f(4)＞0が必要で、十分。
> ?A) 4≦a≦6のとき、f(a)＞0が必要で、十分。
> ?B) a＞6のとき、f(6)＞0が必要で、十分。
>
> 答えは、?@または?Aまたは?Bを満たすaの範囲です。

とてもわかりやすいです！ありがとうございます！
No.25708 - 2014/04/28(Mon) 00:51:35
★ 数?V　微分　定数分離 / ハレゾラ
問題
　x≧0のときつねに不等式e^x≧1+x+ax^2…(＊)が成り立つような定数aの最大値を求めよ。

手元の解答では、f(x)=e^x-1-x-ax^2から求めていく方針なんですが、自分は定数分離でできないか考えてみました。

自分の途中までの解答です。

(i)x=0のとき
すべての実数aで(＊)成立。
(ii)x≠0のとき
f(x)=e^x-x-1/x^2とおく
　f'(x)=(x-2)e^x+x+2/x^3
g(x)=(x-2)e^x+x+2とおく
　g'(x)=(x-1)e^x
　g''(x)=xe^x
x>0のときg''(x)=xe^x>0よりg'(x)は単調に増加する。
x>0のときg'(x)>g'(0)=0よりg(x)は単調に増加する。
x>0のときx^3>0、g(x)>g(0)=0なのでf'(x)>0となりf'(x)は単調に増加する。

x=0のときすべての実数aで(＊)成り立つと最大値が求まらないような気がしたり、このあと増減表を書くのですがx=0近傍でのf(x)がわからないためf(x)の値域がわかりません。
どうしたら最後まで解答できますか？

よろしくお願いします。
No.25701 - 2014/04/27(Sun) 23:40:29
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / みずき
>g'(x)=(x-1)e^x

これはg'(x)=(x-1)e^x+1の間違いですね。

> x=0のときすべての実数aで(＊)成り立つと最大値が求まらないような気がしたり、このあと増減表を書くのですがx=0近傍でのf(x)がわからないためf(x)の値域がわかりません。
> どうしたら最後まで解答できますか？

基本的な議論は良いと思います。
おっしゃるように、最大のポイントは、
lim_(x→+0)f(x)
ですね。これはロピタルの定理を使うと求められます。
（この定理を使っていい、という前提での話ですが）

lim_(x→+0)f(x)
=lim_(x→+0)(e^x-1-x)/x^2
=lim_(x→+0)(e^x-1)/2x
=lim_(x→+0)(e^x)/2
=1/2

これらにより、
x＞0において、f(x)＞1/2
が分かるので、
a≦f(x)
を満たすためには、a≦1/2が必要。

x=0のとき、すべての実数aでよいが
x＞0のとき、a≦1/2が必要。

従って、結局、a≦1/2。
よって、aの最大値は1/2
No.25703 - 2014/04/28(Mon) 00:03:52
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / ハレゾラ
> >g'(x)=(x-1)e^x
>
> これはg'(x)=(x-1)e^x+1の間違いですね。

ご指摘ありがとうございます。

ちなみに、ロピタルの定理を使わない方法はなさそうですか？
あまり使わない方がよいと指導されたもので…

> x=0のとき、すべての実数aでよいが
> x＞0のとき、a≦1/2が必要。
>
> 従って、結局、a≦1/2。
> よって、aの最大値は1/2

これはx≧0のときつねに不等式e^x≧1+x+ax^2…(＊)が成り立つようなaの値域は、x=0のときのすべての実数かつx>0のときのa≦1/2からa≦1/2というような解釈で正しいですか？

また、a≦1/2はx≧0のときつねに不等式e^x≧1+x+ax^2…(＊)が成り立つための必要十分条件になっていますか？
No.25706 - 2014/04/28(Mon) 00:28:07
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / みずき
> ちなみに、ロピタルの定理を使わない方法はなさそうですか？
> あまり使わない方がよいと指導されたもので…

ちょっと天下り的ですが、
｢0≦x≦1のとき、
1+x+x^2/2≦e^x≦1+x+x^2/2+ex^3/6｣
という不等式を使うと示せます。
これ自体は、簡単な微分により示せますね。

> これはx≧0のときつねに不等式e^x≧1+x+ax^2…(＊)が成り立つようなaの値域は、x=0のときのすべての実数かつx>0のときのa≦1/2からa≦1/2というような解釈で正しいですか？

そうですね。

> また、a≦1/2はx≧0のときつねに不等式e^x≧1+x+ax^2…(＊)が成り立つための必要十分条件になっていますか？

はい、なっています。
No.25707 - 2014/04/28(Mon) 00:48:57
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / ハレゾラ
別解ありがとうございます。

> ちょっと天下り的ですが、
> ｢0≦x≦1のとき、
> 1+x+x^2/2≦e^x≦1+x+x^2/2+ex^3/6｣
> という不等式を使うと示せます。

この不等式自体は高校の範囲で持ち出せそうですか？

あと、高校の教科書レベルの定義、定理の範囲内ではlim_(x→+0)e^x-1-x-ax^2は求められなさそうでしょうか？

よろしくお願いします。
No.25724 - 2014/04/28(Mon) 22:29:59
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / みずき
> > ｢0≦x≦1のとき、
> > 1+x+x^2/2≦e^x≦1+x+x^2/2+ex^3/6｣
> > という不等式を使うと示せます。
>
> この不等式自体は高校の範囲で持ち出せそうですか？

｢持ち出せそう｣というのが、｢証明できそう｣という意味合いなら、
証明できます。すでに述べたように、微分するだけです。
証明に挑戦されてみてはいかがでしょうか。

> あと、高校の教科書レベルの定義、定理の範囲内ではlim_(x→+0)e^x-1-x-ax^2は求められなさそうでしょうか？

このご質問は、上記不等式が高校学習範囲外ではないか、
というご推測の上のものでしょうから、意味をなしませんね。
すでに述べたように上記不等式は高校生の学習範囲内で
証明可能です。
上記不等式を使う以外に高校範囲内で証明する方法はあるのか、という問いならば、私には思いつきません。
No.25726 - 2014/04/28(Mon) 23:26:23
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / ハレゾラ
> > > ｢0≦x≦1のとき、
> > > 1+x+x^2/2≦e^x≦1+x+x^2/2+ex^3/6｣
> > > という不等式を使うと示せます。
> >
> > この不等式自体は高校の範囲で持ち出せそうですか？
>
> ｢持ち出せそう｣というのが、｢証明できそう｣という意味合いなら、
> 証明できます。すでに述べたように、微分するだけです。
> 証明に挑戦されてみてはいかがでしょうか。

説明不足ですいませんでした。

1+x+x^2/2≦e^x≦1+x+x^2/2+ex^3/6…(#)としておきます

(#)が与えられた設定であれば不等式の証明と、lim_(x→+0)e^x-1-x-ax^2=1/2であることは示すことができました。
しかしながら、問題にはこのような不等式の誘導は存在しないため、もし定数分離の方法で解答するのであればロピタルの定理を用いなければ、(#)を自力で作り出す必要があると思いますが、どのように作り出したのでしょうか？
調べてみたところマクローリン展開の式を見れば左側不等式はわかりますが右側不等式のex^3/6がどう出てきたのか…
まだ高校範囲しか既習していないので厳しいかもしれません。

よろしくお願いします。
No.25739 - 2014/04/29(Tue) 23:28:19
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / みずき
> 1+x+x^2/2≦e^x≦1+x+x^2/2+ex^3/6…(#)

>どのように作り出したのでしょうか？
> 調べてみたところマクローリン展開の式を見れば左側不等式はわかりますが右側不等式のex^3/6がどう出てきたのか…
> まだ高校範囲しか既習していないので厳しいかもしれません。

あ、なるほど、そういうことでしたか。
もちろん、e^xのマクローリン展開が念頭にあるわけです。
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+・・・
なので、0≦x≦1と適当に範囲を限定させておいて、
この範囲において、
(1+x+x^2/2+px^3)-e^x≧0
が成立するようなpを求めた、ということです。

具体的には、
f(x)=1+x+x^2/2+px^3-e^xとおいて、
f'(x)=1+x+3px^2-e^x
f''(x)=1+6px-e^x
f'''(x)=6p-e^x
と求めておいて、
f'''(x)=6p-e^x≧0を解くと、x≦log[e](6p)
なので、log[e](6p)=1、つまり、p=e/6
となれば、0≦x≦1において、f'''(x)≧0となってくれるわけですね。
あとは、芋づる式にf(x)≧0が言えますね。

振り返ると、x≦1と限定させたこととx^3の係数e/6が
対応していた、というわけです。
No.25740 - 2014/04/30(Wed) 01:10:00
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / ハレゾラ
おお、こんな背景があったんですね！

おっしゃるとおりにしたところ
すべてのxで(1+x+x^2/2+px^3)-e^x≧0が成り立つpのとりうる値がp≧e/6となりました！
最終的にf(x)=e^x-x-1/x^2は(#)によって
　1/2≦f(x)≦1/2+e/6x
となるので、p≧e/6をみたすpであれば例えばp=1でもx→0でxの項が消えるのでf(x)を不等式で評価できるんですね。

何日間も返信していただきありがとうございました。
No.25746 - 2014/04/30(Wed) 22:50:28
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / みずき
> すべてのxで(1+x+x^2/2+px^3)-e^x≧0が成り立つpのとりうる値がp≧e/6となりました！

これは間違いですね。
すべてのxで成り立つようにはできません。
私が書いた議論で言えることは、
0≦x≦a (aはある正定数)において
1+x+x^2/2+e^ax^3/6-e^x≧0
が成立する、ということです。
あくまで限定された範囲内で言えることです。
（３次関数より指数関数の方が段違いに速く大きくなります。）

これにより、
0≦x≦a (aはある正定数)において
p≧e^a/6を満たす任意の実数pに対して
1+x+x^2/2+px^3-e^x≧0
が成立する、と言えますね。

> 最終的にf(x)=e^x-x-1/x^2は(#)によって
> 　1/2≦f(x)≦1/2+e/6x
> となるので、p≧e/6をみたすpであれば例えばp=1でもx→0でxの項が消えるのでf(x)を不等式で評価できるんですね。

そうですね（上の記述におけるa=1の場合ですね）。
No.25748 - 2014/04/30(Wed) 23:48:31
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / ハレゾラ
> > すべてのxで(1+x+x^2/2+px^3)-e^x≧0が成り立つpのとりうる値がp≧e/6となりました！
>
> これは間違いですね。
> すべてのxで成り立つようにはできません。
> 私が書いた議論で言えることは、
> 0≦x≦a (aはある正定数)において
> 1+x+x^2/2+e^ax^3/6-e^x≧0
> が成立する、ということです。

すいません、書き間違えてました。
この場合は0≦x≦1のすべてのxで(1+x+x^2/2+px^3)-e^x≧0が成り立つpのとりうる値がp≧e/6となる
なら正しいですよね。

> 0≦x≦a (aはある正定数)において
> p≧e^a/6を満たす任意の実数pに対して
> 1+x+x^2/2+px^3-e^x≧0
> が成立する

最終的にx→0とするのでaは0近傍の定数を定めるようにして、区間0≦x≦aでg(x)=1+x+x^2/2+px^3-e^xの最小値が0以上になるpの条件を求める方針をとればいいんですね。

何度も訂正していただきありがとうございました。
No.25760 - 2014/05/02(Fri) 00:31:53
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / みずき
> すいません、書き間違えてました。
> この場合は0≦x≦1のすべてのxで(1+x+x^2/2+px^3)-e^x≧0が成り立つpのとりうる値がp≧e/6となる
> なら正しいですよね。

はい、そうですね。

> 最終的にx→0とするのでaは0近傍の定数を定めるようにして、区間0≦x≦aでg(x)=1+x+x^2/2+px^3-e^xの最小値が0以上になるpの条件を求める方針をとればいいんですね。

そうですね。正確にご理解されていると思います。
（分からないことを分かるまでちゃんと追求される
ご姿勢に好感が持てます。数学の実力を向上させる上で
特に大事な姿勢だと思います。）
No.25761 - 2014/05/02(Fri) 01:00:33
☆ Re: 数?V　微分　定数分離 / ハレゾラ
ありがとうございます。

数学が最も苦手で勉強にも自信がなかったのですが、納得できるよう追求することは大切なことだと信じてきたので、自分の姿勢に理解していただきとても光栄です。

これからも続けていきたいと思います。

また、よろしくお願いします。
No.25765 - 2014/05/02(Fri) 23:59:38
★ 対数log / ふぇるまー
昨日は水木先生に教えて戴き大変スッキリ致しました。
本日は貼付写真問題番号503の(1)と(2)を教えていただきたいです。
(1)は次に貼付する写真のところまでできました。しかし、イマイチ理解していないところがあるので、間違っていたら御指導願います。
No.25695 - 2014/04/27(Sun) 11:50:42
☆ Re: 対数log / ヨッシー
一連の記事は「返信」を押してから、入力してください。

上にあった写真を貼っておきます。
No.25697 - 2014/04/27(Sun) 12:20:21
☆ Re: 対数log / ヨッシー
(1)
log[9]25 の底の９が急に３になったり
log[5]８ の底の５が急に25になったりしているのは
どうしたことでしょう。
こういう問題の場合、３とか５とかある特定の数を底にするより
無関係な数(多くの場合10やｅ)を底に統一した方がかえって
簡単な場合が多いです。
以下、底が省略してあるのは10であるものとします。
log[4]３＝log３/log４＝log３/log2^2＝log３/2log２
log[9]25＝log25/log９＝log5^2/log3^2＝2log５/2log３＝log５/log３
log[5]８＝log８/log５＝log2^3/log５＝3log２/log５
これらを、元の式に代入すると、log２、log３、log５ は
全部消えてしまいます。

(2)
√(9＋4√2)＝√(9＋2√8)＝√8＋√1＝2√2＋1
√(9−4√2)＝・・・(同様)・・・
を使って(√(9＋4√2)＋√(9−4√2)) を簡単にします。
あとは、√2＝2^(1/2) であることに注意して、(1) と同様の
変形をします。
No.25698 - 2014/04/27(Sun) 12:35:08
☆ Re: 対数log / ふぇるまー
なるほど！すいません。お手間をお掛けいたしました。
No.25699 - 2014/04/27(Sun) 12:35:09
★ 数列の一般項:ﾉｰﾄ貼付写真 / ふぇるまー
ﾉｰﾄの写真です。よろしくお願い致します。
No.25692 - 2014/04/26(Sat) 17:37:53
☆ Re: 数列の一般項:ﾉｰﾄ貼付写真 / みずき
dは「公比」ではなく公差ですね。
また、答案にするなら、
『rを{b[n]}の公比とする』と書いた方がいいでしょう。

写真のところまでは間違っていません。
あとは、
10=c[2]=1+2d-d+2r　・・・(?@)
25=c[3]=1+3d-d+2r^2　・・・（?A）
64=c[4]=1+4d-d+2r^3　・・・（?B）
をd,rの連立方程式とみて解きましょう。

具体的には、（?@）から、
d=9-2r
なので、これを(?A)(?B)に代入して、
(?A)(?B)の両方を満たすrが存在すれば、それがrです。
No.25693 - 2014/04/26(Sat) 17:45:12
☆ Re: 数列の一般項:ﾉｰﾄ貼付写真 / ふぇるまー
すいません。公差ですね。3つの連立方程式を解けばよいのですね。みずき先生、ありがとうございました。
No.25694 - 2014/04/26(Sat) 18:08:48
★ 数列の一般項 / ふぇるまー
問題番号267
数列の一般項を求める問題です次に貼付する写真のところまでできました。そこからどうすれば答に辿り着けるのか分からないので先生方解説していただけないでしょうか？
また、ﾉｰﾄで間違ってる部分があったら御指摘ねがいます。
No.25691 - 2014/04/26(Sat) 17:36:33
★ (No Subject) / ｐｐｑ
ネスビットの不等式の証明の途中過程で斉次式なので規格化してa+b+c=1の場合のみを考えばよい

という文があったのですが、斉次式だと登場するそれぞれの文字を足して１にしてよい、という裏技がある、ということなのでしょうか？
No.25685 - 2014/04/25(Fri) 22:36:41
☆ Re: / IT
n次の斉次式の一例 (a^i)(b^j)(c^k)+(a^s)(b^t)(c^u)　（ただしi+j+k=s+t+u=n）について考えると

a+b+c=1をみたす任意の正の数a,b,cについて
(a^i)(b^j)(c^k)+(a^s)(b^t)(c^u)≧0　…(1)　が示せたとすると

任意の正の数a',b',c'について
a'+b'+c'=dとおくと (a'/d)+(b'/d)+(c'/d)=1
よって(1)より
　((a'/d)^i)((b'/d)^j)((c'/d)^k)+((a'/d)^s)((b'/d)^t) ((c'/d)^u)≧0
　(a'^i)(b'^j)(c'^k)/(d^n)+(a'^s)(b'^t)(c'^u)/(d^n)≧0
　d^n＞0なので　　(a'^i)(b'^j)(c'^k)+(a'^s)(b'^t)(c'^u)≧0

ということを一般化するか、その問題に即して考えれば良いと思います。
No.25689 - 2014/04/25(Fri) 23:51:53
☆ Re: / ｐｐｑ
ありがとうございます。
理解しました

一般に斉次式の証明なら
文字を足して１の関係の下で示してよいのですよね？
No.25700 - 2014/04/27(Sun) 13:47:55
★ 大学の問題 / X
問題4の問題が分かりません。どうか教えてください
No.25684 - 2014/04/25(Fri) 22:31:15
☆ Re: 大学の問題 / X
> 問題4の問題が分かりません。どうか教えてください
No.25686 - 2014/04/25(Fri) 22:48:36
☆ Re: 大学の問題 / angel
ベクトルの内積・外積の微分は、高校でやった積の微分に似ています。
すなわち、
　(ｕ・ｖ)'=ｕ・ｖ' + ｕ'・ｖ
　(ｕ×ｖ)'=ｕ×ｖ' + ｕ'×ｖ
これで(3)は解けますね。
(2)もほぼこれで終わりですが、ｕ×ｕ=ｏであることを意識しましょう。

ちなみに、ベクトルのスカラ倍の微分も、やっぱり積の微分と同じ。
　(aｖ)'=a'ｖ+aｖ'
後は、r=√(ｒ・ｒ)であると考えれば、(1)も計算できるはず…
No.25687 - 2014/04/25(Fri) 22:59:22
☆ Re: 大学の問題 / X
> ベクトルの内積・外積の微分は、高校でやった積の微分に似ています。
> すなわち、
> 　(ｕ・ｖ)'=ｕ・ｖ' + ｕ'・ｖ
> 　(ｕ×ｖ)'=ｕ×ｖ' + ｕ'×ｖ
> これで(3)は解けますね。
> (2)もほぼこれで終わりですが、ｕ×ｕ=ｏであることを意識しましょう。
>
> ちなみに、ベクトルのスカラ倍の微分も、やっぱり積の微分と同じ。
> 　(aｖ)'=a'ｖ+aｖ'
> 後は、r=√(ｒ・ｒ)であると考えれば、(1)も計算できるはず…
(1)をもう少し詳しく教えてください
No.25688 - 2014/04/25(Fri) 23:06:13
☆ Re: 大学の問題 / angel
> (1)をもう少し詳しく教えてください
記号が紛らわしいので、ベクトルｒは全てrで、その大きさは|r|で書きますが、

　|r|=√(r・r)

ですので、1/|r|=(r・r)^(-1/2) ということですね。
なので、スカラーの微分 (y^n)'=ny'y^(n-1) から、

　(1/|r|)'
　= (-1/2)(r・r)'(r・r)^(-3/2)
　= (-1/2)(r・r)'/|r|^3

ということになります。…(r・r)'は(3)で出てきていますね。

この結果を元に、ベクトルのスカラー倍である
　r/|r|=(1/|r|)r
を微分する、すなわち
　( (1/|r|)r )' = (1/|r|)'r + (1/|r|)r'
を計算すれば答えとなります。

ちなみに答えは ( (r・r)r'-(r・r')r )/|r|^3 となるはずですが、これは r×(r'×r)/|r|^3 という三重積でも書けるはずです。
No.25690 - 2014/04/26(Sat) 04:18:38
★ 式変形 / まさ
円で囲った部分がなぜ、線で引いたようなtを使った式になるんですか？よろしくお願いします。
No.25680 - 2014/04/25(Fri) 14:42:00
☆ Re: 式変形 / みずき
一般に、3文字に対して、関係式が3個あれば、組(x,y,z)が出ますよね。
ところが、今の場合、関係式は2個しかないので、それは不可能です。
3文字に対して、関係式が2個の場合、
各文字は、同じパラメータで表せることがあります。

パラメータのおきかたは、以下のように考えられます。
まず、x,yは次のようにzで表せますね。
x=-(3z+1)/2,y=2z+1
ここで、zが「奇数型の表示」であれば、xが分数でなく表せるので、
z=2t-1とおけば、x=-3t+1,y=4t-1と「きれいに」表せます。
これで、x,y,zをパラメータtで表せました。

こうしてtで表しておいて、最後に
(x-1)/(-3)=(y+1)/4=(z+1)/2 (=t)
と変形して、tを用いないで表現しています。
結局、これが最終目的だったわけです。
No.25681 - 2014/04/25(Fri) 15:43:07
☆ Re: 式変形 / まさ
なるほど
つまり、zが奇数でいいならば2t+1ともあらわせるわけですね
ありがとうございます
No.25682 - 2014/04/25(Fri) 19:19:54
☆ Re: 式変形 / みずき
> つまり、zが奇数でいいならば2t+1ともあらわせるわけですね

もちろんz=2t+1としてもよいですが、
決して「zは奇数」ではありません。tが任意の実数だから、です。
（zが奇数であると言えるためには、tが整数でなくては
いけませんね）
そういう意味を込めて「奇数型の表示」と書いたわけです。
（これは一般的な言い方ではないことに注意してください。）
No.25683 - 2014/04/25(Fri) 19:29:23
★ (No Subject) / ヨウ
第二問題は本当にできませんでした。どうか教えてください。
No.25672 - 2014/04/24(Thu) 16:19:31
☆ Re: / ヨウ
私の解き方です。
No.25673 - 2014/04/24(Thu) 16:23:22
☆ Re: / みずき
> 私の解き方です。

絶対値を外す際に、絶対値の中身の正負による
場合分けをする、ということは理解されているようですが、
今回の場合、
|f(x)|＜M⇔-M＜f(x)＜M(ただし、M＞0)
が成り立つことを利用しましょう。

|x+2a|＜a+1
を満たすxが存在するためには、
a+1＞0⇔a＞-1
が必要です。（このことはよろしいですか？）

a＞-1の条件下で、
-(a+1)＜x+2a＜a+1
⇔-3a-1＜x＜-a+1

α=-4a+7なので、
-3a-1＜-4a+7＜-a+1
を解いて、a＜8かつa＞2

よって、aが満たすべき範囲は
a＞-1かつa＜8かつa＞2
すなわち、2＜a＜8となります。
No.25675 - 2014/04/24(Thu) 16:36:23
☆ Re: / ヨウ
ありがとうございます。この方法は思いつかなかったのです。
No.25676 - 2014/04/24(Thu) 17:45:07
★ (No Subject) / ヨウ
第3問題を教えてください。お願いします。
No.25670 - 2014/04/24(Thu) 16:12:25
☆ Re: / ヨウ
第一問題、第二問題の解き方です。
No.25671 - 2014/04/24(Thu) 16:16:44
☆ Re: / みずき
> 第一問題、第二問題の解き方です。

Max=9a/2+7/2, Min=8+9a^2/8
と書かれているように見受けられますが、
Min=9a/2+7/2, Max=8+9a^2/8
ですよ。

(3)
○3の頂点は(3a/4,9a^2/8+8)
ここで、X=3a/4⇔a=4X/3を
Y=9a^2/8+8に代入して整理すると
Y=2X^2+8
No.25674 - 2014/04/24(Thu) 16:26:07
☆ Re: / ヨウ
はい。MAX、MINのことは間違いだった。
教えて下さり、ありがとうございました。
No.25678 - 2014/04/24(Thu) 19:48:57
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