Σ_[n=1,∞]a(n), Σ_[n=1,∞]b(n), がともに収束する
ならば
をみたす
これを証明するにはどうしたらよいですか？Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}=Σ_[n=1,∞]a(n)+Σ_[k=n,∞]b(n)
わたしは
Σ_[n=1,∞]a(n), Σ_[n=1,∞]b(n), がともに収束する
ならば
lim_[n→∞]a(n)=0かつlim_[n→∞]b(n)=0
ならば
lim_[n→∞]{a(n)+b(n)}=0
などと考えてみましたが証明できませんでした。
また
Σ_[n=1,∞]a(n), Σ_[n=1,∞]b(n)の少なくとも一方が発散する
ならばどうして
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}=Σ_[n=1,∞]a(n)+Σ_[k=n,∞]b(n)
が成立しないのですか？？
よろしくお願いします。
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No.25653 - 2014/04/23(Wed) 00:46:54
| ☆ Re: / らすかる | | | 前半は「ならばをみたす」とかよくわかりませんので後半だけですが
少なくとも一方が発散する場合、「値」ではありませんから
足すことすらできません。
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No.25656 - 2014/04/23(Wed) 01:14:10 |
| ☆ Re: / ハレゾラ | | | 申し訳ございません。
Σ_[n=1,∞]a(n), Σ_[n=1,∞]b(n), がともに収束する
ならば
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}=Σ_[n=1,∞]a(n)+Σ_[k=n,∞]b(n)
をみたす。
を証明したかったのです。
いろいろ調べてみると、部分和を用いて
Σ_[n=1,∞]a(n), Σ_[n=1,∞]b(n), がともに収束するとし、Σ_[n=1,∞]a(n)=α,Σ_[n=1,∞]b(n)=βとすると
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}
=lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{a(k)+b(k)}
=lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{a(k)}+lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{b(k)}
=α+β
で、できるようですね。
ここでまた、疑問が生じたのですが
Σ_[n=1,∞]a(n)=αに収束し,Σ_[n=1,∞]b(n)=∞のとき
同じようにして
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}
=lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{a(k)+b(k)}
=lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{a(k)}+lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{b(k)}
=α+∞
=∞
とできそうなのですが、どこがいけないのですか？？
また
Σ_[n=1,∞]a(n)=∞,Σ_[n=1,∞]b(n)=∞とすると
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}
=lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{a(k)+b(k)}
=lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{a(k)}+lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{b(k)}
=∞+∞
=∞
も間違っているのでしょうか？？
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No.25658 - 2014/04/23(Wed) 20:51:25 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 記号の使い方が正しくないようで、意味がよくわかりません。
> Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}=Σ_[n=1,∞]a(n)+Σ_[k=n,∞]b(n)
Σ_[k=n,∞]b(n) はb(n)にkが含まれていませんのでb(n)×∞となってしまいます。
> =lim_[n→∞]Σ_[n=k,n]{a(k)+b(k)}
Σ_[n=k,n]{a(k)+b(k)}の
n=k,nはどういう意味ですか？
nがkからnまで？？？
それと、これもnを動かすならば
a(k)+b(k)はnとは関係ありませんのでΣの外に出せます。
すると式にkが残りますから、一行前と一致しません。
意味がわかりませんので、書き直しをお願いします。
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No.25660 - 2014/04/23(Wed) 21:59:43 |
| ☆ Re: / ハレゾラ | | |
本当に何度も見ていただいたのに申し訳ございません。
無限級数については、すべて「n=1から∞」
部分和についてはすべて「k=1からn」
のつもりで書いてました。
Σ_[n=1,∞]a(n), Σ_[n=1,∞]b(n), がともに収束する
ならば
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}=Σ_[n=1,∞]a(n)+Σ_[n=1,∞]b(n)
をみたす。
の証明を探したところ、部分和を用いて
Σ_[n=1,∞]a(n), Σ_[n=1,∞]b(n), がともに収束するとし、Σ_[n=1,∞]a(n)=α,Σ_[n=1,∞]b(n)=βとすると
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}
=lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{a(k)+b(k)}
=lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{a(k)}+lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{b(k)}
=α+β
をみつけました。
また、一度質問したのですが
Σ_[n=1,∞]a(n)=αに収束し,Σ_[n=1,∞]b(n)=∞のとき
同じように部分和を用いて
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}
=lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{a(k)+b(k)}
=lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{a(k)}+lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{b(k)}
=α+∞
=∞
とできそうなのですが、どこがいけないのですか？？
また
Σ_[n=1,∞]a(n)=∞,Σ_[n=1,∞]b(n)=∞のとき
Σ_[n=1,∞]{a(n)+b(n)}
=lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{a(k)+b(k)}
=lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{a(k)}+lim_[n→∞]Σ_[k=1,n]{b(k)}
=∞+∞
=∞
も間違っているのでしょうか？？
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No.25663 - 2014/04/23(Wed) 23:07:11 |
| ☆ Re: / らすかる | | | ∞は数ではありませんので
「α+∞」や「∞+∞」
のような計算はできません。
（このように式の中に「∞」を書くこと自体が誤りです。）
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No.25666 - 2014/04/24(Thu) 01:36:31 |
| ☆ Re: / ハレゾラ | | | No.25679 - 2014/04/24(Thu) 22:47:35 |
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