確率の授業です(初学者です)。外人の先生なので英語が聞き取れずよくわかりませんでした。
σ^2が分散, w_1,w_2,…,w_{n-1}がN(0,σ^2)の確率変数の時,
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)=1
となるそうなのですが(cは定数)これは大数の法則と呼ばれるものなのでしょうか?
ここでw_1,w_2,…,w_{n-1}は
w_1=1/(σ√(2π))exp(-x_1^2/(2σ^2)),
w_2=1/(σ√(2π))exp(-x_2^2/(2σ^2)),
:
w_{n-1}=1/(σ√(2π))exp(-x_{n-1}^2/(2σ^2)),
というx_1,x_2,…,x_{n-1}を独立変数とする関数という解釈で大丈夫でしょうか?
この時,w_1,w_2,…,w_{n-1}は正値ですよね?
そして, x=0の時が最大値(最頻値)を取るので
0<w_1≦1/(σ√(2π))
0<w_2≦1/(σ√(2π))
:
0<w_{n-1}≦1/(σ√(2π))
となり,
0<Σ_[k=1..n-1]w_k≦(n-1)/(σ√(2π))
よって
max|Σ_[k=1..n-1]w_k|=(n-1)/(σ√(2π)),
従って,
P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)は確率密度関数(釣鐘型曲線)の-∞からcσ√nまでの積分だから
n→∞の時,上端cσ√n→+∞なので
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)=1
と解釈しました。
それでもって
[問] P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で表せ。
という問題なのですが,どのように解けばいいのでしょうか?
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No.25621 - 2014/04/22(Tue) 09:18:24
| ☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / ペンギン | | | 誤解されているようです。
w_1=1/(σ√(2π))exp(-x_1^2/(2σ^2))
ではなく、
値w_1のときの確率密度p(w_1)が
p(w_1)=1/(σ√(2π))exp(-w_1^2/(2σ^2))
となります。
w_1は-∞から∞まで任意の値をとることができます。
問題文に関しては、"max"がどこにかかっているのかが分からなかったので、お答えできませんが・・・。
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No.25629 - 2014/04/22(Tue) 18:52:28 |
| ☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori | | | 有難うございます。とても参考になります。
> 問題文に関しては、"max"がどこにかかっているのか
> が分からなかったので、お答えできませんが・・・。
失礼いたしました。
max|Σ_[k=1..n-1]w_k|
は
max{|w_1|,|w_1+w_2|,…,|w_1+w_2+…+w_{n-1}|
の意味でした。
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No.25652 - 2014/04/23(Wed) 00:45:31 |
| ☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori | | | > ではなく、
> 値w_1のときの確率密度p(w_1)が
> p(w_1)=1/(σ√(2π))exp(-w_1^2/(2σ^2))
えっ!?
p(w_1)は累積分布関数(つまり,積分式)ではないのでしょうか?
http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/term/cdfpdf/node1.html
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No.25665 - 2014/04/24(Thu) 00:39:02 |
| ☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori | | | 失礼致しました。
k=1,2,…,n-1に関して
f(w_k)=1/(σ√(2π))exp(-w_k^2/(2σ^2))
で
P(f(w_k))=∫[-∞..+∞]f(w_k)dw_k
でした (^_^;)
そして,新たな情報です。
w_k∈[-3σ,3σ]でP(w_k<3σ)≒0.997だそうです。
また,
w_k〜N(0,σ^2)の時,
w_1+…+w_{n-1}〜N(0,(n-1)σ^2)
です(これは中心極限定理ですね)。
さらに
lim_{n→∞}(1/√n)Σ[k=1..n]w_k
からBrownian motion, Weiner mortionを使って証明.
これは
Donskier's Invariance Principleと言って中心極限定理を一般化した定理だそうです。
部分部分の情報で誠に申し訳ありません。
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No.25667 - 2014/04/24(Thu) 01:37:17 |
| ☆ Re: P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で / Kaori | | | Weiner mortion
↓
Weiner distribution
でした。
追加情報です。
N(0,σ^2)〜x_1,x_2,…がi.i.d(独立同時分布)の時,
lim_{n→∞}P(max{|x_i|}≦σ√(2nlog(n)))=1
は既知だそうです。
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No.25668 - 2014/04/24(Thu) 05:48:50 |
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