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★ parcent / トンデモ
下記の問題なのですが

E=kQ/D^2と式が立てれるから,
距離とchargeの変化後のelectric field E'は
E'=1.35kQ/(1.2D)^2=0.94Eなので
"electric fieldは6%減少した"
という解答で大丈夫でしょうか?
No.24843 - 2014/03/13(Thu) 08:49:44
☆ Re: parcent / ヨッシー
理屈はそれでいいと思います。
No.24848 - 2014/03/13(Thu) 15:50:34
☆ Re: parcent / トンデモ
どうも有難うございます。
No.24852 - 2014/03/14(Fri) 04:04:37
★ 数学?T(正弦定理？) / (｡-_-｡)
△ABCにおいて、a=2、b=√39、c=5、B=120°である
外接円の半径Rを求めなさい

答えは√39なのですが、どうしても√13になってしまいます
どなたかどう式を立て、どう計算すれば√39になるのか教えてください。
No.24838 - 2014/03/12(Wed) 15:25:14
☆ Re: 数学?T(正弦定理？) / ヨッシー
正弦定理より
　２Ｒ＝b/sinB＝√39/(√3/2)＝2√13
よって、Ｒ＝√13

(｡-_-｡) さんが正しいです。
No.24839 - 2014/03/12(Wed) 16:13:43
☆ Re: 数学?T(正弦定理？) / (｡-_-｡)
ありがとうございます!!
やっぱり√13ですよね…

明日先生に言ってきます。

本当にありがとうございました!!
No.24840 - 2014/03/12(Wed) 16:21:25
★ 数Aの問題です / COKE
nCr＝n!/r!(n−r)を用いて、
n-1Cr-1＋n-1Cr＝nCr
を証明せよ。
No.24834 - 2014/03/11(Tue) 22:43:22
☆ Re: 数Aの問題です / ヨッシー
n-1Cr-1＝(n-1)!/(r-1)!(n-r)!＝r(n-1)!/r!(n-r)!
n-1Cr＝(n-1)!/r!(n-r-1)!＝(n-r)(n-1)!/r!(n-r)!
よって、
n-1Ｃr-1＋n-1Ｃr＝(n-r+r)(n-1)!/r!(n-r)!
　　＝n!/r!(n-r)!
　　＝nＣr
No.24836 - 2014/03/12(Wed) 00:24:58
★ 数列 / たっち
数列{a_n}の初項が2,第n項までの和s_nがs_n=n^2a_nのときこの数列の第n項a_nの求め方を教えてください。

n≧2のとき
a_n=s_n-s_(n-1)
にあてはめて計算したら
a_n={(n-1)/(n+1)}a_(n-1)と計算できました
ここからどのようにもっていけばよいのかわかりません
No.24829 - 2014/03/11(Tue) 15:38:56
☆ Re: 数列 / ヨッシー
n≧2 のとき
　a_n={(n-1)/(n+1)}a_(n-1)
より、
　a_n={(n-1)/(n+1)}a_(n-1)
　a_(n-1)={(n-2)/n}a_(n-2)
　a_(n-2)={(n-3)/(n-1)}a_(n-3)
　a_(n-3)={(n-4)/(n-2)}a_(n-4)
　　・・・
　a_4=(3/5)a_3
　a_3=(2/4)a_2
　a_2=(1/3)a_1
より、a_2＝2/3, n≧3 のとき
　a_n=1・2/n(n+1)a_1=4/n(n+1)
これは、n=1, n=2 の場合も成り立ちます。
よって、　a_n＝4/n(n+1)
No.24830 - 2014/03/11(Tue) 16:53:13
★ 余剰定理 / さかなくん
３次式f（x）をx^2+x+1で割った時のあまりがx+1,
x^2+1で割ると余りx-1の時、f（x）を求めよ。

答え　f（x）＝２x^3+2x^2+3x+1

x^2+x+1やx^2+1を因数分解すると、iや複素数になってしまい
今までのようにうまくいきません。

よろしく、ご指導お願いします。
No.24822 - 2014/03/11(Tue) 01:16:38
☆ Re: 余剰定理 / らすかる
条件から
f(x)=(ax+b)(x^2+x+1)+(x+1)
f(x)=(ax+c)(x^2+1)+(x-1)
とおけます。
2式を展開すると
f(x)=ax^3+(a+b)x^2+(a+b+1)x+(b+1)
f(x)=ax^3+cx^2+(a+1)x+(c-1)
1次の項の係数比較から b=0
すると第1式から定数項は1なので、第2式からc=2
すると第2式から2次の項の係数は2なので、第1式からa=2
∴f(x)=2x^3+2x^2+3x+1
No.24823 - 2014/03/11(Tue) 05:18:23
☆ Re: 余剰定理 / さかなくん
第１次と第２式とも割る数がそれぞれ違うのに
商が両方共(ax+b)という事ですが、両方とも３次式を２次式で割っているため、両方とも商を(ax+b)と置いてしまって良いという発想が思いつかず、割る式を因数分解する事しか
考えていませんでした。あまりの部分をax+bとか定数で置く
問題しか解いたことがなく、商も定数を使って置いて考えたりする場合もあるんですね、勉強になりました。

それから恒等式として比べればよいのですね。

解決しました、いつもご指導ありがとうございました。
No.24826 - 2014/03/11(Tue) 13:52:42
☆ Re: 余剰定理 / さかなくん

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★ (No Subject) NEW / さかなくん 引用

度々すいません。
勘違いしておりました。両方共(ax+b)と置いていたとおもいました。

また、厳密に言うとなぜ
第１式(ax+b)
第２式(ax+c)をこのようにおいて良いのかがわかりません。
両方の割る数がx＾２を含んでいるため、axとおいている
という理解でいいんですか？
また、割る数がx＾２以下がそれぞれ若干異なっているため
+bと+cになっているということなんでしょうが、そこの部分がわかりません。
ご解説よろしくお願いします。

No.24828 - 2014/03/11(Tue) 14:44:10
☆ Re: 余剰定理 / ヨッシー
３次式f(x) が、
　f(x)＝3x^3＋・・・
という式だったら、x^2+x+1 で割っても、x^2+1 で割っても、
商は、　3x＋□　という形になりますね？
これを一般化すると、3次式f(x) が
　f(x)＝ax^3＋・・・　(a≠0)
という式だったら、x^2+x+1 で割っても、x^2+1 で割っても、
商は、　ax＋□　という形になります。
□の部分は、同じとは限りませんので、b と c という
違う文字を使っています。
No.24831 - 2014/03/11(Tue) 17:01:10
☆ Re: 余剰定理 / らすかる
もし (ax+b)、(ax+c) と置いて良いかどうか不安があれば、
(ax+b)、(cx+d) と置いても大丈夫です。
このように置いて展開すると、すぐにa=cとわかります。
No.24832 - 2014/03/11(Tue) 17:16:40
☆ Re: 余剰定理 / さかなくん
おふたかたの解説に感謝します。
両方共やってみて、でき完全に理解できましたm(__)m
No.24837 - 2014/03/12(Wed) 02:36:41
★ 効率的な求め方お願いいします。 / ふぇるまー
?@50!の末尾に続く0の個数をもとめよ。
※頑張って50×49×48...とやるしかないのでしょうか。だいぶ計算が大変で何か良い求め方があったら教えてください。
Anawer:12個です。

?A三角関数 次の式の値を求めよ。
(1) 　cos70°cos40°-sin20°sin50°

(2)　　(sin20°+cos20°)^2+(sin160°+cos160°)＾2

?B2次不等式
a=実数のとき。　x^2-ax+(a-1)≦0・・・?@
(1) 不等式?@を満たす整数xの個数がちょうど3個であるような実数aの値の範囲を求めよ。

(2) 不等式?@を満たす整数xの個数をN(a)で表すとすると、
aが整数のとき、N(a)をaを用いて表せ。

どれでもいいので解説お願いします、先生方(T_T)
No.24813 - 2014/03/10(Mon) 18:33:02
☆ Re: 効率的な求め方お願いいします。 / らすかる
?@だけ
50×49×48×・・・×1
=(5^2×2)×49×48×47×46×(5×9)×44×43×42×41×(5×8)
　×39×38×37×36×(5×7)×34×33×32×31×(5×6)
　×29×28×27×26×(5^2)×24×23×22×21×(5×4)
　×19×18×17×16×(5×3)×14×13×12×11×(5×2)
　×9×8×7×6×(5)×4×3×2×1
=(2)×49×48×47×46×(9)×44×43×42×41×(8)
　×39×38×37×36×(7)×34×33×32×31×(6)
　×29×28×27×26×(1)×24×23×22×21×(4)
　×19×18×17×16×(3)×14×13×12×11×(2)
　×9×8×7×6×(1)×4×3×2×1
　×5^12
「×5^12」より前は5で割り切れませんので、50!は5^12で割り切れ、
5^13で割り切れません。
50〜1に偶数は25個含まれており、50!が2^12で割り切れるのは
明らかですから、50!は10^12で割り切れ、10^13で割り切れません。
従って末尾の0の個数は12個です。
No.24815 - 2014/03/10(Mon) 18:39:55
☆ Re: 効率的な求め方お願いいします。 / ヨッシー
?Aは
sin(180°−θ)＝sinθ　とか　cos(90°−θ)＝sinθ
などを駆使します。
No.24819 - 2014/03/10(Mon) 23:54:46
☆ Re: 効率的な求め方お願いいします。 / ヨッシー
?Bは、まず
　x^2-ax+(a-1)≦0
を解きましょう。そのためにまず、
　x^2-ax+(a-1)
を因数分解しましょう。
No.24820 - 2014/03/11(Tue) 00:07:29
☆ Re: 効率的な求め方お願いいします。 / ふぇるまー
御丁寧な解説していただき有難うございます！50！の問題特にスッキリしました。
No.24824 - 2014/03/11(Tue) 07:38:49
★ (No Subject) / よう
因数分解できないので、教えて下さい。
No.24808 - 2014/03/10(Mon) 11:45:57
☆ Re: / ヨッシー
因数分解は必要なく、解の公式で解きます。
　x^2＋2(2b-2a)x＋a^2＋b^2−14ab＝０
より
　x＝(2a−2b)±√{(2b-2a)^2−a^2−b^2＋14ab}
　＝(2a−2b)±√(3a^2＋3b^2＋6ab)
　＝(2a−2b)±√{3(a＋b)^2}
　＝(2a−2b)±(a+b)√3
問題文にあるのは、±が＋の方で、
　ｘ＝(2＋√3)a−(2−√3)b

　ｘ＝(2a-2b)＋(a+b)√3＝2＋7√3
において、a,b は有理数なので、
　2a-2b=2, a+b=7
これを解いて、a=4, b=3
No.24817 - 2014/03/10(Mon) 20:34:07
★ (No Subject) / よう
（2）のけいさんはできないです。教えていただけませんか
No.24807 - 2014/03/10(Mon) 11:34:35
☆ Re: / ヨッシー
(a+b)(a-b)＝a^2−b^2 の公式を使って、
xy＝(√2＋√3)^2−√5^2
　＝２＋2√6＋３ー５＝2√6

x/y＝(√2＋√3＋√5)/(√2＋√3−√5)
　＝(√2＋√3＋√5)^2/(√2＋√3−√5)(√2＋√3＋√5)
　＝(10＋2√6＋2√10＋2√15)/2√6
　＝(5＋√6＋√10＋√15)/√6
　＝(5＋√6＋√10＋√15)√6/6
　＝(5√6＋6＋2√15＋3√10)/6
　＝(略)
No.24816 - 2014/03/10(Mon) 20:23:59
★ ベクトル / さかなくん
引き算変形というベクトルの４変形があるのですが
→AB＝■→Bー■→Aで■に同じ文字ならば何を入れても
よいと本に記載してあるんですが。

図に書いて実際書いてみると、→ABも■倍したベクトルが
正しい図が書けてしまうのですが、私の考えが間違って
いるのでしょうか？

よろしくお願いします(^^;;
No.24801 - 2014/03/10(Mon) 02:39:10
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
→AB＝→Bー→A なので、右辺が
　■→Bー■→A
なら、左辺も
　■→AB
となります。

よって、考えは間違っていません。
No.24803 - 2014/03/10(Mon) 07:17:05
☆ Re: ベクトル / さかなくん
そしたら、書籍の記載ミスか何かなんですね？
安心しました。

確固たる自信がなく(;_;)
ありがとうございました。
No.24809 - 2014/03/10(Mon) 11:56:45
★ 余剰定理 / さかなくん
正式P（x）をx−１で割ると余りー２、x−９で割ると余り２
であるとき、P(x)をx＾２−１０x+９で割った余りを求めよ。

以前こちらで教えられたとおり

p（x）＝Q(x)(x-1)-2・・?@
Q(x)＝A(x)(x-9)＋２・・?Aと書いて
?Aを?@に代入し
p（x）＝A(x)(x-9))(x-1)+２x−４となったので
余りである答えを２xー４と考えたら間違ってました。


なぜでしょう？？


答えは(1/2)x-5/2との事です。
No.24800 - 2014/03/10(Mon) 02:16:04
☆ Re: 余剰定理 / らすかる
Q(x)を(x-9)で割った余りはわかりませんので
Q(x)＝A(x)(x-9)＋２・・?A とはおけません。
No.24802 - 2014/03/10(Mon) 06:59:17
☆ Re: 余剰定理 / さかなくん
x−１で割ると余りー２、x−９で割ると余り２☚☚

余りはに２です。

よろしくお願いします。
No.24810 - 2014/03/10(Mon) 11:58:35
☆ Re: 余剰定理 / らすかる
「P（x）をx−１で割ると余りー２、x−９で割ると余り２」
というのは
「P(x)をx-1で割ると余り-2、P(x)をx-9で割ると余り2」
という意味であって、決して
「P(x)をx-1で割ると余り-2、P(x)をx-1で割った商をx-9で割ると余り2」
という意味ではありません。

従って、条件から
「P(x)をx-9で割った余りは2」ということはわかりますが、
Q(x)をx-9で割った余りはわかりませんので、
P(x)=A(x)(x-9)+2
とおくことはできますが、
Q(x)=A(x)(x-9)+2
とおくことはできません。
No.24812 - 2014/03/10(Mon) 17:38:10
☆ Re: 余剰定理 / さかなくん
らすかる様、ありがとうござました。


Q(x)=A(x)(x-9)+aと置き代入し
p（x）＝A(x)(x-9))(x-1)+（x−１）a-2
ができ、P(x)＝（x−９）Z(x)+2からP（9）＝２
を使って　aが出せましてなんとか解くことができました。

アドバイスは頂きましたが、自力でできたので
身についたと思います。


こちらの解答を見ると

p（x）＝Q１(x)(x-1)-2・・?@
p（x）＝Q2(x)(x-9)＋２・・?A
p（x）＝Q3(x)（x−１）（x−９）+ax+b・・?B
とおいて、?@と?Aにxにそれぞれ１と９を入れ
p（１）＝-2
p（９）＝２を使って連立方程式でといていました。

この解き方はわかるのですが、前回こちらで教わった
解き方が
Q(x)=A(x)(x-9)+aと置き代入し
p（x）＝A(x)(x-9))(x-1)+（x−１）a-2
ができ、P(x)＝（x−９）Z(x)+2からP（9）＝２
だったため、こちらを使用する解き方で覚えて
活用していこうと思います。

後者の解き方も一応覚えて、使えるようにしておいたほうが
よいのですかね？

できれば、アドバイスしてください。
No.24818 - 2014/03/10(Mon) 23:47:52
☆ Re: 余剰定理 / らすかる
解き方はいろいろ覚えた方がいいです。
問題によっては「こちらの解き方は使えるが、
こちらの解き方は使えない（もしくは使いにくい）」
ということもあり得ます。
No.24821 - 2014/03/11(Tue) 00:56:18
★ 逆三角関数 / トンデモ
いつも大変お世話になっております。

下記の問題です。
(a)はTrue,
(b)はπがcos^-1の定義域[-1,1]外なのでcos^-1(π)は定義されなくて,False,
(c)はtan^-1tan(a)=aならTrueですが-aとなってるのでFalse,
(d)は-π<b<-π/2でsin^-1の定義域[-1,1]外なので定義されずFalse.

となったのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.24799 - 2014/03/10(Mon) 01:35:12
☆ Re: 逆三角関数 / ヨッシー
ねらいからすると、そういうことなんでしょう。
No.24804 - 2014/03/10(Mon) 07:21:14
☆ Re: 逆三角関数 / トンデモ
そうですか。どうも有難うございます。
No.24806 - 2014/03/10(Mon) 09:57:39
★ (No Subject) / ヒキニート
xy平面上において、曲線Hに上方から接しながら滑ることなく転がる1辺の長さが2aの正方形ABCDの中点Qの描く軌跡をFとする。ただし、正方形上の接点Pは辺AB上(両方端点を除く)にあるものとする。
(1)曲線Hが、方程式y=-a/2(e^(x/a)+e^(-x/a)) (|x|＜alog(1+√2))で与えられるとき、Fを求めよ。
(2)曲線Hが上に凸で、Fがx軸上の線分になるとき、↑PQはy軸に平行であることを示せ。
(3) (2)において、曲線Hを求めよ。

という問題で(1)は以下のように解きました。

f(x)=-(a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))としてf'(x)=-1/2(e^(x/a)-e^(-x/a))
よって、Hの長さは対称性から、
2?甜0→alog(1+√2]√(1+f'(x)^2)dx=2?甜0→alog(1+√2)] 1/2(e^(x/a)+e^(-x/a))dx=2［e^(x/a)-e^(-x/a)］ =2a
曲線Hの長さABよりPとABの中点Mが一致するときPはP(0,-a)である。
Fはy軸に関して対称なので、x≧0の部分を考える。
MP＝tとして、P(s,-aA/2)(A=e^(x/a)+e^(-x/a),B=e^(x/a)-e^(-x/a))とすると、
↑PM=t/√(1+f'(x)^2)・(-1,f'(s))=(-2t/A,tB/A)
↑MQ=a/√(1+f'(x)^2)・(-f'(s),1)=aB/A,2a/A)であり、また、
?甜0→t] √(1+f'(x))dt=t、t=aB/2なので計算すると、
↑OQ=↑OP+↑PM+↑MQ=(s,0)となる。
よって、曲線Hの方程式はy=0 (|x|＜alog(1+√2)) である。

(2),(3)は、(1)の答えから(1)の曲線H(とそれをx方向に平行移動したすべての関数,x→x-c(cは任意定数)と置き換えればよい)であろうと推測できます(少なくとも(1)のHは条件を満たします)。

(2),(3)では,(1)でf(x)に関数を代入したところを代入せずに、未知の関数としてそのまま計算していき、x軸上に軌跡があることからベクトルOQのy座標が常に0となるとすると、微分方程式が出てきて、それを解けばよいですが、ただ、その微分方程式は任意定数を含んだ関数の解がただ一つ求まるということは周知の事実のようなので、その事実と(1)の関数がその微分方程式を満たすことから、微分方程式を解かなくても(1)の関数が(3)の答えであるということは言えます。それを踏まえると、(2)は(1)のベクトルの足し算のところを見ればすぐにいえるらしいです。

どなたか(2)と(3)の解答を簡単にでもいいので書いてくれませんか？お願いします。
No.24793 - 2014/03/09(Sun) 20:14:28
☆ Re: / ヒキニート
(2)はできましたが、(3)で微分方程式がたてれません。
No.24798 - 2014/03/10(Mon) 01:15:34
☆ 方針 / angel
多分ですが、f のまま式を組み立てるよりも、媒介変数(パラメタ)を使った表現にした方が(2),(3)とも楽にかけると思います。
…それでもしっかり書ききるのはなかなか大変でしょうが。

先にどのように媒介変数を使うかですが、ずばり、基準点から曲線を長さ t ( 符号あり ) 進んだ所の点を (x,y) ( tの関数 ) としてしまうという、ちょうど数直線を曲げて考えるような使い方が良いです。

媒介変数を使った場合の曲線の長さは
　∫ √( (dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )dt
で表されますが、これが t に等しいということは ∫ の中身が定数 1、これにより dx/dt=cosθ, dy/dt=sinθ ( θはtの関数 ) と表現できるので都合が良いのです。
何が都合が良いかというと、曲線とx軸のなす角がθ ( 傾き tanθ ) という所です。

後は点Qのy座標が0 …というよりも定数 ( つまり dq/dt=0 ) であることを利用して整理していきます。
No.24841 - 2014/03/13(Thu) 00:14:59
☆ 解答例（概要） / angel
曲線Hをy=g(x)とし、t = ∫[0,x] √( 1+g'(z)^2 )dz と置く時、
x=0 において t=0、dx/dt＞0
また、y=g(x)に対し dt/dt = √( (dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )
であるため、(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=1
これにより、あるtの関数θにより、dx/dt=cosθ, dy/dt=sinθ ( dx/dt＞0 より -π/2＜θ＜π/2 ) とおける。
同時に、dy/dx=(dy/dt)/(dx/dy)=tanθである。
これは、曲線Hの接線がx軸となす角が、時計周り方向の角を正としてθとなることを表す。

さて、正方形を転がした時、ABの中点MとPとの距離は、ある定数 c を用いて、符号付き ( Mの方がPよりもx軸正方向にある時に正 ) で t-c となる。
これにより、点Qのy座標qは、接点Pに対応した t,y,θを用いて
　q = y - (t-c)sinθ + acosθ
となる。
今、q=0 で一定であることから dq/dt=0 よって
　dy/dt - ( sinθ+(t-c)dθ/dt・cosθ ) - adθ/dt・sinθ = 0
dy/dt=sinθを考慮してまとめると
　dθ/dt・( (t-c)cosθ+asinθ ) = 0
よって、tanθ=-(t-c)/a

(2)
　直角をはさむ2辺が |t-c|,a となる直角三角形の角が|θ|となることから、θ,t-cの正負に注意して図を描くと、QがPの真上に来ることが分かります。
　※図を描くのが面倒なのでちょっと手抜き
(3)
　tanθ=-(t-c)/a, cosθ＞0 より、
　cosθ=a/√(a^2+(t-c)^2), sinθ=-(t-c)/√(a^2+(t-c)^2)
　よって x=∫[0,t]a/√(a^2+(z-c)^2)・dz, y=∫[0,t] (z-c)/√(a^2+(z-c)^2)・dz + C ( Cは定数 )

　ゆえに、c,C に応じて曲線Hは一意に定まる。
　ところで、(1)のy=f(x)については、x=0 におけるPはABの中点Mに一致する。
　これは 上記のケースで c=0, C=f(0) の場合に相当する
　そのため、x0(t)=∫[0,t]a/√(a^2+z^2)・dz, y0(t)=∫[0,t] z/√(a^2+z^2)・dz + f(0) とすると、y0(t)=f(x0(t))

　一方、H上の点(x,y)に関して
　x=∫[0,t]a/√(a^2+(z-c)^2)・dz=x0(t-c)-x0(-c)
　y=∫[0,t](z-c)/√(a^2+(z-c)^2)・dz=y0(t-c)-y0(-c)

　以上により、y=f(x+x0(-c))-y0(-c)+C
　文字を置きかえると一般に y=f(x-p)+r と表される。
　Hの極大点のy座標が常に-aとなることも考慮するとr=0
　すなわち、H は y=f(x-p) ( pは任意の実数 )
No.24842 - 2014/03/13(Thu) 01:41:10
★ 証明問題 / ふぇるまー
x^5-xy^5は30の倍数であることを示せ。

↑成り立たないと思うのです。
成り立つのならばなぜ成り立つのか教えてください。
No.24787 - 2014/03/09(Sun) 17:44:51
☆ Re: 証明問題 / ペンギン
もし、この式が合っているならば成り立たないです。

例えば、x=y=2を代入すると、32-64=-32となり、30の倍数ではありません。
No.24789 - 2014/03/09(Sun) 17:55:06
☆ Re: 証明問題 / ヨッシー
x,y の条件は何ですか？
一般の整数では成り立ちません。（まして一般の実数でなど・・・）

ただこの問題だけが与えられたのでしょうか？
No.24790 - 2014/03/09(Sun) 17:57:57
☆ Re: 証明問題 / angel
「任意の整数x,yに対して x^5・y-x・y^5が30の倍数であることを示せ」なら問題として成立しますね。
件の式が「2の倍数」「3の倍数」「5の倍数」であることを全て示せば必要十分です。
因数分解して、それぞれの因数がぴったりXXの倍数である状況を除いていけば、調べるケースはかなり少なくて済みます。
No.24792 - 2014/03/09(Sun) 19:59:43
☆ 参考 / angel
ちょっとトリッキーですが、ある変形をすればほとんど条件分けせずとも一発ですね。

例えば5の倍数のお話であれば、
　y・x(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)
は任意のx,yに対して5の倍数です。
なぜならば、

・もし x,(x+y),(x+2y),(x+3y),(x+4y) それぞれを5で割った余りが全て異なるならば、この中に余り0 ( 5の倍数 ) が存在する
※余りの候補は5種類しかないから…「鳩ノ巣原理」というモノ
・もし x,(x+y),(x+2y),(x+3y),(x+4y) の中に、5で割った余りが等しくなる組があるなら、その差 ky ( 1≦k≦4 ) が5の倍数のため結局 y が5の倍数

いずれにせよ、因数のいずれかが5の倍数

で、
　x^5・y-x・y^5
　= xy(x-y)(x+y)(x^2+y^2)
　= y・x(x+y)(x^2+y^2)(x-y)
　= y・x(x+y)(x^2+5xy+6y^2-5xy-5y^2)(x+4y-5y)
　= y・x(x+y)( (x+2y)(x+3y)-5y(x-y) )(x+4y-5y)
　= y・x(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + 5y・x(x+y)( 5y^2(x-y)-(x-y)(x+4y)-y(x+2y)(x+3y) )
と変形できますからね。

…素直に場合分けした方が解答書くのは楽ですね。
※せめてmodを使えばもうちょっと楽には書けますが
No.24794 - 2014/03/09(Sun) 20:25:55
☆ Re: 証明問題 / ふぇるまー
皆様、たくさんご返事有難うございます！条件はx、yを整数とするという条件だけです。皆さんのアドバイスをもとにがんばってみます
No.24795 - 2014/03/09(Sun) 22:03:16
☆ Re: 証明問題 / ふぇるまー
こちらの解説を基に友人らと説いてできました。ありがとうございました。
No.24814 - 2014/03/10(Mon) 18:35:58
★ ベクトル　数B / さかなくん
→a=（1,-2,-1）→b（3.3.6）のなす角θを求めなさい。



［］は絶対値の記号です。

cosθ＝→a・→b/［→a］［→b］となるのは
わかるのですが、平面ベクトルの［→a］は出せるんですが
空間ベクトルになると成分が３つになり計算の仕方がわかりません。

よろしくお願いします。
No.24786 - 2014/03/09(Sun) 17:44:42
☆ Re: ベクトル　数B / ヨッシー
ａ＝(x,y,z) において
　|ａ|＝√(x^2+y^2+z^2)
です。
No.24788 - 2014/03/09(Sun) 17:53:59
☆ Re: ベクトル　数B / さかなくん
ありがとうございました。
ちなみに答えがないのですが、cosθ＝-1/2になったので
１２０°としたのですが、この場合0≦θ≦１８０°まで考えればよいのですか？
普通なら求める範囲が与えられているのでしょうか？

こちらは数検２級のHPの過去問から抜粋しています。
No.24791 - 2014/03/09(Sun) 18:44:51
☆ Re: ベクトル　数B / ヨッシー
ベクトルのなす角は 0≦θ≦１８０°
直線のなす角は0≦θ≦９０°
の範囲で答えるのが普通です。
というか、例外は見たことがありません。
No.24796 - 2014/03/09(Sun) 23:33:46
☆ Re: ベクトル　数B / さかなくん
そうなんですね。
ありがとうございますm(__)m
数検は４月なので、２級あたりを目指して頑張ります
No.24797 - 2014/03/10(Mon) 00:44:54
★ sin^-1 / トンデモ
(a)はh(t)=70-50sin(πt/8)だと思います。

問題(b)についてなのですが

ゴンドラが10m動くには
10=50sin(πt/8)だから 8/π・sin^-1(1/5)分かかるので
半周した時点(地上から70m)から80mに達する迄,8/π・sin^-1(1/5)分かかり,3/4周過ぎてから80mから終着(地上70m)までも
同様に8/π・sin^-1(1/5)分かかるから
結果として
80mより上に滞在してる時間は半周してから終着までは16/2=8分間なので
8-2(8/π・sin^-1(1/5))分間

という答えで正解でしょうか?
No.24784 - 2014/03/09(Sun) 13:16:35
★ (No Subject) / 匿　名太郎
数学的な定積分の定義では、微小区間はすべて正でなければなりません。一方で力学では、クーロン力の位置エネルギーを求める過程でこのような説明がされています。実数のΔrは負になることもあります。このような説明は成立しているのでしょうか。
No.24782 - 2014/03/09(Sun) 12:37:17
☆ Re: / 匿　名太郎
rが単調増加である区間と、単調減少である区間に分ければよいのでしょうか。
No.24783 - 2014/03/09(Sun) 12:51:22
☆ Re: / ペンギン
図において、AからBに行く途中で行ったり戻ったりするケースでは、匿名太郎さんのおっしゃるとおり、＋方向にrが増える場合と、-方向にrが減る場合に分けて考えればいいと思います。

実際は、どのような行き方を選んでも、積分の結果は変わらずA,Bの位置だけで決まります。
No.24785 - 2014/03/09(Sun) 17:43:37
★ 慶大 / ふぇるまー
慶大の過去問も教えていただきたいです。
No.24774 - 2014/03/08(Sat) 23:16:51
☆ Re: 慶大 / ＩＴ
不等式?@の左辺x^2-ax+(a-1)を因数分解し
(x-α)(x-β)≦0…?@　の形にする
αとβとの大小関係で場合分けして?@を解く。

ここまでやると(1)の答えが見えてくると思います。
No.24776 - 2014/03/09(Sun) 01:35:36
☆ Re: 慶大 / ＩＴ
なお、解答や解説があって、それのどこかが分からないのならその旨を書かれないと、分かるように説明することはできないと思います。
No.24777 - 2014/03/09(Sun) 08:23:44
☆ Re: 慶大 / 菊地　悠人
解りました。以後細かい説明をつけるように致します。この問題の時は解答がなかったもので(;>_<;)解説ありがとうございました。
No.24778 - 2014/03/09(Sun) 08:42:18
☆ Re: 慶大 / ふぇるまー
菊地さんサイトのご紹介いただき有難うございます！
No.24779 - 2014/03/09(Sun) 08:45:54
★ 大学過去問1 / ふぇるまー
ｾﾝﾀｰの過去問です。先生教えてください。
No.24773 - 2014/03/08(Sat) 23:15:48
★ 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / あす
微分と導関数とヤコピアンは同じ物なのでしょうか?

lim_{h→0}|f(x+h)-f(x)-λ(h)|/|h|=0 (但し,h∈R^m)が成立つ線形写像λをfの微分というのだと思います。
このλは
∂f_1(x)/∂x_1,∂f_1(x)/∂x_2,…,∂f_1(x)/∂x_m
∂f_2(x)/∂x_1,∂f_2(x)/∂x_2,…,∂f_2(x)/∂x_m
:
∂f_n(x)/∂x_1,∂f_n(x)/∂x_2,…,∂f_n(x)/∂x_m
というm×n行列で表されヤコビアンとも呼ばれる。

という解釈で正しいのでしょうか?
つまり,微分は線形写像でヤコピアンはその表現行列の事でしょうか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97
にあるようにヤコビアンは導関数(傾き)に相当するみたいです。


例:
f:R^3→R^2がf(x,y,z)=t(xy^2+2z,2-5x+yz^4)の時、
f_1=xy^2+2z、f_2=2-5x+yz^4と於いて,

∂f_1/∂x,∂f_1/∂y,∂f_1/∂z
∂f_2/∂x,∂f_2/∂y,∂f_2/∂z
=
y^2,x,2
-5,z^4,4yz^3
がヤコピアンで
これに(x,y,z)=(-1,0,2)を代入した
0,-1,2
-5,16,0
がfの点(-1,0,2)での微分係数と呼んだりするのでしょうか?

この
y^2,x,2
-5,z^4,4yz^3
fの微分λの表現行列になってますが
この像λ(h_1,h_2,h_3)
=
h_2^2+h_1+2
-5+h_3^4+4h_2h_3^3
は一体何を表しているのでしょうか?
No.24767 - 2014/03/08(Sat) 07:30:43
☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / angel
> 微分と導関数とヤコピアンは同じ物なのでしょうか?
「微分」と言った場合は、元の関数から導関数を求める「操作」もしくは「写像」を指すでしょうから、微分≠導関数でしょう。
「ヤコビ行列」であれば導関数を拡張したモノなので、まあ同じようなものと言えなくもないですが、「ヤコビアン」はその行列式なので、明らかにヤコビアン≠導関数です。
※ひょっとして「ヤコビ行列」と「ヤコビアン」を混同している?

> 微分は線形写像でヤコピアンはその表現行列の事でしょうか?
「微分」が関数から導関数に対する一種の「線形写像」であることは確かですが、それとヤコビ行列の話は切り離して考えた方が良いと思います。
そもそも導関数そのものは線形写像ではないため、「表現行列」という用語は合っていません。
あくまで f:n次元ベクトル→m次元ベクトル に微分(のような操作)を施すと、f'のようなもの:n次元ベクトル→n×m次行列 という関数ができる、そのできた関数のことを ( 行列を値とする関数なので ) ヤコビ行列と言っています。

> 〜がfの点(-1,0,2)での微分係数と呼んだりするのでしょうか?
行列なので「微分係数」とは呼ばないと思います。
※というか、そういった用語が特にあるかどうかは聞いたことがない…
ただ、微分係数を拡張したものなので、同じような意味を持つとは言えるでしょう。

>この像λ(h_1,h_2,h_3)=…は一体何を表しているのでしょうか?
高校で習う微分での微分係数の性質、
　Δf(x)≒αΔx ( αを微分係数とする )
すなわち、
　f(x+h)-f(x)≒αh ( h≒0 )
と同じこと。その拡張です。
　f(ｖ+ｈ)-f(ｖ)≒Ａｈ ( ｈ≒0, ｖ,ｈはn次元ベクトル、Ａはm×n行列、式全体はm次元ベクトル )
つまりλ(h1,h2,h3) はこの式のＡｈに相当し、fの値 ( ベクトル ) がｈに応じてどの程度変化するかを表しています。
No.24775 - 2014/03/09(Sun) 00:01:08
☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / あす
仰る通り

ヤコビアン
↓
ヤコビ行列

でした。書きミスしておりました。
No.24780 - 2014/03/09(Sun) 09:03:52
☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / あす
有難うございます。お蔭様で明るくなりました。


> 行列なので「微分係数」とは呼ばないと思います。
> ※というか、そういった用語が特にあるかどうかは聞いたことがない…

下記にて全微分係数という用語が載ってますがこれとは無関係ですかね?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)
No.24825 - 2014/03/11(Tue) 08:22:23
★ 割合 / トンデモ
下記の問題なのですがこれで正しいでしょうか?
No.24766 - 2014/03/08(Sat) 03:02:56
☆ Re: 割合 / ヨッシー
それ以上には読み取れないので、それで良いと思います。
でも、ひょっとしたら１を引かないといけないかも。
No.24768 - 2014/03/08(Sat) 08:33:01
☆ Re: 割合 / トンデモ
了解です。
有難うございます。
No.24770 - 2014/03/08(Sat) 10:02:58
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