ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数I / ちよ

またお世話になりますm(__)m

(3)の問題のアプローチ方法が、イマイチ理解できません。
特に解答の最後(赤で囲ってある部分)が…

どなたか教えてください

No.25395 - 2014/04/10(Thu) 20:44:51

☆ Re: 数I / ちよ

解答です

問題共に見にくくてすみません

No.25396 - 2014/04/10(Thu) 20:45:42

☆ Re: 数I / みずき

(2)から方程式○1の解が
x=(a+3)/2,a+1
と求まっていますね。

(3)(?@)では、上の2解の大小関係のうち、
(a+3)/2<a+1
の場合を考えています。

一方、(?A)では、
(a+3)/2≧a+1
の場合を考えています。

(?@)と(?A)は、同時には起こりませんね。
つまり、「または」の関係でつながっています。

ですから、答えは、
「(?@)の不等式1<a<4」または「(?A)の不等式-1<a≦1」
なので、-1<a<4となります。
（数直線に2つの不等式の範囲を描いてみましょう。
-1<a<4を満たすどんな実数aも、どちらかの不等式の
範囲におさまっていることが分かると思います。）

No.25397 - 2014/04/10(Thu) 21:19:09

☆ Re: 数I / ちよ

なるほど!!
確かに数直線を書いたらなりました

共通範囲が答えになる問題ばかりではないんですね
問題文の意味をしっかり考えて、見極められるように頑張ります!!

ありがとうございましたm(__)m

No.25398 - 2014/04/10(Thu) 21:31:24

★ (No Subject) / tt

連続ですいません。
2-5の問題です。
この問いで、pqの存在を仮定する⇒pqはただ一つに定まる

という答案はありでしょうか？なんか気持ち悪いのですが、、

No.25385 - 2014/04/08(Tue) 16:08:48

☆ Re: / みずき

「なし」だと思いますね。

『～を満たす有理数p,qの組がただ1組存在する』ことを
証明するには、

（?@）『～を満たす有理数p,qの組が存在する』
（?A）『1組しか存在しない』

の2点を示す必要があります。

ttさんが書かれた
「pqの存在を仮定する⇒pqはただ一つに定まる」
というのは、（?@）を仮定して（?A）を示すものです。
証明を完了させるには、（?@）そのもの
（ttさんの「仮定」そのもの）
を示す必要があると思います。

今のままでは、
「存在するなら、一つしか存在しない」
ということしか示せておらず、
「本当に存在するの？」という問いに答えられていないと
思います。

No.25386 - 2014/04/08(Tue) 16:26:21

☆ Re: / tt

回答ありがとうございます。
pqが存在することを示せないので教えてください。

No.25387 - 2014/04/08(Tue) 16:37:29

☆ Re: / みずき

p=-1/(c^2-ac+b)
q=(c-a)/(c^2-ac+b)
とすると、題意を満たすので（確認は省略します）
p,qは存在します。

ちなみに、c^2-ac+b≠0であることは、次のように分かります。

c^2-ac+b=0が成り立つとすると、
x^2+ax+b=0は2解α,-cを持つことになりますが、
解と係数の関係により、
-a=α-c⇔α=c-a
を導くので、矛盾です（左辺無理数、右辺有理数）。

どのように冒頭のp,qを見つけたかについて書きます。
p,qをa,b,cで表せないかな、というのが一つの目標でしょう。

αはx^2+ax+b=0の解なので、
α^2+aα+b=0⇔α^2=-aα-b　・・・(?@)
を満たします。

さて、
1/(α+c)=pα+q
⇔1=(pα+q)(α+c)
⇔1=pα^2+pcα+qα+qc
⇔1=p(-aα-b)+pcα+qα+qc （∵(?@)）
⇔α(-ap+pc+q)=1+pb-qc　・・・(?A)

ここで、-ap+pc+q≠0とすると、
(?A)の両辺を(-ap+pc+q)で割ることで、
α=(1+pb-qc)/(-ap+pc+q)
を得ますが、左辺が無理数で、右辺が有理数
となるので、不合理です。

よって、
-ap+pc+q=0
かつ
1+pb-qc=0
を得ます。

これから、冒頭のp,qを得ることができます。

No.25390 - 2014/04/08(Tue) 17:35:28

★ (No Subject) / tt

次の問題が示せません、、
互いに素ということをうまく使うのだろうとはおもうのですが、、

No.25367 - 2014/04/07(Mon) 20:34:17

☆ Re: / みずき

『aとbは互いに素』とあるのと、a,b≧2とより、
a,bは自然数であると解釈します。

a=2,b=3,n=5,m=1,l(エル)=3/2の場合に
本問の主張と矛盾する結果が生まれるので、
m,nは自然数であると解釈します。

命題Aを「aとbは互いに素である」
命題Bを
「a+b=nかつ1≦m≦a-1かつ1≦l≦b-1かつ
[nm/a]=[nl/b]を満たすm,nは存在しない」
とするとき、本問の主張は、
『AならばB』です。

直接的な証明は思いつきませんでしたが、
対偶『BでないならばAでない』
を示すことなら、それほど難しくないと思います。

No.25368 - 2014/04/07(Mon) 21:15:10

☆ Re: / みずき

細かいことですが、私の文章の中に
誤りがありましたので、訂正します。

誤

a=2,b=3,n=5,m=1,l(エル)=3/2の場合に
本問の主張と矛盾する結果が生まれるので、
m,nは自然数であると解釈します。

命題Aを「aとbは互いに素である」
命題Bを
「a+b=nかつ1≦m≦a-1かつ1≦l≦b-1かつ
[nm/a]=[nl/b]を満たすm,nは存在しない」
とするとき

正

a=2,b=3,n=5,m=1,l(エル)=3/2の場合に
本問の主張と矛盾する結果が生まれるので、
m,lは自然数であると解釈します。

命題Aを「aとbは互いに素である」
命題Bを
「a+b=nかつ1≦m≦a-1かつ1≦l≦b-1かつ
[nm/a]=[nl/b]を満たすm,lは存在しない」
とするとき

No.25371 - 2014/04/07(Mon) 23:31:44

☆ Re: / angel

解答としてどう書くか…は悩ましい所ですが、
実は図示すると明らかな問題ではあります。

a≧2, b≧2 でないと意味がないので、それを前提とすると、a,bが互いに素なので、少なくともa≠bです。
なのでa＞bとして一般性を失わないとして…、添付の図をご覧ください。

青の点は(m,[bm/a])を、赤の点は([al/b],l)を示します。これらの点の、原点Oからの道なり距離 ( 例えば点(2,3)なら距離5 ) は、丁度 1～a+b-2 までばらばらなのですが、この「道なり距離」っていうのは [nm/a] なり [nl/b] に他ならないのですね。
※ m+[bm/a]=[m+bm/a]=[nm/a], [al/b]+l=[al/b+l]=[nl/b]

まあ、なので [nm/a]=[nl/b] になることはない、と。
ミソは、a,bが互いに素なので、Oと(a,b)を結ぶ線分が、途中、格子点を一切通らないことです。

No.25373 - 2014/04/08(Tue) 00:39:09

☆ Re: / tt

angelさん、確かにそう考えれば自明ではありますね笑
angelさんの回答のイメージを一般化して証明出来そうでできないです。もう少し頑張ってみます。

No.25380 - 2014/04/08(Tue) 15:15:59

☆ Re: / tt

みずきさん
mとlの存在を仮定して矛盾を示そうと試みていますがなかなか難しいです。多分aとbが互いに素でなくなる矛盾が生じるとはおもうのですが

No.25381 - 2014/04/08(Tue) 15:18:03

☆ Re: / みずき

初見で思いついた方法を書きますね。
もっと簡潔に書けるかもしれません。

a+b=nかつ1≦m≦a-1かつ1≦l≦b-1かつ
[nm/a]=[nl/b]を満たす自然数m,nが存在する、と仮定します。

すると、
[nm/a]=[nl/b]=t
なる整数tが存在し、ガウス記号の定義により、
0≦nm/a-t＜1⇔0≦nm-at＜a
0≦nl/b-t＜1⇔0≦nl-bt＜b

ここで、
0＜nm-at＜a
0＜nl-bt＜b
の場合を考えます。
各辺を足し合わせると、a+b=nにより、
0＜n(m+l)-tn＜n⇔0＜m+l-t＜1
今、m,l,tは整数なので、m+l-tは整数。
よって、この場合はあり得ません。

よって、
nm-at=0
nl-bt=0
でなくてはいけないことが分かりました。

各辺を足し合わせると、
n(m+l)-tn=0⇔m+l=t

よって、
nm-at=0⇔nm-a(m+l)=0⇔al=m(n-a)⇔al=mb⇔a=mb/l
0≦l≦b-1
ですから、aとbは互いに素ではありません。

No.25382 - 2014/04/08(Tue) 15:51:17

☆ Re: / みずき

最後のところ、
『1≦l≦b-1ですから』
とすべきでした。

No.25383 - 2014/04/08(Tue) 15:55:58

☆ Re: / tt

> 最後のところ、
> 『1≦l≦b-1ですから』
> とすべきでした。

なるほど、足し合わせるのですね！
その発想がありませんでした。足し合わせも有効な場合があるということも頭に入れておきます。ありがとうございました。

No.25384 - 2014/04/08(Tue) 16:05:48

★ (No Subject) / さかなくん

やってみたのですが、何か間違ってますかね？
ちょっとまだわかりませんm(._.)m

No.25360 - 2014/04/07(Mon) 12:13:02

☆ No.25361の続きです。 / さかなくん

No.25361の続きです。
失礼しました。

No.25362 - 2014/04/07(Mon) 13:16:13

☆ Re: / みずき

写真では、
(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)=3(a[n]+2)/(a[n]-2)
と書かれていると理解しますが、
そもそもこの段階で正しくありません。
（「3」が正しくありません。）

おそらく、この「3」はr=3から来ていると思われます。

No.25331の

『一般に、
a[n+1]=(ra[n]+s)/(pa[n]+q)
は、
x=(rx+s)/(px+q)
の2解α、βを使って、

?@)α≠βのとき
(a[n+1]-α)/(a[n+1]-β)=γ(a[n]-α)/(a[n]-β)
(γは定数)

?A)α=βのとき（つまり重解のとき）
1/(a[n+1]-α)=γ+(1/(a[n]-α))

とそれぞれ表せます。』

におけるγは「ガンマ」と読み、r(アール)ではありません。

答えは、No.25357で書いたように
(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)
=5(a[n]+2)/(a[n]-2)
となります。

問題は、どうして「5」になるのか、ですね。
順を追って説明します。

まず、No.25331で書いた「公式」を知っているものとします。（なお、これを公式と呼ぶかについては疑問が
ありますが、ここでは便宜上そう呼ぶことにします。）

この公式を知っているとすれば、まず
x=(3x+4)/(x+3)
を解いてみよう、ということで、x=±2を得ます。
重解ではないので、

(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)=γ(a[n]+2)/(a[n]-2)
(γは定数)

という形に変形できるな、と分かるわけです。
『変形できること』が分かるだけで、
γ（ガンマ）の値がすぐにわかるわけではありません。

そこで、γ（ガンマ）の値を知るために、
与えられている漸化式：
a[n+1]=(3a[n]+4)/(a[n]+3)
を利用します。

a[n+1]+2
=(3a[n]+4)/(a[n]+3)+2
=(5a[n]+10)/(a[n]+3)
および
a[n+1]-2
=(3a[n]+4)/(a[n]+3)-2
=(a[n]-2)/(a[n]+3)
により、結局

(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)
=5(a[n]+2)/(a[n]-2)

と表せることが分かります。
つまり、γ（ガンマ）は5であると分かりました。

No.25363 - 2014/04/07(Mon) 16:59:52

☆ Re: / さかなくん

『一般に、
a[n+1]=(ra[n]+s)/(pa[n]+q)
は、
x=(rx+s)/(px+q)
の2解α、βを使って、

?@)α≠βのとき
(a[n+1]-α)/(a[n+1]-β)=γ(a[n]-α)/(a[n]-β)
(γは定数)

?A)α=βのとき（つまり重解のとき）
1/(a[n+1]-α)=γ+(1/(a[n]-α))

とそれぞれ表せます。』

上記は暗記しているもの（公式みたいなもの）なんですか？
なぜこちらが導き出せるか、考え方をしりたいのですが。
ありましたら教えてください。

それかNo25356みたいに、覚えるパターンの１つみたいなもんなんですか？

因みにNo25356もなぜこれがいえるのか？考え方があれば教えてください。

両方展開すれば最初の式になるのはわかるのですが、、、

両パターン意外にもこの公式みたいなのがありましたら
教えて頂ければ助かります。

No.25372 - 2014/04/08(Tue) 00:04:32

☆ Re: / みずき

まず、こちらが回答した分について、
理解したのか否かについて
書いてもらいたいものです。

＞上記は暗記しているもの（公式みたいなもの）なんですか？

個人的には、一つのテクニックのようなものだと
とらえています。

＞なぜこちらが導き出せるか、考え方をしりたいのですが。
ありましたら教えてください。

やってみてはいませんが、
たとえば、α≠βの場合は、
解と係数の関係によって、
α＋βとαβをp,q,r,sで表して、漸化式を利用して、
(a[n+1]-α)(a[n]-β)/{(a[n+1]-β)(a[n]-α)}
を計算すれば、うまいこと相殺されて定数が
得られるはずです。重解の場合も同様です。

＞No25356みたいに、覚えるパターンの１つみたいなもんなんですか？
はい、そう思います。
個人的には、頭の片隅におぼろげに入っている
程度のテクニックですが。

＞因みにNo25356もなぜこれがいえるのか？考え方があれば教えてください。

a[n+1]=pa[n]+q
α=pα+q
を左辺同士、右辺同士引くと
a[n+1]-α=p(a[n]-α)
が得られます。

＞両パターン意外にもこの公式みたいなのがありましたら
教えて頂ければ助かります。

（「意外」は「以外」であると解釈して・・・）
あります。しかし、それこそお手元のテキストの
数列の漸化式の欄に載っているはずです。
ここで、考えられるものをすべて書き込むのは
量が膨大になる上、一般的なテキストに載っているであろう
内容を写すようなことになるので、気が乗りません。
もし、適当なテキストがないという場合は、
1冊手元に置いておくべきだと思います。

No.25375 - 2014/04/08(Tue) 00:45:51

☆ Re: / さかなくん

失礼しました。
上記は理解しました。

みずきさんの公式と、私の公式と三項間漸化式の３タイプ
しか知りません。

膨大な量も？膨大な個数もあるんですか。。。
書籍は何冊もあるので探してみます。

一般的な所でいうと、上記３タイプで大まか事足りるんですかね？

調べてみます。
大変、ありがとうございました。

No.25378 - 2014/04/08(Tue) 01:32:40

★ (No Subject) / くるくる

再度申し訳ありません。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=25152
の者です。

ご提示いただいた例については納得です。

「Aの各点z0に対して、そのA内の近傍U(z0)で、z∈U(z0)ならば f(z)=f(z0)+f'(z0)(z-z0)+R(z)(z-z0), R(z)→0 (z→z0) となるものが存在する ... (*)」

が分かりません。
今,fはAでC^1級なのでAでC^∞級ですよね。

R(z)=(f"(c))(z-z0)^2/2! (c∈(z0,z))
となると思いますが
lim_{z→z0}R(z)=lim_{z→z0}(f"(c))(z-z0)^2/2!=0
は直ちに言えますよね。

でもAは内点を持たないのでU(z0)は存在しませんよね?

それでもしかして,"fはAでC^1級"という仮定は間違いなのでしょうか?
定義域を内点を持つ集合(開領域)にしなければならない?

No.25358 - 2014/04/07(Mon) 10:48:48

☆ Re: / 黄桃

>今,fはAでC^1級なのでAでC^∞級ですよね。
違います。前うかがった定義では、fは複素正則関数ではありません。
実質的に fは区間[0,|b-a|]からR^2へのC^1級写像です。
像のR^2 を複素数平面C と同一視しているだけです。

fがC^1級ということから、x∈(0,|b-a|)に対してはh∈Rが十分小さければ、
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+o(h) (oはランダウの記号）
となります(f(x+h),f(x),f'(x)および誤差項は複素数=R上2次元ベクトル空間の点です）。
これは(*)と同じこと(x=z0,h=z-z0)です。

No.25379 - 2014/04/08(Tue) 07:07:39

☆ Re: / くるくる

遅くなりまして大変申し訳ありません。

f(x-a_n)=f(x)+f'(x)/|x-a_n|+o_a(n)
f(x-b_n)=f(x)+f'(x)/|x-b_n|+o_b(n)
と一次近似を取るとo_a(n)とo_b(n)は誤差,
o_a(n)/|x-a_n|→0
o_b(n)/|x-b_n|→0
だから
0≦(f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)-f'(x)|≦|o_a(n)/(x-a_n)|+|o_b(n)/(x-b_n)|→0
as n→∞
だからあとは挟み撃ちの定理でいけました。

どうも有難うございました。

No.25622 - 2014/04/22(Tue) 09:52:55

★ (No Subject) / ちよ

またお世話になりますm(__)m

n、kは自然数で、k≪100であり、nに関する条件p、qをつぎのように定める。
条件p:nはkの倍数である
条件q:nは18の倍数である
命題「p⇒q」が真であるようなkは全部で□個ある。

解説にはkが18の倍数になればいいと書いてあったのですが、なぜそうなるかがわかりません
画像のようなベン図を書いて考えたのですが…

どなたか解説お願いします

No.25345 - 2014/04/06(Sun) 20:53:11

☆ Re: / みずき

命題「p⇒q」が真ということは、
「nはkの倍数である」ならば「nは18の倍数である」
が真ということですが、より噛み砕いて言えば、

nがk,2k,3k,4k,・・・と表せるとき、
その『すべて』が18の倍数である

ということです。
（よろしいでしょうか。nはkの倍数なのですから、
kも2kも3kも・・・ぜんぶnですね。）

おそらく、この「すべて」というところがつかめていないのが
納得できないポイントかと思われます。

具体例で見てみましょう。
もし、kが18の倍数なら、命題は真となりますね。

一方、kが18の倍数ではないときにどうなるか見てみましょう。
たとえば、18=2×3^2ですから、k=9の場合を見ましょうか。

このとき、nはk=9の倍数たちですから、
n=9,18,27,36,45,54,63,・・・ですね。
で、問題は、この「すべて」が18の倍数になるか、です。
なりませんね。18の倍数は含まれていますが、すべてでは
ありません。

これでは、
『nがk=9の倍数ならば、nは18の倍数』
とは言えない、ということです。

よって、命題が真となるには、
すなわち、kの倍数が『すべて』18の倍数となるには、
k自身が18の倍数でなくてはいけないことが分かります。

したがって、kは18の倍数であるとき真となる（十分性）ことと、
kは18の倍数でなくてはいけないこと（必要性）から、
結局、18の倍数となるようなkを考えればよいことになります。

No.25348 - 2014/04/06(Sun) 21:21:21

☆ Re: / IT

kが18の倍数のとき
　k=18m (mは整数)とおけます。※以下文字はすべて整数を表します
　nがkの倍数ならば,n=ak=a18m=18amなので、nは18の倍数となります。

kが18の倍数でないとき
　n=kとすると、nはkの倍数ですがnは18の倍数ではありません。

ベン図で考えるなら
k=18,36,3,5などのとき18の倍数の集合とkの倍数の集合が
どのような包含関係になるか図を描いて考えて見てください。

No.25349 - 2014/04/06(Sun) 21:23:59

☆ Re: / ちよ

みずきさん、ITさんありがとうございます!!
お二人の説明を読んでスッキリしました

もし機会があればまたよろしくお願いします

本当にありがとうございましたm(__)m

No.25353 - 2014/04/06(Sun) 23:09:25

★ cosとtanについて / アクオス

長くなるのですがよろしくお願いします。

円に内接する四角形ABCDがあり
BC=5
CD=5
DA=8
∠ABC=120°である

という条件で
ここから問題が続いていき

AB=3
AC=7
BD=55/7

cos∠BAD=23/98
までを求めているのですが
ここからtan∠BADを求める問題になるのですが
問題集の解答の解説では

△BADを直角三角形と考えて
三平方の定理を使ってtanの値を求めているのですが
初め自分は
△BADが直角三角形になる理由がわからなかったのですが
別の質問サイトで聞いてみたところ

これは
tan∠BADを考えるためだけの直角三角形を別につくってある

という回答を頂いたのですが、
なぜそのように考えていいのかがよく理解できません。

実際数字を入れれば、値は合っているというのはわかるのですが・・・

三平方の定理を使っていいのは、直角三角形のときだけだと思うのですが
なぜ三平方の定理を使って求めた数を
直角三角形と関係のない三角形の角の値として考えていいのでしょうか?

返信がおそくなるかもしれませんがよろしくお願いします。

No.25340 - 2014/04/06(Sun) 19:44:42

☆ Re: cosとtanについて / IT

>問題集の解答の解説では
>△BADを直角三角形と考えて
>三平方の定理を使ってtanの値を求めているのですが

具体的にどう書いてあるでしょうか？

No.25341 - 2014/04/06(Sun) 20:07:24

☆ Re: cosとtanについて / ヨッシー

図のように、ＤからＡＢに垂線を下ろして
　ＤＡ：ＡＥ＝９８：２３
から、ＤＥ＝55√3 を出して
　tan∠ＢＡＤ＝55√3/23
とするのかと思いましたが、違うのでしょうか？

No.25342 - 2014/04/06(Sun) 20:16:10

☆ Re: cosとtanについて / アクオス

ITさん、ヨッシーさん、返信ありがとうございます。

参考書に書かれているのは

cos∠BAD=23/98より
斜辺が98、底辺が23の直角三角形として
w^2=98^2-23^2 というように三平方の定理を使って高さを求めて
高さ55√3よりtan=(55√3)/23 と求めています。

よろしくお願いします。

No.25350 - 2014/04/06(Sun) 22:05:05

☆ Re: cosとtanについて / IT

その問題集でも「△BADを直角三角形と考えて」　はいませんね。
直角三角形は△EADですね。（ヨッシーさんの図のとおり）

No.25352 - 2014/04/06(Sun) 23:00:04

☆ Re: cosとtanについて / アクオス

ITさんありがとうございます。
ヨッシーさんの図のようなことは参考書に書かれていないのでヨッシーさんの考え方とは違うように思います。
出版社に問い合わせてみたいと思います。
何かわかればまたこの事について投稿させてもらいたいと思います。
ありがどうございました。

No.25369 - 2014/04/07(Mon) 22:33:22

☆ Re: cosとtanについて / ヨッシー

私には、参考書に書かれている方法と、私の示した方法は
全く同じに見えます。

出版社に問い合わせるのは自由ですが、上の図を少し書きかえたので、
それを見てからでも遅くはないのでは？

No.25370 - 2014/04/07(Mon) 23:11:56

★ (No Subject) / tt

これを教えてください。

No.25338 - 2014/04/06(Sun) 18:51:21

☆ Re: / みずき

すべての整数nに対してf(n)が整数であるような
多項式f(x)を整数多項式と呼ぶことにします。

「f(x)は整数多項式である」
⇔「ある整数kについてf(k)は整数で、f(x+1)-f(x)は整数多項式である」

という事実を使うと証明できます。
この事実自身は、数学的帰納法で示せますね。

No.25343 - 2014/04/06(Sun) 20:45:36

☆ 参考 / angel

帰納法ではないので、あくまで参考 ( ちょっと解答には使いづらい ) ですが、次のように考えることもできます。

話を単純化するため、3次式の例でいきましょう。
まず、
　f(x)=a[3]/3!・x(x-1)(x-2)+a[2]/2!・x(x-1)+a[1]/1!・x+a[0]/0!
という形に変形することにします。ちなみに 0!=1 です。念の為。
※毎回成功するの? と疑う場合 ( 良いことですね ) は、
　まず a[3]=3!・( f(x)の3次の係数 ) として、
　次に a[2]=2!・( f(x)-a[3]/3!・x(x-1)(x-2) の2次の係数 ) として、
　…
　という操作を考えてください。

そうすると、x=0～3 の全てにおいて f(x) が整数というのは、丁度 a[0]～a[3] が全て整数であることに対応します。( 必要十分 )
でもって、a[0]～a[3]が全て整数であれば、任意の整数 k において f(k) は整数になります。
なぜなら、それぞれの項からa[～]を除いた部分の 1/3!・k(k-1)(k-2)、1/2!・k(k-1)、1/1!・k、1/0! が全て整数になるからです。
※連続するm個の整数の積はm!の倍数
　…手抜きな説明でいくなら、連続するm個の自然数の積 xPm=xCm・m! だから。

この話は何次式でも同じなので、ということは、「f(0)～f(n)が全て整数である」は、「a[0]～a[n]が全て整数である」を仲介して、「f(k)が全て整数である」ことと等価 ( 必要十分条件 ) であることが分かります。

No.25355 - 2014/04/07(Mon) 00:10:06

★ 【数学A】約数と倍数 / mako

問 50！を整数で表したとき末尾に0は何個並ぶか

解答には「末尾に0がm個並ぶとすると、50！を10で順次割っていくと最大m回割れる。」とあり、ここまでは理解できます。
続いて、「また10=2・5であり、1から50までの整数では2の倍数より5の倍数の方が少ないから、50！を5で割っていくと、最大m回割れる」とありますが、この部分が理解できません。
なぜ2ではなく5なのか、10で割れる回数がなぜ5で割る回数と一致するのか。。
よかったら解説いただけると嬉しいです。

No.25333 - 2014/04/06(Sun) 17:55:17

☆ Re: 【数学A】約数と倍数 / ヨッシー

「なぜ2ではなく5なのか」の理由は「2の倍数より5の倍数の方が少ないから」です。

例えば 10! を考えると
5の倍数は 5,10 の2個
2の倍数は 2,4,6,8,10 であり、4 には 2が2個、8には3個含まれるので、
　10!＝2^8×5^2×(それ以外の素数の積)
という形に書け、
　10!＝(2×5)^2×2^6×(それ以外の素数の積)
　　＝10^2×2^6×(それ以外の素数の積)
のように、10では2回割れます。
2が8個、5が2個で、作れる10は小さい方の2個であり、
２がいくら多くても、５がないことには１０が作れません。

No.25335 - 2014/04/06(Sun) 18:03:26

☆ Re: 【数学A】約数と倍数 / mako

理解できました！
分かりやすい解説ありがとうございます。

No.25347 - 2014/04/06(Sun) 20:59:25

★ 漸化式 / さかなくん

（1）から順に解いていけば解けるのですが、
赤囲みの部分を自分で思い付く方法はあるのですか？

No.25325 - 2014/04/06(Sun) 16:12:32

☆ Re: 漸化式 / みずき

x=(3x+4)/(x+3)
を解いて、x=±2なので・・・

というやり方があります。
実際の答案では、この部分を省略しても良いですが。

No.25328 - 2014/04/06(Sun) 17:20:25

☆ Re: 漸化式 / みずき

補足します。

一般に、
a[n+1]=(ra[n]+s)/(pa[n]+q)
は、
x=(rx+s)/(px+q)
の2解α、βを使って、

?@)α≠βのとき
(a[n+1]-α)/(a[n+1]-β)=γ(a[n]-α)/(a[n]-β)
(γは定数)

?A)α=βのとき（つまり重解のとき）
1/(a[n+1]-α)=γ+(1/(a[n]-α))

とそれぞれ表せます。

?@）は等比数列、?A）は等差数列となりますね。

No.25331 - 2014/04/06(Sun) 17:38:15

☆ Re: 漸化式 / さかなくん

ありがとうございます。
今回はこれを使ってるという事でしょうか？
違う公式ですか？
また、今回の問題で使うと分数の場合はどのように
どのようになるのか？教えて下さい。

No.25356 - 2014/04/07(Mon) 01:42:48

☆ Re: 漸化式 / みずき

＞今回はこれを使ってるという事でしょうか？

いいえ。
（「これ」というのは写真の「定石○41」を指していると解釈しています。）

＞違う公式ですか？

そうです。すでにNo.25331でまとめています。
ただ、「公式」と呼べるかについては疑問がありますが。

＞また、今回の問題で使うと分数の場合はどのように
どのようになるのか？教えて下さい。

No.25331でまとめたものを使っていただければ良いです。
念のため、やってみますね。

今の場合、
x=(3x+4)/(x+3)
を解くと、x=±2なので、No.25331における

?@)α≠βのとき
(a[n+1]-α)/(a[n+1]-β)=γ(a[n]-α)/(a[n]-β)
(γは定数)

に該当します。そこで、α=-2,β=2とすると、
a[n+1]-α
=(3a[n]+4)/(a[n]+3)+2
=(5a[n]+10)/(a[n]+3)
および
a[n+1]-β
=(3a[n]+4)/(a[n]+3)-2
=(a[n]-2)/(a[n]+3)
により、
(a[n+1]+2)/(a[n+1]-2)
=5(a[n]+2)/(a[n]-2)
とできます。

No.25357 - 2014/04/07(Mon) 02:10:05

☆ Re: 漸化式 / さかなくん

やってみたのですが、何か間違ってますかね？
ちょっとまだわかりませんm(._.)m
間違えてNo.25360に写真を載せてしまいました。
よろしくお願いします。

No.25361 - 2014/04/07(Mon) 13:14:39

★ 合同変換について / noirちゃん

お願いします。通信大学で勉強している７０代の、おばさんです。数学に、興味があります。合同変換の解き方を、ネットで、調べましたが、わかりません。
R1：回転の中心、原点、回転角６０°R2：回転の中心P（１、０）回転角６０°
とするとき、合成変換R2○R1は、どのような変換であるかを
もとめよ。です。合同変換は、どの分野に入りますか？

No.25317 - 2014/04/06(Sun) 09:09:26

☆ Re: 合同変換について / 黄桃

解き方というのがよくわかりませんが、合成変換R2○R1が合同変換であるとわかっているのなら、
(0,0),(0,1),(1,0) の行き先がわかれば、どんな変換かはわかりますね。

＃書き方からして、平面の話と思いましたが、3次元以上なら適当に正規直交基底を選んでください。
＃以下2次元として書きます。

R2○R1の意味が R1 をやってからR2をする、という意味とします。
すると、ベクトルt=(a,b)だけの平行移動をT(t), 原点回りのθの回転をR(θ)とかけば、
tを中心とするθ回転は、tを原点に平行移動し、原点回りのθ回転し、そのあと原点をtに平行移動する、という合成になりますから、T(t)R(θ)T(-t)　とかけます（合成の記号は略しました）。だから、全体では
T((1,0))R(60°)T((-1,0))R(60°)
ということになります。これを計算すればいいですね。
行列なり何なりの方法は習っているでしょう。

数学的には合同変換というのはあまり扱わない気がします。
平行移動がない、原点回りの回転だけとか回転＋原点を通る直線に関する反転とかなら一般化されています。

合同変換は数学よりは工学系（コンピュータビジョン？とかＣＧとか）で使うような気がします。
射影空間での1次変換として表現することが多いようです。

No.25339 - 2014/04/06(Sun) 19:40:13

☆ Re: 合同変換について / angel

合同変換というとアフィン変換の範疇でしょうか。
いずれにしても線形代数が必須でしょうね。

黄桃さんの焼き直しになりますが、以降、2次正方行列および2次元ベクトルを使うものとして、

「点P周りのθ回転」により点が移動する場合、
　(ｖ'-ｐ)=Ｒ(ｖ-ｐ)
という関係式が成立します。
※ｖ,ｖ'はそれぞれ移動前後の点の位置ベクトル、ｐは点Pの位置ベクトル、Ｒは回転に相当する行列 ( 要素: cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ )

これを整理すると、
　ｖ'=Ｒｖ-Ｒｐ+ｐ=Ｒｖ-(Ｒ-Ｅ)ｐ
　※Ｅは単位行列
裏を返せば、
　ｖ'=Ｒｖ+ｑ
で表現される変換は、ｐ=-(Ｒ-Ｅ)^(-1)・ｑとすれば、ｐに対応する点を中心としたθ回転だということです。

では、今回の合成をR1→R2の順で施すものとして、60°回転に対応する行列をＱ1、120°回転に対応する行列をＱ2=Ｑ1^2とし、ｐ=t(1 0) としましょう。
※t(…) は転置(transposed)を表すものとして見てください

R1によりｖ1がｖ2へ、それがR2によりｖ3へ移るとします。
すると、
　ｖ2=Ｑ1ｖ1
　ｖ3=Ｑ1ｖ2-(Ｑ-Ｅ)ｐ=Ｑ2ｖ1-(Ｑ-Ｅ)ｐ
なので、合成変換R2・R1は、(Ｑ2-Ｅ)^(-1)・(Ｑ1-Ｅ)ｐを位置ベクトルとする点を中心とした、120°回転であることが分かります。
※実際に計算すると、この中心点は(1/2,-√3/6)になりました。

No.25346 - 2014/04/06(Sun) 20:56:52

☆ 図形的な解釈 / angel

> いずれにしても線形代数が必須でしょうね。
実は線形代数使わなくても、図形操作で説明できますね。試してみて自分で驚いたのですが…
※尤も、それを自力で思いつけるかというと…。やはり線形代数での計算結果が裏付けにあるからできたのですが。

で、添付の図をご覧ください。
上段のように、R1,R2によって、A→B→Cと点が移るものとします。

次に中段ですが、点Qを導入すると、OQB'Cは平行四辺形になります。ちなみに、Qとは、Pを60°回転させた後、OPP'Qが平行四辺形になるように構成した点です。
これにより、点Cが、点Bを60°回転 ( 点Aを120°回転 ) させた後、一定方向・距離に平行移動させた点であることが分かります。

そして下段。適切な点Xを設ければ、点Cが点Xを中心に点Aを120°回転した点となります。これは中段の話と丁度逆ですね。
なお、このXとは、△O'P'Q'と△OXQが相似になるように構成した点であり、Xを120°回転した点とO,X,Qの4点で平行四辺形ができるようになっています。

最後に、P,Q,Xの位置関係を計算します。
Qは、Pを120°回転させた点になっていて、
かつQはXを150°回転+√3倍に拡大した点 ( OQ=√3・OX ) でもあります。
※それぞれの平行四辺形の形状に着目。
つまり、XはPを120°回転した後-150°回転させ、1/√3倍に拡大 ( 縮小 ) させた点(1/2,-√3/6)です。
…ということで、ちゃんとNo.25346と結果が一致します。

No.25351 - 2014/04/06(Sun) 22:44:57

☆ 図形的な解釈-補足 / angel

おっと。「なぜ平行四辺形になるか」という点の証明を載せていませんでした。
一般化すると、添付の画像のような状況を考えたとき、

・扇形PAB, OAA', OPP'の中心角が全て等しく、
・かつ□OPP'Qが平行四辺形である時、
・□OBA'Qも平行四辺形である

と言えます。

これは、補助線A'P'を引けば一発でして。
まず△AOPと△A'OP'が2辺挟角相等で合同。なのでA'P'=AP=BP、∠OA'P'=∠OAP
で、OA,OA'のなす角、PA,PBのなす角が等しいことも加味すると、A'P'とBPは平行となります。
ということは、向かい合う辺A'P'・BPが、長さが等しくかつ平行なので、□A'P'PBは平行四辺形。
後は同じく、平行四辺形の性質として、A'B, P'P, QO これらは全て長さが等しくかつ平行。
ゆえに、□OBA'Qも平行四辺形である、ということになります。

No.25354 - 2014/04/06(Sun) 23:27:48

★ 定積分 / さかなくん

??-1～2（x^2+x-3）dx定積分を求めよね考えかたが
写真の様に考えたのですが、解答をみると違ってました。
x軸との挟まれた面積を求めるので、面積は常にプラスの値でなくてはいけないので、X軸より下は出てきた数値に-を掛けてプラスにしてあげて、X軸より上はそのままプラスでと考えるのではないのですか？上の式マイナス下の式なので、x軸－(x^2+x-3)と考えると認識してるんですが違うのですか？

No.25310 - 2014/04/06(Sun) 05:37:05

☆ Re: 定積分 / さかなくん

写真2です。

No.25311 - 2014/04/06(Sun) 05:42:10

☆ Re: 定積分 / 七

定積分を用いて面積を求めることは出来ますが
[定積分]＝[面積]ではありません。
マイナスになったところはマイナスのまま計算します。

No.25315 - 2014/04/06(Sun) 07:04:32

☆ Re: 定積分 / 七

しばらく数学から遠ざかっていましたので
不必要なこと(マイナスの部分云々)を書きました。
定積分
?殿～b（f(x)）dx
はf(x)の不定積分の１つをF(x)とすると
F(b)－F(a)
の意味しかありません。

No.25316 - 2014/04/06(Sun) 07:20:06

☆ Re: 定積分 / さかなくん

んーん、そーですか。
ありがとうございました。

No.25323 - 2014/04/06(Sun) 13:59:59

★ 複素数平面（数学３） / サトウ

数学を指導する側の立場なのですが、分からないことがあって、質問させていただきます。

【問題】
複素数平面上の原点でない定点をA(a)とする。2点P(z),Q(w)が直線OA （Oは原点）に関して対称である時、[a]w＝a[z]を示せ。
※[a]は複素数aの複素共役です。

【自分の考え】
直線OA上の点はta（t:実数）と表されるので、
|w-ta|=|z-ta|
として、両辺の平方を考えて、
(w-ta)([w]-t[a])=(z-ta)([z]-t[a])
…式(1)
を展開していきました。

この時、三角形OPQはOP=OQの二等辺三角形なので、
|w|=|z|⇔w[w]=z[z]
を利用して、

上の式(1)を、
t(a[z]-[a]w)+[t(a[z]-[a]w)]=0
と変形しました。

即ち、t(a[z]-[a]w)は純虚数or0なのですが、純虚数であることは否定しなければなりません。ここから先、何かうまい方法はありますか？どなたか、教えて下さい！m(__)m

No.25305 - 2014/04/06(Sun) 04:09:42

☆ Re: 複素数平面（数学３） / みずき

直線PQと直線OAの交点をta(tは0でない実数)とおけます。
（交点が0となる場合は、容易に示せます。）
すると、2点P、Qが直線OAに関して対称なので、
(w-ta)×(-1)=z-ta
が成り立ちます。

これと
|w|=|z|
だけで示せると思います。

No.25306 - 2014/04/06(Sun) 05:07:53

☆ Re: 複素数平面（数学３） / サトウ

>みずき様
お返事有難うございます。
１つ、お尋ねしたいのですが、

(w-ta)×(-1)=z-ta

の左辺の×(-1)は、複素数平面上では、π回転を表すと思います。w-taで表される点をπ回転すると、点z-taになるのでしょうか？？

No.25307 - 2014/04/06(Sun) 05:26:34

☆ Re: 複素数平面（数学３） / みずき

少し言葉足らずだったかもしれません。
tを0でない実数としたのは、
あとの変形で、tで割る必要があるからです。

詳細は省略させていただきました。

No.25308 - 2014/04/06(Sun) 05:28:11

☆ Re: 複素数平面（数学３） / みずき

行き違いが発生しましたね。

＞w-taで表される点をπ回転すると、点z-taになるのでしょうか？？

そうですね。図を考えていただければ
おわかりいただけると思います。

No.25309 - 2014/04/06(Sun) 05:30:07

☆ Re: 複素数平面（数学３） / サトウ

>みずき様
あ！直線PQと直線OAの交点がtaでしたか！
見落としていました。ならば、×(-1)もわかりました。

a=(w+z)/2t ,[a]=([w]+[z])/2t
となって、a[z]と[a]wの値を計算すると、見事に一致しました！こんな解き方があったんですね！凄いです！(*ﾟ∀ﾟ)

No.25312 - 2014/04/06(Sun) 05:51:52

☆ Re: 複素数平面（数学３） / 黄桃

元の方法の問題点
z,w が異なることが区別されていない。

例えば、a=1 とします。この場合の条件は、明らかにz=w~(共役）です。
元の条件式ではz=wの場合でも成立します。この時、z-w~=z-z~ は純虚数となるのでこの条件だけからは排除できません。
みずきさんのように中点に関して向きが反対であることを利用するなりして区別をつけないといけません。

＃z+wがOA上にある、だけでもＯＫです。
＃元の方法で続けるなら z+w=ra (rは実数), (z/a)~-w/a=qi (qは実数) とすれば、
＃z~=-w~+ra~を後者に代入してq=0が出ます。

＃＃もっといえば、OAが実軸になるように回転すれば w=z~なので、
＃＃p=a/|a|とすれば w/p=(z/p)~ ということから簡単にでてきます。

No.25313 - 2014/04/06(Sun) 06:25:49