lim[n→∞]8nΣ[k=0〜n](-1)^k(nCk)/2(k+n)
この極限は求まりますか？
2よりは小さい値に近づくはずなんですが…
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No.24692 - 2014/03/03(Mon) 18:50:49
| ☆ Re: 極限 / らすかる | | | 分母は2ですか、それとも2(k+n)ですか？
別の意味に解釈されないようにカッコを付けて下さい。
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No.24697 - 2014/03/03(Mon) 23:58:35 |
| ☆ Re: 極限 / angel | | | 分母はまあ、( 2(k+n) ) として解釈しますと…
※そうでないとtrivialに発散するでしょうから
普通に 0 に収束、でしょうね。十分すぎるほど小さそうです。
おそらくΣ全体がざっくり (1/4)^n 位になるでしょう。
そうすると、Σの左の 8n が中途半端に見えるのですが ( Σの中の /2(k+n) で約分できそうだし )、これもこれで間違いないでしょうか。
※この式そのものが問題で出たのか、何か別の形から導かれたものかも分かると良いですね
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No.24700 - 2014/03/04(Tue) 01:47:08 |
| ☆ Re: 極限 / angel | | | ちなみに、どうやって見積もったかというと、簡単には
(1-x)^n = Σ[k=0,n] (-1)^k・nCk・x^k
という2項展開から積分を利用して
∫x^(n-1)・(1-x)^n・dx
= Σ[k=0,n] (-1)^k・nCk∫x^(n+k-1)dx
= ( Σ[k=0,n] (-1)^k・nCk/(n+k)・x^(n+k) ) + C
これの 0〜1 の定積分から t=1-2x で置換すると
Σ[k=0,n] (-1)^k・nCk/(n+k)
= ∫[0,1] x^(n-1)・(1-x)^n・dx
= 1/2・1/2^(2n-1)・∫[-1,1] (1-t)^(n-1)・(1+t)^n・dt
= 1/2・1/2^(2n-1)・∫[-1,1] ( (1-t^2)^(n-1) + t(1-t^2)^(n-1) )dt
= 1/2^(2n-1)・∫[0,1] (1-t^2)^(n-1)・dt
※最後は偶関数・奇関数の性質を利用して簡略化
ということで、∫の中身はどうせ 1 は超えないので、全体としても、オーダーが (1/4)^n を超えないモノになりそうだということは分かります。
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No.24701 - 2014/03/04(Tue) 02:03:57 |
| ☆ Re: 極限 / らすかる | | | ＞angelさん
＞分母はまあ、( 2(k+n) ) として解釈しますと…
＞※そうでないとtrivialに発散するでしょうから
ところが発散しないんですよ。
分母が2(k+n)だと「0にだんだん近づいて収束」なんですが、
分母が2だと「n＞1でΣの合計がピッタリ0」なんですよね。
つまり(k+n)で割るより(k+n)を掛けた方が小さいんです。
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No.24702 - 2014/03/04(Tue) 03:48:15 |
| ☆ Re: 極限 / angel | | | > 分母が2だと「n＞1でΣの合計がピッタリ0」なんですよね。
おおっと。ピッタリ0のことを侮ってました。ご指摘ありがとうございます。
ちなみに、24701の計算には間違いがありそうなので、後で見直して訂正します。申し訳ありません。
→間違えていた訳ではないようなので訂正はしませんが、直接求めることができるので、それを補足します。
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No.24704 - 2014/03/04(Tue) 07:43:23 |
| ☆ Re: 極限 / ktdg | | | 回答ありがとうございます。
分母は 2(k+n)です。
x^(1/n)+y^(1/n)=1(nは自然数)で囲まれる図形の面積を求めようとしたときにでてきました。
アステロイドをさらに潰したような図形になるかと思っていたのですが、今考えてみると、nが奇数でxが負のとき、yはいくらでも大きくなるので、第一象限以外は閉じた曲線にはならない気がしてきました。
でも、面積を求めるときは、x^(1/n)+y^(1/n)=1の第一象限にある部分とx軸、y軸で囲まれた面積を4倍したのでちゃんと(「アステロイドを潰したような図形」としては)求まっているはずです。
x^n+y^n=1 のnを0に近づけていくとアステロイドを潰したようなぺちゃんこな図形になると聞いたことがあったので、面積を求めてみようと思ったら、8nΣ[k=0〜n](-1)^k(nCk)/2(k+n) がでてきて詰まってしまったので質問しました。
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No.24710 - 2014/03/04(Tue) 18:51:36 |
| ☆ Re: 極限 / ＩＴ | | | 横から失礼します。
x^(1/n)+y^(1/n)=1の第一象限にある部分とx軸、y軸で囲まれた面積 →０(n→∞) であることは、
x^(1/n)+y^(1/n)=1が3点(0,1),((1/2)^n,(1/2)^n),(1,0)を通り
yをxの陽関数とみたとき単調減少であることからも分かりますね。
またangelさんの途中から
0＜∫[0,1] x^(n-1)・(1-x)^n・dx
＝∫[0,1/2] x^(n-1)・(1-x)^n・dx + ∫[1/2,1] x^(n-1)・(1-x)^n・dx
≦∫[0,1/2] (1/2)^(n-1)・dx+ ∫[1/2,1] (1/2)^n・dx
＝ (1/2)^n+ (1/2)^(n+1)
＜(1/2)^(n-1) という評価でもいいのでは。
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No.24715 - 2014/03/04(Tue) 20:30:17 |
| ☆ Re: 極限 / angel | | | 「ざっくり(1/4)^nくらい」ということで見積もりましたが、一般のnでちゃんと求められますね。
第一象限の面積 S=nΣ[k=0,n](-1)^k・nCk/(n+k) に関して、
S=1/(2n)Cn となります。
24701の計算から
Σ[k=0,n](-1)^k・nCk/(n+k)
= Σ[k=0,n](-1)^k・nCk∫[0,1]x^(n+k-1)dx
= ∫[0,1] x^(n-1)・(1-x)^n dx
ところで、
f(k)=∫[0,1] x^k・(1-x)^(2n-1-k) dx
としたとき、S=nf(n-1) となるわけですが、部分積分を使うと
f(k)
= 1/(k+1)・[ x^(k+1)・(1-x)^(2n-1-k) ][0,1]
+ (2n-1-k)/(k+1)・∫[0,1] x^(k+1)・(1-x)^(2n-1-(k+1) dx
= (2n-1-k)/(k+1)・f(k+1)
という漸化式がえられ、また f(2n-1)=1/(2n) ですから、
S=nf(n-1)
=n・n/n・f(n)
=n・n/n・(n-1)/(n+1)・f(n+1)
=…
=n・n/n・(n-1)/(n+1)・(n-2)/(n+2)・…・1/(2n-1)・f(2n-1)
=(n・(n-1)・…・1)/(2n・(2n-1)・…・(n+1))
=1/(2n)Cn
となります。ちなみに、n→∞で大雑把に(2n)Cn≒4^nです。
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No.24729 - 2014/03/05(Wed) 02:13:10 |
| ☆ Re: 極限 / ktdg | | | S=1/(2n)Cn となるとは驚きです！！
かなり綺麗な形になるんですね。
ITさん、らすかるさん、angelさんありがとうございました。
最後に一つ質問なのですが、No.24700 の
「trivialに発散する」
とはどのような発散のしかたを言っているのでしょうか？
聞いたことのない言い回しだったので少し気になりました。
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No.24741 - 2014/03/05(Wed) 23:04:58 |
| ☆ Re: 極限 / angel | | | > 「trivialに発散する」
> とはどのような発散のしかたを言っているのでしょうか？
trivialはピッタリした日本語がないのですが、数学で使われたなら「明らか」とか「自明」とか「当然」と考えて良いと思います。
※なので、そんな大した意味ではない
で、あの時は (n+k) が分母か分子かどちらかというお話でした。**もし仮に**分子に来るなら
lim n・Σ(整数)
という形を考えることになるので、Σの部分がピッタリ0でなければ発散するしかないわけです。このことを指してtrivialと言ったわけですが…そう都合良く常にピッタリ 0 なんてことはないだろうと…
※でも実はピッタリ0になる形だった、と。
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No.24743 - 2014/03/06(Thu) 01:05:29 |
| ☆ 別解 / angel | | | ちなみに、x=(cosθ)^(2n), y=(sinθ)^(2n) と媒介変数を使って、
S = 1/2・∫[0,π/2] ( x・dy/dθ-y・dx/dθ )dθ
と考えることもできて、こちらだとΣを使わない計算になります。
部分積分を使って漸化式を立てるのは同じですね。
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No.24744 - 2014/03/06(Thu) 01:27:03 |
| ☆ Re: 極限 / ktdg | | | No.24746 - 2014/03/06(Thu) 12:38:01 |
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