a,b,cを実数とするとき、3次方程式 x^3+ax^2+bx+c=0 は実数解をもつことを示せ。
この問題について僕は以下のように示しました。
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおくと、f(x)は(-∞,∞)で連続で、x→∞のときf(x)→∞、x→-∞のときf(x)→-∞だから、任意の実数αについてf(x)=αをみたすxが存在する。(∵中間値の定理) よってf(x)=0をみたすxが存在する。よって示された。
教科書に乗っていた解答は以下のようなものでした。
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおく。
x→∞のとき、f(x)/x^3=1+a/x+b/x^2+c/x^3→1
ゆえに、f(α)={f(α)/α^3}×α^3>0をみたす正数αが存在する。
x→-∞のとき、f(x)/x^3→1
ゆえに、f(β)={f(β)/β^3}×β^3<0をみたす負の数βが存在する。関数fは閉区間[β,α]で連続であり、f(β)<0<f(α)だから、中間値の定理より、f(x)=0をみたすxが区間[β,α]内に存在する。すなわち、方程式x^3+ax^2+bx+c=0をみたす実数が存在する。
教科書の解答では無理やり閉区間[β,α]をつくってその区間に中間値の定理を用いていますが、開区間(-∞,∞)ではいけないのでしょうか？
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No.25436 - 2014/04/13(Sun) 22:35:12
| ☆ Re: 中間値の定理 / ktdg | | | No.25437 - 2014/04/13(Sun) 22:40:01 |
| ☆ Re: 中間値の定理 / らすかる | | | 中間値の定理は閉区間の場合しか証明されていませんので、
開区間には使えません。
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No.25440 - 2014/04/13(Sun) 22:49:40 |
| ☆ Re: 中間値の定理 / ktdg | | | 回答ありがとうございます。
以下のように改めました。
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおくと、x→∞のときf(x)→∞、x→-∞のときf(x)→-∞だから、十分小さい数αで、f(α)<0となるものが存在し、十分大きい数βで、f(β)>0となるものが存在する。f(x)は[α,β]で連続であり、f(α)<0<f(β)より、f(x)=0をみたすxが[α,β]に存在する(∵中間値の定理)。よって示された。
端点をきめて閉区間をつくっただけですが、これで示せてしますか？
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No.25447 - 2014/04/14(Mon) 00:29:40 |
| ☆ Re: 中間値の定理 / らすかる | | | それだけだとα＜βかどうかわかりませんので
[α,β]を考えるのは問題があると思います。
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No.25449 - 2014/04/14(Mon) 01:04:20 |
| ☆ Re: 中間値の定理 / IT | | | ktdgさんへ
α、βとしてa,b,cの具体的な式で表現される値を取ると良いのでは。
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No.25466 - 2014/04/14(Mon) 20:09:39 |
| ☆ Re: 中間値の定理 / ktdg | | | 十分小さい「負の」数α
十分大きい「正の」数β
とすればよいですか？
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No.25467 - 2014/04/14(Mon) 20:14:05 |
| ☆ Re: 中間値の定理 / IT | | | それでもいいかも知れませんが、
m＝max(|a|,|b|,|c|,1)、α＝-2m、β＝2m など具体的な値を示すのも一つの方法です。
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No.25468 - 2014/04/14(Mon) 20:31:42 |
| ☆ Re: 中間値の定理 / ktdg | | | No.25473 - 2014/04/14(Mon) 22:40:11 |
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