解答解説お願いします
直線ｌ：ｙ＝２ｘの法線ベクトルを→ｎ＝(a,b)として、点(ｘ,y)と直線ｌとの距離をｈと
する。ただし,｜ｎ→｜＝１でa>0とする
以下の問いに答えよ
(１)→ｎの成分(a,b)を求めよ
(２)原点をOとして,→０でない→OPに対し
→OPと→ｎのなす角Θを用いて表せ。また、ｈをｘ,yを用いて表せ
(３)曲線Cの方程式(ｘ、ｙの関係式)を求めよ
(４)曲線Cと直線ｙ＝ｔ(ｔは定数)との共有点の個数を求めよ
(５)曲線Cと直線ｙ＝ｔが２個共有点Q,Rを持つとき、線分QRの長さをｔを用いて表せ
(６)曲線Cと直線ｙ＝０とで囲まれる面積Sを求めよ
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No.24609 - 2014/02/23(Sun) 23:41:41
| ☆ Re: / ぼるしち | | | 問題に不備がありました
すみません
直線ｌ：ｙ＝２ｘの法線ベクトルを→ｎ＝(a,b)として、点(ｘ,y)と直線ｌとの距離をｈと
する。ただし,｜→ｎ｜＝１でa>0とする
以下の問いに答えよ
(１)→ｎの成分(a,b)を求めよ
(２)原点をOとして,→０でない→OPに対し
→OPと→ｎのなす角Θとする。この時、ｈを|→OP|とΘを用いて表せ。また、ｈをｘ,yを用いて表せ
以下では、曲線Cを点A(１,0)と直線ｌからの距離が等しい点P(ｘ,y)の軌跡とする
(３)曲線Cの方程式(ｘ、ｙの関係式)を求めよ
(４)曲線Cと直線ｙ＝ｔ(ｔは定数)との共有点の個数を求めよ
(５)曲線Cと直線ｙ＝ｔが２個共有点Q,Rを持つとき、線分QRの長さをｔを用いて表せ
(６)曲線Cと直線ｙ＝０とで囲まれる面積Sを求めよ
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No.24611 - 2014/02/24(Mon) 12:28:13 |
| ☆ Re: / sp@rk | | | (1)直線l：2x-y=0の法線ベクトルの一つは(2,-1)なので，条件を満たす法線ベクトルは，
→n=(2/√5,-1/√5)
※直線ax+by+c=0の法線ベクトルの一つは(a,b)
(2)点Pから直線lに下ろした垂線との交点をHとすると，なす角θは0≦θ≦π/2としてよい．よって，
h=|→PH|=|→OP|sinθ （※△OPHが直角三角形になることに注意）
また，点と直線の距離から， h=|2x-y|/√5
※点(p,q)と直線ax+by+c=0との距離dは， d=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)
(3)条件から，点PはAP=h，即ち，AP^2=h^2を満たす．
AP=√{(x-1)^2+y^2}，(2)からh=|2x-y|/√5なので，
(x-1)^2+y^2=(2x-y)^2/5
整理して， x^2+4y^2+4xy-10x+5=0
※この曲線Cは，焦点(1,0)，準線l：y=2xの放物線である．
(4)曲線Cと直線y=tとの共有点のx座標は連立して，
x^2+2(2t-5)x+4t^2+5=0
判別式をDとすると，D/4=(2t-5)^2-(4t^2+5)=-20(t-1)
よって，
・t<1のとき，共有点2個 ・t=1のとき，共有点1個 ・t>1のとき，共有点0個
(5)Q(α,t),R(β,t)(α<β)とする．(4)より，t<1であり，QR=β-α
α，βは2次方程式x^2+2(2t-5)x+4t^2+5=0の解なので，解と係数の関係から，
α+β=-4t+10，αβ=4t^2+5
∴QR^2=(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ=(-4t+10)^2-4(4t^2+5)=80(1-t)
よって，QR=4√{5(1-t)}
※2次方程式x^2+2(2t-5)x+4t^2+5=0の解を実際に求めて，QRを計算してもよい．
(6)S=∫_0^1 xdyであり，y=tと置換すると，(5)より，x=QR=4√{5(1-t)}なので，
S=∫_0^1 QR・(dy/dt)dt=∫_0^1 4√{5(1-t)}dt=(8√5)/3
※x^2+4y^2+4xy-10x+5=0，y≧0より，
y=(-x+√{5(2x-1)})/2なので，これを5-2√5から5+2√5まで積分して求めてもよい．
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No.24625 - 2014/02/25(Tue) 19:01:55 |
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