ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角関数 / Nao

三角関数の問題で、3問わからない問題があります。
解答解説がついておらず、正答がわかりません。
途中式などの解説と正答を教えていただけないでしょうか。

No.82403 - 2022/06/13(Mon) 00:35:54

☆ Re: 三角関数 / Nao

残り2問はこちらです。

No.82404 - 2022/06/13(Mon) 00:36:25

☆ Re: 三角関数 / X

(2)
三角関数の合成を使うと問題の不等式は
2sin(θ+π/3)＞0 (A)
ここで
0≦θ＜2π
より
π/3≦θ+π/3＜2π+π/3
(A)から
π/3≦θ+π/3＜π
2π＜θ+π/3＜2π+π/3
となるので
0≦θ＜2π/3
5π/3＜θ＜2π

No.82405 - 2022/06/13(Mon) 00:43:57

☆ Re: 三角関数 / X

(4)
問題の方程式の両辺にsin(π/5)cos(π/5)
をかけて、左辺に加法定理、右辺に
2倍角の公式を適用すると
sin(θ+π/5)=sin(2π/5) (A)
ここで
0≦θ＜2π
より
π/5≦θ+π/5＜2π+π/5
∴(A)から
θ+π/5=2π/5,3π/5
となるので
θ=π/5,2π/5

(5)
(4)と同様の変形により
cos(θ-π/5)＞sin(2π/5)
∴cos(θ-π/5)＞cos(π/2-2π/5)
cos(θ-π/5)＞cos(π/10) (B)
ここで
0≦θ＜2π
より
-π/5≦θ-π/5＜2π-π/5
∴(B)から
-π/10＜θ-π/5＜π/10
となるので
π/10＜θ＜3π/10

No.82406 - 2022/06/13(Mon) 00:52:19

☆ Re: 三角関数 / Nao

Xさま

ご丁寧にありがとうございます！
お陰様で理解できました。

No.82409 - 2022/06/13(Mon) 21:28:16

★ 積分漸化式 /

3・3の漸化式がなぜ作れるのか分からないです💦
教えてください

No.82397 - 2022/06/12(Sun) 18:05:05

☆ Re: 積分漸化式 / X

単に証明するのであれば、I[n]の定義により
I[n]+I[n+2]=∫[0→π/4]{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}dx
=∫[0→π/4]{(tanx)^(n-2)}{1/(cosx)^2}dx
=[{1/(n-1)}(tanx)^(n-1)][0→π/4]
=1/(n-1)
となります。

No.82398 - 2022/06/12(Sun) 18:23:41

☆ Re: 積分漸化式 / 　　

I[n]+I[n+2]=∫[0→π/4]{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}dx
↓
{1+(tanx)^2}{(tanx)^(n-2)}ここの部分を計算すると(tanx)^n-1となってしまい(tanx)^n+1が出ないと思われますが...

No.82399 - 2022/06/12(Sun) 19:31:08

☆ Re: 積分漸化式 / ast

自明なtypo から (つまりXさんが実際に計算しているのは I[n-2]+I[n] なので) 話が変な展開になってますが, 理屈自体は (添字のずれを勘案すれば結論も) 合っているので自分で改めて検算していればそんなところで引っかかって進めなくなる事態は起きずに済むのでは?

実際, I[n]+I[n+2] の被積分函数は tan(x)^n+tan(x)^(n+2) = tan(x)^n(1+tan(x)^2) で　d(tan(x))=dx/cos(x)^2=(1+tan(x)^2)dx ですから

　I[n]+I[n+2] = ∫_[0,π/4] tan(x)^n * d(tan(x)) = [tan(x)^(n+1)/(n+1)]_[0,π/4] = 1/(n+1)

です.

No.82400 - 2022/06/12(Sun) 21:52:36

☆ Re: 積分漸化式 /

やっと理解出来ました
Xさんastさんありがとうございました✨

No.82402 - 2022/06/12(Sun) 22:14:55

★ 茨城大学 2017後期数学 / りょう

茨城大学 2017後期数学　問題がわかりません。

(2)の答えはP3＝P4になってしまいます。

No.82384 - 2022/06/11(Sat) 14:42:42

☆ Re: 茨城大学 2017後期数学 / りょう

画像が送れていなかったので、再送します。

No.82385 - 2022/06/11(Sat) 14:50:07

☆ Re: 茨城大学 2017後期数学 / X

(2)
(i)G[3]について
一回目に助さんが赤玉を取り出し、
かつ助さんが勝つ確率は
{n/(n+k)}{(n-1)/(n+k-2)}
一回目に助さんが白玉を取り出し、
かつ助さんが勝つ確率は
{k/(n+k)}{n/(n+k-2)}
∴P[3]={n/(n+k)}{(n-1)/(n+k-2)}
+{k/(n+k)}{n/(n+k-2)}
={n(n-1)+kn}/{(n+k)(n+k-2)}
=n(n+k-1)/{(n+k)(n+k-2)}

(ii)G[4]について
一回目に格さんが赤玉を取り出し、
かつ助さんが勝つ確率は
{n/(n+k-1)}{(n-1)/(n+k-2)}
一回目に格さんが白玉を取り出し、
かつ助さんが勝つ確率は
{(k-1)/(n+k-1)}{n/(n+k-2)}
∴P[4]={n/(n+k-1)}{(n-1)/(n+k-2)}
+{(k-1)/(n+k-1)}{n/(n+k-2)}
={n(n-1)+n(k-1)}/{(n+k-1)(n+k-2)}
=n/(n+k-1)

∴P[3]-P[4]=n{(n+k-1)^2-(n+k)(n+k-2)}/{(n+k)(n+k-1)(n+k-2)}
=n/{(n+k)(n+k-1)(n+k-2)}＞0
となるので
P[3]＞P[4]

No.82387 - 2022/06/11(Sat) 15:07:33

☆ Re: 茨城大学 2017後期数学 / りょう

助さんが白玉を引く確率
例えば(i)のばあいは{k/(n+k-1)}
は考えなくてよいのでしょうか。

No.82390 - 2022/06/11(Sat) 18:54:22

☆ Re: 茨城大学 2017後期数学 / X

例えば(i)の場合、2回目に助さんが白玉を取り出すのは
無作為に行った結果ではありません。
飽くまで壺の中の白玉を1個減らすための操作です。
書き方を変えれば、例えば
壺の中のn+k-1個の玉を一旦全部取り出した上で
白玉を1個除いて残りのn+k-2個の玉を壺に戻す
という操作と同じです。
(ii)の場合も同様です。

No.82391 - 2022/06/11(Sat) 19:40:35

★ (No Subject) / 雨のち晴れ

1から30までの整数の中から12個を選んで
その和が40になる様な選び方は何とうりあるでしょうか。この問題の解き方をご教授してください。何卒よろしくお願いします。

No.82361 - 2022/06/10(Fri) 21:05:41

☆ Re: / X

40-12=28
により求める場合の数は
28個の〇と11個の仕切り
でできる順列の数に
等しく
(28+11)!/(28!11!)=1676056044[通り]

注)
1+2+…+12=78＞40
ですので、もし重複を許さずに問題の
整数を選ぶのであれば、選び方は
0[通り]
です。

No.82363 - 2022/06/10(Fri) 23:48:17

☆ Re: / 雨のち晴れ

1から30までの中から5個を選んでその和が40になるとした場合は重複を許さなければなんとうりでしょうか。
解答有り難うございました。
丁寧な説明に感謝します。

No.82367 - 2022/06/11(Sat) 00:27:31

☆ Re: / IT

Xさん
> 28個の〇と11個の仕切りでできる順列の数に等しく

　それだと
　例えば,１+27と27+１を別物として数えていると思いますが、同じ物として数えるべきではないでしょうか？

「分割数」などで検索すると漸化式が出て来ると思います。

No.82370 - 2022/06/11(Sat) 04:38:13

☆ Re: / X

＞＞ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞雨のち晴れさんへ
ごめんなさい。もう見ていないかもしれませんが
ITさんの仰る通りです。

No.82371 - 2022/06/11(Sat) 07:01:16

☆ Re: / 雨のち晴れ

有り難うございました

No.82372 - 2022/06/11(Sat) 10:05:07

★ (No Subject) / Kokona

高校数学です。

写真のように、円周上の位置にある扇形が、回転しながら円周上を移動します。
元の位置に扇形がちょうど一回転して元の位置に戻った時の、点aの描く曲線の長さはいくらになるのでしょうか？

No.82342 - 2022/06/09(Thu) 04:10:07

☆ Re: / X

問題の条件が足りません。
＞＞扇形がちょうど一回転して
とありますが、回転の中心と扇形の位置関係は
どのようになっていますか？

図をそのまま解釈すると、点aの描く曲線は
扇形の形状に無関係の回転軌道の円周にしか
見えません。
この円周の半径は設定していないのですか？

No.82344 - 2022/06/09(Thu) 05:32:42

☆ Re: / ast

# 解答はまだ考えてもいませんが, 回答者の問題解釈に齟齬がおきているようなので少し書きます.

もとの問題文(の正確な内容)はないのでしょうか?
> 円周上の位置にある扇形が、回転しながら円周上を移動します。
正確には「図の扇形が円周上を滑ることなく転がる」のような表現になっていませんか?
# 「滑ることなく転がる」は一種の専門用語で意味が一意に確定しますが, 質問者さんの表現だとよく伝わらない気がします

> 元の位置に扇形がちょうど一回転して元の位置に戻った時の
これも既に指摘があるように適当に与えられた図形同士だと必ず起きることではないので誤って伝わる表現のように思います. たぶんそうなるように与えられた円周の長さ=扇形の周囲の長さ(=2r+l)と「仮定した」のですよね?

> 点aの描く曲線の
a はどっちの図形のどの位置かはっきりわかるようにしてください.

No.82345 - 2022/06/09(Thu) 13:07:05

☆ Re: / らすかる

図を見るとaは「円周上の点」に見えます。
そう考えると、扇形がどう動こうとaは動きませんので
曲線の長さは0になります。
もしかして、元の図ではaは扇形の内部に
書かれていませんでしたか？
（あるいは、「中心がAである扇形」などと書かれていませんでしたか？）
もし「元の問題文」があるならば、一字一句変更することなく
そのまま書き写して頂くか、あるいは問題文の写真を
提示して頂いた方が良いかと思います。

No.82346 - 2022/06/09(Thu) 13:11:41

☆ Re: / Kokona

すいませんでした。問題文は次の通りです。
「半径r, 弧の長さlの扇形が、円周上を滑ることなく回転する。はじめに円周上にあった扇形の中心aがちょうど一回転して元の位置に戻った時、点aの描く曲線を求めなさい。」

Xさんへ。
円の半径はありません。このような図のままです。

astさんへ。
「滑ることなく転がる」という表現がありました。
与えられた図は、先の写真のような図です。
aは扇形の中心です。
すいませんでした。

らすかるさんへ。
すいません、問題文を上に書きました。

No.82350 - 2022/06/10(Fri) 05:02:31

☆ Re: / X

問題の扇形を転がす円周の半径をRとすると
R=(l+2r)/(2π) (A)
今、点aの初期位置をA、円周の中心をOとして
OAを基準にした極座標を考えます。
但し動径方向をγ軸とします。

扇形の回転過程の対称性により
0≦θ≦π
の場合を考えます。

(i)r/R≦θ≦πのとき
点aの描く曲線は
半径r+R,中心角π-r/Rの円弧
の一端に
半径rの1/4円
を繋げた形状になるので、
曲線の長さをL[1]とすると
L[1]=R(π-r/R)+(1/4)・2πr
=πR-r+πr/2

(ii)0≦θ≦r/Rのとき
扇形の半径となっている線分と
円周との接点をBとすると、
△OaBについて三平方の定理より
γ=Oa=√(aB^2+OB^2)
=R√(1+θ^2)
∴曲線の長さをL[2]とすると
L[2]=∫[0→r/R-φ]γdθ
(但しφはtanφ=r/R,0＜φ＜π/2なる角)
=R∫[0→r/R-φ]√(1+θ^2)dθ
=R[(1/2){θ√(θ^2+1)+log(θ+√(θ^2+1))}][0→r/R-φ]
(注:計算過程は省略します)
=(R/2){(r/R-φ)√{(r/R-φ)^2+1}+log{(r/R-φ)+√{(r/R-φ)^2+1}}}

(i)(ii)から求める曲線の長さをLとすると
L=2(L[1]+L[2])
=2πR-2r+πr+(r-Rφ)√{(r/R-φ)^2+1}+Rlog{(r/R-φ)+√{(r/R-φ)^2+1}}
これに(A)を代入して

L=l+πr+{r-(l+2r)φ/(2π)}√{(2πr/(l+2r)-φ)^2+1}
+{(l+2r)/(2π)}log{(2πr/(l+2r)-φ)+√{(2πr/(l+2r)-φ)^2+1}}
(但し、φはtanφ=2πr/(l+2r),0＜φ＜π/2なる角)

注)
上記のように答えの形はかなり煩雑ですが、これ以上簡単な式には
できません。

No.82357 - 2022/06/10(Fri) 17:40:48

★ ベクトル / Sky

ベクトルで、2問わからない問題があるのですが、解答解説がなく途方に暮れています。
どなたか途中式含め、解答を教えていただけないでしょうか。

1問目は添付の問題です。

No.82338 - 2022/06/08(Wed) 22:56:25

☆ Re: ベクトル / Sky

2問目はこちらです。
どなたかよろしくお願いします。

No.82339 - 2022/06/08(Wed) 22:57:22

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

１問目
平面ＯＡＢ上の任意の点Ｄは
　s(-1, 1, 3)＋t(2, 1, -3)＝(-s+2t, s+t, 3s-3t)
ＯＡ⊥ＣＤより
　(-1, 1, 3)・(-s+2t-5, s+t-3, 3s-3t-5)＝(s-2t+5)＋(s+t-3)＋3(3s-3t-5)
　　＝11s-10t-13＝0　・・・(i)
ＯＢ⊥ＣＤより
　(2, 1, -3)・(-s+2t-5, s+t-3, 3s-3t-5)＝2(-s+2t-5)＋(s+t-3)－3(3s-3t-5)
　　＝-10s＋14t＋2＝0　・・・(ii)
(i)(ii) を解いて、
　s=3, t=2
このときの点Ｄが点Ｈであるので、
　(-s+2t, s+t, 3s-3t)＝(1, 5, 3)　　・・・([4],[5],[6])

点Ｈに関して点Ｃと対称な点が点Ｉなので、
　2(1, 5, 3)－(5, 3, 5)＝(-3, 7, 1)　・・・([7][8],[9],[10])

No.82340 - 2022/06/08(Wed) 23:53:18

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

２問目
(1)
ＯＡ・ＯＢ＝ＯＡ・ＯＢcos∠ＡＯＢ＝３　・・・[11]
(2)
ＯＢ・ＯＣ＝ＯＢ・ＯＣcos∠ＢＯＣ＝１　・・・[12]
(3)
ＯＣ・ＯＡ＝ＯＣ・ＯＡcos∠ＣＯＡ＝3/2　・・・[13]/[14]
(4)
ＯＤ＝(2/3)ＯＡ
ＯＥ＝(1/3)ＯＢ＋(2/3)ＯＣ
ＯＦ＝(1/3)ＯＣ
より
ＯＧ＝(1/3)(ＯＤ＋ＯＥ＋ＯＦ)
　　＝(2/9)ＯＡ＋(1/9)ＯＢ＋(1/3)ＯＣ
ＣＧ＝ＯＧ－ＯＣ＝(2/9)ＯＡ＋(1/9)ＯＢ－(2/3)ＯＣ
|ＣＧ|^2＝(4/81)ＯＡ^2＋(1/81)ＯＢ^2＋(4/9)ＯＣ^2＋(4/81)ＯＡ・ＯＢ－(4/27)ＯＢ・ＯＣ－(8/27)ＯＣ・ＯＡ
　　＝4/9＋4/81＋4/9＋4/27－4/27－4/9＝40/81
よって、
　ＣＧ＝√(40/81)＝2√10／9　・・・[15]～[18]

No.82341 - 2022/06/09(Thu) 00:42:02

☆ Re: ベクトル / Sky

ありがとうございました！
理解できました！

No.82347 - 2022/06/09(Thu) 20:22:42

★ (No Subject) / ピースで目潰しパンチ

aを正の実数とする

√(a^2-x^2)<x-a^2 を満たす実数xの範囲を求めよ

y=√(a^2-x^2)とy=x-a^2の位置関係で調べようとしたのですが
y=√(a^2-x^2)が表す図形やa^2-x^2が負になるときがわかりません。それも含めて解説お願いいたします。

No.82328 - 2022/06/08(Wed) 00:32:21

☆ Re: / X

y=√(a^2-x^2) (A)
より
y^2=a^2-x^2
x^2+y^2=a^2 (A)'
∴(A)は円(A)'のy≧0の部分です。

＞＞a^2-x^2が負になるときがわかりません。
不等式は両辺が実数のときにしか定義できませんので
a^2-x^2＜0とはなりません。

No.82330 - 2022/06/08(Wed) 05:57:08

☆ Re: / X

No.82330の内容を踏まえて図形的に考えます。

y=√(a^2-x^2) (A)
は点(a,0),(-a,0)を結ぶ線分
を直径とする上側の半円
y=x-a^2 (B)
は点(a^2,0)を通る傾きが正の直線
従って点(a,0)と点(a^2,0)の位置関係について
場合分けすればよいことが分かります。
∴条件である0＜aに注意すると
(i)a^2＜a、つまり0＜a＜1のとき
(A)と(B)との交点のx座標について
√(a^2-x^2)=x-a^2
これを解いて
x={a^2+a√(2-a^2)}/2
∴求めるxの値の範囲は
{a^2+a√(2-a^2)}/2＜x≦a
(ii)a≦a^2、つまり1≦aのとき
(A)(B)のグラフから
√(a^2-x^2)≧x-a^2
∴問題の不等式を満たすxの値は存在しません。

以上から
0＜a＜1のとき　{a^2+a√(2-a^2)}/2＜x≦a
1≦aのとき　解なし

No.82331 - 2022/06/08(Wed) 06:54:24

☆ Re: / X

ごめんなさい。No.82331に誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.82335 - 2022/06/08(Wed) 17:47:05

★ (No Subject) / 藻

x+2y+3z=1とx^2+2y^2+3z^2=2を満たしながら実数x,y,zが動くときxの取りうる値の範囲を求めよ

No.82327 - 2022/06/08(Wed) 00:26:10

☆ Re: / らすかる

2式からzを消去して整理すると(6x-1)^2+4(x+5y-1)^2=55なので
-√55≦6x-1≦√55
∴(1-√55)/6≦x≦(1+√55)/6
ちなみにx=(1-√55)/6となるときのy,zの値は
x+5y-1=0,x+2y+3z=1からy=z=(5+√55)/30、
x=(1+√55)/6となるときのy,zの値は
x+5y-1=0,x+2y+3z=1からy=z=(5-√55)/30

No.82329 - 2022/06/08(Wed) 04:51:44

☆ Re: / 藻

どこから6x-1やx+5y-1がでてきたのでしょうか。

No.82358 - 2022/06/10(Fri) 18:41:54

☆ Re: / らすかる

x^2+2y^2+3z^2=2
両辺を3倍
3x^2+6y^2+9z^2=6
9z^2=(3z)^2であり3z=1-x-2yなので
3x^2+6y^2+(1-x-2y)^2=6
展開して整理すると
4x^2+4xy+10y^2-2x-4y=5
(xの式)^2+(xとyの式)^2=(定数)
という形を目指します。
つまり4xyは(xとyの式)^2に含まれるようにします。
10y^2と4xyだと分数が出てきますので
まず両辺を10倍して
40x^2+40xy+100y^2-20x-40y=50
これで
(○+10y)^2の形が作れて40xyが含まれるようにするためには○=2x
(2x+10y)^2=4x^2+40xy+100y^2なので
36x^2+(2x+10y)^2-20x-40y=50
36x^2+4(x+5y)^2-20x-40y=50
○(x+5y)で-40yが出てくるようにすると○=-8
-8(x+5y)=-8x-40yなので
36x^2+4(x+5y)^2-12x-8(x+5y)=50
36x^2-12x+4(x+5y)^2-8(x+5y)=50
36x^2-12xを平方完成すると(6x-1)^2-1
4(x+5y)^2-8(x+5y)を平方完成すると{2(x+5y)-2}^2-4
よって
(6x-1)^2-1+{2(x+5y)-2}^2-4=50
∴(6x-1)^2+4(x+5y-1)^2=55
のように整理できます。

No.82360 - 2022/06/10(Fri) 20:48:09

★ 不等式について / しょう

11行目の4小なりの下にイコールがついてるのはなぜなのでしょうか？

No.82316 - 2022/06/07(Tue) 18:08:57

☆ Re: 不等式について / ヨッシー

４≦ｘ＜６　ではなく
(４以上の数)＜ｘ＜６　です。
ｘ＝４　は解になりません。

No.82317 - 2022/06/07(Tue) 18:14:33

☆ Re: 不等式について / IT

x＞a+4 で､具体的にx=4,5 として、考えてみると良いと思います。　

No.82318 - 2022/06/07(Tue) 18:16:12

☆ Re: 不等式について / しょう

> ４≦ｘ＜６　ではなく
> (４以上の数)＜ｘ＜６　です。
> ｘ＝４　は解になりません。

4以上の数ならどうしてイコールがついてるのでしょうか？

No.82320 - 2022/06/07(Tue) 19:09:13

☆ Re: 不等式について / ヨッシー

４も４以上の数ですから。

No.82325 - 2022/06/07(Tue) 22:20:43

☆ Re: 不等式について / しょう

4も4以上の数なら整数の数は２つになってしまうんじゃないんですか？

No.82333 - 2022/06/08(Wed) 17:09:34

☆ Re: 不等式について / ヨッシー

ｘが４以上ではなく、
○＜ｘ＜６
↑ここに入る数が４以上と言っているのです。
　４＜ｘ＜６
に整数は２つありますか？

No.82334 - 2022/06/08(Wed) 17:16:32

☆ Re: 不等式について / しょう

その説明はわかるのですが問題とうまく結びつかないのです。

No.82336 - 2022/06/08(Wed) 17:47:12

☆ Re: 不等式について / ヨッシー

　ａ＋４＜ｘ＜６
この範囲に、整数が１つだけ含まれるには、ａはどんな範囲の
数であるべきか？　という問題であることはわかりますか？
ただ１つ含まれる整数はｘ＝５であり、そのためには
　ａ＋４　は４以上５未満
つまり
　４≦ａ＋４＜５
４を含んでもいいことは、先刻から説明済みなので４以上。
５を含むと、今度はｘ＝５も含まれなくなるので、未満です。
あとは各辺から４を引いて
　０≦ａ＜１
です。

No.82337 - 2022/06/08(Wed) 17:55:45

★ 不等式について / しょう

1-4の最後に4以下となってるのはなぜなのでしょうか？

No.82313 - 2022/06/07(Tue) 17:19:16

☆ Re: 不等式について / ヨッシー

10/3＜ｘ＜ｍ　を満たす整数ｘが存在しないためのｍの範囲は？
と聞かれているのと同じです。
10/3 は３より少し大きいので、３以下の整数になることはありません。
ｍが大きい、例えば、10/3＜ｘ＜10 とかだと、４，５，６などが含まれます。
ｍをどこまで小さくすれば、整数ｘが存在しないかを調べると、
結局は、４を含むかどうかということになります。
ｍが４より少しでも大きい　4.000001 とかだとｘ＝４が含まれます。
ｍが4より少しでも小さい、3.999999 だと、ｘ＝４は含まれません。
では、ｍ＝４だとどうでしょうか？

No.82315 - 2022/06/07(Tue) 18:05:26

☆ Re: 不等式について / しょう

m＝4は含んでしまうんじゃないんですか？？

No.82319 - 2022/06/07(Tue) 18:29:02

☆ Re: 不等式について / ヨッシー

ｍ＝４　ということは
　10/3＜ｘ＜４
ということです。
ｘ＝４はこの範囲に入りますか？

No.82326 - 2022/06/07(Tue) 22:21:44

★ 大学数学です。 / ゆうじん

この証明が分かりません。
特に不等式評価から与式が有界であることによって微分がe^z0になる点が分かりません。
ご教示ください。

No.82304 - 2022/06/06(Mon) 23:56:40

☆ Re: 大学数学です。 / ast

> 与式が有界であることによって微分が
当該の式(これを与式って言い方するのは個人的には違和感ある)が s,t が十分に小さい時有界という意味は, "t,s→0 (あるいは同じことだが √(s^2+t^2)→0) のとき (分母)→0 かつ limsup が存在する" ということなので, そのためには (分子)→0 は必要条件, つまり |(e^(t+is)-1)-(t+is)| →0 ⇔ |(e^(t+is)-1)/(t+is)|→1 というようなことが「したがって」の一言で済まされていると考えられます.
# 厳密には ε-δ 論法で書くべきところだとは思いますが
# 「分数の形の極限で limit が存在してかつ (分母)→0 なら (分子)→0 が必要」のようなケースは
# 高校数学の範囲でも典型的な問題として既知だと思いますので, 深入りしません.

No.82312 - 2022/06/07(Tue) 16:41:36