ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ルンゲクッタ法を用いた問題 / シス荘

質量 6.0 kg の質点を初速 v0 = 20 m/s 仰角 θ = 15◦, 30◦, 45◦, 60◦, 75◦ を斜方投射する軌跡を、運動方程式をルンゲクッタ法で解くことで求めて図で示せ。また、それらの軌跡を比較し、最も飛距離が長いものを答えよ。ただし、重力加速度は 9.8 m/s2 とし、空気抵抗は考えないものとする。

GandBさんありがとうございました。分からないことが分かったので質問です。自分で作るとこうなってしまいます。縦軸が高さで横軸が時間です。これだと軌跡を表わせという問題の答えにもならず、45度が最も飛距離が長くなるはずなのになっていません。

No.82733 - 2022/07/12(Tue) 19:54:09

☆ Re: ルンゲクッタ法を用いた問題 / GandB

> 縦軸が高さで横軸が時間です。
　それは y-t グラフ。だが、仰角により質点の滞空時間も違うのだから、そのy-t グラフもおかしい。
　質点の軌跡をグラフ化したいのなら当然 y-x グラフ。
　そのことを注意しようと思ったが、すべて削除されていた。
　詳細に答えるとまた削除されそうなので、これぐらいにしておく（笑）。

No.82734 - 2022/07/12(Tue) 22:53:58

☆ Re: ルンゲクッタ法を用いた問題 / シス荘

> > 縦軸が高さで横軸が時間です。
> 　それは y-t グラフ。だが、仰角により質点の滞空時間も違うのだから、そのy-t グラフもおかしい。
> 　質点の軌跡をグラフ化したいのなら当然 y-x グラフ。
> 　そのことを注意しようと思ったが、すべて削除されていた。
> 　詳細に答えるとまた削除されそうなので、これぐらいにしておく（笑）。

すいませんでした、削除しないので詳細に知りたいです

No.82735 - 2022/07/13(Wed) 08:32:23

☆ Re: ルンゲクッタ法を用いた問題 / GandB

　質点の変位を
　　r↑= (Rx,Ry)
としたとき、15 °から 75 °の投射角に対応する (Rx,Ry) は求められているはず。あとは離散的な時刻 t に応じた (Rx,Ry) をプロットするだけ。

No.82741 - 2022/07/13(Wed) 22:23:42

★ 計算方法 / 牡蠣

1*100+2*99+•••+49*52+50*51を簡単に計算する方法はありますか？(和が101になるように数字を組み合わせています。)

No.82730 - 2022/07/12(Tue) 13:49:35

☆ Re: 計算方法 / ヨッシー

を用いると、
Σ[k=1～50]k(101-k)＝Σ[k=1～50](101k－k^2)
　＝101×(50×51)/2－(50×51×101)/6
　＝(101×50×51)(1/2－1/6)
　＝(101×50×51)/3＝85850
となります。

No.82731 - 2022/07/12(Tue) 14:24:36

☆ Re: 計算方法 / 牡蠣

ありがとうございます！！

No.82732 - 2022/07/12(Tue) 16:45:21

★ 標準正規確率変数について / ぱん

標準正規確率変数Z〜N（０、１）に関して、次の確率を計算せよ。ただし小数点以下第四桁まで四捨五入せよ
Pz(Z<1.96)
Pz(-1.96<Z<1.96)

全く分からないので答えおしえてくれたらありがたいです！

No.82727 - 2022/07/11(Mon) 21:49:46

☆ Re: 標準正規確率変数について / X

Pz(Z＜1.96)=1-Pz(1.96≦Z)
又、正規分布の確率密度関数
のグラフの対称性から
Pz(-1.96＜Z＜1.96)=1-2Pz(1.96≦Z)

後は正規分布表を使って
Pz(1.96≦Z)
の値を求めます。

No.82729 - 2022/07/12(Tue) 06:40:01

★ 緊急で教えてください！ / さすけ

まず何を答えれば良いか分かりません。
また、答えも教えてください。、

No.82719 - 2022/07/11(Mon) 05:16:50

☆ Re: 緊急で教えてください！ / ヨッシー

いつもは、至急とか緊急とか書いてあるのは後回しにするのですが、(じっくり取り組む気がないため)
これは朝飯前なのでサクッと。

上のような図を考えて、
　cos(π/3)＝BC/AB, sin(π/3)＝AC/AB, tan(π/3)＝AC/BC
を求めるということです。

No.82720 - 2022/07/11(Mon) 09:23:44

★ 三角比と確率 / Nao

添付の大問2つがわかりません。

大問4は(1)2、(2)1、(3)(2+√3)/2

大問5は(1)8/15、(2)3/5

までは解けたのですが、その先がわかりません。
解答解説がないため、おわかりになる方、正答をお教えいただけないでしょうか。

No.82712 - 2022/07/10(Sun) 13:34:54

☆ Re: 三角比と確率 / X

[4](4)
以下、ベクトルを使ってもよいという前提での
回答ですので注意して下さい。

(1)(2)の結果から線分ACが四角形ABCDが内接する円
の直径であることが分かります。
そこで
↑DC=↑b
↑DA=↑a
とすると、円周角により
↑a・↑b=0 (A)
又
|↑a|=|↑b|=√2 (B)
更に
↑DE=x↑a+y↑b
(x,yはx+y=1 (P),0≦x,0≦yなる実数)
↑DB=k↑DE
(kは1＜kなる実数)
と置くことができます。
このとき
↑BC=↑DC-↑DB
=k(x↑a+y↑b)-↑b
=kx↑a+(ky-1)↑b (C)
↑BA=↑DC-↑DA
=(kx-1)↑a+ky↑b (D)
又、円周角により
↑BC・↑BA=0 (E)
更に
|↑BC|=√3 (F)
|↑BA|=1 (G)
(C)(D)(E)より
2(kx-1)kx+2(ky-1)ky=0 (E)'
(C)(F)より
2(kx)^2+2(ky-1)^2=3 (F)'
(C)(G)より
2(kx-1)^2+2(ky)^2=1 (G)'
(E)'(F)'(G)'をk,x,yについての
連立方程式として解きます。
(F)'-(G)'より
kx-ky=1/2 (H)
(H)を用いて(E)'からxを消去すると
(ky-1/2)(ky+1/2)+(ky-1)ky=0
2(ky)^2-ky-1/4=0
8(ky)^2-4ky-1=0
∴ky＞0に注意すると
ky=(1+√3)/4 (I)
これを(H)に代入して
kx=(3+√3)/4 (J)
よって(I),(J)から
AE:EC=y:x=(1+√3):(3+√3)
=2:(3+√3)(-1+√3)
=1:√3
となるので△ABEの面積をSとすると
S={(1/2)AB・BC}(AE/AC)
={(1/2)AB・BC}{AE/(AE+EC)}
=(1/2)(√3)/(1+√3)
=(1/4)(√3)(√3-1)
=(3-√3)/4
(もっと簡単な方法があるかもしれません)

No.82714 - 2022/07/10(Sun) 15:02:42

☆ Re: 三角比と確率 / X

[5]
一回のTの操作により、赤玉がk個(k=0,1,2)出る
確率をQ(k)と置くと
Q(0)=(2C2)/(6C2)=1/15
Q(2)=(4C2)/(6C2)=6/15
又、(1)の結果から
Q(1)=8/15
(3)
題意を満たすためには、2回のTの操作において
赤玉1個、白玉1個が出る回が1回
赤玉0個、白玉2個が出る回が1回
となればよいので、求める確率は
Q(0)Q(1)+Q(1)Q(0)=16/225

(4)
題意を満たすためには、2回のTの操作において
赤玉2個、白玉0個が出る回が1回
かつ
赤玉0個、白玉2個が出る回が1回
又は
赤玉1個、白玉1個が出る回が2回
となればよいので、求める確率は
Q(0)Q(2)+Q(2)Q(0)+{Q(1)}^2
=(12+64)/225
=76/225

No.82715 - 2022/07/10(Sun) 15:17:49

☆ Re: 三角比と確率 / Nao

Xさま

すごくご丁寧な解説、ありがとうございました！
理解できました！

No.82718 - 2022/07/10(Sun) 23:25:50

★ 二重積分 / グリーンの定理

グリーンの定理を用いてこの二重積分解くにはどうしたらいいでしょうか？

No.82706 - 2022/07/09(Sat) 13:02:01

☆ Re: 二重積分 / X

∂Q/∂x-∂P/∂y=x^2+2y^2
を満たすP(x,y),Q(x,y)として
P=-(2/3)y^3
Q=(1/3)x^3
を選ぶと、グリーンの定理により
(与式)=∫[C]{Pdx+Qdy}
=∫[C]{{-(2/3)y^3}dx+{(1/3)x^3}dy}
(但しC:x^2+y^2=4で積分路の向きは反時計回り)
=∫[θ:0→2π]{{(2/3)(2sinθ)^3}(2sinθ)
+{(1/3)(2cosθ)^3}(2cosθ)}dθ
=(1/3)∫[θ:0→2π]{2(2sinθ)^4+(2cosθ)^4}dθ
=(1/3)∫[θ:0→2π]{8(1-cos2θ)^2+4(1+cos2θ)^2}dθ
=(4/3)∫[θ:0→2π]{3-2cos2θ+3(cos2θ)^2}dθ
=(4/3)∫[θ:0→2π]{3-2cos2θ+3/2+(3/2)cos4θ}dθ
=12π

No.82707 - 2022/07/09(Sat) 17:23:09

☆ Re: 二重積分 / グリーンの定理

ありがとうございます

No.82708 - 2022/07/09(Sat) 18:10:03

★ どこが間違っているか？ / 名無し

問
△ABCにおいてAB=2、AC=3、角B=2×角Cを満たしているとき、BCの長さを求めよ。

cosθ＝3/4を求めた後に以下のように余弦定理を用いましたが、答えを見ると、BCは5/2のみで、どうやら2が余計なようです。どこに誤りが生じているのでしょうか？

No.82698 - 2022/07/09(Sat) 10:50:13

☆ Re: どこが間違っているか？ / X

名無しさんの解いた方程式の元になっている
∠Cに関する余弦定理の中において
∠B=2∠C
という条件を直接使っていないため、
得られたxの値の中に
∠B≠2∠C
となる場合の値(つまりx=2)も含まれて
しまっている、ということです。

cosC=3/4
∠B=2C
からcosAを求めた上で、∠Aに関する
余弦定理を使えば
x=5/2
のみが値として得られます。

No.82701 - 2022/07/09(Sat) 11:39:43

☆ Re: どこが間違っているか？ / X

この問題の場合
AB=2
AC=3
∠B=2∠C
cosC=3/4
となることから、△ABCの形状が一つに定まりますので
xの値が2つ出てきたら、片方は不適と考える必要が
ありますが、確かに気付きにくいですね。

No.82702 - 2022/07/09(Sat) 11:49:08

☆ Re: どこが間違っているか？ / 名無し

お二方とも、ありがとうございます。
条件をしっかりと使ってあげることが大事ですね。

No.82704 - 2022/07/09(Sat) 12:22:42

☆ Re: どこが間違っているか？ / らすかる

正弦定理なら不適解は出ません。
cosC=3/4から
cos2C=1/8,sinC=√7/4,sin2C=3√7/8
sinA=sin3C=5√7/16
正弦定理からx=(sinA/sinC)AB=5/2

No.82705 - 2022/07/09(Sat) 12:36:04

★ 線積分について / 線積分

この問題をグリーンの定理を使わずに普通に計算する方法を教えて頂きたいです.

No.82694 - 2022/07/09(Sat) 10:02:13

☆ Re: 線積分について / X

積分路の向きに指定がないので、反時計回りに
取ることにします。

y=√xのときx=y^2となることに注意すると
条件から
I=∫[x:0→1]{(x^2+x^4)dx-2x(x^3)dx}
+∫[y:1→0]{2y(y^4+y^2)dy-(y^3)dy}
=∫[x:0→1]{(x^2-x^4)dx+∫[y:1→0](2y^5+y^3)dy
=∫[x:0→1]{(x^2-x^4-2x^5-x^3)dx
=1/3-1/5-1/3-1/4
=-9/20

注)
積分路の向きが時計回りなら
I=9/20
となります。

No.82697 - 2022/07/09(Sat) 10:46:50

☆ Re: 線積分について / 線積分

ありがとうございます！

No.82703 - 2022/07/09(Sat) 11:55:37

★ 要素の和 / 牡蠣

Aを1以上100以下の整数の集合とする。これを異なる2つの要素からなる50個の部分集合の族
A={{a_1,b_1},{a_2,b_2},•••{a_50,b_50}}に分割したとき以下を満たす分割Aを求めよ。

{a_i,b_i}と{a_j,b_j}それぞれの要素の和の積を足し合わせた値
Σ[1≦i<j≦50](a_i+b_i)*(a_j+b_j)
=Σ[i=1~49]Σ[j=i+1~50] (a_i+b_i)*(a_j+b_j)
の最大値を求めよ。
値を求める+証明が必要な問題です。
証明は自力でするので、値のみご教授いただきたいです。

No.82689 - 2022/07/08(Fri) 21:58:33

☆ Re: 要素の和 / らすかる

最大値は多分 12496225 だと思います。

No.82691 - 2022/07/09(Sat) 01:41:13

☆ Re: 要素の和 / 牡蠣

ありがとうございます。
数字の組み合わせも教えていただきたいです。

No.82692 - 2022/07/09(Sat) 07:27:39

☆ Re: 要素の和 / らすかる

(1,100),(2,99),(3,98),・・・,(50,51)です。

No.82695 - 2022/07/09(Sat) 10:05:42

☆ Re: 要素の和 / 牡蠣

ありがとうございます！！

No.82696 - 2022/07/09(Sat) 10:43:00

★ 極限 / 米粉

十分大きな自然数nに対し、n!、n^nの大小関係を求める問題が分かりません。解いていく手順など詳しく教えていただきたいです。お願いします。n！はnの階乗で、n^nはnのn乗です。

No.82681 - 2022/07/07(Thu) 17:10:36

☆ Re: 極限 / ast

明らかに任意の自然数 n に対して n! ≤ n^n (n=1 以外では明らかに < で成り立つ) です.
# n! は n 以下の自然数を, n^n は n をそれぞれ因子として n 個掛けたものだから手順もくそもない.

見ての通り "n が十分大きい" 必要はまったくないし, これの大小そのものを問題にする文脈があるとも考えにくいですから, 実際に扱おうとしているのは全然別の主張なのではないのかという疑念しか浮かばないですね.

No.82682 - 2022/07/07(Thu) 17:47:24

☆ Re: 極限 / らすかる

n=2のときn!=2,n^n=4なのでn!＜n^n
n=kのときn!＜n^nが成り立つとすると
n=k+1のとき
n!=(k+1)!=(k+1)・k!＜(k+1)・k^k＜(k+1)・(k+1)^k=(k+1)^(k+1)=n^n
なのでn!＜n^nが成り立つ。
よってn≧2のときn!＜n^n。

No.82683 - 2022/07/08(Fri) 01:13:19

★ 軌跡 / な

aは定数でa>1とし、点(a,0)を通る傾きmの直線と円x^2+y^2=1が異なる2点A,Bで交わる。
(1)mの値の範囲を求めよ。
(2)(1)で求めた範囲をmが動くとき線分ABの中点の軌跡を求めよ。

(2)で線分ABの中点を点(X,Y)として、解と係数の関係などを使った軌跡をまとめようとしたらら、明らかに違う直線の方程式が出たのですが、(Y=-(1/m)X m≠0じゃないが)どこが間違っているのか教えて下さい。あと模範解答も待ってます。

No.82677 - 2022/07/06(Wed) 23:32:53

☆ Re: 軌跡 / X

Y=-(1/m)X
ではmが変数なので、変形が中途半端です。
これを以って
軌跡が直線である
とは言えません。
(傾きが変数になっていますので、この形では
原点を通る直線の集合(但し、Y=0は含まず)
としか言えません。)

軌跡が曲線の場合、方程式は次の(i)(ii)いずれかの形になります。
(i)
mが完全に消去されたX,Yで表された方程式
(ii)
X=f(m)
Y=g(m)
(f(m),g(m)はmの関数)

軌跡の形状を判断する場合は、
(i)の形にして一目で分かるように
するのが一般的な方針です。

但し、(ii)の式の形に変形して、
軌跡の形状が分かる場合もあります。
例)
X=cosm
Y=sinm
(mは0≦m≦πなる変数)
これは
原点を中心としたX軸に関して上側の半径1の半円
を表します。

No.82679 - 2022/07/07(Thu) 06:13:13

★ 面積分 / 面積分

写真のように解きましたが
解答は4πで合いませんでした。
どこが間違っているでしょうか？

No.82671 - 2022/07/06(Wed) 12:13:59

☆ Re: 面積分 / X

極座標に変換した後の被積分関数にヤコビヤンが
かけられていないのも誤りですが、それ以前に
途中からの計算がSのz≧0の部分のみの積分に
なってしまっています。

ちなみにこの積分は面積分さんのような
複雑な計算をしなくても解けます。
S上においてr=aですので
(与式)=∫∫[S]dS/r^2=(1/a^2)∫∫[S]dS
=(1/a^2)・4πa^2
=4π

No.82673 - 2022/07/06(Wed) 18:30:22

☆ Re: 面積分 / 面積分

ありがとうございます。

No.82678 - 2022/07/07(Thu) 02:18:26

★ 整数(合同式) / Nao

合同式の単元での問題ですので、合同式を用いて解く問題だと思うのですが、解けません。。。
解答がないため正答をお示しできないのですが、お分かりになる方、解説いただけないでしょうか。

No.82667 - 2022/07/06(Wed) 00:26:44

☆ Re: 整数(合同式) / ヨッシー

7x＝1000－18y　を７を法にした合同式にすると、
　0≡6－4y
　y≡5
よって、y は、
　5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54
の８個であり、それに対するｘは、
　130, 112, 94, 76, 58, 40, 22, 4
です。

No.82669 - 2022/07/06(Wed) 08:27:30

☆ Re: 整数(合同式) / Nao

よくわかりました。
ありがとうございました。

No.82675 - 2022/07/06(Wed) 20:47:13