ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 余剰定理 / さかなくん

正式P（x）をx－１で割ると余りー２、x－９で割ると余り２
であるとき、P(x)をx＾２－１０x+９で割った余りを求めよ。

以前こちらで教えられたとおり

p（x）＝Q(x)(x-1)-2・・?@
Q(x)＝A(x)(x-9)＋２・・?Aと書いて
?Aを?@に代入し
p（x）＝A(x)(x-9))(x-1)+２x－４となったので
余りである答えを２xー４と考えたら間違ってました。

なぜでしょう？？

答えは(1/2)x-5/2との事です。

No.24800 - 2014/03/10(Mon) 02:16:04

☆ Re: 余剰定理 / らすかる

Q(x)を(x-9)で割った余りはわかりませんので
Q(x)＝A(x)(x-9)＋２・・?A とはおけません。

No.24802 - 2014/03/10(Mon) 06:59:17

☆ Re: 余剰定理 / さかなくん

x－１で割ると余りー２、x－９で割ると余り２☚☚

余りはに２です。

よろしくお願いします。

No.24810 - 2014/03/10(Mon) 11:58:35

☆ Re: 余剰定理 / らすかる

「P（x）をx－１で割ると余りー２、x－９で割ると余り２」
というのは
「P(x)をx-1で割ると余り-2、P(x)をx-9で割ると余り2」
という意味であって、決して
「P(x)をx-1で割ると余り-2、P(x)をx-1で割った商をx-9で割ると余り2」
という意味ではありません。

従って、条件から
「P(x)をx-9で割った余りは2」ということはわかりますが、
Q(x)をx-9で割った余りはわかりませんので、
P(x)=A(x)(x-9)+2
とおくことはできますが、
Q(x)=A(x)(x-9)+2
とおくことはできません。

No.24812 - 2014/03/10(Mon) 17:38:10

☆ Re: 余剰定理 / さかなくん

らすかる様、ありがとうござました。

Q(x)=A(x)(x-9)+aと置き代入し
p（x）＝A(x)(x-9))(x-1)+（x－１）a-2
ができ、P(x)＝（x－９）Z(x)+2からP（9）＝２
を使って　aが出せましてなんとか解くことができました。

アドバイスは頂きましたが、自力でできたので
身についたと思います。

こちらの解答を見ると

p（x）＝Q１(x)(x-1)-2・・?@
p（x）＝Q2(x)(x-9)＋２・・?A
p（x）＝Q3(x)（x－１）（x－９）+ax+b・・?B
とおいて、?@と?Aにxにそれぞれ１と９を入れ
p（１）＝-2
p（９）＝２を使って連立方程式でといていました。

この解き方はわかるのですが、前回こちらで教わった
解き方が
Q(x)=A(x)(x-9)+aと置き代入し
p（x）＝A(x)(x-9))(x-1)+（x－１）a-2
ができ、P(x)＝（x－９）Z(x)+2からP（9）＝２
だったため、こちらを使用する解き方で覚えて
活用していこうと思います。

後者の解き方も一応覚えて、使えるようにしておいたほうが
よいのですかね？

できれば、アドバイスしてください。

No.24818 - 2014/03/10(Mon) 23:47:52

☆ Re: 余剰定理 / らすかる

解き方はいろいろ覚えた方がいいです。
問題によっては「こちらの解き方は使えるが、
こちらの解き方は使えない（もしくは使いにくい）」
ということもあり得ます。

No.24821 - 2014/03/11(Tue) 00:56:18

★ (No Subject) / ヒキニート

xy平面上において、曲線Hに上方から接しながら滑ることなく転がる1辺の長さが2aの正方形ABCDの中点Qの描く軌跡をFとする。ただし、正方形上の接点Pは辺AB上(両方端点を除く)にあるものとする。
(1)曲線Hが、方程式y=-a/2(e^(x/a)+e^(-x/a)) (|x|＜alog(1+√2))で与えられるとき、Fを求めよ。
(2)曲線Hが上に凸で、Fがx軸上の線分になるとき、↑PQはy軸に平行であることを示せ。
(3) (2)において、曲線Hを求めよ。

という問題で(1)は以下のように解きました。

f(x)=-(a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))としてf'(x)=-1/2(e^(x/a)-e^(-x/a))
よって、Hの長さは対称性から、
2?甜0→alog(1+√2]√(1+f'(x)^2)dx=2?甜0→alog(1+√2)] 1/2(e^(x/a)+e^(-x/a))dx=2［e^(x/a)-e^(-x/a)］ =2a
曲線Hの長さABよりPとABの中点Mが一致するときPはP(0,-a)である。
Fはy軸に関して対称なので、x≧0の部分を考える。
MP＝tとして、P(s,-aA/2)(A=e^(x/a)+e^(-x/a),B=e^(x/a)-e^(-x/a))とすると、
↑PM=t/√(1+f'(x)^2)・(-1,f'(s))=(-2t/A,tB/A)
↑MQ=a/√(1+f'(x)^2)・(-f'(s),1)=aB/A,2a/A)であり、また、
?甜0→t] √(1+f'(x))dt=t、t=aB/2なので計算すると、
↑OQ=↑OP+↑PM+↑MQ=(s,0)となる。
よって、曲線Hの方程式はy=0 (|x|＜alog(1+√2)) である。

(2),(3)は、(1)の答えから(1)の曲線H(とそれをx方向に平行移動したすべての関数,x→x-c(cは任意定数)と置き換えればよい)であろうと推測できます(少なくとも(1)のHは条件を満たします)。

(2),(3)では,(1)でf(x)に関数を代入したところを代入せずに、未知の関数としてそのまま計算していき、x軸上に軌跡があることからベクトルOQのy座標が常に0となるとすると、微分方程式が出てきて、それを解けばよいですが、ただ、その微分方程式は任意定数を含んだ関数の解がただ一つ求まるということは周知の事実のようなので、その事実と(1)の関数がその微分方程式を満たすことから、微分方程式を解かなくても(1)の関数が(3)の答えであるということは言えます。それを踏まえると、(2)は(1)のベクトルの足し算のところを見ればすぐにいえるらしいです。

どなたか(2)と(3)の解答を簡単にでもいいので書いてくれませんか？お願いします。

No.24793 - 2014/03/09(Sun) 20:14:28

☆ Re: / ヒキニート

(2)はできましたが、(3)で微分方程式がたてれません。

No.24798 - 2014/03/10(Mon) 01:15:34

☆ 方針 / angel

多分ですが、f のまま式を組み立てるよりも、媒介変数(パラメタ)を使った表現にした方が(2),(3)とも楽にかけると思います。
…それでもしっかり書ききるのはなかなか大変でしょうが。

先にどのように媒介変数を使うかですが、ずばり、基準点から曲線を長さ t ( 符号あり ) 進んだ所の点を (x,y) ( tの関数 ) としてしまうという、ちょうど数直線を曲げて考えるような使い方が良いです。

媒介変数を使った場合の曲線の長さは
　∫ √( (dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )dt
で表されますが、これが t に等しいということは ∫ の中身が定数 1、これにより dx/dt=cosθ, dy/dt=sinθ ( θはtの関数 ) と表現できるので都合が良いのです。
何が都合が良いかというと、曲線とx軸のなす角がθ ( 傾き tanθ ) という所です。

後は点Qのy座標が0 …というよりも定数 ( つまり dq/dt=0 ) であることを利用して整理していきます。

No.24841 - 2014/03/13(Thu) 00:14:59

☆ 解答例（概要） / angel

曲線Hをy=g(x)とし、t = ∫[0,x] √( 1+g'(z)^2 )dz と置く時、
x=0 において t=0、dx/dt＞0
また、y=g(x)に対し dt/dt = √( (dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )
であるため、(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=1
これにより、あるtの関数θにより、dx/dt=cosθ, dy/dt=sinθ ( dx/dt＞0 より -π/2＜θ＜π/2 ) とおける。
同時に、dy/dx=(dy/dt)/(dx/dy)=tanθである。
これは、曲線Hの接線がx軸となす角が、時計周り方向の角を正としてθとなることを表す。

さて、正方形を転がした時、ABの中点MとPとの距離は、ある定数 c を用いて、符号付き ( Mの方がPよりもx軸正方向にある時に正 ) で t-c となる。
これにより、点Qのy座標qは、接点Pに対応した t,y,θを用いて
　q = y - (t-c)sinθ + acosθ
となる。
今、q=0 で一定であることから dq/dt=0 よって
　dy/dt - ( sinθ+(t-c)dθ/dt・cosθ ) - adθ/dt・sinθ = 0
dy/dt=sinθを考慮してまとめると
　dθ/dt・( (t-c)cosθ+asinθ ) = 0
よって、tanθ=-(t-c)/a

(2)
　直角をはさむ2辺が |t-c|,a となる直角三角形の角が|θ|となることから、θ,t-cの正負に注意して図を描くと、QがPの真上に来ることが分かります。
　※図を描くのが面倒なのでちょっと手抜き
(3)
　tanθ=-(t-c)/a, cosθ＞0 より、
　cosθ=a/√(a^2+(t-c)^2), sinθ=-(t-c)/√(a^2+(t-c)^2)
　よって x=∫[0,t]a/√(a^2+(z-c)^2)・dz, y=∫[0,t] (z-c)/√(a^2+(z-c)^2)・dz + C ( Cは定数 )

　ゆえに、c,C に応じて曲線Hは一意に定まる。
　ところで、(1)のy=f(x)については、x=0 におけるPはABの中点Mに一致する。
　これは上記のケースで c=0, C=f(0) の場合に相当する
　そのため、x0(t)=∫[0,t]a/√(a^2+z^2)・dz, y0(t)=∫[0,t] z/√(a^2+z^2)・dz + f(0) とすると、y0(t)=f(x0(t))

　一方、H上の点(x,y)に関して
　x=∫[0,t]a/√(a^2+(z-c)^2)・dz=x0(t-c)-x0(-c)
　y=∫[0,t](z-c)/√(a^2+(z-c)^2)・dz=y0(t-c)-y0(-c)

　以上により、y=f(x+x0(-c))-y0(-c)+C
　文字を置きかえると一般に y=f(x-p)+r と表される。
　Hの極大点のy座標が常に-aとなることも考慮するとr=0
　すなわち、H は y=f(x-p) ( pは任意の実数 )

No.24842 - 2014/03/13(Thu) 01:41:10

★ 証明問題 / ふぇるまー

x^5-xy^5は30の倍数であることを示せ。

↑成り立たないと思うのです。
成り立つのならばなぜ成り立つのか教えてください。

No.24787 - 2014/03/09(Sun) 17:44:51

☆ Re: 証明問題 / ペンギン

もし、この式が合っているならば成り立たないです。

例えば、x=y=2を代入すると、32-64=-32となり、30の倍数ではありません。

No.24789 - 2014/03/09(Sun) 17:55:06

☆ Re: 証明問題 / ヨッシー

x,y の条件は何ですか？
一般の整数では成り立ちません。（まして一般の実数でなど・・・）

ただこの問題だけが与えられたのでしょうか？

No.24790 - 2014/03/09(Sun) 17:57:57

☆ Re: 証明問題 / angel

「任意の整数x,yに対して x^5・y-x・y^5が30の倍数であることを示せ」なら問題として成立しますね。
件の式が「2の倍数」「3の倍数」「5の倍数」であることを全て示せば必要十分です。
因数分解して、それぞれの因数がぴったりXXの倍数である状況を除いていけば、調べるケースはかなり少なくて済みます。

No.24792 - 2014/03/09(Sun) 19:59:43

☆ 参考 / angel

ちょっとトリッキーですが、ある変形をすればほとんど条件分けせずとも一発ですね。

例えば5の倍数のお話であれば、
　y・x(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)
は任意のx,yに対して5の倍数です。
なぜならば、

・もし x,(x+y),(x+2y),(x+3y),(x+4y) それぞれを5で割った余りが全て異なるならば、この中に余り0 ( 5の倍数 ) が存在する
※余りの候補は5種類しかないから…「鳩ノ巣原理」というモノ
・もし x,(x+y),(x+2y),(x+3y),(x+4y) の中に、5で割った余りが等しくなる組があるなら、その差 ky ( 1≦k≦4 ) が5の倍数のため結局 y が5の倍数

いずれにせよ、因数のいずれかが5の倍数

で、
　x^5・y-x・y^5
　= xy(x-y)(x+y)(x^2+y^2)
　= y・x(x+y)(x^2+y^2)(x-y)
　= y・x(x+y)(x^2+5xy+6y^2-5xy-5y^2)(x+4y-5y)
　= y・x(x+y)( (x+2y)(x+3y)-5y(x-y) )(x+4y-5y)
　= y・x(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + 5y・x(x+y)( 5y^2(x-y)-(x-y)(x+4y)-y(x+2y)(x+3y) )
と変形できますからね。

…素直に場合分けした方が解答書くのは楽ですね。
※せめてmodを使えばもうちょっと楽には書けますが

No.24794 - 2014/03/09(Sun) 20:25:55

☆ Re: 証明問題 / ふぇるまー

皆様、たくさんご返事有難うございます！条件はx、yを整数とするという条件だけです。皆さんのアドバイスをもとにがんばってみます

No.24795 - 2014/03/09(Sun) 22:03:16

☆ Re: 証明問題 / ふぇるまー

こちらの解説を基に友人らと説いてできました。ありがとうございました。

No.24814 - 2014/03/10(Mon) 18:35:58

★ ベクトル　数B / さかなくん

→a=（1,-2,-1）→b（3.3.6）のなす角θを求めなさい。

［］は絶対値の記号です。

cosθ＝→a・→b/［→a］［→b］となるのは
わかるのですが、平面ベクトルの［→a］は出せるんですが
空間ベクトルになると成分が３つになり計算の仕方がわかりません。

よろしくお願いします。

No.24786 - 2014/03/09(Sun) 17:44:42

☆ Re: ベクトル　数B / ヨッシー

ａ＝(x,y,z) において
　|ａ|＝√(x^2+y^2+z^2)
です。

No.24788 - 2014/03/09(Sun) 17:53:59

☆ Re: ベクトル　数B / さかなくん

ありがとうございました。
ちなみに答えがないのですが、cosθ＝-1/2になったので
１２０°としたのですが、この場合0≦θ≦１８０°まで考えればよいのですか？
普通なら求める範囲が与えられているのでしょうか？

こちらは数検２級のHPの過去問から抜粋しています。

No.24791 - 2014/03/09(Sun) 18:44:51

☆ Re: ベクトル　数B / ヨッシー

ベクトルのなす角は 0≦θ≦１８０°
直線のなす角は0≦θ≦９０°
の範囲で答えるのが普通です。
というか、例外は見たことがありません。

No.24796 - 2014/03/09(Sun) 23:33:46

☆ Re: ベクトル　数B / さかなくん

そうなんですね。
ありがとうございますm(__)m
数検は４月なので、２級あたりを目指して頑張ります

No.24797 - 2014/03/10(Mon) 00:44:54

★ 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / あす

微分と導関数とヤコピアンは同じ物なのでしょうか?

lim_{h→0}|f(x+h)-f(x)-λ(h)|/|h|=0 (但し,h∈R^m)が成立つ線形写像λをfの微分というのだと思います。
このλは
∂f_1(x)/∂x_1,∂f_1(x)/∂x_2,…,∂f_1(x)/∂x_m
∂f_2(x)/∂x_1,∂f_2(x)/∂x_2,…,∂f_2(x)/∂x_m
:
∂f_n(x)/∂x_1,∂f_n(x)/∂x_2,…,∂f_n(x)/∂x_m
というm×n行列で表されヤコビアンとも呼ばれる。

という解釈で正しいのでしょうか?
つまり,微分は線形写像でヤコピアンはその表現行列の事でしょうか?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97
にあるようにヤコビアンは導関数(傾き)に相当するみたいです。

例:
f:R^3→R^2がf(x,y,z)=t(xy^2+2z,2-5x+yz^4)の時、
f_1=xy^2+2z、f_2=2-5x+yz^4と於いて,

∂f_1/∂x,∂f_1/∂y,∂f_1/∂z
∂f_2/∂x,∂f_2/∂y,∂f_2/∂z
=
y^2,x,2
-5,z^4,4yz^3
がヤコピアンで
これに(x,y,z)=(-1,0,2)を代入した
0,-1,2
-5,16,0
がfの点(-1,0,2)での微分係数と呼んだりするのでしょうか?

この
y^2,x,2
-5,z^4,4yz^3
fの微分λの表現行列になってますが
この像λ(h_1,h_2,h_3)
=
h_2^2+h_1+2
-5+h_3^4+4h_2h_3^3
は一体何を表しているのでしょうか?

No.24767 - 2014/03/08(Sat) 07:30:43

☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / angel

> 微分と導関数とヤコピアンは同じ物なのでしょうか?
「微分」と言った場合は、元の関数から導関数を求める「操作」もしくは「写像」を指すでしょうから、微分≠導関数でしょう。
「ヤコビ行列」であれば導関数を拡張したモノなので、まあ同じようなものと言えなくもないですが、「ヤコビアン」はその行列式なので、明らかにヤコビアン≠導関数です。
※ひょっとして「ヤコビ行列」と「ヤコビアン」を混同している?

> 微分は線形写像でヤコピアンはその表現行列の事でしょうか?
「微分」が関数から導関数に対する一種の「線形写像」であることは確かですが、それとヤコビ行列の話は切り離して考えた方が良いと思います。
そもそも導関数そのものは線形写像ではないため、「表現行列」という用語は合っていません。
あくまで f:n次元ベクトル→m次元ベクトルに微分(のような操作)を施すと、f'のようなもの:n次元ベクトル→n×m次行列という関数ができる、そのできた関数のことを ( 行列を値とする関数なので ) ヤコビ行列と言っています。

> ～がfの点(-1,0,2)での微分係数と呼んだりするのでしょうか?
行列なので「微分係数」とは呼ばないと思います。
※というか、そういった用語が特にあるかどうかは聞いたことがない…
ただ、微分係数を拡張したものなので、同じような意味を持つとは言えるでしょう。

>この像λ(h_1,h_2,h_3)=…は一体何を表しているのでしょうか?
高校で習う微分での微分係数の性質、
　Δf(x)≒αΔx ( αを微分係数とする )
すなわち、
　f(x+h)-f(x)≒αh ( h≒0 )
と同じこと。その拡張です。
　f(ｖ+ｈ)-f(ｖ)≒Ａｈ ( ｈ≒0, ｖ,ｈはn次元ベクトル、Ａはm×n行列、式全体はm次元ベクトル )
つまりλ(h1,h2,h3) はこの式のＡｈに相当し、fの値 ( ベクトル ) がｈに応じてどの程度変化するかを表しています。

No.24775 - 2014/03/09(Sun) 00:01:08

☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / あす

仰る通り

ヤコビアン
↓
ヤコビ行列

でした。書きミスしておりました。

No.24780 - 2014/03/09(Sun) 09:03:52

☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / あす

有難うございます。お蔭様で明るくなりました。

> 行列なので「微分係数」とは呼ばないと思います。
> ※というか、そういった用語が特にあるかどうかは聞いたことがない…

下記にて全微分係数という用語が載ってますがこれとは無関係ですかね?

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)

No.24825 - 2014/03/11(Tue) 08:22:23

★ 問題がわかりません。 / よし

A,Bの2人がm個の硬貨を分ける。
レーシングゲームをして勝った者は負けた者から硬貨を1枚受け取ることができ、硬貨をすべて先取したものが最終的な勝者とする。はじめにn個の硬貨を持っていた者が勝つ確率を
Pn(0<n≦m)とする。

この問題設定で疑問なのは、
0<n≦mについてどうしてn=mの場合が含まれているのかというところです。
m個のコインを分けるのですから、n<mの方がいいのではないかと思うのですがどうなんでんしょうか？
分かる方教えてください。お願いします。

No.24763 - 2014/03/07(Fri) 23:06:21

☆ Re: 問題がわかりません。 / ヨッシー

ｎ＝ｍを含むこと自体問題はないですが、
ならば、ｎ＝０も入れるべきでしょう。
０≦ｎ≦ｍ　か　０＜ｎ＜ｍの方が一貫性はありますね。
では、どちらが良いかというと、このあと、どんな問題が
準備されているかということにもよるでしょうし、
それが特にないなら、あとは好みの問題です。
普遍性を求めるなら、０≦ｎ≦ｍでしょう。

No.24769 - 2014/03/08(Sat) 08:44:08

☆ Re: 問題がわかりません。 / よし

0≦n≦mでn=m=0のときというのは
0個の硬貨を分けるとなり問題が成り立たないと思うのですが
大丈夫なのでしょうか？
お願いします。

No.24771 - 2014/03/08(Sat) 16:53:47

☆ Re: 問題がわかりません。 / ヨッシー

なるほど、では、０≦ｎ≦ｍ、０＜ｍですね。

No.24805 - 2014/03/10(Mon) 07:24:18

★ グラフ・全然わかりません / よし

よろしくお願いします

No.24761 - 2014/03/07(Fri) 20:14:27

☆ Re: グラフ・全然わかりません / ヨッシー

(1)
Ａの座標はわかりますか？
Ｂの座標はわかりますか？
ＡＢの傾きはわかりますか？
(2)

図のようにＣ、Ｄを決めます。
△ＰＡＢは△ＡＢＤと面積が同じなので、
△ＡＢＤの面積をＳと考えます。
△ＡＢＤ＝△ＡＣＤ＋△ＢＣＤ　であり、
　△ＡＣＤ＝ＣＤ×(　　)÷２
　△ＢＣＤ＝ＣＤ×(　　)÷２
なので、
　Ｓ＝ＣＤ×３÷２
です。ＣＤ＝(　　)なので、
　Ｓ＝３－(　　)ａ
となります。
(3)
Ｓ＝３となるのはａ＝０の時なので、
(0,0)を通って、ＡＢに平行な直線が、ｙ＝ｘ^2 と
(0,0) 以外で交わる点が求めるＰです。
(4)
Ｓ＝27/8 となるのはａ＝-1/4 の時なので、
以下同じです。

No.24762 - 2014/03/07(Fri) 22:36:04

☆ Re: グラフ・全然わかりません / よし

> (1)
> Ａの座標はわかりますか？　（-1、1）
> Ｂの座標はわかりますか？　（2、4）
> ＡＢの傾きはわかりますか？　1
> (2)
>
> 図のようにＣ、Ｄを決めます。
> △ＰＡＢは△ＡＢＤと面積が同じなので、
> △ＡＢＤの面積をＳと考えます。
>
なぜ面積が同じになるのですか？
Pが放物線状にあるからですか？

No.24833 - 2014/03/11(Tue) 20:17:16

☆ Re: グラフ・全然わかりません / ヨッシー

ＡＢとＰＤが平行なので、ＡＢを底辺としたときの高さが
等しいからです。

No.24835 - 2014/03/12(Wed) 00:20:40

★ (No Subject) / よう

Y=1に関して1のグラフと対称なグラフはわかりません

No.24756 - 2014/03/07(Fri) 10:42:01

☆ Re: / ヨッシー

ｘ軸（ｙ＝０）に関して対称な移動の場合、
点（ｘ，ｙ）は、点（ｘ，－ｙ）に移ります。
これはわかりますか？

ｙ＝１の場合は、結論からいうと
　（ｘ，ｙ）　→　（ｘ，２－ｙ）
ですが、次のようにして、自分でも確認しておきましょう。
点（ｘ，ｙ）を、ｙ軸方向に－１移動　→（ｘ，ｙ－１）
これを、ｙ軸に関して対称移動　→（ｘ，１－ｙ）
これを、ｙ軸方向に１移動　→（ｘ，２－ｙ）

No.24757 - 2014/03/07(Fri) 11:20:48

☆ Re: / よう

ごめんなさい。
なぜ２－ｙですか
理解できない。。。

No.24759 - 2014/03/07(Fri) 13:31:17

☆ Re: / ヨッシー

まずは、事実から確認しましょう。
(-2,4) の x座標はそのまま、y座標を 2-y とした (-2,-2)、
この２点はｙ＝１に関して対称です。(図の■）
(1,-1) の x座標はそのまま、y座標を 2-y とした (1,3)、
この２点はｙ＝１に関して対称です。(図の●）
(3,2) と (3,0) も同様です。(図の▲）

こういう考え方も出来ます。
点（ｘ，ｙ）と点（ｘ、Ｙ）がｙ＝１に関して対称とします。
（ｘ座標は変わらないので、特に触れません)
（ｘ、ｙ）と（ｘ、Ｙ）の中点のｙ座標が１なので、
　（ｙ＋Ｙ）／２＝１
よって、
　ｙ＋Ｙ＝２
　Ｙ＝２－ｙ
よって、移り先のｙ座標は　２－ｙ　です。

No.24760 - 2014/03/07(Fri) 18:47:59

★ 素数の見極め / √

教えてください。

ある数が「素数」であるかどうかを見極める時に、
小さな数なら分るのですが、

大きな数（例えば４桁以上）になると、
自分に計算力が無くて、
因数が見つからないだけなのではと思ってしまいます。

今年は、２０１４年
２０１４＝２ｘ１００７　ここまで計算すると、
１００７は「素数」なのか、
それとも、因数があるのか、悩んでしまいます。

このように、
大きな数が「素数」かどうかは、
どうやって見極めれば良いでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.24748 - 2014/03/06(Thu) 23:25:51

☆ Re: 素数の見極め / Carp　　中学2年生

あてずっぽう！

No.24749 - 2014/03/07(Fri) 00:01:53

☆ Re: 素数の見極め / angel

取り敢えず1007は19×53なので、素数ではないですね。
仮に素数だとしても、√1007≒32であることから、32未満の奇素数 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 の9通りの数で割り切れるかどうかを試せば済む話となります。
※5で割り切れるかどうかはすぐ分かるので省いています
人間に扱える程度の大きさなら、そうやって虱潰しするしかないのでは。

後はせいぜい計算の工夫でしょうか。
割り切れるかどうかを見るだけなら、上の桁から処理しなくても良いですから。逆向きに筆算するのが早いですね。

No.24750 - 2014/03/07(Fri) 00:08:36

☆ Re: 素数の見極め / ヨッシー

あとは、３で割れるか、７で割れるか、11で…、13で…くらいは
割り切り判定法があります。
17,19,23,29 なども、判定できますが、４桁程度なら割ったほうが早いでしょう。

No.24755 - 2014/03/07(Fri) 08:47:13

☆ Re: 素数の見極め / √

ａｎｇｅｌさん

１００７に因数があったのですね。
お恥ずかしい限りです。

「素数」を並べてみて、順次、割っていけば良いのですね。
私は、２桁以上の素数で割ってみようともしませんでした。

有り難うございました。

ヨッシーさん

「割り切り判定法」参考になりました。

これからは、２９位までは、めんどくさがらずに割ってみようと思います。

有り難うございました。

中学２年生さん

それも一つの方法かも知れませんね。

No.24758 - 2014/03/07(Fri) 11:49:48