a,b∈CでA:={ax+by∈C;x,y≧0,x+y=1}とし,f:A→CはC^1級とする時,
|f(b)-f(a)|≦|b-a|sup{|f'(t)|;t∈A}
という不等式の証明です。
もし実数での話なら
∃t_0∈A;|f(b)-f(a)|/|b-a|≦f'(t_0) (平均値の定理より)
≦sup{|f'(t)|;t∈A}
と示せると思うのですが
平均値の定理の複素数バージョンは見つかりません。
平均値の定理は複素数の世界では成り立たないのでしょうか?
どのように証明できますでしょうか? ご教示お願い申し上げます。
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No.25152 - 2014/03/31(Mon) 02:07:23
| ☆ Re: |f(b)-f(a)|≦|b-a|sup{|f'(t)|;t∈A} / 黄桃 | | | 問題の意味がわからないのでフォローがつかないのでしょう。
とりあえず、
> f:A→CはC^1級
の意味を説明してください。特に、
> f'(t)
はどのように定義されているのでしょうか。
fの定義域がCの領域ではないので、正則とは意味が違うのですよね？
あと、複素関数の平均値の定理といってますが、そのステートメントを記述できますか？
とりあえず、a,b∈C に対し、a<c<b なるc∈Cというのは意味不明なのはいいですよね？
また、1次元なら0から動いていって0に戻ってくるなら、どこかで折り返ししないといけませんが、2次元なら、ぐるっと回っても同じ場所に戻ってくることができますから、ロルの定理の段階でその複素関数版はなさそうだと思えませんか？
定義がわからないので証明についてはなんともいえませんが、
Aの各点z0に対して、そのA内の近傍U(z0)で、z∈U(z0)ならば f(z)=f(z0)+f'(z0)(z-z0)+R(z)(z-z0), R(z)→0 (z→z0) となるものが存在する ... (*)
ということが仮定できれば、あとはAがコンパクトであること、Aがa,bを結ぶ直線であること、からいえます。
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No.25172 - 2014/04/02(Wed) 00:14:32 |
| ☆ Re: |f(b)-f(a)|≦|b-a|sup{|f'(t)|;t∈A} / くるくる | | | レスに感謝してます。
> 問題の意味がわからないのでフォローがつかないのでしょう。
>
> とりあえず、
> > f:A→CはC^1級
> の意味を説明してください。特に、
> > f'(t)
> はどのように定義されているのでしょうか。
B:=A＼{a,b},
H:={h∈C;x+h∈B,x∈B}とする時,
f'(t)=lim_{H∋h→0}(f(x+h)-f(x))/h
が微分係数の定義で
C^1級の定義は
∀x∈Aに対して,∃f'(t)かつf'(t)は連続
と定義しました。
> fの定義域がCの領域ではないので、正則とは意味が違うのですよね？
そうですね。Aには内点が存在しませんからね。
> あと、複素関数の平均値の定理といってますが、そのステートメントを記述できますか？
fがA上で連続でB上でf'(t)が存在し(つまり,fはB上で微分可能)なら
∃c∈B; (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c).
となるのではと予想しました。
> とりあえず、a,b∈C に対し、a<c
そうですね。大小関係は存在しませんからね。
> また、1次元なら0から動いていって0に戻ってくるなら、どこかで折り返ししないといけませんが、2次元なら、ぐるっと回っても同じ場所に戻ってくることができますから、ロルの定理の段階でその複素関数版はなさそうだと思えませんか？
申し訳ありませんが。ここがよく分かりません。
"ぐるっと回って同じ場所に戻ってくる"とはどういう事でしょうか?
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No.25207 - 2014/04/03(Thu) 05:24:17 |
| ☆ Re: |f(b)-f(a)|≦|b-a|sup{|f'(t)|;t∈A} / 黄桃 | | | そのように定義するのであれば、複素関数と考える意味はないですね。CをR^2 としても同じことです。
定義域にしても、回転(複素数倍）と平行移動により、a=O, bは実軸上にしてもよく、さらにb≠a なら実定数倍して b=1にしてもいいですね。
そうすれば、結局 f:[0,1]→R^2 と見ていることになります。
>ぐるっと回って同じ場所に戻ってくる
fの値域が線分ではなく、円のような閉曲線になる場合、ということです。
f(t)をt秒後の位置と思えば、f’(t)はt秒後の速度です。fの値域が線分であれば折り返し点で速度が0になりますが、値域が閉曲線なら速度は0になるとは限りません。１つの座標軸についてみれば必ず折り返し点はあるのですが、複数の方向の折り返し点が一致するとは限りません。
ごちゃごちゃいうより、ご質問の状況で反例をあげるのが簡単ですね。
A=[0,1] (a=0,b=1,B=(0,1))とし、f(t)=(cos(2πt),sin(2πt))とおきます（複素関数版がよければ f(t)=e^(2πit))。
f(0)=f(1) ですから、(f(b)-f(a))/(b-a)=0 です。cos(2πt)=sin(2πt)=0 となるt∈Bは存在しないから、f’(c)=0となるcも存在しません。よって、
∃c∈(0,1); (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)
は偽です。
元の問題は、Bでは(*)が成立する状況ですから、
(1)まず、Bに含まれる任意の閉区間（これはコンパクト）[a[n],b[n]]で成立することを示し、
(2)次に区間の端をa,bに近づければ連続性より[a,b]でも同じ式がいえる
ことを示せばいいでしょう。
(1)を言うには、任意のε>0について、
|f(b[n])-f(a[n])|≦M|b[n]-a[n]|+ε (M=sup f'(z))
をいえばＯＫです。これを言うのにR(z0)の評価が必要です。
ちなみに、Aがa,bを結ぶ線分ではなく、一般の滑らかな曲線γであれば、|b-a|の部分はγの長さになります。
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No.25228 - 2014/04/03(Thu) 23:13:40 |
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