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★ (No Subject) / tt
初歩的なことなのですが、
a^2+16a+4=m^2をみたす整数a,mを求めよ、という問題を教えてください
No.25141 - 2014/03/30(Sun) 10:27:57
☆ Re: / らすかる
(a+8+m)(a+8-m)=60と変形して、掛けて60になる2数を考えればいいですね。
No.25142 - 2014/03/30(Sun) 11:11:48
★ 新２年生です。 / randrf
aベクトル（1,1,1）,
bベクトル(-1,1,2),
cベクトル(2,-1,3),とするとき、
|xaベクトル+ybベクトル+cベクトル|の最小値とその時の実数
x、yの値を求めよという問題が宿題に出たのですが、
イマイチ問題の行っていることが理解できません。方針のイメージがしにくいです。質問がなってないかもしれませんがヘルプです
No.25138 - 2014/03/30(Sun) 08:46:36
☆ Re: 新２年生です。 / angel
> イマイチ問題の行っていることが理解できません。
ベクトルは、( 図形的なことは考えずとも ) 取り敢えず計算を進めれば答えに辿り着けるのがイイ所ですから…。

素直に |xａ+yｂ+ｃ|^2 ( x,yの2次式 ) を計算して、平方完成させれば、答えは出せます。ちょっと計算が面倒ですが。

「その時の実数x,yの値を求めよ」という要請がなければもっと楽できるのですが…。
No.25147 - 2014/03/30(Sun) 14:04:21
☆ Re: 新２年生です。 / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
最小値だけなら・・

ベクトルｃの先にベクトルa、ベクトルbを平行移動します。すると、xaベクトル+ybベクトル+cベクトルが表す図形は平面になります。詳しく言うと「ベクトルaーベクトルｃ」と「ベクトルb-ベクトルｃ」が張る平面になります。

求める答えは原点とその平面の距離になります。
計算ミスしていなければ１１√５/15となりました。
No.25148 - 2014/03/30(Sun) 16:06:27
☆ Re: 新２年生です。 / angel
ポリパラフェニレンテレフタルアミドさん

微妙に誤りがあるようです。
> 詳しく言うと「ベクトルaーベクトルｃ」と「ベクトルb-ベクトルｃ」が張る平面になります。

これは「ベクトルaとベクトルbが張る平面」ですね。
ベクトルcを引くと誤りです。

ちなみに、ベクトルh=(1,-3,2) とすると、a・h=b・h=0 です。
そのため、xａ+yｂ+ｃ を位置ベクトルとする点の集まりは、法線ベクトルをhとする平面、x-3y+2z=α になります。
※xａ+yｂ+ｃで出てくるx,yと、x-3y+2z=αのx,yは意味が違うものですので注意。
この平面は位置ベクトルcに相当する点(2,-1,3)を含みますから、α=11と分かります。

> 計算ミスしていなければ１１√５/15となりました。
x-3y+2z=11 と原点(0,0,0)の距離は、11/√(1^2+3^2+2^2)=11/√14 ですね。有理化して 11/14・√14 これが最小値になります。

なお、x-3y+2z=11上の点で、原点との距離が最小値11/14・√14となる点は、(11/14,-33/14,11/7)であり、
　(11/14,-33/14,11/7)=-9/7・ａ-1/14・ｂ+ｃ
です。

なので、この方針でも解答は作れるのですが、計算量的にはラクになっていません。
No.25149 - 2014/03/30(Sun) 16:52:43
★ (No Subject) / tt
これって漸化式解けるでしょうか？
やはり解けない漸化式もあるのでしょうか、、
No.25117 - 2014/03/29(Sat) 15:57:52
☆ Re: / らすかる
無数にある漸化式のうち、解けるものはごく一部だけであって、
漸化式を解く問題に出されるものは
そのわずかしかない「解ける」漸化式だけです。

その問題は「a[n]の一般項を求めよ」という問題なのですか？
No.25118 - 2014/03/29(Sat) 16:01:06
☆ Re: / tt
回答ありがとうございます。
問題は[a100]をもとめよ。というものです。
これでもなかなか悩まされましたけど>_<
[ ]はガウス記号ですが、念のため
No.25119 - 2014/03/29(Sat) 16:50:19
☆ Re: / angel
ヒント無しだと少しキツいかな…?

大雑把に a[n]≒√(2n) だと気付けばなんとかなると思うのですが…

a[n] を綺麗に表せる式はありませんから、上・下両方から挟んで評価するわけですが、下側の評価として a[n]≧√(2n) ( ただしn=1の時を除く ) はそれほど難しくないと思います。
問題は上側。a[n]≦√(2n+k) のようにするのは無理そうなので…。a[n]≦√(2n)+α のような形ならなんとかなりそうでしょうか。
No.25127 - 2014/03/29(Sat) 20:08:31
☆ Re: / らすかる
問題が「[a[100]]を求めよ」ならば、
多分一般項は出せないのでしょうね。

私が解くとしたら

(a[n+1])^2=(a[n])^2+1/(a[n])^2+2＞(a[n])^2+2
(a[2])^2=4 なので n＞2 のとき (a[n])^2＞2n

a[3]=5/2 から
(a[3])^2＞4 なので n＞2 のとき
(a[n+1])^2=(a[n])^2+1/(a[n])^2+2＜(a[n])^2+9/4
(a[3])^2＜3(9/4) なので n＞2 のとき (a[n])^2＜(9/4)n

∴200＜(a[100])^2＜225 なので [a[100]]=14
No.25129 - 2014/03/29(Sat) 20:18:22
☆ Re: / tt
らすかるさん、いつもありがとうございます。
らすかるさんの解答でわからないところがあったのですが、
(a[2])^2=4 なので n＞2 のとき (a[n])^2＞2n
これはなぜこのように言えるのでしょうか？
No.25134 - 2014/03/30(Sun) 01:02:29
☆ Re: / tt
angelさん、回答ありがとうございます。
a[n]≒√2nというのはどういう発想でしょうか。
教えてくださいm(_ _)m
No.25135 - 2014/03/30(Sun) 01:09:00
☆ Re: / tt
> らすかるさん、いつもありがとうございます。
> らすかるさんの解答でわからないところがあったのですが、
> (a[2])^2=4 なので n＞2 のとき (a[n])^2＞2n
> これはなぜこのように言えるのでしょうか？


すいません、わかりましたm(_ _)m
No.25136 - 2014/03/30(Sun) 01:12:10
☆ Re: / らすかる
angelさんではないですが、私はa[n]≒√(2n)に以下のようにたどり着きました。
a[n]=f(n) つまり関数とみると
f(n+1)=f(n)+1/f(n)
f(n+1)-f(n)=1/f(n)
{f(n+1)-f(n)}/{(n+1)-n}=1/f(n)
f'(n)≒1/f(n)
となります。
微分すると逆数になる関数でパッと思いつくのは
（パッと思いつかなくてもyy'=1を解けばよい）
y=√(2x+C) → y'=1/√(2x+C) ですから
f(n)≒√(2n) と予想できます。

ちなみに私も最初にf(n)≒√(2n)にたどり着いてから
それを使って上下から挟もうと思ったのですが、√だと結構大変で、
(a[n])^2で考えた方が簡単ということに気付きました。
No.25137 - 2014/03/30(Sun) 05:58:18
☆ Re: / angel
> a[n]≒√2nというのはどういう発想でしょうか。

問題が[]を求めるものなので、[a[n]]=1 の時、[a[n]]=2の時、…がそれぞれどうなるかと疑問に思ったのがスタートです。

そうすると、[a[n]]=k となってから a[a[n]]=k+1 になるまで、漸化式からすると、大雑把に k項進める ( 大体 +1/k を k 回程度繰り返す ) ことになりそうだと思いまして。
1+2+…+k-1=k(k-1)/2≒k^2/2 で、a[k^2/2]≒k ということは、裏を返せば a[n]≒√(2n) だな、と。

らすかるさんのように、a[n]^2≒2n にした方が√がなくてやり易かった気もしますが、

　√(2n+2)-√(2n)=2/(√(2n+2)+√(2n))≒1/√(2n)
　※有理化の逆みたいな

があったので、まあ何とかなりそうということで。
No.25144 - 2014/03/30(Sun) 12:55:33
☆ Re: / angel
一応、私の考えた解答例を載せます。[a[100]]=14 を求めるところは、まあ、割愛で。

　関数 f(x)=x+1/x とする時、f'(x)=1-1/x^2 より、x＞1 において f'(x)＞0 すなわち f は x≧1 において単調増加。

　ここで、n≧2 において √(2n)≦a[n]＜√(2n)+1/2 を帰納法により示す。
　・a[2]=a[1]+1/a[1]=2 より n=2 の時成立。
　・k≧2 において √(2k)≦a[k]＜√(2k)+1/2 と仮定すると、
　　√(2k+2)-√(2k)=2/(√(2k+2)+√(2k)) より、
　　1/√(2k+2)＜√(2k+2)-√(2k)＜1/√(2k)
　　これにより、
　　　√(2k+2)＜√(2k)+1/√(2k)、また 1/√(2k)≦1/2 より √(2k+2)＜√(2k)+1/2
　　　√(2k+2)+1/2＞√(2k)+1/2+1/√(2k+2)＞√(2k)+1/2+1/(√(2k)+1/2)
　　上記 f の性質より、√(2k)≧1 であるため
　　　f(√(2k))≦f(a[k])＜f(√(2k)+1/2)
　　以上により、
　　　√(2k+2)＜√(2k)+1/√(2k)=f(√(2k))≦f(a[k])＜f(√(2k)+1/2))=√(2k)+1/2+1/(√(2k)+1/2)＜√(2k+2)+1/2
　　　これと、f(a[k])=a[k+1]により、√(2k+2)≦a[k+1]＜√(2k+2)+1/2
　　　これは、n=k+1 の時も √(2n)≦a[n]＜√(2n)+1/2 が成立することを示す。

　よって、任意のn≧2 において √(2n)≦a[n]＜√(2n)+1/2 が成立する。
No.25146 - 2014/03/30(Sun) 13:35:44
☆ 余談 / angel
蛇足ながら。

私の解答の場合は、√(2n)≦a[n]＜√(2n)+1/2
らすかるさんの解答の場合は、√(2n)≦a[n]＜√(2.25n)
という絞込みをしていることになります。
それぞれ鍵となったのは、
　√(2n+2)-√(2n)=2/(√(2n+2)+√2n)、1/√(2n+2)＜2/(√(2n+2)+√(2n))＜1/√(2n)
　(a[n+1])^2-a[n]^2 = 2+1/a[n]^2、2＜2+1/a[n]^2＜2.25
ですね。

n=100の場合、上限がちょうど√225=15 になることを考えると、出題者が想定していたのはらすかるさんの解法でしょうね。
※私の解答でもいけますが、解答の書き易さが大分違うので。

…という所まで事前に見抜ければ良いのですがね。
まあ、通常であればこういう「解き方の方針」というのは小問等で示されているものであり、ノーヒントで全部解け、というのが難しいのはしようがないところです。
No.25150 - 2014/03/30(Sun) 17:11:17
★ 方程式 / らん
x^2+75-400=0という2次方程式がなかなか解けません...
途中式もお願いします。
No.25112 - 2014/03/29(Sat) 13:14:50
☆ Re: 方程式 / ヨッシー
x^2−3x＋2＝0 なら解けるのでしょうか？
途中も含め、書いてみてください。
No.25115 - 2014/03/29(Sat) 14:36:12
☆ Re: 方程式 / らん
x^2-3x+2=0
x=3±√9-8/2
x=3±√1/2
x=1,2
合ってますか？
No.25120 - 2014/03/29(Sat) 17:24:27
☆ Re: 方程式 / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
合っています。ｘ＝１，２を元の方程式に代入して合っているか確認できます。

二次方程式の解は2個なので、ｘ＝１，２以外に解があることもありません
No.25122 - 2014/03/29(Sat) 17:59:20
☆ Re: 方程式 / angel
> x=1,2
> 合ってますか？
合っています。
…が、解の公式よりも前に因数分解できるかどうかを試した方が良いでしょう。
※解の公式の方が計算が面倒だし、計算が合っているかどうかが分かりにくいし。

別に解の公式を使った後でも構いません。
x=1,2 と解が出たのであれば、(x-1)(x-2) の形に因数分解できる、ということなのですから。
つまり、x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

では元の問題に立ち返って、x^2+75x-400 が因数分解できるかどうかは試しましたか?
※数が大きいと大変?
もちろん、解の公式でも解けますが、計算してみましたか?
※こちらは √7225 = 85 が出てくるから、まあ少し大変かも
No.25125 - 2014/03/29(Sat) 19:06:11
☆ Re: 方程式 / らん
分かりました。x=5,-80ですか？80-5=75でしたね！！見落としていました。ありがとうございます。
No.25133 - 2014/03/29(Sat) 22:23:00
★ 計算問題訂正 / らん
四.連立方程式は3x+y=16,ax+y=2aです。うまくカッコでくくれなくてすみません。
No.25111 - 2014/03/29(Sat) 12:18:52
★ 計算問題 / らん
高１になる者です。途中式から教えてもらえると助かります。
一.(3x-5y)(3x+7y)
二.(2a^2b-ab)÷ab
三.台形の公式S=1/2(a+b)hを文字aについて解け。
四.連立方程式｛3x+y=16 の解がx=b,y=13であるとき、a,b
｛ax+y=2a
の値を求めよ 。
五.20%の食塩水が600gある。これに水を加えて、6%の食塩水にしたい。何gの水を加えれば良いか。
六.(x+1)(x-1)(x^2+1)を展開せよ。
No.25110 - 2014/03/29(Sat) 12:15:37
☆ Re: 計算問題 / ヨッシー
一
(3x-5y)(3x+7y)＝3x(3x+7y)−5y(3x+7y)
　まではわかるでしょうか？
二
(2x+4)÷2
(a^2＋2a)÷a
は出来ますか？
三
Ｓ＝(1/2)(a+b)/h
両辺２を掛けて　(　　　　　　　)
ｈ＞０ より、両辺ｈで割って（　　　　　　　　）
ｂを移項して（ａ＝　　　　　　　　　　）
四
元の連立方程式にｘ＝ｂ，ｙ＝13 を代入すると、
ａ，ｂの連立方程式になります。
これを解けば、ａ，ｂが求められます。
五
20% の食塩水600ｇに含まれる食塩の量は何ｇですか？
その食塩に何ｇの水を注げば６％になりますか？
600ｇとの差が加えるべき水の量です。
六
(a^2＋b)(a^2−b) を展開できますか？
No.25116 - 2014/03/29(Sat) 14:43:39
☆ Re: 計算問題 / らん
一.分かりました！9x^2+6xy-35y^2で合ってますか？
二.下の問題の答えは2a-1で合ってますか？　
三.a=2S/h-bで合ってますか？
四.代入できたのですが、どうやって解けばいいか分かりません。
五.1400gで合ってますか？
六.2a^2-b^2で合ってますか？
No.25121 - 2014/03/29(Sat) 17:56:41
☆ Re: 計算問題 / angel
一: 正解です。
二: 正解です。
三: 正解です。
四:
　代入したのであれば、
　　3b+13=16　( 定数項をまとめると 3b=3 )
　　ab+13=2a
　という、a,bの連立方程式ができているはずですね。
　上の式でbが分かって、次の式でそのbの値を代入すれば、今度はaが分かります。
五: 正解です。
六: 残念ながら不正解です。
　　(X+Y)(X-Y)=X^2-Y^2 という一般的な関係があるところで、
　　X=a^2, Y=b の場合はどうなるか。
　　(a^2+b)(a^2-b)=(a^2)^2-(b)^2=a^4-b^2
　　ということになります。元の問題でも同じように考えられます。
No.25151 - 2014/03/30(Sun) 17:53:51
☆ Re: 計算問題 / らん
六.元の問題の答えはx^4-1ですか？
No.25156 - 2014/03/31(Mon) 18:38:05
☆ Re: 計算問題 / angel
はい。六、正解です。
No.25158 - 2014/03/31(Mon) 21:50:00
★ 円と直線写真3 / さかなくん
その3
No.25105 - 2014/03/29(Sat) 04:31:04
☆ Re: 円と直線写真3 / さかなくん
奇跡の証明はそんな決まりがあったんですね？
今まで知りませんでした。
これからはそちらを注意して解答を答えようと
思います。
ありがとうございました。
No.25143 - 2014/03/30(Sun) 11:25:27
★ 円と直線写真2 / さかなくん
その2
No.25104 - 2014/03/29(Sat) 04:29:55
★ 円と直線の写真1 / さかなくん
その1
No.25103 - 2014/03/29(Sat) 04:28:55
★ 直接と円 / さかなくん
問5なんですが、解答を見ると
上の議論はの所から最後にかけて1度導いたことを
遡っているのですが、
何故遡ってるのですか？

また、遡る前の所で答えがわかるので
そこで終わりにすると減点になりますか？
No.25102 - 2014/03/29(Sat) 04:21:19
☆ Re: 直接と円 / ヨッシー
減点される可能性があると言えます。
奇跡を求める問題では
　与えられた条件を満たす点は、○○の式で表される図形上にある（必要条件）
　○○の式で表される図形上のすべての点は、与えられた条件を満たす（十分条件）
の両方を示すのが定石です。

必要条件を求めるときの式変形が同値変形だけであれば、省略されることも
ありますが、その場合でも、「逆に、○○上のすべての点は
□□の条件を満たす」と書いておくのが無難でしょう。
No.25108 - 2014/03/29(Sat) 06:41:21
★ (No Subject) / tt
次のような問題をテストで見ました。
(詳細は覚えてないので一般化してしましましたが、、)
これって解けますかね？自分も考えているのですが中々難しく詰まっています。一般化したらとけないのでしょうか、、
どなたか博識の方、途中まででも全然構いませんので力を貸してください。お願いします。
No.25092 - 2014/03/28(Fri) 16:57:02
☆ Re: / らすかる
私は全然博識ではありませんが
（そもそも博識だけでは数学の問題は解けません）

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d とすると
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f'(x)=0の解をα,βとして
f(α)f(β)=0を満たせば重解を持ちます。
（α,βが複素数でf(α)f(β)=0を満たすことはありません。）
f(α)f(β)=0を計算すると
18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d=0
という式になりますので、
18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d=0
が重解を持つ条件です。
（この左辺は三次方程式の判別式です。）
No.25096 - 2014/03/28(Fri) 18:16:50
☆ Re: / tt
> 私は全然博識ではありませんが
> （そもそも博識だけでは数学の問題は解けません）
>
> f(x)=ax^3+bx^2+cx+d とすると
> f'(x)=3ax^2+2bx+c
> f'(x)=0の解をα,βとして
> f(α)f(β)=0を満たせば重解を持ちます。
> （α,βが複素数でf(α)f(β)=0を満たすことはありません。）
> f(α)f(β)=0を計算すると
> 18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d=0
> という式になりますので、
> 18abcd+b^2c^2-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d=0
> が重解を持つ条件です。
> （この左辺は三次方程式の判別式です。）

なるほど、確かに三次関数ならその条件でいけますね！！
ありがとうございます^ ^

一般に、重解をもつ⇔極大or極小点がx軸上にある
は成り立ちますよね？
No.25097 - 2014/03/28(Fri) 20:25:44
☆ Re: / らすかる
> 一般に、重解をもつ⇔極大or極小点がx軸上にある
> は成り立ちますよね？

成り立ちません。
反例：y=x^3
No.25098 - 2014/03/28(Fri) 21:51:06
☆ Re: / tt
それではどういう条件が重解をもつことと同値なのでしょうか。
らすかるさんの解答が4次以上でも使えるのか興味があります。
No.25099 - 2014/03/28(Fri) 22:20:42
☆ Re: / らすかる
「重解を持つ」⇔「微分係数が0になるいずれかの点で、元の方程式の値が0になる」
で、それを式で表したものが f(α)f(β)=0 です。
No.25100 - 2014/03/28(Fri) 22:36:50
☆ Re: / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
使える、と思います。

f'(x)=0の解をα,β,γとして
f(α)f(β)f(γ)=0を満たせば重解を持ちます。
No.25123 - 2014/03/29(Sat) 18:11:18
☆ Re: / らすかる
三次関数の場合は「虚数の重解」がありませんので
f(α)f(β)=0であれば実数の重解を持ちますが、
四次関数の場合はf(α)f(β)f(γ)=0となっても
重解が「虚数の重解」である場合があります。
よって「重解」の定義が「実数の重解」の場合は、
f(α)f(β)f(γ)=0だけではダメです。
No.25126 - 2014/03/29(Sat) 19:14:46
☆ Re: / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
確かにそのとおりでした。訂正ありがとうございました。
No.25132 - 2014/03/29(Sat) 20:58:09
★ (No Subject) / 姚
すみません。1の問題はどうしてもわからない。
No.25091 - 2014/03/28(Fri) 16:16:10
☆ Re: / X
A+B=0
をxの二次方程式と見て解の判別式を使いましょう。
No.25094 - 2014/03/28(Fri) 17:54:00
☆ Re: / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
f(x)=0・・?@
の判別式をDとすると
?@をみたす実数ｘが存在するための条件は
D≧０です
No.25124 - 2014/03/29(Sat) 18:13:54
★ (No Subject) / 姚
教えてくださいね。お願いします。
No.25090 - 2014/03/28(Fri) 15:30:46
☆ Re: / X
まず△ADF,△BDE,△CEFの面積をSで表してみましょう。
後はこれらを△ABCの面積であるSから引きます。
No.25095 - 2014/03/28(Fri) 17:55:59
★ (No Subject) / ちよ
(3)2行目がよくわかりません
回答も見たのですが、赤い矢印マークをつけた「これより、四角形AOBCは〜」の辺りからわかりません

どなたか教えてくださいm(._.)m
No.25087 - 2014/03/28(Fri) 10:22:30
☆ Re: / ちよ
すみません
矢印の着けるとこ間違えてました
ひし形になるところまでは、分かります

IはCH上にある。よって〜

から分かりません。
No.25088 - 2014/03/28(Fri) 10:25:01
☆ Re: / ヨッシー
こういう図が描けていますか？
No.25089 - 2014/03/28(Fri) 13:25:48
☆ Re: / ちよ
ちょっと歪んでました…

その図を見ながら、もう一度回答を読んで大体は分かったのですが
IはCH上にある。よって
の部分が分かりません

書いてある意味は分かるのですが、何故そんなことが書かれているのですか??
No.25093 - 2014/03/28(Fri) 17:18:54
☆ Re: / ヨッシー
Ｉは内心なので、∠ＡＣＢの二等分線上にある。
□ＡＣＢＯはひし形なので、ＣＨは∠ＡＣＢの二等分線である。
よって、ＩはＣＨ上にある。

なぜ書いてあるかというと、ＩがＣＨ上にないと
　ＯＩ＝ＯＨ＋ＨＩ
が言えないからです。（△ＯＩＨが出来てしまうため）
No.25101 - 2014/03/29(Sat) 01:20:42
☆ Re: / ちよ
なるほどー
ようやく全部理解できました!!

本当にありがとうございました♪
また機会がありましたらよろしくお願いします
No.25139 - 2014/03/30(Sun) 09:50:52
★ Σの計算 / さかなくん
度々すいませんm(._.)m
どのように考えたらよいのかわかりません。
No.25065 - 2014/03/26(Wed) 23:28:06
☆ Re: Σの計算 / ヨッシー
Σ[k=1〜m](1/k) を求めよ、という問題なのですか？

下の問題のようには、簡単に行きません。
簡単じゃなければ出来るかというと、それもわかりません。
No.25068 - 2014/03/27(Thu) 00:22:51
☆ Re: Σの計算 / さかなくん
はい、Σ[k=1〜m](1/k) を求めよ、という問題です。
こうとも考えたりしたんですが、こうやって進んだら、正解に近づいているかわからず、何が何だかこんがらがってきてしまいました。
No.25071 - 2014/03/27(Thu) 01:02:19
☆ Re: Σの計算 / らすかる
Σ[k=1〜m](1/k) は、式をどうこねくりまわしても求まりません。
問題の間違いではないでしょうか。
No.25072 - 2014/03/27(Thu) 03:34:43
☆ Re: Σの計算 / さかなくん
問題はこれです。
上記質問は途中に出てくる解答を抜粋したものです。
よろしくお願いします。
No.25076 - 2014/03/27(Thu) 13:36:29
☆ Re: Σの計算 / らすかる
やはりΣ[k=1〜m](1/k)を求める問題ではないですね。
これを求めようとしても徒労に終わります。
求まらないから青字で書いてあるように
数学的帰納法で示すのです。
No.25077 - 2014/03/27(Thu) 13:53:47
☆ Re: Σの計算 / さかなくん
Σ[k=1〜m](1/k）をどうしたら下記の式になるかがわかりません。
教えていただけませんか？
No.25078 - 2014/03/27(Thu) 13:57:57
☆ Re: Σの計算 / らすかる
「Σ[k=1〜m](1/k)は下の式にはならない」
と言っているのですが・・・
何度も言いますが、
Σ[k=1〜m](1/k)を変形して下の式を出すのは不可能です。

従って、数学的帰納法で
n=2のとき Σ[k=1〜n](1/k)＞(2n)/(n+1) が成り立つ
n=tのときに成り立つとするとn=t+1のときも成り立つ
ということを証明するしかありません。
数学的帰納法はわかりますか？
No.25079 - 2014/03/27(Thu) 14:03:09
☆ Re: Σの計算 / さかなくん
ヨッシーさん　らすかるさん
ありがとうございました。


自分の勘違いや、帰納法の一部である事のお伝えしていませんで、お騒がせしました。

やっとわかりました。
計算してるわけじゃなかったんですね.......(^^;;
だから＞が＝の間違えじゃないかと思ってまして....(^^;;

A>Bの証明のためA-B>0を立証したいので　A-B＞C　C>0
をしている途中の箇所だったんですね..？


＞数学的帰納法はわかりますか？
なんですが、

解き方は何度も問題を解いて練習したんでできるようには
なってきているんですが、なぜこの作業をしているかの
意味がはっきりとはわかりません。

この問題のように解けない（計算できない）箇所があった時
に利用価値がある（威力を発揮する）のが数学的帰納法という事で宜しんでしょうか？
No.25082 - 2014/03/27(Thu) 16:11:12
☆ Re: Σの計算 / らすかる
数学的帰納法が使われるのは、「計算できない場合」に限りません。
「・・・が一般のnに対して成り立つことを証明せよ」という問題では
計算できる場合であっても数学的帰納法を使った方が楽なことはよくあります。
一般のnに対して成り立つことを証明する問題で計算が大変そうだと思ったら、
数学的帰納法を使うことを考えてみるとよいと思います。
No.25083 - 2014/03/27(Thu) 16:26:04
☆ Re: Σの計算 / さかなくん
わかりました。
そのうち機会があると思いますのでやってみます。

ありがとうございました。
No.25084 - 2014/03/27(Thu) 16:50:28
★ (No Subject) / Q
全然わかりませんので、教えていただけますか
No.25062 - 2014/03/26(Wed) 21:06:56
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＡＢ・ＡＣ＝40 であるのに対して
ＡＤ・ＡＥ＝20 であれば、面積は半分になるので、
　ＡＥ＝10/x
(2)
　０＜20/E≦５　より　4≦ｘ
一方、ｘの上限は８であるので、4≦ｘ≦8
(3)
△ＡＤＥにおける余弦定理より
　ＤＥ^2＝ＡＤ^2＋ＡＥ^2−２ＡＤ・ＡＥcos60°
　　＝x^2＋(20/x)^2−2・20・(1/2)
　　＝x^2＋(20/x)^2−40＋20
　　＝(x−20/x)^2＋20
よって、x−20/x＝0 のとき、つまり　ｘ＝2√5 のとき
ＤＥ＝2√5
No.25067 - 2014/03/27(Thu) 00:17:23
★ (No Subject) / Q
2と3の解け方を教えていただけますか
No.25061 - 2014/03/26(Wed) 21:02:20
☆ Re: / ヨッシー
(2)
(1) に従って解くと
x≧11/√7 のとき　(√7−4)ｘ＝1
　より、ｘ＝1/(√7−4)＝-(√7＋4)/9　・・・　不適
x＜11/√7 のとき　(√7＋4)ｘ＝21
　ｘ＝21/(√7＋4)＝7(4−√7)/3　・・・答え

(3)
ｘ≧11/a のとき　ｘ＝1/(ａ−4)　・・・(i)
ｘ＜11/a のとき　ｘ＝21/(ａ＋4)　・・・(ii)
(i) が正の整数となるには、
　ａ＝５ のとき、　ｘ＝１ ですが、これは　ｘ≧11/5 を満たしません。
(ii) が正の整数になるには、
　ａ＝３　のとき　ｘ＝３
　ａ＝１７　のとき　ｘ＝１
このうち　ｘ＜11/a を満たすのは　ａ＝３，ｘ＝３
No.25064 - 2014/03/26(Wed) 23:23:08
★ 発展 / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
（ベクトルa×ベクトルｂ）・（ベクトルｃ×ベクトルｄ）をスカラー四重積と呼ぶのはなぜですか？

（ベクトルa・ベクトルｂ）・（ベクトルｃ×ベクトルｄ）
（ベクトルa・ベクトルｂ）×（ベクトルｃ・ベクトルｄ）（ベクトルa×ベクトルｂ）・（ベクトルｃ・ベクトルｄ）（ベクトルa・ベクトルｂ）×（ベクトルｃ×ベクトルｄ）（ベクトルa×ベクトルｂ）・（ベクトルｃ×ベクトルｄ）
（ベクトルa×ベクトルｂ）×（ベクトルｃ×ベクトルｄ）

は何と呼ぶのですか？また、それはなぜですか？

また別の質問ですが、ベクトルOA=(1,2),OB=(2,3)
のとき?僊BC＝1/2lベクトルOA×ベクトルOBl
と書いてよいのでしょうか？外積は三次元でないと定義できないと聞いたことがあり自信がありません

よろしくおねがいします
No.25060 - 2014/03/26(Wed) 20:24:13
☆ Re: 発展 / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
（ベクトルa・ベクトルｂ）・（ベクトルｃ×ベクトルｄ）、
（ベクトルa・ベクトルｂ）×（ベクトルｃ・ベクトルｄ）、（ベクトルa×ベクトルｂ）・（ベクトルｃ・ベクトルｄ）、（ベクトルa・ベクトルｂ）×（ベクトルｃ×ベクトルｄ）、（ベクトルa×ベクトルｂ）・（ベクトルｃ×ベクトルｄ）、
（ベクトルa×ベクトルｂ）×（ベクトルｃ×ベクトルｄ）

です
No.25075 - 2014/03/27(Thu) 12:54:22
☆ Re: 発展 / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
どなたかよろしくおねがいします
No.25114 - 2014/03/29(Sat) 13:53:37
☆ Re: 発展 / angel
なんというか…。「答えの返ってこない質問」だと思うのですが。
> スカラー四重積と呼ぶのはなぜですか？
名前の理由を聞かれても…ねえ。
まあ、ベクトル4個からスカラーができる計算なので、割と素直な名前がついているのではないかと思いますが。

> （ベクトルa×ベクトルｂ）×（ベクトルｃ×ベクトルｄ）
こちらは「ベクトル四重積」ですね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E9%87%8D%E7%A9%8D_%28%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90%29
に載っています。

> （ベクトルa・ベクトルｂ）・（ベクトルｃ×ベクトルｄ）、
> （ベクトルa・ベクトルｂ）×（ベクトルｃ・ベクトルｄ）、
> （ベクトルa×ベクトルｂ）・（ベクトルｃ・ベクトルｄ）、
> （ベクトルa・ベクトルｂ）×（ベクトルｃ×ベクトルｄ）、
> （ベクトルa×ベクトルｂ）・（ベクトルｃ×ベクトルｄ）、

…特に名前は無いんじゃないでしょうか。
というか、計算できないものもありますし。
※例えば、a・b はスカラーなのですから (a・b)×〜の形は計算できません。
No.25128 - 2014/03/29(Sat) 20:17:28
☆ 2次元ベクトルでの外積 / angel
> また別の質問ですが、ベクトルOA=(1,2),OB=(2,3)
> のとき?僊BC＝1/2lベクトルOA×ベクトルOBl
> と書いてよいのでしょうか？外積は三次元でないと定義できないと聞いたことがあり自信がありません

ちゃんと断っておけば良いのではないでしょうか。
確かに外積は3次元 ( 他にもあるらしいけど ) で定義されるものですが、2次元ベクトル(x,y)を3次元ベクトル(x,y,0)とみなせば ( つまりz成分を0で固定 )、2次元ベクトル同士でも外積が計算できますから…

　(x1,y1,0)×(x2,y2,0)=(x1y2-x2y1)(0,0,1)

で、計算結果は必ず(0,0,1)の実数倍になりますから、

　(x1,y1)×(x2,y2)=x1y2-x2y1

と、2次元ベクトル→スカラの演算とみなすこともあったかと思います。

どちらにしろ、無断でいきなり使ったらマズいと思います。
※殊に高校範囲だと、外積自体出てこないので絶対使えない
No.25130 - 2014/03/29(Sat) 20:31:39
☆ Re: 発展 / ポリパラフェニレンテレフタルアミド
よくわかりました、ありがとうございます
No.25131 - 2014/03/29(Sat) 20:54:20
★ Σの計算 / さかなくん
写真の自分の計算のやり方が違う？みたいです。
教えて下さい。
No.25053 - 2014/03/26(Wed) 15:15:52
☆ Re: Σの計算 / さかなくん
間違い箇所 ✳︎計算途中の分母の2^k→2^m
No.25054 - 2014/03/26(Wed) 15:18:59
☆ Re: Σの計算 / ヨッシー
たとえば、
　Σk^2＝Σｋ・ｋ
だからといって、Σｋ×Σｋ　とはならないように
項として掛けられているものを、別々に和を求めて掛けてはダメです。

求める和をＳとおくと
　　Ｓ＝1/2＋2/4＋3/8＋・・・＋m/2^m
です。２倍して、
　２Ｓ＝1＋2/2＋3/4＋4/8＋・・・＋m/2^(m-1)
下の式から上の式を引いて
　Ｓ＝1＋1/2＋1/4＋1/8＋・・・＋1/2^(m-1)−m/2^m
とすると、最後の項以外が等比数列の和になります。
No.25056 - 2014/03/26(Wed) 16:49:46
☆ Re: Σの計算 / さかなくん
理解できました、こんな解き方は知りませんでした。
数学的帰納法の中盤の計算ができ最後まで辿りつけました。

分母が等比数列の一般項があるΣの計算の場合は
Sを数倍して上げて足したり引いたりし、等比数列の和を導きだし
計算するんですね？

分子が2k+1や2k^2+1になった場合も同じ様な方法で解けるのでしょうか？
No.25057 - 2014/03/26(Wed) 18:58:23
☆ Re: Σの計算 / ヨッシー
2k+1 はｋに伴って等間隔で増えていきます（いわゆる等差数列）が、
2k^2+2 は、そうではないので、差をとっても、分子が一定値に
ならないため、同じ方法は使えません。
No.25085 - 2014/03/27(Thu) 18:55:54
★ identity component / みや
宜しくお願い致します。

群の証明なのですが(群の定義はわかります),どのように証明すればいいのかわかりません。

まず,この群の演算は何になるのでしょうか?

Xを位相空間とするとき,x,y∈Xに対して,X⊃∃S連結部分集合;x,y∈Sのとき,x〜yと表すことにすれば
〜は同値関係なし,
C(x):={y∈X;x〜y}でXを類別した時,同値類C(x)を連結成分というのだと思います。

identity componentというのはこの問題ではどのようなものなのでしょうか?

そして,AからABへのpathとしてどのようなものが取れるのでしょうか?
No.25051 - 2014/03/26(Wed) 12:09:06
☆ Re: identity component / みや
証明してみました。これで大丈夫でしょうか?
No.25106 - 2014/03/29(Sat) 05:44:59
☆ Re: identity component / みや
続きです。
No.25107 - 2014/03/29(Sat) 05:47:21
☆ Re: identity component / 黄桃
identity component を勘違いしています。
[Def1]によれば identity component は写像の集合と書いてありますが、
問題には identity component はGの部分集合とあります。
[Def1]では、γの行き先はGですから∃A∈Gは明らかで、不要です。
[Def1]はG内の1から始まるpath を定義しています。

＃ホモトピー群とかを別に学習していて、それと混同していませんか？

ユニタリー行列の話をしているようなので、スカラーは複素数なのでしょう。
連続というのはおそらくnxn行列を C^(nxn)空間の点とし、通常の位相（距離）を入れたものとみているのでしょう。

identity component とは {X∈G| ∃γ∈Map([0,1],G) γは連続かつγ(0)=1, γ(1)=X} のことです。
群の演算は最初から最後まで行列の積のことです。
群Gの部分集合 I がGの部分群になる条件は、任意の２つの元X,Y∈I について、X^(-1)∈I, X*Y∈I がいえることでしたね
。
I=identity component の場合にこの条件が成立することを確認するのが問題の趣旨です。

なお、identity component とは結果的には1を含むG内の連結成分になります（当面の状況であれば、連結⇔弧状連結なので）。G=GL(n,C)なら、identity component=G ですし、Gが有限群なら、identity component={1} です。G={X|det(X)=±1} なら identity component={X|det(X)=1}です。

＃具体的にpathがわかる簡単な例をあげます。
＃スカラーが実数になりますが、2x2行列の原点回りの回転行列全体のなす群をGとします。
＃Gのidentity component はGです。
＃Gの元をR(θ)（θが回転角度）と書けば、path γはγ(t)=R(tθ)です。
No.25113 - 2014/03/29(Sat) 13:27:31
☆ Re: identity component / みや
大変有難うございます。拝読しております。分かりかけてきました!

>identity component とは {X∈G| ∃γ∈Map([0,1],G) γは連続かつγ(0)=1, γ(1)=X} のことです。

この集合がGの部分群になるのですよね。
それでちと疑問なのですが,この集合に入らないGの元とはどういったものが挙げれますでしょうか?
(ちょっと思いつきません（*^_^*))
No.25140 - 2014/03/30(Sun) 10:13:47
☆ Re: identity component / 黄桃
>この集合に入らないGの元とはどういったものが挙げれますでしょうか?
Gによってidentity component が異なるのはいいでしょうか。

上に述べたように、
Gが有限群(例えばG={原点回りの0,90,180,270度回転})であれば、1以外の元ですし、G={X|det(X)=±1}であれば、{X|det(X)=-1}がそうです(det(X)の連続性より、1から始まるpath内では、1しか取れません）。
No.25145 - 2014/03/30(Sun) 13:06:02
☆ Re: identity component / みや
大変有難うございます。かなり分かってきました!

identity componentの"identity"とはγ(0)=1の"1"の事なのですね。

当問題にて"matrix multiplication is a continuous operation"とあるのですが,
"行列の掛け算が連続"とは一体どういう意味なのでしょうか?

あと,det(X)=-1なるXがdet(X')=1なるX'に連続移動でたどり着けない事は連結性を用いて示すのですね?
No.25162 - 2014/04/01(Tue) 10:52:11
☆ Re: identity component / 黄桃
もう見てないかもしれませんが、念のため。

>identity componentの"identity"とはγ(0)=1の"1"の事なのですね。

そうです。Gを位相空間と見たときの単位元を含む連結成分のことです。

>matrix multiplication is a continuous operation

x∈Gに対して写像 g_x:G→G を g_x(A)=xA で定義します(Axでも同様)。x,A∈Gだから xA∈Gなので well-defined です。この写像が(Gの位相に関して)連続だということです。

>det(X)=-1なるXがdet(X')=1なるX'に連続移動でたどり着けない事は連結性を用いて示すのですね?

それでもいいですし（連結成分の連続写像による像は連結）、定義だけから背理法で証明することも可能です。
det:G→{1,-1} が連続であることをどう使うかだけです。
No.25285 - 2014/04/05(Sat) 14:44:56
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