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★ 数１の範囲 / 窮糠
(x+y)(x+y-2)(x-y-2)(x-y)を展開したとき、
x^2y^2の係数は(ｳ)であり、x^3の係数は(ｴ)である。
計算過程など、あっているか確認お願いします。
y-2をAとする
(x+y)(x-y)(x+A)(x-A)=(x^2-y^2)(x^2-A^2)
x^4-2x^2y^2+2x^2y-4x^2+4y^2-2y^3+y^4
x^2y^2=-2　x^3=0
No.24193 - 2014/02/05(Wed) 01:12:48
☆ Re: 数１の範囲 / らすかる
計算過程は正しくありません。
答えはx^2y^2の係数だけたまたま合っています。
y-2をAにしたら
x+y-2はx+Aですが
x-y-2はx-(y+2)ですからx-Aではありません。
No.24194 - 2014/02/05(Wed) 01:29:45
☆ Re: 数１の範囲 / 窮糠
オオゥ・・
自分なりにやり直してみました。
x+y=A,x-y=Bとする
(A)(A-2)(B-2)(B)
(AB-2A)(AB-2B)
(AB)^2-2AB^2-2A^2B+4AB
x^4-2x^2y^2-y^4-2(x+y)(x-y)^2-2(x+y)^2(x-y)
よって、x^2y^2=-2 X^3=-4
すいません打ち込むのが面倒で途中計算省いています。
正しい計算法、効率のいい計算法があったら教えてほしいです。
No.24214 - 2014/02/07(Fri) 12:14:07
★ 教えてください / めぐぽん
２点P(5,7)Q(-1,3)の間の距離を求めなさい。ただし原点を0とし、原点0から点(1,0)までの距離および原点0から点(0,1)までの距離を1cmとする
No.24188 - 2014/02/04(Tue) 23:56:21
☆ Re: 教えてください / ヨッシー

こういう位置関係になりますが、三平方の定理は習得済みですか？
No.24189 - 2014/02/05(Wed) 00:15:22
★ 何かな？ / 潤一郎
おはようございます。学校に行くまでにと思って。
すみません。１問お願いします。

?@上の問題の赤マルをつけている問題ですが
ｘ軸を軸に回転・・・ってどんな立体になるのですか？
又その立体の体積の求め方もおねがいします。

想像できるようにすみませんがお願いします。

?Aも添付したのですが朝までに解決しました。
質問は上の立体だけです。よろしくおねがいします。

いつもすみません。
No.24178 - 2014/02/04(Tue) 07:49:03
☆ Re: 何かな？ / らすかる
その図から立体の想像が付かない人に「想像できるように」
文章で説明するのは私には無理そうなので、
紙を切って直角二等辺三角形を作り、
端（45°の角）をセロハンテープで鉛筆に張り付けて
（貼り付ける方向はx軸に三角形がくっついているのと同じようにする）
鉛筆をくるくる回してみてはいかがでしょうか。
No.24179 - 2014/02/04(Tue) 07:57:40
☆ Re: 何かな？ / ヨッシー
こんなのです。

No.24181 - 2014/02/04(Tue) 12:07:25
☆ Re: 何かな？ / 潤一郎
らすかる先生、ヨッシー先生早く教えてくれて
ありがとうございました。

ヨッシー先生へ。

あのお・・。僕も考えたのですが同じ立体です。
これってｙ軸を軸に回転しているのではないのでしょうか？

問題はｘ軸を軸に・・って書いてあるので
僕はヨッシー先生のようにｙ軸のように回しては
だめだと考えました。ｙ軸だと横に回すと
このような図が頭にありますが軸が縦ですよね
ｘ軸だと回転は横に回らないと
いけないのじゃないでしょうか？全くわかりません。
どうか教えて下さい。

ｘ軸には原点の点しかありませんし・・・。
すみません。もう一度おねがいします。

急いで帰ってきました。よろしくお願いします。
No.24183 - 2014/02/04(Tue) 15:49:26
☆ ダメなら引いてみる / angel
直接的に形が分かりにくいならば、分割して分かる形に落とし込む、もしくは、ある形から何かを除いた形として考える、という手が有効です。
そうすると、実は小問2がヒントになっているという見方ができます。小問2の点をCとすると、△OABとは、△OCBから△OCAを引いた形。
これは回転体でも同じなので、結局△OABを回転させた立体は、△OCBを回転させてできる円錐から、△OCAを回転させてできる、ソロバンの玉のようなモノ ( 円錐を2個つなげた形 ) を引いた形となります。
※どちらかというと、円錐の先っぽを切り落として、更に断面から円錐をくりぬいた形といった方が良いか…

ということで、体積の計算も、円錐の体積の差としてできます。尤も、形がはっきり分からなくとも、積分で計算する手もありますが。
No.24185 - 2014/02/04(Tue) 18:04:51
☆ Re: 何かな？ / ヨッシー
そうでした。

こうですね。
No.24186 - 2014/02/04(Tue) 18:21:48
☆ Re: 何かな？ / 潤一郎
こんばんは。

angel 先生、ヨッシー先生ありがとうございました。

すみません。ずっと考え中ですのでもう少し時間下さい。

angel 先生。

まだ中学生で積分は習ってないのですが、なるほど
「ダメなら引いてみる」がとても今参考になっています。
もう少し頑張ってみます。
No.24187 - 2014/02/04(Tue) 21:33:39
☆ Re: 何かな？ / 潤一郎
ヨッシー先生へ。

No.24186の立体の画像ありがとうございました。
ですがここから立体が分っても何をどうしたらと
考えていましたが全くわかりません。
結局angel先生の方法しかありませんか？

angel先生へ
先生の「※どちらかというと、円錐の先っぽを切り落として、更に断面から円錐をくりぬいた形といった方が良いか…
」これがイメージできてきましたが。答は８０πです。

解き方は載ってなかったのでもう少し教えて下さい。

?@小問2がヒントと教えていただいたので
まず
１/3π６の２乗×１２（という円錐）−・・・円錐の先っぽを切り落として
−更に断面から円錐をくりぬくという考えでいいの
ですよね。

すみません。６の２乗の書き方が分らなくて。
−は（引く）です。Ａの座標が（４　４）だから
１２から４を引くと８で
初めに切り落とすのは半径４で高さが８の円錐ですよね。

くりぬく円錐なのですが
半径４で高さが４の円錐でいいですか？

でも８０πにならないのですが。
もう少しだけお願いします。
どこが間違っていますか？
よろしくお願いします。
No.24190 - 2014/02/05(Wed) 00:27:01
☆ Re: 何かな？ / らすかる
(1/3)π・6^2・12 から
(1/3)π・4^2・8 と
(1/3)π・4^2・4 を引けば
80πになりますよ。
No.24191 - 2014/02/05(Wed) 00:37:19
☆ Re: 何かな？ / 潤一郎
らすかる先生へ

超嬉しいです。８０πになりました。

ありがとうございました。
やっと眠れます。本当にありがとうございました。

受験まであと少し・・頑張ります。
最後までよろしくお願いします。
No.24192 - 2014/02/05(Wed) 01:01:02
★ (No Subject) / ヒキニート

各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。
(1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
No.24176 - 2014/02/04(Tue) 06:31:41
★ 三角関数 / L
すごく基礎的な質問で申し訳ないのですが教えて下さい。
三角関数の質問です。
kを自然数とするとき sin(kπ-π/2)はどうして -cos kπ と変形できるのでしょうか？
教えて下さい。
No.24170 - 2014/02/03(Mon) 19:36:10
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
この際ｋは自然数でなくても良いのですが、
sin(π/2−θ)＝cosθ　と、sin(-θ)＝-sinθ　を組み合わせると
sin(θ−π/2)＝-sin(π/2−θ)＝-cosθ
が得られます。このθにｋπを代入すると．．．
No.24171 - 2014/02/03(Mon) 20:05:04
☆ Re: 三角関数 / 駿
ありがとうございました。
No.24173 - 2014/02/03(Mon) 20:15:53
★ 式変形 / シュレディンガー
−a^3X^4＋2a^3X^3−(a^3＋a^2)X^2＋(a^2−1)X

＝−X{aX−(a−1)}{a^2X^2−(a^2＋a)X＋a＋1}

どうしたらこんなふうな変形出来るのでしょうか

段階を踏んで教えてもらえれば幸いです…。
No.24168 - 2014/02/03(Mon) 17:35:29
☆ Re: 式変形 / ヨッシー
Ｘで括れるのはすぐにわかりますので、
　f(X)＝-a^3X^3＋2a^3X^2−(a^3+a^2)X＋(a^2-1)
とおきます。因数定理で、f(α)＝0 になるようなαが
あるとしたら、それは
　(定数項の因数)／(X^3の係数の因数)
という形になっていることが多いです。
すると、分母は 1, a, a^2, a^3、分子は 1, a-1, a+1 の組合せと
プラスマイナスで24通りの候補があります。
あとは、X^3, X^2, X のいずれにもa^3が係数に入っているので、
X の分子と分母は同じ次数と予想されるので、
　±1, ±(a-1)/a, ±(a+1)/a
の６通りに絞ってf(X) に代入していくと f((a-1)/a)＝0 が見つかります。
そこで、f(X) を x-(a-1)/a で割って、
　f(X)＝−(x-(a-1)/a)(a^3X^2−(a^3＋a^2)X＋a^2＋a)
を得ます。
No.24172 - 2014/02/03(Mon) 20:15:13
☆ Re: 式変形 / シュレディンガー
丁寧に説明戴きありがとうございました
No.24174 - 2014/02/03(Mon) 21:54:15
☆ Re: 式変形 / ヨッシー
直接解答には影響しませんが、分子の候補には a^2−1 もありますね。
No.24175 - 2014/02/03(Mon) 22:22:47
★ 数学?U / さがらを
a,bは実数とする。２つの複素数a+biと2-3iの和が純虚数、積が実数となるときのaとbを求める問題
(答えはa=-2,b=-3)

aを実数として複素数z=a+iを考える。zの4乗が実数になるaの値とそのときのzの4乗の値を求める問題
(答えはa=0のとき1、a=-1,1のとき-4)

a,bは実数とする。2次方程式(a+i)xの二乗+(b-3i)x+12-4i=0が異なる２つの実数解をもつとするときの方程式の解
(答えはx=-1,4でありa=-3,b=9)
の解き方を多いですがどなたかお願いします
No.24162 - 2014/02/03(Mon) 00:19:59
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
１番目
和は (a+2)＋(b-3)i、積は(2a+3b)＋(-3a+2b)i なので
それぞれ、純虚数、実数になるようにａ，ｂを決めます。

２番目
ｚ^4＝(a^4-6a^2+1)＋4a(a^2-1)i なので、これが実数になるように
ａを決め、上式に代入して z^4 を求めます。

３番目
２つの実数解をα、βとすると、元の方程式は
　(a+i)(x-α)(x-β)＝０
となります。展開して
　(a+i)x^2−(a+i)(α＋β)x＋(a+i)αβ＝０
係数比較して
　−(a+i)(α＋β)＝b-3i
　(a+i)αβ＝12-4i
これらから、ａ，ｂ，α＋β、αβ を求め、方程式
　x^2−(α＋β)x＋αβ＝０
から、αとβを求めます。
No.24165 - 2014/02/03(Mon) 07:09:10
★ (No Subject) / 頭痛が治らない人
ｆ（ｘ）＝ｎ(logx)^2にA(0,-1)から接線を引く。このとき、最小の接点のｘ座標をanとおく。

接点のｘ座標をｔとし、接線の式をたて、Aの座標を代入すると
-1=n(logt)^2-2nlogt
logt=1±√(1-1/n)
logan=1ー√(1-1/n)

-1=n(logt)^2-2nlogtから
-1=n(logan)^2-2nloganが成り立つので
nlogan=1/{1-(n-logan)}
とできるので
lim(n→∞）nlogan=lim(n→∞）1/(n-logan)＝１/（∞ー０）＝０というのはなぜ駄目なのでしょうか？

実際の答えは1/2となっています。よろしくおねがいします
No.24160 - 2014/02/02(Sun) 23:53:49
☆ Re: / らすかる
> -1=n(logan)^2-2nloganが成り立つので
> nlogan=1/{1-(n-logan)}

n=2のとき
loga[n]=1-1/√2
これは -1=n(loga[n])^2-2nloga[n] に代入すると成り立ちますが
nlogan=1/{1-(n-logan)} に代入すると成り立ちません。
よって -1=n(loga[n])^2-2nloga[n] から nlogan=1/{1-(n-logan)} には
変形できないと思います。

n(loga[n])^2-2nloga[n]=-1 を変形すると
nloga[n](loga[n]-2)=-1
nloga[n]=1/(2-loga[n])
となりますので
lim[n→∞]nloga[n]=lim[n→∞]1/(2-loga[n])=1/2
となり答えと合いますね。
No.24164 - 2014/02/03(Mon) 00:44:56
☆ Re: / 頭痛が治らない人
ありがとうございます、変形ミスでした。
No.24166 - 2014/02/03(Mon) 09:33:11
★ 積分 / ktdg
xyz空間の点 A(t,e^t,0), B(2t,e^t-1,0), C(2t,e^t-1,e^t), D(t,e^t,e^t)を4頂点とする長方形ABCDの周と内部からなる面を 0≦t≦1の範囲で動かしたとき通過してできる立体Kの体積を求めよ。


平面 x=u(0≦u≦2)でKを切ったときの切り口の面積をS(u)とおく。
(?@)0≦u<1のとき
切り口は4点 P(u,e^u,0), Q(u,e^(u/2)-1,0), R(u,e^(u/2)-1,e^(u/2)), S(u,e^u,e^u)を頂点とする台形になるので、
S(u)=(1/2){e^u+e^(u/2)}{e^u-e^(u/2)+1}=(1/2){e^(2u)+e^(u/2)}

(?A)1≦u≦2のとき
切り口は4点 P(u,-u+1+e,0), Q(u,e^(u/2)-1,0), R(u,e^(u/2)-1,e^u), S(u,-u+1+e,e)を頂点とする台形になるので、
S(u)=(1/2){e+e^(u/2)}{-u-e^(u/2)+2+e}=(1/2)(-eu+2e^(u/2)-ue^(u/2)+2e+e^2-e^u}

よってKの体積は
∫[0〜1](1/2){e^(2u)+e^(u/2)}du+∫[1〜2](1/2)(-eu+2e^(u/2)-ue^(u/2)+2e+e^2-e^u}du

となったのですが何度計算しても答えがあいません。
どこが間違っているのか教えてください。
因みに答えは (1/4)e^2+(3/2)e-5/4です。
No.24158 - 2014/02/02(Sun) 23:38:04
☆ Re: 積分 / ヨッシー
切り口は台形にならないはずです。
No.24167 - 2014/02/03(Mon) 11:25:44
★ 数学?U / さがらを
(1＋2i)x-(2-i)y=3を満たす実数x,y
(-1+i)(x+yi)=1-3iを満たす実数x,y
の解説をしてほしいです
No.24155 - 2014/02/02(Sun) 23:12:31
☆ Re: 数学?U / ＩＴ
> (1＋2i)x-(2-i)y=3を満たす実数x,y
実部と虚部に分けて
(x-y-3)+(2x+y)i=0
よってx-y-3＝0かつ2x+y＝0、この連立方程式を解く

> (-1+i)(x+yi)=1-3iを満たす実数x,y
左辺を展開して
-x+xi-yi-y=1-3i
移項して実部と虚部に分けて整理
-x-y-1+(x-y)i=0
よって-x-y-1=0かつx-y=0　この連立方程式を解く
No.24156 - 2014/02/02(Sun) 23:22:39
☆ Re: 数学?U / さがらを
解けました！
ありがとうございました！
No.24157 - 2014/02/02(Sun) 23:32:28
★ (No Subject) / ヒキニート
各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点をRとする。

(1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。

どなたかお願いします。
No.24138 - 2014/02/02(Sun) 18:51:43
☆ Re: / ヨッシー
a=1/√2 とおきます。
Ａ(0,0.0)、Ｂ(a,a,0)、Ｃ(2a,0,0)、Ｄ(a,-a,0)、Ｏ(a,0,a) とおきます。
ＡＰ＝(a,a/2,a/2)
ＡＱ＝(a, -at, (1-t)a)
ＲがＯＣをs:(1-s) に内分する点とすると
ＡＲ＝(1-s)(a,0,a)＋s(2a,0,0)＝((1+s)a, 0, (1-s)a) ・・・(i)
一方、ＡＲ＝mＡＰ＋nＡＱ とおくと、
ＡＲ＝m(a,a/2,a/2)＋n(a, -at, (1-t)a)
　＝((m+n)a, ma/2-ant, am/2+(1-t)an)　・・・(ii)
(i)(ii) より
　1+s＝m+n, m/2-nt=0, 1-s=m/2+(1-t)n
これを解いて
　m=2t/(1+t), n=1/(1+t), s=t/(1+t)
以上より
　ＡＲ＝(2tＡＰ＋ＡＱ)/(1+t)

まずはここまで。
No.24151 - 2014/02/02(Sun) 22:17:01
☆ Re: / ヒキニート
ありがとうございます。よければ、(2)も引き続きお願いします。
No.24154 - 2014/02/02(Sun) 23:11:36
☆ Re: / ヒキニート
ヨッシーさん(2)解けますか？
No.24184 - 2014/02/04(Tue) 16:02:42
★ 中3です。 / ふみか
(1)2次方程式（x-2）²=4を解くと、x=□である。
(2)関数y=x²についてのxの変域がa≦x≦2のときyの変域が0≦y≦9であった。аの値はa=□である

(1)の答えはx=0,4
(2)の答えはa=-3です。

答えはわかりますがなぜそうなるのかわかりません。
解説お願いします(._.`)
No.24130 - 2014/02/02(Sun) 17:57:17
☆ Re: 中3です。 / X
(1)
問題の二次方程式から
x-2=2,-2
よって
x=2+2,-2+2
ですので
x=4,0
(2)
y=x^2
のグラフを描いてそれを見ながら以下の回答をご覧下さい。
0≦y≦9
であるためには対応するxの変域に関し、
以下の点が含まれなければなりません。
(i)点(0,0)
(ii)点(3,9)又は点(-3,9)
ここで
a≦x≦2 (A)
ですので(ii)の点(3,9)は選ぶことができません。
又y=x^2はx≦0において単調減少になっていますので
xの変域が(A)の形になるためには点(-3,9)は
グラフの左端の点にならなければなりません。
以上から
a=-3
となります。
No.24135 - 2014/02/02(Sun) 18:18:12
☆ おまけ / angel
実際にグラフを描いて ( もしくは頭の中で思い描いて )、a の値によって値域 ( yの変域 ) がどう変わるか、確認しておくのが良いでしょう。

0＜a≦2 の場合 … x=aでy最小、x=2でy最大 a^2≦y≦4
　例えば a=1 の時 1≦y≦4
a=0 の場合 … 上と下のケースの境界、0≦y≦4
-2＜a＜0 の場合 … x=0でy最小、x=2でy最大 0≦y≦4
　例えば a=-1 の時 0≦y≦4
a=-2 の場合 … 上と下のケースの境界、0≦y≦4
a＜-2 の場合 … x=0でy最小、x=aでy最大 0≦y≦a^2
　今回の問題に該当、a=-3 の時 0≦y≦9
No.24139 - 2014/02/02(Sun) 19:11:33
☆ Re: 中3です。 / ふみか
解決しました!!ありがとうございます。
No.24161 - 2014/02/02(Sun) 23:53:58
★ 整数解2 / 菊池　悠斗
こちらも同様、整数解の問題です。お願いいたします。
No.24129 - 2014/02/02(Sun) 17:51:13
☆ Re: 整数解2 / らすかる
2x^2-5xy+2y^2+x+4y-4=0 は
(2x-y-3)(x-2y+2)=-2 と変形できますので
2x-y-3=1, x-2y+2=-2
2x-y-3=-1, x-2y+2=2
2x-y-3=2, x-2y+2=-1
2x-y-3=-2, x-2y+2=1
の4つの連立方程式を解けば答えが出ます。
No.24132 - 2014/02/02(Sun) 18:08:17
☆ Re: 整数解2 / 菊地　悠人
理解いたしました。ありがとうございました。
No.24150 - 2014/02/02(Sun) 22:12:37
★ 整数解1 / 菊池　悠斗
246では、xyz3つ求めなくてはならないので今まで私が出会ったことのない問題です。答えも(略)となっていたので解いていたただくとなおさらありがたいです。(-_-;)すいませんが後ほどもう1問質問いたします。
No.24128 - 2014/02/02(Sun) 17:49:59
☆ Re: 整数解1 / らすかる
条件から3x+2y≧5ですから4z≦7、従ってz=1です。
z=1のとき3x+2y=8ですからx=2,y=1と決まります。
No.24131 - 2014/02/02(Sun) 17:59:33
☆ Re: 整数解1 / 菊池　悠斗
らすかる様、前回に続きありがとうございます。とても数学に対する楽しみが生まれてきました。感謝いたします。
No.24134 - 2014/02/02(Sun) 18:09:48
★ (No Subject) / ヒキニート
xy平面上の放物線C1:y=x^2とC2:y=-x^2+1で囲まれた領域をDとし、Dの内部(周は除く)に点P(a,b)をとる。
(1)Pを通りy軸に平行でない直線lのうち、lとC1で囲まれた領域の面積が最小となるものをl(0)とする。l(0)の方程式を求めよ。
(2)(1)で定めたl(0)とC2で囲まれた領域の面積をTとする。また、Pを通りy軸に平行でない直線とC2で囲まれた領域の面積の最小値をUとする。T≧2√2UとなるようなPの存在範囲を図示せよ。
No.24116 - 2014/02/02(Sun) 15:25:23
★ (No Subject) / sasayama
k:2以上の自然数
xy平面上における2つの曲線
　C:y＝sinx　(0≦x≦π/k)
　Ck;y＝k･sinkx (0≦x≦π/k)　　を考える
曲線CとCkは，kの値によらず0<k≦π/kにおいてただ１回交わり
この交点のx座標をαkとおくと、π/(2k)<α<π/kを満たす
(１)lim[k→∞]k･αkを求めよ
(２)曲線Cの0≦x≦αkの部分および曲線Ckのαk≦x≦π/kの部分とx軸とが
囲む部分の面積をSkとする
このとき，lim[k→∞]Sk･k＾2を求めよ

(１)からわかりません
図を書いて題意がわかれば簡単といわれたのですが…
No.24113 - 2014/02/02(Sun) 14:59:38
☆ Re: / ＩＴ
π/(2k)<α[k]<π/kよりπ/2＜kα[k]＜π
よって　0≦k･sinkα[k]=sinα[k]≦1
kで割って,0≦sinkα[k]≦1/k
よって　lim[k→∞]sinkα[k]＝0
ここで　π/2＜kα[k]＜πであることから　lim[k→∞]kα[k]＝π
No.24127 - 2014/02/02(Sun) 17:48:05
★ (No Subject) / 目の上の痛み
lim(a(n))=1のとき
lim{nlog(a(n))}を求める際、

0<nlog(an)<1/(n-log(an))
とでき、右辺がｎ無限大で1/(∞ー０）＝０
よりはさみうちの原理から答え０とするのは間違いですか？
理由も含めてよろしくお願いします
No.24102 - 2014/02/02(Sun) 13:35:09
☆ Re: / 目の上の痛み
lim（ｎ→∞）(a(n))=1のとき
lim（ｎ→∞）{nlog(a(n))}を求める際　　です
No.24103 - 2014/02/02(Sun) 13:36:03
☆ Re: / ＩＴ
0<nlog(an)　はどこから来たのですか？
No.24105 - 2014/02/02(Sun) 13:40:35
☆ Re: / angel
lim a[n] = 1 という条件だけでは lim nlog(a[n]) は定まりません。∞×0 の形なので、まさに不定です。

例えば、
・a[n]=1 ( 定数列 ) の場合
　常に nlog(a[n])=0 よって lim nlog(a[n])=0
・a[n]=e^(1/n) の場合
　常に nlog(a[n])=1 よって lim nlog(a[n])=1

これらはいずれも lim a[n]=1 となる例です。
※もちろん、lim nlog(a[n]) が 0,1 以外になるケースもあります。
ということで、lim nlog(a[n]) を求めるには、a[n]の形から来る別の何か条件を使う必要があります。
なので、lim a[n] の条件だけで考える時点で、正解にはなり得ないのです。
No.24125 - 2014/02/02(Sun) 17:11:24
☆ Re: / 目の上の痛み
回答ありがとうございます。
質問の意図を伝え切れなかったようで申し訳ありません

lim(a(n))=1で
0<nlog(an)<1/(n-log(an))
から最右辺がｎ→∞で1/(∞ー０）より０に収束する、

という操作は間違いなのですか？lim(n→∞）1/(n-log(an))＝０ではないのですか？もし間違いじゃなければ、挟み撃ちの原理から答えは０になりますよね
それが知りたいのです。よろしくおねがいします
No.24141 - 2014/02/02(Sun) 20:40:29
☆ Re: / ＩＴ
> lim(a(n))=1で
> 0<nlog(an)<1/(n-log(an))
この不等式は、必ずしも成り立たないと思いますが？
どういうとき成り立つのですか？
No.24143 - 2014/02/02(Sun) 21:03:52
☆ Re: / 頭痛が治らない人
それは問題文の途中の過程を省略したからです。つまり
lim(a(n))=1が求まり、他の式を変形していくと
0<nlog(an)<1/(n-log(an))
と変形できた。という設定です。
No.24145 - 2014/02/02(Sun) 21:29:37
☆ Re: / らすかる
lim[n→∞]a[n]=1 かつ任意のnに対して 0＜nlog(a[n])<1/(n-log(a[n]))
が成り立っている場合に、lim[n→∞]nlog(a[n])=0と言えるか
という質問ならば、「言えます」。

# 最初からこのように質問していれば誤解されなかったと思います。
# 最初の質問では、仮定が「lim[n→∞]a[n]=1」のみで、その条件から
# 0＜nlog(a[n])＜1/(n-log(a[n])) とできるか
# という風に受け取れました。
# 下手に過程を省略すると意図が伝わらず無意味なやりとりが起こる可能性が
# 増えますので、省略する場合は質問はその分正確に書く必要があります。
No.24152 - 2014/02/02(Sun) 22:18:09
☆ Re: / 頭痛が治らない人
ありがとうございます。よく分かりました。新たな疑問が生まれてしまったので再アップさせてもらおうかと思います。
No.24159 - 2014/02/02(Sun) 23:44:21
★ (No Subject) / 頭痛が治らない人
３つの自然数a,b,c（a<b<c)についてa,b,cの最大公約数１２，最小公倍数２１６である。このようなa,b,cの組はいくつあるか？

a=12A,b=12B,c=12Cとおける。A<B<CでありA,B,Cの最大公約数は１、｢最小公倍数は２１６÷１２＝１８である。このようなｃは１か９である」ことを考慮して１０組。とあるのですが、
「」の部分が正直分かりません。どなたか教えてください。
No.24099 - 2014/02/02(Sun) 11:44:22
☆ Re: / ＩＴ
> ３つの自然数a,b,c（a<b<c)についてa,b,cの最大公約数> a=12A,b=12B,c=12Cとおける。A<B<CでありA,B,Cの最大公約数は１、｢最小公倍数は２１６÷１２＝１８である。このようなｃは１か９である」
「ｃは１か９である」は「Cは１８か９である」が正しいのでは？
No.24100 - 2014/02/02(Sun) 13:00:25
☆ Re: / 頭痛が治らない人
失礼しました、転記ミスです、その上で回答よろしくお願いします
No.24101 - 2014/02/02(Sun) 13:22:25
☆ Re: / ＩＴ
まず、前段から
a,b,cの最小公倍数をLとおく
L=as=12As=bt=12Bt=cu=12Cu なる正整数s,t,uが存在する
このときAs=Bt=Cu=L/12はA,B,Cの公倍数　となっている。

A,B,Cの任意の正の公倍数をJ=Ax=By=Cz とおく
12J(=12Ax=12By=12Cz) は12A=a,12B=b,12C=cの公倍数となっている。
Ｌはa,b,cの最小公倍数なので　0＜L≦12J よってL/12≦J

よってL/12はA,B,Cの最小公倍数
No.24104 - 2014/02/02(Sun) 13:36:13
☆ Re: / 頭痛が治らない人
回答ありがとうございます。

実は７行目からが分かりませんでした。つまりどういうことなのでしょうか・・
No.24144 - 2014/02/02(Sun) 21:11:21
☆ Re: / angel
おおざっはに言いますと、
全ての数を何倍かすると、最大公約数も、最小公倍数も、同じだけ何倍かされるのです。
例えば、x,y,zの最大公約数がG、最小公倍数がLなら、
　2x,2y,2zの最大公約数は2G、最小公倍数は2L
　3x,3y,3zの最大公約数は3G、最小公倍数は3L
　…
といった感じです。これは逆もまた然りで、何分の1かにした場合も同様です。すなわち、
　x/2,y/2,z/2の最大公約数はG/2、最小公倍数はL/2
　x/3,y/3,z/3の最大公約数はG/3、最小公倍数はL/3
　…
もちろん、こちらについては、/2や/3で割り切れるのが前提です。
と、ここで、必ず割り切れるケースが一つあって、それは1/Gする場合ですね。なので、
　x/G,y/G,z/Gの最大公約数はG/G=1、最小公倍数はL/G
これを利用しようというのが、今回の解法です。
No.24177 - 2014/02/04(Tue) 07:44:42
☆ Re: / angel
で、先ほどの話を適用すると、今回の問題では、
　A=a/12, B=b/12, C=c/12の最大公約数は1、最小公倍数は18
ということになります。( A＜B＜C )
ここでなぜ最大のCが9か18になるか、それについては最小公倍数の考え方に遡ってみます。
例えば、2,6,9の組は、最小公倍数が18になりますが、どうやって考えるかというと、
　2 = 2^1×3^0
　6 = 2^1×3^1
　9 = 2^0×3^2
と、それぞれ素因数分解して ( 無い素因数の所は0乗で )、それからそれぞれの素因数に関して、指数の最大値を拾って来る、すなわち、
　L = 2^1×3^2
と、これで最小公倍数になります。
※逆に指数の最小値を拾ってくれば、最大公約数になります。

そうすると、最小公倍数が18=2^1×3^2であれば、必ず3^2で割り切れる数がABCのどれかにあるはずで、大小関係からすると、Cが9か18になると分かります。

( 追記 )
※3^2で割り切れる数は最低でも9、なのでCは9以上。しかもCは18の約数となるため、9,18しか候補がない。
No.24180 - 2014/02/04(Tue) 08:10:34
★ セクション３，１−（１） / ハウス
連投失礼します

１７５/24にかけても、３３/140でわっても自然数となるような最小の分数を求めよ。

私の作った答え
ｘ＝ｎ＊(2^3*3)/(5^2*7)(n:5,7と互いに素な自然数）
ｘ＝(3*11)(2^2*5*7)m(m:2,5,7とは互いに素な自然数）
よって最小のｘはｎ＝ｍ＝１としてよく
ｘ＝3*11*2^3/(2^2*5*7)=166/175

なぜこれで駄目なのかどなたか教えてください、よろしくお願いします
No.24077 - 2014/02/01(Sat) 23:30:10
☆ Re: セクション３，１−（１） / らすかる
ｘ＝(3*11)(2^2*5*7)m(m:2,5,7とは互いに素な自然数）は
ｘ＝m*(3*11)/(2^2*5*7)(m:2,5,7とは互いに素な自然数）だと思いますが

x=n*(2^3*3)/(5^2*7) と
x=m*(3*11)/(2^2*5*7) で
n=m=1としてしまったら
x=1*(2^3*3)/(5^2*7)=1*(3*11)/(2^2*5*7)
という成り立たない式になってしまいますね。
n*(2^3*3)/(5^2*7)=m*(3*11)/(2^2*5*7)
が成り立つようにn,mを決めないといけません。
No.24089 - 2014/02/02(Sun) 00:08:12
☆ Re: セクション３，１−（１） / ハウス
回答ありがとうございます。
確かにそのとおりですね。
ちなみにこの方針で解き進めることは可能でしょうか？
３２ｎ＝５５ｍで
n=55k,m=32k（ｋは整数）とおけるところまではいけましたが。。
No.24098 - 2014/02/02(Sun) 11:34:43
☆ Re: セクション３，１−（１） / らすかる
n=55k,m=32k まで出れば
最小となるためにはk=1ですから
n=55,m=32
従って
x=55(2^3*3)/(5^2*7)=32(3*11)/(2^2*5*7)=(2^3*3*11)/(5*7)=264/35
と出ますね。
No.24110 - 2014/02/02(Sun) 14:38:04
☆ Re: セクション３，１−（１） / ハウス
回答ありがとうございます。

答えはそのとおりでお見事という感じなのですが、

そのｍ、ｎだと
n:5,7と互いに素な自然数
m:2,5,7とは互いに素な自然数
に反してませんか？
No.24149 - 2014/02/02(Sun) 21:47:05
☆ Re: セクション３，１−（１） / らすかる
それは
「n：5,7と互いに素な自然数」
「m：2,5,7と互いに素な自然数」
という条件を付けることが正しくないということを意味していますね。
「自然数となる」ためには「〜と互いに素」という条件は不要で、
「最小の分数」を求めるためには「〜と互いに素」ではなく
最後にkを最小としなければならないということです。
No.24153 - 2014/02/02(Sun) 22:22:57
★ セクション３、３−（１） / ハウス
二つの自然数a,b(a＜b)について、aとｂの最大公約数は６、最小公倍数は２１６である。このような（a,b）の組はいくつあるか。

なぜこれでだめなのか教えてください。よろしくお願いいたします。

私の作った解答
ab=LGより（G:最大公約数、L：最小公倍数）
ab=2^4*3^4
よってa<bに注意すると求める組は１２組（約数の個数２５−１を２で割った。※6^4についてαが約数なら６＾４/αも約数という関係を使いました）
No.24076 - 2014/02/01(Sat) 23:24:01
☆ Re: セクション３、３−（１） / ＩＴ
a=1,b=2^4*3^4など「aとｂの最大公約数は６、最小公倍数は２１６である」を満たさないものも入っていませんか？
No.24079 - 2014/02/01(Sat) 23:34:07
☆ Re: セクション３、３−（１） / ハウス
回答ありがとうございます。
確かにそのとおりですね。。

aとｂの最大公約数は６、最小公倍数は２１６という条件はab=LGに代入するときに使っているのになぜこのような（条件を使ったのにそれが反映されていないという）現象が起きるのでしょうか。。難しい質問かとは思いますがよろしくお願いします。
No.24081 - 2014/02/01(Sat) 23:42:55
☆ Re: セクション３、３−（１） / ＩＴ
> aとｂの最大公約数は６、最小公倍数は２１６という条件はab=LGに代入するときに使っているのになぜこのような（条件を使ったのにそれが反映されていないという）現象が起きるのでしょうか
ab=1296(=6×216)は必要条件でしかありません。
「aとｂの最大公約数は１、最小公倍数は1296」という条件でも同じab=1296になりますね。
No.24083 - 2014/02/01(Sat) 23:52:12
☆ Re: セクション３、３−（１） / ハウス
確かにそのとおりですね。意味を考えて立式しなきゃ駄目って事ですかね。　回答ありがとうございました。
No.24097 - 2014/02/02(Sun) 11:31:45
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