微分と導関数とヤコピアンは同じ物なのでしょうか?
lim_{h→0}|f(x+h)-f(x)-λ(h)|/|h|=0 (但し,h∈R^m)が成立つ線形写像λをfの微分というのだと思います。
このλは
∂f_1(x)/∂x_1,∂f_1(x)/∂x_2,…,∂f_1(x)/∂x_m
∂f_2(x)/∂x_1,∂f_2(x)/∂x_2,…,∂f_2(x)/∂x_m
:
∂f_n(x)/∂x_1,∂f_n(x)/∂x_2,…,∂f_n(x)/∂x_m
というm×n行列で表されヤコビアンとも呼ばれる。
という解釈で正しいのでしょうか?
つまり,微分は線形写像でヤコピアンはその表現行列の事でしょうか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E8%A1%8C%E5%88%97
にあるようにヤコビアンは導関数(傾き)に相当するみたいです。
例:
f:R^3→R^2がf(x,y,z)=t(xy^2+2z,2-5x+yz^4)の時、
f_1=xy^2+2z、f_2=2-5x+yz^4と於いて,
∂f_1/∂x,∂f_1/∂y,∂f_1/∂z
∂f_2/∂x,∂f_2/∂y,∂f_2/∂z
=
y^2,x,2
-5,z^4,4yz^3
がヤコピアンで
これに(x,y,z)=(-1,0,2)を代入した
0,-1,2
-5,16,0
がfの点(-1,0,2)での微分係数と呼んだりするのでしょうか?
この
y^2,x,2
-5,z^4,4yz^3
fの微分λの表現行列になってますが
この像λ(h_1,h_2,h_3)
=
h_2^2+h_1+2
-5+h_3^4+4h_2h_3^3
は一体何を表しているのでしょうか?
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No.24767 - 2014/03/08(Sat) 07:30:43
| ☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / angel | | | > 微分と導関数とヤコピアンは同じ物なのでしょうか?
「微分」と言った場合は、元の関数から導関数を求める「操作」もしくは「写像」を指すでしょうから、微分≠導関数でしょう。
「ヤコビ行列」であれば導関数を拡張したモノなので、まあ同じようなものと言えなくもないですが、「ヤコビアン」はその行列式なので、明らかにヤコビアン≠導関数です。
※ひょっとして「ヤコビ行列」と「ヤコビアン」を混同している?
> 微分は線形写像でヤコピアンはその表現行列の事でしょうか?
「微分」が関数から導関数に対する一種の「線形写像」であることは確かですが、それとヤコビ行列の話は切り離して考えた方が良いと思います。
そもそも導関数そのものは線形写像ではないため、「表現行列」という用語は合っていません。
あくまで f:n次元ベクトル→m次元ベクトル に微分(のような操作)を施すと、f'のようなもの:n次元ベクトル→n×m次行列 という関数ができる、そのできた関数のことを ( 行列を値とする関数なので ) ヤコビ行列と言っています。
> 〜がfの点(-1,0,2)での微分係数と呼んだりするのでしょうか?
行列なので「微分係数」とは呼ばないと思います。
※というか、そういった用語が特にあるかどうかは聞いたことがない…
ただ、微分係数を拡張したものなので、同じような意味を持つとは言えるでしょう。
>この像λ(h_1,h_2,h_3)=…は一体何を表しているのでしょうか?
高校で習う微分での微分係数の性質、
Δf(x)≒αΔx ( αを微分係数とする )
すなわち、
f(x+h)-f(x)≒αh ( h≒0 )
と同じこと。その拡張です。
f(ｖ+ｈ)-f(ｖ)≒Ａｈ ( ｈ≒0, ｖ,ｈはn次元ベクトル、Ａはm×n行列、式全体はm次元ベクトル )
つまりλ(h1,h2,h3) はこの式のＡｈに相当し、fの値 ( ベクトル ) がｈに応じてどの程度変化するかを表しています。
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No.24775 - 2014/03/09(Sun) 00:01:08 |
| ☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / あす | | | 仰る通り
ヤコビアン
↓
ヤコビ行列
でした。書きミスしておりました。
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No.24780 - 2014/03/09(Sun) 09:03:52 |
| ☆ Re: 微分と導関数とヤコピアンとが混乱してます / あす | | | 有難うございます。お蔭様で明るくなりました。
> 行列なので「微分係数」とは呼ばないと思います。
> ※というか、そういった用語が特にあるかどうかは聞いたことがない…
下記にて全微分係数という用語が載ってますがこれとは無関係ですかね?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D_(%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E8%A7%A3%E6%9E%90)
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No.24825 - 2014/03/11(Tue) 08:22:23 |
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