ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ヒキニート

nを自然数として、xy平面上において曲線y=e^(-nx),直線y=xおよびy軸で囲まれる領域をy軸の周りに回転して得られる立体の体積をV(n)とする。lim(n→∞){ (n^α)×V(n)}が0以外の値に収束するようなaの値とその時の極限値えお求めよ。必要ならば、lim(x→+0) {x(logx)^2}=0を用いてよい。

No.24074 - 2014/02/01(Sat) 22:49:08

☆ Re: / ハウス

V(n)を実際に求めて極限を考えるのだと思います。

No.24078 - 2014/02/01(Sat) 23:32:24

☆ Re: / ヒキニート

手詰まりです。解答はどんな感じですか？y=e^(-nx)のグラフが良くわからないので、V(n)もよくわかりません。

No.24086 - 2014/02/02(Sun) 00:04:45

☆ Re: / X

y=e^(-nx) (A)
y=x (B)
のグラフの交点のx座標をtとすると
e^(-nt)=t (C)
また交点のy座標は(B)よりtとなります。
また(A)より
x=-(1/n)logy
となることに注意すると
V(n)=(1/3)(πt^2)・t+∫[t→1]{π(-(1/n)logy)^2}dy
=(1/3)(πt^3)+[yπ((1/n)logy)^2][t→1]-∫[t→1]{2π((1/n)logy)}dy
=(1/3)(πt^3)-tπ((1/n)logt)^2-[2yπ(1/n)logy][t→1]+∫[t→1]{2π(1/n)}dy
=(1/3)(πt^3)-tπ((1/n)logt)^2+2tπ(1/n)logt+2π(1/n)(1-t) (D)
(C)を(D)のlogtの項に代入すると
V(n)=-(2/3)(πt^3)-2πt^2+2π(1/n)(1-t)
=-(2/3)(πt^2)(t+3)+2π(1/n)(1-t)
∴(n^a)V(n)={-(2/3)(πt^2)n(t+3)+2π(1-t)}n^(a-1)
更に(C)より
n=-(logt)/t (C)'
∴(n^a)V(n)={-(2/3)(tlogt)(t+3)π+2π(1-t)}n^(a-1)
ですので
lim[n→∞](n^a)V(n)=lim[n→∞]{-(2/3)(tlogt)(t+3)π+2π(1-t)}n^(a-1) (E)
ここで
y=(-logx)/x (F)
のグラフを考えることにより((F)の増減の議論は省略します)
(C)'において
n→∞のときt→+0 (G)
又
lim[t→+0]tlogt=0 (証明は省略します)
ですので(E)において
{}の中→2π
よって条件を満たすとき
a=1
であり、このとき
lim[n→∞](n^a)V(n)=2π
となります。

No.24094 - 2014/02/02(Sun) 01:41:18

★ (No Subject) / ヒキニート

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の数字が書かれた10枚のカードから無作為に1枚を引いてカードの数字を調べ、元に戻す試行をn回繰り返す。引いたカードの和をAとし、積をBとする。

(1)Aが3の倍数である確率をa(n)とBが3の倍数である確率b(n)を求めよ。
(2)Aが3の倍数かつＢが3の倍数でない確率p(n)とAが3の倍数でなく、かつＢが3の倍数でない確率q(n)を求めよ。

No.24073 - 2014/02/01(Sat) 22:40:36

☆ Re: / ハウス

a(n)について
０～９を３で割った余りがｋのものをAkとしてグループ分けします。
A0={0､3,6,9｝
A1={1,4,7}
A2={2,5,8}
２数の和が３の倍数となるのは
A0から二数とるケースか
A1,A2から一つずつとるケースに限られます

※間違っていたらどなたかご指摘お願いします

No.24080 - 2014/02/01(Sat) 23:37:24

☆ Re: / ヒキニート

A1、A2から1つずつとる場合ってnが偶数じゃないとダメじゃないですか？その場合はどうすればいいんですか？

No.24090 - 2014/02/02(Sun) 00:09:52

☆ Re: / ＩＴ

(1)Aが3の倍数である確率をa(n)
漸化式を立てると
a(1)=4/10
a(n+1)=(4/10)a(n)+(3/10)(1-a(n))=(1/10)a(n)+3/10

Bが3の倍数である確率b(n)を求めよ。これは余事象でいけますね。

No.24093 - 2014/02/02(Sun) 00:41:18

☆ Re: / ヒキニート

漸化式の(3/10)(1-a(n))とこがよく分かりません。なぜそうなるのですか？b(n)はb(n)=1-6^nになりますか？

No.24095 - 2014/02/02(Sun) 01:41:39

☆ Re: / ＩＴ

> 漸化式の(3/10)(1-a(n))とこがよく分かりません。なぜそうなるのですか？
（簡単な説明）
1-a(n)は、Aが3の倍数でない確率です。
Aが3の倍数でないとき、1枚引いた数を加えて3の倍数になるのは
　A≡1(mod3)のときは　{2,5,8}のどれかを引く（確率3/10）
A≡2(mod3)のときは　{1,4,7}のどれかを引く（確率3/10）場合だからです。　

>b(n)はb(n)=1-6^nになりますか？
ちがいます、確率は0以上1以下でないとおかしいです。

No.24096 - 2014/02/02(Sun) 07:07:36

☆ Re: / ヒキニート

b(n)はどうなるのですか？

No.24106 - 2014/02/02(Sun) 14:08:50

☆ Re: / ヒキニート

b(n)は1-(3/5)^nですか？

No.24108 - 2014/02/02(Sun) 14:33:04

☆ Re: / ＩＴ

合ってると思います。

No.24109 - 2014/02/02(Sun) 14:35:40

☆ Re: / ヒキニート

(2)は包含排除の原理で解けますか？

No.24111 - 2014/02/02(Sun) 14:55:50

☆ Re: / ヒキニート

すいません、包含排除の原理では解けませんね
(2)はどうすれば良いのでしょうか？

No.24112 - 2014/02/02(Sun) 14:57:23

☆ Re: / ＩＴ

条件付き確率かな。

No.24114 - 2014/02/02(Sun) 15:11:56

☆ Re: / ヒキニート

p(n)=(1-b(n))/a(n)でq(n)=(1-b(n))/(1-a(n))ですか？

No.24115 - 2014/02/02(Sun) 15:24:09

☆ Re: / ＩＴ

違うと思います。
条件付き確率の式は、P(A|B)=P(A∩B)/P(A)　で
今回求める　p(n)はP(A∩B)に当たりますから
P(A∩B)＝P(A)P(A|B)　を使って求めるか

場合の数で考えるなら　全事象10^n通りとして
条件を満たす事象が何通りあるか漸化式で計算して10^nで割ります。

※A,Bは一般の事象を表します。

No.24117 - 2014/02/02(Sun) 15:57:45

☆ Re: / ヒキニート

あ本当ですね。pP(A∩B)はどのようにして求めるのですか？

No.24118 - 2014/02/02(Sun) 16:05:03

☆ Re: / ヒキニート

ごめんなさい。混乱して良く分からなくなりました。(2)の解答を簡単にでもいいので先ほどのように書いてもらっていいですか？

No.24119 - 2014/02/02(Sun) 16:10:24

☆ Re: / ＩＴ

Ｂが3の倍数でない確率は分かりますよね
Ｂが3の倍数でないとき　すなわち1、2、4、5、7、8の数字が書かれた６枚のカードだけから引いたときにAが3の倍数になる確率を漸化式で求めて　両者を掛けます。

No.24120 - 2014/02/02(Sun) 16:15:41

☆ Re: / ヒキニート

漸化式はa(n+1)=(3/10)(1-a(n))になりますか？両者をかけるとはどういうことでしょうか？

No.24121 - 2014/02/02(Sun) 16:27:26

☆ Re: / ＩＴ

> 漸化式はa(n+1)=(3/10)(1-a(n))になりますか？
3の倍数のカードは引かない前提なので、(3/10)・・ではないですね、

>両者をかけるとはどういうことでしょうか？
P(A∩B)＝P(A)P(A|B) のP(A)とP(A|B)に該当します。

No.24123 - 2014/02/02(Sun) 16:47:42

☆ Re: / ヒキニート

じゃあ、a(n)の漸化式はどうなるのですか？P(a|b)はどうやって求めるんですか？

No.24124 - 2014/02/02(Sun) 17:02:48

☆ Re: / ＩＴ

「Ｂが3の倍数でない」条件の下で　Ａが3の倍数になる確率をr(n)とおくと

r(1)=0
r(n+1)=(1-r(n))(1/2) となります。
n=3のときで考えると
111　○
112　×
12*　×
21*　×
221　×
222　○

No.24136 - 2014/02/02(Sun) 18:21:38

☆ Re: / ヒキニート

また、よきわからなくなったので、(2)を整理して方針というか過程を書いて欲しいです。

No.24137 - 2014/02/02(Sun) 18:35:56

★ (No Subject) / ヒキニート

xy平面上の放物線C1:y=x^2とC2:y=-x^2+1で囲まれた領域をDとし、Dの内部(周は除く)に点P(a,b)をとる。
(1)Pを通りy軸に平行でない直線lのうち、lとC1で囲まれた領域の面積が最小となるものをl(0)とする。l(0)の方程式を求めよ。
(2)(1)で定めたl(0)とC2で囲まれた領域の面積をTとする。また、Pを通りy軸に平行でない直線とC2で囲まれた領域の面積の最小値をUとする。T≧2√2UとなるようなPの存在範囲を図示せよ。

No.24071 - 2014/02/01(Sat) 22:32:49

☆ Re: / ハウス

ｌはｙ＝ｍ（x-a)+bとおけばy軸に平行でない直線になります。これをC1と連立して、交点のx座標をα、β（α＜β）とすると囲まれた領域の面積SはS=(1/6)(βーα）＾３となります。このSが最小となるときのｍを求めれば、直線の方程式が決まります

No.24084 - 2014/02/01(Sat) 23:52:13

☆ Re: / X

(1)
条件よりlがC[1]のうち、Dの境界線となっている部分
における接線にどれだけでも近くなるように
点Pを取ることができますので、問題の面積を
どれだけでも0に近づけることはできますが
点PはDの境界には取れませんので面積を0に
することはできません。
よって問題の面積の最小値は存在しませんので
l[0]も存在しません。
(問題文にタイプミスはありませんか？)

No.24085 - 2014/02/01(Sat) 23:54:48

☆ Re: / ヒキニート

すいません、問題文にミスはなかったです。

No.24087 - 2014/02/02(Sun) 00:07:06

☆ Re: / X

ごめんなさい。Pは動点ではなく、定点ですね。
私の回答は無視して下さい。

No.24091 - 2014/02/02(Sun) 00:12:36

☆ Re: / ヒキニート

Xさん、解けますか？

No.24122 - 2014/02/02(Sun) 16:30:11

☆ Re: / X

(1)
ハウスさんの方針により
(6S)^(2/3)=(β-α)^2
=(α+β)^2-4αβ (A)
また、解と係数の関係により
α+β=m (B)
αβ=b-ma (C)
(A)(B)(C)より
(6S)^(2/3)=m^2-4am+4b
=(m-2a)^2+4(b-a^2) (D)
よって(D)はm=2aのときに最小になりますので
Sもこのときに最小になります。
∴l(0)の方程式は
y=2ax-2a^2+b
(2)
(1)と同様に積分を計算すると煩雑ですので
ここではDの形状の対称性を使います。
条件からC[1],C[2]は直線y=1/2に関して対称です。
この直線に関し点Pを対称移動させると
点(a,1/2-(b-1/2))
つまり
点(a,1-b) (E)
に移ります。
同様にl(0)を対称移動させると、移動後の直線の傾きは
-2a (F)
となります。
よって(D)のm,a,bと(E)(F)との対応関係を使うと
(6T)^(2/3)=(-2a)^2-4a(-2a)+4(1-b) (G)
(6U)^(2/3)=4{(1-b)-a^2} (H)
ここで
T≧2√2U
より
6T≧2√2(6U)
(6T)^(2/3)≧2(6U)^(2/3) (I)
(G)(H)(I)により
(-2a)^2-4a(-2a)+4(1-b)≧8{(1-b)-a^2}
これより
a^2+2a^2+(1-b)≧2{(1-b)-a^2}
b≧-5a^2+1
よって点Pの存在範囲はDから境界を除いた領域と
y≧-5x^2+1
との共通領域になります。

No.24126 - 2014/02/02(Sun) 17:38:46

★ ２次方程式　高１程度 / 幸一

２次方程式x^2-2x-5=0の解をα、β（α＜β）とすると、α=(ｷ),β=(ｸ)である。また、α^6+β^6=(ｹ)である。

途中までやったのですが、α=2-2√3,β=2+2√3であってますでしょうか？
α^6+β^6はどのように分解するのでしょうか(α^2+β^2)(α^3+β^3)でいいのですか？答えが５２１６になったのですが・・

No.24066 - 2014/02/01(Sat) 12:39:37

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / ＩＴ

> 途中までやったのですが、α=2-2√3,β=2+2√3であってますでしょうか？
違っていますね。途中式も書いてみてください。

> α^6+β^6はどのように分解するのでしょうか(α^2+β^2)(α^3+β^3)でいいのですか？

ちがいます。(α^2+β^2)(α^3+β^3)を展開するとどうなりますか？

No.24067 - 2014/02/01(Sat) 14:08:21

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / 幸一

解の公式間違えていました。
α=1-√6,β=1+√6であってますか？
(α^2+β^2)(α^3+β^3)を展開すると、
α^6+α^2β^3+α^3β^2+β^6でしょうか、元と違いました。
これは、(α^2+β^2)(α^3+β^3)に-α^2β^3-α^3β^2を付け加えればいいのですか？
あっているかわかりませんが書いてみます。
{(α+β)^2-2αβ*(α+β)^3-3αβ(α+β)}-(αβ)^2(α+β)で、
α+β=(1-√6)+(1+√6)=2
αβ=(1-√6)(1+√6)=-5
代入して
(4+10*8+15*2)-25*2=64になりました。

No.24069 - 2014/02/01(Sat) 20:32:57

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / ＩＴ

> α=1-√6,β=1+√6であってますか？
あってます。確認方法は数２で習いますが「解と係数の関係」を使って　α+β＝-(-2)/1,αβ＝-5/1 がいいかも。

> (α^2+β^2)(α^3+β^3)を展開すると、
> α^6+α^2β^3+α^3β^2+β^6でしょうか
ちがいます。(α^2)(α^3)＝α^5、(β^2)(β^3)＝β^5　ですから
(α^2+β^2)(α^3+β^3)
＝(α^2)(α^3)+(α^2)(β^3)+(α^3)(β^2)+(β^2)(β^3)
＝(α^5)+(α^2)(β^3)+(α^3)(β^2)+(β^5)
です。

No.24070 - 2014/02/01(Sat) 22:32:03

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / ＩＴ

α^6+β^6
=(α^2)^3+(β^2)^3
=(α^2+β^2)^3-3((αβ)^2)(α^2+β^2)などとする手もありますが、

α,βがx^2-2x-5=0の解であることから
x^6をx^2-2x-5で割った余りax+bを求めて
α^6+β^6=(aα+b)+(aβ+b)=a(α+β)+2b として求めるのが間違いにくいかも。

No.24075 - 2014/02/01(Sat) 22:56:14

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / 幸一

根本的に間違ってました・・足すんでしたね。
下のやり方がちょっとわからなかったので上のほうでやらせていただきました。
答えは１６９４であってますか？

No.24140 - 2014/02/02(Sun) 20:14:35

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / 幸一

下のほうでも計算しました。
x^6をx^2-2x-5で割ると、
余りが342x+505なので、
342(-(-2)/1)+2*505=1694ですよね。

No.24148 - 2014/02/02(Sun) 21:39:08

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / ＩＴ

合ってると思います。下記に数式を入れると計算してくれます。
http://www.wolframalpha.com/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281-%E2%88%9A6%29%5E6%2B%281%2B%E2%88%9A6%29%5E6

No.24169 - 2014/02/03(Mon) 18:57:43

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / 幸一

長々教えていただき感謝します。
ありがとうございました。

No.24182 - 2014/02/04(Tue) 14:00:48

★ (No Subject) / momokiti

a0=1,an=√{1+(a0+a1+…+an-1)＾２}(n＝1、2、3…)で定まる数列anがある
(1)an=1/sinθn(0<θn≦π/2)とおくとき，θn+1をθnで表せ。ただし、nは０以上の整数
(2)lim[n→∞]２＾(n+1)/an を求めよ

1)がどうにもできません
θn+1=θn/2　だと思うのですが…

No.24058 - 2014/01/31(Fri) 00:32:41

☆ Re: / angel

問題文の漸化式が、以前の項全てを含む形で使いにくいので、隣接項だけの形にするのが良さそう。
a0+a1+…の形に着目すると、
√(a[n]^2-1)=a[0]+…+a[n-1]
これと、nが1小さいバージョン
√(a[n-1]^2-1)=a[0]+…+a[n-2]
これらの差をとれば、隣接2項間の漸化式になります。

最後は倍角を使って
1/tan2x+1/sin2x=1/tanx
となることを計算すれば、O.K.です。

No.24059 - 2014/01/31(Fri) 12:51:42

☆ Re: / angel

補足です。
上の説明では1/tanの形を使っていますが、これだと角度がπ/2の時に使えないので、cos/sinで書いた方がスッキリしますね。
倍角を使うところならば、cos2x/sin2x+1/sin2x=cosx/sinxです。
いすれにせよ、解答を書くときには、導いた隣接2項間漸化式が成立する範囲を吟味しないと、不十分となります。ご注意ください。

No.24061 - 2014/01/31(Fri) 22:34:40

★ (No Subject) / 旅

ある10進法の数Xが
X=(9^5×10)＋(9^4×10)＋(9^3×20)＋(9^2×30)＋(9^1×50)＋(9^0×80)
であるとき、Xを9進法で表しなさいという問題で
手順：?@9^0の位は9^0のかたまりが80個　80÷9=8余り8より
9が8個繰り上がり、9^0の位は8
?A9^1の位は9^1のかたまりが50個　?@で繰り上がってきた8個を足して58個
58÷9=6余り4より9^2が6個繰り上がり9^1の位は4
以降同じ要領で9^5の位までやることで
Xを9進法で表すと1236048となるそうです。
解説には
「9進法だからそれぞれの位の数字が9以上のときは9で割った商(9のかたまりの個数)を次の位へと繰り上げないといけない」とあるのですがいまいちよくわかりません。

もう少し簡単な例で、
10進法で表された389は
389=(3×5^3)＋(0×5^2)＋(2×5^1)＋(4×5^0)
上と同じ要領でやると
?@5^0(=1)の位は5^0のかたまりが4個あるので4÷5=0余り4より
繰り上がりはなしで5^0の位は4
以降同じ要領でできますよね。
だけどどうしてこういうことをするのかよくわかりません；
5進法は0.1.2.3.4で数を表すので、
0,1,2,3,4,【10】,11,・・・というふうに5番目以降はなりますよね。
基本的なことは理解してると思うのですがまだ不十分みたいです。
これが10進法ならわかりやすいですよね。
たとえば10進法で表された645は
5は10^0(=1)の位で10^0のかたまりが5個という意味
4は10^1(=10)の位で10^1のかたまりが4個という意味
6は10^2(=100)の位で10^2のかたまりが6個という意味
よって645は645=「10^2が6個」＋「10^1が4個」＋「10^0が5個」ということですよね。
この場合は繰り上がりとかちょっとめんどくさいことを考えなくていいのでわかりやすくて楽です。
でも、最初にかいた問題の手順がどうしてそうするのかの意味がよく理解できていません。
だれかわかるかたおしえてください。おねがいします。

No.24055 - 2014/01/30(Thu) 23:41:15

☆ Re: / ヨッシー

十進法がイメージしやすいというなら、
(10^4×12)＋(10^3×23)＋(10^2×9)＋(10^1×25)＋(10^0×32)
だとどうでしょう？
下から見ていくと　32÷10＝3 あまり 2 で、２だけ残して３は10の位に繰り上げます。
すると (10^1×28) となり、28÷10＝2 あまり 8 で、8を残して２は100のくらいに繰り上げます。
(10^2×11) 1を残して1を1000の位へ。
(10^3×24) 4 を残して2を10000の位へ。
(10^4×14) 4 を残して1を100000の位へ
結果　144182 となります。

No.24056 - 2014/01/30(Thu) 23:57:27

☆ Re: / ast

位取り記数法に従って繰り上がりや繰り下がりを追うのが分かりにくいというならば, 位取り記数法を全く意識せずに問題を解く方が分かりよいのかもしれません.

その場合, 問題の意味は

　　X = (9^5×10)＋(9^4×10)＋(9^3×20)＋(9^2×30)＋(9^1×50)＋(9^0×80)
　をもう少し変形して
　　X = a×9^6 + b×9^5 + c×9^4 + d×9^3 + e×9^2 + f×9^1 + g×9^0
　を満たす 0 以上 9 未満の整数 a,b,c,d,e,f,g を求めなさい

ということに他ならないということを十分に踏まえましょう.

例えば, 9^0×80 = 9^0(8×9^1 + 8×9^0) = 8×9^1 + 8×9^0 などになりますから, これが位取り記数法に翻訳すれば繰り上がりを意味することが分かれば十分だと思います.

No.24057 - 2014/01/31(Fri) 00:19:27

★ 図形2 / 菊池　悠斗

申し訳ないのですが、こちらの4問もお願いいたします。一応ﾌﾘｰﾊﾝﾄﾞで図を描いてみましたが...

No.24050 - 2014/01/30(Thu) 21:51:57

☆ Re: 図形2 / ヨッシー

369
(1)半径は変わらないので、中心だけの話になります。
(2)原点と点(1,2)を結んだ線分の、垂直二等分線と、直線ｙ＝ｘ＋５
の交点が円の中心になります。
そこから、原点または点(1,2)までの距離が半径となります。
(3)この場合、求める円は第１象限にあるので
ｘ軸とｙ軸に接する円は、正の数ｔに対して、(t,t)中心、
半径ｔの円と言えます。つまり、
　(x-t)^2+(y-t)^2=t^2
これが(1,2) を通るようにｔを決めます(2つ答えが出るはずです)

370
（ｘ－○)^2＋（ｙ－□)^2＝××
の形にしたとき、右辺が正でないと円とは言えません。

371
y=3x+k を円の式に代入してｘの２次式にします。
それが実数解を持てば共有点を持つことになります。
特に重解を持つとき、円と直線は接し、その解が、接点となります。

372
(2,1)を通り傾きｍの直線は
　ｙ＝ｍ（ｘ－２）＋１
と書けます。これを円の式に代入して、ｘの２次方程式にし、
判別式で解の個数（＝共有点の数）を出します。

No.24052 - 2014/01/30(Thu) 22:11:17

☆ Re: 図形2 / 菊地　悠人

なるほど！判別式の使い方をﾏｽﾀｰします！

No.24054 - 2014/01/30(Thu) 22:52:47

☆ Re: 図形2 / 菊地　悠人

370～372まで全て解いてみたんですが、3つとも途中で分からないとこが出てきてしまいました。もう少しだけ詳細を伺ってもよろしいでしょうか❓

No.24060 - 2014/01/31(Fri) 21:39:21

☆ Re: 図形2 / ヨッシー

370
与式を変形すると
　(x+m)^2＋(y-m+1)^2＝-3m^2－2m＋1
となりますので、-3m^2－2m＋1＞0 となる m を求めます。
また、-3m^2－2m＋1 をｍの２次関数と見たときの最大値を
求める方法で、最大値を与えるｍの値を見つけます。

371
y=3x+k を円の式に代入すると
　x^2＋(3x+k)^2＝25
整理して
　10x^2＋6kx＋k^2－25＝0　・・・(i)
これの判別式をとって、
　9k^2－10(k^2－25)≧0　これが共有点を持つ条件
　9k^2－10(k^2－25)＝0 のとき、円と直線は接します。
これを解いてｋ＝±5√10。
ｋ＝-5√10 のとき　(i) より　ｘ＝3√10/2
　ｙ＝3x+k＝-√10/2
ｋ＝5√10 のとき　(略)

372 は判別式で解くと、微分が出てくるので、グラフで考えることにします。

点Ａ(2,1) から、円に接線を引くと、１本はｘ軸に平行な直線
となり、傾きは０，接点はＣ(0,1) です。
もう一方の接点をＢとすると、ＢＣは、ＯＡ（Ｏは原点）に
垂直なので、直線ＢＣの式は　ｙ＝-2x+1 となります。
これと、x^2＋y^2＝1 を連立させて解くと
Ｂ(4/5, -3/5) となりますので、ＡＢの傾き（図の？？？に当たる部分)を求めます。

No.24065 - 2014/02/01(Sat) 11:09:34

★ 係数 / 菊池　悠斗

293と295が難しくてわからなくなってしまいました。
おそらく293(3)解なしではないでしょうか？

No.24036 - 2014/01/29(Wed) 22:14:46

☆ Re: 係数 / ヨッシー

293
(1) X=x^2 とおくと、
（与式）＝Ｘ^2－６Ｘ＋５
　　＝（Ｘ－５）（ｘ－１）
　　＝(x^2－5)(x^2－1)
　　＝(x^2-5)(x-1)(x+1)　・・・・有理数の範囲
　　＝(x-√5)(x+√5)(x-1)(x+1)　・・・実数の範囲
(2) X=x^2 とおくと、
(与式)＝（２Ｘ＋３）（Ｘ－２）
　　＝(2x^2+3)(x^2-2)　　・・・有理数の範囲
　　＝（2x^2＋３）(x-√2)(x+√2)　・・・実数の範囲
　　＝２(x^2＋3/2)(x-√2)(x+√2)
　　＝２(ｘ－√(3/2)ｉ)(ｘ＋√(3/2)ｉ)(x-√2)(x+√2)　・・・複素数の範囲
(3)
(与式)＝x^4＋4x^2＋4－4x^2
　　＝(x^2+2)^2－(2x)^2
　　＝(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)　　・・・有理数の範囲
x^2-2x+2＝0 の解　ｘ＝1±ｉ
x^2+2x+2＝0 の解　ｘ＝－1±ｉ　より
(与式)＝(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)　・・・複素数の範囲

No.24037 - 2014/01/29(Wed) 22:30:18

☆ Re: 係数 / ヨッシー

295　解と係数の関係より
　α＋β＝－１、αβ＝－３
(1) ２解の和：α＋β－４＝－５
　２解の積：αβ－２(α＋β)＋４＝３
　よって、x^2＋5x＋３＝０
(2)　２解の和：－４　２解の積：３
　よって、x^2＋4x＋３＝０
(3) ２解の和：α^2＋β^2＝(α＋β)^2－2αβ＝７
　２解の積：(αβ)^2＝９
　よって、x^2－7x＋9＝０

No.24038 - 2014/01/29(Wed) 22:34:33

☆ Re: 係数 / 菊地　悠人

293の解説凄く分かりやすいです！ありがとうございました。

No.24040 - 2014/01/29(Wed) 22:55:10

★ 相似比です。 / 潤一郎

こんばんは。
又よろしくお願いします。

添付の上2問はできたのですが、最後が分りません。
同じ図なのになあってずっと考えています。

教えて下さい。よろしくお願いします。

No.24035 - 2014/01/29(Wed) 21:25:34

☆ Re: 相似比です。 / ヨッシー

△ＡＦＥと△ＡＤＢは相似で、相似比１０：２４＝５：１２　なので、
ＡＥ：ＡＢ＝５：１２　より　ＡＥ：ＥＢ＝５：７

ＥＢ：ＡＢ＝７：１２＝ＥＦ：ＡＣ　なので、
　ｘ＝10×12/7＝120/7

ＣＦ：ＦＢ＝ＡＥ：ＥＢ＝５：７　より、
　ｙ＝10√2×7/5＝14√2

No.24039 - 2014/01/29(Wed) 22:38:24

☆ Re: 相似比です。 / 潤一郎

ヨッシー先生へ

早くに回答していただいてありがとうございました。
なるほど、とてもよくわかりました。

ありがとうございました。
又勉強に励みます。よろしくお願いします。

No.24041 - 2014/01/29(Wed) 23:33:41

★ 立体の問題 / のぶ

８個の立方体を積み上げた大きい立方体の頂点Aと頂点Bを直線で結んだとき、直線が貫いた小立方体の個数を求めよ。
答えは２個なんですが、問題集の解説が
「真上から見ると上段に１個、下段に１個貫いてるので２個」としか書いていないのでよくわからず困っています；
この問題の解き方をだれかわかるかたおしえてください。おねがいします。

No.24030 - 2014/01/29(Wed) 16:12:29

☆ Re: 立体の問題 / ヨッシー

２個だということは、理解されているのでしょうか？

そうであれば、その解説はあまり良くはないので、無視して構いません。

Ａの属する小立体と、Ｂの属する小立体を貫き、他の小立体は
通らないので２個です。

もう少し、個数が増えてきたら、効率のいい方法もあります。

No.24031 - 2014/01/29(Wed) 16:39:28

☆ Re: 立体の問題 / のぶ

ありがとうございます。
実際に作ってみて爪楊枝でぶちさしたりしてみたところ
確かに2個になることがわかりました。
また、直線ABがAの属する小立方体とBの属する小立方体の共有する頂点を通ることは対称性から分かるので2個になるんじゃないかという予想はつきました。
でも、今回は数が少なかったのでまだいいものの、小立方体の各辺を1cmとしたとき、縦×横×高さがたとえば3×3×2で18個あって、さっきの問題と同じような位置関係に頂点A.Bがあるときはどう考えればいいのかわからず詰まってしまいます。
問題集の解法には真上、真横(正面)をみるべしとあるのですがその意味がよくわからず今後数が増えた問題がでた場合対処できません。
よかったら対処法を教えていただけないでしょうか
よろしくお願いします。

No.24032 - 2014/01/29(Wed) 17:21:47

☆ Re: 立体の問題 / ヨッシー

図の上は上から見たところ、、下は横から見たところです。
上の図を見ると、番号の書いていない６つのマスには
直線が通っていないので、直線が通るのは、番号の付いた
３つのマスの、上段、下段、または両方です。

そこで、下の図を見ると、?@のマスは下段にしか直線が通っていません。
?Aのマスは上下段とも直線が通っています。
?Bのマスは上段にしか直線が通っていません。
以上より、１＋２＋１＝４（個）です。

No.24033 - 2014/01/29(Wed) 18:57:30

★ (No Subject) / ちよ

またまた失礼します

問題を解いていたのですが、(3)タチツテでつまってしまいました…
多分前のどこかで間違えているのだと思うのですが、何が何やら分からなくなってしまいました。

どなたかお願いしますm(__)m

No.24024 - 2014/01/28(Tue) 23:11:35

☆ Re: / ちよ

画像の順番が逆になってしまいました…
ごめんなさい

No.24025 - 2014/01/28(Tue) 23:12:44

☆ Re: / ヨッシー

AD=15/16 ですね。

No.24026 - 2014/01/29(Wed) 06:22:46

☆ Re: / angel

今回は A の所で角が等分され、60°×3となっているのがミソですね。ここからCD=CEが分かります。

さて、ADに関しては△ABC, △ADCの正弦定理からも計算できるはずですが、AD,AEをまとめて考えるなら余弦定理の方が近道です。
なぜなら、△ADC，△AECに関して
　∠A=60°で共通
　AC=5/2 で共通
　CD=CE=35/16
となり、できる方程式が同じ形になるからです。
すなわち、AD=α, AE=βとすると
　α^2+(5/2)^2-(35/16)^2-2・5/2・αcos60°=0
　β^2+(5/2)^2-(35/16)^2-2・5/2・βcos60°=0
なので、α,βは
　t^2+(5/2)^2-(35/16)^2-2・5/2・tcos60°=0
の異なる2解となるのです。

後は、どっちがαでどっちがβか、という問題ですが、
∠ACD＜∠ACE＜90°と正弦定理 ( 外接円の半径は共通 ) を考えると、α＜β ( AD＜AE ) であることが分かります。
なぜ ∠ACD＜∠ACE かというと、それは∠ADC＞∠AECだから。さらになぜかというと、円に内接する□ADCEに関して ∠ADC+∠AEC=180°である所、∠ADCが鈍角(90°より大)であるからです。
なお、∠ACD＜∠AED＜90°の「＜90°」の部分は、図から見ても明らかではあるのですが、∠ECD=60°(∠DAE+∠ECD=180°) から説明できます。

最後に…、面積については△ADC,△AECに分けて計算して足せばよいでしょう。∠A=60°のsinを使って計算できますね。

No.24027 - 2014/01/29(Wed) 11:13:14

☆ Re: / ちよ

ヨッシー様、angle様ありがとうございました!!
お礼遅れてすみません(>_<)

No.24048 - 2014/01/30(Thu) 20:13:03

★ (No Subject) / ちよ

AB=4、AC=3、∠A=60°の△ABCがある。
∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとするとき次の問いに答えよ。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆
(3)の1行目に書いてある文がどのような図か分かりません…
どなたか、そこから解説お願いしますm(__)m

No.24007 - 2014/01/27(Mon) 23:45:04

☆ Re: / angel

順を追って図を描いてみましょうか。添付の図をご覧ください。
まずは△ABCと∠Aの二等分線ADを描いてみます。( 図の左上 )
次に外接円と、外接円・ADの交点Eを描きます。( 図の右上 )
そうすると、孤BEの円周角なので∠BCE=∠BAE=30°と分かる…ということで円周角の性質を利用する問題ですね。
※同様に∠EBC=30°となることを確認してください

後はまあ、辺BCの長さは△ABCの∠Aに対する余弦定理で求まりますから、後は△BECが120°, 30°, 30°の二等辺三角形 ( 正三角形を半分に割って短い辺でくっつけなおした形 ) であることから、BEの長さや△BECの面積を求めていきます。

No.24008 - 2014/01/28(Tue) 00:51:17

☆ Re: / ちよ

ご丁寧にありがとうございました!!
おかげで問題を無事解くことができました♪

本当にありがとうございました（^人^）

No.24019 - 2014/01/28(Tue) 20:54:09

★ 判断推理　軌跡 / のぶ

円Oの半径がr、経路の半径が2rのとき、円Oがすべらず経路上を回転するとき、円Oの円周上の点Pはどのような軌跡を描くか。図の赤点は上からP,O,Qとし、PQは円の直径である。

No.24004 - 2014/01/27(Mon) 22:44:57

☆ Re: 判断推理　軌跡 / のぶ

弧ABの中点をCとし、下図の経路の半円をAMBとすると
弧PQ＝弧ACなので点Pは点Mで経路上につく。

とあるのですが意味がよくわかりません。
また、「円Oがすべらず経路上を回転する」というのがどういうことなのかもよくわかりません。
かなり苦手なのでわかる方教えてください。
よろしくお願いします。

No.24005 - 2014/01/27(Mon) 22:50:09

☆ Re: 判断推理　軌跡 / のぶ

すみません。孤ABの中点はMです。
Cは関係ありません。

No.24011 - 2014/01/28(Tue) 01:32:48

☆ Re: 判断推理　軌跡 / ＿

上：すべらず経路上を回転する
下：すべってしまって回転しない

です。

No.24012 - 2014/01/28(Tue) 01:41:51

☆ Re: 判断推理　軌跡 / のぶ

回答ありがとうございます。
最後に弧ABの中点をCとし、下図の経路の半円をAMBとすると
弧PQ＝弧ACなので点Pは点Mで経路上につく。というのがなぜなのか考えて見てもわかりませんでした汗
よかったら教えてください。お願いします。

No.24013 - 2014/01/28(Tue) 03:34:31

☆ Re: 判断推理　軌跡 / ヨッシー

なぜというなら、
「すべらずに動く」「弧PQ＝弧AM」
この２点に尽きます。

またＣが出てきたのでＭに直しました。

No.24015 - 2014/01/28(Tue) 07:07:05

☆ Re: 判断推理　軌跡 / のぶ

回答ありがとうございます。
たとえば、画像(汚くてごめんなさい；)のように右方向へ円を転がしたとき、弧PQの長さと直線上のQAの長さが等しければ、「すべらずに動く」「弧PQ＝弧AM」の場合と同じようなかんじで点Aと点Pは一致すると考えていいのでしょうか？
まだよくわかっていないので教えてください。お願いします。

No.24018 - 2014/01/28(Tue) 20:44:55

☆ Re: 判断推理　軌跡 / ヨッシー

それで良いんですけど、逆にそのことに疑問を挟む余地が
どこにあるのか不思議です。

平地の上で、タイヤを転がしたことありませんか？
たとえなくても想像は出来るでしょう。
タイヤをちょうど一回転したとき、円周分だけ進んでいると
思えませんか？

No.24021 - 2014/01/28(Tue) 21:09:16

☆ Re: 判断推理　軌跡 / ＿

それはその通りなのですが、丸暗記したところで感覚的な理解を伴わないのならあまり意味はないでしょう。

実際に自分の手を動かしてみてください、とは下に書いた通りです。

No.24022 - 2014/01/28(Tue) 21:10:58

☆ Re: 判断推理　軌跡 / のぶ

画像とタイヤの例のおかげで理解することができました。
理解力乏しすぎですよね；すみません汗
ヨッシーさん、＿さん回答ありがとうございました！

No.24029 - 2014/01/29(Wed) 16:09:06

★ 判断推理　空間把握　軌跡 / のぶ

<円の軌跡について>
?@円が円の外側を転がるときの円周上の点の軌跡と
?A円が円の内側を転がるときの円周上の点の軌跡はどうなるんでしょうか？
?@については半径の比が1:1 1:2 1:3のときがあって、1:1のときの軌跡はハート型みたいになってます。
?Aについては半径の比が1:2のときと半径の比が1:3のときの絵がかいてあるのですが説明がないのでよくわかりません。
伝わりにくいかもしれませんがわかるかたおしえてください。おねがいします。

No.24001 - 2014/01/27(Mon) 22:03:44

☆ Re: 判断推理　空間把握　軌跡 / のぶ

汚い絵ですが、参考書にかいてある図を自分でかいてみました。
これが「円が円の内側を転がるときの円周上の点」とあるのですが、よくいみがわかりません。
また、これは半径の比が1:2のときです。
よろしくお願いします。

No.24003 - 2014/01/27(Mon) 22:39:17

☆ Re: 判断推理　空間把握　軌跡 / ＿

画像を修正しました。パラメータを度数法にしたままでした。恥ずかしい…
このような軌跡ですね。

もちろんこのようになる理論的背景はあるのですが、判断推理というのは公務員試験の問題でしょうから、いちいち考える時間があるわけではなく、主要な曲線の形はまず知っておくべきということなのでしょう。

このような図形はハイポサイクロイドといいます。

No.24009 - 2014/01/28(Tue) 01:04:16

☆ Re: 判断推理　空間把握　軌跡 / のぶ

ありがとうございます。
「円が円の内側を転がるときの円周上の点」の軌跡のときは直線になるみたいなのですがどうしてなのかまだよくわかりません汗

No.24010 - 2014/01/28(Tue) 01:30:56

☆ Re: 判断推理　空間把握　軌跡 / ヨッシー

直線になるのは、小円の半径が大円の半径の1/2倍のときだけです。

図の左は最初の状態、右は少し回転した図です。
大円の中心をＯ、小円の中心をＯ’、最初の位置の接点Ｐが
回転後Ｐ’に移るとします。また、回転後の接点をＱとします。

「すべらずに動く」ので、弧ＰＱ＝弧Ｐ’Ｑです。
半径が半分で、弧が等しいので、∠ＱＯ’Ｐ’は∠ＱＯＰの
２倍になります。（●と●●で表しています）

一方、小円とＯＰの交点をＲとします。
（この段階ではＰ’と一致するかわかっていません）
Ｏ’Ｏ＝Ｏ’Ｒより、∠Ｏ’ＯＰ＝∠ＯＲＯ’
よって、∠ＲＯ’Ｑ＝２∠ＱＯＰ
これより点Ｒと点Ｐ’は同じ点となり、点Ｐ’はＯＰ上にあります。

理屈で言うとこんなところです。

こちらも併せてご覧下さい。

No.24014 - 2014/01/28(Tue) 06:57:15

☆ Re: 判断推理　空間把握　軌跡 / のぶ

回答ありがとうございます。
>>「すべらずに動く」ので、弧ＰＱ＝弧Ｐ’Ｑです

なんとなくイメージはできるのですがどうしてこうなるのかまだよくわかってません；本当にそうなるのかどうかを確かめる方法があったらおしえてください。
お願いします。

No.24016 - 2014/01/28(Tue) 12:57:54

☆ Re: 判断推理　空間把握　軌跡 / ＿

であれば、もはや図や数式の出番ではないでしょう。

自分の感覚として実感したいのであれば、自分で手を動かしてください。紙を丸く切って実際にやってみるとか、細い糸を巻き付けた丸い棒を使ってみるというのも良いかもしれません。

＃テープカッターに装着されたセロハンテープの端を引っ張ってちょうどセロハンテープ一周ぶんのテープを出したとき、装着されたセロハンテープが回転した角度はいくつでしょう？　ちょうど半周ぶんのテープを出したときはどうなるでしょう？　ちょうど1/4周ぶんのテープを出したときは？

No.24017 - 2014/01/28(Tue) 14:44:20

☆ Re: 判断推理　空間把握　軌跡 / のぶ

言われた通りいろいろ紙を使ってやってみました。
ヨッシーさんと_さんのおかげで理解することができました。
ありがとうございました。

No.24028 - 2014/01/29(Wed) 16:07:17