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★ identity component / みや
宜しくお願い致します。

群の証明なのですが(群の定義はわかります),どのように証明すればいいのかわかりません。

まず,この群の演算は何になるのでしょうか?

Xを位相空間とするとき,x,y∈Xに対して,X⊃∃S連結部分集合;x,y∈Sのとき,x〜yと表すことにすれば
〜は同値関係なし,
C(x):={y∈X;x〜y}でXを類別した時,同値類C(x)を連結成分というのだと思います。

identity componentというのはこの問題ではどのようなものなのでしょうか?

そして,AからABへのpathとしてどのようなものが取れるのでしょうか?
No.25051 - 2014/03/26(Wed) 12:09:06
☆ Re: identity component / みや
証明してみました。これで大丈夫でしょうか?
No.25106 - 2014/03/29(Sat) 05:44:59
☆ Re: identity component / みや
続きです。
No.25107 - 2014/03/29(Sat) 05:47:21
☆ Re: identity component / 黄桃
identity component を勘違いしています。
[Def1]によれば identity component は写像の集合と書いてありますが、
問題には identity component はGの部分集合とあります。
[Def1]では、γの行き先はGですから∃A∈Gは明らかで、不要です。
[Def1]はG内の1から始まるpath を定義しています。

＃ホモトピー群とかを別に学習していて、それと混同していませんか？

ユニタリー行列の話をしているようなので、スカラーは複素数なのでしょう。
連続というのはおそらくnxn行列を C^(nxn)空間の点とし、通常の位相（距離）を入れたものとみているのでしょう。

identity component とは {X∈G| ∃γ∈Map([0,1],G) γは連続かつγ(0)=1, γ(1)=X} のことです。
群の演算は最初から最後まで行列の積のことです。
群Gの部分集合 I がGの部分群になる条件は、任意の２つの元X,Y∈I について、X^(-1)∈I, X*Y∈I がいえることでしたね
。
I=identity component の場合にこの条件が成立することを確認するのが問題の趣旨です。

なお、identity component とは結果的には1を含むG内の連結成分になります（当面の状況であれば、連結⇔弧状連結なので）。G=GL(n,C)なら、identity component=G ですし、Gが有限群なら、identity component={1} です。G={X|det(X)=±1} なら identity component={X|det(X)=1}です。

＃具体的にpathがわかる簡単な例をあげます。
＃スカラーが実数になりますが、2x2行列の原点回りの回転行列全体のなす群をGとします。
＃Gのidentity component はGです。
＃Gの元をR(θ)（θが回転角度）と書けば、path γはγ(t)=R(tθ)です。
No.25113 - 2014/03/29(Sat) 13:27:31
☆ Re: identity component / みや
大変有難うございます。拝読しております。分かりかけてきました!

>identity component とは {X∈G| ∃γ∈Map([0,1],G) γは連続かつγ(0)=1, γ(1)=X} のことです。

この集合がGの部分群になるのですよね。
それでちと疑問なのですが,この集合に入らないGの元とはどういったものが挙げれますでしょうか?
(ちょっと思いつきません（*^_^*))
No.25140 - 2014/03/30(Sun) 10:13:47
☆ Re: identity component / 黄桃
>この集合に入らないGの元とはどういったものが挙げれますでしょうか?
Gによってidentity component が異なるのはいいでしょうか。

上に述べたように、
Gが有限群(例えばG={原点回りの0,90,180,270度回転})であれば、1以外の元ですし、G={X|det(X)=±1}であれば、{X|det(X)=-1}がそうです(det(X)の連続性より、1から始まるpath内では、1しか取れません）。
No.25145 - 2014/03/30(Sun) 13:06:02
☆ Re: identity component / みや
大変有難うございます。かなり分かってきました!

identity componentの"identity"とはγ(0)=1の"1"の事なのですね。

当問題にて"matrix multiplication is a continuous operation"とあるのですが,
"行列の掛け算が連続"とは一体どういう意味なのでしょうか?

あと,det(X)=-1なるXがdet(X')=1なるX'に連続移動でたどり着けない事は連結性を用いて示すのですね?
No.25162 - 2014/04/01(Tue) 10:52:11
☆ Re: identity component / 黄桃
もう見てないかもしれませんが、念のため。

>identity componentの"identity"とはγ(0)=1の"1"の事なのですね。

そうです。Gを位相空間と見たときの単位元を含む連結成分のことです。

>matrix multiplication is a continuous operation

x∈Gに対して写像 g_x:G→G を g_x(A)=xA で定義します(Axでも同様)。x,A∈Gだから xA∈Gなので well-defined です。この写像が(Gの位相に関して)連続だということです。

>det(X)=-1なるXがdet(X')=1なるX'に連続移動でたどり着けない事は連結性を用いて示すのですね?

それでもいいですし（連結成分の連続写像による像は連結）、定義だけから背理法で証明することも可能です。
det:G→{1,-1} が連続であることをどう使うかだけです。
No.25285 - 2014/04/05(Sat) 14:44:56
★ (No Subject) / ヒキニート
関数方程式の問題です。どなたかお願いします。
No.25048 - 2014/03/26(Wed) 06:07:35
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ｔで積分してもｘの次数は変わりませんので、f(x) は４次式です。
(2)
f(x)＝ax^4+bx^3+cx^2+dx+p とおいて、
実際に積分をして、＝x^3 とおき、a,b,c,d を求めます。
　a=1/2, b=d=0, c=-1/6
になります。

さらに実際に　{f(t)}^2 を積分すると、ｐの２次式になりますので、
２次関数の考え方で、最小値を取るｐを確定すれば、
f(x) の式が完成します。
No.25055 - 2014/03/26(Wed) 16:44:10
☆ Re: / ヒキニート
計算式書いていだくことってできますか？
No.25063 - 2014/03/26(Wed) 22:11:21
☆ Re: / ヨッシー
f(x)＝ax^4+bx^3+cx^2+dx+p とおいたとき、
　f(t)−f(x)
を計算してみて下さい。さらに、共通因数をくくりだして、
因数分解してみて下さい。
式の代入、因数分解だけの計算です。
No.25080 - 2014/03/27(Thu) 14:45:50
★ (No Subject) / ヒキニート
どなたかお願いします。
No.25047 - 2014/03/26(Wed) 06:06:37
☆ Re: / ＿
とりあえず、締め切り過ぎてから質問し直したほうがいいんじゃないですかねえ。あの景品のバインダー等ってそこまでして手に入れるほど良いものじゃないと思いますよ、なんて言ってみたりして。
No.25086 - 2014/03/27(Thu) 20:12:07
★ (No Subject) / ヒキニート
確率の問題です。どなたかお願いします。
No.25046 - 2014/03/26(Wed) 06:05:50
☆ Re: / ヨッシー
図のように点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあり、点Ｐは次の規則に従って動く．
i) 点Ｐは，はじめ点Ａにいる．
ii) 点Ｐは，点Ｅに到達したら停止する。
iii) 点Ｐは，点Ｅに到達するまで，隣接する点のいずれかに１秒ごとに動くことを繰り返す．
このとき移動可能な方向から１つを等確率で選ぶものとする．
Ｐが６秒後に点Ｂにいる確率を求めよ．

と書いてあります。
No.25049 - 2014/03/26(Wed) 10:24:07
☆ Re: / ヨッシー
１秒後
　(A,B,C,D)にいる確率は(0, 1/3, 1/3, 0)
２秒後
　(A,B,C,D)にいる確率は(1/6, 1/12, 1/12, 1/6)
３秒後
　(A,B,C,D)にいる確率は(1/24, 23/144, 23/144, 1/24)
４秒後
　(A,B,C,D)にいる確率は(23/288, 43/576, 43/576, 23/288)
５秒後
　(A,B,C,D)にいる確率は(43/1152, 589/6912, 589/6912, 43/1152)
６秒後Ｂにいる確率は 161/3072
No.25052 - 2014/03/26(Wed) 13:25:20
★ overhead charge? / トンデモ
こんにちは。

[Q] Danny salles tires for a large company His earnings,E,for each are calculated by taking 23% of the difference between the money earned for the sale, S, and the company's overhead charge. The overhead charge is 11% of each sale. Write an algebraic expression in terms of S for the amount of money that Danny earns for each sale. You must simplify your final answer.

という問題です。

"overhead charge"っ何なのでしょうか?
"the money earned for the sale"のSとは利潤(売り上げと原価の差額)の事だと思います。原価をcとするとその売り上げはS+cと書け,その11%がoverhead chargeだというのだから
"overhead charge"は0.11(S+c).
従って,
"the difference between the money earned for the sale, S, and the company's overhead charge. The overhead charge is 11% of each sale. Write an algebraic expression in term"
はS+c-0.11(S+c)だから
彼の取り分Eは0.23(S+c-0.11(S+c))となったのですがcが消えません。

"the money earned for the sale"とは利潤の意味ではないのでしょうか?
No.25044 - 2014/03/26(Wed) 04:10:23
☆ Re: overhead charge? / トンデモ
E=0.23(S-0.11S)でいいでしょうか?
No.25069 - 2014/03/27(Thu) 00:26:21
★ 群数列 / kodaka
階乗記号を含んだ数列の問題です。
解答は、

第n群に含まれる数の和=1/(n-1)!-1/n!
第300項a300=23/24!

となりますが、途中の式がわかりません。
よろしくお願いします。
No.25039 - 2014/03/25(Tue) 21:21:52
☆ Re: 群数列 / ヨッシー
>第n群に含まれる数の和=1/(n-1)!-1/n!
は答えではありません。

第ｎ群の和を Ｓn、その階差を Ｔn とすると、
　Ｓ1＝1
　Ｔn＝n/(n+1)!＝1/n!−1/(n+1)!
です。
　Ｓn＝Ｓ1＋Σ［ｋ＝１〜n-1]Ｔk
　　＝1＋{(1/1!−1/2!)＋(1/2!−1/3!)＋…＋(1/(n-1)!−1/n!)}
　　＝１＋１−1/n!＝２−1/n!

１＋２＋・・・＋２４＝３００
なので、第３００項は第２４群の２４番目の項です。
よって、　23/24!
No.25042 - 2014/03/26(Wed) 01:03:19
☆ Re: 群数列 / kodaka
ヨッシーさん、初めまして。
早速のご返答ありがとうございます。

>Ｔn＝n/(n+1)!＝1/n!−1/(n+1)!

となる階乗の式の変形がわかりません。
教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願いします。
No.25043 - 2014/03/26(Wed) 03:53:41
☆ Re: 群数列 / ヨッシー
n/(n+1)!＝n/(n+1)!＋1/(n+1)!−1/(n+1)!　・・・足して引いただけ
　＝(n+1)/(n+1)!−1/(n+1)!　　・・・前２項をまとめた
　＝1/n!−1/(n+1)!　　　・第１項の分子分母を n+1 で割った
です。
No.25081 - 2014/03/27(Thu) 15:48:54
☆ Re: 群数列 / kodaka
ヨッシーさん、ご丁寧な回答ありがとうございます！

質問が前後して申し訳ありませんが、

第m群の階差Tmについて、
第m群の一般項をAmとすると、
A1=1
A2=1/2!
　…
A(m-1)=(m-2)/(m-1)!
Am=(m-1)/m!

ゆえに階差数列{Tm}は
T(m-1)=Am-A(m-1)
=(m-1)/m!-(m-2)/(m-1)!
={(m-1)-m(m-2)}/m!
だから、番号を一つずらして
Tm={m-(m+1)(m-1)}/(m+1)!
=(m^2-m+1)/(m+1)!

となってしまい、頂いた回答
Tn=n/(n+1)!
と一致せず、困っております。
よろしくお願い致します。
No.25109 - 2014/03/29(Sat) 09:21:45
☆ Re: 群数列 / ヨッシー
それは、各項の階差です。

No.25042 で使っている Ｔn は、各群の和の階差ですので、
Ｔn は Ａ(n+1) に一致します。
No.25154 - 2014/03/31(Mon) 04:23:06
★ 複素数の不等式 / さかなくん
回答と少し違うみたいなんですが、
こちらで合っていますか？
教えて下さい。
No.25034 - 2014/03/25(Tue) 18:55:01
☆ Re: 複素数の不等式 / さかなくん
こちらが回答プラス別解です。
No.25035 - 2014/03/25(Tue) 18:56:54
☆ Re: 複素数の不等式 / さかなくん
ちなみに別解の最後の部分の絶対値iが何故無くなっているのかが
わかりません。
No.25036 - 2014/03/25(Tue) 18:59:21
☆ Re: 複素数の不等式 / さかなくん
度々すいません。
回答と違うのですが、（2）は合ってますでしょうか？
No.25037 - 2014/03/25(Tue) 19:21:08
☆ Re: 複素数の不等式 / さかなくん
遅れました、こちらが回答です。
No.25040 - 2014/03/25(Tue) 22:17:34
☆ Re: 複素数の不等式 / angel
> 別解の最後の部分の絶対値iが何故無くなっているのかが わかりません。

なくなったのではなく、計算の結果です。
|i|=1 であり、1 を掛けられた時の計算結果は、元の数と同じ数です。
なので、結果的に消えたように見えたのです。
No.25041 - 2014/03/25(Tue) 23:55:20
☆ Re: 複素数の不等式 / さかなくん
自分の解答した（１）（２）は合っていますでしょうか？
よろしくお願いまます。
No.25050 - 2014/03/26(Wed) 11:53:48
☆ Re: 複素数の不等式 / angel
> 自分の解答した（１）（２）は合っていますでしょうか？
残念ながら、ほぼ確実に減点となるでしょう。
やっている計算はほぼ正解と変わらないので、まあこれは解答の作り方の問題です。勿体ないところ。

今回のように「A≧Bを示せ」というような形をしている問題で、「A≧B」から解答を始めてはいけません。
※それで説明する方法もあるけど…
なぜならば、A≧Bから始めて色々計算していっても、それは「もしA≧Bだと仮定するとどうなるか」が分かるだけなので。
それで良さそうな形が導けたとしても、「A≧Bだとすると特に不都合はなさそう」としか言えなくて、「A≧Bが正しい」と言えたことにならないのです。

※たとえば、推理小説のお話なんかで犯人が誰か考えるとしましょう。「もしAさんが犯人なら…。アリバイもちょうどないし、動機もあって怪しいし。よし、Aさんが犯人で決まりだ」と言ったらとても乱暴でしょう。「え? 証拠は?」って。それと似たようなもの。

もしA≧Bを示したいのなら、どういう証拠を出せば良いのか、先に考えなければなりません。
良くあるのは、
　・A-Bを計算する
　・A-Bの計算結果が0以上であることが分かる
　・これが証拠となってA≧Bが示せたことになる
もしくは、
　・既に真であることが分かっている不等式C≧Dを持ってくる
　・C≧Dを変形してA≧Bにする
　・真からA≧Bが導けたので、これが証拠となっている
といったパターン。

今回は前者のパターンで、A-BではなくてA^2-B^2の計算を考えるのが楽でしょう。
解答の書き方としては、

　A^2-B^2 = … = XX≧0
　A,B≧0 であるから、以上よりA≧B

といった感じ。
さかなくんさんの計算内容を、そのような書き方にあててあげればそれで正解になります。
※ただし(2)は、x^2+y^2-2|x||y|=(|x|-|y|)^2 というように、もう一段階変形しないと、説明として不十分と取られそう。
No.25066 - 2014/03/27(Thu) 00:12:58
☆ Re: 複素数の不等式 / さかなくん
そんなんですね。ご丁寧にありがとうございました。


＞もしくは、
＞　・既に真であることが分かっている不等式C≧Dを持ってく＞る
＞　・C≧Dを変形してA≧Bにする
＞　・真からA≧Bが導けたので、これが証拠となっている
＞といったパターン。

こちらなんかは、現役の高校生だった時沢山問題をといた時か、授業中か忘れましたが、確かにやった事があったなーっていう事を思い出しました。

久々に、青春の懐かしい記憶を思い出せました。

ありがとうございました。
No.25070 - 2014/03/27(Thu) 00:43:50
★ こちらのサイトの内容について / 潤一郎
よろしくお願いします。
毎日見せて頂いています。色々とお世話になって
申しわけないのですが、NO２５００６さんも
おっしゃっていた通り最近とても今度高校生になる
僕には全くわけのわからない難しい問題がとても多いの
ですが色々と出てくる言葉を検索したりしても
全く理解できない事が多いです。

そこで教えていただきたいのですが、この方達の質問の
内容は高校生なのでしょうか？このページをストローク
しただけでもNO２５００６さんがかろうじて
分るような内容が続いています。

高校の数学のレベルはこんなに難しいのでしょうか
どんな数学を習っておられる方が投稿されているのでしょうか？どなたか教えて下さい。

新高校生として何か心構えをしたいと思っていますので
高校レベルではないのもあるのかとか知りたいので
よろしくお願いします。
No.25029 - 2014/03/25(Tue) 12:03:16
☆ Re: こちらのサイトの内容について / ヨッシー
３ページほど繰ってみましたが、３つほどの質問を除き、全部
高校レベル以下でした。

高校数学といえども、いきなり難しいことをやるわけではないので、
各単元ごとに完璧に理解していくことが肝心です。
95%ではダメです。5%の穴がどんどん広がっていきます。
No.25031 - 2014/03/25(Tue) 16:26:28
☆ Re: こちらのサイトの内容について / 潤一郎
ヨッシー先生へ

お返事ありがとうございました。

よくわかりました。高校数学思いっきり頑張って

みたいと思っています。３年間クラスAのトップクラスで

いられるように。又助けて下さい。

１００％目指します。本当にすみませんでした。

ありがとうございました。
No.25033 - 2014/03/25(Tue) 18:13:47
★ 新課程数学 / ディエス＝ドレーク
期待値の質問です

E(x=k),E(y=n)がそれぞれ一定値のとき
E(xy)=E(x)E(y)が成り立つので
ｘ、ｙは独立

とあったのですがE(x=k),E(y=n)がそれぞれ一定値のとき
E(xy)=E(x)E(y)が成り立つ理由を教えてください

また、ｘ、ｙが独立のとき
E(xy)=E(x)E(y)
V(x+y)=V(x)+V(y)
とあったのですが、これは逆もいえますか？
(〜のとき＝〜ならば、と教わりました）



よろしくおねがいします
No.25023 - 2014/03/24(Mon) 20:51:52
☆ Re: 新課程数学 / ＩＴ
> E(x=k),E(y=n)がそれぞれ一定値のとき
> E(xy)=E(x)E(y)が成り立つ理由を教えてください
E(x=k),E(y=n)がそれぞれ一定値のとき
とは、xが一定値k,yが一定値nということでしょうか？
だとするとE(xy)=kn=E(x)E(y) だからではないでしょうか？

> また、ｘ、ｙが独立のとき
> E(xy)=E(x)E(y)
> V(x+y)=V(x)+V(y)
> とあったのですが、これは逆もいえますか？

逆はいえないと思います。
（反例）
x,yがとり得る値を-1,0,1とし
P(x=-1,y=-1)=P(x=-1,y=1)=P(x=0,y=0)=P(x=1,y=-1)=P(x=1,y=1)=1/5　とすると
E(xy)=E(x)E(y)、V(x+y)=V(x)+V(y)となりますが
ｘ、ｙは独立になってない。

縦横（３×３）の表にして考えると分かり易いかも知れません。
と思います。計算して確認してみてください。
（勘違いしてたらすみません）
No.25025 - 2014/03/24(Mon) 23:01:17
☆ Re: 新課程数学 / ディエス＝ドレーク
ありがとうございます

ｘ、ｙは確率変数とかいうやつで
E(x=k)=1/3,E(y=n)=1/2と言った感じです
ｋ＝１，２，３、ｎ＝１，２，３、４などとしても常に同じ値だということです
No.25027 - 2014/03/25(Tue) 00:31:50
☆ Re: 新課程数学 / ＩＴ
> E(x=k)=1/3,E(y=n)=1/2と言った感じです
> ｋ＝１，２，３、ｎ＝１，２，３、４などとしても常に同じ値だということです
E(x=k)=1/3 の意味が分かりません。E( )は期待値を表すのですよね？
「確率」を表すのなら、「期待値」を表すのに使っているEとは違う記号で表すべきです。
No.25028 - 2014/03/25(Tue) 07:21:41
☆ Re: 新課程数学 / ディエス＝ドレーク
申し訳ありません

P(x=k),P(y=n)がそれぞれ一定値のとき

の誤りでした。
No.25030 - 2014/03/25(Tue) 12:52:28
☆ Re: 新課程数学 / ＩＴ
> P(x=k),P(y=n)がそれぞれ一定値のとき
> の誤りでした。
前後も含めて書いてあるとおりに書き込んでください。
No.25058 - 2014/03/26(Wed) 19:49:06
★ lim_{n→∞}sin(n)は振動? / トンデモ
たびたびすいません。

lim_{n→∞}sin(n)は振動するのでしょうか?
しなさそうな気はしますが,どうかんがえたらいいのでしょうか?

sin1,sin2,sin3,sin4,…
No.25014 - 2014/03/24(Mon) 05:28:17
☆ Re: lim_{n→∞}sin(n)は振動? / らすかる
単位円の円周上を回りながら距離1毎に点を打った時の
その点のy座標ですから、-1と1の間を振動します。
No.25016 - 2014/03/24(Mon) 08:16:37
☆ Re: lim_{n→∞}sin(n)は振動? / トンデモ
-1≦sin1,sin2,sin3,sin4,…≦1
は分かるのですが
sin1,sin2,sin3,sin4,…
は乱数にならずに
sin1=sin(k)なる自然数k(≠1)が存在するのですね。
No.25018 - 2014/03/24(Mon) 08:25:56
☆ Re: lim_{n→∞}sin(n)は振動? / らすかる
sin1=sinkとなる自然数k≠1は存在しません。
No.25019 - 2014/03/24(Mon) 08:44:22
☆ Re: lim_{n→∞}sin(n)は振動? / トンデモ
え!?

sin1,sin2,sin3,sin4,…
は無限とおりの値を取るがその場合も"振動する"といったりするのですね。
No.25020 - 2014/03/24(Mon) 08:59:31
☆ Re: lim_{n→∞}sin(n)は振動? / らすかる
別に同じ値を二度ととらなくても振動は振動ですよ。
「収束せず、+∞にも-∞にも発散しないもの」が「振動」です。
No.25021 - 2014/03/24(Mon) 10:21:54
☆ Re: lim_{n→∞}sin(n)は振動? / トンデモ
有難うございます。おかげさまで明るくなりました。
No.25024 - 2014/03/24(Mon) 22:33:30
★ 左右極限が異なる場合 / トンデモ
どうもです。

lim_{x→π/2}(cos(x)-1)/(x-π/2)
の極限は+∞や-∞へ発散ではなく,振動でもない
ただ発散になるのでしょうか?
No.25012 - 2014/03/24(Mon) 05:19:58
☆ Re: 左右極限が異なる場合 / らすかる
左右極限がどちらも発散しますので、「発散」と言っても間違いではないと思いますが、
そのような表現はあまり見たことがありません。
「極限値は存在しない」と言った方が無難だと思います。
例えば
lim[x→π/2-0]f(x)=0
lim[x→π/2+0]f(x)=+∞
のような場合、lim[x→π/2]f(x)は収束とも発散とも言えませんね。
No.25015 - 2014/03/24(Mon) 08:10:54
☆ Re: 左右極限が異なる場合 / トンデモ
そうだったのですか。
呼び方が無いのですね。
No.25017 - 2014/03/24(Mon) 08:23:01
★ 数2 図形と方程式 / さかなくん
回答以外の別解や、簡単な方法を教えて下さい。
No.25009 - 2014/03/24(Mon) 00:24:31
☆ Re: 数2 図形と方程式 / さかなくん
こちらの回答以外の別解をおねがいします。
No.25010 - 2014/03/24(Mon) 00:27:53
☆ Re: 数2 図形と方程式 / らすかる
他の解法(1)
点(2,5)と円の中心(2,0)と接点で作られる直角三角形は
斜辺が5、他の1辺が√5なので、残りの辺の長さは√{5^2-(√5)^2}=2√5
よって直角を挟む2辺の比は√5：2√5=1：2
点(2,5)と円の中心(2,0)と「接線とx軸の交点」で作られる直角三角形は
上の直角三角形と相似なので、円の中心と「接線とx軸の交点」との距離は
円の中心と点(2,5)の距離の半分すなわち5/2
よって求める接線の方程式は
(2,5)と(-1/2,0)を通る直線：y=2x+1
(2,5)と(9/2,0)を通る直線：y=-2x+9
の二つ。

他の解法(2)
円の中心は(2,0)なので、円の中心と点(2,5)の距離は5、中点は(2,5/2)
その中点を中心として円の中心を通る円は(x-2)^2+(y-5/2)^2=(5/2)^2
この円と(x-2)^2+y^2=5の交点を求めると(0,1)と(4,1)で、これが2接点
よって求める接線の方程式は
(2,5)と(0,1)を通る直線：y=2x+1
(2,5)と(4,1)を通る直線：y=-2x+9
の二つ。

他の解法(3)
接線の方程式をy=a(x-2)+5とおいて円の式に代入すると
(x-2)^2+{a(x-2)+5}^2=5
x-2=tとすれば t^2+(at+5)^2=5
展開して整理すると (a^2+1)t^2+10at+20=0
この二次方程式が重解を持てばよいので、判別式をDとして
D/4=(5a)^2-20(a^2+1)=5a^2-20=0
∴a=±2なので、求める接線の方程式は y=±2(x-2)+5
No.25011 - 2014/03/24(Mon) 04:06:20
★ 高１数学の質問です!! / シロ
(x-1)(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)を工夫して展開する方法を教えて下さい。

答えはおそらく、x^7+x^5-x^4+x^3-x^2-1　となるはずです。


皆さんが凄く高度な質問していらっしゃるなかでなんだかお恥ずかしいのですが、
時間のある時にでも、どなたかご回答をよろしくお願いします!!!
No.25006 - 2014/03/23(Sun) 23:36:39
☆ Re: 高１数学の質問です!! / angel
(x-1)(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)
= { (x-1)(x^2+x+1) }{ (x^2+x+1)(x^2-x+1) }
= (x^3-1){ (x^2+1)^2 - x^2 }
= (x^3-1)(x^4+x^2+1)
= x^7+x^5-x^4+x^3-x^2-1

でしょうかね…
No.25007 - 2014/03/23(Sun) 23:41:39
☆ Re: 高１数学の質問です!! / シロ
>angelさん

うぁぁああああああ!!!!

そういうことだったんですか!!!
めちゃくちゃスッキリしました!!!!

迅速な回答と丁寧な解説、
本当にどうもありがとうございました!!!｡+ﾟ(*ノ∀｀)
No.25008 - 2014/03/24(Mon) 00:10:04
★ (No Subject) / tt
先ほどの続きです。
No.24995 - 2014/03/23(Sun) 12:29:09
★ 入試 / tt
sa+tc=e,sb+td=0(a,b)≠(0,0)(c,d)≠(0,0)で、s,tが存在する必要十分条件を求めよ。という問題で、、私はs=-td/bと変形して、b=0と≠0での場合わけで解こうとしたのですが、これではどうやってもうまく答えの場合わけと合致しません。原因をご教授下さい。 ちなみに答えはadーbc≠0or b=d=0 or e=0です。
No.24994 - 2014/03/23(Sun) 12:27:48
☆ Re: 入試 / ＩＴ
(?A)b＝0のとき
　d＝0であれば　sa+tc=e
これはs,tが存在する

は間違いでは？
No.24996 - 2014/03/23(Sun) 12:50:38
☆ Re: 入試 / tt
> (?A)b＝0のとき
> 　d＝0であれば　sa+tc=e
> これはs,tが存在する
>
> は間違いでは？

そうなのですか！
私はa,c,eは実数なのでs,tは任意のa,c,eで存在すると思ったのですが、違うのでしょうか。s,tが存在しないときの具体例をあげていただけないでしょうか。>_<お願いします。
No.24997 - 2014/03/23(Sun) 13:18:27
☆ Re: 入試 / ＩＴ
「たとえば　a=c=0,e=1 のとき。」と考えていましたが
(a,b)≠(0,0)なので、b=0のときa=0にはなりませんでしたね。見落としていました。失礼！
※ただし、ttさんの答案では説明不足だと思います。

解答はttさんので合っています。正解と同値になっていると思います。（下記の通り）
No.24998 - 2014/03/23(Sun) 13:25:12
☆ Re: 入試 / ＩＴ
b=0 or (b≠0 and adーbc≠0) or (b≠0 and e=0)
⇔　b=0 or adーbc≠0 or e=0
⇔　(b=0 and (adーbc＝0 or adーbc≠0)） or adーbc≠0 or e=0
⇔　(b=0 and adーbc＝0）or (b=0 and adーbc≠0）or adーbc≠0 or e=0
⇔　(b=0 and adーbc＝0）or adーbc≠0 or e=0
⇔　(b=0 and ad＝0）or adーbc≠0 or e=0
⇔　(b=0 and d＝0）or adーbc≠0 or e=0 　(b=0のときa≠0なので）
No.25001 - 2014/03/23(Sun) 14:20:38
☆ Re: 入試 / tt
> b=0 or (b≠0 and adーbc≠0) or (b≠0 and e=0)
> ⇔　b=0 or adーbc≠0 or e=0
> ⇔　(b=0 and (adーbc＝0 or adーbc≠0)） or adーbc≠0 or e=0
> ⇔　(b=0 and adーbc＝0）or (b=0 and adーbc≠0）or adーbc≠0 or e=0
> ⇔　(b=0 and adーbc＝0）or adーbc≠0 or e=0
> ⇔　(b=0 and ad＝0）or adーbc≠0 or e=0
> ⇔　(b=0 and d＝0）or adーbc≠0 or e=0 　(b=0のときa≠0なので）

回答ありがとうございます！！
理解できました。
しかし、このような同値変形が私は苦手なのですが、なにかコツのようなものはないでしょうか？自分でこの変形をするとなるときびしいです。
No.25003 - 2014/03/23(Sun) 14:41:08
☆ Re: 入試 / ＩＴ
ttさんの解答のままで正解です。
（「d＝0であれば　sa+tc=e　これはs,tが存在する。」のところは、説明が必要ですが）

b=0 or adーbc≠0 or e=0　ぐらいまでは整理しても良いかも知れませんね。(間違えるより、元のママの方がいいです）
b=d=0とは、しなくてもいいと思います。（(a,b)と(c,d)は対称なのでこうなるのですが）

変数も多いしけっこうめんどくさいですね。「b=0のときa≠0」などの前提条件も忘れそうですね。

特にコツなどはありませんが、
b=0 ,adーbc≠0,e=0をみたす領域を集合として考えてベン図で整理するぐらいでしょうか。

なお、最初に飛ばしたところをていねいに入れると下記の通りです。
b=0 or (b≠0 and adーbc≠0) or (b≠0 and e=0)
⇔ b=0 or (b≠0 and (adーbc≠0 or e=0))
⇔(b=0 or b≠0) and (b=0 or(adーbc≠0 or and e=0))
⇔ b=0 or adーbc≠0 or e=0

各ステップは「集合・命題の結びと交わりの計算規則など」を使っています。
No.25004 - 2014/03/23(Sun) 15:08:55
★ (No Subject) / スカーク
ビネ・コーシーの恒等式の証明法を教えてください。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%93%E3%83%8D%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F

第4式から5式にいくところがわかりません。

よろしくおねがいします

また、覚えやすい方法はありますか？
No.24980 - 2014/03/22(Sat) 22:28:37
☆ Re: / スカーク
どなたかおねがいします
No.25022 - 2014/03/24(Mon) 20:45:43
☆ Re: / ヨッシー
第４式の第１項は
　ａiｃiｂjｄj
のｉとｊの任意の組み合わせｎ×ｎ通りについて、全部足すという式です。
ｎ＝３ とすると
　　ａ1ｃ1ｂ1ｄ1＋ａ1ｃ1ｂ2ｄ2＋ａ1ｃ1ｂ3ｄ3
　＋ａ2ｃ2ｂ1ｄ1＋ａ2ｃ2ｂ2ｄ2＋ａ2ｃ2ｂ3ｄ3
　＋ａ3ｃ3ｂ1ｄ1＋ａ3ｃ3ｂ2ｄ2＋ａ3ｃ3ｂ3ｄ3
です。
第５式の第１項は
　(ａ1ｃ1＋ａ2ｃ2＋・・・＋ａnｃn)(ｂ1ｄ1＋ｂ2ｄ2＋・・・＋ｂnｄn)
ということですので、やはり
　ａiｃiｂjｄj
のｉとｊの任意の組み合わせｎ×ｎ通りについて、全部足すという式です。
ｎ＝３ とすると
　(ａ1ｃ1＋ａ2ｃ2＋ａ3ｃ3)(ｂ1ｄ1＋ｂ2ｄ2＋ｂ3ｄ3)
　＝ａ1ｃ1ｂ1ｄ1＋ａ1ｃ1ｂ2ｄ2＋ａ1ｃ1ｂ3ｄ3
　＋ａ2ｃ2ｂ1ｄ1＋ａ2ｃ2ｂ2ｄ2＋ａ2ｃ2ｂ3ｄ3
　＋ａ3ｃ3ｂ1ｄ1＋ａ3ｃ3ｂ2ｄ2＋ａ3ｃ3ｂ3ｄ3
です。

覚え方は知りません。
No.25032 - 2014/03/25(Tue) 17:04:06
☆ Re: / スカーク
よくわかりました、ありがとうございます
No.25059 - 2014/03/26(Wed) 20:10:52
★ (No Subject) / さかなくん
赤囲みの部分が
どのような事だか、わかりません。
具体例を使ってどのように考えれば
わかりやすいか、教えて下さい。
No.24979 - 2014/03/22(Sat) 22:17:49
☆ 絶対値 / さかなくん
例えば（２）を2x+1>0と2x+1<0で場合分けして
やってみましたが、-1/2<x<4と-2<x<-1/2となってしまい
解答をみると解き方と答えが間違ってました。
このやり方はなぜ違うのでしょうか？
No.24981 - 2014/03/22(Sat) 22:28:54
☆ Re: / ヨッシー
|x|＜４ といったらｘは
-3.8, -3, -1, 0, 2, 3.4, 3.9
など、-4＜ｘ＜4 の範囲の数を指します。

|x|＞4 は、
-4.1, -5, -7, -10 などの ｘ＜−４　の範囲の数と
4.2, 6, 8, 12, 14 などの　ｘ＞４　の範囲の数を指します。
No.24982 - 2014/03/22(Sat) 22:30:50
☆ Re: / ヨッシー
例えば（２）を・・・の件

(2) |2x+1|＜x+5
i) 2x+1≧0 つまり x≧-1/2 のとき
　2x+1＜x+5 より　ｘ＜４
　よって、-1/2≦ｘ＜４
ii) 2x+1＜0 つまり　ｘ＜-1/2 のとき
　-2x-1＜x+5 より　ｘ＞-2
　よって　-2＜ｘ＜-1/2
i) ii) より
　-2＜ｘ＜４

x=-1/2 の場合をどちらかに入れてやれば、
　-2 から 4 まで切れ目なくつながります。
No.24983 - 2014/03/22(Sat) 22:37:45
☆ Re: / angel
分かり易さから言えば、「取り敢えず二乗する」というのもありです。ただし、元の数が負になりうるかどうかは、ちゃんとチェックしなければなりません。正の数同士なら、二乗しても大小関係はそのままですが、負の数も混じってくると、大小関係が狂ってくるからです。

さて、その画像に「定石」として載っているIIIは
　|A|＜B ( B≧0 )
　⇔ |A|^2＜B^2 ( B≧0 )
　⇔ A^2＜B^2 ( B≧0 )
　⇔ A^2-B^2＜0 ( B≧0 )
　⇔ (A+B)(A-B)＜0 ( B≧0 )
　⇔ -B＜A＜B ( B≧0 )
この変形の最終形です。
実際には、最終形までいかずに、その一つ前の形に留めておいた方が使いやすかったりします。

なお、B≧0 という前提がない場合ですが、B＜0 だとそもそも不等式 |A|＜B が成立しえないので、
　|A|＜B
　⇔ |A|^2＜B^2 かつ B≧0
　⇔ …
　⇔ (A+B)(A-B)＜0 かつ B≧0
　⇔ -B＜A＜B かつ B≧0
となります。
※不等号が逆の場合、|A|＞B ( Bの正負不明 ) ⇔ (A+B)(A-B)＞0 または B＜0 ですね。

今回の(2)なら、
　|2x+1|＜x+5
　⇔ |2x+1|^2＜(x+5)^2 かつ x+5≧0
　⇔ ( (2x+1)+(x+5) )( (2x+1)-(x+5) )＜0 かつ x+5≧0
　⇔ 3(x+2)(x-4)＜0 かつ x+5≧0
　⇔ -2＜x＜4 ( これで x+5≧0 も満たしている )
というように。
No.24985 - 2014/03/22(Sat) 23:45:16
☆ Re: / さかなくん
ヨッシーさんへ
なら、自分のやり方も-1/2を入れてやれば合ってると
いう事ですかね？
No.24988 - 2014/03/23(Sun) 00:28:00
☆ Re: / さかなくん
エンジェルさんの方法は、簡単で良いですね。
ちなみ、この問題(2)もx+5<0ならそもそも成り立たないので、x+5>=0だけ考えれば良いと言う事ですか？？
No.24991 - 2014/03/23(Sun) 01:56:38
☆ Re: / さかなくん
解答を見ると（4）の問題だけ、場合分けをしてるんですが
絶対値が２つ以上ある時に場合わけをするという事で
考えてしまってよいのでしょうか？
No.24992 - 2014/03/23(Sun) 02:06:20
☆ Re: / ヨッシー
>-1/2を入れてやれば
合っています。

例えば、2|x-2|＜|x+2| などは、絶対値が２つですが、
２乗する方法が使えます。
絶対値が１つなら、２乗する方法が理屈上は使えますが、
　2|x^2＋2x−3|＜x^2−4x＋2
などの場合は、２乗するのは大変ですので、場合分けをした方が楽でしょう。
No.24993 - 2014/03/23(Sun) 08:58:02
☆ Re: / angel
> ちなみ、この問題(2)もx+5＜0ならそもそも成り立たないので、x+5≧0だけ考えれば良いと言う事ですか？？

はい。そうです。

> 解答を見ると（4）の問題だけ、場合分けをしてるんですが
> 絶対値が２つ以上ある時に場合わけをするという事で
> 考えてしまってよいのでしょうか？

絶対値が2か所あると、二乗しても絶対値記号が残りますから、( 移行などしてまとめなおしてから ) もう一度二乗するか、場合分けを考えるかなど、手間が増えることになります。
特にマイナスかどうかのチェックの所がそうです。

例えば、|A|+|B| を二乗すると A^2+B^2+2|AB| となって、まだ|AB|の所に絶対値記号が残りますね。

もちろん、最初から場合分けするにしてもそれなりに手間はかかりますが、二乗しない分式の次数が上がりませんから、計算が楽になる傾向があります。

(4)の場合、二乗二回でやると、( 因数分解できるとはいえ ) 4次不等式になりますが、x＜0, 0≦x＜3, x≧3 の3通りで場合分けするなら1次不等式として解けますから…
No.25005 - 2014/03/23(Sun) 19:32:11
★ (No Subject) / ヒキニート
等式?甜-1→1](f(t)-f(x))/(t-x)dt=x^3が|x|>1の全ての実数xで成り立つような整式f(x)を考える。
(1)f(x)の次数を求めよ。
(2)f(0)をpとおく。pが実数の範囲を動くとき、?甜-1→1]{f(t)}^2dtが最小となるf(x)を求めよ。
No.24975 - 2014/03/22(Sat) 12:55:13
★ (No Subject) / ヒキニート
p・{(a+b)/2} + (1-p)・2/{(1/a)+(1/b)} ≧√(ab)
が成り立つような実数pの値の範囲を求めよ。
No.24974 - 2014/03/22(Sat) 12:50:27
☆ Re: / angel
a,bは共に正、でしょうか?
共に負も場合分けして考えればすみますけど、面倒なので「共に正」という前提でいきます。

それぞれ Ma=(a+b)/2, Mh=2/(1/a+1/b), Mg=√(ab) とすると、問題の不等式は
　pMa + (1-p)Mh ≧ Mg
であり、

・a=b の時
　Ma=Mh=Mg のため、任意のpで不等式が成立
・a≠b の時
　Mh＜Mg＜Ma であることから、不等式を解いて p≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)
　…あ、Mgの大小関係は別になくて良かった。

なお、なぜMh＜Mg＜Maかというと、調和平均・相乗平均・相加平均の大小関係がそうなるからですね
No.24976 - 2014/03/22(Sat) 17:12:11
☆ Re: / ヒキニート
a、bは任意の正の値でした。すいません。

ちなみに、けっきょくpの値の範囲はp≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)を計算したもので良いのですか？
No.24978 - 2014/03/22(Sat) 22:12:06
☆ Re: / angel
> ちなみに、けっきょくpの値の範囲はp≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)を計算したもので良いのですか？

a≠bの時はそうです。
a=b の時は、pの範囲としては、「全ての実数」となります。

→「a,bが任意の実数」だと答えが違うため、訂正版を下に載せました。
No.24984 - 2014/03/22(Sat) 23:04:54
☆ Re: / ヒキニート
それと、もう一ついいですか？
調和平均とは何ですか？
No.24986 - 2014/03/22(Sat) 23:53:20
☆ Re: / angel
> 調和平均とは何ですか？

…あれ、これって学校では習わないのでしたか。
調和平均も平均の一種で、a,bの調和平均は 2/(1/a+1/b) で計算します。
例としては、
　・ある場所への往復で、行きは徒歩4km/hで、帰りは自転車12km/hで移動した。行き・帰り通じての平均速度は?
　　→答え 6km/h
というところで、この 6 が、4,12の調和平均です。

3つの数a,b,cの調和平均なら 3/(1/a+1/b+1/c)
4つの数a,b,c,dの調和平均なら 4/(1/a+1/b+1/c+1/d)
…
となります。

学校で習ってないとすると、相加平均 (a+b)/2 との大小も示す必要がありますね。
　(a+b)/2 - 2/(1/a+1/b)
　= (a+b)/2 - 2ab/(a+b)
　= ( (a+b)^2 - 4ab )/( 2(a+b) )
　= (a-b)^2/( 2(a+b) )
なので、a=b の場合を除いて、常に相加平均の方が大きくなります。
No.24987 - 2014/03/23(Sun) 00:13:14
☆ 訂正 / angel
> a、bは任意の正の値でした。すいません。
あれ、良く見ると「任意の」ですか。
そうすると、a,bがどんな値であっても不等式が成り立つようなpを調べる問題ということになりますね。
なので、答えがa,bに依存した形では間違いになりますので訂正します。
※「a,bを正の定数とする」や「ある正数a,bに対して」であれば、p≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)を計算した、a,bに依存した形で良いのですが。

今回、(Mg-Mh)/(Ma-Mh)≦1/2 ( a=bの時等号成立 ) であることがわかりますから、答えとしては p≧1/2 が正しいです。
この1/2の求め方としては、
　(Mg-Mh)/(Ma-Mh)=m, √(b/a)=r
とでも置くと
　m=2r/(r+1)^2
となりますから、二次方程式 m(r+1)^2-2r=0 の判別式を考えることで m≦1/2 と分かります。
等号成立は r=1 であり、これはすなわち a=b に対応します 。
No.24989 - 2014/03/23(Sun) 00:55:57
☆ Re: / ヒキニート
1番最初に書いていただいたように、答案を書くとどんな感じになりますか？
No.24990 - 2014/03/23(Sun) 01:08:19
☆ Re: / angel
> 答案を書くとどんな感じになりますか？
今まで書いたことの寄せ集めのような感じですね。
ちょっとa=bの所をどう書くかは悩ましい所ですが。

では、Ma,Mg,Mhは上と同じように定義するとして、

・a=bの時、Ma=Mg=Mhのため、任意のpで不等式が成立する。
・a≠bの時、
　まず Ma-Mh＞0 である。なぜならば…( No.24987の通り )
　そのため、不等式を解いて p≧(Mg-Mh)/(Ma-Mh)
　ここで、m=(Mg-Mh)/(Ma-Mh), r=√(b/a) と置くと、
　m = … = 2r/(r+1)^2 である。
　なお、a≠b であるため r＞0, r≠1
　続いて、mの取りうる値の範囲を考える。
　m=2r/(r+1)^2 より m＞0, mr^2+2(m-1)r+m=0
　この r の二次方程式が実数解をもつため、
　判別式 D/4=(m-1)^2-m^2=1-2m≧0 これより m≦1/2
　しかしながら、m=1/2 の時、1/2・r^2-r+1/2=0 となりこの解は r=1 (重解) であることから、r≠1 に反し、不適
　逆に r=1 を解に持つ ( 重解に限らず ) のは、m=1/2 の時だけであるから、これより 0＜m＜1/2 が m の取りうる範囲である。

　結局、p≧m で m の取りうる範囲が 0＜m＜1/2 であることから、任意のa,bで不等式が成り立つためには p≧1/2 が必要十分
No.25026 - 2014/03/24(Mon) 23:15:13
☆ Re: / ヒキニート
ありがとうございます！
No.25045 - 2014/03/26(Wed) 05:59:54
★ ７４の添付です。 / ふぇるまー
７４問題です。解説お願いします。
No.24962 - 2014/03/21(Fri) 23:50:31
☆ Re: ７４の添付です。 / ヨッシー
すべての目の出方は 6×6×6=216(通り)
(1)
３つとも違う目が出る出方は　６×５×４=１２０(通り)
そのうち３×２×１＝６（通り)ずつ、並び替えたら同じになる
組があり、それらの中で、ａ1＜ａ2＜ａ3 となるのは１組だけなので、
ａ1＜ａ2＜ａ3 となる目の出方は １２０÷６＝２０(通り)
求める確率は　20/216＝5/54

(2)
(1) で挙げた２０通りの他に
ａ1＝ａ2＝ａ3 となるのが６通り
ａ1＝ａ2＜ａ3 となるのが 6Ｃ2＝15(通り)
ａ1＜ａ2＝ａ3 となるのが 6Ｃ2＝15(通り)
あわせて、56通り
求める確率は　56/216＝7/27
No.24971 - 2014/03/22(Sat) 10:33:33
☆ Re: ７４の添付です。 / ふぇるまー
気にしていた問題をわかりやすく解説していただき有難うございます！
No.24972 - 2014/03/22(Sat) 11:35:33
☆ Re: ７４の添付です。 / angel
式として、
(1) 6C3・1/6^3
(2) 6H3・1/6^3
で一発だったりします。
※(2)は重複組み合わせ 6H3=(6+3-1)C3
No.24973 - 2014/03/22(Sat) 11:49:42
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