ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ 自然数について / 潤一郎

又よろしくおねがいします。

ルート１３は連続する２つの自然数の間にあります。
その連続する２つの自然数を答えなさい。

という問題です。考え方から教えて下さい。
初歩だと思います。すみません。

No.24395 - 2014/02/14(Fri) 17:38:04

☆ Re: 自然数について / ＩＴ

まず、未知数（求める自然数）のうち一つをnなどとおいて、式を立てると思います。それはできるのでは？

No.24397 - 2014/02/14(Fri) 18:19:12

☆ Re: 自然数について / 潤一郎

IＴ先生へ

早くにありがとうございました。

式を立てる？のですか？浮かばないのですが
すみません。よろしくお願いします。

No.24398 - 2014/02/14(Fri) 18:26:36

☆ Re: 自然数について / ヨッシー

解決する前から別解で恐縮ですが、
例えば　√5 だと、
　1^2＝１、2^2＝４、3^2＝9
より、５が４と９の間にあるので、
√5は２と３の間にあります。

この「間にある」というのを不等式で表そうというのがＩＴさんの方針です。

No.24399 - 2014/02/14(Fri) 19:00:34

☆ Re: 自然数について / angel

既に回答があるのでアレですが。
質問を拝見するに、取り敢えず問題が全体的に分からないような、そんな印象を受けるのですが。
どこが一番引っかかるポイントなのか。何がクリアになれば先に進めるのか。そこが自力で掴めるようにならないと、後々苦労するだろうと思います。まあ、お節介ではありますが。

今回の問題なら、「連続する自然数」が分からないのか、それともルートがダメなのか。
例えば「3.5は連続する2個の自然数の間にあります。その…」という問題なら解けるのか。
もし解けるのなら、今回の問題では何が違うのか。
例えば√13=3.605…という情報 ( 電卓で試してみるのも、テストでなければアリ ) があるとどうなのか。
色々状況をいじってみて、何が分からない原因なのか、考えるクセをつけることを、個人的にはオススメします。

No.24402 - 2014/02/14(Fri) 19:37:35

☆ Re: 自然数について / 潤一郎

先生方へ

すみません。昨日公立の推薦受験で豪雪の中
出掛けたらすごい熱で寝てます。答は準備しています。
待っていただけますか？よろしくお願いします。
ありがとうございました。気になって・・・。

No.24420 - 2014/02/15(Sat) 12:21:27

☆ Re: 自然数について / angel

> 豪雪の中出掛けたらすごい熱で寝てます。
最近大変ですからね…。お大事に。

> 待っていただけますか？よろしくお願いします。
多分、急かす人はいない ( 見たことがない ) ので、特に気にされず。無理のないようにどうぞ。

No.24421 - 2014/02/15(Sat) 12:37:15

☆ Re: 自然数について / 潤一郎

すぐに回答していただいたのに本当に遅くなって
すみませんでした。ごめんなさい。

まず、ＩＴ先生、ヨッシー先生へ。

ＩＴ先生の式はヨッシー先生のお返事で理解できました。

不等式はこれで合っていますか？

ｎ＜√１３＜ｎ＋１
から
ｎ＾２＜１３＜（ｎ＋１）＾２
よってヨッシー先生のようにあてはめていくと

答は３と４の間にあることがわかりました。

これらの問題はすごくしてきたのですが。
ずっとすっきりしないことがあったので
すぐにできる√１３で一度質問させていただきました。

結局やっぱり自分の当てはめるやり方でも
同じだとわかりました。

ところが、たまたまangel 先生が電卓で・・・という
話をもらいましたので本当の疑問について
教えてほしいのですが。

ずっと疑問に思っていて。例えばこの√１３の
平方根の値は３．６０５・・・とでます。
√２～√６ぐらいまでは学校でも覚えておくように
あの有名な覚え方で覚えました。

そこで疑問ですが、これらの平方根の値を２乗しても
√を２乗したものになりませんよね。
なんていうか近似値でしかないですよね。

そういうものを計算したりするのが納得いかないのです。
たしかに今回√１３は、電卓で出しても答は自然数
３と４の間にありますが。

普段から色々な√のある計算を何気なくしていますが
計算すればするほど誤差が生じてきて本当の
証明みたいなのはないのかな？っていつも
思っている事から、すごい先生方ばかりですので
納得したいなあって思っています。

永久にこの誤差を考えなくて生活して数学に
取り組んでいくのですか？どうか教えて下さい。

最後になりましたが。angel 先生へ。
お見舞いありがとうございました。

嬉しかったです。受験日の朝、母から豪雪だと
たたき起こされて一時間早く出なさいと言われ
学校まで行くと学校の周りは雪が降ってなく
門は開けてくれなくて結局寒い中１時間以上も
無茶苦茶寒く立って待つという結果になり
倍率はおよそ２倍で一週間前からずっと二人に一人落ちるのかと毎日思っていたので、緊張と寒さで震えていました。
遠くの校区外の推薦校への受験でした。
発表は２０日なんです。（怖）

でもインフルエンザじゃなくて良かったです。
小学校も皆勤賞もらって中学校も狙ってるし
高校も狙っていくつもりです。ですから
明日から又元気に登校します。

本当に嬉しかったです。ありがとうございました。
これからもよろしくお願いします。

No.24440 - 2014/02/16(Sun) 23:19:41

☆ Re: 自然数について / ヨッシー

こちらも併せて読んでいただくとして、
√13 がどのくらいの大きさの数であるか、という問題から、
√13 を小数で表したときの誤差の問題に移ってきていますが、
問題のポイントは
>普段から色々な√のある計算を何気なくしていますが
>計算すればするほど誤差が生じてきて
この辺かと思われます。
　√2×√2＝２
　√2×√3＝√6
　√3×√13＝√39
これらの計算には誤差というものは存在しません。これを、
　1.4×1.4＝1.96
　1.4×1.7＝2.38
　1.7×3.6＝6.12
とすると、元々の計算と比べて誤差が発生します。
これは、1.4 を 1.4142135623 のように桁数を増やしても
誤差はなくなりません。
これは、「有限桁の小数で表せない数を、ある桁数で切って
いるために生じる差」です。
有限桁の小数で表せない（表すと誤差が出る）ので、小数で表すことは
せずに、√13 のような表記方法を使用しているのです。
この表記方法を使用している限り、誤差は発生しません。

No.24443 - 2014/02/16(Sun) 23:45:02

☆ Re: 自然数について / 潤一郎

ヨッシー先生へ

早くに答えてもらって本当にありがとうございました。
全て何度も読ませてもらいました。
とてもよくわかりました。

※ある大きさを持った、しかも、ある特定の意味を持つ数を、特別の表記方法で約束する」という技を使う※

これから高校になるともっとこのような表記方法が
現れると思うので頑張ってついて行きたいと思います。

本当にありがとうございました。

No.24453 - 2014/02/17(Mon) 00:30:56

☆ Re: 自然数について / ＿

ただ、√という記号が出てくる前にも実は小学生の時に同じような誤差の問題や表記法というものは登場しているはずです。

---

電卓で1÷3を計算してみると0.3333…ですが、これを×3としてみても0.9999…となってしまい、1にはなりません。

(実は賢い電卓は1÷3×3の順に入力するとちゃんと1を出してくれますが、ここではそんなものは無いことにしときます)

当然ここに「3分の1」と「0.3333…」の誤差が生じています。「分数」という「特別の表記方法」で正確な値を表現するという方法はずっと前に習っていますよね。

√という記号だって「特別の表記方法」が登場したという意味では何の違いもありません。そのあたり、見慣れない記号が出たということで翻弄されてはいませんか？

＃まあこれはざっくりした説明で、高校に入ると1/3は有理数、√13は無理数、という別の説明が付きますのでしばらくお待ちください。春休みの間にある程度自分で教科書を読み進めておくとその後がかなり楽になるので自習するのも良いかもしれません。

No.24460 - 2014/02/17(Mon) 05:29:58

☆ Re: 自然数について / 潤一郎

＿先生へ。

色々と教えていただいてありがとうございました。

本当ですね。すでに分数も特別の表記方法だったのですね。

それでは、建築や精密な機械やそれこそロケットの
設計、パソコンなど（他のあらゆるもの）を作る時には
特別な表記方法というのは使えないですか？。

ここにカステラが一本あって１/３ずつに分けると
言っても切られた１/３のカステラは３倍すれば確かに
計算では一本に戻りますが正確に１/３にすると言うことは
永遠に出来ないですよね。見た目で１/３だと判断する
のですよね。違うのかなあ？

僕が受験した高校は春休みものすごい宿題がでるそうです。
中学の復習と高校の予習だそうです。そして入学式の
あと数学のみテストがありその後Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄと
成績順にクラス分けがありそれが３ヶ月毎に試験実施、
又成績順に分けるを高校３年間繰り返されるそうです。

もちろんＡがトップクラスです。大学入試や推薦に
すごく影響するらしいです。国際科を受験したのに。
春休みの間本当に頑張ろうと思っています。
合格すればですけど。ドキドキしています。
公立推薦は明後日発表で眠れないです。これからもよろしく
お願いします。色々と見ていて下さって
本当にありがとうございました。

No.24482 - 2014/02/18(Tue) 00:35:05

☆ Re: 自然数について / ヨッシー

計算上の話と、実際の話は別です。

例えば、シャープの芯が0.5mmといっても、正確に
0.50000000･･･mm かというとそうではありませんね。
その製品や部品に求められる精度に応じて作られます。
不必要に精度を求めても、コストがかかるばかりか、
加工不能と言うことになります。
もちろん、精度の必要な部分には、それなりのコストと、
加工技術と計測技術が用いられます。

一方、数学で扱う数は、1/3 といえばぴったり 1/3 です。
黒板に描かれた正三角形は、どんなに歪んでいても正三角形です。
線の太さとか、定規の直線度とか、目盛りの誤差とか色々あって、
正確に描かれた正三角形はこの世に存在しないかも知れませんが、
理想的な正三角形があるものとして、計算するのが数学です。

No.24488 - 2014/02/18(Tue) 06:32:40

☆ Re: 自然数について / 潤一郎

ヨッシー先生へ

すみません。何度もお答えいただいて。
よくわかりました。

夕べ大学生の兄と久しぶりに話していました。
兄は理工学部で何故か橋梁を学んでいます。
小さい頃から橋に興味があったそうです。

もう電卓６０個以上壊したと聞いたので
こちらでの質問を同じようにしてみたら
ちょうどこのヨッシー先生と同じ答えが
返ってきました。

橋梁での計算で何十億分の１の狂いも許されない
計算でも、√も分数もπも色々と使うよって
言われました。√１３は√１３。
１/３は１/３。πはπ、で使ってそれが
狂わない計算方法が理工まで行ってあるのだと知ったと
言っていました。

だから今はそんないちいち平方根の値とか分数の値とか必要ないこんなものですよと習っただけだって言われました。

平方根を小数第何位どうしで計算しなさいとかいう問題
見た事あるかあ？って笑われました。

それがあるのは珠算の「開平」「開立」ぐらいだって。

そういえば僕、珠算６段で兄は１０段持ちですが７段に
なるのにもう１年半もかかっています。その話にも
なって「開平」であと２問解ければ７段になれるのにって
話すと、(a+b)3の展開を習えば自然に早くなって
分るようになるからということでした。

色々と数学は苦手ですが数学の話が一番楽しいです。
高校に合格したら数学トップクラスでずっと
いられるように頑張ります。ずっとお世話になると
思いますがよろしくお願いします。

不思議数学に長い間丁寧に教えていただいて
本当にありがとうございました。

ちなみに兄姉３人とも小学校から
吹奏楽部です。兄はサックス。
姉はコントラバス。僕はトランペットです。

トランペットもヨッシー先生を目指したいと思っています。
遅くにすみませんでした。

No.24505 - 2014/02/19(Wed) 00:03:07

☆ Re: 自然数について / ヨッシー

理学系だとまた別のアプローチになるのでしょうけれど、
工学系は作ってなんぼの世界ですからね。

ところで、私がトランペットをやってる話はしましたっけ？
音の周波数の話はページに載せましたが。

No.24506 - 2014/02/19(Wed) 00:24:26

☆ Re: 自然数について / 潤一郎

ヨッシー先生。他の先生方へ

色々といつもお世話になっています。
僕は今日、公立の推薦校に無事合格しました。
受験に合格するってこんなに嬉しいものかと思いました。
皆様ありがとうございました。
落ち込んでる時助けて下さって嬉しかったです。

僕の中学からは僕一人だったので、発表を一人で見に
行くのは少し不安でした。

今日だけ汚い言葉を使わせてもらったら
おかん「合格してたらすぐに電話かメール頂戴ね」
僕「わかった！」

１時間４５分電車に乗って発表の２時に間に合うように
高校にむかいました。
すごい人や、ドキドキするなんか視線感じる思ったら
おかん、僕より先にきてる・・・・・。ほんま
あの会話なんやってん！！

恥ずかしいから来てほしくないっていうたのに・・・。

受験番号順番に並んでなく一瞬落ちたのかと思ったら
おかんが「あったあああああ」遠くで叫んでる。
めっちゃ恥ずかしかったけどほんまに嬉しかった！

女子は落ちて思いっきり泣いてる子いっぱいやし
男子ももちろん、一人でうつ向いて帰ってる子
色々。国際科なのでこの一年間試験はもちろん
面接も全て英語なので
父に特訓してもらった。いい思い出になったかな？
入ったら帰国子女多いから半端なく頑張らないとと
言われてます。

ヨッシー先生僕の両親はギターマンドリンクラブで
知りあって母がマンドリン父はギターで
一応よくみんなで演奏したりして楽しんでいます。

ヨッシー先生がトランペットをされているというのは
随分前に兄に聞いていました。兄は今、基本京都に
一人住まいですが、ラインで聞くと「ヨッシーの
コンクール出場記録ってところにパートＴＰって
書いてあるよ」との返事でした。
今度の高校吹奏楽部県でメッチャ強い所です。
一番に入りたいと思っています。

それからヨッシー先生は中国語、僕は入学したらもう一つ
外国語を選択しないといけないので「スペイン語」に
決めています。何かとヨッシー先生を追いかけたいと
思っています。すみません。ここ本当に大ファンなんです。

ああ今日は本当に疲れたけど久しぶりに焼き肉
メッチャ食って今帰ってきました。

やっと眠れる。みなさん！お世話になるのはこれから
ですのでよろしくお願いします。本当に嬉しい。

No.24544 - 2014/02/20(Thu) 23:13:37

☆ Re: 自然数について / ヨッシー

合格おめでとうございます。

人生で、そう何度もない充実感と喜びを味わえる瞬間ですからね。
しっかり噛み締めてください。

部活も頑張ってください。

スペイン語は・・・まぁ難しいですよ。やっていくうちに
「英語なんてカスやな」と思えるくらい難しいです。
でも、have＋過去分詞で完了、経験とか、be動詞＋現在分詞で
進行形とか、英語と同じ理屈の文法が出てくると、「やっぱり
英語が基本かな」とも思ったりします。

直説法（普通の説明文）のあとに接続法（自分の意志を込めた言い方）を
やると思いますが、直説法の間に、動詞の活用、過去形（なんと２種類ある！）
などの変化をしっかりやりましょう。
直説法だけで西検５級まではいけます。（なので、必要になるまで、
接続法は無視）

こちらのページで動詞の理屈を十分覚えましょう。
ある程度規則を覚えたら、アルクのキクタンのＣＤを聞くことを
お勧めします。（入門編も初級編も）
中国語は耳からの勉強である程度いけますが、スペイン語は
活用とかある程度理屈編も押さえつつ、ＣＤの聞き流しを
した方がいいと思いました。

以上、スペイン語２年目のヨッシーからの感想でした。

改めて、おめでとうございました。

No.24545 - 2014/02/20(Thu) 23:51:51

☆ Re: 自然数について / 潤一郎

WAO!!!

ヨッシー先生からお祝いの言葉頂いて
何だか超有名人からサインを頂いた気分です。
めちゃくちゃ嬉しいです。ありがとうございました。

スペイン語の動詞すごいですね。Lecciónはlessonと同じなのかな？全くわからないです。色々とみているとひょっとして
色々なアクセントみたいな記号とか波のようなのとか
あるのでパソコンで打てないのかな。どんな授業に
なるのかな？「オラ」っていうのだけ映画で挨拶してたの
覚えています（笑）

ヨッシー先生もスペイン語されておられるのですね。
スペイン語のサイトも作って下さい。
何でも偉い人はどこまでもお勉強されるのですね。
本当に尊敬します。毎日必ず何度も訪れるヨッシー先生の
このサイトです。スペイン語の事教えて頂いたので
大切にして教えて頂いた通りに進んでみたいと
思います。ＣＤも必ず聴きます。楽しみです。

今夜は忘れられない日となりました。このヨッシー先生の
言葉とスペイン語の勉強法コピーして持ち続けたいと
思います。本当にありがとうございました。

最高に嬉しかったです。頑張ります。全てにおいて。

No.24547 - 2014/02/21(Fri) 01:10:13

★ (No Subject) / 智恵

連投大変申し訳ありません！
これで最後です。どうかお願いします。
(２がわかりません。

No.24394 - 2014/02/14(Fri) 17:36:18

☆ Re: / 智恵

模範解答は以下の通りです
このあと、高々一次式であり、f(x)=ax+bである。
として終わっています。なぜ一次式と出てきたのかわかりません。どうかお願いします

No.24396 - 2014/02/14(Fri) 17:38:27

☆ Re: / ヨッシー

もし、f(x)＝ax^2＋bx＋c のように、f(x) の中に2次の項があると、
　f(x)－f(x-1)
を計算するときに、
　ax^2－a(x-1)^2＝2ax－a
のように x の項が残ってしまいます。
３次以上でも、最高次数－１次の項が残ります。
よって、f(x) は１次または０次ということになります。

No.24400 - 2014/02/14(Fri) 19:10:45

☆ Re: / 智恵

その話をしていたのですね、わかりましたありがとうございます！
因みにこれを回答用紙において説明するのにはどうしたらうまくかけるでしょうか。

No.24411 - 2014/02/15(Sat) 02:44:03

☆ Re: / ヨッシー

それを、論理的に証明するのは、意外と大変です。
この手の問題の補題として証明するには時間もスペースも
足りないでしょう。
ですから、上に書いたように
>f(x) が２次以上だと、最高次数－１次（最低でも１次）の項が残ります。
程度の説明でいいでしょうし、いっそ、この問題集のように、
自明として扱っても良いと思います。

No.24465 - 2014/02/17(Mon) 10:40:16

☆ Re: / 智恵

成る程、わかりました自明としておきます。
ありがとうございます！

No.24476 - 2014/02/17(Mon) 22:38:57

★ (No Subject) / 智恵

この問題(２について教えてください。

No.24392 - 2014/02/14(Fri) 17:10:38

☆ Re: / 智恵

模範解答は以下の通りです。
全く方針がよめません。
なぜg(xを以下のようにおいているのか…
｛とかいた部分は理解できます…
どうか、易しく教えてくださいお願いします。

No.24393 - 2014/02/14(Fri) 17:12:46

☆ Re: / X

この問題は結論から天下りで考えています。
つまり
f(n)=g(pn+q)
(p,qは整数)
となるような３次式g(x)を考えるとき、もしg(n)が
整数であれば命題は成立することになります。
問題はそのようなg(x)をどのように用意するか、ですが
その際にヒントになるのが(1)の結果です。
つまり
{g(1),g(0),g(-1)} (A)
が
{f(1996),f(1997),f(1998)} (B)
と等しくなるようなg(x)を作ることができれば
どうにかできないか？、ということです。
その上で模範解答では
g(-1)=f(1996),g(0)=f(1997),g(1)=f(1998)
となるようなg(x)を作ることを考えて、
g(x)=f(x+1997)
としています。

No.24405 - 2014/02/14(Fri) 20:01:21

☆ Re: / 智恵

よくわかりました、すると(?Tと同じ結論を導けるのですね！本当に、ありがとうございます！

No.24412 - 2014/02/15(Sat) 02:56:09

★ (No Subject) / 智恵

ご質問したいです。

No.24388 - 2014/02/14(Fri) 15:32:08

☆ Re: / 智恵

この(4
の、Yの範囲がg(n→g(2n
となるらしいですが、f の間違いに思えます…
どうしてgでしょうか？

No.24389 - 2014/02/14(Fri) 15:34:10

☆ Re: / 智恵

このように考えられると思いました。

No.24390 - 2014/02/14(Fri) 15:37:44

☆ Re: / X

g(x)=y
と置換したのであって
f(x)=y
と置換したわけではありませんので
x:n→2n
には
y:g(n)→g(2n)
が対応します。

No.24403 - 2014/02/14(Fri) 19:41:26

☆ Re: / 智恵

本当ですね、すみません、逆関数と混ざってしまっていました。お騒がせしましたありがとうございます！

No.24410 - 2014/02/15(Sat) 02:27:23

★ 関数の問題です。 / よう

http://i.imgur.com/bVTX5nR.jpg

すいません。どうしても解けないので、詳しく教えていただけませんか

No.24387 - 2014/02/14(Fri) 15:31:28

☆ Re: 関数の問題です。 / ヨッシー

私のページの「御質問に答えるコーナー」に載せました。

No.24408 - 2014/02/14(Fri) 23:14:29

★ (No Subject) / にん

・A君には４歳下の弟がいる。２人の母の年齢は弟の年齢の５倍で、３人の年齢の合計は８８歳である。A君の年齢は何歳か？
・父と母と３人の子供がいる家庭の年齢の合計は１０８歳である。父は母より３歳年上で、子供の年齢は２歳ずつ違う。父と母の年齢の合計と子供３人の年齢の合計の比は３：１である。９年後の父母の年齢の合計と子供３人の年齢の合計の比を求めよ。
・ある仕事をA君が１０日した後、B君が残りの仕事を６日で完成させた。この仕事をA君とB君が始めてから２人共同で行うとすると、何日目で完成するか。A君とB君の１日の仕事のできる量の比は３：５である。
・A君１人では１６日、B君１人ではその３/４倍の日数がかかる仕事がある。この仕事を、初めの４日間はB君１人で、５日目からは２人ですることになった。この仕事が終わるのはB君が始めてから何日目になるか？
・６人が何日か働いたところ、仕事全体の３/５ができ、残りは８人で４日かかったという。この仕事は全部で何日かかったか？

No.24386 - 2014/02/14(Fri) 13:48:15

☆ Re: / ヨッシー

便宜上(1)～(5)とします。
(1)
弟の年齢をｘとすると、Ａ君はｘ＋４、母は５ｘなので、
合計　７ｘ＋４　これが８８なので、
　７ｘ＝４＝８８
これを解いて　ｘ＝１２　Ａ君は１６歳
(2)
現在の年齢で、親：子＝３：１　で、合計１０８歳より
父と母の歳の和は　８１歳
３人の子の年の和は　２７歳
９年後には、それぞれ、８１＋１８＝９９，２７＋２７＝５４
　より比は、９９：５４＝１１：６
(3)
Ａ君、Ｂ君の１日の仕事量を３，５とすると、
仕事の総量は、３×１０＋５×６＝６０
これを二人同時に行うと　６０÷（３＋５）＝７．５
８日目に完成します。
(4)
全体の仕事量を１とすると、Ａ，Ｂの１日の仕事量は
　1/16, 1/12
最初の４日で終わる仕事量は 1/12×4＝1/3 で、残り 2/3。
これを、２人でやると、1/16+1/12＝7/48 より
　2/3÷7/48＝32/7＝4.5…
最初の４日と合わせて、９日目で終わります。
(5)
仕事をこなす量は全員同じとします。
2/5 の仕事を８人で４日かかるので、１人が１日に行う仕事は
　2/5÷８÷４＝1/80
3/5 の仕事を６人で行うと
　3/5÷(6×1/80)＝８
で、合わせて１２日かかりました。

No.24391 - 2014/02/14(Fri) 17:10:24

★ (No Subject) / よう

高校数学の問題です。（2）と（3）解説お願いします。

http://i.imgur.com/nmVXtud.jpg

http://i.imgur.com/WNZdZ8x.jpg

No.24383 - 2014/02/14(Fri) 11:49:13

☆ Re: / ヨッシー

私のページの「御質問に答えるコーナー」に載せました。

No.24409 - 2014/02/15(Sat) 01:47:28

★ 関数の問題です。 / Q

http://i.imgur.com/M2N4bvi.jpg
(1)x軸方向に2a, y軸方向に12aだけ平行移動するので、
y-12a=3a(x-2a)^2
y=3a(x-2a)^2+12a・・・(I~K)
これがy=12aに関して対象であるから、x^2の係数の符号を変えて
y=-3a(x-2a)^2+12a=-3a(x^2-4ax+4a^2-4)・・・?A(L~P)
?@?Aを連立してx^2-2ax+2(a^2 -1)=0・・・?B
異なる2点で交わるから、判別式D>0より -√2<a<√2
a>0も含めて、0<a<√2・・・(Q)

これについて、
なぜx^2の係数の符号を変えるんですか

No.24382 - 2014/02/14(Fri) 10:55:41

☆ Re: 関数の問題です。 / ヨッシー

結果としては、x^2の係数の符号が変わったように見えますが、
処理自体は　ｙ　を 24a－ｙに置き換えることです。
　y=3a(x-2a)^2+12a　→　24a-y=3a(x-2a)^2+12a　
　→y=-3a(x-2a)^2+12a

No.24385 - 2014/02/14(Fri) 13:37:45

★ (No Subject) / バリー

座標平面上の２つの直線ｌ、ｍをそれぞれ
ｌ：ｙ＝１/√３ｘ　ｍ：ｙ＝－１/√３ｘ
とし、ｌ上に点A(√３ｓ、ｓ)を,ｍ上に点B(√３ｔ,－ｔ)をとる
ただしｓ＞０、ｔ＞０とする。さらに,正三角形ABCを頂点Cが直線ABに
関して原点Oと同じ側になるように定める。このとき、以下の問いに答えよ

(?@)点O、A、B、Cが同一円周上にあることを示し,点Cがｙ軸上にあることを証明せよ

(?A)点Cのｙ座標をｓ、ｔの式で表せ

(?B)点D(X,Y)を直線ABに関して点Cと対称な点とする。
このとき,XとYをそれぞれｓ、ｔの式で表せ

(?C)線分ABの長さをｓ、ｔの式で表せ

(?D)点A、Bが線分ABの長さを√３に保ちながら動くとき、点Dの軌跡を求め
その概形を図持せよ

解説解答お願いします

No.24380 - 2014/02/14(Fri) 03:07:52

☆ Re: / ヨッシー

(i)
∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＢ＝60°なので、円周角の性質より
４点ＯＡＢＣは同一円上にあります。
また、この円とｙ軸との交点のうち原点以外の点をＥとすると
∠ＡＯＥ＝120°
一方、円に内接する四角形の性質より、∠ＡＯＣ＝120°であるので、
点Ｃと点Ｅは同一点となり、点Ｃはｙ軸上にあります。
(ii)
ＡＢの中点((√3/2)(ｓ＋ｔ), (s-t)/2)を通って、
ＡＢの傾き(s+t)/{(s-t)√3} に垂直な傾き (t-s)√3/(s+t) を持つ直線の式
　ｙ＝{(t-s)√3/(s+t)}{x－(s+t)√3/2}＋(s-t)/2
これが、ＡＢの垂直二等分線であり、これとｙ軸との交点が点Ｃとなります。
ｘ＝０を代入して
　ｙ＝{(t-s)√3/(s+t)}{－(s+t)√3/2}＋(s-t)/2
　　＝{(s-t)3/2}＋(s-t)/2
　　＝2(s-t)　・・・答え
(iii)
点ＤはＡＢの中点((√3/2)(ｓ＋ｔ), (s-t)/2)に関して点Ｃ(0, 2(s-t))と対称な点なので、
Ｄ(√3(s+t), t-s)
(iv)
ＡＢ^2＝3(s-t)^2＋(s+t)^2＝4s^2＋4t^2－4st より
　ＡＢ＝2√(s^2－st＋t^2)
(v)
2√(s^2－st＋t^2)＝√3 より s^2－st＋t^2＝3/4
この条件下で、Ｄ(√3(s+t), t-s) の軌跡を求めます。
x=√3(s+t), y=t-s とおくと、x^2＝3s^2＋3t^2＋6st, y^2＝s^2+t^2-2st
よって、
　s^2－st＋t^2＝(1/12)x^2＋(3/4)y^2＝3/4
となり、Ｄは楕円
　x^2/9＋y^2＝1
上を動きます。ただし、3/2＜ｘ≦3

No.24384 - 2014/02/14(Fri) 12:13:01

★ 格子点の数 / タムさん

y=a/xでxがpからqまでのx＞0,y＞0の範囲の格子点の数（x軸、y軸及び関数上も含む）は、どのようにしてあらわすことができますか。よろしくお願いいたします。
できれば、途中式も書いていただくとありがたいです。

No.24370 - 2014/02/13(Thu) 23:16:27

☆ Re: 格子点の数 / らすかる

問題がおかしいです。問題は正確に書いて下さい。
「y=a/xでxがpからqまでのx＞0,y＞0の範囲の格子点の数」と言えば
「グラフy=a/xがp≦x≦qの範囲で通る格子点の数」という意味になりますから
「関数上も含む」のは当たり前、というより「関数上しか含みません。」
「x軸、y軸及び」は余計変です。

No.24373 - 2014/02/14(Fri) 00:33:41

★ 傍心 / 防振

?僊BCにおいて、Bの延長上にある傍心をKとするとベクトルOK＝(a→OA-b→OB+c→OC)/(a-b+c)とあったのですが、このOはどんな点でも成り立つOですか？

また、「傍心Kを重心座標で表すと」ベクトルOK＝(a→OA-b→OB+c→OC)/(a-b+c)のような言い方をしても大丈夫でしょうか?

よろしくお願いいたします

No.24365 - 2014/02/13(Thu) 20:44:36

☆ Re: 傍心 / 防振

追記)A、B,Cの対辺の長さをa,b,cとします

No.24366 - 2014/02/13(Thu) 20:45:53

☆ Re: 傍心 / angel

> このOはどんな点でも成り立つOですか？
はい。
※大抵のベクトル式は、どんな点を基準にしても成り立つようにしてあるものでして…

例えば、ある点Oを基準にして、このKに対する関係が成立したとして、今度は別の点O'を基準にすることを考えてみますと、
　→OA=→OO'+→O'A, →OB=→OO'+→O'B, →OC=→OO'+→O'C, →OK=→OO'+→O'K
であることから
　→O'K
　= →OK - →OO'
　= 1/(a-b+c)・(a→OA-b→OB+c→OC) - →OO'
　= 1/(a-b+c)・(a(→OO'+→O'A)-b(→OO'+→O'B)+c(→OO'+→O'C) - →OO'
　= 1/(a-b+c)・(a→O'A-b→O'B+c→O'C) + →OO' - →OO'
　= 1/(a-b+c)・(a→O'A-b→O'B+c→O'C)
と、OとO'が変わっただけの式になる…ということは、基準の点がどこであっても同じ、ということです。

> また、「傍心Kを重心座標で表すと」
「重心座標」というのは、Oが△ABCの重心となるように座標を設定しているということでしょうか。
それでも状況は変わらず、件の式は成立しますね。

No.24371 - 2014/02/14(Fri) 00:17:27

★ ガウス記号 / ガウス記号

[ ]をガウス記号と言うそうです

[a]はaの整数部分とあったのですが、この覚え方は正しいですか？例えばaが負とかだと問題ありだったりしますでしょうか？

よろしくおねがいします

No.24360 - 2014/02/13(Thu) 20:01:02

☆ Re: ガウス記号 / ヨッシー

ａが正の数のときは、その理解で良いですが、一般には、
「ａを超えない最大の整数」ですね。

たとえば、[-2.3]＝-3 です。

No.24361 - 2014/02/13(Thu) 20:12:04

☆ Re: ガウス記号 / ガウス記号

ありがとうございます。

-2.3=-3+0.7で整数部分は-3なので、[-2.3]＝-3なら別に大丈夫では、と思ったのですが。。（小数部分ｒってのは０≦ｒ＜１と習ったので・・）

No.24364 - 2014/02/13(Thu) 20:39:27

☆ Re: ガウス記号 / ヨッシー

それこそがガウス記号の定義です。
「整数部分とあった」と書いておられるので、何かの
文献に載っていたかと思いますが、それには「整数部分」の
定義はありませんか？

No.24367 - 2014/02/13(Thu) 20:57:00

★ (No Subject) / 菊池　悠斗

No.24309 - 2014/02/11(Tue) 11:27:14 ↓で?]様にご解説を頂きましたが、323の(5)と(6)をもっと詳しく説いていただくことは可能でしょうか?解答を見ても解き方がわからなくなってしまいました。申し訳ありませんが、ご解説願います。
ちなみに答えは、
323　(1)・・・　3
　(2)・・・　1　　です。

No.24358 - 2014/02/13(Thu) 18:58:17

☆ Re: / angel

便宜上、f(x)=x^3-3x^2-2x+7 と置くことにします。
解と係数の関係から、
　α+β+γ=3
　αβ+βγ+γα=-2
　αβγ=-7
は良いと思いますが、もう一つ
　f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)　※恒等式
も思い出すと、役に立つ場面があるのです。

f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)　ということは、
　f(1)=(1-α)(1-β)(1-γ)
　f(α+β+γ)=(α+β+γ-α)(α+β+γ-β)(α+β+γ-γ)
が成立し、それぞれの右辺は、そのまま(5)(6)で問われているもの、そのものです。
なので、f(1), f(α+β+γ)=f(3) を ( 元の f(x)=x^3-3x^2-2x+7 という条件を使って ) 計算すれば、答になります。

No.24368 - 2014/02/13(Thu) 21:33:59

☆ Re: / 菊地　悠人

angel様、わざわざ御詳しい解説していただき有難うございます！大変理解し安かったです。

No.24369 - 2014/02/13(Thu) 22:19:58

★ (No Subject) / Q

(ii)の解け方はわかりませんが、教えていただけませんかhttp://i.imgur.com/yx8MOMk.jpg

No.24354 - 2014/02/13(Thu) 14:39:21

☆ Re: / ヨッシー

(x+1/4x)^2－１＝(x-1/4x)^2
であり、0＜x＜1/2 においては x＜1/4x なので、
　√(x-1/4x)^2＝1/4x-x
よって、
　(左辺)＝9x/2＋7/8x
9x/2＋7/8x=4 両辺に 8x を掛けて
　36x^2－32x＋7＝0
これを解いて　ｘ7/18, (1/2)

No.24363 - 2014/02/13(Thu) 20:35:02

★ (No Subject) / よう

http://i.imgur.com/EAIDwVU.jpg
なぜa=0のとき、pのちは有理数になりますか
問題1：
回答はa=0の時、
p＝-7

問題2もわかりませんので、詳しく教えていただけませんか？
お願いすます。

No.24352 - 2014/02/13(Thu) 10:55:40

☆ Re: / ヨッシー

(1)
「なぜa=0のとき・・・」はひとまず置いておいて、普通に解いてみます。
Ｐ＝x^2＋2(a-1)x－8a－8 に、ｘ＝1－√2 を代入して
　Ｐ＝3－2√2＋2a－2－2a√2＋2√2－8a－8
　　＝-2a√2＋(-7－6a)
これが有理数になるには、√2 の項が消えないといけないので、
　a=0　このとき、Ｐ＝-7

(2)
　f(x)＝x^2＋2(a-1)x－8a－8
とおくと、f(4)＝0 より　f(x) を x-4 で割ってみて、
　Ｐ＝f(x)＝(x-4)(x+2a+2)
を得ます。
x,a が正の整数のとき、x+2a+2 は5以上の整数なので、
Ｐが素数になるには、x-4＝1 でないといけません。
よって、x=5。このとき、
　Ｐ＝7+2a
と書けるので、a に正の整数を小さい方から当てはめていって、
Ｐが素数になる時をさがすと、a=2 のとき、Ｐ＝11 となります。

No.24353 - 2014/02/13(Thu) 11:53:43

☆ Re: / Q

X-4＝1はなぜですか

No.24355 - 2014/02/13(Thu) 15:44:05

☆ Re: / ヨッシー

Ｐ＝(整数)×(５以上の整数)
であるので、最初の(整数)の方が２以上の整数だと、
素因数分解できる数になってしまうので、最初の(整数)は
１でないといけません。

No.24356 - 2014/02/13(Thu) 17:49:00

☆ Re: / Q

はい。
わかりました。どうもありがとうございます。

No.24357 - 2014/02/13(Thu) 18:14:45

★ 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / 旧々過程履修者

訳あって、高校数学を学びなおしている者です。

【７】　 α は絶対値 1 の複素数で α≠ 1 とし， 1 ，α ， α^2 を表す複素数平面上の点をそれぞれ A ，B ， C とする．点 C が線分 AB の垂直二等分線 ℓ 上の点であるとする．
(1)　 α の偏角 argα は arg = ± アイウ° である．ただし， argα は－180°< argα≦180° の範囲で考える．
(2)　 argα = アイウ° とする． 0 でない複素数 z0 を表す点を P とし，直線 ℓ に関して P と対称な点を Q ，線分 AC の垂直二等分線 m に関して Q と対称な点を R とし，点 Q ，R が表す複素数をそれぞれ z1 ， z2 とする．このとき
z0 z1= | z0 |^ 2 （エオ＋√ カ i）/ キ，
z 1 z 2= | z1 |^ 2 （エオ－√ カ i） / キ
であり， z2 を z0 で表すと， R は P を原点の回りにクケコ° だけ回転した点であることがわかる．
(3)　 z0= 1 － i のとき， R が表す複素数 z2 は
z2=（サシ＋ √ス） / セ＋ ( ソ＋ √タ / チ ) i
であり，線分 PR の長さは √ ツである．また
z1－ z0/ z2－ z 0 = (テ＋√ ト ) ( ニ＋i ) / ナ
である．

以上は、2006年度のセンター追試験第７問（複素数平面）になります。
解答解説が見当たらないため、途中解答が怪しい可能性も高いのですが
とりわけ、(3)最後の穴４つが埋まらずにいます。

(1)120°(2)z0 z1= | z0 |^ 2 （－1 ＋√ 3 i/ 2），z 1 z 2= | z1 |^ 2 （－1－√ 3 i / 2 ），
クケコ＝120°(3)z2=（ -1 ＋ √3） / 2 ＋ ( 1 ＋ √3 / 2 ) i ，ＰＲ＝√6

自分は以上のように解いていき、最後について
点Ｐ（z0）は1－iだから、－４５°(1,-i)の位置にあり大きさは√２
点Ｑ（z1）は直線ℓとの対称性から-1＋iを表し135°(－１,i)の位置にあり、大きさは√２である。
よってＰＱ＝|z1-z0|＝２√２
先に求めたＰＲ＝|z2-z0|＝√６との比率から三角形ＰＱＲ（z0z1z2）はＰＲ：ＰＱ：ＰＲ＝|z1-z2|：|z1-z0|：|z2-z0|＝√２：２√２：√３＝１：２：√３の直角三角形。
ＰＱ＝|z1－ z0|＝2√2，ＰＲ＝| z2－ z 0|＝√6，偏角は∠ＲＰＱ＝∠z2z0z1＝30°

以上より、点Ｑ（ｚ１）は点Ｒ（z2）を点Ｐ（ｚ0）を中心に30°回転させ2√2/√6倍した点であると読み
z1－ z0/ z2－ z 0 ＝(2√2/√6)(cos30°＋isin30°)を立式しました。

ところが、これを解いてみても3＋√3i/3となり、要求された穴をうめることができず、詰んでいる状態です。
長々とすみませんが、よろしくお願いします。

No.24344 - 2014/02/13(Thu) 03:09:13

☆ Re: 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / ＿

>点Ｑ（z1）は直線ℓとの対称性から-1＋iを表し135°(－１,i)の位置にあり、大きさは√２である。

ここが怪しいです。直線lが実軸となす角度は45°ではありません。

No.24347 - 2014/02/13(Thu) 05:16:06