次の連立不等式を満たす解の中に自然数がちょうど
3個となるような定数aの値の範囲を求めよ。
x^2-2x-3＞0
x^2-a^2x+ax≦0
上の式がx＜-1，3＜xだということはわかったのですが
そこから先がわかりません。
よろしくお願いします。
|
No.23976 - 2014/01/26(Sun) 03:06:00
| ☆ Re: 連立不等式 / ＩＴ | | | ２つめの不等式は、x^2-a^2x+ax≦0 でまちがいないですか？
だとすると、整理して因数分解すると
x^2-(a^2-a)x≦0
x{x-a(a-1)}≦0
よって
a(a-1)≦0のとき a(a-1)≦x≦0
a(a-1)＞0のとき 0≦x≦a(a-1) になりますね。
|
No.23977 - 2014/01/26(Sun) 06:24:58 |
| ☆ Re: 連立不等式 / 郁 | | | すみません、勘違いしてました。
x＝-2,-3,-4だということはわかったのですが、
aの出し方がわかりません。
上の式の解き方を教えてください。
|
No.23987 - 2014/01/26(Sun) 13:56:42 |
| ☆ Re: 連立不等式 / ＩＴ | | | >x＝-2,-3,-4だということはわかったのですが
-2,-3,-4は自然数ではありません。
それと私の最初の質問への回答はどうですか？
|
No.23990 - 2014/01/26(Sun) 14:10:48 |
| ☆ Re: 連立不等式 / angel | | | > すみません、勘違いしてました。
何をどのように勘違いしていたのか ( 本当に勘違いなのか )、他人からは見えないので、中々にアドバイスし辛いですよ。
> x＝-2,-3,-4だということはわかったのですが、
何故分かったのか、経緯も根拠も ( 本当に正しいのかすら ) 分からないですからね…
郁さんの中では決着している事柄かもしれませんが、だから結果の部分しか出されていない ( 他の情報は無駄となると考えている? ) ということかもしれませんが、回答者にとって一番辛いのは情報を出し惜しみされることですので、その点ご留意いただければ。
|
No.23991 - 2014/01/26(Sun) 14:18:37 |
| ☆ Re: 連立不等式 / angel | | | ちょっと問題文の一部がまだ確かではないので一般論で。
x＜-1, x＞3 を解とする不等式 ( x^2-2x-3＞0 )
α≦x≦β (α≦β) を解とする不等式 ( (x-α)(x-β)≦0 )
この両方を満たす **実数** x の範囲 ( 連立不等式の解 ) は、α,βの状況により様々異なります。
※自身で確認する時には、必ず数直線を描いて見てください
1. α＜-1 の場合
1.1. β＜-1 の場合
x＜-1 の範囲に α≦x≦β が含まれるため、連立不等式の解は α≦x≦β
1.2. -1≦β≦3 の場合
α≦x≦βの範囲は、x＜-1 とは共通部分があるものの、x＞3 とは共通部分がありません。
連立不等式の解は x＜-1 との共通部分 α≦x＜-1
1.3. β＞3 の場合
α≦x≦βの範囲は、x＜-1, x＞3 両方の範囲と共通部分を持ちます。
連立不等式の解は α≦x＜-1, 3＜x≦β
2. -1≦α≦3 の場合
2.1. β≦3 の場合
α≦x≦βの範囲は、x＜-1, x＞3 共に共通部分を持ちません。
よって連立不等式は解なし
2.2. β＞3 の場合
α≦x≦βの範囲は、x＞3 と共通部分を持ちます。
連立不等式の解は 3＜x≦β
3. α＞3 の場合
自動的にβ＞3となり、α≦x≦βの範囲は x＞3 に含まれます。
連立不等式の解は α≦x≦β
で、この問題に戻って、連立不等式を満たす**自然数(正の整数)**が丁度3個となると…
1.1., 1.2. 解は全て負なので不適
1.3. x=4,5,6が含まれるケースが該当、4≦β＜5 ( 負の解はそもそも考えなくて良い )
2.1. 解がそもそもないので不適
2.2. 1.3.と同様 4≦β＜5
3. α≦x≦βの範囲に自然数が丁度3個含まれるケース ( 例えばα=4.1, β=7.5 で x=5,6,7 とか ) が全て該当
文章にすると長いですが、数直線を描くなり思い描くなりしてこれらのケースを検証していくのが正攻法となるでしょう。
|
No.23992 - 2014/01/26(Sun) 19:33:44 |
|
