u＞0、v＞0、w＞0とする。
xyz座標空間において、xy平面上の0≦x≦1かつ0≦y≦1の部分を面A、yz平面上の0≦y≦1かつ0≦z≦1の部分を面B、zx平面上の0≦z≦1かつ0≦x≦1の部分を面Cとする。
a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たしながら変化する実数とする。このとき、点P(1-ut,a-vt,b-wt)は、tを変化させると、A、B、Cのいずれかの面を通過することを示せ。
たとえば1-ut=0のときは、0≦a-vt≦1,0≦b-wt≦1になることを示せということだと思いますが、どうやればいいのかがわからなかったです。教えてください。よろしくお願いします。
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No.23893 - 2014/01/22(Wed) 13:52:03
| ☆ Re: 座標空間の問題 / らすかる | | | > たとえば1-ut=0のときは、0≦a-vt≦1,0≦b-wt≦1になることを示せということだと思いますが
違います。そうなるとは限りません。
しかしこれは、問題不備だと思います。
例えばu=1,v=w=1/2として
aとbはt＜1のとき3/4,t≧1のとき1/4という値をとるとすると、
点Pは面A,B,Cのどれも通過しません。
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No.23894 - 2014/01/22(Wed) 14:46:12 |
| ☆ Re: 座標空間の問題 / ちぃ | | | 御指摘ありがとうございました。明日先生に確認します。
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No.23900 - 2014/01/22(Wed) 23:15:27 |
| ☆ Re: 座標空間の問題 / ヨッシー  | | | 「問題不備と言われました」では、先生もきょとんとされるでしょう。
らすかるさんの言われているのは、ａもｂも変化しつつ、ｔを
全実数変化させてもＡ，Ｂ，Ｃを通らずに行けますよ、という意味です。
a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たす定数とする。なら、不備ではないはずです。
その場合は、
1-ut=0 かつ 0≦a-vt≦1 かつ 0≦b-wt≦1 または
0≦1-ut≦1 かつ a-vt＝0 かつ 0≦b-wt≦1 または
0≦1-ut≦1 かつ 0≦a-vt≦1 かつ b-wt＝0
を満たすかどうか調べます。
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No.23901 - 2014/01/22(Wed) 23:23:57 |
| ☆ Re: 座標空間の問題 / らすかる | | | a,bは定数なんですかね？
私が問題不備と思ったのは、問題作成者が
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たしながら変化する実数とする。」
という文を
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たしながら連続的に変化する実数とする。」
という意味のつもりで書いてしまったものと思いました。
定数を想定していたら
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たしながら変化する実数とする。」
ではなく
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たす定数とする。」
と書きますよね・・・
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No.23902 - 2014/01/22(Wed) 23:34:32 |
| ☆ Re: 座標空間の問題 / 黄桃 | | | 問題不備ではないと思います。
らすかるさんの例ではa,bがtの値に応じて変化するようになっていますが、
何も記述がない以上、a,bはtとは無関係と見るべきでしょう。
私には、
>点P(1-ut,a-vt,b-wt)は、tを変化させると、
という部分は、t以外の変数は固定してtだけを動かす、という意味としか思えません。
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No.23904 - 2014/01/23(Thu) 07:21:32 |
| ☆ Re: 座標空間の問題 / らすかる | | | > 黄桃さん
では一つお聞きしたいのですが、
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たす定数とする。」
でなく
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たしながら変化する実数とする。」
と書いてある意図は何でしょうか？
「tに応じて」でなくてもよいのですが、
「自由に変化する」というふうに私には読めてしまうのですが・・・
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No.23911 - 2014/01/23(Thu) 12:34:30 |
| ☆ Re: 座標空間の問題 / 黄桃 | | | らすかるさん
>「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たしながら変化する実数とする。」
>と書いてある意図は何でしょうか？
意図はわかりませんがこの問題を解く上では
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たす定数とする。」
と同じことです。
>「自由に変化する」というふうに私には読めてしまうのですが・・・
私にもそう読めます。
u,v,w,a,b,t の組を与えられた範囲で自由に1組決めるとPが１つ決まるので、
この対応関係をP=p(u,v,w,a,b,t)とかいているんだな、と理解しました。
＃ああ、もしかしたらa,b は規定の範囲のすべての数を取る可能性がある、
＃と強調する意図かもしれませんね。
この問題では、これをtだけ動かし他を固定する写像とみると、これこれのことがいえる、
といっているだけだと思っています。
y=x^2+k のような関数を考える時、高校ではこれを x の関数とみる見方をして
dy/dx と書いてますが、別に x, k の2変数関数としてみて、∂y/∂x を考えても同じことです。
高校数学の問題としては見かけない書き方かもしれませんが、数学の問題としては同じことだと思います。
＃高校数学でも定数kが変化する時、最大値がどうなるか云々、のような
＃問題を見かけることがあります。定数なのに変化するとは？定数とは結局
＃その値を決めると何かが決まる、といった程度の意味しかないと思います。
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No.23936 - 2014/01/23(Thu) 23:15:36 |
| ☆ Re: 座標空間の問題 / らすかる | | | 回答ありがとうございます。
> 意図はわかりませんがこの問題を解く上では
> 「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たす定数とする。」
> と同じことです。
確かにそういう意味ならば答えは出ますが、
（以下私の個人的感覚）
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たす定数とする。」
という意味で
「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たしながら変化する実数とする。」
と書いてあるならば、それだけで「問題不備」だと思います。
（定数に対してこんな変な表現をするのは見たことがありません。）
問題作成者の考えを聞いてみたいところです。
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No.23943 - 2014/01/23(Thu) 23:52:24 |
| ☆ Re: 座標空間の問題 / 黄桃 | | | らすかるさん
>「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たす定数とする。」
>という意味で
>「a、bは0≦a≦1、0≦b≦1を満たしながら変化する実数とする。」
>と書いてあるならば、それだけで「問題不備」だと思います。
確かにこれだけなら、その通りです。ですが、
>点P(1-ut,a-vt,b-wt)は、tを変化させると、
という部分は、tの変化のみに注目するという趣旨であり、この表現のため、この問題ではtのみ変数とする、と解釈するべきだと思います。
どうでもいいことばかり書いてきたので一応元の問題の略解も述べておきます。
tのみを変化させた時にPが描く軌跡は点(1,a,b)を通り方向ベクトル(u,v,w)の直線Lである。
D={(x,y,z)| x=1, 0≦y≦1, 0≦z≦1}
E={(x,y,z)| 0≦x≦1, y=1, 0≦z≦1}
F={(x,y,z)| 0≦x≦1, 0≦y≦1, z=1}
とおくと、A-F で一辺１の立方体の表面を表す。
t=0の時Pは面D上にあり、u>0 であるので、直線LはDと1点Pで交わり、この立方体の内部を通る。
したがって、直線LはA,B,C,E,Fのいずれかより、この立方体の外へと出る。
この外へ出る点をQとすると、QがA,B,Cのいずれかにあることを示せばよい。それにはQは決してE,F上にないことをいえばよい。
方向ベクトル(u,v,w)はベクトルQPの正の定数倍で、特にQPのy座標の符号とvの符号, z座標の符号とwの符号は一致する。
もし、QがE上にあれば、QPのy座標は1-a≦0 となるが、これはv>0と同じ符号でなければならないので矛盾。
同様にQがF上にあれば、QPのz座標は1-b≦0 となり、w>0と矛盾。
したがって、Qは A,B,Cいずれかの上にある。
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No.23951 - 2014/01/24(Fri) 08:09:04 |
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