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★ 質問です！ / にん
・当たり４本、はずれ４本のくじが入ってる。これを２本同時に引く時、少なくとも１本は当たりの確率を求めよ。
・箱の中に、赤玉２個と白玉２個が入ってる。同時に２個取り出すとき、少なくとも１個が赤である確率は？
・２つの箱の中には、それぞれ１，２，３，４と書かれたカードが入ってる。それぞれの箱から１枚ずつ取り出した時、同じ数字のカードが出る確率は？
・２個のサイコロを同時に投げたとき、異なる目の出る確率は？
・５本のくじの中に２本の当たりが入っている。引いたくじは元には戻さない。２人がくじをひくとき、どちらか１人だけがくじに当たる確率を求めよ。
・A君が生まれた時、母の年齢は２８歳だった。A君が母の年齢の半分になるのはA君が何歳の時か？
No.24329 - 2014/02/12(Wed) 01:00:59
☆ Re: 質問です！ / らすかる
2本とも外れる確率は4C2/8C2だから少なくとも1本当たる確率は1-4C2/8C2
2個とも白である確率は2C2/4C2だから少なくとも1個が赤である確率は1-2C2/4C2
1箱目が何であっても、2箱目の数字が1箱目と同じである確率は1/4
1個目が何であっても、2個目の数字が1個目と異なる確率は5/6
2本引いて1本だけ当たりの確率だから、(2C1×3C1)/5C2
A君が28歳になった時、母の年齢は56歳でちょうど倍。
No.24330 - 2014/02/12(Wed) 02:19:54
★ (No Subject) / 智恵
この(2についてしつもんです。
No.24321 - 2014/02/11(Tue) 20:53:38
☆ Re: / 智恵
途中までこのようにして解きましたが、間違っていますか？
お願いします。
No.24322 - 2014/02/11(Tue) 21:01:14
☆ Re: / 智恵
A=b-cならば
A>b>c
と考えたのですが反例があるようなきはします…
No.24323 - 2014/02/11(Tue) 21:02:50
☆ Re: / angel
うーん。誰かの添削を受けているようですが、その内容は確認しましたか? 全体が見えないので推測になりますが、指摘された内容は正しいと思いますよ。

それで、
> A=b-cならば
> A＞b＞c
> と考えたのですが反例があるようなきはします…
そうですね。そこは勘違いでした。
一般の話として A=1, b=100, c=99 等の反例があるため、
A=b-c は A＞b＞c の根拠としては使えません。
※今回はAに当たる部分が正と分かっているので、b＞c には使えますが

最初の方でやった変形には惜しい所はあるのですが…
　a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
　= 1/2・(a^2+b^2)-ab + 1/2・(b^2+c^2)-bc + 1/2・(c^2+a^2)-ca
　= 1/2・{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 }
というのなら、たまに使いますね。( 実は今回の問題でも… )
No.24325 - 2014/02/11(Tue) 22:11:05
☆ Re: / ＩＴ
A=b-c ⇔A+c=b ですから　A＞０、ｂ＞0、ｃ＞０の条件のもとでAとcの大小関係は何もいえませんね。b＞Aかつb＞cはいえます。

それとa^3+b^3+c^3=(a+b+c)... -３abcの後ろが見えないのでなんともいえませんが、見えてる範囲ではまちがっていると思います。　
No.24327 - 2014/02/11(Tue) 22:32:23
☆ Re: / 智恵
添削は受けておらず、自分で考えて赤を入れましたが、自分の考えがあっているかわからなかったのでお聞きしました。
矢張り反例があるので使えないのですね。差関数で求めてみることにします。
どうもありがとうございました！
No.24377 - 2014/02/14(Fri) 01:19:29
★ ↓の追加添付写真です。 / 菊池　悠斗
↓の追加添付写真です。
No.24306 - 2014/02/11(Tue) 10:11:48
☆ Re: ↓の追加添付写真です。 / X
321
まずは問題の方程式の左辺を因数分解します。
その際、因数定理を使ってくくりだせる項の当たりを
つけるのは有効な手段です。

f(x)=x^3-x^2+(a-2)x+a
と置くと
f(-1)=0
ですので因数定理によりf(x)はx+1を因数分解します。
ということでx+1でf(x)を割ることにより
f(x)=(x+1)(x^2-2x+a)
と因数分解できます。
よって求める条件はxの二次方程式
x^2-2x+a=0
が
(i)x=-1とそれ以外の解を持つ
(ii)x≠-1なる重解を持つ
のいずれかになります。
後は(i)(ii)それぞれの場合のaの値を求めます。
No.24308 - 2014/02/11(Tue) 11:19:10
☆ Re: ↓の追加添付写真です。 / X
323
三次方程式の解と係数の関係により
α+β+γ=3 (A)
αβ+βγ+γα=-2 (B)
αβγ=-7 (C)
後は(A)(B)(C)が代入できるように式を変形していきます。
例えば
(1)
1/α+1/β+1/γ=(αβ+βγ+γα)/(αβγ)=2/7

(2)(3)は因数分解ができるように必要な項を(A)(B)(C)
が使えるように足し引きすることを考えてみましょう。
(4)は(2)の結果を使います。
(5)
展開して(A)(B)(C)を代入するのが基本方針ですが
条件から
x^3-3x^2-2x+7=(x-α)(x-β)(x-γ)
となることを使った方が簡単です。
(6)
展開して(A)(B)(C)を代入するのが基本方針ですが
実は(A)をうまく使うと(5)の式と似たような式になります。
No.24309 - 2014/02/11(Tue) 11:27:14
☆ Re: ↓の追加添付写真です。 / 菊地　悠人
下の問題に続き、御丁寧な解説していただき有難うございます！
No.24311 - 2014/02/11(Tue) 11:31:48
★ お願いいたします。 / 菊池　悠斗
少し問題量が多く申し訳ないのですが、テストも近く解説が必要になっている現状であります。解いていただきたいのは317(2)、318、321、323です。お願い致します。
No.24305 - 2014/02/11(Tue) 10:10:51
☆ Re: お願いいたします。 / X
317
(2)
f(x)=8x^3+4-3
と置くと
f(1/2)=0
∴因数定理により…

318
まずは前準備。
条件から
ω^3=1 (A)
ω^2+ω+1=0 (B)
(1)
(A)を用いて問題の式の次数を落としていきます。
例えば
ω^20={(ω^3)^6}ω^2=1・ω^2=ω^2
後は次数を落とした式と(B)とをよく
にらみあわせてみましょう。
(2)
これも方針は(1)と同じです。とりあえず分子の
ω^5の次数を落としましょう。
(3)
展開して(A)(B)を用いてωの項を消去していきます。
但し頭についているa-bは展開せずに後ろにくっついている
(a-ωb){a-(ω^2)b}
のみを展開すると多少計算は楽です。
No.24307 - 2014/02/11(Tue) 11:12:55
☆ Re: お願いいたします。 / 菊地　悠人
休日にも関わらず御丁寧な解説していただき有難うございます！
No.24310 - 2014/02/11(Tue) 11:31:06
☆ Re: お願いいたします。 / X
318(3)の別解(の方針)
条件から
x^3-1=(x-1)(x-ω)(x-ω^2)
∴(与式)=(b^3)(a/b-1)(a/b-ω)(a/b-ω^2)=…
No.24312 - 2014/02/11(Tue) 11:31:50
★ 不等式・絶対値 / 窮糠
不等式|5-12x|<35の解は、
(ｳ）<x<(ｴ)である。
また、√nはこの範囲に含まれるが-√nはこの範囲に含まれない、という自然数nの中で最初のものは(ｵ)であり、最大のものは(ｶ)である。
答えがないので、確認してほしいです。
(ｳ）-5/2　　(ｴ)35/12　　(ｵ)5　(ｶ)8
No.24298 - 2014/02/10(Mon) 23:20:08
☆ Re: 不等式・絶対値 / ヨッシー
（ウ）は合っていますが、（エ）は違います。
（ウ）が答えられているので、（エ）は単なる計算間違いでしょう。

（オ）５　について考えると　−√5≒-2.236 で、
　-5/2＝-2.5＜ｘ
の範囲に含まれるので、５ではありません。
（カ）も、（エ）が不正解なので、もう一度計算する方が良いでしょう。
No.24299 - 2014/02/10(Mon) 23:34:16
☆ Re: 不等式・絶対値 / 窮糠
(ｴ)は10/3ですかね
計算過程で-12x<-40となったのですが、
両辺にマイナスがある場合は不等号は反対にしなくてよいのですか？
−√5≒-2.236 と書いてくださいましたが、
平方根を小数点にするときの仕方がわからないので教えていただけないでしょうか。
No.24313 - 2014/02/11(Tue) 13:15:49
☆ Re: 不等式・絶対値 / ヨッシー
（エ）10/3 で正解です。
|5-12x|<35 は -35＜5-12x＜35 のことですので、
各辺５を引いて　-40＜-12x＜30
−１を掛けて（ここで不等号が変わります）
　40＞12x＞-30　→　10/3＞x＞-5/2
です。

√2＝1.41421356･･･、√3＝1.7320508･･･、√5＝2.2360679･･･
この辺は、語呂合わせで覚える方法がありますので、知っておきましょう。
この問題の場合、√5 の正確な数値は必要なく
−√ｎ と　−5/2 とどちらが大きいかということが重要です。
マイナスを取って２乗するとｎと25/4＝6.25 との比較になります。
すると　√5＜5/2, √6＜5/2、√7＞5/2 となり
-√5, -√6 は -5/2＜x に含まれ、-√7 は含まれないことになり
（オ）は７となります。
No.24314 - 2014/02/11(Tue) 13:32:10
☆ Re: 不等式・絶対値 / 窮糠
最初のほうは計算過程を間違えていたようでした。
正しい計算過程ありがとうございます。
平方根は暗記するようにします。
下の答えは(ｵ)7 (ｶ)10ですね。
丁寧な解答感謝します。
No.24315 - 2014/02/11(Tue) 13:41:33
☆ Re: 不等式・絶対値 / ヨッシー
（カ）は 10 ではありません。
No.24316 - 2014/02/11(Tue) 13:48:05
☆ Re: 不等式・絶対値 / 窮糠
あれ、違いましたか；；
(10/3)^2=100/9=11.1で(ｶ)は11ですか？
10/3＝3.3^2でやってしまいました。
No.24317 - 2014/02/11(Tue) 14:45:07
☆ Re: 不等式・絶対値 / ヨッシー
はい、正解です。
No.24318 - 2014/02/11(Tue) 15:55:46
☆ Re: 不等式・絶対値 / 窮糠
最後にしまらなくなってしまい申し訳ありません；；
辛抱強く教えていただき本当にありがとうございました！
No.24319 - 2014/02/11(Tue) 17:04:56
★ 解析学について / さき
解析学について

∫C (x+y)dx−(x−y)dy
C=｛(x,y)∈R | (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1｝

この線積分の求め方を教えてください
No.24296 - 2014/02/10(Mon) 19:34:36
☆ Re: 解析学について / X
x=acosθ
y=bsinθ
と置くと
θ：0→2π
が対応します。
No.24297 - 2014/02/10(Mon) 19:49:03
★ はじめまして / サチヨ
（1）
x+y=3650
1.05x+1.1y=3930

（2）
2x(x-3)=x二乗-8

数学が苦手なので、この2問で苦戦しています。
よろしくお願いします。
No.24293 - 2014/02/10(Mon) 15:22:32
☆ Re: はじめまして / ヨッシー
(1)
　x+y=3650　　　・・・(i)
　1.05x+1.1y=3930　・・・(ii)
(ii)−(i)
　0.05x＋0.1y＝280
20倍して
　x＋2y＝5600　・・・(iii)
(i) と (iii) の連立だと思って解いてみましょう。

(2)
展開して
　2x^2−6x＝x^2−8
移項して
　x^2−6x＋8＝0
ここまで来ると、普通の二次方程式です。
No.24294 - 2014/02/10(Mon) 18:45:48
☆ Re: はじめまして / サチヨ
ありがとうございました。
頑張ってみます。
No.24295 - 2014/02/10(Mon) 19:30:45
★ (No Subject) / 空間を制したい人
一辺の長さが１の立方体を対角線（長さ√3）の周りにまわしたときの立方体の体積を求める問題で、例えば底面をOABC,上面をDEFHとすると対角線OF上にP（OP=ｔ）をとり、OPに垂直な平面で立方体を切ったときの断面積をまわすことを考えます。ここで断面が正三角形でないとき、断面は正六角形になりますが、その正六角形を延長して正三角形を作るとき（正三角形の3つの頂点はそれぞれｘ、ｙ、ｚ軸にある）正六角形の外部に出来る３つの三角形がすべて正三角形になるのはなぜですか？

よろしくおねがいします
No.24286 - 2014/02/09(Sun) 23:14:50
☆ Re: / ヨッシー
「立方体の体積」ではなくて「立体の体積」ですね。
また、「断面は正六角形」になりません。「内角がすべて120°の六角形」です。
内角が120°なので、外に出来る三角形は内角がすべて60°になります。

No.24287 - 2014/02/09(Sun) 23:26:36
☆ Re: / 空間を制したい人
ありがとうございます、内角がすべて120°というのはどうやって分かったのか教えてください。
No.24289 - 2014/02/10(Mon) 01:58:45
☆ Re: / らすかる
上の方を切ったら正三角形になり、切る場所を下に移動するにつれて
正三角形が大きくなりますよね。
そして正三角形でなくなってからも、今までの正三角形と
平行な三辺が短くなりながら広がっていきます。
逆に下から切っていくとちょうど逆向き（60°回転とも言える）の
正三角形になり、切る場所を上に移動するにつれて正三角形が
大きくなって、同様に正三角形でなくなってからも
それまでの正三角形と平行な三辺が短くなりながら広がっていきます。
紙に二つの正三角形△と▽（向きは変えずに少し違う大きさにする）を
重ねて描くと、中に出来る六角形は正三角形の大きさにかかわらず
内角がすべて120°になりますね。
No.24290 - 2014/02/10(Mon) 03:05:28
☆ Re: / ヨッシー
こちらの解答にいくつか図があるので、参考にしてください。
No.24291 - 2014/02/10(Mon) 06:21:37
☆ Re: / 空間を制したい人
ありがとうございます。後一歩というところまで来ています。

図の対称性を考えて、三角形または六角形において、点Ｐから、切り口の各頂点への距離は、すべて等しいというのがいまいちぴんときません。

六角形の頂点を時計回りにQRSTUVとおくと（図イ）、PR=PSとPQ=PT、PU=PVはわかるのですがそれらがすべて同じってのがイメージできません。

三角形のほうも時計回りにQZXとおくとPQ=PXはイメージできるのですがそれがQZと同じになるのがイメージできません

よろしくおねがいします
No.24300 - 2014/02/10(Mon) 23:56:37
☆ Re: / ヨッシー
この図はご覧になったのでしょうか？

別の問題の図ですので、寸法は気にしないでください。
No.24303 - 2014/02/11(Tue) 06:26:34
☆ Re: / らすかる
上の（24287の）立方体が対角線を中心として回転している図を見て下さい。
切断面は回転軸と垂直つまりこのページ上では水平な線ですよね。
立方体は対称形ですから、120°回転するごとに元の立方体と一致する
というのは大丈夫でしょうか？
回転軸に垂直な面で切断するわけですから、当然切断面の六角形も
120°回転したら元の六角形に一致します。
よって、対称性によっていろいろなところが等しくなるということです。
No.24304 - 2014/02/11(Tue) 06:34:41
☆ Re: / 空間を制したい人
ヨッシー様
その図は見ましたが中央部を軸方向に１０等分が分かりませんでした。

らすかるさま
120°回転で一致するのは分かりません

よろしくおねがいします
No.24326 - 2014/02/11(Tue) 22:11:55
☆ Re: / ヨッシー

図の矢印で示した部分を10等分したときの、断面を重ねた、
というだけです。
何等分するかは別に何等分でも良いのです。


図は、上が軸方向から見た図、下が軸に垂直な方向から見た図です。
120°回すごとに画像を止めてますが、ぴったり同じ図形になることが
わかるでしょう。
No.24328 - 2014/02/12(Wed) 00:27:30
☆ Re: / 空間を制したい人
回答ありがとうございます。

最初の図は納得しましたが、二つ目の図が９０度回転に見えてしかたないです。。あと六角形の一辺の長さが違うなら回転してもぴったり重ならないのでは、という疑問があります。

よろしくおねがいします
No.24336 - 2014/02/12(Wed) 20:39:07
☆ Re: / ヨッシー
これでどうですか？

No.24338 - 2014/02/12(Wed) 22:50:04
☆ Re: / 空間を制したい人
回答ありがとうございます。

前者の立体について：なるほど３辺ずつが等しい六角形だったのですね。１２０度回転して重なることは分かりましたが、だからといってなぜ全ての内角が１２０度になるのですか？

後者の立体について：まだ良く分かりません。どこに着目すれば１２０度回転という根拠がつかめるのでしょうか。。

よろしくおねがいします
No.24359 - 2014/02/13(Thu) 19:50:13
☆ Re: / ヨッシー

この図の矢印の上端に当たる面で切った断面と、矢印の下端に
当たる面で切った断面は、いずれも１辺が√2の正三角形で
互いに60°傾いています。
そして、その間のいくつかの断面で切った断面を、断面に垂直な
方向から見た図が、

これです。

上端と下端の正三角形以外は六角形ですが、それらの辺は
上端の正三角形の辺または下端の正三角形の辺と平行です。
（平行な２つの平面が、１つの平面と交わるとき、２つの交線は
平行であるから）
よって、６つの角はすべて120°です。

前者、後者とありますが、どれが前者でどれが後者でしょうか？
ちなみに、↓は、同じ立体を、上からと横からと見たものなので、
同じものです。

No.24362 - 2014/02/13(Thu) 20:21:38
★ みんなすごいなあ・・・ / 潤一郎
みんなすごい質問で・・・。

高校に行ったら自分はこんなの解けるようになるのかなって
今、自信喪失です。

数学を１からやり直したい。何から始めたらいいですか？
学校の定期テストは中学２年間４で中学３年の２学期で
ようやく５をもらいました。

他の教科はオール５です。でも数学の５は本物では
ないと自分で落ち込んでいます。

どうしたらいいかなあ？すみません。変な質問で。
行きたい高校は数学が成績別でクラス分けらしく
大学に影響するらしいです。
嫌いではないのですが結果に納得してません。
数学特にヨッシー先生のサイトは兄妹みんな
大好きで兄も妹も得意みたいですが
みんな一人で頑張ってきたと親に言われます。
僕もこちらでずっと助けてもらっています。

誰かこんな僕を救ってください。
答がないと不安な問題集を解くという繰り返しです。
よろしくお願いします。
No.24280 - 2014/02/09(Sun) 10:06:16
☆ Re: みんなすごいなあ・・・ / ヨッシー
「１から」なんて言うのは、つきつめたら　１＋１＝２ から
とか、１，２，３と数えることからとかになってしまうのですが、
（それほど数学は積み重ねの学問なのです）
ただ、今解けない問題があるとすると、小学１年から今までの
間のどこかにその発端(100%が99%になる瞬間)があるわけです。
その目安としては、解く方針を決めたら、鉛筆を止めずに最後の答えまでたどり着けるかどうかです。
これが出来ないところは、今一歩訓練が必要なところです。

また、中学にもなれば、公式も色々出てきますが、
「公式は覚えるものではなく作るもの」と心得ることです。
二次方程式の解の公式とか、面積の公式とか、基本からたどって、
自分で作れるようにしておくのが良いでしょう。
（その過程は教科書にあるはずです）
公式を使えば時間の短縮にはなりますが、理解が深くなったわけではありません。

頑張ってください。
No.24281 - 2014/02/09(Sun) 11:51:20
☆ Re: みんなすごいなあ・・・ / 潤一郎
ヨッシー先生へ

わざわざお返事ありがとうございました。
すごくジーンとして涙がでそうになりました。

とてもよくわかります。そうやって数学に取り組んで
行きたいと思います。

そうですよね。三角形の面積の出し方も台形の面積の出し方
も理屈が分っていれば公式を覚えなくても小学生の頃は教えてもらって分っていました。そういえばどこからか公式を作る事を忘れている事に気がつきました。

僕は暇があればこちらの皆さんの問題をずっと見ています。
パソコンを開いてこちらのヨッシー先生の数学サイトを
見るのが趣味と言っていいくらい大好きです。
もう中毒ぐらいです。

その分あまりにも高校生の方々の問題の難しさに
毎日何回もわけも分らずただただびっくりしています。

原点に戻って「公式は作るもの」を勉強してみます。

「頑張ってください」のヨッシー先生のことばを一生
忘れないと思います。いつも思い出しながらこれからも
頑張って行きたいと決心しました。

相談に乗ってくださってありがとうございました。
本当に心から感謝しています。前向きになれそうです。
今日は嬉しい日になりました。

本当に本当にありがとうございました。
No.24283 - 2014/02/09(Sun) 12:22:08
★ これがわかりません / まり
こんにちは。

[問] fは[0,1]で単調関数でf(x):=Σ_{n=1}^∞1/2^n I(x-n/(n+1))
(但し,I(x):=0(x<0の時),1(x≧0の時)).

この時,∫_0^1 f(x)dxを計算せよ。解答は無限級数の形で表せ。

の問題で苦慮してます。
どうやってといたらいいのでしょうか?
No.24277 - 2014/02/09(Sun) 05:35:25
☆ Re: これがわかりません / ＩＴ
区間に分けて定義からｆの値を調べます
i/(i+1)≦x＜(i+1)/(i+2) のとき
　f(x)=Σ_{n=1..∞}{(1/2^n)I(x-n/(n+1))}
=Σ_{n=1..i}{(1/2^n)I(x-n/(n+1))}+Σ_{n=i+1..∞}{(1/2^n)I(x-n/(n+1))}
=Σ_{n=1..i}{(1/2^n)1}+Σ_{n=i+1..∞}{(1/2^n)0}
=1-1/2^i になるので

∫_0^1 f(x)dx＝Σ[i=1..∞]∫_{i/(i+1)^(i+1)/(i+2)}(1-1/2^i)dx
＝Σ[i=1..∞](1-1/2^i){(i+1)/(i+2)-i/(i+1)}
＝・・・
と言うかんじになると思います。（細かい点は確認してください）

分かりにくかったら、具体的に0≦x＜1/2,1/2≦x＜2/3,2/3≦x＜3/4でのf(x)から考えてみましょう。
No.24279 - 2014/02/09(Sun) 07:25:26
☆ Re: これがわかりません / まり
有難うございます。

> f(x)=Σ_{n=1..∞}{(1/2^n)I(x-n/(n+1))}
:
> =1-1/2^iになるので

ここがいまいちわかりません。
f(x)は階段状の関数になるので,
f(x)=1/2+2/2^2+3/2^3+… =Σ_{n=1}^∞n/2^nになるのではないのでしょうか?
No.24301 - 2014/02/11(Tue) 02:21:26
☆ Re: これがわかりません / ＩＴ
>f(x)=1/2+2/2^2+3/2^3+…
の分子の1,2,3 はどこから来ましたか？

もう少し詳しく式変形してみます。（案外私のほうが勘違いしているかも）

i/(i+1)≦x＜(i+1)/(i+2) のとき

f(x)
=Σ_{n=1..∞}(1/2^n)I(x-n/(n+1))

　２つの部分に分けて
=Σ_{n=1..i}(1/2^n)I(x-n/(n+1))　+　Σ_{n=i+1..∞}(1/2^n)I(x-n/(n+1))
　前のΣ中ではn/(n+1)≦i/(i+1)≦x　なので、x-n/(n+1)≧0、よって定義より　I(x-n/(n+1))=1。
　後のΣ中ではn/(n+1)≧(i+1)/(i+2)＞x　なので、x-n/(n+1)＜0、よって定義より　I(x-n/(n+1))=0。

=Σ_{n=1..i}(1/2^n)×1　+　Σ_{n=i+1..∞}(1/2^n)×0
=Σ_{n=1..i}(1/2^n)

　これは初項1/2,公比1/2,項数iの等比級数なので
=1-1/2^i

したがって、f(x)は、各区間i/(i+1)≦x＜(i+1)/(i+2)では、一定値1-1/2^iを取る無数に段がある階段状の関数となります。
１ステップの幅も高さもしだいに小さくなります。
No.24302 - 2014/02/11(Tue) 03:12:55
☆ Re: これがわかりません / まり
私の勘違いでした。
仰る通りになりました。

∫_0^1f(x)dx=Σ_{n=1}^∞(1-1/2^n)((n+1)/(n+2)-n/(n+1))
でいいのですね。
No.24346 - 2014/02/13(Thu) 04:27:16
★ 中３/三平方の問題です!!! / まどか
１辺が２?pの正五角形ＡＢＣＤＥがあります。
対角線ＡＣ，ＢＥの交点をＦとするとき、
次の問いに答えなさい。


（１）対角線ＡＣの長さを求めなさい。

（２）対角線ＡＣ,ＢＥに加えＢＤ,ＣＥ,ＤＡ引き、それぞれの交点をＦ,Ｇ,Ｈ,Ｉ,Ｊとします。
　　　五角形ＦＧＨＩＪの面積は正五角形ＡＢＣＤＥの面積の何倍ですか。

答えは（１）(1+√5)cm
　　　（２）7-3√5/2倍

となっております。

解説をどうぞよろしくお願いします！
　
No.24270 - 2014/02/08(Sat) 23:04:10
☆ Re: 中３/三平方の問題です!!! / ヨッシー
(1)

図において、△ＡＣＥと△ＡＥＦは相似で、３つの角は
36°、72°、72°です。
ＡＣ＝ｘとすると、ＡＦ：ＡＥ＝ＡＥ：ＡＣ より
　(ｘ−２)：２＝２：ｘ
よって、
　ｘ（ｘ−２）＝４
　ｘ^2−２ｘ−４＝０
これを解いて
　ｘ＝1±√5
ｘ＞０　より　ｘ＝１＋√５　・・・答え
(2)
小さい正五角形の１辺は
　ＡＣ−２ＡＦ＝(１＋√５)−２(１＋√５−２)＝３−√５よって、五角形ＡＢＣＤＥと五角形ＦＧＨＩＪ の相似比は
　２：３−√５
であり、面積比はその２乗で、
　４：(３−√５)^2＝４：(14−6√5)
よって、ＦＧＨＩＪはＡＢＣＤＥの
　(14−6√5)/4＝(7−3√5)/2　(倍)　・・・答え
No.24278 - 2014/02/09(Sun) 07:03:52
☆ ありがとうございました!!! / まどか

おかげですっきりと理解することができました！

引き続きがんばります!!!(｀・ω・´)
No.24282 - 2014/02/09(Sun) 12:10:27
★ (No Subject) / 右目
x,y平面において
ax^n+by^n=c(a,b,c,nは0でない実数）・・?@
の(s,t)における接線の方程式を求めよ。
ただし、ｓは?@の定義域内にある接点のx座標、ｔは?@の値域にある接点のy座標とする。

よろしくおねがいします
No.24269 - 2014/02/08(Sat) 22:49:21
☆ Re: / らすかる
ax^n+by^n=c
xで微分
anx^(n-1)+bny^(n-1)・y'=0
y'=-ax^(n-1)/by^(n-1)
よって接線の方程式は
y={-as^(n-1)/bt^(n-1)}(x-s)+t
as^(n-1)(x-s)+bt^(n-1)(y-t)=0
as^(n-1)x+bt^(n-1)y=as^n+bt^n
∴as^(n-1)x+bt^(n-1)y=c
No.24276 - 2014/02/09(Sun) 03:55:41
☆ Re: / 右目
ということはやっぱり6x^5+4y^(1/3)=2の（ｘ、ｙ）＝（ｓ、ｔにおける接線は6ｓx^4+4ty^(-2/3)=2
という風に瞬時に答えが出る・・は正しいんですよね
No.24285 - 2014/02/09(Sun) 23:06:14
☆ Re: / らすかる
6x^5+4y^(1/3)=2 は ax^n+by^n=c の形ではありませんので未検証です。
上と同様に算出できますから、計算してみてはいかがでしょうか。
No.24288 - 2014/02/09(Sun) 23:57:18
☆ Re: / angel
> という風に瞬時に答えが出る・・は正しいんですよね

それは正しくありません。流石に飛躍があります。
らすかるさんのNo.24276の説明で、最後の3行を見て、どのような計算をしているか、その根拠は何かを良く考えてみましょう。
あ…、後y'が^(n-1)を除いてnを含まない形になっているところにも注意ですね。
No.24292 - 2014/02/10(Mon) 07:21:58
★ 確率 / O脚
中学３年です。
袋の中に6枚のカードが入っていて、カードにはそれぞれ数が1つずつ書かれている。それらの数は、次の条件を満たしている。
?@6つの数の中に、無理数がある
?A6つの数の中に、同じ数がある
?B6つの数の中に、2以上の数がある
いま、袋から1枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を確認してからもとにもどすという操作を2回繰り返し、取り出された２つの数の積を考える。作られる全ての積とその値となる確率についてまとめたものが下の表であるとき、次の問いに答えなさい。
(1)aの値を求めなさい。
(2)b,c,dの値を確定することにより、6枚のカードに書かれた数の和を求めなさい。(和のみ解答)

答えは(1)a=11/36 (2)7√2/2です。
問題長くてすいません…
よろしくお願いします。
No.24266 - 2014/02/08(Sat) 21:41:39
☆ Re: 確率 / らすかる
a,b以外の合計は1/2だからa+b=1/2
もし0のカードが2枚以上あるとすると、
0になる確率は1-(2/3)^2=5/9以上となって矛盾するので、
0は1枚だけ。よって積が0となる確率は 1-(5/6)^2=11/36

bは1/2-11/36=7/36と決まる。

異なる数の積でしか出ない数は、確率が(偶数)/36になるから
確率が(奇数)/36であるものはその数の平方根が（正、負どちらか一つだけ）存在する。
（同じものが3枚または5枚でも(奇数)/36になるが、確率が大きすぎて除外される。）
よって±√8=±2√2, ±√2, ±√c は1枚ずつある。
残りの2枚は条件から同じ数であり、2回ともそれを引いた時は
c,2,8以外の正の数になるから、±√dまたは±√4=±2のどれかが2枚ある。
しかし±2があるとすると(±2√2)×(±2)=±4√2となって表と合わないので、
±2はない。従って±√dのどちらかが2枚ある。
c＜|±√c||±√d|＜dだから、|±√c||±√d|=|-1|。
しかしそうすると-1になる確率が4/36=1/9となって矛盾する。
よって条件を満たすカードの組は存在しない。

となってしまいましたが、どこがおかしいのかわかりません。
まさか確率の表が途中で切れてるなんてことはないですよね？
No.24271 - 2014/02/09(Sun) 00:03:53
☆ Re: 確率 / O脚
切れていません…
解説には6枚のカードは-√2、0、1/√2、√2、√2、2√2
となる　　と書いてありますが読んでもわかりません。

b=7/36 c=1/2 d=1と書いてあります。
No.24272 - 2014/02/09(Sun) 00:27:02
☆ Re: 確率 / ＩＴ
積の最大は8=(±2√2)^2 なので2√2か-2√2の少なくともどちらか一方はあるが
2以上の数があり積の最小は-4なので,-2√2はない。
よって、2√2があり,これが最大値：場合の数１より、2√2は１枚

積の最小は-4＝2√2×(-√2)なので(-√2)があり,これが最小値：場合の数２より、-√2は１枚
　積＝-4となるのはこれですべて

積=8の次が4＝2√2×√2なので√2があり,これが２番目：場合の数４より、√2は２枚

積=-2について-√2は１枚、√2は２枚で場合の数は４なので
　積=-2となるのは(-√2)(√2)ですべて。

-√2より大きい負数xがあると積x2√2,x√2が-4,-2以外の負の積で２種類あることになるが残りの負の積は-1だけなので,負の数は-√2だけ
よって積=-1=(-√2)(1/√2) の(1/√2)があり：場合の数２より,1/√2は１枚

以上からc=(1/√2)^2=1/2,d=(1/√2)(√2)=1。

残り１枚が正の数だとすると,ありえるのは√1=1,√4=2だが積に-√2,-2√2がないので不適、
よって残りの１枚は０。
No.24273 - 2014/02/09(Sun) 01:07:46
☆ Re: 確率 / ＿
積が8となる確率が1/36だから、±√8=±2√2はどちらか1つが1枚だけある。
もしそれが−2√2だとすると、残りのカードは−2√2との積で表の通りの数を作る

-√2 , -1/√2 , -d/2√2 , -c/2√2 , 0 , 1/2√2 , 1/√2 , -2/√2

のいずれかだが、いずれにしても0＜c＜d＜2なる範囲で2以上のものはないので不適。
2√2だとこれ自身が2以上である。また、8以上の数が表にないことから、2√2がカードの中で最大の数だと分かる。

もし0が2枚以上あるとすると、
積が0になる確率が20/36以上となって(確率の和)=1に明らかに矛盾する。
よって0は1枚で、したがってa=11/36これよりb=7/36

これを用いて確率を改めて書き直すと、順に

2/36 , 4/36 , 2/36 , 11/36 , 1/36 , 4/36 , 7/36 , 4/36 , 1/36

である。すなわち、積が負になる場合は全部で2+4+2=8通り。
0以外の5枚のカード(うち1枚は2√2)について、積が負になる場合が8通りとなるのは

(1)1枚が正、4枚が負
(2)1枚が負、4枚が正
のいずれか。残りのカードに書かれている数字をA,B,C,Dとする(A≦B≦C≦D＜2√2)

(1)の場合。A≦B≦C≦D＜0＜2√2で、すなわち
A・2√2≦B・2√2≦C・2√2≦D・2√2で、これらは-4,-2,-1のいずれかだから、

A・2√2(=-4)＜B・2√2＝C・2√2(=-2)＜D・2√2(=-1)であり
(それらの出る場合がそれぞれ2,4,2通りであることからわかる)
したがってA=-2/√2 , B=C=-1/√2 , D=-1/2√2だが、これは表の確率と矛盾する。

(2)の場合。A＜0＜B≦C≦D＜2√2で、すなわち
A・2√2＜AD≦AC≦AB＜0で、やはり同様に、
A・2√2(=-4)＜AD=AC(=-2)＜AB(=-1)＜0であり、
したがってA=-√2,B=1/√2,C=D=√2

カードが全部分かったのであとは計算で…
No.24274 - 2014/02/09(Sun) 01:46:45
☆ Re: 確率 / らすかる
なるほど、答えを見て私の間違いがわかりました。
> 確率が(奇数)/36であるものはその数の平方根が（正、負どちらか一つだけ）存在する。
> （同じものが3枚または5枚でも(奇数)/36になるが、確率が大きすぎて除外される。）
これが間違いでした。
-√2が1枚と√2が2枚だったというわけですね。
No.24275 - 2014/02/09(Sun) 01:48:31
★ 数列 / 枢木かんな
(2)をお願いします！！
No.24253 - 2014/02/08(Sat) 16:49:06
☆ Re: 数列 / X
ヒントが書かれているようですがそれを見ても
解けないと見て、ヒントに基づいたアシストを。

b[n]=a[n]/n
と置くので
b[n-1]=a[n-1]/(n-1)
となります。
従って、問題の漸化式は{b[n]}についての
階差数列の漸化式になります。
又
1/{n(n+1)}=1/n-1/(n+1)
と部分分数分解ができます。
No.24255 - 2014/02/08(Sat) 17:23:35
☆ Re: 数列 / ヨッシー
(2)
b[n]＝a[n]/n とおくと、b[1]＝2
a[n]＝b[n]ｎ、a[n+1]＝b[n+1](n+1) を代入して、
　b[n+1]n(n+1)＝b[n]n(n+1)＋1
　b[n+1]−b[n]＝1/n(n+1)
これは、階差数列なので、
　b[n]＝b[1]＋Σ[k=1〜n-1]1/n(n+1)
　　＝2＋1/1・2＋1/2・3＋・・・＋1/(n-1)n
1/1・2＋1/2・3＋・・・＋1/(n-1)n
＝(1/1-1/2)＋(1/2-1/3)＋(1/3-1/4)＋・・・{1/(n-1)-1/n}
＝1-1/n
よって、b[n]＝3-1/n　となり　a[n]＝nb[n]＝3n-1
No.24256 - 2014/02/08(Sat) 17:28:59
★ 整式 / 菊池　悠斗
昨晩に続き本日も申し訳ないのですが、こちらの3問が学校で解説されず終わってしまったので、どなたか解いていただけるとありがたいです。
No.24251 - 2014/02/08(Sat) 15:46:34
☆ Re: 整式 / X
11
P(x)を(x-1)^2、つまり
x^2-2x+1
で実際に割り算してみましょう。

12
まず問題の三次方程式にx=1を代入すると
bの値が求められます。
それを元の三次方程式に代入して左辺を
(x-1)・(二次式)
の形に因数分解します。
この二次式をg(x)としたときの二次方程式
g(x)=0
が実数解を持たないという条件から
解の判別式についてaの不等式を立てましょう。

13
(x-α)(x-β)(x-γ)
を展開して問題の等式の左辺と係数を比較しましょう。
No.24252 - 2014/02/08(Sat) 16:39:16
☆ Re: 整式 / 菊地　悠人
御丁寧な解説していただき有難うございます！
No.24254 - 2014/02/08(Sat) 16:51:07
★ 積分 / さやかー
連続ですみませんが

こちらの328もおねがいしますm(__)m
No.24245 - 2014/02/08(Sat) 12:27:19
☆ Re: 積分 / X
(1)
f'(x)を求めてf(x)の増減表を書きましょう。

(2)
S(t)=∫[t-1→t]f(x)dx=…

(3)
(2)の結果を使い、S'(t)を求めてS(t)のtに関する
増減表を書きましょう。
No.24247 - 2014/02/08(Sat) 13:11:48
★ 積分 / さやかー
285をおねがいしますm(__)m
No.24244 - 2014/02/08(Sat) 12:17:54
☆ Re: 積分 / X
(1)
横軸にt、縦軸にyを取った曲線
y=t^m (A)
y=(t+1)^m (B)
(0≦t≦1)
と
A[k](k-1,0)
B[k](k,0)
C[k](k,k^m)
D[k](k-1,k^m)
(k=1,…,n)
なる４点でできる長方形A[k]B[k]C[k]D[k]
を考えます。
このとき、上記の長方形の面積のkに関する総和は
Σ[k=1〜n]k^m (C)
(C)と
(A)、t軸、直線t=nとで囲まれた領域の面積
(B)、t軸、直線t=nとで囲まれた領域の面積
との比較により問題の不等式は成立します。
(必ず図を描きましょう)

(2)
(1)の結果より
(n^(m+1))/(m+1)≦Σ[k=1〜n]k^m≦((n+1)^(m+1)-1)/(m+1) (D)
一方条件から
f(k)=k^r+Σ[l=1〜r-1]a[l]k^l (E)
(a[l]は定数)
と置くことができるので
∴Σ[k=1〜n]f(k)=Σ[k=1〜n]k^r+Σ[l=1〜r-1]a[l](Σ[k=1〜n]k^l) (F)
(E)(F)により
{n^(r+1)}/(r+1)+Σ[l=1〜r-1]a[l]{n^(l+1)}/(l+1)≦Σ[k=1〜n]f(k)
≦{(n+1)^(r+1)-1}/(r+1)+Σ[l=1〜r-1]a[l]{(n+1)^(l+1)-1}/(l+1) (G)
∴
1/(r+1)+Σ[l=1〜r-1]a[l]{n^(l-r)}/(l+1)≦{1/n^(r+1)}Σ[k=1〜n]f(k)
≦{(1+1/n)^(r+1)-1/n^(r+1)}/(r+1)+Σ[l=1〜r-1]a[l]{(1+1/n)^(l+1)-1/n^(r+1)}/(l+1) (H)
(H)においてn→∞の極限を考えると、はさみうちの原理により問題の等式は成立します。

(3)
(1/n)Σ[k=1〜n]f(k)=(1/2)f(n) (I)
とします。
(2)の結果に(I)を代入すると
lim[n→∞](1/n^r)(1/2)f(n)=1/(r+1)
これに(E)を代入して左辺を整理すると
1/2=1/(r+1)
∴r=1
よって
f(x)=x+C (J)
(Cは定数)
と置くことができます。
(J)を(I)に代入すると
(1/n){(1/2)n(n+1)+Cn}=(1/2)(n+C)
整理して
C=-1
よって
f(x)=x-1
となります。
No.24248 - 2014/02/08(Sat) 14:03:27
☆ Re: 積分 / さやかー
すみません、(1)があまり理解できませんでした
グラフがイメージできないので、もう少し詳しく解説していただけるとたすかります。
No.24259 - 2014/02/08(Sat) 19:16:53
☆ Re: 積分 / ヨッシー

図の黄色い長方形がΣk^m、青が(t+1)^m の積分、赤がt^m の積分です。
No.24260 - 2014/02/08(Sat) 20:01:00
★ (No Subject) / ヒキニート
平面上で点P(x,y)が領域|x+y|+|x-y|≦2を動くとき、以下の問いに答えよ。
(1)点Pの存在する範囲を求めよ。
(2)点Q(x+y,x^2+y^2)の存在する範囲を図示せよ。
No.24237 - 2014/02/08(Sat) 07:34:16
☆ Re: / ヨッシー
(1)

図のように、２直線x+y=0、x-y=0 によって座標平面を４つの
エリアに分けます。
（１）のエリアは ｘ＋ｙ≧０　かつ　ｘ−ｙ≦０ なので
　|x+y|+|x-y|＝x+y-x+y＝2y≦2　→　ｙ≦2
（２）のエリアは ｘ＋ｙ≦０　かつ　ｘ−ｙ≦０ なので
　|x+y|+|x-y|＝-x-y-x+y＝-2x≦2　→　ｘ≧-2
（３）のエリアは ｘ＋ｙ≦０　かつ　ｘ−ｙ≧０ なので
　|x+y|+|x-y|＝-x-y+x-y＝-2y≦2　→　ｙ≧-2
（４）のエリアは ｘ＋ｙ≧０　かつ　ｘ−ｙ≧０ なので
　|x+y|+|x-y|＝x+y+x-y＝2x≦2　→　ｘ≦2
これらを踏まえて、点Ｐの存在範囲を図示すると以下のようになります。


(2)
Ｑ(X,Y) とします。
ｙを -2≦ｙ≦2 のある値に固定して、ｘを-2 から 2 まで動かすと考えると
　X=x+y, Y=x^2+y^2　より　Y＝(X-y)^2＋y^2　(y-2≦Ｘ≦y+2、-2≦y≦2)
頂点が y=x^2 (-2≦x≦2) 上にあり、その両側に±２の範囲で
放物線を描いたような場所に点Ｑは存在します。
図示すると以下のようになります。

No.24239 - 2014/02/08(Sat) 08:50:00
★ (No Subject) / 右目
√ｘ＋√ｙ＝１を、ｙ＝ｘをY軸、ｙ＝ｘに垂直にX軸をとって一次変換するとどういう曲線の方程式（X,Yを使って）なりますか？やり方も含めて教えてください。

よろしくおねがいします
No.24230 - 2014/02/08(Sat) 01:13:39
☆ Re: / らすかる
√x+√y=1 の根号を外して整理すると (x-y)^2-2(x+y)+1=0 になりますね。
x,yを45°反時計回りに回転した座標をX,Yとすると
X=(x-y)/√2, Y=(x+y)/√2 ですから、
x-y=(√2)X, x+y=(√2)Y を代入して
2X^2-(2√2)Y+1=0
つまり Y=(2X^2+1)/(2√2)
という放物線になります。
No.24233 - 2014/02/08(Sat) 03:52:56
☆ Re: / ヨッシー
詳しくいうと、
　Y＝(2X^2＋1)/(2√2)
この放物線の　-1/√2≦Ｘ≦1/√2　の範囲となります。
No.24236 - 2014/02/08(Sat) 07:23:43
☆ Re: / 右目
ありがとうございます、しかし点を移動させたいのではなく
（ｘｙ平面の上から）XY軸を書き込みたいのですが。ｘｙ平面の上にXY軸を導入したい、と言ってもいいかもしれません
No.24262 - 2014/02/08(Sat) 21:32:19
☆ Re: / らすかる
同じことですよ。

y=xをY軸、y=-xをX軸にするということは、
xy平面上のグラフを45°反時計回りに回転したグラフをXY平面上に描くということですから、
XY軸をxy軸と一致させた場合は
計算結果のY=(2X^2+1)/(2√2)が
グラフを回転させたy=(2x^2+1)/(2√2)と一致することになり、
XY軸をy=xとy=-xに一致させた場合は
計算結果のY=(2X^2+1)/(2√2)が
グラフ回転前の√x+√y=1と一致するということです。
No.24265 - 2014/02/08(Sat) 21:39:50
☆ Re: / 右目
よくわかりました、ありがとうございました
No.24268 - 2014/02/08(Sat) 22:44:05
★ (No Subject) / 右目
x^n+y^n=１・・?@のｘ＝s,y=tにおける接線は
sx^(n-1)+ty^(n-1)=1とあったのですが、これは
?@の右辺が１以外であったりｘ＾ｎやｙ＾ｎに２とか３とかの余分な係数がついていても使えるやり方ですか？（ここでいうやり方とは楕円や双曲線の接点の公式のように一発でも止まるのかということです）

よろしくおねがいします
No.24229 - 2014/02/08(Sat) 01:06:45
☆ Re: / らすかる
例えば
x^n+y^n=a^n の x=s, y=t における接線を考えてみると
x=aX, y=aY とおけば
X^n+Y^n=1 の X=s/a, Y=t/a における接線
となり、上の公式にあてはめると接線は
(s/a)X^(n-1)+(t/a)Y^(n-1)=1
X,Yを元に戻して整理すると
sx^(n-1)+ty^(n-1)=a^n
となりますので、右辺の定数は変わっても大丈夫ということですね。

x^nやy^nの係数が変わった場合も、同様に調べてみればわかると思います。

# しかし「接線」というと普通直線だと思いますが、
# sx^(n-1)+ty^(n-1)=1 のような曲線でも接線と言うのでしょうか。
No.24234 - 2014/02/08(Sat) 04:05:23
☆ 誤植では? / angel
> # しかし「接線」というと普通直線だと思いますが、
> # sx^(n-1)+ty^(n-1)=1 のような曲線でも接線と言うのでしょうか。

接線 s^(n-1)・x + t^(n-1)・y=1 の書き間違えではないでしょうか?
No.24241 - 2014/02/08(Sat) 09:14:40
☆ Re: / 右目
回答ありがとうございます

つまり、例えば6x^5+4y^(1/3)=2の（ｘ、ｙ）＝（ｓ、ｔにおける接線は6ｓx^4+4ty^(-2/3)=2
という風に瞬時に答えが出るということでしょうか
No.24261 - 2014/02/08(Sat) 20:56:22
☆ Re: / らすかる
それ以前にangelさんの指摘に対して回答して欲しいですが、
「余分な係数がついている場合」は検討していませんし、
整数乗でない場合に成り立つかどうかも確認していません。
No.24264 - 2014/02/08(Sat) 21:39:06
☆ Re: / 右目
angelさん、接線は一次関数ですからまさにそのとおりでした。また質問しなおします、ありがとうございました
No.24267 - 2014/02/08(Sat) 22:43:38
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