xy 平面上に0<=y<=sinx (1<=x<=π)で表される図形Dがあり、これを直線y=k(0<=k<=1)に関して折り返し、折り返した部分と元の図形Dの重なった部分の面積が最大となるｋを求めよ。
という問題なのですが、解答が手元になくやり方がさっぱりわかりません
教えていただけると嬉しいです
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No.23753 - 2014/01/06(Mon) 22:56:16
| ☆ Re: / taro | | | すみません
ミスです
最初のところは
xy 平面上に0<=y<=sinx (0<=x<=π)でした
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No.23754 - 2014/01/06(Mon) 22:57:52 |
| ☆ Re: / X | | | 問題の重なりの部分の面積をSとすると
(i)1/2≦k≦1のとき
図を描くことによりSはk=1/2のときに最大になるのは
明らかです。
問題は
(ii)0≦k≦1/2のとき
です。
今、折り目の端点の座標を
(α,k),(π-α,k)
(0≦α≦π/2)
折られたDの境界の一部とx軸との交点を
(β,0),(π-β,0)
(0≦β≦π/2)
とすると
sinα=k (A)
sinβ=2k (B)
(図を描きましょう)
このとき
S=∫[α→π-α]sinxdx-(π-2α)k-
{∫[β→π-β]sinxdx-(π-2β)・2k}
=2cosα-(π-2α)k-{2cosβ-(π-2β)・2k} (C)
ここで(C)から(A)(B)を用いて
α、βを消去できればいいのですが、
(高校数学の範囲では)できそうにありませんので
kで微分してSのkに関する増減を考えてみます。
dS/dkを計算し,(A)(B)を代入すると
dS/dk=-2k(dα/dk)-(π-2α)+2k(dα/dk)
-{-4k(dβ/dk)-2(π-2β)+4k(dβ/dk)}
=2(π-2β)-(π-2α)
=π+2α-4β
=π-2β+2(α-β) (D)
図を描いてみれば
π-2β≧0 (E)
α-β≧0 (F)
であることが分かります(π-2β、α-βが
どこの長さになるか考えてみましょう)ので(D)より
dS/dk＞0
(注：(E)(F)の等号が同時に成立することはありません)
よって(C)はkに関して単調増加であることが分かりますので
(C)はk=1/2のときに最大になります。
ということで求めるkの値は1/2となります。
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No.23755 - 2014/01/06(Mon) 23:46:35 |
| ☆ Re: / angel | | | > ということで求めるkの値は1/2となります。
それは違いそうな気がします。
> =π+2α-4β
ここから π+2α-4β=0 ( sinβ=2sinα ) を考えると、
sinβ=sin(α/2+π/4)
すなわち、4(sinα)^2 = ( sin(α/2+π/4) )^2 です。
ここから、k=sinα=(1+√33)/16 ( 約0.42 ) となりそうです。
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No.23756 - 2014/01/07(Tue) 00:41:50 |
| ☆ Re: / ＩＴ | | | 厳密ではないですが、イメージ的には
ｋが0〜1/2の範囲で?冖大きくなったとき
折り返される面積は(π-2α)?冖減り
ｘ軸より下にはみ出す面積は(π-2β)2?冖減る
差し引き?凾r＝-(π-2α)?冖 + (π-2β)2?冖=(π+2α-4β)?冖 増える。という感じですかね。
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No.23757 - 2014/01/07(Tue) 01:50:50 |
| ☆ Re: / X | | | >>angelさん、ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>taroさんへ
ごめんなさい。
点(α,k)、(β,0)
との位置関係を間違えていました。
点(α,0),(β,0),(π,0)
をそれぞれA,B,Cとすると
dS/dk=2(BC-AB)
従って図を描いて確認するとAngelさんの仰るとおり
dS/dk=0
となる
k=(1+√33)/16
で最大となります。
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No.23758 - 2014/01/07(Tue) 07:36:19 |
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