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★ (No Subject) / バリー
座標平面上の２つの直線ｌ、ｍをそれぞれ
ｌ：ｙ＝１/√３ｘ　ｍ：ｙ＝−１/√３ｘ
とし、ｌ上に点A(√３ｓ、ｓ)を,ｍ上に点B(√３ｔ,−ｔ)をとる
ただしｓ＞０、ｔ＞０とする。さらに,正三角形ABCを頂点Cが直線ABに
関して原点Oと同じ側になるように定める。このとき、以下の問いに答えよ

(?@)点O、A、B、Cが同一円周上にあることを示し,点Cがｙ軸上にあることを証明せよ

(?A)点Cのｙ座標をｓ、ｔの式で表せ

(?B)点D(X,Y)を直線ABに関して点Cと対称な点とする。
このとき,XとYをそれぞれｓ、ｔの式で表せ

(?C)線分ABの長さをｓ、ｔの式で表せ

(?D)点A、Bが線分ABの長さを√３に保ちながら動くとき、点Dの軌跡を求め
その概形を図持せよ

解説解答お願いします
No.24380 - 2014/02/14(Fri) 03:07:52
☆ Re: / ヨッシー
(i)
∠ＡＯＢ＝∠ＡＣＢ＝60°なので、円周角の性質より
４点ＯＡＢＣは同一円上にあります。
また、この円とｙ軸との交点のうち原点以外の点をＥとすると
∠ＡＯＥ＝120°
一方、円に内接する四角形の性質より、∠ＡＯＣ＝120°であるので、
点Ｃと点Ｅは同一点となり、点Ｃはｙ軸上にあります。
(ii)
ＡＢの中点((√3/2)(ｓ＋ｔ), (s-t)/2)を通って、
ＡＢの傾き(s+t)/{(s-t)√3} に垂直な傾き (t-s)√3/(s+t) を持つ直線の式
　ｙ＝{(t-s)√3/(s+t)}{x−(s+t)√3/2}＋(s-t)/2
これが、ＡＢの垂直二等分線であり、これとｙ軸との交点が点Ｃとなります。
ｘ＝０ を代入して
　ｙ＝{(t-s)√3/(s+t)}{−(s+t)√3/2}＋(s-t)/2
　　＝{(s-t)3/2}＋(s-t)/2
　　＝2(s-t)　・・・答え
(iii)
点ＤはＡＢの中点((√3/2)(ｓ＋ｔ), (s-t)/2)に関して点Ｃ(0, 2(s-t))と対称な点なので、
Ｄ(√3(s+t), t-s)
(iv)
ＡＢ^2＝3(s-t)^2＋(s+t)^2＝4s^2＋4t^2−4st より
　ＡＢ＝2√(s^2−st＋t^2)
(v)
2√(s^2−st＋t^2)＝√3 より s^2−st＋t^2＝3/4
この条件下で、Ｄ(√3(s+t), t-s) の軌跡を求めます。
x=√3(s+t), y=t-s とおくと、x^2＝3s^2＋3t^2＋6st, y^2＝s^2+t^2-2st
よって、
　s^2−st＋t^2＝(1/12)x^2＋(3/4)y^2＝3/4
となり、Ｄは楕円
　x^2/9＋y^2＝1
上を動きます。ただし、3/2＜ｘ≦3

No.24384 - 2014/02/14(Fri) 12:13:01
★ 格子点の数 / タムさん
y=a/xでxがpからqまでのx＞0,y＞0の範囲の格子点の数（x軸、y軸及び関数上も含む）は、どのようにしてあらわすことができますか。よろしくお願いいたします。
できれば、途中式も書いていただくとありがたいです。
No.24370 - 2014/02/13(Thu) 23:16:27
☆ Re: 格子点の数 / らすかる
問題がおかしいです。問題は正確に書いて下さい。
「y=a/xでxがpからqまでのx＞0,y＞0の範囲の格子点の数」と言えば
「グラフy=a/xがp≦x≦qの範囲で通る格子点の数」という意味になりますから
「関数上も含む」のは当たり前、というより「関数上しか含みません。」
「x軸、y軸及び」は余計変です。
No.24373 - 2014/02/14(Fri) 00:33:41
★ 傍心 / 防振
?僊BCにおいて、Bの延長上にある傍心をKとするとベクトルOK＝(a→OA-b→OB+c→OC)/(a-b+c)とあったのですが、このOはどんな点でも成り立つOですか？

また、「傍心Kを重心座標で表すと」ベクトルOK＝(a→OA-b→OB+c→OC)/(a-b+c)のような言い方をしても大丈夫でしょうか?

よろしくお願いいたします
No.24365 - 2014/02/13(Thu) 20:44:36
☆ Re: 傍心 / 防振
追記)A、B,Cの対辺の長さをa,b,cとします
No.24366 - 2014/02/13(Thu) 20:45:53
☆ Re: 傍心 / angel
> このOはどんな点でも成り立つOですか？
はい。
※大抵のベクトル式は、どんな点を基準にしても成り立つようにしてあるものでして…

例えば、ある点Oを基準にして、このKに対する関係が成立したとして、今度は別の点O'を基準にすることを考えてみますと、
　→OA=→OO'+→O'A, →OB=→OO'+→O'B, →OC=→OO'+→O'C, →OK=→OO'+→O'K
であることから
　→O'K
　= →OK - →OO'
　= 1/(a-b+c)・(a→OA-b→OB+c→OC) - →OO'
　= 1/(a-b+c)・(a(→OO'+→O'A)-b(→OO'+→O'B)+c(→OO'+→O'C) - →OO'
　= 1/(a-b+c)・(a→O'A-b→O'B+c→O'C) + →OO' - →OO'
　= 1/(a-b+c)・(a→O'A-b→O'B+c→O'C)
と、OとO'が変わっただけの式になる…ということは、基準の点がどこであっても同じ、ということです。

> また、「傍心Kを重心座標で表すと」
「重心座標」というのは、Oが△ABCの重心となるように座標を設定しているということでしょうか。
それでも状況は変わらず、件の式は成立しますね。
No.24371 - 2014/02/14(Fri) 00:17:27
★ ガウス記号 / ガウス記号
[ ]をガウス記号と言うそうです

[a]はaの整数部分とあったのですが、この覚え方は正しいですか？例えばaが負とかだと問題ありだったりしますでしょうか？

よろしくおねがいします
No.24360 - 2014/02/13(Thu) 20:01:02
☆ Re: ガウス記号 / ヨッシー
ａが正の数のときは、その理解で良いですが、一般には、
「ａを超えない最大の整数」ですね。

たとえば、[-2.3]＝-3 です。
No.24361 - 2014/02/13(Thu) 20:12:04
☆ Re: ガウス記号 / ガウス記号
ありがとうございます。

-2.3=-3+0.7で整数部分は-3なので、[-2.3]＝-3なら別に大丈夫では、と思ったのですが。。（小数部分ｒってのは０≦ｒ＜１と習ったので・・）
No.24364 - 2014/02/13(Thu) 20:39:27
☆ Re: ガウス記号 / ヨッシー
それこそがガウス記号の定義です。
「整数部分とあった」と書いておられるので、何かの
文献に載っていたかと思いますが、それには「整数部分」の
定義はありませんか？
No.24367 - 2014/02/13(Thu) 20:57:00
★ (No Subject) / 菊池　悠斗
No.24309 - 2014/02/11(Tue) 11:27:14 ↓で?]様にご解説を頂きましたが、323の(5)と(6)をもっと詳しく説いていただくことは可能でしょうか?解答を見ても解き方がわからなくなってしまいました。申し訳ありませんが、ご解説願います。
ちなみに答えは、
323　(1)・・・　3
　(2)・・・　1　　です。
No.24358 - 2014/02/13(Thu) 18:58:17
☆ Re: / angel
便宜上、f(x)=x^3-3x^2-2x+7 と置くことにします。
解と係数の関係から、
　α+β+γ=3
　αβ+βγ+γα=-2
　αβγ=-7
は良いと思いますが、もう一つ
　f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)　※恒等式
も思い出すと、役に立つ場面があるのです。

f(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)　ということは、
　f(1)=(1-α)(1-β)(1-γ)
　f(α+β+γ)=(α+β+γ-α)(α+β+γ-β)(α+β+γ-γ)
が成立し、それぞれの右辺は、そのまま(5)(6)で問われているもの、そのものです。
なので、f(1), f(α+β+γ)=f(3) を ( 元の f(x)=x^3-3x^2-2x+7 という条件を使って ) 計算すれば、答になります。
No.24368 - 2014/02/13(Thu) 21:33:59
☆ Re: / 菊地　悠人
angel様、わざわざ御詳しい解説していただき有難うございます！大変理解し安かったです。
No.24369 - 2014/02/13(Thu) 22:19:58
★ (No Subject) / Q
(ii)の解け方はわかりませんが、教えていただけませんかhttp://i.imgur.com/yx8MOMk.jpg
No.24354 - 2014/02/13(Thu) 14:39:21
☆ Re: / ヨッシー
(x+1/4x)^2−１＝(x-1/4x)^2
であり、0＜x＜1/2 においては x＜1/4x なので、
　√(x-1/4x)^2＝1/4x-x
よって、
　(左辺)＝9x/2＋7/8x
9x/2＋7/8x=4 両辺に 8x を掛けて
　36x^2−32x＋7＝0
これを解いて　ｘ7/18, (1/2)
No.24363 - 2014/02/13(Thu) 20:35:02
★ (No Subject) / よう
http://i.imgur.com/EAIDwVU.jpg
なぜa=0のとき、pのちは有理数になりますか
問題1：
回答はa=0の時、
p＝-7

問題2もわかりませんので、詳しく教えていただけませんか？
お願いすます。
No.24352 - 2014/02/13(Thu) 10:55:40
☆ Re: / ヨッシー
(1)
「なぜa=0のとき・・・」はひとまず置いておいて、普通に解いてみます。
Ｐ＝x^2＋2(a-1)x−8a−8 に、ｘ＝1−√2 を代入して
　Ｐ＝3−2√2＋2a−2−2a√2＋2√2−8a−8
　　＝-2a√2＋(-7−6a)
これが 有理数になるには、√2 の項が消えないといけないので、
　a=0　このとき、Ｐ＝-7

(2)
　f(x)＝x^2＋2(a-1)x−8a−8
とおくと、f(4)＝0 より　f(x) を x-4 で割ってみて、
　Ｐ＝f(x)＝(x-4)(x+2a+2)
を得ます。
x,a が正の整数のとき、x+2a+2 は5以上の整数なので、
Ｐが素数になるには、x-4＝1 でないといけません。
よって、x=5。このとき、
　Ｐ＝7+2a
と書けるので、a に正の整数を小さい方から当てはめていって、
Ｐが素数になる時をさがすと、a=2 のとき、Ｐ＝11 となります。
No.24353 - 2014/02/13(Thu) 11:53:43
☆ Re: / Q
X-4＝1はなぜですか
No.24355 - 2014/02/13(Thu) 15:44:05
☆ Re: / ヨッシー
Ｐ＝(整数)×(５以上の整数)
であるので、最初の(整数)の方が２以上の整数だと、
素因数分解できる数になってしまうので、最初の(整数)は
１でないといけません。
No.24356 - 2014/02/13(Thu) 17:49:00
☆ Re: / Q
はい。
わかりました。どうもありがとうございます。
No.24357 - 2014/02/13(Thu) 18:14:45
★ 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / 旧々過程履修者
訳あって、高校数学を学びなおしている者です。

【７】　 α は絶対値 1 の複素数で α≠ 1 とし， 1 ，α ， α^2 を表す複素数平面上の点をそれぞれ A ，B ， C とする．点 C が線分 AB の垂直二等分線 ℓ 上の点であるとする．
(1)　 α の偏角 argα は arg = ± アイウ° である．ただし， argα は −180°< argα≦180° の範囲で考える．
(2)　 argα = アイウ° とする． 0 でない複素数 z0 を表す点を P とし，直線 ℓ に関して P と対称な点を Q ， 線分 AC の垂直二等分線 m に関して Q と対称な点を R とし，点 Q ，R が表す複素数をそれぞれ z1 ， z2 とする．このとき
z0 z1= | z0 |^ 2 （ エオ ＋√ カ i）/ キ ，
z 1 z 2= | z1 |^ 2 （エオ−√ カ i） / キ
であり， z2 を z0 で表すと， R は P を原点の回りに クケコ° だけ回転した点であることがわかる．
(3)　 z0= 1 − i のとき， R が表す複素数 z2 は
z2=（ サシ ＋ √ス） / セ ＋ ( ソ ＋ √タ / チ ) i
であり，線分 PR の長さは √ ツ である．また
z1− z0/ z2− z 0 = (テ ＋√ ト ) ( ニ＋i ) / ナ
である．

以上は、2006年度のセンター追試験第７問（複素数平面）になります。
解答解説が見当たらないため、途中解答が怪しい可能性も高いのですが
とりわけ、(3)最後の穴４つが埋まらずにいます。

(1)120°(2)z0 z1= | z0 |^ 2 （−1 ＋√ 3 i/ 2） ，z 1 z 2= | z1 |^ 2 （−1−√ 3 i / 2 ） ，
クケコ＝120°(3)z2=（ -1 ＋ √3） / 2 ＋ ( 1 ＋ √3 / 2 ) i ，ＰＲ＝√6

自分は以上のように解いていき、最後について
点Ｐ（z0）は1−iだから、−４５°(1,-i)の位置にあり大きさは√２
点Ｑ（z1）は直線ℓとの対称性から-1＋iを表し135°(−１,i)の位置にあり、大きさは√２である。
よってＰＱ＝|z1-z0|＝２√２
先に求めたＰＲ＝|z2-z0|＝√６との比率から三角形ＰＱＲ（z0z1z2）はＰＲ：ＰＱ：ＰＲ＝|z1-z2|：|z1-z0|：|z2-z0|＝√２：２√２：√３＝１：２：√３の直角三角形。
ＰＱ＝|z1− z0|＝2√2，ＰＲ＝| z2− z 0|＝√6，偏角は∠ＲＰＱ＝∠z2z0z1＝30°

以上より、点Ｑ（ｚ１）は点Ｒ（z2）を点Ｐ（ｚ0）を中心に30°回転させ2√2/√6倍した点であると読み
z1− z0/ z2− z 0 ＝(2√2/√6)(cos30°＋isin30°)を立式しました。

ところが、これを解いてみても3＋√3i/3となり、要求された穴をうめることができず、詰んでいる状態です。
長々とすみませんが、よろしくお願いします。
No.24344 - 2014/02/13(Thu) 03:09:13
☆ Re: 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / ＿
>点Ｑ（z1）は直線ℓとの対称性から-1＋iを表し135°(−１,i)の位置にあり、大きさは√２である。

ここが怪しいです。直線lが実軸となす角度は45°ではありません。
No.24347 - 2014/02/13(Thu) 05:16:06
☆ Re: 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / 旧々過程履修者
>>＿さん
早速のご指摘ありがとうございます。
なるほど。直線ℓと実軸のなす角は６０°であることを見落としていました・・・。

そこで これを基に、原点０を通し直線ℓに垂直で線分ＰＱに平行な直線をℓ´とし
実軸上、正の任意の点をＸ（≠原点）
ℓ上の第一象限の任意の点をＵ（≠原点）
ℓ´上の第３象限の任意の点をＳ（≠原点）と仮定してみると
ℓ⊥ℓ´，直線ℓと実軸のなす角が６０°であることから
∠ＸＯＳ＝∠ＵＯＸ−∠ＵＯＳ＝６０°−９０°＝−３０°
直線ℓ´は実軸と−３０°をなす。
点Ｐ（z0）は1−iだから、実軸とは−４５°をなすので
∠ＳＯＰ＝∠ＸＯＰ−∠ＸＯＳ＝−４５°−（−３０°）＝−１５°
線分ＰＱ//直線ℓ´より錯覚の関係から∠ＳＯＰ＝∠ＯＰＱ＝−１５°

さらに、直線ℓ上で線分ＰＱの中点をＴと置くと
線分ＰＱ⊥直線ℓと∠ＯＰＱ＝∠ＯＰＴ＝−１５°より
∠ＰＯＴ＝−７５°
直線ℓに対する対称性から∠ＰＯＱ＝−１５０°となる。

題意より|z0|＝|z1|＝|z2|であるから
点Ｑ(z1)は点Ｐ(z0)を原点中心に−１５０°回転させた点である。

したがって
z1＝{(cos(−150°)＋isin(−150°）}
＝(1-i)（−√３/2−i/２）＝(−1−√３)/２＋(√３−１）i/2
|z1−z0|＝（−３−√３）/２＋（１＋√３）i/2

これと
|z2−z0|＝（−３＋√３）/２＋（３＋√３）i/2より

（z1−z0）/（z2−z0）＝{（−３−√３）/２＋（１＋√３）i/2}　/　{（−３＋√３）/２＋（３＋√３）i/2}
＝{（−３−√３）＋（１＋√３）i}　/　{（−３＋√３）＋（３＋√３）i}　　(∵分母分子×２）
＝[{（−３−√３）＋（１＋√３）i}・{（−３＋√３）−（３＋√３）i}]　/ ２４
(∵分母分子×{（−３＋√３）−（３＋√３）i}　）
＝（３＋√３）/４＋（３＋√３）i/４
＝（３＋√３）（１＋i）/４

を得るに至りました。この方針で問題ないでしょうか。
No.24372 - 2014/02/14(Fri) 00:26:03
☆ Re: 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / 旧々過程履修者
自己レスの修正です。
∠ＰＯＴ＝−７５°ではなくて∠ＯＰＴ＝−７５°でした。
No.24374 - 2014/02/14(Fri) 00:36:18
☆ Re: 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / 旧々過程履修者
違った。。
∠ＰＯＴ＝−７５°でした。何度も失礼します。
No.24375 - 2014/02/14(Fri) 00:39:47
☆ Re: 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / 旧々過程履修者
もう一つ修正します
>ℓ´上の第３象限の任意の点をＳ（≠原点）と仮定
について
「ℓ´上の第３象限」ではなく「ℓ´上の第４象限」でした。
No.24376 - 2014/02/14(Fri) 01:16:18
☆ Re: 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / ＿
うーむ…その方針は私なら混乱します。センター試験の問題ということで、それだけの量を10〜15分程度で解かねばならないわけですが、どうですか、できそうですか？

＃まあ、いくら追試験とはいえ、そもそもこれはちょっとキツいだろとは思いますが。

偏角がわかりやすく与えられているので極形式のまま考えたほうがよさそうです。

偏角θの複素数は、lについての対称移動で偏角を-θ+120°に変えて、
mについての対称移動で偏角を-θ-120°に変える。大きさは変わらない。

よってz1の偏角は165°、z2の偏角は75°になる。
(図を描いてみてください。)

△OPRはOP=OR=√2,∠POR=120°の二等辺三角形。
PR=2・√2・cos30°=√6
△OPQはOP=OQ=√2,∠POR=150°の二等辺三角形。
PR=2・√2・cos15°=1+√3

PQはPRをPQ/PR倍に伸ばして+45°(=∠RPQ)回転させたものだから、
(z1 - z0)/(z2 - z0) = ((1+√3)/√6)・(cos45°+isin45°) = ((3 + √3)/6)・(1+i)

…あれ、どこか違ってますね。
No.24379 - 2014/02/14(Fri) 01:44:12
☆ Re: 数３（旧々数Ｂ）の複素数平面について / 旧々過程履修者
>>＿さん
度々ありがとうございます。
ご教授頂いた解答で、鮮やかに
（３＋√３）（１＋i）/６
を算出できました！やはり、素直に誘導に乗るべきですね！

>＝（３＋√３）/４＋（３＋√３）i/４
>＝（３＋√３）（１＋i）/４
これは私の解答中で最大のミスでした。
計算過程はそのままですが、締めが
＝（１２＋４√３）/２４＋（１２＋４√３）i/２４
＝（３＋√３）/６＋（３＋√３）i/６
＝（３＋√３）（１＋i）/６
となり、最後の分母が４ではなく６となり、ご教授頂いた結果と一致する形となりました。
それにしても、約分ミスとは…（反省）

他には
>直線ℓ´は実軸と−３０°をなす。
のところを
「直線ℓ´の第４象限部分は実軸と−３０°をなす。」とすべきでしたし
>z1＝{(cos(−150°)＋isin(−150°）}
のところでz0の入れ忘れがあり
z1＝z0{(cos(−150°)＋isin(−150°）}
また、錯覚ではなく錯角でした。

以上のように、自分の投稿を読み直してみるともうボロボロです。
これほどミスを重ねると見直しの大切さを自覚せざるえません・・。

この問題を通して色々と醜態を晒しましたが、
お陰様でスッキリしました。
どうもありがとうございます！
No.24381 - 2014/02/14(Fri) 05:25:34
★ 専門学生です。 / 専門学生
積分がわかりません。
半径が２の円を中心に回転した時の立体の表面積ｓを求めよ
ただし、（−１≦ｘ≦１）とする

よろしくお願いします。
No.24337 - 2014/02/12(Wed) 22:26:58
☆ Re: 専門学生です。 / らすかる
半径が2の円を中心に、「何を」回転するのですか？
あるいは
半径が2の円を、「何を」中心に回転するのですか？
この問題文では
「ただし、-1≦x≦1」が全く意味がありません。
No.24339 - 2014/02/12(Wed) 23:09:37
☆ Re: 専門学生です。 / 専門学生
すいません、、、
ｘ軸を中心でした。
No.24340 - 2014/02/12(Wed) 23:14:06
☆ Re: 専門学生です。 / X
条件がまだ足りません。
円の中心の座標はどこですか？
No.24343 - 2014/02/13(Thu) 02:13:49
★ 宿題（自由課題） / randrf
高校一年生です。数学１Aと三角関数、微分はもうできます。
次の問題の解き方を教えてください。

三角形ABCがある
AB＝BC＝1
CA=aとする。
この三角系の周上から二点P、Qをとりちょうど三角形の面積を二等分するとき、このPQの長さの最小値をaを用いて表せ。
No.24335 - 2014/02/12(Wed) 19:23:23
☆ Re: 宿題（自由課題） / らすかる
ABの中点をF、BCの中点をD、CAの中点をEとすると、
P=BのときQ=E
PをBからFまで動かすとQはEからCまで動く
P=FのときQ=C
PをFからAまで動かすとQはCからDまで動く
P=AのときQ=D
のようになりますね。
従って
PがBF上（端点を含む）にあるときにEC上にあるQの位置を求めてPQの最小値を求め、
PがFA上（端点を含む）にあるときにCD上にあるQの位置を求めてPQの最小値を求めれば
その小さい方が答えになりますね。
No.24345 - 2014/02/13(Thu) 03:13:21
☆ Re: 宿題（自由課題） / ＿
最初から計算という方針だと、
AP=p,AQ=qとでもして、
△ABC=2△APQ によりp,qの関係式が分かるので、これを使って
△ABCと△APQについてcos∠Aを2通りに表すことでPQ,a,p,qの式が表せます。これによりPQの最小値を考えられます。
No.24348 - 2014/02/13(Thu) 05:23:53
☆ Re: 宿題（自由課題） / らすかる
> ＿さん
PがAB上、QがBC上の場合はAP=p,AQ=q,△ABC=2△APQではなく
BP=p,BQ=q,△ABC=2△BPQですね。
（多分その後の計算は同様だと思いますが。）
No.24349 - 2014/02/13(Thu) 06:26:44
☆ Re: 宿題（自由課題） / ＿
＞らすかるさん

その通りでした…
思い込みで問題文と違う記号の振り方をしないように注意、という悪い見本ですね。
No.24350 - 2014/02/13(Thu) 06:53:04
☆ 参考 / angel
角θ(一定)を挟む辺がx,y、残りがzという三角形で面積1/2・xysinθが一定という状況の場合。
余弦定理から z^2=x^2+y^2-2xycosθ でxy一定ですから、x^2,y^2の相加相乗平均的に、x=yの時、つまり二等辺三角形の時が、z最小です。
また、z^2=(x-y)^2+2xy(1-cosθ) と変形できることから、x=yの時z最小もそうですが、x,yが近いほどzが小さくなる傾向が見てとれます。

以上の話から、今回の問題では、△APQ, △BPQが二等辺三角形になる時のPQの二通りを比較すれば十分であると言えます。( △CPQは△BPQと同じ話になるため、省略 )
ただ、ある程度aが小さいと、具体的には1/2未満の場合、二等辺三角形BPQが作れませんから、P=C, Q=F とした△BCFを代わりに考えます。( FはABの中点 )
BP, BQの長さが近いほどPQも小さくなりますから、二等辺三角形が無理なら、これが最小なのです。
No.24351 - 2014/02/13(Thu) 07:32:59
★ (No Subject) / よう
すみません
計算を詳しく教えていただけますか
No.24332 - 2014/02/12(Wed) 17:53:56
☆ Re: / よう
> すみません
> 計算を詳しく教えていただけますか
http://i.imgur.com/2C2NBWE.jpg
No.24333 - 2014/02/12(Wed) 17:54:23
☆ Re: / ヨッシー
３の倍数が出る事象をＡ，それ以外の事象をＢで表すことにします。
(1)
(3,1) に到達するのは、
ＡＡＡＢ、ＡＡＢＡ、ＡＢＡＡ、ＢＡＡＡ　の順に起こる
４通りで確率はいずれも　2/81 なので、
　2/81×4＝8/81
(2)
ＡＡＡＡ　で、(4,0)
ＡＡＡＢ，ＡＡＢＡ、ＡＢＡＡ，ＢＡＡＡ　で (3,1)
AABB,ABAB,ABBA,BAAB,BABA,BBAA で (2,2)
ＡＢＢＢ，ＢＡＢＢ，ＢＢＡＢ，ＢＢＢＡ で (1,3)
ＢＢＢＢ　で、(0,4)
に到達するので、５個、(k, 4-k)　(0≦ｋ≦4)

確率は上から順に
1/81, 2/81, 4/81, 8/81, 16/81 です。

(3)
ＡＢ または ＢＡ が起こって、そのあともう一度　
ＡＢ　または ＢＡ が起こる事象の確率なので、
　4/9 × 4/9 ＝16/81
No.24334 - 2014/02/12(Wed) 18:48:15
★ 合成関数の微分法の証明で / Catalina
こんにちは。

f:A→B,g:C→D (但し,A,B,C,D⊂Rでrange(f)⊂C)とする時,
fがxで微分可能でgがf(x)で微分可能なら,gfはxで微分可能で
合成関数の微分法 d/dx gf(x) = d/df(x) g(f(x)) d/dx f(x) が成立つ
という証明です。

d/dx gf(x) = lim_{h→0}(gf(x+h)-gf(x))/h
=lim_{h→0}[g(f(x+h)-f(x)+f(x))-g(f(x))](f(x+h)-f(x))/[(f(x+h)-f(x))h]
=lim_{h→0}[g(f(x+h)-f(x)+f(x))-g(f(x))]/((f(x+h)-f(x))) lim_{h→0}(f(x+h)-f(x))/h
=lim_{f(x+h)-f(x)→0}[g(f(x+h)-f(x)+f(x))-g(f(x))]/((f(x+h)-f(x))) lim_{h→0}(f(x+h)-f(x))/h
=d/df(x) g(f(x)) d/dx f(x)

となると思いますが,
3行目から4行目の変形で疑問があります。
この変形は
h→0 ⇔ f(x+h)-f(x)→0
という関係が成立つからだと思いますが,
h→0 ⇒ f(x+h)-f(x)→0
は直ぐにいえますが(∵fは連続),その逆は簡単には言えませんよね。

一体どうすれば逆も言えるのでしょうか?
No.24331 - 2014/02/12(Wed) 12:17:07
☆ Re: 合成関数の微分法の証明で / 黄桃
ご質問の部分には確かに微妙な問題があります。
簡単に答えるなら、逆はいう必要がないからです。
f(x+h)-f(x)=u とおきます。
「h→0 の時u→0」という意味は、どんな0の近くのuでも f(x+h)-f(x)=u となる0に近いhがとれるから(逆関数のように1つだけである必要はない）、hが0に近づく時、uもべったり0に近づく、ということなので、これでいいのです。

厳密なことをいえば、おっしゃるように、区間(x-h,x+h)におけるf(x)のとる値（値域）が (f(x)-a, f(x)+b) (a,b>0) という形とは限らないので、本当に「0の近くのuに対して、f(x+h)-f(x)=u となるhがとれるのか？」という疑問があります。
実際、y=f(x)が x=t で極大値をとるなら、x=tの近くでは、十分小さな正の数h>0に対して、f(x-h)<f(x)>f(x+h) ですから、u=f(x+h)-f(x)>0となるようなhは存在しません。それでも、g(x)は x=f(t)で微分可能なので、片側からしか近づかなくても、その値は g'(f(t))に等しくなります。
さらに、f(x)が x=t の付近で f(t)以外の値をとらない場合は、f(x+h)-f(x)は常に0でどんなhをとろうが上のような計算はできません。 ただ、この場合は、x=tの付近でf(x)は定数関数ですから、f'(t)=0 で、
lim_{h→0}(gf(t+h)-gf(t))/h　=0= g'(f(t))*0=g'(f(t))*f'(t)
となって成立しているので問題ありません。このような当たり前の場合は、自明なこととして説明しないことも普通です。
No.24341 - 2014/02/12(Wed) 23:33:37
☆ Re: 合成関数の微分法の証明で / まり
なるほどです。
ご詳細なご説明まことにありがとうございます。
No.24342 - 2014/02/13(Thu) 01:57:02
★ 質問です！ / にん
・当たり４本、はずれ４本のくじが入ってる。これを２本同時に引く時、少なくとも１本は当たりの確率を求めよ。
・箱の中に、赤玉２個と白玉２個が入ってる。同時に２個取り出すとき、少なくとも１個が赤である確率は？
・２つの箱の中には、それぞれ１，２，３，４と書かれたカードが入ってる。それぞれの箱から１枚ずつ取り出した時、同じ数字のカードが出る確率は？
・２個のサイコロを同時に投げたとき、異なる目の出る確率は？
・５本のくじの中に２本の当たりが入っている。引いたくじは元には戻さない。２人がくじをひくとき、どちらか１人だけがくじに当たる確率を求めよ。
・A君が生まれた時、母の年齢は２８歳だった。A君が母の年齢の半分になるのはA君が何歳の時か？
No.24329 - 2014/02/12(Wed) 01:00:59
☆ Re: 質問です！ / らすかる
2本とも外れる確率は4C2/8C2だから少なくとも1本当たる確率は1-4C2/8C2
2個とも白である確率は2C2/4C2だから少なくとも1個が赤である確率は1-2C2/4C2
1箱目が何であっても、2箱目の数字が1箱目と同じである確率は1/4
1個目が何であっても、2個目の数字が1個目と異なる確率は5/6
2本引いて1本だけ当たりの確率だから、(2C1×3C1)/5C2
A君が28歳になった時、母の年齢は56歳でちょうど倍。
No.24330 - 2014/02/12(Wed) 02:19:54
★ (No Subject) / 智恵
この(2についてしつもんです。
No.24321 - 2014/02/11(Tue) 20:53:38
☆ Re: / 智恵
途中までこのようにして解きましたが、間違っていますか？
お願いします。
No.24322 - 2014/02/11(Tue) 21:01:14
☆ Re: / 智恵
A=b-cならば
A>b>c
と考えたのですが反例があるようなきはします…
No.24323 - 2014/02/11(Tue) 21:02:50
☆ Re: / angel
うーん。誰かの添削を受けているようですが、その内容は確認しましたか? 全体が見えないので推測になりますが、指摘された内容は正しいと思いますよ。

それで、
> A=b-cならば
> A＞b＞c
> と考えたのですが反例があるようなきはします…
そうですね。そこは勘違いでした。
一般の話として A=1, b=100, c=99 等の反例があるため、
A=b-c は A＞b＞c の根拠としては使えません。
※今回はAに当たる部分が正と分かっているので、b＞c には使えますが

最初の方でやった変形には惜しい所はあるのですが…
　a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
　= 1/2・(a^2+b^2)-ab + 1/2・(b^2+c^2)-bc + 1/2・(c^2+a^2)-ca
　= 1/2・{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 }
というのなら、たまに使いますね。( 実は今回の問題でも… )
No.24325 - 2014/02/11(Tue) 22:11:05
☆ Re: / ＩＴ
A=b-c ⇔A+c=b ですから　A＞０、ｂ＞0、ｃ＞０の条件のもとでAとcの大小関係は何もいえませんね。b＞Aかつb＞cはいえます。

それとa^3+b^3+c^3=(a+b+c)... -３abcの後ろが見えないのでなんともいえませんが、見えてる範囲ではまちがっていると思います。　
No.24327 - 2014/02/11(Tue) 22:32:23
☆ Re: / 智恵
添削は受けておらず、自分で考えて赤を入れましたが、自分の考えがあっているかわからなかったのでお聞きしました。
矢張り反例があるので使えないのですね。差関数で求めてみることにします。
どうもありがとうございました！
No.24377 - 2014/02/14(Fri) 01:19:29
★ ↓の追加添付写真です。 / 菊池　悠斗
↓の追加添付写真です。
No.24306 - 2014/02/11(Tue) 10:11:48
☆ Re: ↓の追加添付写真です。 / X
321
まずは問題の方程式の左辺を因数分解します。
その際、因数定理を使ってくくりだせる項の当たりを
つけるのは有効な手段です。

f(x)=x^3-x^2+(a-2)x+a
と置くと
f(-1)=0
ですので因数定理によりf(x)はx+1を因数分解します。
ということでx+1でf(x)を割ることにより
f(x)=(x+1)(x^2-2x+a)
と因数分解できます。
よって求める条件はxの二次方程式
x^2-2x+a=0
が
(i)x=-1とそれ以外の解を持つ
(ii)x≠-1なる重解を持つ
のいずれかになります。
後は(i)(ii)それぞれの場合のaの値を求めます。
No.24308 - 2014/02/11(Tue) 11:19:10
☆ Re: ↓の追加添付写真です。 / X
323
三次方程式の解と係数の関係により
α+β+γ=3 (A)
αβ+βγ+γα=-2 (B)
αβγ=-7 (C)
後は(A)(B)(C)が代入できるように式を変形していきます。
例えば
(1)
1/α+1/β+1/γ=(αβ+βγ+γα)/(αβγ)=2/7

(2)(3)は因数分解ができるように必要な項を(A)(B)(C)
が使えるように足し引きすることを考えてみましょう。
(4)は(2)の結果を使います。
(5)
展開して(A)(B)(C)を代入するのが基本方針ですが
条件から
x^3-3x^2-2x+7=(x-α)(x-β)(x-γ)
となることを使った方が簡単です。
(6)
展開して(A)(B)(C)を代入するのが基本方針ですが
実は(A)をうまく使うと(5)の式と似たような式になります。
No.24309 - 2014/02/11(Tue) 11:27:14
☆ Re: ↓の追加添付写真です。 / 菊地　悠人
下の問題に続き、御丁寧な解説していただき有難うございます！
No.24311 - 2014/02/11(Tue) 11:31:48
★ お願いいたします。 / 菊池　悠斗
少し問題量が多く申し訳ないのですが、テストも近く解説が必要になっている現状であります。解いていただきたいのは317(2)、318、321、323です。お願い致します。
No.24305 - 2014/02/11(Tue) 10:10:51
☆ Re: お願いいたします。 / X
317
(2)
f(x)=8x^3+4-3
と置くと
f(1/2)=0
∴因数定理により…

318
まずは前準備。
条件から
ω^3=1 (A)
ω^2+ω+1=0 (B)
(1)
(A)を用いて問題の式の次数を落としていきます。
例えば
ω^20={(ω^3)^6}ω^2=1・ω^2=ω^2
後は次数を落とした式と(B)とをよく
にらみあわせてみましょう。
(2)
これも方針は(1)と同じです。とりあえず分子の
ω^5の次数を落としましょう。
(3)
展開して(A)(B)を用いてωの項を消去していきます。
但し頭についているa-bは展開せずに後ろにくっついている
(a-ωb){a-(ω^2)b}
のみを展開すると多少計算は楽です。
No.24307 - 2014/02/11(Tue) 11:12:55
☆ Re: お願いいたします。 / 菊地　悠人
休日にも関わらず御丁寧な解説していただき有難うございます！
No.24310 - 2014/02/11(Tue) 11:31:06
☆ Re: お願いいたします。 / X
318(3)の別解(の方針)
条件から
x^3-1=(x-1)(x-ω)(x-ω^2)
∴(与式)=(b^3)(a/b-1)(a/b-ω)(a/b-ω^2)=…
No.24312 - 2014/02/11(Tue) 11:31:50
★ 不等式・絶対値 / 窮糠
不等式|5-12x|<35の解は、
(ｳ）<x<(ｴ)である。
また、√nはこの範囲に含まれるが-√nはこの範囲に含まれない、という自然数nの中で最初のものは(ｵ)であり、最大のものは(ｶ)である。
答えがないので、確認してほしいです。
(ｳ）-5/2　　(ｴ)35/12　　(ｵ)5　(ｶ)8
No.24298 - 2014/02/10(Mon) 23:20:08
☆ Re: 不等式・絶対値 / ヨッシー
（ウ）は合っていますが、（エ）は違います。
（ウ）が答えられているので、（エ）は単なる計算間違いでしょう。

（オ）５　について考えると　−√5≒-2.236 で、
　-5/2＝-2.5＜ｘ
の範囲に含まれるので、５ではありません。
（カ）も、（エ）が不正解なので、もう一度計算する方が良いでしょう。
No.24299 - 2014/02/10(Mon) 23:34:16
☆ Re: 不等式・絶対値 / 窮糠
(ｴ)は10/3ですかね
計算過程で-12x<-40となったのですが、
両辺にマイナスがある場合は不等号は反対にしなくてよいのですか？
−√5≒-2.236 と書いてくださいましたが、
平方根を小数点にするときの仕方がわからないので教えていただけないでしょうか。
No.24313 - 2014/02/11(Tue) 13:15:49
☆ Re: 不等式・絶対値 / ヨッシー
（エ）10/3 で正解です。
|5-12x|<35 は -35＜5-12x＜35 のことですので、
各辺５を引いて　-40＜-12x＜30
−１を掛けて（ここで不等号が変わります）
　40＞12x＞-30　→　10/3＞x＞-5/2
です。

√2＝1.41421356･･･、√3＝1.7320508･･･、√5＝2.2360679･･･
この辺は、語呂合わせで覚える方法がありますので、知っておきましょう。
この問題の場合、√5 の正確な数値は必要なく
−√ｎ と　−5/2 とどちらが大きいかということが重要です。
マイナスを取って２乗するとｎと25/4＝6.25 との比較になります。
すると　√5＜5/2, √6＜5/2、√7＞5/2 となり
-√5, -√6 は -5/2＜x に含まれ、-√7 は含まれないことになり
（オ）は７となります。
No.24314 - 2014/02/11(Tue) 13:32:10
☆ Re: 不等式・絶対値 / 窮糠
最初のほうは計算過程を間違えていたようでした。
正しい計算過程ありがとうございます。
平方根は暗記するようにします。
下の答えは(ｵ)7 (ｶ)10ですね。
丁寧な解答感謝します。
No.24315 - 2014/02/11(Tue) 13:41:33
☆ Re: 不等式・絶対値 / ヨッシー
（カ）は 10 ではありません。
No.24316 - 2014/02/11(Tue) 13:48:05
☆ Re: 不等式・絶対値 / 窮糠
あれ、違いましたか；；
(10/3)^2=100/9=11.1で(ｶ)は11ですか？
10/3＝3.3^2でやってしまいました。
No.24317 - 2014/02/11(Tue) 14:45:07
☆ Re: 不等式・絶対値 / ヨッシー
はい、正解です。
No.24318 - 2014/02/11(Tue) 15:55:46
☆ Re: 不等式・絶対値 / 窮糠
最後にしまらなくなってしまい申し訳ありません；；
辛抱強く教えていただき本当にありがとうございました！
No.24319 - 2014/02/11(Tue) 17:04:56
★ 解析学について / さき
解析学について

∫C (x+y)dx−(x−y)dy
C=｛(x,y)∈R | (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1｝

この線積分の求め方を教えてください
No.24296 - 2014/02/10(Mon) 19:34:36
☆ Re: 解析学について / X
x=acosθ
y=bsinθ
と置くと
θ：0→2π
が対応します。
No.24297 - 2014/02/10(Mon) 19:49:03
★ はじめまして / サチヨ
（1）
x+y=3650
1.05x+1.1y=3930

（2）
2x(x-3)=x二乗-8

数学が苦手なので、この2問で苦戦しています。
よろしくお願いします。
No.24293 - 2014/02/10(Mon) 15:22:32
☆ Re: はじめまして / ヨッシー
(1)
　x+y=3650　　　・・・(i)
　1.05x+1.1y=3930　・・・(ii)
(ii)−(i)
　0.05x＋0.1y＝280
20倍して
　x＋2y＝5600　・・・(iii)
(i) と (iii) の連立だと思って解いてみましょう。

(2)
展開して
　2x^2−6x＝x^2−8
移項して
　x^2−6x＋8＝0
ここまで来ると、普通の二次方程式です。
No.24294 - 2014/02/10(Mon) 18:45:48
☆ Re: はじめまして / サチヨ
ありがとうございました。
頑張ってみます。
No.24295 - 2014/02/10(Mon) 19:30:45
★ (No Subject) / 空間を制したい人
一辺の長さが１の立方体を対角線（長さ√3）の周りにまわしたときの立方体の体積を求める問題で、例えば底面をOABC,上面をDEFHとすると対角線OF上にP（OP=ｔ）をとり、OPに垂直な平面で立方体を切ったときの断面積をまわすことを考えます。ここで断面が正三角形でないとき、断面は正六角形になりますが、その正六角形を延長して正三角形を作るとき（正三角形の3つの頂点はそれぞれｘ、ｙ、ｚ軸にある）正六角形の外部に出来る３つの三角形がすべて正三角形になるのはなぜですか？

よろしくおねがいします
No.24286 - 2014/02/09(Sun) 23:14:50
☆ Re: / ヨッシー
「立方体の体積」ではなくて「立体の体積」ですね。
また、「断面は正六角形」になりません。「内角がすべて120°の六角形」です。
内角が120°なので、外に出来る三角形は内角がすべて60°になります。

No.24287 - 2014/02/09(Sun) 23:26:36
☆ Re: / 空間を制したい人
ありがとうございます、内角がすべて120°というのはどうやって分かったのか教えてください。
No.24289 - 2014/02/10(Mon) 01:58:45
☆ Re: / らすかる
上の方を切ったら正三角形になり、切る場所を下に移動するにつれて
正三角形が大きくなりますよね。
そして正三角形でなくなってからも、今までの正三角形と
平行な三辺が短くなりながら広がっていきます。
逆に下から切っていくとちょうど逆向き（60°回転とも言える）の
正三角形になり、切る場所を上に移動するにつれて正三角形が
大きくなって、同様に正三角形でなくなってからも
それまでの正三角形と平行な三辺が短くなりながら広がっていきます。
紙に二つの正三角形△と▽（向きは変えずに少し違う大きさにする）を
重ねて描くと、中に出来る六角形は正三角形の大きさにかかわらず
内角がすべて120°になりますね。
No.24290 - 2014/02/10(Mon) 03:05:28
☆ Re: / ヨッシー
こちらの解答にいくつか図があるので、参考にしてください。
No.24291 - 2014/02/10(Mon) 06:21:37
☆ Re: / 空間を制したい人
ありがとうございます。後一歩というところまで来ています。

図の対称性を考えて、三角形または六角形において、点Ｐから、切り口の各頂点への距離は、すべて等しいというのがいまいちぴんときません。

六角形の頂点を時計回りにQRSTUVとおくと（図イ）、PR=PSとPQ=PT、PU=PVはわかるのですがそれらがすべて同じってのがイメージできません。

三角形のほうも時計回りにQZXとおくとPQ=PXはイメージできるのですがそれがQZと同じになるのがイメージできません

よろしくおねがいします
No.24300 - 2014/02/10(Mon) 23:56:37
☆ Re: / ヨッシー
この図はご覧になったのでしょうか？

別の問題の図ですので、寸法は気にしないでください。
No.24303 - 2014/02/11(Tue) 06:26:34
☆ Re: / らすかる
上の（24287の）立方体が対角線を中心として回転している図を見て下さい。
切断面は回転軸と垂直つまりこのページ上では水平な線ですよね。
立方体は対称形ですから、120°回転するごとに元の立方体と一致する
というのは大丈夫でしょうか？
回転軸に垂直な面で切断するわけですから、当然切断面の六角形も
120°回転したら元の六角形に一致します。
よって、対称性によっていろいろなところが等しくなるということです。
No.24304 - 2014/02/11(Tue) 06:34:41
☆ Re: / 空間を制したい人
ヨッシー様
その図は見ましたが中央部を軸方向に１０等分が分かりませんでした。

らすかるさま
120°回転で一致するのは分かりません

よろしくおねがいします
No.24326 - 2014/02/11(Tue) 22:11:55
☆ Re: / ヨッシー

図の矢印で示した部分を10等分したときの、断面を重ねた、
というだけです。
何等分するかは別に何等分でも良いのです。


図は、上が軸方向から見た図、下が軸に垂直な方向から見た図です。
120°回すごとに画像を止めてますが、ぴったり同じ図形になることが
わかるでしょう。
No.24328 - 2014/02/12(Wed) 00:27:30
☆ Re: / 空間を制したい人
回答ありがとうございます。

最初の図は納得しましたが、二つ目の図が９０度回転に見えてしかたないです。。あと六角形の一辺の長さが違うなら回転してもぴったり重ならないのでは、という疑問があります。

よろしくおねがいします
No.24336 - 2014/02/12(Wed) 20:39:07
☆ Re: / ヨッシー
これでどうですか？

No.24338 - 2014/02/12(Wed) 22:50:04
☆ Re: / 空間を制したい人
回答ありがとうございます。

前者の立体について：なるほど３辺ずつが等しい六角形だったのですね。１２０度回転して重なることは分かりましたが、だからといってなぜ全ての内角が１２０度になるのですか？

後者の立体について：まだ良く分かりません。どこに着目すれば１２０度回転という根拠がつかめるのでしょうか。。

よろしくおねがいします
No.24359 - 2014/02/13(Thu) 19:50:13
☆ Re: / ヨッシー

この図の矢印の上端に当たる面で切った断面と、矢印の下端に
当たる面で切った断面は、いずれも１辺が√2の正三角形で
互いに60°傾いています。
そして、その間のいくつかの断面で切った断面を、断面に垂直な
方向から見た図が、

これです。

上端と下端の正三角形以外は六角形ですが、それらの辺は
上端の正三角形の辺または下端の正三角形の辺と平行です。
（平行な２つの平面が、１つの平面と交わるとき、２つの交線は
平行であるから）
よって、６つの角はすべて120°です。

前者、後者とありますが、どれが前者でどれが後者でしょうか？
ちなみに、↓は、同じ立体を、上からと横からと見たものなので、
同じものです。

No.24362 - 2014/02/13(Thu) 20:21:38
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