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★ 大学入試の問題 / みほ
12人を2つのグループに分ける方法は何通りあるか計算しなさい。

答えは2047通りです。
解き方教えてください。
No.24602 - 2014/02/23(Sun) 15:30:37
☆ Re: 大学入試の問題 / ＩＴ
だれが１人をAさんとします。
Aさん以外の11人はAさんと同じグループになるか違うグループになるかの２通りなので、全部で　2^11=2048通りです

このうち全員がAさんと同じグループになる１通りを引きます。

なお2^10=1024 は分かりやすいので覚えておいて損はないでしょう。
No.24604 - 2014/02/23(Sun) 16:06:19
☆ Re: 大学入試の問題 / ヨッシー
「分ける」というからには、全員同じグループというのは
ないことにします。
メンバーをA,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L とし、まず、
A は固定し、B 以降の11人のメンバーについて、A と同じグループか
別のグループかで２通りの分け方が出来ます。
　よって、2^11＝2048
このうち、全員がA と同じグループというのが１通り含まれるので、
それを除いて、　2048−1＝2047(通り)

A を固定するのに抵抗があれば、グループをX,Y として、
A〜L の12人について、Xに入る、Yに入るの2通りがあり、
2^12＝4096。このうち、すべてX, すべてY を除いて、
4094 通り。
X と Y を入れ換えれば、同じ分け方になるのが、２組ずつあるので、
　4094÷2＝2047(通り)
という考え方もあります。
No.24605 - 2014/02/23(Sun) 16:07:36
★ (No Subject) / クスコ
x>0において関数

　　　ｆ(ｘ)＝sin(logｘ)
を考える。
方程式ｆ(ｘ)＝０の０＜ｘ≦１における解を大きい方から順にならべて

１＝α_1＞α_2＞α_３＞・・・・・・・・・・＞α_ｎ＞α_(ｎ＋１)＞・・・・

とする。以下の問いに答えよ。ただし,log(ｘ)はeを底とする自然対数とする。
なお不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい

(?@)　不定積分I(ｘ),J(ｘ)をそれぞれ

　　　　　　I(ｘ)＝∫e^xsinx dx,J(ｘ)＝∫e^xcosx dx
とおくとき、I(ｘ)＋J(ｘ),I(ｘ)−J(ｘ)を求めよ

(?A)不定積分∫ｆ(ｘ)dxを求めよ

(?B)a_n(ｎ＝１,2,3・・・)を求めよ

(?C)区間α_(ｎ＋１)≦ｘ≦α_n において,曲線ｙ＝ｆ(ｘ)とｘ軸とで囲まれる部分の
面積をS_n(ｎ＝１,2,3・・・・)とする。S_nを求めよ

(?D)無限級数Σｎ＝１からｎ＝∞の和S_nを求めよ


解答解説お願いします
No.24601 - 2014/02/23(Sun) 15:03:18
☆ Re: / ヨッシー
(iii) の a_n はα_1 のことですね？

(i)
I(x)＝∫(e^x)'sinxdx＝e^xsinx−∫e^xcosxdx
　＝e^xsinx−e^xcosx−∫e^xsinxdx
　＝e^xsinx−e^xcosx−I(x)
より、I(x)＝e^x(sinx−cosx)/2
同様に、
J(x)＝e^x(sinx＋cosx)/2
よって
　I(x)＋J(x)＝e^xsinx, I(x)−J(x)＝-e^xcosx

(ii)
t=logx とおくと　dt/dx＝1/x より、dx＝xdt＝e^tdt
　∫f(x)dx＝∫e^tsintdt＝I(t)＝e^t(sint−cost)/2
　　＝x{sin(logx)−cos(logx)}/2

(iii)
log(α_n)＝-(n-1)π より
　α_n＝e^{(1-n)π}

(iv)
f(x)は、α_n ごとに符号が変わるので、
　S_n＝｜∫[α_(n+1)〜α_n]f(x)dx｜
　　＝｜[x{sin(logx)−cos(logx)}/2][α_(n+1)〜α_n]｜
　において、
　log(α_n)＝(1-n)π, log(α_n+1)＝(-n)π
より、
　S_n＝｜e^{(1-n)π}(-cos((1-n)π)/2＋e^(-nπ)cos(-nπ)/2｜
-cos((1-n)π) と cos(-nπ) は常に同符号の−１または１であり、
e^{(1-n)π} と e^(-nπ) は正であるので、
　S_n＝[e^{(1-n)π}＋e^(-nπ)]/2

(v)
S_n は S_1＝(1＋1/e^π)/2 で、公比 1/e^π の等比数列であるので、
　求める級数は
　S_1/(1−1/e^π)＝(1＋1/e^π)/{2(1−1/e^π)}

　　＝
n が奇数の時
　S_n＝｜−e^{(1-n)π}/2＋e^(-nπ)/2｜
　　＝
No.24603 - 2014/02/23(Sun) 16:00:29
★ フーリエ / くるくる
素朴な質問なのですが

フーリエ展開した時,必ずギプスの現象が起こるのですよね。
そうするとあくまで
f(x)≒a_0/2+Σ_{n=1}∞(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))であって,
f(x)=a_0/2+Σ_{n=1}∞(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))となることはないのでしょうか?

即ちフーリエ級数とはf(x)の近似式のこと?
No.24600 - 2014/02/23(Sun) 11:52:32
☆ Re: フーリエ / くるくる
少しわかってきました。
不連続な関数のフーリエ級数は近似関数となり,
連続関数の場合はそのフーリエ級数は一致するのですね。
No.24656 - 2014/03/01(Sat) 07:42:23
★ (No Subject) / 智恵
こちらの(４を教えてください
No.24592 - 2014/02/23(Sun) 00:38:17
☆ Re: / 智恵
このように
tとy
tとxの関係を図示しまして
No.24593 - 2014/02/23(Sun) 00:39:31
☆ Re: / 智恵
答えをこのように出したのですが、ｋ=2√2-2のときが、わかりません。
t=３こで、tが2√2-2のときxは2個共有てんをもつので、２×３の6個となると思ったのですが、５個こが正解らしいです。
なぜそうなりますか？
この三角関数の共有てんを考える問題が苦手だったのを忘れていまして困っています…
普遍的にも教えてくださると嬉しいです
どうぞよろしくお願いいたします。
No.24594 - 2014/02/23(Sun) 00:44:58
☆ Re: / 心
ｔーｘグラフを書けば分かりますが、ｔ＝√２となるｘは一つしかありません。（ｔの値１つとｘの値一つが対応しています）のこり二つの共有点についてはｔの値一つにつきｘの値が二つ対応しているので２＋２＋１＝５個が正解です。
No.24596 - 2014/02/23(Sun) 06:25:28
☆ Re: / ＩＴ
x-tグラフを描いておられますが、問題の条件でf(x)の定義域は0≦x≦2πですから、定義域外の　x＜0の部分、2π＜x≦(9/4)πの部分は、グラフを描いてはダメです。

あとは、心さんのご指導のとおりです。
No.24597 - 2014/02/23(Sun) 07:06:39
☆ Re: / 智恵
もっと細かく見るのですね
ありがとうございます！
No.24616 - 2014/02/24(Mon) 23:03:04
★ 三角比・円に内接する三角形について / アクオス
少し図がわかりにくいかもしれませんがよろしくお願いします。

AC=3
AB=5
BE,CE=7 です。

これはaとbの値を求める問題なのですが
解答の解説で

PA=a
PB=bとおいて方べきの定理を利用することもできる
と書かれているのですが
PBとPAの二つの数が決まってないのなら無理なような気がするのですが、本当の可能なのでしょうか?


書かれている方べきの定理を使わない解法では
PA:PB:AB=PE:PC:ECとおいて

7a=5b+35......?@

b=5/7 ×(a+3)・・・?A

?Aを?@に代入してaとbの値を求めているのですが
これは理解できるのですが
方べきの定理を使って解くことが出来るのかどうかが知りたいです。

もし方べきの定理を使ったとすると

a:b+7 = b: a+3

b^2+7b=a^2+3a
このような式になってしまうと思うのですが・・・
これではaの式にして代入して解くことも出来ないと思います。


よろしくお願いします。　
No.24586 - 2014/02/22(Sat) 22:02:09
☆ Re: 三角比・円に内接する三角形について / ヨッシー
方べきの定理　ＰＢ：ＰＣ＝ＰＡ：ＰＥ
に、ＡＢ：ＣＥ＝５：７ を加え
　ＰＢ：ＰＣ＝ｂ：(a+3)＝５：７
　ＰＡ：ＰＥ＝ａ：(b+7)＝５：７
とすれば出来ますが、結局は上の?@?Aが出てくるだけです。
No.24587 - 2014/02/22(Sat) 22:16:52
☆ Re: 三角比・円に内接する三角形について / アクオス
ヨッシーさんありがとうございます。
方べきの定理をそのように使ってもいいということは知りませんでした。

ありがとうございました。
No.24589 - 2014/02/22(Sat) 22:43:29
★ 図形の問題 / 菊池　悠斗
こちらの問題を今回は解いていただきたいです。難関大ﾚﾍﾞﾙの問題で模試からのものです。(1)からわからなくなってしまいお時間がある方で図解していただけるとなおさらありがたいです。(3)は難問です。(T_T)
No.24577 - 2014/02/22(Sat) 14:21:06
☆ Re: 図形の問題 / ＿
どうして元の所に続けて書かないのですか？

＃まして、元のところ解く上でのアドバイスをされている方もいらっしゃいます。その善意を無駄にするような事をするのはちょっとどうなんでしょうねえ。
No.24578 - 2014/02/22(Sat) 14:52:16
☆ Re: 図形の問題 / 菊地　悠人
すいません、後からアドバイス見ましたので...解答も無いので今回はどうしても解けなかったこととします。
No.24579 - 2014/02/22(Sat) 17:11:49
☆ Re: 図形の問題 / 菊地　悠人
もう既に友人に解いてもらいました。御心配要りませんので結構です。
No.24580 - 2014/02/22(Sat) 17:12:51
☆ 老婆心ですが(と書いておこう) / ＿
向こうのあなたの、アドバイスを受けての書き込みが14時17分。そして上記の親発言が14時21分で、つまり、この質問の投稿はアドバイスを確認してから行ったということになります。これが何を意味するかは分かりますよね？

あまり不誠実な振る舞いはすべきではないです。

＃なお、両掲示板の時刻に誤差が4分もないことは実際に確認済です。
＃個人的には「どうしても解けなかった」にいたる時間がちょっと短すぎやしないかな、とか、もうちょっと考えるべきでは、とも思いますが、それはまあどうでもいいことですか。

<!-- -->
No.24581 - 2014/02/22(Sat) 18:09:39
☆ Re: 図形の問題 / 菊地　悠人
ヨッシー先生のような素晴らしい先生になられてから御発言くださいね。さようならぁ。
No.24582 - 2014/02/22(Sat) 19:17:39
☆ Re: 図形の問題 / angel
> ヨッシー先生のような素晴らしい先生になられてから御発言くださいね。さようならぁ。

おいおい。正気ですかね。
まあ、どのような態度を取ろうと自由ですが、その結果どのような扱いを受けることになるかは自分の責任ですからね。
No.24584 - 2014/02/22(Sat) 19:27:44
☆ 管理人より / ヨッシー
この記事に追加返信することは、控えてください。
No.24585 - 2014/02/22(Sat) 19:36:36
★ (No Subject) / ヒキニート
鋭角三角形ABCの内接円の中心をIとする。線分AI、BI、CIと内接円の交点をD、E、FとしてB'C'、C'A'、A'B'がそれぞれD、E、Fで内接円と接するようにA'、B'、C'をとる。このときAA'、BB'、CC'が1点で交わることを示せ。
No.24569 - 2014/02/21(Fri) 23:04:37
★ (No Subject) / 心
楕円Cがある。C上の接点をT、焦点をF,F'とおくと
Tを通る接線は∠FTF'の外角を二等分することを証明せよ。

を教えてください。


つぶやき）双曲線の接線は∠FTF'の内角を二等分するという証明は
角の２等分線の性質をつかっていけましたが、こちらも似たような方法でいけるのでしょうか

よろしくおねがいします
No.24567 - 2014/02/21(Fri) 22:09:17
☆ Re: / ヨッシー
接線が外角を二等分する→法線が内角を二等分する
という見方をすればどうでしょうか？
No.24568 - 2014/02/21(Fri) 22:35:59
☆ Re: / 心
ありがとうございます。

その際、法線とｘ軸の交点はFF'上にあるといえますか？

法線を求めて調べてみるとq=0orx=p(a^2-b-2)/a^2なるものが出てきました。そうすると新たな疑問が出てきました。ｑ＝０とは？あれ、ｑ＝０のときってそもそも外角を二等分してないんじゃないか、と。
No.24575 - 2014/02/22(Sat) 11:20:30
☆ Re: / 心
よろしくおねがいいたします
No.24595 - 2014/02/23(Sun) 05:57:35
★ 二次関数 / 窮糠
aを定数として、二次関数y=x^2+(2a-1)x+(a^2+2a+2)のグラフを考える。
（１）グラフが点(1,-2)を通るときa=(ﾌ)である。そのとき、グラフの頂点の座標は(ﾍ,ﾎ)である。
　y=x^2+{2*(-4)-1}x+(16-8+2)
　y=x^2-9x+10 (ﾌ)=4
　y={x^2-9x+(9/2)^2}-(9/2)^2+10
　y=(x-9/2)^2-81/4+40/4
　y=(x-9/2)^2-41/4 (ﾍ)=9/2　(ﾎ)=-41/4
（２）グラフと直線x=2との交点のy座標の値が最小となるのは、a=(ﾏ)のときである。
　x=2のとき、y=a^2+6a+4
解の公式により、 a=-9±√5 (ﾐ)=-9-√5
（３）（１）のときのグラフは（２）のときのグラフをx軸方向に(ﾑ)、y軸方向に(ﾒ)平行移動したものである。
答えがないので確認してほしいです。
（３）は（１）と（２）があっている場合に解こうと思います。
No.24563 - 2014/02/21(Fri) 19:23:03
☆ Re: 二次関数 / らすかる
何だかかなり違う気がしますが・・・
最初の
y=x^2+{2*(-4)-1}x+(16-8+2)
この式はどこから出てきたのですか？
No.24564 - 2014/02/21(Fri) 19:42:27
☆ Re: 二次関数 / 窮糠
（１）はすごい間違いをしました・・
x=1とy=-2を関数に代入して
-2=1^2+2a-1+a^2+2a+2
a^2+4a+2=-2 a=-2 (ﾌ)=-2
a=-2を関数に代入
y=x^2-5x+2
y=(x^2-5x+(5/2)^2)-(5/2)^2)+2
y=(x-5/2)^2-17/4 (ﾍ)=5/2　(ﾎ)=-17/4であってますか？
（２）はわからないのでヒントか答えを教えていただきたいです。
No.24566 - 2014/02/21(Fri) 21:43:05
☆ Re: 二次関数 / らすかる
(1)はそれで正しいです。
(2)はx=2のときy=a^2+6a+4=(a+3)^2-5ですから
a=-3のとき最小値-5となります。
No.24570 - 2014/02/22(Sat) 05:34:04
☆ Re: 二次関数 / 窮糠
回答ありがとうございます。
（３）は（２）の頂点(2,-5)と（１）の頂点(5/2,-17/4)を重ねる。
x軸方向に5/2-2=1/2　y軸方向に-17/4-(-5)=3/4でよろしいでしょうか？
No.24571 - 2014/02/22(Sat) 09:01:43
☆ Re: 二次関数 / らすかる
(2)の頂点は(2,-5)ではありません。
No.24572 - 2014/02/22(Sat) 09:11:49
☆ Re: 二次関数 / 窮糠
あっ、そうですね a=-3を代入
y=x^2+(2(-3)-1)x+((-3)^2+2(-3)+2)
y=x^2-7x+5
y=x^2-7x+(7/2)^2-(7/2)^2+5
y=(x-7/2)^2-29/4 (7/2,-29/4)
x軸方向に5/2-7/2=-1　y軸方向に-17/4+29/4=3ですか？
No.24574 - 2014/02/22(Sat) 11:14:07
☆ Re: 二次関数 / らすかる
はい、それで正解です。
No.24576 - 2014/02/22(Sat) 12:51:56
☆ Re: 二次関数 / 窮糠
返信遅くなってしまい申し訳ありません;;
ありがとうございました^^
No.24588 - 2014/02/22(Sat) 22:26:41
★ (No Subject) / ヒキニート
鋭角三角形ABCの内接円の中心をIとする。線分AI、BI、CIと内接円の交点をD、E、FとしてB'C'、C'A'、A'B'がそれぞれ内接円と接するようにA'、B'、C'をとる。このときAA'、BB'、CC'が1点で交わることを示せ。
No.24560 - 2014/02/21(Fri) 18:21:01
☆ Re: / ヨッシー
点Ｄ，Ｅ，Ｆが、全然使われていませんが、Ａ’，Ｂ’，Ｃ’を
決めるのに必要なのではありませんか？
No.24561 - 2014/02/21(Fri) 18:31:20
☆ Re: / ヒキニート
すいません訂正版はこちらです。

鋭角三角形ABCの内接円の中心をIとする。線分AI、BI、CIと内接円の交点をD、E、FとしてB'C'、C'A'、A'B'がそれぞれD、E、Fで内接円と接するようにA'、B'、C'をとる。このときAA'、BB'、CC'が1点で交わることを示せ。
No.24562 - 2014/02/21(Fri) 19:04:50
★ (No Subject) / よう
ごめんなさい。下のファイルは間違えたんです。
No.24558 - 2014/02/21(Fri) 16:26:17
☆ Re: / ヨッシー
f(x)=x^2-ax+a^2 (0≦x≦1)
変形して
　f(x)=(x-a/2)^2+(3/4)a^2　　……Ａ〜Ｄ
0≦x≦1 という条件がなければ、x=a/2 のとき、最小値(3/4)a^2
です。（頂点で最小）
ここでは、0≦x≦1 の範囲に、頂点があるかないかで分けないといけません。

図の赤丸が最小値を与える点です。

a/2≦0 つまり a≦0 のとき
　ｘ＝０ で最小値　a^2　　……Ｅ〜Ｇ
0＜a/2＜1　つまり　0＜a＜2　のとき
　ｘ＝a/2 で最小値　(3/4)a^2　……Ｈ〜Ｌ
1≦a/2　つまり　2≦a のとき
　ｘ＝１　で最小値　1-a+a^2　…Ｍ〜Ｏ
No.24559 - 2014/02/21(Fri) 16:59:12
★ 関数の問題です。 / よう
先生。赤いところはわかりません。
そもそも討論の仕方はわかりませんので、教えて下さい。
No.24556 - 2014/02/21(Fri) 16:24:37
☆ Re: 関数の問題です。 / よう
> 先生。赤いところはわかりません。
> そもそも討論の仕方はわかりませんので、教えて下さい。
No.24557 - 2014/02/21(Fri) 16:24:57
☆ Re: 関数の問題です。 / angel
「赤いところ」と「討論のしかた」が良く分かりませんが…
(1)は既に答えが出ているようなので、(2)について。

不等式の書きなおし ( L〜N ) については、xの付く項とそれ以外でまとめている様子が伺える ( 普通にまとめる時によくやること ) なので、そのように。
展開して x の付く項を左辺に移項し、それ以外を右辺に移項すると、
　rx-2x＞r^3-6r^2+12r-8
なので、ここから因数分解を。

rの範囲 ( R〜Q ) については、?Aの不等式が結局のところxの一次不等式であるところから、解が x＞α もしくは x＜α のどちらかの形になることに注意。( αは何かrの整式 )
＞か＜かは、rの値によりxの係数の正負がどちらになるかで変わります。

最後「不等式?Aを満たす全てのxが不等式?@ ( 解 x＜1,x＞4 )を満たす」についてですが、悩ましいようなら、上で出たαに適当な値を仮定して考えてみましょう。

例えば
　?Aの解が x＞5 ( α=5に相当 ) ならば…
　x＞5を満たす全てのxは ?@の x＜1,x＞4 を満たしますから○です。
　でも?Aの解が x＞3 ( α=3 ) だと、x=3.5等が?@を満たしませんから×。
このように色々なケースを試すと、境界がα=4と分かります。α=4ならぎりぎり○ということで、?Aの解がx＞αならばα≧4を解いてrの範囲を求めます。
同様に、?Aの解がx＜αならばα≦1を解いてrの範囲を求めます。
と、このように?Aの解が x＞α の形か、x＜α の形になるかで場合分けして解きます。

答えとしては、
　L: 2, M: 2, N: 3, O: 6, P: -2, Q: 2
となるでしょう。
No.24573 - 2014/02/22(Sat) 09:33:48
★ (No Subject) / 智恵
添付の問題について、ヒントの通り置けばできましたが、ヒントがなければ、tanで置換することは到底思い付けません。
他の方法はありませんか？？？
どうかお願いします。
No.24552 - 2014/02/21(Fri) 14:33:02
☆ Re: / ヨッシー
円に接するということがわかっているなら、その中心を(X,Y)と置いて、
この点から直線までの距離ｄを考えると
　ｄ＝|(1-t^2)X−2tY−1−t^2|/√{(1-t^2)^2＋4t^2}
　　＝|(1-t^2)X−2tY−1−t^2|/√(1+t^2)^2
　　＝|(1-t^2)X−2tY−(1＋t^2)|/(1+t^2)
ここまでで、(X,Y)＝(0,0) とすれば、距離は常に ｄ＝１ であることに気づく。
とかどうでしょう？
No.24553 - 2014/02/21(Fri) 15:34:32
☆ Re: / sp@rk
直線(1-t^2)x-2ty=1+t^2が円に接するということがわかっているので，円の接線の方程式を思い出すのも1つの手です．
直線の式を変形すると，
{(1-t^2)/(1+t^2)}x-{2t/(1+t^2)}y=1
なので，X=(1-t^2)/(1+t^2), Y=-2t/(1+t^2)とおいて，X^2+Y^2を計算すると，X^2+Y^2=1となり，円x^2+y^2=1の接点(X,Y)における接線の方程式となることがわかります．

ヒントの置き換えは，tan(θ/2)=tとおくと，
sinθ=2t/(1+t^2), cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)
となることを利用しろということです（多分）．この置換は積分の計算でもよく見かけるので覚えておくほうがいいでしょう．
No.24555 - 2014/02/21(Fri) 16:12:25
☆ Re: / ＿
とりあえず何本か直線を引いてみてはどうですかね。

t=1,-1,0のときそれぞれ直線はy=-1,y=1,x=1で、これらすべてに接する円は(0,0)あるいは(2,0)を中心とする半径1の円。あとは、どちらが正しいかを実際に確かめてみるという具合に。
No.24565 - 2014/02/21(Fri) 20:53:41
☆ Re: / 智恵
皆さん何通りもありがとうございます

沢山方針がたつのですね！
媒介変数のようにして解くのがわたしでもできそうです。本当にありがとうございます！
No.24591 - 2014/02/23(Sun) 00:30:55
★ (No Subject) / 智恵
科目としては生物なのですが、手法としては数学なので、どうか質問させてください
以下の問題の(1で、グラフと、式を出して答える問題です。
No.24539 - 2014/02/20(Thu) 20:44:28
☆ Re: / 智恵
こちらが模範解答です
No.24540 - 2014/02/20(Thu) 20:45:27
☆ Re: / 智恵
わたしはこのように二次関数を書いてしまいました。実験として多少誤差があると考え折れ線グラフが書けるのでしょうが、これは対数的に変化しないと言い切れるのはどこから判断できるのでしょうか。
毎年グラフにさせる問題がでるのですがいつも間違います。
どうか、教えてください。
No.24541 - 2014/02/20(Thu) 20:49:00
☆ Re: / ＩＴ
画像がゆがんでいるせいかも知れませんが、智恵さんの描いたグラフは目盛りが不均等のように見えます。
方眼紙にプロットして見ましょう。

素直に見れば、少なくともたんぱく質Aの濃度0〜1.6の範囲では直線で近似するのが妥当だと思います。
No.24542 - 2014/02/20(Thu) 21:21:21
☆ Re: / ＩＴ
（追伸）
もっと広い範囲では、高次関数や対数関数、指数関数などでの近似が適当になるかも知れませんが、高次関数や対数関数、指数関数も局所的に見れば、一次関数で近似されます。

明らかに一次関数では適合しないと見える場合を除き、まず一次関数で近似してみればよいと思います。
No.24543 - 2014/02/20(Thu) 21:58:54
☆ Re: / 智恵
本番は、白紙に自由に書く形なのです…。気を付けます。
追伸でおっしゃられたことを肝に命じたいと思います！ありがとうございます！
No.24551 - 2014/02/21(Fri) 14:31:18
★ 解と係数の関係 / 菊池　悠斗
昨日に続き質問させていただきます。こちらの3問を解いていただきたいのですが、一応(1)(2)を解いてみました。(1)の答えは2だと思うのですが...あと、添付写真で(3)が二つあったので印刷ﾐｽなので(4)に訂正しておきます。宜しくお願い致します。ﾃｽﾄが近いのでこれから質問が増えるかもしれませんがどうぞよろしくお願いいたします。
No.24537 - 2014/02/20(Thu) 20:34:54
☆ Re: 解と係数の関係 / ヨッシー
(1)
P(x)=x^3+(a-1)x^2-(a+2)x-6a+8 において
P(3)＝27+9(a-1)-3(a+2)-6a+8＝20
なので、求める余りは 20。

(2)
P(-2)=0 なので、P(x) は (x+2) を因数に持ちます。
実際に割ってみると
　P(x)＝(x+2){x^2+(a-3)x-3a+4}

(3)
P(x)=0 の解のひとつは x=-2 なので、
　x^2+(a-3)x-3a+4=0　…(i)
から得られる解が実数であるためには、判別式を取って、
　(a-3)^2+4(3a-4)≧0
これを解いて、　a≦-7 または 1≦a。

(i) が重解を持つのは、a=-7 または a=1。
a=-7 のとき (i) は x^2-10x+25=0 となり、解は　x=5(重解)
a=1 のとき (i) は x^2-2x+1=0 となり、解は　x=1(重解)

(i) の解のひとつが x=-2 のとき (i) に x=-2 を代入して、
　4-2(a-3)-3a+4=0 より a=14/5
このとき(i)は
　x^2-x/5-22/5=0
これを解いて、x=-2, 11/5
以上より、a=-7, 1, 14/5

(4)
(3) より、-7＜a＜1 のとき、(i)　が虚数解を持ちます。
解と係数の関係より　α＋β＝3-a, αβ＝4-3a
α^2＋β^2＝(α＋β)^2−2αβ＝(3-a)^2-2(4-3a)＝a^2+1＝ｋ
α^2β^2＝(αβ)^2＝(4-3a)^2＝9a^2-24a+16＝5k
これを解いて、a=11/2, 1/2 ですが、-7＜a＜1 を満たすのは a=1/2。
このとき、ｋ＝a^2+1＝5/4
No.24549 - 2014/02/21(Fri) 10:45:56
☆ Re: 解と係数の関係 / 菊地　悠人
(1)後からやってみると20になりました。御丁寧な解説していただき有難うございます！大変役に立ちました。
No.24554 - 2014/02/21(Fri) 15:54:36
★ (No Subject) / よう
http://i.imgur.com/ATvLaQz.jpg

せんせい。皆さん、
これは日本留学試験平成２２年第一回の問題です。お願いします
No.24534 - 2014/02/20(Thu) 18:48:22
☆ Re: / ヨッシー
A(0,3), P(α,1), Q(β,-1) において、
AP の傾きは -2/α、AQ の傾きは -4/β
よって、∠ＰＡＱ＝90°のとき、傾きの積が−１なので、
　8/αβ＝-1　よって　αβ＝-8

ＰＱ^2＝(β−α)^2＋(-1-1)^2＝(β−α)^2＋４
展開して
　ＰＱ^2＝α^2＋β^2−2αβ＋４
　　　　＝α^2＋β^2−2(-8)＋４
αβ＝−８　より
　　ＰＱ^2＝α^2＋β^2＋20
相加相乗平均　α^2＋β^2≧2√(α^2β^2)＝2|αβ| より
　　ＰＱ^2≧2|αβ|＋20＝36
等号は　α^2＝β^2　つまり、α＝−β のときで、
αβ＝−８　かつ　α＜０＜β　より
　α＝−2√2、β＝2√2
の時成り立ち、このとき　ＰＱ^2＝36　よって　ＰＱ＝６　が
最小値となります。
No.24535 - 2014/02/20(Thu) 20:10:08
★ よろしくお願いします / 桜ホールドストック
Rを正の数とし、座標平面において原点を中心とする半径Ｒの円周上に点Pをとる。Ｑは定点(R/2,0)とする。ｍを正の数とし、線分PQのＱの方向へ延長線上に点Sを、PＱ:QS=ｍ:1となるようにとる。
(1)Pがこの円周上を動くとき、点Sの軌跡を求めよ
(2)点Sの軌跡が不等式ｘ^2+ｙ^2>Ｒ^2の表す領域に含まれるようなｍの値の範囲を求めよ
No.24530 - 2014/02/20(Thu) 11:05:54
☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー
(1)
Ｐの座標は (Rcosθ, Rsinθ) と書けるので、
ＰＱ を (m+1):1 に外分する点Ｓの座標は
　Ｓ((-cosθ＋(m+1)/2)(R/m), -sinθ(R/m))
と書けます。これを(x, y) とおくと、
　ｘ＝(-cosθ＋(m+1)/2)(R/m)
　ｙ＝-sinθ(R/m)
これより
　cosθ＝(m+1)/2−mx/R
　sinθ＝-my/R
これを、cos^2θ＋sin^2θ＝1 に代入して整理すると、
　{x−R(m+1)/2m}^2＋ｙ^2＝(R/m)^2
という円の式が点Ｓの軌跡となります。
(2)
Ｓの軌跡は中心 (R(m+1)/2m, 0)、半径 R/m の円であり、
ｘ^2+ｙ^2＝R^2 の示す円は、中心(0,0) 半径Ｒ であるので、
　中心距離：R(m+1)/2m
に対して　R(m+1)/2m＋Ｒ＜R/m であれば、Ｓは
　ｘ^2+ｙ^2＝R^2
の外側にあります。
　R(m+1)/2m＋Ｒ＜R/m
両辺 2m/R (＞0) を掛けて
　(m+1)＋2m＜2
展開して移項すると
　3m＜1
よって、m＜1/3

No.24531 - 2014/02/20(Thu) 11:56:07
☆ Re: よろしくお願いします / 桜ホールドストック
わかりやすい図、ありがとうございます！
おかげさまで、納得して解けました。
No.24546 - 2014/02/21(Fri) 00:48:53
★ (No Subject) / gyouretsu
行列で一つでも成分に０があったらｎ乗はすぐもとまりますか？

例えば
a b
c 0

という成分のｎ乗は
{(b^n-c^n)/(b-c)｝*a b^n
c^n 0

で合っていますか？よろしくおねがいします　b≠ｃです
No.24527 - 2014/02/19(Wed) 23:51:13
☆ Re: / gyouretsu
文字が異なると違う値だとします（上の記事も同様）
a b
0 c
だと
a^n (a^n-c^n)/(a-c)*b
0 c^n

a b
0 a
だと
a^n na^(n-1)*b
0 a^n

ここまでは知っているのですが

この０が（１，１成分）or（１，２）成分or(2,2)成分にあるときもこれらのように簡単に求まるのかという意図です。

よろしくおねがいします。
No.24528 - 2014/02/20(Thu) 00:09:26
☆ Re: / ヨッシー
合っていますか？に対してなら、
ｎ＝２ で既に違うので、合っていません。
No.24529 - 2014/02/20(Thu) 07:04:19
☆ Re: / gyouretsu
ありがとうございます。やっぱり合わないようですね。
ではｎ乗した結果はどうなりますか？

a b
c 0

a b
b 0

0 b
c d

0 b
b d

a 0
c d

a 0
c a

のｎ乗がどうなるのか教えてください。よろしくおねがいします
No.24532 - 2014/02/20(Thu) 15:04:17
☆ Re: / らすかる
↓このようにこのサイトで入力すれば答えが得られます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28a%2Cb%29%2C%28c%2C0%29%29%5En
No.24533 - 2014/02/20(Thu) 17:04:45
☆ Re: / gyouretsu
ありがとうございます。つまり２−２行列では、上三角行列かした三角行列しか簡単には求まらないということですね。
No.24550 - 2014/02/21(Fri) 11:06:24
★ 地学??3 / 菊池　悠斗
3問目です。以上3問です。お願いいたします。↓
No.24521 - 2014/02/19(Wed) 22:59:13
☆ Re: 地学??3 / ヨッシー
ア、イ は、こちらを見ていただくとして、
Ｍ＝７の振幅は 10000000、Ｍ＝５の振幅は100000 なので、
ウは100(倍)です。
エも、上記の Wikipedia を見ると、Ｍが２違うとエネルギーは1000倍
とあります。
No.24526 - 2014/02/19(Wed) 23:39:13
☆ Re: 地学??3 / 菊池　悠斗
わざわざｳｨｷまで載せていただきありがとうございます。今後は他の参考書なども活用して頑張っていきたいと思います。
No.24536 - 2014/02/20(Thu) 20:30:30
★ 地学??2 / 菊池　悠斗
2問目です。
No.24520 - 2014/02/19(Wed) 22:58:07
☆ Re: 地学??2 / ヨッシー
これは普通の算数ですね。
(1)
水平といっても、南北に1ｍか、東西に１ｍかによりますが、
何も書いていないので、同じ方向と決めつけるしかないですね。
100年に１ｍなので、10万年だと
　100000÷100＝1000(m) 約１ｋｍ
(2)
200+8600＝8800(m) 隆起したので、
8800000(mm)÷40000000＝0.22(mm)
No.24523 - 2014/02/19(Wed) 23:11:41
☆ Re: 地学??2 / 菊池　悠斗
算数の問題が解けなかった何てお恥ずかしい限りです。ﾃｽﾄでは頑張って今回の勉学の成果を十分に発揮してきます。
No.24525 - 2014/02/19(Wed) 23:34:24
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