すべての実数で連続な関数f(x)とg(x)を用いて、数列{x(n)}と{y(n)}を以下のように定義する
x(1)=0
x(n+1)=f(x(n)) (n=1,3,5,…), g(x(n)) (n=2,4,6,…)
y(1)=0
y(n+1)=f(y(n)) または g(y(n)) (n=1,2,3〜)
このとき、lim[n→∞]x(n) が存在するならば、lim[n→∞]y(n) は存在するか。
グラフで考えると感覚的にはわかるような気がするのですがちゃんとした証明は可能ですか？
高校数学レベルでお願いします。
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No.23577 - 2013/12/23(Mon) 22:30:57
| ☆ Re: 数列の極限 / らすかる | | | y(n+1)=f(y(n)) または g(y(n)) (n=1,2,3〜)
とはどういう意味ですか？
このf(y(n)、g(y(n))をどう選んでも、lim[n→∞]x(n)が存在するとき
lim[n→∞]y(n)が存在すると言えるか、ということですか？
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No.23579 - 2013/12/23(Mon) 22:51:04 |
| ☆ Re: 数列の極限 / ktdg | | | f(x)とg(x)からランダムに選んでy(n+1)を決めるという意味です。
おそらく
>このf(y(n)、g(y(n))をどう選んでも
という意味だと思います。
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No.23583 - 2013/12/23(Mon) 23:57:39 |
| ☆ Re: 数列の極限 / らすかる | | | それならば、
f(x)=(x-2)^2
g(x)=8-x
と定義すると、x[n]は
x[1]=0
x[2]=f(x[1])=f(0)=4
x[3]=g(x[2])=g(4)=4
x[4]=f(x[3])=f(4)=4
x[5]=g(x[4])=g(4)=4
・・・
となりx[n]は4に収束しますが、y[n]は例えば
y[1]=0
y[2]=g(y[1])=g(0)=8
y[3]=f(y[2])=f(8)=36
y[4]=f(y[3])=f(36)=1156
・・・
のようになって一般に収束しませんね。
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No.23584 - 2013/12/24(Tue) 01:17:47 |
| ☆ Re: 数列の極限 / ktdg | | | ありがとうございます。
この問題は、以下の問題を解いていたときに疑問におもったことです。
pを実数の定数として f(x)=px+1, g(x)=-px+2とおき, 数列{x(n)}を
x(1)=0, x(n+1)=f(x(n)) (n=1,3,5…) , g(x(n)) (n=2,4,6…)
で定める。
(1)
極限値 lim[n→∞]x(n) が存在するようなpの条件は何か。
(2)
pは(1)で求めた条件を満たすとして、数列{y(n)}を次のように定める。まずy(1)=0 とおき、10進少数√2=1.41421356…の少数第n桁目の数字が奇数ならy(n+1)=f(y(n))、偶数ならy(n+1)=g(y(n))とする。このとき、極限値 lim[n→∞]y(n) が存在することを示せ。
(1)の答えはp=1/3なので、
y(n+1)=(1/3)y(n)+1 または -(1/3)y(n)+2 (√2の少数の第n桁目による)
となりますが、いずれの場合も
|y(n+1)-3/2|=(1/3)|y(n)-3/2|
となり、y(n)は3/2に収束します。
これは、√2の少数第n桁目が、偶数か奇数かによってy(n)を定めなくても、ランダムにf(x)とg(x)から選んで作られるどのような数列{y(n)}も3/2に収束するということを示しています。
すべての実数で連続な任意の関数f(x), g(x)でこのようなことが成り立つと思い、質問したのですが、らすかるさんの挙げた反例のように成り立たない場合もあるとわかりました。
そこで、新たな質問なのですが、上の問題のf(x)とg(x)のような性質を持つ関数の組み合わせはどのようなものになるのでしょうか？
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No.23590 - 2013/12/24(Tue) 22:38:05 |
| ☆ Re: 数列の極限 / らすかる | | | > 上の問題のf(x)とg(x)のような性質を持つ関数の組み合わせは
> どのようなものになるのでしょうか？
「f(x)とg(x)のような性質を持つ関数の組合せをすべて挙げる」のは
難しそうですが、例で良ければ
「f(x)もg(x)も傾きの絶対値が1未満であり、f(x)とg(x)の交点の
x座標とy座標が等しい」
という条件があれば成り立つと思います。
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No.23591 - 2013/12/25(Wed) 01:01:56 |
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