ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / よう

これは日本留学試験数学1平成16年　第二回の中の質問です。
http://imgur.com/KedtHRD

（2）のところはお願いします。

No.24516 - 2014/02/19(Wed) 18:04:45

☆ Re: / ヨッシー

ａ＞０　なので、軸はｙ軸よりも左に来ます。
その状況で、-1≦ｘ≦1 に対して、-1≦ｙ≦2 となるのは、
図の左のように、頂点のｙ座標がー１，ｘ＝１の時の値が２
となる場合です。

他の可能性として、軸がｘ＝－１より右にあって、
ｘ＝－１でｙ＝－１、ｘ＝１でｙ＝２となる場合も考えられますが、
一番傾きが緩やかな頂点からｘ方向に２進んでも、ｙ方向に
４進むので、値域の幅が３（-1～2) になることはありません。

頂点のｙ座標　ｂ－４ａ^2＝ー１
ｘ＝１のとき　ｙ＝４ａ＋ｂ＋１＝２
これを、ａ＞０の範囲で解いて、
　ａ＝(√3－1)/2、　ｂ＝３－２√3
となります。

No.24517 - 2014/02/19(Wed) 18:44:52

☆ Re: / よう

せんせい、なぜ頂点のｙ座標がー１，ｘ＝１の時の値が２なのか、理由はよくわかりませんが、
教えて下さい。

No.24622 - 2014/02/25(Tue) 12:07:00

★ 食塩水 / √

食塩水について教えてください。
（塩水溶液）

水は、１ｍＬ＝１ｇ　なので

１ｇの塩をはかり、この中に、１００ｍＬの位置まで
水を足すと、（メスフラスコを使用）
１％食塩水になります。

では、
塩１００％食塩水というのは、
塩その物だけで、水は無しということですか？

くだらない質問ですみません。

No.24510 - 2014/02/19(Wed) 12:37:17

☆ Re: 食塩水 / ヨッシー

>１ｇの塩をはかり、この中に、１００ｍＬの位置まで
>水を足すと、（メスフラスコを使用）
>１％食塩水になります。
これは正しくありません。
１ｇの塩をはかり、この中に、１００ｇになるまで
水を足すと１％食塩水になります。
食塩水の密度は　1g/mL ではないからです。

食塩は100g の水に 30g も溶けないので、100% どころか
30% にもなりません。
食塩だけの入ったビーカーを持って来て、「100% の食塩水」
と言い張っても、現実的ではありません。

ただし、算数・数学の問題では、「食塩を加える」と言った場合に
「100％の食塩水を加える」と考えることはあります。

No.24511 - 2014/02/19(Wed) 14:36:49

☆ Re: 食塩水 / √

ヨッシーさん　有り難うございました。

そうですね。
アルコールのような「液体」なら高濃度にできるけど、
塩のような「固体」だと限界がありますね。

No.24512 - 2014/02/19(Wed) 15:26:29

★ (No Subject) / よう

先生、お早うございます。先日答えてくださた質問にわからないものがあります。
HOME PAGEに2/15の質問です。
ｍを実数とする。Ｏを原点とする座標平面上で、放物線ｙ＝ｘ2 とその曲線上にある２点
　　Ａ（ａ，ｍａ＋１）、Ｂ（ｂ，ｍｂ＋１）　（ａ＜０＜ｂ）
を考える。
(1)　２点Ａ，Ｂのｘ座標ａ，ｂは、ｍを用いて
　　ａ＝(ｍ－√Ｄ)／[Ａ]、　ｂ＝(ｍ＋√Ｄ)／[Ｂ]
と表される。ここで、Ｄの式は
　　Ｄ＝ｍ2＋［Ｃ］
である。

(2)　線分ＡＢとｙ軸の交点の座標を（０，ｃ）とおくと、ｃ＝［Ｄ］である。

(3)　さらに、３点Ｏ，Ａ，Ｂを頂点とする三角形ＯＡＢの面積Ｓをａ，ｂを用いて表すと、
　　Ｓ＝(1/2)［Ｅ］
である。
　ただし、［Ｅ］には、次の(0)～(5)の中から適切なものを選びなさい。
　(0)a+b　(1)a-b　(2)b-a　(3)a2+b2　(4)a2-b2　(5)b2-a2
また、ｍを用いてＳを表すと
　　Ｓ＝(［Ｆ］／［Ｇ］)√(ｍ2＋［Ｈ］)
であるから、Ｓが最小となるのは、ｍ＝［Ｉ］のときであり、その最小値は　Ｓ＝［Ｊ］である。

Ｓ＝(1/2)(ｂ－ａ)　　・・・答えは　［Ｅ］＝(2)
これに、(i) を代入すると、
　Ｓ＝(1/2)√（ｍ2＋４)
なせですか

No.24508 - 2014/02/19(Wed) 11:35:20

☆ Re: / よう

すみません、わかりました。

No.24509 - 2014/02/19(Wed) 11:39:29

★ 2次関数の軌跡の問題 / アクオス

数1のセンター試験の問題をしていたところ
数2の範囲の「軌跡」というものが出てきたのですが
数2はまだ勉強していなく、自分でも参考書で調べてみたのですがあまり理解することが出来ませんでした。

放物線y=x^2+ax+a-4の頂点が、ある放物線上にあって
その放物線の式を求める問題なのですが

y=x^2+ax+a-4の頂点をP(x,y)とおくと

x=-a/2

y=-1/4a^2+a-4

このxとyからaを消去してxとyの関係式を求めると
このxとyの関係式が
y=x^2+ax+a-4の頂点の通る放物線ということになるようなのですが、その理由がよく理解できません。

よろしくお願いします。

No.24503 - 2014/02/18(Tue) 22:42:18

☆ Re: 2次関数の軌跡の問題 / ヨッシー

y=x^2+ax+a-4 は変形すると
y=(x+a/2)^2-(1/4)a^2+a-4 となるので、
頂点は (-a/2, -(1/4)a^2+a-4) になる。
というところまでは良いでしょうか？

そうすると頂点の座標を(x,y) とおくと、
　x=-a/2, y=-(1/4)a^2+a-4
ですが、例えば、a=0 の時の頂点は(0,-4)
a=2 の時は (-1, -3), a=-2 の時は (1, -7)
など、ａの値によって頂点はいろんな座標を取ります。
これらの座標は、どういう図形(グラフ)上にあるかというのが
軌跡の問題です。
　x=-a/2　･･･(i)
　y=-(1/4)a^2+a-4　･･･(ii)
(i) より a=-2x これを(ii) に代入して
　y=-(1/4)(-2x)^2＋(-2x)-4
　y=-x^2-2x-4
これが、求める軌跡となります。

No.24504 - 2014/02/18(Tue) 23:13:48

☆ Re: 2次関数の軌跡の問題 / アクオス

ヨッシーさんありがとうございます。
まだ理解できていないのですが
いただいた回答をよく考えてみます。
またよろしくお願いします。

No.24518 - 2014/02/19(Wed) 22:47:21

★ 整数 / ktdg

nを正の整数とし、a(n)=(3+2√2)^nとし、a(n)の整数部分をb(n)とおく。このとき、次の各問に答えよ。
(1) b(n)=a(n)+1/a(n)-1 と表せることを示せ。
(2) b(n)を8で割ったときの余りを求めよ。

(1)は a(n)-1<b(n)≦a(n) と b(n)が整数であることを示せばよいですか？
あと、(2)の答えも教えてください。

No.24499 - 2014/02/18(Tue) 16:43:03

☆ Re: 整数 / ヨッシー

>(1)は a(n)-1<b(n)≦a(n) と b(n)が整数であることを示せばよいですか？
そうですね。
1/a(n)＝(3－2√2)^n なので、(3＋2√2)^n とともに、
二項定理で展開すれば、√2 が消えることになります。

(2)
kＣn＝Ｃ(k,n) と書くことにします。
　a(n)＝Σ[k=0～n]Ｃ(k,n)３^(n-k)(2√2)^k
　1/a(n)＝Σ[k=0～n]Ｃ(k,n)３^(n-k)(2√2)^k(-1)^k
より、
　a(n)＋1/a(n)＝２Σ[k=0～[n/2]]Ｃ(2k,n)３^(n-2k)(2√2)^(2k)
　＝2{3^n＋Σ[k=1～[n/2]]Ｃ(2k,n)３^(n-2k)８^k}
となり、Σ[k=1～[n/2]]Ｃ(2k,n)３^(n-2k)８^k の部分は８の倍数なので、
b(n) を８で割ったあまりは、2・3^n－1 を８で割ったあまりということになります。

No.24501 - 2014/02/18(Tue) 17:32:44

★ (No Subject) / 智恵

行列について質問です

No.24485 - 2014/02/18(Tue) 02:05:04

☆ Re: / 智恵

→OPnをこのように表せたあと、下に書き込んである通り、等比数列の和、のように表現することはやはりできませんか？？？
行列をしばらくやっていなかったらわからなくなってしまいました…！
教えてもらえると嬉しいです、

No.24486 - 2014/02/18(Tue) 02:08:26

☆ Re: / 智恵

添付し忘れました、こちらになります

No.24487 - 2014/02/18(Tue) 02:10:35

☆ Re: / ヨッシー

左の欄の一番下の「(2)の両辺にｋＡをかけて、」に続く部分は、
等比数列の和を求めるのと、同じ考え方をしていると思われます。
ただし、１ーｋＡのように、数字と行列を足すことは出来ませんし、
それで割ると言うことも出来ません。
１－ｋＡをＥーｋＡ（Ｅは単位行列）に変えて、「割る」という
操作を、「逆行列を掛ける」という操作にすれば、表現は
可能かと思います。
というか、右の上の方で、そういうことをやっているのではないでしょうか？

No.24489 - 2014/02/18(Tue) 07:06:05

☆ Re: / 智恵

右では、字数を下げたものを作り、二式をひいて、求めていました。
これが一般的ですか？

No.24490 - 2014/02/18(Tue) 14:24:50

☆ Re: / ヨッシー

等比数列(初項ａ、公比ｒ)の場合
　Ｓ＝ａ＋ａｒ＋ａｒ²＋・・・＋ａｒ^n-1
ｒＳ＝　　ａｒ＋ａｒ²＋・・・＋ａｒ^n-1＋ａｒⁿ
引き算して、
(1-r)Ｓ＝ａ(１－ｒⁿ)
　Ｓ＝ａ(１－ｒⁿ)/(1-r)

行列の場合（初項ｘ、ｋＡがどんどん掛けられている）
　ｐ＝ｘ＋ｋＡｘ＋ｋ²Ａ²ｘ＋・・・＋ｋ^n-1Ａ^n-1ｘ
ｋＡｐ＝ｋＡｘ＋ｋ²Ａ²ｘ＋・・・＋ｋ^n-1Ａ^n-1ｘ＋ｋⁿＡⁿｘ
引き算して
(Ｅ－ｋＡ)ｐ＝(Ｅ－ｋⁿＡⁿ)ｘ
左から(Ｅ－ｋＡ)^-1 を掛けて
　ｐ＝(Ｅ－ｋＡ)^-1(Ｅ－ｋⁿＡⁿ)ｘ
です。（ただし、(Ｅ－ｋＡ)^-1 が存在するものとします)

両者、考え方は同じですが、式の操作が、スカラーと行列で異なります。
一般的といえば、一般的です。
少なくとも、等比数列の和において、上記の変形は鉄則です。

No.24497 - 2014/02/18(Tue) 15:25:30

☆ Re: / 智恵

確かに、数列の和はスカラーだとそう考えていたのが根本にありました。そうみると同じですね。
わかりました、ありがとうございます。

No.24538 - 2014/02/20(Thu) 20:38:09

★ 回転体の体積 / ktdg

xyz空間において、xy平面上に双曲線の一部分
C: x^2-y^2=-1, |x|≦1, z=0
がある。Cをx軸の周りに回転させたときCが通過した点全体からなる曲面をH、Hをz軸の周りに回転させたときHが通過した点全体からなる立体をKとする。
(1)曲面H上の点を P(x,y,z) とするとき、x,y,zのみたす関係式を求めよ。
(2)立体Kの体積を求めよ。

自分なりに解いてみたのですが、解答をなくしてしまい答えがわからないので、(2)の方針と答えを教えてください。
あと、この問題のレベルがどれぐらいのものなのかも教えてくれるとありがたいです。(僕は、大数っぽく評価すれば C***ぐらいだと思いました)。

No.24474 - 2014/02/17(Mon) 21:36:55

☆ Re: 回転体の体積 / ヨッシー

(1)
点Ｐ(x,y,z) とｘ軸との距離 √(y^2＋z^2) をｙに見立てて、
x^2－y^2＝-1 に代入すると、
　x^2－y^2－z^2＝-1
(2)
この曲面をｚ座標ｚ (-√2≦z≦√2) の平面で切ったときの断面に描かれる図形は
　x^2－y^2＝z^2－1
対称性から 0≦z≦√2 の範囲の体積を求め２倍します。
0≦ｚ≦1 のとき
　y^2－x^2＝1－z^2
より、ｚ軸からの最小距離はx=0 の点(0, ±√(1－z^2)) までの、√(1－z^2)
最大距離はx=±1 の点 (±1,±√(2-z^2)）までの √(3－z^2)
よって、これをｚ軸周りに回転したときの面積は
　π{(3-z^2)－(1-z^2)}＝２π
1≦ｚ≦√2 のとき
　x^2－y^2＝z^2－1
より、ｚ軸からの最小距離はy=0 の点(√(z^2－1), 0) までの、√(z^2－1)
最大距離はｘ＝±１の点(±1, ±√(2－z^2)）　までの √(3－z^2)
よって、これをｚ軸周りに回転したときの面積は
　π{(3－z^2)－(z^2－1)}＝π(4－2z^2)
これを積分して
　∫[0～1]2πdz＋∫[1～√2] π(4－2z^2)dz
　＝2π＋π[4z－(2/3)z^3][1～√2]
　＝2π(8√2/3－10/3)
これを２倍して、4π(8√2/3－10/3)

No.24480 - 2014/02/18(Tue) 00:07:14

☆ Re: 回転体の体積 / ktdg

ありがとうございます。

No.24498 - 2014/02/18(Tue) 16:35:23

★ 数列です / 桜ホールドストック

(1)ａ>0とする。項数3の２つの有限数列4,ａ,ｂおよびｂ,ｃ,36はともに等比数列であり、ａ,ｂ,ｃは等差数列とする。このときａ,ｂ,ｃの値を求めよ。
(2)(1)で求めたａに対し、数列｛ａｎ}はａ1=4,ａ2=ａの等比数列とし、数列｛ｂｎ}はｂ1=4を満たし、その階差数列が{ａｎ}に等しいとする。このとき、数列{ｂｎ}の一般項ｂｎを求めよ。
(3)初項をｐとする数列{ｐｎ}において、その階差数列が元の数列と等しいとする。このとき、この数列の一般項ｐｎを求めよ。

(1)は等比中項を使ってみましたが、出すことができませんでした。
どうぞ、解答よろしくお願いいたします。

No.24469 - 2014/02/17(Mon) 15:13:03

☆ Re: 数列です / らすかる

(1)
等差数列a,b,cの公差をdとするとb=a+d,c=a+2d
よって a^2=4(a+d), (a+2d)^2=36(a+d)
第２式から第１式の９倍を引いて整理すると (2a+d)(a-d)=0
2a+d=0のときa=0,-4となり不適
a-d=0のときa=0,8となりa=8のみ適解
このときd=8となり、a=8,b=16,c=24なので条件を満たしている。
∴(a,b,c)=(8,16,24)

(2)
a[1]=4,a[2]=8の等比数列なので a[n]=2^(n+1)
n≧2に対してb[n]=b[1]+Σ[k=1～n-1]a[n]=2^(n+1)
これはn=1でも成り立つので、b[n]=2^(n+1)

(3)
条件からp[1]=p, p[n+1]=2p[n]なので p[n]=p・2^(n-1)

No.24470 - 2014/02/17(Mon) 15:33:30

☆ Re: 数列です / 桜ホールドストック

解けました！！
詳しくありがとうございましま。助かりました。

No.24472 - 2014/02/17(Mon) 16:32:32

★ 知人からの問題です / souta

画像悪くてすみません！
全然解が出ず、悶々としています！
よろしくお願いします！！

No.24452 - 2014/02/17(Mon) 00:15:11

☆ Re: 知人からの問題です / ヨッシー

∠Ｂ＋∠Ｄ＝180°であるので、
　cos∠Ｄ＝-cos∠Ｂ
△ＡＢＣ、△ＡＤＣにおける余弦定理より
　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2－２ＡＢ・ＢＣcos∠Ｂ
　　　　＝17－12√2cos∠Ｂ
　ＡＣ^2＝ＡＤ^2＋ＣＤ^2－２ＡＤ・ＣＤcos∠Ｄ
　　　　＝3＋2√2cos∠Ｂ
よって、
　17－12√2cos∠Ｂ＝3＋2√2cos∠Ｂ
より、
　cos∠Ｂ＝1/√2　∠Ｂ＝45°
ＡＣ^2＝５　より　ＡＣ＝√5

△ＡＢＣにおける正弦定理より
　２Ｒ＝ＡＣ/sin∠Ｂ＝√5÷1/√2＝√10　・・・直径

△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＢＣsin∠Ｂ＝３
△ＡＣＤ＝(1/2)ＡＤ・ＤＣsin∠Ｄ＝1/2
よって、　四角形ＡＢＣＤ＝7/2

△ＡＢＣにおける余弦定理より
　cos∠ＢＡＣ＝(ＡＢ^2＋ＡＣ^2－ＢＣ^2)／２ＡＢ・ＡＣ
　　＝1/√10
よって、
　sin∠ＢＡＣ＝3/√10

No.24455 - 2014/02/17(Mon) 00:36:47

☆ Re: 知人からの問題です / souta

ありがとうございます！
とても分かりやすく、これで知人にも自信を持って教えることができると思います！
すぐ返信をくださるので、とてもビックリいたしました。
受験の役に立つことを願います！

No.24457 - 2014/02/17(Mon) 00:49:17

★ (No Subject) / にん

・１２％の食塩水２００ｇに水を加えて６％にしたい。水をなんｇ加えればよいか？

・８％の食塩水に水を１００ｇ入れたら６％の濃度に変わった。この食塩水は始め何gあったか？

No.24446 - 2014/02/16(Sun) 23:50:35

☆ Re: / ヨッシー

いろんな解き方がありますが、
食塩の量が同じ場合、濃度は食塩水の量に反比例する
を使ってみます。
例：10g の食塩に水を加えて食塩水を作るとき
　100gの食塩水（水は90g）の濃度は　10%
　200gの食塩水（水は190g）の濃度は　5%

濃度が1/2 なので、食塩水の量は２倍の４００ｇにすればいいので、
２００ｇの水を加える。

濃度が 3/4 倍になったので、食塩水の量は 4/3 倍になっている。
増えた 1/3 が１００ｇに当たるので、最初の量は３００ｇ。

No.24448 - 2014/02/16(Sun) 23:56:24

☆ Re: / ヨッシー

食塩の量を計算する方法

食塩の量は　200×0.12＝24(g)
これを　6% の食塩水にした場合
　24÷0.06＝400(g) の食塩水になる。
　400－200＝200(g) の水を加える

最初の食塩水をｘｇとすると、食塩の量は　0.08x
これを６％の食塩水にした場合
　0.08x÷0.06＝4x/3
加えた水の量は
　4x/3－ｘ＝x/3
これが 100g に当たるので、
　x/3=100
　x=300(g)

No.24449 - 2014/02/17(Mon) 00:01:43

☆ Re: / ヨッシー

天秤法による方法

？の部分に何ｇのおもりを吊したら釣り合うかを考えます。

No.24451 - 2014/02/17(Mon) 00:11:49

★ 数列 / ktdg

数列の問題で、一般項を推測して数学的帰納法で証明するパターンでは、「a1=○, a2=□からan=◇と推測できる」のように、推測する過程を解答に書くべきですか？
いきなり、「an=◇を数学的帰納法により示す」と書くのは説明不足ととられてしまいますか？

No.24442 - 2014/02/16(Sun) 23:42:50

☆ Re: 数列 / ＿

数学の答案は感想文ではないので、どのような過程で思いついたかなどは書く必要はないのではないかと思います。

＃あくまで個人的な意見です。少なくとも私はわざわざ書いたりはしません。

No.24444 - 2014/02/16(Sun) 23:47:55

☆ Re: 数列 / ヨッシー

an=◇ を提示して、数学的帰納法で証明してしまえば、
理論上は文句の付けようはありませんが、読み物として、
相手に読んでもらうものとしては、最初の数項を計算して、
そこから推測した過程は書くべきでしょう。

No.24445 - 2014/02/16(Sun) 23:49:03

☆ Re: 数列 / angel

私は_さんと同じ考えですし、現役の時も「どのように思いついたか」を解答として書いたことはありません。
※たとえ傍目には、とてつもなく突拍子もないことを思いついたように見える場合であっても
解答というのは、あくまで自分の導いた答えと、その答えが正解であることを示す根拠を書くものですから。

ただし、テストの場合は「部分点」というのものがありまして。
正答に至らない場合であっても、惜しい所まで考えが進んでいれば、多少点数が貰える場合があります。
その時に、こういった帰納法の問題であれば、「このように推測される」という途中の考えを書いていれば、部分点が貰えるという意味での保険になるかもしれません。
※だから書くべきかどうかまでは私にはなんとも言えませんが…

No.24459 - 2014/02/17(Mon) 02:34:46

☆ Re: 数列 / ktdg

ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

No.24473 - 2014/02/17(Mon) 20:11:44

★ No.24224の続きです。 / 潤一郎

続いて又よろしくお願いします。
No.24224から同じようなプリントを沢山しています。
答がありません。ヨッシー先生に
教えてもらった事から考えています。

このプリントの答は合っているでしょうか？
赤マルのところの質問よろしくおねがいします。

（３）は（４）の問題が出る前にグラフは書けるもの
ですか？

（４）は合っていますか？

（５）は答が√になるのですが。秒に√がついても
おかしくないですか？

又おかしな質問かも知れませんが教えてください。

No.24441 - 2014/02/16(Sun) 23:42:43

☆ Re: No.24224の続きです。 / 潤一郎

何度もすみません。添付するのを忘れて
今投稿しようとしましたら添付ファイルが
大きくて載せられませんでした。小さくして
改めておねがいしますので。待って下さい。
よろしくお願いします。

No.24447 - 2014/02/16(Sun) 23:53:33

☆ Re: No.24224の続きです。 / ＿

↑の通り、添付ファイルが現在では載っていない状態ですが一応…

>（５）は答が√になるのですが。秒に√がついても
>おかしくないですか？

おかしくないです。

たとえば、1辺の長さが1mの正方形ABCDがあるとして、秒速1mの物体がAからCまで対角線上を一直線に進むとき、Aを出発してからCに到着するまでかかる時間は何秒か、と言われたら、これは「√2秒」以外に答えようがありませんよね。

＃このあたりは「有理数・無理数」という考え方を高校で勉強すると思います。

No.24450 - 2014/02/17(Mon) 00:07:31

☆ Re: No.24224の続きです。 / 潤一郎

＿先生。早くにありがとうございました。

すみません。なかなか小さく出来なくて。
切ろうと思います。

（５）の答えをありがとうございました。
よくわかりました。それでは√で出た秒を載せたいと
思いますので。又見てもらえますか？

よろしくお願いします。

No.24454 - 2014/02/17(Mon) 00:36:19

☆ Re: No.24224の続きです。 / 潤一郎

よろしくお願いします。これでＵＰできるかなあ？

No.24456 - 2014/02/17(Mon) 00:42:07

☆ Re: No.24224の続きです。 / 潤一郎

あれ？大きくならない・・・。

質問は同じです。全て合っていますか？

最後の（５）の答の疑問は＿先生が教えて下さったので
ここで答えます。

１２×１２×１／２＝７２
７２×１／２＝３６

３Ｘ＾２＝３６
Ｘ＝＋－２√３

秒なので答２√３秒後です。

No.24458 - 2014/02/17(Mon) 00:52:20

☆ Re: No.24224の続きです。 / ヨッシー

一番右の３の(3)(4)(5) ですね？

(3) は (2) の y=3x^2 のグラフを描くときに
(x,y)＝(0,0), (1,3), (2,12), (3,27), (4,48) を取って
それをつないで描いたように
４秒以上の時も、
(x,y)=(4,48), (5,42),(6,36),(7,18), (8,0)
を取って、結べばグラフが描けます。

(4) は合っています。

(5) も答えの１つはそれですが、もう一つ答えがあります。
(3) のグラフが描ければ、それは見つかるでしょう。

No.24461 - 2014/02/17(Mon) 06:24:20

☆ Re: No.24224の続きです。 / 潤一郎

ヨッシー先生へ

朝早く教えて下さってありがとうございました。

分りました。学校帰って来てから
もう一度挑戦してみます。

遅くなりますがよろしくお願いします。
取りあえず行ってきます。

No.24462 - 2014/02/17(Mon) 07:27:20

☆ Re: No.24224の続きです。 / 潤一郎

こんばんは。

今朝は、ありがとうございました。

あのお、僕も４秒以上の時のグラフを
先生のように考えて座標を見つけて
書き始めたのですが。その時
当てはめるｘｙの関係の式が（４）の
式と同じくなったので

?@どうして既に（３）で
必要だった式がもう一度
（４）で質問されたのかと不思議に思っています。

それとも他に（４）のｘｙの関係の式がなくても
先生の座標は出るのですか？

?A又グラフはこれで合っていますか？
つまり（４）の一次関数のグラフ二つで
それぞれのＸの変域内で書きました。

?B次に（５）の答えですが全く気付きませんでした。
No.24458 から面積１/２は３６の時
つまりもう一つの答えは、６秒後でしょうか？

合っていますか？

No.24479 - 2014/02/18(Tue) 00:02:24

☆ Re: No.24224の続きです。 / ヨッシー

点を打つのは、ある瞬間(４秒とか、５秒とか)の
状態を描けば打つことは出来ます。
それらの点から（さらには、１次関数的に変化する＝
グラフが直線になる）かどうかは、グラフから読み取っても良いし、
ＢＱなどの長さをｘで表して求めても良いです。

いずれにしても、点を打つのと、式を作るのは、必ず
どちらが先と言うことはありません。
グラフなしでも式は作れますし、式がなくてもグラフは
描けます。

６秒後は合っています。

No.24481 - 2014/02/18(Tue) 00:14:01

☆ Re: No.24224の続きです。 / 潤一郎

ヨッシー先生へ

すぐに見ていただいてありがとうございました。

とてもよくわかりました。こんな問題の
出され方が初めてだったので不安でした。

解決できてすっきりしました。

本当にいつも遅い時間でも見ていて下さって
感謝しています。

又よろしくお願いします。

No.24483 - 2014/02/18(Tue) 00:52:05

★ 確率です。 / 桜ホールドストック

合わせて360度になればよいのでしょうか？
解答よろしくお願いいたします。

原点Oから出発して、座標平面上を動く点Pがある。点Pはさいころを投げて出た目の数がｎであるときｘ軸の正方向となす角が(60ｎ)°である方向に距離1だけ動く。
(1)サイコロを二回投げたとき、点Pが原点Oに戻る確率
(2)サイコロを三回投げたとき、点Pが原点Oに戻る確率
(3)サイコロを二回投げたときの点Pと原点Oの距離をXとするとき、Xの平均を求めよ

No.24436 - 2014/02/16(Sun) 18:10:56

☆ Re: 確率です。 / X

これは(3)の問い自体がヒントになっています。
角度ではなくてOPの長さに注目しましょう。

(1)
１回目、２回目のサイコロの目をa,bとすると
２回目のサイコロを振った後のPの座標は
P(cos60a+cos60b,sin60a+sin60b)
∴OP^2=(cos60a+cos60b)^2+(sin60a+sin60b)^2
=2+2cos60(a-b) (∵)加法定理
=(2cos30(a-b))^2 (∵)半角の公式
∴OP=2|cos30(a-b)| (A)
となるので条件を満たすためには
cos30(a-b)=0
ここで
-5≦a-b≦5
∴-150°≦30(a-b)≦150°
よって
30(a-b)=90°,-90°
となるので
a-b=3,-3
これを満たすa,bの値の組は
(a,b)=(1,4),(2,5),(3,6),(6,3),(5,2),(4,1)
の6通りなので求める確率は
6/36=1/6

(2)
１回目、２回目、３回目のサイコロの目をa,b,cとして
(1)と同じ方針でa,b,cの間の関係式を求めましょう。

(3)
(1)の過程と同様にして
まず以下の場合の確率を求めます
(i)a-b=0のとき
(ii)a-b=1,-1のとき
(iii)a-b=2,-2のとき
(iv)a-b=4,-4のとき
(v)a-b=5,-5のとき
後はこれらの場合のOPの長さ(=X)を(A)を用いて求めれば
期待値を計算することができます。

No.24438 - 2014/02/16(Sun) 20:38:44

☆ Re: 確率です。 / 桜ホールドストック

詳しい解答ありがとうございました！
とても分かりやすかったです。このように考えるのですね。
もう一度、自分で解いてみます！

No.24439 - 2014/02/16(Sun) 22:37:31

☆ Re: 確率です。 / 桜ホールドストック

(2)のOPの二乗を上手くまとめてOPにすることができません。
計算を教えていただけたら嬉しいです。

No.24466 - 2014/02/17(Mon) 11:36:14

☆ Re: 確率です。 / ヨッシー

別解になりますが、

サイコロの目によって、点Ｐは図のような方向に動きます。
図形の対称性から最初の目は、１が出た場合に絞っても
結果は同じです。
(1)
２回めの目の出方は６通り。
そのうち原点に戻るのは４が出た時の１通り。
よって、求める確率は　1/6
(2)
２回目、３回目の目の出方は６×６＝３６(通り)
このうち３回めで原点に戻るのは、２回目、３回めで
３，５　の順に出た時と　５，３　の順に出た時の２通り。
よって、求める確率は　２／３６＝１／１８
(3)
２回目に出た目とＯＰの長さの関係は
１が出る：２
２，６が出る：√３
４が出る：０
３，５が出る：１
よって、平均は
　（２＋２×√３＋２×１）／６＝（２＋√３）／３

No.24467 - 2014/02/17(Mon) 12:09:37

☆ Re: 確率です。 / 桜ホールドストック

わかりやすい別解ありがとうございます。
(2)からは、こっちで解いてみます。

No.24468 - 2014/02/17(Mon) 12:45:53