ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ みんなすごいなあ・・・ / 潤一郎

みんなすごい質問で・・・。

高校に行ったら自分はこんなの解けるようになるのかなって
今、自信喪失です。

数学を１からやり直したい。何から始めたらいいですか？
学校の定期テストは中学２年間４で中学３年の２学期で
ようやく５をもらいました。

他の教科はオール５です。でも数学の５は本物では
ないと自分で落ち込んでいます。

どうしたらいいかなあ？すみません。変な質問で。
行きたい高校は数学が成績別でクラス分けらしく
大学に影響するらしいです。
嫌いではないのですが結果に納得してません。
数学特にヨッシー先生のサイトは兄妹みんな
大好きで兄も妹も得意みたいですが
みんな一人で頑張ってきたと親に言われます。
僕もこちらでずっと助けてもらっています。

誰かこんな僕を救ってください。
答がないと不安な問題集を解くという繰り返しです。
よろしくお願いします。

No.24280 - 2014/02/09(Sun) 10:06:16

☆ Re: みんなすごいなあ・・・ / ヨッシー

「１から」なんて言うのは、つきつめたら　１＋１＝２から
とか、１，２，３と数えることからとかになってしまうのですが、
（それほど数学は積み重ねの学問なのです）
ただ、今解けない問題があるとすると、小学１年から今までの
間のどこかにその発端(100%が99%になる瞬間)があるわけです。
その目安としては、解く方針を決めたら、鉛筆を止めずに最後の答えまでたどり着けるかどうかです。
これが出来ないところは、今一歩訓練が必要なところです。

また、中学にもなれば、公式も色々出てきますが、
「公式は覚えるものではなく作るもの」と心得ることです。
二次方程式の解の公式とか、面積の公式とか、基本からたどって、
自分で作れるようにしておくのが良いでしょう。
（その過程は教科書にあるはずです）
公式を使えば時間の短縮にはなりますが、理解が深くなったわけではありません。

頑張ってください。

No.24281 - 2014/02/09(Sun) 11:51:20

☆ Re: みんなすごいなあ・・・ / 潤一郎

ヨッシー先生へ

わざわざお返事ありがとうございました。
すごくジーンとして涙がでそうになりました。

とてもよくわかります。そうやって数学に取り組んで
行きたいと思います。

そうですよね。三角形の面積の出し方も台形の面積の出し方
も理屈が分っていれば公式を覚えなくても小学生の頃は教えてもらって分っていました。そういえばどこからか公式を作る事を忘れている事に気がつきました。

僕は暇があればこちらの皆さんの問題をずっと見ています。
パソコンを開いてこちらのヨッシー先生の数学サイトを
見るのが趣味と言っていいくらい大好きです。
もう中毒ぐらいです。

その分あまりにも高校生の方々の問題の難しさに
毎日何回もわけも分らずただただびっくりしています。

原点に戻って「公式は作るもの」を勉強してみます。

「頑張ってください」のヨッシー先生のことばを一生
忘れないと思います。いつも思い出しながらこれからも
頑張って行きたいと決心しました。

相談に乗ってくださってありがとうございました。
本当に心から感謝しています。前向きになれそうです。
今日は嬉しい日になりました。

本当に本当にありがとうございました。

No.24283 - 2014/02/09(Sun) 12:22:08

★ これがわかりません / まり

こんにちは。

[問] fは[0,1]で単調関数でf(x):=Σ_{n=1}^∞1/2^n I(x-n/(n+1))
(但し,I(x):=0(x<0の時),1(x≧0の時)).

この時,∫_0^1 f(x)dxを計算せよ。解答は無限級数の形で表せ。

の問題で苦慮してます。
どうやってといたらいいのでしょうか?

No.24277 - 2014/02/09(Sun) 05:35:25

☆ Re: これがわかりません / ＩＴ

区間に分けて定義からｆの値を調べます
i/(i+1)≦x＜(i+1)/(i+2) のとき
　f(x)=Σ_{n=1..∞}{(1/2^n)I(x-n/(n+1))}
=Σ_{n=1..i}{(1/2^n)I(x-n/(n+1))}+Σ_{n=i+1..∞}{(1/2^n)I(x-n/(n+1))}
=Σ_{n=1..i}{(1/2^n)1}+Σ_{n=i+1..∞}{(1/2^n)0}
=1-1/2^i になるので

∫_0^1 f(x)dx＝Σ[i=1..∞]∫_{i/(i+1)^(i+1)/(i+2)}(1-1/2^i)dx
＝Σ[i=1..∞](1-1/2^i){(i+1)/(i+2)-i/(i+1)}
＝・・・
と言うかんじになると思います。（細かい点は確認してください）

分かりにくかったら、具体的に0≦x＜1/2,1/2≦x＜2/3,2/3≦x＜3/4でのf(x)から考えてみましょう。

No.24279 - 2014/02/09(Sun) 07:25:26

☆ Re: これがわかりません / まり

有難うございます。

> f(x)=Σ_{n=1..∞}{(1/2^n)I(x-n/(n+1))}
:
> =1-1/2^iになるので

ここがいまいちわかりません。
f(x)は階段状の関数になるので,
f(x)=1/2+2/2^2+3/2^3+… =Σ_{n=1}^∞n/2^nになるのではないのでしょうか?

No.24301 - 2014/02/11(Tue) 02:21:26

☆ Re: これがわかりません / ＩＴ

>f(x)=1/2+2/2^2+3/2^3+…
の分子の1,2,3 はどこから来ましたか？

もう少し詳しく式変形してみます。（案外私のほうが勘違いしているかも）

i/(i+1)≦x＜(i+1)/(i+2) のとき

f(x)
=Σ_{n=1..∞}(1/2^n)I(x-n/(n+1))

　２つの部分に分けて
=Σ_{n=1..i}(1/2^n)I(x-n/(n+1))　+　Σ_{n=i+1..∞}(1/2^n)I(x-n/(n+1))
　前のΣ中ではn/(n+1)≦i/(i+1)≦x　なので、x-n/(n+1)≧0、よって定義より　I(x-n/(n+1))=1。
　後のΣ中ではn/(n+1)≧(i+1)/(i+2)＞x　なので、x-n/(n+1)＜0、よって定義より　I(x-n/(n+1))=0。

=Σ_{n=1..i}(1/2^n)×1　+　Σ_{n=i+1..∞}(1/2^n)×0
=Σ_{n=1..i}(1/2^n)

　これは初項1/2,公比1/2,項数iの等比級数なので
=1-1/2^i

したがって、f(x)は、各区間i/(i+1)≦x＜(i+1)/(i+2)では、一定値1-1/2^iを取る無数に段がある階段状の関数となります。
１ステップの幅も高さもしだいに小さくなります。

No.24302 - 2014/02/11(Tue) 03:12:55

☆ Re: これがわかりません / まり

私の勘違いでした。
仰る通りになりました。

∫_0^1f(x)dx=Σ_{n=1}^∞(1-1/2^n)((n+1)/(n+2)-n/(n+1))
でいいのですね。

No.24346 - 2014/02/13(Thu) 04:27:16

★ 中３/三平方の問題です!!! / まどか

１辺が２?pの正五角形ＡＢＣＤＥがあります。
対角線ＡＣ，ＢＥの交点をＦとするとき、
次の問いに答えなさい。

（１）対角線ＡＣの長さを求めなさい。

（２）対角線ＡＣ,ＢＥに加えＢＤ,ＣＥ,ＤＡ引き、それぞれの交点をＦ,Ｇ,Ｈ,Ｉ,Ｊとします。
　　　五角形ＦＧＨＩＪの面積は正五角形ＡＢＣＤＥの面積の何倍ですか。

答えは（１）(1+√5)cm
　　　（２）7-3√5/2倍

となっております。

解説をどうぞよろしくお願いします！
　

No.24270 - 2014/02/08(Sat) 23:04:10

☆ Re: 中３/三平方の問題です!!! / ヨッシー

(1)

図において、△ＡＣＥと△ＡＥＦは相似で、３つの角は
36°、72°、72°です。
ＡＣ＝ｘとすると、ＡＦ：ＡＥ＝ＡＥ：ＡＣより
　(ｘ－２)：２＝２：ｘ
よって、
　ｘ（ｘ－２）＝４
　ｘ^2－２ｘ－４＝０
これを解いて
　ｘ＝1±√5
ｘ＞０　より　ｘ＝１＋√５　・・・答え
(2)
小さい正五角形の１辺は
　ＡＣ－２ＡＦ＝(１＋√５)－２(１＋√５－２)＝３－√５よって、五角形ＡＢＣＤＥと五角形ＦＧＨＩＪの相似比は
　２：３－√５
であり、面積比はその２乗で、
　４：(３－√５)^2＝４：(14－6√5)
よって、ＦＧＨＩＪはＡＢＣＤＥの
　(14－6√5)/4＝(7－3√5)/2　(倍)　・・・答え

No.24278 - 2014/02/09(Sun) 07:03:52

☆ ありがとうございました!!! / まどか

おかげですっきりと理解することができました！

引き続きがんばります!!!(｀・ω・´)

No.24282 - 2014/02/09(Sun) 12:10:27

★ (No Subject) / 右目

x,y平面において
ax^n+by^n=c(a,b,c,nは0でない実数）・・?@
の(s,t)における接線の方程式を求めよ。
ただし、ｓは?@の定義域内にある接点のx座標、ｔは?@の値域にある接点のy座標とする。

よろしくおねがいします

No.24269 - 2014/02/08(Sat) 22:49:21

☆ Re: / らすかる

ax^n+by^n=c
xで微分
anx^(n-1)+bny^(n-1)・y'=0
y'=-ax^(n-1)/by^(n-1)
よって接線の方程式は
y={-as^(n-1)/bt^(n-1)}(x-s)+t
as^(n-1)(x-s)+bt^(n-1)(y-t)=0
as^(n-1)x+bt^(n-1)y=as^n+bt^n
∴as^(n-1)x+bt^(n-1)y=c

No.24276 - 2014/02/09(Sun) 03:55:41

☆ Re: / 右目

ということはやっぱり6x^5+4y^(1/3)=2の（ｘ、ｙ）＝（ｓ、ｔにおける接線は6ｓx^4+4ty^(-2/3)=2
という風に瞬時に答えが出る・・は正しいんですよね

No.24285 - 2014/02/09(Sun) 23:06:14

☆ Re: / らすかる

6x^5+4y^(1/3)=2 は ax^n+by^n=c の形ではありませんので未検証です。
上と同様に算出できますから、計算してみてはいかがでしょうか。

No.24288 - 2014/02/09(Sun) 23:57:18

☆ Re: / angel

> という風に瞬時に答えが出る・・は正しいんですよね

それは正しくありません。流石に飛躍があります。
らすかるさんのNo.24276の説明で、最後の3行を見て、どのような計算をしているか、その根拠は何かを良く考えてみましょう。
あ…、後y'が^(n-1)を除いてnを含まない形になっているところにも注意ですね。

No.24292 - 2014/02/10(Mon) 07:21:58

★ 確率 / O脚

中学３年です。
袋の中に6枚のカードが入っていて、カードにはそれぞれ数が1つずつ書かれている。それらの数は、次の条件を満たしている。
?@6つの数の中に、無理数がある
?A6つの数の中に、同じ数がある
?B6つの数の中に、2以上の数がある
いま、袋から1枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を確認してからもとにもどすという操作を2回繰り返し、取り出された２つの数の積を考える。作られる全ての積とその値となる確率についてまとめたものが下の表であるとき、次の問いに答えなさい。
(1)aの値を求めなさい。
(2)b,c,dの値を確定することにより、6枚のカードに書かれた数の和を求めなさい。(和のみ解答)

答えは(1)a=11/36 (2)7√2/2です。
問題長くてすいません…
よろしくお願いします。

No.24266 - 2014/02/08(Sat) 21:41:39

☆ Re: 確率 / らすかる

a,b以外の合計は1/2だからa+b=1/2
もし0のカードが2枚以上あるとすると、
0になる確率は1-(2/3)^2=5/9以上となって矛盾するので、
0は1枚だけ。よって積が0となる確率は 1-(5/6)^2=11/36

bは1/2-11/36=7/36と決まる。

異なる数の積でしか出ない数は、確率が(偶数)/36になるから
確率が(奇数)/36であるものはその数の平方根が（正、負どちらか一つだけ）存在する。
（同じものが3枚または5枚でも(奇数)/36になるが、確率が大きすぎて除外される。）
よって±√8=±2√2, ±√2, ±√c は1枚ずつある。
残りの2枚は条件から同じ数であり、2回ともそれを引いた時は
c,2,8以外の正の数になるから、±√dまたは±√4=±2のどれかが2枚ある。
しかし±2があるとすると(±2√2)×(±2)=±4√2となって表と合わないので、
±2はない。従って±√dのどちらかが2枚ある。
c＜|±√c||±√d|＜dだから、|±√c||±√d|=|-1|。
しかしそうすると-1になる確率が4/36=1/9となって矛盾する。
よって条件を満たすカードの組は存在しない。

となってしまいましたが、どこがおかしいのかわかりません。
まさか確率の表が途中で切れてるなんてことはないですよね？

No.24271 - 2014/02/09(Sun) 00:03:53

☆ Re: 確率 / O脚

切れていません…
解説には6枚のカードは-√2、0、1/√2、√2、√2、2√2
となる　　と書いてありますが読んでもわかりません。

b=7/36 c=1/2 d=1と書いてあります。

No.24272 - 2014/02/09(Sun) 00:27:02

☆ Re: 確率 / ＩＴ

積の最大は8=(±2√2)^2 なので2√2か-2√2の少なくともどちらか一方はあるが
2以上の数があり積の最小は-4なので,-2√2はない。
よって、2√2があり,これが最大値：場合の数１より、2√2は１枚

積の最小は-4＝2√2×(-√2)なので(-√2)があり,これが最小値：場合の数２より、-√2は１枚
　積＝-4となるのはこれですべて

積=8の次が4＝2√2×√2なので√2があり,これが２番目：場合の数４より、√2は２枚

積=-2について-√2は１枚、√2は２枚で場合の数は４なので
　積=-2となるのは(-√2)(√2)ですべて。

-√2より大きい負数xがあると積x2√2,x√2が-4,-2以外の負の積で２種類あることになるが残りの負の積は-1だけなので,負の数は-√2だけ
よって積=-1=(-√2)(1/√2) の(1/√2)があり：場合の数２より,1/√2は１枚

以上からc=(1/√2)^2=1/2,d=(1/√2)(√2)=1。

残り１枚が正の数だとすると,ありえるのは√1=1,√4=2だが積に-√2,-2√2がないので不適、
よって残りの１枚は０。

No.24273 - 2014/02/09(Sun) 01:07:46

☆ Re: 確率 / ＿

積が8となる確率が1/36だから、±√8=±2√2はどちらか1つが1枚だけある。
もしそれが－2√2だとすると、残りのカードは－2√2との積で表の通りの数を作る

-√2 , -1/√2 , -d/2√2 , -c/2√2 , 0 , 1/2√2 , 1/√2 , -2/√2

のいずれかだが、いずれにしても0＜c＜d＜2なる範囲で2以上のものはないので不適。
2√2だとこれ自身が2以上である。また、8以上の数が表にないことから、2√2がカードの中で最大の数だと分かる。

もし0が2枚以上あるとすると、
積が0になる確率が20/36以上となって(確率の和)=1に明らかに矛盾する。
よって0は1枚で、したがってa=11/36これよりb=7/36

これを用いて確率を改めて書き直すと、順に

2/36 , 4/36 , 2/36 , 11/36 , 1/36 , 4/36 , 7/36 , 4/36 , 1/36

である。すなわち、積が負になる場合は全部で2+4+2=8通り。
0以外の5枚のカード(うち1枚は2√2)について、積が負になる場合が8通りとなるのは

(1)1枚が正、4枚が負
(2)1枚が負、4枚が正
のいずれか。残りのカードに書かれている数字をA,B,C,Dとする(A≦B≦C≦D＜2√2)

(1)の場合。A≦B≦C≦D＜0＜2√2で、すなわち
A・2√2≦B・2√2≦C・2√2≦D・2√2で、これらは-4,-2,-1のいずれかだから、

A・2√2(=-4)＜B・2√2＝C・2√2(=-2)＜D・2√2(=-1)であり
(それらの出る場合がそれぞれ2,4,2通りであることからわかる)
したがってA=-2/√2 , B=C=-1/√2 , D=-1/2√2だが、これは表の確率と矛盾する。

(2)の場合。A＜0＜B≦C≦D＜2√2で、すなわち
A・2√2＜AD≦AC≦AB＜0で、やはり同様に、
A・2√2(=-4)＜AD=AC(=-2)＜AB(=-1)＜0であり、
したがってA=-√2,B=1/√2,C=D=√2

カードが全部分かったのであとは計算で…

No.24274 - 2014/02/09(Sun) 01:46:45

☆ Re: 確率 / らすかる

なるほど、答えを見て私の間違いがわかりました。
> 確率が(奇数)/36であるものはその数の平方根が（正、負どちらか一つだけ）存在する。
> （同じものが3枚または5枚でも(奇数)/36になるが、確率が大きすぎて除外される。）
これが間違いでした。
-√2が1枚と√2が2枚だったというわけですね。

No.24275 - 2014/02/09(Sun) 01:48:31

★ 積分 / さやかー

285をおねがいしますm(__)m

No.24244 - 2014/02/08(Sat) 12:17:54

☆ Re: 積分 / X

(1)
横軸にt、縦軸にyを取った曲線
y=t^m (A)
y=(t+1)^m (B)
(0≦t≦1)
と
A[k](k-1,0)
B[k](k,0)
C[k](k,k^m)
D[k](k-1,k^m)
(k=1,…,n)
なる４点でできる長方形A[k]B[k]C[k]D[k]
を考えます。
このとき、上記の長方形の面積のkに関する総和は
Σ[k=1～n]k^m (C)
(C)と
(A)、t軸、直線t=nとで囲まれた領域の面積
(B)、t軸、直線t=nとで囲まれた領域の面積
との比較により問題の不等式は成立します。
(必ず図を描きましょう)

(2)
(1)の結果より
(n^(m+1))/(m+1)≦Σ[k=1～n]k^m≦((n+1)^(m+1)-1)/(m+1) (D)
一方条件から
f(k)=k^r+Σ[l=1～r-1]a[l]k^l (E)
(a[l]は定数)
と置くことができるので
∴Σ[k=1～n]f(k)=Σ[k=1～n]k^r+Σ[l=1～r-1]a[l](Σ[k=1～n]k^l) (F)
(E)(F)により
{n^(r+1)}/(r+1)+Σ[l=1～r-1]a[l]{n^(l+1)}/(l+1)≦Σ[k=1～n]f(k)
≦{(n+1)^(r+1)-1}/(r+1)+Σ[l=1～r-1]a[l]{(n+1)^(l+1)-1}/(l+1) (G)
∴
1/(r+1)+Σ[l=1～r-1]a[l]{n^(l-r)}/(l+1)≦{1/n^(r+1)}Σ[k=1～n]f(k)
≦{(1+1/n)^(r+1)-1/n^(r+1)}/(r+1)+Σ[l=1～r-1]a[l]{(1+1/n)^(l+1)-1/n^(r+1)}/(l+1) (H)
(H)においてn→∞の極限を考えると、はさみうちの原理により問題の等式は成立します。

(3)
(1/n)Σ[k=1～n]f(k)=(1/2)f(n) (I)
とします。
(2)の結果に(I)を代入すると
lim[n→∞](1/n^r)(1/2)f(n)=1/(r+1)
これに(E)を代入して左辺を整理すると
1/2=1/(r+1)
∴r=1
よって
f(x)=x+C (J)
(Cは定数)
と置くことができます。
(J)を(I)に代入すると
(1/n){(1/2)n(n+1)+Cn}=(1/2)(n+C)
整理して
C=-1
よって
f(x)=x-1
となります。

No.24248 - 2014/02/08(Sat) 14:03:27

☆ Re: 積分 / さやかー

すみません、(1)があまり理解できませんでした
グラフがイメージできないので、もう少し詳しく解説していただけるとたすかります。

No.24259 - 2014/02/08(Sat) 19:16:53

☆ Re: 積分 / ヨッシー

図の黄色い長方形がΣk^m、青が(t+1)^m の積分、赤がt^m の積分です。

No.24260 - 2014/02/08(Sat) 20:01:00

★ (No Subject) / ヒキニート

平面上で点P(x,y)が領域|x+y|+|x-y|≦2を動くとき、以下の問いに答えよ。
(1)点Pの存在する範囲を求めよ。
(2)点Q(x+y,x^2+y^2)の存在する範囲を図示せよ。

No.24237 - 2014/02/08(Sat) 07:34:16

☆ Re: / ヨッシー

(1)

図のように、２直線x+y=0、x-y=0 によって座標平面を４つの
エリアに分けます。
（１）のエリアはｘ＋ｙ≧０　かつ　ｘ－ｙ≦０なので
　|x+y|+|x-y|＝x+y-x+y＝2y≦2　→　ｙ≦2
（２）のエリアはｘ＋ｙ≦０　かつ　ｘ－ｙ≦０なので
　|x+y|+|x-y|＝-x-y-x+y＝-2x≦2　→　ｘ≧-2
（３）のエリアはｘ＋ｙ≦０　かつ　ｘ－ｙ≧０なので
　|x+y|+|x-y|＝-x-y+x-y＝-2y≦2　→　ｙ≧-2
（４）のエリアはｘ＋ｙ≧０　かつ　ｘ－ｙ≧０なので
　|x+y|+|x-y|＝x+y+x-y＝2x≦2　→　ｘ≦2
これらを踏まえて、点Ｐの存在範囲を図示すると以下のようになります。

(2)
Ｑ(X,Y) とします。
ｙを -2≦ｙ≦2 のある値に固定して、ｘを-2 から 2 まで動かすと考えると
　X=x+y, Y=x^2+y^2　より　Y＝(X-y)^2＋y^2　(y-2≦Ｘ≦y+2、-2≦y≦2)
頂点が y=x^2 (-2≦x≦2) 上にあり、その両側に±２の範囲で
放物線を描いたような場所に点Ｑは存在します。
図示すると以下のようになります。

No.24239 - 2014/02/08(Sat) 08:50:00

★ (No Subject) / 右目

√ｘ＋√ｙ＝１を、ｙ＝ｘをY軸、ｙ＝ｘに垂直にX軸をとって一次変換するとどういう曲線の方程式（X,Yを使って）なりますか？やり方も含めて教えてください。

よろしくおねがいします

No.24230 - 2014/02/08(Sat) 01:13:39

☆ Re: / らすかる

√x+√y=1 の根号を外して整理すると (x-y)^2-2(x+y)+1=0 になりますね。
x,yを45°反時計回りに回転した座標をX,Yとすると
X=(x-y)/√2, Y=(x+y)/√2 ですから、
x-y=(√2)X, x+y=(√2)Y を代入して
2X^2-(2√2)Y+1=0
つまり Y=(2X^2+1)/(2√2)
という放物線になります。

No.24233 - 2014/02/08(Sat) 03:52:56

☆ Re: / ヨッシー

詳しくいうと、
　Y＝(2X^2＋1)/(2√2)
この放物線の　-1/√2≦Ｘ≦1/√2　の範囲となります。

No.24236 - 2014/02/08(Sat) 07:23:43

☆ Re: / 右目

ありがとうございます、しかし点を移動させたいのではなく
（ｘｙ平面の上から）XY軸を書き込みたいのですが。ｘｙ平面の上にXY軸を導入したい、と言ってもいいかもしれません

No.24262 - 2014/02/08(Sat) 21:32:19

☆ Re: / らすかる

同じことですよ。

y=xをY軸、y=-xをX軸にするということは、
xy平面上のグラフを45°反時計回りに回転したグラフをXY平面上に描くということですから、
XY軸をxy軸と一致させた場合は
計算結果のY=(2X^2+1)/(2√2)が
グラフを回転させたy=(2x^2+1)/(2√2)と一致することになり、
XY軸をy=xとy=-xに一致させた場合は
計算結果のY=(2X^2+1)/(2√2)が
グラフ回転前の√x+√y=1と一致するということです。

No.24265 - 2014/02/08(Sat) 21:39:50

☆ Re: / 右目

よくわかりました、ありがとうございました

No.24268 - 2014/02/08(Sat) 22:44:05

★ (No Subject) / 右目

x^n+y^n=１・・?@のｘ＝s,y=tにおける接線は
sx^(n-1)+ty^(n-1)=1とあったのですが、これは
?@の右辺が１以外であったりｘ＾ｎやｙ＾ｎに２とか３とかの余分な係数がついていても使えるやり方ですか？（ここでいうやり方とは楕円や双曲線の接点の公式のように一発でも止まるのかということです）

よろしくおねがいします

No.24229 - 2014/02/08(Sat) 01:06:45

☆ Re: / らすかる

例えば
x^n+y^n=a^n の x=s, y=t における接線を考えてみると
x=aX, y=aY とおけば
X^n+Y^n=1 の X=s/a, Y=t/a における接線
となり、上の公式にあてはめると接線は
(s/a)X^(n-1)+(t/a)Y^(n-1)=1
X,Yを元に戻して整理すると
sx^(n-1)+ty^(n-1)=a^n
となりますので、右辺の定数は変わっても大丈夫ということですね。

x^nやy^nの係数が変わった場合も、同様に調べてみればわかると思います。

# しかし「接線」というと普通直線だと思いますが、
# sx^(n-1)+ty^(n-1)=1 のような曲線でも接線と言うのでしょうか。

No.24234 - 2014/02/08(Sat) 04:05:23

☆ 誤植では? / angel

> # しかし「接線」というと普通直線だと思いますが、
> # sx^(n-1)+ty^(n-1)=1 のような曲線でも接線と言うのでしょうか。

接線 s^(n-1)・x + t^(n-1)・y=1 の書き間違えではないでしょうか?

No.24241 - 2014/02/08(Sat) 09:14:40

☆ Re: / 右目

回答ありがとうございます

つまり、例えば6x^5+4y^(1/3)=2の（ｘ、ｙ）＝（ｓ、ｔにおける接線は6ｓx^4+4ty^(-2/3)=2
という風に瞬時に答えが出るということでしょうか

No.24261 - 2014/02/08(Sat) 20:56:22

☆ Re: / らすかる

それ以前にangelさんの指摘に対して回答して欲しいですが、
「余分な係数がついている場合」は検討していませんし、
整数乗でない場合に成り立つかどうかも確認していません。

No.24264 - 2014/02/08(Sat) 21:39:06

☆ Re: / 右目

angelさん、接線は一次関数ですからまさにそのとおりでした。また質問しなおします、ありがとうございました

No.24267 - 2014/02/08(Sat) 22:43:38

★ (No Subject) / 潤一郎

こんばんは。又よろしくお願いします。

この図の問題の三角形の面積を出す沢山のプリントを
もらったのですがどうしてもＸの変域がでると
どう考えればいいのかわかりません。考え方と
答を教えて下さい。どんな三角形を想像していけば
いいのかわかりません。Ｘの変域の意味がわかりません。

どうかよろしくお願いします。

No.24224 - 2014/02/07(Fri) 22:28:47

☆ Re: / ヨッシー

せめて、１秒、２秒、３秒、４秒後の状態、
出来れば、0.5秒、1.5秒、2.5秒、3.5秒の状態を描いてみましょう。
そうすれば、三角形の面積の出し方によって、ｘの範囲を
場合分けしている意味がわかります。

No.24238 - 2014/02/08(Sat) 07:52:20

☆ Re: / 潤一郎

ヨッシー先生朝早くありがとうございました。

なるほどとてもよくわかりましたが。
このＸの変域をみると問題がｙの変域を出すのかと
思いますが、問題はｙをｘの式で表しなさいと書いて
あります。そうすると、答はどうなるのですか？
ｘの変域の間の三角形の面積をいくつも書くのですか？

場合分けという意味が分らないのですが
本当に申し訳ないですが
もう一度説明お願いします。

すみません。本当に。

No.24243 - 2014/02/08(Sat) 10:08:46

☆ Re: / 潤一郎

ヨッシー先生へ

画面ゆっくりにしてくださいましたでしょうか？
ひょっとして。ありがとうございます。

うーーーん。
正直初め先生がこの画面を動かして
くださらなかったら、僕はＰがＢＣ上にきたら
三角形にならない台形になると想像してしまっていました。
これで三角形になるのはとてもなるほど
そういうことだったのかとわかりましたが。

ここから先が・・・。すみません。
もう一度よろしくお願いします。

五枚のプリントはこればかりで悩んでいます。

No.24246 - 2014/02/08(Sat) 13:11:35

☆ Re: / ヨッシー

0≦x≦2 のとき
　AP=3x, BQ=2x より　ｙ＝(1/2)3x・2x＝3x^2
2≦x≦3 のとき
　BP=3(x-2), BQ=2x より PQ＝2x-3(x-2)＝6-x
　ｙ＝(1/2)(6-x)6＝18-3x
3≦x≦4 のとき
　BP=3(x-2)，BQ=6　より　PQ=12-3x
　ｙ＝(1/2)(12-3x)6＝36-9x
となります。

No.24257 - 2014/02/08(Sat) 17:37:10

☆ Re: / 潤一郎

ヨッシー先生へ。

回答していただきありがとうございました。
Ｃを行き過ぎてしまう事ばかり考えて
遅くなりました。

ああそっかああ。って今思っています。
早速他の沢山のプリントも
この方法で考えてみたいと思っています。

又何度もすみませんが急いで挑戦しますので
分らないのがありましたら教えてください。

よろしくおねがいします。

No.24258 - 2014/02/08(Sat) 18:15:38

★ 図形と方程式 / 菊池　悠斗

続いて申し訳ないのですが、
375,376(1),377,379,380,381
大変多めになってしまいましたが↑の問題を解いていただけるとありがたいです。

No.24221 - 2014/02/07(Fri) 21:34:36

☆ Re: 図形と方程式 / 右目

３７６（１）x-2y=1(2)5x+y=13
377 （4-1)(x-1)+(7-3)(y-3)=25を整理したもの
378 直線ABは（７，１）を極とする極線（ポーラ）なので
７ｘ＋ｙ＝２５

※x^2+y^2=r^2において(a,b)の極線はax+by=r^2

No.24231 - 2014/02/08(Sat) 01:42:07

☆ Re: 図形と方程式 / ヨッシー

375
x^2+y^2=9 は中心(0,0)、半径３
(1) 中心(1,4) 半径２
　中心の距離は √17、半径の和は５、半径の差は１
　1＜√17＜5 より　２点で交わる
(2) 同様に考えます。

379
(x-2)^2＋(y-1)^2＝5　より、中心(2,1) 半径√5
(1)
a=-1 のとき　－ｘ＋ｙ－１＝０
　(2,1) からこの直線までの距離は
　　|ー２＋１－１|/√２＝√2

図のようになるので、弦の長さは2√3
(2)
ax+y+a=0 は、a(x+1)＋y=0 より、(-1,0) を通る直線群です。
この点は円の外にあるので、弦が直径になるときが長さ最大。
(-1,0),(2,1) を通る直線は　ｙ＝(1/3)(x+1) よりa=-1/3

380
前者は中心(-1,2)、半径２、後者は中心(3,-1)、半径ｒ
中心距離は５なので、ｒ＝３、ｒ＝７のとき接します。

381
両円の交点を通る円または直線は
　(x^2+y^2-5)＋k(x^2+y^2+4x-4y+7)＝0　・・・(i)
と表せます。
(1)(i) が、(4,3) を通るので、k=-5/9
よって、求める円の式は
　(4/9)x^2＋(4/9)y^2－(20/9)x＋(20/9)y＝80/9
(2) (i) の２次の項がなくなるためにはk=-1
よって、求める直線の式は
　-4x+4y-12＝０　つまり　ｙ＝ｘ＋３
(3) x^2+y^2＝5 とｙ＝ｘ＋３を連立させて解くと、(-1,2)(-2,1)

No.24242 - 2014/02/08(Sat) 09:50:10

☆ Re: 図形と方程式 / 菊地　悠人

ヨッシー先生大変丁寧な御解説有難うございます！

No.24250 - 2014/02/08(Sat) 14:50:01

★ (No Subject) / ヒキニート

x^p-y^p=2^n・・・(＊)について考える。
(1)p=4のとき(＊)を満たす正の整数x,yは存在しないことを示せ。
(2)pが3以上の奇数のとき、(＊)を満たす正の奇数x,yは存在しないことを示せ。

No.24217 - 2014/02/07(Fri) 19:25:12

☆ Re: / ＩＴ

(1)x^4-y^4=2^n …?@を満たす正の整数x,yが存在する仮定すると
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=2^n、x＞ｙ≧1よりx+yは3以上の偶数。x-yも正の偶数。
したがってx+y=2^a,x-y=2^b,（a,bは１以上の整数でa＞b）とおける。
和の1/2,差の1/2をとるとx=2^(a-1)+2^(b-1),y=2^(a-1)-2^(b-1)
よってx^2+y^2={2^(a-1)+2^(b-1)}^2+{2^(a-1)-2^(b-1)}^2
=2^(2a-1)+2^(2b-1)=2^(2b-1){2^(2a-2b)+1}
a＞bより、2a-2bは2以上の整数なので2^(2a-2b)+1は５以上の奇数
よってx^4-y^4は５以上の奇数を約数に持つ、これは?@に反する。

(2)はx^p-y^pを因数分解すると容易に証明できると思います。

No.24219 - 2014/02/07(Fri) 21:09:20

☆ Re: / らすかる

(1)別解
条件からx＞y≧1なのでn=0となる解は明らかに存在しない。
するとx,yの偶奇は同じとなり、もしx,yが偶数の解が存在すれば
両方を2で割れるだけ割っていけばx,yが奇数の解が存在することになるから、
xとyが奇数である解が存在しないことを示せば十分。
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)においてxとyが奇数だとすると
x^2+y^2は4で割って2余る数かつx^2+y^2＞2となるので、
これが2の累乗となることはない。よって解は存在しない。

No.24222 - 2014/02/07(Fri) 22:16:23

☆ Re: / らすかる

(1)の簡単な別解を思いつきました。
もし解が存在したとすると
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=2^nから
x^2+y^2も(x+y)^2も2の累乗で
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2＞x^2+y^2だからx^2+2xy+y^2≧2(x^2+y^2)
よって 2(x^2+y^2)-(x^2+2xy+y^2)=(x-y)^2≦0となり、
(x-y)^2が2の累乗であることに反する。

No.24235 - 2014/02/08(Sat) 06:56:59

☆ Re: / ＩＴ

「背理法」を使わない論証
x^4-y^4=2^n …?@を満たす非負整数x,yを求める。
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=2^nより
x^2+y^2=2^a,x+y=2^b,x-y=2^c a,b,cは０以上の整数,b≧cとおける
2(x^2+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2に代入すると
2^(a+1)=2^b+2^c=(2^c){(2^(b-c)+1}
よって2^(b-c)=1,2^b=2^cよりy=0　※?@を満たす正の整数x,yは存在しない。ことが分かる。

n=4m のとき(x,y)=(2^m,0),nが４の倍数でないときは解なし。

No.24240 - 2014/02/08(Sat) 08:59:03

★ n進数 / 菊池　悠斗

[1] 10進数で表された234を6進数と2進数で表せ。

[2] 7進数で452である数を10進数で表せ。

ついでに、2問追加いたします。
[3]　11で割ると1あまり、5で割ると4あまる3桁の自然数のうち最小の数は?
＊なんとなく144かなと思っていますが、効率の良い求め方があったら教えていただきたいです。

[4]　方程式3xy+3x+y=5を満たす2つの整数x,yの組をすべて求めよ。

以上4問です、n進法の原理が全然わかっていないので解説していただけるとありがたいです。素因数分解がなんとなく使われることは覚えてますが...

No.24209 - 2014/02/06(Thu) 22:33:37

☆ Re: n進数 / ヨッシー

[1]
10₍₆₎＝6₍₁₀₎
100₍₆₎＝36₍₁₀₎
1000₍₆₎＝216₍₁₀₎
なので、
234₍₁₀₎＝216₍₁₀₎＋18₍₁₀₎
　＝216₍₁₀₎＋6₍₁₀₎×3
　＝1000₍₆₎＋10₍₆₎×3
　＝1030₍₆₎
10₍₂₎＝2₍₁₀₎
100₍₂₎＝4₍₁₀₎
1000₍₂₎＝8₍₁₀₎
10000₍₂₎＝16₍₁₀₎
100000₍₂₎＝32₍₁₀₎
1000000₍₂₎＝64₍₁₀₎
10000000₍₂₎＝128₍₁₀₎
より、
234₍₁₀₎＝128₍₁₀₎＋106₍₁₀₎
　＝128₍₁₀₎＋64₍₁₀₎＋42₍₁₀₎
　＝128₍₁₀₎＋64₍₁₀₎＋32₍₁₀₎＋10₍₁₀₎
　＝128₍₁₀₎＋64₍₁₀₎＋32₍₁₀₎＋8₍₁₀₎＋2₍₁₀₎
　＝10000000₍₂₎＋1000000₍₂₎＋100000₍₂₎＋1000₍₂₎＋10₍₂₎
　＝11101010₍₂₎

[2]
452₍₇₎＝4×49₍₁₀₎＋5×7₍₁₀₎＋2
　＝233₍₁₀₎

[3]
1, 12, 23, 34 で、34 が「11で割ると1あまり、5で割ると4あまる」数の
１つとして見つかったので、これに 55 を順に足して
　34, 89, 144
です。

[4]
3xy+3x+y＝5
変形して
(3x+1)(y+1)＝6
(3x+1, y+1)＝(1, 6)　より　(x, y)＝(0, 5)
(3x+1, y+1)＝(2, 3)　より　(x, y)＝(1/3, 2)　×
(3x+1, y+1)＝(3, 2)　より　(x, y)＝(2/3, 1)　×
(3x+1, y+1)＝(6, 1)　より　(x, y)＝(5/3, 0)　×
あとは　(-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1) についても
同様に調べます。

No.24211 - 2014/02/06(Thu) 23:46:04

☆ Re: n進数 / 菊地　悠人

ヨッシー先生今回も解りやすい解説有難うございます！

No.24216 - 2014/02/07(Fri) 18:51:39

★ 日大　数学Ｎ方式 / たける

日大の入試問題でわからないところがありました。
2/11にも日大の試験があるので、その対策として解き直しをしているので教えて頂けると幸いです。

No.24208 - 2014/02/06(Thu) 22:29:30

☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / たける

＜参考＞
?V
（１）23.24　１６　25/26　1/4
（２）27.28　１２　29.30　－４
?T
（２）3.4　３０　5.6　－４　7.8　１１

という解答が出回っています。

No.24210 - 2014/02/06(Thu) 22:38:36

☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / ＿

III
(1)
f(x)を適当に整理すると
f(x)=(log[2]x)^2 - 2log[2]x - 3となるので
log[2]x=XとでもおいてX^2 - 2X - 3 = 5として方程式を解きます。
そして得られた解からXをxに戻します。

(2)
1/8≦x≦8より-3≦X≦3なので、このもとでX^2 - 2X - 3の範囲を考えます。

I
(2)
α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 4^2 + 14

1/α + 1/β = (α + β)/αβ = -4/7ゆえ、

(1/α + 1/β) + (1/α + 1/β)^2 + … + (1/α + 1/β)^n
=-4/11 + (4/11)・(-4/7)^n で
-1 ＜ (-4/7) ＜ 1なのでn→∞で(-4/7)^n→0

No.24212 - 2014/02/06(Thu) 23:47:40

☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / たける

ご回答ありがとうございます。
?Vはよく理解できました。

しかし、?T（２）のΣ計算がいまいちよくわかりません...。

No.24223 - 2014/02/07(Fri) 22:22:27

☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / ＿

等比数列の和です。

No.24225 - 2014/02/07(Fri) 23:08:34

☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / たける

等比数列の和の計算をやってみました。
初項が(1/α＋1/β）なのでα＋β/αβ＝-4/7
第２項が（1/α^2＋2/αβ＋1/β^2)=44/49
公比が-11/7　になってしまいました。
計算が間違っているのでしょうか？

No.24226 - 2014/02/07(Fri) 23:25:22

☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / ＿

残念ですが、計算が間違っています。

わざわざ2乗して計算し直さなくても、せっかくもう既に1/α + 1/β=(α+β)/αβ=-4/7を出してるのだから、
第2項: (1/α + 1/β)^2 = (-4/7)^2です。

＃そもそも、なぜ等比数列の和を考えたのか分かっていますか？

No.24228 - 2014/02/08(Sat) 00:16:38

★ 数?VC 積分面積 / 福田雄生

画像の(2)番からわからないのでよろしくおねがいします

xyz空間内で立体Ａ: x^2/3+y^2/3+z^2/3≦1について考える

(2)xy平面上の曲線x^2/3+y^2/3=a^2/3(a>0)は媒介変数t(0≦t≦2π)を用いて、x=acost^3,y=asint^3と表すことができる。この曲線で囲まれた部分の面積が3/8πa^2であることを示せ

(3)立体Ａの体積を求めよ。

No.24207 - 2014/02/06(Thu) 21:19:34

☆ Re: 数?VC 積分面積 / ヨッシー

(2)
x=acos^3(t),y=asin^3(t) において、
acos^3(-t)＝acos^3(t), asin^3(-t)＝-asin^3(t)
より、この図形はｘ軸対称
acos^3(π/2-t)＝-acos^3(π/2+t), asin^3(π/2-t)＝asin^3(π/2+t)
より、この図形はｙ軸対称
よって、第１象限の面積を求めて４倍します。
求める面積をＳとすると、
　S/4＝∫[0～a]ｙdx
ｙ＝asin^3(t), ｘ＝acos^3(t), dx/dt＝-3acos^2(t)sin(t)
　0≦ｘ≦a　→　π/2≧ｔ≧0
より
　S/4＝3a^2∫[0～π/2]sin^4(t)cos^2(t)dt　　　※積分区間を逆にする代わりにマイナスを取っています
ここで
　sin^4(t)cos^2(t)＝sin^2(t)(sin(t)cos(t))^2
　　＝{(1-cos(2t))/2}sin^2(2t)/4
　　＝(1/8)(sin^2(2t)－cos(2t)sin^2(2t))
　　＝(1-sin(4t))/16－sin^2(2t)cos(2t)/8
よって
　S/4＝3a^2{∫[0～π/2](1-sin(4t))dt/16－∫[0～π/2]sin^2(2t)cos(2t)dt/8}
　S/12a^2＝(1/16)[t＋cos(4t)/4][0～π/2]－(1/48)[sin^3(2t)][0～π/2]
　　＝(1/16)(π/2＋1/4－1/4)
　　＝π/32
　Ｓ＝12πa^2/32＝(3/8)πa^2

No.24213 - 2014/02/07(Fri) 11:10:59