ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 目の上の痛み

lim(a(n))=1のとき
lim{nlog(a(n))}を求める際、

0<nlog(an)<1/(n-log(an))
とでき、右辺がｎ無限大で1/(∞ー０）＝０
よりはさみうちの原理から答え０とするのは間違いですか？
理由も含めてよろしくお願いします

No.24102 - 2014/02/02(Sun) 13:35:09

☆ Re: / 目の上の痛み

lim（ｎ→∞）(a(n))=1のとき
lim（ｎ→∞）{nlog(a(n))}を求める際　　です

No.24103 - 2014/02/02(Sun) 13:36:03

☆ Re: / ＩＴ

0<nlog(an)　はどこから来たのですか？

No.24105 - 2014/02/02(Sun) 13:40:35

☆ Re: / angel

lim a[n] = 1 という条件だけでは lim nlog(a[n]) は定まりません。∞×0 の形なので、まさに不定です。

例えば、
・a[n]=1 ( 定数列 ) の場合
　常に nlog(a[n])=0 よって lim nlog(a[n])=0
・a[n]=e^(1/n) の場合
　常に nlog(a[n])=1 よって lim nlog(a[n])=1

これらはいずれも lim a[n]=1 となる例です。
※もちろん、lim nlog(a[n]) が 0,1 以外になるケースもあります。
ということで、lim nlog(a[n]) を求めるには、a[n]の形から来る別の何か条件を使う必要があります。
なので、lim a[n] の条件だけで考える時点で、正解にはなり得ないのです。

No.24125 - 2014/02/02(Sun) 17:11:24

☆ Re: / 目の上の痛み

回答ありがとうございます。
質問の意図を伝え切れなかったようで申し訳ありません

lim(a(n))=1で
0<nlog(an)<1/(n-log(an))
から最右辺がｎ→∞で1/(∞ー０）より０に収束する、

という操作は間違いなのですか？lim(n→∞）1/(n-log(an))＝０ではないのですか？もし間違いじゃなければ、挟み撃ちの原理から答えは０になりますよね
それが知りたいのです。よろしくおねがいします

No.24141 - 2014/02/02(Sun) 20:40:29

☆ Re: / ＩＴ

> lim(a(n))=1で
> 0<nlog(an)<1/(n-log(an))
この不等式は、必ずしも成り立たないと思いますが？
どういうとき成り立つのですか？

No.24143 - 2014/02/02(Sun) 21:03:52

☆ Re: / 頭痛が治らない人

それは問題文の途中の過程を省略したからです。つまり
lim(a(n))=1が求まり、他の式を変形していくと
0<nlog(an)<1/(n-log(an))
と変形できた。という設定です。

No.24145 - 2014/02/02(Sun) 21:29:37

☆ Re: / らすかる

lim[n→∞]a[n]=1 かつ任意のnに対して 0＜nlog(a[n])<1/(n-log(a[n]))
が成り立っている場合に、lim[n→∞]nlog(a[n])=0と言えるか
という質問ならば、「言えます」。

# 最初からこのように質問していれば誤解されなかったと思います。
# 最初の質問では、仮定が「lim[n→∞]a[n]=1」のみで、その条件から
# 0＜nlog(a[n])＜1/(n-log(a[n])) とできるか
# という風に受け取れました。
# 下手に過程を省略すると意図が伝わらず無意味なやりとりが起こる可能性が
# 増えますので、省略する場合は質問はその分正確に書く必要があります。

No.24152 - 2014/02/02(Sun) 22:18:09

☆ Re: / 頭痛が治らない人

ありがとうございます。よく分かりました。新たな疑問が生まれてしまったので再アップさせてもらおうかと思います。

No.24159 - 2014/02/02(Sun) 23:44:21

★ (No Subject) / 頭痛が治らない人

３つの自然数a,b,c（a<b<c)についてa,b,cの最大公約数１２，最小公倍数２１６である。このようなa,b,cの組はいくつあるか？

a=12A,b=12B,c=12Cとおける。A<B<CでありA,B,Cの最大公約数は１、｢最小公倍数は２１６÷１２＝１８である。このようなｃは１か９である」ことを考慮して１０組。とあるのですが、
「」の部分が正直分かりません。どなたか教えてください。

No.24099 - 2014/02/02(Sun) 11:44:22

☆ Re: / ＩＴ

> ３つの自然数a,b,c（a<b<c)についてa,b,cの最大公約数> a=12A,b=12B,c=12Cとおける。A<B<CでありA,B,Cの最大公約数は１、｢最小公倍数は２１６÷１２＝１８である。このようなｃは１か９である」
「ｃは１か９である」は「Cは１８か９である」が正しいのでは？

No.24100 - 2014/02/02(Sun) 13:00:25

☆ Re: / 頭痛が治らない人

失礼しました、転記ミスです、その上で回答よろしくお願いします

No.24101 - 2014/02/02(Sun) 13:22:25

☆ Re: / ＩＴ

まず、前段から
a,b,cの最小公倍数をLとおく
L=as=12As=bt=12Bt=cu=12Cu なる正整数s,t,uが存在する
このときAs=Bt=Cu=L/12はA,B,Cの公倍数　となっている。

A,B,Cの任意の正の公倍数をJ=Ax=By=Cz とおく
12J(=12Ax=12By=12Cz) は12A=a,12B=b,12C=cの公倍数となっている。
Ｌはa,b,cの最小公倍数なので　0＜L≦12J よってL/12≦J

よってL/12はA,B,Cの最小公倍数

No.24104 - 2014/02/02(Sun) 13:36:13

☆ Re: / 頭痛が治らない人

回答ありがとうございます。

実は７行目からが分かりませんでした。つまりどういうことなのでしょうか・・

No.24144 - 2014/02/02(Sun) 21:11:21

☆ Re: / angel

おおざっはに言いますと、
全ての数を何倍かすると、最大公約数も、最小公倍数も、同じだけ何倍かされるのです。
例えば、x,y,zの最大公約数がG、最小公倍数がLなら、
　2x,2y,2zの最大公約数は2G、最小公倍数は2L
　3x,3y,3zの最大公約数は3G、最小公倍数は3L
　…
といった感じです。これは逆もまた然りで、何分の1かにした場合も同様です。すなわち、
　x/2,y/2,z/2の最大公約数はG/2、最小公倍数はL/2
　x/3,y/3,z/3の最大公約数はG/3、最小公倍数はL/3
　…
もちろん、こちらについては、/2や/3で割り切れるのが前提です。
と、ここで、必ず割り切れるケースが一つあって、それは1/Gする場合ですね。なので、
　x/G,y/G,z/Gの最大公約数はG/G=1、最小公倍数はL/G
これを利用しようというのが、今回の解法です。

No.24177 - 2014/02/04(Tue) 07:44:42

☆ Re: / angel

で、先ほどの話を適用すると、今回の問題では、
　A=a/12, B=b/12, C=c/12の最大公約数は1、最小公倍数は18
ということになります。( A＜B＜C )
ここでなぜ最大のCが9か18になるか、それについては最小公倍数の考え方に遡ってみます。
例えば、2,6,9の組は、最小公倍数が18になりますが、どうやって考えるかというと、
　2 = 2^1×3^0
　6 = 2^1×3^1
　9 = 2^0×3^2
と、それぞれ素因数分解して ( 無い素因数の所は0乗で )、それからそれぞれの素因数に関して、指数の最大値を拾って来る、すなわち、
　L = 2^1×3^2
と、これで最小公倍数になります。
※逆に指数の最小値を拾ってくれば、最大公約数になります。

そうすると、最小公倍数が18=2^1×3^2であれば、必ず3^2で割り切れる数がABCのどれかにあるはずで、大小関係からすると、Cが9か18になると分かります。

( 追記 )
※3^2で割り切れる数は最低でも9、なのでCは9以上。しかもCは18の約数となるため、9,18しか候補がない。

No.24180 - 2014/02/04(Tue) 08:10:34

★ セクション３，１－（１） / ハウス

連投失礼します

１７５/24にかけても、３３/140でわっても自然数となるような最小の分数を求めよ。

私の作った答え
ｘ＝ｎ＊(2^3*3)/(5^2*7)(n:5,7と互いに素な自然数）
ｘ＝(3*11)(2^2*5*7)m(m:2,5,7とは互いに素な自然数）
よって最小のｘはｎ＝ｍ＝１としてよく
ｘ＝3*11*2^3/(2^2*5*7)=166/175

なぜこれで駄目なのかどなたか教えてください、よろしくお願いします

No.24077 - 2014/02/01(Sat) 23:30:10

☆ Re: セクション３，１－（１） / らすかる

ｘ＝(3*11)(2^2*5*7)m(m:2,5,7とは互いに素な自然数）は
ｘ＝m*(3*11)/(2^2*5*7)(m:2,5,7とは互いに素な自然数）だと思いますが

x=n*(2^3*3)/(5^2*7) と
x=m*(3*11)/(2^2*5*7) で
n=m=1としてしまったら
x=1*(2^3*3)/(5^2*7)=1*(3*11)/(2^2*5*7)
という成り立たない式になってしまいますね。
n*(2^3*3)/(5^2*7)=m*(3*11)/(2^2*5*7)
が成り立つようにn,mを決めないといけません。

No.24089 - 2014/02/02(Sun) 00:08:12

☆ Re: セクション３，１－（１） / ハウス

回答ありがとうございます。
確かにそのとおりですね。
ちなみにこの方針で解き進めることは可能でしょうか？
３２ｎ＝５５ｍで
n=55k,m=32k（ｋは整数）とおけるところまではいけましたが。。

No.24098 - 2014/02/02(Sun) 11:34:43

☆ Re: セクション３，１－（１） / らすかる

n=55k,m=32k まで出れば
最小となるためにはk=1ですから
n=55,m=32
従って
x=55(2^3*3)/(5^2*7)=32(3*11)/(2^2*5*7)=(2^3*3*11)/(5*7)=264/35
と出ますね。

No.24110 - 2014/02/02(Sun) 14:38:04

☆ Re: セクション３，１－（１） / ハウス

回答ありがとうございます。

答えはそのとおりでお見事という感じなのですが、

そのｍ、ｎだと
n:5,7と互いに素な自然数
m:2,5,7とは互いに素な自然数
に反してませんか？

No.24149 - 2014/02/02(Sun) 21:47:05

☆ Re: セクション３，１－（１） / らすかる

それは
「n：5,7と互いに素な自然数」
「m：2,5,7と互いに素な自然数」
という条件を付けることが正しくないということを意味していますね。
「自然数となる」ためには「～と互いに素」という条件は不要で、
「最小の分数」を求めるためには「～と互いに素」ではなく
最後にkを最小としなければならないということです。

No.24153 - 2014/02/02(Sun) 22:22:57

★ セクション３、３－（１） / ハウス

二つの自然数a,b(a＜b)について、aとｂの最大公約数は６、最小公倍数は２１６である。このような（a,b）の組はいくつあるか。

なぜこれでだめなのか教えてください。よろしくお願いいたします。

私の作った解答
ab=LGより（G:最大公約数、L：最小公倍数）
ab=2^4*3^4
よってa<bに注意すると求める組は１２組（約数の個数２５－１を２で割った。※6^4についてαが約数なら６＾４/αも約数という関係を使いました）

No.24076 - 2014/02/01(Sat) 23:24:01

☆ Re: セクション３、３－（１） / ＩＴ

a=1,b=2^4*3^4など「aとｂの最大公約数は６、最小公倍数は２１６である」を満たさないものも入っていませんか？

No.24079 - 2014/02/01(Sat) 23:34:07

☆ Re: セクション３、３－（１） / ハウス

回答ありがとうございます。
確かにそのとおりですね。。

aとｂの最大公約数は６、最小公倍数は２１６という条件はab=LGに代入するときに使っているのになぜこのような（条件を使ったのにそれが反映されていないという）現象が起きるのでしょうか。。難しい質問かとは思いますがよろしくお願いします。

No.24081 - 2014/02/01(Sat) 23:42:55

☆ Re: セクション３、３－（１） / ＩＴ

> aとｂの最大公約数は６、最小公倍数は２１６という条件はab=LGに代入するときに使っているのになぜこのような（条件を使ったのにそれが反映されていないという）現象が起きるのでしょうか
ab=1296(=6×216)は必要条件でしかありません。
「aとｂの最大公約数は１、最小公倍数は1296」という条件でも同じab=1296になりますね。

No.24083 - 2014/02/01(Sat) 23:52:12

☆ Re: セクション３、３－（１） / ハウス

確かにそのとおりですね。意味を考えて立式しなきゃ駄目って事ですかね。　回答ありがとうございました。

No.24097 - 2014/02/02(Sun) 11:31:45

★ (No Subject) / ヒキニート

nを自然数として、xy平面上において曲線y=e^(-nx),直線y=xおよびy軸で囲まれる領域をy軸の周りに回転して得られる立体の体積をV(n)とする。lim(n→∞){ (n^α)×V(n)}が0以外の値に収束するようなaの値とその時の極限値えお求めよ。必要ならば、lim(x→+0) {x(logx)^2}=0を用いてよい。

No.24074 - 2014/02/01(Sat) 22:49:08

☆ Re: / ハウス

V(n)を実際に求めて極限を考えるのだと思います。

No.24078 - 2014/02/01(Sat) 23:32:24

☆ Re: / ヒキニート

手詰まりです。解答はどんな感じですか？y=e^(-nx)のグラフが良くわからないので、V(n)もよくわかりません。

No.24086 - 2014/02/02(Sun) 00:04:45

☆ Re: / X

y=e^(-nx) (A)
y=x (B)
のグラフの交点のx座標をtとすると
e^(-nt)=t (C)
また交点のy座標は(B)よりtとなります。
また(A)より
x=-(1/n)logy
となることに注意すると
V(n)=(1/3)(πt^2)・t+∫[t→1]{π(-(1/n)logy)^2}dy
=(1/3)(πt^3)+[yπ((1/n)logy)^2][t→1]-∫[t→1]{2π((1/n)logy)}dy
=(1/3)(πt^3)-tπ((1/n)logt)^2-[2yπ(1/n)logy][t→1]+∫[t→1]{2π(1/n)}dy
=(1/3)(πt^3)-tπ((1/n)logt)^2+2tπ(1/n)logt+2π(1/n)(1-t) (D)
(C)を(D)のlogtの項に代入すると
V(n)=-(2/3)(πt^3)-2πt^2+2π(1/n)(1-t)
=-(2/3)(πt^2)(t+3)+2π(1/n)(1-t)
∴(n^a)V(n)={-(2/3)(πt^2)n(t+3)+2π(1-t)}n^(a-1)
更に(C)より
n=-(logt)/t (C)'
∴(n^a)V(n)={-(2/3)(tlogt)(t+3)π+2π(1-t)}n^(a-1)
ですので
lim[n→∞](n^a)V(n)=lim[n→∞]{-(2/3)(tlogt)(t+3)π+2π(1-t)}n^(a-1) (E)
ここで
y=(-logx)/x (F)
のグラフを考えることにより((F)の増減の議論は省略します)
(C)'において
n→∞のときt→+0 (G)
又
lim[t→+0]tlogt=0 (証明は省略します)
ですので(E)において
{}の中→2π
よって条件を満たすとき
a=1
であり、このとき
lim[n→∞](n^a)V(n)=2π
となります。

No.24094 - 2014/02/02(Sun) 01:41:18

★ (No Subject) / ヒキニート

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の数字が書かれた10枚のカードから無作為に1枚を引いてカードの数字を調べ、元に戻す試行をn回繰り返す。引いたカードの和をAとし、積をBとする。

(1)Aが3の倍数である確率をa(n)とBが3の倍数である確率b(n)を求めよ。
(2)Aが3の倍数かつＢが3の倍数でない確率p(n)とAが3の倍数でなく、かつＢが3の倍数でない確率q(n)を求めよ。

No.24073 - 2014/02/01(Sat) 22:40:36

☆ Re: / ハウス

a(n)について
０～９を３で割った余りがｋのものをAkとしてグループ分けします。
A0={0､3,6,9｝
A1={1,4,7}
A2={2,5,8}
２数の和が３の倍数となるのは
A0から二数とるケースか
A1,A2から一つずつとるケースに限られます

※間違っていたらどなたかご指摘お願いします

No.24080 - 2014/02/01(Sat) 23:37:24

☆ Re: / ヒキニート

A1、A2から1つずつとる場合ってnが偶数じゃないとダメじゃないですか？その場合はどうすればいいんですか？

No.24090 - 2014/02/02(Sun) 00:09:52

☆ Re: / ＩＴ

(1)Aが3の倍数である確率をa(n)
漸化式を立てると
a(1)=4/10
a(n+1)=(4/10)a(n)+(3/10)(1-a(n))=(1/10)a(n)+3/10

Bが3の倍数である確率b(n)を求めよ。これは余事象でいけますね。

No.24093 - 2014/02/02(Sun) 00:41:18

☆ Re: / ヒキニート

漸化式の(3/10)(1-a(n))とこがよく分かりません。なぜそうなるのですか？b(n)はb(n)=1-6^nになりますか？

No.24095 - 2014/02/02(Sun) 01:41:39

☆ Re: / ＩＴ

> 漸化式の(3/10)(1-a(n))とこがよく分かりません。なぜそうなるのですか？
（簡単な説明）
1-a(n)は、Aが3の倍数でない確率です。
Aが3の倍数でないとき、1枚引いた数を加えて3の倍数になるのは
　A≡1(mod3)のときは　{2,5,8}のどれかを引く（確率3/10）
A≡2(mod3)のときは　{1,4,7}のどれかを引く（確率3/10）場合だからです。　

>b(n)はb(n)=1-6^nになりますか？
ちがいます、確率は0以上1以下でないとおかしいです。

No.24096 - 2014/02/02(Sun) 07:07:36

☆ Re: / ヒキニート

b(n)はどうなるのですか？

No.24106 - 2014/02/02(Sun) 14:08:50

☆ Re: / ヒキニート

b(n)は1-(3/5)^nですか？

No.24108 - 2014/02/02(Sun) 14:33:04

☆ Re: / ＩＴ

合ってると思います。

No.24109 - 2014/02/02(Sun) 14:35:40

☆ Re: / ヒキニート

(2)は包含排除の原理で解けますか？

No.24111 - 2014/02/02(Sun) 14:55:50

☆ Re: / ヒキニート

すいません、包含排除の原理では解けませんね
(2)はどうすれば良いのでしょうか？

No.24112 - 2014/02/02(Sun) 14:57:23

☆ Re: / ＩＴ

条件付き確率かな。

No.24114 - 2014/02/02(Sun) 15:11:56

☆ Re: / ヒキニート

p(n)=(1-b(n))/a(n)でq(n)=(1-b(n))/(1-a(n))ですか？

No.24115 - 2014/02/02(Sun) 15:24:09

☆ Re: / ＩＴ

違うと思います。
条件付き確率の式は、P(A|B)=P(A∩B)/P(A)　で
今回求める　p(n)はP(A∩B)に当たりますから
P(A∩B)＝P(A)P(A|B)　を使って求めるか

場合の数で考えるなら　全事象10^n通りとして
条件を満たす事象が何通りあるか漸化式で計算して10^nで割ります。

※A,Bは一般の事象を表します。

No.24117 - 2014/02/02(Sun) 15:57:45

☆ Re: / ヒキニート

あ本当ですね。pP(A∩B)はどのようにして求めるのですか？

No.24118 - 2014/02/02(Sun) 16:05:03

☆ Re: / ヒキニート

ごめんなさい。混乱して良く分からなくなりました。(2)の解答を簡単にでもいいので先ほどのように書いてもらっていいですか？

No.24119 - 2014/02/02(Sun) 16:10:24

☆ Re: / ＩＴ

Ｂが3の倍数でない確率は分かりますよね
Ｂが3の倍数でないとき　すなわち1、2、4、5、7、8の数字が書かれた６枚のカードだけから引いたときにAが3の倍数になる確率を漸化式で求めて　両者を掛けます。

No.24120 - 2014/02/02(Sun) 16:15:41

☆ Re: / ヒキニート

漸化式はa(n+1)=(3/10)(1-a(n))になりますか？両者をかけるとはどういうことでしょうか？

No.24121 - 2014/02/02(Sun) 16:27:26

☆ Re: / ＩＴ

> 漸化式はa(n+1)=(3/10)(1-a(n))になりますか？
3の倍数のカードは引かない前提なので、(3/10)・・ではないですね、

>両者をかけるとはどういうことでしょうか？
P(A∩B)＝P(A)P(A|B) のP(A)とP(A|B)に該当します。

No.24123 - 2014/02/02(Sun) 16:47:42

☆ Re: / ヒキニート

じゃあ、a(n)の漸化式はどうなるのですか？P(a|b)はどうやって求めるんですか？

No.24124 - 2014/02/02(Sun) 17:02:48

☆ Re: / ＩＴ

「Ｂが3の倍数でない」条件の下で　Ａが3の倍数になる確率をr(n)とおくと

r(1)=0
r(n+1)=(1-r(n))(1/2) となります。
n=3のときで考えると
111　○
112　×
12*　×
21*　×
221　×
222　○

No.24136 - 2014/02/02(Sun) 18:21:38

☆ Re: / ヒキニート

また、よきわからなくなったので、(2)を整理して方針というか過程を書いて欲しいです。

No.24137 - 2014/02/02(Sun) 18:35:56

★ (No Subject) / ヒキニート

xy平面上の放物線C1:y=x^2とC2:y=-x^2+1で囲まれた領域をDとし、Dの内部(周は除く)に点P(a,b)をとる。
(1)Pを通りy軸に平行でない直線lのうち、lとC1で囲まれた領域の面積が最小となるものをl(0)とする。l(0)の方程式を求めよ。
(2)(1)で定めたl(0)とC2で囲まれた領域の面積をTとする。また、Pを通りy軸に平行でない直線とC2で囲まれた領域の面積の最小値をUとする。T≧2√2UとなるようなPの存在範囲を図示せよ。

No.24071 - 2014/02/01(Sat) 22:32:49

☆ Re: / ハウス

ｌはｙ＝ｍ（x-a)+bとおけばy軸に平行でない直線になります。これをC1と連立して、交点のx座標をα、β（α＜β）とすると囲まれた領域の面積SはS=(1/6)(βーα）＾３となります。このSが最小となるときのｍを求めれば、直線の方程式が決まります

No.24084 - 2014/02/01(Sat) 23:52:13

☆ Re: / X

(1)
条件よりlがC[1]のうち、Dの境界線となっている部分
における接線にどれだけでも近くなるように
点Pを取ることができますので、問題の面積を
どれだけでも0に近づけることはできますが
点PはDの境界には取れませんので面積を0に
することはできません。
よって問題の面積の最小値は存在しませんので
l[0]も存在しません。
(問題文にタイプミスはありませんか？)

No.24085 - 2014/02/01(Sat) 23:54:48

☆ Re: / ヒキニート

すいません、問題文にミスはなかったです。

No.24087 - 2014/02/02(Sun) 00:07:06

☆ Re: / X

ごめんなさい。Pは動点ではなく、定点ですね。
私の回答は無視して下さい。

No.24091 - 2014/02/02(Sun) 00:12:36

☆ Re: / ヒキニート

Xさん、解けますか？

No.24122 - 2014/02/02(Sun) 16:30:11

☆ Re: / X

(1)
ハウスさんの方針により
(6S)^(2/3)=(β-α)^2
=(α+β)^2-4αβ (A)
また、解と係数の関係により
α+β=m (B)
αβ=b-ma (C)
(A)(B)(C)より
(6S)^(2/3)=m^2-4am+4b
=(m-2a)^2+4(b-a^2) (D)
よって(D)はm=2aのときに最小になりますので
Sもこのときに最小になります。
∴l(0)の方程式は
y=2ax-2a^2+b
(2)
(1)と同様に積分を計算すると煩雑ですので
ここではDの形状の対称性を使います。
条件からC[1],C[2]は直線y=1/2に関して対称です。
この直線に関し点Pを対称移動させると
点(a,1/2-(b-1/2))
つまり
点(a,1-b) (E)
に移ります。
同様にl(0)を対称移動させると、移動後の直線の傾きは
-2a (F)
となります。
よって(D)のm,a,bと(E)(F)との対応関係を使うと
(6T)^(2/3)=(-2a)^2-4a(-2a)+4(1-b) (G)
(6U)^(2/3)=4{(1-b)-a^2} (H)
ここで
T≧2√2U
より
6T≧2√2(6U)
(6T)^(2/3)≧2(6U)^(2/3) (I)
(G)(H)(I)により
(-2a)^2-4a(-2a)+4(1-b)≧8{(1-b)-a^2}
これより
a^2+2a^2+(1-b)≧2{(1-b)-a^2}
b≧-5a^2+1
よって点Pの存在範囲はDから境界を除いた領域と
y≧-5x^2+1
との共通領域になります。

No.24126 - 2014/02/02(Sun) 17:38:46

★ ２次方程式　高１程度 / 幸一

２次方程式x^2-2x-5=0の解をα、β（α＜β）とすると、α=(ｷ),β=(ｸ)である。また、α^6+β^6=(ｹ)である。

途中までやったのですが、α=2-2√3,β=2+2√3であってますでしょうか？
α^6+β^6はどのように分解するのでしょうか(α^2+β^2)(α^3+β^3)でいいのですか？答えが５２１６になったのですが・・

No.24066 - 2014/02/01(Sat) 12:39:37

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / ＩＴ

> 途中までやったのですが、α=2-2√3,β=2+2√3であってますでしょうか？
違っていますね。途中式も書いてみてください。

> α^6+β^6はどのように分解するのでしょうか(α^2+β^2)(α^3+β^3)でいいのですか？

ちがいます。(α^2+β^2)(α^3+β^3)を展開するとどうなりますか？

No.24067 - 2014/02/01(Sat) 14:08:21

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / 幸一

解の公式間違えていました。
α=1-√6,β=1+√6であってますか？
(α^2+β^2)(α^3+β^3)を展開すると、
α^6+α^2β^3+α^3β^2+β^6でしょうか、元と違いました。
これは、(α^2+β^2)(α^3+β^3)に-α^2β^3-α^3β^2を付け加えればいいのですか？
あっているかわかりませんが書いてみます。
{(α+β)^2-2αβ*(α+β)^3-3αβ(α+β)}-(αβ)^2(α+β)で、
α+β=(1-√6)+(1+√6)=2
αβ=(1-√6)(1+√6)=-5
代入して
(4+10*8+15*2)-25*2=64になりました。

No.24069 - 2014/02/01(Sat) 20:32:57

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / ＩＴ

> α=1-√6,β=1+√6であってますか？
あってます。確認方法は数２で習いますが「解と係数の関係」を使って　α+β＝-(-2)/1,αβ＝-5/1 がいいかも。

> (α^2+β^2)(α^3+β^3)を展開すると、
> α^6+α^2β^3+α^3β^2+β^6でしょうか
ちがいます。(α^2)(α^3)＝α^5、(β^2)(β^3)＝β^5　ですから
(α^2+β^2)(α^3+β^3)
＝(α^2)(α^3)+(α^2)(β^3)+(α^3)(β^2)+(β^2)(β^3)
＝(α^5)+(α^2)(β^3)+(α^3)(β^2)+(β^5)
です。

No.24070 - 2014/02/01(Sat) 22:32:03

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / ＩＴ

α^6+β^6
=(α^2)^3+(β^2)^3
=(α^2+β^2)^3-3((αβ)^2)(α^2+β^2)などとする手もありますが、

α,βがx^2-2x-5=0の解であることから
x^6をx^2-2x-5で割った余りax+bを求めて
α^6+β^6=(aα+b)+(aβ+b)=a(α+β)+2b として求めるのが間違いにくいかも。

No.24075 - 2014/02/01(Sat) 22:56:14

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / 幸一

根本的に間違ってました・・足すんでしたね。
下のやり方がちょっとわからなかったので上のほうでやらせていただきました。
答えは１６９４であってますか？

No.24140 - 2014/02/02(Sun) 20:14:35

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / 幸一

下のほうでも計算しました。
x^6をx^2-2x-5で割ると、
余りが342x+505なので、
342(-(-2)/1)+2*505=1694ですよね。

No.24148 - 2014/02/02(Sun) 21:39:08

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / ＩＴ

合ってると思います。下記に数式を入れると計算してくれます。
http://www.wolframalpha.com/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281-%E2%88%9A6%29%5E6%2B%281%2B%E2%88%9A6%29%5E6

No.24169 - 2014/02/03(Mon) 18:57:43

☆ Re: ２次方程式　高１程度 / 幸一

長々教えていただき感謝します。
ありがとうございました。

No.24182 - 2014/02/04(Tue) 14:00:48

★ (No Subject) / momokiti

a0=1,an=√{1+(a0+a1+…+an-1)＾２}(n＝1、2、3…)で定まる数列anがある
(1)an=1/sinθn(0<θn≦π/2)とおくとき，θn+1をθnで表せ。ただし、nは０以上の整数
(2)lim[n→∞]２＾(n+1)/an を求めよ

1)がどうにもできません
θn+1=θn/2　だと思うのですが…

No.24058 - 2014/01/31(Fri) 00:32:41

☆ Re: / angel

問題文の漸化式が、以前の項全てを含む形で使いにくいので、隣接項だけの形にするのが良さそう。
a0+a1+…の形に着目すると、
√(a[n]^2-1)=a[0]+…+a[n-1]
これと、nが1小さいバージョン
√(a[n-1]^2-1)=a[0]+…+a[n-2]
これらの差をとれば、隣接2項間の漸化式になります。

最後は倍角を使って
1/tan2x+1/sin2x=1/tanx
となることを計算すれば、O.K.です。

No.24059 - 2014/01/31(Fri) 12:51:42

☆ Re: / angel

補足です。
上の説明では1/tanの形を使っていますが、これだと角度がπ/2の時に使えないので、cos/sinで書いた方がスッキリしますね。
倍角を使うところならば、cos2x/sin2x+1/sin2x=cosx/sinxです。
いすれにせよ、解答を書くときには、導いた隣接2項間漸化式が成立する範囲を吟味しないと、不十分となります。ご注意ください。

No.24061 - 2014/01/31(Fri) 22:34:40

★ (No Subject) / 旅

ある10進法の数Xが
X=(9^5×10)＋(9^4×10)＋(9^3×20)＋(9^2×30)＋(9^1×50)＋(9^0×80)
であるとき、Xを9進法で表しなさいという問題で
手順：?@9^0の位は9^0のかたまりが80個　80÷9=8余り8より
9が8個繰り上がり、9^0の位は8
?A9^1の位は9^1のかたまりが50個　?@で繰り上がってきた8個を足して58個
58÷9=6余り4より9^2が6個繰り上がり9^1の位は4
以降同じ要領で9^5の位までやることで
Xを9進法で表すと1236048となるそうです。
解説には
「9進法だからそれぞれの位の数字が9以上のときは9で割った商(9のかたまりの個数)を次の位へと繰り上げないといけない」とあるのですがいまいちよくわかりません。

もう少し簡単な例で、
10進法で表された389は
389=(3×5^3)＋(0×5^2)＋(2×5^1)＋(4×5^0)
上と同じ要領でやると
?@5^0(=1)の位は5^0のかたまりが4個あるので4÷5=0余り4より
繰り上がりはなしで5^0の位は4
以降同じ要領でできますよね。
だけどどうしてこういうことをするのかよくわかりません；
5進法は0.1.2.3.4で数を表すので、
0,1,2,3,4,【10】,11,・・・というふうに5番目以降はなりますよね。
基本的なことは理解してると思うのですがまだ不十分みたいです。
これが10進法ならわかりやすいですよね。
たとえば10進法で表された645は
5は10^0(=1)の位で10^0のかたまりが5個という意味
4は10^1(=10)の位で10^1のかたまりが4個という意味
6は10^2(=100)の位で10^2のかたまりが6個という意味
よって645は645=「10^2が6個」＋「10^1が4個」＋「10^0が5個」ということですよね。
この場合は繰り上がりとかちょっとめんどくさいことを考えなくていいのでわかりやすくて楽です。
でも、最初にかいた問題の手順がどうしてそうするのかの意味がよく理解できていません。
だれかわかるかたおしえてください。おねがいします。

No.24055 - 2014/01/30(Thu) 23:41:15

☆ Re: / ヨッシー

十進法がイメージしやすいというなら、
(10^4×12)＋(10^3×23)＋(10^2×9)＋(10^1×25)＋(10^0×32)
だとどうでしょう？
下から見ていくと　32÷10＝3 あまり 2 で、２だけ残して３は10の位に繰り上げます。
すると (10^1×28) となり、28÷10＝2 あまり 8 で、8を残して２は100のくらいに繰り上げます。
(10^2×11) 1を残して1を1000の位へ。
(10^3×24) 4 を残して2を10000の位へ。
(10^4×14) 4 を残して1を100000の位へ
結果　144182 となります。

No.24056 - 2014/01/30(Thu) 23:57:27

☆ Re: / ast

位取り記数法に従って繰り上がりや繰り下がりを追うのが分かりにくいというならば, 位取り記数法を全く意識せずに問題を解く方が分かりよいのかもしれません.

その場合, 問題の意味は

　　X = (9^5×10)＋(9^4×10)＋(9^3×20)＋(9^2×30)＋(9^1×50)＋(9^0×80)
　をもう少し変形して
　　X = a×9^6 + b×9^5 + c×9^4 + d×9^3 + e×9^2 + f×9^1 + g×9^0
　を満たす 0 以上 9 未満の整数 a,b,c,d,e,f,g を求めなさい

ということに他ならないということを十分に踏まえましょう.

例えば, 9^0×80 = 9^0(8×9^1 + 8×9^0) = 8×9^1 + 8×9^0 などになりますから, これが位取り記数法に翻訳すれば繰り上がりを意味することが分かれば十分だと思います.

No.24057 - 2014/01/31(Fri) 00:19:27

★ 図形2 / 菊池　悠斗

申し訳ないのですが、こちらの4問もお願いいたします。一応ﾌﾘｰﾊﾝﾄﾞで図を描いてみましたが...

No.24050 - 2014/01/30(Thu) 21:51:57

☆ Re: 図形2 / ヨッシー

369
(1)半径は変わらないので、中心だけの話になります。
(2)原点と点(1,2)を結んだ線分の、垂直二等分線と、直線ｙ＝ｘ＋５
の交点が円の中心になります。
そこから、原点または点(1,2)までの距離が半径となります。
(3)この場合、求める円は第１象限にあるので
ｘ軸とｙ軸に接する円は、正の数ｔに対して、(t,t)中心、
半径ｔの円と言えます。つまり、
　(x-t)^2+(y-t)^2=t^2
これが(1,2) を通るようにｔを決めます(2つ答えが出るはずです)

370
（ｘ－○)^2＋（ｙ－□)^2＝××
の形にしたとき、右辺が正でないと円とは言えません。

371
y=3x+k を円の式に代入してｘの２次式にします。
それが実数解を持てば共有点を持つことになります。
特に重解を持つとき、円と直線は接し、その解が、接点となります。

372
(2,1)を通り傾きｍの直線は
　ｙ＝ｍ（ｘ－２）＋１
と書けます。これを円の式に代入して、ｘの２次方程式にし、
判別式で解の個数（＝共有点の数）を出します。

No.24052 - 2014/01/30(Thu) 22:11:17

☆ Re: 図形2 / 菊地　悠人

なるほど！判別式の使い方をﾏｽﾀｰします！

No.24054 - 2014/01/30(Thu) 22:52:47

☆ Re: 図形2 / 菊地　悠人

370～372まで全て解いてみたんですが、3つとも途中で分からないとこが出てきてしまいました。もう少しだけ詳細を伺ってもよろしいでしょうか❓

No.24060 - 2014/01/31(Fri) 21:39:21

☆ Re: 図形2 / ヨッシー

370
与式を変形すると
　(x+m)^2＋(y-m+1)^2＝-3m^2－2m＋1
となりますので、-3m^2－2m＋1＞0 となる m を求めます。
また、-3m^2－2m＋1 をｍの２次関数と見たときの最大値を
求める方法で、最大値を与えるｍの値を見つけます。

371
y=3x+k を円の式に代入すると
　x^2＋(3x+k)^2＝25
整理して
　10x^2＋6kx＋k^2－25＝0　・・・(i)
これの判別式をとって、
　9k^2－10(k^2－25)≧0　これが共有点を持つ条件
　9k^2－10(k^2－25)＝0 のとき、円と直線は接します。
これを解いてｋ＝±5√10。
ｋ＝-5√10 のとき　(i) より　ｘ＝3√10/2
　ｙ＝3x+k＝-√10/2
ｋ＝5√10 のとき　(略)

372 は判別式で解くと、微分が出てくるので、グラフで考えることにします。

点Ａ(2,1) から、円に接線を引くと、１本はｘ軸に平行な直線
となり、傾きは０，接点はＣ(0,1) です。
もう一方の接点をＢとすると、ＢＣは、ＯＡ（Ｏは原点）に
垂直なので、直線ＢＣの式は　ｙ＝-2x+1 となります。
これと、x^2＋y^2＝1 を連立させて解くと
Ｂ(4/5, -3/5) となりますので、ＡＢの傾き（図の？？？に当たる部分)を求めます。

No.24065 - 2014/02/01(Sat) 11:09:34