数学IIの問題です。
どなたかご教授願います。
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No.82792 - 2022/07/18(Mon) 06:34:49
| ☆ Re: 微分 積分 / X | | | 方針を。
条件から
f'(x)=6x^2-6ax=6x(x-a)
∴0≦x≦1における増減表により
(i)a≦0のとき
f(x)は
最小値f(0)=b
最大値f(1)=2-3a+b
を取るので
0≦b,2-3a+b≦1
しかし、これらを満たす(a,b)
の組は存在しないので不適。
(ii)0＜a≦2/3のとき
f(x)は
最小値f(a)=-a^3+b
最大値f(1)=2-3a+b
を取るので
0≦-a^3+b,2-3a+b≦1
(iii)2/3＜a≦1のとき
f(x)は
最小値f(a)=-a^3+b
最大値f(0)=b
を取るので
0≦-a^3+b,b≦1
(iv)0＜a≦1のとき
f(x)は
最小値f(1)=2-3a+b
最大値f(0)=b
を取るので
0≦2-3a+b,b≦1
しかし、これらを満たす(a,b)
の組は存在しないので不適。
以上を整理して、条件のとき
0＜a≦2/3かつb≧a^3かつb≦3a-1
又は
2/3＜a≦1かつb≧a^3かつb≦1
そこで横軸にa,縦軸にbを取って
上記を満たす領域(Dとします)
を図示します。
次に
∫[0→1]f(x)dx=k
と置くと
1/2-a+b=k
∴b=a+k-1/2 (A)
これは横軸にa,縦軸にbを取った
座標平面では直線を表します。
後は直線(A)がDと交点を持つような
kの値の範囲を、Dの上に直線(A)を
描いた上で求めていきます。
こちらの計算では
最小値は1/2-(2/9)√3
(このとき(a,b)=((1/3)√3,(1/9)√3))
最大値は5/6
(このとき(a,b)=(2/3,1))
となりました。
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No.82794 - 2022/07/18(Mon) 06:59:22 |
| ☆ Re: 微分 積分 / IT | | | （別解）
s=∫[0→1]f(x)dx=(1/2)-a+b
t=s-(1/2) とおくとb=a+t
これをf(x) に代入
f(x)=2x^3-3ax^2+a+t
f'(x)=6x(x-a)
0≦x≦1で0≦f(x)≦1 なので
0≦f(0),f(1)≦1
さらに 0≦a≦1 のときは、0≦f(a)≦1
よって
0≦a+t≦1 ∴ -a≦t≦-a+1 …(ア)
かつ0≦2-2a+t≦1∴2a-2≦t≦2a-1…(イ)
さらに 0≦a≦1 のときは、0≦-a^3+a+t≦1∴a^3-a≦t≦a^3-a+1 …(ウ)
(ア)、(イ)、(ウ）の共通範囲を調べればよい。
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No.82795 - 2022/07/18(Mon) 10:50:01 |
| ☆ Re: 微分 積分 / X | | | ＞＞mathさんへ
ごめんなさい。
No.82794において誤りがありましたので、直接修正しました。
再度ご覧下さい。
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No.82797 - 2022/07/18(Mon) 18:52:55 |
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