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★ (No Subject) / ヒキニート
x^p-y^p=2^n・・・(＊)について考える。
(1)p=4のとき(＊)を満たす正の整数x,yは存在しないことを示せ。
(2)pが3以上の奇数のとき、(＊)を満たす正の奇数x,yは存在しないことを示せ。
No.24217 - 2014/02/07(Fri) 19:25:12
☆ Re: / ＩＴ
(1)x^4-y^4=2^n …?@を満たす正の整数x,yが存在する仮定すると
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=2^n、x＞ｙ≧1よりx+yは3以上の偶数。x-yも正の偶数。
したがってx+y=2^a,x-y=2^b,（a,bは１以上の整数でa＞b）とおける。
和の1/2,差の1/2をとるとx=2^(a-1)+2^(b-1),y=2^(a-1)-2^(b-1)
よってx^2+y^2={2^(a-1)+2^(b-1)}^2+{2^(a-1)-2^(b-1)}^2
=2^(2a-1)+2^(2b-1)=2^(2b-1){2^(2a-2b)+1}
a＞bより、2a-2bは2以上の整数なので2^(2a-2b)+1は５以上の奇数
よってx^4-y^4は５以上の奇数を約数に持つ、これは?@に反する。

(2)はx^p-y^pを因数分解すると容易に証明できると思います。
No.24219 - 2014/02/07(Fri) 21:09:20
☆ Re: / らすかる
(1)別解
条件からx＞y≧1なのでn=0となる解は明らかに存在しない。
するとx,yの偶奇は同じとなり、もしx,yが偶数の解が存在すれば
両方を2で割れるだけ割っていけばx,yが奇数の解が存在することになるから、
xとyが奇数である解が存在しないことを示せば十分。
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)においてxとyが奇数だとすると
x^2+y^2は4で割って2余る数かつx^2+y^2＞2となるので、
これが2の累乗となることはない。よって解は存在しない。
No.24222 - 2014/02/07(Fri) 22:16:23
☆ Re: / らすかる
(1)の簡単な別解を思いつきました。
もし解が存在したとすると
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=2^nから
x^2+y^2も(x+y)^2も2の累乗で
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2＞x^2+y^2だからx^2+2xy+y^2≧2(x^2+y^2)
よって 2(x^2+y^2)-(x^2+2xy+y^2)=(x-y)^2≦0となり、
(x-y)^2が2の累乗であることに反する。
No.24235 - 2014/02/08(Sat) 06:56:59
☆ Re: / ＩＴ
「背理法」を使わない論証
x^4-y^4=2^n …?@を満たす非負整数x,yを求める。
x^4-y^4=(x^2+y^2)(x+y)(x-y)=2^nより
x^2+y^2=2^a,x+y=2^b,x-y=2^c a,b,cは０以上の整数,b≧cとおける
2(x^2+y^2)=(x+y)^2+(x-y)^2に代入すると
2^(a+1)=2^b+2^c=(2^c){(2^(b-c)+1}
よって2^(b-c)=1,2^b=2^cよりy=0　※?@を満たす正の整数x,yは存在しない。ことが分かる。

n=4m のとき(x,y)=(2^m,0),nが４の倍数でないときは解なし。
No.24240 - 2014/02/08(Sat) 08:59:03
★ 数?VC 積分の応用 / 福田 雄生
昨日は解答ありがとうございますm(__)m


画像の331番の解答もおねがいします。
No.24215 - 2014/02/07(Fri) 18:06:27
☆ Re: 数?VC 積分の応用 / X
(1)
条件から
S=-∫[0→t](sinx-k)dx+∫[t→π/2](sinx-k)dx
(但し、sint=k(0≦t≦π/2 (A)))
上記の積分の計算結果からkを消去したものを
tの関数と見て(A)の範囲でSを最小にする
tの値を求めます。(tに対するSの増減表を書きましょう。)
そのtの値に対応するkの値を計算します。


(2)
条件から
V=π∫[0→π/2]{(sinx-k)^2}dx
この積分を計算して横軸にk、縦軸にVを取った
グラフを描きます。
但し
0≦k≦1
に注意しましょう。
(一旦変数を置き換える必要のある(1)に比べて
単にkの二次関数になるだけなので処理はこちらの方が
簡単です。)
No.24227 - 2014/02/08(Sat) 00:04:19
★ n進数 / 菊池　悠斗
[1] 10進数で表された234を6進数と2進数で表せ。

[2] 7進数で452である数を10進数で表せ。

ついでに、2問追加いたします。
[3]　11で割ると1あまり、5で割ると4あまる3桁の自然数のうち最小の数は?
＊なんとなく144かなと思っていますが、効率の良い求め方があったら教えていただきたいです。

[4]　方程式3xy+3x+y=5を満たす2つの整数x,yの組をすべて求めよ。

以上4問です、n進法の原理が全然わかっていないので解説していただけるとありがたいです。素因数分解がなんとなく使われることは覚えてますが...
No.24209 - 2014/02/06(Thu) 22:33:37
☆ Re: n進数 / ヨッシー
[1]
10(6)＝6(10)
100(6)＝36(10)
1000(6)＝216(10)
なので、
234(10)＝216(10)＋18(10)
　＝216(10)＋6(10)×3
　＝1000(6)＋10(6)×3
　＝1030(6)
10(2)＝2(10)
100(2)＝4(10)
1000(2)＝8(10)
10000(2)＝16(10)
100000(2)＝32(10)
1000000(2)＝64(10)
10000000(2)＝128(10)
より、
234(10)＝128(10)＋106(10)
　＝128(10)＋64(10)＋42(10)
　＝128(10)＋64(10)＋32(10)＋10(10)
　＝128(10)＋64(10)＋32(10)＋8(10)＋2(10)
　＝10000000(2)＋1000000(2)＋100000(2)＋1000(2)＋10(2)
　＝11101010(2)

[2]
452(7)＝4×49(10)＋5×7(10)＋2
　＝233(10)

[3]
1, 12, 23, 34 で、34 が「11で割ると1あまり、5で割ると4あまる」数の
１つとして見つかったので、これに 55 を順に足して
　34, 89, 144
です。

[4]
3xy+3x+y＝5
変形して
(3x+1)(y+1)＝6
(3x+1, y+1)＝(1, 6)　より　(x, y)＝(0, 5)
(3x+1, y+1)＝(2, 3)　より　(x, y)＝(1/3, 2)　×
(3x+1, y+1)＝(3, 2)　より　(x, y)＝(2/3, 1)　×
(3x+1, y+1)＝(6, 1)　より　(x, y)＝(5/3, 0)　×
あとは　(-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1) についても
同様に調べます。
No.24211 - 2014/02/06(Thu) 23:46:04
☆ Re: n進数 / 菊地　悠人
ヨッシー先生今回も解りやすい解説有難うございます！
No.24216 - 2014/02/07(Fri) 18:51:39
★ 日大　数学Ｎ方式 / たける
日大の入試問題でわからないところがありました。
2/11にも日大の試験があるので、その対策として解き直しをしているので教えて頂けると幸いです。
No.24208 - 2014/02/06(Thu) 22:29:30
☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / たける
＜参考＞
?V
（１）23.24　１６　25/26　1/4
（２）27.28　１２　29.30　−４
?T
（２）3.4　３０　5.6　−４　7.8　１１

という解答が出回っています。
No.24210 - 2014/02/06(Thu) 22:38:36
☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / ＿
III
(1)
f(x)を適当に整理すると
f(x)=(log[2]x)^2 - 2log[2]x - 3となるので
log[2]x=XとでもおいてX^2 - 2X - 3 = 5として方程式を解きます。
そして得られた解からXをxに戻します。

(2)
1/8≦x≦8より-3≦X≦3なので、このもとでX^2 - 2X - 3の範囲を考えます。

I
(2)
α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 4^2 + 14

1/α + 1/β = (α + β)/αβ = -4/7ゆえ、

(1/α + 1/β) + (1/α + 1/β)^2 + … + (1/α + 1/β)^n
=-4/11 + (4/11)・(-4/7)^n で
-1 ＜ (-4/7) ＜ 1なのでn→∞で(-4/7)^n→0
No.24212 - 2014/02/06(Thu) 23:47:40
☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / たける
ご回答ありがとうございます。
?Vはよく理解できました。

しかし、?T（２）のΣ計算がいまいちよくわかりません...。
No.24223 - 2014/02/07(Fri) 22:22:27
☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / ＿
等比数列の和です。
No.24225 - 2014/02/07(Fri) 23:08:34
☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / たける
等比数列の和の計算をやってみました。
初項が(1/α＋1/β）なのでα＋β/αβ＝-4/7
第２項が（1/α^2＋2/αβ＋1/β^2)=44/49
公比が-11/7　になってしまいました。
計算が間違っているのでしょうか？
No.24226 - 2014/02/07(Fri) 23:25:22
☆ Re: 日大　数学Ｎ方式 / ＿
残念ですが、計算が間違っています。

わざわざ2乗して計算し直さなくても、せっかくもう既に1/α + 1/β=(α+β)/αβ=-4/7を出してるのだから、
第2項: (1/α + 1/β)^2 = (-4/7)^2です。

＃そもそも、なぜ等比数列の和を考えたのか分かっていますか？
No.24228 - 2014/02/08(Sat) 00:16:38
★ 数?VC 積分 面積 / 福田 雄生
画像の(2)番からわからないのでよろしくおねがいします

xyz空間内で立体Ａ: x^2/3+y^2/3+z^2/3≦1について考える

(2)xy平面上の曲線x^2/3+y^2/3=a^2/3(a>0)は媒介変数t(0≦t≦2π)を用いて、x=acost^3,y=asint^3と表すことができる。この曲線で囲まれた部分の面積が3/8πa^2であることを示せ

(3)立体Ａの体積を求めよ。
No.24207 - 2014/02/06(Thu) 21:19:34
☆ Re: 数?VC 積分 面積 / ヨッシー
(2)
x=acos^3(t),y=asin^3(t) において、
acos^3(-t)＝acos^3(t), asin^3(-t)＝-asin^3(t)
より、この図形はｘ軸対称
acos^3(π/2-t)＝-acos^3(π/2+t), asin^3(π/2-t)＝asin^3(π/2+t)
より、この図形はｙ軸対称
よって、第１象限の面積を求めて４倍します。
求める面積をＳとすると、
　S/4＝∫[0〜a]ｙdx
ｙ＝asin^3(t), ｘ＝acos^3(t), dx/dt＝-3acos^2(t)sin(t)
　0≦ｘ≦a　→　π/2≧ｔ≧0
より
　S/4＝3a^2∫[0〜π/2]sin^4(t)cos^2(t)dt　　　※積分区間を逆にする代わりにマイナスを取っています
ここで
　sin^4(t)cos^2(t)＝sin^2(t)(sin(t)cos(t))^2
　　＝{(1-cos(2t))/2}sin^2(2t)/4
　　＝(1/8)(sin^2(2t)−cos(2t)sin^2(2t))
　　＝(1-sin(4t))/16−sin^2(2t)cos(2t)/8
よって
　S/4＝3a^2{∫[0〜π/2](1-sin(4t))dt/16−∫[0〜π/2]sin^2(2t)cos(2t)dt/8}
　S/12a^2＝(1/16)[t＋cos(4t)/4][0〜π/2]−(1/48)[sin^3(2t)][0〜π/2]
　　＝(1/16)(π/2＋1/4−1/4)
　　＝π/32
　Ｓ＝12πa^2/32＝(3/8)πa^2
No.24213 - 2014/02/07(Fri) 11:10:59
★ 無理式の不等式 / なは
赤い下線部のところで
「この無理式の不等式より自動的に解ける」
と書いてあるのですが、どのように解くのですか？
よろしくお願いします。
No.24204 - 2014/02/06(Thu) 19:23:34
☆ Re: 無理式の不等式 / X
√x+√y≦1
より
√y≦1-√x
これと
√y≧0
により
0≦1-√x (A)
一方(√の中)≧0より
0≦x (B)
(A)(B)より
0≦x≦1
yについても同様です。
No.24205 - 2014/02/06(Thu) 19:48:39
☆ Re: 無理式の不等式 / なは
ありがとうございました
No.24206 - 2014/02/06(Thu) 20:42:08
★ 【ルートのときかた】 / こりん


√24745.45/12

これを小数点であらわしたいのですが、
ときかたがわかりません・・・
教えてください！
No.24202 - 2014/02/06(Thu) 16:08:08
☆ Re: 【ルートのときかた】 / ヨッシー
(√24745.45)/12 か √(24745.45/12) かわかりませんが、
開平を筆算でやりたいというのであれば、
こちらをご覧下さい。
No.24203 - 2014/02/06(Thu) 17:49:40
★ (No Subject) / 智恵
この(2)のまず考え方の見当の付け方を教えてください。
No.24200 - 2014/02/06(Thu) 02:56:47
☆ Re: / 智恵
考え方
がしたにありますが、なぜかわかりませんし、そもそも見当がつきません…
No.24201 - 2014/02/06(Thu) 02:58:13
☆ Re: / 智恵
すみません、聞き方が悪かったのでしょうか。
2の解説をいただけませんか？
お願い致します。
No.24320 - 2014/02/11(Tue) 20:45:10
★ (No Subject) / ちよ
2/a+3/b=1

上の等式を満たすa、bの組みを求めたいのですが
どのような式変換をすれば良いのでしょうか??

どなたかよろしくお願いしますm(__)m
No.24196 - 2014/02/05(Wed) 21:46:24
☆ Re: / ＩＴ
a,bの条件は？
No.24197 - 2014/02/05(Wed) 21:56:59
☆ Re: / ＩＴ
2/a+3/b=1 より　a≠0かつb≠0.
両辺にabを掛けて2b+3a=ab
移項して　ab-3a-2b=0
(a-2)(b-3)=6=2×3
あとはa,bの条件により・・・
No.24198 - 2014/02/05(Wed) 22:01:36
☆ Re: / ちよ
ありがとうございますヽ(*´ｖ｀*)ﾉ
解けないと思ったら、abを両辺にかけ忘れていました…

確認したところa、bの条件は等式を満たす整数でした
No.24199 - 2014/02/05(Wed) 22:08:48
★ (No Subject) / ヒキニート
各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。

(1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて 表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。

ヨッシーさん(2)の解説お願いします。
No.24195 - 2014/02/05(Wed) 14:56:23
★ 数１の範囲 / 窮糠
(x+y)(x+y-2)(x-y-2)(x-y)を展開したとき、
x^2y^2の係数は(ｳ)であり、x^3の係数は(ｴ)である。
計算過程など、あっているか確認お願いします。
y-2をAとする
(x+y)(x-y)(x+A)(x-A)=(x^2-y^2)(x^2-A^2)
x^4-2x^2y^2+2x^2y-4x^2+4y^2-2y^3+y^4
x^2y^2=-2　x^3=0
No.24193 - 2014/02/05(Wed) 01:12:48
☆ Re: 数１の範囲 / らすかる
計算過程は正しくありません。
答えはx^2y^2の係数だけたまたま合っています。
y-2をAにしたら
x+y-2はx+Aですが
x-y-2はx-(y+2)ですからx-Aではありません。
No.24194 - 2014/02/05(Wed) 01:29:45
☆ Re: 数１の範囲 / 窮糠
オオゥ・・
自分なりにやり直してみました。
x+y=A,x-y=Bとする
(A)(A-2)(B-2)(B)
(AB-2A)(AB-2B)
(AB)^2-2AB^2-2A^2B+4AB
x^4-2x^2y^2-y^4-2(x+y)(x-y)^2-2(x+y)^2(x-y)
よって、x^2y^2=-2 X^3=-4
すいません打ち込むのが面倒で途中計算省いています。
正しい計算法、効率のいい計算法があったら教えてほしいです。
No.24214 - 2014/02/07(Fri) 12:14:07
★ 教えてください / めぐぽん
２点P(5,7)Q(-1,3)の間の距離を求めなさい。ただし原点を0とし、原点0から点(1,0)までの距離および原点0から点(0,1)までの距離を1cmとする
No.24188 - 2014/02/04(Tue) 23:56:21
☆ Re: 教えてください / ヨッシー

こういう位置関係になりますが、三平方の定理は習得済みですか？
No.24189 - 2014/02/05(Wed) 00:15:22
★ 何かな？ / 潤一郎
おはようございます。学校に行くまでにと思って。
すみません。１問お願いします。

?@上の問題の赤マルをつけている問題ですが
ｘ軸を軸に回転・・・ってどんな立体になるのですか？
又その立体の体積の求め方もおねがいします。

想像できるようにすみませんがお願いします。

?Aも添付したのですが朝までに解決しました。
質問は上の立体だけです。よろしくおねがいします。

いつもすみません。
No.24178 - 2014/02/04(Tue) 07:49:03
☆ Re: 何かな？ / らすかる
その図から立体の想像が付かない人に「想像できるように」
文章で説明するのは私には無理そうなので、
紙を切って直角二等辺三角形を作り、
端（45°の角）をセロハンテープで鉛筆に張り付けて
（貼り付ける方向はx軸に三角形がくっついているのと同じようにする）
鉛筆をくるくる回してみてはいかがでしょうか。
No.24179 - 2014/02/04(Tue) 07:57:40
☆ Re: 何かな？ / ヨッシー
こんなのです。

No.24181 - 2014/02/04(Tue) 12:07:25
☆ Re: 何かな？ / 潤一郎
らすかる先生、ヨッシー先生早く教えてくれて
ありがとうございました。

ヨッシー先生へ。

あのお・・。僕も考えたのですが同じ立体です。
これってｙ軸を軸に回転しているのではないのでしょうか？

問題はｘ軸を軸に・・って書いてあるので
僕はヨッシー先生のようにｙ軸のように回しては
だめだと考えました。ｙ軸だと横に回すと
このような図が頭にありますが軸が縦ですよね
ｘ軸だと回転は横に回らないと
いけないのじゃないでしょうか？全くわかりません。
どうか教えて下さい。

ｘ軸には原点の点しかありませんし・・・。
すみません。もう一度おねがいします。

急いで帰ってきました。よろしくお願いします。
No.24183 - 2014/02/04(Tue) 15:49:26
☆ ダメなら引いてみる / angel
直接的に形が分かりにくいならば、分割して分かる形に落とし込む、もしくは、ある形から何かを除いた形として考える、という手が有効です。
そうすると、実は小問2がヒントになっているという見方ができます。小問2の点をCとすると、△OABとは、△OCBから△OCAを引いた形。
これは回転体でも同じなので、結局△OABを回転させた立体は、△OCBを回転させてできる円錐から、△OCAを回転させてできる、ソロバンの玉のようなモノ ( 円錐を2個つなげた形 ) を引いた形となります。
※どちらかというと、円錐の先っぽを切り落として、更に断面から円錐をくりぬいた形といった方が良いか…

ということで、体積の計算も、円錐の体積の差としてできます。尤も、形がはっきり分からなくとも、積分で計算する手もありますが。
No.24185 - 2014/02/04(Tue) 18:04:51
☆ Re: 何かな？ / ヨッシー
そうでした。

こうですね。
No.24186 - 2014/02/04(Tue) 18:21:48
☆ Re: 何かな？ / 潤一郎
こんばんは。

angel 先生、ヨッシー先生ありがとうございました。

すみません。ずっと考え中ですのでもう少し時間下さい。

angel 先生。

まだ中学生で積分は習ってないのですが、なるほど
「ダメなら引いてみる」がとても今参考になっています。
もう少し頑張ってみます。
No.24187 - 2014/02/04(Tue) 21:33:39
☆ Re: 何かな？ / 潤一郎
ヨッシー先生へ。

No.24186の立体の画像ありがとうございました。
ですがここから立体が分っても何をどうしたらと
考えていましたが全くわかりません。
結局angel先生の方法しかありませんか？

angel先生へ
先生の「※どちらかというと、円錐の先っぽを切り落として、更に断面から円錐をくりぬいた形といった方が良いか…
」これがイメージできてきましたが。答は８０πです。

解き方は載ってなかったのでもう少し教えて下さい。

?@小問2がヒントと教えていただいたので
まず
１/3π６の２乗×１２（という円錐）−・・・円錐の先っぽを切り落として
−更に断面から円錐をくりぬくという考えでいいの
ですよね。

すみません。６の２乗の書き方が分らなくて。
−は（引く）です。Ａの座標が（４　４）だから
１２から４を引くと８で
初めに切り落とすのは半径４で高さが８の円錐ですよね。

くりぬく円錐なのですが
半径４で高さが４の円錐でいいですか？

でも８０πにならないのですが。
もう少しだけお願いします。
どこが間違っていますか？
よろしくお願いします。
No.24190 - 2014/02/05(Wed) 00:27:01
☆ Re: 何かな？ / らすかる
(1/3)π・6^2・12 から
(1/3)π・4^2・8 と
(1/3)π・4^2・4 を引けば
80πになりますよ。
No.24191 - 2014/02/05(Wed) 00:37:19
☆ Re: 何かな？ / 潤一郎
らすかる先生へ

超嬉しいです。８０πになりました。

ありがとうございました。
やっと眠れます。本当にありがとうございました。

受験まであと少し・・頑張ります。
最後までよろしくお願いします。
No.24192 - 2014/02/05(Wed) 01:01:02
★ (No Subject) / ヒキニート

各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0<t<1)に内分する点をQとし、平面APQと辺OCの交点 をRとする。
(1)↑ARを↑AP、↑AQ、tを用いて表せ。
(2)四角形APRQの面積をtで表せ。
No.24176 - 2014/02/04(Tue) 06:31:41
★ 三角関数 / L
すごく基礎的な質問で申し訳ないのですが教えて下さい。
三角関数の質問です。
kを自然数とするとき sin(kπ-π/2)はどうして -cos kπ と変形できるのでしょうか？
教えて下さい。
No.24170 - 2014/02/03(Mon) 19:36:10
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
この際ｋは自然数でなくても良いのですが、
sin(π/2−θ)＝cosθ　と、sin(-θ)＝-sinθ　を組み合わせると
sin(θ−π/2)＝-sin(π/2−θ)＝-cosθ
が得られます。このθにｋπを代入すると．．．
No.24171 - 2014/02/03(Mon) 20:05:04
☆ Re: 三角関数 / 駿
ありがとうございました。
No.24173 - 2014/02/03(Mon) 20:15:53
★ 式変形 / シュレディンガー
−a^3X^4＋2a^3X^3−(a^3＋a^2)X^2＋(a^2−1)X

＝−X{aX−(a−1)}{a^2X^2−(a^2＋a)X＋a＋1}

どうしたらこんなふうな変形出来るのでしょうか

段階を踏んで教えてもらえれば幸いです…。
No.24168 - 2014/02/03(Mon) 17:35:29
☆ Re: 式変形 / ヨッシー
Ｘで括れるのはすぐにわかりますので、
　f(X)＝-a^3X^3＋2a^3X^2−(a^3+a^2)X＋(a^2-1)
とおきます。因数定理で、f(α)＝0 になるようなαが
あるとしたら、それは
　(定数項の因数)／(X^3の係数の因数)
という形になっていることが多いです。
すると、分母は 1, a, a^2, a^3、分子は 1, a-1, a+1 の組合せと
プラスマイナスで24通りの候補があります。
あとは、X^3, X^2, X のいずれにもa^3が係数に入っているので、
X の分子と分母は同じ次数と予想されるので、
　±1, ±(a-1)/a, ±(a+1)/a
の６通りに絞ってf(X) に代入していくと f((a-1)/a)＝0 が見つかります。
そこで、f(X) を x-(a-1)/a で割って、
　f(X)＝−(x-(a-1)/a)(a^3X^2−(a^3＋a^2)X＋a^2＋a)
を得ます。
No.24172 - 2014/02/03(Mon) 20:15:13
☆ Re: 式変形 / シュレディンガー
丁寧に説明戴きありがとうございました
No.24174 - 2014/02/03(Mon) 21:54:15
☆ Re: 式変形 / ヨッシー
直接解答には影響しませんが、分子の候補には a^2−1 もありますね。
No.24175 - 2014/02/03(Mon) 22:22:47
★ 数学?U / さがらを
a,bは実数とする。２つの複素数a+biと2-3iの和が純虚数、積が実数となるときのaとbを求める問題
(答えはa=-2,b=-3)

aを実数として複素数z=a+iを考える。zの4乗が実数になるaの値とそのときのzの4乗の値を求める問題
(答えはa=0のとき1、a=-1,1のとき-4)

a,bは実数とする。2次方程式(a+i)xの二乗+(b-3i)x+12-4i=0が異なる２つの実数解をもつとするときの方程式の解
(答えはx=-1,4でありa=-3,b=9)
の解き方を多いですがどなたかお願いします
No.24162 - 2014/02/03(Mon) 00:19:59
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
１番目
和は (a+2)＋(b-3)i、積は(2a+3b)＋(-3a+2b)i なので
それぞれ、純虚数、実数になるようにａ，ｂを決めます。

２番目
ｚ^4＝(a^4-6a^2+1)＋4a(a^2-1)i なので、これが実数になるように
ａを決め、上式に代入して z^4 を求めます。

３番目
２つの実数解をα、βとすると、元の方程式は
　(a+i)(x-α)(x-β)＝０
となります。展開して
　(a+i)x^2−(a+i)(α＋β)x＋(a+i)αβ＝０
係数比較して
　−(a+i)(α＋β)＝b-3i
　(a+i)αβ＝12-4i
これらから、ａ，ｂ，α＋β、αβ を求め、方程式
　x^2−(α＋β)x＋αβ＝０
から、αとβを求めます。
No.24165 - 2014/02/03(Mon) 07:09:10
★ (No Subject) / 頭痛が治らない人
ｆ（ｘ）＝ｎ(logx)^2にA(0,-1)から接線を引く。このとき、最小の接点のｘ座標をanとおく。

接点のｘ座標をｔとし、接線の式をたて、Aの座標を代入すると
-1=n(logt)^2-2nlogt
logt=1±√(1-1/n)
logan=1ー√(1-1/n)

-1=n(logt)^2-2nlogtから
-1=n(logan)^2-2nloganが成り立つので
nlogan=1/{1-(n-logan)}
とできるので
lim(n→∞）nlogan=lim(n→∞）1/(n-logan)＝１/（∞ー０）＝０というのはなぜ駄目なのでしょうか？

実際の答えは1/2となっています。よろしくおねがいします
No.24160 - 2014/02/02(Sun) 23:53:49
☆ Re: / らすかる
> -1=n(logan)^2-2nloganが成り立つので
> nlogan=1/{1-(n-logan)}

n=2のとき
loga[n]=1-1/√2
これは -1=n(loga[n])^2-2nloga[n] に代入すると成り立ちますが
nlogan=1/{1-(n-logan)} に代入すると成り立ちません。
よって -1=n(loga[n])^2-2nloga[n] から nlogan=1/{1-(n-logan)} には
変形できないと思います。

n(loga[n])^2-2nloga[n]=-1 を変形すると
nloga[n](loga[n]-2)=-1
nloga[n]=1/(2-loga[n])
となりますので
lim[n→∞]nloga[n]=lim[n→∞]1/(2-loga[n])=1/2
となり答えと合いますね。
No.24164 - 2014/02/03(Mon) 00:44:56
☆ Re: / 頭痛が治らない人
ありがとうございます、変形ミスでした。
No.24166 - 2014/02/03(Mon) 09:33:11
★ 積分 / ktdg
xyz空間の点 A(t,e^t,0), B(2t,e^t-1,0), C(2t,e^t-1,e^t), D(t,e^t,e^t)を4頂点とする長方形ABCDの周と内部からなる面を 0≦t≦1の範囲で動かしたとき通過してできる立体Kの体積を求めよ。


平面 x=u(0≦u≦2)でKを切ったときの切り口の面積をS(u)とおく。
(?@)0≦u<1のとき
切り口は4点 P(u,e^u,0), Q(u,e^(u/2)-1,0), R(u,e^(u/2)-1,e^(u/2)), S(u,e^u,e^u)を頂点とする台形になるので、
S(u)=(1/2){e^u+e^(u/2)}{e^u-e^(u/2)+1}=(1/2){e^(2u)+e^(u/2)}

(?A)1≦u≦2のとき
切り口は4点 P(u,-u+1+e,0), Q(u,e^(u/2)-1,0), R(u,e^(u/2)-1,e^u), S(u,-u+1+e,e)を頂点とする台形になるので、
S(u)=(1/2){e+e^(u/2)}{-u-e^(u/2)+2+e}=(1/2)(-eu+2e^(u/2)-ue^(u/2)+2e+e^2-e^u}

よってKの体積は
∫[0〜1](1/2){e^(2u)+e^(u/2)}du+∫[1〜2](1/2)(-eu+2e^(u/2)-ue^(u/2)+2e+e^2-e^u}du

となったのですが何度計算しても答えがあいません。
どこが間違っているのか教えてください。
因みに答えは (1/4)e^2+(3/2)e-5/4です。
No.24158 - 2014/02/02(Sun) 23:38:04
☆ Re: 積分 / ヨッシー
切り口は台形にならないはずです。
No.24167 - 2014/02/03(Mon) 11:25:44
★ 数学?U / さがらを
(1＋2i)x-(2-i)y=3を満たす実数x,y
(-1+i)(x+yi)=1-3iを満たす実数x,y
の解説をしてほしいです
No.24155 - 2014/02/02(Sun) 23:12:31
☆ Re: 数学?U / ＩＴ
> (1＋2i)x-(2-i)y=3を満たす実数x,y
実部と虚部に分けて
(x-y-3)+(2x+y)i=0
よってx-y-3＝0かつ2x+y＝0、この連立方程式を解く

> (-1+i)(x+yi)=1-3iを満たす実数x,y
左辺を展開して
-x+xi-yi-y=1-3i
移項して実部と虚部に分けて整理
-x-y-1+(x-y)i=0
よって-x-y-1=0かつx-y=0　この連立方程式を解く
No.24156 - 2014/02/02(Sun) 23:22:39
☆ Re: 数学?U / さがらを
解けました！
ありがとうございました！
No.24157 - 2014/02/02(Sun) 23:32:28
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