(Diniの定理)
区間[0,1]で定義された実数値連続関数の列f_n(x)(n=1,2,...)が各点0≦x≦1においてnに関して単調減少し，各点xごとに実数列f_n(x)が実数の極限f(x)に収束し，関数列f_n(x)の極限f(x)の収束の仕方は一様である．すなわち，
max{|f_n(x)-f(x)|:0≦x≦1,n=m,m+1,m+2,...}
=max{f_n(x)-f(x):0≦x≦1}→0 m→∞
が成り立つ．
(証明)
g_n(x)=f_n(x)-f(x),g(x)=0と定めると，[0,1]上の連続関数の列0≦g_(n+1)(x)≦g_n(x)であるようなものが与えられていて，各点ごとにg_n(x)が単調減少して0に収束するならば，この収束が一様であることを示せば良い．ここでε>0を任意にとり固定する．各0≦x≦1に対して，ある自然数N(ε/2,x)が存在して
n≧N(ε/2,x) ⇒0≦g_n(x)<ε/2となり，
関数g_N(ε/2,x)の連続性より，あるδ=δ(ε/2,x)が存在して，y∈[0,1],|y-x|<δ⇒|g_N(y)-g_N(x)|<ε/2
従って
y∈[0,1],|y-x|<δ⇒0≦g_N(y)<ε
となり，さらにnに関するg_nの単調性より，
y∈[0,1],|y-x|<δ(ε/2,x),n≧N(ε/2,x)
⇒0≦g_n(y)<ε…(＊)
が言える．一方，一様収束する結論を否定すると
あるε>0が存在して，これに対して自然数の無限増大列
m_1<m_2<...<m_n<m_(n+1)<...と，対応する[0,1]の点の列{x_n}で，ｇ_(m_n)(x_n)≧εとなるものが存在することになる．このとき，区間[0,1]の二分割を繰り返すことによって点列(x_n)の部分列で[0,1]のある点に収束するものが存在する．そこで置き換えによって点列{x_n}自身が[0,1]のある点x_∞に収束すると仮定できる．
ここで，
(＊)と
ｇ_(m_n)(x_n)≧ε,m_n→∞ as n→∞
x_n→x_∞ as n→∞
であることが両立不能であることを証明したいです．
よろしくお願いします．
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No.23846 - 2014/01/18(Sat) 14:58:32
| ☆ Re: 解析 / 黄桃 | | | そこまで出来ているならもう少し。
>y∈[0,1],|y-x|<δ(ε/2,x),n≧N(ε/2,x)⇒0≦g_n(y)<ε…(＊)
において、x=x_∞としてみてはどうでしょうか。
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No.23850 - 2014/01/18(Sat) 15:57:11 |
| ☆ Re: 解析 / 健司 | | | No.23853 - 2014/01/19(Sun) 20:51:37 |
| ☆ Re: 解析 / 黄桃 | | | えっと、これでわからないということは、上の証明は自力で考えたものでない、ということでしょうか。どこかから持ってきて、あと埋めてごらん、ということなのでしょうか。
yとして適当な x_m を入れれば矛盾がでます。
これ以上私は答える気はありません。
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No.23855 - 2014/01/19(Sun) 23:22:50 |
| ☆ Re: 解析 / 健司 | | | 黄桃さん、ご不快な思いをさせてしまい申し訳ありませんでした。先ほど解決することが出来ました。
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No.23856 - 2014/01/20(Mon) 00:37:44 |
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