ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 排反事象について / げん

A.Bの箱に1以上の数字が書かれたカードが何枚か入っている。
A.Bからそれぞれ一枚ずつカードを取り出したとき、
書いてある数字がAから取り出したものは偶数、Bから取り出したものも偶数という事象とAから取り出したものは偶数、Bから取り出したものは奇数という事象はお互い排反事象というのはあっていますか？ひっかかっているのは、2つの事象でAか
とりだしたものは偶数なので、ここがダブってしまっているから排反な事象じゃないんじゃないか？と考えてしまいます。
(A.B)=(偶、偶) (A.B)=(偶、奇)という意味なら二つの事象はかぶる部分がないので排反事象といえると思いますが汗
わかる方教えてください。

No.23290 - 2013/11/24(Sun) 20:51:57

☆ Re: 排反事象について / ヨッシー

両方同時に起こることがないので、排反です。

ＡとＢのペアで１つの事象なので、Ａがダブっていても関係ありません。

No.23301 - 2013/11/25(Mon) 09:44:39

★ 高１数学Ａ　苦手　 / げん

排反事象、独立試行、集合などについて
たとえば
サイコロを１回振って奇数の目がでる事象をＡ
３の倍数がでるという事象をＢとします。
ＡとＢはどちらもサイコロを１回振るという試行は同じです。ですが試行の結果がＡは奇数の目でＢは３の倍数とあり、ＡとＢは「サイコロを１回ふって３の目がでる」という事象が含まれています。
なのでこれは排反な事象ではないというのはあっているのでしょうか？
また、排反な事象でないときで確率を求める問題のときは、確率の下方定理を用いたりしますよね。
このときベン図を描いて集合の知識を利用しますが、少しわからないところがあります。
たとえばさきほどの
「サイコロを１回振って奇数の目がでる事象Ａ」は
奇数というのは1,3,5ですよね。
なんでこれは言い換えれば
「サイコロを１回振って1or3or5の目がでる事象Ａ」・・・?@ということですよね。そのとき集合Ａのベン図は○の中に1,3,5という要素を書き込めばいいですよね。
いままではあまり深く考えなかったんですけど、よく考えてみたら、「集合というのは要素の集まったもの」という理解でいいのか不安に思えてきました。
?@はもっとていねいに言い換えれば
「サイコロを１回振って1の目」または
「サイコロを１回振って3の目」または
「サイコロを１回振って5の目」
これら３つは全部排反ですけど、事象Ａというのはこれら３つの集合を合体させた集合なので、集合の足し算をされたものが事象Ａの集合という理解でいいんでしょうか？？
それとすごく今更なんですけどベン図ってなぜか丸(○)ですよね？□だとダメなんですか？
集合の足し算って考えるなら□のほうがわかりやすい気がするんですが・・・
よくわからないので教えてください。お願いします。

No.23288 - 2013/11/24(Sun) 19:31:17

★ 円に外接する三角形で面積が最小のもの / レム

こんにちは。問題の解答でわからないところがあります。

解答のなかで、なぜ QK＞KR となるのか、
また Q0Q＞Q0S＞RR0 だと、∆PQR の周の長さが ∆P0Q0R0の周の長さ
よりも大きくなるというところが、どうして大きくなるのかがわかりません。よろしくお願いします。（高一です）

問題 : 与えられた円Oに外接する三角形 ∆PQR のなかで、面積を最小に
　　　するものを求めよ。

解答 :

No.23287 - 2013/11/24(Sun) 18:44:51

☆ Re: 円に外接する三角形で面積が最小のもの / ヨッシー

>なぜ QK＞KR となるのか
△ＱoＳＫと△ＲoＲＫは相似で、
ＱoＫ＞ＫＲo より　ＳＫ＞ＫＲ
ＱＫはＳＫより長いので、　ＱＫ＞ＫＲ　です。

>Q0Q＞Q0S＞RR0 だと・・・

図のように、
ＲoＲ＝ＲoＲ1 となる点Ｒ1、ＱＱo＝ＱＱ1 となる点Ｑ1
を取り、２つの三角形で、同じ長さの線分を順に塗りつぶしていくと、
ＰoＱoＲo 上にＲoＲ２つ分
ＰＱＲ上にＱoＱ２つ分の線分が残ります。
結局この問題は、ＱoＱとＲoＲを比較する問題だったのです。

No.23302 - 2013/11/25(Mon) 10:38:26

☆ Re: 円に外接する三角形で面積が最小のもの / レム

ヨッシーさんありがとうございました。図がわかりやすかったです。

No.23334 - 2013/11/26(Tue) 17:29:46

★ (No Subject) / yu-zi

a,a,b,b,c,c,d,d の8個の文字がある。
(1) この8個の文字を、横一列に並べる。
このとき、左側k個の文字と右側8-k個の文字に共通のものが
含まれているような順列の集合をA(k)(k=1,2,・・・,7)とする。
たとえば、順列abbcacdd は集合A(2),A(4) の要素であるが集合A(6) の要素ではない。
次の各集合の要素の個数を求めよ。
(?@)A(2)
(?A)A(4)
(?B)A(2)∧A(4)
(2) この8個の文字を、定円Oを8等分した点上に1個ずつ並べる。
(?@)中心Oに関して点対称となる順列の数はいくつか。
(?A)このような順列の数はいくつか。
ただし(?@)(?A)とも、Oを中心に適当な角だけ回転したとき同一になる並べ方は同じ順列とみなす。

(2)の?Aが分かりません
(1)が誘導なんでしょうがどう使えばいいかわかりません
よろしくお願いします

No.23285 - 2013/11/24(Sun) 17:46:31

☆ Re: / X

(1)の結果は使わなくてもできると思います。

問題の８個の文字でできる順列の数は
8!/(2!2!2!2!)[通り]
これを条件のような円順列にした場合、
ある一つの円順列に対し
8[通り]
は同じ円順列となりますので
8!/(2!2!2!2!)÷8=315[通り]

No.23289 - 2013/11/24(Sun) 19:41:43

☆ Re: / らすかる

すべての円順列に対して
> ある一つの円順列に対し
> 8[通り]
> は同じ円順列
が成り立てば315通りですが、
残念ながら成り立ちません。

No.23291 - 2013/11/24(Sun) 21:35:13

☆ Re: / X

>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>yu-ziさんへ
ごめんなさい。らすかるさんのご指摘通りです。
私の回答は無視して下さい。

No.23305 - 2013/11/25(Mon) 12:49:16

★ さっぱり解りません。どなたかお願いします。 / カナリア

問題　x,yを整数として、1/x-1/y=1/6　…?@を考える
(1)?@を満たす(x,y)は　ア　組ある。
(2)?@を満たす(x,y)でのxyの最小値は　-イ　である。
(3)?@を満たす(x,y)でのxyの最大値は　ウ　であり、最大値をとるときのxの値は、-エ　と　オ　である。

答えはア17、イが294、ウが150、エが30、オが5、なのですが、解き方がさっぱり解りません。

No.23281 - 2013/11/23(Sat) 19:15:02

☆ Re: さっぱり解りません。どなたかお願いします。 / ＩＴ

・まず、両辺に6xyを掛けて　分数式から整式にしましょう。
・(x+α)(y+β)=γの形にします。
・γを素因数分解し、γの約数をすべて求めます。
※x≠0かつy≠0です。
※x+α＞0、y+β＞０の場合と、x+α＜0、y+β＜０の場合とがありますので注意。

No.23282 - 2013/11/23(Sat) 20:10:46

☆ Re: さっぱり解りません。どなたかお願いします。 / カナリア

IT様　返信有難うございます。
教えていただいたことで、(1)のア17は答えに辿りつけました。

(2)と(3)はどう解けばいいのか分かりません。
お手数ですが、どなたか教えてください。

No.23283 - 2013/11/24(Sun) 10:08:34

☆ Re: さっぱり解りません。どなたかお願いします。 / ＩＴ

?@を満たす(x,y)は１７組ですから、しらみつぶしでも見つかると思います。
少し工夫するとすれば、
1/x-1/y=1/6 より 6(y-x)=xy ですから
y-xが最小⇔xyが最小、y-xが最大⇔xyが最大
(y+6)-(x-6)が最小⇔xyが最小,(y+6)-(x-6)が最大⇔xyが最大
を使えばいいと思います。

No.23284 - 2013/11/24(Sun) 14:55:57

☆ Re: さっぱり解りません。どなたかお願いします。 / カナリア

有難うございました。
お陰で理解できました。

No.23338 - 2013/11/26(Tue) 23:05:06

★ 是非解答よろしくお願いしますm(_ _)m / ゆう

cを実数とする。xについての2次方程式x^2＋(3-2c)x＋c^2＋5=0が 2 つの解a,bをもつとする。

複素平面上の3点a,b,c^2 が三角形の 3頂点になり,その三角形の重心は0であるという。cを求めよ。

No.23276 - 2013/11/23(Sat) 15:55:28

☆ Re: 是非解答よろしくお願いしますm(_ _)m / angel

2次方程式の解と係数の関係より
　a+b=2c-3
一方、a,b,c^2により複素平面上に形成される三角形の重心が0であることから
　1/3・(a+b+c^2)=0
以上より
　c^2+2c-3=0
これを解いて c=1,-3

c=-3 の時、2次方程式の解は x=-2,-7
a,b,c^2は複素平面上で、全て実軸上にあるため、三角形が形成されず不適
c=1 の時、2次方程式の解は x=(-1±√23・i)/2
a,b,c^2 により複素平面上で三角形が形成されるため十分

答え: c=1

No.23277 - 2013/11/23(Sat) 16:46:33

★ 計算 / 京

こんにちは！

π｛log(t+3/2)｝^2-(logt)^2
のまとめかたがわかりません。

＝πlog(t^2+3/2t)log(1+3/2t)
となるらしいのですが…

どうか教えてください！

No.23275 - 2013/11/23(Sat) 15:22:37

☆ Re: 計算 / らすかる

π｛log(t+3/2)｝^2-(logt)^2
は
＝πlog(t^2+3/2t)log(1+3/2t)
にはなりません。

例えばt=2とすると、前者は
π{log(7/2)}^2-(log2)^2≒4.45
後者は
πlog(7)log(4)≒8.47
となって一致しません。

もし前者を無理やりまとめるなら
π{log(t+3/2)}^2-(logt)^2
={(√π)log(t+3/2)}^2-(logt)^2
={(√π)log(t+3/2)+logt}{(√π)log(t+3/2)-logt}
={log((t+3/2)^(√π))+logt}{log((t+3/2)^(√π))-logt}
=log(t・(t+3/2)^(√π))log((t+3/2)^(√π)/t)
とはできますが、これがはたして「まとめる」と言えるのか疑問です。

No.23278 - 2013/11/23(Sat) 16:47:17

☆ Re: 計算 / angel

π{ (log(t+3/2))^2-(logt)^2 } = πlog(t^2+3/2・t)log(1+3/(2t)) となる根拠、ということでよろしいでしょうか。
※なぜこういう変形が必要かは分かりませんが…

以下の関係を利用します。
　A^2-B^2=(A-B)(A+B)
　logA+logB=log(AB)
　logA-logB=log(A/B)

すると、
　π{ (log(t+3/2))^2-(logt)^2 }
　= π{ log(t+3/2)+logt }{ log(t+3/2)-logt }　　← A^2-B^2=(A+B)(A-B)適用
　= πlog( t(t+3/2) )log( (t+3/2)/t )　　← logA+logB=log(AB), logA-logB=log(A/B) 適用
　= πlog(t^2+3/2・t)log(1+3/(2t))
と変形できます。

No.23279 - 2013/11/23(Sat) 16:53:21

★ (No Subject) / かりん

解法教えてください

ある人がA地点から出発してB地点まで行くときに、全工程の
３分の１ずつをそれぞれ時速２４ｋｍ、１２ｋｍ、４ｋｍで
移動した。全工程の平均の速さはいくらか。

No.23269 - 2013/11/22(Fri) 23:00:13

☆ Re: / ヨッシー

ＡからＢまで 24×3＝72(km) とします。
1/3 の24kmずつをそれぞれ
1時間、2時間、6時間の計9時間で移動するので、
　72÷9＝8 (km/時)
となります。

これは、調和平均といって、逆数の平均の逆数を取ります。
(1/24＋1/12＋1/4)／３＝(9/24)/3＝9/72＝1/8　・・・逆数の平均
その逆数で、８が調和平均です。

No.23270 - 2013/11/22(Fri) 23:06:22

☆ Re: / かりん

ありがとうございます
わかりやすい説明で助かりました

No.23272 - 2013/11/22(Fri) 23:52:21

★ (No Subject) / かず

数Ｂの問題です。
かいとうお願いします

△ＯＡＢにおいて、辺ＯＢを2：1に内分する点をＣ、
線分ＡＣの中点をＭとし、直線ＯＭと辺ＡＢの交点をＤとする。
（1）↑ＯＤ＝ｋ↑ＯＭとなる実数ｋの値

（2）ＡＤ：ＤＢ

お願いします

No.23260 - 2013/11/21(Thu) 22:26:54

☆ Re: / ヨッシー

ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢとします。
ＯＭ＝(ａ＋ＯＣ)／２＝ａ／２＋ｂ／３
ＯＤ＝ｋＯＭ　とすると、
ＯＤ＝ｋａ／２＋ｋｂ／３
ＤはＡＢ上の点なので、
　ｋ／２＋ｋ／３＝１
よって、ｋ＝６／５

このとき、
　ＯＤ＝（３／５）ａ＋（２／５）ｂ
より、ＡＤ：ＤＢ＝２：３

No.23261 - 2013/11/21(Thu) 22:41:59

☆ Re: / ヨッシー

天秤法でやれば、ＯＭ：ＭＤ＝５：１、ＡＤ：ＤＢ＝２：３　が
すぐ出ますね。

検算に便利！

でも、ベクトルの単元で、天秤法のみで解答したら×です。

No.23265 - 2013/11/22(Fri) 08:58:22

☆ Re: / かず

ありがとうございます！
分かりすかったです！

あとーすみませんが
天秤法って知らないんですが
どーゆーものか教えて頂けますか？？

No.23268 - 2013/11/22(Fri) 19:38:31

☆ Re: / ヨッシー

Ｃで、辺ＯＢを吊したとき、点Ｏ、点Ｂにどれだけのおもりを
下げれば釣り合うか考えます。
Ｃからの距離の逆比になるようにＯに１、Ｂに２のおもりを付けます。
このとき、Ｃには３の力がかかっています。
Ｏに１、Ｃに３、Ｂに２を書き込みます。

Ｃに３が書かれているので、線分ＡＣについて同じことをやると、
Ａも３となり、支点のＭは６となります。

ＯＤで考えると、Ｏの１に対して、Ｄは５になります。

Ｏに１、Ｄに５があり、支点Ｍで釣り合っていると考えると、
ＯＭ：ＭＤ＝５：１　となります。

必然的に、ＡＤ：ＤＢ＝２：３　です。

No.23271 - 2013/11/22(Fri) 23:11:57

★ 2次関数(応用？) / ゆぅ(高1)

2次関数 f(x)=x^2-8x+2a^2-5a-11(aは定数)がある

a=2とする。
0≦x≦k(kは正の整数)におけるf(x)の
最大値をM
最小値をmとする。

(?@)
M=f(0)となるようなkの値の範囲は、
0<k≦〔ア〕である。

(?A)
M+2m=4を満たすkの値は
〔(イ-ウ√エ)/オ〕または〔カ〕である。

解答
ア…8
イ…8
ウ…3
エ…2
オ…2
カ…9

(?@)は何となく分かったのですが
(?A)が解けません~_~;

0<k<4
4≦k<8
8<k
の3つで場合分けをして解くようなのですが…
どうしてこの3つになるのか、からして分かりません。

こんな私でも理解できるような
解説をお願いします。

No.23256 - 2013/11/21(Thu) 21:33:40

☆ Re: 2次関数(応用？) / ゆぅ(高1)

すみません
ミスしてました

× 2次関数 f(x)=x^2-8x+2a^2-5a-11(aは定数)がある

○ 2次関数 f(x)=x^2-8x+2a^2-5a+11(aは定数)がある

No.23257 - 2013/11/21(Thu) 21:35:55

☆ Re: 2次関数(応用？) / ヨッシー

a=2 なので、
　f(x)=x^2-8x+9
とおきます。
f(x)=(x-4)^2-7
なので、軸は x=4、頂点は(4,-7) です。

（ｉ）
y=f(x) のグラフは、(0,9) から頂点に向かって減少し、
頂点を過ぎると増加します。
この増加した結果、f(0) である９を超えなければ、f(0) が、
その区間での最大値となります。
f(8)＝9 であるので、求める範囲は０＜ｋ≦８となります。

(ii)
０＜ｋ＜４のとき
Ｍ＝f(0)＝９、ｍ＝f(k)＝k^2－8k＋9
このとき、M+2m＝2k^2－16k＋27＝4 より
　ｋ＝(8±√(64－46))/2＝(8±3√2)2
０＜ｋ＜４　を満たすのは、　ｋ＝(8－3√2)/2

４≦ｋ≦８　のとき
Ｍ＝f(0)＝９，ｍ＝f(4)＝－７
このとき　M+2m＝-5 となり４にはなりません。

８＜ｋ　のとき
Ｍ＝f(k)＝k^2－8k＋9、ｍ＝f(4)＝－７
このとき、M+2m=k^2－8k-5＝4 より
　(k+1)(k-9)＝０、ｋ＝-1, 9
８＜ｋを満たすのは、ｋ＝９

No.23267 - 2013/11/22(Fri) 09:57:38

★ 確率 / 犬好きおやじ

サイコロを振って奇数が出ると、出た目の数だけ持ち点を減らし、偶数が出ると、出た目の数だけ持ち点を増やすというゲームを行なう。持ち点は0から始める。
(1)2回振ったときの持ち点の取りうる値：15通り
(2)2回振ったとき持ち点が1になる確率：1/6
(3)3回振ったとき持ち点が0になる確率：1/12
までは求めましたが、
(4)5回振ったとき持ち点が0になる確率
この問題で考え込んでしまいました。解説をお願いいたします。

No.23253 - 2013/11/21(Thu) 13:02:34

☆ Re: 確率 / らすかる

5回の合計が0という偶数の値になるためには、
5回中奇数は偶数回でなければなりません。
奇数が0回だと合計は正になってしまいますので、
奇数は2回または4回に絞られます。
奇数が2回のとき偶数は3回で、
3回の偶数の合計は最小6ですから、あり得る組合せは
(-1,-5,2,2,2) (20通り)
(-3,-3,2,2,2) (10通り)
(-3,-5,2,2,4) (60通り)
(-5,-5,2,2,6) (30通り)
(-5,-5,2,4,4) (30通り)
の合計150通りです。
奇数が4回のとき偶数は1回で、
4回の奇数の合計は最小4ですから、あり得る組合せは
(-1,-1,-1,-1,4) (5通り)
(-1,-1,-1,-3,6) (20通り)
の合計25通りです。
従って求める確率は
(150+25)/6^5=175/7776
となります。

No.23254 - 2013/11/21(Thu) 14:36:31

☆ Re: 確率 / 犬好きおやじ

非常によくわかりました。ありがとうございました。

No.23255 - 2013/11/21(Thu) 16:06:24

★ 数1 / みそ

f(x)=x^2+ax+bが異なる2つの実数解α、βをもつ。
(ただし、1<α<β<3...(1) )
この1<α<β<3の意味について、
これは1<α<3かつ1<β<3かつα<βとおなじことなんでしょうか？
また、ここで用いている「かつ」という表現は共通範囲を考えるときの「かつ」の意味合いとは違って、この条件とこの条件とこの条件を全部満たしていますよといっているのでしょうか？
「「かつ」とくれば共通範囲をとれ」と教わって少し混乱してます。
回答お願いします。

No.23248 - 2013/11/21(Thu) 01:36:54

☆ Re: 数1 / angel

> この1＜α＜β＜3の意味について、
> これは1＜α＜3かつ1＜β＜3かつα＜βとおなじことなんでしょうか？

はい。同じです。
ただし、細かく言うなら、1＜α＜β＜3 は、直接的には
　1＜α かつ α＜β かつ β＜3
という意味です。
とはいえ＜の持つ性質として、p＜q かつ q＜r なら、同時に p＜r も成り立つ ( 推移律 ) というのがありますから、
α＜3 や 1＜β も同様に成立します。

> ここで用いている「かつ」という表現は…
「かつ」には ( 少なくとも数学の場面では ) 意味は一つしかありません。2つの条件がある中で、その両方が同時に成立することを表すものです。( 「かつ」を並べれば3つ以上の条件にも対応できる )

> 「「かつ」とくれば共通範囲をとれ」と教わって少し混乱してます。
どういう場面でそう聞いたのかは分かりませんが、言葉通り鵜呑みにしないことです。
※どういう問題/場面に対して教わったのか、とか、背景がすっぽり抜け落ちて言葉だけ覚えていると却って危険です。

多分ですが、数の大きさを範囲として捉える方が分かり易い ( と考えた ) ために、そういう表現になったのだろうと思います。
例えば、
・小学生の年齢は6歳以上、かつ、12歳以下だ
・小学生の年齢は6歳～12歳の範囲に収まる
は表現は異なりますが、同じ内容ですね。　

No.23250 - 2013/11/21(Thu) 02:00:26

☆ Re: 数1 / 黄桃

>「「かつ」とくれば共通範囲をとれ」
は基本的には正しいです。

基本的には、というのは、「2は素数であり、かつ、1+1=2 である」のような命題では共通範囲という意味が不明だからです。

もし、x だけを含む不等式がいくつかあり、それらの不等式すべてを満たす x (の範囲）を求める問題であれば、それぞれの不等式を満たすxの範囲の共通部分が答、というのは正しいです。

したがって「1<α<β<3」が何を意味しているか、に応じて正しいかどうかが決まります。

もし、これが、
(1)「α-β平面上で1<α<β<3をみたす(α,β)点の存在範囲」
を意味しているのであれば、「「かつ」とくれば共通範囲をとれ」の通り、
(1)' 「α-β平面上で1<α<3をみたす(α,β)点の存在範囲と1<β<3をみたす(α,β)点の存在範囲とα<βをみたす(α,β)点の存在範囲」との共通範囲
になります。

もしこれが「実数α、βが満たすべき条件は1<α<β<3」という意味であれば、「1<α<β<3」は範囲ではなくて、α,βという数をいろいろ変える毎に真偽が決まる命題、ということになります。例えば、α=1.5, β=2.5 なら真だし、α=0,β=2 なら偽です。
この場合は、α、βがどんな実数であっても、
「1<α<β<3　の真偽」と「1<α<3かつ1<β<3かつα<β　の真偽」は同じ
ということを言っています。

両者は見る人が見れば同じことの裏表なのですが、いろいろな見方に慣れていないとわかりにくいかもしれませんね。

＃難しいことをいえば、1<α<β<3 とは、α、βの範囲を表しているとも
＃両者の満たすべき条件を表しているとも考えられ、を範囲としてみると、
＃{(α,β)|1<α<β<3}={(α,β)|1<α<3}∩{(α,β)|1<β<3}∩{(α,β)|α<β}
＃という意味になりますし、実数α,βに関する命題とみれば
＃1<α<β<3　⇔　1<α<3かつ1<β<3かつα<β
＃と考えていることになります。

No.23266 - 2013/11/22(Fri) 08:59:45

★ (No Subject) / みなみ

ハの問題の解答が理解できません、
この引き算はなんでしょう？
お願いします

No.23239 - 2013/11/20(Wed) 22:41:08

☆ Re: / ヨッシー

x, 3x^2, 5x^3, ・・・・
という数列は、等比数列ではありませんので、等比数列の和の
公式が使えません。そこで、
Ｓ＝x＋3x^2＋5x^3＋・・・＋(2n-1)x^n
から、これを両辺ｘ倍した
ｘＳ＝x^2＋3x^3＋5x^4＋・・・＋(2n-3)x^n＋(2n-1)x^(n+1)
を引くと、
(1-x)Ｓ＝ｘ＋(2x^2＋2x^3＋・・・＋2x^n)－(2n-1)x^(n+1)
　　＝ｘ＋2(x^2＋x^3＋・・・＋x^n)－(2n-1)x^(n+1)
となり、x^2＋x^3＋・・・＋x^n の部分が等比数列になり
等比数列の公式が使えるようになるのです。

この形に持って行くのが、引き算の目的です。

No.23241 - 2013/11/20(Wed) 23:03:20

☆ Re: / みなみ

すごい分かりやすかったです、ありがとうございます！

ただ2点疑問が残ります、
このオレンジマークのとこなんですが

?@ -xの(-)はどこから現れたのでしょう？

?A 2x^2+2x^3+•••+を2x(1+x+•••+)と表すのですか？
自分なら2x^2(1+x+x^2+•••+)だと思います。
お願いします

No.23251 - 2013/11/21(Thu) 07:51:21

☆ Re: / ヨッシー

元々は
　ｘ＋2(x^2＋x^3＋・・＋x^n)－(2n-1)x^(n+1)
＝ｘ＋2x(x+x^2＋・・・x^(n-1))－(2n-1)x^(n+1)
となります。ところが、
x+x^2＋・・・x^(n-1) の項数が n-1個なので、等比数列の和の
公式が使いにくいということで、最初に 1 を加え、その分
2x をカッコの外で引いておきます。
＝ｘ－2x＋2x(1+x+x^2＋・・・x^(n-1))－(2n-1)x^(n+1)
それで、最初のｘが－ｘになっています。

No.23252 - 2013/11/21(Thu) 08:59:29

☆ Re: / みなみ

すごくわかりやすかったです
理解できました
ありがとうございました

No.23264 - 2013/11/22(Fri) 03:31:21

★ 確率 / mega

アルファベットの大文字A,B,C,D,Eと小文字a,b,c,dの9文字を横一列に並べる。
このとき、たとえばDbAdBcEaCのように、大文字と小文字が交互に並ぶ確率は（ア）である。
またCEAcBbDadのように、4つの小文字a,b,c,dがそれぞれ対応する大文字A,B,C,Dより右側にある確率は（イ）である。

（ア）は今回、文字数が奇数であるので大文字と小文字の置かれる場所が決まり、5!*4!/9!=1/126　と出ました。
（イ）の考え方がわかりません。答えを持っていませんので、（ア）の答えが合っているかと、（イ）の解法を教えてください。

No.23237 - 2013/11/20(Wed) 21:14:21

☆ Re: 確率 / ＩＴ

ア）はあっていると思います。（受験勉強なら、しっかりした解答解説がある問題集をやったほうが良いですよ。場合の数と確率は特にそうです。）
イ）
(1)Aとa,Bとb,Cとc,Dとdを区別せずに考えた場合９文字を並べる並べ方は何通りありますか？
(1)の並べ方１つに対して、４つの小文字がそれぞれの大文字より右側にあるように並べるのは１通りです。

No.23238 - 2013/11/20(Wed) 21:36:13

☆ Re: 確率 / mega

区別せずに考えた場合は9!/4＊2!でよろしいでしょうか。
後半の仰られているのは、9!/4＊2!がそのまま答えになると解釈していいのでしょうか・・・？
あまり理解できていないかもしれません。
解釈が間違っているようであれば、申し訳ありませんが、噛み砕いて説明して頂けるとありがたいです。

No.23240 - 2013/11/20(Wed) 22:56:46

☆ Re: 確率 / ＩＴ

違っているようです。
大小区別しない場合の数×２×２×２×２＝大小区別した場合の数　になります。

例えばAABBCCDDEの場合　AAがAaとaAの２通り、BBがBb,bBの２通り、・・・CC、DDも２通りです。

No.23242 - 2013/11/20(Wed) 23:15:16

☆ Re: 確率 / mega

大小区別せず並べた場合を考えて、それを大小区別する場合になおすと、大文字の左に小文字がくる場合と右にくる場合が出てきて今回は右にくる場合だけを考えるので・・・ということでしょうか。
よく考えてもう一度計算しますが、最終的な答えのほうを教えておいて頂けたらと思います。

No.23243 - 2013/11/20(Wed) 23:39:56

☆ Re: 確率 / mega

申し訳ありません。
9!/4＊2!と書いたところ、正しくは9!/(2!)^4でした。

No.23244 - 2013/11/20(Wed) 23:46:25

☆ Re: 確率 / ＩＴ

1/(2^4) になると思います。
（実はaがAの右に来るか左に来るか同様に確からしいので、右に来る確率は1/2、b,c,dも同様で　求める確率は、それらの確率の積になります。）

No.23245 - 2013/11/20(Wed) 23:48:14

☆ Re: 確率 / ＩＴ

> 9!/4＊2!と書いたところ、正しくは9!/(2!)^4でした。
それだと合っていると思います。

No.23246 - 2013/11/20(Wed) 23:49:05

☆ Re: 確率 / mega

> （実はaがAの右に来るか左に来るか同様に確からしいので、右に来る確率は1/2、b,c,dも同様で　求める確率は、それらの確率の積になります。）
言われてみればそうですね・・・。全く気づきませんでした。
しかし、きちんとした考え方を理解できましたので問題ありませんね！
記載ミスをしていたり、理解するのに時間がかかってしまい申し訳ありませんでした。
理解できるまで教えていただきありがとうございました。

No.23247 - 2013/11/20(Wed) 23:57:10

★ (No Subject) / ktdg

正三角形ABCがある. 点Oを直線ABに関してCと反対側にとって∠AOB=π/3となるようにし, ベクトル↑OA, ↑OB, ↑OCをそれぞれ↑a, ↑b, ↑cで表す. このとき,
↑c=(|↑b|/|↑a|)↑a+(|↑a|/|↑b|)↑b ー(＊)
であることを証明せよ.

座標にいれて考えてみたのですがうまくいきませんでした.

AB=BC=CA=1としてよい.
△AOBの外接円の半径をRとすると, △AOBで正弦定理より
2R=1/sin(π/3) ∴R=1/√3
xy平面でA(1/2,0), B(-1/2,0), C(0,-√3/2)となるようにとると, Oは2点A,Bを通る半径1/√3の円周上にある. この円の中心はy軸上にあるから, そのy座標をpとすると
AP^2=1/3 より p=±1/2√3
∠AOB=π/3よりp=1/2√3
よってOの座標はPOとx軸の正の部分がなす角度をθとおくと
( cosθ/√3, 1/2√3+sinθ/√3) と表せる.
従って
↑a=-1/√3(cosθ-√3/2, 1/2+sinθ)
↑b=-1/√3(cosθ+√3/2, 1/2+sinθ)
↑c=-1/√3(cosθ, 2+sinθ)
|↑a|=√[(2/3){1+sin(θ+π/3)}]
|↑b|=√[(2/3){1+sin(θ-π/3)}]

計算してみたのですが(＊)が示せません.
どうすれば良いですか？
一次変換を使った解き方はわかっているので座標をつかった解き方を知りたいです.

No.23232 - 2013/11/20(Wed) 00:42:20

☆ Re: / ヨッシー

点Ｏが動く円が単位円となるように調節しました。

Ａ:(√3/2, -1/2)、Ｂ:(-√3/2, -1/2)、Ｃ(0,-2) とおくと、
点Ｏは単位円上を動きます。
このとき点Ｏの座標は (cosθ, sinθ) (-π/6＜θ＜7π/6)
とおけます。

ａ＝(√3/2－cosθ, -1/2－sinθ)
ｂ＝(-√3/2－cosθ, -1/2－sinθ)
ｃ＝(－cosθ, -2－sinθ)
|ａ|＝√2√(１＋sin(θ－π/3))
|ｂ|＝√2√(１＋sin(θ＋π/3))
よって、
　|ａ|/|ｂ|＝√(１＋sin(θ－π/3))/√(１＋sin(θ＋π/3))
　　　＝√{(１＋sin(θ－π/3))(１＋sin(θ＋π/3))}/(１＋sin(θ＋π/3))
　(分子)^2＝1＋sin(θ－π/3)＋sin(θ＋π/3)＋sin(θ－π/3)sin(θ＋π/3)
sin(θ－π/3)＝(1/2)sinθ－(√3/2)cosθ
sin(θ＋π/3)＝(1/2)sinθ＋(√3/2)cosθ
sin(θ－π/3)sin(θ＋π/3)＝(-1/2){cos(2θ)－cos(2π/3)}＝(-1/2){cos(2θ)＋1/2}
　　＝(-1/2)(3/2－2sin^2θ)＝-3/4＋sin^2θ
より、
　(分子)^2＝1/4＋sinθ＋sin^2θ＝(sinθ＋1/2)^2
　(分子)＝sinθ＋1/2　　(-π/6＜θ＜7π/6　より)
よって、
　|ａ|/|ｂ|＝(sinθ＋1/2)/(１＋sin(θ＋π/3))
　|ｂ|/|ａ|＝(sinθ＋1/2)/(１＋sin(θ－π/3))

|ｂ|/|ａ|ａ＋|ａ|/|ｂ|ａ＝(Ｃx, Ｃy)
とおくと、
　Ｃx＝(sinθ＋1/2){(√3/2－cosθ)/(１＋sin(θ－π/3))＋(-√3/2－cosθ)/(１＋sin(θ＋π/3))}
　　＝{(√3/2－cosθ)(１＋sin(θ＋π/3))＋(-√3/2－cosθ)(１＋sin(θ－π/3))}/(sinθ＋1/2)
　(分子)＝(√3/2){sin(θ＋π/3)－sin(θ－π/3)}－cosθ{２＋sin(θ＋π/3)＋sin(θ－π/3)}
　　　＝(√3/4){sinθ＋√3cosθ－sinθ＋√3cosθ}－(cosθ/2)(4＋sinθ＋√3cosθ＋sinθ－√3cosθ)
　　　＝(3/2)cosθ－(cosθ)(2＋sinθ)
　　　＝－cosθ(sinθ＋1/2)
よって、Ｃx＝－cosθ
　Ｃy＝(sinθ＋1/2)(-1/2－sinθ){１/(１＋sin(θ－π/3))＋１/(１＋sin(θ＋π/3))}
　　＝－{(１＋sin(θ＋π/3))＋(１＋sin(θ－π/3))}
　　＝－{１＋(1/2)sinθ＋(√3/2)cosθ＋１＋(1/2)sinθ－(√3/2)cosθ}
　　＝－(２＋sinθ)
となり、(Ｃx, Ｃy) はｃと一致します。

No.23233 - 2013/11/20(Wed) 11:06:30

☆ Re: / angel

今回の問題は、答えが先に分かっているので、ベクトル計算だけでやった方が楽な気がしますが…

No.23249 - 2013/11/21(Thu) 01:44:35