ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / yu-zi

nを3以上の整数とする
Oを原点とする平面上に2n+１個の点Ｐ0，P1，P2,…,P2n－1,P2nがあり、
OP0=1
∠Pk－1OPk＝π/n ∠OPk－1Pk＝π/4 (k＝1,2,…,2n) を満たしている

(１)OP2n=(1+sin(２n/π))＾n であることを証明せよ
(２)lim[n→∞]OP２nを求めよ

みにくくてすいません
よろしくお願いします

No.23540 - 2013/12/16(Mon) 23:12:04

☆ Re: / ＩＴ

> (１)OP2n=(1+sin(２n/π))＾n であることを証明せよ
私の勘違いかも知れませんが
OP[2n]=1/(1+sin(２π/n))＾n ではないですか？

あるいは　∠OP[k-1]Pk＝π/4 　ではなく∠P[k-1]PkO＝π/4でしょうか？　

No.23543 - 2013/12/17(Tue) 00:32:41

☆ Re: / yu-zi

すいません
∠P[k-1]PkO＝π/4
でした

No.23544 - 2013/12/17(Tue) 07:40:40

☆ Re: / X

(1)
△OP[k-1]P[k]において正弦定理により
OP[k]/sin(3π/4-π/n)=OP[k-1]/sin(π/4)
これより
OP[k]={(√2)sin(3π/4-π/n)}OP[k-1] (A)
{}内がkによらない定数であることに注意すると
漸化式(A)とOP[0]=1から
OP[k]={(√2)sin(3π/4-π/n)}^k
∴OP[2n]={(√2)sin(3π/4-π/n)}^(2n)
={2{sin(3π/4-π/n)}^2}^n
={1-cos(3π/2-2π/n)}^n
={1+sin(2π/n)}^n

(2)
(1)の結果により
lim[n→∞]OP[2n]=lim[n→∞][{1+sin(2π/n)}^{1/sin(2π/n)}]^{2π{sin(2π/n)}/(2π/n)}
=e^(2π)
((∵)eの定義とlim[x→0](sinx)/x=1)

No.23545 - 2013/12/17(Tue) 08:40:30

☆ Re: / ＩＴ

(1)の別解
P[k-1]からOP[k]へ垂線P[k-1]Hを下ろすと、∠P[k-1]PkH＝π/4より△P[k-1]PkHは直角二等辺三角形となるので
　OP[k]={cos(π/n)+sin(π/n)}OP[k-1]　（下図参照）
よって
OP[2n]=[{cos(π/n)+sin(π/n)}^2n]OP[0]　（厳密には数学的帰納法）
OP[0]=1より
　　　=[{cos(π/n)+sin(π/n)}^2]^n　
展開し三角関数の基本関係により
　　　=[1+2{cos(π/n)sin(π/n)}]^n
倍角公式より
　　　=[1+sin(2π/n)]^n

No.23548 - 2013/12/17(Tue) 18:32:01

★ (No Subject) / なぜなぜ

なぜ日常では１０進法を用いることが多いのですか。
またxの０乗が１になるのはどのような場合でしょうか。
最後に、n進法の各位の数字が、０以上n‐１以下の整数
で、整数をnで割った余りの種類と同じである。ということの証明とその２つのことが等しいことは何を表わすのか

とても愚問ではありますが、どうぞ３つともご教受よろしくおねがいします。。

No.23537 - 2013/12/16(Mon) 22:41:34

☆ Re: / らすかる

> なぜ日常では１０進法を用いることが多いのですか。
人の手の指が10本だからです。

> またxの０乗が１になるのはどのような場合でしょうか。
x≠0の場合ですが、「１になる」のではなく
「x≠0のとき、xの0乗は1とする」と定義しただけだと思います。

> 最後に、n進法の各位の数字が、０以上n‐１以下の整数で、
> 整数をnで割った余りの種類と同じである。ということの証明
（簡単のため整数に限りますが）
nで割った余りをその桁の数字にして
nで割った商で上位の桁を作る
というのがn進法ですから、
「n進法がそのように決められているから同じになる」
が答えだと思います。

> とその２つのことが等しいことは何を表わすのか
これは意味がよくわかりません。

No.23538 - 2013/12/16(Mon) 22:54:04

☆ Re: / なぜなぜ

ありがとうございます

No.23542 - 2013/12/16(Mon) 23:23:33

★ 極限 / 趣味学生

nは自然数で
(1/n)+(1/n+1)+(1/n+2)+……+(1/m)≦1 かつn<mを満たす最大のmをT(n)とする

このときlim｛T(n)/n｝[n→∞]を求めよ

No.23527 - 2013/12/16(Mon) 13:05:19

☆ Re: 極限 / らすかる

(1/n)+(1/n+1)+(1/n+2)+……+(1/m)≦1 という式は
(1/n)+{(1/n)+1}+{(1/n)+2}+……+(1/m)≦1 と解釈されますが、
そう考えると……の部分がわかりません。

もし
(1/n)+(1/n+1)+(1/n+2)+……+(1/m)≦1 が
1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/m≦1 のつもりならば、
条件から
1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/T(n)≦1 かつ
1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/T(n)+1/(T(n)+1)＞1
f(x)=1/xのグラフを考えると
∫[n～T(n)+1](1/x)dx＜1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/T(n)≦1 かつ
∫[n-1～T(n)+1](1/x)dx＞1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/T(n)+1/(T(n)+1)＞1
つまり
log{(T(n)+1)/n}＜1＜log{(T(n)+1)/(n-1)}
(T(n)+1)/n＜e＜(T(n)+1)/(n-1)
∴e(n-1)-1＜T(n)＜en-1
よって
e = lim[n→∞](e(n-1)-1)/n ≦ lim[n→∞]T(n)/n ≦ lim[n→∞](en-1)/n = e
なので
lim[n→∞]T(n)/n=e

No.23529 - 2013/12/16(Mon) 18:36:32

☆ Re: 極限 / 趣味学生

面積を使うんですね！！
ありがとうございます(^^ )

No.23532 - 2013/12/16(Mon) 19:39:05

★ 代数 / 健司

こんばんは。

pを素数とする．R_pは巡回群となることを示せ．
ここに，R_n={m∈{1,2,…,n-1}|gcd(m,n)=1}は
nを法とする積で群をなす．

という問題なのですが、
定義から、位数はオイラーのφ関数において
φ(p)=p-1より偶数か1になることが分かっていて、そこから躓いています。よろしくお願いします。

No.23523 - 2013/12/16(Mon) 00:49:41

☆ Re: 代数 / ＩＴ

「原始根」の存在定理（の一種）ですので、「原始根」で検索されるといくつかの証明が見つかりますよ。

No.23530 - 2013/12/16(Mon) 19:02:32

☆ Re: 代数 / 健司

返信ありがとうございます。
検索しましたが、R_pは(Z/pZ)^xと一般的に書かれるのでしょうか。

No.23535 - 2013/12/16(Mon) 21:13:21

☆ Re: 代数 / ＩＴ

一方の元は1,2,3,...,p-1で
他方の元は{1+np|n∈Z},{2+np|n∈Z},{3+np|n∈Z},...,{p-1+np|n∈Z} です。
表現は少し違いますが、群として同型なので同じと考えても良いと思います。
http://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/5_4.html

No.23536 - 2013/12/16(Mon) 21:38:35

☆ Re: 代数 / 健司

なるほどそのように解釈すればいいのですね。
ありがとうございます。

No.23541 - 2013/12/16(Mon) 23:22:25

★ (No Subject) / ktdg

|k+m|≦4, |k-m|≦4のとき, (k^2)(1+m^2)の最大値の求め方を教えてください。

No.23517 - 2013/12/14(Sat) 15:34:40

☆ Re: / ＩＴ

（方針だけ）
k≧0,m≧0,k+m≦4 のときを考えればいい。（グラフなどで確認してください）

k(0＜k≦4)を固定したとき
　mが大きいほど(k^2)(1+m^2)は大きくなる。
　よってm=4-kのとき(k^2)(1+m^2)は最大となる。

したがって0≦k≦4における　(k^2)(1+(4-k)^2)の最大値を求めればよい。　微分して増減を調べる

No.23518 - 2013/12/14(Sat) 17:31:32

☆ Re: / ktdg

ITさんありがとうございます。
申し訳ないのですが最初がわかりません。

|k+m|≦4, |k-m|≦4
の表す領域はkm平面で4点 (4,0) (0,4) (-4,0) (0,-4)を結んでできる正方形の内部ですよね。
そこからなぜ
>k≧0,m≧0,k+m≦4 のときを考えればいい
となるのですか？
k^2とm^2について対称(？)だからでしょうか？

No.23522 - 2013/12/16(Mon) 00:34:59

☆ Re: / ヨッシー

例えば、ｋ＝ー１，ｍ＝－２のときに最大値が与えられるなら、
ｋ＝１，ｍ＝２のときも、(k^2)(1+m^2) は同じ値を取るので、
第２，第３，第４象限での最大値は必ず第１象限でも現れます。

No.23524 - 2013/12/16(Mon) 07:09:03

☆ Re: / ktdg

ありがとうございます。

No.23539 - 2013/12/16(Mon) 22:56:29

★ (No Subject) / 高校１年

素因数分解を利用して最小公倍数を見つける方法についてですが、理解は出来るのですがなぜ全部の素因数に一番大きな指数をつけたものが答えになるのか・・・いまいち納得が出来ません。

わかり易く解説をお願いします。

No.23512 - 2013/12/12(Thu) 22:13:55

☆ Re: / ヨッシー

ある素因数について、それを最も多く含む数をＡとすると、
最小公倍数はＡを何倍かした数ですので、最低でも、その指数
だけは含まれます。
逆に、すべての素因数について、それぞれ最大の指数を含んでいれば、
それ以上は必要ありません。

No.23513 - 2013/12/12(Thu) 22:57:49

☆ Re: / アクオス

自分も以前その部分について理解ができず考えていたのですが、納得できた考え方は

例えば64と54という数だった場合、
まず例えば共通の倍数2を取り出す
すると30と27になるので、次は3を取り出す。
すると10と9が残る。
10×2×3で60の倍数であることが確定して
それに9を掛けると54の倍数であることが確定する。
54の素因数でもある2と3は、60の倍数であることを確定させる時に掛けているので54の倍数であることを確定させるには
9を掛けるだけでいい

これで54の倍数でもあり、60の倍数でもある数が求められる

というものです。
参考にしてください。

No.23514 - 2013/12/13(Fri) 07:43:09

☆ Re: / angel

素因数分解の結果を並べて書いて見てはどうでしょうか?

例えば、A=48=2^4×3^1, B=54=2^1×3^3, C=36=2^2×3^2 に対して、最小公倍数L=432=2^4×3^3 となりますが、これらを並べてみると、
　A=２×２×２×２×３□□□□
　B=２□□□□□□×３×３×３
　C=２×２□□□□×３×３□□
　L=２×２×２×２×３×３×３
なお、□は位置を揃えるために空白の代わりに入れているだけで、特に何かの数を意味するものではないです。( 文字の幅が同じでないと、ずれて見づらいでしょうけど )
さて、Lが最小公倍数である以上、L÷A, L÷B, L÷C いずれも割り切れないと困ります。上の状況からLの×2や×3の個数を減らしたら…? と考えてみましょう。
※逆に個数を増やすと、今度はその分が余計で、「最小」でなくなってしまいますね。

No.23515 - 2013/12/13(Fri) 11:31:12

★ 数学a　倍数判定法の基本性質について / 芋けんぴ

倍数を見分けるための基本の考え方
(nの倍数)＋(nの倍数)＝(nの倍数)
(nの倍数)＋(nの倍数ではない数)＝(nの倍数ではない数)
(nの倍数)－(nの倍数)＝(nの倍数)
(nの倍数)－(nの倍数ではない数)＝(nの倍数ではない数

2つの整数n，mを持ってくると、ｎ＋ｍ、ｎ－ｍ、ｎ×ｍのいずれもまた整数になるという性質を持っているのであります。（結論）

どうか上に記しました性質すべての証明を教えていただきたいのであります。　
よろしくお願い申し上げます
　

No.23500 - 2013/12/11(Wed) 23:49:44

☆ Re: 数学a　倍数判定法の基本性質について / ＿

感覚的には明らかな気もしますが…
理解する前に丸暗記しようとしていませんか？

以下、文字は整数で、mはnの倍数ではないとします。

an ± bn = n(a±b)　これはnの倍数。

n≠0の場合、
(an ± m)÷n = a ± m/n これはnの倍数ではない(m/nは整数ではない)。
n=0の場合
an ± m = ±m これはnの倍数ではない。

ここまで書いて(結論)の部分に疑問を持ちました。
数学Aということなので、高校レベルでの理解であればそれらの性質はほぼ既知の事項としていいと思うのですが、出典は何でしょうか？
(もしくは現行のカリキュラムでは整数についての扱いが違うのでしょうか？)

上記を用いて結論を導けというのであれば、

整数とは1の倍数という意味なので、上記を用いて
(1の倍数)±(1の倍数)=(1の倍数)つまり整数の和・差は整数。

m=0のとき
n×m=0　これは整数。

m>0のとき
n×1=n　は整数
n×2=n+n　は整数
n×3=n+n+n　は整数
(中略。これを同様に繰り返す。)
n×m=n+n+n+n+…+n(nにnをm-1回足したもの)　は整数。

m<0のとき
n×(-1)=n-n-n　は整数
n×(-2)=n-n-n-n　は整数
n×(-3)=n-n-n-n-n　は整数
(中略。これを同様に繰り返す。)
n×m=n-n-n-n-…-n(nからnを-m+1回引いたもの)　は整数。

でしょうか。

No.23503 - 2013/12/12(Thu) 00:37:14

☆ Re: 数学a　倍数判定法の基本性質について / 芋けんぴ

実はかなり先の学年の分を独学で予習しているのであります
数学aでは今年から整数の性質が新課程として含まれているようです。倍数判定法を学習するにあたり、基本的なことを証明しようと思い立ち、質問させていただきました。

貴重な時間を割いて回答していただき、感謝申し上げます
大変参考になりました

No.23505 - 2013/12/12(Thu) 01:20:39

★ 平行と合同 / れい中二

考えたのですが、答えが出せません。
教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。

問題：
図のように∠（角）ABC=45度である△ABCがある。頂点Aから辺BCにひいた垂線と辺BCとの交点をDとし、頂点Bから辺ACにひいた垂線と辺ACとの交点をEとする。また、線分ADと線分BEの交点をFとする。このとき、△ADC≡（合同）△BDFであることを証明しなさい。

No.23498 - 2013/12/11(Wed) 23:10:45

☆ Re: 平行と合同 / れい中二

すみません。
画像がアップロードされていないようでしたので再度投稿いたします。

No.23499 - 2013/12/11(Wed) 23:11:42

☆ Re: 平行と合同 / tobira

一例です

(1)ＡＤとＢＤについて
△ＡＢＤを考えると
?@∠ＡＤＣ＝90°･･･････････仮定ＢＣ⊥ＡＤより
?AＡＢＤ＝∠ＡＢＣ＝45°･･･仮定より
?B∠ＢＡＤ＝45°･･･････････三角形の内角の和が180°より
以上から、∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＤ＝45°で
　２つの角が等しく、二等辺三角形となり
　　ＡＤ＝ＢＤ

(2)∠ＣＡＤと∠ＦＢＤについて
?@△ＡＤＣを考えると
　∠ＣＡＤ＝90°－∠ＡＤＣ･･･三角形の内角の和が180°より
?A△ＥＢＣを考えると
　∠ＥＢＣ＝90°－∠ＥＣＤ･･･三角形の内角の和が180°より
?B共通な角として
　∠ＦＢＤ＝∠ＥＢＣ，∠ＡＤＣ＝∠ＥＣＤ
以上から
　　∠ＣＡＤ＝∠ＦＢＤ

(3)△ＡＤＣと△ＢＤＦについて
?@ＡＤ＝ＢＤ･･･････････(1)より
?A∠ＣＡＤ＝∠ＦＢＤ･･･(2)より
?B∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＦ･･･仮定ＡＤ⊥ＢＣより
以上から
　１組の辺とその間の角がそれぞれ等しく
　　△ＡＤＣ≡△ＢＤＦ

No.23501 - 2013/12/11(Wed) 23:56:30

☆ Re: 平行と合同 / ＩＴ

（ヒント）
△ABDは二等辺三角形でAD=BDです。
△BCEと△BFDは相似で∠BCE＝∠BFDです。

No.23502 - 2013/12/12(Thu) 00:02:09

★ (No Subject) / 京

連投失礼します。
どうかご回答お願いいたします。

aは０でない実数とする。直線Y= axと曲線y=xlog(x+1)で囲まれる図形の面積を求めよ

No.23495 - 2013/12/11(Wed) 17:51:19

☆ Re: / X

y=ax (A)
y=xlog(x+1) (B)
とします。

(A)(B)からyを消去して
ax=xlog(x+1)
これより
x=0,e^a-1
ですので(A)(B)の交点のx座標は
0,e^a-1
後は
(i)a≧0のとき
(ii)a＜0のとき
に場合分けして面積を計算します。
但し(i)(ii)いずれの場合においても、面積を求める
図形において
(A)は(B)の上側
になります(証明が必要です)ので面積の計算の立式は
容易だと思います。

No.23496 - 2013/12/11(Wed) 20:42:35

☆ Re: / 京

なんとかできました。
ただ、どちらが上とかの証明はどのように必要なのでしょうか？
どちらが上かは面積をとるようにと考えた上であれば明らかなのですが…
ただそれではこじつけとも言えますが…
いつも、そのような証明をいれていなかったので、減点されるのかと不安になっています。どういうときにいれるかなど教えていただけないでしょうか。

No.23533 - 2013/12/16(Mon) 20:31:12

☆ Re: / X

今回の(B)のようにグラフの形状が式を見ただけでは
判然としない場合です。
只、証明とは言っても殆どの場合はグラフを描くために
対象となる関数の増減を調べることはなく、
単に不等式を解いて片付けます。
例えば、今回の場合は直線(A)が(B)のグラフの上側に
あるようなxの値の範囲は
ax≧xlog(x+1)
を解けば求められますが、この不等式は解くことができ
a＜0のときe^a-1≦x≦0 (P)
0≦aのとき0≦x≦e^a-1 (Q)
となります。
このとき(P)(Q)のように面積を求めたい領域には
xの上端と下端が両方とも必ず存在することを
押さえておきましょう。
(当然(A)(B)どちらが上側かは最初は分かりませんので、
逆に(A)が(B)の下側にあると考えて不等式を立てて
解くこともありえます。
この場合、上端、下端のいずれかがない解が得られますので
その結果から、問題の領域では(A)が(B)の上側にある
という目測が生まれます。)

No.23534 - 2013/12/16(Mon) 21:03:53

★ (No Subject) / 京

y=|x^2-ax+(a^2/2)-5|のグラフとy=bとの共有点を考える。(a,bは正の整数)
?@共有てんが3個になるような(a,b)の組をすべて答えよ
?A共有てんが1個になるような組のうちbが最小になるものを答えよ

この解き方を教えてください。
すみませんが宜しくお願いします。

No.23493 - 2013/12/11(Wed) 17:34:32

☆ Re: / X

まず
y=|x^2-ax+(a^2)/2-5| (A)
のグラフが必要になりますがこれを描くため、まず
y=x^2-ax+(a^2)/2-5 (B)
のグラフとx軸とが交点を持つ条件を考えていきます。
(B)とx軸との交点のx座標について
x^2-ax+(a^2)/2-5=0 (C)
(C)の解の判別式をDとすると
D=a^2-4{(a^2)/2-5}=20-a^2
よって
(i)D≦0、つまりa≦-2√5,2√5≦aのとき
(B)はx軸に接するか交点を持ちませんので(A)のグラフは
全てy≧0の側に含まれる下に凸の放物線となります。
(ii)D＞0、つまり-2√5≦a≦2√5のとき
(A)のグラフは(B)のグラフでy＜0の部分をx軸に関して
折り返した形状になります。

(i)が(2)の場合、(ii)が(1)の場合になります。
(1)(2)いずれの場合も直線y=bが(A)の頂点に接する形に
なりますので(B)を平方完成して頂点のy座標を
求めましょう。

No.23497 - 2013/12/11(Wed) 20:56:05

☆ Re: / 京

ありがとうございます！できました！

No.23531 - 2013/12/16(Mon) 19:29:44

★ 数?U図形と方程式について / τ

アポロニウスの定理より双曲線の方程式を導いてください。よろしくお願いします。

No.23489 - 2013/12/10(Tue) 17:35:28

☆ Re: 数?U図形と方程式について / ヨッシー

円錐の軸をｘ軸に見立て、x軸に垂直に切った断面の半径が１になるｘの値をｍ（ｍ＞０）とします。
この断面の周上の点(ｍ、cosθ、sinθ）と、原点を結ぶ直線が母線となります。
この円錐をｚ軸に垂直な平面　ｚ＝ｂ（ｂ＞０）で切ることを考えます。
直線　ｘ＝ｍｔ、ｙ＝ｔcosθ、ｚ＝ｔsinθ　と、この平面との交点は
　ｚ＝ｔsinθ＝ｂ
より
　ｔ＝ｂ/sinθ　ただし　sinθ≠０
このとき、θを変化させた時の交点の軌跡をｚ軸の方向から見た形は
　ｘ＝ｍｂ/sinθ、ｙ＝ｂcosθ/sinθ
変形して
　ｘsinθ＝ｍｂ　　　・・・(1)
　ｙsinθ＝ｂcosθ　・・・(2)
(2) を２乗して両辺にｘ^2 を掛けて
　(ｘｙsinθ)^2＝ｂ^2(ｘ^2－（ｘsinθ)^2)
　(ｍｙｂ)^2＝ｂ^2(ｘ^2－ｍ^2ｂ^2)
両辺ｂ^2 で割って
　ｍ^2ｙ^2＝ｘ^2－ｍ^2ｂ^2
　ｘ^2－ｍ^2ｙ^2＝ｍ^2ｂ^2
という双曲線の式になります。

一般には、ｚ軸に垂直だけではない平面について考えないといけませんが、その場合は、
この円錐をｙ軸に平行な平面　ｚ＝ａｘ＋ｂ（0≦ａ＜1/m、ｂ＞０）で切ることを考えます。
直線　ｘ＝ｍｔ、ｙ＝ｔcosθ、ｚ＝ｔsinθ　と、この平面との交点は
　ｔsinθ＝ａｍｔ＋ｂ
より
　ｔ＝ｂ/(sinθ－ａｍ)　ただし　sinθ－ａｍ≠０
このとき、θを変化させた時の交点の軌跡をｚ軸の方向から見た形は
(中略)
　(１－ｍ^2ａ^2)ｘ^2－２ａｂｍ^2ｘ－ｍ^2ｙ^2＝ｍ^2ｂ^2
標準形にしていませんが、こんな式になります。

No.23492 - 2013/12/11(Wed) 10:37:28

★ 不定方程式について / アクオス

他のサイトでも質問したのですが
あまり理解ができなかったのでよろしくお願いします。

例えば
3x+5y=0という問題の場合
3x=-5y
として
yは3の倍数だから3nとおく
xは5の倍数だから5nとおく

よって解は(x,y)=(3n,5n)

とこのように考えると解が間違ってしまう理由が分かりません。
5の倍数と-5の倍数は同じなので、-5yだとしてもxを5nと置いていいというふうに考えています。

3nを3x=-5yに代入する解き方だと正しい解が導けるというのはわかっているのですが、自分の考え方の何が間違っているのかが知りたいです。
よろしくお願いします。

No.23483 - 2013/12/09(Mon) 22:34:36

☆ Re: 不定方程式について / らすかる

無条件に「3の倍数は3nとおける」と思っているのが間違いです。
3の倍数が3nとおけるのは、nがそれまでに出てきていない新しい変数の場合であり、
「3の倍数ならば、新たにnという整数を使えば3nと表せる」
という意味です。
例えば、上の問題で「yは3の倍数だから3xとおく」
としてはいけないのはわかりますよね？
それと同じことです。
一旦y=3nとおいたら、もうxとyとnの関係があるわけですから
「xは5の倍数だから5nとおく」とすることは出来ません。

# そもそも「○を□とおく」というのは
# 新しい変数を導入して既存の変数との関係を定義するということですから、
# 全く新規の変数が含まれていないとおかしいです。

従って、新しい変数を使って
yは3の倍数だから3nとおく
xは5の倍数だから5mとおく
とするのは問題ありません。

No.23484 - 2013/12/09(Mon) 23:09:05

☆ Re: 不定方程式について / らすかる

次の証明は正しいですか？
正しくないならば、どこが間違いだと思いますか？

1～100から5の倍数を二つ選んでa,bとする。
aは5の倍数だから5nとおける。
bは5の倍数だから5nとおける。
よってa=5n=bとなるので、
1～100からどの二つの5の倍数を選んでも、その2数は等しい。

No.23485 - 2013/12/10(Tue) 02:02:20

☆ Re: 不定方程式について / アクオス

らすかるさんありがとうございます。
書いてある事は理解できたのですが
最後の問題はあまり自信がありません。

2つを選んで、それぞれ別々の物のはずなのに
二つとも「5n」という同じ形で表してしまったために
選んだ数が同じになってしまっているので間違い

ということでしょうか?

No.23486 - 2013/12/10(Tue) 07:23:25

☆ Re: 不定方程式について / アクオス

あともう一つ質問があるのですが

従って、新しい変数を使って
yは3の倍数だから3nとおく
xは5の倍数だから5mとおく
とするのは問題ありません。

ということは
解はnで表した場合　(x,y)=(-5n,3n)または(5n,-3n)となりますが
mとnという別々の変数を使った場合は(x,y)=(5m,3n)でも
間違いではないということでしょうか?

よろしくお願いします。

No.23487 - 2013/12/10(Tue) 07:29:13

☆ Re: 不定方程式について / らすかる

> 2つを選んで、それぞれ別々の物のはずなのに
> 二つとも「5n」という同じ形で表してしまったために
> 選んだ数が同じになってしまっているので間違い

違います。
同じ形でない「5n+5」や「-5n」にしても正しくありません。
間違いなのは、nを既に使っているのに、bをnを使って表そうとしている点です。
nで表したらどんな形にしても正しくなくなりますね。

> ということは
> 解はnで表した場合　(x,y)=(-5n,3n)または(5n,-3n)となりますが
> mとnという別々の変数を使った場合は(x,y)=(5m,3n)でも
> 間違いではないということでしょうか?

いいえ、それは間違いです。
y=3n, x=5m とおくのは問題ありませんが、
おいた後に式に代入してmとnの関係を調べ、
どちらかを消去しなければなりません。
なぜなら、(x,y)=(5m,3n)だと、例えばm=n=1としたときに
問題の式を満たさないからです。

No.23488 - 2013/12/10(Tue) 11:14:29

☆ Re: 不定方程式について / アクオス

らすからさんありがとうございます。

>y=3n, x=5m とおくのは問題ありませんが、
>おいた後に式に代入してmとnの関係を調べ、
>どちらかを消去しなければなりません。
>なぜなら、(x,y)=(5m,3n)だと、例えばm=n=1としたときに
>問題の式を満たさないからです。

代入してmとnの関係を調べて、消去するというのが
どのようにすればいいのかわかりません。

3x+5y=0
3x=-5y

xは5の倍数なので5nとおく
3×5n=-5y
15n=-5y
y=-3n

yは3の倍数なので3mとおく
3x=-5×3m
3x=-15m
x=-5m

ここからどのようにすればいいのでしょうか。
自分でも考えてみたのですが、よくわかりませんでした。
よろしくお願いします。

No.23490 - 2013/12/10(Tue) 18:47:10

☆ Re: 不定方程式について / らすかる

xは5の倍数なので5n、yは3の倍数なので3mとおいて代入すると
3(5n)+5(3m)=0
∴n=-mなので y=3m=-3n となり (x,y)=(5n,-3n)
（あるいは m=-n なので x=5n=-5m となり、(x,y)=(-5m,3m)）

No.23491 - 2013/12/10(Tue) 21:16:37

☆ Re: 不定方程式について / アクオス

らすかるさんありがとうございます。
理解することが出来ました。
またよろしくお願いします。

No.23494 - 2013/12/11(Wed) 17:42:01