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★ 場合 / みそ
１〜９から３つ選んで、それが３の倍数である場合の数を求めよ。という問題で答えに
「３の倍数の問題の解法：?@３で割った余りで分類する
?A余り０グループ(３，６，９)　余り１グループ(１，４，７)　余り２グループ(２，５，８)
３ケタの数が３の倍数になるためには、
(i)余り０グループから３つ選ぶ
(ii)余り１グループから３つ選ぶ
(iii)余り２グループから３つ選ぶ
(iv)余り０，１，２グループから１つずつ選ぶ
とあるのですが、
どうして余りに着目しているのかわかりません。
教えてください。
No.23222 - 2013/11/19(Tue) 21:32:00
☆ Re: 場合 / ヨッシー
>それが３の倍数である場合
「それ」とは何ですか？
No.23224 - 2013/11/19(Tue) 21:37:36
☆ Re: 場合 / みそ
「１〜９から３つを選んで３ケタの数をつくる」です。
３ケタの数をつくる、が抜けていました。すみません。
No.23226 - 2013/11/19(Tue) 21:41:51
☆ Re: 場合 / ヨッシー
「２桁以上の３の倍数は各位の数を足しても３の倍数になる」
は理解していないといけません。
するとこの問題は
「１〜９から３つ選んで、その和が３の倍数である場合の数を求めよ。」
と書きかえられます。

その上で、３で割った余りに注目する理由をもう一度考えてみてください。
No.23227 - 2013/11/19(Tue) 21:49:48
★ 周期 / 文麿
周期関数の定義に
関数が，ある正の実数pに対して次の条件
f(x+α)=f(x)が、どんな実数xに対してもが成立
を満たすとき，この関数のことを周期関数という．また，上の条件を満たす実数pのうち，正の値で最小のものを， この周期関数の周期という

たとえばy=sinθのグラフは周期が2πの周期関数ですよね。
なのでsin(θ＋2π)=sinθがなりたちます。どんなθであってもこれは
成り立つので確かにそうですよね。
ではいま関数f(x)を直線y=xの直線してかんがえたときもこの条件がなりたつんですか？
正直、f(x+α)=f(x)がなにを表していてどんなときに成り立つのかよくわかっていません。
わかる方解説お願いします。
No.23217 - 2013/11/19(Tue) 16:52:34
☆ Re: 周期 / ヨッシー
ｙ＝f(x)＝ｘ は周期関数ではありません。
例えば、f(1)＝1 ですが、０以外のいかなる実数αに対しても
　f(1＋α)＝1
とはなりません。

f(x)＝x^2 について、f(-1+2)＝f(-1) ですが、f(0) については、
f(0+2)=f(0) ではないので、少なくとも、f(x) は周期２の
周期関数ではありません。


グラフのように、周期関数は同じ形が繰り返す形になります。
No.23220 - 2013/11/19(Tue) 18:08:53
☆ Re: 周期 / 文麿
「周期関数は同じ形が繰り返す形になる」ということは
y=x^2やy=xは絶対に周期関数にはならないということですよね？
高校数学の範囲で見たことがある周期関数は
代表的なのでy=sinΘ　y=cosΘ、y=tanΘくらいなのですが、
これらを押さえておけばだいたい大丈夫でしょうか？
お願いします。
No.23225 - 2013/11/19(Tue) 21:40:10
☆ Re: 周期 / ヨッシー
基本はそれで大丈夫です。
たまに、ｙ＝ｘ−[ｘ] なんてのも出てきます。

あとは三角関数の応用で、
　sin(2θ)
　sin(2θ)＋cos(3θ)
　sin^2(θ)
　|cosθ|
なんかもよく見られます。
No.23228 - 2013/11/19(Tue) 21:53:49
☆ Re: 周期 / ＿
ちょっと前の入試問題に、

これらの関数は周期関数か否か、更に周期関数の場合はその周期を答えよ。

(1)sin(sinx)
(2)cos(sinx)
(3)sin(x^3)

という問題があります。参考までに。
No.23234 - 2013/11/20(Wed) 12:07:07
★ イコールについて / ファイ
剰余定理について
f(x)=x^3+2x^2-2x-1
A(x)=x-1
f(x)をA(x)で割ったときの余りを求めるとき、
商をQ(x)、余りをRとすると剰余定理により
R=f(1)=0...[1]となりますよね。
前まではなるほどと納得していたのですがよくわからないところが、、、
余りRというのは、今割る数が1次式なので、定数ということがわかります。Rは0かもしれないし1かもしれないし-1/5かもしれない、、、つまり未知数なわけですよね？
[1]は未知数Rはf(1)に等しいという意味だと思いますが、f(1)というのは具体的な数値ですよね？イコールで結ぶということはRが未知数なんだからf(1)も未知数じゃないといけないんじゃないですか？
いままで考えたことなかったのですが小学生レベルのところで躓いています(泣)
よかったら教えてください。お願いします。
No.23216 - 2013/11/19(Tue) 16:18:27
☆ Re: イコールについて / ヨッシー
Ｒは未知数：値がいくつかわかっていない数　であって、
変数：いろんな値を取る数　ではありません。
未知数はある処理を施せば（方程式をとくとか、値を代入するとか）
ある決まった数になります。
No.23219 - 2013/11/19(Tue) 17:50:24
★ 除法 / ファイト！
多項式の除法で、割る数の次数>あまりの次数が成り立つのはなぜなんですか？
いままではそんなの当たり前だと思っていたのですが、簡単に示す方法はないのでしょうか？
わかる方教えてください。お願いします。
No.23214 - 2013/11/19(Tue) 15:51:12
☆ Re: 除法 / ヨッシー
割る数の次数＞あまりの次数
になるまで割るからです。
No.23218 - 2013/11/19(Tue) 17:46:50
★ 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / ファイト！
x^3-12x^2＋47x＋a=0・・・?@が相異なる3つの整数解をもつときaの値および方程式の解を求めよ
?@の異なる３つの整数解をα、β、γとする。
解と係数の関係により、α＋β＋γ=12・・・?A
αβ＋βγ＋γα=47・・・?B αβγ=-a・・・?C
?Aから、β＋γ=12-α
よって?Bからβγ＝α^2-12α＋47
したがって、β、γはtについての２次方程式
t^2-(12-α)t＋α^2-12α＋47=0・・・?Dの２つの解である。?Dの判別式をＤとすると、
Ｄ＝-3(α-4)^2＋4
＜＜?Dが整数解をもつための必要条件はＤが平方数or０である。
いま、解β、γは異なるからＤ＞０なので、
?Dが整数解をもつための必要条件はＤが平方数である。
0<D≦4かつＤが平方数であるものはＤ＝１またはＤ＝４＞＞
Ｄ＝１のとき、α=3,5
D=4のとき、α=4
(i)α=3のとき、t=4,5
(ii)α=4のとき、t=3,5
(iii)α=5のとき、t=3,4
よって方程式の解は3,4,5
α=-60

とあるのですが、＜＜ ＞＞部分で必要条件を求めていますが、どうしてなのでしょうか？
必要条件であるＤ＝１またはＤ＝４を利用してどうして答えに至るのか。また、必要条件を利用するという発想はどこからくるのでしょうか？？「?Dが整数解をもつための必要条件はＤが平方数or０である。」というのは自分で調べてみたところ確かにそうなりました。
では、この問題とは別に「十分条件」を利用して答えを導かせることもできたりするのでしょうか？
この問題でわからないのは着眼点がどうして「必要条件」なのかというところです。
もちろん、「?Dが整数解をもつための必要条件はＤが平方数or０である。」となる命題で、十分条件にはならないのでこの問題では必要条件を使うことはわかるのですが、、
また、?Dのtの２次方程式の解はβ、γですよね？
これはもともと問題文にもあるように整数解といっています。
にもかかわらず、β、γが整数解となるための条件を考える必要があるのはなぜなんでしょうか？
問題文にかいてるから自明であり条件化する必要はないっていうのはだめなんでしょうか？
結構初歩的なところで躓いています・・・
わかる方教えてください。お願いします。
No.23202 - 2013/11/18(Mon) 22:46:06
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / ファイト！
Ｄが平方数or０でないなら、?Dは整数解を絶対に持ちません。
なので、Ｄが平方数or０であるということは?Dが整数解をもつために最低限絶対に必要なことなので必要条件。
でも、あくまで必要条件で、Ｄが平方数or0であるからといって必ず整数になってくれるとは限りません。
今、必要条件はＤ＝１またはＤ＝４に絞られたので、これらの場合をそれぞれ考えて、実際に整数になってくれるかどうかを探る・・・そういう作戦でしょうか・・・？
No.23203 - 2013/11/18(Mon) 23:08:23
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / angel
> そういう作戦でしょうか・・・？
そういう認識で問題ないです。
「実際に整数になってくれるかどうか」に加えて、β≠γはD＞0の時点で確定しているとしても、α≠β, α≠γは、実際にα,β,γを出してみないと分からない、というのもあります。
No.23210 - 2013/11/19(Tue) 03:28:30
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / ファイト！
回答ありがとうございます。
まだ少しわからないところが、、、
1.β、γは整数だと問題文に明記されているのに
わざわざβ、γが整数解であるための条件を書く必要があるのはなぜなんでしょうか？
2.問題文にα、γ、βは相異なる整数とあるのになぜ「実際に整数になってくれるかどうか」に加えて、β≠γはD＞0の時点で確定しているとしても、α≠β, α≠γは、実際にα,β,γを出してみないと分からないのでしょうか？
3.必要条件から探ることでもし整数になることを確認できれば、これは同時に十分性も確認できたということで、探る際に用いた必要条件は必要十分条件だと言えるのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.23211 - 2013/11/19(Tue) 03:51:09
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / angel
> 問題文に明記されているのに
問題文に書かれていれば、何をしなくても絶対そうなると保証されているわけではないですよ。
むしろ、自分で問題文の通りの条件だとどうなるか、それを確かめているのだと思った方が良いです。

…というか「整数解だ」というのは解答の先頭で言っていること ( つまり解答者が勝手に設定した条件 ) であって、問題文では「整数解ならどうなる?」としか言ってないですよ。
最初に「整数解のつもりで話を進める」と解答者が空手形を切っているわけです。( 後で確認した結果あてが外れればボツになる )

> 探る際に用いた必要条件は必要十分条件だと言えるのでしょうか？
今回の問題に限れば、そうです。「限れば」というのは、他の類題の場合には、同じように必要十分条件になるのかどうかは分からない、という意味です。
No.23212 - 2013/11/19(Tue) 07:49:10
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / ファイ
ありがとうございました
No.23215 - 2013/11/19(Tue) 16:06:12
★ (No Subject) / ゆの
(a+b+c)7乗の展開式における次の項の係数を求めよ

1 aの4乗bの1乗cの2乗

2 aの3乗bの3乗cの1乗

3 bの4乗cの3乗

解答お願いします。
No.23201 - 2013/11/18(Mon) 22:08:42
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢＣＤＥＦＧ７つの箱があります。
１．どれか４つの箱に「ａ」のラベルを貼り、残り３個の箱のうち
１個に「ｂ」のラベルを貼り、残り２個に「ｃ」のラベルを貼ります。
その貼り方は
　7Ｃ4×3Ｃ1×2Ｃ2＝35×3×1＝105　・・・　答え

２．同様に　7Ｃ3×4Ｃ3×1Ｃ1＝35×4×1＝140
３．同様に　7Ｃ0×7Ｃ4×3Ｃ3＝35

(a+b+c)^7 は、
(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
の７つのカッコから、文字を１つずつ取ってきて掛けあわせたものを
全部足したものですから、a^4bc^2 は、４つのカッコからａを、
１つのカッコからｂを、２つのカッコからｃを取る取り方の
場合の数が a^4bc^2 の係数となります。
それを、箱とラベルでモデル化したのが上の解法です。
No.23213 - 2013/11/19(Tue) 08:47:04
★ 小学生 算数 拡大と縮図 相似の関係 / なぞな
相似な図形では、それぞれ対応する辺があり、
その各辺それぞれに対して各辺を同じ割合だけ大きく、あるいは小さくすれば形をキープしたまま相似な図形であれば拡大したり、縮小したりできるんですよね？
でもそれがほんとうなのか疑心暗鬼になっています。
たとえば相似な図形で対応する辺の比が1:2だってわかったら他の対応する辺も1:2の関係にあるんですよね？直感的にそんな気はしますがほんとうなんでしょうか？教えてください。
No.23195 - 2013/11/18(Mon) 18:34:24
☆ Re: 小学生 算数 拡大と縮図 相似の関係 / ヨッシー
>ほんとうなんでしょうか？
に対しては「本当です」としか言えません。

対応する辺の比が1:2 で、他の対応する辺が1:2 でなかったら、
それは相似とは言わないので、
>たとえば相似な図形で
と言った時点で、すべての対応する辺の比は同じです。
No.23205 - 2013/11/18(Mon) 23:42:14
★ 整数問題 / みそ
a,bを整数とする。3次方程式x^3＋ax^2＋bx-1=0・・・?@は3つの実数解α、β、γをもち、0<α<β<γ<3で、α、β、γのうちどれかは整数である。a,bの値を求めよ。
という問題で
まず、?@がα、β、γの実数解をもつので
x^3＋ax^2＋bx-1=(x-α)(x-β)(x-γ)と変形できますよね。これを解くと、x=α、β、γ
0<α<β<γ<3という条件から、整数解はもつとしても１と2に限られます。
この段階ではまだ、α、β、γがすべて1or2の整数かもしれないし、αだけが1o2の整数でβとγは異なる実数解かもしれません。いろんなパターンは考えられると思います。
そこで整数解をx=nとして、?@の左辺に代入すると
n^3＋an^2＋bn-1=0
nについて整理すると
n(n^2＋an＋b)=1
整数解x=nに関してはかんがえられる整数解が1と2なのでこの時点でn>0であることは明確です。
また、n,a,bが整数であることからn^2＋an＋bも整数
そして右辺が1であることからn=1でなければならないことがわかりました。
よって?@はx=1を解にもつので
x^3＋ax^2＋bx-1=(x-1){x^2＋(a＋1)x＋1｝
ここからが疑問なのですが、解答では
「条件から、x^2＋(a＋1)x＋1=0は0<x<3においてx=1でない異なる２つの実数解をもつ」とあります。
この「0<x<3」というところがひっかかているのですが、
もし、αが整数解１だったとしたら
1<β<γ<3となり、βとγは１〜３の間にある実数解ですよね？
もっといえばβが求まらないと、γの正確な値の範囲はわかりません。
数学の問題を解いていて思ったのですが、
最初は結構アバウトというか矛盾さえなければ広めに条件を設定しておいて、その他もろもろの条件とから正確な範囲を絞りだすってことが多い気がするのですが、この問題でもそうなんでしょうか？
とりあえず0<α<β<γ<3とあるんだから間違いなくα、β、γは0<x<3に存在するので矛盾はないですから、こうするのもわかる気がするのですが、、、なにかがひっかかります；
また、少しもどってしまうのですが、
解答には「0<α<β<3より整数解はx=1またはx=2」とあるのですが、この表現の仕方について、
たとえばさっきもいったように
?@α、β、γが３つとも整数
?Aα、βのみが整数
?Bα、γのみが整数
?Cαのみが整数
?Dβのみが整数
?Eβ、γのみが整数
?Fγのみが整数
のパターンがあり、このそれぞれの場合における、αやβやγは整数解をとるならx=1またはx=2ですよ、ということですか？
数学が苦手なのでわかる方教えてください。お願いします。
No.23193 - 2013/11/18(Mon) 15:58:54
☆ Re: 整数問題 / みそ
解答の「条件から、x^2＋(a＋1)x＋1=0は0<x<3においてx=1でない異なる２つの実数解をもつ」で条件を考えると、
?@の判別式ＤはＤ＞０であればよいのでa<-3,1<a
f(0)=1>0よりつねに成り立つ。
f(3)>0よりa>-13/3
軸について0<(-a-1)/2<3　より-7<a<-1
f(1)≠0よりa≠-3
共通範囲を求めると、-13/3<a<-3となります。
しかし、今
たとえばα=1であって、β、γのとりうる値の範囲が
0<x<1においてである場合を考えたとき、この0<x<1の範囲に異なる２つの実数解が存在するというのは0<x<3で考えたときの中に含まれていると思いますが、
実際確認してみると、0<x<3のときの上の条件で軸の位置の条件以外はすべて同じになりました。
このとき0<x<1で考えていることから軸の位置の範囲は0<(-a-1)/2<1となりますよね。
これは-3<a<-1となります。
まとめると
a<-3,1<a
f(0)=1>0よりつねに成り立つ。
f(3)>0よりa>-13/3
軸について0<(-a-1)/2<1　より-3<a<-1
f(1)≠0よりa≠-3
となりますが、これらの共通範囲は存在しませんよね？
どうして共通範囲が存在しないのかわかりません。
また、なんで0<x<3で考えていいのかもよくわかりません。
長くなりましたが教えてください。お願いします。
No.23198 - 2013/11/18(Mon) 20:57:06
☆ Re: 整数問題 / みそ
すみません。後半のは勘違いしてました。
0<x<1の範囲で異なる２つの実数解をもつためには
f(1)>0がまず成り立たなければなりませんよね。これさえ成り立てばf(3)>0は必ず成り立ちます。
しかし、
f(1)>0よりa>-3
f(0)>0はつねになりたつ
f(1)≠0よりa≠-3
軸については0<(-a-1)/2<1より-3<a<-1
Ｄ＞０よりa<-3,1<a
これらの共通範囲を求めようとしたのですが、共通範囲が存在しませんでした。
どうしてなんでしょうか？
0<x<3で範囲で考えるなら当然その中には0<x<1でとりうる異なる２解の場合もあるはずなのに、どうしてうまくいかないのか・・・よくわかりません；
教えてください。よろしくお願いします。
No.23199 - 2013/11/18(Mon) 21:08:34
☆ Re: 整数問題 / みそ
何度もすみません(汗)
勘違いの連続だったので疑問点を整理しました
?@問題文の「α、β、γのうちどれかは整数」というのは「α、β、γのうちどれか【１つ】は整数」という意味なんでしょうか？
?A整数解はx=1であることがわかりました。
ではα=1としたとき残りの異なる２解(βとγ)は大目にみても1<x<3にありますよね、
またβ=1としたとき残りの異なる２解(α、γ)は
αに関してはは0<x<1、γに関しては1<x<3の範囲にそれぞれあることがわかります。
またγ=1としたとき残りの異なる２解(α、β)は
大目にみても0<x<1にあります。
つまり、疑問なのはx=1を解にもつのがαなのかβなのかγなのかで条件は変わってしまいますよね？
それを最初から「x^2＋(a＋1)x＋1=0は0<x<3においてx=1でない異なる２つの実数解をもつ」と0<x<3というでかでかとした範囲で考えていいのか？というのが疑問です(汗)
問題演習をしていて時々、このような、最初は広めに範囲を設定しておいて考えるという解答が多い気がするのですが、大丈夫なんでしょうか？
すごく長くなってしまってごめんなさい。
よろしくお願いします。
No.23204 - 2013/11/18(Mon) 23:37:48
☆ Re: 整数問題 / angel
…α,β,γという文字に振り回されていると思います。
改めて問題を整理してみると、

　・問題の3次方程式は異なる3実数解を持つ
　・それらの解は全て0より大きく3より小さい
　・それらの解の中には整数解がある ( 少なくとも1つ、2つ3つあっても構わない…ないけど )
　・それらの解の小さい方から順に、α,β,γという名前をつけている

そうすると、この中で問題を解くのに関係ない条件はどれでしょう…、というと一番最後ですよね。単に名前をどうつけるかの問題だけなので。

なので、α,β,γのどれが整数か、色々場合分けをしても良いですが、それは要らぬ苦労を背負いこむだけ、となります。

シンプルに解くと

　0＜x＜3 で、問題の3次方程式が持ちうる整数解は x=1 のみと分かる ( x=2 はありえない )
　→ 問題の方程式は x=1 と、0＜x＜3 ( ただし x≠1 ) の範囲に2解を持つ
　→ b=-a かつ、2次方程式 x^2+ax+1=0 は 0＜x＜3 ( x≠1 ) の範囲に2実数解を持つ

で、あとは2次方程式の問題となります。どれがαでどれがβか、そういったことは気にする必要がありません。
No.23207 - 2013/11/19(Tue) 00:39:01
☆ Re: 整数問題 / みそ
angelさん
回答ありがとうございます。
α、β、γのどれが整数かを考えると場合分けもめんどくさいですよね。
0<x<3の範囲に整数解x=1以外の異なる2解が存在するので、
0<x<3の範囲で2次方程式の解の配置問題に帰着すればいいんだ！と素直にできればいいのですが、正直私は心配性なところがあって、「ほんとにこんなおおざっぱに0<x<3でいいのかな？いや、たしかに0<x<3の範囲に残りの異なる２解は存在するんだしいいんだろうけど・・・んーでもやっぱり心配；；」「２解の位置の場合分けが必要なんじゃないかな・・・？」
などと不安になって先にすすめなくなります＞＜；
どうしたらこういった不安を取り除くことができるんでしょうか？この問題に限らず数学の問題全般に、余計なことを考えすぎる癖があります；
正直まだ少し腑に落ちてない感じです。。
どうすればいいんでしょうか？？教えてください。お願いします＞＜
No.23208 - 2013/11/19(Tue) 00:55:05
☆ Re: 整数問題 / angel
> どうしたらこういった不安を取り除くことができるんでしょうか？

それは、ちゃんと問題の条件なり意図なりを正確に解釈すること。
問題文に出てくるα,β,γは、単に解の存在範囲の条件を表すために、便宜上大小の区別をつけて導入しているだけのものです。α,β,γの区別は全く問題の内容に影響しません。
※例えば整数解と非整数解の大小関係が条件にあるなら、こういったα,β,γの区別も意味は出てきますが

なので、No.23207で私が整理したのと同じようにできること。問題を解き始める前に、ちゃんと情報を整理する、これが大事です。

> ほんとにこんなおおざっぱに0＜x＜3でいいのかな？
なので、「おおざっぱ」ではなく、むしろ正確に問題の条件を整理・把握したからこそ“0＜x＜3”なのです。
No.23209 - 2013/11/19(Tue) 03:16:30
★ わからない / 明日期末テスト
y−(2−y)＝2＋4yのy−(2−y)の解き方がわかりませんお願いします
No.23192 - 2013/11/18(Mon) 15:29:38
☆ Re: わからない / ヨッシー
解き方ではなく、計算の仕方（またはカッコの外し方）ですね？

ａ−（ｂ−ｃ）＝ａ−ｂ＋ｃ

という式は見たことありませんか？
No.23194 - 2013/11/18(Mon) 17:32:20
★ (No Subject) / 趣味学生
aもbもcも正の数のとき
a∧(c/b)=b∧(a/c)=c∧(b/a)
ならば
a,b,cは等しいことを証明せよ

お手数ですがよろしくお願いしますm(_ _)m
No.23191 - 2013/11/18(Mon) 13:24:23
☆ Re: / ＩＴ
（証明の指針）
(1)a,b,cすべて１より大きいか,すべて１と等しいか,すべて１未満か、のいずれかである。
（容易だと思うので自分で証明してください）

0＜a≦b≦cとしても一般性を失わない。
このとき(1)より、1＜a≦b≦c …(A),a＝b＝c＝1 …(B), 0＜a≦b≦c＜1…(C)　のいずれかである。

(A)のとき
　0＜a/c≦1≦b/a かつ 1＜b≦c なので
　　 b^(a/c)≦b^(b/a)≦c^(b/a)、　(１つ目の等号はa/c=1=b/aのとき、２つ目の等号はb=cのとき)
　条件よりb^(a/c)＝c^(b/a)なので a/c=1=b/a
　よって a=b=c
(B)のとき　a=b=c
(C)のとき
　(A)と同様
No.23196 - 2013/11/18(Mon) 18:58:55
☆ Re: / 趣味学生
ありがとうございますm(_ _)m
No.23197 - 2013/11/18(Mon) 19:40:31
☆ Re: / ＩＴ
「0＜a≦b≦cとしても一般性を失わない」としたのは、間違っていたようです。0＜a≦c≦bの場合も別に考える必要がありますね。（同様ですが）

1＜a≦c≦bのとき
　0＜c/b≦1≦b/a かつ 1＜a≦c なので
　　 a^(c/b)≦a^(b/a)≦c^(b/a)、　(１つ目の等号はc/b=1=b/aのとき)
　条件よりa^(c/b)＝c^(b/a)なので c/b=1=b/a
　よって a=b=c
No.23223 - 2013/11/19(Tue) 21:35:33
★ 数学Ｉ / 場合分け
f(x)＝Σ[k=1〜100]|kx‐1|＝|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋‥‥＋|100x‐1|を最小にするxの値を求めよ。
a[k]=kx-1とする。
(i)x≧1のとき絶対値の中身a[k]はすべて正なのでf(x)=5050x-100
(ii)x≦1/100のとき絶対値の中身a[k]はすべて負なので
f(x)=-5050x＋100
(iii)1/100<x<1のとき
絶対値の中身a[k]が正である部分と負である部分に分けられる。
つまり、x-1<0、2x-1≦0、3x-1≦0、・・・(m-1)x-1≦0、mx-1≧0、・・・、99x-1≧0、100x-1>0　のように(m-1)x-1とmx-1で正負が変わる所があるとすると、これが成り立つためには
1/m≦x≦1/(m-1)であればよい。
・・・以下計算をするとm=71のとき1/71≦x≦1/70においては傾きが正のグラフ
m=72のとき1/72≦x≦1/71のとき傾きが負のグラフになるので
f(x)を最小にするxの値はx=1/71となったのですが、一つ疑問があって、負から正に変化するところを「(m-1)x-1≦0、mx-1≧0」としましたが、ここはべつにmx-1≦0、(m＋1)-1≧0」としても問題ないですよね？誰かわかる方教えてください。お願いします。
No.23188 - 2013/11/17(Sun) 23:23:02
☆ Re: 数学Ｉ / ヨッシー
mx-1≦0、(m＋1)x-1≧0 でも問題ありませんが、
ｍの値とｘの範囲とが、上の場合と１つずれますので、
注意が必要です。
No.23190 - 2013/11/18(Mon) 06:23:24
☆ Re: 数学Ｉ / 場合分け
わかりやすい回答ありがとうございました。
No.23206 - 2013/11/19(Tue) 00:15:55
★ 平面上のベクトル.179 / ぶー
三角形ABCの外心Oが三角形の内部にあるとし、α、β、γは
αV↑OA+βV↑OB+γV↑OC=0
を満たす正の数であるとする。また、直線OA、OB、OCがそれぞれ辺BC、CA、ABと交わる点をA'、B'、C'とする。
V↑OA、α、β、γを用いてV↑OA’を表せ。
また、三角形A'B'C'の外心がOに一致すればα=β=γである事を示せ。

解答解説よろしくお願いします。
No.23177 - 2013/11/17(Sun) 02:30:59
☆ Re: 平面上のベクトル.179 / ヨッシー
ＯＡ’＝ｋＯＡ と置きます。
一方、
ＯＡ’＝(1-t)ＯＢ＋tＯＣ
と置きます。
ＯＡ＝(-β/α)ＯＢ＋(-γ/α)ＯＣ　より
ＯＡ’＝(-kβ/α)ＯＢ＋(-kγ/α)ＯＣ
ＯＢとＯＣは一次独立(平行でない)なので、
係数比較して
　１−ｔ＝-kβ/α、ｔ＝-kγ/α
これを解いて、ｋ＝−α/(β＋γ)
以上より、
　ＯＡ’＝{−α/(β＋γ)}ＯＡ

これより
　ＯＡ’＝{α/(β＋γ)}ＯＡ
また、同様に
　ＯＢ’＝{β/(γ＋α)}ＯＢ
　ＯＣ’＝{γ/(α＋β)}ＯＣ
ここで、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ
また、Ｏが三角形Ａ’Ｂ’Ｃ’の外心とすると、
　ＯＡ’＝ＯＢ’＝ＯＣ’
よって、
　α/(β＋γ)＝β/(γ＋α)＝γ/(α＋β)
(中略)
これより、α＝β＝γ　といえます。
No.23180 - 2013/11/17(Sun) 09:18:29
☆ Re: 平面上のベクトル.179 / angel
先に条件を整理しておきます。
「Oが△ABCの外心」ということは、OはA,B,Cを通る円(外接円)の中心、つまりOA=OB=OCを表します。ベクトルでいうと |↑OA|=|↑OB|=|↑OC| ということですね。
では問題で出てくる「△A'B'C'の外心がOに一致すれば」というのは、同じ理屈で「|↑OA'|=|↑OB'|=|↑OC'|であれば」ということを意味します。

なので、先に ↑OA'=p↑OA, ↑OB'=q↑OB, ↑OC'=r↑OC と分かっていれば、
　|↑OA|=|↑OB|=|↑OC| かつ |↑OA'|=|↑OB'|=|↑OC'|
　よって |p|=|q|=|r|
というように話を持っていくことができ、これが今回の証明の肝になります。

では最初の小問「↑OA,α,β,γを用いて↑OA'を表せ」から。
　α↑OA+β↑OB+γ↑OC = ↑0
　⇔ β↑OB+γ↑OC = -α↑OA
　⇔ 1/(β+γ)・(β↑OB+γ↑OC) = -α/(β+γ)・↑OA
　⇔ β/(β+γ)・↑OB + γ/(β+γ)・↑OC = -α/(β+γ)・↑OA
この変形した最後の式の左辺は、直線BC上のある点の位置ベクトル(O基準)を表します。( なぜなら↑OB,↑OCの係数の合計が1だから )
一方、右辺は直線OA上の点の位置ベクトルであることも表しています。
ということは、これはBC,OAの両方に存在する点、つまりBC,OAの交点であるA'の位置ベクトルに他なりません。すなわち、
　↑OA' = β/(β+γ)・↑OB + γ/(β+γ)・↑OC = -α/(β+γ)・↑OA

いきなりこんな変形思いつかないよ、ということであれば、
↑OA'=p↑OA, ↑OA'=t↑OB+(1-t)↑OC とでも置いて、元の式に代入して p,t の値を探ってみましょう。

では最後の証明ですが、最初の小問の結果から、
　↑OA'=-α/(β+γ)・↑OA
　↑OB'=-β/(γ+α)・↑OB
　↑OC'=-γ/(α+β)・↑OC
であることが分かります。( 一つ一つ計算しなくとも、文字を入れ替えれば上記の式が出てきます )
なので、最初に整理した通り
　|-α/(β+γ)|=|-β/(γ+α)|=|-γ/(α+β)|
　⇔ α/(β+γ)=β/(γ+α)=γ/(α+β)
となります。ここからα=β=γを導けば終わりです。
No.23181 - 2013/11/17(Sun) 09:26:33
☆ Re: 平面上のベクトル.179 / ぶー
α/(β+γ)=β/(γ+α)=γ/(α+β)
は分かったんですけど、どうすればα=β=γがでてくるんですか？
No.23184 - 2013/11/17(Sun) 14:58:58
☆ Re: 平面上のベクトル.179 / ヨッシー
α/(β+γ)=β/(γ+α) より
α(α＋γ)＝β(β＋γ)
展開して整理すると
α^2−β^2＝γ(β−α)
(α−β)(α＋β)＝−γ(α−β)
これより　α−β＝０　または　α＋β＝−γ
α＋β＝−γ　はあり得ないので、α＝β

β/(γ+α)=γ/(α+β)　より
(以下略)
No.23185 - 2013/11/17(Sun) 16:34:54
☆ Re: 平面上のベクトル.179 / angel
> α/(β+γ)=β/(γ+α)=γ/(α+β)
> は分かったんですけど、どうすればα=β=γがでてくるんですか？

式の対称性 ( 同じ形で文字の順番を入れ替えているだけ ) に着目するなら、σ=α+β+γとして
　α/(β+γ)=α/(σ-α)=σ/(σ-α) -1
他も同じようになるため
　σ/(σ-α)-1=σ/(σ-β)-1=σ/(σ-γ)-1
違いは分母だけですね。
なので α=β=γ ( σ-α=σ-β=σ-γ ) となります。
No.23186 - 2013/11/17(Sun) 17:24:22
☆ Re: 平面上のベクトル.179 / ぶー
ありがとうございました!!
No.23292 - 2013/11/24(Sun) 22:04:02
★ 平面上のベクトル.171 / ぶー
正六角形ABCDEFにおいて、V↑AB=V↑a,V↑AF=V↑ｂとする。
対角線CEとDFの交点をP、対角線BFと線分APの交点をQとするとき、BQ：QFを求めよ。

V↑AP=4/3V↑a+5/3V↑b
FP:PD=2:1,CP:PE=2:1 は分かりました。
答えは5:4だそうです。
解説よろしくお願いします。
No.23176 - 2013/11/17(Sun) 02:22:17
☆ Re: 平面上のベクトル.171 / ヨッシー
↑AP=4/3↑a+5/3↑b
がわかったのなら、
１．↑AP を何倍かしたものが↑AQ である。
２．↑AQ＝ｍ↑ａ＋ｎ↑ｂ　とおくと、ＱはＢＦ上の点なので、
　ｍ＋ｎ＝１ である。
以上を踏まえると、
↑AQ=4/9↑a+5/9↑b となり、ＱはＢＦを５：４に内分する点とわかります。
No.23179 - 2013/11/17(Sun) 08:57:23
☆ Re: 平面上のベクトル.171 / ぶー
あ、なるほど
ありがとうございます
No.23183 - 2013/11/17(Sun) 14:31:27
★ 有効数字 / ムー大陸
有効数字の計算方法が分かりません。
有効数字の途中計算は「求めよ」といわれている有効数字の桁＋１まで書くとありました

しかしαを有効数字二桁で求めよという問題で

９２．０＝（１＋α）×７８．９
１＋α＝１．１６６
α＝０．１６６≒０．１７（答え）

というように途中計算が有効数字３桁とするところが４けたになっています。もうなにがなんだか分からなくなりました
No.23172 - 2013/11/16(Sat) 16:16:58
☆ Re: 有効数字 / ast
> 途中計算が有効数字３桁とするところ
ここ, ちょっと言葉づかいが気になります. 有効数字2桁プラス1で3桁をかんがえるのであって有効数字3桁とするのではありません.

本問に関しては, 1 は確定の数で, α を有効ふた桁と言っているので, 答えは「α ≒ 1.7×10^(-1)」と考えるべきです. 1+α = 1.166 が見かけ上四ケタ書いてあっても α 自身は 1.166-1 = 1.66×10^(-1) なので有効2桁プラスひと桁しか考えていません. これは注意書きの内容そのままです.

少し目線を移して, 有効数字は「どの数字が有効か」を考えるより, 「どの数字が信頼できないか」を考えるほうが理解の筋が通ると思います. つまり,

・有効桁数以上の数字は（誤差を含むので）信頼できません
・信頼できない桁の数字と四則演算して得られる数字は信頼できません
⇒たとえば誤差のある数字同士を足して繰り上がった数字も（もｓかしたら実際は繰り上がらないかもしれないので）誤差を含み信頼できません.

そういうわけで, どこから誤差が遺伝してくるかを考えると, 有効桁数が増えることはありませんし, 逆に減ることを気にしないといけないので, 途中計算では有効桁数ギリギリではなく大目に桁を取ります (といっても不必要に桁を増やしても信頼できないだけで意味は無いですが).

有効桁数よりもプラスひと桁とかいうのは必要最低限としてそこまで考察せよという意味であって, プラスひと桁に拘る意味はありません.
No.23178 - 2013/11/17(Sun) 04:04:23
☆ Re: 有効数字 / ムー大陸
回答ありがとうございます。
うーん、1.166-1 は途中計算だと思うのですが・・。
掛け算の割り算の結果をどこまで式に落とせばいいのかが分かりません。

９２．０＝（α＾２＋２α）×７８．９
だと92.0/78.9はどの桁まで必要ですか？
No.23182 - 2013/11/17(Sun) 11:02:27
☆ Re: 有効数字 / ast
> だと92.0/78.9はどの桁まで必要ですか？
1/78.9=0.0126743... を有効ふた桁プラスひと桁で考えれば普通に掛け算の有効桁の話になりますよね.
それで計算すると (9.20*10^1)*(1.27*10^(-2))=1.1684...≒1.168 になると思います (私が間違ってるかもしれませんが). 1.166 と 1.168 で違う数値に見える気もしますが, 実際には概数は丸めたものなのでちゃんと誤差も見積もって, 最後の桁は(四捨五入で丸めるなら)±5くらいはズレがあるとか考えるので, 多分問題ありません.
仮に (9.20*10^1)*(1.26*10^(-2))=1.1592... で計算すると最初の問題では α≒0.16 になりますが, 理屈と誤差の見積もりがあってれば, 不正解とは言われないのではと思います.
α^2+2α はどちらの項も有効ふた桁になるので, 基本は同じかと.

> うーん、1.166-1 は途中計算だと思うのですが
「途中計算」という言葉の解釈論議をしたくは無いですが, 最初の桁数に関する注意書きは, 常に全部を同じ桁で丸めろという話ではないと思います. 先のレスもそういう意図で拘るなと言ったつもりです.
つまり, 途中計算で有効ふた桁プラスひと桁というのは 92.0 や 78.9 あるいは結果として出てくる α の値のことを言っているのであって, ここに誤差を含み信頼のできない数字があることを理解したうえで, 出てきている数字はそのまま全部計算に使用して, 結果出てくる数字のどれが信頼出来て信頼できないか考えます (考えたうえで途中で都度丸めても (誤差は丸めるたびにたぶん大きくなるのでちゃんと見積もらないとダメですが) 構わないはずです).

あまりうまく説明できずにすみません. 適当に検索してみたのですが, 例えば
http://www.mmlab.mech.tuat.ac.jp/mmlab/lect_murata/significant_figure.shtml
などを参照してみて頂けますか.
No.23187 - 2013/11/17(Sun) 22:59:39
☆ Re: 有効数字 / ムー大陸
誤差ですか・・。手持ちの解答では0.16でも可とかいったことは書かれていないのでその可能性は低いとは思いますが。

このサイトの途中の計算により有効数字が減るケースが惜しいですね、この場合に途中計算をどうするのかが知りたいのに。

とにかくありがとうございました。
No.23221 - 2013/11/19(Tue) 19:20:00
★ (No Subject) / 京
こんにちは。質問させてください。

3x^2+y^2≦3
Y≧x-1
を同時に満たすxy領域の面積を考えよ


をまず単位円で考えるとき、yが1/√３となったと考えるので、直線のほうも
1/√３かけて、y＝√３(x-1)となると考えましたが、そうなっていません。
なぜか教えてください。
No.23169 - 2013/11/16(Sat) 14:08:05
☆ Re: / 京
1/√3倍になった、の間違いですすみません。
No.23170 - 2013/11/16(Sat) 14:08:56
☆ Re: / らすかる
1/√3倍は「y軸を中心として1/√3倍」です。
y=x-1 を y=√3(x-1) にすると「x=1を中心として1/√3倍」になるので違いますね。
y軸を中心として1/√3倍なので、y=(√3)x-1 としなければなりません。
No.23171 - 2013/11/16(Sat) 14:33:17
☆ Re: / ムー大陸
楕円を円に直して簡単に面積を求め、
その後、楕円に戻すという手法ですね

一般に
y=f(x)をｙ軸方向にa倍するならyをy/aとし、
y/a=f(x)とします

y=f(x)をｘ軸方向にa倍するならxをx/aとし、
y=f(x/a)とします

3x^2+y^2=3をy軸方向に1/√３倍するなら
yを(√３)ｙにするだけで
3x^2+3y^2=3⇔x＾2+y＾2=3

ｙ＝ｘ−１も同じで、(√３)y=x-1になります
No.23175 - 2013/11/16(Sat) 22:40:43
★ 正方形の敷き詰め / √
教えてください。

「長方形」の中に、
いくつかの「正方形」が、隙間無く敷き詰められています。

この「長方形」の
「短辺」：「長辺」の比を教えてください。

答えは、１１：１３　です。

よろしくお願い致します。
No.23163 - 2013/11/15(Fri) 20:17:31
☆ Re: 正方形の敷き詰め / らすかる
右下の正方形の辺の長さをx、最も小さい正方形の辺の長さを1とすると
右上の正方形の辺の長さはx+1
左上の正方形の辺の長さはx+2
左下の正方形の辺の長さは
左上の正方形と比べると (x+3)/2
右下の正方形と比べると (x-1)
よって (x+3)/2=(x-1) なので、これを解くと答えにたどり着けます。
No.23164 - 2013/11/15(Fri) 21:31:10
☆ Re: 正方形の敷き詰め / √
らすかるさん

とても分りやすい回答、有り難うございました。
No.23165 - 2013/11/15(Fri) 21:44:27
★ ベクトル、絶対値 / 春
空間の三つの単位ベクトルａ、b、ｃが、任意の実数x、yに対して
|xａ＋ yｂ＋ ｃ|≧ |xａ| を満たしている。
（1）ａとｂが垂直、ａとｃが垂直 であることを示せ。
（2）ｂとｃのなす角をθ（0≦θ≦180）とおく。実数x、yが
x^2 ＋ 2y^2 = 1 を満たして動く時、|xａ＋yｂ＋ｃ|の最大値をθの式で表せ。

ａ、ｂ、ｃは上にベクトル記号がついています。
（1）はａとｂ、ａとｃをそれぞれかけたら0と言えればいいのかなと思うのですが、どう解けばいいのかわかりません。（1）が分かれば（2）も考えられるかなあと思うのですが…
すみません。良ければ教えてください。
No.23162 - 2013/11/15(Fri) 18:13:04
☆ Re: ベクトル、絶対値 / のぼりん
（１）　｜ｘａ＋ｙｂ＋ｃ｜２＝ｘ２＋ｙ２＋１＋２ｘｙａ・ｂ＋２ｙｂ・ｃ＋２ｘｃ・ａ　…　?@
だから、題意の不等式で両辺を二乗し、
　　　ｙ２＋１＋２ｘｙａ・ｂ＋２ｙｂ・ｃ＋２ｘｃ・ａ≧０　…　?A
です。 ｙ＝０ とすると、
　　　２ｘｃ・ａ＋１≧０
です。 任意の実数 ｘ に対し上の不等式が成り立つから、ｃ・ａ＝０ です。

次に、?A を ｙ に関する二次不等式と見れば、任意の実数 ｙ について成り立つためには、
　　　（２ｘａ・ｂ＋２ｂ・ｃ）２−１≦０
です。 任意の実数 ｘ に対してこの不等式が成り立つから、ａ・ｂ＝０ です。

（２）　「０≦θ≦１８０」は「０°≦θ≦１８０°」の意味と解します。 勝手に度数の記号を省いてはいけません。
　　　ｂ・ｃ＝ｃｏｓθ
です。 前問の結果と上式と ｘ２＋２ｙ２＝１ を ?@ に代入し、
　　　｜ｘａ＋ｙｂ＋ｃ｜２＝ｘ２＋ｙ２＋１＋２ｙｂ・ｃ
　　　＝−ｙ２＋２＋２ｙｃｏｓθ＝−（ｙ−ｃｏｓθ）２＋２＋ｃｏｓ２θ
です。
No.23166 - 2013/11/16(Sat) 11:05:20
★ 数ニ微分 / みなみ
関数f(x)=x^3-3x2+3kx-3 が極大値と極小値をもち、差が32。
実数kを求めよ。

f'(x)=3(x^2-2x+k) ?@

f'(x)=0の解をα.β(α<β)とすると、3(x-α)(x-β)
極値の差はf(α)-f(β)=1/2•(β-α)^3

したがってβ-α=4 ?A

[[[[ここで、α、βは?@=0の解により、1±√1-kだから、?Aは2√1-k=4 ]]]
[[[. ]]]の部分が理解できません、1±√1-k とはなんでしょう？
よろしくお願いします
No.23159 - 2013/11/15(Fri) 15:18:54
☆ Re: 数ニ微分 / ヨッシー
?@＝０　（この書き方もどうかと思いますが）
を、解の公式で解いた時の解です。
No.23160 - 2013/11/15(Fri) 15:36:52
★ 関数の証明問題 / Asuna
たびたびすいません。

A⊂Rでf:A→RがA上でLipschitz関数であるとは, ∀x,y∈Aに対し, |f(x)-f(y)|≦M|x-y|なる正の実数Mが存在する事である.

関数fとgがE⊂R上でLipschitz関数…(*)の時,fとgがEで有界かEがcompactの時,fg:E→R;fg(x):=f(x)g(x)もE上でLapschitz関数である事を示せ。
(原文:f and g are bounded on E, or the set E is compact. Prove that fg is a Lipschitz function on E.)
という問題です。

(i) Eで有界の時は,
∀x_1,x_2∈Rに対して,|f(x_1)|<sup(f(E)):=M_1,|g(x_1)|<sup(g(E))=:M_2,|f(x_1)-f(x_2)|<M_3,|g(x_1)-g(x_2)|<M_4なる正数M_1,M_2,M_3,M_4が存在する(∵(*)),
その時, |f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|≦|f(x_1)||g(x_1)-g(x_2)|+|g(x_1)||f(x_1)-f(x_2)|≦(M_1M_4+M_2M_3)|x_1-x_2|と書けるのでf(x)g(x)はE上でLapschitz関数と言えました。

(ii) Eがcompactの時,

Eは有界閉という事は分かりますがここから先に進めません。
どのようにすればいいでしょうか?
No.23158 - 2013/11/15(Fri) 13:14:14
☆ Re: 関数の証明問題 / のぼりん
こんにちは。
ｆ、ｇ はリプシッツ関数だから、連続です。
Ｅ はコンパクトだから、ｆ（Ｅ）、ｇ（Ｅ） もコンパクトです。
後は前問と同様ですね。
No.23168 - 2013/11/16(Sat) 11:51:55
☆ Re: 関数の証明問題 / Asuna
どうも有難うございます。

> ｆ、ｇ はリプシッツ関数だから、連続です。

そうだったのですか、
f:(-∞,0)∪[1,+∞)→Rをf(x):=0 (x<0の時), 1(x>1の時)とするとこれはLipschitz関数ですが,不連続、、
と思いきや,連続の定義に立ち返ると(-∞,0)∪[1,+∞)でfは連続ですね。

> Ｅ はコンパクトだから、ｆ（Ｅ）、ｇ（Ｅ） もコンパクトです。
> 後は前問と同様ですね。

なるほどです。
No.23189 - 2013/11/18(Mon) 03:09:02
★ 2次関数(高1) / ゆぅ
2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは
y=2x^2を平行移動したもので……2点云々……

という問題があるのですが、

解説の
y=ax^2+bx+c のグラフは
y=2x^2を平行移動したものだから a=2
というのがまず理解出来ません(/ _ ; )

どうか(これ以上出来るか分かりませんが可能な限り)分かりやすく、その部分を解説して下さい!!
よろしくお願いしますm(._.)m
No.23149 - 2013/11/14(Thu) 20:49:52
☆ Re: 2次関数(高1) / ＩＴ
問題を全文書いてみてください。
No.23151 - 2013/11/14(Thu) 21:42:10
☆ Re: 2次関数(高1) / ゆぅ
2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは
y=2x^2を平行移動したもので、
2点(-1,9)、(1,1)を通る。
このときの、a,b,cの値をそれぞれ求めよ。

答えは
a=2 , b=-4 , c=3
です。
No.23152 - 2013/11/14(Thu) 21:49:27
☆ Re: 2次関数(高1) / ＩＴ
a=a’(≠0)のとき
2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフAと
2次関数 y=a’x^2+b’x+c’ のグラフB　は平行移動で重なり、重なるのは、a=a’のときに限る。　ということは習われませんでしたか？

例えば、
y=x^2 のグラフとy=x^2 + 1のグラフは、平行移動するとピッタリ重ねることができます。
y=x^2 のグラフとy=2x^2 + 1のグラフは、平行移動してもピッタリとは重なりません。グラフを描いて確かめて下さい。
No.23153 - 2013/11/14(Thu) 22:40:06
☆ Re: 2次関数(高1) / ゆぅ
遅れてしまい、すみません(>_<)

グラフを書いたら、分かりました！！
ありがとうございましたー
No.23200 - 2013/11/18(Mon) 21:10:51
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