ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数2 / 瀬

参考書に「lim[x→a]f(x)/x-a の値が存在するとき、f(a)=0となる。」
とあるのですが、これは
x-aが限りなく0に近づく一方で、f(x)の値が0以外の値に近づけば値は定まらず無限に存在することになってしまいますよね。
0←f(x)→∞ で0という限りのある値に近づけば近づくほど値は近似値として定めることができそうです。
ではそのようなf(x)を表現するにはどうすればよいか？
x-aはどんどん0に近づくのでx-a≒0
同時にf(x)も0に近づかせたいので
整式f(x)が因数x-a(≒0)をもてばよい。
よってf(a)=0が成り立つ。と理解したのですが、合っているのでしょうか？
理解力が乏しい上に数学は大の苦手なので困っています。わかる方教えてください。お願いします。ちなみに数学は2Bまで既習です。

No.23008 - 2013/11/01(Fri) 15:04:11

☆ Re: 数2 / らすかる

> x-aが限りなく0に近づく一方で、f(x)の値が0以外の値に近づけば
> 値は定まらず無限に存在することになってしまいますよね。
無限に存在というのは変です。
x-aが0に近づき、f(x)が0以外の値に近づけば、f(x)/(x-a)は±∞に発散します。

> 0←f(x)→∞ で0という限りのある値に近づけば近づくほど値は近似値として定めることができそうです。
「0←f(x)→∞」とはどういう意味ですか？
またこの文の意味はわかりませんでした。

> 同時にf(x)も0に近づかせたいので
> 整式f(x)が因数x-a(≒0)をもてばよい。
f(x)は整式とは限らないと思いますが、整式に限定されているのですか？

No.23009 - 2013/11/01(Fri) 15:23:58

☆ Re: 数2 / angel

どのようなイメージをもって納得されるかは自由だと思いますが、ちゃんと証明を説明できるようにするべきとも思います。
なお、元の文では条件が不足しています。「f(x)は連続関数である」が抜けているのでしょうから、この条件があるものとして話を進めます。

さて今回、極限に関する次の性質を使います。
　lim[x→a]p(x)=α, lim[x→a]q(x)=β ⇒ lim[x→a]p(x)q(x)=αβ
で、これに p(x)=f(x)/(x-a), q(x)=x-a ( このときβ=0 ) を適用すれば、

・αの値に関わらずαβ=0
・p(x)q(x)とは ( x=aを除いて ) f(x)に他ならないため、 lim[x→a]p(x)q(x)=f(a)
　( 連続関数であるf(x)に対して lim[x→a]f(x)=f(a) であることに注意 )

ということで、f(a)=0 を導くことができます。

No.23010 - 2013/11/01(Fri) 20:54:06

☆ Re: 数2 / 瀬

回答ありがとうございます！
色々用語(連続関数など・・・)を調べながら回答を読ませていただいたのですが、数学?VＣは文系でしたので全く手をつけていません。
なので理解も漠然としています。
きちんと理解したいのでこれを機会に数学?VＣの内容にも触れてみようと思うのですが典型的な文系脳なので、どこから学習したらいいのかなど不安です。
質問の趣旨から外れてしまいましたが、数学?VＣでいうどの単元を学習すれば理解できるようになりますか？
独学で身近に聞ける人がいないのでよかったら教えてください。お願いします。

No.23014 - 2013/11/02(Sat) 02:07:01

☆ Re: 数2 / ＩＴ

>参考書に「lim[x→a]f(x)/x-a の値が存在するとき、f(a)=0となる。」とあるのですが、
その参考書の名前と出版社、著者、該当のページを教えて下さい。

>数学?VＣでいうどの単元を学習すれば理解できるようになりますか？
数学?V「関数の極限」「連続関数」という単元が該当しますが、高校数学では、厳密な議論はされてないので、かえって理解が難しい場合もあります。

>独学で身近に聞ける人がいないのでよかったら教えてください。お願いします。
その参考書を中心に勉強しておられるのですか？最終目的・目標は何ですか？よろしければ簡単に教えて下さい。それによって説明もちがってくると思いますので。

No.23015 - 2013/11/02(Sat) 03:57:32

☆ Re: 数2 / 瀬

ITさん>>
回答ありがとうございます。
参考書は１対１対応の演習の数学?U(著者とページは今手元にないのでわかりません)
最終目的・目標は難関大レベルの入試問題を解けるようになることです。大学受験レベルの理解を求めています。

No.23016 - 2013/11/02(Sat) 04:22:31

☆ Re: 数2 / ＩＴ

参考書確認しました。
例題では、f(x)はxの多項式　でしたが、ご質問のあった解説は、f(x)は多項式に限らず一般の関数についても成り立つと読める記述になっていました。
不正確だと思います。

No.23022 - 2013/11/02(Sat) 18:51:51

★ 必要条件と十分条件の理解 / ひつよう

これまでp⇒qが真であるとき、pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件と機械的に暗記していただけで
十分条件と必要条件の言葉の意味についてあまり深く考えてこなかったのですが、直感的に以下のように理解していたので
間違ってるところを指摘してください。よろしくお願いします。
例えば「京都ならば日本」という命題があるとします。
この命題は真であるので、
?@京都は日本であるための十分条件
?A日本は京都であるための必要条件が言えますよね。

まず?@について
「京都」は「日本」であるという性質を持っているので(「京都」ときいて「日本」という人はいても「アメリカ」などという人はいません)、
日本であるためには(日本であることを言うためには)「京都」それ自体が「日本」という性質を持っているので「京都」を挙げることで十分。よって?@が成り立つ。
次に?Aについて
「京都」というのは、たとえば京都ならばアジア、京都ならば関西、京都ならば近畿などはそれぞれ真なので、
「日本」という性質以外にも「京都」は「アジア」、「関西」、「近畿」などの性質を持っています。
これを踏まえて?Aを見ると、
「京都」であることをいうためには、「日本」という性質が最低限必要。(「日本」以外にも「アジア」、「関西」、「近畿」などもあるので
その中で「日本」だけを挙げることは十分ではないので必要)
よって?Aが成り立つ。

No.23006 - 2013/11/01(Fri) 11:17:58

☆ Re: 必要条件と十分条件の理解 / ヨッシー

「地図上で指さした所は」とか「今立っている所が」とかの
主語を加えた方がイメージしやすいです。

?@については大体良いです。
?Aについては、「日本」の他に「アジア」「関西」「近畿」など、
全部「京都」が含まれているのを挙げるのはよくありません。
また、「十分でないので必要」というのもおかしいです。
十分でなく必要でもない場合もあります。
正しくは、「日本」であることすら言えないようなら、それは
「京都」ではない。よって、
＞「日本」という性質が最低限必要。
となります。

まとめると
「京都」さえ言えればそこは「日本」なので、「京都」は「日本」であるための十分条件。
「京都」が言えなくてもそこは「日本」かも知れないので、「京都」は「日本」であるための必要条件ではない。
「日本」が言えないようならそこは「京都」はないので「日本」は「京都」であるための必要条件。
「日本」が言えたとしてもそこが「京都」とは限らないので「日本」は「京都」であるための十分条件ではない。
となります。

No.23007 - 2013/11/01(Fri) 12:28:05

☆ Re: 必要条件と十分条件の理解 / 黄桃

何度も出てる話題で、内容的にもヨッシーさんと同じですが、個人的には、次のように考えています。

BはAであるための…とある場合、
「Aであるかそうでないかを知りたいのだが
今わかるのはBであるかどうか、だけだ」
という状況を想定しています。
つまり、Bであるか、Bでないか、は分かるのだが、
これから今知りたいこと、すなわち、Aであるか、Aでないか、がわかるだろうか、
ということを考えています。
この状況で BはAであるための必要条件、とか、十分条件、とかの用語を使います。

以上を踏まえて必要条件、十分条件とは何かを考えます。

Bがいえるなら、Aが結論できる、という意味でBは十分(Bがあれば十分)。
ただし、Bがいえないからといって、Aが言えないとは限らない。
＃それがあれば結論がでるが、ないからといって、ダメとは限らない
＃「あると便利」なものが十分条件。

Bでないなら絶対にAにならない、という意味でBは必要(Bは必要不可欠)。
ただし、Bだからといって、Aでないかもしれない。
＃なければ絶対にダメだが、あったからといってそれだけでは
＃安心できない「ないと困る」ものが必要条件。

質問の例だと次のようになります。

日本にいるかどうかを知りたい。
今分かっているのは京都にいるということ。
京都は日本の一部だから日本にいるといえる。
つまり、京都にいることは、日本にいるための十分条件。

京都にいるかどうかを知りたい。
今分かっているのは日本にいるということ。
日本にいないなら、絶対に京都にいることはない。
だから、日本にいることは、京都にいるための必要条件。

No.23018 - 2013/11/02(Sat) 08:26:28

☆ Re: 必要条件と十分条件の理解 / ひつよう

お二方本当にありがとうございます。
学校では教えてもらえなかった解説がいただけてすごく嬉しいです。
本当にわかりやすい回答ありがとうございました。

No.23019 - 2013/11/02(Sat) 14:18:36

★ 至急お願いします(o_ _)o / ころ

任意の実数A∈Rに対してlimit n→∞ (An) = a のとき有利数列 {An} , An ∈Ｑが存在することを示せ。

至急お願いしま

No.22973 - 2013/10/31(Thu) 07:41:11

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

問題文がかなり変ですが、もし問題が
「任意の実数aに対してねlim[n→∞]A[n]=aとなる有理数列{A[n]}が存在することを示せ。
ならば
A[n]=m/2^n ただし m/2^n＜a＜(m+1)/2^n
とすれば条件を満たしますね。

No.22974 - 2013/10/31(Thu) 08:44:14

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 問題文がかなり変ですが、もし問題が
> 「任意の実数aに対してねlim[n→∞]A[n]=aとなる有理数列{A[n]}が存在することを示せ。
> ならば
> A[n]=m/2^n ただし m/2^n＜a＜(m+1)/2^n
> とすれば条件を満たしますね。

証明してもらえると助かります(´･ω･`)

No.22976 - 2013/10/31(Thu) 10:21:26

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

何を証明するのですか？

No.22979 - 2013/10/31(Thu) 10:24:41

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 何を証明するのですか？

示すのが課題としてでていて、上記の内容を示さなければなりません。

No.22980 - 2013/10/31(Thu) 10:41:22

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

存在を示すだけなら、実例を挙げれば十分です。
実例のA[n]が条件を満たしているのは
|A[n]-a|＜1/2^n から明らかですが、
その自明なことを厳密に証明しなければならないのであれば、
ε－Ｎ論法で示せば良いと思います。

No.22981 - 2013/10/31(Thu) 10:46:03

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 存在を示すだけなら、実例を挙げれば十分です。
> 実例のA[n]が条件を満たしているのは
> |A[n]-a|＜1/2^n から明らかですが、
> その自明なことを厳密に証明しなければならないのであれば、
> ε－Ｎ論法で示せば良いと思います。

証明しなければなりません。
ε-N論法でといてみたいと思います。
出来たら、証明の方も書いて頂けると助かります。
お願いします(o_ _)o

No.22983 - 2013/10/31(Thu) 12:11:02

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

例えば任意のε＞0に対して1/ε＜N≦1/ε+1となるようにNをとれば、
n≧Nのとき|A[n]-a|＜1/2^n＜1/n≦1/N＜εとなりaに収束することが言えます。

# この問題のポイントはこの部分ではありませんので、
# ここだけ厳密にしてもあまり意味がない気がしますが…

No.22987 - 2013/10/31(Thu) 13:14:01

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 例えば任意のε＞0に対して1/ε＜N≦1/ε+1となるようにNをとれば、
> n≧Nのとき|A[n]-a|＜1/2^n＜1/n≦1/N＜εとなりaに収束することが言えます。
>
> # この問題のポイントはこの部分ではありませんので、
> # ここだけ厳密にしてもあまり意味がない気がしますが…

意味がないというのは。もう言うことですか。

No.22988 - 2013/10/31(Thu) 13:35:22

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

> 意味がないというのは。もう言うことですか。

？

No.22989 - 2013/10/31(Thu) 14:07:01

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / angel

横から失礼しますが、この問題は大学の講義か何かのものですよね？
そうすると、どんな前提知識があるのか ( どんな公理や原理、定理を使って良いか ) により、適切な回答は変わります。そこのところ、整理しないと、単なる丸投げになってしまいます。

はっきり言えば、高校レベルならtrivialな問題です。
実数を無限小数表現にして、1桁ずつ拾っていけば、明らかに元の実数に収束するのですから。
例えば、√2 であれば、
　a[1]=1, a[2]=1.4, a[3]=1.41, a[4]=1.414, …
と有限小数 ( 有理数 ) の数列を構成すれば、これは√2 に収束します。

しかし、何故trivialかというと、高校レベルでは、実数の連続性の話をぼかした上で、「既に分かっているもの」として扱っているからです。
恐らくこの問題では、実数の連続性の原理的な部分 ( アルキメデスの原理や、区間縮小法といったもの ) での説明が求められているものと思います。
なので、冒頭の話に戻りますが、どんな前提知識があるのか、その情報が大事なのです。
ということで、ちょっと整理しましょう。

No.23004 - 2013/10/31(Thu) 20:51:48

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

今一よく分かっていないのですが。

今のところ区間距離などの所をやっています！
それと、アルキメデスも出てきました。

No.23023 - 2013/11/02(Sat) 22:29:30

★ (No Subject) / なかがわ

関数y＝ax＾＋ｂ（0≦x≦２）の最大値が2　最小値が－４である、係り数a bの値を求めよ。

よろしくおねがいします

No.22970 - 2013/10/30(Wed) 23:38:47

☆ Re: / らすかる

「^」には「2乗」という意味はなく、「べき乗」という意味です。
「2乗」ならば「^2」、「3乗」ならば「^3」のように書きましょう。
それから、「係り数」というのは初めて見ましたが、
「係数」（けいすう）のことを「かかりすう」と言うこともあるのでしょうか。

y=ax^2+b はaが0だと条件を満たさないのでaは0以外の数
a＞0のとき、x=0で最小値-4、x=2で最大値2をとるから
y=ax^2-4に(x,y)=(2,2)を代入してaを求めると a=3/2
∴(a,b)=(3/2,-4)は解
a＜0のとき、x=0で最大値2、x=2で最小値-4をとるから
y=ax^2+2に(x,y)=(2,-4)を代入してaを求めると a=-3/2
∴(a,b)=(-3/2,2)は解
従って答えは (a,b)=(3/2,-4),(-3/2,2)

No.22972 - 2013/10/31(Thu) 02:24:14

☆ Re: / らすかる

x=0で最小値-4をとる場合
y=ax^2+bにx=0,y=-4を代入すればb=-4と決まります。
x=0で最大値2をとる場合
y=ax^2+bにx=0,y=2を代入すればb=2と決まります。
x=0のときy=bですから、x=0のときのyの値がそのままbの値になりますね。

No.22977 - 2013/10/31(Thu) 10:23:10

☆ Re: / なかがわ

らすかるさんありがとうございました。
あと一点a>O a<O の識別の判断は最小値－２　－４で判断すべきなのでしょうか？そこが理解ができません。
すいません。

No.22982 - 2013/10/31(Thu) 12:10:32

☆ Re: / なかがわ

ごめんなさい最大値２最小値－４です。

No.22984 - 2013/10/31(Thu) 12:11:41

☆ Re: / らすかる

a＞0のときはx=0で最小、a＜0のときはx=0で最大になる理由が
わからないということでしょうか？

No.22986 - 2013/10/31(Thu) 13:04:55

☆ Re: / ナカガワ

はい、そうです。

No.22990 - 2013/10/31(Thu) 15:13:08

☆ Re: / らすかる

x^2はx=0のときが最小であることはわかりますか？
これがわかるのであれば、a＞0ならば
ax^2もx=0のときが最小なので、
ax^2+bもx=0のときが最小となります。a＜0も同様。
y=ax^2+b のグラフを描けば一目瞭然です。

No.22996 - 2013/10/31(Thu) 16:07:00

☆ Re: / ナカガワ

図書くと理解できました。よろしくお願いします。

No.23002 - 2013/10/31(Thu) 19:11:49

☆ Re: / ナカガワ

タイプミスです。ありがとうございます。

No.23003 - 2013/10/31(Thu) 19:14:00

★ 2次関数の問題の場合分けについて / アクオス

こんばんは。
自分が使っている参考書の中で理解ができない説明があり、
出版社にも問い合わせてみて、回答をいただいたのですがそれでも理解が出来ませんでした。
もしよければ教えてください。

y=f(x)=(x-a)^2+2 (0≦x≦2)

の最小値を求める問題で

(1) a<0　　　の時　最小値f(0)=(0-a)^2+2=a^2+a
(2) 0≦a<2 の時　最小値f(a)=(a-a)^2+2=2　　
(3) 2≦a の時　最小値f(2)=(2-a)^2+2=a^2-4a+6

の解答の説明で

「ここで1つ疑問に思っている人がいると思う。
(1)a<0のとき最小値f(0)、
(2)0≦a<2のとき最小値f(a)、
(3)2≦aのとき最小値f(2)
の場合分けで等号が付いていたり
付かなかったりするのに何か意味があるのか?ってね。
これはハッキリ言ってどうでもいい。
(1)と(2)の境界のa=0のとき、最小値はf(0)といってもf(a)といってもいい。aは0なんだから。
同様に(2)と(3)の境界のa=2のとき、最小値をf(a)といってもf(2)といってもいい。aは2で同じだから。
だから場合分けするためにどちらかに等号はつけないといけないけれど、どちらに付けてもかまわない」

と書かれているのですが、この説明の意味が理解ができません。

自分の考えでは

a<0のとき　f(0)=(0-a)^2+2= a^2+2
a=0のとき　f(0)=(0-a)^2+2= a^2+2
0<a<2のとき　f(a)=(a-a)^2+2= 2

となり

それで　
a=0のとき a^2+2 でa<0の時と同じ最小値。
aは0なので、この式のaに0を入れると　最小値2　になり、これは0<a<2の時と同じ最小値。

だから
「aは0だから (a^2+2の式に0を入れると2になり0<a<2の最小値と同じだから) 最小値はf(0)といってもf(a)といってもいい」

なのでa=0の時の場合分けをa<0の時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。

同じように

0<a<2のとき　f(a)=(a-a)^2+2= 2
a=2のとき　 f(2)=(2-a)^2+2= a^2-4a+6
2<aのとき　　f(2)=(2-a)^2+2= a^2-4a+6

となり
a=2のとき　a^2-4a+6　で2<aの時と同じ最小値。
このaは2なのでこの式のaに2を入れると最小値2になり、これは　0<a<2の時と同じ最小値。

なので

「(a=2のとき)　aは2で、(a^2-4a+6の式のaに2を入れると最小値2になり0<a<2と) 同じだから。」

という説明がされていて

だからa=2の時の場合分けを2<aの時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。

ということかと考えていて

出版社にも同じ内容のもので問い合わせて、このような回答をいただきました。

「＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）＾２＋２
の０＜＝ｘ＜＝２における最小値を
ｍ＝ｇ（ａ）
とおきます。
（?@）ａ＜０のとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝ａ＾２＋２
（?A）０＜＝ａ＜２のとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝２
（?B）２＜＝ａのとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝（ａ－２）＾２＋２
となりますね。
よって、ｍ＝ｇ（ａ）のグラフをａｍ直交座標系上に描くと、
一続きの連続したグラフであることが分かります。
これから、上のａの３つの場合分けで、等号はどちらに付けてもＯＫなのですね。」

しかし自分の考えとどう違っているのか、わかりませんでした。

私の考え方は間違っているのでしょうか？もし間違っていれば
出来れば、私の考えの中のどこが、どのように間違えているかなど教えていただければ助かります。

長くなりましたがよろしくお願いします。

No.22964 - 2013/10/30(Wed) 21:16:42

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / ＩＴ

>a=2のとき　a^2-4a+6　で2<aの時と同じ最小値。
a=2のとき最小値は、2<aの時の最小値と「同じ式」で表されてますが「同じ値」ではありません。

>なのでa=0の時の場合分けをa<0の時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。
まず、「a=0の時の場合分けをa<0の時に入れる。」などという考え方（表現）は、間違っていると思います。
a=0の時の場合分けをa<0の時と併せて「a≦0のとき」として表記しても良いし、
a=0の時の場合分けを0<a<2のときと併せて「0≦a<2のとき」として表記しても良い。ということだと思います。

No.22965 - 2013/10/30(Wed) 21:43:08

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / angel

特にアクオスさんの考えが間違っているとは思いませんが、私ならば違う見方をします。
なお、参考書の記述や出版社の回答については、その真意はなんとも言えませんが、アクオスさんの考えに近いものと思います。

アクオスさんの考えを見ていると、「計算した結果がたまたまどちらのケースにも合致するから、どちらに分類しても良い」のように思えます。
それはそれでアリです。が、計算結果を見るまで「どちらに分類しても良い」と判断できないことになります。

私ならば次のように考えます。a=0の例で行くと、
　・頂点を跨がない範囲で、放物線のグラフのy座標の最小値は、その範囲でのグラフの両端の内小さい方
　　なので、最小値は f(0)
　・頂点を含む範囲において、(下に凸な)放物線のグラフのy座標の最小値は、頂点のy座標
　　なので、最小値は f(a)
このどちらでも説明ができるところです。
前者で説明するなら、a＜0 のケースと同じ話なので、まとめて「a≦0 において最小値は f(0)」となるでしょうし、
後者で説明するなら、0＜a＜2 のケースと同じ話なので、
「0≦a＜2 において最小値は f(a)」となります。
このような考え方であれば、結果を計算するまでもなく、「どちらのケースに分類しても良い」ということが分かります。

No.22966 - 2013/10/30(Wed) 22:32:35

☆ 補足１ / angel

参考書の記述や出版社の回答ですが、次のような意図があるかも知れません。
「aの値に応じて、最小値は『連続的に』変化するものだから、どちらのケースからアプローチしても同じ値になるはずだ」
この方針でいけば、a=0 の時の最小値は、a＜0 の延長上で考える ( で、まとめて a≦0 としてしまう ) やり方でも、0＜a＜2 の延長上 ( で、まとめて 0≦a＜2 としてしまう ) やり方でも良い、ということになります。
…実際、高校で出てくる関数は殆ど全てが連続関数なので、こういう方針でも答えは合ってしまうのですが、連続でない関数が出てくる場面でも通用するか、というとそうではないでしょうから、( もし出版社の真意がここにあるのなら ) 私は好きになれません。

No.22967 - 2013/10/30(Wed) 22:56:24

☆ 補足２ / angel

二次関数とは全く関係ありませんが、「計算したらたまたま他のケースと同じ式で表せるからまとめちゃった」的な場面を紹介します。

　Q: 数列 a[n] は、n≧1 に対して S[n]=a[1]+…+a[n]=n^2 を満たす。この数列の一般項を求めよ。
　A: a[n]=2n-1

この問題を解く場合、n=1 と n≧2 は分けて考えなければなりません。なぜならば、
　n=1 の場合、a[1]=S[1]
　n≧2 の場合、a[n]=S[n]-S[n-1]
と全然違う計算になるからです。
しかしながら今回の例では、たまたま計算式が統一できてしまうような結果となるため、最終的な解答は場合分けしない形にできます。
これがもし S[n]=n^2+1 だったりすると統一ができないため、場合分けを残したものが最終的な解答になります。

No.22969 - 2013/10/30(Wed) 23:05:21

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / アクオス

ITさん、angelさんありがとうございます。
理解することが出来ました。
また何かあればよろしくお願いします。

No.23001 - 2013/10/31(Thu) 18:09:46

★ 数?T / ゆぅ

xについての不等式と方程式
x/3+(4+x)/2>1…?@
4(2x-k)≧5k-2x…?A
5x^2+9kx-2k^2…?B
がある。ただし、kは0ではない定数とする。
(1)不等式?@を解け。
(2)不等式?Aを解け。また、方程式?Bを解け。
(3)不等式?@、?Aを共に満たす整数xが10個だけ存在するようなkの値を求めよ。
さらに、このとき、方程式?Bの2つの解をα、βとすると、
│α│+│β│のとり得る値の範囲を求めよ。

(3)が分かりません(>_<)
解説お願いします！

あと、お時間ありましたら、
(1)(2)の答え等も教えて下さいm(__)m

よろしくお願いします。

No.22953 - 2013/10/29(Tue) 21:50:37

☆ Re: 数?T / ヨッシー

?B は 5x^2+9kx-2k^2＝0 のことでしょうか？
だとすると、
　(5x－k)(x＋2k)＝０
より　ｘ＝k/5, -2k　ではあります。

また、問題の式が正しいとすると、
?@　ｘ＞-6/5　?A　ｘ≧0.9k
となり、?@?Aを共に満たす整数は常に無限に存在します。
よって、問題の式が間違っていると予想されます。

No.22955 - 2013/10/29(Tue) 23:49:01

☆ Re: 数?T / ゆぅ

ごめんなさいm(__)m
問題入力ミスしてました
?Bは5x^2+9kx-2k^2=0です

No.22958 - 2013/10/30(Wed) 05:43:20

☆ Re: 数?T / ヨッシー

?@または?Aに間違いはありませんか？

No.22959 - 2013/10/30(Wed) 05:58:28

☆ Re: 数?T / ゆぅ

…すみません
?Aの不等号の向きも逆でした

正しくは
4(2x-k)≦5k-2x…?A
です

No.22962 - 2013/10/30(Wed) 19:33:26

☆ Re: 数?T / ヨッシー

すると、
?@　ｘ＞-6/5　?A　ｘ≦0.9k
ですね。
「不等式?@、?Aを共に満たす整数xが10個だけ存在する」を考えると、
?@ を満たす整数は
　ｘ＝-1, 0, 1, 2,・・・であり、x=8 が小さい方から10個目の
整数となります。
すると　?A ｘ≦0.9k が、８を含んで９を含まない範囲となればいいことになります。つまり、
　8≦0.9k＜9
で、80/9≦ｋ＜10 が求める範囲となります。

?B の解はｘ＝k/5, -2k　であり、80/9≦ｋ＜10 の範囲では、
　k/5＞０、-2k＜０
なので、
　│α│+│β│＝k/5＋2k＝11k/5
これより、
　176/9≦11k/5＜22
つまり　
　176/9≦│α│+│β│＜22
となります。

No.22968 - 2013/10/30(Wed) 22:56:59

★ 数学的帰納法 / 加瀬

n個の実数a[1]、a[2]、・・・、a[n]が0<a[i]≦1(i=1,2,3,・・・,n)をみたす。このとき任意の2以上の整数nに対し、不等式
(A)a[1]＋a[2]＋a[3]＋・・・a[n]≦a[1]・a[2]・a[3]・・・a[n]＋(n-1)が成り立つことを数学的帰納法で示し、等号が成立する場合を明記せよ。
＜解＞
数学的帰納法で示す。
(i)n=2のとき
0<a[1]≦1、0<a[2]≦1より
a[2]≦a[1]・a[2]＋1
a[1]・a[2]-a[2]＋1
＝a[2](a[1]-1)＋1≧0
なのでn=2のとき(A)は成り立つ。
(ii)n=kのときa[1]＋・・・＋a[k]≦a[1]・a[2]・・・・a[k]＋(k-1)・・・?@が成り立つと仮定し、
【a[1]＋・・・＋a[k]＋a[k＋1]≦a[1]・a[2]・・・・a[k＋1]＋k】・・・?Aの結果が得られることを示す。
?@の両辺にa[k＋1]を足すと
a[1]＋・・・＋a[k]＋a[k＋1]≦a[1]・a[2]・・・・a[k]＋(k-1)＋a[k＋1]・・・?B
?Aの右辺と?Bの右辺の大小を比較すると
?Aの右辺≧?Bの右辺となるので(計算略)
?Aが成り立つ。
よってn=k＋1のときも(A)は成り立つ。
したがって～～示された。

No.22941 - 2013/10/29(Tue) 15:21:00

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

?A等号成立について

0<a[i]≦1(i=1.2.3.・・・.n)より、
(1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・)
よって
≪≪a[1]a[2]a[3]・・・a[n]＋1≧a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1]＋a[n](等号成立はa[1]=a[2]=・・・＝a[n-1]=1またはa[n]=1のとき)
・・・
a[1]a[2]＋1≧a[1]＋a[2](等号成立はa[1]=1またはa[2]=1のとき)≫≫
以上を辺々加えて整理すると、
a[1]a[2]a[3]・・・a[n]＋n-1≧a[1]＋a[2]＋・・・＋a[n]
問題の等号成立の条件は
≪≪　≫≫部分のすべての不等式において等号が成立する。
いま、あるkに対してa[k]≠1とすると
a[1]=a[2]=・・・=a[k-1]=1かつa[k＋1]=・・・=a[n]=1
すなわち、他の(n-1)個はすべて１に等しくなる。
したがって等号性が成立する条件は
a[1],a[2],・・・,a[n]のうち少なくともn-1個が1に等しい。

とあるのですが、数学的帰納法の証明は自分でできたのですが、等号が成立する場合を明記するところが解説をみても意味がわかりませんでした。
なぜ≪≪　≫≫部分の不等式を列挙するのか、0<a[i]≦1より、
(1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・)
というのがどうしてぱっとでてくるのか？
後半のn-1個のくだりも意味がわかりませんでした。
理解力がないのでだれかわかる方教えてください。よろしくお願いします。

※同じ質問を間違えて二つ立ててしまいました。本当にごめんなさい。

No.22943 - 2013/10/29(Tue) 15:25:09

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

結局のところこの問題のポイントは、
　0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1
です。
ここから、

　a[1]+a[2]≦a[1]a[2]+(2-1)　※A=a[1],B=a[2]に相当
　a[1]a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+1　※A=a[1]a[2],B=a[3]に相当
　→ a[1]+a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+(3-1)　※上2つの式を辺々足す
　a[1]a[2]a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+1　※A=a[1]a[2]a[3],B=a[4]に相当
　→ a[1]+a[2]+a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+(4-1)　※上2つの式を辺々足す
　…
　→ a[1]+a[2]+…+a[n-1]≦a[1]a[2]…a[n-1]+((n-1)-1)
　a[1]a[2]…a[n-1]+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+1　※A=a[1]a[2]…a[n-1],B=a[n]に相当
　→ a[1]+a[2]+…+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+(n-1)　※上2つの式を辺々足す

という内容を帰納法にしているのが今回の証明です。
これって、→ で始まる行を除いた
　a[1]+a[2]≦a[1]a[2]+(2-1)
　a[1]a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+1
　a[1]a[2]a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+1
　…
　a[1]a[2]…a[n-1]+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+1
を全て足し合わせているのと同じことなのですね。
なので、等号成立条件は、これらの不等式全てで等号が成立すること。
これが、
> なぜ≪≪　≫≫部分の不等式を列挙するのか
に対する答えです。

> (1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・) というのがどうしてぱっとでてくるのか？
元の A+B≦AB+1 の根拠である 0≦(1-A)(1-B) と、上にある「不等式全てを辺々足したもの」を意識しているからです。

ただ、正直なところを言えば、等号成立条件についても帰納法で書く方が分かり易いです。つまり、
　a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]a[2]…a[n]+(n-1) が成立する条件は、
　a[1]～a[n]の内、少なくともn-1個が1に等しいことである
の、帰納法による証明を書くと言うことです。
今度は、0≦(1-A)(1-B)⇔A+B≦AB+1 ではなく、0=(1-A)(1-B)⇔A+B=AB+1 から A=1orB=1 が基本になります。

No.22957 - 2013/10/30(Wed) 00:43:54

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

すみません。最後に補足なのですが
0＜A,B≦1はどこからきたのでしょうか？
お願いします。

No.23011 - 2013/11/01(Fri) 21:40:17

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

すみません。先ほどの質問は解決しました。
きになるのは最初に帰納法によって題意は示されましたが、
この証明の結果からどうして辺々を加えたものが帰納法によって示される結果になるのかということです。
　0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1がポイントとのことですがどうしたらこれを利用することに気付けるのかわかりません。よろしくお願いします。

No.23012 - 2013/11/01(Fri) 23:10:30

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

> この証明の結果からどうして辺々を加えたものが帰納法によって示される結果になるのかということです。

それが帰納法の特徴です。帰納法は、
　(1) n=1 の時を調べる
　(2) n=1 の時の結果に、n=1,2 の違いを加味して n=2 の時の結果を導く
　(3) n=2 の時の結果に、n=2,3 の違いを加味して n=3 の時の結果を導く
　…
　(k+1) n=k の時の結果に、n=k,k+1 の違いを加味して n=k+1 の時の結果を導く
　…
ということで、全ての自然数nに対する説明を行うものです。
※(2)以降のステップは、kという文字でまとめて行うため、実際は2ステップ分だけで済む

であれば、各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考えもできるです。
例えば、
　n=1の時の結果に n=1,2の違い、n=2,3の違い、n=3,4の違いを加味する
　→ n=4 の時の結果が導かれる
といった具合にです。
今回であれば、「不等式の辺々を全て足す」というのが相当します。

No.23020 - 2013/11/02(Sat) 15:32:19

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

> 0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1がポイントとのことですが
> どうしたらこれを利用することに気付けるのかわかりません。

帰納法の時には、nの値を増やした時の差分 ( 上で「違い」と言っているもの ) を見つけるのが重要です。
例えば、今回の問題での n=3,4 の違いを探す場合、
　n=3 … a[1]+a[2]+a[3]　　　≦a[1]a[2]a[3]　　+(3-1)
　n=4 … a[1]+a[2]+a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+(4-1)
見比べると、
　・左辺に +a[4] が追加されている
　・右辺の a[1]a[2]a[3] に ×a[4] が追加されている
　・右辺の定数項が +1 されている
ということで、a[1]a[2]a[3]=A, a[4]=B と置きかえると
　A+B≦AB+1
が成立してくれると都合が良さそう ( 証明に十分 ) となります。この構造は n=4 の時に関わらず常に同様であることも、幾つかnの値を試してみると気付くと思います。
※加えて、n=1 の時の不等式がそのまま A+B≦AB+1 の形をしているというのもある

しかも A+B≦AB+1 はちゃんと証明ができます。( もちろん A,B の値の範囲が限定されていることが前提ですが )
なので、やっぱり A+B≦AB+1 がキーだな、ということになります。

No.23021 - 2013/11/02(Sat) 15:52:08

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

angelさんすごくわかりやすい回答ありがとうございます。
「各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考え」というのは初めて知りました。
たとえば、　「n が正の整数のとき、1+2+3+···+n=n(n+1)/2 …成り立つことを証明せよ。」という問題があったとき、
n=1のとき左辺=1　右辺=1より成り立つ。
n=2のときも同様に両辺が3となり成り立つ。
n=3のときも同様に両辺が6となり成り立つ。
では、n=4のときの結果を導くためには？
ここで先ほど教えていただいた、「違い」の蓄積という考えで、n=1のときの結果にn=1,2の違い(左辺同士の差が2)
n＝2,3の違い(左辺同士の差が3)、n=3,4の違い(左辺同士の差が4)より
n=4のときの結果(両辺が10)が導かれる。
こういうことなんでしょうか？
何度も質問申し訳ありません。

No.23038 - 2013/11/05(Tue) 01:43:36

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

> 「各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考え」というのは初めて知りました。

私のような言い回しは初めて見るかもしれませんが、同じようなモノには、触れたことがあるはずですよ。
　S[1]=a[1]
　S[n]=S[n-1]+a[n]　( n≧2の場合 )
このS[n]は数列a[n]の和を表すものです。ここで出るnは、2以上の自然数を代表しているに過ぎませんから、
　S[1]=a[1]
　S[2]=S[1]+a[2]
　S[3]=S[2]+a[3]
　…
　S[k+1]=S[k]+a[k+1]
　…
をまとめたものになっていて、これはそのまま帰納法と同じ表現になっています。
( なので、これをS[n]の帰納的定義と言ったりします )

一方で、数列の和というのは、
　S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
ですが、n≧2の場合に見方を変えれば、S[1]=a[1]にそれぞれの差分a[2],a[3], …, a[n]を蓄積したもの、とも言えます。

こういったことを解答の中で直接的に説明することはないですが、自分の中でイメージを持っておけば、もっと楽に取り組めるものと思います。

No.23039 - 2013/11/05(Tue) 08:07:55

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

angelさん！！
何度も回答して頂いて本当にありがとうございました！
とてもわかりやすく、また一つ理解を深めることができました。ほんとうにありがとうございました！

No.23042 - 2013/11/05(Tue) 19:18:11

★ 中３ / 加瀬

f(x)＝Σ[k=1～100]|kx‐1|＝|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋‥‥＋|100x‐1|を最小にするxの値を求めよ。
・解き方
a[k]=kx-1とする。
(i)x>1のとき絶対値の中身は正なのでf(x)=5050x-100
(ii)x<1/100のとき絶対値の中身は負なのでf(x)=-5050x＋100
(iii)1/100≦x≦1のときf(x)は絶対値の中身が正である部分と負である部分があり、その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。
x-1≦0,2x-1≦0,3x-1≦0,・・・,mx-1≦0,(m＋1)x-1≧0,・・・、100x-1≧0であるとき、
1/(m＋1)≦x≦1/mが成り立つ。
このとき、f(x)=Σ[k=1~m](-a[k])＋Σ[k=m＋1~100](a[k])
={5050-m(m＋1)}x＋2m-100
傾きが正となるのはm=70のときで1/71≦x≦1/70
傾きが負となるのはm=71のときで1/72≦x≦1/71
以上より、傾きが負から正となる境目のx=1/71においてf(x)は最小となる。

とあるのですが、x<1/100の部分はf(x)=-5050x＋100、x>1の部分はf(x)=5050x-100で直線ですが、
1/100≦x≦1の部分は折れ線グラフになるんでしょうか？グラフがイメージできません。
また、「その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。」の部分について、
たとえばf(x)=|x-1|＋|2x-1|＋|3x-1|＋|4x-1|のとき、
境目となる絶対値の中身が3x-1なら、
x=1/3のときだとx-1、2x-1は負、3x-1は0、4x-1は正
x=1/3.5のときだとx-1、2x-1、3x-1は負、4x-1は正
となりますがx=1/3はたしかに0を境にして負から正に転じていますがx=1/3.5のときは3x-1が境目とは言えなくないですか？
「その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。」の一文の意味がよくわかりません。
その理屈だったら、x-1≦0,2x-1≦0,3x-1≦0,・・・(m-1)x-1≦0,mx-1≧0,(m＋1)x-1≧0,・・・、100x-1≧0でもmx-1は境目といえるので、どうして解答のようになるのかが釈然としません。
わかる方教えてください。よろしくお願いします。

No.22929 - 2013/10/29(Tue) 11:21:23

☆ Re: 中３ / らすかる

「その境目」とは「絶対値の中身が負である最後の項」のことですね。
なぜなら、Σ[k=1～m](-a[k]) としているからです。

No.22930 - 2013/10/29(Tue) 12:17:20

☆ Re: 中３ / 加瀬

ありがとうございます。
もう一つ質問なのですが、
考え方として、絶対値の中身が正のものと負のものとで相殺しあうことで最小値に近づきそうだなーと考えて、
f(x)=|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋・・・＋|mx-1|＋|(m＋1)x-1|＋・・・・・・|100x‐1|
において
|x-1|～|mx-1|までの絶対値の中身が負
|(m＋1)x-1|～|100x-1|までの絶対値の中身が正と最初はおおざっぱに考えました。mx-1と(m＋1)x-1に着目してすると
1/(m＋1)≦x≦1/mのときa[1]～a[m]まで減少、a[m＋1]～a[100]まで増加となります。
ここで疑問になったことがあるのですが
たとえばx=1/mのときはa[1]～a[m-1]までは確かに負ですがa[m]は0ですよね？
これをa[1]～a[m]まで減少と表現してもとくに問題はないと思うのですが大丈夫なんでしょうか？
わかるかたおしえてください。おねがいします。

No.22931 - 2013/10/29(Tue) 12:43:17

☆ Re: 中３ / らすかる

a[m]が0でもa[m-1]が正ならば
a[1]～a[m]まで減少
になりますね。

No.22932 - 2013/10/29(Tue) 13:37:47

☆ Re: 中３ / 加瀬

「a[m]が0でもa[m-1]が正」というのは
f(x)=|x-1|＋・・・＋|(m-1)x-1|＋|mx-1|＋・・・|100x-1|
で、(m-1)x-1が正になるということはx>1/(m-1)でないといけないので、このとき、a[m]は正なのでa[m]が0のときa[m-1]が正というのはありうるのでしょうか？

No.22940 - 2013/10/29(Tue) 15:00:05

☆ Re: 中３ / らすかる

> 1/(m＋1)≦x≦1/mのときa[1]～a[m]まで減少、a[m＋1]～a[100]まで増加となります。

この「a[1]～a[m]まで減少」は|a[k]|について言っているんですよね？
それと同じく、|a[m]|が0でも|a[m-1]|が正ということです。

No.22946 - 2013/10/29(Tue) 15:55:38

☆ Re: 中３ / 加瀬

ありがとうございました

No.23013 - 2013/11/01(Fri) 23:45:53