ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率 / ヒキニート

nは0以上の整数とする。xy平面上で、A君は時刻0に(0,0)を出発し、n秒後に点(x,y)にいるとき、n+1秒後に点(x+1,y)と(x,y+1)のいずれかにそれぞれ確率1/2で進み、B君は時刻0に点(7,3)を出発し、n 秒後に点(x,y)にいるとき、n+1秒後に点(x-1,y)と(x,y-1)のいずれかにそれぞれ1/2で進む。時刻nのときのAB間の直線距離をl(n)とおく。
(1)l(5)=2√2かつl(6)=2となる確率を求めよ。
(2)l(n)の最小値が2である確率を求めよ。

どなたかお願いします。

No.23677 - 2014/01/02(Thu) 03:30:41

☆ Re: 確率 / ヒキニート

A君B君の距離が近づいて2になり，∞に離れていく確率という意味だと思います。

たとえば、Ａが→→→↑でＢが←←←←なら４秒後の距離は、２で、その後Ａが→Ｂが←なら最小値は２。

No.23681 - 2014/01/02(Thu) 10:00:37

☆ Re: 確率 / ＩＴ

(1)はグラフを描いて考えるといいと思います。
n=5のときA,Bともに直線x+y=5上の格子点にあります。
A,Bがそれぞれの格子点にある確率は、順次経路の数を足して計算すればいいです。（パスカルの三角形方式）もちろんnCmを使っても計算できます。

(2)l(n)の最小値が2である　のは

l(5)≧2かつ(l(4)=2またはl(6)=2) の場合です。
このことを示すとともに、その確率を計算すればいいと思います。(1)が使えますね。

基本は,n秒後にAがx+y=n,Bがx+y=10-n上の格子点にあることです。
n=5のときのAの位置を(x[A],y[A]),Bの位置を(x[B],y[B])とすると
l(5)=2√2となるのは, x[A]=x[B]-2,y[A]=y[B]+2 またはx[A]=x[B]+2,y[A]=y[B]-2　のときで
その後、l(6)=2　となるのは、それぞれ×(1/2)^2の確率です。

No.23682 - 2014/01/02(Thu) 10:18:11

☆ Re: 確率 / ヒキニート

ありがとうございます！助かりました

ちなみに、ちゃんと途中式を書くとどういう感じになりますか？
よければ、書いて欲しいです

No.23684 - 2014/01/02(Thu) 10:39:58

☆ Re: 確率 / ヒキニート

学校の数学の課題のため、答えがありません......
自分で解いてたら、混乱してよくわからなくなりました( ^ω^ )手詰まりです
なので、完全答案が気になるので、できれば解答を簡略化したものでいいので書いて欲しいです。

多分どこかの大学の入試問題と思います

No.23686 - 2014/01/02(Thu) 11:07:54

☆ Re: 確率 / ヒキニート

解けました！ありがとうございます！
一応、念のために答えを確認できますか？

No.23694 - 2014/01/03(Fri) 19:15:10

★ 三角比、三角関数、三角形の面積の最大値 / ヒキニート

BC=2、DA=1、AB:CD=2:1の四角形ABCDが円に内接しているとき、△ABCの面積の最大値を求めよ。また、そのときのsin(∠BAD+∠ABC)の値を求めよ。

一応、答えは
△ABCの面積の最大値は8/3
そのとき、sin(∠BAD+∠ABC)=1 です。
余弦定理を使いましたが、うまくいきません。誰かお願いします。

No.23676 - 2014/01/02(Thu) 03:27:44

☆ Re: 三角比、三角関数、三角形の面積の最大値 / ヨッシー

∠ＡＢＣ＝θ、ＡＢ＝２ｔ，ＣＤ＝ｔとして、
ＡＣ^2 を△ＡＢＣ、△ＡＣＤにおける余弦定理で求めると、
　ＡＣ^2＝4t^2＋4－8tcosθ
　ＡＣ^2＝t^2＋1＋2tcosθ
これより、
　cosθ＝(3t^2+3)/10t ・・・(i)　
が得られます。同様に、∠ＢＡＤ＝φとすると
　cosφ＝(3t^2-3)/8t　・・・(ii) ←これは後半で使います
が得られます。
このとき、Ｓ＝2tsinθ の最大を求めます。
　Ｓ^2＝4t^2(1－cos^2θ)
に(i) を代入して整理すると、
　Ｓ^2＝(1/25){-9(t^2-41/9)^2 ＋ 1600/9}
となり、ｔ＝√41/3 のとき、Ｓ^2 は最大値 1600/(9・25)＝64/9
を持ちます。よって、Ｓの最大値は 8/3。
このとき、(i)(ii) より、
　cosθ＝5/√41、sinθ＝4/√41
　cosφ＝4/√41、sinφ＝5/√41
が得られ、
　sin(θ＋φ)＝(4/√41)^2＋(5/√41)^2＝１
となります。

No.23678 - 2014/01/02(Thu) 08:15:36

★ 三角比、三角関数、三角形の面積の最大値 / ヒキニート

No.23675 - 2014/01/02(Thu) 03:27:02

☆ Re: 三角比、三角関数、三角形の面積の最大値 / 青い空白い雲

∠ABC＝θ、AB=2ｘ、CD=ｘとすると
三角形ABCと三角形ACDのそれぞれについて
余弦定理より
AC^2=
AC^2=
これらを連立してcosθ＝
０＜θ＜πよりsinθ＞０であるから
sinθ＝

よって?僊BC=(1/2)(2x)*2sinθ
＝(1/5)√{-9(x^2-41/9)^2+(40/3)^2}
よってｘ＝√４１/3のとき最大値8/3

と出してみました。が、ｘの変域って実数全体じゃないですよね？ACもｘで表して、?僊BCで三角形の成立条件でｘの変域を求めないといけないんですかね。

sinの方は私もよくわかりませんでした

sinの値を求めよってのは分かりませんでした。

No.23688 - 2014/01/02(Thu) 22:17:29

☆ Re: 三角比、三角関数、三角形の面積の最大値 / X

横から失礼します。
青い空白い雲さんの方針に沿ってcosθをxで表すと
No.23678でヨッシーさんが計算されている通り
cosθ=(3/10)(x+1/x)
ここで
0＜θ＜π
から
-1＜cosθ＜1
∴-1＜(3/10)(x+1/x)＜1
x＞0に注意してこれを解くと
1/3＜x＜3 (A)
ということでx=(√41)/3は(A)に含まれるので
問題はないようです。

No.23691 - 2014/01/03(Fri) 04:08:20

★ (No Subject) / 京

あけましておめでとうございます。
今年もお世話になります。

aを正の定数とする。xyz空間において、球体x^2+y^２+ｚ^2≦a^2と円柱(x-a)^2+y^２≦a^2
の二つの共通部分の体積を求めよ

まず、z ＝tで固定して２変数にして断面積を考えました。
すると
x^2+y ^ 2＝4a ^ 2-t^2…?B
(x-a)^2+y^2＝a ^ 2…?C
となりました。
これを平面上で考えたとき、共有面積の求め方がわかりませんでした。
二つの円の交点はどうやって求めればよいでしょうか？？その交点から一応場合訳して考えると思うのですが…
また、二つの交点のうち一方をBとし、?CとX軸の正の方向との交点をDとしたとき、角BODをΘとおきましたが、扇形OBDの面積を求めるために、角ODBの角度はどう表現できますか？？？？

な何点も疑問点があり申し訳ありません！
どうか宜しくお願い致します…

No.23669 - 2014/01/01(Wed) 15:56:54

☆ Re: / らすかる

> x^2+y^2＝4a^2-t^2…?B

この式の右辺の「4」はどこから出てきたのですか？

それから

> その交点から一応場合訳して考えると思うのですが…

この文の「一応場合訳して」というのはどういう意味ですか？
何かの間違いのような気がするのですが、そうだとしても
何の間違いかわからず、意味がわかりません。

No.23670 - 2014/01/01(Wed) 16:04:47

☆ Re: / 京

大変申し訳ありませんん、

はじめの方は、
そもそもの式がx ^ 2+Y^２+ｚ^２≦4a ^ 2になります。

場合わけを、一応してみて、という意味合いです

ごめんなさい！

No.23672 - 2014/01/01(Wed) 16:45:19

☆ Re: / らすかる

二つの円の交点は

> x^2+y^2＝4a^2-t^2…?B
> (x-a)^2+y^2＝a^2…?C

?B－?C から
2ax-a^2=3a^2-t^2
∴x=(4a^2-t^2)/(2a)

y^2=(4a^2-t^2)-x^2
=(4a^2-t^2)-(4a^2-t^2)^2/(2a)^2
={(4a^2)(4a^2-t^2)-(4a^2-t^2)^2}/(4a^2)
=(4a^2-t^2){4a^2-(4a^2-t^2)}/(4a^2)
=(4a^2-t^2)t^2/(4a^2)

のようにすれば出ますね。

「一応場合訳して」は
「いちおうばあいやくして」と読んでいたので
意味がわかりませんでした。
「場合訳」が「場合分け」の間違いだったのですね。

No.23673 - 2014/01/01(Wed) 17:54:04

☆ Re: / 京

交点について
ありがとうございます
ところで、回答をもらいましたが回答では
0≦t≦√3aのとき
√3a≦t≦2aのとき
で場合わけしていました
この√3はどこからでてきたのでしょうか？？？

No.23732 - 2014/01/04(Sat) 21:23:30

☆ Re: / らすかる

それはその回答を書いた人に聞くのが筋です。
（ある人からもらった回答の疑問点を他の人に聞くのは失礼だと思います。）
場合分けは「まず場合分けしてから始める」ではなく
「場合分けをしないと計算できない（あるいはしにくい）」から
場合分けするものです。
よって場合分けしてあるということはその後の計算が違うはずですから、
その内容を理解すれば、なぜその値で場合分けしているかは
自動的にわかると思います。

No.23733 - 2014/01/05(Sun) 06:52:45

☆ Re: / 京

回答をもらったというのは、参考書の回答を配られもらったということです。
ですので、執筆者のかたには聞けません…
参考書の回答に√３として書いてあったのですが、なぜかわかりません。
そもそもその後の見定めつかないので…
すみません。

No.23738 - 2014/01/05(Sun) 17:04:36

☆ Re: / らすかる

「回答」をもらった（人に聞いて返答があった）のではなく
「解答」をもらった（解答が書いてあるものを入手した）のですね。
「回答」と「解答」は意味が違いますのできちんと使い分けましょう。

で、
> 0≦t≦√3aのとき
> √3a≦t≦2aのとき
> で場合わけしていました
だけではさっぱりわかりませんので、
解答全体を書いて下さい。

No.23740 - 2014/01/05(Sun) 18:10:01

☆ Re: / angel

> 回答をもらったというのは、参考書の回答を配られもらったということです。

それは「回答」ではなく「(模範)解答(例)」。
言葉は正確に使わないと、伝わるものも伝わらなくなります。

たかが言葉一つの問題と思われるかも知れませんが…
他に情報が無い以上、言葉の間違いが致命的に文章の意味を変えてしまうのです。
※質問・回答の遣り取りの問題に限らず、折角の解答が採点者に正しく伝わらなくて減点されるってことも気にした方が良いかと

No.23741 - 2014/01/05(Sun) 18:11:42

★ 3次方程式 / 青い空白い雲

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node7.htmlの上から20行目の
-y-z,-ωｙ－ω＾２ｚ、－ω＾２ｙ－ωｚの３つが同じになるというのが意味が分かりません。なぜ同じになるのか教えてください。

よろしくおねがいします。

参考）
a=((1+√５)/2)^(1/3)とおくと
ｙ＝aのとき-a-z,-ωa－ω＾２ｚ、－ω＾２a－ωｚ
ですが
y=aωのとき
-aω-z,-ω^2a－ω＾２ｚ、－a－ωｚ
となりｙの値次第でｘの値は変わってしまうと思うのです。。

よろしくおねがいします

No.23665 - 2013/12/31(Tue) 23:47:43

☆ Re: 3次方程式 / ＩＴ

> http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node7.htmlの上から20行目の
> -y-z,-ωｙ－ω＾２ｚ、－ω＾２ｙ－ωｚの３つが同じになるというのが意味が分かりません。なぜ同じになるのか教えてください。
「解の組み合わせとして同じになる」ということを言っているのだと思います。確かに少し表現が不正確ですね。
例えば　{1,ω,ω^2}={ω,ω^2,1}={ω^2,1,ω} みたいなことです。

それとy,zは-3yz=3,y^3+z^3=1を満たす複素数であり,yが変わればzも変わります。

直接、著者の南海先生に聞かれたほうが良いと思います。
下記掲示板に質問されると回答があると思いますよ。
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/

No.23667 - 2014/01/01(Wed) 00:23:06

☆ Re: 3次方程式 / 青い空白い雲

わかりました。解決はしませんでしたが、そちらで再度質問してみます。ありがとうございました。

No.23668 - 2014/01/01(Wed) 02:18:30

★ (No Subject) / 京

Xyz空間において、yｚ平面上の放物線ｚ＝y^2をｚ軸のまわりに回転してできる曲面と平面ｚ＝yで囲まれた立体をDとする
立体Dの体積を求めよ

このもんだいで、まずｚ＝k(k＞０)による切り口は円ができそと方程式は
X^2+Y^２＝k
ｚ＝k
とでき、そこからわからないのですが、どうやら
X^２+Y^２≦ｚ≦Y
とできるらしいのですが、なぜこれが導けるのかわかりません。教えてもらえないでしょうか。
更に以後の方針も教えていただけると助かります…

No.23657 - 2013/12/31(Tue) 14:40:11

☆ Re: / angel

「回転してできる曲面」自体が z=x^2+y^2 です。
それと平面z=yで囲まれた立体なので x^2+y^2≦z≦y となります。

その後、平面 z=t での断面を考えても良いですが、やや計算は面倒になります。
扇形から三角形を引いた面積を積分することになるので、扇形の中心角をθとでも置いて、t→θの置換積分をすることになるでしょう。

計算で楽をしたいなら、平面 z=y-t での断面を考えます。
断面積 S(t) に対して、体積 V=∫[0,1/4] S(t)・dt/√2 であることに注意。
なお、断面は ( 計算してみると分かりますが ) 円柱を斜めに切断した断面と同じ、つまり楕円になります。しかしながら楕円の形を調べる必要はありません。
円柱を斜めに切断した場合の断面の面積は、円柱の底面の面積×定数 ( 今回は45°の角度なので√2 ) となるからです。

No.23663 - 2013/12/31(Tue) 16:44:23

☆ Re: / 京

ｚ＝y-tは思い付かなそうですね難しいですとても…

ちなみに、パラメーターを減らしていくというのはいかがでしょうか？回転体積計算で意外とあまり見ないようなきもしますが…

No.23671 - 2014/01/01(Wed) 16:41:22

☆ Re: / angel

あけましておめでとうございます。
> ｚ＝y-tは思い付かなそうですね難しいですとても…
正しく式を構成するのは、まあtrivialとは言いませんが、この断面の取り方を思いつかないのは…
※考えてみたけど詰め切れなかったのなら、ともかくも。

なぜかというと、この問題の立体は、お椀のようなモノをナナメに刃物で削ぎ落としたような、その切れ端のような形状でして、その切断面を下にしてテーブル等に置いたとしたら、薄く盛り上がった山のように見えるモノだからです。
なので、その切断面に沿って ( 平行に ) スライスして積分を考えるのは、実はとても自然な発想。それが z=y-t です。

> ちなみに、パラメーターを減らしていくというのはいかがでしょうか？

…パラメータ t は減らしていっていませんよ。立体の境界 y=z を基準として、そこから段々 ( 積分のための断面が、平行を保ったまま ) 離れていく、その離れ具合を t で表しているので。
※ただし、t は平面間の距離そのものではないため、体積については∫Sdt ではなく ∫Sdt/√2 で計算します。

> 回転体積計算で意外とあまり見ないようなきもしますが…
…これ、回転体と考えているようでは、多分答えにたどり着けませんよ。確かに放物線を回転させた曲面がもとになっていますが、その切れ端が本命ですから…
例えば、チクワはほぼ円柱ですから回転体ですが、それを半分に半月切りにしたら、もはや回転体ではなくなります ( つまり回転体としての性質は計算に使えなくなります )。同じことです。

先ほどの「パラメータを減らす」もそうなのですが、妙な思い込みというか、固定観念があるように見受けられます。一度、自分の感覚というか、常識だと思っているモノを疑ってみる ( 確かな根拠のある考えか検証する ) と、良いと思います。

No.23674 - 2014/01/01(Wed) 20:29:32

★ 解析概論　Cauchy列が収束すること / たか

{a_n}はCauchy列であるとします．
すなわち，任意の正数ε>0に対して，ある自然数n_0があって，p>n_0,q>n_0ならば |a_p - a_q| < ε.
εを固定すると，それに応じてn_0が定まり，n>n_0について|a_n - a_(n_0+1)|<εが成り立つから，{a_n}は有界である．

いまn>n_0として，l_nをa_n, a_(n+1), ...の上限とする．
このとき，任意の q >= nについて l_n - a_q <= εが成り立つ．

等号が入ってない場合は，
上限の定義から，任意の正数δ>0についてある自然数i(>=n)が存在して， l_n - a_i < δ であることが言えるので，三角不等式から，
|l_n - a_q| <= |l_n - a_i| + |a_i - a_q| < ε+δ
ここでδが任意の正数であることから l_n - a_q < ε が成り立つ(はず)のですが．

l_n - a_q = ε が言えることがわかりません．どなたかご教授お願いします．

No.23648 - 2013/12/31(Tue) 05:21:03

☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / ＩＴ

No.23649 - 2013/12/31(Tue) 06:27:45

☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / ＩＴ

（追伸）
仮におっしゃるように　「 l_n - a_q <　εが成り立つ．」が正しかったとしても
「 l_n - a_q <= εが成り立つ．」と書いても正しい。です。「l_n - a_q <= ε」は「l_n - a_q <　εまたはl_n - a_q ＝　ε」ですから。

例えば「３＜４」も「３≦４」も真ですよね。

No.23650 - 2013/12/31(Tue) 06:38:43

☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / たか

回答ありがとうございます．
3<4も3<=4も真であること，理解しました．
勉強不足でいくらか分からないことがありました．

その，最後の行が間違いであるとは，
「任意のδ>0 について |l_n - a_q| < ε+δ ならば l_n - a_q < ε である」ということが成立しないということでしょうか．

l_n - a_q = εであることもあり得るというのは，l_n - a_q < ε+δであり，左辺は[0,ε+δ)の範囲にあるから，ε<ε+δよりεを取り得る，ということでしょうか．

よろしくおねがいします．

No.23660 - 2013/12/31(Tue) 15:52:28

☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / ＩＴ

> その，最後の行が間違いであるとは，
> 「任意のδ>0 について |l_n - a_q| < ε+δ ならば l_n - a_q < ε である」ということが成立しないということでしょうか．
そうですね。簡単のため |l_n - a_q|=a,ε= 1　とすると
「任意のδ>0 について a < １+δ」ならば「a < １」である。
になります。
ところが　a=１のとき
「任意のδ>0 について１＝a < １+δ」ですが「a < １」ではないですね。

No.23661 - 2013/12/31(Tue) 16:09:33

☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / たか

ありがとうございます．成り立たない説明，理解しました．

では，等号を含めた不等式に置き換えれば，
「任意のδ>0について|l_n - a_q|<ε+δならばl_n-a_q<=ε」
は成り立つということですよね．

No.23662 - 2013/12/31(Tue) 16:29:52

★ (No Subject) / 京

いつもお世話になっております。
受験で以下の問題をどうにかして解けるようにしたいのでご尽力ください…

a,bを正の実数とする。x,y,z空間内の二点A(a,0,0)B(0,b,1)を通る直線をlとし、直線lをｚ軸のまわりに一回転して得られる曲面をMとする

曲面Mと二つの平面ｚ＝０とｚ＝１で囲まれた立体のた体積をもとめよ
だん断面積を求め、それを回転体を求める公式に代入
というやり方をとりたくて、ｚ＝tで切るとすると断面積はこの場合線分になって、公式に適用すると
∫[tが０から１]π×線分の二乗
という感じで、考え方は誤っていますか？？答えを見ると、少し考え方が違うようで、線分を二乗してπたかけた円が断面積にあたるので、それを積分、という考え方でした。
式自体は全くわたしのと同じだったのですが、わたしの考え方では誤っていて、たまたま式が同じになっただけでしょうか？？
とても困っています…
どうか教えてください…お願いいたします！

No.23646 - 2013/12/31(Tue) 01:36:56

☆ Re: / らすかる

> ｚ＝tで切るとすると断面積はこの場合線分になって、

「断面積が線分になる」は意味が通じません。
線分（の長さ）を積分すると面積にしかなりません。
立体の体積ですから、面積を積分しなければいけません。

No.23647 - 2013/12/31(Tue) 01:56:54

☆ Re: / ヨッシー

>公式に適用すると
の「公式」とはどんな公式ですか？

No.23651 - 2013/12/31(Tue) 07:26:56

☆ Re: / angel

> 式自体は全くわたしのと同じだったのですが、わたしの考え方では誤っていて、たまたま式が同じになっただけでしょうか？？

それは何とも言えませんが、少なくともその文章では通じません。言葉を間違えているだけなら、まあ、考えは合っているのでしょうが…。

以下、こう書くなら意味が通じるでしょう。
--
> だん断面積を求め、それを回転体を求める公式に代入
( z軸を軸と定め、軸に垂直な断面に対する ) 断面積を求め、軸に沿って積分することで体積を求める。( つまり V=∫Sdz )

> ｚ＝tで切るとすると断面積はこの場合線分になって、
(平面) z=t で切った時の断面は、この場合円であり、その半径は z=tと直線lの交点・z軸の「距離」として求まる。( 断面積は π・半径^2 )

> ∫[tが０から１]π×線分の二乗
V=∫[0,1]π・(上述の「距離」)^2・dt

No.23652 - 2013/12/31(Tue) 08:48:16

☆ Re: / 京

説明がうまくできずごめんなさい。
線分を公式に適用すると、とは
公式とは、v＝∫πy^2dxのX軸回転の公式のことだったんですが、今気づきましたがｚ軸回転なのでこれにはそもそも適用できないのでしょうか？？

No.23654 - 2013/12/31(Tue) 12:16:05

☆ Re: / angel

> v＝∫πy^2dxのX軸回転の公式
仰ることは分かりましたが、何かを「公式」と言って、他人に伝わるかは保証はないと思った方が良いです。
実際、私はそれを「公式」だと思っていませんし。

その「公式」は、あくまで x軸に沿った断面積の積分 V=∫Sdx と、断面積がたまたま円になっていて S=πy^2 という状況の組み合わせで V=∫πy^2・dx になっている、と分解して捉えています。

その公式の状況は、回転させる曲線も回転軸も同じxy平面上です ( なのでどちらかというと板上の図形を回転させるようなもの )。今回のように軸とねじれの位置にある直線を回転させるのとは大分違います。
なので、「公式」として考えるなら、状況が違いすぎて適用はできません。

しかしながら、断面積とその積分とに分けて考えるのであれば、結局は計算する内容は大差がなく、同じ形が適用できることが分かります。
下手に覚える公式を増やすのは、いつどの公式を使えば良いか、かえって迷いを産むというマイナス面が強くなるだろう、というのが私の考えです。
※まあ私は記憶力が悪いから、というのもありますが…

No.23655 - 2013/12/31(Tue) 13:13:18

☆ Re: / 京

やっと理解できました…本当にありがとうございます。

No.23658 - 2013/12/31(Tue) 15:04:22

★ 積分の謎 / 心

インテグラル（不定積分）ってマイナス無限大からプラス無限大までの積分って意味ですよね？
だったら∫(1/x)dxってありえなくないですか？
x=0で不連続ですよね・・

今年の富山大学の問題で(g(x)/x)'=-2f(k)/x^2
の両辺を積分する際にx=0で不連続なのでx>0,x<0の別々に積分する操作が出てきたので、ふと気になりました

No.23640 - 2013/12/30(Mon) 22:02:25

☆ Re: 積分の謎 / angel

> マイナス無限大からプラス無限大までの積分って意味ですよね？
…違いますよ? どこから出て来た情報です? それ。
「無限大まで」の積分だと、例えば ∫[0,+∞]f(x)dx とかありますが、これは、
　∫[0,+∞]f(x)dx = lim[a→+∞] ∫[0,a]f(x)dx
という極限のことですね。不定積分とは別物です。
※多分、高校の範囲外

F'(x)=f(x) という関係がある時に ∫f(x)dx = F(x) と f(x) から F(x) を求める操作を不定積分と言っています。
で、d(log|x|)/dx = 1/x ですから ∫(1/x)dx=log|x|+C となります。

No.23642 - 2013/12/30(Mon) 22:27:51

☆ Re: 積分の謎 / 心

回答ありがとうございます

では(g(x)/x)'=-2f(k)/x^2・・?@
に∫をかぶせるときはx＜０とｘ＞０にわけて
g(x)/x=2f(k)/x+c1(x<0)
g(x)/x=2f(k)/x+c2(x>0)
としなければならないのはなぜですか？

ちなみに?@は恒等式です。f(x),g(x)はすべてのxで微分可能、ｋは定数です

No.23653 - 2013/12/31(Tue) 10:22:22

☆ Re: 積分の謎 / angel

> では(g(x)/x)'=-2f(k)/x^2・・?@
> に∫をかぶせるときはx＜０とｘ＞０にわけて
> g(x)/x=2f(k)/x+c1(x<0)
> g(x)/x=2f(k)/x+c2(x>0)
> としなければならないのはなぜですか？

それこそ、
> x=0で不連続ですよね・・
が理由です。
先ほど ∫(1/x)dx = log|x|+C という例を挙げました。
つまり、F'(x)=1/x の時 F(x)=log|x|+C ということですが、
　x＞0 の時 F(x)=logx+c1
　x＜0 の時 F(x)=log(-x)+c2
という F でも F'(x)=1/x を満たす訳です。x=0 で不連続なので、x＞0,x＜0 の部分の2個のパーツが上下にずれていても問題がないのです。
※通常はこんな場合分けをわざわざする場面が出てこないのですが…

これがもし F'(x)=e^x のように全域で連続な状況であれば、

　x＞0 で F(x)=e^x+c1, x≦0 で F(x)=e^x+c2　…ダメな例

こんなことをしたら、元々出てきている関数が連続であるにも関わらず、不連続な点ができてしまってダメな訳です。

No.23656 - 2013/12/31(Tue) 13:27:23

☆ Re: 積分の謎 / 心

解答ありがとうございます

富山大の問題ではg(x)=f(k-x)+f(k+x)と与えられており
C1=C2=0と出てきますからe^xの例でもC1=C2で別に問題はないと思いますが

等式や不等式などに積分をかぶせる際、どういうケースだと不連続点を気にしなければならないのかが分かりません。

y=1/xの積分だと本来ｘ＝０の不連続点があって場合わけが必要だが公式としてlogｌｘｌ+Cと出来るので場合わけの必要がないというわけですね。

No.23659 - 2013/12/31(Tue) 15:08:16

☆ Re: 積分の謎 / angel

> e^xの例でもC1=C2で別に問題はないと思いますが
>> x＞0 で F(x)=e^x+c1, x≦0 で F(x)=e^x+c2　…ダメな例
このダメな例は c1≠c2 という大多数の場合も含めて、「一般のc1,c2の組み合わせ」についてのお話ですよ。
※もちろんc1=c2 という一部のケースに限っては問題ないですが。

> y=1/xの積分だと本来ｘ＝０の不連続点があって場合わけが必要だが公式としてlogｌｘｌ+Cと出来るので場合わけの必要がないというわけですね。

違います。
「必要がない」かどうかは公式が定めているわけではありません。
不定積分をどう使うかを考えた時、連続なひとかたまりの範囲で考えるのが、まあ一般的です。そのひとかたまりの中では場合分けは発生しませんから、公式としても場合分けなんかしないのです。
※場合分けしていたら公式としてシンプルになりませんし

場合分けが必要かどうかは、あくまで公式を使う側が状況に応じて判断するものです。

> どういうケースだと不連続点を気にしなければならないのかが分かりません。

大抵の場合は気にしなければならない場面はないように思いますが…
※少なくとも私は見たことがないし、そんな細かい所を気にしてそもそも役に立つとも思えないし。

今回の問題も恐らく気にする必要はないと思いますよ。
なぜならば、最終的に g(x) の形を決定する時に g(x) が全域で連続ってことで場合分けを考える意味が無くなるでしょうから。
その場合分けをしていたのは、何かの参考書の解説で、でしょうか?

No.23666 - 2014/01/01(Wed) 00:10:11

★ (No Subject) / あい

3直線 x+2y=5、2x+y=7 、y-x=1 によって作られた三角形の面積の求め方を教えてください。
できればグラフもつかって教えていただきたいです。

自分でやってみたのですがなかなか。。
直線を3つ書けばいいのでしょうか？
そこからの面積の求め方もさっぱりです。
解答がなくて教科書見てもわかりませんでした。

どなたかよろしくお願いします。

No.23634 - 2013/12/30(Mon) 14:19:50

☆ Re: / angel

とりあえず、大雑把で良いのでグラフを描いてみないと、直線同士の位置関係が分からないから何ともならないでしょうね。
それと、直線同士の交点 ( 3点 ) も計算しないと、先に進めないでしょう。

今回の問題の場合は添付の図のようになります。
…交点の座標が全部整数で分かりやすいため、点の座標は特に記していませんが。
後は分かり易く行くなら、色のついた長方形 ( 正方形 ) から隅の三角形を差っ引けば、答えが 3/2 と出るはずです。

No.23636 - 2013/12/30(Mon) 14:44:56

☆ Re: / あい

とてもわかりやすかったです！！
正方形からひくやり方でやってみてできました！
ありがとうございました！

No.23637 - 2013/12/30(Mon) 15:31:20

★ 2次不等式です。 / 高

2次不等式 ax^2+bx+1≧0 の解が、-3≦x≦7 のとき、a、bを求めよ

という問題です。

途中式とわかりやすく説明もお願いします。

No.23629 - 2013/12/30(Mon) 11:20:55

☆ Re: 2次不等式です。 / angel

2次不等式 a(x-α)(x-β)≧0　( α＜β ) があるとき、a＜0 であれば α≦x≦β が解となります。
なぜならば、(x-α)(x-β)≦0 と同値だから。

逆に言えば、α≦x≦βが解と分かっている二次不等式で、x^2の係数が a ( a＜0 ) のものは a(x-α)(x-β)≧0 になります。
※なお a＞0 であれば a(x-α)(x-β)≧0 は x≦α,x≧β が解になります。

ということで、今回の問題に関しては、
　a＜0
　ax^2+bx+1 = a(x+3)(x-7) が恒等式
後は恒等式の係数比較により a=-1/21, b=4/21 となり、a＜0 を満たしているためこれが答えになります。

余談ですが、もし「ax^2+bx+1≦0 の解が -3≦x≦7」だったならば、意地の悪い話ながら、条件を満たすa,bは存在せず「解なし」となります。

No.23630 - 2013/12/30(Mon) 11:57:34

☆ Re: 2次不等式です。 / 高

angel様

解説感謝します。
すっきりしました。
数学が苦手なので冬休みで挽回したいところです…
ありがとうございました！

No.23632 - 2013/12/30(Mon) 13:08:16

★ またまたベクトルです・・・新潟大入試問題です / 高二

平行四辺形ABCDにおいて、4辺AB,BC,CD,DA上にそれぞれ点E,F,G,Hを、HF//AB,
EG//BCとなるようにとり、2直線EFとACの交点をM,2直線HGとACの交点をNとする。(AB) ⃗=a ⃗(AE) ⃗,=pa ⃗,(AD) ⃗=b ⃗,(AH) ⃗=qb ⃗とおくとき、1/2＜p<1, 1/2＜q<1,であるとして、次の問いに答えよ。
（1）(EF) ⃗,(HG) ⃗をa ⃗とb ⃗で表せ。
（2）(AM) ⃗=(AE) ⃗+s(EF) ⃗, (AN) ⃗=(AH) ⃗+t(HG) ⃗とするとき、s,tをpとqで表せ
（3）2点M,Nは一致することを示せ。

もう涙目です・・・。やさしく解法をお願いいたします。

No.23627 - 2013/12/30(Mon) 11:17:48

☆ Re: またまたベクトルです・・・新潟大入試問題です / ヨッシー

(1)
ＥＦ＝ＥＢ＋ＢＦ
　　＝(1-p)ａ＋qｂ
ＨＧ＝ＨＤ＋ＤＧ
　　＝(1-q)ｂ＋pａ

(2)
ＡＭ＝ＡＥ＋sＥＦ
　　＝pａ＋s{(1-p)ａ＋qｂ}
　　＝{p＋s(1-p)}ａ＋sqｂ
これがＡＣ＝ａ＋ｂと平行なので、
p＋s(1-p)＝sq　これより　ｓ＝ｐ/(ｐ＋ｑ－１)
同様に、ｔ＝ｑ/(ｐ＋ｑ－１)

(3)
(2) の結果より、
ＡＭ＝ＡＮ＝(ａ＋ｂ)pq／(p+q-1)
が示せるので、ＭとＮは一致します。

No.23639 - 2013/12/30(Mon) 20:56:53

★ 東海大入試問題ベクトルです / 高二

三角形ABCの内部に4(AP) ⃗+3(BP) ⃗+2(CP) ⃗=0 ⃗を満たす点Pがある。
（1）(AP) ⃗=（　　ア　　）(AB) ⃗+（　　イ　　）(AC) ⃗となるから,APを延長した直線とBCとの交点をDとすると,AP：PD=（　　ウ　　）：（　　エ　　）である。
（2）△ABCと△APBの面積をそれぞれS_1, S_2とすると、S_1,： S_2=（　オ　）：（　カ　）である。
（3）△ABCの重心をGとする。(AE) ⃗=k(AP) ⃗とするときEGとABが平行になるのはk=（　キ　）のときで、このとき△ABCの面積は△AEGの面積の（　ク　）倍になる。

ベクトルでかなり苦戦しています・・・・。それ以前に数学が苦手です・・・。どなたか解法お願いいたします。

No.23626 - 2013/12/30(Mon) 11:16:13

☆ Re: 東海大入試問題ベクトルです / ヨッシー

(1)
No.23617 と同じ考えで行くと、
　ＡＰ＝(3/9)ＡＢ＋(2/9)ＡＣ
これを 9/5 倍した
　(3/5)ＡＢ＋(2/5)ＡＣ
がＡＤであるので、ＡＰ：ＡＤ＝５：９
よって、ＡＰ：ＰＤ＝５：４

(2)
△ＡＢＤは△ＡＢＣの2/5倍であり、△ＡＰＢは△ＡＢＤの
5/9倍なので、△ＡＰＢは△ＡＢＣの 2/5×5/9＝2/9倍
よって、Ｓ１：Ｓ２＝９：２

(3)
ＡＥ＝ｋＡＰ＝(k/3)ＡＢ＋(2k/9)ＡＣ
ＡＧ＝(1/3)ＡＢ＋(1/3)ＡＣ
より
　ＥＧ＝ＡＧ－ＡＥ
　　＝(k/3－1/3)ＡＢ＋(2k/9－1/3)ＡＣ
これがＡＢと平行になるには、2k/9－1/3＝０
よって、ｋ＝3/2

すると、図において、ＢＣの中点をＭとすると、
　ＢＤ：ＤＭ：ＭＣ＝４：１：５
　ＡＥ：ＥＤ＝５：１
　ＡＧ：ＧＭ＝２：１
△ＡＤＭは△ＡＢＣの 1/10 倍。
△ＡＥＧは△ＡＤＭの 5/6×2/3＝5/9(倍)
よって、△ＡＥＧは△ＡＢＣの 1/10×5/9＝1/18(倍)
答え　１８倍

No.23638 - 2013/12/30(Mon) 17:52:30

☆ Re: 東海大入試問題ベクトルです / 高二

ヨッシー様。ほんとうにご面倒おかけいたします。
頂いた解説でもう一度チャレンジしてみます。<(_ _)>

No.23644 - 2013/12/31(Tue) 00:04:15

★ 03.関西学院大学問題 / 高二

三角形ＯＡＢにおいて、辺ＯＡを1：ｓ（ｓ＞0）に内分する点をＰ、辺ＯＢを1：ｔ（ｔ＞0）に内分する点をＱとする。線分ＢＰとＡＱの交点をＲとする。

（1）(OR) ⃗をa ⃗=(OA) ⃗、ｂ ⃗=(OB) ⃗、s,tを用いて表せ
(2) 線分ORが∠AOBを二等分するとき、s:tを|a⃗|、|b⃗| を用いて表せ

解法わかる方、お助けください。

No.23625 - 2013/12/30(Mon) 10:17:53

☆ Re: 03.関西学院大学問題 / angel

ベクトルは、まあ、図形的な性質を利用することもできるけれど、淡々と計算しても解けるし…。得意な方でアプローチしてみては。
※淡々と計算する方は、式さえ立てれば後は悩む必要がないのですが、図形的な性質を利用できれば計算はラクできるので、どちらが良いとも一概には言えない所

以下、ベクトルは→を省略して、ａとかｂとかのアルファベットで表します。
ベクトル OP,OQ,OR についてはｐ,ｑ,ｒです。

(1)
・P: OAを1:sに内分する点 ⇒ ｐ=1/(1+s)・ａ, ａ=(1+s)ｐ
・Q: OBを1:tに内分する点 ⇒ ｑ=1/(1+t)・ｂ, ｂ=(1+t)ｑ
今、ｒ=xａ+yｂと置くと、
　ｒ=xａ+yｂ=(1+s)xｐ+yｂ
　ｒ=xａ+yｂ=xａ+(1+t)yｑ
Rは直線PB上にあるため (1+s)x+y=1　…(i)
同様に直線AQ上にもあるため x+(1+t)y=1　…(ii)
このx,yの連立1次方程式を解いて、x=t/(st+s+t), y=s/(st+s+t)
※xについては (i)×(1+t)-(ii)から、yについては(ii)×(1+s)-(i)から計算できます
よって、ｒ=t/(st+s+t)・ａ+s/(st+s+t)・ｂ

(2)
内積ａｒ=|ａ||ｒ|cos∠ROA, ｂｒ=|ｂ||ｒ|cos∠ROB に対してORが∠AOBを二等分するとき、∠ROA=∠ROBであるため
　|ｂ|ａｒ=|ａ|ｂｒ
両辺を平方して
　(ｂｂ)(ａｒ)^2 = (ａａ)(ｂｒ)^2　　※一般に |ｘ|^2=ｘｘ
すなわち、(ｂｂ)(ａｒ)^2 - (ａａ)(ｂｒ)^2 = 0
ｒ=t/(st+s+t)・ａ+s/(st+s+t)・ｂより
(左辺)・(st+s+t)^2
= (ｂｂ)(ａ(tａ+sｂ))^2 - (ａａ)(ｂ(tａ+sｂ))^2
= (ｂｂ)(tａａ+sａｂ)^2 - (ａａ)(tａｂ+sｂｂ)^2
= (ｂｂ)( t^2・(ａａ)^2 + 2st(ａａ)(ａｂ)+s^2・(ａｂ)^2 )
　　- (ａａ)( t^2・(ａｂ)^2 + 2st(ａｂ)(ｂｂ) +s^2・(ｂｂ)^2 )
= t^2・( (ａａ)^2・(ｂｂ)-(ａａ)(ａｂ)^2 ) - s^2・( (ａａ)(ｂｂ)^2 - (ａｂ)^2・(ｂｂ) )
= ( (ａａ)(ｂｂ)-(ａｂ)^2 )( t^2・(ａａ) - s^2・(ｂｂ) )
= ( (ａａ)(ｂｂ)-(ａｂ)^2 )( (t|ａ|)^2 - (s|ｂ|)^2 )

ａ,ｂは平行ではないため ( (ａａ)(ｂｂ)-(ａｂ)^2 )≠0
よって、(t|ａ|)^2 - (s|ｂ|)^2 = 0
s,t,|ａ|,|ｂ| とも正であるため t|ａ| = s|ｂ|
ゆえに s:t = |ａ|:|ｂ|

No.23633 - 2013/12/30(Mon) 14:02:19

☆ Re: 03.関西学院大学問題 / angel

続いては図形的な性質を使った場合。適当に図を描いて照らし合わせてみてください。
(1)
メネラウスの定理により
　OQ/QB・BR/RP・PA/AO = 1　　※O-Q-B-R-P-A-O のシリトリ版
OQ/QB = 1/t, PA/AO = s/(1+s) より BR/RP = t(1+s)/s
すなわち BR:RP=t(1+s):s　…☆( (2)でも使います )
ゆえに
ｒ=RP/(BR+RP)・ｂ+BR/(BR+RP)・ｐ
　= s/( t(1+s)+s )・ｂ + t(1+s)/( t(1+s)+s )・1/(1+s)・ａ
　= t/(st+s+t)・ａ+s/(st+s+t)・ｂ

(2)
ORが∠AOBを二等分するとき、BR:RP=OB:OP=|ｂ|:|ｐ|
一方 (1)の☆より BR:RP=t(1+s):s
よって、
　t(1+s):s = |ｂ|:|ｐ|
　t(1+s):s = |ｂ|:1/(1+s)・|ａ|
　t:s = |ｂ|:|ａ|
ゆえに s:t=|ａ|:|ｂ|

※比を整理する所が分かりにくければ、
　t(1+s):s = |ｂ|:|ｐ|
　⇔ t(1+s)|ｐ|=s|ｂ|
　⇔ …
　⇔ t|ａ|=s|ｂ|
　としても良いでしょう。

No.23635 - 2013/12/30(Mon) 14:28:53

★ 防衛大入試問題 / 高二

ベクトルa ⃗＝（11、23）、ｂ ⃗＝（－2、－3）に対して、絶対値|a ⃗+⃗(ｔｂ)|を最小にするtの値を求めよ。
解法お願いします。
答えはｔ＝7です。

No.23622 - 2013/12/29(Sun) 23:52:46

☆ Re: 防衛大入試問題 / ＩＴ

(解法1) tについての2次関数をつくり平方完成
|a ⃗+⃗(ｔｂ)|^2=|a|^2+2t(a・b)+(t^2)|b|^2
=(|b|^2)[t^2+{2(a・b)/|b|^2}t]+|a|^2
=(|b|^2){t+(a・b)/|b|^2}^2-{(a・b)^2}/|b|^2+|a|^2
これが最小となるのはt=-(a・b)/|b|^2=91/13=7 のとき
※途中→は省略　

（解法2）ｔについて微分し増減を調べる
f(t)=|a ⃗+⃗(ｔｂ)|^2 とおくと
f(t)=途中省略=(11-2t)^2+(23-3t)^2 …(1)
f'(t)=4(2t-11)+6(3t-23)=26(t-7)
増減表作成：　t=7 のとき　f(t)は最小となる。
※解法1の途中で微分法を使ってもできます。

（解法3）図を描くと分かるように　ｂ ⃗とa ⃗+⃗(ｔｂ)が直交するとき　|a ⃗+⃗(ｔｂ)|は最小。

No.23623 - 2013/12/30(Mon) 00:45:04

★ ベクトルの問題の解法をお願いいたします / 春日　健佑

kを正の実数とする。点Pは△ABCの内部にあり、k(AP) ⃗+5(BP) ⃗+3(CP) ⃗=0 ⃗を満たしている。また、辺BCを3：5に内分する点をDとする。
（1）(AP) ⃗を(AB) ⃗、(AC) ⃗、ｋを用いて表せ。
（2）3点Ａ、Ｐ、Ｄは一直線上にあることを示せ
（3）△ＡＢＰの面積が△ＣＤＰの面積の6/5倍に等しいとき、ｋの値を求めよ。

ワードからコピペでちょっと数式がわかりずらいかもしれません・・・。基礎から丁寧に教えていただけると助かります。

No.23617 - 2013/12/29(Sun) 20:06:15

☆ Re: ベクトルの問題の解法をお願いいたします / ヨッシー

□に見えるのは、ベクトルを表す何某かの文字と思われますが、
以下では省略します。

(1)
ｋＡＰ＋５ＢＰ＋３ＣＰ＝０　を移項して、
　ｋＡＰ＝－５ＢＰ－３ＣＰ
ＢＰ＝ＡＰ－ＡＢ、ＣＰ＝ＡＰ－ＡＣ　を代入して、
　ｋＡＰ＝－５(ＡＰ－ＡＢ)－３(ＡＰ－ＡＣ)
移項して
　(ｋ＋５＋３)ＡＰ＝５ＡＢ＋３ＡＣ
ｋ＋５＋３＞０より
　ＡＰ＝{5/(k+5+3)}ＡＢ＋{3/(k+5+3)}ＡＣ

(2)
ＡＤ＝(5/8)ＡＢ＋(3/8)ＡＣ　であるので、
　ＡＰ＝{8/(k+5+3)}ＡＤ
より、Ａ，Ｄ，Ｐは一直線上にある。

(3)
△ＡＢＰ：△ＡＣＰ＝ＢＰ：ＣＰ＝３：５＝６：１０
であるので、
　△ＣＤＰ(５)は△ＡＣＰ(１０)の１／２
よって、ＤはＡＰの中点に当たります。
　ＡＰ＝{8/(k+5+3)}ＡＤ
において、 8/(k+5+3)＝1/2 になるので、
ｋ＋５＋３＝１６　より　ｋ＝８

No.23618 - 2013/12/29(Sun) 20:20:59

☆ Re: ベクトルの問題の解法をお願いいたします / 高二

ヨッシー様
ありがとうございます。問題集の解説がシンプルすぎて涙目です・・・・。

No.23628 - 2013/12/30(Mon) 11:19:24