四点O(0,0,0)A(1,0,0)B(1,2,0)C(2,1,3)がある
ベクトルu(x,y,1)がベクトルAB,ACに垂直なとき、x,yの値を求よ
さらに原点Oから三角形ABCにひいた垂線OH の長さを求よ
OH の長さなんですが、単位ベクトルを使わないやり方で求める方法はありませんか？
Hを文字でおいて新しく定めてまた垂直条件(内積＝零)を使うにも、ループして使えませんでした。こういう場合のコツなどもどうか教えてください…
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No.23713 - 2014/01/04(Sat) 13:01:24
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | 単位ベクトルを使う方法というのが、どの解き方を指すのか
わかりませんが、ｕ＝(-3,0,1) と出たら、△ＡＢＣを
含む平面の式
-3(x-1)＋z＝0
3x-z＝3
が得られるので、平面と原点の距離の公式から
3/√(3^2＋1^2)＝3/√10
というやり方が出来ます。
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No.23716 - 2014/01/04(Sat) 13:15:33 |
| ☆ ベクトルなやりかた / angel | | | 非常にありがちな話ですが、ベクトルｕを求めるのはOHを求めるための誘導です。
「OH⊥平面ABC」とは、「OH⊥ABかつOH⊥AC」と同値です。
そうすると、今、→AB,→ACに垂直なｕがあるので、→OH=kｕと表せる、ということになります。
加えて、Hは平面ABC上の点です。
「点Xが直線AB上」⇔→OX=p→OA+q→OBと表した時p+q=1
と同じように
「点Hが平面ABC上」⇔→OH=p→OA+q→OB+r→OCと表した時p+q+r=1
という性質がありますから、これも利用してHが特定できます。
p,q,rの決定が面倒に思えるかもしれませんが、z方向,y方向,x方向の順に見ていけば
ｕ=(-3,0,1)=(-7/2)・→OA+(-1/6)・→OB+1/3・→OC
であることが分かりますから、上述の k が k=-3/10 と決定できます。
（ｕ=a→OA+b→OB+c→OCとでも置いて、zの値に着目するとまずc=1/3, 次にyの値に着目するとb=-1/6,…）
すなわち、
→OH = 21/20・→OA+1/20・→OB+(-1/10)・→OC
※これでベクトルOA,OB,OCの係数の和がちゃんと1になっています
これで→OHの具体的な値が分かるので、後はその大きさを求めれば良い、という寸法です。
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No.23720 - 2014/01/04(Sat) 14:14:54 |
| ☆ Re: / 京 | | | ヨッシーさんのやり方について
平面の方程式は、(x,y,z)・(-3,0,1)＝０より
-3x+z＝０となりませんか？？？
また、平面と原点の距離の公式とはなんでしょうか？
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No.23725 - 2014/01/04(Sat) 14:58:14 |
| ☆ Re: / 京 | | | Angelさんの、やり方は私がよく知ってる方法でした、助かりましたありがとうございます！
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No.23726 - 2014/01/04(Sat) 15:01:21 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | 点(x0, y0, z0) を通りベクトル(a, b, c) に垂直な平面の式は
a(x-x0)＋b(y-y0)＋c(z-z0)＝0
です。内積で書くなら、
(x-x0, y-y0, z-z0)・(a, b, c)＝0
です。
平面 ax+by+cz+d=0 と点(x0, y0, z0) との距離は
|ax0+by0+cz0+d|／√(a^2+b^2+c^2)
これが点から平面までの距離の公式で、とくに、原点からの
距離は、
|d|／√(a^2+b^2+c^2)
で表せます。
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No.23728 - 2014/01/04(Sat) 15:08:54 |
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