[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 3次方程式 / 青い空白い雲
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node7.htmlの上から20行目の
-y-z,-ωｙ−ω＾２ｚ、−ω＾２ｙ−ωｚの３つが同じになるというのが意味が分かりません。なぜ同じになるのか教えてください。

よろしくおねがいします。

参考）
a=((1+√５)/2)^(1/3)とおくと
ｙ＝aのとき-a-z,-ωa−ω＾２ｚ、−ω＾２a−ωｚ
ですが
y=aωのとき
-aω-z,-ω^2a−ω＾２ｚ、−a−ωｚ
となりｙの値次第でｘの値は変わってしまうと思うのです。。

よろしくおねがいします
No.23665 - 2013/12/31(Tue) 23:47:43
☆ Re: 3次方程式 / ＩＴ
> http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node7.htmlの上から20行目の
> -y-z,-ωｙ−ω＾２ｚ、−ω＾２ｙ−ωｚの３つが同じになるというのが意味が分かりません。なぜ同じになるのか教えてください。
「解の組み合わせとして同じになる」ということを言っているのだと思います。確かに少し表現が不正確ですね。
例えば　{1,ω,ω^2}={ω,ω^2,1}={ω^2,1,ω} みたいなことです。

それとy,zは-3yz=3,y^3+z^3=1を満たす複素数であり,yが変わればzも変わります。

直接、著者の南海先生に聞かれたほうが良いと思います。
下記掲示板に質問されると回答があると思いますよ。
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/
No.23667 - 2014/01/01(Wed) 00:23:06
☆ Re: 3次方程式 / 青い空白い雲
わかりました。解決はしませんでしたが、そちらで再度質問してみます。ありがとうございました。
No.23668 - 2014/01/01(Wed) 02:18:30
★ Bochner積分に関して / 尚
ある測度空間上定義されたBanach空間値Borel-可測関数の列が各点収束しているとき,極限関数はBorel-可測になるのでしょうか？ここで関数がBorel-可測であるとは,ノルムによって誘導される任意のBorel-可測集合の原像が可測であるという意味で用いています.列の各項が単関数の場合だけでも,教えていただけると嬉しいです.(対象学年:大学3,4年程度?)
No.23664 - 2013/12/31(Tue) 20:33:42
★ (No Subject) / 京
Xyz空間において、yｚ平面上の放物線ｚ＝y^2をｚ軸のまわりに回転してできる曲面と平面ｚ＝yで囲まれた立体をDとする
立体Dの体積を求めよ

このもんだいで、まずｚ＝k(k＞０)による切り口は円ができそと方程式は
X^2+Y^２＝k
ｚ＝k
とでき、そこからわからないのですが、どうやら
X^２+Y^２≦ｚ≦Y
とできるらしいのですが、なぜこれが導けるのかわかりません。教えてもらえないでしょうか。
更に以後の方針も教えていただけると助かります…
No.23657 - 2013/12/31(Tue) 14:40:11
☆ Re: / angel
「回転してできる曲面」自体が z=x^2+y^2 です。
それと平面z=yで囲まれた立体なので x^2+y^2≦z≦y となります。

その後、平面 z=t での断面を考えても良いですが、やや計算は面倒になります。
扇形から三角形を引いた面積を積分することになるので、扇形の中心角をθとでも置いて、t→θの置換積分をすることになるでしょう。

計算で楽をしたいなら、平面 z=y-t での断面を考えます。
断面積 S(t) に対して、体積 V=∫[0,1/4] S(t)・dt/√2 であることに注意。
なお、断面は ( 計算してみると分かりますが ) 円柱を斜めに切断した断面と同じ、つまり楕円になります。しかしながら楕円の形を調べる必要はありません。
円柱を斜めに切断した場合の断面の面積は、円柱の底面の面積×定数 ( 今回は45°の角度なので√2 ) となるからです。
No.23663 - 2013/12/31(Tue) 16:44:23
☆ Re: / 京
ｚ＝y-tは思い付かなそうですね難しいですとても…

ちなみに、パラメーターを減らしていくというのはいかがでしょうか？回転体積計算で意外とあまり見ないようなきもしますが…
No.23671 - 2014/01/01(Wed) 16:41:22
☆ Re: / angel
あけましておめでとうございます。
> ｚ＝y-tは思い付かなそうですね難しいですとても…
正しく式を構成するのは、まあtrivialとは言いませんが、この断面の取り方を思いつかないのは…
※考えてみたけど詰め切れなかったのなら、ともかくも。

なぜかというと、この問題の立体は、お椀のようなモノをナナメに刃物で削ぎ落としたような、その切れ端のような形状でして、その切断面を下にしてテーブル等に置いたとしたら、薄く盛り上がった山のように見えるモノだからです。
なので、その切断面に沿って ( 平行に ) スライスして積分を考えるのは、実はとても自然な発想。それが z=y-t です。

> ちなみに、パラメーターを減らしていくというのはいかがでしょうか？

…パラメータ t は減らしていっていませんよ。立体の境界 y=z を基準として、そこから段々 ( 積分のための断面が、平行を保ったまま ) 離れていく、その離れ具合を t で表しているので。
※ただし、t は平面間の距離そのものではないため、体積については∫Sdt ではなく ∫Sdt/√2 で計算します。

> 回転体積計算で意外とあまり見ないようなきもしますが…
…これ、回転体と考えているようでは、多分答えにたどり着けませんよ。確かに放物線を回転させた曲面がもとになっていますが、その切れ端が本命ですから…
例えば、チクワはほぼ円柱ですから回転体ですが、それを半分に半月切りにしたら、もはや回転体ではなくなります ( つまり回転体としての性質は計算に使えなくなります )。同じことです。

先ほどの「パラメータを減らす」もそうなのですが、妙な思い込みというか、固定観念があるように見受けられます。一度、自分の感覚というか、常識だと思っているモノを疑ってみる ( 確かな根拠のある考えか検証する ) と、良いと思います。
No.23674 - 2014/01/01(Wed) 20:29:32
★ 解析概論　Cauchy列が収束すること / たか
{a_n}はCauchy列であるとします．
すなわち，任意の正数ε>0に対して，ある自然数n_0があって，p>n_0,q>n_0ならば |a_p - a_q| < ε.
εを固定すると，それに応じてn_0が定まり，n>n_0について|a_n - a_(n_0+1)|<εが成り立つから，{a_n}は有界である．

いまn>n_0として，l_nをa_n, a_(n+1), ...の上限とする．
このとき，任意の q >= nについて l_n - a_q <= εが成り立つ．

等号が入ってない場合は，
上限の定義から，任意の正数δ>0についてある自然数i(>=n)が存在して， l_n - a_i < δ であることが言えるので，三角不等式から，
|l_n - a_q| <= |l_n - a_i| + |a_i - a_q| < ε+δ
ここでδが任意の正数であることから l_n - a_q < ε が成り立つ(はず)のですが．

l_n - a_q = ε が言えることがわかりません．どなたかご教授お願いします．
No.23648 - 2013/12/31(Tue) 05:21:03
☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / ＩＴ
>，三角不等式から，
> |l_n - a_q| <= |l_n - a_i| + |a_i - a_q| < ε+δ
> ここでδが任意の正数であることから l_n - a_q < ε が成り立つ(はず)のですが．
最後の行は、まちがいでは？

l_n - a_q = εであることもあり得えますよね。
δは正数より　0< δ なので　ε< ε+δ　です。
No.23649 - 2013/12/31(Tue) 06:27:45
☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / ＩＴ
（追伸）
仮におっしゃるように　「 l_n - a_q <　εが成り立つ．」が正しかったとしても
「 l_n - a_q <= εが成り立つ．」と書いても正しい。です。「l_n - a_q <= ε」は「l_n - a_q <　εまたはl_n - a_q ＝　ε」ですから。

例えば「３＜４」も「３≦４」も真ですよね。
No.23650 - 2013/12/31(Tue) 06:38:43
☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / たか
回答ありがとうございます．
3<4も3<=4も真であること，理解しました．
勉強不足でいくらか分からないことがありました．

その，最後の行が間違いであるとは，
「任意のδ>0 について |l_n - a_q| < ε+δ ならば l_n - a_q < ε である」ということが成立しないということでしょうか．

l_n - a_q = εであることもあり得るというのは，l_n - a_q < ε+δであり，左辺は[0,ε+δ)の範囲にあるから，ε<ε+δよりεを取り得る，ということでしょうか．

よろしくおねがいします．
No.23660 - 2013/12/31(Tue) 15:52:28
☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / ＩＴ
> その，最後の行が間違いであるとは，
> 「任意のδ>0 について |l_n - a_q| < ε+δ ならば l_n - a_q < ε である」ということが成立しないということでしょうか．
そうですね。簡単のため |l_n - a_q|=a,ε= 1　とすると
「任意のδ>0 について a < １+δ」 ならば 「a < １」 である。
になります。
ところが　a=１のとき
「任意のδ>0 について １＝a < １+δ」ですが 「a < １」ではないですね。
No.23661 - 2013/12/31(Tue) 16:09:33
☆ Re: 解析概論　Cauchy列が収束すること / たか
ありがとうございます．成り立たない説明，理解しました．

では，等号を含めた不等式に置き換えれば，
「任意のδ>0について|l_n - a_q|<ε+δならばl_n-a_q<=ε」
は成り立つということですよね．
No.23662 - 2013/12/31(Tue) 16:29:52
★ (No Subject) / 京
いつもお世話になっております。
受験で以下の問題をどうにかして解けるようにしたいのでご尽力ください…

a,bを正の実数とする。x,y,z空間内の二点A(a,0,0)B(0,b,1)を通る直線をlとし、直線lをｚ軸のまわりに一回転して得られる曲面をMとする

曲面Mと二つの平面ｚ＝０とｚ＝１で囲まれた立体のた体積をもとめよ
だん断面積を求め、それを回転体を求める公式に代入
というやり方をとりたくて、ｚ＝tで切るとすると断面積はこの場合線分になって、公式に適用すると
∫[tが０から１]π×線分の二乗
という感じで、考え方は誤っていますか？？答えを見ると、少し考え方が違うようで、線分を二乗してπたかけた円が断面積にあたるので、それを積分、という考え方でした。
式自体は全くわたしのと同じだったのですが、わたしの考え方では誤っていて、たまたま式が同じになっただけでしょうか？？
とても困っています…
どうか教えてください…お願いいたします！
No.23646 - 2013/12/31(Tue) 01:36:56
☆ Re: / らすかる
> ｚ＝tで切るとすると断面積はこの場合線分になって、

「断面積が線分になる」は意味が通じません。
線分（の長さ）を積分すると面積にしかなりません。
立体の体積ですから、面積を積分しなければいけません。
No.23647 - 2013/12/31(Tue) 01:56:54
☆ Re: / ヨッシー
>公式に適用すると
の「公式」とはどんな公式ですか？
No.23651 - 2013/12/31(Tue) 07:26:56
☆ Re: / angel
> 式自体は全くわたしのと同じだったのですが、わたしの考え方では誤っていて、たまたま式が同じになっただけでしょうか？？

それは何とも言えませんが、少なくともその文章では通じません。言葉を間違えているだけなら、まあ、考えは合っているのでしょうが…。

以下、こう書くなら意味が通じるでしょう。
--
> だん断面積を求め、それを回転体を求める公式に代入
( z軸を軸と定め、軸に垂直な断面に対する ) 断面積を求め、軸に沿って積分することで体積を求める。( つまり V=∫Sdz )

> ｚ＝tで切るとすると断面積はこの場合線分になって、
(平面) z=t で切った時の断面は、この場合円であり、その半径は z=tと直線lの交点・z軸の「距離」として求まる。( 断面積は π・半径^2 )

> ∫[tが０から１]π×線分の二乗
V=∫[0,1]π・(上述の「距離」)^2・dt
No.23652 - 2013/12/31(Tue) 08:48:16
☆ Re: / 京
説明がうまくできずごめんなさい。
線分を公式に適用すると、とは
公式とは、v＝∫πy^2dxのX軸回転の公式のことだったんですが、今気づきましたがｚ軸回転なのでこれにはそもそも適用できないのでしょうか？？
No.23654 - 2013/12/31(Tue) 12:16:05
☆ Re: / angel
> v＝∫πy^2dxのX軸回転の公式
仰ることは分かりましたが、何かを「公式」と言って、他人に伝わるかは保証はないと思った方が良いです。
実際、私はそれを「公式」だと思っていませんし。

その「公式」は、あくまで x軸に沿った断面積の積分 V=∫Sdx と、断面積がたまたま円になっていて S=πy^2 という状況の組み合わせで V=∫πy^2・dx になっている、と分解して捉えています。

その公式の状況は、回転させる曲線も回転軸も同じxy平面上です ( なのでどちらかというと板上の図形を回転させるようなもの )。今回のように軸とねじれの位置にある直線を回転させるのとは大分違います。
なので、「公式」として考えるなら、状況が違いすぎて適用はできません。

しかしながら、断面積とその積分とに分けて考えるのであれば、結局は計算する内容は大差がなく、同じ形が適用できることが分かります。
下手に覚える公式を増やすのは、いつどの公式を使えば良いか、かえって迷いを産むというマイナス面が強くなるだろう、というのが私の考えです。
※まあ私は記憶力が悪いから、というのもありますが…
No.23655 - 2013/12/31(Tue) 13:13:18
☆ Re: / 京
やっと理解できました…本当にありがとうございます。
No.23658 - 2013/12/31(Tue) 15:04:22
★ 積分の謎 / 心
インテグラル（不定積分）ってマイナス無限大からプラス無限大までの積分って意味ですよね？
だったら∫(1/x)dxってありえなくないですか？
x=0で不連続ですよね・・

今年の富山大学の問題で(g(x)/x)'=-2f(k)/x^2
の両辺を積分する際にx=0で不連続なのでx>0,x<0の別々に積分する操作が出てきたので、ふと気になりました
No.23640 - 2013/12/30(Mon) 22:02:25
☆ Re: 積分の謎 / angel
> マイナス無限大からプラス無限大までの積分って意味ですよね？
…違いますよ? どこから出て来た情報です? それ。
「無限大まで」の積分だと、例えば ∫[0,+∞]f(x)dx とかありますが、これは、
　∫[0,+∞]f(x)dx = lim[a→+∞] ∫[0,a]f(x)dx
という極限のことですね。不定積分とは別物です。
※多分、高校の範囲外

F'(x)=f(x) という関係がある時に ∫f(x)dx = F(x) と f(x) から F(x) を求める操作を不定積分と言っています。
で、d(log|x|)/dx = 1/x ですから ∫(1/x)dx=log|x|+C となります。
No.23642 - 2013/12/30(Mon) 22:27:51
☆ Re: 積分の謎 / 心
回答ありがとうございます

では(g(x)/x)'=-2f(k)/x^2・・?@
に∫をかぶせるときはx＜０とｘ＞０にわけて
g(x)/x=2f(k)/x+c1(x<0)
g(x)/x=2f(k)/x+c2(x>0)
としなければならないのはなぜですか？

ちなみに?@は恒等式です。f(x),g(x)はすべてのxで微分可能、ｋは定数です
No.23653 - 2013/12/31(Tue) 10:22:22
☆ Re: 積分の謎 / angel
> では(g(x)/x)'=-2f(k)/x^2・・?@
> に∫をかぶせるときはx＜０とｘ＞０にわけて
> g(x)/x=2f(k)/x+c1(x<0)
> g(x)/x=2f(k)/x+c2(x>0)
> としなければならないのはなぜですか？

それこそ、
> x=0で不連続ですよね・・
が理由です。
先ほど ∫(1/x)dx = log|x|+C という例を挙げました。
つまり、F'(x)=1/x の時 F(x)=log|x|+C ということですが、
　x＞0 の時 F(x)=logx+c1
　x＜0 の時 F(x)=log(-x)+c2
という F でも F'(x)=1/x を満たす訳です。x=0 で不連続なので、x＞0,x＜0 の部分の2個のパーツが上下にずれていても問題がないのです。
※通常はこんな場合分けをわざわざする場面が出てこないのですが…

これがもし F'(x)=e^x のように全域で連続な状況であれば、

　x＞0 で F(x)=e^x+c1, x≦0 で F(x)=e^x+c2　…ダメな例

こんなことをしたら、元々出てきている関数が連続であるにも関わらず、不連続な点ができてしまってダメな訳です。
No.23656 - 2013/12/31(Tue) 13:27:23
☆ Re: 積分の謎 / 心
解答ありがとうございます

富山大の問題ではg(x)=f(k-x)+f(k+x)と与えられており
C1=C2=0と出てきますからe^xの例でもC1=C2で別に問題はないと思いますが

等式や不等式などに積分をかぶせる際、どういうケースだと不連続点を気にしなければならないのかが分かりません。

y=1/xの積分だと本来ｘ＝０の不連続点があって場合わけが必要だが公式としてlogｌｘｌ+Cと出来るので場合わけの必要がないというわけですね。
No.23659 - 2013/12/31(Tue) 15:08:16
☆ Re: 積分の謎 / angel
> e^xの例でもC1=C2で別に問題はないと思いますが
>> x＞0 で F(x)=e^x+c1, x≦0 で F(x)=e^x+c2　…ダメな例
このダメな例は c1≠c2 という大多数の場合も含めて、「一般のc1,c2の組み合わせ」についてのお話ですよ。
※もちろんc1=c2 という一部のケースに限っては問題ないですが。

> y=1/xの積分だと本来ｘ＝０の不連続点があって場合わけが必要だが公式としてlogｌｘｌ+Cと出来るので場合わけの必要がないというわけですね。

違います。
「必要がない」かどうかは公式が定めているわけではありません。
不定積分をどう使うかを考えた時、連続なひとかたまりの範囲で考えるのが、まあ一般的です。そのひとかたまりの中では場合分けは発生しませんから、公式としても場合分けなんかしないのです。
※場合分けしていたら公式としてシンプルになりませんし

場合分けが必要かどうかは、あくまで公式を使う側が状況に応じて判断するものです。

> どういうケースだと不連続点を気にしなければならないのかが分かりません。

大抵の場合は気にしなければならない場面はないように思いますが…
※少なくとも私は見たことがないし、そんな細かい所を気にしてそもそも役に立つとも思えないし。

今回の問題も恐らく気にする必要はないと思いますよ。
なぜならば、最終的に g(x) の形を決定する時に g(x) が全域で連続ってことで場合分けを考える意味が無くなるでしょうから。
その場合分けをしていたのは、何かの参考書の解説で、でしょうか?
No.23666 - 2014/01/01(Wed) 00:10:11
★ (No Subject) / あい
3直線 x+2y=5、2x+y=7 、y-x=1 によって作られた三角形の面積の求め方を教えてください。
できればグラフもつかって教えていただきたいです。

自分でやってみたのですがなかなか。。
直線を3つ書けばいいのでしょうか？
そこからの面積の求め方もさっぱりです。
解答がなくて教科書見てもわかりませんでした。

どなたかよろしくお願いします。
No.23634 - 2013/12/30(Mon) 14:19:50
☆ Re: / angel
とりあえず、大雑把で良いのでグラフを描いてみないと、直線同士の位置関係が分からないから何ともならないでしょうね。
それと、直線同士の交点 ( 3点 ) も計算しないと、先に進めないでしょう。

今回の問題の場合は添付の図のようになります。
…交点の座標が全部整数で分かりやすいため、点の座標は特に記していませんが。
後は分かり易く行くなら、色のついた長方形 ( 正方形 ) から隅の三角形を差っ引けば、答えが 3/2 と出るはずです。
No.23636 - 2013/12/30(Mon) 14:44:56
☆ Re: / あい
とてもわかりやすかったです！！
正方形からひくやり方でやってみてできました！
ありがとうございました！
No.23637 - 2013/12/30(Mon) 15:31:20
★ 2次不等式です。 / 高

2次不等式 ax^2+bx+1≧0 の解が、-3≦x≦7 のとき、a、bを求めよ

という問題です。

途中式とわかりやすく説明もお願いします。
No.23629 - 2013/12/30(Mon) 11:20:55
☆ Re: 2次不等式です。 / angel
2次不等式 a(x-α)(x-β)≧0　( α＜β ) があるとき、a＜0 であれば α≦x≦β が解となります。
なぜならば、(x-α)(x-β)≦0 と同値だから。

逆に言えば、α≦x≦βが解と分かっている二次不等式で、x^2の係数が a ( a＜0 ) のものは a(x-α)(x-β)≧0 になります。
※なお a＞0 であれば a(x-α)(x-β)≧0 は x≦α,x≧β が解になります。

ということで、今回の問題に関しては、
　a＜0
　ax^2+bx+1 = a(x+3)(x-7) が恒等式
後は恒等式の係数比較により a=-1/21, b=4/21 となり、a＜0 を満たしているためこれが答えになります。

余談ですが、もし「ax^2+bx+1≦0 の解が -3≦x≦7」だったならば、意地の悪い話ながら、条件を満たすa,bは存在せず「解なし」となります。
No.23630 - 2013/12/30(Mon) 11:57:34
☆ Re: 2次不等式です。 / 高

angel様

解説感謝します。
すっきりしました。
数学が苦手なので冬休みで挽回したいところです…
ありがとうございました！
No.23632 - 2013/12/30(Mon) 13:08:16
★ またまたベクトルです・・・新潟大入試問題です / 高二
平行四辺形ABCDにおいて、4辺AB,BC,CD,DA上にそれぞれ点E,F,G,Hを、HF//AB,
EG//BCとなるようにとり、2直線EFとACの交点をM,2直線HGとACの交点をNとする。(AB) ⃗=a ⃗(AE) ⃗,=pa ⃗,(AD) ⃗=b ⃗,(AH) ⃗=qb ⃗とおくとき、1/2＜p<1, 1/2＜q<1,であるとして、次の問いに答えよ。
（1）(EF) ⃗,(HG) ⃗をa ⃗とb ⃗で表せ。
（2）(AM) ⃗=(AE) ⃗+s(EF) ⃗, (AN) ⃗=(AH) ⃗+t(HG) ⃗とするとき、s,tをpとqで表せ
（3）2点M,Nは一致することを示せ。


もう涙目です・・・。やさしく解法をお願いいたします。
No.23627 - 2013/12/30(Mon) 11:17:48
☆ Re: またまたベクトルです・・・新潟大入試問題です / ヨッシー
(1)
ＥＦ＝ＥＢ＋ＢＦ
　　＝(1-p)ａ＋qｂ
ＨＧ＝ＨＤ＋ＤＧ
　　＝(1-q)ｂ＋pａ

(2)
ＡＭ＝ＡＥ＋sＥＦ
　　＝pａ＋s{(1-p)ａ＋qｂ}
　　＝{p＋s(1-p)}ａ＋sqｂ
これが ＡＣ＝ａ＋ｂ と平行なので、
p＋s(1-p)＝sq　これより　ｓ＝ｐ/(ｐ＋ｑ−１)
同様に、ｔ＝ｑ/(ｐ＋ｑ−１)

(3)
(2) の結果より、
ＡＭ＝ＡＮ＝(ａ＋ｂ)pq／(p+q-1)
が示せるので、ＭとＮは一致します。
No.23639 - 2013/12/30(Mon) 20:56:53
★ 東海大入試問題ベクトルです / 高二
三角形ABCの内部に4(AP) ⃗+3(BP) ⃗+2(CP) ⃗=0 ⃗を満たす点Pがある。
（1）(AP) ⃗=（　　ア　　）(AB) ⃗+（　　イ　　）(AC) ⃗となるから,APを延長した直線とBCとの交点をDとすると,AP：PD=（　　ウ　　）：（　　エ　　）である。
（2）△ABCと△APBの面積をそれぞれS_1, S_2とすると、S_1,： S_2=（　オ　）：（　カ　）である。
（3）△ABCの重心をGとする。(AE) ⃗=k(AP) ⃗とするときEGとABが平行になるのはk=（　キ　）のときで、このとき△ABCの面積は△AEGの面積の（　ク　）倍になる。

ベクトルでかなり苦戦しています・・・・。それ以前に数学が苦手です・・・。どなたか解法お願いいたします。
No.23626 - 2013/12/30(Mon) 11:16:13
☆ Re: 東海大入試問題ベクトルです / ヨッシー
(1)
No.23617 と同じ考えで行くと、
　ＡＰ＝(3/9)ＡＢ＋(2/9)ＡＣ
これを 9/5 倍した
　(3/5)ＡＢ＋(2/5)ＡＣ
が ＡＤ であるので、ＡＰ：ＡＤ＝５：９
よって、ＡＰ：ＰＤ＝５：４

(2)
△ＡＢＤ は△ＡＢＣの2/5倍であり、△ＡＰＢは△ＡＢＤの
5/9倍なので、△ＡＰＢは△ＡＢＣの 2/5×5/9＝2/9倍
よって、Ｓ１：Ｓ２＝９：２

(3)
ＡＥ＝ｋＡＰ＝(k/3)ＡＢ＋(2k/9)ＡＣ
ＡＧ＝(1/3)ＡＢ＋(1/3)ＡＣ
より
　ＥＧ＝ＡＧ−ＡＥ
　　＝(k/3−1/3)ＡＢ＋(2k/9−1/3)ＡＣ
これがＡＢと平行になるには、2k/9−1/3＝０
よって、ｋ＝3/2

すると、図において、ＢＣの中点をＭとすると、
　ＢＤ：ＤＭ：ＭＣ＝４：１：５
　ＡＥ：ＥＤ＝５：１
　ＡＧ：ＧＭ＝２：１
△ＡＤＭは△ＡＢＣの 1/10 倍。
△ＡＥＧは△ＡＤＭの 5/6×2/3＝5/9(倍)
よって、△ＡＥＧは△ＡＢＣの 1/10×5/9＝1/18(倍)
答え　１８倍
No.23638 - 2013/12/30(Mon) 17:52:30
☆ Re: 東海大入試問題ベクトルです / 高二
ヨッシー様。ほんとうにご面倒おかけいたします。
頂いた解説でもう一度チャレンジしてみます。<(_ _)>
No.23644 - 2013/12/31(Tue) 00:04:15
★ 03.関西学院大学問題 / 高二
三角形ＯＡＢにおいて、辺ＯＡを1：ｓ（ｓ＞0）に内分する点をＰ、辺ＯＢを1：ｔ（ｔ＞0）に内分する点をＱとする。線分ＢＰとＡＱの交点をＲとする。

（1）(OR) ⃗をa ⃗=(OA) ⃗、ｂ ⃗=(OB) ⃗、s,tを用いて表せ
(2) 線分ORが∠AOBを二等分するとき、s:tを|a⃗|、|b⃗| を用いて表せ


解法わかる方、お助けください。
No.23625 - 2013/12/30(Mon) 10:17:53
☆ Re: 03.関西学院大学問題 / angel
ベクトルは、まあ、図形的な性質を利用することもできるけれど、淡々と計算しても解けるし…。得意な方でアプローチしてみては。
※淡々と計算する方は、式さえ立てれば後は悩む必要がないのですが、図形的な性質を利用できれば計算はラクできるので、どちらが良いとも一概には言えない所

以下、ベクトルは→を省略して、ａとかｂとかのアルファベットで表します。
ベクトル OP,OQ,OR については ｐ,ｑ,ｒ です。

(1)
・P: OAを1:sに内分する点 ⇒ ｐ=1/(1+s)・ａ, ａ=(1+s)ｐ
・Q: OBを1:tに内分する点 ⇒ ｑ=1/(1+t)・ｂ, ｂ=(1+t)ｑ
今、ｒ=xａ+yｂと置くと、
　ｒ=xａ+yｂ=(1+s)xｐ+yｂ
　ｒ=xａ+yｂ=xａ+(1+t)yｑ
Rは直線PB上にあるため (1+s)x+y=1　…(i)
同様に直線AQ上にもあるため x+(1+t)y=1　…(ii)
このx,yの連立1次方程式を解いて、x=t/(st+s+t), y=s/(st+s+t)
※xについては (i)×(1+t)-(ii)から、yについては(ii)×(1+s)-(i)から計算できます
よって、ｒ=t/(st+s+t)・ａ+s/(st+s+t)・ｂ

(2)
内積ａｒ=|ａ||ｒ|cos∠ROA, ｂｒ=|ｂ||ｒ|cos∠ROB に対してORが∠AOBを二等分するとき、∠ROA=∠ROBであるため
　|ｂ|ａｒ=|ａ|ｂｒ
両辺を平方して
　(ｂｂ)(ａｒ)^2 = (ａａ)(ｂｒ)^2　　※一般に |ｘ|^2=ｘｘ
すなわち、(ｂｂ)(ａｒ)^2 - (ａａ)(ｂｒ)^2 = 0
ｒ=t/(st+s+t)・ａ+s/(st+s+t)・ｂ より
(左辺)・(st+s+t)^2
= (ｂｂ)(ａ(tａ+sｂ))^2 - (ａａ)(ｂ(tａ+sｂ))^2
= (ｂｂ)(tａａ+sａｂ)^2 - (ａａ)(tａｂ+sｂｂ)^2
= (ｂｂ)( t^2・(ａａ)^2 + 2st(ａａ)(ａｂ)+s^2・(ａｂ)^2 )
　　- (ａａ)( t^2・(ａｂ)^2 + 2st(ａｂ)(ｂｂ) +s^2・(ｂｂ)^2 )
= t^2・( (ａａ)^2・(ｂｂ)-(ａａ)(ａｂ)^2 ) - s^2・( (ａａ)(ｂｂ)^2 - (ａｂ)^2・(ｂｂ) )
= ( (ａａ)(ｂｂ)-(ａｂ)^2 )( t^2・(ａａ) - s^2・(ｂｂ) )
= ( (ａａ)(ｂｂ)-(ａｂ)^2 )( (t|ａ|)^2 - (s|ｂ|)^2 )

ａ,ｂ は平行ではないため ( (ａａ)(ｂｂ)-(ａｂ)^2 )≠0
よって、(t|ａ|)^2 - (s|ｂ|)^2 = 0
s,t,|ａ|,|ｂ| とも正であるため t|ａ| = s|ｂ|
ゆえに s:t = |ａ|:|ｂ|
No.23633 - 2013/12/30(Mon) 14:02:19
☆ Re: 03.関西学院大学問題 / angel
続いては図形的な性質を使った場合。適当に図を描いて照らし合わせてみてください。
(1)
メネラウスの定理により
　OQ/QB・BR/RP・PA/AO = 1　　※O-Q-B-R-P-A-O のシリトリ版
OQ/QB = 1/t, PA/AO = s/(1+s) より BR/RP = t(1+s)/s
すなわち BR:RP=t(1+s):s　…☆( (2)でも使います )
ゆえに
ｒ=RP/(BR+RP)・ｂ+BR/(BR+RP)・ｐ
　= s/( t(1+s)+s )・ｂ + t(1+s)/( t(1+s)+s )・1/(1+s)・ａ
　= t/(st+s+t)・ａ+s/(st+s+t)・ｂ

(2)
ORが∠AOBを二等分するとき、BR:RP=OB:OP=|ｂ|:|ｐ|
一方 (1)の☆より BR:RP=t(1+s):s
よって、
　t(1+s):s = |ｂ|:|ｐ|
　t(1+s):s = |ｂ|:1/(1+s)・|ａ|
　t:s = |ｂ|:|ａ|
ゆえに s:t=|ａ|:|ｂ|

※比を整理する所が分かりにくければ、
　t(1+s):s = |ｂ|:|ｐ|
　⇔ t(1+s)|ｐ|=s|ｂ|
　⇔ …
　⇔ t|ａ|=s|ｂ|
　としても良いでしょう。
No.23635 - 2013/12/30(Mon) 14:28:53
★ 防衛大入試問題 / 高二
ベクトルa ⃗＝（11、23）、ｂ ⃗＝（−2、−3）に対して、絶対値|a ⃗+⃗(ｔｂ)|を最小にするtの値を求めよ。
解法お願いします。
答えはｔ＝7です。
No.23622 - 2013/12/29(Sun) 23:52:46
☆ Re: 防衛大入試問題 / ＩＴ
(解法1) tについての2次関数をつくり平方完成
|a ⃗+⃗(ｔｂ)|^2=|a|^2+2t(a・b)+(t^2)|b|^2
=(|b|^2)[t^2+{2(a・b)/|b|^2}t]+|a|^2
=(|b|^2){t+(a・b)/|b|^2}^2-{(a・b)^2}/|b|^2+|a|^2
これが最小となるのはt=-(a・b)/|b|^2=91/13=7 のとき
※途中→は省略　

（解法2）ｔについて微分し増減を調べる
f(t)=|a ⃗+⃗(ｔｂ)|^2 とおくと
f(t)=途中省略=(11-2t)^2+(23-3t)^2 …(1)
f'(t)=4(2t-11)+6(3t-23)=26(t-7)
増減表作成：　t=7 のとき　f(t)は最小となる。
※解法1の途中で微分法を使ってもできます。

（解法3）図を描くと分かるように　ｂ ⃗とa ⃗+⃗(ｔｂ)が直交するとき　|a ⃗+⃗(ｔｂ)|は最小。
No.23623 - 2013/12/30(Mon) 00:45:04
★ (No Subject) / komichi
Gを可換郡。ord(a)=2,ord(b)=3とする。

ord(ab)を求めよ。


わかる方教えてください。
No.23621 - 2013/12/29(Sun) 22:57:36
☆ Re: / ＩＴ
ab,(ab)^2,(ab)^3,(ab)^4,(ab)^5,(ab)^6　について
=e になるかを調べるといいと思います。

例えば(ab)^2=(a^2)(b^2)=e(b^2)≠e
No.23624 - 2013/12/30(Mon) 01:41:49
☆ Re: / a
授業中のノートを確認しましょう。
No.23645 - 2013/12/31(Tue) 00:15:01
★ ベクトルの問題の解法をお願いいたします / 春日　健佑
kを正の実数とする。点Pは△ABCの内部にあり、k(AP) ⃗+5(BP) ⃗+3(CP) ⃗=0 ⃗を満たしている。また、辺BCを3：5に内分する点をDとする。
（1）(AP) ⃗を(AB) ⃗、(AC) ⃗、ｋを用いて表せ。
（2）3点Ａ、Ｐ、Ｄは一直線上にあることを示せ
（3）△ＡＢＰの面積が△ＣＤＰの面積の6/5倍に等しいとき、ｋの値を求めよ。


ワードからコピペでちょっと数式がわかりずらいかもしれません・・・。基礎から丁寧に教えていただけると助かります。
No.23617 - 2013/12/29(Sun) 20:06:15
☆ Re: ベクトルの問題の解法をお願いいたします / ヨッシー
□に見えるのは、ベクトルを表す何某かの文字と思われますが、
以下では省略します。

(1)
ｋＡＰ＋５ＢＰ＋３ＣＰ＝０　を移項して、
　ｋＡＰ＝−５ＢＰ−３ＣＰ
ＢＰ＝ＡＰ−ＡＢ、ＣＰ＝ＡＰ−ＡＣ　を代入して、
　ｋＡＰ＝−５(ＡＰ−ＡＢ)−３(ＡＰ−ＡＣ)
移項して
　(ｋ＋５＋３)ＡＰ＝５ＡＢ＋３ＡＣ
ｋ＋５＋３＞０ より
　ＡＰ＝{5/(k+5+3)}ＡＢ＋{3/(k+5+3)}ＡＣ

(2)
ＡＤ＝(5/8)ＡＢ＋(3/8)ＡＣ　であるので、
　ＡＰ＝{8/(k+5+3)}ＡＤ
より、Ａ，Ｄ，Ｐは一直線上にある。

(3)
△ＡＢＰ：△ＡＣＰ＝ＢＰ：ＣＰ＝３：５＝６：１０
であるので、
　△ＣＤＰ(５)は△ＡＣＰ(１０)の１／２
よって、ＤはＡＰの中点に当たります。
　ＡＰ＝{8/(k+5+3)}ＡＤ
において、 8/(k+5+3)＝1/2 になるので、
ｋ＋５＋３＝１６　より　ｋ＝８
No.23618 - 2013/12/29(Sun) 20:20:59
☆ Re: ベクトルの問題の解法をお願いいたします / 高二
ヨッシー様
ありがとうございます。問題集の解説がシンプルすぎて涙目です・・・・。
No.23628 - 2013/12/30(Mon) 11:19:24
★ (No Subject) / komichi
Gを郡とし、任意のxがx^2=eである。
・郡Gが可換郡となることを示せ

すみませんが、回答の方お願いしたいです。
よろしくお願いします。
No.23613 - 2013/12/29(Sun) 14:58:04
☆ Re: / komichi
a,b∈Gとするとab∈Gであるから条件より
　　a^2=e∴a^(-1)=a
　　b^2=e∴b^(-1)=b
　　(ab)^2=e∴(ab)^(-1)=ab
よって
　　ab=(ab)^(-1)=b^(-1)*a^(-1)=ab
従って成立。

回答にはこう書かれていますが、

　　a^2=e∴a^(-1)=a
　　b^2=e∴b^(-1)=b
　　(ab)^2=e∴(ab)^(-1)=ab

この部分が意味がわかりません。
この部分を詳しく教えていただきたいです。
No.23614 - 2013/12/29(Sun) 15:13:37
☆ Re: / ＩＴ
> 　　a^2=e∴a^(-1)=a
> この部分が意味がわかりません。
aの逆元をa^(-1)と表しますよね、群の任意の元について逆元が唯一つ存在することは既知ではないですか？
逆元の定義は分かりますよね？

a^2=e の両辺に右（左）からa^(-1)を掛けても導けますね。

なお、可換性は
abbaba=ab(ba)(ba)=abe=ab
abbaba=a(bb)aba=aeaba=(aa)ba=eba=ba としても証明できますね。
No.23616 - 2013/12/29(Sun) 15:24:12
☆ Re: / ＩＴ
> よって
> 　　ab=(ab)^(-1)=b^(-1)*a^(-1)=ab
の最後は =ba ですね。
No.23619 - 2013/12/29(Sun) 22:32:25
☆ Re: / komichi
ITさんありがとうございます。
No.23620 - 2013/12/29(Sun) 22:54:51
★ 利息・預金 / n
Ａさんは、1年間の利息が１％のアメリカの銀行にいくらか預けた　ところがこの時１ドルが120円だったのに110円になったため、預金は4450円減ってしまった　預金した金額を日本円で求めよ
答えは60000円で、私は中1です　宜しくお願いします
No.23611 - 2013/12/29(Sun) 12:33:17
☆ Re: 利息・預金 / らすかる
利息で増えた分が101/100倍、為替で減った分が110/120=11/12倍なので
両方で(101/100)×(11/12)=1111/1200倍です。
減った分は全体の1-1111/1200=89/1200で、これが4450円ですから
4450円÷(89/1200)=60000円となります。
No.23612 - 2013/12/29(Sun) 13:29:49
★ ⇔ / 心
l2x-1l<4
⇔2x-1<4または1-2x<4・・?@
としてよいのはなぜですか？

素直にやれば
l2x-1l<4
⇔(2x-1>0かつ2x-1<4)または(2x-1<0かつ1-2x<4)・・?A
でなぜか?@と?Aの結果が同じになります

（A∧B）∨（Aバー∧C)＝B∧Cがなぜなのかという質問にもなると思います

よろしくお願いします
No.23605 - 2013/12/27(Fri) 21:19:59
☆ Re: ⇔ / angel
> l2x-1l＜4
> ⇔2x-1＜4または1-2x＜4・・?@
> としてよいのはなぜですか？
違います。2x-1＜4 かつ 1-2x＜4、まとめると -4＜2x-1＜4 です。

> 素直にやれば
> l2x-1l＜4
> ⇔(2x-1＞0かつ2x-1＜4)または(2x-1＜0かつ1-2x＜4)・・?A

微妙に違います。
　|2x-1|＜4
　⇔ (2x-1≧0 かつ 2x-1＜4) または (2x-1＜0 かつ 1-2x＜4)
　⇔ 0≦2x-1＜4 または -4＜2x-1＜0
　⇔ -4＜2x-1＜4

もしくは次のように考えることも。2x-1の代わりにyで行きますと、
　|y|＜4
　⇔ y^2＜4^2　( 両辺が非負のため平方しても同値 )
　⇔ y^2-4^2＜0
　⇔ (y-4)(y+4)＜0
　⇔ -4＜y＜4
No.23606 - 2013/12/27(Fri) 21:30:39
☆ Re: ⇔ / らすかる
> （A∧B）∨（Aバー∧C)＝B∧Cがなぜなのかという質問にもなると思います

「（A∧B）∨（Aバー∧C)＝B∧C」は一般に成り立ちません。
反例
（A,B,Cは整数の部分集合として）
A＝偶数、B=偶数、C=奇数のとき左辺は整数全体、右辺は空集合です。
No.23607 - 2013/12/27(Fri) 21:32:19
☆ Re: ⇔ / 心
失礼しました

l2x-1l<４
⇔2x-1＜4 かつ 1-2x＜4
というのはどこからきたのでしょうか？
No.23608 - 2013/12/27(Fri) 22:24:31
☆ Re: ⇔ / 心
家庭教師をしているのですが

絶対値の意味を考えて
l2x-1l<4
⇔-4<2x-1<4
とすればいいのですが、

教え子が
絶対値を外して
２ｘ−１＜４かつ-(2x-1)<4と先生に習ったと言って
その方法をやっているのですが、なぜこれで答えが合うのかわかりませんでした。また、この方法を容認してしまってよいのでしょうか？
No.23609 - 2013/12/27(Fri) 22:36:51
☆ Re: ⇔ / らすかる
-4＜2x-1＜4
⇔ 2x-1＜4 かつ 2x-1＞-4
⇔ 2x-1＜4 かつ -(2x-1)＜4
で同値ですから、
「|2x-1|＜4 の絶対値を外して 2x-1＜4 かつ -(2x-1)＜4」
としても問題ないと思います。
No.23610 - 2013/12/27(Fri) 23:28:22
☆ Re: ⇔ / 心
納得しました。ありがとうございました！
No.23641 - 2013/12/30(Mon) 22:03:25
★ 8面定理 / ｂｙｔ
y=ax^3+bx^2+cx+d(a>0)(=f(x))
で変曲点が(g,h),極小値(g+?凾?,f(g+?凾?））
とするときf(x)とy=hの交点のｘ座標のうち大きい方が
g+(√３)(?凾?)になることを証明せよ。

どうにか証明できないでしょうか？よろしくお願いします
No.23597 - 2013/12/26(Thu) 18:56:14
☆ Re: 8面定理 / らすかる
以前
> y=ax^3+bx^2+cx+d(a>0)で極小値をとるｘ座標がαのとき、
> ｘ軸との交点（ｘ＞α）はｘ＝√３αというのは変曲点が原点のときだけですか？
という質問に「成り立たない」と答えましたが、
これは逆は成り立ちます。
つまり変曲点が原点にあり極小値を持つ、三次の項の係数が正の三次関数
y=ax^3+cx (a＞0, c＜0)では、極小値のx座標がαならば
変曲点より右にあるx軸との交点のx座標は√3αになります。

従って今回の質問の三次関数も、変曲点を原点に平行移動して考えれば
成り立つことがわかります。

証明は以前書いた式の
2b^2√(b^2-3ac)+3(2√3+3)a^2d+3abc-2b^3=0 … (3)
がb=d=0で成り立つことでもわかりますが、
y=ax^3+cx (a＞0, c＜0) から始めるともっと簡単に終わります。
y'=3ax^2+c から、極小値をx=α＞0でとるならば
3aα^2+c=0 すなわち c=-3aα^2
y=ax^3-3aα^2x=ax(x^2-3α^2) から解がx=0,±(√3)αとなり、
成り立つことがわかります。
No.23601 - 2013/12/26(Thu) 22:30:40
★ 集合の一対一対応とは / アクオス
別の所でも質問したのですが理解できなかったのでよろしくお願いします。

自分の使っている数学Aの参考書に

「一対一対応を基にした無限集合の考え方からは
有理数の無限集合よりも無理数の無限集合のほうがさらに大きなレベルの無限集合であることが導かれる」

と書かれているのですが、このことについて説明している部分が無く理解することが出来ません。


一対一対応を基にした無限集合の考え方とはどういうものなのか、
ということと

その考え方からどのようにして
有理数の無限集合よりも無理数の無限集合のほうがさらに大きなレベルの無限集合であることが導かれるのか

ということが知りたいです。
よろしくお願いします。
No.23594 - 2013/12/26(Thu) 17:34:01
☆ Re: 集合の一対一対応とは / angel
> さらに大きなレベル
高校の範囲を超えるので、参考書では言葉を濁しているのだと思いますが、これは集合の「濃度」に関するお話になります。
濃度というのは、無限も扱えるように要素数の概念を拡張したものだと考えると良いと思います。
「要素数」のままでは、例えば {1〜10の整数} は10個と数えることができても、{ 全ての偶数 } のような無限集合が扱えませんから。

では、どう濃度を評価するのか? それは物を数えるという基本に立ち返るようなものになります。
例えば100本程度の木が生えている林があるとしましょう。木の数をどうやって数えましょうか。闇雲に数えても上手くいかないので、ちょっとした工夫が要ります。そこで…

・1〜の数を書いたヒモを用意し、順々に木に結びつける。

という方法で数えることにしましょう。
もし1〜100のヒモを丁度使い切れば、100本の木があることになります。集合としては、{ 林の木全て } と { 1〜100の整数 } の要素が、過不足なく1対1に対応づけることができる状況です。
無限集合も含め濃度の評価は、この「過不足ない1対1対応がある」かどうかで行います。ちなみに、この対応のことは、正確には「全単射(写像)」と言います。
例えば、{全ての奇数} と {全ての偶数} は、写像(関数) f(x)=x+1 が全単射であるため、濃度が等しいと言えます。

取り敢えず、ここまでで最初の質問の答えで良いでしょうか。
No.23598 - 2013/12/26(Thu) 19:29:42
☆ Re: 集合の一対一対応とは / アクオス
angelさんありがとうございます。
1つ目の疑問は理解できました。
No.23599 - 2013/12/26(Thu) 20:00:06
☆ Re: 集合の一対一対応とは / angel
さて、上では「濃度が等しい条件」についてお話しました。
が、これでは物足りないと思います。なぜならば、大小関係について触れていないからです。

ではまた木を数える時のお話に立ち戻ってみましょう。
例えば、用意したヒモが1〜90で、全部を使い切ってしまった。けれど全ての木を数えられたか分からない、としましょう。
そうすると、木が90本以上あるのは確実ですが、90本丁度なのか、もっと多いのかという状態になります。
これから、濃度を||で表す ( 集合Ａの濃度: |Ａ| ) とすると、
　|{1〜90の整数}|≦|{林の全ての木}|
ということです。このように「単に1対1対応がある」場合には濃度の比較として≦ということにします。この対応は正確には「単射(写像)」と言います。お気づきかもしれませんが、前に出て来た「全単射」は「単射」の特別なケースです。

なぜ＜ではなく≦を持ち出すのか…疑問に思われるでしょうか。理由は2点あります。
一つは、|Ａ|≦|Ｂ| かつ |Ｂ|≦|Ａ| であれば、|Ａ|=|Ｂ| と言えること。これは当然のように見えて、実はそうではありません。ベルンシュタインの定理によって示される事柄です。
※興味があれば、wikipedia等で調べてみてください。
もう一つは、実は＜かどうかは簡単には分からなくて、調べるのが大変だということ。次の例をご覧ください。
　・{全ての整数}={全ての偶数}∪{全ての奇数} である
　・そのため |{全ての偶数}|≦|{全ての整数}|
　　※実際、単射 f(x)=x が存在する
　・では、 |{全ての偶数}|＜|{全ての整数}| か? |{全ての偶数}|=|{全ての整数}| か?
一見＜が成立するように見えるかも知れませんが、そうではなく= の方が正しい、となります。なぜならば全単射 f(x)=x/2 があるからです。
この例のように、無限集合の場合は＜か=かを判断するのは難しく、殊に＜の場合は≠つまり「全単射が存在しない」ということを示す必要がありますから、どうしても難しくなってしまうのです。

ここで代表的な集合同士の濃度の大小比較をしてみましょう。
　|{全ての自然数}|=|{全ての整数}|=|{全ての有理数}|
　＜|{全ての無理数}|=|{全ての実数}|=|{全ての複素数}|
やっと |{全ての有理数}|＜|{全ての無理数}| が出てきました。このお話は次にまわします。
No.23600 - 2013/12/26(Thu) 22:18:15
☆ Re: 集合の一対一対応とは / angel
先に、|{全ての有理数}|≦|{全ての無理数}| を示しておきます。これは簡単です。
なぜならば、一例として単射 f(q)=q+√2 が存在するから。
丁度良い機会なので、単射等についても、定義を明確にしておきましょう。
集合ＸからＹへの写像(関数) f(x) に関して、
　・x1≠x2⇒f(x1)≠f(x2) … f(x)は単射である
　　※例えば f(x)=e^x は単射、f(x)=x^2は単射ではない(Ｘ=Ｙ={実数全体}の場合)
　・Ｙの全ての要素yに対して、f(x)=y となるＸの要素xが存在する … f(x)は全射である
　　※言い方を変えると、「全てのf(x)の値を集めると、Ｙの全ての値をカバーできる」とも。
　　※例えば f(x)=x^3-x は全射、f(x)=x^2は全射ではない (Ｘ=Ｙ={実数全体}の場合)
　・f(x)が単射かつ全射である … f(x)は全単射である
　　※例えば f(x)=x^3 は全単射
前出のf(q)は q1≠q2⇒f(q1)≠f(q2) を満たす、有理数→無理数の写像ですから、ちゃんと単射になっているわけです。

では続いて、なぜ |{全ての有理数}|≠|{全ての無理数}| なのか。この説明には「対角線論法」という理屈が使われます。単純さのため、|{全ての自然数}|≠|{0以上1未満の実数}| を示します。
※自然数と有理数、0〜1の実数と無理数はそれぞれ同濃度なので問題なし。
証明する内容は、{自然数}→{0以上1未満の実数}の任意の写像(関数)f(x)に関して、

　f(x)は全射ではない ( 全射を否定すれば、全単射も同時に否定される )
　⇔全てのf(n)と異なる0以上1未満のyが存在する。

です。

　任意のf(x)に対し、0以上1未満の y を次のように定義する。
　・yの小数点第n桁目を、f(n)の小数点第n桁目の数字と9以外から選ぶ
　※9も省くのは、0.xx999…の形の循環小数が出てくるのを防ぐため
　　例えば 0.0019999…=0.002 のように、同じ値に異なる表現が出来てしまうのでマズい

　そうすると、任意のf(n)とyでは、少なくとも小数点第n桁目が異なるため、f(n)≠y が成立する

ザックリとした証明ですがこれで終わりです。なぜ「対角線論法」という名前なのか。それはf(1),f(2),f(3),…を並べて、対角線上にある桁を工夫して y を作り出しているところから来ています。

ともあれ、有理数と無理数を比較してみると、有理数の方が圧倒的に少ない ( 濃度が小さい ) わけです。同時に、同じ(ように見える)無限同士でも、大小関係というモノがあることが分かります。
一応これらの濃度には名前があって、自然数や有理数の濃度はアレフゼロ(Xのような形のヘブライ文字+0)、無理数や実数の濃度はアレフと言います。アレフゼロは、無限の濃度の中でも最も小さい濃度であることが分かっています。( つまり、無限集合の濃度は必ずアレフゼロ以上になる )
No.23602 - 2013/12/26(Thu) 22:57:39
☆ Re: 集合の一対一対応とは / アクオス
内容を理解するのに時間がかかりそうなので
疑問に思ったところがあればまた後日質問させてください。
詳しい回答ありがとうございました。
No.23603 - 2013/12/27(Fri) 15:22:04
☆ Re: 集合の一対一対応とは / angel
ええ。じっくりとどうぞ。
高校の範囲は軽く超えていますし ( ムリとは言いませんが ) それなりにボリュームがありますから。
No.23604 - 2013/12/27(Fri) 18:26:42
★ 三角関数 / かな
Cos160°=cos(180°-20°)=-cos20が理解できません。
Cos180=０になるのですか？
もしこの考えが正しいなら

cos240=1/4(cos(180+60))=1/2でもいいはずです、
-1/2にしかならないのはどうしてですか？
No.23592 - 2013/12/25(Wed) 17:21:35
☆ Re: 三角関数 / かな
ごめんなさい、加法定理すればいいだけのことでした！もう大丈夫です！
No.23593 - 2013/12/25(Wed) 17:47:50
全22776件 [ ページ : << 1 ... 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 ... 1139 >> ]