問題：２つの箱にそれぞれ１〜ｍまでの番号を一枚ずつ印刷したカードがｎ枚入っている。それぞれの箱から１枚ずつ取り出して、その２枚のカードの数字の和をＸとする。このとき、
（１)Ｘ＝ｋとなる確率Ｓ（ｋ）を求めよ。
ただし、両方とも、２≦ｋ≦２ｎとする。
X=k(k=1,2,3,・・・,n)のときはk-1通りというのはわかりますが、X=k(k=n＋1,n＋2,・・・,2n)のときの場合の数の求め方がわかりません。
k=n＋1のときは場合の数がn
k=n＋2のとき場合の数がn-1
・・・
k=2nのとき場合の数が1
場合の数をみると初項がn、公差が-1の等差数列となっているので一般化できそうです。でもkとnの式にするにはどうすればいいのかわからず答えをみたところ
「k=n＋【1】,n＋【2】,・・・,n＋【n】を
k=n＋【l】(l=1,2,3,・・・,n)とおく。
すると、l=1のときk=n＋【1】である場合の数はn
l=2のときk=n＋【2】である場合の数はn-1
・・・
l=nのときk=n＋【n】(=2n)である場合の数は1
よって場合の数a[l](l=1,2,3,・・・,n)は初項n,公差-1の等差数列である。」とあり、最初は「なるほどー」と思っていたのですが、今考え直すとよくわかりません。
a[1]、 a[2]、 ・・・a[n]のそれぞれはa[l](l=1,2,・・・,n)とコンパクトに表せますよね。
a[1],a[2],・・・,a[n]の各項がそれぞれ表すものは
a[1]=n a[2]=n-1 ・・・a[n]=1なので
これもコンパクトに表すとa[l](l=1,2,3,・・・,n)=n＋(l-1)・(-1)=2n-k＋1とできるということなんでしょうか？
lとnとかいろいろでてきて頭がこんがらがってしまいます。
私ははじめ、a[n]=n＋(n-1)・(-1)としてしまいました。でもこれじゃ場合の数a[n]を求めてるだけですし、それにkを含めた式をつくりたいのでこれじゃあだめです。
勘違いというか混乱を招いてる元は数Ｂの数列でやった
「初項a[1]、公差dの数列の一般項は
a[n]=a[1]＋(n-1)・d」で、だいたい一般項を求めるときはa[n]とnを使っているので、a[l]と書くのに違和感があって、でもそうしないと場合の数は一般化できないんですけど、なんだかよくわからない・・っていう感じです。
どなたか数学が得意な方教えてください。お願いします。
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No.23295 - 2013/11/25(Mon) 00:44:29
| ☆ Re: 確率 / ヨッシー  | | | １〜ｍ ではなく １〜ｎ ですね。
ここで、ｌについて考え方を述べても、問題集の答えに書かれた
ことのくり返しになりますので、ここではｌを使わずに書いてみます。
Ｘ＝ｋ となる場合の数を a(k) （上のa(l) とは別物です) とします。
２≦ｋ≦ｎ のときは、a(k)＝k-1 です。
ｎ＜ｋ≦２ｎ のとき
a(n+1)＝n、a(n+2)＝n-1、a(n+3)＝n-2、・・・a(2n)＝1
となり、a(k)＝2n+1−k となります。
よって、求める確率は
S(k)＝(k-1)/n^2 ２≦ｋ≦ｎ のとき
S(k)＝(2n+1-k)/n^2 ｎ＜ｋ≦２ｎ のとき
です。
この方が違和感がないのではないでしょうか。
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No.23299 - 2013/11/25(Mon) 08:16:44 |
| ☆ Re: 確率 / かっくん | | | > １〜ｍ ではなく １〜ｎ ですね。
>
> ここで、ｌについて考え方を述べても、問題集の答えに書かれた
> ことのくり返しになりますので、ここではｌを使わずに書いてみます。
>
> Ｘ＝ｋ となる場合の数を a(k) （上のa(l) とは別物です) とします。
> ２≦ｋ≦ｎ のときは、a(k)＝k-1 です。
> ｎ＜ｋ≦２ｎ のとき
> a(n+1)＝n、a(n+2)＝n-1、a(n+3)＝n-2、・・・a(2n)＝1
> となり、a(k)＝2n+1−k となる。
これはとりあえずkを式に含ませるためにn＋1から2nまでを一般化したのがkなのでこのkを用いて場合の数を考えているということでしょうか？
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No.23303 - 2013/11/25(Mon) 11:36:36 |
| ☆ Re: 確率 / ヨッシー | | | 途中にｌを使っても最終的にはｋを使って表さないといけません。
ｌを使うのに違和感があるようでしたので、ｋだけを用いて
進めました。
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No.23309 - 2013/11/25(Mon) 17:02:20 |
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