a,bを実数の定数とし、実数の集合A,BをA＝{x|x^2＋ax＋b=0｝B={x|x^2＋bx＋a=0｝とする。集合A∩Bが、ただ１つの要素よりなるときのaとbの関係を求め、それを図示せよ。
(自分の解答)
集合A∩Bのただ1つの要素をx=tとすると、x^2＋ax＋b=0・・・?@,x^2＋bx＋a=0・・・?Aを両方とも満たすので、
?@、?Aにそれぞれx=tを代入すると
t^2＋at＋b=0・・・?@'
t^2＋bt＋a=0・・・?A'
?@’?A’を連立してt^2を消去すると
(a-b)t=a-b
(i)a-b=0のとき
tの値に関係なく両辺は0となり成り立つ。
(ii)a-b≠0のとき
t=1
?@'?A'にそれぞれt=1を代入するとb=-a-1
a≠bよりa≠-a-1 a≠-1/2
よって(i)(ii)より条件を満たすaとbの関係は
b=-a-1(ただしa≠-1/2)
または
b=a
としたのですが解答は
「A∩B=｛t｝とするとtは集合A,Bの要素であるから
t^2＋at＋b=0・・・?@
t^2＋bt＋a=0・・・?Aが成立する。
?@-?Aより
(a-b)(t-1)=0
よってa=bまたはt=1・・・?B
(ア)a=bのとき
A=B={x|x^2＋ax＋a=x^2＋bx＋b=0}となるから
A∩Bがただ一つの要素からなるのは
x^2＋ax＋a=0(x^2＋bx＋b=0でもよい)を満たす実数xがただ1つのときである。
その条件は(判別式)=a^2-4a=0
a=0,4
よって(a,b)=(0,0)(4,4)
(イ)a≠bのとき
?Bよりt=1でなくてはならない。
?@に代入するとb=-a-1
このとき
x^2＋ax＋b=(x-1)(x＋a＋1)であるから
A={1,a-1}
また、x^2＋bx＋a=(x-1)(x-a)であるから
B={1,a}
したがってA∩B={1}になる条件は
a=1または-a-1=1またはa≠-a-1
【b=-a-1】だから(a,b)=(1,-2)または(a,b)=(-2,1)または
【b=-a-1(a≠-1/2)】となる。
これらはまとめてb=-a-1(a≠1/2)とかける。
(ア)(イ)をまとめると、
b=-a-1(a≠1/2)または(a,b)=(0,0)または(a,b)=(4,4)
したがってこれらを図示すればよい。
とあるのですが、【b=-a-1】はどうして必要になるんでしょうか？(a,b)=(1,-2)または(a,b)=(-2,1)としてa≠1/2のときの座標は書かなかったらいいだけじゃないのですか？
また、自分の解答で、
「(i)a-b=0のとき
tの値に関係なく両辺は0となり成り立つ。」としてますが、
このときx=tはどんな値をとっても成り立つので
tが「ただ１つの要素」であることに矛盾しますよね？
でも(ii)ではt=1と絞られるんでいいんですけど
解答のように(a,b)=(0,0)または(a,b)=(4,4)をだせません。
どうしたら解答のような解き方ができるんでしょうか？
また自分の解き方のまずい点をたくさん教えてください。
数学は大の苦手ですので解けるようにしたいです。よろしくおねがいします。
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No.23375 - 2013/11/29(Fri) 01:06:31
| ☆ Re: 数I / ヨッシー  | | | まず、「集合A∩Bが、ただ１つの要素よりなる」とはどういう時かを
整理すると、
１．ＡとＢがともに重解を持ち、それが同じである。
→(a,b)=(0,0),(4,4)
２．Ａは異なる２解を持ち、Ｂはそのうちの１つを重解として持つ。
→(a,b)=(1,-2)
３．Ｂは異なる２解を持ち、Ａはそのうちの１つを重解として持つ。
→(a,b)=(-2,1)
４．Ａ，Ｂともに異なる２解を持ち、そのうちの１つの解のみが共通。
→b=-a-1(a≠-1/2)
となります。
特に、１．のところが見落とされていますので、そこに注意してみてください。
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No.23378 - 2013/11/29(Fri) 10:45:12 |
| ☆ Re: 数I / ニガテ | | | ヨッシーさんありがとうございます。
(i)a-b=0のとき
tの値に関係なく両辺は0となり成り立つ。
ここのところでただ一つの要素tは1だろうが2だろうが-1だろうが、
実数であればいろんな場合が考えられてしまいますよね。
このことは要素tがただ一つのみに定まらないのでおかしいとなって、他の方法でただ一つのみのtを求める方法はないかということで
思いついたのが解答のやり方ということなんでしょうか？
でも私なら(i)a-b=0のとき
tの値に関係なく両辺は0となり成り立つ。
としてしまった時点でただ一つのみの要素tは一つではないとして終わってしまうと思います。
どうしたらそこから解答のようにつなげられるのでしょうか？
教えてください。
お願いします。
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No.23379 - 2013/11/29(Fri) 16:40:21 |
| ☆ Re: 数I / ヨッシー | | | 「ただ一つの要素t」とありますが、ｔは?@と?Aをともに満たす
解ですが、「ただ一つ」ではありません。
実際、ａ＝ｂ のとき?@と?Aは同じ方程式になり、その解α、βは
両方とも、集合A∩B の要素になりますので、要素が１つには
なりません。（１つになるのは、重解の時だけです）
また、文面から感じられるのは、ａ＝ｂであれば、
x^2＋ax＋b=0・・・?@,x^2＋bx＋a=0・・・?A
はどんなｘに対しても成り立つと思われているように見えます。
ａ，ｂを適当に取れば、どんな値も取ることは出来ますが、
ある決まった、ａ，ｂから得られる解は、高々２個までです。
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No.23380 - 2013/11/29(Fri) 17:19:25 |
| ☆ Re: 数I / ニガテ | | | No.23384 - 2013/11/30(Sat) 01:40:42 |
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