ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 至急お願いします(o_ _)o / ころ

任意の実数A∈Rに対してlimit n→∞ (An) = a のとき有利数列 {An} , An ∈Ｑが存在することを示せ。

至急お願いしま

No.22973 - 2013/10/31(Thu) 07:41:11

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

問題文がかなり変ですが、もし問題が
「任意の実数aに対してねlim[n→∞]A[n]=aとなる有理数列{A[n]}が存在することを示せ。
ならば
A[n]=m/2^n ただし m/2^n＜a＜(m+1)/2^n
とすれば条件を満たしますね。

No.22974 - 2013/10/31(Thu) 08:44:14

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 問題文がかなり変ですが、もし問題が
> 「任意の実数aに対してねlim[n→∞]A[n]=aとなる有理数列{A[n]}が存在することを示せ。
> ならば
> A[n]=m/2^n ただし m/2^n＜a＜(m+1)/2^n
> とすれば条件を満たしますね。

証明してもらえると助かります(´･ω･`)

No.22976 - 2013/10/31(Thu) 10:21:26

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

何を証明するのですか？

No.22979 - 2013/10/31(Thu) 10:24:41

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 何を証明するのですか？

示すのが課題としてでていて、上記の内容を示さなければなりません。

No.22980 - 2013/10/31(Thu) 10:41:22

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

存在を示すだけなら、実例を挙げれば十分です。
実例のA[n]が条件を満たしているのは
|A[n]-a|＜1/2^n から明らかですが、
その自明なことを厳密に証明しなければならないのであれば、
ε－Ｎ論法で示せば良いと思います。

No.22981 - 2013/10/31(Thu) 10:46:03

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 存在を示すだけなら、実例を挙げれば十分です。
> 実例のA[n]が条件を満たしているのは
> |A[n]-a|＜1/2^n から明らかですが、
> その自明なことを厳密に証明しなければならないのであれば、
> ε－Ｎ論法で示せば良いと思います。

証明しなければなりません。
ε-N論法でといてみたいと思います。
出来たら、証明の方も書いて頂けると助かります。
お願いします(o_ _)o

No.22983 - 2013/10/31(Thu) 12:11:02

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

例えば任意のε＞0に対して1/ε＜N≦1/ε+1となるようにNをとれば、
n≧Nのとき|A[n]-a|＜1/2^n＜1/n≦1/N＜εとなりaに収束することが言えます。

# この問題のポイントはこの部分ではありませんので、
# ここだけ厳密にしてもあまり意味がない気がしますが…

No.22987 - 2013/10/31(Thu) 13:14:01

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 例えば任意のε＞0に対して1/ε＜N≦1/ε+1となるようにNをとれば、
> n≧Nのとき|A[n]-a|＜1/2^n＜1/n≦1/N＜εとなりaに収束することが言えます。
>
> # この問題のポイントはこの部分ではありませんので、
> # ここだけ厳密にしてもあまり意味がない気がしますが…

意味がないというのは。もう言うことですか。

No.22988 - 2013/10/31(Thu) 13:35:22

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

> 意味がないというのは。もう言うことですか。

？

No.22989 - 2013/10/31(Thu) 14:07:01

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / angel

横から失礼しますが、この問題は大学の講義か何かのものですよね？
そうすると、どんな前提知識があるのか ( どんな公理や原理、定理を使って良いか ) により、適切な回答は変わります。そこのところ、整理しないと、単なる丸投げになってしまいます。

はっきり言えば、高校レベルならtrivialな問題です。
実数を無限小数表現にして、1桁ずつ拾っていけば、明らかに元の実数に収束するのですから。
例えば、√2 であれば、
　a[1]=1, a[2]=1.4, a[3]=1.41, a[4]=1.414, …
と有限小数 ( 有理数 ) の数列を構成すれば、これは√2 に収束します。

しかし、何故trivialかというと、高校レベルでは、実数の連続性の話をぼかした上で、「既に分かっているもの」として扱っているからです。
恐らくこの問題では、実数の連続性の原理的な部分 ( アルキメデスの原理や、区間縮小法といったもの ) での説明が求められているものと思います。
なので、冒頭の話に戻りますが、どんな前提知識があるのか、その情報が大事なのです。
ということで、ちょっと整理しましょう。

No.23004 - 2013/10/31(Thu) 20:51:48

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

今一よく分かっていないのですが。

今のところ区間距離などの所をやっています！
それと、アルキメデスも出てきました。

No.23023 - 2013/11/02(Sat) 22:29:30

★ (No Subject) / なかがわ

関数y＝ax＾＋ｂ（0≦x≦２）の最大値が2　最小値が－４である、係り数a bの値を求めよ。

よろしくおねがいします

No.22970 - 2013/10/30(Wed) 23:38:47

☆ Re: / らすかる

「^」には「2乗」という意味はなく、「べき乗」という意味です。
「2乗」ならば「^2」、「3乗」ならば「^3」のように書きましょう。
それから、「係り数」というのは初めて見ましたが、
「係数」（けいすう）のことを「かかりすう」と言うこともあるのでしょうか。

y=ax^2+b はaが0だと条件を満たさないのでaは0以外の数
a＞0のとき、x=0で最小値-4、x=2で最大値2をとるから
y=ax^2-4に(x,y)=(2,2)を代入してaを求めると a=3/2
∴(a,b)=(3/2,-4)は解
a＜0のとき、x=0で最大値2、x=2で最小値-4をとるから
y=ax^2+2に(x,y)=(2,-4)を代入してaを求めると a=-3/2
∴(a,b)=(-3/2,2)は解
従って答えは (a,b)=(3/2,-4),(-3/2,2)

No.22972 - 2013/10/31(Thu) 02:24:14

☆ Re: / らすかる

x=0で最小値-4をとる場合
y=ax^2+bにx=0,y=-4を代入すればb=-4と決まります。
x=0で最大値2をとる場合
y=ax^2+bにx=0,y=2を代入すればb=2と決まります。
x=0のときy=bですから、x=0のときのyの値がそのままbの値になりますね。

No.22977 - 2013/10/31(Thu) 10:23:10

☆ Re: / なかがわ

らすかるさんありがとうございました。
あと一点a>O a<O の識別の判断は最小値－２　－４で判断すべきなのでしょうか？そこが理解ができません。
すいません。

No.22982 - 2013/10/31(Thu) 12:10:32

☆ Re: / なかがわ

ごめんなさい最大値２最小値－４です。

No.22984 - 2013/10/31(Thu) 12:11:41

☆ Re: / らすかる

a＞0のときはx=0で最小、a＜0のときはx=0で最大になる理由が
わからないということでしょうか？

No.22986 - 2013/10/31(Thu) 13:04:55

☆ Re: / ナカガワ

はい、そうです。

No.22990 - 2013/10/31(Thu) 15:13:08

☆ Re: / らすかる

x^2はx=0のときが最小であることはわかりますか？
これがわかるのであれば、a＞0ならば
ax^2もx=0のときが最小なので、
ax^2+bもx=0のときが最小となります。a＜0も同様。
y=ax^2+b のグラフを描けば一目瞭然です。

No.22996 - 2013/10/31(Thu) 16:07:00

☆ Re: / ナカガワ

図書くと理解できました。よろしくお願いします。

No.23002 - 2013/10/31(Thu) 19:11:49

☆ Re: / ナカガワ

タイプミスです。ありがとうございます。

No.23003 - 2013/10/31(Thu) 19:14:00

★ 2次関数の問題の場合分けについて / アクオス

こんばんは。
自分が使っている参考書の中で理解ができない説明があり、
出版社にも問い合わせてみて、回答をいただいたのですがそれでも理解が出来ませんでした。
もしよければ教えてください。

y=f(x)=(x-a)^2+2 (0≦x≦2)

の最小値を求める問題で

(1) a<0　　　の時　最小値f(0)=(0-a)^2+2=a^2+a
(2) 0≦a<2 の時　最小値f(a)=(a-a)^2+2=2　　
(3) 2≦a の時　最小値f(2)=(2-a)^2+2=a^2-4a+6

の解答の説明で

「ここで1つ疑問に思っている人がいると思う。
(1)a<0のとき最小値f(0)、
(2)0≦a<2のとき最小値f(a)、
(3)2≦aのとき最小値f(2)
の場合分けで等号が付いていたり
付かなかったりするのに何か意味があるのか?ってね。
これはハッキリ言ってどうでもいい。
(1)と(2)の境界のa=0のとき、最小値はf(0)といってもf(a)といってもいい。aは0なんだから。
同様に(2)と(3)の境界のa=2のとき、最小値をf(a)といってもf(2)といってもいい。aは2で同じだから。
だから場合分けするためにどちらかに等号はつけないといけないけれど、どちらに付けてもかまわない」

と書かれているのですが、この説明の意味が理解ができません。

自分の考えでは

a<0のとき　f(0)=(0-a)^2+2= a^2+2
a=0のとき　f(0)=(0-a)^2+2= a^2+2
0<a<2のとき　f(a)=(a-a)^2+2= 2

となり

それで　
a=0のとき a^2+2 でa<0の時と同じ最小値。
aは0なので、この式のaに0を入れると　最小値2　になり、これは0<a<2の時と同じ最小値。

だから
「aは0だから (a^2+2の式に0を入れると2になり0<a<2の最小値と同じだから) 最小値はf(0)といってもf(a)といってもいい」

なのでa=0の時の場合分けをa<0の時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。

同じように

0<a<2のとき　f(a)=(a-a)^2+2= 2
a=2のとき　 f(2)=(2-a)^2+2= a^2-4a+6
2<aのとき　　f(2)=(2-a)^2+2= a^2-4a+6

となり
a=2のとき　a^2-4a+6　で2<aの時と同じ最小値。
このaは2なのでこの式のaに2を入れると最小値2になり、これは　0<a<2の時と同じ最小値。

なので

「(a=2のとき)　aは2で、(a^2-4a+6の式のaに2を入れると最小値2になり0<a<2と) 同じだから。」

という説明がされていて

だからa=2の時の場合分けを2<aの時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。

ということかと考えていて

出版社にも同じ内容のもので問い合わせて、このような回答をいただきました。

「＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）＾２＋２
の０＜＝ｘ＜＝２における最小値を
ｍ＝ｇ（ａ）
とおきます。
（?@）ａ＜０のとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝ａ＾２＋２
（?A）０＜＝ａ＜２のとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝２
（?B）２＜＝ａのとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝（ａ－２）＾２＋２
となりますね。
よって、ｍ＝ｇ（ａ）のグラフをａｍ直交座標系上に描くと、
一続きの連続したグラフであることが分かります。
これから、上のａの３つの場合分けで、等号はどちらに付けてもＯＫなのですね。」

しかし自分の考えとどう違っているのか、わかりませんでした。

私の考え方は間違っているのでしょうか？もし間違っていれば
出来れば、私の考えの中のどこが、どのように間違えているかなど教えていただければ助かります。

長くなりましたがよろしくお願いします。

No.22964 - 2013/10/30(Wed) 21:16:42

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / ＩＴ

>a=2のとき　a^2-4a+6　で2<aの時と同じ最小値。
a=2のとき最小値は、2<aの時の最小値と「同じ式」で表されてますが「同じ値」ではありません。

>なのでa=0の時の場合分けをa<0の時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。
まず、「a=0の時の場合分けをa<0の時に入れる。」などという考え方（表現）は、間違っていると思います。
a=0の時の場合分けをa<0の時と併せて「a≦0のとき」として表記しても良いし、
a=0の時の場合分けを0<a<2のときと併せて「0≦a<2のとき」として表記しても良い。ということだと思います。

No.22965 - 2013/10/30(Wed) 21:43:08

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / angel

特にアクオスさんの考えが間違っているとは思いませんが、私ならば違う見方をします。
なお、参考書の記述や出版社の回答については、その真意はなんとも言えませんが、アクオスさんの考えに近いものと思います。

アクオスさんの考えを見ていると、「計算した結果がたまたまどちらのケースにも合致するから、どちらに分類しても良い」のように思えます。
それはそれでアリです。が、計算結果を見るまで「どちらに分類しても良い」と判断できないことになります。

私ならば次のように考えます。a=0の例で行くと、
　・頂点を跨がない範囲で、放物線のグラフのy座標の最小値は、その範囲でのグラフの両端の内小さい方
　　なので、最小値は f(0)
　・頂点を含む範囲において、(下に凸な)放物線のグラフのy座標の最小値は、頂点のy座標
　　なので、最小値は f(a)
このどちらでも説明ができるところです。
前者で説明するなら、a＜0 のケースと同じ話なので、まとめて「a≦0 において最小値は f(0)」となるでしょうし、
後者で説明するなら、0＜a＜2 のケースと同じ話なので、
「0≦a＜2 において最小値は f(a)」となります。
このような考え方であれば、結果を計算するまでもなく、「どちらのケースに分類しても良い」ということが分かります。

No.22966 - 2013/10/30(Wed) 22:32:35

☆ 補足１ / angel

参考書の記述や出版社の回答ですが、次のような意図があるかも知れません。
「aの値に応じて、最小値は『連続的に』変化するものだから、どちらのケースからアプローチしても同じ値になるはずだ」
この方針でいけば、a=0 の時の最小値は、a＜0 の延長上で考える ( で、まとめて a≦0 としてしまう ) やり方でも、0＜a＜2 の延長上 ( で、まとめて 0≦a＜2 としてしまう ) やり方でも良い、ということになります。
…実際、高校で出てくる関数は殆ど全てが連続関数なので、こういう方針でも答えは合ってしまうのですが、連続でない関数が出てくる場面でも通用するか、というとそうではないでしょうから、( もし出版社の真意がここにあるのなら ) 私は好きになれません。

No.22967 - 2013/10/30(Wed) 22:56:24

☆ 補足２ / angel

二次関数とは全く関係ありませんが、「計算したらたまたま他のケースと同じ式で表せるからまとめちゃった」的な場面を紹介します。

　Q: 数列 a[n] は、n≧1 に対して S[n]=a[1]+…+a[n]=n^2 を満たす。この数列の一般項を求めよ。
　A: a[n]=2n-1

この問題を解く場合、n=1 と n≧2 は分けて考えなければなりません。なぜならば、
　n=1 の場合、a[1]=S[1]
　n≧2 の場合、a[n]=S[n]-S[n-1]
と全然違う計算になるからです。
しかしながら今回の例では、たまたま計算式が統一できてしまうような結果となるため、最終的な解答は場合分けしない形にできます。
これがもし S[n]=n^2+1 だったりすると統一ができないため、場合分けを残したものが最終的な解答になります。

No.22969 - 2013/10/30(Wed) 23:05:21

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / アクオス

ITさん、angelさんありがとうございます。
理解することが出来ました。
また何かあればよろしくお願いします。

No.23001 - 2013/10/31(Thu) 18:09:46

★ 数?T / ゆぅ

xについての不等式と方程式
x/3+(4+x)/2>1…?@
4(2x-k)≧5k-2x…?A
5x^2+9kx-2k^2…?B
がある。ただし、kは0ではない定数とする。
(1)不等式?@を解け。
(2)不等式?Aを解け。また、方程式?Bを解け。
(3)不等式?@、?Aを共に満たす整数xが10個だけ存在するようなkの値を求めよ。
さらに、このとき、方程式?Bの2つの解をα、βとすると、
│α│+│β│のとり得る値の範囲を求めよ。

(3)が分かりません(>_<)
解説お願いします！

あと、お時間ありましたら、
(1)(2)の答え等も教えて下さいm(__)m

よろしくお願いします。

No.22953 - 2013/10/29(Tue) 21:50:37

☆ Re: 数?T / ヨッシー

?B は 5x^2+9kx-2k^2＝0 のことでしょうか？
だとすると、
　(5x－k)(x＋2k)＝０
より　ｘ＝k/5, -2k　ではあります。

また、問題の式が正しいとすると、
?@　ｘ＞-6/5　?A　ｘ≧0.9k
となり、?@?Aを共に満たす整数は常に無限に存在します。
よって、問題の式が間違っていると予想されます。

No.22955 - 2013/10/29(Tue) 23:49:01

☆ Re: 数?T / ゆぅ

ごめんなさいm(__)m
問題入力ミスしてました
?Bは5x^2+9kx-2k^2=0です

No.22958 - 2013/10/30(Wed) 05:43:20

☆ Re: 数?T / ヨッシー

?@または?Aに間違いはありませんか？

No.22959 - 2013/10/30(Wed) 05:58:28

☆ Re: 数?T / ゆぅ

…すみません
?Aの不等号の向きも逆でした

正しくは
4(2x-k)≦5k-2x…?A
です

No.22962 - 2013/10/30(Wed) 19:33:26

☆ Re: 数?T / ヨッシー

すると、
?@　ｘ＞-6/5　?A　ｘ≦0.9k
ですね。
「不等式?@、?Aを共に満たす整数xが10個だけ存在する」を考えると、
?@ を満たす整数は
　ｘ＝-1, 0, 1, 2,・・・であり、x=8 が小さい方から10個目の
整数となります。
すると　?A ｘ≦0.9k が、８を含んで９を含まない範囲となればいいことになります。つまり、
　8≦0.9k＜9
で、80/9≦ｋ＜10 が求める範囲となります。

?B の解はｘ＝k/5, -2k　であり、80/9≦ｋ＜10 の範囲では、
　k/5＞０、-2k＜０
なので、
　│α│+│β│＝k/5＋2k＝11k/5
これより、
　176/9≦11k/5＜22
つまり　
　176/9≦│α│+│β│＜22
となります。

No.22968 - 2013/10/30(Wed) 22:56:59

★ 数学的帰納法 / 加瀬

n個の実数a[1]、a[2]、・・・、a[n]が0<a[i]≦1(i=1,2,3,・・・,n)をみたす。このとき任意の2以上の整数nに対し、不等式
(A)a[1]＋a[2]＋a[3]＋・・・a[n]≦a[1]・a[2]・a[3]・・・a[n]＋(n-1)が成り立つことを数学的帰納法で示し、等号が成立する場合を明記せよ。
＜解＞
数学的帰納法で示す。
(i)n=2のとき
0<a[1]≦1、0<a[2]≦1より
a[2]≦a[1]・a[2]＋1
a[1]・a[2]-a[2]＋1
＝a[2](a[1]-1)＋1≧0
なのでn=2のとき(A)は成り立つ。
(ii)n=kのときa[1]＋・・・＋a[k]≦a[1]・a[2]・・・・a[k]＋(k-1)・・・?@が成り立つと仮定し、
【a[1]＋・・・＋a[k]＋a[k＋1]≦a[1]・a[2]・・・・a[k＋1]＋k】・・・?Aの結果が得られることを示す。
?@の両辺にa[k＋1]を足すと
a[1]＋・・・＋a[k]＋a[k＋1]≦a[1]・a[2]・・・・a[k]＋(k-1)＋a[k＋1]・・・?B
?Aの右辺と?Bの右辺の大小を比較すると
?Aの右辺≧?Bの右辺となるので(計算略)
?Aが成り立つ。
よってn=k＋1のときも(A)は成り立つ。
したがって～～示された。

No.22941 - 2013/10/29(Tue) 15:21:00

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

?A等号成立について

0<a[i]≦1(i=1.2.3.・・・.n)より、
(1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・)
よって
≪≪a[1]a[2]a[3]・・・a[n]＋1≧a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1]＋a[n](等号成立はa[1]=a[2]=・・・＝a[n-1]=1またはa[n]=1のとき)
・・・
a[1]a[2]＋1≧a[1]＋a[2](等号成立はa[1]=1またはa[2]=1のとき)≫≫
以上を辺々加えて整理すると、
a[1]a[2]a[3]・・・a[n]＋n-1≧a[1]＋a[2]＋・・・＋a[n]
問題の等号成立の条件は
≪≪　≫≫部分のすべての不等式において等号が成立する。
いま、あるkに対してa[k]≠1とすると
a[1]=a[2]=・・・=a[k-1]=1かつa[k＋1]=・・・=a[n]=1
すなわち、他の(n-1)個はすべて１に等しくなる。
したがって等号性が成立する条件は
a[1],a[2],・・・,a[n]のうち少なくともn-1個が1に等しい。

とあるのですが、数学的帰納法の証明は自分でできたのですが、等号が成立する場合を明記するところが解説をみても意味がわかりませんでした。
なぜ≪≪　≫≫部分の不等式を列挙するのか、0<a[i]≦1より、
(1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・)
というのがどうしてぱっとでてくるのか？
後半のn-1個のくだりも意味がわかりませんでした。
理解力がないのでだれかわかる方教えてください。よろしくお願いします。

※同じ質問を間違えて二つ立ててしまいました。本当にごめんなさい。

No.22943 - 2013/10/29(Tue) 15:25:09

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

結局のところこの問題のポイントは、
　0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1
です。
ここから、

　a[1]+a[2]≦a[1]a[2]+(2-1)　※A=a[1],B=a[2]に相当
　a[1]a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+1　※A=a[1]a[2],B=a[3]に相当
　→ a[1]+a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+(3-1)　※上2つの式を辺々足す
　a[1]a[2]a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+1　※A=a[1]a[2]a[3],B=a[4]に相当
　→ a[1]+a[2]+a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+(4-1)　※上2つの式を辺々足す
　…
　→ a[1]+a[2]+…+a[n-1]≦a[1]a[2]…a[n-1]+((n-1)-1)
　a[1]a[2]…a[n-1]+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+1　※A=a[1]a[2]…a[n-1],B=a[n]に相当
　→ a[1]+a[2]+…+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+(n-1)　※上2つの式を辺々足す

という内容を帰納法にしているのが今回の証明です。
これって、→ で始まる行を除いた
　a[1]+a[2]≦a[1]a[2]+(2-1)
　a[1]a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+1
　a[1]a[2]a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+1
　…
　a[1]a[2]…a[n-1]+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+1
を全て足し合わせているのと同じことなのですね。
なので、等号成立条件は、これらの不等式全てで等号が成立すること。
これが、
> なぜ≪≪　≫≫部分の不等式を列挙するのか
に対する答えです。

> (1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・) というのがどうしてぱっとでてくるのか？
元の A+B≦AB+1 の根拠である 0≦(1-A)(1-B) と、上にある「不等式全てを辺々足したもの」を意識しているからです。

ただ、正直なところを言えば、等号成立条件についても帰納法で書く方が分かり易いです。つまり、
　a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]a[2]…a[n]+(n-1) が成立する条件は、
　a[1]～a[n]の内、少なくともn-1個が1に等しいことである
の、帰納法による証明を書くと言うことです。
今度は、0≦(1-A)(1-B)⇔A+B≦AB+1 ではなく、0=(1-A)(1-B)⇔A+B=AB+1 から A=1orB=1 が基本になります。

No.22957 - 2013/10/30(Wed) 00:43:54

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

すみません。最後に補足なのですが
0＜A,B≦1はどこからきたのでしょうか？
お願いします。

No.23011 - 2013/11/01(Fri) 21:40:17

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

すみません。先ほどの質問は解決しました。
きになるのは最初に帰納法によって題意は示されましたが、
この証明の結果からどうして辺々を加えたものが帰納法によって示される結果になるのかということです。
　0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1がポイントとのことですがどうしたらこれを利用することに気付けるのかわかりません。よろしくお願いします。

No.23012 - 2013/11/01(Fri) 23:10:30

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

> この証明の結果からどうして辺々を加えたものが帰納法によって示される結果になるのかということです。

それが帰納法の特徴です。帰納法は、
　(1) n=1 の時を調べる
　(2) n=1 の時の結果に、n=1,2 の違いを加味して n=2 の時の結果を導く
　(3) n=2 の時の結果に、n=2,3 の違いを加味して n=3 の時の結果を導く
　…
　(k+1) n=k の時の結果に、n=k,k+1 の違いを加味して n=k+1 の時の結果を導く
　…
ということで、全ての自然数nに対する説明を行うものです。
※(2)以降のステップは、kという文字でまとめて行うため、実際は2ステップ分だけで済む

であれば、各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考えもできるです。
例えば、
　n=1の時の結果に n=1,2の違い、n=2,3の違い、n=3,4の違いを加味する
　→ n=4 の時の結果が導かれる
といった具合にです。
今回であれば、「不等式の辺々を全て足す」というのが相当します。

No.23020 - 2013/11/02(Sat) 15:32:19

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

> 0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1がポイントとのことですが
> どうしたらこれを利用することに気付けるのかわかりません。

帰納法の時には、nの値を増やした時の差分 ( 上で「違い」と言っているもの ) を見つけるのが重要です。
例えば、今回の問題での n=3,4 の違いを探す場合、
　n=3 … a[1]+a[2]+a[3]　　　≦a[1]a[2]a[3]　　+(3-1)
　n=4 … a[1]+a[2]+a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+(4-1)
見比べると、
　・左辺に +a[4] が追加されている
　・右辺の a[1]a[2]a[3] に ×a[4] が追加されている
　・右辺の定数項が +1 されている
ということで、a[1]a[2]a[3]=A, a[4]=B と置きかえると
　A+B≦AB+1
が成立してくれると都合が良さそう ( 証明に十分 ) となります。この構造は n=4 の時に関わらず常に同様であることも、幾つかnの値を試してみると気付くと思います。
※加えて、n=1 の時の不等式がそのまま A+B≦AB+1 の形をしているというのもある

しかも A+B≦AB+1 はちゃんと証明ができます。( もちろん A,B の値の範囲が限定されていることが前提ですが )
なので、やっぱり A+B≦AB+1 がキーだな、ということになります。

No.23021 - 2013/11/02(Sat) 15:52:08

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

angelさんすごくわかりやすい回答ありがとうございます。
「各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考え」というのは初めて知りました。
たとえば、　「n が正の整数のとき、1+2+3+···+n=n(n+1)/2 …成り立つことを証明せよ。」という問題があったとき、
n=1のとき左辺=1　右辺=1より成り立つ。
n=2のときも同様に両辺が3となり成り立つ。
n=3のときも同様に両辺が6となり成り立つ。
では、n=4のときの結果を導くためには？
ここで先ほど教えていただいた、「違い」の蓄積という考えで、n=1のときの結果にn=1,2の違い(左辺同士の差が2)
n＝2,3の違い(左辺同士の差が3)、n=3,4の違い(左辺同士の差が4)より
n=4のときの結果(両辺が10)が導かれる。
こういうことなんでしょうか？
何度も質問申し訳ありません。

No.23038 - 2013/11/05(Tue) 01:43:36

☆ Re: 数学的帰納法 / angel

> 「各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考え」というのは初めて知りました。

私のような言い回しは初めて見るかもしれませんが、同じようなモノには、触れたことがあるはずですよ。
　S[1]=a[1]
　S[n]=S[n-1]+a[n]　( n≧2の場合 )
このS[n]は数列a[n]の和を表すものです。ここで出るnは、2以上の自然数を代表しているに過ぎませんから、
　S[1]=a[1]
　S[2]=S[1]+a[2]
　S[3]=S[2]+a[3]
　…
　S[k+1]=S[k]+a[k+1]
　…
をまとめたものになっていて、これはそのまま帰納法と同じ表現になっています。
( なので、これをS[n]の帰納的定義と言ったりします )

一方で、数列の和というのは、
　S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
ですが、n≧2の場合に見方を変えれば、S[1]=a[1]にそれぞれの差分a[2],a[3], …, a[n]を蓄積したもの、とも言えます。

こういったことを解答の中で直接的に説明することはないですが、自分の中でイメージを持っておけば、もっと楽に取り組めるものと思います。

No.23039 - 2013/11/05(Tue) 08:07:55

☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬

angelさん！！
何度も回答して頂いて本当にありがとうございました！
とてもわかりやすく、また一つ理解を深めることができました。ほんとうにありがとうございました！

No.23042 - 2013/11/05(Tue) 19:18:11

★ 中３ / 加瀬

f(x)＝Σ[k=1～100]|kx‐1|＝|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋‥‥＋|100x‐1|を最小にするxの値を求めよ。
・解き方
a[k]=kx-1とする。
(i)x>1のとき絶対値の中身は正なのでf(x)=5050x-100
(ii)x<1/100のとき絶対値の中身は負なのでf(x)=-5050x＋100
(iii)1/100≦x≦1のときf(x)は絶対値の中身が正である部分と負である部分があり、その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。
x-1≦0,2x-1≦0,3x-1≦0,・・・,mx-1≦0,(m＋1)x-1≧0,・・・、100x-1≧0であるとき、
1/(m＋1)≦x≦1/mが成り立つ。
このとき、f(x)=Σ[k=1~m](-a[k])＋Σ[k=m＋1~100](a[k])
={5050-m(m＋1)}x＋2m-100
傾きが正となるのはm=70のときで1/71≦x≦1/70
傾きが負となるのはm=71のときで1/72≦x≦1/71
以上より、傾きが負から正となる境目のx=1/71においてf(x)は最小となる。

とあるのですが、x<1/100の部分はf(x)=-5050x＋100、x>1の部分はf(x)=5050x-100で直線ですが、
1/100≦x≦1の部分は折れ線グラフになるんでしょうか？グラフがイメージできません。
また、「その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。」の部分について、
たとえばf(x)=|x-1|＋|2x-1|＋|3x-1|＋|4x-1|のとき、
境目となる絶対値の中身が3x-1なら、
x=1/3のときだとx-1、2x-1は負、3x-1は0、4x-1は正
x=1/3.5のときだとx-1、2x-1、3x-1は負、4x-1は正
となりますがx=1/3はたしかに0を境にして負から正に転じていますがx=1/3.5のときは3x-1が境目とは言えなくないですか？
「その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。」の一文の意味がよくわかりません。
その理屈だったら、x-1≦0,2x-1≦0,3x-1≦0,・・・(m-1)x-1≦0,mx-1≧0,(m＋1)x-1≧0,・・・、100x-1≧0でもmx-1は境目といえるので、どうして解答のようになるのかが釈然としません。
わかる方教えてください。よろしくお願いします。

No.22929 - 2013/10/29(Tue) 11:21:23

☆ Re: 中３ / らすかる

「その境目」とは「絶対値の中身が負である最後の項」のことですね。
なぜなら、Σ[k=1～m](-a[k]) としているからです。

No.22930 - 2013/10/29(Tue) 12:17:20

☆ Re: 中３ / 加瀬

ありがとうございます。
もう一つ質問なのですが、
考え方として、絶対値の中身が正のものと負のものとで相殺しあうことで最小値に近づきそうだなーと考えて、
f(x)=|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋・・・＋|mx-1|＋|(m＋1)x-1|＋・・・・・・|100x‐1|
において
|x-1|～|mx-1|までの絶対値の中身が負
|(m＋1)x-1|～|100x-1|までの絶対値の中身が正と最初はおおざっぱに考えました。mx-1と(m＋1)x-1に着目してすると
1/(m＋1)≦x≦1/mのときa[1]～a[m]まで減少、a[m＋1]～a[100]まで増加となります。
ここで疑問になったことがあるのですが
たとえばx=1/mのときはa[1]～a[m-1]までは確かに負ですがa[m]は0ですよね？
これをa[1]～a[m]まで減少と表現してもとくに問題はないと思うのですが大丈夫なんでしょうか？
わかるかたおしえてください。おねがいします。

No.22931 - 2013/10/29(Tue) 12:43:17

☆ Re: 中３ / らすかる

a[m]が0でもa[m-1]が正ならば
a[1]～a[m]まで減少
になりますね。

No.22932 - 2013/10/29(Tue) 13:37:47

☆ Re: 中３ / 加瀬

「a[m]が0でもa[m-1]が正」というのは
f(x)=|x-1|＋・・・＋|(m-1)x-1|＋|mx-1|＋・・・|100x-1|
で、(m-1)x-1が正になるということはx>1/(m-1)でないといけないので、このとき、a[m]は正なのでa[m]が0のときa[m-1]が正というのはありうるのでしょうか？

No.22940 - 2013/10/29(Tue) 15:00:05

☆ Re: 中３ / らすかる

> 1/(m＋1)≦x≦1/mのときa[1]～a[m]まで減少、a[m＋1]～a[100]まで増加となります。

この「a[1]～a[m]まで減少」は|a[k]|について言っているんですよね？
それと同じく、|a[m]|が0でも|a[m-1]|が正ということです。

No.22946 - 2013/10/29(Tue) 15:55:38

☆ Re: 中３ / 加瀬

ありがとうございました

No.23013 - 2013/11/01(Fri) 23:45:53

★ (No Subject) / なかがわ

正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
横の長さを二メートル長くして長方形にしたら元の長方形の長さの三倍になったこの時もとのはたけの長さは？
考え方がわかりませんよろしくおねがいします

No.22921 - 2013/10/27(Sun) 21:54:22

☆ Re: / X

＞＞元の長方形の長さ
意味が不明です。
問題文にタイプミスはありませんか？

No.22922 - 2013/10/28(Mon) 00:21:00

☆ Re: / らすかる

もしも問題が
> 正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
> 横の長さを二メートル長くして長方形にしたら、
> 周囲の長さが三倍になった。この時元の畑の周囲の長さは？
だとすると
正方形の一辺をx(m)とすると、元の畑の周囲は4x
大きくした後の畑の周囲は2(x+1)+2(x+2)=4x+6
よって 4x+6=3(4x) で、これを解くとx=3/4だから
答えは 4×(3/4)=3(m)

もしも問題が
> 正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
> 横の長さを二メートル長くして長方形にしたら、
> 周囲の長さが三倍になった。この時元の畑の一辺の長さは？
だとすると
正方形の一辺をx(m)とすると、元の畑の周囲は4x
大きくした後の畑の周囲は2(x+1)+2(x+2)=4x+6
よって 4x+6=3(4x) で、これを解くとx=3/4だから
答えは (3/4)m=75cm

もしも問題が
> 正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
> 横の長さを二メートル長くして長方形にしたら、
> 面積が三倍になった。この時元の畑の一辺の長さは？
だとすると
正方形の一辺をx(m)とすると、元の畑の面積はx^2
大きくした後の畑の面積は (x+1)(x+2)
よって (x+1)(x+2)=3(x^2) で、これを解くとx=-1/2,2だが、
x＞0だからx=2(m)

もしも問題が
> 正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
> 横の長さを二メートル長くして長方形にしたら、
> 対角線の長さ三倍になった。この時元の畑の一辺の長さは？
だとすると
正方形の一辺をx(m)とすると、元の畑の対角線の長さは(√2)x
大きくした後の畑の対角線の長さは √{(x+1)^2+(x+2)^2}
よって √{(x+1)^2+(x+2)^2}=3(√2)x で、これを解くと
x=(3±√89)/16 だが、x＞0だからx=(3+√89)/16 (m)

No.22923 - 2013/10/28(Mon) 01:19:21

★ 2次関数の最小 / Kitty (高校3年生)

はじめまして。

2次関数 f(x)＝x^2ー2ax＋2a＋5の区間0≦x≦4における最小値g(a)とおくとき、このg(a)を求めよ。

という問題なのですが、

a≦0のとき g(a)＝f(0)＝2a＋5

のところに疑問があります。
a≦0ということはa＝0のときもあるので
ーa^2＋2a＋5
という時もあるのではないかと思うのです。
a＜0ならこの回答だとわかるのですが。
いまいちなぜa≦0なのかわかりません。
説明が下手で伝わってるかわかりませんが
回答していただけたらうれしいです。
よろしくお願いします。

No.22917 - 2013/10/27(Sun) 17:54:49

☆ Re: 2次関数の最小 / ヨッシー

これは、
i) ａが０より小さいとき　f(0)＝2a+5 が最小
ii) ａが０と４の間のとき　f(a)＝－ａ^2＋2a＋５が最小
iii) ａが４より大きいとき　f(4)＝-6a＋21 が最小
において、
ａ＝０　および　ａ＝４　をどちらに入れるのかという話になりますが、
例えば、ａ＝０を
i) に入れると最小値は　f(0)＝2・0＋５＝５
ii) に入れると最小値は　f(a)＝-0^2＋2・0＋５＝５
になり、どちらに入れても同じ値になるので、どちらに入れても良いのです。
ａ＝４も同様です。ですから、
i) ａ≦０
ii)　０＜ａ＜４
iii)　４≦ａ
でも、
i) ａ＜０
ii)　０≦ａ≦４
iii)　４＜ａ
でも、
i) ａ≦０
ii)　０≦ａ≦４
iii)　４≦ａ
でも良いのです。
ａ＝０やａ＝４が重複して含まれても良いですが、どれにも含まれないのはいけません。
i) ａ＜０
ii)　０＜ａ＜４
iii)　４＜ａ
はダメです。

No.22918 - 2013/10/27(Sun) 19:58:13

☆ Re: 2次関数の最小 / ＩＴ

>a≦0ということはa＝0のときもあるので
>ーa^2＋2a＋5
>という時もあるのではないかと思うのです
2a＋5と
-a^2＋2a＋5　に
a=0 を代入してみてください。

No.22919 - 2013/10/27(Sun) 19:58:43

☆ Re: 2次関数の最小 / Kitty (高校3年生)

わかってとってもスッキリしました！
ありがとうございました！

No.22920 - 2013/10/27(Sun) 21:11:57

★ 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / 潤一郎

ヨッシー先生こんばんは。又よろしくお願いします。
僕は組み合わせや場合の数など何から考えて
どのように取り組めばいいのかさっぱりわかりません。
問題の意味もわかりません。
例えばこの問題と載せたかったのですが全てが分らないのです。どうか勉強法を教えて下さい。NO２２８７５さんを見ていても全くわかりません。どうか小学生に教えるように
１から何を勉強すればいいのか教えて下さい。

No.22903 - 2013/10/25(Fri) 23:27:29

☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / ヨッシー

(1)
Ａ，Ｂ　２つの文字を１列に並べる並べ方は
　ＡＢ
　ＢＡ
の２通りです。
Ａ，Ｂ，Ｃ　３つの文字を１列に並べる並べ方は
　ＡＢＣ
　ＡＣＢ
　ＢＡＣ
　ＢＣＡ
　ＣＡＢ
　ＣＢＡ
の~~３通り~~６通りです。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　４つの文字を１列に並べる並べ方を上のように書き並べて求めなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　５つの文字を１列に並べる並べ方を上のように書き並べて求めなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ　６つの文字を１列に並べる並べ方を上のように書き並べて求めなさい。

(2)
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ４つの文字から２つ選んで並べる並べ方は
　ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，
　ＢＡ，ＢＣ，ＢＤ，
　ＣＡ，ＣＢ，ＣＤ，
　ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ
の１２通りです。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ４つの文字から３つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ５つの文字から２つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ５つの文字から３つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ６つの文字から２つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ６つの文字から３つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう

(3)
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ４つの文字から２つ選んで並べる並べ方は
　ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，
　ＢＡ，ＢＣ，ＢＤ，
　ＣＡ，ＣＢ，ＣＤ，
　ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ
の１２通りです。これらを、使われている文字が同じものを（　）でくくると、
　（ＡＢ．ＢＡ），（ＡＣ，ＣＡ），（ＡＤ，ＤＡ），
　（ＢＣ，ＣＢ），（ＢＤ，ＤＢ），（ＣＤ，ＤＣ）
で、（　）の中には２つずつの並べ方があり、（　）は全部で６個あります。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ４つの文字から３つ選んで並べる並べ方は
　ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＣＢ，ＡＣＤ，ＡＤＢ，ＡＤＣ，
　ＢＡＣ，ＢＡＤ，ＢＣＡ，ＢＣＤ，ＢＤＡ，ＢＤＣ，
　ＣＡＢ，ＣＡＤ，ＣＢＡ，ＣＢＤ，ＣＤＡ，ＣＤＢ，
　ＤＡＢ，ＤＡＣ，ＤＢＡ，ＤＢＣ，ＤＣＡ，ＤＣＢ
の２４通りです。これらを、使われている文字が同じものを（　）でくくると
　（ＡＢＣ，ＡＣＢ，ＢＡＣ，ＢＣＡ，ＣＡＢ，ＣＢＡ），
　（ＡＢＤ，ＡＤＢ，ＢＡＤ，ＢＤＡ，ＤＡＢ，ＤＢＡ），
　（ＡＣＤ，ＡＤＣ，ＣＡＤ，ＣＤＡ，ＤＡＣ，ＤＣＡ），
　（ＢＣＤ，ＢＤＣ，ＣＢＤ，ＣＤＢ，ＤＢＣ，ＤＣＢ）
で、（　）の中には６つずつの並べ方があり、（　）は全部で４個あります。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　５つの文字から２つを選んで並べたものについて、上と同じように（　）を使って書き上げなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　５つの文字から３つを選んで並べたものについて、上と同じように（　）を使って書き上げなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　６つの文字から２つを選んで並べたものについて、上と同じように（　）を使って書き上げなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　６つの文字から３つを選んで並べたものについて、上と同じように（　）を使って書き上げなさい。

こういう地道な書き上げを、これまで（あるいはこれから）どれだけやってきたか、ということに尽きます。
6Ｃ3 という記号や　6!/(3!3!) というような公式はそのあとです。

こちらの問題にしても
　(CDABE,DCABE),(CDAEB,DCAEB),(CDBAE,DCBAE),
　(CDBEA,DCBEA),(CDEAB,DCEAB),(CDEBA,DCEBA),
　(CADBE,DACBE),(CADEB,DACEB),(CBDAE,DBCAE),
　(CBDEA,DBCEA),(CEDAB,DECAB),(CEDBA,DECBA),
　(CABDE,DABCE),(CAEDB,DAECB),(CBADE,DBACE),
　(CBEDA,DBECA),(CEADB,DEACB),(CEBDA,DEBCA),
　(CABED,DABEC),(CAEBD,DAEBC),(CBAED,DBAEC),
　(CBEAD,DBEAC),(CEABD,DEABC),(CEBAD,DEBAC),
　(ACDBE,ADCBE),(ACDEB,ADCEB),(BCDAE,BDCAE),
　(BCDEA,BDCEA),(ECDAB,EDCAB),(ECDBA,EDCBA),
　(ACBDE,ADBCE),(ACEDB,ADECB),(BCADE,BDACE),
　(BCEDA,BDECA),(ECADB,EDACB),(ECBDA,EDBCA),
　(ACBED,ADBEC),(ACEBD,ADEBC),(BCAED,BDAEC),
　(BCEAD,BDAEC),(ECABD,EDABC),(ECBAD,EDBAC),
　(ABCDE,ABDCE),(AECDB,AEDCB),(BACDE,BADCE),
　(BECDA,BEDCA),(EACDB,EADCB),(EBCDA,EBDCA),
　(ABCED,ABDEC),(AECBD,AEDBC),(BACED,BADEC),
　(BECAD,BEDAC),(EACBD,EADBC),(EBCAD,EBDAC),
　(ABECD,ABEDC),(AEBCD,AEBDC),(BAECD,BAEDC),
　(BEACD,BEADC),(EABCD,EABDC),(EBACD,EBADC)
のように、書き上げるのが基本です(もちろん、最初はカッコは付けません)。

私などはそれこそ小学１年の頃からこういうことをやっていますので、
書き上げなくても、「ＣとＤ入れ換えたものが同数ずつある」と
「過去に書き上げた経験から」思いつくことが出来ます。

No.22906 - 2013/10/26(Sat) 09:34:57

☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / angel

ヨッシーさんではないですが、参考になれば。

まずは、教科書に書いてあることは最低限押さえること。
積の法則や樹形図と、そこから ! (階乗) やＰ (順列)、Ｃ (組み合わせ) の計算ですね。
さっくり探してみたら
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/index_m.htm
とかでもまとめてありますね。

後は心構えというか、取り組み方の問題ですが、
面倒でも慣れるまでは、全通り書きだすこと。
…といっても、何百通りともなると実際大変ですから、そういう場合は問題規模を小さくしてやってみて、だんだん大きな規模にしていく。これは「帰納法」と同じ考え方ですね。

例えば、No.22875の質問の場合、A～Eの並び方は120通りありますが、これなら何とか書き出せるでしょう。
※別に紙でなくても、パソコンのメモ帳なんかでタイプしても良いわけで
でも、Eをなくして4文字なら ( 24通り ) とか、A,Eもなくして3文字なら ( 6通り ) とかならもっと楽に書き出せるわけで、そこから傾向を探っていくのが有益です。

なお、書き出す時には、ただダラダラやってもダメで、必ず「面倒だからなんとかラクできないだろうか」というのは意識します。そこから規則性を見つけることで、数式を使って答えを導けるようになるのです。

後もう一つは、考え易い別の問題に置き換えられないかどうか、常に意識すること。
※これは場合の数に限った考え方ではないのですが…
いきなり自力では苦しいかも知れませんが、他の人の考え方も参考にして、こういう感覚を身につけると、大分やりやすくなります。

例えば、またNo.22875の例で行くと…
ちょっとイメージを変えて、A～Eを「文字」ではなく「人物」にしてみましょう。すると、

　A～Eの5人を一列に並べ、C,Dのどちらが左かを考える。
　⇔ 1～5の札(トランプとか)を用意してA～Eに配り、
　　A～Eはその番号順に左から並ぶ。
　　その上でC,Dのどちらが左かを考える。( 札の数が小さい方が左 )
　⇔ 1～5の札を用意してA～Eに配り、C,Dのどちらが札の数が小さいか考える。
　⇔ 1～5の札を用意してC,Dに1枚ずつ配り、どちらが小さいか考える。
　　その後残った3枚の札はA,B,Eに配るけど、これは答えには影響しない。

違うことを言っているようで、実は問題としては全く内容です。後の方を見れば「CとDが対等」という感覚にも頷けるでしょうか?

場合の数の問題が得意な人 ( 高校生と言わず小学生でも ) は、大抵こういう問題の置き換えが得意で、意識しなくても頭の中で問題を組み替えて分かり易い形にして、そこから式を組み立てるものだと思います。

No.22908 - 2013/10/26(Sat) 10:02:35

☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / 潤一郎

ヨッシー先生。沢山の例ありがとうございました。
本当に僕は馬鹿だと自分で思っています。でもこのサイトを
毎日見て勉強をさせてもらっています。英語はペラペラでも
数学を落とすことはできません。どうかもう少し助けて下さい。小学生に戻りたいと思います。馬鹿だと思ってもどうか
助けて下さい。朝から頑張っていましたが。まず本当にすみませんがここからお願いします。笑わないで教えて下さい。

Ａ，Ｂ，Ｃ　３つの文字を１列に並べる並べ方は
　ＡＢＣ
　ＡＣＢ
　ＢＡＣ
　ＢＣＡ
　ＣＡＢ
　ＣＢＡ
の３通りです。

とありますが、ここの考え方からお願いします。
どうして６通りではないのですか？
３通りなのですか？すみません。馬鹿で。

No.22912 - 2013/10/26(Sat) 15:07:34

☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / ヨッシー

アイヤー。
それは、３通りではなくて６通りです。

それで朝から悩んでたとしたら申し訳ない。

No.22913 - 2013/10/26(Sat) 15:13:55

☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / 潤一郎

ヨッシー先生ありがとうございます。
少し良かったです。

あとまだまだ頑張ってみます。又頑張ったあとお礼します。
申し訳ありませんでした。

No.22914 - 2013/10/26(Sat) 17:30:27

★ 図形問題 / かねこ

はじめまして、よろしくお願いします
塾の先生にもらった問題なんですが難しくて解けません…
難しい回答でもいいので教えてください。

ABCDは長方形で面積は24cm^2
点EはBCの中点、∠BDFは90°でDE=DF
△DEFの面積は18cm^2
このとき△CEFの面積はいくつか

No.22891 - 2013/10/25(Fri) 02:29:33

☆ Re: 図形問題 / らすかる

BE=CE=a, CD=b とすると 2ab=24 なので ab=12
DF=DE=√(CE^2+CD^2)=√(a^2+b^2)
BD=√(BC^2+CD^2)=√(4a^2+b^2)
△DBE=(1/4)□ABCD=6
EからBDに垂線EHを下ろすと
EH=6×2÷BD=12/√(4a^2+b^2)
DH=√(DE^2-EH^2)=√{a^2+b^2-144/(4a^2+b^2)}
△DEF=△DHF=DF×DH÷2=√(a^2+b^2)・√{a^2+b^2-144/(4a^2+b^2)}/2=18
b=12/aを代入してbを消去し、整理すると
a^12-1008a^8-20736a^4+746496=0
この方程式は正の実数解を2個持つが、図に適する解は
a={48(7-(4√13)sin(arcsin(2969√13/10816)/3))}^(1/4)
=2.08565056338772024616…
FからCDに垂線FMを下ろすと
△FDM∽△DBC なので
DM=(BC/BD)DF=(2a)√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)
CM=CD-DM=b-(2a)√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)
△CEF=CE×CM÷2=a{b/2-a√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)}
=a{6/a-a√(a^2+(12/a)^2)/√(4a^2+(12/a)^2)}
={12(a^4+36)-a^2√{(a^4+144)(a^4+36)}}/{2(a^4+36)}
これに上記のaの式を代入したものが答えです。
近似値は
△CEF=2.25398173987111266963…

整理したら
△CEF=6-(4√30)sin(arcsin(9√30/100)/3)
となりました。

No.22892 - 2013/10/25(Fri) 06:02:06

☆ Re: 図形問題 / ab

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/003/138269444395614479225.gif

　　　　　　　　　となりました。

No.22896 - 2013/10/25(Fri) 18:51:09

☆ Re: 図形問題 / らすかる

> abさん
その図は問題の条件と合っていないと思います。
∠EDF=90°ではなく、∠BDF=90°です。

No.22898 - 2013/10/25(Fri) 22:14:05

☆ Re: 図形問題 / ab

> > abさん
> その図は問題の条件と合っていないと思います。
> ∠EDF=90°ではなく、∠BDF=90°です。

失礼しました。
読み間違えておりました。

No.22900 - 2013/10/25(Fri) 22:53:03

☆ Re: 図形問題 / ab

>塾の先生にもらった問題

なら　解答を　入手可の筈です

(問題がその通りの)

解答を入手し　ここに　是非　提示願います。

No.22904 - 2013/10/26(Sat) 00:39:30

☆ Re: 図形問題 / かねこ

たくさんの解答ありがとうございました。
三角関数は分かるのですが、逆三角関数(？)はちょっと難しすぎました；；

おととい塾で質問してみたら、とても申し訳ないのですが、問題を映し間違えてきていたみたいで、∠EDF=90°だったみたいです。
そうしたら2次方程式を解くだけになって解けました…
その場合の答は3√5-3になります。先生も正解と言っていました。

∠BDF=90°の場合の式を聞いてみたら、1日かかると言われ、昨日答えを教えてもらいました。
---------------------
答ですが
x^3-1008x^2-20736x+746496=0の一つの正の解をtとしたとき
{ 12(t+36)-√[t(t+36)(t+144)] }/{2(t+36)}
になります。
------------------
とのことでした。

No.22924 - 2013/10/28(Mon) 01:29:29

☆ Re: 図形問題 / らすかる

私が上で書いた
> a^12-1008a^8-20736a^4+746496=0 の解を
> △CEF={12(a^4+36)-a^2√{(a^4+144)(a^4+36)}}/{2(a^4+36)}
> 代入したものが答え
と同じですね。
しかしこれはもっと整理できます。
△CEFは、方程式 x^3-18x^2-252x+648=0 の、2と3の間にある解です。
この答えを、電卓などで計算できる式の形で解いたものが
x=6-(4√30)sin(arcsin(9√30/100)/3)
となります。
（この値は、有理数と四則演算と累乗根では多分書けません。）

塾や学校でこんな問題を出すとは考えられませんので、
出題ミスか問題の写し間違いのどちらかだろう、とは思っていました。

No.22925 - 2013/10/28(Mon) 02:05:52

☆ Re: 図形問題 / ab

> おととい塾で質問してみたら、とても申し訳ないのです...
>
> ∠BDF=90°の場合の式を聞いてみたら、1日かかると言われ、昨日答えを教えてもらいました。
> ---------------------
> 答ですが
> x^3-1008x^2-20736x+746496=0の一つの正の解をtとしたとき
> { 12(t+36)-√[t(t+36)(t+144)] }/{2(t+36)}
> になります。
> ------------------
> とのことでした。

●　今となっては　代数的数　が　出現する　ので　ミス　の　方が　ステキ!!!!!

　a^12-1008 a^8-20736 a^4+746496=0 を　解けば　長さ　a が獲られる。

b^12-576 b^8-580608 b^4+11943936=0 を　解けば　長さ　b が獲られる。

S^3-18 S^2-252 S+648=0 を　解けば　面積 S が獲られる

と　「塾先生に提示し」　解いて下さい　と　お願いして

その顛末を　報告願います。

No.22926 - 2013/10/28(Mon) 12:02:14