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上の方の u=(1 - x^2)/(1 + x^2), v=(2*y)/(a*(1 + x^2))
が y-a*x=0 を u^2+v^2-1=0 に 変換するのは 理解できますが
どのようにして 変換式を つくったのでしょうか?
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No.23462 - 2013/12/07(Sat) 15:21:21
| ☆ Re: / angel | | | 「例えば」とありますから、この変換式はあくまで一例なのですが…
ただ、おそらく変換式として分かり易い ( 作り易い ) ものだから挙げられているのでしょうね。
三角関数の知識があるならば、以下の話を参考に。
今回、-π/2＜θ＜π/2 であるθを共通のパラメータとして、
x=tanθ, y=atanθ
u=cos2θ, v=sin2θ
とx,y,u,vを作った場合、これはy=ax,u^2+v^2=1を満たす例になっています。
ここから三角関数の性質を使えば
(cosθ)^2=1/(1+(tanθ)^2)=1/(1+x^2)
u=cos2θ=2(cosθ)^2-1=(1-x^2)/(1+x^2)
v=sin2θ=2sinθcosθ=2tanθ(cosθ)^2=2y/(a(1+x^2))
(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2=1/2・(1+u)
x=tanθ=sinθ/cosθ=sinθcosθ/(cosθ)^2=(1/2・sin2θ)/(1/2・(1+u))=v/(1+u)
y=atanθ=av/(1+u)
と、同じ変換式が導かれます。
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No.23464 - 2013/12/07(Sat) 16:11:44 |
| ☆ Re: / b | | | 有難うございます。
(1) 三角関数を介さないで y-a*x=0 を u^2+v^2-1=0 に 変換する 変換式は 作れないのでしょうか?
(2) x^2+y^2-1=0 を
u^6 v^4-6 u^6 v^3+7 u^6 v^2-4 u^6 v+u^6-8 u^5 v^4+20 u^5 v^3-18 u^5 v^2+6 u^5 v+7 u^4 v^4-12 u^4 v^3+2 u^4 v^2+4 u^4 v-u^4+2 u^3 v^4-10 u^3 v^3+12 u^3 v^2-4 u^3 v-2 u^2 v^4+4 u^2 v^3-2 u^2 v^2-v^4+2 v^3-v^2=0
に 変換する [有理式 R1(x,y)，R2(x,y)を使って] u＝R1(x,y)，v＝R2(x,y) は
作れますか?
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No.23465 - 2013/12/07(Sat) 17:00:11 |
| ☆ Re: / angel | | | > (1) 三角関数を介さないで y-a*x=0 を u^2+v^2-1=0 に 変換する 変換式は 作れないのでしょうか?
できないこともないかも知れませんが、u^2+v^2=1 という関係がある以上、三角関数を介して作った何かしらの変換式と結局は同じになるでしょう。
> (2) x^2+y^2-1=0 を …(略)… に 変換する [有理式 R1(x,y)，R2(x,y)を使って] u＝R1(x,y)，v＝R2(x,y) は作れますか?
うーん。ちょっと私では分かりません。申し訳ない。
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No.23482 - 2013/12/09(Mon) 22:02:02 |
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