ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ ベクトル、絶対値 / 春

No.23162 - 2013/11/15(Fri) 18:13:04

☆ Re: ベクトル、絶対値 / のぼりん

（１）　｜ｘａ＋ｙｂ＋ｃ｜^２＝ｘ^２＋ｙ^２＋１＋２ｘｙａ・ｂ＋２ｙｂ・ｃ＋２ｘｃ・ａ　…　?@
だから、題意の不等式で両辺を二乗し、
　　　ｙ^２＋１＋２ｘｙａ・ｂ＋２ｙｂ・ｃ＋２ｘｃ・ａ≧０　…　?A
です。ｙ＝０とすると、
　　　２ｘｃ・ａ＋１≧０
です。任意の実数ｘに対し上の不等式が成り立つから、ｃ・ａ＝０です。

次に、?A をｙに関する二次不等式と見れば、任意の実数ｙについて成り立つためには、
　　　（２ｘａ・ｂ＋２ｂ・ｃ）^２－１≦０
です。任意の実数ｘに対してこの不等式が成り立つから、ａ・ｂ＝０です。

（２）　「０≦θ≦１８０」は「０°≦θ≦１８０°」の意味と解します。勝手に度数の記号を省いてはいけません。
　　　ｂ・ｃ＝ｃｏｓθ
です。前問の結果と上式とｘ^２＋２ｙ^２＝１を ?@ に代入し、
　　　｜ｘａ＋ｙｂ＋ｃ｜^２＝ｘ^２＋ｙ^２＋１＋２ｙｂ・ｃ
　　　＝－ｙ^２＋２＋２ｙｃｏｓθ＝－（ｙ－ｃｏｓθ）^２＋２＋ｃｏｓ^２θ
です。

No.23166 - 2013/11/16(Sat) 11:05:20

★ 数ニ微分 / みなみ

関数f(x)=x^3-3x2+3kx-3 が極大値と極小値をもち、差が32。
実数kを求めよ。

f'(x)=3(x^2-2x+k) ?@

f'(x)=0の解をα.β(α<β)とすると、3(x-α)(x-β)
極値の差はf(α)-f(β)=1/2•(β-α)^3

したがってβ-α=4 ?A

[[[[ここで、α、βは?@=0の解により、1±√1-kだから、?Aは2√1-k=4 ]]]
[[[. ]]]の部分が理解できません、1±√1-k とはなんでしょう？
よろしくお願いします

No.23159 - 2013/11/15(Fri) 15:18:54

☆ Re: 数ニ微分 / ヨッシー

?@＝０　（この書き方もどうかと思いますが）
を、解の公式で解いた時の解です。

No.23160 - 2013/11/15(Fri) 15:36:52

★ 関数の証明問題 / Asuna

たびたびすいません。

A⊂Rでf:A→RがA上でLipschitz関数であるとは, ∀x,y∈Aに対し, |f(x)-f(y)|≦M|x-y|なる正の実数Mが存在する事である.

関数fとgがE⊂R上でLipschitz関数…(*)の時,fとgがEで有界かEがcompactの時,fg:E→R;fg(x):=f(x)g(x)もE上でLapschitz関数である事を示せ。
(原文:f and g are bounded on E, or the set E is compact. Prove that fg is a Lipschitz function on E.)
という問題です。

(i) Eで有界の時は,
∀x_1,x_2∈Rに対して,|f(x_1)|<sup(f(E)):=M_1,|g(x_1)|<sup(g(E))=:M_2,|f(x_1)-f(x_2)|<M_3,|g(x_1)-g(x_2)|<M_4なる正数M_1,M_2,M_3,M_4が存在する(∵(*)),
その時, |f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|≦|f(x_1)||g(x_1)-g(x_2)|+|g(x_1)||f(x_1)-f(x_2)|≦(M_1M_4+M_2M_3)|x_1-x_2|と書けるのでf(x)g(x)はE上でLapschitz関数と言えました。

(ii) Eがcompactの時,

Eは有界閉という事は分かりますがここから先に進めません。
どのようにすればいいでしょうか?

No.23158 - 2013/11/15(Fri) 13:14:14

☆ Re: 関数の証明問題 / のぼりん

こんにちは。
ｆ、ｇはリプシッツ関数だから、連続です。
Ｅはコンパクトだから、ｆ（Ｅ）、ｇ（Ｅ）もコンパクトです。
後は前問と同様ですね。

No.23168 - 2013/11/16(Sat) 11:51:55

☆ Re: 関数の証明問題 / Asuna

どうも有難うございます。

> ｆ、ｇはリプシッツ関数だから、連続です。

そうだったのですか、
f:(-∞,0)∪[1,+∞)→Rをf(x):=0 (x<0の時), 1(x>1の時)とするとこれはLipschitz関数ですが,不連続、、
と思いきや,連続の定義に立ち返ると(-∞,0)∪[1,+∞)でfは連続ですね。

> Ｅはコンパクトだから、ｆ（Ｅ）、ｇ（Ｅ）もコンパクトです。
> 後は前問と同様ですね。

なるほどです。

No.23189 - 2013/11/18(Mon) 03:09:02

★ 2次関数(高1) / ゆぅ

2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは
y=2x^2を平行移動したもので……2点云々……

という問題があるのですが、

解説の
y=ax^2+bx+c のグラフは
y=2x^2を平行移動したものだから a=2
というのがまず理解出来ません(/ _ ; )

どうか(これ以上出来るか分かりませんが可能な限り)分かりやすく、その部分を解説して下さい!!
よろしくお願いしますm(._.)m

No.23149 - 2013/11/14(Thu) 20:49:52

☆ Re: 2次関数(高1) / ＩＴ

問題を全文書いてみてください。

No.23151 - 2013/11/14(Thu) 21:42:10

☆ Re: 2次関数(高1) / ゆぅ

2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフは
y=2x^2を平行移動したもので、
2点(-1,9)、(1,1)を通る。
このときの、a,b,cの値をそれぞれ求めよ。

答えは
a=2 , b=-4 , c=3
です。

No.23152 - 2013/11/14(Thu) 21:49:27

☆ Re: 2次関数(高1) / ＩＴ

a=a’(≠0)のとき
2次関数 y=ax^2+bx+c のグラフAと
2次関数 y=a’x^2+b’x+c’ のグラフB　は平行移動で重なり、重なるのは、a=a’のときに限る。　ということは習われませんでしたか？

例えば、
y=x^2 のグラフとy=x^2 + 1のグラフは、平行移動するとピッタリ重ねることができます。
y=x^2 のグラフとy=2x^2 + 1のグラフは、平行移動してもピッタリとは重なりません。グラフを描いて確かめて下さい。

No.23153 - 2013/11/14(Thu) 22:40:06

☆ Re: 2次関数(高1) / ゆぅ

遅れてしまい、すみません(>_<)

グラフを書いたら、分かりました！！
ありがとうございましたー

No.23200 - 2013/11/18(Mon) 21:10:51

★ 集合 / Kitty (高校3年生)

200以下の自然数の中で、3または5または7の倍数の個数を答えよ。

という問題なのですが、
66＋40＋28ー13ー5ー9＋1
と計算するようなのですが
最後の＋1はどうしているのでしょうか？
重なる数は引くというのはわかるのですが
どうして最後だけたすのでしょうか？
教えてください。
よろしくお願いします。

No.23145 - 2013/11/14(Thu) 19:48:57

☆ Re: 集合 / X

200以下の自然数で3,5,7の倍数の集合をそれぞれ
A,B,Cとし、例えば集合Aの要素の数をN[A]と表す
こととすると求める個数は
N[A∪B∪C]=N[(A∪B)∪C]
=N[A∪B]+N[C]-N[(A∪B)∩C] (A)
ここで
N[A∪B]=N[A]+N[B]-N[A∩B] (B)
N[(A∪B)∩C]=N[(A∩C)∪(B∩C)]
=N[A∩C]+N[B∩C]-N[(A∩C)∩(B∩C)]
=N[A∩C]+N[B∩C]-N[A∩B∩C] (C)
(B)(C)を(A)に代入して
N[A∪B∪C]=N[A]+N[B]+N[C]-N[A∩B]-N[A∩C]-N[B∩C]
+N[A∩B∩C]
これの末項のN[A∩B∩C]がご質問の+1に当たります。

ベン図をイメージして補足すると
N[A]+N[B]+N[C]-N[A∩B]-N[A∩C]-N[B∩C]
までではA∩B∩Cの部分を余分に１回引きすぎてしまう
ので補正のために１回だけ足す、ということになります。

No.23146 - 2013/11/14(Thu) 20:01:01

★ (No Subject) / mega

xy平面上に,楕円 (x-a)^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)がある。
いま,x軸の負の部分に動点Aをとる。この楕円に外接し,AB=ACをみたす二等辺三角形ABCの面積をSとするとき,次の各問いに答えよ。
(1) A(-t,0) (t>0)とおくとき,Sをtで表せ
(2) Aを動かしたときのSの最小値を求めよ

(1)は(2)の誘導で、(1)ができればあとは計算だろうなぁとは思うのですが、(1)の式を立てられないので方針だけでもお願いします。
まったく手をつけることができていない状態です。

No.23144 - 2013/11/14(Thu) 19:26:11

☆ Re: / ヨッシー

図のように楕円をｙ軸方向にa/b倍に拡大して円にします。
円の中心をＯ、ＡＢ上の接点をＤ、Ｄからｘ軸に下ろした垂線の
足をＥ、ＢＣとｘ軸の交点をＦとします。

△ＡＯＤは直角三角形で、ＡＯ＝ａ＋ｔ、ＯＤ＝ａ　より
ＡＤ＝√(ｔ^2＋２ａｔ)
△ＡＢＦは、△ＡＯＤと相似であり、
　ＦＢ＝ＯＤ×ＡＦ/ＡＤ
　　＝ａ(２ａ＋ｔ)/√(ｔ^2＋２ａｔ)

元の図では、ＢＦの長さは b/a 倍なので、
　２ｂ(２ａ＋ｔ)/√(ｔ^2＋２ａｔ)
が、実際のＢＣの長さになります。

No.23147 - 2013/11/14(Thu) 20:05:13

☆ Re: / X

ヨッシーさんの方針の方が分かりやすいですが
ゴリゴリ計算する方針としてアップします。

まず点Aを通る問題の楕円((A)とします)の
二本の接線の方程式を求めます。

(A)上の点(X,Y)における接線の方程式は
(X-a)(x-a)/a^2+Yy/b^2=1 (B)
これが点Aを通ることから
(X-a)(-t-a)/a^2=1 (C)
又、点(X,Y)を(A)が通ることから
{(X-a)/a}^2+(Y/b)^2=1 (D)
(C)(D)を連立して解くと
(X,Y)=…

ここまで来ると残りの接線の方程式が
x=2a (E)
となることから(B)(E)によりB,Cの座標を求めることが
できますので
S=(1/2)BC・{2a-(-t)}=…
と計算できます。

No.23148 - 2013/11/14(Thu) 20:16:29

★ 数学A / 7Ｃ2

平面上に、どの3本も同一点で交わらない9本の直線がある。9本中2本だけが平行であるとき、これら9本の直線によってできる交点の個数を求めよ。
解答
平行である2本の直線のうち、1本の直線Ｌを除いて考えると、
交点は８Ｃ２除いた直線Ｌを加えると、Ｌに平行でない7本の直線とで交点が７Ｃ１増えるとあるのですが、
Lを加えたあとに増える交点を7C2とどうしてもしてしまいます。
なんとなく7C2にすると重複する点がでてしまいダブルカウントしてしまうんだとおもうのですが、それでも7C2としてしまいます。
どなたかすっきりする解説おねがいします汗

No.23142 - 2013/11/14(Thu) 17:17:00

☆ Re: 数学A / らすかる

紙に互いに平行でない線を5本ぐらい1点で交わらないように引いて、
その後どれかの線に平行に線を1本引いてみてください。
当然、この線は平行な線をのぞいた4本と交わり、交点は4個増えますよね。
つまり平行でない4本の線から1本を選ぶ組合せ4C1となります。
9本でも同様ですね。

No.23143 - 2013/11/14(Thu) 17:32:58

☆ Re: 数学A / 7C2

ありがとうございます。実際に言われた通り書いて見るとたしかに交点が4個になりました。
でも、平行でない4本の直線から1本えらぶ4C1で交点の個数が求まるのはどうしてなんでしょうか？
また、平行でない直線は必ず1点で交わりますよね？
回答お願いします。

No.23155 - 2013/11/15(Fri) 03:25:55

☆ Re: 数学A / ヨッシー

最初の問題で出てきた
８本の直線(平行な組なし)で出来る交点は 8Ｃ2 は、
何もないところに、バラバラっと８本の線が置かれて、
そこから点を選び出す作業です。
線を２本選ぶことによって、点が１個決まります。

そこに線を１本加えると言う場合は、２本のうち１本は
手に持っていて、それを、既に置かれている８本の線と
組み合わせていく作業です。
８本のうち１本を選べば、手に持っている１本と組み合わせて
点が１個決まります。
この問題では、８本のうち１本とは平行に置くので、
残りの７本から１本選んで、手に持っている線と組み合わせます。
選び方は 7Ｃ1 です。

５本に１本加える場合も同様です。

No.23156 - 2013/11/15(Fri) 06:59:09

★ 極限の証明 / Asuna

[問] a∈Rでf:(a,∞)→RはL:=lim_{x→∞}xf(x)∈Rである時, lim_{x→∞}f(x)=0を示せ.
という問題で躓いてます。

※ロピタルの定理の章より前にあるのでロピタルの定理は使えません。

仮定より, ∀ε>0に対して, ∃δ>0; max{a,δ}<x⇒|xf(x)-L|<εでこれから
∃δ'>0; max{a,δ'}<x⇒|f(x)-0|<ε
はどうすれば導けますでしょうか?

No.23140 - 2013/11/14(Thu) 10:40:05

☆ Re: 極限の証明 / angel

類題として、
　lim[x→∞] 1/x = 0
の証明はできますか?
→∞の極限なので、
　∀ε＞0 に対して∃α∈Ｒ s.t. x＞α⇒|1/x-0|＜ε
を示すことになります。

これができるなら、lim[x→∞] (xの有限な関数)/x = 0 も同じ理屈で証明できるはずです。例えば lim[x→∞] sinx/x = 0 とか。

今回の問題は、さらにその延長線上にあります。
lim[x→∞] xf(x) が収束するということは、ある程度以上 x が大きければ xf(x) は有限ということ。
※∀ε＞0, ∃α∈Ｒ s.t. x＞α⇒|xf(x)-L|＜ε⇔L-ε＜xf(x)＜L+ε

ということは、f(x)=(xf(x))/x も同じ理屈で 0 に収束すると言えるはずです。

No.23154 - 2013/11/14(Thu) 23:33:18

☆ Re: 極限の証明 / Asuna

わ。有難うございます。お陰様で解決できました。

No.23157 - 2013/11/15(Fri) 13:12:27

★ 背理法と対偶法について / アクオス

8月に「背理法と対偶法」について質問させてもらいました。
angelさんと黄桃さんに回答をいただいたのですが、その時は理解することが出来ませんでした。
最近になって意味がわかった気がするのですが合っているかわからないので確認させてください。

自分の使っている参考書の背理法と対偶法について説明で

「「対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る。
命題p⇒qが真であることをいうために￢qと仮定して￢pが導かれたとする。
pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。
でも￢q⇒￢pとは文字通りこれは対偶のことで、これが真と言えたから
自動的に元の命題が真といってもいい」

という事が書いてあり、よく理解が出来なかったので出版社に問い合わせたところ
この部分をもっと詳しく書くと下のようなことが書かれているということがわかりました。

「対偶法も背理法の一種と考えることが出来る。
命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。
命題を背理法で証明するために「pならばq」を否定して「pかつ￢q」。
証明されている「￢qならば￢p」はpではないので
「pかつ￢p」となり矛盾。
背理法が成立して「pならばq」は真となる。
対偶法なら
「命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。」の段階で自動的に命題が真といっていい。」

これは下のような事が書かれていると考えておけばいいでしょうか？

-------------------------------------------------------------------------------------------------

例えば
「a^2+b^2=c^2ならばa、b、cのうち少なくとも１つは偶数である」という命題を背理法で証明したいとする。

そうすると
「a^2+b^2=c^2であり、かつ、 a、b、cすべてが奇数となる」と仮定することになる。 (pかつ￢q)

背理法が成立するためには、この仮定に矛盾が生じないといけない。
そこで「￢q→￢p」(a、b、cすべてが奇数となるならば a^2+b^2=c^2 ではない)が証明されたとする。
矛盾が生じ背理法が成立した。

「￢q→￢p」は対偶を表している。

「pならばq」という形の命題が真であることを背理法で示すときに、対偶が証明されれば矛盾が生じ背理法が成立する。

「普通の対偶法」では

命題「pならばq」を証明したい
↓
対偶が証明された
↓
命題「pならばq」が証明される

このように考えるが

命題「pならばq」を証明したい
↓
背理法を使って　pかつ￢q　　と仮定する
↓
対偶が証明された　　→　pかつ￢q　と矛盾する　
↓
命題「pならばq」が証明される

このように考えることも出来るので、対偶を示せば背理法が成立するので
対偶法も背理法の一種と考えることが出来る

よろしくお願いします。

No.23133 - 2013/11/13(Wed) 19:15:23

☆ Re: 背理法と対偶法について / angel

特に問題ないと思います。

No.23134 - 2013/11/13(Wed) 20:12:50

☆ Re: 背理法と対偶法について / アクオス

angelさんありがとうございます。
理解することができました。

No.23136 - 2013/11/13(Wed) 20:46:28

☆ Re: 背理法と対偶法について / アクオス

>angelさんへ

少しまだ理解できていないところがあったのでよろしくお願いします。
対偶法も背理法の一種と考えることが出来る理由がよく理解できていませんでした。　

-----------------------------------------
命題「pならばq」を証明したい
↓
背理法を使って　pかつ￢q　　と仮定する
↓
対偶が証明された　　→　pかつ￢q　と矛盾する　
↓
命題「pならばq」が証明される
----------------------------------------

このような流れの中で対偶を証明して命題が証明されるタイプの背理法は、まるで対偶法のようなので

「対偶を利用して命題を証明するタイプの背理法」
が
「背理法の一種の対偶法」

ということなのでしょうか。

No.23150 - 2013/11/14(Thu) 21:05:52

☆ Re: 背理法と対偶法について / angel

> 「背理法の一種の対偶法」

「一種の」という言葉には、今回深い意味はないと思います。私は「背理法も対偶法も本質 ( やっていること ) は同じだよね」と捉えていますから ( まあ意訳ですね )。
「同じ」と言い切るのに心理的に抵抗があるから、ちょっと婉曲的に「一種の」とつけてぼやかしているような…そんな感じではないでしょうか。( 「イワユルヒトツノ」みたいな )

実際問題として、背理法で書かれた証明があったとして、幹となるロジックを変えずに対偶法に書き換えることはできますし、その逆についても同じですよね? それはアクオスさん自身が色々考えている中で確かめられていると思いますが。
(「対偶を示せば背理法が成立するので」という考えに辿り着いているわけなので… )

…であれば、見かけは多少違うにしても「同じもの」でいいんじゃないでしょうか。細かい所の違いはあるかもしれませんが、私はあまり気にしてもしようがないと思っているので、そこに突っ込んでいくのには余りお役に立てないでしょう。

No.23167 - 2013/11/16(Sat) 11:25:11

☆ Re: 背理法と対偶法について / 黄桃

私なりの教科書の理解を説明します。

背理法というのは、命題 A を証明する時に、それと同値な命題である￢A ⇒ O（矛盾）という命題を示すものです。
例えば、素数は無限にある、とか、√2は無理数である、などは背理法で証明できました。

対偶法というのは、P⇒Q という条件文形式の命題を証明する時に、それと同値な命題である￢Q ⇒ ￢P という命題を示すものです。
つまり、対偶を示す、ということは、条件文の命題の証明にしか使えないわけです。

背理法は、もちろん、命題が条件文であってもいいわけで、その場合、理解してらっしゃるように、次のことが言えれば１つの証明が完了します。

（問）P⇒Q を示せ
（解）
ステップ１：背理法による。最初にP⇒Qの否定である P∧￢Qを仮定する。
ステップ２：￢Q⇒￢P を示す。
ステップ３：ステップ１で￢Qは真だから、ステップ２と合わせて￢Pが成立。したがって、￢P∧Pがいえた。
ステップ４：これは矛盾だから、P⇒Q が示された。

ここではステップ２さえ言えれば、P,Qが何であっても成立します。
つまり、対偶法による証明は、背理法による証明に簡単に書き換えることができます（ステップ１，３，４を加えるだけ）。

＃ですが、最後に述べるように、条件文であっても、背理法の証明がすべてこの形式とは限りません。

だから、
「対偶法の証明があれば、それから１つの背理法による証明（背理法の一種）ができる」
ということを、その教科書では
「背理法の一種の対偶法」
といっているのではないでしょうか。

なお、前に述べたように、条件文を背理法で証明する場合は、結論の矛盾は￢P∧Pでなくてもいいので、そういう意味でも背理法の一種が対偶法という見方もできます。例えば、自然数の範囲で
「P:a,b,c は 1か2のいずれかである、ならば、Q:a,b,c がすべて相異なるということはない」
という命題を考えます。これの次のような略解では、矛盾が Q∧￢Q になっています。
（解）a,b,cがすべて異なるとする。a=1 or 2 だから、a=1 とする。a≠b より b=2, a≠c より c=2 だが、すると b=c となり矛盾である。a=2の場合も同様に矛盾となるので、背理法により元の命題が証明された。

No.23173 - 2013/11/16(Sat) 19:04:34

☆ Re: 背理法と対偶法について / アクオス

angelさん、黄桃さんありがとうございます。
また何かあればよろしくお願いします。

No.23174 - 2013/11/16(Sat) 19:48:40

★ (No Subject) / 京

Y'=-｛(x+√2-x^2)｝/｛√2-x^2｝の増減を-√2≦x≦√2の間で考えたいのですが、
分母も分子も正負を断定できないと思うのでどうしたらよいかわかりません。どうか調べかたをえてください、。

No.23131 - 2013/11/13(Wed) 17:49:23

☆ Re: / ヨッシー

√2-x^2 が √(2-x^2) の意味でしたら、-√2≦x≦√2 において
√(2-x^2)≧0 は明らかです。

一方、ｘ＋√(2-x^2)＝０を解くと、
　ｘ＝－１
なので、
　－√2＜ｘ＜－１　で、　Ｙ’＞０
　ｘ＝－１　で、Ｙ’＝０
　－１＜ｘ＜√2 で　Ｙ’＜０
　ｘ＝±√2　で、Ｙ’は値を持たない
となります。

No.23139 - 2013/11/14(Thu) 08:53:23

☆ Re: / 京

お返事が遅くなって大変申し訳ないのですが、教えてください。分子を考えればよいのはわかり、-かが境目なのもわかるのですが、その前後の+、-はどう考えたらよいのでしょうか？

No.23455 - 2013/12/07(Sat) 01:19:14

☆ Re: / らすかる

x+√(2-x^2)=0 の解が x=-1 だけで
x=-√2のとき x+√(2-x^2)=-√2＜0
x=√2のとき x+√(2-x^2)=√2＞0
ですから、
-√2≦x＜-1 のとき x+√(2-x^2)＜0
-1＜x≦√2 のとき x+√(2-x^2)＞0
となりますね。

No.23457 - 2013/12/07(Sat) 02:44:12

★ バームクーヘン積分 / 京

Y=logx ,とその接線Y= x/eとX軸でかかこまれた図形をy軸回りに回転してできた体積を求めよ
というような問題で、
普通のπ積分二乗の体積公式から円錐を引くという方法が、オーソドックスかもしれませんが、バームクーヘン積分をこういう２関数で囲まれた面積回転の体積には使えないのでしょうか？？
どうか宜しくお願い致します。

No.23130 - 2013/11/13(Wed) 17:30:54

☆ Re: バームクーヘン積分 / ヨッシー

円盤の方法
Ｖ＝π∫[0～e](x/e)^2dx－π∫[1～e](logx)^2dx
　π∫[0～e](x/e)^2dx＝(π/e^2)[x^3/3][0～e]＝eπ/3
∫(logx)^2dx＝∫(x)'(logx)^2dx＝x(logx)^2－2∫logxdx
∫logxdx＝∫(x)'logxdx＝xlogx－∫dx＝xlogx－x　(積分定数は省略。以下同様)　より
∫(logx)^2dx＝x(logx)^2－2xlogx＋2x
　π∫[1～e](logx)^2dx＝π[x(logx)^2－2xlogx＋2x][1～e]＝π(e-2)
以上より
　Ｖ＝2π－2eπ/3

バウムクーヘンの方法
ｙ＝logx ⇔ ｘ＝ｅ^y、ｙ＝ｘ／ｅ　⇔　ｘ＝ｅｙ　より
　Ｖ＝２π∫[0～1](ｅ^y－ｅｙ)ｙｄｙ＝２π∫[0～1](y・ｅ^y－ｅｙ^2)ｄｙ
∫(y・ｅ^y)ｄｙ＝∫ｙ(ｅ^y)’dy＝ｙe^y－∫e^ydy＝ｙe^y－e^y　より
２π∫[0～1](y・ｅ^y)dy＝２π[ｙe^y－e^y][0～1]＝２π
２π∫[0～1](ｅｙ^2)ｄｙ＝２ｅπ[y^3/3][0～1]＝2eπ/3
以上より
　Ｖ＝2π－2eπ/3

結局は、円錐から、logx の回転体を繰り抜いた形になります。

No.23141 - 2013/11/14(Thu) 10:42:49

☆ Re: バームクーヘン積分 / 京

ありがとうございました！

No.23236 - 2013/11/20(Wed) 17:02:49

★ 円の回転 / 京

円弧の長さが等しい場合、半径が半分だと回転角は２倍になる。
という話がさっぱりわかりません。
半径が拡張されても、角度は変わらないままの

No.23127 - 2013/11/13(Wed) 16:56:04

☆ Re: 円の回転 / らすかる

半径が2の円で円孤の長さがπならば回転角はπ/2(90°)ですね。
半径が1の円で円孤の長さがπならば回転角はπ(180°)ですね。
半径が半分になったとき、同じ角度なら円孤は半分になりますから、
円孤の長さが同じなら角度が2倍になりますね。

No.23129 - 2013/11/13(Wed) 17:17:59

☆ Re: 円の回転 / 京

具体例でよくわかりました。
本当にありがとうございました！

No.23132 - 2013/11/13(Wed) 17:50:05

★ (No Subject) / 高3

log[10]2=0.3010
log[10]3=0.4771と与えられている時、
log[10]5は求められますか？

No.23125 - 2013/11/13(Wed) 11:52:17

☆ Re: / らすかる

log[10]5=log[10](10÷2)=log[10]10-log[10]2 です。

No.23126 - 2013/11/13(Wed) 13:30:36

★ 集合 / しゅう

問題文の一文で
「X,Y は{1, 2, 3, 4, 5, 6}の空でない部分集合で,X∩Y は空集合とする。また,n を自然数とする。」とあるのですがどういう意味なんでしょうか？教えてください。

No.23120 - 2013/11/12(Tue) 21:29:46

☆ Re: 集合 / ＩＴ

例えば
X＝{1, 2},Y＝{4, 5, 6} などが「X,Y は{1, 2, 3, 4, 5, 6}の空でない部分集合で,X∩Y は空集合とする。」を満たします。
教科書で「部分集合」「空集合」「∪」,「∩」など定義を確認されるほうがいいと思います。

No.23121 - 2013/11/12(Tue) 21:39:47

★ 集合 / しゅう

A=[x/－2<=x<=3]
B=[x/k-6<=x<=k](kは定数)
AはBに含まれるときのkの値の範囲を求めよ。
という問題で
k-6<=-2かつk>=3としているので
イコールをいれてしまったらA=Bが成り立ってしまいAはBに含まれるとはいえないのではないでしょうか？
わかる方お願いします。

No.23117 - 2013/11/12(Tue) 19:42:56

☆ Re: 集合 / しゅう

「解答ではk-6<=-2かつk>=3としているのですが、」に訂正です。
すみません。

No.23118 - 2013/11/12(Tue) 19:44:39

☆ Re: 集合 / angel

A=Bのケースも、「AがBに含まれる」の範疇です。
※なので、「A=B」⇔「AがBに含まれ、かつ、BがAに含まれる」ともなります。

No.23119 - 2013/11/12(Tue) 21:29:25

☆ Re: 集合 / しゅう

回答ありがとうございます。
補足で、教科書にx∈ Aならばx ∈ B のとき、A⊂Bが成り立つとあるのですが
よくわかりません。これがわかれば理解できそうなんですが、、
よかったら教えてください。お願いします。

No.23122 - 2013/11/12(Tue) 23:08:13

☆ Re: 集合 / angel

> 「x∈ Aならばx ∈ B」のとき、A⊂Bが成り立つ
文章で書くなら、「Aに含まれる要素が(何であれ)Bに含まれる」ならば、「AはBに含まれる」ということ。
これは集合間の⊃, ⊂に関する定義ですね。

ここからも、A=B が A⊂B, A⊃B の一ケースであることが分かると思います。

No.23123 - 2013/11/12(Tue) 23:57:36

☆ Re: 集合 / しゅう

> > 「x∈ Aならばx ∈ B」のとき、A⊂Bが成り立つ
このA ⊂ BのところをA ⊆ Bとしてはだめなんでしょうか？
ちょっとアタマが混乱しています、、
教えてください。お願いします。

No.23124 - 2013/11/13(Wed) 10:00:48

☆ Re: 集合 / angel

> ちょっとアタマが混乱しています、、
失礼、ちゃんと前提をすり合わせておくべきでした。
集合に関する記号の使い方には流派のようなものがありまして。
⊆,⊂を使い分けるのと、⊂,⊂≠ ( 書く時は縦に繋げる )を使い分けるのと。
私は後者の使い分けで説明しています。つまり、⊂は=を含みます。
多分、中学・高校で習うのもそうだと思います。
※もっとも、⊂≠は出番がないような気がする。

数の大小に関する＜,≦の使い分けから類推するなら、⊆,⊂の方が自然に感じるかも知れませんが。偏に、集合の場合、≠かどうかを余り気にする場面が無いから、でしょうかね。

No.23135 - 2013/11/13(Wed) 20:34:53

☆ Re: 集合 / しゅう

angelさん！！回答ありがとうございます＞＜
本当にわかりやすくて助かりました。
ありがとうございました！

No.23137 - 2013/11/13(Wed) 22:42:34

★ 確率の問題/添削おねがいします / totoro

【問題Ａ】
３このサイコロを同時に投げるとき、出た目の席が３の倍数である確率はいくらか？

【答え】１９/２７
まず全体が２７/２７で、
２/３*２/３*２/３=８/２７
２７/２７-８/２７＝１９/２７

【問題Ｂ】
3人でじゃんけんを１回するとき、あいこになる確率は？

【答え】１/３
３人×３(ｸﾞｰ、ﾁｮｷ、ﾊﾟｰの三種類)=９
あいこは３種類(ｸﾞｰｸﾞｰｸﾞｰ、ﾁｮｷﾁｮｷﾁｮｷ、ﾊﾟｰﾊﾟｰﾊﾟｰ)
だから３/９＝１/３

No.23110 - 2013/11/11(Mon) 22:45:38

☆ Re: 確率の問題/添削おねがいします / ヨッシー

【問題Ａ】
答えは合っていますが、２／３って何？８／２７って何？
という説明が必要です。

【問題Ｂ】
答えはたまたま合っています。
全体の手の出し方は　３×３×３＝２７　です。
あいこはその３種類だけではありません。

No.23111 - 2013/11/11(Mon) 23:05:22

★ 数Ａ / ちょう

x1≦x2≦6をみたすx1,x2の組を1～6の数字から重複を許して取り出す方法は何通りあるか？という問題で
答えは6H2=7C2=21通りとあります。
重複組み合わせを考えるときは今まで、○と仕切りで考えていたのですが、この問題でも○と仕切りの考え方を用いることはできるのでしょうか？
わかるかたおしえてください。おねがいします。

No.23109 - 2013/11/11(Mon) 22:25:41

☆ Re: 数Ａ / ＩＴ

x1は1以上なので、○１つは、常に左端におく
残りの○５つと｜２つを並べる
左から１つ目の｜より左にある○の数＝x1
左から２つ目の｜より左にある○の数＝x2

○　　｜｜○○○○○　　x1=1,x2=1
○　　｜○｜○○○○　　x1=1,x2=2
・・・
○　　｜○○○○｜○　　x1=1,x2=5
○　　｜○○○○○｜　　x1=1,x2=6
○　　○｜｜○○○○　　x1=2,x2=2
・・・
○　　○｜○○○｜○　　x1=2,x2=5
・・・
○　　○○○○○｜｜　　x1=6,x2=6

こんな感じでどうでしょうか？　

No.23112 - 2013/11/11(Mon) 23:12:12

☆ Re: 数Ａ / らすかる

○と仕切りの場合、ＩＴさんの方法が一般的かと思いますが、
この問題の場合は仕切りを５個並べて○を入れる箇所を６個作り、
１｜２｜３｜４｜５｜６
この１～６のどこかに重複を許して○を２個入れると考えると
問題とまったく同じことになりますね。

No.23114 - 2013/11/12(Tue) 09:55:17

★ 確率です / みんと

赤玉2個と白玉1個の合計3個の玉が入った袋がある。2つの袋をよくかき混ぜ1個取り出し、それから、取り出した玉と同じ色の玉を1個追加して袋に戻す。以降おなじ動作を続ける。nは自然数。
⑴nかいまでの試行の結果取り出された玉は全て白色。このときn+1かいめの試行で白色が取り出される確率P1は？
⑵この試行をn回まで続けるとき、少なくとも1回は赤玉が取り出されるP2は？

お願いします。

No.23106 - 2013/11/11(Mon) 18:42:02

☆ Re: 確率です / ＩＴ

>2つの袋をよくかき混ぜ1個取り出し
2つの袋とは？

No.23107 - 2013/11/11(Mon) 19:20:19

☆ Re: 確率です / ＩＴ

袋は１つとして解答します。袋が２つならもっと複雑になります。
(1)
n回すべて白が出たので、袋の中の赤玉は2個、白玉はn+1個
n+1回めの試行で白色が取り出される確率
P1＝(n+1)/(n+3)

(2)
n回とも白玉が取り出される確率
P=(1/3)(2/4)(3/5)・・(n/(n+2))
=(1×2)/{(n+1)(n+2)}

少なくとも1回は赤玉が取り出される確率
P2=1-P=1-2/{(n+1)(n+2)}

No.23108 - 2013/11/11(Mon) 19:49:58

★ 三角関数の積分 / 京

∫(sinx)^2cos2x dx
の積分の仕方を教えてください、どうかお願いいたします！

No.23104 - 2013/11/11(Mon) 17:58:14

☆ Re: 三角関数の積分 / らすかる

例えば
∫(sinx)^2cos2xdx
=∫(1-cos2x)/2・cos2xdx
=∫cos2x/2-(cos2x)^2/2dx
=∫cos2x/2-(1+cos4x)/4dx
=∫cos2x/2-cos4x/4-1/4dx
=sin2x/4-sin4x/16-x/4+C

No.23105 - 2013/11/11(Mon) 18:15:40

☆ Re: 三角関数の積分 / 京

半角を使っていくのですね、よくわかりました！どうもありがとうございました！

No.23128 - 2013/11/13(Wed) 17:10:47

★ 確率の問題 / totoro

ある試験を、Ｐ・Ｑ・Ｒの３人が受験して合格する確率はそれぞれ、
１/２・３/５・２・３である。一人だけ合格する確率はいくらか？？？

この問題も教えていただきたいのですが、
２/３０+３/３０+６/３０＝１１/３０になりました。
正解でしょうか？

No.23094 - 2013/11/10(Sun) 21:30:43

☆ Re: 確率の問題 / らすかる

6/30 が違います。

No.23097 - 2013/11/10(Sun) 22:02:21

☆ Re: 確率の問題 / ヨッシー

正解ではありません。

やり方は合っていると思いますので、もう一度やれば合うでしょう。

答えは、３／１０　です。

No.23098 - 2013/11/10(Sun) 22:03:05

☆ Re: 確率の問題 / Ｔ

６/３０ではなく４/３０でした(>_<)
ありがとうございましたっ♪

No.23100 - 2013/11/10(Sun) 22:08:30

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