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★ (No Subject) / てぃ
四角形ABCDはひし形になります。その理由を答えなさい。

という問題についてよく分からないので教えて下さると嬉しいです。
宜しくお願い致します。


中2
No.23258 - 2013/11/21(Thu) 21:40:34
☆ Re: / ヨッシー
これは、対角線ＢＤが∠Ｂの二等分線になっているということでしょうか？

だとすると、
　∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ　（錯角）
　∠ＤＢＣ＝∠ＡＤＢ　（錯角）
より、
△ＡＢＤ、△ＢＣＤはそれぞれ、二等辺三角形とわかります。
つまり、＞の辺も≫の辺も、全部長さは同じになります。
No.23263 - 2013/11/21(Thu) 22:46:05
★ 2次関数(応用？) / ゆぅ(高1)
2次関数 f(x)=x^2-8x+2a^2-5a-11(aは定数)がある

a=2とする。
0≦x≦k(kは正の整数)におけるf(x)の
最大値をM
最小値をmとする。

(?@)
M=f(0)となるようなkの値の範囲は、
0<k≦〔ア〕である。

(?A)
M+2m=4を満たすkの値は
〔(イ-ウ√エ)/オ〕または〔カ〕である。

解答
ア…8
イ…8
ウ…3
エ…2
オ…2
カ…9

(?@)は何となく分かったのですが
(?A)が解けません~_~;

0<k<4
4≦k<8
8<k
の3つで場合分けをして解くようなのですが…
どうしてこの3つになるのか、からして分かりません。

こんな私でも理解できるような
解説をお願いします。
No.23256 - 2013/11/21(Thu) 21:33:40
☆ Re: 2次関数(応用？) / ゆぅ(高1)
すみません
ミスしてました

× 2次関数 f(x)=x^2-8x+2a^2-5a-11(aは定数)がある

○ 2次関数 f(x)=x^2-8x+2a^2-5a+11(aは定数)がある
No.23257 - 2013/11/21(Thu) 21:35:55
☆ Re: 2次関数(応用？) / ヨッシー
a=2 なので、
　f(x)=x^2-8x+9
とおきます。
f(x)=(x-4)^2-7
なので、軸は x=4、頂点は(4,-7) です。

（ｉ）
y=f(x) のグラフは、(0,9) から頂点に向かって減少し、
頂点を過ぎると増加します。
この増加した結果、f(0) である９を超えなければ、f(0) が、
その区間での最大値となります。
f(8)＝9 であるので、求める範囲は ０＜ｋ≦８ となります。

(ii)
０＜ｋ＜４ のとき
Ｍ＝f(0)＝９、ｍ＝f(k)＝k^2−8k＋9
このとき、M+2m＝2k^2−16k＋27＝4 より
　ｋ＝(8±√(64−46))/2＝(8±3√2)2
０＜ｋ＜４　を満たすのは、　ｋ＝(8−3√2)/2

４≦ｋ≦８　のとき
Ｍ＝f(0)＝９，ｍ＝f(4)＝−７
このとき　M+2m＝-5 となり４にはなりません。

８＜ｋ　のとき
Ｍ＝f(k)＝k^2−8k＋9、ｍ＝f(4)＝−７
このとき、M+2m=k^2−8k-5＝4 より
　(k+1)(k-9)＝０、ｋ＝-1, 9
８＜ｋ を満たすのは、ｋ＝９
No.23267 - 2013/11/22(Fri) 09:57:38
★ 確率 / 犬好きおやじ
サイコロを振って奇数が出ると、出た目の数だけ持ち点を減らし、偶数が出ると、出た目の数だけ持ち点を増やすというゲームを行なう。持ち点は0から始める。
(1)2回振ったときの持ち点の取りうる値：15通り
(2)2回振ったとき持ち点が1になる確率：1/6
(3)3回振ったとき持ち点が0になる確率：1/12
までは求めましたが、
(4)5回振ったとき持ち点が0になる確率
この問題で考え込んでしまいました。解説をお願いいたします。
No.23253 - 2013/11/21(Thu) 13:02:34
☆ Re: 確率 / らすかる
5回の合計が0という偶数の値になるためには、
5回中奇数は偶数回でなければなりません。
奇数が0回だと合計は正になってしまいますので、
奇数は2回または4回に絞られます。
奇数が2回のとき偶数は3回で、
3回の偶数の合計は最小6ですから、あり得る組合せは
(-1,-5,2,2,2) (20通り)
(-3,-3,2,2,2) (10通り)
(-3,-5,2,2,4) (60通り)
(-5,-5,2,2,6) (30通り)
(-5,-5,2,4,4) (30通り)
の合計150通りです。
奇数が4回のとき偶数は1回で、
4回の奇数の合計は最小4ですから、あり得る組合せは
(-1,-1,-1,-1,4) (5通り)
(-1,-1,-1,-3,6) (20通り)
の合計25通りです。
従って求める確率は
(150+25)/6^5=175/7776
となります。
No.23254 - 2013/11/21(Thu) 14:36:31
☆ Re: 確率 / 犬好きおやじ
非常によくわかりました。ありがとうございました。
No.23255 - 2013/11/21(Thu) 16:06:24
★ 数1 / みそ
f(x)=x^2+ax+bが異なる2つの実数解α、βをもつ。
(ただし、1<α<β<3...(1) )
この1<α<β<3の意味について、
これは1<α<3かつ1<β<3かつα<βとおなじことなんでしょうか？
また、ここで用いている「かつ」という表現は共通範囲を考えるときの「かつ」の意味合いとは違って、この条件とこの条件とこの条件を全部満たしていますよといっているのでしょうか？
「「かつ」とくれば共通範囲をとれ」と教わって少し混乱してます。
回答お願いします。
No.23248 - 2013/11/21(Thu) 01:36:54
☆ Re: 数1 / angel
> この1＜α＜β＜3の意味について、
> これは1＜α＜3かつ1＜β＜3かつα＜βとおなじことなんでしょうか？

はい。同じです。
ただし、細かく言うなら、1＜α＜β＜3 は、直接的には
　1＜α かつ α＜β かつ β＜3
という意味です。
とはいえ ＜ の持つ性質として、p＜q かつ q＜r なら、同時に p＜r も成り立つ ( 推移律 ) というのがありますから、
α＜3 や 1＜β も同様に成立します。

> ここで用いている「かつ」という表現は…
「かつ」には ( 少なくとも数学の場面では ) 意味は一つしかありません。2つの条件がある中で、その両方が同時に成立することを表すものです。( 「かつ」を並べれば3つ以上の条件にも対応できる )

> 「「かつ」とくれば共通範囲をとれ」と教わって少し混乱してます。
どういう場面でそう聞いたのかは分かりませんが、言葉通り鵜呑みにしないことです。
※どういう問題/場面に対して教わったのか、とか、背景がすっぽり抜け落ちて言葉だけ覚えていると却って危険です。

多分ですが、数の大きさを範囲として捉える方が分かり易い ( と考えた ) ために、そういう表現になったのだろうと思います。
例えば、
・小学生の年齢は6歳以上、かつ、12歳以下だ
・小学生の年齢は6歳〜12歳の範囲に収まる
は表現は異なりますが、同じ内容ですね。　
No.23250 - 2013/11/21(Thu) 02:00:26
☆ Re: 数1 / 黄桃
>「「かつ」とくれば共通範囲をとれ」
は基本的には正しいです。

基本的には、というのは、「2は素数であり、かつ、1+1=2 である」のような命題では共通範囲という意味が不明だからです。

もし、x だけを含む不等式がいくつかあり 、それらの不等式すべてを満たす x (の範囲）を求める問題であれば、それぞれの不等式を満たすxの範囲の共通部分が答、というのは正しいです。

したがって「1<α<β<3」が何を意味しているか、に応じて正しいかどうかが決まります。

もし、これが、
(1)「α-β平面上で1<α<β<3をみたす(α,β)点の存在範囲」
を意味しているのであれば、「「かつ」とくれば共通範囲をとれ」の通り、
(1)' 「α-β平面上で1<α<3をみたす(α,β)点の存在範囲と1<β<3をみたす(α,β)点の存在範囲とα<βをみたす(α,β)点の存在範囲」との共通範囲
になります。

もしこれが「実数α、βが満たすべき条件は1<α<β<3」という意味であれば、「1<α<β<3」は範囲ではなくて、α,βという数をいろいろ変える毎に真偽が決まる命題、ということになります。例えば、α=1.5, β=2.5 なら真だし、α=0,β=2 なら偽です。
この場合は、α、βがどんな実数であっても、
「1<α<β<3　の真偽」と「1<α<3かつ1<β<3かつα<β　の真偽」は同じ
ということを言っています。

両者は見る人が見れば同じことの裏表なのですが、いろいろな見方に慣れていないとわかりにくいかもしれませんね。

＃難しいことをいえば、1<α<β<3 とは、α、βの範囲を表しているとも
＃両者の満たすべき条件を表しているとも考えられ、を範囲としてみると、
＃{(α,β)|1<α<β<3}={(α,β)|1<α<3}∩{(α,β)|1<β<3}∩{(α,β)|α<β}
＃という意味になりますし、実数α,βに関する命題とみれば
＃1<α<β<3　⇔　1<α<3かつ1<β<3かつα<β
＃と考えていることになります。
No.23266 - 2013/11/22(Fri) 08:59:45
★ (No Subject) / みなみ
ハ の問題の解答が理解できません、
この引き算はなんでしょう？
お願いします
No.23239 - 2013/11/20(Wed) 22:41:08
☆ Re: / ヨッシー
x, 3x^2, 5x^3, ・・・・
という数列は、等比数列ではありませんので、等比数列の和の
公式が使えません。そこで、
Ｓ＝x＋3x^2＋5x^3＋・・・＋(2n-1)x^n
から、これを両辺ｘ倍した
ｘＳ＝x^2＋3x^3＋5x^4＋・・・＋(2n-3)x^n＋(2n-1)x^(n+1)
を引くと、
(1-x)Ｓ＝ｘ＋(2x^2＋2x^3＋・・・＋2x^n)−(2n-1)x^(n+1)
　　＝ｘ＋2(x^2＋x^3＋・・・＋x^n)−(2n-1)x^(n+1)
となり、x^2＋x^3＋・・・＋x^n の部分が等比数列になり
等比数列の公式が使えるようになるのです。

この形に持って行くのが、引き算の目的です。
No.23241 - 2013/11/20(Wed) 23:03:20
☆ Re: / みなみ
すごい分かりやすかったです、ありがとうございます！

ただ2点疑問が残ります、
このオレンジマークのとこなんですが

?@ -xの(-)はどこから現れたのでしょう？


?A 2x^2+2x^3+•••+を2x(1+x+•••+)と表すのですか？
自分なら2x^2(1+x+x^2+•••+)だと思います。
お願いします
No.23251 - 2013/11/21(Thu) 07:51:21
☆ Re: / ヨッシー
元々は
　ｘ＋2(x^2＋x^3＋・・＋x^n)−(2n-1)x^(n+1)
＝ｘ＋2x(x+x^2＋・・・x^(n-1))−(2n-1)x^(n+1)
となります。ところが、
x+x^2＋・・・x^(n-1) の項数が n-1個なので、等比数列の和の
公式が使いにくいということで、最初に 1 を加え、その分
2x をカッコの外で引いておきます。
＝ｘ−2x＋2x(1+x+x^2＋・・・x^(n-1))−(2n-1)x^(n+1)
それで、最初のｘが−ｘになっています。
No.23252 - 2013/11/21(Thu) 08:59:29
☆ Re: / みなみ
すごくわかりやすかったです
理解できました
ありがとうございました
No.23264 - 2013/11/22(Fri) 03:31:21
★ 確率 / mega
アルファベットの大文字A,B,C,D,Eと小文字a,b,c,dの9文字を横一列に並べる。
このとき、たとえばDbAdBcEaCのように、大文字と小文字が交互に並ぶ確率は（ア）である。
またCEAcBbDadのように、4つの小文字a,b,c,dがそれぞれ対応する大文字A,B,C,Dより右側にある確率は（イ）である。

（ア）は今回、文字数が奇数であるので大文字と小文字の置かれる場所が決まり、5!*4!/9!=1/126　と出ました。
（イ）の考え方がわかりません。答えを持っていませんので、（ア）の答えが合っているかと、（イ）の解法を教えてください。
No.23237 - 2013/11/20(Wed) 21:14:21
☆ Re: 確率 / ＩＴ
ア）はあっていると思います。（受験勉強なら、しっかりした解答解説がある問題集をやったほうが良いですよ。場合の数と確率は特にそうです。）
イ）
(1)Aとa,Bとb,Cとc,Dとdを区別せずに考えた場合９文字を並べる並べ方は何通りありますか？
(1)の並べ方１つに対して、４つの小文字がそれぞれの大文字より右側にあるように並べるのは１通りです。
No.23238 - 2013/11/20(Wed) 21:36:13
☆ Re: 確率 / mega
区別せずに考えた場合は9!/4＊2!でよろしいでしょうか。
後半の仰られているのは、9!/4＊2!がそのまま答えになると解釈していいのでしょうか・・・？
あまり理解できていないかもしれません。
解釈が間違っているようであれば、申し訳ありませんが、噛み砕いて説明して頂けるとありがたいです。
No.23240 - 2013/11/20(Wed) 22:56:46
☆ Re: 確率 / ＩＴ
違っているようです。
大小区別しない場合の数×２×２×２×２＝大小区別した場合の数　になります。

例えばAABBCCDDEの場合　AAがAaとaAの２通り、BBがBb,bBの２通り、・・・CC、DDも２通りです。
No.23242 - 2013/11/20(Wed) 23:15:16
☆ Re: 確率 / mega
大小区別せず並べた場合を考えて、それを大小区別する場合になおすと、大文字の左に小文字がくる場合と右にくる場合が出てきて今回は右にくる場合だけを考えるので・・・ということでしょうか。
よく考えてもう一度計算しますが、最終的な答えのほうを教えておいて頂けたらと思います。
No.23243 - 2013/11/20(Wed) 23:39:56
☆ Re: 確率 / mega
申し訳ありません。
9!/4＊2!と書いたところ、正しくは9!/(2!)^4でした。
No.23244 - 2013/11/20(Wed) 23:46:25
☆ Re: 確率 / ＩＴ
1/(2^4) になると思います。
（実はaがAの右に来るか左に来るか同様に確からしいので、右に来る確率は1/2、b,c,dも同様で　求める確率は、それらの確率の積になります。）
No.23245 - 2013/11/20(Wed) 23:48:14
☆ Re: 確率 / ＩＴ
> 9!/4＊2!と書いたところ、正しくは9!/(2!)^4でした。
それだと合っていると思います。
No.23246 - 2013/11/20(Wed) 23:49:05
☆ Re: 確率 / mega
> （実はaがAの右に来るか左に来るか同様に確からしいので、右に来る確率は1/2、b,c,dも同様で　求める確率は、それらの確率の積になります。）
言われてみればそうですね・・・。全く気づきませんでした。
しかし、きちんとした考え方を理解できましたので問題ありませんね！
記載ミスをしていたり、理解するのに時間がかかってしまい申し訳ありませんでした。
理解できるまで教えていただきありがとうございました。
No.23247 - 2013/11/20(Wed) 23:57:10
★ (No Subject) / na-guru
K=2.034×{(1-0.1659^2)/(2.40-0.279^2)}を電卓を使わずに有効数字３桁で求めよ、という問題はどう解くのか途中過程を略さずに教えてください。
No.23235 - 2013/11/20(Wed) 13:12:27
★ (No Subject) / ktdg
正三角形ABCがある. 点Oを直線ABに関してCと反対側にとって∠AOB=π/3となるようにし, ベクトル↑OA, ↑OB, ↑OCをそれぞれ↑a, ↑b, ↑cで表す. このとき,
↑c=(|↑b|/|↑a|)↑a+(|↑a|/|↑b|)↑b ー(＊)
であることを証明せよ.


座標にいれて考えてみたのですがうまくいきませんでした.

AB=BC=CA=1としてよい.
△AOBの外接円の半径をRとすると, △AOBで正弦定理より
2R=1/sin(π/3) ∴R=1/√3
xy平面でA(1/2,0), B(-1/2,0), C(0,-√3/2)となるようにとると, Oは2点A,Bを通る半径1/√3の円周上にある. この円の中心はy軸上にあるから, そのy座標をpとすると
AP^2=1/3 より p=±1/2√3
∠AOB=π/3よりp=1/2√3
よってOの座標はPOとx軸の正の部分がなす角度をθとおくと
( cosθ/√3, 1/2√3+sinθ/√3) と表せる.
従って
↑a=-1/√3(cosθ-√3/2, 1/2+sinθ)
↑b=-1/√3(cosθ+√3/2, 1/2+sinθ)
↑c=-1/√3(cosθ, 2+sinθ)
|↑a|=√[(2/3){1+sin(θ+π/3)}]
|↑b|=√[(2/3){1+sin(θ-π/3)}]

計算してみたのですが(＊)が示せません.
どうすれば良いですか？
一次変換を使った解き方はわかっているので座標をつかった解き方を知りたいです.
No.23232 - 2013/11/20(Wed) 00:42:20
☆ Re: / ヨッシー
点Ｏが動く円が単位円となるように調節しました。

Ａ:(√3/2, -1/2)、Ｂ:(-√3/2, -1/2)、Ｃ(0,-2) とおくと、
点Ｏは単位円上を動きます。
このとき点Ｏの座標は (cosθ, sinθ) (-π/6＜θ＜7π/6)
とおけます。

ａ＝(√3/2−cosθ, -1/2−sinθ)
ｂ＝(-√3/2−cosθ, -1/2−sinθ)
ｃ＝(−cosθ, -2−sinθ)
|ａ|＝√2√(１＋sin(θ−π/3))
|ｂ|＝√2√(１＋sin(θ＋π/3))
よって、
　|ａ|/|ｂ|＝√(１＋sin(θ−π/3))/√(１＋sin(θ＋π/3))
　　　＝√{(１＋sin(θ−π/3))(１＋sin(θ＋π/3))}/(１＋sin(θ＋π/3))
　(分子)^2＝1＋sin(θ−π/3)＋sin(θ＋π/3)＋sin(θ−π/3)sin(θ＋π/3)
sin(θ−π/3)＝(1/2)sinθ−(√3/2)cosθ
sin(θ＋π/3)＝(1/2)sinθ＋(√3/2)cosθ
sin(θ−π/3)sin(θ＋π/3)＝(-1/2){cos(2θ)−cos(2π/3)}＝(-1/2){cos(2θ)＋1/2}
　　＝(-1/2)(3/2−2sin^2θ)＝-3/4＋sin^2θ
より、
　(分子)^2＝1/4＋sinθ＋sin^2θ＝(sinθ＋1/2)^2
　(分子)＝sinθ＋1/2　　(-π/6＜θ＜7π/6　より)
よって、
　|ａ|/|ｂ|＝(sinθ＋1/2)/(１＋sin(θ＋π/3))
　|ｂ|/|ａ|＝(sinθ＋1/2)/(１＋sin(θ−π/3))

|ｂ|/|ａ|ａ＋|ａ|/|ｂ|ａ＝(Ｃx, Ｃy)
とおくと、
　Ｃx＝(sinθ＋1/2){(√3/2−cosθ)/(１＋sin(θ−π/3))＋(-√3/2−cosθ)/(１＋sin(θ＋π/3))}
　　＝{(√3/2−cosθ)(１＋sin(θ＋π/3))＋(-√3/2−cosθ)(１＋sin(θ−π/3))}/(sinθ＋1/2)
　(分子)＝(√3/2){sin(θ＋π/3)−sin(θ−π/3)}−cosθ{２＋sin(θ＋π/3)＋sin(θ−π/3)}
　　　＝(√3/4){sinθ＋√3cosθ−sinθ＋√3cosθ}−(cosθ/2)(4＋sinθ＋√3cosθ＋sinθ−√3cosθ)
　　　＝(3/2)cosθ−(cosθ)(2＋sinθ)
　　　＝−cosθ(sinθ＋1/2)
よって、Ｃx＝−cosθ
　Ｃy＝(sinθ＋1/2)(-1/2−sinθ){１/(１＋sin(θ−π/3))＋１/(１＋sin(θ＋π/3))}
　　＝−{(１＋sin(θ＋π/3))＋(１＋sin(θ−π/3))}
　　＝−{１＋(1/2)sinθ＋(√3/2)cosθ＋１＋(1/2)sinθ−(√3/2)cosθ}
　　＝−(２＋sinθ)
となり、(Ｃx, Ｃy) は ｃ と一致します。
No.23233 - 2013/11/20(Wed) 11:06:30
☆ Re: / angel
今回の問題は、答えが先に分かっているので、ベクトル計算だけでやった方が楽な気がしますが…
No.23249 - 2013/11/21(Thu) 01:44:35
★ (No Subject) / 高3
なぜこのような式が導けるのですか？
No.23230 - 2013/11/19(Tue) 23:59:06
☆ Re: / ヨッシー
まず、右の方の三角形の斜辺が√(1+m^2) となるのは良いですか？

そうすると、右の三角形と左の三角形を比べると
右で１に当たる辺が、左ではβ−α
右で√(1+m^2) に当たる辺(斜辺)が、左ではＡＢ　なので、
　ＡＢ：√(1+m^2)＝(β−α)：１
より、
　ＡＢ＝√(1+m^2)(β−α)
となります。
No.23231 - 2013/11/20(Wed) 00:08:26
★ 場合 / みそ
１〜９から３つ選んで、それが３の倍数である場合の数を求めよ。という問題で答えに
「３の倍数の問題の解法：?@３で割った余りで分類する
?A余り０グループ(３，６，９)　余り１グループ(１，４，７)　余り２グループ(２，５，８)
３ケタの数が３の倍数になるためには、
(i)余り０グループから３つ選ぶ
(ii)余り１グループから３つ選ぶ
(iii)余り２グループから３つ選ぶ
(iv)余り０，１，２グループから１つずつ選ぶ
とあるのですが、
どうして余りに着目しているのかわかりません。
教えてください。
No.23222 - 2013/11/19(Tue) 21:32:00
☆ Re: 場合 / ヨッシー
>それが３の倍数である場合
「それ」とは何ですか？
No.23224 - 2013/11/19(Tue) 21:37:36
☆ Re: 場合 / みそ
「１〜９から３つを選んで３ケタの数をつくる」です。
３ケタの数をつくる、が抜けていました。すみません。
No.23226 - 2013/11/19(Tue) 21:41:51
☆ Re: 場合 / ヨッシー
「２桁以上の３の倍数は各位の数を足しても３の倍数になる」
は理解していないといけません。
するとこの問題は
「１〜９から３つ選んで、その和が３の倍数である場合の数を求めよ。」
と書きかえられます。

その上で、３で割った余りに注目する理由をもう一度考えてみてください。
No.23227 - 2013/11/19(Tue) 21:49:48
★ 周期 / 文麿
周期関数の定義に
関数が，ある正の実数pに対して次の条件
f(x+α)=f(x)が、どんな実数xに対してもが成立
を満たすとき，この関数のことを周期関数という．また，上の条件を満たす実数pのうち，正の値で最小のものを， この周期関数の周期という

たとえばy=sinθのグラフは周期が2πの周期関数ですよね。
なのでsin(θ＋2π)=sinθがなりたちます。どんなθであってもこれは
成り立つので確かにそうですよね。
ではいま関数f(x)を直線y=xの直線してかんがえたときもこの条件がなりたつんですか？
正直、f(x+α)=f(x)がなにを表していてどんなときに成り立つのかよくわかっていません。
わかる方解説お願いします。
No.23217 - 2013/11/19(Tue) 16:52:34
☆ Re: 周期 / ヨッシー
ｙ＝f(x)＝ｘ は周期関数ではありません。
例えば、f(1)＝1 ですが、０以外のいかなる実数αに対しても
　f(1＋α)＝1
とはなりません。

f(x)＝x^2 について、f(-1+2)＝f(-1) ですが、f(0) については、
f(0+2)=f(0) ではないので、少なくとも、f(x) は周期２の
周期関数ではありません。


グラフのように、周期関数は同じ形が繰り返す形になります。
No.23220 - 2013/11/19(Tue) 18:08:53
☆ Re: 周期 / 文麿
「周期関数は同じ形が繰り返す形になる」ということは
y=x^2やy=xは絶対に周期関数にはならないということですよね？
高校数学の範囲で見たことがある周期関数は
代表的なのでy=sinΘ　y=cosΘ、y=tanΘくらいなのですが、
これらを押さえておけばだいたい大丈夫でしょうか？
お願いします。
No.23225 - 2013/11/19(Tue) 21:40:10
☆ Re: 周期 / ヨッシー
基本はそれで大丈夫です。
たまに、ｙ＝ｘ−[ｘ] なんてのも出てきます。

あとは三角関数の応用で、
　sin(2θ)
　sin(2θ)＋cos(3θ)
　sin^2(θ)
　|cosθ|
なんかもよく見られます。
No.23228 - 2013/11/19(Tue) 21:53:49
☆ Re: 周期 / ＿
ちょっと前の入試問題に、

これらの関数は周期関数か否か、更に周期関数の場合はその周期を答えよ。

(1)sin(sinx)
(2)cos(sinx)
(3)sin(x^3)

という問題があります。参考までに。
No.23234 - 2013/11/20(Wed) 12:07:07
★ イコールについて / ファイ
剰余定理について
f(x)=x^3+2x^2-2x-1
A(x)=x-1
f(x)をA(x)で割ったときの余りを求めるとき、
商をQ(x)、余りをRとすると剰余定理により
R=f(1)=0...[1]となりますよね。
前まではなるほどと納得していたのですがよくわからないところが、、、
余りRというのは、今割る数が1次式なので、定数ということがわかります。Rは0かもしれないし1かもしれないし-1/5かもしれない、、、つまり未知数なわけですよね？
[1]は未知数Rはf(1)に等しいという意味だと思いますが、f(1)というのは具体的な数値ですよね？イコールで結ぶということはRが未知数なんだからf(1)も未知数じゃないといけないんじゃないですか？
いままで考えたことなかったのですが小学生レベルのところで躓いています(泣)
よかったら教えてください。お願いします。
No.23216 - 2013/11/19(Tue) 16:18:27
☆ Re: イコールについて / ヨッシー
Ｒは未知数：値がいくつかわかっていない数　であって、
変数：いろんな値を取る数　ではありません。
未知数はある処理を施せば（方程式をとくとか、値を代入するとか）
ある決まった数になります。
No.23219 - 2013/11/19(Tue) 17:50:24
★ 除法 / ファイト！
多項式の除法で、割る数の次数>あまりの次数が成り立つのはなぜなんですか？
いままではそんなの当たり前だと思っていたのですが、簡単に示す方法はないのでしょうか？
わかる方教えてください。お願いします。
No.23214 - 2013/11/19(Tue) 15:51:12
☆ Re: 除法 / ヨッシー
割る数の次数＞あまりの次数
になるまで割るからです。
No.23218 - 2013/11/19(Tue) 17:46:50
★ 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / ファイト！
x^3-12x^2＋47x＋a=0・・・?@が相異なる3つの整数解をもつときaの値および方程式の解を求めよ
?@の異なる３つの整数解をα、β、γとする。
解と係数の関係により、α＋β＋γ=12・・・?A
αβ＋βγ＋γα=47・・・?B αβγ=-a・・・?C
?Aから、β＋γ=12-α
よって?Bからβγ＝α^2-12α＋47
したがって、β、γはtについての２次方程式
t^2-(12-α)t＋α^2-12α＋47=0・・・?Dの２つの解である。?Dの判別式をＤとすると、
Ｄ＝-3(α-4)^2＋4
＜＜?Dが整数解をもつための必要条件はＤが平方数or０である。
いま、解β、γは異なるからＤ＞０なので、
?Dが整数解をもつための必要条件はＤが平方数である。
0<D≦4かつＤが平方数であるものはＤ＝１またはＤ＝４＞＞
Ｄ＝１のとき、α=3,5
D=4のとき、α=4
(i)α=3のとき、t=4,5
(ii)α=4のとき、t=3,5
(iii)α=5のとき、t=3,4
よって方程式の解は3,4,5
α=-60

とあるのですが、＜＜ ＞＞部分で必要条件を求めていますが、どうしてなのでしょうか？
必要条件であるＤ＝１またはＤ＝４を利用してどうして答えに至るのか。また、必要条件を利用するという発想はどこからくるのでしょうか？？「?Dが整数解をもつための必要条件はＤが平方数or０である。」というのは自分で調べてみたところ確かにそうなりました。
では、この問題とは別に「十分条件」を利用して答えを導かせることもできたりするのでしょうか？
この問題でわからないのは着眼点がどうして「必要条件」なのかというところです。
もちろん、「?Dが整数解をもつための必要条件はＤが平方数or０である。」となる命題で、十分条件にはならないのでこの問題では必要条件を使うことはわかるのですが、、
また、?Dのtの２次方程式の解はβ、γですよね？
これはもともと問題文にもあるように整数解といっています。
にもかかわらず、β、γが整数解となるための条件を考える必要があるのはなぜなんでしょうか？
問題文にかいてるから自明であり条件化する必要はないっていうのはだめなんでしょうか？
結構初歩的なところで躓いています・・・
わかる方教えてください。お願いします。
No.23202 - 2013/11/18(Mon) 22:46:06
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / ファイト！
Ｄが平方数or０でないなら、?Dは整数解を絶対に持ちません。
なので、Ｄが平方数or０であるということは?Dが整数解をもつために最低限絶対に必要なことなので必要条件。
でも、あくまで必要条件で、Ｄが平方数or0であるからといって必ず整数になってくれるとは限りません。
今、必要条件はＤ＝１またはＤ＝４に絞られたので、これらの場合をそれぞれ考えて、実際に整数になってくれるかどうかを探る・・・そういう作戦でしょうか・・・？
No.23203 - 2013/11/18(Mon) 23:08:23
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / angel
> そういう作戦でしょうか・・・？
そういう認識で問題ないです。
「実際に整数になってくれるかどうか」に加えて、β≠γはD＞0の時点で確定しているとしても、α≠β, α≠γは、実際にα,β,γを出してみないと分からない、というのもあります。
No.23210 - 2013/11/19(Tue) 03:28:30
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / ファイト！
回答ありがとうございます。
まだ少しわからないところが、、、
1.β、γは整数だと問題文に明記されているのに
わざわざβ、γが整数解であるための条件を書く必要があるのはなぜなんでしょうか？
2.問題文にα、γ、βは相異なる整数とあるのになぜ「実際に整数になってくれるかどうか」に加えて、β≠γはD＞0の時点で確定しているとしても、α≠β, α≠γは、実際にα,β,γを出してみないと分からないのでしょうか？
3.必要条件から探ることでもし整数になることを確認できれば、これは同時に十分性も確認できたということで、探る際に用いた必要条件は必要十分条件だと言えるのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.23211 - 2013/11/19(Tue) 03:51:09
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / angel
> 問題文に明記されているのに
問題文に書かれていれば、何をしなくても絶対そうなると保証されているわけではないですよ。
むしろ、自分で問題文の通りの条件だとどうなるか、それを確かめているのだと思った方が良いです。

…というか「整数解だ」というのは解答の先頭で言っていること ( つまり解答者が勝手に設定した条件 ) であって、問題文では「整数解ならどうなる?」としか言ってないですよ。
最初に「整数解のつもりで話を進める」と解答者が空手形を切っているわけです。( 後で確認した結果あてが外れればボツになる )

> 探る際に用いた必要条件は必要十分条件だと言えるのでしょうか？
今回の問題に限れば、そうです。「限れば」というのは、他の類題の場合には、同じように必要十分条件になるのかどうかは分からない、という意味です。
No.23212 - 2013/11/19(Tue) 07:49:10
☆ Re: 数学ＩＩ　難しくてわかりません； / ファイ
ありがとうございました
No.23215 - 2013/11/19(Tue) 16:06:12
★ (No Subject) / ゆの
(a+b+c)7乗の展開式における次の項の係数を求めよ

1 aの4乗bの1乗cの2乗

2 aの3乗bの3乗cの1乗

3 bの4乗cの3乗

解答お願いします。
No.23201 - 2013/11/18(Mon) 22:08:42
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢＣＤＥＦＧ７つの箱があります。
１．どれか４つの箱に「ａ」のラベルを貼り、残り３個の箱のうち
１個に「ｂ」のラベルを貼り、残り２個に「ｃ」のラベルを貼ります。
その貼り方は
　7Ｃ4×3Ｃ1×2Ｃ2＝35×3×1＝105　・・・　答え

２．同様に　7Ｃ3×4Ｃ3×1Ｃ1＝35×4×1＝140
３．同様に　7Ｃ0×7Ｃ4×3Ｃ3＝35

(a+b+c)^7 は、
(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
の７つのカッコから、文字を１つずつ取ってきて掛けあわせたものを
全部足したものですから、a^4bc^2 は、４つのカッコからａを、
１つのカッコからｂを、２つのカッコからｃを取る取り方の
場合の数が a^4bc^2 の係数となります。
それを、箱とラベルでモデル化したのが上の解法です。
No.23213 - 2013/11/19(Tue) 08:47:04
★ 小学生 算数 拡大と縮図 相似の関係 / なぞな
相似な図形では、それぞれ対応する辺があり、
その各辺それぞれに対して各辺を同じ割合だけ大きく、あるいは小さくすれば形をキープしたまま相似な図形であれば拡大したり、縮小したりできるんですよね？
でもそれがほんとうなのか疑心暗鬼になっています。
たとえば相似な図形で対応する辺の比が1:2だってわかったら他の対応する辺も1:2の関係にあるんですよね？直感的にそんな気はしますがほんとうなんでしょうか？教えてください。
No.23195 - 2013/11/18(Mon) 18:34:24
☆ Re: 小学生 算数 拡大と縮図 相似の関係 / ヨッシー
>ほんとうなんでしょうか？
に対しては「本当です」としか言えません。

対応する辺の比が1:2 で、他の対応する辺が1:2 でなかったら、
それは相似とは言わないので、
>たとえば相似な図形で
と言った時点で、すべての対応する辺の比は同じです。
No.23205 - 2013/11/18(Mon) 23:42:14
★ 整数問題 / みそ
a,bを整数とする。3次方程式x^3＋ax^2＋bx-1=0・・・?@は3つの実数解α、β、γをもち、0<α<β<γ<3で、α、β、γのうちどれかは整数である。a,bの値を求めよ。
という問題で
まず、?@がα、β、γの実数解をもつので
x^3＋ax^2＋bx-1=(x-α)(x-β)(x-γ)と変形できますよね。これを解くと、x=α、β、γ
0<α<β<γ<3という条件から、整数解はもつとしても１と2に限られます。
この段階ではまだ、α、β、γがすべて1or2の整数かもしれないし、αだけが1o2の整数でβとγは異なる実数解かもしれません。いろんなパターンは考えられると思います。
そこで整数解をx=nとして、?@の左辺に代入すると
n^3＋an^2＋bn-1=0
nについて整理すると
n(n^2＋an＋b)=1
整数解x=nに関してはかんがえられる整数解が1と2なのでこの時点でn>0であることは明確です。
また、n,a,bが整数であることからn^2＋an＋bも整数
そして右辺が1であることからn=1でなければならないことがわかりました。
よって?@はx=1を解にもつので
x^3＋ax^2＋bx-1=(x-1){x^2＋(a＋1)x＋1｝
ここからが疑問なのですが、解答では
「条件から、x^2＋(a＋1)x＋1=0は0<x<3においてx=1でない異なる２つの実数解をもつ」とあります。
この「0<x<3」というところがひっかかているのですが、
もし、αが整数解１だったとしたら
1<β<γ<3となり、βとγは１〜３の間にある実数解ですよね？
もっといえばβが求まらないと、γの正確な値の範囲はわかりません。
数学の問題を解いていて思ったのですが、
最初は結構アバウトというか矛盾さえなければ広めに条件を設定しておいて、その他もろもろの条件とから正確な範囲を絞りだすってことが多い気がするのですが、この問題でもそうなんでしょうか？
とりあえず0<α<β<γ<3とあるんだから間違いなくα、β、γは0<x<3に存在するので矛盾はないですから、こうするのもわかる気がするのですが、、、なにかがひっかかります；
また、少しもどってしまうのですが、
解答には「0<α<β<3より整数解はx=1またはx=2」とあるのですが、この表現の仕方について、
たとえばさっきもいったように
?@α、β、γが３つとも整数
?Aα、βのみが整数
?Bα、γのみが整数
?Cαのみが整数
?Dβのみが整数
?Eβ、γのみが整数
?Fγのみが整数
のパターンがあり、このそれぞれの場合における、αやβやγは整数解をとるならx=1またはx=2ですよ、ということですか？
数学が苦手なのでわかる方教えてください。お願いします。
No.23193 - 2013/11/18(Mon) 15:58:54
☆ Re: 整数問題 / みそ
解答の「条件から、x^2＋(a＋1)x＋1=0は0<x<3においてx=1でない異なる２つの実数解をもつ」で条件を考えると、
?@の判別式ＤはＤ＞０であればよいのでa<-3,1<a
f(0)=1>0よりつねに成り立つ。
f(3)>0よりa>-13/3
軸について0<(-a-1)/2<3　より-7<a<-1
f(1)≠0よりa≠-3
共通範囲を求めると、-13/3<a<-3となります。
しかし、今
たとえばα=1であって、β、γのとりうる値の範囲が
0<x<1においてである場合を考えたとき、この0<x<1の範囲に異なる２つの実数解が存在するというのは0<x<3で考えたときの中に含まれていると思いますが、
実際確認してみると、0<x<3のときの上の条件で軸の位置の条件以外はすべて同じになりました。
このとき0<x<1で考えていることから軸の位置の範囲は0<(-a-1)/2<1となりますよね。
これは-3<a<-1となります。
まとめると
a<-3,1<a
f(0)=1>0よりつねに成り立つ。
f(3)>0よりa>-13/3
軸について0<(-a-1)/2<1　より-3<a<-1
f(1)≠0よりa≠-3
となりますが、これらの共通範囲は存在しませんよね？
どうして共通範囲が存在しないのかわかりません。
また、なんで0<x<3で考えていいのかもよくわかりません。
長くなりましたが教えてください。お願いします。
No.23198 - 2013/11/18(Mon) 20:57:06
☆ Re: 整数問題 / みそ
すみません。後半のは勘違いしてました。
0<x<1の範囲で異なる２つの実数解をもつためには
f(1)>0がまず成り立たなければなりませんよね。これさえ成り立てばf(3)>0は必ず成り立ちます。
しかし、
f(1)>0よりa>-3
f(0)>0はつねになりたつ
f(1)≠0よりa≠-3
軸については0<(-a-1)/2<1より-3<a<-1
Ｄ＞０よりa<-3,1<a
これらの共通範囲を求めようとしたのですが、共通範囲が存在しませんでした。
どうしてなんでしょうか？
0<x<3で範囲で考えるなら当然その中には0<x<1でとりうる異なる２解の場合もあるはずなのに、どうしてうまくいかないのか・・・よくわかりません；
教えてください。よろしくお願いします。
No.23199 - 2013/11/18(Mon) 21:08:34
☆ Re: 整数問題 / みそ
何度もすみません(汗)
勘違いの連続だったので疑問点を整理しました
?@問題文の「α、β、γのうちどれかは整数」というのは「α、β、γのうちどれか【１つ】は整数」という意味なんでしょうか？
?A整数解はx=1であることがわかりました。
ではα=1としたとき残りの異なる２解(βとγ)は大目にみても1<x<3にありますよね、
またβ=1としたとき残りの異なる２解(α、γ)は
αに関してはは0<x<1、γに関しては1<x<3の範囲にそれぞれあることがわかります。
またγ=1としたとき残りの異なる２解(α、β)は
大目にみても0<x<1にあります。
つまり、疑問なのはx=1を解にもつのがαなのかβなのかγなのかで条件は変わってしまいますよね？
それを最初から「x^2＋(a＋1)x＋1=0は0<x<3においてx=1でない異なる２つの実数解をもつ」と0<x<3というでかでかとした範囲で考えていいのか？というのが疑問です(汗)
問題演習をしていて時々、このような、最初は広めに範囲を設定しておいて考えるという解答が多い気がするのですが、大丈夫なんでしょうか？
すごく長くなってしまってごめんなさい。
よろしくお願いします。
No.23204 - 2013/11/18(Mon) 23:37:48
☆ Re: 整数問題 / angel
…α,β,γという文字に振り回されていると思います。
改めて問題を整理してみると、

　・問題の3次方程式は異なる3実数解を持つ
　・それらの解は全て0より大きく3より小さい
　・それらの解の中には整数解がある ( 少なくとも1つ、2つ3つあっても構わない…ないけど )
　・それらの解の小さい方から順に、α,β,γという名前をつけている

そうすると、この中で問題を解くのに関係ない条件はどれでしょう…、というと一番最後ですよね。単に名前をどうつけるかの問題だけなので。

なので、α,β,γのどれが整数か、色々場合分けをしても良いですが、それは要らぬ苦労を背負いこむだけ、となります。

シンプルに解くと

　0＜x＜3 で、問題の3次方程式が持ちうる整数解は x=1 のみと分かる ( x=2 はありえない )
　→ 問題の方程式は x=1 と、0＜x＜3 ( ただし x≠1 ) の範囲に2解を持つ
　→ b=-a かつ、2次方程式 x^2+ax+1=0 は 0＜x＜3 ( x≠1 ) の範囲に2実数解を持つ

で、あとは2次方程式の問題となります。どれがαでどれがβか、そういったことは気にする必要がありません。
No.23207 - 2013/11/19(Tue) 00:39:01
☆ Re: 整数問題 / みそ
angelさん
回答ありがとうございます。
α、β、γのどれが整数かを考えると場合分けもめんどくさいですよね。
0<x<3の範囲に整数解x=1以外の異なる2解が存在するので、
0<x<3の範囲で2次方程式の解の配置問題に帰着すればいいんだ！と素直にできればいいのですが、正直私は心配性なところがあって、「ほんとにこんなおおざっぱに0<x<3でいいのかな？いや、たしかに0<x<3の範囲に残りの異なる２解は存在するんだしいいんだろうけど・・・んーでもやっぱり心配；；」「２解の位置の場合分けが必要なんじゃないかな・・・？」
などと不安になって先にすすめなくなります＞＜；
どうしたらこういった不安を取り除くことができるんでしょうか？この問題に限らず数学の問題全般に、余計なことを考えすぎる癖があります；
正直まだ少し腑に落ちてない感じです。。
どうすればいいんでしょうか？？教えてください。お願いします＞＜
No.23208 - 2013/11/19(Tue) 00:55:05
☆ Re: 整数問題 / angel
> どうしたらこういった不安を取り除くことができるんでしょうか？

それは、ちゃんと問題の条件なり意図なりを正確に解釈すること。
問題文に出てくるα,β,γは、単に解の存在範囲の条件を表すために、便宜上大小の区別をつけて導入しているだけのものです。α,β,γの区別は全く問題の内容に影響しません。
※例えば整数解と非整数解の大小関係が条件にあるなら、こういったα,β,γの区別も意味は出てきますが

なので、No.23207で私が整理したのと同じようにできること。問題を解き始める前に、ちゃんと情報を整理する、これが大事です。

> ほんとにこんなおおざっぱに0＜x＜3でいいのかな？
なので、「おおざっぱ」ではなく、むしろ正確に問題の条件を整理・把握したからこそ“0＜x＜3”なのです。
No.23209 - 2013/11/19(Tue) 03:16:30
★ わからない / 明日期末テスト
y−(2−y)＝2＋4yのy−(2−y)の解き方がわかりませんお願いします
No.23192 - 2013/11/18(Mon) 15:29:38
☆ Re: わからない / ヨッシー
解き方ではなく、計算の仕方（またはカッコの外し方）ですね？

ａ−（ｂ−ｃ）＝ａ−ｂ＋ｃ

という式は見たことありませんか？
No.23194 - 2013/11/18(Mon) 17:32:20
★ (No Subject) / 趣味学生
aもbもcも正の数のとき
a∧(c/b)=b∧(a/c)=c∧(b/a)
ならば
a,b,cは等しいことを証明せよ

お手数ですがよろしくお願いしますm(_ _)m
No.23191 - 2013/11/18(Mon) 13:24:23
☆ Re: / ＩＴ
（証明の指針）
(1)a,b,cすべて１より大きいか,すべて１と等しいか,すべて１未満か、のいずれかである。
（容易だと思うので自分で証明してください）

0＜a≦b≦cとしても一般性を失わない。
このとき(1)より、1＜a≦b≦c …(A),a＝b＝c＝1 …(B), 0＜a≦b≦c＜1…(C)　のいずれかである。

(A)のとき
　0＜a/c≦1≦b/a かつ 1＜b≦c なので
　　 b^(a/c)≦b^(b/a)≦c^(b/a)、　(１つ目の等号はa/c=1=b/aのとき、２つ目の等号はb=cのとき)
　条件よりb^(a/c)＝c^(b/a)なので a/c=1=b/a
　よって a=b=c
(B)のとき　a=b=c
(C)のとき
　(A)と同様
No.23196 - 2013/11/18(Mon) 18:58:55
☆ Re: / 趣味学生
ありがとうございますm(_ _)m
No.23197 - 2013/11/18(Mon) 19:40:31
☆ Re: / ＩＴ
「0＜a≦b≦cとしても一般性を失わない」としたのは、間違っていたようです。0＜a≦c≦bの場合も別に考える必要がありますね。（同様ですが）

1＜a≦c≦bのとき
　0＜c/b≦1≦b/a かつ 1＜a≦c なので
　　 a^(c/b)≦a^(b/a)≦c^(b/a)、　(１つ目の等号はc/b=1=b/aのとき)
　条件よりa^(c/b)＝c^(b/a)なので c/b=1=b/a
　よって a=b=c
No.23223 - 2013/11/19(Tue) 21:35:33
★ 数学Ｉ / 場合分け
f(x)＝Σ[k=1〜100]|kx‐1|＝|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋‥‥＋|100x‐1|を最小にするxの値を求めよ。
a[k]=kx-1とする。
(i)x≧1のとき絶対値の中身a[k]はすべて正なのでf(x)=5050x-100
(ii)x≦1/100のとき絶対値の中身a[k]はすべて負なので
f(x)=-5050x＋100
(iii)1/100<x<1のとき
絶対値の中身a[k]が正である部分と負である部分に分けられる。
つまり、x-1<0、2x-1≦0、3x-1≦0、・・・(m-1)x-1≦0、mx-1≧0、・・・、99x-1≧0、100x-1>0　のように(m-1)x-1とmx-1で正負が変わる所があるとすると、これが成り立つためには
1/m≦x≦1/(m-1)であればよい。
・・・以下計算をするとm=71のとき1/71≦x≦1/70においては傾きが正のグラフ
m=72のとき1/72≦x≦1/71のとき傾きが負のグラフになるので
f(x)を最小にするxの値はx=1/71となったのですが、一つ疑問があって、負から正に変化するところを「(m-1)x-1≦0、mx-1≧0」としましたが、ここはべつにmx-1≦0、(m＋1)-1≧0」としても問題ないですよね？誰かわかる方教えてください。お願いします。
No.23188 - 2013/11/17(Sun) 23:23:02
☆ Re: 数学Ｉ / ヨッシー
mx-1≦0、(m＋1)x-1≧0 でも問題ありませんが、
ｍの値とｘの範囲とが、上の場合と１つずれますので、
注意が必要です。
No.23190 - 2013/11/18(Mon) 06:23:24
☆ Re: 数学Ｉ / 場合分け
わかりやすい回答ありがとうございました。
No.23206 - 2013/11/19(Tue) 00:15:55
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