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★ 数学Ｉ / はんじゅく
a,bは正の実数。ax^2＋by^2=1を満たす実数x,y(x≧0、y≧0)について
(1)(x/a)≦(y/b)となるためのxの値の範囲を求めなさい。
(x/a)≦(y/b)の両辺にab(>0)をかけて
bx≦ayとすることができ、
この両辺を2乗すると
b^2x^2≦a^2y^2
ax^2＋by^2=1を利用してこの不等式からxの値の範囲を求める・・・という方針でやると
0≦x≦a/√(a^3＋b^3)となったのですが答えはあっているのでしょうか？
よろしくお願いします。

※数学の質問とは少しそれてしまって申し訳ないのですが、
数学の問題を非営利で純粋に学力向上という目的でウェブで質問するという行為は
著作権法的にはセーフと考えてもよいのでしょうか？
よろしければみなさんのお考えをお伺いしたいです。
No.23385 - 2013/11/30(Sat) 01:53:56
☆ Re: 数学Ｉ / ヨッシー
答えは正しいです。

楕円 ax^2＋by^2=1 と、直線 ｂｘ＝ａｙ を考えると、
図の赤い部分が、条件を満たす部分なので、
結局、両者の交点のｘ座標を求める作業になります。



数学の個々の問題は著作物ではないので、法的には問題ありません。
No.23386 - 2013/11/30(Sat) 04:53:42
★ 数I / ニガテ
a,bを実数の定数とし、実数の集合A,BをA＝{x|x^2＋ax＋b=0｝B={x|x^2＋bx＋a=0｝とする。集合A∩Bが、ただ１つの要素よりなるときのaとbの関係を求め、それを図示せよ。
(自分の解答)
集合A∩Bのただ1つの要素をx=tとすると、x^2＋ax＋b=0・・・?@,x^2＋bx＋a=0・・・?Aを両方とも満たすので、
?@、?Aにそれぞれx=tを代入すると
t^2＋at＋b=0・・・?@'
t^2＋bt＋a=0・・・?A'
?@’?A’を連立してt^2を消去すると
(a-b)t=a-b
(i)a-b=0のとき
tの値に関係なく両辺は0となり成り立つ。
(ii)a-b≠0のとき
t=1
?@'?A'にそれぞれt=1を代入するとb=-a-1
a≠bよりa≠-a-1　a≠-1/2
よって(i)(ii)より条件を満たすaとbの関係は
b=-a-1(ただしa≠-1/2)
または
b=a
としたのですが解答は
「A∩B=｛t｝とするとtは集合A,Bの要素であるから
t^2＋at＋b=0・・・?@
t^2＋bt＋a=0・・・?Aが成立する。
?@-?Aより
(a-b)(t-1)=0
よってa=bまたはt=1・・・?B
(ア)a=bのとき
A=B={x|x^2＋ax＋a=x^2＋bx＋b=0}となるから
A∩Bがただ一つの要素からなるのは
x^2＋ax＋a=0(x^2＋bx＋b=0でもよい)を満たす実数xがただ1つのときである。
その条件は(判別式)=a^2-4a=0
a=0,4
よって(a,b)=(0,0)(4,4)
(イ)a≠bのとき
?Bよりt=1でなくてはならない。
?@に代入するとb=-a-1
このとき
x^2＋ax＋b=(x-1)(x＋a＋1)であるから
A={1,a-1}
また、x^2＋bx＋a=(x-1)(x-a)であるから
B={1,a}
したがってA∩B={1}になる条件は
a=1または-a-1=1またはa≠-a-1
【b=-a-1】だから(a,b)=(1,-2)または(a,b)=(-2,1)または
【b=-a-1(a≠-1/2)】となる。
これらはまとめてb=-a-1(a≠1/2)とかける。
(ア)(イ)をまとめると、
b=-a-1(a≠1/2)または(a,b)=(0,0)または(a,b)=(4,4)
したがってこれらを図示すればよい。
とあるのですが、【b=-a-1】はどうして必要になるんでしょうか？(a,b)=(1,-2)または(a,b)=(-2,1)としてa≠1/2のときの座標は書かなかったらいいだけじゃないのですか？
また、自分の解答で、
「(i)a-b=0のとき
tの値に関係なく両辺は0となり成り立つ。」としてますが、
このときx=tはどんな値をとっても成り立つので
tが「ただ１つの要素」であることに矛盾しますよね？
でも(ii)ではt=1と絞られるんでいいんですけど
解答のように(a,b)=(0,0)または(a,b)=(4,4)をだせません。
どうしたら解答のような解き方ができるんでしょうか？
また自分の解き方のまずい点をたくさん教えてください。
数学は大の苦手ですので解けるようにしたいです。よろしくおねがいします。
No.23375 - 2013/11/29(Fri) 01:06:31
☆ Re: 数I / ヨッシー
まず、「集合A∩Bが、ただ１つの要素よりなる」とはどういう時かを
整理すると、
１．ＡとＢがともに重解を持ち、それが同じである。
　→(a,b)=(0,0),(4,4)
２．Ａは異なる２解を持ち、Ｂはそのうちの１つを重解として持つ。
　→(a,b)=(1,-2)
３．Ｂは異なる２解を持ち、Ａはそのうちの１つを重解として持つ。
　→(a,b)=(-2,1)
４．Ａ，Ｂともに異なる２解を持ち、そのうちの１つの解のみが共通。
　→b=-a-1(a≠-1/2)
となります。

特に、１．のところが見落とされていますので、そこに注意してみてください。
No.23378 - 2013/11/29(Fri) 10:45:12
☆ Re: 数I / ニガテ
ヨッシーさんありがとうございます。
(i)a-b=0のとき
tの値に関係なく両辺は0となり成り立つ。
ここのところでただ一つの要素tは1だろうが2だろうが-1だろうが、
実数であればいろんな場合が考えられてしまいますよね。
このことは要素tがただ一つのみに定まらないのでおかしいとなって、他の方法でただ一つのみのtを求める方法はないかということで
思いついたのが解答のやり方ということなんでしょうか？
でも私なら(i)a-b=0のとき
tの値に関係なく両辺は0となり成り立つ。
としてしまった時点でただ一つのみの要素tは一つではないとして終わってしまうと思います。
どうしたらそこから解答のようにつなげられるのでしょうか？
教えてください。
お願いします。
No.23379 - 2013/11/29(Fri) 16:40:21
☆ Re: 数I / ヨッシー
「ただ一つの要素t」とありますが、ｔは?@と?Aをともに満たす
解ですが、「ただ一つ」ではありません。

実際、ａ＝ｂ のとき?@と?Aは同じ方程式になり、その解α、βは
両方とも、集合A∩B の要素になりますので、要素が１つには
なりません。（１つになるのは、重解の時だけです）

また、文面から感じられるのは、ａ＝ｂであれば、
x^2＋ax＋b=0・・・?@,x^2＋bx＋a=0・・・?A
はどんなｘに対しても成り立つと思われているように見えます。

ａ，ｂを適当に取れば、どんな値も取ることは出来ますが、
ある決まった、ａ，ｂから得られる解は、高々２個までです。
No.23380 - 2013/11/29(Fri) 17:19:25
☆ Re: 数I / ニガテ
ありがとうございました
No.23384 - 2013/11/30(Sat) 01:40:42
★ (No Subject) / サザンデラ
一辺の長さが２の立方体がある。この立方体の６つの面の中心（対角線の交点）を頂点とする正八面体の表面積と内接球の半径を求めよ。


どのように解くのか教えてください
No.23370 - 2013/11/28(Thu) 20:24:18
☆ Re: / X
前半)
問題の正八面体は正三角形８枚で面を構成しています。
ということでまずこの正三角形の辺の長さを求めます。

立方体の６つの面の内、向かい合わせの２つの面を除いた
４つの面を考えます。
この４つの面の対角線の交点を、面をつながっている方向に
ぐるっと回る形でそれぞれP,Q,R,Sとし
P,Q,R,Sを通る立方体の断面を考えます。
この断面は辺の長さ2の正方形となり、P,Q,R,Sはその辺の
中点になりますので、線分PQ,QR,RS,SAは
直角を挟む辺の長さが1の直角二等辺三角形の斜辺
となります。よってその長さは…。

後は正三角形の面積を求めて結果を８倍します。

後半)
これは面積と三辺の長さが分かっている三角形の
内接円の半径を求める場合と似た考え方で求めます。

問題の正八面体は正方形PQRSを底面とし、高さが1/2の正四角錐を
２つ組み合わせた形になっています。よってその体積をVとすると
前半の過程により
V=… (A)
次に、問題の内接球の中心を頂点の一つとして正八面体を、面を構成する
正三角形が底面となるような８つの正三角錐に分割します。
正三角形の面積をT(これは前半の過程で求めています)、内接円の半径をr
とすると
V=8・(1/3)rT
となりますので
r=3V/(8T) (B)
(B)に(A)と前半の過程で求めたTの値を代入します。
No.23372 - 2013/11/28(Thu) 20:41:51
☆ Re: / ヨッシー
一応図を載せておきます。

No.23373 - 2013/11/28(Thu) 20:50:57
☆ Re: / サザンデラ
前半部分のＰＱＲＳの断面は辺の長さ２の正方形ではないんですか？
No.23374 - 2013/11/28(Thu) 21:40:17
☆ Re: / X
ごめんなさい、その通りですね。
それに伴ってNo.23372を修正しましたので再度ご覧下さい。
No.23376 - 2013/11/29(Fri) 02:24:09
★ 三角関数 / たんじぇんと
xを正の実数とする。座標平面上の３点Ａ(0,1),Ｂ(0,2),Ｐ(x,x)をとり、三角形ＡＰＢを考える。
∠ＡＰＢの最大値を求めよ。
∠ＡＰＢ=θとすると、まず最初に問題になってくるのはθが鋭角なのか直角なのか鈍角なのかということです。
解答にはtanθの最大値がθの最大値と書いていましたがひっかかります。
θの最大値をθ1とすると、たしかに鋭角の場合、鈍角の場合はそれぞれ
0°<θ<=θ1<90° 90°<θ<=θ1<180°なので
それぞれの場合で、θが最大、つまりθ1であるとき同時にtanθも最大となると思います。しかし直角でθがθ1=90°で最大のとき、tanθは定義できません。
なのにもかかわらずtanθが最大であるときがθが最大といっていいのでしょうか？
考えてみたところ点A.Bを直径とする円の内側に点Pが存在すればθは鈍角、周上にあればθは直角、外側にあればθは鋭角ですよね。
点Pは常に外側に存在するのθは鋭角です。
それならtanθが最大のときθも最大となりますが、、、
解答では角の形状に触れずに進めているのでよくわかりません。わかる方教えてください。お願いします。
No.23366 - 2013/11/28(Thu) 19:56:23
☆ Re: 三角関数 / X
問題の模範解答は恐らく略解だと思われます。
従ってたんじぇんとさんの疑問の通り、θが鋭角であるという
証明が別に必要となります。
さてその証明ですが、△ABPに余弦定理を使って
cosθ＞0
であることを示す、という方法が考えられます。
(もっと簡単な方法があるかもしれません)
No.23369 - 2013/11/28(Thu) 20:22:58
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
「点ＰがＡＢを直径にした円の外にあるのでθは鋭角」
の方針の証明でも良いと思います。
No.23371 - 2013/11/28(Thu) 20:33:39
★ ベクトル / とも
1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、
辺OAを1:2に内分する点をD、
辺OBの中点をE、
辺BCを2:1にない分する点をFとし、
3点D、E、Fの定める平面をαとする。

問題
平面αと辺ACが交わる点をGとするとき、
↑OGを↑a、↑cを用いて表せ。
また。|↑OG|を求めよ。

という問題の解き方を
教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.23364 - 2013/11/28(Thu) 19:21:09
☆ Re: ベクトル / X
↑a=↑OA,↑c=↑OC
と解釈して回答します。

↑OB=↑b
とします。
前半)
まず点Gは平面α上にあることから
↑OG=k↑OD+l↑OE+m↑OF (A)
(但しk+l+m=1 (B))
点D,E,Fの条件から(A)は
↑OG=(k/3)↑a+(l/2)↑b+(m/3)(↑b+2↑c)
=(k/3)↑a+(l/2+m/3)↑b+(2m/3)↑c (A)'
一方Gは辺AC上の点でもあることから
↑OG=p↑a+(1-p)↑c (C)
(但しp＞0 (C)')
ここで
↑a,↑,b,↑cは互いに平行ではなく
かつ３つのベクトルは同一平面上にはなく
かついずれも零ベクトルではありません。
よって(A)'(C)の係数を比較することができ
k/3=p (D)
l/2+m/3=0 (E)
2m/3=1-p (F)
(B)(D)(E)(F)を連立して解きます。
但し(C)'に注意しましょう。

後半)
正四面体OABCにおいて
|↑a|=|↑OA|=OA=1 (G)
|↑c|=|↑OC|=OC=1 (H)
↑a・↑c=↑OA・↑OC
=|↑OA||↑OC|cos∠AOC
=1/2 (I)
(G)(H)(I)と前半の結果を使い
|↑OG|^2
の値を求めます。
No.23367 - 2013/11/28(Thu) 19:59:14
★ 微分 / 微分
次の条件を満たす３次関数f(x)を求めよ。
(i)f(0)=1 (ii)f'(0)=f'(1)=-3 (iii)x=αおよびx=βで極値をとり、|f(α)-f(β)|=|α-β|
f(x)=px^3+qx^2+rx+s(pは0でない)とします。f'(x)=3px^2+2qx+r
(i)f(0)=1 (ii)f'(0)=f'(1)=-3から
s=1.r=-3.q=(-3/2)p
f(x)=px^3-(3/2)px^2-3x+1...1
f'(x)=3px^2-3px-3...2
1を2で割ると
f(x)=f'(x)[(x/3)-1/6]+[(-p/2)-2]x+(1/2)
x=α、βを代入してやって辺々を引くとf(α)-f(β)=(α-β)[(-p/2)-2]
f'(x)=0でx=α,x=βとなる値が存在する。
解と係数の関係より
α+β=-2q/3p,αβ=-1/p
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ
(α+β)^2=α^2+β^2+2αβ=1
先ほどのpとqの関係よりα+β=1
(α-β)^2=1+4/p
α-β=+-√(1+4/p)
｜左辺｜
=|-√(1+4p)(1/2p+2)|
とここまできてどうしたらよいかわからなくなりました。

わかる方教えてください。お願いします。
No.23361 - 2013/11/28(Thu) 15:35:51
☆ Re: 微分 / ＩＴ
f'(x)=3px^2-3px-3=0 が２つの異なる実数解（これがα、βです）を持つ条件を求める。(２次方程式の判別式＞0）

これとf(α)-f(β)=(α-β)[(-p/2)-2]と|f(α)-f(β)|=|α-β|からpが求まるのでは？

>解と係数の関係より
以下は不要だと思います。
No.23362 - 2013/11/28(Thu) 18:05:25
★ 桁数 / えぬ
次の条件(i)(ii)をともに満たす自然数nを求めよ。
(i)n^2の桁数はnの桁数より2大きい
(ii)nは5つの連続する自然数の平方の和に等しい

自然数nの桁数をmとすると、10^(m-1)≦n<10^m・・・?@ 10^(m+1)≦n<10^(m+2)・・・?A
?@?Aの各辺に常用対数をとると
m-1≦log[10]n<m・・・?@'
(m+1)/2≦log[10]n<(m+2)/2・・・?A'
?@’?A’をともに満たすnが存在するには
m>(m+1)/2 かつ(m+2)/2>m-1
わからないところ1
?Aを満たすのはわかるのですが?@を満たすのはなぜなんでしょうか？?@は自分で設定したものなのに
わからないところ2
?@’?A’をともに満たすnが存在するには
m>(m+1)/2 かつ(m+2)/2>m-1はどうしてこうなるのでしょうか？
実際にmの値を代入して調べてみてからじゃないとこの条件はわからなくないですか？
お願いします。
No.23360 - 2013/11/28(Thu) 13:40:28
☆ Re: 桁数 / angel
> わからないところ1
> ?Aを満たすのはわかるのですが?@を満たすのはなぜなんでしょうか？?@は自分で設定したものなのに

「なぜ」と言われたならば、「それが『桁数』という数の持つ性質だから」が答えになります。
それから、「自分で設定」したら何かマズいのでしょうか? というのと、あくまで設定したのは「mが桁数を指すこと」であって、?@は桁数の持つ性質からでたもの、?@自体を設定した訳ではない…ということで、何か誤解があるような気がします。
No.23365 - 2013/11/28(Thu) 19:27:38
☆ Re: 桁数 / えぬ
回答ありがとうございます。
完全に勘違いしていました。。
2に関してなのですがmは自然数なので1から代入してみて調べてみると満たすmは2と3のみだとわかりました。
ですが、先生は瞬時に?@’?A’をともに満たすnが存在するには
m>(m+1)/2 かつ(m+2)/2>m-1としていました。
どこに着目すればこの条件をぱっと出せるのでしょうか？
No.23368 - 2013/11/28(Thu) 20:03:54
☆ Re: 桁数 / angel
> どこに着目すればこの条件をぱっと出せるのでしょうか？

それは経験がものをいうのです…と説明すると楽ではあるのですが、役には立ちませんね。
人によって何がよいかは一概に言えないと思いますが、数式を分かりやすいイメージに置き換えることが大事だと思います。
既に習っているはずの「数直線」や「グラフ」は、数の大小関係、範囲を絵図として見えるようにする ( 可視化する ) ものなので、使いこなせると便利です。
※なので参考書的には、今回は数直線を描くのが正解だと思います。

もう一つ私が心がけていたのは、数式を何か現実のモノ、日常関わる何かとリンクさせて考えること。
例えば、あなたが旅行を計画していて、旅先でお祭りを見たいと考えているとしましょうか。
もしお祭りの開催期間が10〜16日だと、旅行期間をどうすべきでしょうか。終わってから行っても、文字通り後の祭りなので、出発は遅くとも16日ですね。それに、始まる前に帰って来ちゃっても見られないので、帰りは10日以降。
数式としては、
　お祭りの開催日に該当する条件: 10≦x≦16
　旅行期間に該当する条件: 出発日≦x≦帰宅日
　旅行中にお祭りを見られる ( 両条件を満たすxが存在する ) には:
　　出発日≦16 かつ 帰宅日≧10
…この構図は、≦と＜といった小さな違いがあるものの、今回の問題と同じです。

昔、「計算問題はできないのに、金勘定はできる」なんて言われていた子が身近にいましたが、数を単なる数ではなく、現実の何かとして考える方が、やはりやり易いのだろうと思います。
No.23377 - 2013/11/29(Fri) 08:07:02
★ (No Subject) / 高3
1/(3・5)+1/(5・7)+…+1/(23・25)
はどのような計算で答えが出ますか？
No.23359 - 2013/11/28(Thu) 10:35:32
☆ Re: / らすかる
Σ[k=1〜11]1/{(2k+1)(2k+3)}
=Σ[k=1〜11]1/{(2k+1)(2k+3)}
=(1/2)Σ[k=1〜11]{1/(2k+1)-1/(2k+3)}
=(1/2)(1/3-1/25)
=11/75
となります。
No.23363 - 2013/11/28(Thu) 18:54:43
★ 切り上げ　切り捨て / ぽる
?@aの小数第１位を切り上げると13になるとき
aは12<a≦13を満たす。

?Aaの小数第2位を切り捨てると13.0になるとき
aは13≦a<13.1を満たす。

?@、?Aがよくわかりません。
たとえば?@の場合、12.0の小数第１位は0ですが、これを切り上げて13にはできないのでしょうか？
13.0なら小数第１位の0を切り上げて13になるんでしょうか？
どうして12≦a<13なのかわかりません。
?Aは一番小さい小数第２位の値は13.0【0】・・・の【0】ですよね。これを切り捨てると13というのはわかる気がします。ですが、一番大きい小数第２位の値は13.09・・・・・の９なのでこれを切り捨てると13.0になりますので?Aはわかるのですが、?@がよくわかりません。

切り上げとか切り捨てとかあまり聞き慣れていないので混乱しています。
わかる方教えてください。お願いします。
No.23357 - 2013/11/28(Thu) 02:12:37
☆ Re: 切り上げ　切り捨て / angel
> aの小数第１位を切り上げる
恐らく、「第1位**以下**」が正しい表現のはずです。
で、どこを切り上げるかではなく、切り上げることでどんな数を作ろうとしているか、それで考えた方が良いです。
この場合は小数点以下をなくすこと、つまり整数を作る話です。
元の数が整数ならそのままで良いのですが、整数と整数の間にある数をどうしようかという所で、一律大きい整数にしてしまいましょう、というのが切り上げです。
なので、12〜13の範囲にある数、12.5や12.001等、全て13になります。丁度12であれば切り上げても12です。丁度13なら13ですが、今度13をちょっとでも上回ると、今度は13〜14の範囲になるので、切り上げて14になってきます。

> aの小数第2位を切り捨てる
これも同じく「以下」が要るかと。
で、作る数は小数点以下第1位までの数。12.0〜12.1の範囲の数は、一律小さい方の12.0にしてしまいましょう、というのが切り捨てです。12.1丁度であれば、切り捨てても12.1です。
No.23358 - 2013/11/28(Thu) 08:05:43
★ 整式 / ktdg
fn(x)=Q(x)(x-a)^n (Q(x)はxの整式)
⇔fn(a)=0, f'n(a)=0, f"n(a)=0,… ,f^(n-1)n(a)=0 (n=1,2,3,…)
の証明
n=1のときは明らか
n=kのとき成立を仮定する
n=k+1のとき
fk+1(x)=Q(x)(x-a)^(k+1)=(x-a)fk(x)とすると
f'k+1(x)=fk(x)+(x-a)f'k(x)
f"k+1(x)=2f'k(x)+(x-a)f"k(x)
…
f^(k)k+1(x)=kf^(k-1)k(x)+(x-a)f^(k)k(x)
また fk+1(x)=(x-a)fk(x)⇔fk+1(a)=0
よって 仮定より
fk+1(x)=Q(x)(x-a)^(k+1)(=(x-a)fk(x))
⇔fk+1(a)=0, f'k+1(a)=0, f"k+1(a)=0, … ,f^(k)k+1(a)=0
よってn=k+1のときも成立
したがってすべての自然数について成立する。

あまり慣れていない数学的帰納法の使い方なのであっているか自信がないです。間違っているところがあったらご指摘お願いします。
No.23353 - 2013/11/27(Wed) 22:04:36
☆ Re: 整式 / angel
大筋で合ってはいるのですが「なぜ成立するのか」の説明が足りていないと取られる可能性はあるかな…という感じです。
特に…で飛ばしているところですね。
※仮定したどの条件をどう使うと成立が示せるか、それが今一はっきり分かり辛い

n=k+1の時には k+1個の等式を示す必要があるわけですが、如何に説明を飛ばしていない様に見せられるか、工夫の余地はあると思います。

後は細かい所ですが、うかつに⇔を使うのは気を付けた方が良いと思います。
大抵必要なのは⇒のはずで、⇔が成立している時に⇒と書いても嘘ではないし何ら問題はありませんが、折角⇒が成立していても⇔を書いてそれが不成立だったら、要らぬ減点を喰らうことになります。
No.23356 - 2013/11/27(Wed) 23:04:04
☆ Re: 整式 / ktdg
ありがとうございます。
No.23382 - 2013/11/29(Fri) 21:44:42
★ (No Subject) / カルデラ
ｐ、ｑを互いに素な２以上の整数、ｍ、ｎはｍ＜ｎなる正の整数とする。このとき、分母がｐ＾２ｑ＾２で分子がｐでも
ｑでも割り切れない分数のうち、ｍよりも大きくｎよりも
小さいものの総数を求めよ

解説解答お願いします
No.23352 - 2013/11/27(Wed) 21:19:48
★ (No Subject) / おにさだ
ｍが正の値をとるとき、直線
ｙ＝２ｍｘ−ｍ＾２・・・・・?@
の通り得る範囲を次の３通りの方法で求めよ
(１)?@をｍの方程式と考える
(２)ｙをｍの関数と考える
(３)ｍの値によらず直線(?@)が一定の放物線に接することを用いる

お願いします
No.23351 - 2013/11/27(Wed) 21:11:09
★ 集合 / ぽむぽむ
A=[3n-1|n∈Z] (ただし、Zは整数全体の集合とする)
集合Zには0やら-1やら1やらなんやら整数がいっぱい集まっていますよね。nはそれらの中の要素なのでnは0または-1または1または、、、とnはいろんな整数を取りうるといえますよね。
となると集合Aもnの値に応じていろんな整数の値が集まった集合が
つくれます。
でも実際はnというのはあくまで要素なのでn=1というふうに値が具体的に判明すれば、集合Aは要素2のみですよね？
解答にはn=...-2、-1、0、1、2、...として要素を列挙するとA=[...、-7、-3、1、5、9、...]とあるのですがこれは取りうる集合Aの要素を意味しているので数字の間の「、」は「または」という意味でしょうか？よろしくお願いします。
No.23347 - 2013/11/27(Wed) 11:06:15
☆ Re: 集合 / らすかる
集合Aの要素の列挙ならば、「、」は「または」ではなく「と」です。
例えば「3以下の自然数の集合」は「1と2と3」であり、
「1または2または3」ではありませんね。
No.23350 - 2013/11/27(Wed) 13:59:22
☆ Re: 集合 / ぽむ
ありがとうございます。
追記で、n∈Zと、nは整数という表現は同じと考えてよいでしょうか？お願いします。
No.23354 - 2013/11/27(Wed) 22:19:14
☆ Re: 集合 / angel
> でも実際はnというのはあくまで要素なのでn=1というふうに値が具体的に判明すれば、集合Aは要素2のみですよね？

…その考えは誰かに聞いたのですか? 取り敢えず、正しくはありません。

Ａ={3n-1|n∈Ｚ} というのは、(不正確ながら)分かり易く書くと、
　Ａ={…,3・(-2)-1,3・(-1)-1,3・0-1,3・1-1,3・2-1,…}
という色々な値を含む集合のことです。

Ａ={3n-1|n∈Ｚ}というような表記に馴染みがなければ、次のような例を考えてみるのも良いでしょう。
例えば、あなたの学校の1年生の母親全員で、「1年生母親の会」を結成するものとします。これを、人を要素とする集合とみなすと、

　1年生母親の会 = { nの母親 | n∈1年生一同 }

と表すことができます。
No.23355 - 2013/11/27(Wed) 22:36:01
★ (No Subject) / かるろす
ｆP(ｘ、ｙ)→P´(ｘ´、ｙ´)
ｘ´＝ｘ＋ｙ
ｙ´＝ｘｙ
てO(０，０)、A(１、０)、B(１，１)、C(０，１)を頂点とする四角形の周は、どのような図形
に移されるか
　また四角形OABCの内部は、どのような図形に移されるか

なんですが教えてはいただけませんか？
No.23341 - 2013/11/27(Wed) 04:26:00
☆ Re: / ヨッシー
ＯＡ上の点(s,0) (0≦ｓ≦1) は、(s,0) に移ります。
ＡＢ上の点(1,t) (0≦ｔ≦1) は、(1+t, t) に移ります。
ＢＣ上の点(s,1) (0≦ｓ≦1) は、(1+s, s) に移ります。
ＯＣ上の点(1,t) (0≦ｔ≦1) は、(t, 0) に移ります。
それぞれ、直線ｙ＝０，ｙ＝ｘ−１、ｙ＝ｘ−１、ｙ＝０
を表すので、点(0,0) と点(1,0)を結んだ線分と、点(1,0) と
点(2,1) を結んだ線分上を動きます。

線分(s,t) （ｓは0≦ｓ≦1を移動、ｔは0≦ｔ≦1のある値に固定）を考えます。
点(s,t) は(x,y)＝(s+t,st) に移ります。
x=s+t, y=st としてs を消去すると
　ｙ＝t(x-t)　(t≦ｘ≦t+1)
という線分を動きます。
ｔを変化させて、これらの線分を引くと、以下のようになります。


ｙ＝x^2/4 が包絡線となります。
No.23342 - 2013/11/27(Wed) 06:15:16
★ 確率、場合の数 / ぽむぽむ
田中くんはX地点にいきたい。いま、目の前にA、B、C三本の道があるとします。
田中くんがAを通って行く確率は1/3
ほかのそれぞれの道も確率は等しく1/3ですよね。
では田中くんがAまたはBを 通って行く確率は2/3ですよね。
ここで疑問に思ったのが排反、独立、和の法則、積の法則の違いです。排反は事象に関してと理解しています。
たとえばサイコロを1回振って偶数の目がでる。という事象とサイコロを1回振って奇数の目がでるという事象は試行は同じですが、結果は同時に起こることはありえないのでこれらは互いに排反ですよね。
独立は複数の試行に関して互いに影響を与えないもののことだと理解しています。たとえばコインを投げて〜、と、サイコロを投げて〜、というのは試行自体異なるので影響は全くありません。なので独立ですよね。
では戻って、田中くんがAを通ってXに行くという事象と、田中くんがBを通っていく事象というのは同時にはおこりえませんよね。だから排反なのでしょうか？
排反や独立という言葉をつかうときは、まず試行という操作があって、それを行うことによる結果がかかれていたとおもいます。たとえば、
「サイコロを1回投げて(試行)、偶数の目がでる(結果)。」というような感じです。
でもいま、「このAを通ってXへ行く」という事象は試行と結果なのでしょうか？
「Aを通って(試行)、Xへ行く(結果)」というなら
「Bを通って、Xへ行く」と、試行が異なるので互いに影響を及ぼすことはないので独立といえ、確率は積で求めないといけないのではないでしょうか？
でもこれら二つは同時に起こることはありませんよね。じゃあ排反なんじゃ、、、となるんですがもうどっちなのかわかりません。
今まではあまり考えずにやってできていましたが、考えると意味がわからなくなります。
この単元は一番苦痛で苦手な単元なので誰かわかる方教えてください。お願いします。
No.23340 - 2013/11/27(Wed) 00:45:58
☆ Re: 確率、場合の数 / ヨッシー
>ほかのそれぞれの道も確率は等しく1/3ですよね。
それは、問題によって与えられるものなので、同意を求められても、
何とも言えません。

「田中くんがＡの道を行く」
「田中くんがＢの道を行く」
「田中くんがＣの道を行く」は排反なので、例えば、
「田中くんがＡまたはＢの道を行く」確率は、和の法則より
1/3＋1/3＝2/3 です。

さらに別の佐藤くんが同様にＡＢＣの道を選ぶとき、
田中くんの試行と佐藤くんの試行は独立なので、
「田中くんがＡの道を行き、佐藤くんがＢの道を行く確率」は
積の法則より 1/3×1/3＝1/9 です。

「排反は事象に関して」「独立は複数の試行に関して」は
いずれも正しいです。

「Aを通って(試行)、Xへ行く(結果)」ではなく
「道を選ぶ場面で(試行)Ａを選ぶ(結果)」です。
Ａを選んだ時点でその試行は終わっていますので、さらに
Ｂを選ぶ云々は関係ありません。
もしＢを選ぶ場合を考えるならそれは別の試行(上述の佐藤くんの
例とか、別の日に田中くんが再度通るとか)が必要です。
No.23343 - 2013/11/27(Wed) 06:33:30
☆ Re: 確率、場合の数 / ぽむぽむ
ヨッシーさんありがとうございます。
追記で、「道を選ぶ場面で(試行)Ａを選ぶ(結果)」とありますが
試行と結果の見分け方はどうしたらいいのでしょうか？
試行という言葉の意味について
教科書をみると、同じ条件の下で繰り返すことのできる実験，観察などの操作を試行という、とあります。
A.B.Cの3つの道のうちから1つ選び(試行)、それがAである(結果)
ということはA.B.Cの3つの道のうちから1つ選ぶという操作はなんども繰り返せるということなんでしょうか？
サイコロを1回投げて偶数の目がでる、とかならわかりやすいのですが、、、
No.23344 - 2013/11/27(Wed) 07:26:06
☆ Re: 確率、場合の数 / ぽむぽむ
「田中くんの試行と佐藤くんの試行は独立」について
二人の試行は同時に起こり得るし、田中くんがどの道を選ぼうがそれが佐藤くんの道の選択に影響は及ぼさないと考えられるので二人の試行は独立だと思います。
ですが、試行自体は共通して「A.B.Cの3つの道から1つ選ぶ」ですよね？主体が異なれば試行も異なると考えてめ大丈夫なんでしょうか？この点に関してもよろしくお願いします。
No.23345 - 2013/11/27(Wed) 07:53:35
☆ Re: 確率、場合の数 / angel
> でもいま、「このAを通ってXへ行く」という事象は試行と結果なのでしょう か？
> 「Aを通って(試行)、Xへ行く(結果)」というなら

あまり文章の字面に囚われないことです。本質を見失って言葉遊びになってしまうと、迷路にはまりこむだけです。

なぜ「Xへ行く」を結果だと考えてしまうか。恐らくそれは日本語の使い方の問題で、文章の最後の部分が最大の関心事になるという習慣があるからです。
日常会話や作文であればそれで構わないのですが、数学の問題を考える際、そういう習慣は邪魔です。問題を解くために何をどう考えるかに、そういうニュアンスは不要であって、ただただ事実を把握する能力こそが必要とされるのです。

今回はヨッシーさんが仰る通り 「(Xに行くにあたり)道を選ぶ場面で(試行)Ａを選ぶ(結果)」が(問題を考えるための)事実にあった解釈になります。

今回の件に限らず、言葉にはどうしても習慣なり(ムダな)常識といったものが付きまといます。それを切り離して、事実を把握する
、言葉をあるがままに受け取るというのは、大事になってきます。
No.23346 - 2013/11/27(Wed) 08:05:21
★ 確率 / ぽむぽむ
正六面体の返上を１秒間に辺の長さだけの速さで歩いている蟻は、頂点にくるとその頂点を端点とする辺の中から
１辺を等確率で選んで歩き続け、頂点Gに達すると停止するものとする。
いま、正六面体の頂点を次の４つのクラス
K1={A} K2={B,D,E} K3=(C,F,H} K4={G}
にわけると、正六面体の辺の関係から、あるクラス内の頂点にいる蟻は１秒後には他のクラス内の頂点に移らなければならない。
蟻はクラスK１から出発するものとして、次の問いに答えよ。
（１）蟻が１秒後にK2にいる確率
これはK1から出発すれば1秒後には100%K2のどれかにいるので確率は1ですよね。
(2)蟻が2秒後にK3にいる確率
この問題は解けたのですが非常に要領悪いやり方で解いてしまいました。順番にA.Bを通ってK3に到達する確率は2/9
同様にA.D、A.Eを通ってK3に到達する確率も2/9であるから答えは3×(2/9)=2/3としました。
解答では
順番にK1.K2.K3を通って行く。
1秒後にK1からK2に至る確率は1、、、(1)
1秒後にK2からK3に至る確率は2/3、、、(2)
よって答えは1×(2/3)=2/3
とあるのですが、(2)がちょっと引っかかります。
たとえばK2のBからみて1秒後にK3にいく確率、これは2/3です。
他のK2のD.Eも1秒後にK3にいく確率は2/3です。なのでまとめて1秒後にK2からK3にいく確率は2/3としていると思うのですが最初自分はこの2/3を全部かけたり足したりしてしまいそうになりました。どうしたらこういう誤解を無くせるのでしょうか。
またかなり心配性で頭も固いので解答のやり方でやると怖いです。
どうしたらいいんでしょうか？
確率は最も苦手な単元なのでわかる方教えてください！お願いします。
No.23339 - 2013/11/26(Tue) 23:54:15
☆ Re: 確率 / ヨッシー

基本は上の図の(1)です。
末端の６つの頂点までそれぞれ 1/9 の確率で進むので、
　1/9×6＝2/3
です。ぽむぽむさんの
>たとえばK2のBからみて1秒後にK3にいく確率、これは2/3です。
は、(2) の状態ですね。ＣとかＦとかＨとかの区別なく
Ｂ，Ｄ，Ｅからそれぞれ2/3の確率でＫ３まで行くので、
　(1/3×2/3)×3＝2/3
です。
これをさらに(3) までまとめられるかは(1)→(2)→(3) の流れが
つかめているかどうかによります。
同じ内容のことを、ばらすかまとめるかですので、それ以外の
事象が急に現れたりすると、数が狂ってきます。
(3) が危うければ、(2) や (1) に立ち返って考えることは
全然問題ありません。
No.23348 - 2013/11/27(Wed) 12:09:26
☆ Re: 確率 / ぽむぽむ
ヨッシーさんありがとうございます！
図までつけてくださって本当にありがたいです。
わかりやすい回答ありがとうございました。
No.23349 - 2013/11/27(Wed) 12:24:10
★ 組み合わせの数　数A / アクオス
他の質問サイトでも質問させてもらったのですが
どうしても理解できないのでお願いします。

「6人をABCの組に分ける場合の組み合わせの数」は

6c2×4c2×2c2
で求めることになると思うのですが

「6人をただ3つの組に分ける場合の組み合わせの数」は

(6c2×4c2×2c2)/3!

で求めると思います。

この解き方はわかっているのですが

なぜ
「6人をただ3つの組に分ける場合の組み合わせの数」
は
6c2×4c2×2c2という式で求められないのか疑問に思ったのですが、良い考え方が思いつきません。
6c2×4c2×2c2を実際に計算すると、組に区別がある場合の数が計算される、というのはわかります。
しかしなぜ、そうなってしまうのかが理解できません。

6c2×4c2×2c2は
まず6人から2人を選ぶ
残りの4人から2人を選ぶ
残りの2人から2人を選ぶ
積の法則より、6c2×4c2×2c2　

という考え方で式を作ると思うのですが
この考え方では
「6人をただ3つの組に分ける場合の組み合わせの数」を求める時にも使ってしまいそうです。

「6人をABCの組に分ける場合の組み合わせの数」
「6人をただ3つの組に分ける場合の組み合わせの数」

の二つの違いは理解出来ています。
No.23332 - 2013/11/26(Tue) 07:25:43
☆ Re: 組み合わせの数　数A / ヨッシー
6c2×4c2×2c2は
まず6人から2人を選んでＡに入れる
残りの4人から2人を選んでＢに入れる
残りの2人から2人を選んでＣに入れる
積の法則より、6c2×4c2×2c2
です。

６人をａｂｃｄｅｆとするとき、
ＡＢＣを区別していた時にカウントした、
1) 最初にａｂを選ぶ。次にｃｄを選ぶ。最後にｅｆを選ぶ。
2) 最初にａｂを選ぶ。次にｅｆを選ぶ。最後にｃｄを選ぶ。
3) 最初にｃｄを選ぶ。次にａｂを選ぶ。最後にｅｆを選ぶ。
4) 最初にｃｄを選ぶ。次にｅｆを選ぶ。最後にａｂを選ぶ。
5) 最初にｅｆを選ぶ。次にａｂを選ぶ。最後にｃｄを選ぶ。
6) 最初にｅｆを選ぶ。次にｃｄを選ぶ。最後にａｂを選ぶ。
の６通りがＡＢＣの区別をなくすと同じ選び方になります。
そのようなものが６（＝３！）個ずつあるので、３！で割ります。
No.23333 - 2013/11/26(Tue) 11:21:36
☆ Re: 組み合わせの数　数A / angel
こういう話は、結局のところ、本人がどう納得するかだと思いますので、あくまで感覚的なことしか言えませんが…。

「6人中2人を選ぶ」で 6C2 を計算するにあたって、この「選ぶ」というのは、目的というか理由というか、決まってないとダメなんでしょうね。
例えば「Aに入れるため」とか。
逆に、どうするつもりか決まってないけど取り敢えず選ぶ場面では、そのままでは使えない。
なので、「6人をただ2人ずつ3組に分ける」というお話であれば、先に仮で良いので組の区別 ( A,B,Cとか、1,2,3とか ) を決めておいて、選び終わった後でひっくり返す ( 実は組の区別はしないので、重複している分 6 で割ります、とか ) という考え方になるのかと思います。

以上、参考になれば。
No.23335 - 2013/11/26(Tue) 19:01:06
☆ おまけ / angel
> この「選ぶ」というの は、目的というか理由というか、決まってないとダメなんでしょうね。

「6人をただ2人ずつ3組に分ける」を、この本分に則って考えるなら、次のようにできます。

　・aの入る組に1と名前をつける。
　・b〜fの5人から、組1に入る人を1人選ぶ。
　・組1に入らない4人の内、アルファベットが一番若い人の
　　入る組に2と名前をつける。
　　※bが組1でなければbは組2、さもなければcが組2
　・組が決まってない3人から、組2に入る人を1人選ぶ。
　・残った2人は自動的に組3に。

計算式としては、5C1×3C1 になります。
No.23336 - 2013/11/26(Tue) 19:37:50
☆ Re: 組み合わせの数　数A / アクオス
ヨッシーさん、angelさん、ありがとうございます。
いただいた回答をもとにじっくり考えてみます。
また何かあればよろしくお願いします。
No.23337 - 2013/11/26(Tue) 20:12:03
★ (No Subject) / なかがわ
数学aの問題質問です
nantanの6字を横に並べるとき
aが2続く並べかたは何通りあるか
解き方がわかりません
よろしくお願いします
No.23319 - 2013/11/25(Mon) 21:43:40
☆ Re: / らすかる
aaをひとかたまりのAとして考えればよいので、
「nntnAの並べかたは何通りあるか」と同じことになります。
No.23321 - 2013/11/25(Mon) 21:49:14
★ 数を並べる、 / みなみ
⑴の 529-22=507の-22がどこから現れたのか分かりません、解説お願いします。

⑵は解説みても意図が掴めなくてさっぱりです、お願いします
No.23317 - 2013/11/25(Mon) 21:16:21
☆ Re: 数を並べる、 / angel
> (1)の 529-22=507の-22がどこから現れたのか分かりません
図2に「22」と書いてありますが…?

あまり数字や答えそのものを追っても意味ないですよ。
解説にはヒントとして、「(1,-1),(2,-2),…といった(n,-n)の座標には奇数の平方数が来る」ということが書いてあるのですから、では、じゃあ(1,1),(2,2),…といった座標ならどうか、(-1,-1),(-2,-2),…といった座標ならどうか、自分で一度考えてみないと自力で解けるようにはなりません。

実際、(1,-1)には9が、(-1,-1)には7が来ていてその差は2、
(2,-2)には25が、(-2,-2)には21が来ていてその差は4、
…
これらはどうすれば計算できるのか。なるべく小さい数の所でなら最悪指折り数えても大した時間はかからないのですから。自力で試さなければ、より大きい数を扱う時にできるようにはならないと思います。
No.23322 - 2013/11/25(Mon) 21:59:47
☆ Re: 数を並べる、 / angel
(2)文字式で書いてあるのを見て訳が分からなければ、小さくて良いので、分かり易い数字での例をいくつか試してみる。そこから規則性を見つけ出す。それをサボってはいつまでたってもできるようにはならないと思います。
※文字式を扱うということは、その文字に色々な数を代入した結果をまとめて取り扱うということ。ある代表的な数字での例すら計算できないようでは、文字式を扱うのはムリです。

今、
　(0,0)に1^2=1、(1,-1)に3^2=9、(2,-2)に5^2=25、…
が来ていて、その一つ右隣に着目すると、
　(1,0)に2、(2,-1)に10、(3,-2)に26、…
これはちょうど数が1増えている状況ですね。
さて、2,10,26,…の位置ですが、y座標だけ見ると1ずつ下にずれていっています。なぜかというと元になっている(0,0),(1,-1),(2,-2),…のy座標が1ずつ下にずれていっているからですね。
では問題の2,12,30,…は?
これは最初の2から、y座標が1ずつ上にずれていっているわけですから、2,10,26,…に比べると2ずつ上にずれていっていることになります。

ということで、
　(i)2,10,26,…という数列が何であるか考える
　(ii)項が進むごとにずれが2ずつ大きくなる、そのずれの大きさを表す
　(iii) (i)の数列に(ii)のずれを足せば答えの数列ができる
と考えることで、答えに辿り着くことができます。
※図の解説は、それと似たような事を文字式だけで解決しているのです。
No.23324 - 2013/11/25(Mon) 22:16:40
☆ Re: 数を並べる、 / みなみ
完璧な解説ありがとうございます。理解できました

いままで文字式の扱い方が雑だったんだと気づきました
最近の数学に対する勉強法も今一度見直すきっかけになりました
改善策まで教えて頂き感謝します。
No.23328 - 2013/11/26(Tue) 01:04:09
★ 恒等式 / かっくん
恒等式について
恒等式であれば虚数を代入しても成立すると考えて良いのでしょうか？
恒等式が成り立つ条件で
「Ｐ．Ｑがｘについてのｎ次以下の多項式であるとき等式Ｐ＝Ｑがｎ＋１個の異 なるｘの値に対してならばこの等式はｘについての恒等式である」というのがあります。
Ｐ．Ｑがｘについてのｎ次以下の多項式であるということはP-Qは高々n次式(定数にだってなるかもしれない、、？)だと思います。
ということはP-Q=0の解も高々n個以下ですよね？
もしP-Q=0がn＋1個の解を持ってしまったらその瞬間から方程式ではなくなり、恒等式となってしまうと思います。ではこのn+1個の解には虚数解は含まれてはいけないのでしょうか？このn+1個の解とは実数解限定なのでしょうか？
たとえば、二次方程式では解は2つ、1つ(重解)、0(虚数解)の場合があります。
三次方程式では少なくとも1つは解をもつので解は3個、2個(片方が重解)、1個の場合があります。
つまり次数が偶数であれば解は0個からその偶数の次数と同じ個数まであると考えられます。
次数が奇数の場合は解は少なくとも1つはもち同様にその奇数の次数と同じ個数まであると考えられます。
今n次方程式(n=>1)とします。
この方程式がもしn＋1個の解をもつと確かに方程式とはいえなくなるので恒等式になるんだと思います。
では、n次方程式が解をもたないということが分かったとしたら、しその瞬間、n次方程式の次数は偶数だということがわかり、次数が奇数の方程式は否定されます。でも恒等式であれば次数が奇数の方程式が解をもたない、つまりどんな虚数解を代入しても成立するはずですよね？だから恒等式になる条件は次数が奇数の方程式の場合は、解をもたない、つまりすべて虚数解であればいいということになるのではないかという疑問です。
どなたかわかる方教えてください。お願いします。
No.23306 - 2013/11/25(Mon) 14:29:28
☆ Re: 恒等式 / らすかる
> 恒等式であれば虚数を代入しても成立すると考えて良いのでしょうか？
成立します。

> ではこのn+1個の解には虚数解は含まれてはいけないのでしょうか？
> このn+1個の解とは実数解限定なのでしょうか？
一般には複素数範囲です。

> でも恒等式であれば次数が奇数の方程式が解をもたない、
> つまりどんな虚数解を代入しても成立するはずですよね？
「恒等式であれば次数が奇数の方程式が解をもたない」は意味不明です。
恒等式ならば解を持ちますし、次数が奇数の方程式も実数解を持ちます。

> だから恒等式になる条件は次数が奇数の方程式の場合は、解をもたない、
> つまりすべて虚数解であればいいということになるのではないかという疑問です。
次数が奇数の方程式が実数解を持たないことはありません。
No.23307 - 2013/11/25(Mon) 16:30:53
☆ Re: 恒等式 / かっくん
らすかるさんありがとうございます。
P(x)=ax^3＋bx^2＋cx＋d
Q(x)=px^2＋qx＋r とおきます。
Ｐ(x)-Q(x)=ax^3＋(b-p)x^2＋(c-q)x＋(d-r)

左辺をR(x)とすると。
R(x)=ax^3＋(b-p)x^2＋(c-q)x＋(d-r)・・・?@
?@は高々３次式なので、R(x)=0を成り立たせる解は高々３個ですよね。
たとえばここで、x=α1、α2、α3(α1,α2,α3は実数)を?@に代入してみると
R(α1)=0,R(α2)=0,R(α3)=0がすべて成り立つことがわかったとします。
そこで、もう一つx=α4(実数)を代入してみたところ・・・
R(α4)=0が成り立つことが判明しました！ということはこの瞬間?@は方程式ではなくなり、特殊な方程式、つまり恒等式だということが分かった。という解釈でいいんでしょうか？
しかし、一つ気になる点があります。
もし、?@にx=β1,β2、β3(すべて虚数)を代入したらどうでしょうか？
?@は虚数解をもつとすれば高々２個ですよね。(3次方程式なら少なくとも1つは実数解なのでもつとすれば虚数解は2つ、2次方程式も虚数解は２つもてます。?@次方程式は必ずx軸と交わるので虚数解はもてません。)
?@にx=β1,β2と代入していってR(β1)=0、R(β2)=0が成り立つことがわかり、x=β3を代入してみたところ
R(β3)=0が成り立つことがわかりました。この時点で、?@が方程式だと虚数解を３つもってしまうことになりおかしいですよね。よって?@は恒等式。つまりこの場合であれば「次数が奇数のn次方程式が虚数解n個もつとき、恒等式である」というふうに考えられるんじゃないかと思ったのですがどうなんでしょうか？
また、R(x)が高々２次の式で表せるとします。たとえば
R(x)=ax^2＋bx＋c・・・?Aとします。
?Aは虚数解をもつとすれば高々２個の虚数解をもつことができます。
ではx=γ1、γ2(虚数)を?Aに代入して成り立つことがわかり、x=γ3(虚数)を代入してみたところ?Aが成り立つ、つまりR(γ3)=0であることがわかりました。この時点で、?Aが方程式だと虚数解を３つもってしまうことになりおかしいですよね。なので?Aは恒等式であるといえそうなので「次数が偶数のn次方程式が虚数解をn＋1個もつとき、恒等式である」というふうに考えられるのではないかと思いました。
まとめると、「次数が奇数のn次方程式が虚数解n個もつとき、恒等式である」
次数が偶数のn次方程式が虚数解をn＋1個もつとき、恒等式である」ということがいえそうですが、これだと次数が偶数か奇数かで条件が変わってくるので普遍性という点では弱そうです。
なので、「Ｐ．Ｑがｘについてのｎ次以下の多項式であるとき等式Ｐ＝Ｑがｎ＋１個の異
なるｘの値に対して してならばこの等式はｘについての恒等式である」というのが成り立つということなんでしょうか？
回答お願いします。
No.23311 - 2013/11/25(Mon) 19:25:48
☆ Re: 恒等式 / らすかる
> R(α4)=0が成り立つことが判明しました！ということはこの瞬間?@は
> 方程式ではなくなり、特殊な方程式、つまり恒等式だということが分かった。
> という解釈でいいんでしょうか？

「恒等式は方程式に含めない」という立場ならそれでいいです。
私は、恒等式は解が無数にある方程式だと思っています。

> 「次数が奇数のn次方程式が虚数解n個もつとき、恒等式である」

次数が奇数のn次方程式が虚数解をn個持つことはありません。
もし恒等式ならば、それは「n次」（n＞0）ではないはずです。
R(x)は、a=0かつ(b-p)=0かつ(c-q)=0かつ(d-r)=0のときのみ
R(x)=0が恒等式となり、このときR(x)は「3次式」ではありません。
a≠0であれば「3次式」ですが、このとき虚数解は高々2個で、
恒等式にはなり得ません。

> 「次数が偶数のn次方程式が虚数解をn＋1個もつとき、恒等式である」

これも同様で、「次数が偶数のn次方程式が虚数解をn＋1個もつ」のは
n=0の場合だけです。

> 「Ｐ．Ｑがｘについてのｎ次以下の多項式であるとき等式Ｐ＝Ｑがｎ＋１個の
> 異なるｘの値に対して してならばこの等式はｘについての恒等式である」
これは文の途中が意味不明です。
No.23312 - 2013/11/25(Mon) 19:54:22
☆ Re: 恒等式 / かっくん
「次数が奇数のn次方程式が虚数解n-1個もつとき、恒等式である」の間違いでした。すみません。
「次数が偶数のn次方程式が虚数解をn＋1個もつとき、恒等式である」はたとえばn=2のとき２次方程式が虚数解を３個もつことはありえません。でも虚数解を３個代入して(右辺)＝(左辺)となるのであれば恒等式でなければ不可能だということで、「次数が偶数のn次方程式虚数解をn＋1個もつとき、それは恒等式にほかならない」というふうに「恒等式になるための条件」とすることができるのではないか？という疑問です。
後半の部分も訂正で、恒等式となる条件は「n次式P(x)、Q(x)について異なるn＋1個のxの値に対してP(x)=Q(x)が成立する」です。(すみません)
これが成り立てば恒等式になるってのはわかります。けど自分のいってる条件でも恒等式になりそうな気がするんですけどよくわからないんです。何度もすみません。
No.23314 - 2013/11/25(Mon) 21:01:12
☆ Re: 恒等式 / らすかる
> 「次数が奇数のn次方程式が虚数解n-1個もつとき、恒等式である」の間違いでした。すみません。
実数解が1個しかない奇数次方程式は虚数解n-1個を持ちますが、これは一般に恒等式ではありません。

> 「次数が偶数のn次方程式虚数解をn＋1個もつとき、それは恒等式にほかならない」
> というふうに「恒等式になるための条件」とすることができるのではないか？という疑問です。

「次数がn次以下の方程式が解をn+1個もつとき、それは恒等式であり、n=0である」
となります。n+1個の解を持ったらそれはもはやn次方程式ではありません。

n＞0で「n次方程式が解をn+1個もつとき」という時点で矛盾しています。
No.23316 - 2013/11/25(Mon) 21:10:23
☆ Re: 恒等式 / らすかる
一部訂正します。
「次数がn次以下の方程式が解をn+1個もつとき、それは恒等式であり、n=0である」
と書きましたが、「0」という式は「0次式」とは言い難いので「n=0である」は削除し
「次数がn次以下の方程式が解をn+1個もつとき、それは恒等式である」
に訂正します。

また
「P(x),Q(x)が2m+1次の実数係数多項式のとき、
方程式 P(x)=Q(x) が2m+1個の虚数解を持てば、
P(x)=Q(x)は恒等式である」
「P(x),Q(x)が2m次の実数係数多項式のとき、
方程式 P(x)=Q(x) が2m+1個の虚数解を持てば、
P(x)=Q(x)は恒等式である」
ならば正しいです。

R(x)=P(x)-Q(x) としてしまうと
R(x)がn次式（n＞0）ならば解はn個（以下）
しかもnが奇数ならば虚数解はn-1個（以下）
となり、恒等式になる場合は
n次式（n＞0）ではなくなります。
No.23320 - 2013/11/25(Mon) 21:47:20
☆ Re: 恒等式 / かっくん
何度も本当にごめんなさい！らすかるさんのおかげで何かが掴めそうです。。
とりあえずここまでの流れをまとめさせてください。
?@恒等式を成り立たせる条件
「Ｐ．Ｑがｘについてのｎ次以下の多項式であるとき等式Ｐ＝Ｑがｎ＋１個の異なるｘの値に対してならばこの等式はｘについての恒等式である」という記述が参考書にあったので
これを自分なりに解釈してみました。
?A「P(x)=Q(x)よりP(x)-Q(x)=0 左辺をh(x)とするとh(x)=0
P(x)、Q(x)はn次以下の多項式であるのでh(x)は高々n次式の多項式である。(R(x)→h(x)にしました。)
ゆえにh(x)=0の解は高々n個である。
もしh(x)=0を成り立たせるxがn＋1個あるならば、それは解がn＋1個あることになる。
しかし、h(x)は高々n次式の多項式であるのでh(x)=0の解は高々n個である。
なので、n＋1個の異なるxに対してh(x)=0が成り立つならば、これは方程式ではなく恒等式であるといえる。」
という解釈を私はしました。
?Bまた、h(x)が奇数次のn次方程式であるとき、虚数解は高々n-1個(ex.３次方程式は少なくとも１つは実数解なので虚数解は高々２個)
ではもし、h(x)=0を成り立たせるxで虚数のものがn個ある場合、
その時点でh(x)=0は純粋な方程式(未知数が特定の値（解）で等式が成り立つものと理解してます)ではなく恒等式(未知数が任意の値で成り立つもの)であるといえると思います。なぜなら恒等式でないとn個以上の虚数解でもh(x)=0が成り立つなんてありえないからです。
?Cつまり、奇数次の方程式が恒等式である条件を考えると、「次数が奇数のn次方程式が虚数解をn個もてば、恒等式である」と言えるのではないのか？ということです。
次数が偶数のときも同じようなことが言えると思います。
?Dらすかるさんのおっしゃる
「「P(x),Q(x)が2m+1次の実数係数多項式のとき、
方程式 P(x)=Q(x) が2m+1個の虚数解を持てば、
P(x)=Q(x)は恒等式である」
「P(x),Q(x)が2m次の実数係数多項式のとき、
方程式 P(x)=Q(x) が2m+1個の虚数解を持てば、
P(x)=Q(x)は恒等式である」
ならば正しいです。」はたしかにその通りだと思います。
?E「R(x)=P(x)-Q(x) としてしまうと
恒等式になる場合は
n次式（n＞0）ではなくなります。」のところが分かりそうでまだわかっていない気がします；あともうちょっとで理解できそうな気がします・・・
h(x)は高々n次式なので次数は偶数の場合と奇数の場合が当然あります。
となると次数が奇数のときの恒等式となる条件と次数が偶数のときの恒等式となる条件と２つに場合を分けないといけないので、虚数解に着目するのではなく最初に書いたように解(実数も虚数も含む)そのものに着目した条件こそがまさに「恒等式を成り立たせる」条件であるということでいいのでしょうか？
ここまで丁寧に説明してもらって理解できないほど私には理解力に欠陥があります。本当に申し訳ございません；
よかったらお願いします・・・
No.23325 - 2013/11/26(Tue) 00:02:26
☆ Re: 恒等式 / らすかる
> h(x)は高々n次式なので次数は偶数の場合と奇数の場合が当然あります。

もしnが奇数の場合、それは恒等式ではありません。
偶数でも、2以上であれば、それは恒等式ではありません。
P(x)=Q(x) が恒等式であるということは、h(x)が恒等的に0、すなわち
h(x)の式は「0」そのものであり、h(x)の中にxは出てこないのです。
もしh(x)が（係数が0でない）xを含む式であれば、解の個数は次数以下であり、
恒等式にはなり得ません。
従って、
「次数が奇数のn次方程式が虚数解をn個もてば、恒等式である」
という文は矛盾しています（仮定が偽です）。
次数が奇数の（実数係数）n次方程式が虚数解をn個持つことはあり得ません。
「h(x)=0が奇数のn次方程式」と書いてしまうと、これに「h(x)=0は恒等式ではない」
という意味が含まれてしまうのです。
?Cで書きたいことの意味はわかっていますが、書き方がまずいということです。
No.23326 - 2013/11/26(Tue) 00:25:32
☆ Re: 恒等式 / かっくん
回答ありがとうございます。確かによく考えたら矛盾してましたね・・・。薄々なにか違和感のようなものを感じていたのですが、らすかるさんの説明のおかげで納得できました。
それと最後に、
「P(x)．Ｑ(x)がｘについてのｎ次以下の多項式であるとき等式Ｐ(x)＝Ｑ(x)がｎ＋１個の異なるｘの値に対してならばこの等式はｘについての恒等式である」というのは
たとえば
P(x)=ax^3＋bx^2＋cx＋d　Q(x)=px^3＋qx^2＋rx＋s
とP(x)、Q(x)がともに３次式である場合、
P(x)=Q(x)を成り立たせるxの異なる値が4個あれば
連立方程式が４つでき、さすれば未知数であったa,b,c,d,p,q,r,sが求まり、これにより必要十分条件がいえ恒等式が成り立つ・・・そういうことなんでしょうか？？
また、?Aの解釈に関してはどうなんでしょうか？
長々と本当にすみません。質問はなにがあってもこれで最後にいたしますのでどうかよろしくお願いします＞＜；
No.23329 - 2013/11/26(Tue) 01:22:08
☆ Re: 恒等式 / らすかる
> P(x)=Q(x)を成り立たせるxの異なる値が4個あれば
> 連立方程式が４つでき、さすれば未知数であったa,b,c,d,p,q,r,sが求まり、
> これにより必要十分条件がいえ恒等式が成り立つ・・・そういうことなんでしょうか？？

ちょっと違います。
P(x)=Q(x)を成り立たせるxの異なる値が4個あればP(x)=Q(x)は恒等式ですから、
a=p, b=q, c=r, d=s ということになります。
a,b,c,d,p,q,r,sの値は具体的に求まりません。

?Aは、言いたいことはわかりますがちょっと問題があります。
> しかし、h(x)は高々n次式の多項式であるのでh(x)=0の解は高々n個である。
これは間違いです。h(x)の式が「0」ならば、「h(x)=0の解は高々n個」ではありません。
（「0」だけの式も「高々n次の多項式」です。）
「しかし、h(x)は高々n次式の多項式であるのでh(x)=0の解は高々n個である。」の行を
「しかし、h(x)は高々n次式の多項式であるので、もしh(x)が恒等的に0でない場合、
h(x)=0の解は高々n個である。」
とすれば正しくなります。
No.23330 - 2013/11/26(Tue) 01:31:28
☆ Re: 恒等式 / かっくん
らすかるさん本当にありがとうございます！
理解力の乏しい私も、おかげさまで理解することができました。
とてもわかりやすかったです。
長いことお付き合いしてくださって本当にありがとうございました。(PS.質問攻めでたくさんお時間を奪ってしまい申し訳ありませんでした；)
No.23331 - 2013/11/26(Tue) 01:39:05
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