a,b,cを正の定数とする. ax+by+cz=1を満たす実数x,y,zのうち min{x/a, y/b, z/c}を最大にするような x,y,zとその最大値を求めよ. ただし, min{p,q,r}はp,q,rのうち最小の値を表す.
ax+by+cz=1より
x/a=(x/a)(ax+by+cz)={x+(by+cz)/2a}^2-{(by+cz)/2a}^2
これが最小になるのは, x=-(by+cz)/2a=(ax-1)/2a すなわち x=-1/a のときで, このとき, x/aは最小値 -{(by+cz)/2a}^2=-1/(a^2) をとる.
同様にして
y=-1/bのとき y/bは最小値 -1/(b^2)
z=-1/cのとき z/cは最小値 -1/(c^2)
をとる.
例えば a>b,c のとき-1/(a^2)が最大になり, このときx=-1/aですが, by+cz=2 となり, yとzの値がわかりません.
どうすればよいですか？
|
No.22454 - 2013/09/05(Thu) 01:41:09
| ☆ Re: / らすかる | | | x/aが最小になる場合を調べても意味がないのでは？
|
No.22455 - 2013/09/05(Thu) 02:09:54 |
| ☆ Re: / ktdg | | | 回答ありがとうございます.
では, min{x/a, y/b, z/c} はどのようにして決めればよいのでしょうか？
|
No.22489 - 2013/09/07(Sat) 01:19:35 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 例えば以下のようにできます。
x/a=y/b=z/cとすると
x=a/(a^2+b^2+c^2), y=b/(a^2+b^2+c^2), z=c/(a^2+b^2+c^2) となり、
x/a=y/b=z/c=1/(a^2+b^2+c^2) … (※)
もし x/a＞1/(a^2+b^2+c^2), y/b≧1/(a^2+b^2+c^2) とすると
ax＞a^2/(a^2+b^2+c^2), by≧b^2/(a^2+b^2+c^2) なので
1-cz=ax+by＞(a^2+b^2)/(a^2+b^2+c^2)=1-c^2/(a^2+b^2+c^2)
よって cz＜c^2/(a^2+b^2+c^2) なので z/c＜1/(a^2+b^2+c^2)
つまりx/a, y/b, z/c のうち一つでも 1/(a^2+b^2+c^2) より大きいものがあると
他の二つのうち少なくとも一つは 1/(a^2+b^2+c^2) より小さくなるので
min{x/a, y/b, z/c} は 1/(a^2+b^2+c^2) より小さくなる。
従って(※)のときが最大。
|
No.22496 - 2013/09/07(Sat) 17:26:19 |
| ☆ 置き換え / angel | | | X=x/a, Y=y/b, Z=z/c, A=a^2, B=b^2, C=c^2 ( A,B,C＞0 ) と置いてみると、
ax+by+cz=1 ⇔ a^2・X+b^2・Y+c^2・Z=1 ⇔ AX+BY+CZ=1
なので、X=Y=Zの時min(X,Y,Z)が最大 ( 最大値 1/(A+B+C) ) になるのが第一感ですね。
※らすかるさんの解説とかぶりますが…
|
No.22500 - 2013/09/07(Sat) 21:07:58 |
| ☆ Re: / ktdg | | | No.22505 - 2013/09/09(Mon) 21:31:24 |
|
