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★ 因数分解 / yk
a(b^3-c^3)+b(c^3-a^3)+c(a^3-b^3)
手が付けられません。
一度展開していくつかの文字でくくったりしましたが
同じ数が出てきません。ご教授お願いします。

前にもこういう問題が出題されたのですが
イマイチ「コレだっ！」ってすぐに答えが導けません。
どうしたらスラスラこのような問題が解けるようになるでしょうか？
No.22415 - 2013/08/28(Wed) 19:17:08
☆ Re: 因数分解 / angel
対称式・交代式の知識を活用すること、かな。後は因数定理も。
a=bの時、この式は0になるのだから、(a-b)を因数に持つ。
b,c c,aの組でも同じことが言えて、ここまでで (a-b)(b-c)(c-a)が確定。
で、この式はa,b,cどの組み合わせでも交代式になるんだけど、元の式もやっぱり交代式だから、残った因数は対称式。次数を考えると、(a+b+c)しかない。
なので、(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)係数や符合を確認して、今回はこれがそのまま答え。

…ここまでやらなくても、上の話をある程度把握していれば、地道に同じ文字同士まとめていく時にも、どう分解していけば良いか、目安になるはず。
No.22416 - 2013/08/28(Wed) 19:53:01
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
「１つの文字についてまとめる」という方針でやると
まず、ａで整理して、
　a(b^3-c^3)+b(c^3-a^3)+c(a^3-b^3)
＝(c-b)a^3+(b^3^-c^3)a+bc^3-b^3c
＝(c-b)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(c-b)(b+c)
＝(b-c)(-a^3+ab^2+abc+ac^2-b^2c-bc^2)
次にｂで整理して
　-a^3+ab^2+abc+ac^2-b^2c-bc^2
＝(a-c)b^2+(ac-c^2)b+ac^2-a^3
＝(a-c)b^2+(a-c)bc+a(c^2-a^2)
＝(a-c)(b^2+bc-ac-a^2)
このあとは、ｃで整理するというほどではないですが、
　b^2+bc-ac-a^2
＝(b-a)c+(b-a)(b+a)
＝(b-a)(c+b+a)
のようになります。
No.22418 - 2013/08/29(Thu) 08:50:16
★ 明日大事な試験があって / とりさん
中3なんですけど
明日大事な試験があって
勉強してたんですがわからない問題あって
教えてもらいたいんですっ。

図形絡んでるので
添付しますが大丈夫でしょうか？
教えてください
No.22403 - 2013/08/27(Tue) 23:05:11
☆ Re: 明日大事な試験があって / tobira
概略です

(1)
?@ＰがＢＣ上にあるとき、(0≦x≦12)
　　△ＡＰＢの面積は、ＢＣ⊥ＣＤより
　　　{底辺ＢＰ＝x、高さＣＤ＝4}から
　　　　y＝2x

?AＰがＣＤ上にあるとき(12≦x≦16)
　　△ＡＰＢ＝台形ＡＢＣＤ−△ＢＣＰ−△ＡＤＰ
　　　台形ＡＢＣＤは、(4＋12)＊4＊(1/2)＝32
　　　△ＢＣＰは、{底辺ＢＣ＝12、高さＣＰ＝x−12}から、6x−72
　　　△ＡＤＰは、{底辺ＡＤ＝4、高さＤＰ＝16−x}から、32−2x
　　　　y＝32−(6x−72)−(32−2x)
　　　　y＝−4x＋72

?BＰがＤＡ上にあるとき(16≦x≦20)
　　△ＡＰＢの面積は、ＡＤ⊥ＤＣより
　　　{底辺ＡＰ＝20−x、高さＣＤ＝4}から
　　　　y＝−2x＋40

(2)
台形の面積の(3/8)は、32＊(3/8)＝12
グラフを参考にして、y＝12になるのは、(1)の?@と?A

?@のとき、12＝2x　を解いて、x＝6
?Aのとき、12＝−4x＋72　を解いて、x＝15

【補足】(1)?AのＣＰ，ＤＰの長さ
　ＣＰ･･･ＢからＰまで(x)から、ＢＣ(12)を引く
　ＤＰ･･･ＢからＤまで(12＋4＝16)から、ＢからＰまで(x)を引く
No.22405 - 2013/08/28(Wed) 00:01:19
☆ Re: 明日大事な試験があって / とりさん
すいません。
なんかいもうしわけないんですが
こちらも解説いただければと思うんですけど
おねがいします
No.22406 - 2013/08/28(Wed) 00:36:55
☆ Re: 明日大事な試験があって / tobira
概略です。

問２
直線Lと辺ＡＢ，ＡＣとの交点をそれぞれＰ，Ｑとします。
△ＡＰＱで【Ｐ，Ｑでの内角を∠Ｐ，∠Ｑとしています】
?@∠Ａ＝60°(正三角形)から、∠Ｐ＋∠Ｑ＝180−60＝120°
?A∠xは∠Ｐの外角、∠yは∠Ｑの外角に等しい(平行線の同位角)
?B外角と内角の和が180°であることから
　　∠x＋∠y＝(180−∠Ｐ)＋(180−∠Ｑ)＝360−120＝240°
No.22407 - 2013/08/28(Wed) 01:10:09
☆ Re: 明日大事な試験があって / とりさん
丁寧にありがとうございます！

本当に助かります！
少々我が儘いってしまうんですけど
あと2問わからない理解できない問題があって添付するので
よければ教えてくださいっ

無理なら迷惑かけたくないので頑張ってみて、再度解けないようなら諦めますっ
No.22408 - 2013/08/28(Wed) 01:17:27
☆ Re: 明日大事な試験があって / とりさん
これと
No.22409 - 2013/08/28(Wed) 01:19:25
☆ Re: 明日大事な試験があって / とりさん
これなんですけど
よかったらおねがいします！
No.22410 - 2013/08/28(Wed) 01:20:43
☆ Re: 明日大事な試験があって / とりさん
22410の画像間違えたのできにしないでくださいっ
こちらです
No.22412 - 2013/08/28(Wed) 01:45:43
☆ Re: 明日大事な試験があって / ヨッシー
もう今日になりましたが 22409 の問題は、こういうことです。


22412 の問題は、
　∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ　角の二等分
　∠ＥＢＣ＝∠ＡＥＢ　錯角
より、∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ　なので、△ＡＢＥはＡＢ＝ＡＥの二等辺三角形。
よって、
　ＣＤ＝ＡＢ＝ＡＥ
なので、
　ＣＤ＋ＤＥ＝ＡＥ＋ＥＤ＝ＡＤ
No.22413 - 2013/08/28(Wed) 08:44:34
★ 背理法と対偶法について / アクオス
ヨッシーさんはじめまして。
私は今、数学?Tの論理の「対偶法と背理法」について勉強しているのですが、あるテキストに書かれている説明がどうしても理解が出来ません。
他の質問サイトなどでも質問させてもらったのですが
いただいた回答の説明が難しく私のレベルではどうも理解が出来ません。
もしよかったらヨッシーさんはこの説明をどのように解釈するか教えてください。

元の記述はこれです。
「対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る。
命題p⇒qが真であることをいうために¬qと仮定して¬pが導かれたとする。
pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。
でも¬q⇒¬pとは文字通りこれは対偶のことで、これが真と言えたから
自動的に元の命題が真といってもいい」

ここから出版社に問い合わせて質問させてもらい
詳しく書くと、このように書いてあるということがわかりました。

「対偶法も背理法の一種と考えることが出来る。
命題「pならばq」を証明する過程で、「¬qならば¬p」が証明できたとする。
命題を背理法で証明するために「pならばq」を否定して「pかつ¬q」。
証明されている「¬qならば¬p」はpではないので
「pかつ¬p」となり矛盾。
背理法が成立して「pならばq」は真となる。
対偶法なら
「命題「pならばq」を証明する過程で、「¬qならば¬p」が証明できたとする。」の段階で自動的に命題が真といっていい。」


しかし、これがなぜ「対偶法も背理法の一種と考えることが出来る」
ということになるのかが分かりません。

他のサイトで質問させてもらって、頂いた回答を元に自分で考えたのは

例えば
「a^2+b^2=c^2ならばa、b、cのうち少なくとも１つは偶数である」という命題を背理法で証明したいとする。

そうすると
「a^2+b^2=c^2であり、かつ、 a、b、cすべてが奇数となる」と仮定することになる。 (pかつ¬q)

背理法が成立するためには、この仮定に矛盾が生じないといけないので
「a、b、cすべてが奇数となる ならば a^2+b^2=c^2 ではない」 を示さなければならない
これは 「¬qならば¬p」 で 対偶を表している。

「pならばq」という形の命題が真であることを背理法で示すときに結局対偶を示すことになるので、これは対偶法とも言える。
そのために背理法の一種としての対偶法 と考えることが出来る。


ということなのかなと考えています。
長々と申し訳ありません。
よろしくお願いします。
No.22399 - 2013/08/27(Tue) 16:43:14
☆ Re: 背理法と対偶法について / angel
元のテキストの意図と合致しているかは分かりませんが、私なら次のように解釈します。

　両者とも、「¬q⇒¬p」を示すことで「p⇒q」を証明する、という点で、本質的に同じものである。
　ただ、「何故証明出来ているか」を説明する理屈に若干違いがある。

こう考えると、非常にシンプルだと思いますが、いかがでしょう。
No.22400 - 2013/08/27(Tue) 18:39:11
☆ Re: 背理法と対偶法について / angel
対偶の方は特に何も要らないでしょうから、背理法を解析していきます。
典型的には、

　問：pという前提において、qが成立することを示せ。
　答：¬qを仮定したとき、¬pが成立する。これは前提pに矛盾する。よって…

となります。ここで、「前提」などの言葉をやめて言い換えると、

　問：p⇒qを示せ
　答：¬q⇒¬pが成立する。これにより「pかつ¬q」( p⇒qの否定 ) は偽である。よってp⇒qが成立する。

です。なので、証明の根幹は¬q⇒¬pなんですね。
後は、なぜ「pかつ¬qが偽」と言えるか、ですが、

　¬q⇒¬p
　⇒ ( pかつ¬q⇒pかつ¬p )
　⇔ ( pかつ¬q⇒偽 )
　⇔ ¬( pかつ¬q )

と、例えばこんな具合に示すことが出来ます。
No.22401 - 2013/08/27(Tue) 19:13:26
☆ Re: 背理法と対偶法について / angel
あ、一応指摘しておくと、

> 例えば
> 「a^2+b^2=c^2ならばa、b、cのうち少なくとも１つは偶数である」という命題を背理法で証明したいとする。
>
> そうすると
> 「a^2+b^2=c^2であり、かつ、 a、b、cすべてが奇数となる」と仮定することになる。 (pかつ¬q)

一般に仮定するのは¬qであって、pかつ¬qではありません。この例では「a,b,c全てが奇数になる」の部分だけです。
まあpかつ¬qを仮定にしても問題があるわけではないですが… ( 証明の文章の書き方が変わるくらい? )
No.22402 - 2013/08/27(Tue) 20:26:17
☆ Re: 背理法と対偶法について / 黄桃
出版社からの回答で尽くされているように思います。
屋上屋かもしれませんが、もう少し説明してみます。

命題Aを証明する場合、背理法とは、Aと同値な命題である
¬A⇒O (Oは矛盾：常に偽である命題）
を示す、という証明方法です。
特にAがp⇒q という命題の場合
¬Aは p∧(¬q) となりますから、
¬A⇒O を示すには、
p∧(¬q)を仮定して矛盾を導けばいいわけです。

#この点、angelさんの背理法の説明は不十分です。

矛盾Oとして特に「(¬p)∧p」としてもいいので、

仮定: ¬q かつ p
として、
結論: ¬p かつ p
を導くことができれば背理法の証明が完成するわけです。

仮定と結論でpは共通ですから、あとは¬pを示すことができればＯＫです。
そこで、もし ¬q ⇒ ¬p が証明できたなら、¬qは仮定されてますから、
¬q ⇒ ¬pにより¬p が示されたことになります。
つまり「仮定: ¬q かつ p」から「結論: ¬p かつ p」が導けたわけです。

以上をまとめると、「p⇒q」を証明する際、対偶「¬q⇒¬p」が証明できれば、
「¬(p⇒q)、すなわち、（¬q かつp）を仮定して(¬p かつ p)という矛盾が導けるので
背理法による p⇒q の証明もできたことになる」
ということです。

もちろん、背理法を使う場合、示すべき矛盾は「¬p かつ p」でなくてもいいし、
矛盾を導く際に、¬qだけでなく、pも仮定として使ってもかまいません。
そういう意味で、対偶が証明できるなら「わざわざ背理法をつかうまでもない」
と見ることもできます。

＃あくまでも数学の証明法としてみた場合の話であり、
＃実際の証明問題に取り組む時にどっちがいいかといった
＃こととはまったく関係ありません。
No.22411 - 2013/08/28(Wed) 01:31:03
☆ Re: 背理法と対偶法について / アクオス
angelさん、黄桃さん、回答ありがとうございます。
いただいた回答をまだじっくり読んで考えられていないので、しっかり読ませてもらいます。
時間がかかりそうなのでお礼だけ先にさせてもらいました。
疑問点があればまた質問させてください。
よろしくお願いします。
ありがとうございました。
No.22414 - 2013/08/28(Wed) 15:14:25
★ お願いします(>_<) / t
数列｛a_n｝がa_1=1,a_n+1=3a_n+4(n=1,2,3,…)であることが定められている。
(1)b_n=a_n+2とおくとき、数列{b_n}は等比数列であることを示せ。
(2)数列{a_n}の第k項a_kと、初項から第n項までの和を求めよ。

どなたかお願いします(>_<)
No.22396 - 2013/08/27(Tue) 12:54:21
☆ Re: お願いします(>_<) / ヨッシー
(1)
b[n] の置き方まで書いてあるので、その通り
　b[n]＝a[n]＋2
とおいて、a[n]＝ の形にしたものを、
　a[n+1]＝3a[n]+4
に代入すると、
　b[n+1]＝αb[n]
という漸化式になるのでしょう。(等比数列と書いてあるので)

(2) b[n] が求まったら、a[n]＝b[n]−2 より、a[n] の
一般項（ここで言うところの 第k項a_k）が求まります。
その和は、等比数列の和と定数数列の和の計算となります。
No.22397 - 2013/08/27(Tue) 13:43:02
★ 導関数 / eige
Gは重力定数,M_1とM_2は2つの地球の質量とある天体の質量,Rは地球の半径,rは天体の半径とする時,
F(r)=GM_1M_2/r^2 (r>Rの時)が成り立つなら
dF(r)/dr=-2GM_1M_2/r^3
で正しいでしょうか?
No.22393 - 2013/08/27(Tue) 04:04:32
☆ Re: 導関数 / angel
> F(r)=GM_1M_2/r^2 (r>Rの時)が成り立つなら
> dF(r)/dr=-2GM_1M_2/r^3

F(r) がこのように既知であるなら、そこから導関数 dF(r)/dr を求めるところは問題ありません。

…ただ、その F(r), dF(r)/dr に、どのような物理的な意味があるのかと言われると、良く分からないのですが。どういう問題なのでしょう?
No.22394 - 2013/08/27(Tue) 07:37:45
★ 数列 / をーじゃお
a_1=1,a_(n+1)=1+a_1+2a_2+3a_3+･･･+na_n　(n=1,2,･･･)
でていぎされる数列｛a_n｝について
一般項a_nをnで表せ

解答解説よろしくおねがいします
No.22390 - 2013/08/26(Mon) 21:14:12
☆ Re: 数列 / ＩＴ
a1=1=1!,a2=1+a_1=2=2!

n≧2のとき
a_n=1+a_1+2a_2+3a_3+･･･+(n-1)a_(n-1)…(A)

a_(n+1)
=1+a_1+2a_2+3a_3+･･･+na_n
(A)を代入
=a_n+na_n
=(n+1)a_n
=(n+1)na_(n-1)
…
=(n+1)n(n-1)…2a_1
=(n+1)n(n-1)…2・1
=(n+1)!
よってa_n=n!
No.22391 - 2013/08/26(Mon) 22:30:03
★ 数列 / をーじゃお
a_1=1,a_2n=2a_(2n-1),a_(2n+1)=a_2n+2^(n-1)　(n=1,2,3,･･･)で定義される数列｛a_n｝について
第2n項と第(2n+1)項を求めよ

解答解説よろしくお願いします
No.22389 - 2013/08/26(Mon) 21:09:20
☆ Re: 数列 / らすかる
a[2n+2]=2a[2n+1]=2{a[2n]+2^(n-1)}, a[2]=2a[1]=2
a[2n+2]/2^n=a[2n]/2^(n-1)+1
b[n]=a[2n]/2^(n-1) とおくと
b[n+1]=b[n]+1, b[1]=a[2]=2 なので b[n]=n+1
よって
a[2n]=b[n]・2^(n-1)=(n+1)・2^(n-1)
a[2n+1]=a[2n]+2^(n-1)=(n+2)・2^(n-1)
No.22392 - 2013/08/27(Tue) 01:02:28
☆ Re: 数列 / をーじゃお
分かりました！
ありがとうございました。
No.22398 - 2013/08/27(Tue) 16:17:41
★ 算数クイズ / 団津
白が１０枚、黒が６枚、あわせて１６枚のオセロがある。.
オセロが白か黒か判別することはできない状態で、オセロを２グループにわけて、
白のオセロの数が等しくなるようにするにはどうすればよいか。
ただし、オセロを裏返すことはＯＫとする。

誰かわかる方教えてください。お願いします。
No.22384 - 2013/08/24(Sat) 09:25:14
☆ Re: 算数クイズ / らすかる
裏返して良いのなら、まず最初に黒６枚を全部裏返してから
8枚ずつに分ければ良いと思います。
No.22385 - 2013/08/24(Sat) 10:56:17
☆ Re: 算数クイズ / ＩＴ
グループに分けた後、各グループについてすべてのオセロを裏返してもよいし、そのままにしても良い。という問題だと解釈します。

グループＡを６枚，Ｂを１０枚とするとＯＫ

Ａの白の枚数をaとすると
Ｂの白の枚数は10-a,黒の枚数はa
Ｂのオセロをすべて裏返すとＡの白の枚数＝Ｂの白の枚数となる。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
実際（白、黒）の枚数の組の可能性は
Ａ−Ｂ
(0,6)-(10,0) 0に揃えられる
(1,5)-(9,1)　1に揃えられる
(2,4)-(8,2)　2に揃えられる　
(3,3)-(7,3)　3に揃えられる　
(4,2)-(6,4)　4に揃えられる
(5,1)-(5,5)　5に揃えられる
(6,0)-(4,6)　6に揃えられる。

その他の場合はダメなこと
１枚と１５枚の場合　(1,0)-(9,6) ダメ
２枚と１４枚の場合　(2,0)-(8,6) ダメ
３枚と１３枚の場合　(3,0)-(7,6) ダメ
４枚と１２枚の場合　(4,0)-(6,6) ダメ
５枚と１１枚の場合　(4,1)-(6,5) ダメ
７枚と　９枚の場合　(1,6)-(9,0) ダメ
８枚と　８枚の場合　(2,6)-(8,0) ダメ
No.22387 - 2013/08/24(Sat) 14:16:24
★ (No Subject) / ｂｖ
(x+a)^2+(ｙ+b)^2-cが全ての実数x,yで成り立つ・・?@ための必要でかつ十分な条件は-c≧０・・?Aを示したいのですが、

?Aならば（０以上）＋（０以上）＋（０以上）＝（０以上）より?@は明らかなのですが、
?@ならば?Aをどう示せばいいのかわかりません。

よろしくお願いします
No.22381 - 2013/08/24(Sat) 06:58:16
☆ Re: / ヨッシー
(x+a)^2+(ｙ+b)^2-c≧0 ですね？

(1) がすべての実数ｘ、ｙで成り立つということは、
ｘ＝−ａ，ｙ＝−ｂ のときも成り立つので、−ｃ≧0
No.22382 - 2013/08/24(Sat) 08:00:06
★ 微分可能の定義について / Matrix
f(x)=sin(x)なるf:[a,b]→Rという関数についての質問です。

この関数fは[a,b]でしか定義されてないので,
x=aにて微分可能と言ってもいいのですよね?

lim_{h→0+}(f(a+h)-f(a))/hはlim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/hを自動的に意味し,
lim_{h→0+}(f(a+h)-f(a))/h=cos(a)がx=aでのfの微分係数ですよね?

つまり,言いたいのは微分可能の定義は右微分と左微分が一致する時となっているようですが,そもそも片方の導関数しか存在しない場合は,左右微分が一致などとは意味不明なので

上記のような例では[a,b]にてfは微分可能と言ってもいいのですよね?

従って,微分可能の定義は
「関数fがx=aにて微分可能とは,lim_{h→0+}(f(a+h)-f(a))/hとlim_{h→0-}(f(a+h)-f(a))/hとが一致するか,もしくは右か左の片方しか定義式が意味を成さない場合には,片方の極限が存在する場合の事とする」

f(x)=|x^2-1|は[1,+∞)で定義されてる場合にはx=1で微分可能,(-∞,+∞)で定義されてる場合にはx=1ででは微分不可能という解釈で正しいんですよね?
No.22380 - 2013/08/24(Sat) 05:17:33
☆ Re: 微分可能の定義について / らすかる
定義域の端点においては、通常の定義では「微分不可能」だと思います。
No.22383 - 2013/08/24(Sat) 08:17:19
☆ Re: 微分可能の定義について / Matrix
どうも有難うございます。
No.22417 - 2013/08/29(Thu) 08:01:40
★ (No Subject) / ktdg
a,b,c,dを実数とするとき
任意の実数x,yについて ax+by=0 かつ cx+dy=0
⇔a=b=c=d=0

(x,y)≠(0,0)を満たす任意の実数x,yについて ax+by≠0 かつ cx+dy≠0
⇔a≠0 かつ b≠0 かつ c≠0 かつ d≠0

これらは真ですか？
No.22375 - 2013/08/23(Fri) 21:31:07
☆ Re: / らすかる
一つ目は真、二つ目は偽です。
No.22377 - 2013/08/23(Fri) 22:25:25
☆ Re: / angel
前者は真、後者は偽です。

それぞれ ⇔ の前後を A,B,C,D としましょうか。つまり、

　A: 任意の実数x,y について ax+by=0 かつ cx+dy=0
　B: a=b=c=d=0
　C: (x,y)≠(0,0)なる任意の実数x,yについて ax+by≠0 かつ cx+dy≠0
　D: a≠0 かつ b≠0 かつ c≠0 かつ d≠0

まず、A⇔B について
　Aに関して、(x,y)=(1,0),(0,1) の時も成立するのだから、a=b=c=d=0 が導かれる。すなわち、A⇒B は真
　B⇒Aについては明らかに真なので省略
　よって、A⇒B,B⇒Aが共に真のため A⇔B は真

次に、C⇔D について
これは形が分かりにくいので否定形にしてみましょう。
　not C: (x,y)≠(0,0) なる実数x,yの中で、ax+by=0 または cx+dy=0 を満たす組が存在する
　not D: a=0 または b=0 または c=0 または d=0
改めて考えると
　not C は常に真。なぜならば
　　a=b=0 なら一例として (x,y)=(1,1) が、
　　さもなくば (x,y)=(b,-a) が
　条件を満たす組として存在するから
　not D は常に成立するわけではない。
　なので、not C⇒not D は偽、対偶から D⇒C も偽
　not D⇒not Cは真、対偶から C⇒D も真
　で、C⇔D 自体は偽
No.22378 - 2013/08/23(Fri) 22:31:49
☆ Re: / ktdg
ありがとうございます。
No.22388 - 2013/08/26(Mon) 11:41:29
★ お願いします / バカっ娘
お世話になっています♪
時間があればでいいので、またお願いしますm(__)m

男子5人女子4人が1列に並ぶとき、次のような並び方は何通り？
(1)男子5人だけの並び方
(2)どの女子も隣り合わない並び方
(3)同性同士が隣り合わない並び方
(4)女子のAさんの隣に男子が来ない並び方
No.22374 - 2013/08/23(Fri) 21:18:54
☆ Re: お願いします / ＩＴ
男子×、女子○、どちらでもいい△、場所Ｖで表す
> (1)男子5人だけの並び方
５！通り
> (2)どの女子も隣り合わない並び方
男子５人を並べ（５！通り）その間か両端（Ｖの位置）に女子を１人ずつ入れる。
Ｖ×Ｖ×Ｖ×Ｖ×Ｖ×Ｖ
女子４人は、それぞれ６箇所のＶのどこか　６×５×４×３
求める並び方は、５！×６×５×４×３　通り
> (3)同性同士が隣り合わない並び方
×○×○×○×○×　のパターンのみ　なので
５！×４！　通り
> (4)女子のAさんの隣に男子が来ない並び方
Aさんがどちらかの端の場合
　A○△△△△△△△　Aさんの隣の女子３通り×残り７人の並べ方 ７！＝３×７！通り
　△△△△△△△○A　同じく３×７！通り

Aさんの両側に女子が並ぶ場合 ○A○をひとかたまりとする
　Aさんの両隣の女子３×２通り
　この３人のかたまりと残りの６人を並べる　７！通り
　３×２×７！通り　
No.22379 - 2013/08/24(Sat) 00:37:38
☆ Re: お願いします / バカっ娘
ITさん、ありがとうございました(´▽｀*)
No.22386 - 2013/08/24(Sat) 12:24:29
★ 分配の問題 / バカっ娘
問1 りんご17個を三枚の皿に盛るものとする。果物皿は区別し、どの皿にも少なくとも四個は盛るものとすると、盛り分ける方法は何通り？

問2 秋の果物として、なし、みかん、りんごなどがある。いま、なし、みかん、りんごの三種類の果物から5個買う買い方は何通りあるか？

お願いします！！
No.22368 - 2013/08/22(Thu) 23:35:44
☆ Re: 分配の問題 / バカっ娘
すいません、りんご17個を三枚の果物皿に盛るものとする。でした(;´Д｀)
No.22369 - 2013/08/22(Thu) 23:37:41
☆ Re: 分配の問題 / ＩＴ
問１
17 - 4×3＝5個をどう盛るかを考えればいい。
果物皿ＡＢＣとし、５個の配り方を調べる。
ＣはＡＢの残りを配ればいいのでＡＢの数を決めればいい。
A-B
5-0 ……１通り
4-1〜0 …２通り
3-2〜0 …３通り
2-3〜0 …４通り
1-4〜0 …５通り
0-5〜0 …６通り
計　２１通り
No.22370 - 2013/08/23(Fri) 00:55:10
☆ Re: 分配の問題 / ＩＴ
問2　問１とほとんど同じです
なし、みかんの数を決めると、残りがりんごです。
なし、みかん
　5　-　0 ……１通り
　4　-　1〜0 …２通り
　3　-　2〜0 …３通り
　2　-　3〜0 …４通り
　1　-　4〜0 …５通り
　0　-　5〜0 …６通り
　計　２１通り
No.22371 - 2013/08/23(Fri) 01:00:05
☆ Re: 分配の問題 / バカっ娘
ありがとうございました(●´ω｀●)
No.22372 - 2013/08/23(Fri) 08:49:33
★ 極限 / ハオ
lim[n->∞]2^n = +∞　から(n)_(n∈N)は単調増加列だから
lim[n->∞]n=+∞が導かれる.
とあり実際に導いてみたのですがあっていますか?

どんなM>0に対しても自然数L1が存在してL1≦nならば
2^n＞Mが成り立つから,M＞2の時ある自然数L2が存在してL2≦nならば
2^n>M^Mが成り立つ.
従って対数をとって,
n＞MlogM(底は2)＞M
0＜M≦2の時　L3として3をとれば L3≦nならば n＞Mが成り立つ.
以上からMax{L2,L3}=L4とすれば
どんなMに対しても,L4≦nならば n＞M
したがってlim[n->∞]n=+∞

どうでしょうか？
No.22360 - 2013/08/22(Thu) 13:18:31
☆ Re: 極限 / ＩＴ
>lim[n->∞]2^n = +∞　から(n)_(n∈N)は単調増加列だから
>lim[n->∞]n=+∞が導かれる.とあり
どこに書いてあったのですか？

相当おかしな議論をしているような気がしますが、勘違いかな？
No.22362 - 2013/08/22(Thu) 17:57:56
☆ Re: 極限 / ハオ
解析入門1という本です。
lim[n->∞]2^n = +∞　ならば　lim[n->∞]n=+∞
lim[n->∞]n=+∞　ならばlim[n->∞]2^n = +∞　（帰納法による)
したがってlim[n->∞]2^n = +∞とlim[n->∞]n=+∞は同値であるという話の流れです。
No.22363 - 2013/08/22(Thu) 19:14:00
☆ Re: 極限 / ＩＴ
同値ってことならありかも知れませんね
解析入門は、いくつかありますが誰のですか？
小平、杉浦、松坂、ラング、・・・etc
No.22364 - 2013/08/22(Thu) 19:34:56
☆ Re: 極限 / ハオ
すいません杉浦先生です。
アルキメデスの原理と全て(lim[n->∞]2^n = +∞ ,lim[n->∞]n=+∞等)が同値ということを言いたいようです。
No.22365 - 2013/08/22(Thu) 19:37:08
☆ Re: 極限 / ＩＴ
> すいません杉浦先生です。
なるほど。
そこまでに、Logは定義されているんですか？
No.22366 - 2013/08/22(Thu) 19:57:33
☆ Re: 極限 / ハオ
>そこまでに、Logは定義されているんですか？
いえ定義されていません（先の初等関数の章に定義されております）。あ、そうか使ったらルール違反ですね。

とするとどんな証明の方法が考えられのでしょうか。
No.22367 - 2013/08/22(Thu) 20:07:16
☆ Re: 極限 / angel
そうですね。アルキメデスの原理と、まあ同じことですね。
自然数って構造的に限り無く大きくなりますから、lim n = +∞ は当然に見えますが、しかしながら無限の定義には実数が絡んでくる。
そこが問題で、ひょっとしたら自然数では超えられない実数が何かしらあるのかもしれない。ここのところの確証が無いからこそ、アルキメデスの原理のようなモノを、何かしら原理として置かなければならない。私はそう解釈しています。

さて、前置きが長くなりましたが、lim 2^n = +∞ ⇒ lim n = +∞ を示すのは多分一瞬で済みます。
使うのは +∞ の定義、lim a[n] = +∞ ⇔ ( ∀α∈Ｒ, ∃m∈Ｎ s.t. n≧m⇒a[n]≧α ) だけで。あ、単調増加なのも重要ですが。

lim 2^n を、「自然数が実数を超え得る一つの例」と見るのです。
No.22373 - 2013/08/23(Fri) 20:21:44
☆ Re: 極限 / ハオ
>angelさん

>lim 2^n を、「自然数が実数を超え得る一つの例」と見るのです。
なるほど有難う御座います。その考えはありませんでした。
No.22404 - 2013/08/27(Tue) 23:49:23
★ (No Subject) / たくろう（社会人）
(1)x≧0のとき、不等式x-(1/2)x^2≦log(1+x)≦xが成り立つことを示せ。
(2)次の極限値を求めよ

　lim[n->∞]log{1+(k/n^2)}

教えてください、お願いします。
できれば模範解答を教えてください。
No.22354 - 2013/08/21(Wed) 22:26:29
☆ Re: / angel
(2)は lim[n→∞] Σ[k=1,n] log(1+k/n^2) では…?
そのつもりで解答を載せます。

(1)
　x≧0 において関数 f(x), g(x) を次のように定義する。
　f(x)=x-log(1+x), g(x)=log(1+x)-( x-1/2・x^2 )

　f'(x)=1-1/(1+x) となることから、x＞0 において f'(x)＞0
　これより、x≧0 において f(x) は単調増加であり f(x)≧f(0)=0

　また、g'(x)=1/(1+x)-(1-x)=x^2/(1+x) となることから、x＞0 において g'(x)＞0
　これより、x≧0 において g(x) は単調増加であり g(x)≧g(0)=0

　以上より x≧0 において
　f(x)=x-log(1+x)≧0, g(x)=log(1+x)-(x-1/2・x^2)≧0
　よって x-1/2・x^2≦log(1+x)≦x である。

(2)
　(1)より
　　Σ[k=1,n] (k/n^2-1/2・(k/n^2)^2) ≦ Σ[k=1,n] log(1+k/n^2) ≦ Σ[k=1,n] k/n^2
　すなわち
　　1/2・(n+1)/n - 1/12・(n+1)(2n+1)/n^3 ≦ Σ[k=1,n] log(1+k/n^2) ≦ 1/2・(n+1)/n
　ここで、
　　lim[n→∞] 1/2・(n+1)/n - 1/12・(n+1)(2n+1)/n^3 = 1/2
　　lim[n→∞] 1/2・(n+1)/n = 1/2
　よって、lim[n→∞] Σ[k=1,n] log(1+k/n^2) = 1/2

※(2)のΣの計算では、
　Σ[k=1,n] k = 1/2・n(n+1)
　Σ[k=1,n] k^2 = 1/6・n(n+1)(2n+1)
　を使用しています。
No.22356 - 2013/08/21(Wed) 23:17:49
☆ Re: / たくろう（社会人）
angelさんいつもありがとうございます。
No.22422 - 2013/08/29(Thu) 23:35:41
★ 微分 / たくろう（社会人）
f(x)=cosx+1,g(x)=a/bx^2+cx+1とする。f(0)=g(0),f'(0)=g'(0),f"(0)=g"(0)であるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。
この模範解答で合ってますか？

f(0)=g(0)から2=a
よってf'(x)=sinx, g'(x)=-2(2bx+c)/(bx^2+cx+1)^2である。
ゆえf'(0)=g'(0)から0=-2cすなわちc=0
よって
g'(x)=-4bx/(bx^2+1)^2である
g"(x)=4b(3bx^(2)-1)/(bx^2+1)^3
またf"(x)=-cosである
よってf"(0)=g"(0)から -1=-4bすなわち　b=1/4
したがって
　
a=2,b=1/4,c=0
No.22353 - 2013/08/21(Wed) 22:24:41
☆ Re: 微分 / angel
模範解答というか、たくろうさんが作成された解答ですね?
計算内容に問題はないと思います。
書き方はもうちょっと改善の余地ありかと思いますが、減点を喰らうほどのことはないでしょう。
なので、合っていますね。
No.22355 - 2013/08/21(Wed) 22:54:15
★ (No Subject) / ｌｌｐ
a,bを実数とする。三次方程式x^3-3ax^2+a+b=0・・?@が三個の異なる実数解を持ち、そのうち一個だけが負となるためのa,bの満たす条件を求めよ。

解）f(x)=x^3-3ax^2+a+bとおく
f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)
極値がないと?@は異なる三個の実数解をもたないので
a≠０
?@が負の解を一個だけ持つので2a>0すなわちa>0・・?A
さらにf(0)>0・・?Bかつf(2)<0・・?C
?Aかつ?Bかつ?Cが答えで以下略

とあるのですが、f(2)<0って必要ですか？
a>0、ｆ（０）＞０の時点で自動的にf(2)<0となるので
?Aかつ?Bが答えだと思うのですが。。

難しい質問なので納得できるかあまり自信がありませんので何度か御回答に対して何度か質問を返すかもしれません。それでも良いという方はお願いします
No.22350 - 2013/08/21(Wed) 21:59:52
☆ Re: / らすかる
f(2)はf(2a)の間違いでは？
a＞0,f(0)＞0 でも、例えば極大値が10、極小値が5のような場合もありますので
f(2a)＜0は必要です。
No.22351 - 2013/08/21(Wed) 22:10:47
☆ Re: / ｌｌｐ
回答ありがとうございます。
f(2a)の間違いでした。
確かにそうですね！勘違いしてました！ありがとうございます！
No.22357 - 2013/08/21(Wed) 23:49:41
★ 式変形 / セキャン
｛[{cos(2π/n)＋sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋sin(2π/n)-1｝
＝[{cos(2π)＋sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋sin(2π/n)-1｝＝0
どうしてこのように式を変形できるのでしょうか？分かる方教えてください。よろしくお願い申し上げます。
No.22342 - 2013/08/21(Wed) 17:41:21
☆ Re: 式変形 / らすかる
その式は成り立ちません。
虚数単位のiが付いていませんでしたか？
No.22343 - 2013/08/21(Wed) 17:57:02
☆ Re: 式変形 / セキャン
> ｛[{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝
> ＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝＝0
すみません。ご指摘のとおり虚数単位がついていました。
No.22345 - 2013/08/21(Wed) 18:18:11
☆ Re: 式変形 / らすかる
ド・モアブルの定理はご存知ですか？
No.22347 - 2013/08/21(Wed) 19:24:15
☆ Re: 式変形 / セキャン
知らなかったので調べてみました。
｛[{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)}^n]-1｝/{cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝
＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝と変形できるのは理解できたのですが、
> ＝[{cos(2π)＋i・sin(2π)}-1]/｛cos(2π/n)＋i・sin(2π/n)-1｝＝0となるのはどうしてなんでしょうか？
よろしくお願い申し上げます。
No.22348 - 2013/08/21(Wed) 20:06:13
☆ Re: 式変形 / らすかる
cos(2π) と sin(2π) の値はご存知ですか？
No.22349 - 2013/08/21(Wed) 20:30:42
★ 数列の問題…で用語は合っているの？ / 素人のおばさん
我が家のテレビのボリューム表示は、長さ１〜１０の棒が並びます。それを見ていて思いつきましたが、このように並んだ長さの違う線分を二組に分けて、それぞれの長さの和が等しくなる事があり得るのか？
その他は、エクセルで表を作って６０までやってみて、１〜３(1+2=3)と１〜２０(1+2+3…+14=15+16+17…+20)は等分できることが分かりました。
こういう解はきっと無限にあるのでしょうね？何か法則性があるのでしょうか？
現役を離れて長いですが、中学程度の数学ならまだ印象が残っていると思います。
No.22340 - 2013/08/21(Wed) 15:34:00
☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / ヨッシー
言い換えれば、ｍ＜ｎ である２つの整数ｍ，ｎにおいて、
１〜ｎまでの合計が１〜ｍまでの合計の２倍になっていれば
いいわけです。
１〜ｎまでの合計はn(n+1)/2, ｍまでは m(m+1)/2 なので、
　n(n+1)＝2m(m+1)
となる、ｍ，ｎが見つかればいいのですが、なかなか簡単にはいかないですね。
私もExcel を走らせてみましたが、(m,n) の組み合わせは
(2,3),(14,20) に他に (84,119),(492,696),(2870,8119)
(16730, 23660),(97512, 137903),(568344,803760),(3312554, 4684659)
などがありましたが、規則性や無限にあるかはわかりません。
No.22341 - 2013/08/21(Wed) 16:52:33
☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / らすかる
規則性があって無限にあります。
a[0]=0, a[1]=3, a[n]=6a[n-1]-a[n-2]+2 で表される数列が
3,20,119,696,4059,… となって2等分できる値になります。
この数列は↓こちらにあります。
http://oeis.org/A001652
ただし、証明はわかりません。
No.22344 - 2013/08/21(Wed) 18:00:56
☆ Re: 数列の問題…で用語は合っているの？ / 素人のおばさん
ありがとうございました。
No.22346 - 2013/08/21(Wed) 18:28:12
★ 高校数学 / コトう
高校数学の質問。単位円に内接する正n角形の一辺の長さは2sin(π/n)で表されるそうですがどのようにして一般化されたんでしょうか？分かる方教えてください。お願いします。
No.22338 - 2013/08/21(Wed) 15:29:43
☆ Re: 高校数学 / らすかる
正n角形の隣り合う2頂点をA,Bとし、円の中心をOとします。
ABの中点をMとすると、直角三角形AMOにおいて
AO=1, ∠AOM=(2π/n)÷2=π/n なので
AM=sin(π/n)
よってAB=2sin(π/n)となります。
No.22339 - 2013/08/21(Wed) 15:33:12
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