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★ 数3です。 / しん
二次関数f(x)が、f(1)=1をみたし、どのような一次関数g(x)に対してもつねに∫[0,1]f(x)g(x)dx =0　を満たしているときf(x)を求めよ　f(x)g(x)を展開したら解けるのは分かるんですが、もう少しスマートなやり方はありませんか？　　高3
No.22960 - 2013/10/30(Wed) 15:55:43
☆ Re: 数3です。 / らすかる
どういうスマートさを期待されているのかわかりませんので
期待に沿えないかも知れませんが、例えば・・・

条件から f(x)=ax^2+bx-(a+b-1) とおけて、
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xf(x)dx=0 だから
a/3+b/2-(a+b-1)=0
a/4+b/3-(a+b-1)/2=0
これを解くと(a,b)=(6,-6)なので f(x)=6x^2-6x+1
No.22961 - 2013/10/30(Wed) 17:54:21
☆ Re: 数3です。 / しん
解決しました有難うございます
No.22963 - 2013/10/30(Wed) 20:36:36
★ この問題について教えて下さい / てぃ
初めて投稿させて頂きます。



二等辺三角形ABCで、頂点Cを通って底辺BCに垂直にひいた直線と辺BAの延長との交点をDとすると、△DACが二等辺三角形であることを証明しなさい。



この証明の問題について教えて頂けると有難いですm(__)m
中2
No.22954 - 2013/10/29(Tue) 23:46:28
☆ Re: この問題について教えて下さい / ヨッシー
∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＤ＝90°　・・・(i)
また、△ＢＣＤの内角の和
　∠ＢＣＤ＋∠ＣＤＢ＋∠ＤＢＣ＝180°
において∠ＢＣＤ＝90°を代入すると
　∠ＣＤＢ＋∠ＤＢＣ＝90°　・・・(ii)
条件より　（∠ＤＢＣ＝）∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
これと (i)(ii) より
　∠ＡＣＤ＝∠ＣＤＢ
となり△ＤＡＣはＡＣ＝ＡＤの二等辺三角形と言えます。
No.22956 - 2013/10/29(Tue) 23:54:54
☆ Re: この問題について教えて下さい / てぃ
▲ヨッシーさん▲
教えて頂きありがとうございました！
今後も利用させて頂きたいので宜しくお願いします！
No.22971 - 2013/10/31(Thu) 00:02:30
★ 数?T / ゆぅ
xについての不等式と方程式
x/3+(4+x)/2>1…?@
4(2x-k)≧5k-2x…?A
5x^2+9kx-2k^2…?B
がある。ただし、kは0ではない定数とする。
(1)不等式?@を解け。
(2)不等式?Aを解け。また、方程式?Bを解け。
(3)不等式?@、?Aを共に満たす整数xが10個だけ存在するようなkの値を求めよ。
さらに、このとき、方程式?Bの2つの解をα、βとすると、
│α│+│β│のとり得る値の範囲を求めよ。


(3)が分かりません(>_<)
解説お願いします！

あと、お時間ありましたら、
(1)(2)の答え等も教えて下さいm(__)m

よろしくお願いします。
No.22953 - 2013/10/29(Tue) 21:50:37
☆ Re: 数?T / ヨッシー
?B は 5x^2+9kx-2k^2＝0 のことでしょうか？
だとすると、
　(5x−k)(x＋2k)＝０
より　ｘ＝k/5, -2k　ではあります。

また、問題の式が正しいとすると、
?@　ｘ＞-6/5　?A　ｘ≧0.9k
となり、?@?Aを共に満たす整数は常に無限に存在します。
よって、問題の式が間違っていると予想されます。
No.22955 - 2013/10/29(Tue) 23:49:01
☆ Re: 数?T / ゆぅ
ごめんなさいm(__)m
問題入力ミスしてました
?Bは5x^2+9kx-2k^2=0です
No.22958 - 2013/10/30(Wed) 05:43:20
☆ Re: 数?T / ヨッシー
?@または?Aに間違いはありませんか？
No.22959 - 2013/10/30(Wed) 05:58:28
☆ Re: 数?T / ゆぅ
…すみません
?Aの不等号の向きも逆でした

正しくは
4(2x-k)≦5k-2x…?A
です
No.22962 - 2013/10/30(Wed) 19:33:26
☆ Re: 数?T / ヨッシー
すると、
?@　ｘ＞-6/5　?A　ｘ≦0.9k
ですね。
「不等式?@、?Aを共に満たす整数xが10個だけ存在する」を考えると、
?@ を満たす整数は
　ｘ＝-1, 0, 1, 2,・・・ であり、x=8 が小さい方から10個目の
整数となります。
すると　?A ｘ≦0.9k が、８を含んで９を含まない範囲となればいいことになります。つまり、
　8≦0.9k＜9
で、80/9≦ｋ＜10 が求める範囲となります。

?B の解は ｘ＝k/5, -2k　であり、80/9≦ｋ＜10 の範囲では、
　k/5＞０、-2k＜０
なので、
　│α│+│β│＝k/5＋2k＝11k/5
これより、
　176/9≦11k/5＜22
つまり　
　176/9≦│α│+│β│＜22
となります。
No.22968 - 2013/10/30(Wed) 22:56:59
★ (No Subject) / 高3
f(n)=〜から、
なぜそのようにおけたのか、
そこから後何をしようとしているのか、
が理解できません。
ご回答お待ちしております。
No.22949 - 2013/10/29(Tue) 16:08:27
☆ Re: / らすかる
p[n]＜(2n+1)/2^n を示すということは
(2^n・p[n])/(2n+1)＜1 を示すのと同じです。
ですからf(n)をこの左辺とおいて
f(n)＜1であることを示せばいいですね。
No.22950 - 2013/10/29(Tue) 16:17:57
☆ Re: / 高3
ご説明のおかげでスッキリしました。
ありがとうございました。
No.22952 - 2013/10/29(Tue) 17:20:05
★ 数学的帰納法 / 加瀬
n個の実数a[1]、a[2]、・・・、a[n]が0<a[i]≦1(i=1,2,3,・・・,n)をみたす。このとき任意の2以上の整数nに対し、不等式
(A)a[1]＋a[2]＋a[3]＋・・・a[n]≦a[1]・a[2]・a[3]・・・a[n]＋(n-1)が成り立つことを数学的帰納法で示し、等号が成立する場合を明記せよ。
＜解＞
数学的帰納法で示す。
(i)n=2のとき
0<a[1]≦1、0<a[2]≦1より
a[2]≦a[1]・a[2]＋1
a[1]・a[2]-a[2]＋1
＝a[2](a[1]-1)＋1≧0
なのでn=2のとき(A)は成り立つ。
(ii)n=kのときa[1]＋・・・＋a[k]≦a[1]・a[2]・・・・a[k]＋(k-1)・・・?@が成り立つと仮定し、
【a[1]＋・・・＋a[k]＋a[k＋1]≦a[1]・a[2]・・・・a[k＋1]＋k】・・・?Aの結果が得られることを示す。
?@の両辺にa[k＋1]を足すと
a[1]＋・・・＋a[k]＋a[k＋1]≦a[1]・a[2]・・・・a[k]＋(k-1)＋a[k＋1]・・・?B
?Aの右辺と?Bの右辺の大小を比較すると
?Aの右辺≧?Bの右辺となるので(計算略)
?Aが成り立つ。
よってn=k＋1のときも(A)は成り立つ。
したがって〜〜示された。
No.22941 - 2013/10/29(Tue) 15:21:00
☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬
?A等号成立について

0<a[i]≦1(i=1.2.3.・・・.n)より、
(1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・)
よって
≪≪a[1]a[2]a[3]・・・a[n]＋1≧a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1]＋a[n](等号成立はa[1]=a[2]=・・・＝a[n-1]=1またはa[n]=1のとき)
・・・
a[1]a[2]＋1≧a[1]＋a[2](等号成立はa[1]=1またはa[2]=1のとき)≫≫
以上を辺々加えて整理すると、
a[1]a[2]a[3]・・・a[n]＋n-1≧a[1]＋a[2]＋・・・＋a[n]
問題の等号成立の条件は
≪≪　≫≫部分のすべての不等式において等号が成立する。
いま、あるkに対してa[k]≠1とすると
a[1]=a[2]=・・・=a[k-1]=1かつa[k＋1]=・・・=a[n]=1
すなわち、他の(n-1)個はすべて１に等しくなる。
したがって等号性が成立する条件は
a[1],a[2],・・・,a[n]のうち少なくともn-1個が1に等しい。

とあるのですが、数学的帰納法の証明は自分でできたのですが、等号が成立する場合を明記するところが解説をみても意味がわかりませんでした。
なぜ≪≪　≫≫部分の不等式を列挙するのか、0<a[i]≦1より、
(1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・)
というのがどうしてぱっとでてくるのか？
後半のn-1個のくだりも意味がわかりませんでした。
理解力がないのでだれかわかる方教えてください。よろしくお願いします。


※同じ質問を間違えて二つ立ててしまいました。本当にごめんなさい。
No.22943 - 2013/10/29(Tue) 15:25:09
☆ Re: 数学的帰納法 / angel
結局のところこの問題のポイントは、
　0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1
です。
ここから、

　a[1]+a[2]≦a[1]a[2]+(2-1)　※A=a[1],B=a[2]に相当
　a[1]a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+1　※A=a[1]a[2],B=a[3]に相当
　→ a[1]+a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+(3-1)　※上2つの式を辺々足す
　a[1]a[2]a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+1　※A=a[1]a[2]a[3],B=a[4]に相当
　→ a[1]+a[2]+a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+(4-1)　※上2つの式を辺々足す
　…
　→ a[1]+a[2]+…+a[n-1]≦a[1]a[2]…a[n-1]+((n-1)-1)
　a[1]a[2]…a[n-1]+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+1　※A=a[1]a[2]…a[n-1],B=a[n]に相当
　→ a[1]+a[2]+…+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+(n-1)　※上2つの式を辺々足す

という内容を帰納法にしているのが今回の証明です。
これって、→ で始まる行を除いた
　a[1]+a[2]≦a[1]a[2]+(2-1)
　a[1]a[2]+a[3]≦a[1]a[2]a[3]+1
　a[1]a[2]a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+1
　…
　a[1]a[2]…a[n-1]+a[n]≦a[1]a[2]…a[n]+1
を全て足し合わせているのと同じことなのですね。
なので、等号成立条件は、これらの不等式全てで等号が成立すること。
これが、
> なぜ≪≪　≫≫部分の不等式を列挙するのか
に対する答えです。

> (1-a[1]a[2]a[3]・・・a[n-1])(1-a[n])≧0(n=2,3,4・・) というのがどうしてぱっとでてくるのか？
元の A+B≦AB+1 の根拠である 0≦(1-A)(1-B) と、上にある「不等式全てを辺々足したもの」を意識しているからです。

ただ、正直なところを言えば、等号成立条件についても帰納法で書く方が分かり易いです。つまり、
　a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]a[2]…a[n]+(n-1) が成立する条件は、
　a[1]〜a[n]の内、少なくともn-1個が1に等しいことである
の、帰納法による証明を書くと言うことです。
今度は、0≦(1-A)(1-B)⇔A+B≦AB+1 ではなく、0=(1-A)(1-B)⇔A+B=AB+1 から A=1orB=1 が基本になります。
No.22957 - 2013/10/30(Wed) 00:43:54
☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬
すみません。最後に補足なのですが
0＜A,B≦1はどこからきたのでしょうか？
お願いします。
No.23011 - 2013/11/01(Fri) 21:40:17
☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬
すみません。先ほどの質問は解決しました。
きになるのは最初に帰納法によって題意は示されましたが、
この証明の結果からどうして辺々を加えたものが帰納法によって示される結果になるのかということです。
　0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1がポイントとのことですがどうしたらこれを利用することに気付けるのかわかりません。よろしくお願いします。
No.23012 - 2013/11/01(Fri) 23:10:30
☆ Re: 数学的帰納法 / angel
> この証明の結果からどうして辺々を加えたものが帰納法によって示される結果になるのかということです。

それが帰納法の特徴です。帰納法は、
　(1) n=1 の時を調べる
　(2) n=1 の時の結果に、n=1,2 の違いを加味して n=2 の時の結果を導く
　(3) n=2 の時の結果に、n=2,3 の違いを加味して n=3 の時の結果を導く
　…
　(k+1) n=k の時の結果に、n=k,k+1 の違いを加味して n=k+1 の時の結果を導く
　…
ということで、全ての自然数nに対する説明を行うものです。
※(2)以降のステップは、kという文字でまとめて行うため、実際は2ステップ分だけで済む

であれば、各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考えもできるです。
例えば、
　n=1の時の結果に n=1,2の違い、n=2,3の違い、n=3,4の違いを加味する
　→ n=4 の時の結果が導かれる
といった具合にです。
今回であれば、「不等式の辺々を全て足す」というのが相当します。
No.23020 - 2013/11/02(Sat) 15:32:19
☆ Re: 数学的帰納法 / angel
> 0＜A,B≦1 に対し 0≦(1-A)(1-B) であるため A+B≦AB+1がポイントとのことですが
> どうしたらこれを利用することに気付けるのかわかりません。

帰納法の時には、nの値を増やした時の差分 ( 上で「違い」と言っているもの ) を見つけるのが重要です。
例えば、今回の問題での n=3,4 の違いを探す場合、
　n=3 … a[1]+a[2]+a[3]　　　≦a[1]a[2]a[3]　　+(3-1)
　n=4 … a[1]+a[2]+a[3]+a[4]≦a[1]a[2]a[3]a[4]+(4-1)
見比べると、
　・左辺に +a[4] が追加されている
　・右辺の a[1]a[2]a[3] に ×a[4] が追加されている
　・右辺の定数項が +1 されている
ということで、a[1]a[2]a[3]=A, a[4]=B と置きかえると
　A+B≦AB+1
が成立してくれると都合が良さそう ( 証明に十分 ) となります。この構造は n=4 の時に関わらず常に同様であることも、幾つかnの値を試してみると気付くと思います。
※加えて、n=1 の時の不等式がそのまま A+B≦AB+1 の形をしているというのもある

しかも A+B≦AB+1 はちゃんと証明ができます。( もちろん A,B の値の範囲が限定されていることが前提ですが )
なので、やっぱり A+B≦AB+1 がキーだな、ということになります。
No.23021 - 2013/11/02(Sat) 15:52:08
☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬
angelさんすごくわかりやすい回答ありがとうございます。
「各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考え」というのは初めて知りました。
たとえば、　「n が正の整数のとき、1+2+3+···+n=n(n+1)/2 …成り立つことを証明せよ。」という問題があったとき、
n=1のとき左辺=1　右辺=1より成り立つ。
n=2のときも同様に両辺が3となり成り立つ。
n=3のときも同様に両辺が6となり成り立つ。
では、n=4のときの結果を導くためには？
ここで先ほど教えていただいた、「違い」の蓄積という考えで、n=1のときの結果にn=1,2の違い(左辺同士の差が2)
n＝2,3の違い(左辺同士の差が3)、n=3,4の違い(左辺同士の差が4)より
n=4のときの結果(両辺が10)が導かれる。
こういうことなんでしょうか？
何度も質問申し訳ありません。
No.23038 - 2013/11/05(Tue) 01:43:36
☆ Re: 数学的帰納法 / angel
> 「各ステップでの「違い」を全て蓄積させるという考え」というのは初めて知りました。

私のような言い回しは初めて見るかもしれませんが、同じようなモノには、触れたことがあるはずですよ。
　S[1]=a[1]
　S[n]=S[n-1]+a[n]　( n≧2の場合 )
このS[n]は数列a[n]の和を表すものです。ここで出るnは、2以上の自然数を代表しているに過ぎませんから、
　S[1]=a[1]
　S[2]=S[1]+a[2]
　S[3]=S[2]+a[3]
　…
　S[k+1]=S[k]+a[k+1]
　…
をまとめたものになっていて、これはそのまま帰納法と同じ表現になっています。
( なので、これをS[n]の帰納的定義と言ったりします )

一方で、数列の和というのは、
　S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
ですが、n≧2の場合に見方を変えれば、S[1]=a[1]にそれぞれの差分a[2],a[3], …, a[n]を蓄積したもの、とも言えます。

こういったことを解答の中で直接的に説明することはないですが、自分の中でイメージを持っておけば、もっと楽に取り組めるものと思います。
No.23039 - 2013/11/05(Tue) 08:07:55
☆ Re: 数学的帰納法 / 加瀬
angelさん！！
何度も回答して頂いて本当にありがとうございました！
とてもわかりやすく、また一つ理解を深めることができました。ほんとうにありがとうございました！
No.23042 - 2013/11/05(Tue) 19:18:11
★ (No Subject) / 高3
⑴0≦a^2−2a+5/(1−a^2)が
−1<a<1になるのはなぜですか？

⑵n!2^n/{2n(2n−1)(2n−2)…(n+1)}=(n!)^2×2^n/{(2n)!}となるのはなぜですか？

ご回答お願い致します。
No.22937 - 2013/10/29(Tue) 14:44:42
☆ Re: / らすかる
(1)
0≦a^2-2a+5/(1-a^2)
から
-1＜a＜1 にはなりません。
例えばa=3とすると、右辺は
3^2-2×3+5/(1-3^2)=19/8
となりますので、不等式は成り立ちます。

(2)
分子と分母両方にn!を掛ければそのようになります。
No.22939 - 2013/10/29(Tue) 14:51:16
☆ Re: / 高3
> (1)
> 0≦a^2-2a+5/(1-a^2)
> から
> -1＜a＜1 にはなりません。

a≠±1という条件がありましたが解答は写真のようになっています。
No.22944 - 2013/10/29(Tue) 15:35:16
☆ Re: / らすかる
上には
0≦a^2-2a+5/(1-a^2)
と書かれていますが、写真の問題は
0≦(a^2-2a+5)/(1-a^2)
なので違います。
0≦a^2-2a+5/(1-a^2)
というのは
0≦(a^2)-(2a)+{5/(1-a^2)}
と解釈されます。

{(a-1)^2+4}/(1-a^2)≧0 の分子 (a-1)^2+4 は正ですから、
不等式が成り立つためには 1-a^2＞0 でなければなりません。
よって -1＜a＜1 となります。
No.22948 - 2013/10/29(Tue) 16:02:39
☆ Re: / 高3
私の表記ミスでした。失礼しました。
ご説明のおかげで理解できました。
ありがとうございます。
No.22951 - 2013/10/29(Tue) 17:18:37
★ 2次不等式 / Kitty (高校3年生)


不等式 x^2ー(3a＋2)x＋6a≦0を解け。ただし、aは任意の実数とする。

という問題です。
3a＜2のとき、3a＞2のとき、3a＝2のとき
と場合わけして考えるみたいなのですが、

＊どうしてこのように分けて考えるのでしょうか？
＊また、どのようにして解を求めればよいのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.22933 - 2013/10/29(Tue) 14:20:20
☆ Re: 2次不等式 / らすかる
例えば、(x-p)(x-q)≦0 という不等式を解くと
p＜q ならば p≦x≦q
p＞q ならば q≦x≦p
となりますね。
それと同様に、x^2-(3a+2)+6a=(x-2)(x-3a) となりますので
2と3aの大小関係によって答えが変わってきます。
No.22938 - 2013/10/29(Tue) 14:47:13
★ 中３ / 加瀬
f(x)＝Σ[k=1〜100]|kx‐1|＝|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋‥‥＋|100x‐1|を最小にするxの値を求めよ。
・解き方
a[k]=kx-1とする。
(i)x>1のとき絶対値の中身は正なのでf(x)=5050x-100
(ii)x<1/100のとき絶対値の中身は負なのでf(x)=-5050x＋100
(iii)1/100≦x≦1のときf(x)は絶対値の中身が正である部分と負である部分があり、その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。
x-1≦0,2x-1≦0,3x-1≦0,・・・,mx-1≦0,(m＋1)x-1≧0,・・・、100x-1≧0であるとき、
1/(m＋1)≦x≦1/mが成り立つ。
このとき、f(x)=Σ[k=1~m](-a[k])＋Σ[k=m＋1~100](a[k])
={5050-m(m＋1)}x＋2m-100
傾きが正となるのはm=70のときで1/71≦x≦1/70
傾きが負となるのはm=71のときで1/72≦x≦1/71
以上より、傾きが負から正となる境目のx=1/71においてf(x)は最小となる。

とあるのですが、x<1/100の部分はf(x)=-5050x＋100、x>1の部分はf(x)=5050x-100で直線ですが、
1/100≦x≦1の部分は折れ線グラフになるんでしょうか？グラフがイメージできません。
また、「その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。」の部分について、
たとえばf(x)=|x-1|＋|2x-1|＋|3x-1|＋|4x-1|のとき、
境目となる絶対値の中身が3x-1なら、
x=1/3のときだとx-1、2x-1は負、3x-1は0、4x-1は正
x=1/3.5のときだとx-1、2x-1、3x-1は負、4x-1は正
となりますがx=1/3はたしかに0を境にして負から正に転じていますがx=1/3.5のときは3x-1が境目とは言えなくないですか？
「その境目となるときの絶対値の中身をmx-1とする。」の一文の意味がよくわかりません。
その理屈だったら、x-1≦0,2x-1≦0,3x-1≦0,・・・(m-1)x-1≦0,mx-1≧0,(m＋1)x-1≧0,・・・、100x-1≧0でもmx-1は境目といえるので、どうして解答のようになるのかが釈然としません。
わかる方教えてください。よろしくお願いします。
No.22929 - 2013/10/29(Tue) 11:21:23
☆ Re: 中３ / らすかる
「その境目」とは「絶対値の中身が負である最後の項」のことですね。
なぜなら、Σ[k=1〜m](-a[k]) としているからです。
No.22930 - 2013/10/29(Tue) 12:17:20
☆ Re: 中３ / 加瀬
ありがとうございます。
もう一つ質問なのですが、
考え方として、絶対値の中身が正のものと負のものとで相殺しあうことで最小値に近づきそうだなーと考えて、
f(x)=|x‐1|＋|2x‐1|＋|3x‐1|＋・・・＋|mx-1|＋|(m＋1)x-1|＋・・・・・・|100x‐1|
において
|x-1|〜|mx-1|までの絶対値の中身が負
|(m＋1)x-1|〜|100x-1|までの絶対値の中身が正と最初はおおざっぱに考えました。mx-1と(m＋1)x-1に着目してすると
1/(m＋1)≦x≦1/mのときa[1]〜a[m]まで減少、a[m＋1]〜a[100]まで増加となります。
ここで疑問になったことがあるのですが
たとえばx=1/mのときはa[1]〜a[m-1]までは確かに負ですがa[m]は0ですよね？
これをa[1]〜a[m]まで減少と表現してもとくに問題はないと思うのですが大丈夫なんでしょうか？
わかるかたおしえてください。おねがいします。
No.22931 - 2013/10/29(Tue) 12:43:17
☆ Re: 中３ / らすかる
a[m]が0でもa[m-1]が正ならば
a[1]〜a[m]まで減少
になりますね。
No.22932 - 2013/10/29(Tue) 13:37:47
☆ Re: 中３ / 加瀬
「a[m]が0でもa[m-1]が正」というのは
f(x)=|x-1|＋・・・＋|(m-1)x-1|＋|mx-1|＋・・・|100x-1|
で、(m-1)x-1が正になるということはx>1/(m-1)でないといけないので、このとき、a[m]は正なのでa[m]が0のときa[m-1]が正というのはありうるのでしょうか？
No.22940 - 2013/10/29(Tue) 15:00:05
☆ Re: 中３ / らすかる
> 1/(m＋1)≦x≦1/mのときa[1]〜a[m]まで減少、a[m＋1]〜a[100]まで増加となります。

この「a[1]〜a[m]まで減少」は|a[k]|について言っているんですよね？
それと同じく、|a[m]|が0でも|a[m-1]|が正ということです。
No.22946 - 2013/10/29(Tue) 15:55:38
☆ Re: 中３ / 加瀬
ありがとうございました
No.23013 - 2013/11/01(Fri) 23:45:53
★ (No Subject) / なかがわ
正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
横の長さを二メートル長くして長方形にしたら面積が元の長方形の畑の三倍になったこの時もとのはたけの一辺の長さは？　問題の入力のミスでした　らすかるさんｘさんもしお答できれば幸いです。
No.22927 - 2013/10/28(Mon) 20:24:40
☆ Re: / ヨッシー
Ｘさんの指摘
「元の長方形」って、元は正方形でしょ？
がクリアされていません。

また、これが「元の正方形」だとすると、らすかるさんの
回答の中に答えがあります。
No.22928 - 2013/10/28(Mon) 20:55:29
★ (No Subject) / なかがわ
正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
横の長さを二メートル長くして長方形にしたら元の長方形の長さの三倍になったこの時もとのはたけの長さは？
考え方がわかりませんよろしくおねがいします
No.22921 - 2013/10/27(Sun) 21:54:22
☆ Re: / X
＞＞元の長方形の長さ
意味が不明です。
問題文にタイプミスはありませんか？
No.22922 - 2013/10/28(Mon) 00:21:00
☆ Re: / らすかる
もしも問題が
> 正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
> 横の長さを二メートル長くして長方形にしたら、
> 周囲の長さが三倍になった。この時元の畑の周囲の長さは？
だとすると
正方形の一辺をx(m)とすると、元の畑の周囲は4x
大きくした後の畑の周囲は2(x+1)+2(x+2)=4x+6
よって 4x+6=3(4x) で、これを解くとx=3/4だから
答えは 4×(3/4)=3(m)

もしも問題が
> 正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
> 横の長さを二メートル長くして長方形にしたら、
> 周囲の長さが三倍になった。この時元の畑の一辺の長さは？
だとすると
正方形の一辺をx(m)とすると、元の畑の周囲は4x
大きくした後の畑の周囲は2(x+1)+2(x+2)=4x+6
よって 4x+6=3(4x) で、これを解くとx=3/4だから
答えは (3/4)m=75cm

もしも問題が
> 正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
> 横の長さを二メートル長くして長方形にしたら、
> 面積が三倍になった。この時元の畑の一辺の長さは？
だとすると
正方形の一辺をx(m)とすると、元の畑の面積はx^2
大きくした後の畑の面積は (x+1)(x+2)
よって (x+1)(x+2)=3(x^2) で、これを解くとx=-1/2,2だが、
x＞0だからx=2(m)

もしも問題が
> 正方形の畑がある。この畑の縦の長さを1メートル長くし
> 横の長さを二メートル長くして長方形にしたら、
> 対角線の長さ三倍になった。この時元の畑の一辺の長さは？
だとすると
正方形の一辺をx(m)とすると、元の畑の対角線の長さは(√2)x
大きくした後の畑の対角線の長さは √{(x+1)^2+(x+2)^2}
よって √{(x+1)^2+(x+2)^2}=3(√2)x で、これを解くと
x=(3±√89)/16 だが、x＞0だからx=(3+√89)/16 (m)
No.22923 - 2013/10/28(Mon) 01:19:21
★ 2次関数の最小 / Kitty (高校3年生)


はじめまして。

2次関数 f(x)＝x^2ー2ax＋2a＋5の区間0≦x≦4における最小値g(a)とおくとき、このg(a)を求めよ。

という問題なのですが、

a≦0のとき g(a)＝f(0)＝2a＋5

のところに疑問があります。
a≦0ということはa＝0のときもあるので
ーa^2＋2a＋5
という時もあるのではないかと思うのです。
a＜0ならこの回答だとわかるのですが。
いまいちなぜa≦0なのかわかりません。
説明が下手で伝わってるかわかりませんが
回答していただけたらうれしいです。
よろしくお願いします。
No.22917 - 2013/10/27(Sun) 17:54:49
☆ Re: 2次関数の最小 / ヨッシー
これは、
i) ａが０より小さいとき　f(0)＝2a+5 が最小
ii) ａが０と４の間のとき　f(a)＝−ａ^2＋2a＋５ が最小
iii) ａが４より大きいとき　f(4)＝-6a＋21 が最小
において、
ａ＝０　および　ａ＝４　をどちらに入れるのかという話になりますが、
例えば、ａ＝０ を
i) に入れると最小値は　f(0)＝2・0＋５＝５
ii) に入れると最小値は　f(a)＝-0^2＋2・0＋５＝５
になり、どちらに入れても同じ値になるので、どちらに入れても良いのです。
ａ＝４ も同様です。ですから、
i) ａ≦０
ii)　０＜ａ＜４
iii)　４≦ａ
でも、
i) ａ＜０
ii)　０≦ａ≦４
iii)　４＜ａ
でも、
i) ａ≦０
ii)　０≦ａ≦４
iii)　４≦ａ
でも良いのです。
ａ＝０やａ＝４が重複して含まれても良いですが、どれにも含まれないのはいけません。
i) ａ＜０
ii)　０＜ａ＜４
iii)　４＜ａ
はダメです。
No.22918 - 2013/10/27(Sun) 19:58:13
☆ Re: 2次関数の最小 / ＩＴ
>a≦0ということはa＝0のときもあるので
>ーa^2＋2a＋5
>という時もあるのではないかと思うのです
2a＋5と
-a^2＋2a＋5　に
a=0 を代入してみてください。
No.22919 - 2013/10/27(Sun) 19:58:43
☆ Re: 2次関数の最小 / Kitty (高校3年生)
わかってとってもスッキリしました！
ありがとうございました！
No.22920 - 2013/10/27(Sun) 21:11:57
★ 面積 / 辻風(17)
初めまして。

325
次の曲線や直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

(1)y=e^(2x), y=2e^(-x)+3, x=0
(2)x=sinθ, y=-cos2θ(-π/2≦θ≦π/2), x軸

指針と途中経過を教えて頂きたい所存であります。
No.22907 - 2013/10/26(Sat) 09:38:15
☆ Re: 面積 / ヨッシー
(1)

図のようになりますので、交点のｘ座標を求め、ｘ＝０ から
その交点のｘ座標まで　2e^(-x)+3−e^(2x) を積分します。

(2) は微妙ですね。

図のように、３者で囲まれる部分は３ヶ所ありますが、
緑と水色をくっつけるとｘ軸が関係なくなってしまうので。
グラフを描いて、３ヶ所それぞれの面積を求めて、
３つ足しておけば減点されることはないでしょう。
両方ｙ＝・・・かと勘違いしていましたので、取り消します。
No.22909 - 2013/10/26(Sat) 10:04:48
☆ Re: 面積 / ＿
指針：
(1)曲線の概形と位置関係や交点の座標を求める。
(2)まず曲線の概形を掴むために、θを消去してみましょう。
(パラメータθによる点(x,y)の描く曲線かと思われます＞ヨッシーさん)

それから面積は積分で。

……ん、「初めまして」？
No.22910 - 2013/10/26(Sat) 10:05:11
☆ Re: 面積 / ヨッシー
あ、(2) の方は完全に勘違いですね。

すみません。
No.22911 - 2013/10/26(Sat) 10:08:16
☆ Re: 面積 / 辻風
すいません、返信遅れてしましました。

問題は無事に解決しました。ありがとうございます。
No.22915 - 2013/10/27(Sun) 08:34:04
★ 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / 潤一郎
ヨッシー先生こんばんは。又よろしくお願いします。
僕は組み合わせや場合の数など何から考えて
どのように取り組めばいいのかさっぱりわかりません。
問題の意味もわかりません。
例えばこの問題と載せたかったのですが全てが分らないのです。どうか勉強法を教えて下さい。NO２２８７５さんを見ていても全くわかりません。どうか小学生に教えるように
１から何を勉強すればいいのか教えて下さい。
No.22903 - 2013/10/25(Fri) 23:27:29
☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / ヨッシー
(1)
Ａ，Ｂ　２つの文字を１列に並べる並べ方は
　ＡＢ
　ＢＡ
の２通りです。
Ａ，Ｂ，Ｃ　３つの文字を１列に並べる並べ方は
　ＡＢＣ
　ＡＣＢ
　ＢＡＣ
　ＢＣＡ
　ＣＡＢ
　ＣＢＡ
の３通り６通りです。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　４つの文字を１列に並べる並べ方を上のように書き並べて求めなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　５つの文字を１列に並べる並べ方を上のように書き並べて求めなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ　６つの文字を１列に並べる並べ方を上のように書き並べて求めなさい。

(2)
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ ４つの文字から２つ選んで並べる並べ方は
　ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，
　ＢＡ，ＢＣ，ＢＤ，
　ＣＡ，ＣＢ，ＣＤ，
　ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ
の１２通りです。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ ４つの文字から３つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ ５つの文字から２つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ ５つの文字から３つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ ６つの文字から２つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ ６つの文字から３つ選んで並べる並べ方を書き上げましょう

(3)
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ ４つの文字から２つ選んで並べる並べ方は
　ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，
　ＢＡ，ＢＣ，ＢＤ，
　ＣＡ，ＣＢ，ＣＤ，
　ＤＡ，ＤＢ，ＤＣ
の１２通りです。これらを、使われている文字が同じものを（　）でくくると、
　（ＡＢ．ＢＡ），（ＡＣ，ＣＡ），（ＡＤ，ＤＡ），
　（ＢＣ，ＣＢ），（ＢＤ，ＤＢ），（ＣＤ，ＤＣ）
で、（　）の中には２つずつの並べ方があり、（　）は全部で６個あります。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ ４つの文字から３つ選んで並べる並べ方は
　ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＣＢ，ＡＣＤ，ＡＤＢ，ＡＤＣ，
　ＢＡＣ，ＢＡＤ，ＢＣＡ，ＢＣＤ，ＢＤＡ，ＢＤＣ，
　ＣＡＢ，ＣＡＤ，ＣＢＡ，ＣＢＤ，ＣＤＡ，ＣＤＢ，
　ＤＡＢ，ＤＡＣ，ＤＢＡ，ＤＢＣ，ＤＣＡ，ＤＣＢ
の２４通りです。これらを、使われている文字が同じものを（　）でくくると
　（ＡＢＣ，ＡＣＢ，ＢＡＣ，ＢＣＡ，ＣＡＢ，ＣＢＡ），
　（ＡＢＤ，ＡＤＢ，ＢＡＤ，ＢＤＡ，ＤＡＢ，ＤＢＡ），
　（ＡＣＤ，ＡＤＣ，ＣＡＤ，ＣＤＡ，ＤＡＣ，ＤＣＡ），
　（ＢＣＤ，ＢＤＣ，ＣＢＤ，ＣＤＢ，ＤＢＣ，ＤＣＢ）
で、（　）の中には６つずつの並べ方があり、（　）は全部で４個あります。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　５つの文字から２つを選んで並べたものについて、上と同じように（　）を使って書き上げなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　５つの文字から３つを選んで並べたものについて、上と同じように（　）を使って書き上げなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　６つの文字から２つを選んで並べたものについて、上と同じように（　）を使って書き上げなさい。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ　６つの文字から３つを選んで並べたものについて、上と同じように（　）を使って書き上げなさい。

こういう地道な書き上げを、これまで（あるいはこれから）どれだけやってきたか、ということに尽きます。
6Ｃ3 という記号や　6!/(3!3!) というような公式はそのあとです。

こちらの問題にしても
　(CDABE,DCABE),(CDAEB,DCAEB),(CDBAE,DCBAE),
　(CDBEA,DCBEA),(CDEAB,DCEAB),(CDEBA,DCEBA),
　(CADBE,DACBE),(CADEB,DACEB),(CBDAE,DBCAE),
　(CBDEA,DBCEA),(CEDAB,DECAB),(CEDBA,DECBA),
　(CABDE,DABCE),(CAEDB,DAECB),(CBADE,DBACE),
　(CBEDA,DBECA),(CEADB,DEACB),(CEBDA,DEBCA),
　(CABED,DABEC),(CAEBD,DAEBC),(CBAED,DBAEC),
　(CBEAD,DBEAC),(CEABD,DEABC),(CEBAD,DEBAC),
　(ACDBE,ADCBE),(ACDEB,ADCEB),(BCDAE,BDCAE),
　(BCDEA,BDCEA),(ECDAB,EDCAB),(ECDBA,EDCBA),
　(ACBDE,ADBCE),(ACEDB,ADECB),(BCADE,BDACE),
　(BCEDA,BDECA),(ECADB,EDACB),(ECBDA,EDBCA),
　(ACBED,ADBEC),(ACEBD,ADEBC),(BCAED,BDAEC),
　(BCEAD,BDAEC),(ECABD,EDABC),(ECBAD,EDBAC),
　(ABCDE,ABDCE),(AECDB,AEDCB),(BACDE,BADCE),
　(BECDA,BEDCA),(EACDB,EADCB),(EBCDA,EBDCA),
　(ABCED,ABDEC),(AECBD,AEDBC),(BACED,BADEC),
　(BECAD,BEDAC),(EACBD,EADBC),(EBCAD,EBDAC),
　(ABECD,ABEDC),(AEBCD,AEBDC),(BAECD,BAEDC),
　(BEACD,BEADC),(EABCD,EABDC),(EBACD,EBADC)
のように、書き上げるのが基本です(もちろん、最初はカッコは付けません)。

私などはそれこそ小学１年の頃からこういうことをやっていますので、
書き上げなくても、「ＣとＤ入れ換えたものが同数ずつある」と
「過去に書き上げた経験から」思いつくことが出来ます。
No.22906 - 2013/10/26(Sat) 09:34:57
☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / angel
ヨッシーさんではないですが、参考になれば。

まずは、教科書に書いてあることは最低限押さえること。
積の法則や樹形図と、そこから ! (階乗) や Ｐ (順列)、Ｃ (組み合わせ) の計算ですね。
さっくり探してみたら
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/index_m.htm
とかでもまとめてありますね。

後は心構えというか、取り組み方の問題ですが、
面倒でも慣れるまでは、全通り書きだすこと。
…といっても、何百通りともなると実際大変ですから、そういう場合は問題規模を小さくしてやってみて、だんだん大きな規模にしていく。これは「帰納法」と同じ考え方ですね。

例えば、No.22875の質問の場合、A〜Eの並び方は120通りありますが、これなら何とか書き出せるでしょう。
※別に紙でなくても、パソコンのメモ帳なんかでタイプしても良いわけで
でも、Eをなくして4文字なら ( 24通り ) とか、A,Eもなくして3文字なら ( 6通り ) とかならもっと楽に書き出せるわけで、そこから傾向を探っていくのが有益です。

なお、書き出す時には、ただダラダラやってもダメで、必ず「面倒だからなんとかラクできないだろうか」というのは意識します。そこから規則性を見つけることで、数式を使って答えを導けるようになるのです。

後もう一つは、考え易い別の問題に置き換えられないかどうか、常に意識すること。
※これは場合の数に限った考え方ではないのですが…
いきなり自力では苦しいかも知れませんが、他の人の考え方も参考にして、こういう感覚を身につけると、大分やりやすくなります。

例えば、またNo.22875の例で行くと…
ちょっとイメージを変えて、A〜Eを「文字」ではなく「人物」にしてみましょう。すると、

　A〜Eの5人を一列に並べ、C,Dのどちらが左かを考える。
　⇔ 1〜5の札(トランプとか)を用意してA〜Eに配り、
　　A〜Eはその番号順に左から並ぶ。
　　その上でC,Dのどちらが左かを考える。( 札の数が小さい方が左 )
　⇔ 1〜5の札を用意してA〜Eに配り、C,Dのどちらが札の数が小さいか考える。
　⇔ 1〜5の札を用意してC,Dに1枚ずつ配り、どちらが小さいか考える。
　　その後残った3枚の札はA,B,Eに配るけど、これは答えには影響しない。

違うことを言っているようで、実は問題としては全く内容です。後の方を見れば「CとDが対等」という感覚にも頷けるでしょうか?

場合の数の問題が得意な人 ( 高校生と言わず小学生でも ) は、大抵こういう問題の置き換えが得意で、意識しなくても頭の中で問題を組み替えて分かり易い形にして、そこから式を組み立てるものだと思います。
No.22908 - 2013/10/26(Sat) 10:02:35
☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / 潤一郎
ヨッシー先生。沢山の例ありがとうございました。
本当に僕は馬鹿だと自分で思っています。でもこのサイトを
毎日見て勉強をさせてもらっています。英語はペラペラでも
数学を落とすことはできません。どうかもう少し助けて下さい。小学生に戻りたいと思います。馬鹿だと思ってもどうか
助けて下さい。朝から頑張っていましたが。まず本当にすみませんがここからお願いします。笑わないで教えて下さい。

Ａ，Ｂ，Ｃ　３つの文字を１列に並べる並べ方は
　ＡＢＣ
　ＡＣＢ
　ＢＡＣ
　ＢＣＡ
　ＣＡＢ
　ＣＢＡ
の３通りです。

とありますが、ここの考え方からお願いします。
どうして６通りではないのですか？
３通りなのですか？すみません。馬鹿で。
No.22912 - 2013/10/26(Sat) 15:07:34
☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / ヨッシー
アイヤー。
それは、３通りではなくて６通りです。

それで朝から悩んでたとしたら申し訳ない。
No.22913 - 2013/10/26(Sat) 15:13:55
☆ Re: 順列　確率　組み合わせ　場合の数など / 潤一郎
ヨッシー先生ありがとうございます。
少し良かったです。

あとまだまだ頑張ってみます。又頑張ったあとお礼します。
申し訳ありませんでした。
No.22914 - 2013/10/26(Sat) 17:30:27
★ 不等式 / mizukuma
xが負の整数のとき、不等式3x-5(x+1)+4を満たすxの値をすべて求めよ。

答はx=-1,-2,-3です

お願いします
No.22899 - 2013/10/25(Fri) 22:41:50
☆ Re: 不等式 / らすかる
3x-5(x+1)+4 は不等式ではありません。
No.22901 - 2013/10/25(Fri) 23:07:43
☆ Re: 不等式 / mizukuma
すみません。
3x-5<7(x+1)+4です。
No.22902 - 2013/10/25(Fri) 23:22:40
☆ Re: 不等式 / らすかる
3x-5＜7(x+1)+4
右辺を展開して
3x-5＜7x+7+4
右辺の定数を足して
3x-5＜7x+11
左右を交換して
7x+11＞3x-5
両辺から3xを引いて
4x+11＞-5
両辺から11を引いて
4x＞-16
両辺を4で割って
x＞-4
-4より大きい負の整数は-1,-2,-3です。
No.22905 - 2013/10/26(Sat) 00:48:09
★ 直線と線分 / L
A(3,0),B(0,3)とし,直線L:2ax+(a-2)y+b=0 とする。
直線Lと線分AB(両端も含む)が共有点を
もつa,bの条件を求めて,ab平面に図示せよ。
を　お願いします。
No.22893 - 2013/10/25(Fri) 11:29:38
☆ Re: 直線と線分 / ヨッシー
ＡＢ上の点を、
　(3(1-t), 3t)　0≦ｔ≦1
とします。直線Ｌがこの点を通るとき、
　6a(1-t)＋3(a-2)t＋b＝０
これをｔについて解いて、
　ｔ＝(6a+b)/(6+3a)　ａ≠−２
　0≦(6a+b)/(6+3a)≦1
ａ＞−２ のとき
　0≦6a+b≦6+3a
ａ＜−２　のとき
　0≧6a+b≧6+3a
これを踏まえてａｂのグラフを描くと以下のようになります。

No.22894 - 2013/10/25(Fri) 14:21:51
☆ Re: 直線と線分 / L
図まで添えていただき感謝します。

楕円　x^2/2^2+y^2=1 と　x,y 軸の交点　A=(0,1),B=(2,0) としたとき

　(第一象限　の　楕円の一部の）曲線分　AB の　場合；

直線L:2ax+(a-2)y+b=0 とする。
直線Lと曲線分AB(両端も含む)が共有点を
もつa,bの条件を求めて,ab平面に図示せよ。
を　お願いします。

No.22895 - 2013/10/25(Fri) 15:59:56
★ 図形問題 / かねこ
はじめまして、よろしくお願いします
塾の先生にもらった問題なんですが難しくて解けません…
難しい回答でもいいので教えてください。

ABCDは長方形で面積は24cm^2
点EはBCの中点、∠BDFは90°でDE=DF
△DEFの面積は18cm^2
このとき△CEFの面積はいくつか
No.22891 - 2013/10/25(Fri) 02:29:33
☆ Re: 図形問題 / らすかる
BE=CE=a, CD=b とすると 2ab=24 なので ab=12
DF=DE=√(CE^2+CD^2)=√(a^2+b^2)
BD=√(BC^2+CD^2)=√(4a^2+b^2)
△DBE=(1/4)□ABCD=6
EからBDに垂線EHを下ろすと
EH=6×2÷BD=12/√(4a^2+b^2)
DH=√(DE^2-EH^2)=√{a^2+b^2-144/(4a^2+b^2)}
△DEF=△DHF=DF×DH÷2=√(a^2+b^2)・√{a^2+b^2-144/(4a^2+b^2)}/2=18
b=12/aを代入してbを消去し、整理すると
a^12-1008a^8-20736a^4+746496=0
この方程式は正の実数解を2個持つが、図に適する解は
a={48(7-(4√13)sin(arcsin(2969√13/10816)/3))}^(1/4)
=2.08565056338772024616…
FからCDに垂線FMを下ろすと
△FDM∽△DBC なので
DM=(BC/BD)DF=(2a)√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)
CM=CD-DM=b-(2a)√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)
△CEF=CE×CM÷2=a{b/2-a√(a^2+b^2)/√(4a^2+b^2)}
=a{6/a-a√(a^2+(12/a)^2)/√(4a^2+(12/a)^2)}
={12(a^4+36)-a^2√{(a^4+144)(a^4+36)}}/{2(a^4+36)}
これに上記のaの式を代入したものが答えです。
近似値は
△CEF=2.25398173987111266963…

整理したら
△CEF=6-(4√30)sin(arcsin(9√30/100)/3)
となりました。
No.22892 - 2013/10/25(Fri) 06:02:06
☆ Re: 図形問題 / ab
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/003/138269444395614479225.gif

　　　　　　　　　となりました。
No.22896 - 2013/10/25(Fri) 18:51:09
☆ Re: 図形問題 / らすかる
> abさん
その図は問題の条件と合っていないと思います。
∠EDF=90°ではなく、∠BDF=90°です。
No.22898 - 2013/10/25(Fri) 22:14:05
☆ Re: 図形問題 / ab
> > abさん
> その図は問題の条件と合っていないと思います。
> ∠EDF=90°ではなく、∠BDF=90°です。

失礼しました。
読み間違えておりました。
No.22900 - 2013/10/25(Fri) 22:53:03
☆ Re: 図形問題 / ab
>塾の先生にもらった問題

なら　解答を　入手可の筈です


(問題がその通りの)


解答を入手し　ここに　是非　提示願います。
No.22904 - 2013/10/26(Sat) 00:39:30
☆ Re: 図形問題 / かねこ
たくさんの解答ありがとうございました。
三角関数は分かるのですが、逆三角関数(？)はちょっと難しすぎました；；

おととい塾で質問してみたら、とても申し訳ないのですが、問題を映し間違えてきていたみたいで、∠EDF=90°だったみたいです。
そうしたら2次方程式を解くだけになって解けました…
その場合の答は3√5-3になります。先生も正解と言っていました。

∠BDF=90°の場合の式を聞いてみたら、1日かかると言われ、昨日答えを教えてもらいました。
---------------------
答ですが
x^3-1008x^2-20736x+746496=0の一つの正の解をtとしたとき
{ 12(t+36)-√[t(t+36)(t+144)] }/{2(t+36)}
になります。
------------------
とのことでした。
No.22924 - 2013/10/28(Mon) 01:29:29
☆ Re: 図形問題 / らすかる
私が上で書いた
> a^12-1008a^8-20736a^4+746496=0 の解を
> △CEF={12(a^4+36)-a^2√{(a^4+144)(a^4+36)}}/{2(a^4+36)}
> 代入したものが答え
と同じですね。
しかしこれはもっと整理できます。
△CEFは、方程式 x^3-18x^2-252x+648=0 の、2と3の間にある解です。
この答えを、電卓などで計算できる式の形で解いたものが
x=6-(4√30)sin(arcsin(9√30/100)/3)
となります。
（この値は、有理数と四則演算と累乗根では多分書けません。）

塾や学校でこんな問題を出すとは考えられませんので、
出題ミスか問題の写し間違いのどちらかだろう、とは思っていました。
No.22925 - 2013/10/28(Mon) 02:05:52
☆ Re: 図形問題 / ab

> おととい塾で質問してみたら、とても申し訳ないのです...
>
> ∠BDF=90°の場合の式を聞いてみたら、1日かかると言われ、昨日答えを教えてもらいました。
> ---------------------
> 答ですが
> x^3-1008x^2-20736x+746496=0の一つの正の解をtとしたとき
> { 12(t+36)-√[t(t+36)(t+144)] }/{2(t+36)}
> になります。
> ------------------
> とのことでした。

●　今となっては　代数的数　が　出現する　ので　ミス　の　方が　ステキ!!!!!


　a^12-1008 a^8-20736 a^4+746496=0 を　解けば　長さ　a が獲られる。

b^12-576 b^8-580608 b^4+11943936=0 を　解けば　長さ　b が獲られる。

S^3-18 S^2-252 S+648=0 を　解けば　面積 S が獲られる

と　「塾先生に提示し」　解いて下さい　と　お願いして

その顛末を　報告願います。

No.22926 - 2013/10/28(Mon) 12:02:14
★ 条件つき最大最小 / みなみ
⑵最大、最小をとるxの範囲なんですが、どうしてx=2で最大6と決定してしまうのですか？xの範囲が決められてないのなら、x=3で最大値45でもいいと思うのですが。(最小でも同じく)
No.22887 - 2013/10/24(Thu) 22:16:44
☆ Re: 条件つき最大最小 / ＩＴ
条件から -2/3≦x≦２　に限られてるのでは？
No.22888 - 2013/10/24(Thu) 22:41:17
☆ Re: 条件つき最大最小 / みなみ
> 条件から -2/3≦x≦２　に限られてるのでは？


気づかなかったです！ありがとうございます
No.22890 - 2013/10/25(Fri) 02:10:28
★ 場合分け / A
Sin[t] + Sin[t]^2=a (　t∈[0,2*Pi) )

に　ついて　解の　個数の　分類を　お願いします。
No.22883 - 2013/10/24(Thu) 16:40:05
☆ Re: 場合分け / ヨッシー
f(t)=sin^2(t)+sin(t) とおきます。
f’(t)＝2sin(t)cos(t)＋cos(t)
　　＝cos(t){2sin(t)+1}
よって、f’(t)＝0 となるのは、
　t＝π/2, 7π/6, 3π/2, 11π/6
f(0)＝0, f(π/2)＝2, f(7π/6)＝-1/4, f(3π/2)＝0, f(11π/6)＝-1/4
これを踏まえて、ｙ＝f(t) のグラフを描いて、ｘ軸に平行な
直線 ｙ＝ａ との交点の数を、ａの値に従って求めていきます。
No.22885 - 2013/10/24(Thu) 20:24:37
☆ 別解 / angel
2次方程式と三角関数の組み合わせと見て、解くこともできます。
0≦t＜2πであれば、-1≦sint≦1で、±1を除いて、sintの値に対応するtは2個あります。
なので、f(x)=x+x^2 ( -1≦x≦1 ) のグラフから場合分けを試みます。
このグラフは、(-1/2,-1/4) を頂点とする放物線で、f(-1)=0, f(1)=2 なので、
　f(x)=-1/4　…　x=-1/2の重解
　-1/4＜f(x)＜0　…　-1＜x＜0 に2解
　f(x)=0　…　x=0,-1
　0＜f(x)＜2　…　0＜x＜1 に1解
　f(x)=2　…　x=1
と場合分けできます。
後は sint=x としてtの解の個数を数えましょう。
No.22886 - 2013/10/24(Thu) 20:55:25
★ 積分 / 高3です
解けなくて困っています！
数学3・Cの問題です。
eを自然対数の底とする。関数f(x).g(x)は全ての実数xに対してf(x)g(x)=??(e^4t^+1/2e^2t)dt,d/dx{f(x)+g(x)}=2e^2xをみたし、g(0)=1である。
(1)f(x)g(x)を求めよ。
(2)f(x)＋g(x)を求めよ。
(3)全ての実数xに対して、f(x)<g(x)を満たすとき、f(x),g(x)および極限値lim x→+∞ f(x)／g(x)を求めよ
No.22880 - 2013/10/24(Thu) 02:00:15
☆ Re: 積分 / X
＞＞f(x)g(x)=??(e^4t^+1/2e^2t)dt
とありますが、タイプミスではありませんか？
^の使い方のミスや必要だと思われる括弧をこちらで
補正して解釈したとしても、この式の右辺を
不定積分と解釈するとtの関数になってしまい、
左辺とは変数が一致しません。
問題文は正確にアップして下さい。
No.22881 - 2013/10/24(Thu) 02:28:47
★ 場合の数と確率(高一) / ゆぅ

考え方がさっぱり分かりません…。
解説お願いしますm(__)m

〈問〉A,B,C,D,Eの5文字を横一列に並べるとき、CがDより左側にある確率を求めよ。

〈答え〉1/2
No.22875 - 2013/10/23(Wed) 22:30:35
☆ Re: 場合の数と確率(高一) / ＩＴ
CとDは対等なので
　CがDより左側にある確率=DがCより左側にある確率　…(1)
CがDより左側にあるか、そうでないか（DがCより左側にある）なので
　CがDより左側にある確率+DがCより左側にある確率＝1 …(2)

(1)を代入　CがDより左側にある確率＋CがDより左側にある確率＝1
よってCがDより左側にある確率＝1/2
No.22876 - 2013/10/23(Wed) 23:05:17
☆ Re: 場合の数と確率(高一) / ヨッシー
ある並べ方とその中のＣとＤを入れ換えた並べ方、例えば、
　ＡＣＥＢＤ　と　ＡＤＥＢＣ
は一方が「ＣがＤより左」もう一方が「ＣがＤより右」で、
こういうペアが、必ず２つずつあるので、
　「ＣがＤより左」と「ＣがＤより右」
は、1/2 ずつです。
No.22877 - 2013/10/23(Wed) 23:08:47
☆ Re: 場合の数と確率(高一) / ＩＴ
「CとDは対等なので」が納得できなければ

A,B,C,D,Eの5文字を横一列に並べた順列に対して
CとDを入替えた順列を考えると、一対一に対応している。

そして、もとの順列でCがDより左側にあれば、入替えた後の順列では、逆になる。逆の場合も同様。
No.22878 - 2013/10/23(Wed) 23:13:12
☆ Re: 場合の数と確率(高一) / ゆぅ
そういう考え方をするんですね??(ﾟДﾟ)
初めて知りました…笑

ITさん、ヨッシーさん
分かりやすい解説ありがとうございましたm(_ _)m
No.22882 - 2013/10/24(Thu) 05:21:10
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