ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ラスティ

図のように

No.22636 - 2013/10/04(Fri) 23:50:07

☆ 図形の問題　数1・A / ラスティ

ごめんなさい。ミスしてしまいました。
恥ずかしながら(1)から解けなくて困っています。

問題は
△ABCの二辺AB,ACの中点をそれぞれD,Eとし、線分DCを２：１に内分する点をHとして、頂点Aから点Hを通る直線と線分DEとの交点をG,辺BCとの交点をFとする。また、DB＝４、DG＝２、角ABC＝６０°である。

問題
(1)BC,DEの長さ

(2)ACの長さ

(3)△ABCの面積、また△ABCの面積は△ADGの面積の何倍であるか

No.22637 - 2013/10/05(Sat) 00:00:36

☆ 背景に「件名は必ず入れてください」と書いてあります / のぼりん

こんばんは。

（１）　△ＨＤＧ∽△ＨＣＦ、ＤＧ＝２、ＤＨ：ＨＣ＝２：１だから、
　　　ＦＣ＝１
です。 △ＡＤＧ∽△ＡＢＦ、ＡＢ：ＡＤ＝２：１だから、
　　　ＢＦ＝ＤＧ×２＝４
　　　ＢＣ＝ＢＦ＋ＦＣ＝５
です。 △ＡＢＣ∽△ＡＤＥ、ＡＢ：ＡＤ＝２：１だから、
　　　ＤＥ＝ＢＣ÷２＝５/２
です。

（２） △ＡＤＧにおいて、ＡＤ＝ＤＢ＝４、∠ＡＤＧ＝∠ＡＢＣ＝６０°、ＤＧ＝２だから、
　　　∠ＡＧＤ＝∠ＡＦＢ＝９０°
です。△ＡＢＦにおいて、
　　　ＦＢ：ＢＡ：ＡＦ＝１：２：√３
だから、
　　　ＡＦ＝√３×ＢＦ＝４√３
です。三平方の定理により、
　　　ＡＣ＝√（ＡＦ^２＋ＦＣ^２）＝√｛（４√３）^２＋１^２｝＝√（４８＋１）＝７
です。

（３） △ＡＢＣの面積＝１/２×ＢＣ×ＡＦ＝１/２×５×４√３＝１０√３
　　　△ＡＤＧの面積＝１/２×ＤＧ×ＡＧ＝１/２×ＤＧ×ＡＦ/２＝１/２×２×４√３/２＝２√３
　　　△ＡＢＣの面積÷△ＡＤＧの面積＝１０√３÷２√３＝５
です。

No.22638 - 2013/10/05(Sat) 00:45:52

☆ Re: / ラスティ

のぼりんさん返信ありがとうございます。

理解しやすい解説を投稿してもらって、とても助かります。
自分でも解けることができました。
本当にありがとうございます。

No.22639 - 2013/10/05(Sat) 06:30:00

★ 合同式について　【数A】 / アクオス

自分の使っている参考書で

473^5 ≡ 3^5(mod5) という式から余りを求める方法が書いてあるのですが

473^5 ≡　3^5 ≡　3^3　× 3^2 (mod5)

ここで　3^3≡27≡2(mod5)
3^2≡9≡4(mod5) より

475^5≡2×4≡8≡3(mod5)

という式の流れだけが書かれており、あまり意味が理解できないのですが

これは
3^5 は　3^3　× 3^2　と表すことが出来る

そして3^3≡2(mod5)
　　　3^2≡4(mod5)　

なので

ここから
a≡b (mod n), c≡d (mod n) のとき ac≡ bd (mod n)という公式を使って

3^3×3^2 ≡　2×4 (mod5)

と表すことができ

473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)だから

473^5 ≡2×4 (mod5)　　ということでもあるので

2×4を5で割った余りが3なので473^5を5で割った余りも3となる

ということを表していると考えていいのでしょうか？

もしこの考え方で合っているとしたら
その中でも質問があるのですが

473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)から
3^3×3^2 ≡　2×4 (mod5)なので
473^5 ≡2×4 (mod5)　とおける

というのは合同式の何か公式を使っているわけではなく
3^3×3^2 と　2×4　が5を法として合同だから
473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)を
473^5 ≡2×4 (mod5)と置き換えてもいいという考え方で合っているのでしょうか。

よろしくお願いします。　

No.22630 - 2013/10/01(Tue) 20:33:26

☆ Re: 合同式について　【数A】 / ヨッシー

こちらに書かれている
乗法を適用したものと考えられます。

No.22631 - 2013/10/01(Tue) 20:41:24

☆ Re: 合同式について　【数A】 / アクオス

ヨッシーさん回答ありがとうございます。
リンク先を見て、書かれている事はわかったのですが、

乗法を適用しているというのは

473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)を
473^5 ≡2×4 (mod5)と置き換える時に使われているということを言われているのでしょうか？

3^3× 3^2≡473^5　(mod5)
3^3×3^2 ≡　2×4 (mod5)

ここから
(3^3× 3^2)×473^5 ≡　(3^3×3^2)× 2×4　(mod5)
で両辺から(3^3×3^2)を消して
473^5 ≡2×4 (mod5)
となるということでしょうか?　

3^3≡2(mod5)
3^2≡4(mod5)

ここから3^3×3^2 ≡　2×4 (mod5)とする時に
乗法の公式が使われているというのはわかるのですが・・・

No.22632 - 2013/10/01(Tue) 21:38:58

☆ Re: 合同式について　【数A】 / ヨッシー

同じ wikipedia の記事に、乗法を応用した「べき」というのがあります。
以下、すべて mod 5 とします（表記は省略）
これも含めて、上の式変形を見てみると、
　473^5 ≡　3^5　・・・　473 ≡　3 および「べき」より
　3^5 ≡　3^3　× 3^2　・・・　両辺同じ数
　3^3 × 3^2 ≡ 2×4　・・・ 3^3≡2, 3^2≡4 および「乗法」より
　2×4≡8　・・・　両辺同じ数
　8≡3　　・・・　合同式の基本
という変形になっています。

これを、合同式を使わずに表すと、
　473^5＝(5n+3)^5＝(5n)^5＋5(5n)^4・3＋10(5n)^3・3^2＋10(5n)^2・3^3＋5(5n)・3^4＋3^5
　　＝5N＋3^5
　よって、473^5 を5で割った余りと、3^5 を5で割った余りは等しい

　3^3＝5a＋2, 3^2＝5b+4 より
　3^5＝3^3×3^2＝(5a+2)(5b+4)＝25ab＋20a＋10b＋8
　　＝5A＋8＝5(A+1)＋3
　よって、3^5 を5で割った余りは、８を５で割った余りと等しく、それは３である。

という意味が、合同式の変形に込められています。
(n,N,a,b,A は整数です)

No.22633 - 2013/10/01(Tue) 22:52:46

☆ Re: 合同式について　【数A】 / アクオス

ヨッシーさんありがとうございました。
まだ完全に理解できたわけではないのですが
いただいた回答をもとによく考えてみます。

No.22634 - 2013/10/02(Wed) 06:40:02

☆ Re: 合同式について　【数A】 / angel

> 合同式の何か公式を使っているわけではなく
> 3^3×3^2 と 2×4 が5を法として合同だから
> 473^5 ≡3^3× 3^2 (mod5)を
> 473^5 ≡2×4 (mod5)と置き換えてもいい
> という考え方で合っているのでしょうか。
合っています。
この「置き換えてもいい」というのは、「推移律」という性質であり、「nを法として合同」などの「同値関係」が持つ性質の一つです。
同値関係とは…、まあ言葉そのままでして、= ももちろん同値関係ですし、図形の合同(≡)や相似(∽)も同値関係です。

正しくは、「同値関係だから推移律が成立する」ではなく、「推移律などが成立することが分かっているから同値関係と認められている」なのですが…
実際問題としては、「『nを法として合同』が同値関係であること」は断りなく使ってもよい既知の事実という扱いでして。なので、「同値関係だから推移律が成立する」と言っても、あながち間違いではないです。

なお、同値関係に関する説明は、ヨッシーさんが提示されたページにも出ています。

No.22635 - 2013/10/02(Wed) 23:22:15

☆ Re: 合同式について　【数A】 / アクオス

angelさんありがとうございます。
理解することが出来ました。

No.22640 - 2013/10/05(Sat) 17:35:57

★ (No Subject) / 受験生

0≦2cosθ<2πを満たすθに対して、xyz空間の曲面Cを
x=2cosθ+sinθ-3
y=2cosθ-2sinθ+1
z=cosθ+2sinθ-3 によって定める

(1)Cはある平面α上にある。平面αの方程式を求めよ。
(2)Cはある球面S上にある。球面Sの方程式を求めよ。
(3)A(3,4,3)とする。C上の動点Pと点Aとの距離APの最大値と最小値、及びそれを与える点Pの座標を求めよ。

(1)(2)は答えは出るんですがいまいち理解できてないので詳しくお願いしますm(_ _)m

No.22615 - 2013/09/30(Mon) 19:38:35

☆ Re: / らすかる

問題が不自然です。
「0≦2cosθ＜2πを満たすθ」と書いてありますが
-2≦2cosθ≦2ですから
2cosθ＜2πは常に成り立ちます。

No.22616 - 2013/09/30(Mon) 20:46:12

☆ Re: / 受験生

すみません
0≦θ＜2πでした

No.22617 - 2013/09/30(Mon) 20:49:27

☆ Re: / らすかる

「答えは出るがいまいち理解できてない」というのは
どの部分が「理解できてない」のでしょうか。
どのように解いて、どの部分がわからないのかを
具体的に書いて頂ければ、より適切な回答が得られると思います。

No.22618 - 2013/09/30(Mon) 20:57:20

☆ Re: / 受験生

単にそれぞれの式を加減乗除して、cosθ、sinθを消去しただけです。

No.22619 - 2013/09/30(Mon) 21:49:26

☆ Re: / らすかる

加減乗除してcosθ,sinθを消去しただけだと、
「曲線Cを含む一つの図形の式」にはなりますが、
それが平面の式であっても(1)の全解とは限らないですね。
(1)は例えば次のようにすると正しい解が出せます。

θ=0 のとき (x,y,z)=(-1,3,-2)
θ=π/2 のとき (x,y,z)=(-2,-1,-1)
θ=π のとき (x,y,z)=(-5,-1,-4)
平面の式を ax+by+cz+1=0 とおいて上記のx,y,zを代入して
連立方程式を解くと、(a,b,c)=(2,-1,-2) となるので
上記3点を通る平面の方程式は 2x-y-2z+1=0
この方程式の左辺に元のx,y,zの式を代入すると0となって成り立つので、
曲線Cは平面 2x-y-2z+1=0 上にある。

No.22621 - 2013/09/30(Mon) 23:17:41

☆ Re: / 受験生

ありがとうございます！
(2)もその方針でよろしいでしょうか？

No.22622 - 2013/09/30(Mon) 23:44:50

☆ Re: / らすかる

そうですね。(2)も同じ方針でできます。

No.22623 - 2013/09/30(Mon) 23:57:09

☆ Re: / 受験生

お手数かけましたm(_ _)m

No.22624 - 2013/10/01(Tue) 00:30:30

★ 競技プログラミングの問題 / 大学1年競技プログラマー

この問題について質問です．
問題)
http://codeforces.com/contest/349/problem/C
「マフィア」というゲームをp[0],p[1],...,p[n-1]のn人(3<=n<=10^5)でプレイします．
このゲームでは，各ラウンドで1人が進行役を務め，残りのn-1人がゲームに参加します．
進行役になった人はゲームに参加できません．
p[i]がゲームに参加したい回数a[i](1<=a[i]<=10^9)が与えられます．
全てのプレーヤーが，それぞれの参加したい回数以上のラウンドに参加するために必要なラウンド数の最小値を求めなさい．
例)
n=3, (a[0],a[1],a[2]) = (3,2,2)
のとき，例えば
第1ラウンドはp[0],
第2ラウンドはp[1],
第3ラウンドはp[2],
第4ラウンドはp[2],
が進行役を務める場合にラウンド数が最小となるので，答えは4です．

この問題の最も上手い(というか数学的)と思われる解法は，
Hを (Σa[i])/(n-1) 以上の最大の整数
mをa[i]の最大値
としたとき，Hとmの大きい方であるというものです．
C++で書けば次のようになります．
http://codeforces.com/contest/349/submission/4598787

この解法について解説お願いします．

No.22608 - 2013/09/29(Sun) 01:05:57

☆ Re: 競技プログラミングの問題 / 大学1年競技プログラマー

Hを (Σa[i])/(n-1) 以上の最大の整数
↓
Hを (Σa[i])/(n-1) 以上の最小の整数

No.22609 - 2013/09/29(Sun) 01:08:57

☆ Re: 競技プログラミングの問題 / ヨッシー

解説と言われましても、
「解法は・・・・というものです」で正しいかどうかということなら「正しい」です。

なぜそれで正しいかということなら、
「mをa[i]の最大値」は当然として、

図のように、ｎ人でｍ回ラウンドを行った場合、（斜線は個々人のａの値）
黄色の部分でｍ回分の進行役をまかなえればいいので、
　ｍ×ｎ≧Σａ＋ｍ
より、ｍ≧Σａ/(n-1) となります。

C++ の書法については、解説できません。

No.22611 - 2013/09/29(Sun) 08:31:20

☆ Re: 競技プログラミングの問題 / 大学1年競技プログラマー

「黄色の部分でｍ回分の進行役をまかなえればいいので、」の発想がありませんでした
ありがとうございました。

No.22612 - 2013/09/29(Sun) 09:06:09

★ 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス

こんばんは。

自分の使っている参考書の「半円で定義した三角比」の所で

例えば135°の三角比の値を求めたい場合
半円の中に45°の直角三角形を入れて、そこから求めているのですが

半円で定義した三角比は、直角三角形とは関係ないのに
なぜ45°の直角三角形を使って、半円で定義した三角比の45°の値を求めているのだろうか、と疑問に思いました。

色々と調べてみて、ある程度の理解はできたのですが
あまり自信が持てないので確認させてください。

これは
まず「45°の直角三角形」が丁度収まる大きさである半径√2の半円を書いて
この半円に「45°の直角三角形の一番高い部分」が触れるように組み込むと
半円に触れる部分が、ちょうど「45°の三角比の値」を求めるために必要な「x座標」と「y座標」になる。
このように直角三角形を利用することで必要な座標を求めることが出来るので、
「半円で定義した三角比」であっても直角三角形を利用する。　

ということなのでしょうか。

そして45°のx座標とy座標がわかることで、
半円の中で45°の逆側の座標がちょうど135°の座標になるので
45°の座標をもとに135°の座標を求めることになる。

という考え方で合っているでしょうか。
よろしくお願いします。

No.22593 - 2013/09/26(Thu) 19:54:37

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー

まずは、「半円で定義した三角比」そのものを十分理解しないといけません。
最終的には、こちらの
↓この図のように

半円（０度以上180度以下の角）だけでなく、それ以上の角や
マイナスの角についても三角比を定義することになります。
今は初歩なので、半円にとどめているものと思われます。

ここで重要なのは、半径が１であることと、ｘ軸から反時計回りに
角度θを決めること。そして、その角度θに相当する円周上の点の
ｘ座標がcosθ、ｙ座標がsinθ であるということです。
（半径＝１は必須ではありませんが、１以外の場合は、ｘ座標を
半径で割ったものがcosθとなります。sinθも同様)

この問題では、135°に当たる点のｘ座標ａと、ｙ座標ｂを
求めることが必要ですが、その値を知るために、

このように直角二等辺三角形をあてがったものと思われます。
半径（＝斜辺)が１なら、ａ＝－√2/2、ｂ＝√2/2
半径√2 なら、ａ＝－１, ｂ＝１
半径２なら、ａ＝－√2, ｂ＝√2
となり、半径で割るといずれも、cosθ＝－√2/2, sinθ＝√2/2
となります。

****
>という考え方で合っているでしょうか。
については、どこにどういう半円を描いたのか等、読み取れませんでしたので、
何とも言えません。
上のようなことを理解されていて、その結果の考え方なら
正しいと思います。

No.22594 - 2013/09/26(Thu) 20:32:47

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス

ヨッシーさん回答ありがとうございます。
ヨッシーさんの書かれている事と自分の考えていることが同じことなのか自信が持てなかったので
自分の考えている図を描きました。
よろしくお願いします。

No.22596 - 2013/09/26(Thu) 21:28:15

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー

図の描き方は良いように思いますが、肝心なことは、この図から、
sin135°, cos135° がちゃんと求められるか？
ということです。
それは、大丈夫ですか？

sin120°, cos120° なんかはどうですか？
これも、ちゃんと半円から求められますか？

No.22597 - 2013/09/26(Thu) 21:40:46

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス

sin 135°は y座標/ 半径なので　1/√2
cos 135°は　x座標/ 半径　なので　- 1　/　√2　　　

になると思います。

sin120°を求める場合は
今度は
半径2の半円を書いて　60°の角が中央にくるように直角三角形を置けば(1,√3)の座標の所で半円と接するので
その逆の位置である(-1,√3)が120°の座標になり
そこからsin120°= √3/2　
cos120°= -1/2
が求められると思います。　

No.22598 - 2013/09/26(Thu) 21:56:08

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / ヨッシー

そうですね。

それが出来れば、どんな半径の円を描こうとも、どこに
直角三角形を置こうとも、あるいは置かなくても、三角比を
求めることが出来ます。

No.22599 - 2013/09/26(Thu) 23:09:07

☆ Re: 半円で定義した三角比について　【数?T】 / アクオス

ヨッシーさんありがとうございました。
理解することができました。

No.22600 - 2013/09/27(Fri) 06:53:39

★ 高１　xについての不等式と方程式 / Ran

xについての不等式と方程式

x/３＋（４＋k）/２＞１…?@
４（２x－k）≦５k－２x…?A
５x＾2＋９kx－２k＾2＝０…?B

がある。ただし、kは０でない定数とする
(1)不等式?@を解け。
(2)不等式?Aを解け。また、方程式?Bを解け。
(3)不等式?@、?Aをともに満たす整数xが１０個だけ存在するようなkの値の範囲を求めよ。
　さらに、このとき、方程式?Bの２つの解をα、βとすると、｜α｜＋｜β｜のとり得る値の範囲を求めよ。

どうしてもわかりません
よろしくお願いします

No.22586 - 2013/09/25(Wed) 21:03:08

☆ Re: 高１　xについての不等式と方程式 / X

(1)(2)はkを数字と見れば、これらは中学数学で学んだ
不等式、方程式を解く問題となります。
(3)は(1)(2)の結果を使いますので、
まずは(1)(2)を解いて結果をアップして下さい。

No.22587 - 2013/09/25(Wed) 21:15:23

☆ Re: 高１　xについての不等式と方程式 / Ran

(1) x＞－３－(３k)/２

(2)?Ax≦(９k)/１０
　 ?Bx＝－２k、k/５

になりました

No.22588 - 2013/09/25(Wed) 21:28:53

☆ Re: 高１　xについての不等式と方程式 / ヨッシー

?@と?Aの解より
　-3k/2－3＜ｘ≦9k/10　・・・(a)
という不等式が導かれます。（当然 -3k/2－3＜9k/10 です）
そして、この区間に整数が10個含まれている時、区間の幅
　9k/10－(-3k/2－3)＝12k/5＋3
は、だいたい１０～１２くらいのはずです。そこで、
　12k/5＋3＝11
とすると、ｋ＝10/3 となり、このとき(a) は
　-8＜ｘ≦3
となり、整数は、-7～3 の11個になっています。
k が 10/3 より少しでも小さいと、ｘ＝３は区間から外れます。
ｋを小さくしていった時、次に整数が区間から外れるのは、
　-3k/2-3＝-7
となった時で、それは k=8/3 のときです。このとき (a) は、
　-7＜ｘ≦12/5
となり、-6～2 の９個の整数が区間に含まれます。k がこれより少しでも大きいと、
-7 も含まれ 10個になります。
以上より、8/3＜ｋ＜10/3 となります。

?Bの解はｘ＝-2k, k/5 であるので、8/3＜ｋ＜10/3 の範囲では、
　|α|＋|β|＝2k＋k/5＝11k/5
と書けます。
（以下略）

No.22592 - 2013/09/26(Thu) 14:38:59

★ 連立方程式の解と、元の方程式の解の関係について / アクオス

こんにちは。
他の所でも同じ質問をさせてもらったのですが、あまり理解ができなかったので同じ質問をさせてください。

y=2x-2 ・・・・・・・・・・(1)
y=－x+4・・・・・・・・・(2)

という二つの式があった場合

(1)に(2)を代入して
2x-2=-x+4
2x+x=4+2
3x=6
3x-6=0..........(3)　という式を作る。

ここで、この連立方程式の式(3)の解が
元の式である式(1)と式(2)の交点のxになる理由がうまく理解できなかったのですが

これは
「3x-6=0」となる前の
「2x-2= -x+4」という式が「直線2x-2のyと-x+4のyが同じになる時」ということを表していて
この式から求められるxが
「直線2x-2のyと直線-x+4のyが同じになる時のxの値」を表しているから
元の式である式(1)と式(2)の交点のxになる　ということでしょうか？

そして、もしそうであれば
例えば
2x-2=0で求められるxは
「直線2x-2のy が直線0xのy と同じになる時のxの値」
ということになるのでしょうか?

直線0xとは　0x=y　という直線の事を表しています。
「直線0x=yはy=0、つまりx軸のことだ」と指摘されたのですが
自分の中ではそれだとイメージしにくいので、このように書いてます。

間違っている部分があればよろしくお願いします。

No.22581 - 2013/09/24(Tue) 18:03:04

☆ Re: 連立方程式の解と、元の方程式の解の関係について / ヨッシー

直線0x は、直線 y=0x と書く方が良いでしょう。それ以外に
間違っている部分はありませんし、連立一次方程式の場合は
ｘ＝４などのように、ｙ軸に平行な直線が出てくる場合を除いては、
この考え方一辺倒で押し通すことは出来ます。

ただし、解くテクニックとしては消去法(加減法)のように楽に解ける
（特に分数の苦手な人には）方法もあるので、覚えておいてください。

No.22582 - 2013/09/24(Tue) 20:42:25

☆ Re: 連立方程式の解と、元の方程式の解の関係について / アクオス

ヨッシーさんありがとうございます。
理解できました。

No.22583 - 2013/09/24(Tue) 21:07:25

★ (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / ぱー子さん

4x-3y+5=0,x+2y-7=0の交点と点(-3,4)を通る直線を求めよ。

で
(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数)
を利用するらしいですが
どうして,kが付くのでしょうか?

kが付く理由がどうしても分りません。

No.22572 - 2013/09/21(Sat) 00:17:18

☆ それは「なぜ?」のポイントがずれているような… / angel

「なぜkが付くのか?」の理由を求めても、答えはどこからも返ってこないと思います。

あくまで、

　2直線 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0 ( ただし ab'-a'b≠ 0 ) の交点を通る直線は、
　適切な定数 k を選ぶことにより、(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 と表すことができる。
　※ただし a'x+b'y+c'=0 自身を表すことはできない

という事実があるだけです。

ただ「交点を通る」だけでは、条件を満たす直線 ( と、それに対応する k ) は無数にあるわけですが、今回は「点(-3,4)を通る」という条件があるので、候補を絞ることができて、最終的に k の値を決定することで答えとなる直線を求めよう、という方法がとれます。

何か理由があって直線の式にkをつけました、みたいな話ではないのです。

もし何か考えるのであれば、なぜ上のような事実が成り立つのか、とか、どうすればそのような事実を見つけられるのか ( どこに手掛かりがあるのか )、といったところなら有意義でしょうけれど。

No.22573 - 2013/09/21(Sat) 09:24:14

☆ Re: (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / ぱー子さん

ご回答誠に有難うございます。

ふーむ。なかなか難しいんですね。
授業中にさりげなくこのkが登場した際,数学の先生に聞いたのですが「実は俺にも何故kを付ければいいのか分らないんだ」という返事だったので投稿してしまいました。

No.22578 - 2013/09/22(Sun) 08:33:42

☆ Re: (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / angel

> 数学の先生に聞いたのですが「実は俺にも何故kを付ければいいのか分らないんだ」という返事だった

ちょっとそれは…先生としてどうなの、という気がするのですが…
※尤も、私は世間一般の先生というものを ( 失礼ながら ) 余り信用はしていないので、特に驚きはしないのですが。
※私が「答えが返ってこない質問だ」と言ったように、その先生も回答が難しいと考えて、その場をごまかしたという可能性はあるかも知れません。

No.22579 - 2013/09/22(Sun) 09:01:48

☆ Re: (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / ぱー子さん

そうだったのですか。了解いたしました。

No.22580 - 2013/09/23(Mon) 23:06:22

☆ Re: (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 (kは定数) / ヨッシー

このｋのイメージはつかんでおいた方が良いと思います。
　ax+by+c=0　　　・・・(1)
　a'x+b'y+c=0　　・・・(2)
という２つの直線があって、
　(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0　・・・(3)
という第３の直線を考えます。この直線が(1)(2) の交点を
通ることは異論のないところとして、
ｋ＝０のときは(3) には、(2) の影響は全くなくて、(1) と同じグラフになります。
ｋを無限に大きくしていくと、(3) は (2) にほとんど支配され、
(2) のグラフに近づきますが、(1) も少しは残っているので、
完全には重なりません。
ｋをマイナスで無限に小さくしても同様です。

そのうち、２つの円の交点を通る円、などでも同じ考え方が出てきます。

No.22584 - 2013/09/25(Wed) 01:05:01

★ 「確率」の「場合の数」の考え方について / アクオス

こんばんは。
先週No.22523で確率の考え方について質問させてもらったものです。
ヨッシーさんとangelさんに回答をいただき、ある程度理解できたのですが、その後、あらためて深く考えていると完全にわけがわからなくなってしまい、もう一度ゼロから考えてみました。

この自分の考え方が正しいのかわからないので確認させてもらいたいので投稿させてもらいました。

私がわからなかったのは、
単なる組み合わせの数では同形の物は同じものとみなすのに、なぜ確率では区別をつけないといけないのか
なぜ区別をつけなかったものでは「同様に確からしい」という条件を満たせないのか

というところだったのですが、
もう一度、整理して考えてみて、下のような考え方にたどりつきました。

------------------------------------------------------

★確率を計算する時に必要な「場合の数」

「全ての根元事象が同様に確からしいとき　　　事象Kの起こる確率(P)は　　事象Kの場合の数　/全事象Uの場合の数」

の公式を利用をして確率を求めるためには、まず
「全ての根元事象が同様に確からしいときの全事象Uの場合の数」
簡単に表現すると
「全てが同じ確率で起こる全事象Uの場合の数」を求める必要がある。

例えば
「アルファベット「A」3個とアルファベット「B」1個から、2個取る時に両方「A」である確率」を求めたい場合

アルファベット「A」3個、「B」1個から2個取る事象」の「全てが同じ確率で起こる全事象Uの場合の数」を求めるためには
例えば、全事象のうち「A B」という組み合わせの場合は「A1 B」という場合の数だけでなく「A2 B」と「A3 B」という場合の数も含めなくてはいけない。

なぜなら、
もしA3個を「区別がつかないもの」として考えて計算してしまった場合、「全事象の場合の数」が「A A」「 AB 」の二つになってしまう。
これでは「A B」という組み合わせで見た場合、組み合わせのうち、「A1 B」「A2 B」「A3 B」のなかの「A1 B」の分しか含まれていない。
Aが3個あるので「A　B」という組み合わせで見た場合　「A1 B」と「同じ確率で起こる事象」は他に「A2 B」「A3 B」があり
「区別がつかないもの」として計算した場合は、「A」が3個ある場合の「全てが同じ確率で起こる全事象Uの場合の数」を正確に求めることが出来ていない。

公式の中の「事象Kの場合の数」という部分も、「全てが同じ確率で起こる全事象Uの場合の数」の中の「事象Kの場合の数」ということなので
当然、「A」を区別できるものとして計算した「場合の数」を求めなければいけない。

「A」3個という条件のついた確率を上の公式を使って求める場合、「A」3個を区別して計算した「場合の数」からでないと求められない。
「A」3個を区別のつかない物とみなして求めた「場合の数」は、組み合わせの1パターンにつき「A」2個分足らないので、「A」3個の確率とは全く関係の無いものになってしまっている。

★単なる組み合わせの数を求めるための「場合の数」

確率の計算に関係の無い「場合の数」を求める時は
例えば、ただ「組み合わせの数」を知りたいだけという場合は
「全ての場合の数が同じ確率で起こる」という条件が無いので
「A」3個と「B」1個の中から2個とる組み合わせの数の場合、
「A」は区別のつかないものと考えて、重複した組み合わせを除外することが出来るので
「A　B」という組み合わせの場合、「A1 B」の１パターン　だけと考えることが出来る。

おかしな部分があれば指摘してください。

長くなりすぎましたが、よろしくお願いします。

No.22563 - 2013/09/19(Thu) 21:43:38

☆ Re: 「確率」の「場合の数」の考え方について / angel

うーん…。いや、おかしいかどうかという話なら、別におかしくはないのですが…。
私の恩師の言葉を借りるなら、「合ってはいるが正解ではない」となるでしょうか。これは、特段、アクオスさんの考えを否定しているわけではなくて。
組み合わせや確率の問題を迷わず正しく考えるためのガイドラインとして、アクオスさんがこれでスッキリするのなら、十分に有用であると思います。
ただ、注意が必要なのは、これはアクオスさんの元々の「なぜ?」の答えにはなっていないというところ。そこさえ認識していれば、特に問題はありません。

No.22564 - 2013/09/20(Fri) 08:38:28

☆ Re: 「確率」の「場合の数」の考え方について / angel

一点、訂正というか補足というか。
アクオスさんの2番目の「なぜ?」に対しては正解になっていると思いますよ。

まあ、後はもう数学ではない話になるのですが…
次の2つの問いの違いを考えてみてもいいかも。( そんな真剣に考える必要はない )
(1) 今財布に、10円玉、50円玉、100円玉が5枚ずつ入っています。この中から合計2枚で丁度払える金額は何通りでしょうか。…答6通り
(2) あなたは昔のコインを収集していて、10円玉、50円玉、100円玉を5枚ずつ持っています。この中から2枚、同じコレクターである友達にあげる場合、何通りの選び方があるでしょうか。…答多分105通り

No.22565 - 2013/09/20(Fri) 09:26:46

☆ Re: 「確率」の「場合の数」の考え方について / アクオス

angelさんありがとうございます。
今、いただいた回答をもとに考えていることがあるのですが
、考えがまとまらないので明日か明後日に返信させてもらいます。
時間がある時にまた見てください。
よろしくお願いします。

No.22570 - 2013/09/20(Fri) 21:46:50

☆ Re: 「確率」の「場合の数」の考え方について / アクオス

angelさんありがとうございます。

angelさんが書かれているのは
私の説明では
「なぜ確率で「区別をつけなかったもの」では「同様に確からしい」という条件を満たせないのか」

ということしか説明できていなく

「単なる組み合わせの数では同形の物は同じものとみなすのに、なぜ確率では区別をつけないといけないのか」

ということに関しての説明が出来ていないということだと思います。

その事についての説明も考えたので見てください。

・組み合わせや順列で同形の物に区別をつけない理由

確率の計算と違い「全ての場合の数が同じ確率で起こる」という条件が無いのと

「A」3個と「B」1個の中から2個とる組み合わせの数を求める場合、
この組み合わせの数は、「A」が3個、「B」が1個ある時の「A」「B」の選び方のパターンを求めるのが目的なので
例えば「A1 B」「A2 B」「A3　B」という組み合わせのパターンは　Aは同じ種類なので区別ができないものと考え、重複した組み合わせを除外して
「A　B」という組み合わせは「A B」１パターン　だけと考えることが出来る。

順列の場合は
「A」3個と「B」1個ある時の並び方の数を求める場合、
この順列は「A」が3個、「B」が1個ある時の「A」「B」の並び方のパターンを求めるのが目的なので
例えば「A1 A2 A3 B」「A1 A3 A2 B」「A2 A1 A3　B」「A2 A3 A1 B」　「A3 A1 A2 B」　「A3 A2 A1 B」
というパターンは　Aは同じ種類なので区別ができないものと考え、重複した並び方のパターンを除外して
「A A A B」という並び方は「A A A B」１パターン　だけと考えることが出来る。

・確率で区別をつけないといけない理由は

上に書いたように公式を使うために「同じ確率で起こる場合の数」を求めることが必要なため。

あまり変わっていないのですが、
組み合わせや順列でこのように同形の物がある場合、4個それぞれのことではく、「A」「B」の並び方の数、組み合わせ数を求めるのが目的であるということが
区別をしない理由になる、と考えました。

これは「単なる組み合わせの数では同形の物は同じものとみなすのに、なぜ確率では区別をつけないといけないのか」ということが説明できているでしょうか？

angelさんが書かれている問題の場合は

(1)は、組み合わせ数を求める目的が「2枚で丁度の金額が払える組み合わせを求めるため」なので10円、50円、100円のそれぞれのコインは区別する必要がないので区別しない。

(2)は、10円、50円、100円の中でもそれぞれのコインで価値が異なるので区別する必要がある。

ということだと思います。

よろしくお願いします。

No.22575 - 2013/09/21(Sat) 18:07:53

☆ Re: 「確率」の「場合の数」の考え方について / angel

> 説明できているでしょうか？

できていると思います。
私の出した問いの(1),(2)についても、私の意図通りです。

私ならものぐさなので「常識的にそうだから」で片づけちゃうところですが、しっかりした説明だと思います。

一応言い訳をしておくと、なぜものぐさしてしまうかというと、これが数学から外れた問題であるからです。
つまり、何を同一と見なすか、何を別とするか、それが明確に決まっている状態、そこから先 ( 実際の計算 ) が数学の範囲であって、決めるのはあくまで価値観 ( 常識 ) の問題である、ということ。
※まあ実際の問題では、その価値観が常識的に分かっているものという扱いになっていて、前提条件として明記されないことが多くて嫌らしいのですが

私が色々コメントしたのは、アクオスさんの中で、数学の内・外どちらの問題であるかが曖昧になっている可能性を懸念したためですが、どうやら杞憂だったように思います。

No.22576 - 2013/09/21(Sat) 20:19:39

☆ Re: 「確率」の「場合の数」の考え方について / アクオス

angelさんありがとうございます。
場合の数の考え方について理解することが出来ました。
またよろしくお願いします。

No.22577 - 2013/09/21(Sat) 21:55:39

★ xについての不等式です　　高１ / mio

ｘ+２/5≦(1/3)x+1…?@ ｜ｘ+３｜≦２・・・?A ax-a^2≧ｘ-１…?B
がある。ただしaは定数とする。

(1)不等式?@を解け。

(2)不等式?@?Aをともに満たすｘの値の範囲を求めよ。またa＞１のとき不等式?Bを解け。

(3)不等式?@?Aを共に満たすすべてのｘが不等式?Bを満たすようなaの値の範囲を求めよ。

答えは分かっているのですが、よろしくお願いします

(1)Ｘ≧-2/9
(2)-9/2≦Ｘ≦-1
　　Ｘ≧ａ+1
(3)-2≦ａ≦1

No.22559 - 2013/09/18(Wed) 22:22:27

☆ Re: xについての不等式です　　高１ / ヨッシー

(1)
移項して
　ｘ－x/3≦１－2/5
　2x/3≦3/5
両辺 2/3（＞0）で割って、
　ｘ≦9/10

というわけで、答えが違うか、問題が違うかです。
このままでは、(2) 以降解く意味がありませんので、
見直しをお願いします。

No.22560 - 2013/09/18(Wed) 23:14:31

☆ Re: xについての不等式です　　高１ / mio

すみません。間違えました

(x+2)/5≦(1/3)x+1…?@ 　です。

(1)の答えはx≧-9/2　です。

よろしくお願いします

No.22561 - 2013/09/18(Wed) 23:23:14

☆ Re: xについての不等式です　　高１ / ヨッシー

　(x+2)/5≦(1/3)x+1
展開して
　x/5＋2/5≦x/3＋1
移項して（左右逆にします）
　x/3－x/5≧2/5－1
　(2/15)x≧-3/5
両辺 2/15 で割って
　x≧-9/2

｜ｘ+３｜≦２　は、　-2≦ｘ＋３　かつ　ｘ＋３≦2 と書けるので、
　-5≦ｘ≦-1
これと、x≧-9/2 の共通部分は
　-9/2≦ｘ≦-1

　ax-a^2≧ｘ-１
移項して
　ax－x≧a^2－1
　(a-1)x≧(a+1)(a-1)
ａ＞１より　a-1＞0 であるので、両辺 a-1 で割って
　ｘ≧ａ＋１

ａ＜１の時は、(3) の解は　ｘ≦ａ＋１
ａ＝１の時は、(3) は x-1≧x-1 より、すべてのｘについて成り立つ
となるので、
-9/2≦ｘ≦-1 であるすべてのｘが　ｘ≧ａ＋１を満たすには、

図のような位置関係になれば良いので、
ａ＞１のとき　a+1≦-9/2　より　a≦-11/2
ａ＜１のとき　-1≦a+1　より　-2≦a
ａ＝１のときは、-9/2≦ｘ≦-1 である任意のｘについて(1)(2)(3) が成り立つ
以上より　-2≦ａ≦1

No.22562 - 2013/09/19(Thu) 06:42:00