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★ (No Subject) / 高専
以下の問題の解き方を教えてください
f(x,y)=x^3+3xy+y^3について、微分可能な関数y=y(x)がf(x,y(x))=5を満たす時、導関数y'(x)をxとy(x)を用いて表せ
No.22262 - 2013/08/16(Fri) 10:49:11
☆ Re: / X
f(x,y)=5
より
x^3+3xy+y^3=5
これの両辺をxについて微分し、y'について解きます。
No.22263 - 2013/08/16(Fri) 15:02:09
☆ Re: / 高専
y^3をxで微分するとどうなりますか？
No.22264 - 2013/08/16(Fri) 15:37:16
☆ Re: / angel
合成関数の微分、( g(h(x)) )' = h'(x)g'(h(x)) です。
これより、( h(x)^3 )' = 3h'(x)h(x)^2 です。
今回、h(x) = y と考えれば…
No.22265 - 2013/08/16(Fri) 16:01:16
☆ Re: / 高専
理解でしました
ありがとうございます
No.22266 - 2013/08/16(Fri) 17:11:07
★ 微分積分 / うんうん
いつもお世話になっております。


極座標で与えられたxy-平面上の曲線
C1:r=1+cosθ
C2:r=(√2 +1)sinθ
に対して
(1)C1とC2の交点のθ座標を求めよ
(2)C2の内側で、かつC1の外側になる部分の面積を求めよ

-------------------------------------------------------
(1)はθ=π/4,π　　と求めました。
(2)は、∫[θの範囲]∫[曲線の式]rdrdθで求めようとしているのですが、
∫[π/4→π]∫[C1→C2]rdrdθでしょうか？
それとも∫[π/4→π]∫[C2→C1]rdrdθでしょうか？

よろしくお願い致します。
No.22258 - 2013/08/15(Thu) 00:00:41
☆ Re: 微分積分 / angel
> ∫[θの範囲]∫[曲線の式]rdrdθで求めようとしているのですが、
それはちょっと。雑です。
面積を求める場合に、どう領域を微細に分割しているのか、把握していないとダメです。
今回は、微細な扇形を足しあわせる ∫r^2/2・dθ でしょう。
例えば、半径 1 の円を表す r=2sinθ で、θ=π/4〜π/2 の範囲 ( 直線y=x と y軸で切り取られる部分 ) は、円の1/4と直角二等辺三角形の合計になるわけですが、∫[π/4,π/2](2sinθ)^2/2・dθ で計算できす。
No.22259 - 2013/08/15(Thu) 06:53:14
☆ Re: 微分積分 / うんうん
angelさん

ご回答ありがとうございました。
確かに雑でした。
No.22260 - 2013/08/15(Thu) 11:45:36
★ 行列式の変形 / まさ
この、行列式で、
最後の一個前の形の変形の仕方がわかりません
なぜ、三行三列目が(-x11+x22)になるのかわかりません
自分で、計算したら、x12(-x11+x22)になりました
よろしくお願いします。
No.22256 - 2013/08/13(Tue) 21:27:26
☆ Re: 行列式の変形 / angel
この画像元 ( の参考書? ) の間違いでしょう。
まささんの計算で問題ないと思います。
No.22257 - 2013/08/13(Tue) 22:24:17
★ センター 2次関数 / V
どうやって解くのか検討がつきません。
よろしくお願いします。
No.22253 - 2013/08/13(Tue) 02:20:35
☆ Re: センター 2次関数 / angel
キまで答えが書いてあるということは、クから?
ク〜スが計算できれば、そのまま続きで全部解ける ( 単にそこだけ答えが出ないから、先に進めていない ) のでは。どこがどう分からないのかはハッキリさせて欲しい。

で、ク〜スですが「線分PQの長さをLとしてL^2を求めよ」ということですよね。P,Qの座標を求めればPQの長さは出るわけですが、それは試しましたか? ( P,Qどちらが左に来るかはテキトーに決めて )
No.22254 - 2013/08/13(Tue) 08:29:45
★ 球 / function
この問題で円Ｃの半径を求めてください。お願いします。
No.22251 - 2013/08/12(Mon) 23:22:43
☆ Re: 球 / angel
円Cの半径は√95/5でしょう。
ちょっと「以下の問い」の部分が分からないので、適当に情報を整理しますが、

　1. 円C1,C2の半径 ( 図中r1,r2 ) を求める
　2. 球面O1,O2の半径 ( 図中R1,R2 ) を求める
　3. 円Cの半径 ( 図中x ) を求める
　※「図」と言っているのは私が添付した図のことです
　　問題文にある図は、緑の直線が示す平面での断面図に相当します。

といったところでしょう。

1.に関しては、BDが円C1の直径なのでr1はすぐ出ますね。r2についてはC1C2の距離を出してそこから。図中の台形O1C1C2O2 に着目して。
※問題文の図に関して、C1,直線AB間の距離は AD/2 であることも利用。

2.については割愛。

3.については右側の抜粋した図の方で。
※なお図中 d=O1O2=√5/2
最終的に求める円Cの半径は図中xですが、これはR1,R2,y,dを絡めて方程式を作って求めれば良いでしょう。
つまり、
　y=√(R2^2-x^2)
　x^2+(y+d)^2=R1^2
から
　x^2+( √(R2^2-x^2) + d )^2 = R1^2
を解く、ですね。
もしくは△O1O2Xに着目してsin∠XO1O2を求め、x=R1・sin∠XO1O2 でも良いですが。

--
追記：添付の画像に、問題文の画像との対応をつけました。
No.22255 - 2013/08/13(Tue) 18:26:20
☆ Re: 球 / function
ありがとうございました。
No.22261 - 2013/08/15(Thu) 16:18:48
★ (No Subject) / 高１ゆめ
お騒がせしました。解決しました。
ただの勘違いでした。
No.22248 - 2013/08/12(Mon) 22:36:24
★ (No Subject) / 高１ゆめ
四面体ABCDにおいて、AB=AC=3、∠BAC=90°、AD=2、
BD=CD=√７であり、辺BCの中点をMとする。この時、BC、DM、∠DAM、四面体ABCDの体積を求める。

△ABCはAB=ACの直角二等辺三角形だから　BC=3√2
△DBCはBD=CDの二等辺三角形だから　DM=√10/2
△ABMはAM=BMの直角二等辺三角形だから AM=BM=3√2/2
△AMDにおいて余弦定理により cos∠DAM=1/√2
よって∠DAM=45°

ここまでは分かったのですが、その後が解説を読んでもわかりません。△ABCを底面、ADsin∠DAMを高さと考えるとなっているのですが、
BC⊥DM、BC⊥AMからどうしてそう考えていいのか、教えてください。
No.22247 - 2013/08/12(Mon) 19:58:27
★ 2次不等式 / カンザキ
不等式-x^2+(a+2)x+a-3<y<x^2-(a-1)x-2........(※)
を考える。ただし、x,y,aは実数とする。このとき
「どんなxに対しても、それぞれ適当なyをとれば不等式(※)が成立する」ためのaの値の範囲を求めよ。


解説にはf(x)=-x^2+(a+2)x+a-3
g(x)=式x^2-(a-1)x-2
とおく。
「どんなxに対しても、それぞれ適当なyをとれば不等式(※)が成立する」のは関数f(x),g(x)のグラフが共有点をもたないときである。
2次方程式-x^2+(a+2)x+a-3=x^2-(a-1)x-2
について、実数解をもたないaの値の範囲が求めるものである。

なぜここでf(x)とg(x)を=でむすぶのか分かりません。
あと、この問題の解説もお願いします。
No.22246 - 2013/08/12(Mon) 12:06:32
☆ Re: 2次不等式 / X
>>なぜここでf(x)とg(x)を=でむすぶのか分かりません。
関数y=f(x)、y=g(x)のグラフが共有点を持たない
⇔x,yの連立方程式y=f(x)、y=g(x)が実数解の組を持たない
⇔xの方程式f(x)=g(x)が実数解を持たない
ということです。

>>あと、この問題の解説もお願いします。
(※)で現される領域の境界線である
y=f(x) (A)
y=g(x) (B)
のグラフが上に凸、下に凸の放物線
であることに注意すると、条件を満たすためには
この領域が(A)(B)のグラフで二つ以上の領域に
分断されてはいけないということになります。
∴(A)(B)のグラフが共有点を持たない
ということが必要十分となります。
No.22249 - 2013/08/12(Mon) 23:02:36
★ 行列 / 高専
画像の問題の(2)の解き方はあっていますか？
(1)の固有値は−2、1(重解)になりました
No.22242 - 2013/08/11(Sun) 14:20:35
☆ Re: 行列 / angel
(2) 計算内容に特に問題はなさそうです。
※ただし、説明等全くついていないので、解答にそのままは使えませんが。

なお、答えについて a(-1,-1,1) ( 縦の代わりに横で表記 ) としていますが、元々固有ベクトルは定数倍してもその性質 ( Ａｖ=λｖ ) に変わりが無いのは明らかなので、定数倍の部分は省略することが多いです。
この問題でも「固有ベクトルを1つ求めよ」とあるので、(-1,-1,1) でも、(1,1,-1) でも、何らか1つ出せば良くて、a は不要です。

ところで、おそらく(1)は答えが違います。-2,±1 になるかと思います。
No.22243 - 2013/08/11(Sun) 15:03:55
☆ Re: 行列 / 高専
ありがとうございます
計算してみたら(1)は-2,±1になりました
No.22244 - 2013/08/11(Sun) 15:13:59
★ (No Subject) / ktdg
xy平面において, 曲線y=x^2をCとし, C上に点A(2,4)がある. このとき, 次の(条件)を満たす正方形の個数を求めよ.
(条件)
Aを1つの頂点とし, 残りの3の頂点のうち2つはC上にあり, 1つは領域y>x^2に含まれる.

正方形の4頂点のうちC上にあるものをP(t,t^2)(t≠2), Qとし, y>x^2の領域に含まれるものをRとする.
(?@)AP=PQのとき(正方形APQRを考える)
∠APQ=π/2より, θの回転を表す行列をR(θ)とすると,
↑PQ=R(π/2)↑PA=(t^2-4, 2-t)
∴↑OQ=(t^2+t-4, t^2-t+2)
QがC上にあるためには,
(t^2+t-4)^2=t^2-t+2
⇔(t-2)(t^3+4t^2-7)=0
⇔t^3+4t^2-7=0 (∵t≠2)
この式の左辺をf(t)とおくと, f'(t)=3t(t-8/3)
f(0)=-7, f(8/3)=-445/27
よってf(t)=0はt>8/3でただ1つの実数解を持つ.
(?A)PQ=√2APのとき(正方形APRQを考える)
↑AQ=R(π/2)↑AP=(4-t^2, t-2)より,
↑OQ=(6-t^2, t+2)
QがC上にあるためには,
t+2=(6-t^2)^2
⇔t^4-12t^2-t+34=0
⇔(t-2)(t^3+2t^2-8t-17)=0
⇔t^3+2t^2-8t-17=0 (∵t≠2)
この式の左辺をg(t)とおくと,
g'(t)=3t^2+4t-8=…


ここで計算がめんどくさくなると思って中断しました.
(?@)も, f(t)=0の解がRがy>x^2の領域にあるという条件を考えなくてはならないですし, (?A)はg'(t)=0の解がきれいな形にならないのでg(t)=0の解の個数を数えるのが大変そうです.
違うやり方があったら教えてください.
No.22235 - 2013/08/11(Sun) 03:29:57
☆ Re: / angel
(i) について楽さで考えるなら、文字 t を使って (t,t^2) と表す点は、「正方形においてAの対角上にある点」とするのが良いと思います。
…ただ、どちらにしても2通りの3次方程式の解の個数を数えることになるのは違いないので、ktdgさんの考えとはそう変わらないでしょうか。

なぜ2通りかと言えば、正方形の中心から見て、Aのどちらの隣接頂点 ( 時計 or 反時計周り ) が曲線C上に来るか、場合分けする必要があるからです。
…地味に「1つは領域y＞x^2に含まれる」という条件が面倒です。が、ここは t＞2, t＜2 で場合わけしていくのが良いでしょう。C 上に来るのは、Aの隣接頂点の内、下側 ( y座標が小さい方 ) であるからです。
なお、各頂点を求める時は90°回転と考えずとも、例えば正方形 AXYZ と頂点を名付けた場合
　| A,Yのx座標の差 | = | X,Zのy座標の差 |
　| A,Yのy座標の差 | = | X,Zのx座標の差 |
　( AYの中点 ) = ( XZの中点 )
という所から考えると多分楽です。
差の部分はこのままだと4通りですが、大小関係を考えて1通りに絞りましょう。( 単に正方形を作るだけなら2通り )

なお、実際に正方形を作ってみると、添付の図の通りになります。ただし、点線でできた正方形2個については、「1つは領域y＞x^2に含まれる」を満たさず不適です。
青・赤の色分けは、「Aから見てどちら側の隣接頂点がC上にあるか」で場合分けしたものです。

--
追記: (i)か(ii)か、どっちの話かちょっと混乱してました。最終的に(i)に直してます。( これで合ってるはず )
No.22237 - 2013/08/11(Sun) 10:04:57
☆ Re: / angel
一応、私の計算した内容を抜粋して載せます。

途中で現れる2個の3次式は、上で挙げた図の3次関数のグラフ ( 最初は青、次は赤 ) に相当するものです。

--
正方形におけるAの対角の頂点を(t,t^2)と置く
t＞2 の場合、Aの右隣り ( 正方形の中心から見て反時計周りの方 ) の頂点が
C上に来る。この座標は ( (t^2+t-2)/2, (t^2-t+6)/2 )
tの満たす条件は (t-2)(t^3+4t^2+3t+4)=0 → t＞2における解なし

t＜2 の場合、Aの左隣りの頂点がC上に来る。
この座標は ( -(t^2-t-6)/2, (t^2+t+2)/2 )
tの満たす条件は (t-2)(t^3-13t-16)=0 → t＜2において2個解あり
No.22238 - 2013/08/11(Sun) 10:17:45
☆ Re: / angel
(ii)についても正方形を作ってグラフ上に描いてみました。( 緑色 )
こちらに関しては、t＞2 という条件だけ設定しておけば、余り悩むことはないと思います。「1つは領域y＞x^2に含まれる」という条件も自動的に満たされます。
正方形APRQに関して、P,QがC上にあり、曲線Cは下に凸ですからAはPQに関して下側に来ます。ということは逆にRはPQに関して上です。
ここまではy座標の話ですが、x座標で考えるとAもRもP,Qの間に来ています。なので、Rは確実にy＞x^2の領域に来るのです。
No.22239 - 2013/08/11(Sun) 10:48:13
☆ Re: / ktdg
わかりやすい回答ありがとうございます.
No.22252 - 2013/08/13(Tue) 00:11:01
★ 極限 / ドーパミン破壊光線
一般項が次の式で表される数列の極限を求めよ。
?@｛3^(n-1)+4^(n+1)｝/3^n-4^n
?A｛3^(n+1)+5^(n+1)+7(n+1)｝/3^n+5^n+7^n

解説をお願いします。
No.22232 - 2013/08/10(Sat) 21:54:28
☆ Re: 極限 / らすかる
?@
分子の範囲がわかるように{　}を付けてあって
分母が(3^n-4^n)とカッコが付いていないということは
分母は3^nだけでいいんですよね？
｛3^(n-1)+4^(n+1)｝/3^n-4^n
=3^(n-1)/3^n+4^(n+1)/3^n-4^n
=1/3+4・(4/3)^n-4^n
=1/3+(4/3)^n・(4-3^n)
→-∞

?A
｛3^(n+1)+5^(n+1)+7(n+1)｝/3^n+5^n+7^n
=3^(n+1)/3^n+5^(n+1)/3^n+7(n+1)/3^n+5^n+7^n
→∞
No.22233 - 2013/08/10(Sat) 23:33:31
☆ Re: 極限 / ドーパミン破壊光線
分かりにくく書いてしまいすいません。分母は(3^n-4^n)、(3^n+5^n+7^n)でした。
これでお願いします。
No.22236 - 2013/08/11(Sun) 09:40:14
☆ Re: 極限 / らすかる
それでしたら?@は分子分母を4^nで割れば
{(1/4)(3/4)^(n-1)+4}/{(3/4)^n-1}
となって極限がわかりますね。
?Aも同様に7^nで割れば求まります。
No.22240 - 2013/08/11(Sun) 11:22:14
☆ Re: 極限 / ドーパミン破壊光線
ありがとうございます。
No.22241 - 2013/08/11(Sun) 11:38:29
★ 積分 / ボシュロム
∫[−∞〜∞] 1/(2+e^x+2e^−x) dx
の解き方を教えてください
No.22227 - 2013/08/10(Sat) 18:32:27
☆ Re: 積分 / angel
　y=e^x
　z=y+1
　z=tanθ
の順で置換していってはいかがでしょう。
No.22229 - 2013/08/10(Sat) 19:40:30
★ kaitokeisuunoknnkei / ＴＯＮ
２次方程式 ｘ＾２−（ｋ＋４）ｘ＋２ｋ＝０が異なる２つの解α、βをもち
１つは３より大きく もう一つは３より小さい
α＾２＋β＾２がとる値の範囲は？（解と係数の関係の章）
No.22220 - 2013/08/09(Fri) 23:21:33
☆ Re: kaitokeisuunoknnkei / ＴＯＮ
いそいで投稿してしまいました

上の問題なんですが大学入試です
一応自分の答えは１２以上と出たんですが

正直わかりません
No.22221 - 2013/08/09(Fri) 23:23:19
☆ Re: kaitokeisuunoknnkei / ＩＴ
どうやって出されましたか？それが重要です。
No.22222 - 2013/08/09(Fri) 23:58:25
☆ Re: kaitokeisuunoknnkei / ＴＯＮ
とりあえず
（αー３）（β―３）＜０として
解と係数の関係から
α＋β＝ｋ＋４　αβ＝２ｋ　を上に入れて
ｋ＞−３となりました
判別式Ｄ＞０より
これも解いて
ｋ＾２＋１６＞０となりました

最後にα＾２＋β＾２＝（α＋β）＾２−２αβ
　　　　　　　　　　＝ｋ＾２＋４ｋ＋１６
これの範囲を　ｋ＞−３として
２次関数の範囲を求めるようにして

１２以上となりました
No.22223 - 2013/08/10(Sat) 00:12:38
☆ Re: kaitokeisuunoknnkei / ＩＴ
合っていると思います。(判別式を使うなら、判別式を先に書く方が良いと思います。)

判別式を使わずに
f(x)=ｘ＾２−（ｋ＋４）ｘ＋２ｋとおいて
f(x)=0は異なる２つの実数解α、βをもち１つは３より大きく もう一つは３より小さい。⇔ f(3)＜0
とした方がスマートですね。

類題No.22162 のヨッシーさんの回答を参考にしてください。

なお、この問題では、必ずしも使わなくてもいいですが
y=f(x)=ｘ＾２−（ｋ＋４）ｘ＋２ｋが定点(2,-4)を通ることは、有用な情報になることもあります。
下に凸の放物線ですから、判別式の計算なしで、常に異なる２つの実数解を持つことが分かります。
No.22224 - 2013/08/10(Sat) 00:23:21
★ 四面体の外接球 / 高１ゆめ
AB=5,BC=7,CA=8及びOA=OB=OC=tを満たす四面体OABCがある。
4つの頂点O,A,B,Cが同一球面上にあるとき、その球の半径が最小になるような実数tの値を求めよ。

答えは t=7√6/3 です。



頂点Oから垂線をおろして、その垂線と各頂点をそれぞれ結んで断面図を考えてみたのですが、そこで止まってしまいました。どうぞよろしくお願いします。
No.22213 - 2013/08/09(Fri) 15:12:37
☆ Re: 四面体の外接球 / angel
取り敢えずヒントで良いかな。
Oから平面ABCに下ろした垂線の足は、△ABCにとってどんな点でしょう。また、その理由は。
次に、球の中心から平面ABCに下ろした垂線の足は、△ABCにとってどんな点でしょう。また、その理由は。
ちなみに漢字2文字。
で、こういうことを聞くからには、上2つの答えは同じなのですが、そうすると何が嬉しいのか、も考えつつ。
No.22214 - 2013/08/09(Fri) 15:31:00
☆ Re: 四面体の外接球 / 高１ゆめ
ヒントありがとうございます。
外心になると思います。
球はどこで切っても断面図は円になるので、△ABCを含む面で切ったら、外接円の中に△ABCがある断面図ができると思います。
No.22215 - 2013/08/09(Fri) 16:37:11
☆ Re: 四面体の外接球 / angel
外心、正解です。なぜならば…
先に点に名前をつけますか。その外心を H、球の中心を X としましょう。
改めてなぜかというと、△OHA、△OHB、△OHC は、全て H を直角の頂点とする直角三角形、斜辺 OA=OB=OC、辺OH共有により合同。その結果、HA=HB=HC となるためですね。
さて、X に関して考えてもほぼ同じことになるわけですが、そうすると、X が直線OH上にあることが分かります。
であれば、平面OHA ( もしくはOHB もしくはOHC ) を考えると…?

なお、答えを計算するには、外接円の半径 HA=HB=HC が必要になりますが、それには余弦定理もしくはヘロンの公式と、正弦定理とを組み合わせます。
No.22216 - 2013/08/09(Fri) 21:18:18
☆ Re: 四面体の外接球 / 高１ゆめ
△ABCの面積は10√3、その外接円の半径HA=HB=HC=7/√3、
△OHAは直角三角形となり、OH^2=t^2-49/3
OH上のXは、OX=AXとなる。
ここまではわかったのですが…
行き詰ってしまいました。
No.22217 - 2013/08/09(Fri) 22:04:56
☆ Re: 四面体の外接球 / angel
> その球の半径が最小になるような
この条件を使って、X の位置を確定させてしまいましょう。
「球の半径」というのは AX のことですから X とは、「直線OH上にある、Aに最も近い点」になります。
No.22219 - 2013/08/09(Fri) 23:13:40
☆ Re: 四面体の外接球 / 高１ゆめ
わかりました。つまり、XはHと重なるということですね。
だから△OHAは直角二等辺三角形となり、
OH=AH=7/√3、OA=t、で三平方の定理を使って解けるんですね。
正解が出ました。ありがとうございます。
No.22225 - 2013/08/10(Sat) 08:23:27
★ (No Subject) / １０：３０
帰納法だとか一般項を求めたり、などなどいろいろな場面において、漸化式同士を足したり引いたり代入したり、添え字を増やしたり（例えばa(n+3)+2a(n)=0⇒a(n+4)+2a(n+1)=0という操作）という操作」をする場面が多々あると思いますが、その際、組み合わせる漸化式のｎの範囲が異なる場合も多々ありますが、毎回組み合わせるたびにｎの範囲を考慮しないといけないのでしょうか？問題集等みても組み合わせる時に全くｎの範囲を考慮していないように思えます。
ｎの範囲が分からないとその数列の初項が第何項から始まるのかが分からず一般項が求められないなど、答えに影響が出てきてしまいます。。
No.22209 - 2013/08/08(Thu) 21:32:21
☆ 添え字の範囲 / angel
添え字を増やす分には気を遣う必要はありませんが、減らすならちゃんと考える必要があるでしょうね。

> 問題集等みても組み合わせる時に全くｎの範囲を考慮していないように思えます。

大抵は必要条件 ( ⇒ ) で話を進めていきますので、わざわざ範囲を細かく検証する必要はないのだと思いますよ。
ただ、本当に説明が不足している解答例もありうるでしょうから、マズいと思う実例を出して頂ければ、色々コメントできると思います。
No.22210 - 2013/08/08(Thu) 23:01:45
☆ Re: / １０：３０
では改めて,,,例えば、
「a1=2,a(n+1)-2=Sn+4Tn・・?@
b1=1,b(n+1)-1=5Sn+2Tn・・?A」
（ｎ＝１，２、３、・・・）
を満たす。ただし、｛an｝の初項から第ｎ項までの和をSn、｛ｂｎ｝の初項から第ｎ項までの和をTnとする。
（１）a2,b2,a3,c3を求めよ
（２）a(n+1),b(n+1)のそれぞれをanとbnを用いて表せ。

?@よりa(n+2)-2=S(n+1)+4T(n+1)・・?@’
?@’、?@より
a(n+2)=2a(n+1)+4b(n+1)・・?B
?Aより
b(n+2)-1=5S(n+1)+2T(n+1)・・?A’
?A、?A’より
b(n+2)=5a(n+1)+3b(n+1)・・?C
『（１）よりa2=8=2a1+4b1,b2=13=5a1+3b1であるから?B、?Cはｎ＝０としても成り立つ。』したがってｎ≧１に対して
a(n+1)=2a(n)+4b(n),b(n+1)=5b(n)+3b(n)・・（答え

『　』と言っているということは、?Bと?Cはｎ≧１で成り立つという事が前提になっていますよね？何故ですか?その‘プロセス’を教えてください。

「?@、?Aは問題文よりｎ≧１で成立。?@’は添え字を増やしたら、その分範囲を減らすという公式よりｎ≧０で成立。?@かつ?@’よりｎ≧１かつｎ≧０よってｎ≧１で?Bは成立。同じ操作を?A、?A’にも繰り返して?Cはｎ≧１で成立、というプロセス」・・・★をたどらないといけないのでしょうか？という質問です。

angelさんのコメントによると「添え字を増やす分には気を遣う必要はない」というルールがあるのですよね？ということは今回の?@→?@’の操作や?A→?A’の操作は‘添え字を増やしてる’から?A．?Bのｎの範囲は「わざわざ★のプロセスをたどらず」に直ちに元から与えられているｎ≧１のままだ、と判断してよいという事なんでしょうか。気を遣う必要は無いというのは与えられたｎの範囲のままという解釈でOKですか？

しかし元から与えられている範囲のままだ、とは言っても、与えられた２つの漸化式のｎの範囲がそれぞれ違っていたらどうなるのか疑問です。

長くなりましたがよろしくお願いします。
No.22226 - 2013/08/10(Sat) 16:00:48
☆ Re: / angel
> ?Bと?Cはｎ≧１で成り立つという事が前提になっていますよね？何故ですか?
では?Bの方で。( ?Cも同じなので )
　n≧1 において a[n+1] - 2 = S[n] + 4T[n] …?@
　k≧1 において m=k+1 とした時 m≧1 が成立する。
　　そのため、?@に対してn=mを代入すると a[k+2] - 2 = S[k+1] + 4T[k+1]
　　改めて k を n に書き換えると、n≧1 において a[n+2] - 2 = S[n+1] + 4T[n+1] …?@'
　?@'-?@より n≧1 において a[n+2] - a[n+1] = ( S[n+1]-S[n] ) + 4( T[n+1]-T[n] )
　　これより n≧1 において a[n+2] - a[n+1] = a[n+1] + 4b[n+1]
　　整理して n≧1 において a[n+2] = 2a[n+1] + 4b[n+1] …?B
これ、普通こんなクドい説明 ( 特に?@'について ) はしませんけどね。

> ★をたどらないといけないのでしょうか？という質問です。
辿りません。必要性がありませんから。
　n≧1 において a[n+1] - 2 = S[n] + 4T[n] ⇔ n≧0 において a[n+2] - 2 = S[n+1] + 4T[n+1]
という「必要十分条件」は確かにあります。が、これを考えなくても問題は解けます。ゆえに不要です。
今回使っているのは、
　n≧1 において a[n+1] - 2 = S[n] + 4T[n] ⇒ n≧1 において a[n+2] - 2 = S[n+1] + 4T[n+1]
という「必要条件」です。
No.22230 - 2013/08/10(Sat) 20:50:00
☆ Re: / angel
> 「添え字を増やす分には気を遣う必要はない」というルールがあるのですよね？
あまりこういうときは、ルールとか決まり事とかと考えない方が良いです。
「その式が実際に表している内容は何か」これが重要で、見失うとなかなか上手くいきません。
※上の説明では敢えて「機械的な記号の操作」だけで説明していますが

?@の意味するところは何か、それは
　a[2]-2=S[1]+4T[1]
　a[3]-2=S[2]+4T[2]
　a[4]-2=S[3]+4T[3]
　a[5]-2=S[4]+4T[4]
　…
という無限個の関係式であって、それを規則性を利用して一つにまとめているだけですよね。
では?@'では。それは
　a[3]-2=S[2]+4T[2]
　a[4]-2=S[3]+4T[3]
　a[5]-2=S[4]+4T[4]
　…
…要するに、?@の一部分 ( ほとんど全部ですが ) を抜きだしただけですね。
※ちなみに「必要条件」の本質ってのはコレです。「一部分を抜きだす」って所。
なので?@'が成立するのは明らか。
私が「添え字を増やす分には気を遣う必要はない」と言ったのは、こういう実態があるからです。

結局、?@から?Bを導く流れというのは、
問題の定義より
　a[2]-2=S[1]+4T[1]
　a[3]-2=S[2]+4T[2]
　a[4]-2=S[3]+4T[3]
　a[5]-2=S[4]+4T[4]
　…
⇒
　a[2]-2=S[1]+4T[1] かつ a[3]-2=S[2]+4T[2]
　a[3]-2=S[2]+4T[2] かつ a[4]-2=S[3]+4T[3]
　a[4]-2=S[3]+4T[3] かつ a[5]-2=S[4]+4T[4]
　…
⇒
　a[3]-a[2] = (S[2]-S[1]) + 4(T[2]-T[1])
　a[4]-a[3] = (S[3]-S[2]) + 4(T[3]-T[2])
　a[5]-a[4] = (S[4]-S[3]) + 4(T[4]-T[3])
　…
⇒ …

ってことをやっているにすぎません。これを一つの式にまとめる時、ベースとなる変数 n の範囲は n≧1 のままで、n+α のαの部分をいじるだけで話が進められるのですから、最初の1回だけ「n≧1」とことわっておけば十分なのです。
※問題文に n=1,2,3,… とあるので、最初の1回すら必要ないとも言えますが、一応最初だけはことわっておいた方が丁寧です。
No.22231 - 2013/08/10(Sat) 21:04:24
☆ Re: / 10:30
回答ありがとうございます。一年ぐらい疑問に思っていたので感動しております。

ところで、「添え字を増やす分には気を遣う必要はない」・・（※）ことの理屈は理解しましたが、ルール化しないほうがいいということについて、ルール化してしまうと失敗するケースがあったりするのでしょうか？
No.22245 - 2013/08/11(Sun) 15:56:53
☆ Re: / angel
> ルール化しないほうがいい
これはまあ、考え方というかポリシーの問題ではあります。
私「ルール化」って嫌いなんですよ。
ルールではなくて、セオリーというか格言というか、おばあちゃんの知恵袋的な扱いであれば、別に良いのですが

ルール ( 決まり事 ) だと思ってしまうと、それがなぜ成り立つのか、その考えがどこから出て来たのか ( 理由や背景 )、いつでも使えるものか、注意点等ないのか ( 制限事項 )、そういった情報がすっぽり抜け落ちますからね。
そういう姿勢ではいつか手痛いしっぺ返しを喰らう可能性がありますし、何より考える力を伸ばす妨げになりますから。

セオリーということであれば、似たような場面に出合った時に、素早く正解に辿り着くためのヒントとして活用するだけの話ですから、特に問題とは思いません。

> ルール化してしまうと失敗するケースがあったりするのでしょうか
ないかもしれませんが、全ケースに出合ったわけではないので、なんとも言えません。
No.22250 - 2013/08/12(Mon) 23:16:08
★ 単調増加の定義 / 黒猫缶
高3の理系です。

f(x)=x^3−3ax^2+3bx−2が区間[0,1]で常に増加するとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ。 (大分大学)

で、解答には、

f(x)が0≦x≦1で単調増加する条件は
0<x <1の時、f’(x)≧0


と書いてあるのですが、これって、
0<x<1の時、f’(x)>0

ではないのですか？


ここらへんの定義が曖昧でよくわからなく、結構焦ってます。

どなたか詳しく教えてください！
No.22205 - 2013/08/08(Thu) 08:02:48
☆ Re: 単調増加の定義 / 豆
たとえばf(x)=x^3に関して、
-1≦x≦1での変化はどう見ますか？
f'(0)=0ですよね。
No.22206 - 2013/08/08(Thu) 08:34:20
☆ Re: 単調増加の定義 / angel
> 0＜x＜1の時、f’(x)＞0
> ではないのですか？
f’(x)＞0 であれば、単調増加なのは確実。
問題は、 f’(x)≧0 ( 単調非減少 ) でも単調増加になるケースがあること。
もし f'(x) の形が良く分かっていなければ、「 f’(x)≧0 で単調増加 」というのは断言できません。なので、その解説はやや言葉足らずの感があります。
しかし、今回 f'(x) は2次関数です。f'(x)=0 にもしなるとしても、それは点での話です。であれば、 「 f’(x)≧0 で単調増加」は妥当になります。豆さんの挙げた例もそうですね。

ちなみに、点でなくて線の場合はダメです。
例えば、f(x)=(x-0.5)^3 - √( (x-0.5)^6 ) 　(0≦x≦1) とか。
No.22208 - 2013/08/08(Thu) 19:05:34
☆ Re: 単調増加の定義 / 黒猫缶
二度目の質問となってしまいますが、

> しかし、今回 f'(x) は2次関数です。f'(x)=0 にもしなるとしても、それは点での話です。であれば、 「 f’(x)≧0 で単調増加」は妥当になります。豆さんの挙げた例もそうですね。
>
> ちなみに、点でなくて線の場合はダメです。
> 例えば、f(x)=(x-0.5)^3 - √( (x-0.5)^6 ) 　(0≦x≦1) とか。

僕の理解力の無さのせいで、ここでいう「線」や「点」がよく分かりません。

それと、上記の式、f(x)=(x-0.5)^3 - (x-0.5)^｛6×(1/2)｝=0

となると思うのですが…
No.22211 - 2013/08/09(Fri) 00:20:38
☆ Re: 単調増加の定義 / angel
> それと、上記の式、f(x)=(x-0.5)^3 - (x-0.5)^｛6×(1/2)｝=0
> となると思うのですが…

うーん。敢えて√を使っているところはもう少し考えて欲しかったような。
例えば √(5^2)=5 ではあるけど、√((-5)^2)≠-5 なんですよね。

まあ、ただ単に
　f(x)=2(x-0.5)^3 ( 0≦x≦0.5 )
　f(x)=0 ( 0.5＜x≦1 )
と2行に分けて書くのが面倒だっただけなんですが。

点や線については、豆さんや私の例での f'(x) をグラフに描いて ( もしくは想像して )、f'(x)=0 となる所を考えてみてください。
No.22212 - 2013/08/09(Fri) 00:36:30
☆ Re: 単調増加の定義 / 黒猫缶
確かに僕は浅はかすぎました。

ルートがあったらその中身の範囲を考えるのは当たり前ですよね…


作図をしてみると、連続関数ではありますが、x=1/2で関数がきりかわり、

f'(x)>0 (0<x<1/2)
f'(x)=0 (1/2<x<1)

となって、x=1/2で微分不可となりました。


これではf'(1/2)が存在しないことになり、確かに

f(x)が0≦x≦1で単調増加 ⇔ 0<x<1でf'(x)≧0

は成り立たなかったです。


つまりこれって、

微分可能⇒連続関数 だけど、

連続関数⇒微分可能 は成り立たない

っていうことでいいのでしょうか。
No.22218 - 2013/08/09(Fri) 23:04:59
☆ Re: 単調増加の定義 / angel
> x=1/2で微分不可となりました。
いや、そんなことはないですからね。
( 不注意で不適切な例を出してしまうことはあるにしても ) 一応ちゃんと考えて例を出してますから、途中で微分不可能になるサンプルを敢えて出したりはしませんからね。
f'(0.5)=0 です。
※なお、もし f(x)=(x-0.5)-√( (x-0.5)^2 ) だったとすると x=0.5 で微分不可能になりますから、サンプルとしては不適切でした。

ある程度そこは信頼して、脱線せずに話を追って欲しいんですけど…
まあ、点と線に関しては添付の図をどうぞ。
No.22228 - 2013/08/10(Sat) 19:09:34
☆ Re: 単調増加の定義 / 黒猫缶
またまたやってしまいました…

何度もご迷惑をおかけして申し訳ないです。

恥ずかしい限りです…


やはりここの分野はもう一度きちんと復習したいと思います。

点と線については理解することができました。
それに図までつけていただいて、何から何まで本当にありがとうございました。


今後再度お世話になることがございましたら、その時にはよろしくお願いします！
No.22234 - 2013/08/11(Sun) 00:49:27
★ 極限 / ドーパミン破壊光線
lim[n→∞](1^2+2^2+…+n^2)/n^3の極限を求めよ。という問題です。
(与式)=lim[n→∞](1/n^3(1^2+2^2+…+n^2)
=lim[n→∞]1/n^3×1/6n(n+1)(2n+1)ー?@
と変形するところまでは、Σの公式を使うということで理解できたのですが、解答を見るとそのあとの式が
=lim[n→∞]｛1・(1+1/n)(2+1/n)｝/6ー?Aとなっており、1/n^3がどのように処理されたのか分かりませんでした。
?@から?Aへはどのようなことがあってこのような式になったのでしょうか。解説をお願いします。

No.22199 - 2013/08/07(Wed) 20:39:22
☆ Re: 極限 / らすかる
n(n+1)(2n+1)/n^3
=(n/n){(n+1)/n}{(2n+1)/n}
=1・(1+1/n)・(2+1/n)
となります。
No.22201 - 2013/08/07(Wed) 20:51:28
☆ Re: 極限 / ＩＴ
1/n^3を３つに分けて使っています。
(1/6)(1/n^3)n(n+1)(2n+1)
=(1/6)(n/n){(n+1)/n}{(2n+1)/n}
で分かりますか？
No.22202 - 2013/08/07(Wed) 20:51:47
☆ Re: 極限 / ドーパミン破壊光線
1/n^3をn,n+1,2n+1に振り分けて使っていたのですか。すっきりしました。ありがとうございます。
No.22203 - 2013/08/07(Wed) 21:06:51
★ 偏微分 / 高専
z=f(x,y)が1変数の関数g(t),h(t)を用いて、z=g(x)+h(y)と書けるための必要十分条件は∂^2z/∂x∂y=0であることを示せ。
という問題で、答えが画像のようになるのですが、「ここで、Cはyに関係しないからxのみの関数である」という部分で、なぜCはyに関係しないのかわかりません
解説お願いします
No.22197 - 2013/08/07(Wed) 18:53:04
☆ Re: 偏微分 / angel
∂z/∂y=φ(y) ⇒ z=∫ φ(y)dy + C ( Cはxのみの関数 )
ではなく、
C = z - ∫ φ(y)dy としたら C はどういった性質を持つか? と、考えてみては。
∂C/∂y = ∂z/∂y - ∂/∂y・ ∫ φ(y)dy なのだから、
∂C/∂y = φ(y) - φ(y) = 0 ってことですよね。
No.22198 - 2013/08/07(Wed) 19:25:23
★ (No Subject) / ktdg
関数f(x)=e^{(x^2)/2}, 及び,
f(0)=1, f[n](x)=1+∫[0〜x]tf[n-1](t)dt (n=1,2,3…)
で定まる関数f[n](x) (n=1,2,3…)を用いて, 自然対数の底eの平方根√eの近似値を求めることを考える.
(1)
f(x)=1+∫[0〜x]tf(t)dtが成り立つことを示し, それを用いて√e≦2を示せ.
(2)
0≦x≦1のとき, 0≦f(x)-f[n](x)≦(√e-1){x^(2n)}/(2^n)n! (n=1,2,3…)を示せ.
(3)
f[3](1)を求め, 1.64<√e<1.67を示せ.


(2)の
f(x)-f[n](x)≦(√e-1){x^(2n)}/(2^n)n! 
の証明を教えてください.
No.22189 - 2013/08/06(Tue) 21:20:28
☆ Re: / angel
(1)の結果をどう活用するか、が鍵です。
fとf[n]を並べてみましょうか。
　f(x) = 1 + ∫[0,x] tf(t)dt
　f[n](x) = 1 + ∫[0,x] tf[n-1](t)dt
似た形ですね。
更に辺々差を取ると、
　f(x) - f[n](x) = ∫[0,x] t( f(t) - f[n-1](x) )dt
ということで、これは関数列 f(x) - f[n](x) の漸化式になってます。

そうしたら、後はn=0から帰納法でやってみましょう。
No.22194 - 2013/08/07(Wed) 08:46:29
☆ Re: / ktdg
出来ました.
ありがとうございます.
No.22200 - 2013/08/07(Wed) 20:43:45
★ 数?U割り算 / けん
{(x+1)(x+2)(x+3)}^10を(x+2)^12で割った余りを求めよ。
途中まで分かっているので記します。
{(x+1)(x+2)(x+3)}^10=(x+2)^10{(x+1)(x+3)}^10
=(x+2)^10{(x+2)^2-1}^10
この後二項展開を使用と思ったのですが、どうやって展開していいか分かりません。計算を教えて下さい。
よろしくお願いします。
No.22185 - 2013/08/06(Tue) 18:37:12
☆ Re: 数?U割り算 / ＩＴ
{(x+2)^2-1}^10を展開した各項のうち(-1)^10以外は(x+2)^2を因数に持つので
求める余りは{(x+2)^10}{(-1)^10}=(x+2)^10でいいのでは？
No.22186 - 2013/08/06(Tue) 19:04:58
☆ Re: 数?U割り算 / けん
すみません。
全くその通りです。
投稿したあと考えたらすぐに分かりました。
ありがとうございました。
No.22187 - 2013/08/06(Tue) 20:07:19
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