xyz空間において原点と点(1,1,1)を通る直線をlとする不等式0≦y≦x(1-x)が表すxy平面内の領域をDとする. lを軸としてDを回転させて得られる回転体の体積を求めよ.
方針としては、lに垂直な平面とDの交線をlの周りに回したものをl方向に積分するということでいいと思うのですが計算がかなり面倒になりました。
lに垂直でP(t,t,t)を通る平面(x+y+z=3t)とDの交点はQ(1-√(1-3t) , 3t-1+√(1-3t) ) と R(3t,0)となり, 求める体積は
∫[0〜1/3] π(PR^2-PQ^2) dt
でいいのでしょうか？
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No.23052 - 2013/11/07(Thu) 02:09:15
| ☆ Re: 回転体の体積 / X | | | 方針は問題ないのですが途中からの計算を誤っています。
ktdgさんは線分QRと点Pとの距離について
最短距離がPQ
最長距離がPR
と考えて問題の立体の断面積を計算しているようですが
最短距離、最長距離がこのようになるとは限りません。
これはtの値の範囲によって場合分けが必要になります。
又、線分QRにPからの垂線の足(Hとします)が含まれる場合は
PHが最短距離となります。
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No.23053 - 2013/11/07(Thu) 07:07:41 |
| ☆ Re: 回転体の体積 / angel | | | > 求める体積は ∫[0〜1/3] π(PR^2-PQ^2) dt でいいのでしょうか？
惜しいです。√3がかけ足りません。
平面x+y+z=3t, x+y+z=3t+3dt 間の距離が、√3・dt であることに注意しましょう。
で、多分答えは 2/45・√3・π になると思います。
> 最短距離、最長距離がこのようになるとは限りません。
今回は大丈夫です。( もちろん説明が必要ですが )
放物線の傾きが、x=0 では 1、x=1 では -1 というのがちょうど良い塩梅に効いています。
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No.23057 - 2013/11/07(Thu) 22:37:17 |
| ☆ Re: 回転体の体積 / angel | | | > 計算がかなり面倒になりました。
まだしも、平面 x+y+z=1-t で切った断面図を考えるなら、せいぜい√が出てくるのも √t で済みますから、よっぽど楽でしょう。
それか、先に放物線上の点( (t,f(t)) とする ) を決めておいて、平面 x+y+z=t+f(t) で切断するのなら、
V=∫[0,1] π・2tft(t)・(1+f'(t))dt/√3
もありますね。
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No.23065 - 2013/11/08(Fri) 01:01:43 |
| ☆ Re: 回転体の体積 / X | | | >>angelさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ktdgさんへ
ごめんなさい。angelさんの仰るとおりです。
l上の点からxy平面に下ろした垂線の足が
ちょうどDの境界の放物線の原点における接線上の点
となるため、私の指摘は当てはまらないようです。
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No.23070 - 2013/11/08(Fri) 19:45:12 |
| ☆ Re: 回転体の体積 / ktdg | | | angelさん
「l方向に積分」と書いておきながら何も考えずにtで積分していました。ご指摘ありがとうございます。
計算もangelさんの答えと合いました(計算が面倒に見えたのは単に自分の計算力不足のためですね)。
Xさん
僕は、Pから線分QRへの最長距離と最短距離というようには考えずに、感覚的に「端っこの点を回したもの」と考えていたため、Xさんのご指摘のおかげで正確に「線分を回す」ということを考えることができました。ありがとうございます。
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No.23071 - 2013/11/08(Fri) 23:58:38 |
| ☆ Re: 回転体の体積 / angel | | | > 計算が面倒に見えたのは単に自分の計算力不足のためですね
計算力不安なら鍛えた方が良いですが…
「計算が面倒」という場合、工夫して楽する余地があるということも。
最初に出て来た P,Q,R を洗い直してみましょう。
平面PQR: x+y+z=1-t ( 0≦t≦1 )
t の扱いをちょっと変えてます。すると、直線 QR は x+y=1-t ですね。
※xy平面の話になるので、z座標のことは省略します(以降同じ)
ここで Q の x座標を u とすると
Q: (u,f(u)) ( f(u)=u(1-u) )
R: (u+f(u),0)
u+f(u)=1-t
ここから計算に行く前に、直線y=x と QR の交点を H とします。そうすると、OHQ, OHR, PHQ, PHR はそれぞれ H の所が直角の直角三角形。そのため、
PR^2 - PQ^2
= ( HR^2 + HP^2 ) - ( HQ^2 + HP^2 )
= HR^2 - HQ^2
= HR^2 - ( OQ^2 - OH^2 )
= ( HR^2 + OH^2 ) - OQ^2
= OR^2 - OQ^2
= ( u+f(u) )^2 - ( u^2+f(u)^2 )
= 2uf(u)
今度、t を dt 変化させた時の P の位置の変化は dt/√3 であるため、
V = ∫[0,1] π(PR^2-PQ^2)dt/√3
= ∫[0,1] π・2uf(u)・dt/√3
後はまあ、2次方程式u+f(u)=1-tを解いて u=1-√t で行くなら
V = 2/3・√3・π∫[0,1] (1-√t)^2・√t・dt
= 2/3・√3・π∫[0,1] ( t^(1/2) - 2t + t^(3/2) )dt
指数に分数が入っていますが、t^q の形で済みますね。
もしくは、u+f(u)=1-t から dt/du = -(1+f'(u)) での置換積分を行うなら、
V = ∫[1,0] π・2uf(u)・( -(1+f'(u)) )du/√3
= ∫[0,1] π・2uf(u)(1+f'(u))du/√3
= 4/3・√3・π∫[0,1] u^2(1-u)^2 du
= 4/3・√3・π∫[0,1] ( u^2 - 2u^3 + u^4 ) du
と、No.23065で書いた式と途中で同じになります。
どちらかなら計算も大変ではないと思います。
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No.23077 - 2013/11/09(Sat) 16:06:01 |
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