ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 線形代数 / うんうん

いつもお世話になっております。

行列A=[[10,-3,-6],[0,1,0],[9,-3,-5]]について
(1)Aの固有値と固有ベクトルを求めよ
(2)B^2=Aを満たす行列B求めよ

-----------
(1)は固有値λ1=1,固有ベクトルx1=k1[[1],[3],[0]]+k2[[2],[0],[3]]
固有値λ2=4,固有ベクトルx2=k3[[1],[0],[1]] (k1≠0,k2≠0,k3≠0)
となりました．
(2)はわかりません．

よろしくお願い致します。

No.22184 - 2013/08/06(Tue) 17:23:49

☆ Re: 線形代数 / ヨッシー

固有ベクトルを (1,3,0), (2,0,3), (1,0,1) として、
これを列ベクトルにして、横に並べた
　Ｐ＝{(1,2,1),(3,0,0),(0,3,1)}
を考えます。すると、
　Ｐ^(-1)＝{(0,1,0),(-3,1,3),(9,-3,-6)}
に対して
　Ｐ^(-1)ＡＰ＝{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,4)}
となります。
一方、Ｃ＝{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)}を考えると、
　Ｃ^2＝Ｐ^(-1)ＡＰ
となります。一方、Ｂ＝ＰＣＰ^(-1) を考えると、
　Ｂ^2＝ＰＣ^2Ｐ^(-1)＝Ｐ{Ｐ^(-1)ＡＰ}Ｐ^(-1)＝Ａ
が得られます。

具体的には
　Ｂ＝{(4,-1,-2),(0,1,0),(3,-1,-1)}
となります。

No.22190 - 2013/08/06(Tue) 21:34:18

☆ Re: 線形代数 / angel

答え、8通りですよね?

No.22191 - 2013/08/06(Tue) 21:39:22

☆ Re: 線形代数 / ヨッシー

± ってことですね。

ご指摘ありがとうございます。

No.22192 - 2013/08/06(Tue) 22:55:41

☆ Re: 線形代数 / うんうん

B^2=PC^2P^(-1)={(30,-9,-18),(0,3,0),(27,-9,-15)}
となりましたが、そこからBを求めるにはどう計算すればよいのでしょうか？

また8通り、±とはどういうことでしょうか？

No.22195 - 2013/08/07(Wed) 15:50:17

☆ Re: 線形代数 / ヨッシー

Ｐ^(-1)＝{(0,1,0),(-3,1,3),(9,-3,-6)}
は、
Ｐ^(-1)＝(1/3){(0,1,0),(-3,1,3),(9,-3,-6)}
の間違いでした。
そうすると、Ｂ^2 は、ぴったりＡに一致します。

ここで使うＣは、
Ｃ＝{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)}　の他に
Ｃ＝{(-1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)}
Ｃ＝{(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-2)}
など、８通り存在するので、Ｂも８通り作ることが出来ます。

No.22196 - 2013/08/07(Wed) 17:48:49

☆ Re: 線形代数 / うんうん

私もP^(-1)を確認しないで申し訳ありませんでした。

ヨッシーさん、angelさん、
ご回答ありがとうございました。

No.22204 - 2013/08/08(Thu) 00:04:00

★ 積分 / しじみ

ｔの関数ｆ(ｔ)をｆ(ｔ)＝∫０→π(絶対値)sinx-t(絶対値閉じる)と定める、ｔが実数全体を動く時f(ｔ)の最小値をもとめよ。

この問題がわかりません・・・
どなたかお力をください。
よろしくおねがいします

No.22181 - 2013/08/06(Tue) 00:41:54

☆ Re: 積分 / ＩＴ

いくつかの方法があると思いますが、まずは、グラフを描いて考えて見通しを立ててみましょう。

y=sinxとy=t(0≦t≦１）のグラフを描きｆ(ｔ)が、どの部分の面積を表すか考えます。

tが0から1まで動くときy=tとy=sinxの交点が変化し、
ｆ(ｔ)（：面積）は、最初減っていきます。
増える量＜減る量です。
途中、増える量＝減る量となるtがあり。
その後、増える量＞減る量となります。
増える量＝減る量となるtでのf(ｔ)が最小値です。
（厳密には量ではないかも知れませんが）

線分A(０,t)B(π,t）とy=sinxの交点をP,Qとすると
AP+QB=PQとなるときが増える量＝減る量となるときです。
P(π/4,t),Q(3π/4,t)のとき、すなわちt=sinπ/4のときです。

もちろん、sinx-tの正負で場合分けして絶対値を外して定積分を求めれば出来ると思います。

No.22182 - 2013/08/06(Tue) 03:00:14

☆ Re: 積分 / angel

tのままだと扱いづらいので、肝の0≦t≦1の部分は t=sinθと置いてしまいましょう。
つまり、
　g(θ)=f(sin(θ))=∫[0,π] |sinx-sinθ| dx
として、gのことを考える、と。
なお、 g(θ)=2∫[0,π/2] |sinx-sinθ| dx となりますから、積分区間を x=θで区切るのが良さそうです。

No.22183 - 2013/08/06(Tue) 07:42:05

★ 三角関数の合成の解法 / ドーパミン破壊光線

1/2sinθ+√3/2cosθをrsin(θ+α)に変形する。[-π<α<π]
という問題で、授業ノートを見ると1:2:√3の直角三角形とその中に角60°が書かれており、途中式が2sin(θ+π/3)×1/2=sin(θ+π/3)…[答え]
となっていたのですが、図と式の意味がいまいち分かりません。どういうことなのか教えて頂きたいです。

No.22174 - 2013/08/05(Mon) 14:54:13

☆ Re: 三角関数の合成の解法 / ヨッシー

「rsin(θ+α)に変形する」という目標があるので、
逆に、rsin(θ+α)に変形出来たとすると、
　rsin(θ+α)＝ｒ{cosαsinθ＋sinαcosθ}
であるので、ｒcosα＝1/2, ｒsinα＝√3/2 となるような
ｒとαを見つければ、
　(1/2)sinθ+(√3/2)cosθ＝rsin(θ+α)
と変形できます。

ここで、直角を挟む２辺が１：√３の直角三角形が登場します。
αに当たる角は60°、ｒは１です。

よって、
　(1/2)sinθ+(√3/2)cosθ＝sin(θ＋60°)
と変形できます。

No.22175 - 2013/08/05(Mon) 15:57:45

☆ Re: 三角関数の合成の解法 / ドーパミン破壊光線

ありがとうございます。

No.22176 - 2013/08/05(Mon) 16:15:11

★ 区分求積 / ktdg

x≧0のとき
x-x^2≦sinx≦x
が成り立つことを示し, 極限値
lim[n→∞]Σ[k=1～n]sin{1/(n+k)}
を求めよ.

x-x^2≦sinx≦xを証明して, x=1/(n+k)(>0)とおき,
lim[n→∞]Σ[k=1～n]1/(n+k)=log2
lim[n→∞]Σ[k=1～n]{1/(n+k)-1/(n+k)^2}=log2
から, 挟み撃ちの原理で log2になるのだと思うんですが,
lim[n→∞]Σ[k=1～n]{1/(n+k)-1/(n+k)^2}=log2
の証明がわかりません.
lim[n→∞]Σ[k=1～n]1/(n+k)^2=0
になるんでしょうか？

No.22172 - 2013/08/04(Sun) 23:06:02

☆ Re: 区分求積 / angel

区分求積の典型例が、
　lim[n→∞] Σ[k=1,n] 1/n・f(a+bk/n)
　= ∫[0,b] f(a+t) dt
　= ∫[a,a+b] f(t) dt
であることを思い出してください。

そうすると、
　lim[n→∞] Σ[k=1,n] 1/n・1/(1+k/n)^2 = ∫[1,2] 1/t^2・dt
ですから、
　lim[n→∞] Σ[k=1,n] n/(n+k)^2
であれば、非0の値に収束します。

ところが今回は 1/(n+k)^2 ですから、上の形を更に1/nしたものです。なので、0 に収束します。

証明としては、(0に収束する形)×(XXに収束する形)→0に収束、という方針で書けば良いと思います。

No.22173 - 2013/08/04(Sun) 23:59:22

☆ Re: 区分求積 / ktdg

ありがとうございます.

No.22188 - 2013/08/06(Tue) 21:17:58

★ (No Subject) / ＩＴ

新課程　青チャ２Ｂの例題について質問です。
２次方程式x^2-2px+p+2=0が次の条件を満たす解を持つように、定数pの値の範囲を定めよ。
（１）２つの解がともに１より大きい。
（２）１つの解は３より大きく、他の解は３より小さい。

模範解答では
２次方程式x^2-2px+p+2=0の２つの解をα、βとする。
（１）は判別式≧０、かつ、・・・として解いていますが
（２）は
α＜βとすると、
　α＜３＜βであるための条件は、(α－３)(β－３)＜0
　ゆえに、p+2-3*2p+9＜0、よって、p＞11/5

としており、判別式≧０を明示していません。
結果的な答えのp＞11/5は正しいですが、

(α－３)(β－３)＜0　ならば、２次方程式x^2-2px+p+2=0は実数解を持つ
は、自明ではないような気がします。

「判別式≧０の記述は必要ないのか」と子供に聞かれましたが、すっきりた回答ができません。ご意見をお願いします。

No.22162 - 2013/08/03(Sat) 09:54:44

☆ Re: / ヨッシー

判別式を言わなくても良い理由はいくつか考えられます。
１．(1)→(2) という流れで、(1) で示したＤ＞０の条件
　ｐ＜－１または２＜ｐを満たしているのは明らかなため。
２．α、βが虚数とすると、共役な複素数になるので、
　α＝ａ＋ｂｉ、β＝ａ－ｂｉ
これから同じ数３を引いているので、
　α－３＝ｃ＋ｂｉ、βー３＝ｃ－ｂｉ
の形になり、(α－３)(β－３)＝ｃ^2＋ｂ^2＞０となるため、
　(α－３)(β－３)＜0
を満たさない。

３．そもそも、この解と係数の関係を使った方法はあまり
模範的ではなくて、普通は f(x)＝x^2-2px+p+2 とおいて、
　f(3)＜０
だけで一発なんです。(判別式は不要です)
下に凸なグラフで、f(x)＜０の部分があると言うことは
２実解を持ちますからね。

これに照らし合わせると、(α－３)(β－３) は、
(３－α)(３－β) とも書けるわけですが、これは、
　f(x)＝x^2-2px+p+2＝(ｘ－α)(ｘ－β)
にｘ＝３を代入した、いわゆる f(3) と同じですので、
上に書いた理由で、判別式は言う必要がないです。

説得力としては、３＞２＞１の順かなぁ。

No.22163 - 2013/08/03(Sat) 10:50:05

☆ 個人的見解 / angel

>（２）は
…(略)…
> としており、判別式≧０を明示していません。

ヨッシーさんの説明の通り、自動的に実数解を持つ ( 判別式≧0 となる ) のは確かなのですが、明示しないことで減点の対象になる可能性は大いにあると思います。
※分かってて省略しているのか、そもそも考えていないのか、第三者からみて判断できない。

なので、ヨッシーさんの説明１とややかぶりますが、

　よって、p＞11/5
　これは (1) で計算した p＜-1 または 2＜p を満たすため、判別式D≧0 も成立する。

のように、フォローの説明を入れることを考えます。

No.22164 - 2013/08/03(Sat) 11:24:54

☆ Re: / ＩＴ

ヨッシーさんangelさん　さっそくていねいな回答ありがとうございました。おっしゃるとおりだと思います。

なお、旧課程の青チャにもこの問題があって
（指針）
（１）まず,Ｄ≧０　α＞１,β＞１⇔(α-1)+(β-1)＞0,⇔(α-1)(β-1)＞0
（２）α＜βとすると α＜３＜β⇔(α－３)(β－３)＜0(Ｄ＞０は不要）
いずれも,α+β,αβのペアで計算する。
グラフ利用なら,Ｄ,軸,f(k)の符号がポイント。

とあります。（書いてあるそのままです）

旧課程版ではわざわざ、「(Ｄ＞０は不要）」としている
新課程版では、ほぼ同様の指針がありますが「(Ｄ＞０は不要）」の記述はありません。不正確であると指摘があって直したかもしれませんね。それでも模範解答は、不十分だと思います。

No.22165 - 2013/08/03(Sat) 12:12:48

★ 郡数列 / やはり｛高3｝

奇数を並べてできる数列｛an｝があり、

1,3 |1,3,5,7|1,3,5,7,9,11|1,3,5,7,9,11,13,15|……

第k郡には１から小さい順に2k個の奇数が含まれている

問

49が初めて現れるのは第何群であるか。また、aN=49となる最小のNの値を求めよ

さらにそのNに対して

N
?蚤k
k=1

の値をもとめよ

問題の意味すらよくわからないです。

おねがいします。

No.22142 - 2013/08/01(Thu) 21:52:23

☆ Re: 郡数列 / あじけなし(高3)

答案を気にせず考えますと、各群に含まれる数列1,3,5,7・・・となる数列｛an｝数列は初項1,公差が2である等差数列であるからan=2n-1で,bn=49となるとき2n-1=49よりn=25。
ここで、各群に含まれる項数は2kである。k=12のとき2×12=24より、第12群には数列｛an｝の項が24個含まれるが,第25項を含んでいないので不適。k=13のとき3×13=26より,第13群には数列｛an｝の項が初項から第26項までの26個含まれる。このとき第13群には数列｛an｝の第25項が含まれている。∴49が初めて現れるのは第13群。問題のaNとはなにを表したものでしょうか・・

No.22143 - 2013/08/01(Thu) 22:18:42

☆ Re: 郡数列 / らすかる

第k群の最大の（最後の）値は 4k-1 であり
4k-1≧49 を解くと k≧12.5 だから、13群。
13群の最後の数は4×13-1=51なので、49は13群の最後から2番目。
第k群の項数は2kだから、13群までの項数の合計は2(13×(13+1)÷2)=182。
よってa[N]=49となる最小のNは181。
第k群の合計はΣ[i=1～2k](2i-1)=4k^2だから
13群までの合計はΣ[k=1～13](4k^2)=3276なので
Σ[k=1～181]a[k]=3276-51=3225

No.22144 - 2013/08/01(Thu) 22:35:57

☆ Re: 郡数列 / やはり｛高3｝

ありがとうございます！

あと、できたら
この?狽ﾌ求めるものなどの
日本語表現を、つかみにくいので
おしえてほしいです。

No.22148 - 2013/08/02(Fri) 00:58:47

☆ Re: 郡数列 / らすかる

「?狽ﾌ求めるものなどの日本語表現」とはどういう意味ですか？

No.22150 - 2013/08/02(Fri) 01:41:59

☆ Re: 郡数列 / angel

> 問題の意味すらよくわからないです。
これは日本語能力の問題なので、精進するしかないです。( 国語でも数学でも教えてはくれないけど )

記号になじめないということであれば。まずはΣから。
ギリシャ文字Σ(シグマの大文字)は、数学では「総和」( 色々足した結果 ) を表します。
おそらく、英語の Summation(総和) の頭文字から来ているものと思います。( ギリシャ文字ΣはアルファベットのSに相当 )

高校までで出てくるのは Σ[k=1,n]a(k) の形式 ( k=1がΣの下、n が上にあると思ってください ) です。
これは、1～n の整数をそれぞれ k に当てはめた時の a(k) を足し合わせたものを意味します。
早い話が、
　Σ[k=1,n] a(k) = a(1)+a(2)+a(3)+…+a(n-1)+a(n)
他の例としては、
　Σ[k=1,5] k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2
　Σ[k=2,4] 1/(k-1) = 1/(2-1) + 1/(3-1) + 1/(4-1)
とか。

No.22160 - 2013/08/03(Sat) 08:22:33

☆ Re: 郡数列 / angel

で、問題の意味が分かりにくければ、問題を小規模化して感触を確かめるのは、多くの場合有効です。
※数学が得意な人は多かれ少なかれ、頭の中でそういうことをして規則性なりを見つける、ということを自動的にこなしているはず

49では大きすぎて分かりにくいとしても、代わりに 9 だったら…? ( 9 ってのはテキトーです。11 とか 13 とかでも構いません )

数列が
　( 1, 3 ) ( 1, 3, 5, 7 ) ( 1, 3, 5, 7, *9*, 11 ) ( 1, 3, 5, 7, *9*, 11, 13, 15 ) …
と並んでいて、
9 は何度も登場しますが、初めて登場するのは第3群 ( ()1組が1群 ) の5番目です。

全体で見ると
　第3群の5番目 … 全体の11番目
　第4群の5番目 … 全体の17番目
　第5群の5番目 … 全体の25番目
　…
に 9 が現れます。つまり、a(11)=a(17)=a(25)=…=9 であり a(N)=9 を満たす N は、N=11,17,25,… その最小のものは 11 です。
※早い話が、最初に出てくる 9 は、全体の 11番目ですよ、ということ。

では、この N=11 を使って Σ[k=1,N] a(k) の値を求める、というのは?
つまり、Σ[k=1,11] a(k) = a(1)+a(2)+…+a(10)+a(11) を計算するということ。
今回は、1+3+1+3+5+7+1+3+5+7+9 ってことになるので結果は 45 です。

…実際には、9 ではなくて 49 なので最小のNが181です。そのため、規則性を上手く使って計算を工夫しないととても手間がかかりますが、それでも全部書き出して計算することも不可能ではないはずです。
一度はそれだけ手間をかけようと頑張るのも悪くないと思います。( 記号だけ小手先でいじってもできるようにはならないので… )

No.22161 - 2013/08/03(Sat) 08:50:40

★ ベクトル / あじけなし(高3)

四面体OABCがあり,∠AOB=AOC=90°,∠BOC=60°,辺OA,BC,OCの長さはそれぞれa,a,2aである。このとき,点O三角形ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面との交点をPとするとき,Pが三角形ABCの内部(辺上を含む平面に下ろした)にあるためのaの条件を求めよ。

できれば、ベクトルを利用した解き方を紹介していただければ幸いです。ベクトルの演習問題をあまりこなしていないのでベクトルの扱いはあまりなれていないので詳しく教えていただけるとありがたいです

No.22139 - 2013/08/01(Thu) 18:23:09

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

致命的なものを含み、問題文がちょいちょいおかしいです。

今一度見直してください。

No.22140 - 2013/08/01(Thu) 19:47:55

☆ Re: ベクトル / あじけなし(高3)

申し訳ございません。辺OA,OB,OCの長さがそれぞれa,a,2aでした。あと、点Oから三角形ABCを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点がPです。誤字脱字申し訳ございません

No.22141 - 2013/08/01(Thu) 19:55:27

☆ Re: ベクトル / angel

∠AOB=∠AOC=90°,∠BOC=60°で辺OA,OB,OCの長さがそれぞれa,a,2a ( OA:OB:OC=1:1:2 ) だと、四面体OABCの形状が一意に決まってしまう ( 全て相似形 ) ので、問題にならないような…。
長さの条件、それで合ってますか?

No.22145 - 2013/08/01(Thu) 23:25:05

☆ Re: ベクトル / あじけなし(高3)

またまた申し訳ございません、a,a,2でした。何度もすいません・・

No.22146 - 2013/08/01(Thu) 23:32:20

☆ 方針 / angel

ベクトルというのは、地道な計算で図形的な性質を割り出せるのが良い所なので…。ただひたすらに情報を整備して周ることでしょうか。

今回、OA,OB,OCの3ベクトルが独立 ( 同一方向を向いていない、同一平面上にない ) なので、これを基準に考えることになります。例えば AB = OB - OA といった具合に。
※ベクトルを表す矢印は見辛いので省略します。
で、Pが今回焦点ですから、これを
　OP = pOA + qOB + rOC
と置き、p,q,r の条件を探っていく形になります。

No.22149 - 2013/08/02(Fri) 01:25:59

☆ 情報の整理 / angel

では、情報を整理していきます。線分の長さ=ベクトルの大きさや、角度から内積の条件を探ったり、後は位置条件等も。

・OA,OB,OCの基本情報
　→ それぞれの組み合わせでの内積
　　OA・OA=a^2, OB・OB=a^2, OC・OC=2^2
　　OA・OB=0, OB・OC=a・2・cos60°=a, OC・OA=0
　　※内積0は2ベクトルのなす角が90°のため
・OPの情報
　Pは平面ABCへのOから下ろした垂線の足
　→ Pは平面ABC上
　　p + q + r = 1
　→ 直線OPは平面ABCと垂直
　→ 直線OPと平面ABC上の任意の直線は垂直
　→ OPとAB,BC,CAはいずれも垂直
　　OP・AB = 0 ⇔ OP・(OB-OA)=0 ⇔ (OA・(OB-OA))p+(OB・(OB-OA))q+(OC・(OB-OA))r=0
　　OP・BC = 0 ⇔ OP・(OC-OB)=0 ⇔ (OA・(OC-OB))p+(OB・(OC-OB))q+(OC・(OC-OB))r=0
　　OP・CA = 0 ⇔ OP・(OA-OC)=0 ⇔ (OA・(OA-OC))p+(OB・(OA-OC))q+(OC・(OA-OC))r=0
　　※このうち2条件を使うと、残りの条件も自動で満たされる。なので3条件全部を使う意味はない

・Pが△ABCの内部もしくは周上
　→ p≧0 かつ q≧0 かつ r≧0

結局、条件を整備すると p,q,r の連立一次方程式になりますので、それを解くのがメインになります。
…今回は分母がaの2次式になるので、ちょっと面倒だと思いますが。
ちなみに、
　p=3/(a^2-2a+7), q=(4-a)/(a^2-2a+7), r=a(a-1)/(a^2-2a+7)
となるかと思いますので、最後の≧0の条件を使って、1≦a≦4 が最終的な答えでしょう。

No.22151 - 2013/08/02(Fri) 01:43:07

★ 行列 / たかひろ（高３）

連続で申し訳ないのですが、教えてくださいお願いします。

行列ＥとＡを
　
Ｅ＝M{(1,0),(0,1)}, A={(4,2),(2,-1)}とおく
　　
行列、xE-Aが逆行列を持たないようなxの２つの値をα、β(α＞β）とし行列Ｐ，Ｑを
　
　Ｐ=(1/α-β）{(α+1,3),(2,α-4)}，　Ｑ=(1/β-α){(β+1,3),(2,β-4)}で定める。
(1)行列の積PQを求めよ
(2)自然数ｎに対して、Ｐ^nを求めよ
(3)すべての自然数ｎに対してA^n=α^(n)P+β^(n)Qが成り立つことを示せ

No.22137 - 2013/08/01(Thu) 13:09:42

☆ Re: 行列 / 黄桃

問題を写し間違っていませんか？
とりあえず αP+βQ は Aになりません。

正しい問題はAの1行2列成分が3ですかね。

あと、こうした問題をみたら、少しでも自分で考えるようにしないといつまで経っても自分で解けるようにはなりません。(1)すらできない、ということは相当まずいです。

xE-Aを P,Qのようにxを含んだ成分表示し、その行列が逆行列を持たない条件を式にすれば、α、βはxの2次方程式の解になります。まずはこれを求めてみてください。それがわかれば、P,Qの具体的な形がわかります。

(1)は計算するだけです。QPも計算してみてください。

(2)も計算するだけです。P^2すら計算してないのでしょうから、計算してみてください。ついでにQ^2も計算してみてください。

(3)は数学的帰納法で証明しましょう。その時に (1),(2)の結果を使います。

＃(3)から(1),(2)の答を予想するという裏技もありますが、おすすめしません。
＃＃舞台裏を知っていると計算が楽になりますが、
＃＃この問題は普通に計算すれば解ける問題ですから
＃＃必要ないでしょう。

No.22147 - 2013/08/02(Fri) 00:06:06

☆ Re: 行列 / たかひろ（高３）

ごめんなさい、写し間違えていました。
誤り　Ｅ＝M{(1,0),(0,1)}, A={(4,2),(2,-1)}とおく
訂正　Ｅ＝M{(1,0),(0,1)}, A={(4,3),(2,-1)}とおく

自分でやってみたのですが、合ってますか？
（１）
xE-Aは逆行列を持たないので、
x^2-3x-10=0より(x-5)(X+2)=0すなわちx=5,-2したがって、α=5、β=-2　
ゆえにPQ＝(-1/49)M{(0,0),(0,0)}=0

(2)
P=(1/7)M{(6,3),(2,1)}より
Ｈ・Ｃの定理より
P^2=Pとなり
P^n=p^2*P^n-2=P^n-1
P^n=P^n-1=P^2*P^n-3=P^n-2
以下同様にして
P^n=P^n-1=P^n-2・・・・・P=(1/7)M{(6,3),(2,1)}

(3)
ＱＰ=(-1/7)M{(-1,3),(2,-6)*(1/7)M{(6,1),(2,1)}=M{(0,0),(0,0)}=0

Ｑ=(-1/7)M{(-1,3)(2,6)}でありＨ・Ｃより
Ｑ^(2)-Ｑ=0よりQ^2=Q
(2)と同様にして、Q^n=Q
したがって
A^n=5^(n)*P+(-2)^(n)Qであることを数学的帰納法で示すと
1)n=1のとき
(左辺）=5*(1/7)M{(6,3),(2,1)}+(-2)*(1/7)M{(-1,3),(2,-6)}=A
2)
n=kのとき
Ａ^k=5^k*p+(-2)^(k)*Q
両辺に右からA=5*p+(-2)^(k)*Qをかける。
そして
A^k+1=5^(k+1)*P^2+5*(-2)^(k)*Q*P+5^(k)*(-2)*P*Q+(-2)^(K+1)*Q^2
PQ=QP=0,P^2=P,Q^2=Qより
A^k+1=5^(k+1)*P+(-2)^(k+1)*Qとなる

No.22153 - 2013/08/02(Fri) 13:03:45

☆ Re: 行列 / ヨッシー

概ね良いと思います。

>両辺に右からA=5*p+(-2)^(k)*Qをかける。
は、「A=5P-2Q」ですね。^k は余分です。

ケーリーハミルトンでも良いですが、普通に２回掛けた方が
素直かも。（悪いわけではないです）

あとは、最後の決めゼリフ「以上より、任意の自然数ｎについて・・・」
をはじめ、適当な日本語を付けておきましょう。

No.22157 - 2013/08/02(Fri) 16:43:56

☆ Re: 行列 / 黄桃

お疲れ様でした。

ちなみに、舞台裏はこんな感じです。
最初の2次方程式が重解をもたないすべての場合に使えます。

準備
det(xE-A)=0 という2次方程式は
x^2-tr(A)x+det(A)=0
であり、また、HCの定理から
A^2-tr(A)A+det(A)E=O
であるから、HCの定理は結局
A^2-(α+β)A+αβE=O ...(*)
となる。
本問の場合、判別式からα≠βであることもわかる。
（重解の場合は違う手法が必要）

最初に
(ア) P+Q=E
(イ) αP+βQ=A
であることを直接確かめる。
これより、
（ア)xα-(イ) から、
(α-β)Q=αE-A
α≠βだから、
Q=(αE-A)/(α-β)
同様に（ア)xβ-(イ)から
P=(βE-A)/(β-α)
である。
したがって、
PQ=-1/(α-β)^2(A^2-(α+β)A+αβE)=O ((*)より)
である。
QP=O もPQの場合でαとβを入れ替えるだけだから同様にO。

P+Q=E の両辺に左からPをかければ
P^2+PQ=P であり、PQ=O より P=P^2。
同様にQをかけることで Q=Q^2。

A^n=α^nP+β^nQ となることは証明していただいた通り。

別の見方：HCから
A^2-tr(A)A+det(A)E=O
両辺にA^n をかけると
A^(n+2)-tr(A)A^(n+1)+det(A)A^n=O
これは
a[n+2]-tr(A)a[n+1]+det(A)a[n]=0
という3項間漸化式と似ていて、実際同じ方法でA^nを計算することができる。

A^(n+2)-αA^(n+1)=β(A^(n+1)-αA^n)=....=β^(n+1)(A-αE)
A^(n+2)-βA^(n+1)=α(A^(n+1)-βA^n)=...=α^(n+1)(A-βE)

あとは3項間漸化式の場合と同じです。

＃ついでにいえば、A^(-1)が存在するとき、
＃A-αE=β(E-αA^(-1))=βE-det(A)A^(-1)
＃であり、問題文のPはわざわざこの形を使っています。

No.22159 - 2013/08/03(Sat) 00:47:01

★ (No Subject) / たかひろ（高３）

教えてくださいお願いします。

２次の正方行列Ａ=M{(a,b),(c,d)}が逆行列Ａ^-1を持ち、Ａの各成分が整数であるとする。
(1)逆行列Ａ^-1の各成分が整数であるための必要十分条件はad-bc=(＋１)かつ(-1)であることを示せ
(2)a=-c=-dのとき、Ａ^-1各成分が整数であるような行列Ａをすべて求めよ
(3)a=d, |b|≦1, |c|≦1のとき、Ａ^-1の各成分が整数である行列Ａの個数を求めよ

No.22136 - 2013/08/01(Thu) 13:06:26

☆ Re: / ヨッシー

(1) +1 かつ -1 ということはないので、+1 または -1 でしょう。
十分条件は自明なので、必要条件を示します。
ad-bc＝α とおきます。（αは０位外の整数）
条件より、a,b,c,d はすべてαの倍数であるので、
a＝sα, b＝tα, c＝uα, d＝vα　(s,t,u,v は整数) とおけます。
この時、
　ad-bc＝(sv-tu)α^2＝α
α≠０より、両辺αで割って
　(sv-tu)α＝１
sv-tu, α ともに整数なので、α＝±１に限ります。

(2)
(1) の結果より、
　ad-bc＝-a^2＋ab＝±1
　a(b-a)＝±1
これを、a, b が整数の条件下で解くと、
　(a,b)＝(1,2),(1,0),(-1,0),(-1,-2) (以下略)

(3)
(1) の結果より
　a^2－bc＝±1
　a^2＝bc±1
bc は、1,0,-1 のいずれかですが、
bc＝1 のとき、a^2＝０よりａ＝ｄ＝０
bc＝0 のとき、a^2＝１より、ａ＝ｄ＝±１
bc=-1 のとき、a^2＝０よりａ＝ｄ＝０
(以下略)

No.22138 - 2013/08/01(Thu) 17:28:03

★ 微分・積分 / 斉藤

自然数ｎに対して、Ｉ[n]=∫[0,1](x^n/1+ｘ)dxとおく

(1)Ｉ[1]をもとめよ。さらに、すべての自然数nに対して、I[n]＋Ｉ[n+1]=1/n+1が成り立り立つことを示せ。
(2)不等式1/2(n+1)≦I[n]≦1/n+1が成り立つことを示せ。
(3)　(1),(2)の結果を用いて、log(2)=Σ[n=1,∞]{(-1)^(n-1)/n}が成り立つことを示せ。

是非ともご教え示ください、お願いします。（現役３年）

No.22124 - 2013/07/31(Wed) 15:29:41

☆ Re: 微分・積分 / X

(1)
(左辺)=∫[0,1]{(x^n)/(1+x)+x^(n+1)/(1+x)}dx
=…({}内で(x^n)/(1+x)をくくり出します)
(2)
0≦x≦1において
(1/2)x^n≦(x^n)/(1+x)≦x^n (A)
(証明は省略します)
(A)の各辺のx:0→1における定積分を考えます。
(3)
(1)の結果より
I[n+1]/(-1)^(n+1)-I[n]/(-1)^n={(-1)^(n+1)}/(n+1)
a[n]=I[n]/(-1)^nと置くと
a[n+1]-a[n]={(-1)^(n+1)}/(n+1)
∴a[n]=a[1]+Σ[k=2～n]{(-1)^k}/k
a[n]を元に戻して
I[n]/(-1)^n=-I[1]+Σ[k=2～n]{(-1)^k}/k (B)
ここで
I[1]=∫[0,1]{x/(1+x)}dx=∫[0,1]{1-1/(1+x)}dx
=1-log2
(B)に代入して
I[n]/(-1)^n=log2-1+Σ[k=2～n]{(-1)^k}/k
これより
I[n]/(-1)^n=log2+Σ[k=1～n]{(-1)^k}/k
Σ[k=1～n]{(-1)^k}/k=-log2+I[n]/(-1)^n
Σ[k=1～n]{(-1)^(k-1)}/k=log2-I[n]/(-1)^n (C)
ここで(2)の結果からはさみうちの原理により
lim[n→∞]I[n]=0 (D)
(C)でn→∞を考えて(D)を用いることにより
問題の等式が成立します。

No.22125 - 2013/07/31(Wed) 15:51:05

★ 条件付き確率 / 高橋（高2）

よろしくお願いします。

【問題文】
11個のボールが11個の箱にいくつかずつ、でたらめに入っている。空の箱がちょうど2個であることがわかっているときに、残りのどれかの箱に3個のボールが入っている条件つき確率を求めよ。

【答え】
1/7

空の箱がちょうど2個である確率と、どれかの箱に3個のボールが入っている確率の関係を考えればよいと思ったのですが、自分では答えにたどり着けませんでした。
どのように考えればよいのでしょうか？？

No.22122 - 2013/07/31(Wed) 12:51:32

☆ Re: 条件付き確率 / らすかる

空の箱が2個で3個のボールが入っている箱がある確率は
p=11C3×8!×11C1×10C2/11^11
空の箱が2個で3個のボールが入っている箱がない確率は
q=11C2×9C2×7!×11C2×9C2/11^11
なので、求める条件付き確率は
p/(p+q)=1/7

No.22126 - 2013/07/31(Wed) 15:56:47

☆ Re: 条件付き確率 / 高橋（高2）

らすかるさん、ありがとうございます。

「11^11」が、「11個のボールを区別し、11個の箱も区別するときの全ての場合の数」だということは分かりました。
しかし、確率pにおける「11C3」「8!」「11C1」「10C2」と、確率qにおける「11C2」「9C2」「7!」「11C2」「9C2」が何を表すのかが、まだ分からないです。

もしよろしければ教えてください。

No.22130 - 2013/08/01(Thu) 00:45:40

☆ Re: 条件付き確率 / ヨッシー

横レスですみませんが、
p=11C3×8!×11C1×10C2/11^11
11C3：11個のボールのうちどの3個を1つの箱に入れるか？
8!：残りの8個の並べ方(箱への入れ方)
11C1：どの箱に３個入れるか
10C2：どの箱を空にするか？

q も意味するところは p と同じです。
（掛けている順番も同じです）

No.22132 - 2013/08/01(Thu) 01:16:58

☆ Re: 条件付き確率 / 高橋（高2）

理解することができました！
お二方のおかげで、答えまでたどり着くことができました。
ありがとうございましたm(__)m

No.22133 - 2013/08/01(Thu) 03:14:13

★ 曲線の長さ / ktdg

曲線C:x=θ-sinθ, y=1-cosθ (0≦θ≦2π)がある. Cの点Pでの接線上の点Qを, 線分PQの長さが曲線CのOからPまでの部分の長さであり, 点Qのx座標がPのx座標より小さくなるように定める.
C上の点Pが点Oから点(π,2)まで動くとき, 点Qの描く曲線の長さを求めよ.

点Pのx座標をt(0<t≦π)とし, C:y=f(x)とすると, PにおけるCの接線lの方程式は,
l:y=f'(t)(x-t)+f(t)
t=θ-sinθとおくと,
f(t)=1-cosθ
f'(t)=dy/dt=(dy/dθ)/(dt/dθ)=sinθ/(1-cosθ)より,
l:y={sinθ/(1-cosθ)}(x-θ+sinθ)+1-cosθ
また, 曲線CのOからPまでの長さは,
∫[0～θ]√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ
=∫[0～θ]√(2-2cosθ)dθ=∫[0～θ]√2sinθ/√(1+cosθ) dθー?@
cosθ=sとおくと, sinθdθ=-ds
θ:0～θ
s:1～cosθ より, ?@は,
∫[cosθ～1]√2/√(1+s) ds=2√2[√(1+s)][cysθ～1]=4-2√(2+2cosθ)
Qの座標を(X,Y)とすると, Qはl上の点であるから,
Y={sinθ/(1-cosθ)}(X-θ+sinθ)+1-cosθー?A
PQ=4-2√(2+2cosθ)より,
(θ-sinθ-X)^2+(1-cosθ-Y)^2={4-2√(2+2cosθ)}^2ー?B

?Aと?BからX,Yをθであらわして, ∫[0～π]√{(dX/dθ)^2+(dY/dθ)^2}dθを計算すればよいと思ったのですが計算が煩雑すぎてできませんでした. 他にいいやり方はありますか？

No.22121 - 2013/07/31(Wed) 12:13:10

☆ Re: 曲線の長さ / ヨッシー

点Ｐ（θ－sinθ, １－cosθ）における接線の傾きは、sinθ/（１－cosθ）
曲線ＯＰの長さは
ＯＰ＝∫[0～θ]√{(1-cost)^2＋sin^2t}dt
　　＝∫[0～θ]√(２－２cost)dt
1－cosθ＝2sin^2(θ/2) より
ＯＰ＝２∫[0～θ]sin(t/2)dt
　　＝-4[cos(t/2)][0～θ]
　　＝４－４cos(θ/2)

点Ｐ（θ－sinθ, １－cosθ）から、傾き sinθ/（１－cosθ）方向に
長さ４－４cos(θ/2) だけ、進む時のｘ成分、ｙ成分は、
　√{(１－cosθ)^2＋sin^2θ}＝√(２－２cosθ)＝2sin(θ/2)　より
ｘ成分：{４－４cos(θ/2)}×(1-cosθ)／2sin(θ/2)
　　　　＝４{１－cos(θ/2)}sin(θ/2)
　　　　＝４sin(θ/2)－２sinθ
ｙ成分：{４－４cos(θ/2)}×sinθ／2sin(θ/2)
　　　　＝４{１－cos(θ/2)}cos(θ/2)
　　　　＝４cos(θ/2)－４cos^2(θ/2)
　　　　＝４cos(θ/2)－２cosθ－２
よって、Ｑの座標は
（θ－４sin(θ/2)＋sinθ，３－４cos(θ/2)＋cosθ）
これのθ＝０からπまでの長さＬは
　Ｌ＝∫[0～π]√{(１－2cos(θ/2)＋cosθ)^2+(2sin(θ/2)－sinθ)^2}dθ
　(１－2cos(θ/2)＋cosθ)^2+(2sin(θ/2)－sinθ)^2
＝６－4cos(θ/2)＋2cosθ－4cos(θ/2)cosθ－4sin(θ/2)sinθ
＝４{cos^2(θ/2)－2cos(θ/2)＋1)
＝４(１－cos(θ/2))^2
よって、
　Ｌ＝２∫[0～π](1-cos(θ/2))dθ
　　＝２[θ－２sin(θ/2)][0～π]＝２π－４
となりました。

No.22127 - 2013/07/31(Wed) 17:02:30

☆ Re: 曲線の長さ / ktdg

ありがとうございます.

No.22152 - 2013/08/02(Fri) 13:00:15

★ (No Subject) / たかひろ（高３）

教えてくださいお願いします。

xyz座標空間において、△ABCはxy平面上にある１辺の長さがaである正三角形である。半径bの球の中心が△ABCの辺上を動き、１週する。
このとき、球の通過する部分のつくる図形をKとする。a≧２√3bとするとき、図形Kの体積を求めよ。

No.22116 - 2013/07/30(Tue) 18:06:31

☆ Re: / X

複雑な立体なので図が描けないのがもどかしいですが、
以下、文章で書いていきます。

まず以下の平面でKを6分割します。
・∠A,∠B,∠Cの二等分線を含み、xy平面に垂直な平面の
△ABCの内側にある部分（つまり平面(の一部)は3つできます)
・点A,B,Cを通り辺AB,BC,CAに垂直な平面の
△ABCの外側にある部分（つまり平面(の一部)は6つできます)

この6分割による立体は次の二種類のもの
それぞれ3つになります。
(i)半径bの球を直径を含む平面で三等分したもの
(xy平面への正射影が半径b、中心角2π/3の扇形になります)
(ii)底面の半径b、高さaの円柱からある立体(Lとします)
を２つ取り除いたもの

(i)の立体は３つ組み合わせることで半径bの球となります。
ですので体積の和は
(4π/3)b^3 (A)

問題は(ii)の体積の和の計算です。
上記のように同じ立体が３つありますので
((ii)の体積の和)=3{aπb^2-2・(Lの体積)} (B)
∴立体Lの体積の計算が必要になります。

さてLの形状ですが
底面の半径bの円柱から、
底面の直径を含み、底面とπ/6の角度をなす平面
で切り取った立体
となっています。
今、Lの底面上に以下のようなx軸、y軸を取ります。
x軸：底面の直径の延長線
y軸:底面の中心を通る軸
するとLの存在するx軸方向の範囲は
-b≦x≦b
また、x軸に垂直なLの断面は
底面：√(b^2-x^2)
高さ：(√(b^2-x^2))tan(π/6)
の直角三角形になりますのでその断面積は
(1/2)(b^2-x^2)tan(π/6)={1/(2√3)}(b^2-x^2)
以上からLの体積をTとすると
T=∫[-b→b]{1/(2√3)}(b^2-x^2)dx
={2/(3√3)}b^3 (C)

(B)(C)より
((ii)の体積の和)=3πab^2-(4/√3)b^3 (B)'
(A)(B)'によりKの体積は
(4π/3)b^3+3πab^2-(4/√3)b^3
となります。

No.22118 - 2013/07/30(Tue) 19:18:41

☆ Re: / たかひろ（高３）

解説ありがとうございます。
参考にさせて頂きます。

No.22123 - 2013/07/31(Wed) 15:24:47

★ 積分の応用 / 現役生3

xy平面上の動
点Ａは原点Ｏ(0,0)を出発し、x軸上を点(2,0)まで動くとする。
また、動点Ｂは点(0,1)を出発し、AB=OB=1なる条件を満たしながら第１現象内を点(1,0)まで動くとする。点Ｐは線分ＡＢ上の点で2BP=OAを満たす。
(1)∠AOB=θとするとき、点Ｐの座標をθで表せ。ただし、A=Oのとき除く。
(2)点Ｐの軌跡とx軸、y軸で囲まれた部分の面積Ｓを求めよ。

解き方を教えてください。

No.22111 - 2013/07/30(Tue) 09:21:40

☆ Re: 積分の応用 / X

(1)
条件から
A(2OBcos∠AOB,0) (A)
∴A(2cosθ,0)
又
B(cosθ,sinθ) (B)
一方点Pは線分AB上の点ですので
↑OP=t↑OA+(1-t)↑OB=((1+t)cosθ,(1-t)sinθ) (C)
(0≦t≦1)
と置くことができます。
(A)より
BP=(1/2)OA=cosθ (D)
(B)(C)(D)により
√({(1+t)cosθ-cosθ}^2+{(1-t)sinθ-sinθ}^2)=cosθ
∴t=cosθ
これを(C)に代入して
↑OP=((1+cosθ)cosθ,(1-cosθ)sinθ)
よって
P((1+cosθ)cosθ,(1-cosθ)sinθ)
(2)
P(x,y)とすると
S=∫[0→2]ydx
これに(1)の結果を使って置換します。

No.22113 - 2013/07/30(Tue) 10:44:11

☆ Re: 積分の応用 / 現役生3

Ｘさん助かります、ありがとうございますした。

No.22135 - 2013/08/01(Thu) 12:32:08