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★ 極限 / 京
1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/12+1/16+1/24+・・となる無限級数の収束,発散を調べ収束するときはその和を求めよ。

この問題を教えてください。
No.22537 - 2013/09/14(Sat) 17:11:36
☆ Re: 極限 / ＩＴ
{(1/2)+(1/3)}+{(1/2)+(1/3)}(1/2)+{(1/2)+(1/3)}(1/2)^2+{(1/2)+(1/3)}(1/2)^3+・・
で等比級数のようですね。

・・部分がどうなるかあいまいなので、入試などちゃんとした試験では、こういう出題形式はないと思います。
（極端に言えば、・・部分は、すべて+0もありえます。）
No.22538 - 2013/09/14(Sat) 18:42:00
☆ Re: 極限 / 京
答えは5/3となっているのでその時の解き方を教えてください。
No.22540 - 2013/09/14(Sat) 19:17:27
☆ Re: 極限 / らすかる
(1/2+1/3)+(1/4+1/6)+(1/8+1/12)+(1/16+1/24)+…
=(1/2+1/3)+(1/2+1/3)(1/2)+(1/2+1/3)(1/2)^2+(1/2+1/3)(1/2)^3+…
=(1/2+1/3){1+(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+…}
=(5/6)・2
=5/3
となります。
No.22542 - 2013/09/15(Sun) 08:27:28
☆ Re: 極限 / 京
ありがとうございました。
No.22543 - 2013/09/15(Sun) 13:42:03
★ ベクトル / ひろき
高2のものです、教えて下さい。

三角形OABにおいて、↑OA=↑a,↑OB=bとする。辺OAを2:1に内分する点をP,辺OBを3:2に内分する点をQ、2直線BP,AQの交点をRとする
(1)↑ORを↑a,↑ｂを用いて表せ
(2)OA=5,OB=6,AB=9のとき、内積↑a・↑bの値と、線分ORの長さを求めよ
No.22534 - 2013/09/13(Fri) 23:15:36
☆ Re: ベクトル / angel
ベクトルの特徴は、良くも悪くも機械的な計算で問題が解けること。
殊に、↑OX=α・↑OA + β・↑OB と唯一通り ( 一意に ) 表すことができる、ということを最大限利用します。
※OA,OBが平行でない ( ↑OA,↑OBが一次独立である ) のが前提です

(1)
　直線BP上にある点は s↑OB+(1-s)↑OP と、
　直線AQ上にある点は t↑OA+(1-t)↑OQ と表すことができます。
　なので、両直線上にある点Rについては
　↑OR=s↑OB+(1-s)↑OP=t↑OA+(1-t)↑OQ
　これを↑OA,↑OB (↑ａ,↑ｂ)を使った形にまとめて比較します。
　↑OP=2/3・↑ａ, ↑OQ=3/5・↑ｂ から
　↑OR=s↑ｂ+2(1-s)/3・↑ａ=t↑ａ+3(1-t)/5・↑ｂ
　これにより、( ↑ａ,↑ｂの係数を比較して )
　2(1-s)/3=t, s=3(1-t)/5
　この連立一次方程式を解いて s=1/3, t=4/9
　↑OR=s↑ｂ+2(1-s)/3・↑ａ=4/9・↑ａ+1/3・↑ｂ

(2)
　内積の性質 |↑x|^2=↑x・↑x と分配法則等の計算規則から、
　|↑OB-↑OA|^2
　=(↑OB-↑OA)(↑OB-↑OA)
　=↑OB・↑OB - 2↑OA・↑OB + ↑OA・↑OA
　= |↑OA|^2+|↑OB|^2-2↑OA・↑OB
　これは、余弦定理
　c^2=a^2+b^2-2ab・cosC
　と実は同じものです。
　※↑OA・↑OB=|↑OA||↑OB|cos∠AOB

　で、↑AB=↑OB-↑AB であることから
　|↑AB|^2 = |↑OA|^2+|↑OB|^2-2↑OAｔ・↑OB
　これで内積の方は解けます。

　線分ORについては、
　OR=√( OR^2 )=√( ↑OR・↑OR )
　ということで、ひたすら内積の計算です。
No.22535 - 2013/09/14(Sat) 00:06:49
★ 相似の中心 / レム
ミスりました。こっちです。
No.22529 - 2013/09/13(Fri) 16:13:25
☆ Re: 相似の中心 / ヨッシー
ＳＯ1と円Ｏ1が交わる点をＫ3 とすると、
△ＳＰ1Ｋ3，△ＳＫ1Ｑ1，△ＳＰ2Ｋ2 は相似になります。
よって、
　ＳＫ1：ＳＰ2＝ＳＱ1：ＳＫ2
これより、
　ＳＰ2×ＳＱ1＝ＳＫ1×ＳＫ2
が成り立ちます。
No.22530 - 2013/09/13(Fri) 17:08:23
☆ Re: 相似の中心 / レム
回答ありがとうございました。m(_ _)m
No.22536 - 2013/09/14(Sat) 05:39:28
★ 確率の場合の数の考え方 / アクオス


例えば
5個の同形の赤球から一つを選び出す場合の数は

同形の赤球は区別が出来ないので5c1では計算できなくて、1通りということになると習ったのですが

確率で

3個の赤球と5個の白球から1つを選び出す時、赤球である確率を求める場合

全事象の場合の数　8c1
赤球を選ぶ事象の場合の数　3c1


3c1/8c1 = 3/8　　と計算すると思います。

なぜ確率の場合は区別が出来ないものであっても区別ができるものとして考えるのでしょうか。

他の所でも質問させてもらったのですが、うまく理解が出来ません。
よろしくお願いします。
No.22523 - 2013/09/12(Thu) 19:23:15
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / ヨッシー
場合の数といった場合、違う取り出し方が何通り出来るかということです。
例えば、赤９９９個と白１個から１個取る場合の数は、
赤か白かの２通りです。
この場合、引きやすさは関係ありません。

ところが、確率の場合は、出やすさが関係してきます。
一般に
　確率＝ある事象の場合の数／すべての場合の数
で求めますが、このすべての場合の数１つ１つが同じ確からしさ
で起こるというのが確率を計算する上での絶対条件です。
そしてそれを実現するためには、１個１個を区別して考えるのが
確実な方法です。

例えば、赤２個、白２個、青２個から１個取るときの赤の出る確率を
赤、白、青が出るうちの赤が出るのは１通りなので１／３
としても出来ますが、これは、赤、白、青の出やすさが同じであると
いう確信があるから出来ることであって、これでさえ、全部区別して、
赤１，赤２，白１，白２，青１，青２　の６通りのうち赤が出るのは、
赤１，赤２ の２通りなので、
　２／６＝１／３
とするのが安全で確実な方法です。
No.22524 - 2013/09/12(Thu) 20:06:40
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / アクオス
ヨッシーさんありがとうございます。
確認させてください。


>一般に　確率＝ある事象の場合の数／すべての場合の数
>で求めますが、このすべての場合の数１つ１つが同じ確から>しさで起こるというのが確率を計算する上での絶対条件です。


この部分は、自分の使っている参考書に書かれている

「すべての根元事象が同様に確からしいとき、事象Aの起こる確率P(A)は

P(A) =事象Aの場合の数/全事象Uの場合の数　」

のことだと思います。
根元事象というものがどういうことなのかあまり理解できていなかったのですが

一番最初に書いた問題で考えると

「赤1、赤2、赤3、白1、白2、白3、白4、白5を取り出すときに全て同じ確からしさで取り出される」

ということが

「すべての根元事象が同様に確からしい」

ということで
この条件が満たされない時には

P(A) =事象Aの場合の数/全事象Uの場合の数

この公式が使えないので
この公式を使うために
「全ての根元事象が同様に確からしい」ということを表すために
同形のものでも区別が出来るとものとして扱う

という考え方で合っているでしょうか?
よろしくお願いします。
No.22532 - 2013/09/13(Fri) 19:58:18
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / angel
> この公式を使うために
> 「全ての根元事象が同様に確からしい」ということを表すために
> 同形のものでも区別が出来るとものとして扱う

それは…。ある意味間違ってはいないのですが、どちらかというと出題者側のリクツですね。解答者側としては不適切です。

「全てが同様に確からしくなるような根元事象」を探したところ、今回は「同色の球であっても、仮想的に番号を割り振って区別する」という方式であれば、「個々の球を選択する事象」は、同様に確からしいとみなせる事に気付いたため、この方式を採用した。…というところでしょう。

何故「同様に確からしいか?」は、「常識的にそうだから」としか言えません。大きさ・重さ・手触りなどなど、色以外の属性を全て揃えれば、確率に影響を与える要因はないと言っても良いでしょうから、まあ不自然ではない、と。

そういう前提でもないと確率計算できなくて、問題にならないため、「色が同じ球でも、番号を割り振って区別すれば、同じ確率として扱える」というのがお約束になっている、と見ても良いですが、それは最初に言った通り、解答者側としては不適切です。
※まあ、出題者からは嫌がられますね。
※子供の頃の私みたいだ、というのは、余り大きな声では言えませんが。
No.22533 - 2013/09/13(Fri) 22:16:20
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / アクオス
angelさんありがとうございます。
私は自分の言葉に一度変えないとなかなか理解が出来ないので確認させてください。

「すべての根元事象が同様に確からしいとき
　P(A) =事象Aの場合の数/全事象Uの場合の数」

の公式を利用するために

「全てが同じ確率で起こる根元事象」を探した所、
同形の赤球3個、赤球5個を区別して考えれば、
「個々の球を選択する事象」が「全てが同じ確率で起こる根元事象」と考えることが出来るのでそれぞれの球を区別する。

ということでしょうか？
私は理解力が乏しいので間違った事を書いていたらすみません。

それともう一つ疑問に思ったことがあるのですが
もし、
同形の赤球3個、赤球5個を区別して考えなかったとしたら
なぜこれは「全てが同じ確率で起こる根元事象」として考えられないのでしょうか？
No.22539 - 2013/09/14(Sat) 18:49:11
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / angel
…(略)…
> ということでしょうか？

はい。そうです。

> 同形の赤球3個、赤球5個を区別して考えなかったとしたら
> なぜこれは「全てが同じ確率で起こる根元事象」として考えられないのでしょうか？

「全てが同じ確率で起こる根元事象」として考えるに足る根拠がないからです。
何か理由があるから「考えられない」ではありません。「考えられる」とする理由が不足しているのです。

…とはいえ、感覚的にも、3個の赤玉・5個の白玉から赤・白のどちらかを引く確率が同じだとは思えないでしょうが。
※もしも仮に自分の手で引かずに、「残りの個数に関わらずどの色も同じ確率で選ぶロボット」に代行して貰うなら、赤・白を引く確率は同じになりますよ。それだけの「理由」があるわけです。

一方、計8個の球を全て区別して考えるのであれば、個々の球を選ぶ確率が同じだとするのは、上で書いた通り、まあ説得力があります。

そうすると、
　・赤、白とも同じ 1/2 ずつの確率
　・個数を考え、赤が 3/8・白が 5/8 の確率
のどちらが妥当かと言えば、後者の方がそうだということになります。
No.22541 - 2013/09/14(Sat) 23:01:20
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / アクオス
angelさんありがとうございます。
理解できました。

ヨッシーさんもありがとうございました。
No.22544 - 2013/09/15(Sun) 19:34:53
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / アクオス
angelさんすみません。
１つ疑問に思ったことがあったので確認させてください。
私が完全に出来てなかったと思うので
angelさんの書かれていることともしかしたら違うかもしれません。

もし赤球5個、白球3個に区別をつけないとしたら
根元事象が、
「赤球を引くか、白球を引くか」
ということになってしまうということなのでしょうか？
それだと1/3と1/5で「赤球を引くか白球を引くかという事象」は同じ確率で起こるとはいえないので公式を使えない


区別をつければ
赤1、赤2、赤3、白1、白2、白3、白4、白5
からそれぞれを引く確率は全て「1/8」で
この「個々の球を選択する事象」は同じ確率で起こるといえる


これはまた考え方が違うでしょうか？
よろしくお願いします。
No.22545 - 2013/09/15(Sun) 20:32:53
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / アクオス
すみません。
訂正です。


区別をつければ
赤1、赤2、赤3、白1、白2、白3、白4、白5

根元事象は
「赤1、赤2、赤3、白1、白2、白3、白4、白5から一つ球を選択する」

それぞれを引く確率は全て「1/8」で
この「個々の球を選択する事象」は同じ確率で起こるといえる
No.22546 - 2013/09/15(Sun) 20:39:10
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / angel
> これはまた考え方が違うでしょうか？

特に大きく違っているということはないですが…
私が書くならこうなるでしょうか。

--
もし赤球5個、白球3個に区別をつけないとしたら
例えば「(何か)赤球/白球を引く」を根元事象に設定したとしても、それが同じ確率で起こるとする根拠が見つからない。
根拠が見つからない以上、公式も使えないし、そもそも個々の事象の確率すら分からない。

ところが区別をつければ…(以下、アクオスさんの文と同じ)
--

実際問題として、赤・白を引く確率は異なるわけですが、それは適切な考えに基づいて計算した結果、改めて確定する情報なので、「確率が異なるからダメ」は結果論になるのです。
まあ、少々厳密に言えば、ですが。
現実には「確率が同じではなさそうだからやめとくか」「だったら番号を振って区別しよう」みたいな判断をして問題を解いていくことになるでしょうから。
No.22547 - 2013/09/15(Sun) 21:05:42
☆ Re: 確率の場合の数の考え方 / アクオス
angelさんありがとうございます。
まだ理解が完全にできていないのでもう少し考えてみます。
またよろしくお願いします。
No.22550 - 2013/09/16(Mon) 17:33:03
★ (No Subject) / べらきー
問題の質問ではないのですが、現在の高校一年生はどのような分野を高校で習っているのかご存知の方いらっしゃいましたら教えてください。どうも新課程になって確率の統計も範囲になったらしく、それを高１でやるのかどうか多々記になる事があります。よろしくおねがいします
No.22520 - 2013/09/11(Wed) 23:00:34
☆ Re: / ＩＴ
文部科学省の「高等学校学習指導要領解説　数学編」↓　を見るのが確実です。
http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2012/06/06/1282000_5.pdf
No.22521 - 2013/09/12(Thu) 07:34:43
★ 小学５年の問題 / マーロウ
小学５年の子供に出された問題で悩んでいます。

1/15*16+1/16*17+1/17*18+1/18*19+1/19*20 =？

夏休みで遊びに来た時からわからずに気になっています。
どうか手解きをお願い致します。
No.22517 - 2013/09/11(Wed) 19:04:18
☆ Re: 小学５年の問題 / X
1/(15×16)=(16-15)/(15×16)=1/15-1/16
同様に
1/(16×17)=1/16-1/17
1/(17×18)=1/17-1/18
1/(18×19)=1/18-1/19
1/(19×20)=1/19-1/20
これらを全て足して、求める値は
1/15-1/20=1/60
となります。
No.22518 - 2013/09/11(Wed) 19:37:32
★ 合同式 / Bashi
2の329乗を合同式で解いています

2^10=1024≡-1 (mod25)
2^9=512≡12 (mod 25)
より
2^329=2^9×(2^10)^32≡12 (mod 25)
よって
2^329=25k+12 （k:自然数)とおける

2^329≡0 (mod 4) より
25k+12≡0 (mod 4)
ここで
25≡1 (mod 4), 12≡0 (mod 4)
より
k≡0 (mod 4)になるのはわかるのですが、

k≡0 (mod 4)になる理由を説明したほうがよいと言われてしまったのですが、どう説明すればいいのかわかりません
教えてください
よろしくお願いします

No.22513 - 2013/09/11(Wed) 14:58:13
☆ Re: 合同式 / ヨッシー
>2の329乗を合同式で解いています
何を解く問題なのか謎ですが、

25k+12≡0 (mod 4) と 12≡0 (mod 4) より
25k≡0 (mod 4)

任意の自然数ｋは、
k≡1 (mod 4)
k≡2 (mod 4)
k≡3 (mod 4)
k≡0 (mod 4)
のいずれかに分類される。

k≡1 (mod 4) のとき 25≡1 (mod 4) より 25k≡1 (mod 4)
k≡2 (mod 4) のとき 25≡1 (mod 4) より 25k≡2 (mod 4)
k≡3 (mod 4) のとき 25≡1 (mod 4) より 25k≡3 (mod 4)
k≡0 (mod 4) のとき 25≡1 (mod 4) より 25k≡0 (mod 4)

よって、25k≡0 (mod 4) となるのは、k≡0 (mod 4) の時のみ。

程度ではどうでしょう？
No.22514 - 2013/09/11(Wed) 15:42:26
☆ Re: 合同式 / Bashi
ありがとうございます

正確には2^329の十の位の数字を求める問題でした

助かりました
No.22515 - 2013/09/11(Wed) 16:04:10
☆ Re: 合同式 / angel
> 25k+12≡0 (mod 4)
> ここで
> 25≡1 (mod 4), 12≡0 (mod 4)
> より
> k≡0 (mod 4)になる

通常はこれで十分ですが…
最後の式の前に、1・k+0≡0 と入れても良いでしょうけど。
≡という同値関係があるので、そのまま置き換えてしまえば。
　0≡25k+12≡4(6k+3)+k≡0+k≡k
とかでもいいですが、わざわざこうしなくても、という感じで。
No.22519 - 2013/09/11(Wed) 20:45:44
★ (No Subject) / 徹（高１）
教えてください、

三角形ABCにおいて、

　sinA:sinB:sinC=6:5:4が成り立つ
(1)BC:CA:ABを求めよ
(2)三角形ABCの内角のうち、最も大きい角の余弦を求めよ
No.22508 - 2013/09/10(Tue) 23:52:31
☆ Re: / ヨッシー
正弦定理
　BC/sinA＝CA/sinB＝AB/sinC＝2R　(R は外接円の半径)
より、
　BC:CA:AB＝sinA:sinB:sinC

３辺を４，５，６とすると、６の辺に向かい合う角Ａが一番大きいので、
余弦定理
　cosA＝(CA^2＋AB^2−BC^2)/2CA・AB
よりcosA を求めます。
No.22509 - 2013/09/10(Tue) 23:59:20
★ (No Subject) / ktdg
微分可能な関数f(x)について,
・すべての実数xでf'(x)<0ならばlim[x→∞]f(x)=-∞
・lim[x→∞]f'(x)<0ならばlim[x→∞]f(x)=-∞
は真ですか？
No.22506 - 2013/09/10(Tue) 21:41:35
☆ Re: / らすかる
両方とも偽だと思います。
No.22507 - 2013/09/10(Tue) 22:14:42
☆ Re: / angel
後者は真になりませんか?
前者は、反例として y=-tan^(-1)(x) がありますね。
グラフはtanを反時計に90°回転したものになります。
No.22511 - 2013/09/11(Wed) 07:27:41
☆ Re: / らすかる
前者の反例
f(x)=e^(-x)
後者の反例
f(x)=-arctan(tanx)
No.22512 - 2013/09/11(Wed) 11:07:07
☆ Re: / ＩＴ
前者の反例
f(x)=-x+2 (x≦1)
f(x)=1/x (x＞1)

>微分可能な関数f(x)
f(x)は、すべての実数xで微分可能ということなら、後者は真だと思います。

lim[x→∞]f'(x)=Aとおく、条件よりA<0
Ｍ＞０が存在して、任意のx＞Ｍについてf'(x)＜A/2＜０…(1)
平均値の定理により、Ｍ＜xをみたす任意のxについて
Ｍ＜c＜xが存在して
{f(x)-f(Ｍ)}/(x-Ｍ)=f'(c)
∴f(x)=f'(c)(x-Ｍ)+f(Ｍ)
(1)よりf(x)＜(A/2)(x-Ｍ)+f(Ｍ)…(2)
A/2＜０なのでlim[x→∞](A/2)(x-Ｍ)+f(Ｍ)=-∞
よって(2)よりlim[x→∞]f(x)=-∞
No.22516 - 2013/09/11(Wed) 17:59:36
☆ Re: / ktdg
回答ありがとうございます.
ITさん
> Ｍ＞０が存在して、任意のx＞Ｍについてf'(x)＜A/2＜０…(1)
ここがよくわからないのですが,
lim[x→∞]f'(x)=Aから, なぜ, 任意のx>Mについて(1)が言えるのですか？

あと,
すべての実数xでf'(x)<0ならばlim[x→∞]f(x)=-∞
について
f'(x)=k(<0)とおくと
∫f'(x)dx=∫kdx
f(x)=kx+C→-∞(x→∞) より, lim[x→∞]f(x)=-∞
としてはダメなんですか？
No.22525 - 2013/09/13(Fri) 11:12:40
☆ Re: / らすかる
lim[x→∞]f'(x)=A というのは、厳密には
任意のε＞0に対して、「xがあるMより大きければ必ず|f'(x)-A|＜εとなる」が成り立つ
Mが存在する、という意味です。
従ってx＞Mに対して|f'(x)-A|＜A/2となるようなMは存在します。

> f'(x)=k(<0)とおくと
> ∫f'(x)dx=∫kdx
> f(x)=kx+C→-∞(x→∞) より, lim[x→∞]f(x)=-∞
> としてはダメなんですか？

はい、ダメです。
f(x)は一次式に限定されているわけではありませんので
f'(x)=kとおくことはできません。

それと、f(x)が実数全体で定義されている関数ならば
ＩＴさんが示されたように後者が真となりますが、
「実数全体で定義されている関数」という条件がなければ
私が書いたように反例があり、後者も偽となります。
No.22526 - 2013/09/13(Fri) 13:48:48
☆ Re: / ＩＴ
> f'(x)=k(<0)とおくと
> ∫f'(x)dx=∫kdx
> f(x)=kx+C→-∞(x→∞) より, lim[x→∞]f(x)=-∞
> としてはダメなんですか？
ダメな理由は、らすかるさんの説明のとおりです。
積分を使うなら
Ｍ＞０が存在して、任意のx＞Ｍについてf'(x)＜A/2＜０
よって、任意のx＞Ｍについて
　∫[t=Ｍ..x]f'(t)dt＜∫[t=Ｍ..x]A/2dt＝(A/2)(x-Ｍ)…(1)
　∫[t=Ｍ..x]f'(t)dt=f(x)-f(Ｍ)より、 f(x)=∫[t=Ｍ..x]f'(t)dt+f(Ｍ)
　(1)より、f(x)＜(A/2)(x-Ｍ)+f(Ｍ)
・・・
No.22531 - 2013/09/13(Fri) 18:40:37
☆ Re: / ktdg
ありがとうございます.
No.22552 - 2013/09/17(Tue) 15:13:49
★ ベクトルの問題 / なんちゃん
すみませんがどなたかお願いしますm(_ _)m
予習の段階なのですが、
全くわからず手がつけられません…
No.22503 - 2013/09/08(Sun) 23:13:07
☆ Re: ベクトルの問題 / X
(1)
点Pはl上の点であることから
P(t-1,-2t,0)
(tは実数)
と置くことができます。
一方
Q(a,b,c)
と置くと、まずQはC上の点であることから
a^2+b^2+(c-2)^2=1 (A)
次にlの方向ベクトルを↑pとすると
↑p=(2,-1,0)
で
PQ⊥l
により
↑PQ・↑p=0
∴2{a-(t-1)}-{b-(-2t)}=0 (B)
更に
PQ⊥RQ
により
↑PQ・↑RQ=0
∴a{a-(t-1)}+b{b-(-2t)}+(c-2)c=0 (C)
(A)-(C)より
a(t-1)-2tb+2c=1 (D)
(B)(D)をa,bについての連立方程式と見て解いて
その結果を(A)に代入するとcについての二次方程式が
得られます。
この二次方程式が実数解を持つことからtについての
不等式を立てます。

(2)
条件から3点P,Q,Rが同一直線上にあり、かつPRの長さが
最小のときPQは最小となります。
よって求める点PはRからlに下ろした垂線の足
となります。
ここで点Rを通りlに垂直な平面をαとすると
上記の垂線の足はαとlとの交点ともなっています。
ということでαの方程式を求めて(1)で置いたPの座標を
代入し、tの値を求めてみましょう。
No.22504 - 2013/09/09(Mon) 08:47:18
★ 同じ物を含む順列について / アクオス
こんにちは。

同じ物を含む順列を計算するとき、
同じ物を区別できるものとして計算　÷　同じ物の数の階乗
というようにしますが
これは例えば

AABという単語の並び方の数を調べたい時に
まずAを区別がつくものとして　A(1) A(2) B　　として　3!で計算をします。
しかし実際はAは区別がつかないものなので、同じ物とみなす。
そのため一つの並び方のパターンにつき、Aの並び替え分である　2!倍　が余分に計算されている。
全体として本当の数より2!倍分多い。　
だから全ての並び方の数　3!　から　1/2!倍 して　余計に計算されている並び替え数を除外する。

というふうに考えればいいのでしょうか？

そして、これは

9冊の異なる絵本を5冊、2冊、2冊の3組に分ける方法は何通りあるか

という組み合わせの問題の時も

9c5×4c2　で計算した756通りを　2!で割りますが
これも組み分けしたあとに、同じ考え方を使って、重複した組み合わせの分を除外していると考えていいのでしょうか

よろしくお願いします。
No.22491 - 2013/09/07(Sat) 07:40:58
☆ Re: 同じ物を含む順列について / ヨッシー
重複している分を除くという点では同じですが、前者と後者で
考え方はかなり違います。

前者は、順列かつ並べる物自体に同じものがある場合。
後者は、組合せかつ入れる箱が区別できない場合です。

前者は並べること自体に重複がないかを気にしますが、
後者は箱に入れてから重複を考えます。

くり返しになりますが、「重複している分を除く」という点に
おいてのみ両者の２！で割る操作は共通性があります。
No.22492 - 2013/09/07(Sat) 07:53:53
☆ Re: 同じ物を含む順列について / アクオス
ヨッシーさんありがとうございます。
少し頭が混乱してしまい、もう一度考え直しました。
確認させてください。

4つの文字　AAAB　の並び方の数を計算する場合
4!/3!
この3!は重複している文字の並び替え分。
Aを区別できるものとして計算したが実際は区別できないものなので重複分を除く。
１つの並び方のパターンにつきAの並べ替え分3!倍を余計に含めているので3!で割ることで除く。


9冊の異なる絵本を5冊、2冊、2冊の3組に分ける方法は何通りあるか

という問題の場合は
まず5冊、2冊、2冊入れる箱、A箱(5冊)、B箱(2冊)、C箱(2冊)、に入れると考える。
そして9c5×4c2×2c2でそれぞれの箱に本を入れる。
BとCの箱は区別できるものとして計算したが実際は区別できないものだから
１つの組み合わせのパターンにつき、2箱間の入れ替え分2!、余計に組み合わせを含めている。
そのため2!で割ることで除く。

この考え方は合っているのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.22495 - 2013/09/07(Sat) 16:41:01
☆ Re: 同じ物を含む順列について / ヨッシー
それで良いです。
No.22501 - 2013/09/08(Sun) 16:58:31
☆ Re: 同じ物を含む順列について / アクオス
理解できました。
ヨッシーさんありがとうございました。
No.22502 - 2013/09/08(Sun) 20:36:26
★ 難問 / function
太朗と次郎はスーパー戦艦ゲームをしている。各自はn×nマスの盤をもっている。太朗は何隻かの戦艦を自分の盤のマスに置き、隠しておく（一隻以上の戦艦を置くが、何隻かは分からない）。各戦艦は縦または横に直線上に並んだnマスを占め、２隻の戦艦は共通のマスをもたないし、あるマスの辺で接することもできない。次郎は自分の盤のm個のマスに印をつける。次郎がm個のマスに印をつけたのを見て、太朗はそのうちどのマスが、戦艦のいるマスに対応しているか答える（このやりとりは１回だけで、繰り返さない）。次郎は太朗が置いた戦艦のマスをすべて決定できたら勝ちになる。太郎がどのように戦艦を置いても必ずそれを全部決定できるような、最小のmの値を求めよ。

問題が長いですが、分からないのでこの問題を教えてください。お願いします。
No.22486 - 2013/09/06(Fri) 22:29:09
☆ Re: 難問 / らすかる
m＜n^2のとき次郎が印を付けなかったマスに対応するマスに
戦艦があるかどうかわからない可能性があるから、
確実に全部決定できるためにはm=n^2でなければならない。
よって最少のmの値はn^2。

# 難問に思えないので何か問題の解釈が違うのだと思いますが、
# 私にはそのようにしか解釈できませんでした。
No.22490 - 2013/09/07(Sat) 04:58:04
☆ Re: 難問 / ＩＴ
>各戦艦は縦または横に直線上に並んだnマスを占め、２隻の戦艦は共通のマスをもたないし
あたりの制約により、n^2より少ない数で決定できるのだと思います。

なお、条件Ａ「一隻以上の戦艦を置く」と条件Ｂ「あるマスの辺で接することもできない」を使うと
n=３（３×３のマス）の場合、中心を除く８マスに印を付けると、確実に全部決定できると思います。
よってmの最小値≦８

・中心を除く８マスの戦艦の有無は分かる
・中心の戦艦の有無は
　・８マスのどこかに戦艦があった場合、（条件Ｂ）より、中心には戦艦がない
　・８マスのどこにも戦艦がなかった場合、（条件Ａ）より、中心には戦艦がある
　　　
No.22493 - 2013/09/07(Sat) 13:29:41
☆ Re: 難問 / らすかる
n=3で中心を除く8マスに印を付けたとき、
角に戦艦があった場合に中心に戦艦があるかどうかは
わからないと思います。
（条件Ｂは「辺で接する」ですから角は関係ないですね。）
No.22494 - 2013/09/07(Sat) 16:21:17
☆ Re: 難問 / ＩＴ
> （条件Ｂは「辺で接する」ですから角は関係ないですね。）
あっ、そうですね。失礼しました。
No.22497 - 2013/09/07(Sat) 17:48:12
☆ Re: 難問 / らすかる
解釈違いがわかりました。
戦艦の大きさが「1マス×nマス」なのですね。
で、n行中の隣接しない1行以上の行が埋まっているか
n列中の隣接しない1列以上の列が埋まっているか
のどちらかということですね。

そうすると
証明は出来ていませんので予想に過ぎませんが、
n=2のとき m=2
n≧3のとき m=[(4n+2)/3]
ぐらいですかね。
No.22499 - 2013/09/07(Sat) 18:14:00
★ 小学６　文字式 / サンジ
こんにちは。小学6年生の親です。
子供に質問されましたが、答えれなかったので教えてください。

問題：
おはじきを各辺に同じ数ずつならべて正方形を作ります。
次の大きさの正方形をつくるとき、おはじきは何個必要になりますか。
?@１辺におはじきを３個ならべるとき

　式

?A１辺におはじきを７個ならべるとき

　式

?B１辺におはじきをa個ならべるとき
　式


以上、よろしくお願いたします。
No.22476 - 2013/09/06(Fri) 18:54:56
☆ Re: 小学６　文字式 / ヨッシー

図の通りです。
No.22477 - 2013/09/06(Fri) 19:08:18
☆ Re: 小学６　文字式 / サンジ
ありがとうございました。
私もそのように考えるのかなーと思って教えました。
しかし、問題のおはじきは下のような形
●●●　　　●●●●●●●
●　●　　　●　　　　　●
●●●　　　●　　　　　●
　　　　　　●　　　　　●
　　　　　　●　　　　　●
　　　　　　●●●●●●●

このようになっているので、１辺に３個だと１周で８個
で９個ではない。そんな単純な問題かなーと。。
この場合でも、図の通りでよろしいのでしょうか。
No.22478 - 2013/09/06(Fri) 19:19:40
☆ Re: 小学６　文字式 / サンジ

今お送りしたおはじきの絵が投稿したら、ずれて表示されてしまっています。

正方形で、中におはじきはない図です。
No.22479 - 2013/09/06(Fri) 19:22:00
☆ Re: 小学６　文字式 / ast
一辺が3の場合:
単純に一辺の数の4倍と数えると角のおはじきだけが(2度)重複して数えられることを考慮するなら 3×4 - 4 = 8,
角のおはじきが重複しないように(一つだけずらして)数えるなら (3-1)×4 = 8.
あるいは,
ヨッシーさんの図のように並べてから, 内側の一辺が (3-2) 個の正方形を取り除くと考えれば 3^2 - 1^2 = 8.

他にもあるかもしれませんが, 恐らくは特定の一通りが正答として想定されていると思います (前後の問題など, いまどういうことを習っているのかという文脈を踏まえる必要がありますので, 本問だけだと私にはわかりかねますが).
No.22483 - 2013/09/06(Fri) 21:23:55
☆ Re: 小学６　文字式 / ヨッシー

図のように１辺よりも１個少ない個数の列が４個出来ると考えます。
No.22485 - 2013/09/06(Fri) 22:23:24
☆ Re: 小学６　文字式 / サンジ


astさん、ヨッシーさんありがとうございました。
またよろしくお願い申し上げます。
No.22498 - 2013/09/07(Sat) 18:12:50
★ 組み合わせの問題について / アクオス
9冊の異なる本を5冊、2冊、2冊に分ける組み合わせの数を求める時　(9c5×4c2×2c2) ÷ 2!

となりますが

例えば5冊の異なる本と4冊の同じ本を5冊、2冊、2冊に分ける組み合わせを求める時

2冊、2冊の組に4冊の同じ本がきたとき
2!で割る操作から除外しなくてはならないという説明をされたのですがその意味がわかりません。
なぜなのでしょうか？
よろしくお願いします。
　　
No.22473 - 2013/09/06(Fri) 17:49:22
☆ Re: 組み合わせの問題について / ヨッシー
後半について、
９冊の本をＡＢＣＤＥＦＦＦＦとします。

このあと、同じ４冊の本が、どこに含まれるかによって、
場合分けしたかと思いますが、
５冊の中に４冊入る場合
　(5C1×4C2×2C2)÷2!
これは、ＡＦＦＦＦ｜ＢＣ｜ＤＥ と ＡＦＦＦＦ｜ＤＥ｜ＢＣ
のように、同じものを２つずつ数えているためです。
５冊の中に３冊入る場合
　(5C2×4C2×2C2)÷2!
これは、ＡＢＦＦＦ｜ＣＤ｜ＥＦ と ＡＢＦＦＦ｜ＥＦ｜ＣＤ
のように、同じものを２つずつ数えているためです。
　(中略)
５冊の中には入らない(全部２冊の方に入る)場合
　１通り
これは、ＡＢＣＤＥ｜ＦＦ｜ＦＦ だけで、後半の２冊を
入れ換えても同じで、そもそも、重複して数えてないので、
2! で割ってはいけないのです。
No.22474 - 2013/09/06(Fri) 18:44:41
☆ Re: 組み合わせの問題について / アクオス
ヨッシーさんありがとうございました。
理解できました。
No.22482 - 2013/09/06(Fri) 20:09:18
★ (No Subject) / あやか
よっしーさん返信ありがとうございました。△nbc ではなく△nbm でした。もしよろしければ返信いただけるとありがたいです。申し訳ありません。
No.22471 - 2013/09/06(Fri) 17:37:40
☆ Re: / ヨッシー
△ＡＢＣと△ＮＢＭは２：１の相似です。
No.22475 - 2013/09/06(Fri) 18:54:05
★ (No Subject) / トラファルガー･ロー
極限を求める際、（-∞）はどういうときに-と∞に分配できるのでしょうか？

例えば
(-∞）×∞＝-(∞）×∞＝−（∞×∞）＝−∞
ですが
0/（-∞）＝∞、0/(-∞）＝-{0/∞｝＝−０＝０
となってしまいます
No.22470 - 2013/09/06(Fri) 17:07:22
☆ Re: / らすかる
> 0/（-∞）＝∞、0/(-∞）＝-{0/∞｝＝−０＝０
> となってしまいます

0/(-∞)=∞ は間違っています。
0/(-∞)=0 です。
No.22472 - 2013/09/06(Fri) 17:42:39
☆ Re: / トラファルガー･ロー
ありがとうございます。ということは「−（マイナス）」は数値計算のように自在に外に出してよいということですね？

ということは
lim(t→＋０）t/logt＝０/(-∞）＝−（0/∞）＝-0=0
途中過程、計算結果はこれで合っていますでしょうか？
No.22480 - 2013/09/06(Fri) 19:30:08
☆ Re: / らすかる
考え方は合っていますが、式の中に「0/(-∞)」のようなものを書くと
減点される可能性があります。
No.22481 - 2013/09/06(Fri) 19:50:25
☆ Re: / トラファルガー･ロー
ありがとうございます、おかげさまで解決しました

y=ｘ/logｘのグラフってどうなりますか？
y'=(logx-1)/(logx)^2でｘ＝eで極小値e＞０になるのですが、
そうなるとlim(ｘ→＋０）ｘ/logｘ＝0より
極小値が負であることに反してしまうのです・・・。
No.22484 - 2013/09/06(Fri) 22:21:51
☆ Re: / angel
y=x/logx は x=1 で不連続ですからね。
グラフにしてみれば、x=1 の左右で分断されている形になります。
なので、(極小値)＞0 と lim[x→+∞] y=0 は特に矛盾しません。
No.22487 - 2013/09/06(Fri) 22:30:07
☆ Re: / トラファルガー･ロー
回答ありがとうございます

ああ、なるほど！分母≠０よりｘ≠１でした
No.22488 - 2013/09/07(Sat) 00:17:57
★ お願いします / あやか
△ABCにおいて点M Nをそれぞれ辺bc abの中点とし
∠ABC 60° AB＝ 3 bc＝6 とする また 中線Am CN の交点をGとする△ nbcの面積を求めよ
△GNM の面積を求めよ

よろしくお願いいたします。
No.22468 - 2013/09/06(Fri) 15:52:34
☆ Re: お願いします / ヨッシー
△ＡＢＣの面積を求めて、あとはそれの何倍かということで考えます。

△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＢＣsin∠ＡＢＣ
で求めたら、
△ＮＢＣはその半分、△ＡＣＧは 1/3 倍、
△ＧＮＭは△ＧＣＡと相似で、相似比は１：２、面積比は１：４。

という順で考えます。
No.22469 - 2013/09/06(Fri) 16:59:52
★ 対数を含む等式、不等式 / ken
ログの問題です。画像の(1)の(さらに)の後の問題と(2)を教えてください。よろしくお願いします。
No.22466 - 2013/09/05(Thu) 20:47:49
☆ Re: 対数を含む等式、不等式 / ken
失礼しました。ミスなので気にしないでください。ごめんなさい。
No.22467 - 2013/09/05(Thu) 20:50:40
★ 方程式　（中学から高校） / レックス
ある計算の本で、ｘ５は÷２ｘ１０のほうが計算が楽と書いてありました。
たとえば、４２８４ｘ５の場合は、４２８４ｘ５＝４２８４÷２ｘ１０＝２１４２ｘ１０＝２１４２０といったかんじになります。
ここで疑問なのですが、この÷２ｘ１０をｘ１０÷２にしても計算結果に変わりはありません。いろいろな数字でも、左から計算していくという順序を守れば変わりません。
ところが、これを文字にしたとき、a÷bｘcとa÷cｘbが同じになるには、b＝cになり上の例であれば、２と１０が同じでなければなりません。これはどういうことなのでしょうか？詳しく教えてください！よろしくお願いします！
No.22462 - 2013/09/05(Thu) 18:08:41
☆ Re: 方程式　（中学から高校） / らすかる
÷2×10と×10÷2ですから、
文字にすると
a÷b×cとa÷c×b
ではなく
a÷b×cとa×c÷b
です。
No.22463 - 2013/09/05(Thu) 18:15:46
☆ Re: 方程式　（中学から高校） / レックス
あっちゃ〜〜〜！よくみてなかった！
アホみたいな質問してしまいました。すみません（汗）
変な質問に対しても丁寧に答えてくださってありがとうございました
No.22465 - 2013/09/05(Thu) 18:29:26
★ (No Subject) / るらら
3直線　2x-y-1=0 x-y-1=0 y=a　で囲まれた部分の面積が2となるように、定数aの値を定めよ

教科書の答えは、それぞれの交点を求めて
（ここも教えてほしいです）

そこからy=aとｙ軸の線分を求めています。
（この部分が一番わかっていません。どういう式を作るのでしょうか？）

躓いてしまっています。よろしくおねがいします。
No.22457 - 2013/09/05(Thu) 13:14:12
☆ Re: / tobira
参考です

数学の教科書で１次関数の章の
「連立方程式とグラフ」を扱っているところをみてください
以下のような記述があるはずです

●x，yについての連立方程式の解は、
それぞれの方程式のグラフの交点のx座標，y座標の組である

(1)それぞれ２組の式を連立方程式として解いて、
【連立方程式の解き方はできると思いますので省きます
「2x−y−1＝0」と「x−y−1＝0」の交点は(0，1)★y軸上
「x−y−1＝0」と「y＝a」の交点は、(a＋1，a)
「y＝a」と「2x−y−1＝0」の交点は、((a＋1)/2，a)


(2)交点を結ぶ三角形の面積を考えると(a≠−1･･･三角形ができません)

底辺をx軸と平行な辺として考え、
【(a＋1，a)と((a＋1)/2，a)を結ぶ線分】
●x軸に平行な線分の長さは両端の点のx座標の差になります
a＞−1のとき、(a＋1)−{(a＋1)/2}＝(a＋1)/2
a＜−1のとき、{(a＋1)/2}−(a＋1)＝−(a＋1)/2

高さを(0，1)から底辺までの距離として
●x軸に平行な直線と点との距離は点のy座標と直線の式(y座標)の差になります。
a＞−1のとき、a−1
a＜−1のとき、1−a＝−(a−1)

三角形の面積の公式から、
【計算はＯＫと思いますので省きます】
a＞−1のときも、a＜−1のときも、(1/4)(a^2−1)となり
これを解いて、a＝3，−1


図は、面積が2となるときです
No.22461 - 2013/09/05(Thu) 15:42:07
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