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★ 場合の数　 / N　高３　
　第１回（??6）

（１）　点Ｏ（0,0）から点Ａ（5,4）への最短距離で行く道筋の数を求めよ。

（２）　（１）の道筋のうち、点（1,1）または点（3,3）を通る道筋の数を求めよ。

（３）　（１）の道筋のうち直線　y=x+1　上の点を通る道筋の数と、点B（-1,1）から点Aへの最短距離で行く道筋の数とが等しいことを示せ。

（４）　（１）の道筋のうち、不等式　y＞x　で表される領域を通らない道筋の数を求めよ。

解説に必要なら是非　図と一緒にお願いします。
問題を解く際に、公式など使うことがありましたら、その公式の名前も書いて頂けたら嬉しいです。
No.22753 - 2013/10/15(Tue) 18:56:47
☆ Re: 場合の数　 / N　高３　
詳しい途中計算から答えまで宜しくお願いします。
No.22767 - 2013/10/15(Tue) 20:47:48
☆ Re: 場合の数　 / ヨッシー
(1) 縦縦縦縦横横横横横　の９文字を並べ替えたものが、
　ＯからＡへの進み方に対応するので、
　9Ｃ4＝126(通り)
(2)
Ｃ(1,1)、Ｄ(3,3) とします。
　Ｏ→Ｃ→Ａ　の行き方は　2Ｃ1×7Ｃ3＝70(通り)
　Ｏ→Ｄ→Ａ　の行き方は　6Ｃ3×3Ｃ1＝60(通り)
　Ｏ→Ｃ→Ｄ→Ａ　の行き方は　2Ｃ1×4Ｃ2×3Ｃ1＝36(通り)
以上より、70＋60−36＝94(通り)

(3)
Ｅ(0,1)、Ｆ(1,2)、Ｇ(2,3)、Ｈ(3,4) とすると、ＢからＡに行くとき、
これら４点のうち少なくとも１つを必ず通ります。
Ｂ→ＥとＯ→Ｅ、Ｂ→ＦとＯ→Ｆ、Ｂ→ＧとＯ→Ｇ、Ｂ→ＨとＯ→Ｈは
それぞれ同じ数ずつ行き方があるので、
ＯからＡまで、Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈの少なくとも１つを通って行く行き方と、
ＢからＡまで行く行き方は同じ数だけあります。

(4)
ＯからＥ，Ｆ，Ｇ，Ｈ のいずれも通らない行き方がｙ＞ｘの
部分を通らない行き方なので、
　Ｂ→Ａ　の行き方が9Ｃ3＝84(通り)
よって、求める場合の数は　126−84＝42(通り)
No.22776 - 2013/10/15(Tue) 21:37:32
☆ Re: 場合の数　 / N　高３　
ありがとうございました。
No.22783 - 2013/10/15(Tue) 22:11:59
★ 二次関数 / まー
関数f(x)=(x^2+2x+3)^2+4(x^2+2x+3)-2　について

(1)t=x^2+2x+3とするとき、tの最小値は。

(2)[(1)の答え]であるから、二次関数g(t)=t^2+4t-2の定義域は。

(3)これより、関数y=f(x)の最小値は。


(1)の答えは２とでました。(2)と(3)の求め方が分からないので解答のほうよろしくお願いします。
No.22752 - 2013/10/15(Tue) 18:15:23
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
(1) より、ｔの最小値は２，大きい方はいくらでも大きくなるので、
(2) の定義域は ｔ≧２ です。
(3) この定義域において　g(t)＝t^2＋4t−2 の最小値は
　g(t)＝(t+2)^2−6　より、ｔ＝２ のとき　g(2)＝10
　以上より、ｘ＝−１ （ｔ＝２ となるｘの値）のとき、
　f(x) の最小値は10
No.22773 - 2013/10/15(Tue) 21:18:03
★ 数?TA 二次関数 / １
F(x)=x^2-(2a+8)x+2a+11 (aは実数）

全ての実数xに対して、F(x)>0となるaの値の範囲は「ア」であり、y＝F(x)のグラフがx軸と接するとき、xの正の方の値は「イ」である。

また、y＝F(x)のグラフがx軸から切り取る線分の長さが4√3であるとき、aの正の方の値は、a=「ウ」である。

このア、イ、ウの求め方が分からないので解説、解答の方をよろしくお願いします。
No.22750 - 2013/10/15(Tue) 11:18:52
☆ Re: 数?TA 二次関数 / X
前半)
xの二次方程式
F(x)=0 (A)
の解の判別式をDとすると
(i)全ての実数xに対して、F(x)>0となるとき
(A)は実数解を持ちませんので
D/4＜0 (B)
(B)をaの不等式と見て解きます。
(ii)y＝F(x)のグラフがx軸の正の範囲で接するとき
(A)は重解を持ちますので
D=0 (C)
又、この重解をγとすると解と係数の関係より
2γ=… (D)
更に
γ＞0 (E)
(C)をaについての方程式と見て解き、その結果の内
(D)(E)から得られるaの不等式を満たすものを求めます。

後半)
y=F(x)とx軸との交点のx座標をα、βとすると
|β-α|=4√3 (F)
又α、βは(A)の解でもあるので解と係数の関係から
α+β=… (G)
αβ=… (H)
(F)(G)(H)よりaについての方程式を導きます。
(まずは(F)の両辺を二乗してみましょう)
No.22751 - 2013/10/15(Tue) 11:34:38
★ (No Subject) / A
日付：2013/10/14(月) 9:28

aは正の実数である。縦2a、横3aの長方形の紙の4つの隅から
辺の長さがxの正方形を切り取り、ふたのない箱Ａをつくる。
ただし0<ｘ<aとする。

Ａの体積V(x)が最大となるときの　最大値を求めよ。

宜しくお願いします。
---------------------------------------------------------

　　　に　遭遇した　=== ideal を　愛する　少女　I === が　即答した；


I=<y - (3*a - 2*x)*(2*a - 2*x)*x, y - k> とし

I∩Q[x]=<-k + 6 a^2 x - 10 a x^2 + 4 x^3>

KARA 16 (9 a^6 + 20 a^3 k - 27 k^2) を獲、

http://www.youtube.com/watch?v=XoJ489cavIM&list=PL332718BFBBD764EB

此れが　0 となる　k の内　不適なのを排除し

k = 1/27 (10 a^3 + 7 Sqrt[7] a^3)　これが　最高のボリューム　V ですっ!!!

http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Hanamizuki/6909/saiko/saiko7.mp3

========================================================================


Q ; 「そう云っては　「身も蓋もない」」　と　少女A の　↑の　解答を


　　【蔑視】せず　行間を埋めて下さい;(●●●<---此処がメインです●●●）



No.22748 - 2013/10/14(Mon) 21:33:23
☆ Re: / angel
いや、あの、うん。意味が分からない。問題文だけは分かるので、模範解答例を出すくらいならできるけど。
どういう経緯があって、何を質問したいのか、他人が見て分かるものかどうか、一度見直した方が良いと思う。
No.22749 - 2013/10/15(Tue) 07:20:42
★ 数２Ｂ / まさみん
数２Ｂの問題なんですが
全くわかりません。
しかも、当てられてしまって解説をみんなの前で
しなければならないのでもしよければ、解説つきで
この問題を解いていただけませんか？


点Ｏを中心とする半径４の扇形OABがあり
中心角∠AOBは鋭角でcos∠AOB＝3/5
をみたしてい る。

右の図のように、孤AB上に点Ｐをとり
点Ｐを通り線分ＯＡに平行な直線と線分ＯＢとの
交点をＱとする。また、点Ｐ、Ｑから線分ABに引いた直線と線分ＯＡとの交点をそれぞれR、Ｓとする。

∠ＡＯＰ＝θとおくと


PS＝ア sinθ、RS＝イ cosθ-ウ sinθ
であるから、四角形PQRSの周の長さをＬとすると

Ｌ＝エ sinθ ＋オ cosθ
＝カ√キクsin(θ＋α)

となる。ただし、αは０＜α＜π/2でtanα＝ケ
を満たす角である。

よってＬが最大になる時のθの値をφとおくと
tanφ＝コ/サ
cos２φ＝シス/セソである。


答えは
アが4
イが4
ウが3
エが2
オが8
カが2
キクが17
ケが4
コが1
サが4
シスが15
セソが17

です！
No.22742 - 2013/10/14(Mon) 11:06:49
☆ Re: 数２Ｂ / X
△OPSに注目して
PS=OPsin∠POS=4sinθ (A)
OS=OPcos∠POS=4cosθ (B)
∴条件により
QR=PS=4sinθ (C)
ですので△OQRに注目して
OR=QR/tan∠QOR=(4sinθ)/tan∠AOB (D)
ここで
cos∠AOB=3/5 (E)
で∠AOBは鋭角ですので
1+(tan∠AOB)^2=1/(cos∠AOB)^2
により
tan∠AOB=√{1/(cos∠AOB)^2-1}=4/3 (F)
(D)(F)より
OR=3sinθ (G)
(A)(G)より
RS=OS-OR=4cosθ-3sinθ (H)
(A)(H)より
L=2(PS+RS)=2sinθ+8cosθ (I)
∴三角関数の合成により
L=(2√17)sin(θ+α) (J)
但しαは
0＜α＜π/2,tanα=4/2=4 (K)
なる角です。
(F)(K)と加法定理により
tan(∠AOB+α)=(tan∠AOB+tanα)/(1-tan∠AOBtanα)
=(4/3+4)/{1-(4/3)・4}＜0 (L)
ここで∠AOBが鋭角であることと(K)により少なくとも
0＜∠AOB+α＜π
ですので(L)により
π/2＜∠AOB+α＜π (M)
(M)と
0≦θ+α≦∠AOB+α
によりLは
θ+α=π/2
のときに最大になります。
よって
φ+α=π/2
ですので
φ=π/2-α (N)
よって
tanφ=tan(π/2-α)=1/tanα (O)
cos2φ=cos(π-2α)=-cos2α
=1-2(cosα)^2
=1-2/{1+(tanα)^2} (P)
(O),(P)に(K)を代入して
tanφ=1/4
cos2φ=15/17
となります。
No.22746 - 2013/10/14(Mon) 17:19:29
★ 2円 / c
ガウス平面　で　z^3-212=0 の解を　図示すると　
原点中心　の　半径=___の　円上に　綺麗に並んでいる。

ガウス平面　で　z^3-9 z^2+27 z-53=0　の解を　図示し
実数解を通る　原点中心の　円の　半径を　求めて 図示して　下さい.

どちらの　円が外にありますか?

http://www.youtube.com/watch?v=lEIYOVUxZqI
No.22740 - 2013/10/14(Mon) 09:20:22
☆ Re: 2円 / ＩＴ
下記サイトの2013/10/13(日) 23:18　に
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=2
「大小比較」
z^3-212=0 の実数解212^(1/3)と
z^3-9 z^2+27 z-53=0の実数解3+26^(1/3)の大小比較が出てる
y=f(x)=x^(1/3)の上に凸性を使って
212^(1/3) > 3+26^(1/3)
No.22747 - 2013/10/14(Mon) 21:11:16
★ 数学?V微分 / みかん
別のサイトでお世話になりました、みかんです。質問しても
大丈夫でしょうか？マルチポストではないです。

二問ほどご教授お願いします。

(1)y=tanX/(1+tanX)

(2)y=√(2sin5/2*XcosX/2)

(2)は文字にすると分からないと思うので画像を載せます。
答えは(1)1/(cosX+sinX)^2
(2)3cos3X+2cos2X/2√(sin3X+sin2X)

最初から公式なのか簡単にしてからなのかまったくわかりません。周りの友達もわからないと言ってました。
ご教授お願いします。
No.22736 - 2013/10/14(Mon) 02:56:02
☆ (1) / angel
関係式を一通り挙げて丁寧に処理すればいけます。

取り敢えず
　cosx・tanx=sinx
　(tanx)'=1/(cosx)^2
　※同様に (1+tanx)'=1/(cosx)^2
　(f/g)'=(f'g-fg')/g^2　※商の微分
これだけ使います。

では、y=tanx/(1+tanx) に対して

　y'
　=( (1+tanx)・(tanx)' - tanx・(1+tanx)' )/(1+tanx)^2
　=( (1+tanx)/(cosx)^2 - tanx/(cosx)^2 )/(1+tanx)^2
　=( (1+tanx)-tanx )/( (cosx)^2・(1+tanx)^2 )
　=1/( cosx・(1+tanx) )^2
　=1/(cosx+cosx・tanx)^2
　=1/(cosx+sinx)^2

という感じで。( 実際の解答ではここまでゴテゴテ書く必要はないので、適宜間引いてください )
No.22739 - 2013/10/14(Mon) 09:14:26
☆ Re: 数学?V微分 / X
(2)
√の中を積和の公式を使って変形すると
y=√(sin3x+sin2x)
後は合成関数の微分を使います。
f(x)=sin3x+sin2x
と置くと
y'=f'(x)/{2√f(x)}
=(3cos3x+2cos2x)/{2√(sin3x+sin2x)}

注)もちろん積和の公式を微分する前に使わず
f(x)=2sin(5x/2)cos(x/2)
と置いて合成関数の微分を使っても解答としては
問題ありません。
但し、f'(x)の計算には積の微分を使います。
(模範解答とは見かけは異なりますが、微分後に
積和の公式や加法定理を適用すれば同じ式になります。)
No.22741 - 2013/10/14(Mon) 09:22:18
☆ Re: 数学?V微分 / みかん
angelさん、Xさん、分かりやすく説明して頂きありがとうございます。すごく分かりやすかったです。
No.22743 - 2013/10/14(Mon) 14:07:58
★ (No Subject) / A
数列の問題です。

ここの四角で囲っている計算が分かりません。
解説よろしくお願いします。
No.22733 - 2013/10/13(Sun) 22:52:37
☆ すみません / A
2{1-(1/2)^n}
=2^n-1/2^(n-1)

画像が何回やっても載せれなかったので
書かせてもらいました。
上の式からどうやって計算したら下の式になるのでしょうか？

解説よろしくお願いします。
No.22734 - 2013/10/13(Sun) 23:19:18
☆ Re: / ＩＴ
> 2{1-(1/2)^n}
> =2^n-1/2^(n-1)

2=2^n ってことになるけどn=1のとき以外は成立しないと思うけど。誤植では？
それとも(2^n - 1)/(2^(n-1)) かな？
No.22735 - 2013/10/14(Mon) 01:42:54
☆ すみません / A
はい、(2^n-1)/(2^(n-1))でした…
すみません！


2{1-(1/2)^n}
=(2^n-1)/{2^(n-1)}

この計算を教えてください
解説よろしくお願いします
No.22737 - 2013/10/14(Mon) 08:58:35
☆ Re: / ＩＴ
2{1-(1/2)^n}
いったん展開
=2 - 2{(1/2)^n}
=2 - [2/(2^n)]
約分
=2 - [1/{2^(n-1)}]
通分
=2 [{2^(n-1)}/{2^(n-1)}] - [1/{2^(n-1)}]
= [{2^(n)}/{2^(n-1)}] - [1/{2^(n-1)}]
=(2^n-1)/{2^(n-1)}
No.22738 - 2013/10/14(Mon) 09:11:31
☆ Re: / A
なるほど…私約分して終わってました。

ITさん、丁寧で分かりやすい解説ありがとうございました！
No.22744 - 2013/10/14(Mon) 15:03:17
★ 最短 / m
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/003/138162094912008685228.gif
を　お願いします。
No.22730 - 2013/10/13(Sun) 09:45:10
☆ Re: 最短 / ヨッシー
回答しやすいように見えるようにしておきます。

No.22731 - 2013/10/13(Sun) 09:58:08
☆ Re: 最短 / to

最小値は、(a＋b)
このとき、Ｐ({a√a}/{√(a＋b)}，{b√b}/{√(a＋b)})
No.22810 - 2013/10/17(Thu) 03:44:52
☆ Re: 最短 / to
概略です
表記がしにくいので、接点を(p，q)としてあります。

接線の方程式から、Ａ(a^2/p，0)，Ｂ(b^2/q)を求め
　ＡＢ^2＝(a^4/p^2)＋(b^4/q^2)

(p，q)が楕円上の点であることから、(p^2/a^2)＋(q^2/b^2)＝1なので
【これをかけて式変形】
　ＡＢ^2＝{(a^4/p^2)＋(b^4/q^2)}{(p^2/a^2)＋(q^2/b^2)}
　　　　＝a^2＋b^2＋{(b^4)(p^2)/(a^2)(q^2)}＋{(a^4)(q^2)/(b^2)(p^2)}

　★{(b^4)(p^2)/(a^2)(q^2)}＞0，{(a^4)(q^2)/(b^2)(p^2)}＞0で相加・相乗平均の関係より
　　　{(b^4)(p^2)/(a^2)(q^2)}＋{(a^4)(q^2)/(b^2)(p^2)}≧2ab

　ＡＢ^2≧(a＋b)^2　で、ＡＢ≧a＋b

　★等号が成立するときを考えると
　　?@{(b^4)(p^2)/(a^2)(q^2)}＝{(a^4)(q^2)/(b^2)(p^2)}
　　?A(p^2/a^2)＋(q^2/b^2)＝1
　　　?@?Aを解いて、p＝a√a/√(a＋b)，q＝b√b/√(a＋b)
No.22823 - 2013/10/18(Fri) 00:21:39
★ (No Subject) / みなみ
ABDの内接円の半径を求める問題なんですが、
BD=2BC/2+3の計算が分かりません。

自分の計算ではBD=2BC/3になります、

いつもこのような比率の問題で躓いてしまいます、お願いします
No.22727 - 2013/10/13(Sun) 06:13:31
☆ Re: / みなみ
こちらになります
No.22728 - 2013/10/13(Sun) 06:14:48
☆ Re: / ヨッシー


Ｄは、ＢＤを５等分する点のうち、Ｂの側から２つめの点なので、
ＢＤはＢＣの 2/5倍の長さになります。

BD=2DC/3 なら正しいですけどね。
No.22729 - 2013/10/13(Sun) 07:22:25
★ 極限 / ktdg
nを自然数とする. xy平面内の, 原点を中心とする半径nの円の内部と周を合わせたものをCnで表す. 次の条件(＊)を満たす1辺の長さが1の正方形の数をN(n)とする. 
(＊)正方形の4頂点は全てCnに含まれ, 4頂点のxおよびy座標は全て整数である. 
このとき lim[n→∞]N(n)/n^2=π を証明せよ.

解答ではガウス記号をつかってN(n)を個数として扱って挟み撃ちを使っていたのですが, 正方形1個の面積は1で, (＊)を満たす全ての正方形の面積はN(n)なので正方形が全てCnに含まれることを考えると,
πn^2≧N(n)≧π(n-1)^2から
π≧N(n)/n^2≧π(1-2/n+1/n^2)→π (n→∞)
としてはダメなんでしょうか？
No.22724 - 2013/10/13(Sun) 00:03:56
☆ Re: 極限 / らすかる
N(n)≧π(n-1)^2 が言える根拠を示さないとダメです。
No.22725 - 2013/10/13(Sun) 00:37:45
★ 回転の領域について / 受験生
y=-x+1(0≦x≦1)をz軸の周りに回転させたとき、通る領域をxy平面上に図示せよ。

説明も詳細に入れてよろしくお願いしますm(_ _)m
No.22718 - 2013/10/12(Sat) 18:42:16
☆ Re: 回転の領域について / らすかる
原点からその図形までの最短距離は(1/2,1/2)までの1/√2、
最長距離は(1,0)または(0,1)までの1であり、
最短距離から最長距離まで線がつながっているので
求める図形は 1/2≦x^2+y^2≦1
(原点を中心とする半径1の円と半径1/√2の円の間で境界も含む)
No.22720 - 2013/10/12(Sat) 21:38:36
☆ Re: 回転の領域について / 受験生
ありがとうございます！
No.22721 - 2013/10/12(Sat) 21:48:34
★ 2式で割った条件 / みなみ
よろしくお願いします
No.22714 - 2013/10/12(Sat) 10:42:30
☆ Re: 2式で割った条件 / みなみ
オレンジ色のマーカー部分がなぜいきなり現れたのか理解できません、お願いします。
No.22715 - 2013/10/12(Sat) 10:43:38
☆ Re: 2式で割った条件 / ＿
実際に展開してみれば破線部に一致します。

破線部の(x^2 - 1)(px + q) + …から
(x^2 + 1)(px + q)を作るための調整ですね。
No.22716 - 2013/10/12(Sat) 10:57:10
☆ Re: 2式で割った条件 / みなみ
すっかり見落としてました、ごめんなさい
スッキリしました、ありがとうございます
No.22717 - 2013/10/12(Sat) 12:02:02
★ 数列 / ktdg
等比数列 2,4,8,…と等比数列3,9,27,…の全ての項を小さい順に並べてできる数列の第1000項は二つの等比数列のどちらの第何項か.
ただし log[6]2=0.386852…であることを用いてよい.

log[6]2=0.386852…から log[6]3=0.613148…となり, 1000項目は公比が3の方の等比数列の第380項目位かな〜と目星をつけて, あとはとにかく計算で範囲を絞って, 一応解けたのですが, 計算を減らす工夫や, もっと違うやり方があったら教えてください.
No.22709 - 2013/10/11(Fri) 23:08:41
☆ Re: 数列 / らすかる
log[6]2=0.386852… と log[6]3=0.613147… から
3^386.852≒2^613.147
両方の指数に1.001を掛けると
3^387.238≒2^613.760
よって
2^613＜3^387＜3^614
ですから、目的の項は3^387とわかります。

それぞれを不等式ではさめば厳密な解答になります。
No.22710 - 2013/10/12(Sat) 00:19:50
☆ Re: 数列 / ktdg
ありがとうございます。
No.22723 - 2013/10/12(Sat) 23:59:28
★ もう一問お願いします / papiky
三角形ABCが半径1の円に内接している。外接円の中心をOとするとき、三角形OBC、三角形OCA、三角形OABの面積比が3：4：5である。→OA・→OB、→OB・→OC、→OC・→OAの値を求めよ。
No.22704 - 2013/10/11(Fri) 07:05:43
☆ Re: もう一問お願いします / ヨッシー
ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣ と置きます。

メネラウスの定理などで、各線分の比を調べると、上図のようになります。
（他の部分の比は省略します）
ＡＣを３：５に内分する点が、(-1/2)ｂになることから、
　（５ａ＋３ｃ)/８＝(-1/2)ｂ
これより、
　５ａ＋４ｂ＋３ｃ＝０
が成り立ちます。
(他の部分：ＢＣやＡＢで調べても同じです)
これは、図の右のように、５ａ、４ｂ、３ｃをつなげると、
ちょうど閉じるということです。
辺の長さより、この図形は３辺が３：４：５の直角三角形となります。
図のα、βを用いると、
　ａ・ｂ＝cosα＝-4/5
　ｂ・ｃ＝cos(90°)＝０
　ｃ・ａ＝cosβ＝-3/5
となります。
No.22707 - 2013/10/11(Fri) 09:08:39
☆ Re: もう一問お願いします / papiky
ありがとうございました。メネラウスの定理に気がつきませんでした。
No.22711 - 2013/10/12(Sat) 06:47:09
☆ Re: もう一問お願いします / ヨッシー
メネラウスの定理は簡便法で、知らなくても図のように
各部の面積比を出してやれば、
　ＢＯ：ＯＥ＝(90+120)：105＝２：１
と出すことが出来ます。

No.22712 - 2013/10/12(Sat) 07:40:58
☆ Re: もう一問お願いします / papiky
面積比を分割すればよかったんですね。スッキリしました。
ありがとうございました。
No.22726 - 2013/10/13(Sun) 05:07:05
★ (No Subject) / みなみ
問われてる内容が分かりません、図のイメージもできないので、これ以上は言えないのですが

分かりやすく説明お願いします！
No.22703 - 2013/10/11(Fri) 06:35:36
☆ Re: / ヨッシー

四面体のある１つの面を見ると、図のように、各頂点を中心とする
球が、他の球と接している状態です。

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを中心とする球の半径をａ，ｂ，ｃ，ｄとすると、
　辺ＡＢにおいて、ａ＋ｂ＝３
　辺ＢＣにおいて、ｂ＋ｃ＝４
　辺ＣＤにおいて、ｃ＋ｄ＝５
　辺ＡＤにおいて、ａ＋ｄ＝ｔ
　辺ＡＣにおいて、ａ＋ｃ＝ｔ
　辺ＢＤにおいて、ｂ＋ｄ＝ｔ
これを解きます。

四面体の体積はこれが解けてからになりますが、
ＡＢの中点をＭとし、平面ＭＣＤでこの四面体を切り、
△ＭＣＤを底辺とすると、ＭＢおよびＭＡが高さになります。　
No.22705 - 2013/10/11(Fri) 07:12:42
☆ Re: / みなみ
大変わかりやすい図をありがとうございます
No.22713 - 2013/10/12(Sat) 10:39:18
★ ベクトルの問題を教えて下さい / papiky
点Pを中心が原点で半径が5である円周上の点であるとする。2定点A(4,0),B(0,2)に対し、→AP・→BPの最大、最小を求めよ。
No.22698 - 2013/10/11(Fri) 01:22:13
☆ Re: ベクトルの問題を教えて下さい / ヨッシー
点Ｐの座標は　(5cosθ, 5sinθ) で表されます。
ＡＰ＝(5cosθ−4, 5sinθ)
ＢＰ＝(5cosθ, 5sinθ−2)　より、
　ＡＰ・ＢＰ＝5cosθ(5cosθ−4)＋5sinθ(5sinθ−2)
　　＝25(cos2θ＋sin2θ)−20cosθ−10sinθ
　　＝25−10√5{(2/√5)cosθ＋(1/√5)sinθ}
　　＝25−10√5sin(θ＋α)
　ただしαは、sinα＝2/√5, cosα＝1/√5 となる角。
よって、ＡＰ・ＢＰの
　最大値　25＋10√5, 最小値　25−10√5

No.22699 - 2013/10/11(Fri) 06:09:10
☆ Re: ベクトルの問題を教えて下さい / papiky
ありがとうございました。P(x,y)ですると訳が分からなくなってしまいました。
No.22700 - 2013/10/11(Fri) 06:19:57
☆ Re: ベクトルの問題を教えて下さい / 豆
P(x,y)とする
AP・BP=x(x-4)+y(y-2)=(x-2)^2+(y-1)^2-5=Iとおくと、
円C：(x-2)^2+(y-1)^2=I+5　が円D：x^2+y^2=5^2　
と共有点をもつときのIが求める内積である。
円Cの中心は(2,1)で円Dの中心である原点との距離が√5なので、
最小値を与えるのはI[min]+5=(5-√5)^2　∴I[min]25-10√5
最大値を与えるのはI[max]+5=(5+√5)^2　∴I[max]=25+10√5
No.22708 - 2013/10/11(Fri) 13:52:15
★ 図形の問題　数1・A / ラスティ
円周上に４点A,B,C,Dがある。線分ACと線分BDは点Gで垂直に交わり、点Aから辺CDに垂線AFをおろし、この垂線と線分BDとの交点Eとする。
またAF=8,DC=10,GC=6である。

(1)線分DGの長さ。また、線分AGの長さ。

(2)線分ABの長さ。また、BDの長さ。

(3)△DCGの面積は△AEBの面積の何倍か。


(1)の最初の問題が三平方でDG＝８が出ました。それ以降が分かりません。
よろしくお願いします。
No.22694 - 2013/10/10(Thu) 23:49:25
☆ Re: 図形の問題　数1・A / ヨッシー
△ＤＣＧ、△ＡＣＦ、△ＡＥＧ、△ＤＥＦは
すべて相似で、３辺の比が３：４：５の直角三角形です。
(1)
△ＡＣＦにおいて、ＡＦ＝８なので、ＣＦ＝６，ＡＣ＝１０より
　ＡＧ＝１０−６＝４

(2)
円周角により∠Ｃ＝∠Ｂなので、△ＡＢＧも３：４：５の直角三角形です。
ＡＧ＝４　より　ＡＢ＝５
ＢＧ＝３，ＥＧ＝３、ＤＥ＝５　より　ＢＤ＝１１

(3)
△ＤＣＧの面積は　8×6÷2＝２４
△ＡＥＢの面積は　ＥＢ＝６、ＡＧ＝４ より ６×４÷２＝１２
よって　２倍。
No.22696 - 2013/10/11(Fri) 00:54:51
☆ Re: 図形の問題　数1・A / ＩＴ
等しい角同志が分かるように、同じ印を付けましょう。
すべての直角三角形が相似になっていると思います。

FA=GD=8より△CFA≡△CGDです。
これと相似比を使えば、どんどん各辺の長さが分かると思います。
No.22697 - 2013/10/11(Fri) 00:57:24
★ 二次関数 数ΙA / 受験生
またまた投稿してしまいました。

x^2＋6x−3a＋18＝0 (aは実数) ー?@がある。

(1)?@が実数解をもつのは、a≧◯のときであり、このときの?@の解は。◯に当てはまる値と解を求めよ。

(2)a≧6のとき、?@の解のとり得る値の範囲は。

(3)?@が整数を解にもつとき、最小の整数aの値は。


(1)の答えは自分で出すことはできました。(2)からつまづいております。
ちなみに、答えはa≧3、x＝−3±√3a−9と出ました。
また解答の方をよろしくお願いいたします。
No.22692 - 2013/10/10(Thu) 23:29:30
☆ Re: 二次関数 数ΙA / ヨッシー
(2)
x＝−3±√(3a−9) において、á≧6 のとき
√(3a−9)≧√9＝３なので、
　＋√(3a−9)≧3
　−√(3a−9)≦−3
となり、x≦−6 または ｘ≧0

(3) は問題が正しいか些か不安ですが、
　a=3 のとき、x=-3
であり、ａ＜３ だと、?@は実数解を持たないので、
a=3 が最小の整数。
No.22693 - 2013/10/10(Thu) 23:41:45
☆ Re: 二次関数 数ΙA / 受験生
x＝−3±√(3a−9) において、á≧6 のとき
√(3a−9)≧√9＝３なので、

ごめんなさい。
この部分がよくわかりません。
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
No.22745 - 2013/10/14(Mon) 16:02:18
★ 自然数の合計 / √
また、教えてください。
この間、信じがたい記事を読みました。

１＋２＋３＋・・・・・　＝　　−（１／１２）

自然数を足していくのに、なぜマイナスになるのか。
自然数を足していくのに、なぜ分数になるのか。
とても信じられません。

オイラーが証明したそうですが、
数学を、殆ど忘れてしまっている私には理解できません。

これを、ひらたく説明すると、どういうことなのでしょうか？
No.22684 - 2013/10/10(Thu) 12:39:50
☆ 付け足し　です / √
付け足しです。

私達が、普通に生活している中では、
１〜ｎまでの合計は、ｎ（ｎ＋１）／２
と考えて良いんですよね？　

そうじゃないと今までの考えが覆されてしまいそうです。
No.22685 - 2013/10/10(Thu) 12:52:43
☆ Re: 自然数の合計 / ヨッシー
まぁ、覚え書き程度に書いてみます。

無限等比級数の和の公式
　Σ[n＝0〜∞]ｒ^n＝１＋ｒ＋r^2＋・・・＝Ｓ
とおくと、
　Ｓ＝１/(１−ｒ)
よって、
　Σ[n＝0〜∞]ｒ^n＝１/(１−ｒ)　・・・(a)
(a) をｒで微分して
　Σ[n＝0〜∞]ｎ・ｒ^(n-1)＝１/(１−ｒ)^2　・・・(b)
(b) において、r=-1 とすると、
　１−２＋３−４＋・・・＝１／４　　　・・・・(i)
　１＋２＋３＋４＋・・・＝Ｓ　　　　　・・・・(ii)
　２＋４＋６＋８＋・・・＝２Ｓ　　　　・・・・(iii)
(ii)−2×(iii)＝(i) なので、
　Ｓ−４Ｓ＝1/4
これを解いて
　Ｓ＝-1/12

もちろん正しい結果ではありませんが、どこが違っているでしょうか？　
No.22686 - 2013/10/10(Thu) 14:48:16
☆ ひぇ〜〜〜。。。 / √
ヨッシーさん　有り難うございます。

ひぇ〜〜〜
数学を忘れてしまっている私には、さっぱり分りません。
やっぱり私には、理解は無理かも。。。

私が知っている最大の数は、
９９９９兆９９９９億９９９９万９９９９
なのですが、
この数までの和は、この数に１を足して２で割れば良いんですよね？

普段の生活において、
非現実的な　−（１／１２）という事実（？）
は、考えないで、算数などの問題を解いていても
問題ないでしょうか？
No.22687 - 2013/10/10(Thu) 15:35:22
☆ ？ / √
> 　Ｓ＝-1/12

> もちろん正しい結果ではありませんが、どこが違っているでしょうか？　

えっ？
−１／１２　は正しい結果ではなく、間違っているのですか？
間違っていてほしい。
No.22688 - 2013/10/10(Thu) 15:43:03
☆ Re: 自然数の合計 / ヨッシー
こちらに載っているくらいなので、
結構有名な話なのでしょう。
No.22689 - 2013/10/10(Thu) 16:00:17
☆ ちょっと安心 / √
ヨッシーさん　有り難うございました。

「こちら」を読んだら、
（あまり理解は出来ていませんが）

「−１／１２　に収束する」は、
厳密には、正しくない
と書いてあったので、ちょっと安心しました。


　
No.22690 - 2013/10/10(Thu) 16:54:25
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