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★ θの問題 / まりな
はじめまして(^o^)
0°≦θ＜360°で、
sinθが−0.5のとき図示するとどうなるのかが知りたいのですが、いろんなサイトや口座をみてもわかりません(>_<)
教えていただけたら嬉しいです。よろしくおねがいいたします。
No.22104 - 2013/07/29(Mon) 22:57:32
☆ Re: θの問題 / X
サイトや講座を見る前に教科書の三角関数の項目を見ましょう。
No.22108 - 2013/07/29(Mon) 23:22:31
☆ Re: θの問題 / ヨッシー
こちらなど、いかがですか？
No.22110 - 2013/07/30(Tue) 06:44:14
☆ Re: θの問題 / まりな
sinθ=-0.5のときは、
sinの値が-0.5になるθを探して、
210°と330°の2個があるとわかって・・・
で合ってるのでしょうか？
このあと何をすればよいのかわかりません。
というか何を求める問題なのか・・・。

これを図示せよとのことなのですが、
何の図をかけばよいのかわかりません(>_<)教えてください。
No.22117 - 2013/07/30(Tue) 18:21:37
☆ Re: θの問題 / ヨッシー

図は、sinθ＝-3/5 の場合ですが、これを、sinθ＝-1/2 の場合について
書けばいいです。
ちなみに、右の三角形は必要ありません。
No.22119 - 2013/07/30(Tue) 22:22:12
☆ Re: θの問題 / まりな
わかりやすい図をありがとうございます！
０．５を１／２と考えるんですね(>_<)
No.22128 - 2013/07/31(Wed) 18:24:40
☆ Re: θの問題 / ヨッシー
理解して頂けたようで何よりですが、
私は↑の図をお見せするため(だけ)に、
こちらのページを紹介しましたよ？
No.22134 - 2013/08/01(Thu) 08:51:10
★ (No Subject) / まさ
15.14の問題で時計方向に回転させるという意味がわかりません
もし、反時計回りの場合はどのようになるのでしょうか
よろしくお願いします。
No.22101 - 2013/07/29(Mon) 16:39:00
☆ Re: / ヨッシー
座標軸の方を回転させるので、こんな感じです。



この斜めになっている座標軸で見た場合、元の
　２ｘ＋ｙ＝０
は、どういう式になるかということです。
No.22102 - 2013/07/29(Mon) 17:44:42
☆ Re: / まさ
ありがとうございます

つまり、一次 変換は時計回りを基準に考えるということですか？
No.22177 - 2013/08/05(Mon) 17:27:27
☆ Re: / ヨッシー
そんなことはありません。問題に
「直交座標軸を時計方向に」とあるので、時計回りに
回しただけです。

ちなみに、一般にθだけ回転するというと、反時計回りにθ
回転することを意味します。
No.22178 - 2013/08/05(Mon) 18:04:57
☆ Re: / まさ
ありがとうございました
No.22207 - 2013/08/08(Thu) 13:55:08
★ (No Subject) / 現役生3
∫[0,π]tsin(t)dtおよび∫tcos(t)dtを計算せよ
(2)tsin(x-t)dtをｘで示せ
(3)f(x)=x+∫[o,π]f(t)sin(x-t)dtを満たすｘ関数f(x)を求めよ

回答と解き方を教えてください、お願いします。
No.22099 - 2013/07/29(Mon) 11:13:17
☆ Re: / X
問題文は正確にアップしてください。
No.22100 - 2013/07/29(Mon) 11:53:45
☆ Re: / 現役生3
ごめんなさい、もう一度アップさせて頂きます。

∫[0,π]tsin(t)dtおよび∫[0.π]tcos(t)dtを計算せよ
(2)∫[0,π]tsin(x-t)dtをｘで示せ
(3)f(x)=x+∫[0,π]f(t)sin(x-t)dtを満たすｘ関数f(x)を求めよ
No.22105 - 2013/07/29(Mon) 23:09:14
☆ Re: / X
＞＞∫[0,π]tsin(t)dtおよび∫[0.π]tcos(t)dtを計算せよ
部分積分により
∫[0→π]tsintdt=[-tcost][0→π]+∫[0→π]costdt=1 (A)
∫[0→π]tcosdt=[tsint][0→π]-∫[0→π]sintdt=-2 (B)

(2)
∫[0→π]tsin(x-t)dt=(sinx)∫[0→π]tcostdt-(cosx)∫[0→π]tsintdt
これに(A)(B)を代入して
∫[0→π]tsin(x-t)dt=-2sinx-cosx
(3)
条件式から
f(x)=x+(sinx)∫[0→π]f(t)costdt-(cosx)∫[0→π]f(t)sintdt
∴
f(x)=x+asinx-bcosx (C)
a=∫[0→π]f(t)costdt (D)
b=∫[0→π]f(t)sintdt (E)
と置くことができます。
(C)を(D)(E)に代入して積分を計算する
(その際に(A)(B)を使います)ことにより
a,bについての連立方程式を立てます。

(3)についてはもう少しうまい方法があるかもしれません。
No.22109 - 2013/07/29(Mon) 23:39:41
☆ Re: / 現役生3
Xさん、ありがとございます、
No.22112 - 2013/07/30(Tue) 09:23:16
★ 不等式の証明 / ktdg
(1)
-1<x<1のとき不等式
log(1-x)+log(1+x)≦-x^2
が成り立つことを示せ.
(2)
不等式
∫[-π/4〜π/4]log(1-sinθ)dθ<(1/4)(1-π/2)
が成り立つことを示せ.

(2)がわかりません. 教えてください.
No.22096 - 2013/07/28(Sun) 22:02:09
☆ Re: 不等式の証明 / ＩＴ
∫[-π/4〜π/4]log(1-sinθ)dθ
　積分区間を２つに分けます
=∫[-π/4〜0]log(1-sinθ)dθ+∫[0〜π/4]log(1-sinθ)dθ
　前半の変数を-θに置換します。
=-∫[π/4〜0]log(1-sin(-θ))dθ+∫[0〜π/4]log(1-sinθ)dθ
　sin(-θ)=-sinθを代入
=-∫[π/4〜0]log(1+sinθ)dθ+∫[0〜π/4]log(1-sinθ)dθ
　積分区間を逆転
=∫[0〜π/4]log(1+sinθ)dθ+∫[0〜π/4]log(1-sinθ)dθ
=∫[0〜π/4]{log(1+sinθ)+log(1-sinθ)}dθ
=∫[0〜π/4]{log(1-sinθ)+log(1+sinθ)}dθ
　0≦θ≦π/4で-1<sinθ<1なので,(1)よりlog(1-sinθ)+log(1+sinθ)≦-(sinθ)^2
　よって
<∫[0〜π/4]{-(sinθ)^2}dθ　※等号が不要なことを証明する必要があります。

後は,半角の公式などを使って∫[0〜π/4]{-(sinθ)^2}dθを計算します。できそうですか?
No.22097 - 2013/07/28(Sun) 23:30:16
☆ Re: 不等式の証明 / ktdg
わかりました.
ありがとうございます.
No.22103 - 2013/07/29(Mon) 22:01:20
★ チェインルール / ボシュロム
画像において、丸で囲んでいる部分の式がなぜこのように変形するかわかりません
どなたか解説お願いします
No.22094 - 2013/07/28(Sun) 15:36:26
☆ Re: チェインルール / X
z_u=z_x・x_u+z_y・y_u
と同様にして
(z_x)_u={(z_x)_x}・x_u+{(z_x)_y}・y_u
=…
No.22095 - 2013/07/28(Sun) 16:39:03
★ (No Subject) / たかひろ（高３）
ｎは2以上の自然数とする。関数f[n](x)=(x^)nlogx (x>0)について答えよ,lim[x->](x^n)log(x)=0
(1)関数y=f[n](x)の増減、凹凸を調べよ、グラフの概形を描け
(2)関数y=f[n](x)の最小値をＬ[n]とするとき、無限級数Σ[n=1,∞]Ｌ[n+1]/nの和を求めよ
(3)曲線y=f[n](x)のx=1における接線の方程式を求めよ
(4)kを定数とするとき、xに関する方程式(x^n)log[x]=x+k (x>0)の解の個数を調べよ

教えてください、お願いします。
No.22089 - 2013/07/28(Sun) 07:54:44
☆ Re: / X
(1)
f'[n](x)=(nlogx+1)x^(n-1) (A)
f"[n](x)={n+(n-1)(nlogx+1)}x^(n-2)
=n(n-1){logx+(2n-1)/{n(n-1)}}}x^(n-2)
これらを元にf[n](x)の増減表を書きます。
(2)
(1)の結果より
L[n]=f[n](1/e^(1/n))=-1/(ne)
∴Σ[n=1〜∞]L[n+1]/n=Σ[n=1〜∞]{-1/(en(n+1))}
=… (部分分数分解します)
(3)
(A)より
f'[n](1)=1
∴接線の方程式は
y=x-1
となります。
(4)
(1)の結果のグラフに(3)の結果のグラフを描き、この接線を
平行移動して考えましょう。
No.22092 - 2013/07/28(Sun) 10:43:38
☆ Re: / たかひろ（高３）
Xさんありがとうございます。
またよろしくお願いします。
No.22114 - 2013/07/30(Tue) 18:03:21
★ 微分積分 / うんうん
次の積分を求めよ
∬_[D]{xye^(x^2+y^2)}dxdy
ただしD={(x,y)|y≧0,x^2+y^2≦x}

---------------------------------
x=rcosθ,y=rsinθとおいて
xye^(x^2+y^2)=r^2cosθsinθe^r^2
から答えを求めようと考えておりますが、わかりません。


よろしくお願い致します。
No.22084 - 2013/07/27(Sat) 22:42:37
☆ Re: 微分積分 / X
これは極座標に変換せずにこのまま積分します。
(与式)=∫[x:0→1]∫[y:0→√(x-x^2)]{xye^(x^2+y^2)}dydx
=∫[x:0→1][(1/2)xe^(x^2+y^2)][y:0→√(x-x^2)]dx
=(1/2)∫[x:0→1]x{e^x-e^(x^2)}dx
=(1/2)[xe^x][x:0→1]-(1/2)∫[x:0→1](e^x)dx-(1/2)[(1/2)e^(x^2)][x:0→1]
=e/2-(1/2)(e-1)-(1/4)(e-1)
=(3-e)/4
となります。
No.22087 - 2013/07/28(Sun) 00:55:33
☆ Re: 微分積分 / うんうん
Xさん、
ご回答ありがとうございました。


いつも丁寧なご回答、ありがとうございます。
No.22091 - 2013/07/28(Sun) 10:15:04
★ 数列と極限 / たかひろ（高３）
解き方と回答を教えてください　　

nを自然数とする。
(1)0<x<2π
　
　sinx+sin2x+・・・・+sinnx=sin{(n+1)x/2}sin{(nx)/2}/sinx/2を示せ

(2)n≧3とする中心O、半径ｒの円周上にｎ個の点P[1],P[2]・・・P[n]=P[0]が順番に並んで、∠P[k]OP[k-1] =k∠P[1]OP[0] (k=1.2・・・・・n)を満たしている
このとき、多角形P[1]P[2]・・・・P[n]の面積S[n]を求めよ
(3)lim[n->∞]S[n]をもとめよ
No.22071 - 2013/07/27(Sat) 07:56:06
☆ Re: 数列と極限 / angel
(1)って、三角関数の和積・積和の応用の典型例として出てきそうですけど…。
※結果を覚える必要はないけど、どういう話かは知っといた方が良い、という

一般に、
　2sin(x/2)sin(kx) = cos((k-1/2)x) - cos((k+1/2)x)
が成立します。
なので、例えば
　2sin(x/2)sinx = cos(0.5x)-cos(1.5x)
　2sin(x/2)sin2x = cos(1.5x)-cos(2.5x)
　2sin(x/2)sin3x = cos(2.5x)-cos(3.5x)
といった具合の関係があります。

これらを辺々足し合わせると、右辺で色々消えてくれるので
　2sin(x/2)( sinx+sin2x+…+sinnx ) = cos(x/2) - cos((n+1/2)x)
後は和積を考えて
　cos(x/2) - cos((n+1/2)x = 2sin((n+1)x/2)sin(nx/2)
以上の式を併せると(1)の結果になるという次第です。
No.22076 - 2013/07/27(Sat) 11:11:18
☆ Re: 数列と極限 / X
(2)
条件から
Σ[k=1〜n]∠P[k]OP[k-1]=2π
これに
∠P[k]OP[k-1] =k∠P[1]OP[0] (A)
を代入して整理すると
(1/2)n(n+1)∠P[1]OP[0]=2π
∠P[1]OP[0]=4π/{n(n+1)} (B)
(B)を(A)へ代入して
∠P[k]OP[k-1] =4πk/{n(n+1)} (C)
さて△P[k]OP[k-1]の面積をT[k]とすると
T[k]=(1/2)(r^2)sin∠P[k]OP[k-1]
=(1/2)(r^2)sin{4πk/{n(n+1)}} (D) ((∵)(C)を代入した)
∴S[n]=Σ[k=1〜n]T[k]
=… ((1)の結果を使います)

(3)
(2)の結果を使い、S[n]の分母分子を適当な式で
約分することにより
lim[x→0](sinx)/x=1
であることを使える形に与式を変形します。
とはいっても、条件から容易に
(与式)=πr^2
が予想できますので、これを確かめる計算ということになりますが。
No.22082 - 2013/07/27(Sat) 16:51:15
☆ Re: 数列と極限 / たかひろ（高３）
angelさん、Xさん毎回教えて下さってありがとうございます。
No.22090 - 2013/07/28(Sun) 07:56:28
★ (No Subject) / 犬好きおやじ
塗分けの問題です。（図の書き方が判らないので文章で…）
正六角形の各辺の周りを同じ大きさの直角三角形で囲んで、一回り大きな正六角形を作ります。初めの六角形をG、周りの直角三角形をA〜Fとします。隣り合う部分は同じ色では塗れないとします。色は今7色用意されています。
(1)7色全てを使っての塗分け。（マスを区別しない）
(2)7色全てを使っての塗分け。（マスを区別する）
(3)3色を選んでの塗分け。（マスを区別する）
(4)4色を選んでの塗分け。（マスを区別する）
(5)5色を選んでの塗分け。（マスを区別する）

(1)は真ん中のGを決め、回りは円順列として計算し840通り。
(2)は単純に7!＝5040通り
(3)は7C3で3色選び、そのうちGが3通り、残り2色で6箇所を塗り分けるには3マス・3マスの組み合わせだけなので2通り。したがって35*3*2＝210通り、　で解答とも合っていたのですが、(4)、(5)が太刀打ちできませんでした。解説をお願い致します。ちなみに(4)＝7560通り、(5)＝50400通りだそうです。よろしくお願い致します。
No.22058 - 2013/07/26(Fri) 20:04:38
☆ Re: / 犬好きおやじ
直角三角形の斜辺が元の六角形の各辺に接して、その斜辺のはみ出した部分が次の直角三角形の短辺と重なります。（これで分かりますか？）
No.22060 - 2013/07/26(Fri) 20:47:48
☆ Re: / ＩＴ
失礼しました、分かりました。
No.22061 - 2013/07/26(Fri) 20:52:07
☆ Re: / ＩＴ
(4)4色を選んでの塗分け。（マスを区別する）
7色から4色を選んで順に並べる方法は、7*6*5*4 通り
先頭の色は、元の六角形に塗る。
のこりの３色の塗り方は、３色を１、２、３とし、最初に出現し塗る順番をこの順を崩さず塗る方法は

A-B-C-D-E-F(樹形図の代わりです）
1-2-1-2-1-3
*-*-*-*-3-2
*-*-*-3-1-2
*-*-*-*-*-3
*-*-*-*-2-3
*-*-3-1-2-3
*-*-*-*-3-2
*-*-*-2-1-2
*-*-*-2-1-3　＜※追加
*-*-*-*-3-2
の１０通り　＜※
よって求める塗り方は、7*6*5*4*10＝8400通り ＜※ angel さんのご指摘により修正しました。
No.22062 - 2013/07/26(Fri) 21:20:00
☆ Re: / ＩＴ
(5)5色を選んでの塗分け。（マスを区別する）
7色から5色を選んで順に並べる方法は、7*6*5*4*3 通り
先頭の色は、元の六角形に塗る。
のこりの4色の塗り方は、4色を１、２、３、４とし、最初に出現し塗る順番をこの順を崩さず塗る方法は

A-B-C-D-E-F(樹形図の代わりです）
1-2-1-2-3-4
******3-1-4
********2-4
********4-2,3
****3-1-2-4
********3-4
********4-2,3
******2-1-4
********3-4
********4-2,3
******4-1-2,3,4
********2-3,4
********3-2,4
の２０通り,よって求める塗り方は7*6*5*4*3*20＝50400通り
No.22064 - 2013/07/26(Fri) 21:49:16
☆ あれ? / angel
(4)は答えが違うのでは…?
ITさんの樹形図で言うと、
> *-*-*-2-1-2
> *-*-*-*-3-2
最後のこの2行の間に“*-*-*-*-*-3”が入ると思います。
結局、×9 ではなく ×10 で 8,400通り
No.22065 - 2013/07/26(Fri) 23:34:41
☆ 別解(4) / angel
私の考えた(4)の別解は次の通りです。…あんまり汎用的とは言えないかも知れませんが。

中心の周りの6マスで3色なので、同じ色を塗るマスの数は、3-2-1 もしくは 2-2-2
マスに 1〜6 の ID を振ったとして、その内訳は
　3-2-1
　　同色3マス: 1,3,5 もしくは 2,4,6 の2通り
　　同色2マス: いずれの場合も残り3マス中2マスで3通り
　　計2×3=6通り
　2-2-2
　　マス1と同色のマスで区別
　　3or5: 前者は 2,5が同色、後者は 3,6 が同色と一意に決定、計2通り
　　4: 2と同色が5,6の2通り
　　計2+2=4通り
ということで、色の内容まで考えない配置で6+4=10通り
後は色の組み合わせも考えて、10×7×6×5×4=8,400通り
No.22066 - 2013/07/26(Fri) 23:46:08
☆ (5)別解 / angel
他の色数での数値が出ているので、余事象で考えてみます。
まず、残る「7色中6色」ですが、
　周囲6マス中同色となる2マスの組み合わせ
　　… 6C2-6 = 9通り
から、
　9×7P6 = 45,360
とあっさり求まります。

続いて、全体となる「7色中任意」です。
これは、
　・中央が7通り
　・周囲の6マス中、一番上は6通り
　・その右隣は5通り
　・その右隣りも5通り
　…
　・最後の残りだけ4通り
で、7×6×5^4×4 と言いたい所ですが、これでは足りません。最後のマスの両隣が同色で、最後が×5になる分の+1が抜けているからです。不足分は、
　・中央が7通り
　・最後に残るマスの両隣が同色で6通り
　・同色のマスの各隣が5通りずつ
　・さらにそれらに挟まれたマスが4通り
で、7×6×5^2×4(×+1) と。でもまだ足りません。
さらに
　・中央が7通り
　・最後に残るマスの両隣が同色で6通り
　・同色のマスの各隣がさらに同色で5通り
で、7×6×5(×+1×+1) も足してやっと終わりです。

結局、
　7×6×5^4×4 + 7×6×5^2×4 + 7×6×5 = 109,410
が全体となります。

なので、7色中5色のケースは、
　109,410 - 210 - 8,400 - 45,360 - 5040 = 50,400通り
と計算できます。
No.22067 - 2013/07/27(Sat) 00:00:34
☆ Re: / ＩＴ
> (4)は答えが違うのでは…?
angel さんのおっしゃるとおりです。ありがとうございました。私の解答は修正しました。
No.22068 - 2013/07/27(Sat) 00:32:07
☆ Re: / ＩＴ
(5)の別解
一般に、輪状に並んだ区別の付くｍ個のものにｎ種以内の色を隣り合う色は異なるように塗る方法は
{(n-1)^m}+{(-1)^m}(n-1)　通りである。(証明は２つ下に)

４色を決めたとき,周りの６つの三角形をその４色以内で塗る方法は,　3^6+{(-1)^6}×3=732通り
３色を決めたとき,周りの６つの三角形をその３色以内で塗る方法は,　2^6+{(-1)^6}×2=66通り
２色を決めたとき,周りの６つの三角形をその２色(以内)で塗る方法は,　1^6+{(-1)^6}=2通り

したがって　ある４色を決めたとき
　周りの６つの三角形をその４色ちょうどで塗る方法は, 732-(4C3)×66+(4C2)×2=480通り

７色から中心の色の選び方は７通り、残りの６色から４色を選ぶ方法は6C4通り
よって求める塗り方は,　7×(6C4)×480=50,400通り。
No.22069 - 2013/07/27(Sat) 01:11:56
☆ Re: / ＩＴ
(4)の別解
３色を決めたとき,周りの６つの三角形をその３色以内で塗る方法は、2^6+{(-1)^6}×2=66通り
２色を決めたとき,周りの６つの三角形をその２色(以内)で塗る方法は、1^6+{(-1)^6}=2通り
したがって　ある３色を決めたとき
　周りの６つの三角形をその３色ちょうどで塗る方法は、66-(3C2)×2=60通り

７色から中心の色の選び方は７通り、残りの６色から３色を選ぶ方法は、6C3通り
よって求める塗り方は、7×(6C3)×60= 8400通り。
No.22070 - 2013/07/27(Sat) 01:25:28
☆ Re: / ＩＴ
輪状に並んだ区別の付くｍ個のものにｎ種以内の色を隣り合う色は異なるように塗る方法は
{(n-1)^m}+{(-1)^m}(n-1)　通りである。
(証明)
まず、一列に並べた場合の塗り方の数をa(m)とおく、※以下、表記を簡単にするためnは固定して考える
　先頭n色、（その後）×(n-1)色×(n-1)色×…×(n-1)色なので
a(m)=n(n-1)^(m-1)通り

このうち、先頭と末尾の色が同じものの数をb(m)とおく。※求める塗り方の数は、a(m)-b(m)通りである。

m+1個の列をn種以内の色を隣り合う色は異なるように塗る方法のうち
先頭と末尾が同じ色であるものは、
m個の列をn種以内の色を隣り合う色は異なるように塗る方法のうち
先頭と末尾が異なる色であるもの末尾の次に先頭と同じ色を追加したものと考えることができるので

b(m+1)=a(m)-b(m),そしてb(1)=n,b(2)=0である。
b(m+1)+b(m)=a(m)= n(n-1)^(m-1)
この漸化式を解くと、b(m)=(m-1)^(n-1)+{(-1)^(m-1)}(n-1)

よって、a(m)-b(m)= {(n-1)^m} + {(-1)^m}(n-1)…求める塗り方の数
No.22072 - 2013/07/27(Sat) 08:15:17
☆ Re: / 犬好きおやじ
皆さんありがとうございました。大変よくわかりました。(4)の問題については私も8400通りになったのですが、解答が7560通りとなっていて、結局その先に進めずの状態でした。本当にありがとうございました。
No.22074 - 2013/07/27(Sat) 09:56:18
☆ Re: / ＩＴ
> (4)の問題については私も8400通りになったのですが、解答が7560通りとなっていて、結局その先に進めずの状態でした。

その問題集の解法は、どんなものでしたか？参考までに教えてください。
No.22075 - 2013/07/27(Sat) 10:58:59
☆ 模範解答もね… / angel
> 解答が7560通りとなっていて、結局その先に進めずの状態でした。

模範解答も間違えることが少なからずあるので、あまり信用してはいけない、というのが私が小〜高時代に得た教訓ですね…。
※「模範解答」を「先生」や「教科書」に置き換えても良い。

だからといって端から疑うことはしませんけど。

対策はまあ、色んな角度から検証してみる ( できる力をつける ) しかないのでしょう。( 別解を考えてみるとか、検算してみるとか )
No.22077 - 2013/07/27(Sat) 11:26:00
☆ Re: / 犬好きおやじ
解説はなく、解答のみしかついていません。それで仕方なく、みなさんにお願いいたしました。ありがとうございました。
No.22079 - 2013/07/27(Sat) 12:56:46
☆ Re: / ＩＴ
> 解説はなく、解答のみしかついていません。
なるほど、了解しました。
入試対策ならその問題集は使わない方がいいかも知れません。時間のムダになる恐れがあるので。
No.22080 - 2013/07/27(Sat) 13:22:21
★ (No Subject) / 青(
教えてください、お願いします。

aは0<a<2を満たす実数とし、、数列{a[n]}を次の漸化式で定める。

　　a[1]=a, a[n+1]=(a[n])^(2)-2a[n]/n (n=1,2,3・・・）

(1)0<a[n]<2であることを示せ
(2)lim[n->∞]a[n]をもとめよ
No.22054 - 2013/07/26(Fri) 00:18:28
☆ Re: / ＩＴ
例えば、a=1のとき
a[2]=1-2=-1なので、0<a[2]<2　にならないような気がしますが？
No.22055 - 2013/07/26(Fri) 07:57:10
★ (No Subject) / 猫
はじめまして。

物理の問題です。高校の電機分野なのですがよろしくお願いします。

＋Qクーロンの電荷Aと、−Qクーロンの電荷Bが存在します。
この時、質量はどちらもｍとし、また電荷Aを十分離れた位置から、

ある場所に固定された電荷Bに向かって初速Vでうちだします。



この時、

電荷AとBは衝突するか


また、衝突するのであればその衝突直前のAの速さを求めよ。また衝突しないのであれば、AとBの距離をｒとしたときの最小値を求めよ
ただし、重力や粒子の大きさは無視できるものとする。


これで、自分の考えは衝突はすると思うのですが、速さはどのように出せばよいでしょうか・・・？
エネルギーの関係から出そうと最初は思ったのですが、距離０における電気的位置エネルギーを式で表せなくて…

もしかしたら＋と−を間違えた問題の不備だったりするのでしょうか・・・?
＋同士の問題は良く見るのですが異符号のものは僕は初めてみまして（単に演習不足かもしれませんが）

解答はありません。
よろしくお願いします＞＜
No.22050 - 2013/07/25(Thu) 18:20:34
☆ Re: / ペンギン
二つの電荷は衝突し、衝突するときの速度は∞になります。

問題の符号が間違っているのではないでしょうか？
No.22053 - 2013/07/25(Thu) 19:09:50
☆ Re: / 猫
ありがとうございます。
No.22056 - 2013/07/26(Fri) 09:27:22
★ 高3数学です。 / rio
添付の問題&私の答案で質問です。答案の後半(ii)でどこが間違っているのかがわかりません。(i)は正解、(ii)は最大と最小の値が逆なので単調減少ではなく単調増加を示さなくてはならないのだろうと予想しています。よろしくお願いします。。
No.22047 - 2013/07/25(Thu) 17:48:44
☆ Re: 高3数学です。 / ヨッシー
最初の
　解の公式より、
　ｘ＝・・・
の√の中が違います。元の式の２が掛けられていません。

その先は、これから見ます。
No.22048 - 2013/07/25(Thu) 18:06:59
☆ Re: 高3数学です。 / ヨッシー
正しく計算すると、
　ｘ’＝２±（２ｔ＋１）／√（２ｔ^2＋２ｔ＋４）
　　＝２±√｛２−７/(2t^2+2t+4)｝
となります。
　2t^2+2t+4 は、-1≦t≦1 の範囲では、
　t=-1/2 で最小値 7/2, ｔ＝１ で最大値 ８ をとるので、
　０≦２−７/(2t^2+2t+4)≦9/8
ｘ’＝２＋√｛２−７/(2t^2+2t+4)｝のとき
　２≦ｘ’≦２＋√(9/8)
ｘ’＝２−√｛２−７/(2t^2+2t+4)｝のとき
　０＜２−√(9/8)≦ｘ’≦２
となり、いずれも、単調増加になります。
No.22051 - 2013/07/25(Thu) 18:26:36
☆ Re: 高3数学です。 / rio
ありがとうございました。理解できました。
No.22081 - 2013/07/27(Sat) 16:20:21
★ 偏導関数 / 高専
画像の問題の(1)はわかったのですが、(2)と(3)がわかりません
答えを教えてください
お願いします
No.22045 - 2013/07/25(Thu) 14:31:08
☆ Re: 偏導関数 / X
(2)
ロピタルの定理により
g(t)=lim[h→0]{(d/dh)f(a+hcost,b+hsint)}/(2h)
=lim[h→0]{(∂f/∂x)(a+hcost,b+hsint)(cost)+(∂f/∂y)(a+hcost,b+hsint)(sint)}/(2h)
=lim[h→0]{(d/dh){(∂f/∂x)(a+hcost,b+hsint)(cost)+(∂f/∂y)(a+hcost,b+hsint)(sint)}}/2
=lim[h→0]{{(∂^2f/∂x^2)(a+hcost,b+hsint)(cost)^2+2(∂^2f/(∂x∂y))(a+hcost,b+hsint)(sintcost)+(∂^2f/∂y^2)(a+hcost,b+hsint)(sint)^2}}/2
=(1/2)(∂^2f/∂x^2)(a,b)(cost)^2+(∂^2f/(∂x∂y))(a,b)sintcost+(∂^2f/∂y^2)(a,b)(sint)^2

(3)
f(x,y)=x^3+2xy-x+2y
により
∂^2f/∂x^2=6x
∂^2f/∂y^2=0
∂^2f/(∂x∂y)=2
これらと(1)の結果により
(∂^2f/∂x^2)(a,b)=6a=-6 (A)
(∂^2f/∂y^2)(a,b)=0 (B)
(∂^2f/(∂x∂y))(a,b)=2 (C)
(A)(B)(C)を(2)の結果に代入して
g(t)=-3(cost)^2+2sintcost
=-(3/2)(1+cos2t)+sin2t
=…
(三角関数の合成を使います。)
No.22063 - 2013/07/26(Fri) 21:29:27
☆ Re: 偏導関数 / 高専
詳しくありがとうございます
ひとつ疑問があるのですが
g(t)=lim[h→0]{(d/dh)f(a+hcost,b+hsint)}/(2h)
=lim[h→0]{(∂f/∂x)(a+hcost,b+hsint)(cost)+(∂f/∂y)(a+hcost,b+hsint)(sint)}/(2h)
の所で、なぜ分子がこのようになるのかわかりません
No.22078 - 2013/07/27(Sat) 11:32:21
☆ Re: 偏導関数 / X
以下のキーワードを教科書などで探しましょう。
合成関数の偏微分
No.22088 - 2013/07/28(Sun) 01:04:40
☆ Re: 偏導関数 / 高専
ありがとうございます
No.22093 - 2013/07/28(Sun) 10:55:08
★ 極限 / たかひろ（高３）
p,qは正の有理数で、√ｑは無理数であるとする。
自然数nに対して、有理数a[n],b[n]を(p+√q)^n=a[n]+b[n]√qによって定める。
(1)(p-√q)^n=a[n]-b[n]√qを示せ。
(2)lim[n->∞]a[n]/b[n]=√qを示せ。

解き方と解答をお願い致します。
No.22042 - 2013/07/25(Thu) 07:32:29
☆ Re: 極限 / X
(1)
数学的帰納法を使います。
(i)n=1のとき
成立は明らか。
(ii)n=kのとき成立を仮定します。
つまり
(p-√q)^k=a[k]-b[k]√q (A)
このとき
(p+√q)^(k+1)=(p+√q)(p+√q)^k=(p+√q)(a[k]+b[k]√q)
=pa[k]+qb[k]+(a[k]+pb[k])√q
∴a[k+1]+b[k+1]√q=pa[k]+qb[k]+(a[k]+pb[k])√q
なので両辺の有理数の項と√qの係数を
比較することができ(証明は省略します)
a[k+1]=pa[k]+qb[k] (B)
b[k+1]=a[k]+pb[k] (C)
(A)(B)(C)により
(p-√q)^(k+1)=(p-√q)(p-√q)^k=(p-√q)(a[k]-b[k]√q)
=pa[k]+qb[k]-(a[k]+pb[k])√q
=a[k+1]-b[k+1]√q
となるので、n=k+1のときも命題は成立。

(2)
(1)の結果により
{(p-√q)/(p+√q)}^n=(a[n]-b[n]√q)/(a[n]+b[n]√q)
=(a[n]/b[n]-√q)/(a[n]/b[n]+√q)
∴lim[n→∞]a[n]/b[n]=√q
⇔lim[n→∞]{(p-√q)/(p+√q)}^n=0
⇔|(p-√q)/(p+√q)|＜1
⇔|p-√q|＜p+√q (P)
ということで(P)を証明しましょう。
No.22044 - 2013/07/25(Thu) 10:15:48
☆ Re: 極限 / たかひろ（高３）
Xさんありがとうございます、また教えてくださいお願いします。
No.22057 - 2013/07/26(Fri) 19:45:18
★ 正式の乗法 / yas
社会人になって、数学を復習している者です。

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
={a+(b+c)}{a^2-(b+c)a+b^2-bc+c^2}
=a^3+{(b+c)-(b+c)}a^2+{(b^2-bc+c^2)-(b+c)^2}a+(b+c)(b^2-bc+c^2)
=a^3-3abca+b^3+c^3

上記の数式において、以下のように展開できる理由がわかりません。
詳しい方、教えていただけませんでしょうか。
a^3+{(b+c)-(b+c)}a^2+{(b^2-bc+c^2)-(b+c)^2}a+(b+c)(b^2-bc+c^2)

出典：(新課程)青チャート数学1+A P.20 例題(3)
No.22040 - 2013/07/25(Thu) 06:53:32
☆ Re: 正式の乗法 / 七
={a+(b+c)}{a^2-(b+c)a+b^2-bc+c^2}
={a+(b+c)}{a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)}
(b+c)=M,(b^2-bc+c^2)=N とすると

{a+(b+c)}{a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)}
=(a+M)(a^2-Ma+N)
=a^3-Ma^2+Na+Ma^2-M^2a+MN
=a^3+(M-M)a^2+(N-M^2)a+MN
=a^3+{(b+c)-(b+c)}a^2+{(b^2-bc+c^2)-(b+c)^2}a+(b+c)(b^2-bc+c^2)
です。
ちなみに最後の行は

=a^3-3abc+b^3+c^3

です。
No.22043 - 2013/07/25(Thu) 07:36:34
★ 空間図形 / ktdg
xyz座標空間内に, 底面の半径が1, 高さが√3の直円錐を, 頂点が原点O, 底面の中心が(0,0,√3)であるようにとる.この直円錐の側面をSとするとき, Sを表す方程式を求めよ.

点(1,0,√3)をQ, 平面z=√3上にあり, 中心がA(0.0.√3)で, 半径が1の円をC, C上の点をRとする. ∠QAR=θ (0≦θ≦2π)とおくと,Rの座標は(cosθ,sinθ,√3)となるから, 線分OR上の任意の点P(x,y,z)は実数t(0≦t≦1)を用いて,
↑OP=t↑OR
とかける.
よって,
(x,y,z)=(tcosθ,tsinθ,t√3)
∴ x^2+y^2=t^2, z^2=3t^2
∴z^2=3(x^2+y^2)
また,0≦t≦1, -1≦sinθ≦1, -1≦cosθ≦1より
0≦z≦√3, -1≦x≦1, -1≦y≦1
∴Sの方程式は
z^2=3(x^2+y^2) (0≦z≦√3, -1≦x≦1, -1≦y≦1)

添削をお願いします.
No.22038 - 2013/07/25(Thu) 00:32:57
☆ Re: 空間図形 / X
方針は問題ありませんが
>>Rの座標は(cosθ,sinθ,√3)となるから, 線分OR上の〜
において
>>となるから
と書くのは論理的におかしいです。
ここは、例えば
Rの座標は(cosθ,sinθ,√3)
で区切って
一方、線分OR上の〜
というような書き方がいいでしょう。
No.22039 - 2013/07/25(Thu) 02:24:35
☆ Re: 空間図形 / ktdg
細かいところまで目を通していただいてありがとうございます.
No.22052 - 2013/07/25(Thu) 19:04:04
★ 極限 / ktdg
lim[n→∞]Σ[k=1〜n](2k+3)/{k(k+1)3^k}の求め方を教えてください.
No.22034 - 2013/07/24(Wed) 08:58:19
☆ Re: 極限 / X
(2k+3)/{k(k+1)・3^k}={3(k+1)-k}/{k(k+1)・3^k}
=1/{k・3^(k-1)}-1/{(k+1)・3^k}
と変形すると
(与式)=lim[n→∞]{1-1/{(n+1)・3^n}}=1
となります。
No.22035 - 2013/07/24(Wed) 09:27:52
☆ Re: 極限 / ktdg
ありがとうございます.
No.22037 - 2013/07/25(Thu) 00:30:50
★ 微分 / たかひろ（高３）
nは自然数とし、曲線y=1/simx {(n-1)π<x<nπ｝をC[n]とする

(1)原点Oを通り曲線C[n]に接する直線が、ただ１つ存在するときを示せ
(2) (1)の接点のｘ座標をx[n]とするとき、lim[n->∞](nπ-x[n])をもとめよ


解き方と解答をお願い致します。
No.22033 - 2013/07/24(Wed) 07:54:10
☆ Re: 微分 / X
(1)
y=1/sinx (A)
より
y'=-cosx/(sinx)^2
∴C[n]上の点(t,1/sint)における接線の方程式は
y={-cost/(sint)^2}(x-t)+1/sint
これが原点を通るとき
0={-cost/(sint)^2}(-t)+1/sint
これより
0=t+tant (B)
後は
f(t)=t+tant
と置いて
(n-1)π<t<nπ (C)
における増減を調べ、横軸にt、縦軸にf(t)を取った
(C)の範囲のグラフを描き、このグラフがt軸と一箇所
しか交点を持たないことを示します。
No.22036 - 2013/07/24(Wed) 09:36:01
☆ Re: 微分 / たかひろ（高３）
X さん導きありがとうございます。
No.22041 - 2013/07/25(Thu) 07:31:30
★ 質問です / 美保
漢帝国の建国の過程及び周辺地域への勢力の拡大について簡単に述べ前漢・後漢の経済対策とおよび帝国の衰退について300字で説明せよ。
No.22029 - 2013/07/23(Tue) 19:02:57
★ 日本史質問はだめですか？ / 美保
日本史を質問したいんですけどよろしいでしょうか？
No.22028 - 2013/07/23(Tue) 18:55:23
☆ Re: 日本史質問はだめですか？ / ヨッシー
ダメではないですけど、たぶん満足な答えは得られないと思いますよ。

数学は１の知識だけで、１００の問題に対処できるパズル系学問です。
一方、上の問題もそうですが、１００の文献を調べてやっと
その内の１が使えるかというようなクイズ系の学問は得意で
ありませんし、１００の文献を調べること自体が問題の
ねらいなので、それを代わりにして差し上げることは出来ません。
No.22030 - 2013/07/24(Wed) 00:17:08
☆ Re: 日本史質問はだめですか？ / angel
漢の話って日本史なの…? という疑問はともかく。
物理なんかは特に数学と縁が深いし、理系科目ならそこそこ答えられる人もいるでしょうが、歴史となると全く分野が別ですからね…。なかなか厳しそうじゃないでしょうか。
ちなみに私は、歴史、大の苦手です。
No.22031 - 2013/07/24(Wed) 00:27:33
☆ Re: 日本史質問はだめですか？ / ＩＴ
私は、日本史は取りませんでした。世界史は取りましたが大の苦手でした。

さて、上の質問は、教科書から設問に合う部分を抜き出して要約すればいいと思うのでご自分でやって見られるといいと思います。
テクニックとしては教科書の１行が何文字か調べて、例えば３０文字なら３００文字＝１０行程度分を目安に当てはまる各ポイントにアンダーラインを引いて、つないでいきます。
No.22032 - 2013/07/24(Wed) 07:30:40
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