ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率 / Lucy

１～９までの数字が１つずつ書かれた計９枚のカードが
ある。これらのカードの中から無作為に１枚を選び、
そのカードに書かれた数字を記録してもとに戻すという操作をn回行い、記録した数字を順にa1 , a2,・・・、anとする。
ただしnは２以上の整数とする。

(1)a1×a2×・・・×anが３の倍数となる確率
(2)a1×a2×・・・×anが４の倍数となる確率
(3)a1×a2×・・・×anが６の倍数となる確率

合ってる自信がなくて・・・。
よろしくお願いします。

No.23044 - 2013/11/05(Tue) 22:56:32

☆ Re: 確率 / ＩＴ

> 合ってる自信がなくて・・・。
あなたの解答を書かれないと合っているか、間違っている場合は、どこが間違っているか分かりません。

No.23045 - 2013/11/05(Tue) 23:30:55

☆ Re: 確率 / angel

> 合ってる自信がなくて・・・。

何らか解答を考えたのであれば、それを書いた方が、建設的なアドバイスができると思います。

取り敢えず答え合わせとしては、
(1) 1-(2/3)^n
(2) 1-1/9・(2n+5)(5/9)^(n-1)
(3) 1+(1/3)^n-(2/3)^n-(5/9)^n

No.23046 - 2013/11/05(Tue) 23:44:05

☆ Re: 確率 / Lucy

遅くなってすみません。
(1)からまちがってました。

(1)は１度も３の倍数が出ないときの場合を求めて、
１から引けばいいと考えたのですが、

(2/3）^nはどうしたら出てくるのでしょうか。

また(2)(3)も、余事象で考えようと思ったのですが、
(2)だと、まず１度も偶数が出ない場合…

これの他にはどうすればいいのでしょうか。
全然分からなくて…。

No.23051 - 2013/11/06(Wed) 22:53:30

★ 回転体の体積とその誘導 / mega

(1)a>0,b>0,0<θ<π/2のとき、関数f(θ)=a/cosθ+b/sinθの最小値を求めよ。

(2)θが0≦θ≦π/2の範囲で変化するとき、2点A(cosθ,0),B(0,sinθ)を結ぶ線分ABの通過する領域をx軸のまわりに開店してできる立体の体積を求めよ。

(2)はNo.20154の記事とほぼ同じだと思うのですが、よく理解できていませんので、もう少し噛み砕いてほしいのですが・・・。
申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

No.23041 - 2013/11/05(Tue) 17:58:40

☆ Re: 回転体の体積とその誘導 / ヨッシー

(1)
f(θ) をθで微分すると
　f’(θ)＝(ａ・sin^3θ－ｂ・cos^3θ)/(sin^2θcos^2θ)
よって、Ａ＝ａ^(1/3)、Ｂ＝ｂ^(1/3) とすると、
　sinθ＝Ｂ/√(Ａ^2＋Ｂ^2), cosθ＝Ａ/√(Ａ^2＋Ｂ^2)
のとき、f(θ) は極小値かつ最小値を取ります。
　 f(θ)の最小値は　{ａ^(2/3)＋ｂ^(2/3)}^(3/2)

(2)
ＡＢを結ぶ直線の式は
　sinθｘ＋cosθｙ＝sinθcosθ
この直線群の、ｘ＝ｍにおけるｙの値を考えると、
　ｙ＝sinθ－ｍtanθ
θを変化させたときのｙの最大値を調べます。
　dy/dθ＝cosθ－ｍ/cos^2θ＝０
を解くと、cosθ＝ｍ^(1/3)。このとき
　sinθ＝√{1－m^(2/3)}, tanθ＝√{1/m^(2/3)－1}
よって、ｙの最大値は
　ｙmax＝√{1－m^(2/3)}－√{ｍ^(4/3)－ｍ^2}
　　＝{1－ｍ^(2/3)}^(3/2)
よって、求める体積は　ｙ＝{1－ｘ^(2/3)}^(3/2) において
　π∫[0～1](ｙ)^2dx
　　＝π∫[0～1]{1－ｘ^(2/3)}^3dx
あとは、３乗を展開して、No.20154 と同じです。

ここでは、ｙの最大値という点について、詳しく説明します。
　sinθｘ＋cosθｙ＝sinθcosθ
で表される直線は、θの値によって、色々存在します。

これらの線群を、ｘ＝ｍで切ると、ｙの値も、θによって、
色々です。
このｙの中で、最大のものが、ｘ軸周りに回転したときに、
一番表面に現れる部分となります。

よって、ｙの最大値をｘの関数として捉えて、断面積 πｙ^2 を
ｘ＝０～１　で積分するのです。

No.23043 - 2013/11/05(Tue) 21:19:10

☆ Re: 回転体の体積とその誘導 / mega

すごくわかりやすかったです！ありがとうございます！

No.23050 - 2013/11/06(Wed) 21:41:00

★ 最大・最小のグラフ / 瀬

aは負の数とする。関数ｆ（ｘ）＝2ｘ^3−（a＋1）ｘ^2＋6aｘの区間−2≦ｘ≦2
における最大値をM（a）、最小値をm（a）とする。M（a）とm（a）のグラフをかけ。

f'(x)=0を解くと、x=a,1(a<0)
(i)a≦-2のとき、
M(a)=f(-2)=-24a-28
m(a)=f(1)=3a-1
(ii)-2≦a<0のとき、
M(a)の候補はf(a)、f(2)
m(a)の候補はf(1)、f(-2)
あとは、M(a)の候補同士で大小比較をしたところa≦-1ではf(a)≧f(2)
-1≦a<0ではf(2)≧f(a)
となることがわかったので、これらを図示するとM(a)のグラフがかける。
また、m(a)に関してはグラフの小さいところをつなげばよい。
という要領で解いたところ、答えはあっていたようなのですが、問題集の解答と自分の解答を見比べるといくつか異なる点がありました。
解答には
「a<-2のとき、x=aが区間-2≦x≦2から外れるため、y=f(x)は極大値をとらない。このときM(a)はf(-2)、f(2)のどちらか大きい方である」とあるのですが、a<-2のときは、３次関数のグラフの対称性からして、軸x=1より遠い方にあるf(-2)がf(2)より大きいことは明らかだと思うのですが、どうして解答では「どちらか大きい方である」としているのでしょうか？
教えてください。お願いします。

No.23027 - 2013/11/04(Mon) 04:56:54

☆ Re: 最大・最小のグラフ / ヨッシー

f(x)＝2x^3－3(a＋1)x^2＋6ax
ではないですか？

それはともかく、f(x) の極小値を与えるｘを通るｙ軸に平行な線を
「軸」とは呼びません。
また、f(x) はｘ＝１に対して対称ではないので、
x=1より遠い方にあるf(-2)がf(2)より大きいことは「明らか」
だとは言えません。
明らかでない以上、f(-2) と f(2) を実際に比較してみて
初めて f(-2)＞f(2) と言えます。

No.23028 - 2013/11/04(Mon) 07:39:49

☆ Re: 最大・最小のグラフ / ＿

その主張が間違っている例を1つ。

例えば、f(x)=x^3 - 3xについて、これは増加→減少→増加で、
いわゆる「軸」の1つはx=1ですが、
f(2)=2,f(-1.5)=1.125なのでf(2)>f(-1.5)です。
つまり「軸」から遠いほうが小さいことになります。

No.23029 - 2013/11/04(Mon) 07:57:31

☆ Re: 最大・最小のグラフ / 瀬

回答ありがとうございます。
a≦-2のとき
f(-2)=-24a-28≧20なので。
f(2)=4と大小を比べると
f(-2)>f(2)は常に成り立つ気がするのですが、
この説明をあらかじめしていれば問題ないですか？

No.23030 - 2013/11/04(Mon) 09:26:04

☆ Re: 最大・最小のグラフ / ヨッシー

それは、私が書いたところの「実際に比較してみて」に当たりますね。
それが書かれていれば問題ありません。

ちなみに、
２次関数の対称性は、軸に関する線対称
３次関数の対称性は、変曲点に関する点対称です。

No.23031 - 2013/11/04(Mon) 09:38:20

★ 数2 / 瀬

参考書に「lim[x→a]f(x)/x-a の値が存在するとき、f(a)=0となる。」
とあるのですが、これは
x-aが限りなく0に近づく一方で、f(x)の値が0以外の値に近づけば値は定まらず無限に存在することになってしまいますよね。
0←f(x)→∞ で0という限りのある値に近づけば近づくほど値は近似値として定めることができそうです。
ではそのようなf(x)を表現するにはどうすればよいか？
x-aはどんどん0に近づくのでx-a≒0
同時にf(x)も0に近づかせたいので
整式f(x)が因数x-a(≒0)をもてばよい。
よってf(a)=0が成り立つ。と理解したのですが、合っているのでしょうか？
理解力が乏しい上に数学は大の苦手なので困っています。わかる方教えてください。お願いします。ちなみに数学は2Bまで既習です。

No.23008 - 2013/11/01(Fri) 15:04:11

☆ Re: 数2 / らすかる

> x-aが限りなく0に近づく一方で、f(x)の値が0以外の値に近づけば
> 値は定まらず無限に存在することになってしまいますよね。
無限に存在というのは変です。
x-aが0に近づき、f(x)が0以外の値に近づけば、f(x)/(x-a)は±∞に発散します。

> 0←f(x)→∞ で0という限りのある値に近づけば近づくほど値は近似値として定めることができそうです。
「0←f(x)→∞」とはどういう意味ですか？
またこの文の意味はわかりませんでした。

> 同時にf(x)も0に近づかせたいので
> 整式f(x)が因数x-a(≒0)をもてばよい。
f(x)は整式とは限らないと思いますが、整式に限定されているのですか？

No.23009 - 2013/11/01(Fri) 15:23:58

☆ Re: 数2 / angel

どのようなイメージをもって納得されるかは自由だと思いますが、ちゃんと証明を説明できるようにするべきとも思います。
なお、元の文では条件が不足しています。「f(x)は連続関数である」が抜けているのでしょうから、この条件があるものとして話を進めます。

さて今回、極限に関する次の性質を使います。
　lim[x→a]p(x)=α, lim[x→a]q(x)=β ⇒ lim[x→a]p(x)q(x)=αβ
で、これに p(x)=f(x)/(x-a), q(x)=x-a ( このときβ=0 ) を適用すれば、

・αの値に関わらずαβ=0
・p(x)q(x)とは ( x=aを除いて ) f(x)に他ならないため、 lim[x→a]p(x)q(x)=f(a)
　( 連続関数であるf(x)に対して lim[x→a]f(x)=f(a) であることに注意 )

ということで、f(a)=0 を導くことができます。

No.23010 - 2013/11/01(Fri) 20:54:06

☆ Re: 数2 / 瀬

回答ありがとうございます！
色々用語(連続関数など・・・)を調べながら回答を読ませていただいたのですが、数学?VＣは文系でしたので全く手をつけていません。
なので理解も漠然としています。
きちんと理解したいのでこれを機会に数学?VＣの内容にも触れてみようと思うのですが典型的な文系脳なので、どこから学習したらいいのかなど不安です。
質問の趣旨から外れてしまいましたが、数学?VＣでいうどの単元を学習すれば理解できるようになりますか？
独学で身近に聞ける人がいないのでよかったら教えてください。お願いします。

No.23014 - 2013/11/02(Sat) 02:07:01

☆ Re: 数2 / ＩＴ

>参考書に「lim[x→a]f(x)/x-a の値が存在するとき、f(a)=0となる。」とあるのですが、
その参考書の名前と出版社、著者、該当のページを教えて下さい。

>数学?VＣでいうどの単元を学習すれば理解できるようになりますか？
数学?V「関数の極限」「連続関数」という単元が該当しますが、高校数学では、厳密な議論はされてないので、かえって理解が難しい場合もあります。

>独学で身近に聞ける人がいないのでよかったら教えてください。お願いします。
その参考書を中心に勉強しておられるのですか？最終目的・目標は何ですか？よろしければ簡単に教えて下さい。それによって説明もちがってくると思いますので。

No.23015 - 2013/11/02(Sat) 03:57:32

☆ Re: 数2 / 瀬

ITさん>>
回答ありがとうございます。
参考書は１対１対応の演習の数学?U(著者とページは今手元にないのでわかりません)
最終目的・目標は難関大レベルの入試問題を解けるようになることです。大学受験レベルの理解を求めています。

No.23016 - 2013/11/02(Sat) 04:22:31

☆ Re: 数2 / ＩＴ

参考書確認しました。
例題では、f(x)はxの多項式　でしたが、ご質問のあった解説は、f(x)は多項式に限らず一般の関数についても成り立つと読める記述になっていました。
不正確だと思います。

No.23022 - 2013/11/02(Sat) 18:51:51

★ 必要条件と十分条件の理解 / ひつよう

これまでp⇒qが真であるとき、pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件と機械的に暗記していただけで
十分条件と必要条件の言葉の意味についてあまり深く考えてこなかったのですが、直感的に以下のように理解していたので
間違ってるところを指摘してください。よろしくお願いします。
例えば「京都ならば日本」という命題があるとします。
この命題は真であるので、
?@京都は日本であるための十分条件
?A日本は京都であるための必要条件が言えますよね。

まず?@について
「京都」は「日本」であるという性質を持っているので(「京都」ときいて「日本」という人はいても「アメリカ」などという人はいません)、
日本であるためには(日本であることを言うためには)「京都」それ自体が「日本」という性質を持っているので「京都」を挙げることで十分。よって?@が成り立つ。
次に?Aについて
「京都」というのは、たとえば京都ならばアジア、京都ならば関西、京都ならば近畿などはそれぞれ真なので、
「日本」という性質以外にも「京都」は「アジア」、「関西」、「近畿」などの性質を持っています。
これを踏まえて?Aを見ると、
「京都」であることをいうためには、「日本」という性質が最低限必要。(「日本」以外にも「アジア」、「関西」、「近畿」などもあるので
その中で「日本」だけを挙げることは十分ではないので必要)
よって?Aが成り立つ。

No.23006 - 2013/11/01(Fri) 11:17:58

☆ Re: 必要条件と十分条件の理解 / ヨッシー

「地図上で指さした所は」とか「今立っている所が」とかの
主語を加えた方がイメージしやすいです。

?@については大体良いです。
?Aについては、「日本」の他に「アジア」「関西」「近畿」など、
全部「京都」が含まれているのを挙げるのはよくありません。
また、「十分でないので必要」というのもおかしいです。
十分でなく必要でもない場合もあります。
正しくは、「日本」であることすら言えないようなら、それは
「京都」ではない。よって、
＞「日本」という性質が最低限必要。
となります。

まとめると
「京都」さえ言えればそこは「日本」なので、「京都」は「日本」であるための十分条件。
「京都」が言えなくてもそこは「日本」かも知れないので、「京都」は「日本」であるための必要条件ではない。
「日本」が言えないようならそこは「京都」はないので「日本」は「京都」であるための必要条件。
「日本」が言えたとしてもそこが「京都」とは限らないので「日本」は「京都」であるための十分条件ではない。
となります。

No.23007 - 2013/11/01(Fri) 12:28:05

☆ Re: 必要条件と十分条件の理解 / 黄桃

何度も出てる話題で、内容的にもヨッシーさんと同じですが、個人的には、次のように考えています。

BはAであるための…とある場合、
「Aであるかそうでないかを知りたいのだが
今わかるのはBであるかどうか、だけだ」
という状況を想定しています。
つまり、Bであるか、Bでないか、は分かるのだが、
これから今知りたいこと、すなわち、Aであるか、Aでないか、がわかるだろうか、
ということを考えています。
この状況で BはAであるための必要条件、とか、十分条件、とかの用語を使います。

以上を踏まえて必要条件、十分条件とは何かを考えます。

Bがいえるなら、Aが結論できる、という意味でBは十分(Bがあれば十分)。
ただし、Bがいえないからといって、Aが言えないとは限らない。
＃それがあれば結論がでるが、ないからといって、ダメとは限らない
＃「あると便利」なものが十分条件。

Bでないなら絶対にAにならない、という意味でBは必要(Bは必要不可欠)。
ただし、Bだからといって、Aでないかもしれない。
＃なければ絶対にダメだが、あったからといってそれだけでは
＃安心できない「ないと困る」ものが必要条件。

質問の例だと次のようになります。

日本にいるかどうかを知りたい。
今分かっているのは京都にいるということ。
京都は日本の一部だから日本にいるといえる。
つまり、京都にいることは、日本にいるための十分条件。

京都にいるかどうかを知りたい。
今分かっているのは日本にいるということ。
日本にいないなら、絶対に京都にいることはない。
だから、日本にいることは、京都にいるための必要条件。

No.23018 - 2013/11/02(Sat) 08:26:28

☆ Re: 必要条件と十分条件の理解 / ひつよう

お二方本当にありがとうございます。
学校では教えてもらえなかった解説がいただけてすごく嬉しいです。
本当にわかりやすい回答ありがとうございました。

No.23019 - 2013/11/02(Sat) 14:18:36

★ 至急お願いします(o_ _)o / ころ

任意の実数A∈Rに対してlimit n→∞ (An) = a のとき有利数列 {An} , An ∈Ｑが存在することを示せ。

至急お願いしま

No.22973 - 2013/10/31(Thu) 07:41:11

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

問題文がかなり変ですが、もし問題が
「任意の実数aに対してねlim[n→∞]A[n]=aとなる有理数列{A[n]}が存在することを示せ。
ならば
A[n]=m/2^n ただし m/2^n＜a＜(m+1)/2^n
とすれば条件を満たしますね。

No.22974 - 2013/10/31(Thu) 08:44:14

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 問題文がかなり変ですが、もし問題が
> 「任意の実数aに対してねlim[n→∞]A[n]=aとなる有理数列{A[n]}が存在することを示せ。
> ならば
> A[n]=m/2^n ただし m/2^n＜a＜(m+1)/2^n
> とすれば条件を満たしますね。

証明してもらえると助かります(´･ω･`)

No.22976 - 2013/10/31(Thu) 10:21:26

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

何を証明するのですか？

No.22979 - 2013/10/31(Thu) 10:24:41

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 何を証明するのですか？

示すのが課題としてでていて、上記の内容を示さなければなりません。

No.22980 - 2013/10/31(Thu) 10:41:22

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

存在を示すだけなら、実例を挙げれば十分です。
実例のA[n]が条件を満たしているのは
|A[n]-a|＜1/2^n から明らかですが、
その自明なことを厳密に証明しなければならないのであれば、
ε－Ｎ論法で示せば良いと思います。

No.22981 - 2013/10/31(Thu) 10:46:03

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 存在を示すだけなら、実例を挙げれば十分です。
> 実例のA[n]が条件を満たしているのは
> |A[n]-a|＜1/2^n から明らかですが、
> その自明なことを厳密に証明しなければならないのであれば、
> ε－Ｎ論法で示せば良いと思います。

証明しなければなりません。
ε-N論法でといてみたいと思います。
出来たら、証明の方も書いて頂けると助かります。
お願いします(o_ _)o

No.22983 - 2013/10/31(Thu) 12:11:02

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

例えば任意のε＞0に対して1/ε＜N≦1/ε+1となるようにNをとれば、
n≧Nのとき|A[n]-a|＜1/2^n＜1/n≦1/N＜εとなりaに収束することが言えます。

# この問題のポイントはこの部分ではありませんので、
# ここだけ厳密にしてもあまり意味がない気がしますが…

No.22987 - 2013/10/31(Thu) 13:14:01

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

> 例えば任意のε＞0に対して1/ε＜N≦1/ε+1となるようにNをとれば、
> n≧Nのとき|A[n]-a|＜1/2^n＜1/n≦1/N＜εとなりaに収束することが言えます。
>
> # この問題のポイントはこの部分ではありませんので、
> # ここだけ厳密にしてもあまり意味がない気がしますが…

意味がないというのは。もう言うことですか。

No.22988 - 2013/10/31(Thu) 13:35:22

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / らすかる

> 意味がないというのは。もう言うことですか。

？

No.22989 - 2013/10/31(Thu) 14:07:01

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / angel

横から失礼しますが、この問題は大学の講義か何かのものですよね？
そうすると、どんな前提知識があるのか ( どんな公理や原理、定理を使って良いか ) により、適切な回答は変わります。そこのところ、整理しないと、単なる丸投げになってしまいます。

はっきり言えば、高校レベルならtrivialな問題です。
実数を無限小数表現にして、1桁ずつ拾っていけば、明らかに元の実数に収束するのですから。
例えば、√2 であれば、
　a[1]=1, a[2]=1.4, a[3]=1.41, a[4]=1.414, …
と有限小数 ( 有理数 ) の数列を構成すれば、これは√2 に収束します。

しかし、何故trivialかというと、高校レベルでは、実数の連続性の話をぼかした上で、「既に分かっているもの」として扱っているからです。
恐らくこの問題では、実数の連続性の原理的な部分 ( アルキメデスの原理や、区間縮小法といったもの ) での説明が求められているものと思います。
なので、冒頭の話に戻りますが、どんな前提知識があるのか、その情報が大事なのです。
ということで、ちょっと整理しましょう。

No.23004 - 2013/10/31(Thu) 20:51:48

☆ Re: 至急お願いします(o_ _)o / ころ

今一よく分かっていないのですが。

今のところ区間距離などの所をやっています！
それと、アルキメデスも出てきました。

No.23023 - 2013/11/02(Sat) 22:29:30

★ (No Subject) / なかがわ

関数y＝ax＾＋ｂ（0≦x≦２）の最大値が2　最小値が－４である、係り数a bの値を求めよ。

よろしくおねがいします

No.22970 - 2013/10/30(Wed) 23:38:47

☆ Re: / らすかる

「^」には「2乗」という意味はなく、「べき乗」という意味です。
「2乗」ならば「^2」、「3乗」ならば「^3」のように書きましょう。
それから、「係り数」というのは初めて見ましたが、
「係数」（けいすう）のことを「かかりすう」と言うこともあるのでしょうか。

y=ax^2+b はaが0だと条件を満たさないのでaは0以外の数
a＞0のとき、x=0で最小値-4、x=2で最大値2をとるから
y=ax^2-4に(x,y)=(2,2)を代入してaを求めると a=3/2
∴(a,b)=(3/2,-4)は解
a＜0のとき、x=0で最大値2、x=2で最小値-4をとるから
y=ax^2+2に(x,y)=(2,-4)を代入してaを求めると a=-3/2
∴(a,b)=(-3/2,2)は解
従って答えは (a,b)=(3/2,-4),(-3/2,2)

No.22972 - 2013/10/31(Thu) 02:24:14

☆ Re: / らすかる

x=0で最小値-4をとる場合
y=ax^2+bにx=0,y=-4を代入すればb=-4と決まります。
x=0で最大値2をとる場合
y=ax^2+bにx=0,y=2を代入すればb=2と決まります。
x=0のときy=bですから、x=0のときのyの値がそのままbの値になりますね。

No.22977 - 2013/10/31(Thu) 10:23:10

☆ Re: / なかがわ

らすかるさんありがとうございました。
あと一点a>O a<O の識別の判断は最小値－２　－４で判断すべきなのでしょうか？そこが理解ができません。
すいません。

No.22982 - 2013/10/31(Thu) 12:10:32

☆ Re: / なかがわ

ごめんなさい最大値２最小値－４です。

No.22984 - 2013/10/31(Thu) 12:11:41

☆ Re: / らすかる

a＞0のときはx=0で最小、a＜0のときはx=0で最大になる理由が
わからないということでしょうか？

No.22986 - 2013/10/31(Thu) 13:04:55

☆ Re: / ナカガワ

はい、そうです。

No.22990 - 2013/10/31(Thu) 15:13:08

☆ Re: / らすかる

x^2はx=0のときが最小であることはわかりますか？
これがわかるのであれば、a＞0ならば
ax^2もx=0のときが最小なので、
ax^2+bもx=0のときが最小となります。a＜0も同様。
y=ax^2+b のグラフを描けば一目瞭然です。

No.22996 - 2013/10/31(Thu) 16:07:00

☆ Re: / ナカガワ

図書くと理解できました。よろしくお願いします。

No.23002 - 2013/10/31(Thu) 19:11:49

☆ Re: / ナカガワ

タイプミスです。ありがとうございます。

No.23003 - 2013/10/31(Thu) 19:14:00

★ 2次関数の問題の場合分けについて / アクオス

こんばんは。
自分が使っている参考書の中で理解ができない説明があり、
出版社にも問い合わせてみて、回答をいただいたのですがそれでも理解が出来ませんでした。
もしよければ教えてください。

y=f(x)=(x-a)^2+2 (0≦x≦2)

の最小値を求める問題で

(1) a<0　　　の時　最小値f(0)=(0-a)^2+2=a^2+a
(2) 0≦a<2 の時　最小値f(a)=(a-a)^2+2=2　　
(3) 2≦a の時　最小値f(2)=(2-a)^2+2=a^2-4a+6

の解答の説明で

「ここで1つ疑問に思っている人がいると思う。
(1)a<0のとき最小値f(0)、
(2)0≦a<2のとき最小値f(a)、
(3)2≦aのとき最小値f(2)
の場合分けで等号が付いていたり
付かなかったりするのに何か意味があるのか?ってね。
これはハッキリ言ってどうでもいい。
(1)と(2)の境界のa=0のとき、最小値はf(0)といってもf(a)といってもいい。aは0なんだから。
同様に(2)と(3)の境界のa=2のとき、最小値をf(a)といってもf(2)といってもいい。aは2で同じだから。
だから場合分けするためにどちらかに等号はつけないといけないけれど、どちらに付けてもかまわない」

と書かれているのですが、この説明の意味が理解ができません。

自分の考えでは

a<0のとき　f(0)=(0-a)^2+2= a^2+2
a=0のとき　f(0)=(0-a)^2+2= a^2+2
0<a<2のとき　f(a)=(a-a)^2+2= 2

となり

それで　
a=0のとき a^2+2 でa<0の時と同じ最小値。
aは0なので、この式のaに0を入れると　最小値2　になり、これは0<a<2の時と同じ最小値。

だから
「aは0だから (a^2+2の式に0を入れると2になり0<a<2の最小値と同じだから) 最小値はf(0)といってもf(a)といってもいい」

なのでa=0の時の場合分けをa<0の時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。

同じように

0<a<2のとき　f(a)=(a-a)^2+2= 2
a=2のとき　 f(2)=(2-a)^2+2= a^2-4a+6
2<aのとき　　f(2)=(2-a)^2+2= a^2-4a+6

となり
a=2のとき　a^2-4a+6　で2<aの時と同じ最小値。
このaは2なのでこの式のaに2を入れると最小値2になり、これは　0<a<2の時と同じ最小値。

なので

「(a=2のとき)　aは2で、(a^2-4a+6の式のaに2を入れると最小値2になり0<a<2と) 同じだから。」

という説明がされていて

だからa=2の時の場合分けを2<aの時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。

ということかと考えていて

出版社にも同じ内容のもので問い合わせて、このような回答をいただきました。

「＝ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）＾２＋２
の０＜＝ｘ＜＝２における最小値を
ｍ＝ｇ（ａ）
とおきます。
（?@）ａ＜０のとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝ａ＾２＋２
（?A）０＜＝ａ＜２のとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝２
（?B）２＜＝ａのとき、
　　　ｍ＝ｇ（ａ）＝（ａ－２）＾２＋２
となりますね。
よって、ｍ＝ｇ（ａ）のグラフをａｍ直交座標系上に描くと、
一続きの連続したグラフであることが分かります。
これから、上のａの３つの場合分けで、等号はどちらに付けてもＯＫなのですね。」

しかし自分の考えとどう違っているのか、わかりませんでした。

私の考え方は間違っているのでしょうか？もし間違っていれば
出来れば、私の考えの中のどこが、どのように間違えているかなど教えていただければ助かります。

長くなりましたがよろしくお願いします。

No.22964 - 2013/10/30(Wed) 21:16:42

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / ＩＴ

>a=2のとき　a^2-4a+6　で2<aの時と同じ最小値。
a=2のとき最小値は、2<aの時の最小値と「同じ式」で表されてますが「同じ値」ではありません。

>なのでa=0の時の場合分けをa<0の時に入れても0<a<2のときに入れてもどちらでもいい。
まず、「a=0の時の場合分けをa<0の時に入れる。」などという考え方（表現）は、間違っていると思います。
a=0の時の場合分けをa<0の時と併せて「a≦0のとき」として表記しても良いし、
a=0の時の場合分けを0<a<2のときと併せて「0≦a<2のとき」として表記しても良い。ということだと思います。

No.22965 - 2013/10/30(Wed) 21:43:08

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / angel

特にアクオスさんの考えが間違っているとは思いませんが、私ならば違う見方をします。
なお、参考書の記述や出版社の回答については、その真意はなんとも言えませんが、アクオスさんの考えに近いものと思います。

アクオスさんの考えを見ていると、「計算した結果がたまたまどちらのケースにも合致するから、どちらに分類しても良い」のように思えます。
それはそれでアリです。が、計算結果を見るまで「どちらに分類しても良い」と判断できないことになります。

私ならば次のように考えます。a=0の例で行くと、
　・頂点を跨がない範囲で、放物線のグラフのy座標の最小値は、その範囲でのグラフの両端の内小さい方
　　なので、最小値は f(0)
　・頂点を含む範囲において、(下に凸な)放物線のグラフのy座標の最小値は、頂点のy座標
　　なので、最小値は f(a)
このどちらでも説明ができるところです。
前者で説明するなら、a＜0 のケースと同じ話なので、まとめて「a≦0 において最小値は f(0)」となるでしょうし、
後者で説明するなら、0＜a＜2 のケースと同じ話なので、
「0≦a＜2 において最小値は f(a)」となります。
このような考え方であれば、結果を計算するまでもなく、「どちらのケースに分類しても良い」ということが分かります。

No.22966 - 2013/10/30(Wed) 22:32:35

☆ 補足１ / angel

参考書の記述や出版社の回答ですが、次のような意図があるかも知れません。
「aの値に応じて、最小値は『連続的に』変化するものだから、どちらのケースからアプローチしても同じ値になるはずだ」
この方針でいけば、a=0 の時の最小値は、a＜0 の延長上で考える ( で、まとめて a≦0 としてしまう ) やり方でも、0＜a＜2 の延長上 ( で、まとめて 0≦a＜2 としてしまう ) やり方でも良い、ということになります。
…実際、高校で出てくる関数は殆ど全てが連続関数なので、こういう方針でも答えは合ってしまうのですが、連続でない関数が出てくる場面でも通用するか、というとそうではないでしょうから、( もし出版社の真意がここにあるのなら ) 私は好きになれません。

No.22967 - 2013/10/30(Wed) 22:56:24

☆ 補足２ / angel

二次関数とは全く関係ありませんが、「計算したらたまたま他のケースと同じ式で表せるからまとめちゃった」的な場面を紹介します。

　Q: 数列 a[n] は、n≧1 に対して S[n]=a[1]+…+a[n]=n^2 を満たす。この数列の一般項を求めよ。
　A: a[n]=2n-1

この問題を解く場合、n=1 と n≧2 は分けて考えなければなりません。なぜならば、
　n=1 の場合、a[1]=S[1]
　n≧2 の場合、a[n]=S[n]-S[n-1]
と全然違う計算になるからです。
しかしながら今回の例では、たまたま計算式が統一できてしまうような結果となるため、最終的な解答は場合分けしない形にできます。
これがもし S[n]=n^2+1 だったりすると統一ができないため、場合分けを残したものが最終的な解答になります。

No.22969 - 2013/10/30(Wed) 23:05:21

☆ Re: 2次関数の問題の場合分けについて / アクオス

ITさん、angelさんありがとうございます。
理解することが出来ました。
また何かあればよろしくお願いします。

No.23001 - 2013/10/31(Thu) 18:09:46